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PRESIDENTE DA REPÚBLICA José Sarney

MINISTRO DA EDUCAÇÃO Marco Maciel

SECRETÁRIO-GERAL DO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Everardo Maciel

SECRETÁRIO DE ENSINO DE 1.° e 2.° GRAUS Aluisio Sotero

PRESIDENTE DA FUNDAÇÃO CENTRO BRASILEIRO DE TV EDUCATIVA — FUNTEVÊ Roberto Daniel Martins Parreira

DIRETOR DE PLANEJAMENTO DA FUNTEVÊ — DPLAN Cyro Kurtz

Ministér io da Educação Fundação Centro Brasileiro de TV Educativa

QUALIFICAÇÃO PROFISSIONAL

MATEMÁTICA (Conteúdo e Metodologia)

LIVRO 6

INTRODUÇÃO

Professor

Você está realizando o Curso de Qualificação Profissional. Através deste Curso, você terá oportunidade de habilitar-se ao exercício do magis­tério nas quatro primeiras séries do Ensino de 1.° Grau.

É importante que você saiba que o Curso de Qualificação Profissional reflete a preocupação do Ministério da Educação, através da Secretaria de Ensino de 1.° e 2.° Graus, com a formação dos professores de 1.a

a 4.a séries. Elaborado e coordenado pela FUNTEVÊ — Fundação Centro Brasi­

leiro de TV Educativa — o Curso de Qualificação Profissional utiliza a televisão e o rádio para a apresentação de suas aulas, sendo acompa­nhado por sete (7) livros didáticos que servem de apoio às transmissões.

Você assistirá aos programas de televisão ou ouvirá os programas de rádio, estudando, em seguida, a aula correspondente no seu livro. Em cada aula você encontrará: objetivos, texto para leitura e questões para pensar e responder, considerando o local em que você vive e as suas condições de trabalho.

Para realizar um bom trabalho educativo, é importante que você:

• planeje o ensino • oriente seus alunos nas experiências de aprendizagem • avalie os resultados obtidos.

Estas tarefas exigem de você o conhecimento dos seus alunos e do meio em que vivem e, ainda, o conhecimento de soluções alternativas para os problemas do processo ensino-aprendizagem.

Através do Curso de Qualificação Profissional você terá oportunidade de adquirir conhecimentos e desenvolver habilidades e atitudes que lhe proporcionarão o aperfeiçoamento profissional, contribuindo para a sua realização pessoal.

As disciplinas que constam do currículo do Curso de Qualificação Profissional são:

• Fundamentos da Educação • Didática • Comunicação e Expressão em Língua Portuguesa (Conteúdo e

Metodologia) • Educação Artística

— Música — Artes Plásticas

• Ciências Físicas e Biológicas (Conteúdo e Metodologia) • Educação para a Saúde • Matemática (Conteúdo e Metodologia) • Integração Social (Conteúdo e Metodologia)

• Estrutura e Funcionamento do Ensino de 1.° Grau • Multimeios de Aprendizagem • Educação Física — Recreação e Jogos • Estágio Supervisionado (a ser desenvolvido com o apoio das Se­

cretarias de Educação). Esperamos que o Curso de Qualificação Profissional possa-lhe pro­

porcionar oportunidades de maior realização profissional e satisfação em seu trabalho como educador.

O ENSINO DA MATEMÁTICA PELA DESCOBERTA

OBJETIVOS • Apresentar os objetivos gerais e a proposta metodológica da A I I I A

s ^ r ' e de Matemática. DESTA AULA # Enfatizar a importância da situação-problema no ensino da Ma­

temática.

TEXTO PARA

LEITURA

Um dos fins da educação é propiciar à criança meios para descobrir o mundo e participar ativamente no ambiente em que vive, de uma ma­neira eficaz e em harmonia com sua personalidade.

O desenvolvimento do raciocínio, favorecido pela aprendizagem em Matemática, contribui significativamente para esse fim. E, se levarmos em consideração que a Matemática está presente em quase todos os setores da atividade humana, esse fato cresce mais ainda de importância. Aprender Matemática torna-se hoje uma necessidade para todas as pes­soas.

O raciocínio matemático é aplicado em várias situações do cotidiano.

A cada dia, a aplicação da Matemática se amplia mais, seja nas ciên­cias em geral, seja na indústria, no comércio ou ainda nas mais elementa­res atividades cotidianas, como por exemplo: situações de compra e ven­da, planejamento da economia familiar, disposição de móveis de uma casa e tantas outras.

Pode-se pois compreender por que, ao longo do tempo, tantos edu­cadores se preocuparam tanto em encontrar caminhos que conduzissem ao ensino adequado da Matemática.

No momento atual, dificilmente encontramos professores ou pessoas interessadas no ensino da Matemática, em qualquer grau, que possam dizer, honestamente, que tudo vai bem com o ensino nessa área do conhe­cimento.

A verdade é que há um número demasiado grande de crianças que não gosta de Matemática. Esse sentimento cresce com a idade, e muitos

são os que encontram dificuldades, mesmo com o que há de mais simples. Mas por quê?

Encaremos a realidade: a maioria das crianças jamais consegue com­preender o verdadeiro significado dos conceitos matemáticos, pois estes são apresentados prontos, como um conjunto de técnicas e regras sem nenhuma contradição. Muito já foi feito para melhorar a eficiência na aquisição de técnicas. Apesar de todos esses esforços, a situação não parece ter sido alterada. O que está faltando então? Onde está real­mente o problema?

Se existe solução para o ensino da Matemática, esta deve ser pro­curada em outro campo: no campo da construção dos conceitos e, mais amplamente, no campo da redescoberta.

A Aprendizagem Ativa Partindo do pressuposto de que a criança aprende refletindo sobre suas ações, as atividades propostas devem permitir uma intensa mani­pulação de material concreto adequado, para que os conceitos possam ser realmente aprendidos. Por exemplo: somente depois de juntar diversas vezes 10 objetos compondo e representando uma dezena, é que a criança passa a compreender o que significa um número formado por dois al­garismos.

Por outro lado, o papel do professor é o de orientador. Ele deve ajudar as crianças a encontrarem seus próprios caminhos, pois sabemos que cada pessoa resolve as situações que lhe são apresentadas, à sua maneira, e isto deve ser respeitado. Sendo assim, devemos conversar muito com os alunos, fazendo perguntas que os orientem na trajetória de suas descobertas e que os estimulem a refletir sobre o que estão alcançando no decorrer desse processo.

Numa terceira etapa, ou seja, depois de experimentar e refletir, a criança precisa comunicar suas conclusões. Para ela, não se trata apenas de uma necessidade lógica, significa também uma necessidade emocional: a criança tem alegria em comunicar os resultados que encontra. Essa comunicação pode assumir várias formas: pode ser oral ou escrita, e feita através de palavras, símbolos ou mesmo representações gráficas. Vale lembrar que, inicialmente, os alunos têm dificuldade na verbalização dos conceitos matemáticos aprendidos, talvez por falta de vocabulário ade­quado. E isso precisa ser considerado, servindo incluáive como desafio para o professor, no sentido de incentivar a criança a falar, a comunicar sua experiências e conclusões. Concluímos, então, que o fio condutor da aprendizagem ativa pode ser resumido da seguinte forma:

Experimentação — Reflexão — Comunicação

A criança deve viver o pro­cesso todo: experimentar, re­fletir e comunicar.

8

Como a aprendizagem ativa está centrada no aluno, não podemos deixar de ressaltar que cada criança tem um ritmo próprio e que este ritmo deve ser respeitado pelo professor.

Este fato causa certa angústia em alguns professores que, muitas vezes, têm de fazer um grande esforço para não dar logo as respostas ou então apressar um aluno mais lento.

Com um pouco de experiência e procurando trabalhar em grupo, di­versificadamente, as crianças se sentirão livres para trilhar seus próprios caminhos.

O papel do professor é de vital importância, pois só conhecendo os conceitos matemáticos ele será capaz de os analisar com clareza e pre­cisão, criando situações em que a descoberta ficará por conta da criança.

PARA VOCÊ O que nós propusemos a você nesta primeira aula, especialmente SABER MAIS S O D r e a necessidade de experimentar, comunicar e refletir, para que haja

realmente a aprendizagem da Matemática, foi e é afirmado desde longo tempo por grandes pensadores, bem como por estudiosos de diferentes áreas do conhecimento. Leia, então, e reflita:

• "Se eu ouço, eu esqueço. Se eu vejo, eu recordo. Se eu faço, eu compreendo".

(Provérbio chinês)

• "Todo conhecimento nosso origina-se nas nossas percepções". (Leonardo da Vinci — 1452/1519)

• "Não se aprende, Senhor, na fantasia, Sonhando, imaginando ou estudando, Senão vendo, tratando e pelejando".

(Camões — 1524/1580)

• "A essência da Matemática é a liberdade". (Georg Cantor — matemático alemão do século XIX)

• "Os artistas de circo sabem cair; é um tipo de exercício em que são excelentes; eles se exercitam nisto cem vezes, permanecendo tão alegres e flexíveis na primeira, como na centésima experiência. E' necessário aprender a errar assim, de bom humor".

(Alain — "Propôs sur 1'éducation")

• "A lógica é a juventude da Matemática e a Matemática é a virilidade da lógica".

(Bertrand Russell — filósofo inglês — 1872/1970)

• "Hoje, o difícil é encontrar uma atividade sobre a qual se possa assegurar jamais ter recorrido a alguma ideia ou a alguma técnica matemática".

(Gilbert Walusinski — "Por que uma Matemática moderna?")

• "A eficácia dos métodos não está em seu mecanismo, mas no prin­cípio lógico que os comanda".

(Hubert René — "Tratado de Pedagogia Geral" — Paris/1952)

"A inteligência é um sistema de operações; todas as matemáticas são sistemas de operações. A operação não é outra coisa senão uma ação; é uma ação real, mas interiorizada e tornada reversível. Para que a criança chegue a combinar as operações, quer se trate de operações numéricas, quer de operações espaciais, é necessário que ela tenha manipulado, que tenha agido, que tenha experimen­tado (...); estas ações se interiorizam e, ao se interiorizarem, coor-denam-se e tornam-se reversíveis, transformando-se assim em ope­rações".

(Jean Piaget — "Iniciação ao cálculo — Caderno de Pedagogia Moderna")

Uma Palavra Quando aceitamos o convite para elaborar este material impresso de apoio ao Programa de Qualificação Profissional, via rádio e televi­são, — volume VI "Matemática", estávamos certas de que a tarefa seria árdua, pois estávamos conscientes de que deve haver alguma coisa errada não só em relação ao ensino da Matemática, como à educação escolar no seu sentido mais amplo. Este é um problema que atinge integralmente a sociedade, e que deve, portanto, ser enfrentado por ela como um todo.

Sabemos não termos a "varinha de condão" para resolver esse pro­blema; temos, sim, a esperança de que este volume, estas ideias e sugestões provoquem uma série de discussões e troca de experiências que possam ajudar no aperfeiçoamento do professor e do sistema educa­cional. Assim sendo, esperamos que este material seja de alguma utili­dade para você, pois a eficiência do nosso trabalho não será medida pelo que vai aqui escrito, mas sim pelas críticas, avaliações e reformulações que você, colega, possa fazer.

Nossa intenção é apresentar as ideias básicas dos principais con­ceitos da Matemática, além de sugestões metodológicas para desenvol­ver tais conceitos: conteúdo e metodologia devem caminhar juntos. Por outro lado, propomos também um trabalho pedagógico baseado em atividades vividas pelo aluno, de tal forma que ele seja um sujeito par­ticipante. Acreditamos que só assim pode-se desenvolver nele a auto­confiança, o raciocínio, a criatividade e a intuição.

A seleção dos conteúdos, distribuídos nas 30 aulas deste volume, foi feita a partir da análise dos currículos de várias Secretarias de Edu­cação. E a ordem de apresentação dos conteúdos, por aula, foi esco­lhida no sentido de dar uma visão global de cada tema. Cabe a você, colega, diluí-los no planejamento de seu trabalho, observando os pré-requisitos necessários, o desenvolvimento de seus alunos e as peculia­ridades de sua escola.

TRABALHANDO CONCRETAMENTE

OBJETIVOS DESTA AULA

• Identificar as fases de desenvolvimento do raciocínio na criança. • Estimular o uso de materiais concretos na construção dos con­

ceitos matemáticos. • Propor a seleção e confecção de materiais estruturados e não

estruturados.

TEXTO PARA LEITURA

O mundo atual tem provocado mudanças cada vez mais profundas e frequentes na sociedade. A quantidade de conhecimento vem cres­cendo tão rapidamente, que o ensino nas escolas acaba por restringir-se a poucas informações, relativamente ao acúmulo de novos dados e descobertas. É, portanto, necessária a criação de habilidades e meios para que o educando possa desenvolver-se de modo a adquirir uma autonomia de pensamento, que lhe permita realizar mais tarde sua au-to-educação.

A obra de vários psicólogos tem mostrado que a autonomia de pen­samento só aparece como consequência do desempenho pessoal do aluno na aprendizagem. Essa autonomia consiste basicamente na for­mação de conceitos e sua fixação, bem como na facilidade de fazer a transferência de uma situação para outra e de tirar as próprias con­clusões.

Para que o aluno possa desempenhar esse papel no processo en­sino-aprendizagem, é necessário que sejam respeitadas as diversas etapas de seu desenvolvimento intelectual, afetivo e social.

Os educadores tinham vaga noção de que aí pelos 7 ou 8 anos algo acontecia, e era hora de a criança iniciar a escola. Por quê? Ninguém sabia.

Realmente, é nesta idade que se processa profunda transformação no pensamento infantil. Atualmente, sabe-se que o desenvolvimento da inteligência passa por vários estágios, do nascimento aos 15/16 anos, se tudo correr normalmente. Toda criança, em qualquer parte do mundo, passa pelos mesmos estágios que ocorrem numa ordem determinada, mas não em épocas fixas. Variam, entre outras coisas, o tempo gasto em cada estágio e as formas de manifestação da criança, nos diferentes momentos, conforme a cultura. Crianças diferentes passam de um está­gio para outro em épocas diferentes.

Fases do

Desenvolvimento

Menta l da Criança

Três estágios de desenvolvimento mental são especialmente impor­tantes na evolução mental da criança, conforme Piaget.

• Estágio pré-operacional ou intuitivo (idade de 2 a 6/7 anos). • Estágio das operações concretas (idade de 6/7 a 11/12 anos). • Estágio das operações formais (idade de 11/12 aos 15/16 anos).

OBSERVAÇÃO:

As idades colocadas nos estágios servem apenas como base refe­rencial, podendo haver um adiantamento ou um retardo na evolução, conforme as particularidades do indivíduo.

Todos os indivíduos passam por essa evolução, sendo portanto essencial que ela seja respeitada.

O Estágio

Pré-Operacional ou

Intuitivo

As crianças deste nível raciocinam e dão explicações na base da intuição, dos sentimentos e das sensações.

Nesta fase, elas têm dificuldade de compreender a ordem dos even­tos e de explicar relações; não têm também condições de fazer com­parações somente a partir de palavras soltas ou abstrações. O ato de pensar está fortemente ligado a uma visualização direta. Portanto, elas não podem efetuar operações mentais como adicionar, subtrair ou se­guir os passos da resolução de um problema.

O Estágio das

Operações Concretas

Nesta fase, o pensamento da criança continua ainda ligado à visua­lização, embora caracterizado por uma habilidade maior, pois ele começa a se tornar semelhante ao do adulto. A criança, a partir de ações sobre materiais concretos, já consegue efetuar operações concretas, mas ainda não faz abstrações. Só agindo sobre objetos reais é que ela consegue estabelecer relações e desenvolver a habilidade de compreensão de regras, ou seja, formar um conceito.

Portanto, nesta fase, ela já é capaz de desenvolver o conceito de número, efetuar operações e seguir os passos da resolução de proble­mas, mas sempre apoiada na manipulação de objetos reais.

O Estágio das Nesta fase, os estudantes podem pensar usando abstrações, podem Operações Formais " P e n s a r sobre o pensamento", trabalhar plenamente com o possível

tanto quanto com o real. Não necessitam trabalhar com o concreto como nas fases anteriores.

A Importância dos

Mater ia is Concretos Com base no que afirmamos anteriormente, você já pode perceber

que não bastam palavras para educar. Uma das principais causas dos fracassos da educação decorre essencialmente de não se respeitar o de­senvolvimento da criança, de se principiar a elaboração de um conceito pela linguagem, seja ela acompanhada de desenhos ou de ações fictí­cias, ao invés de fazê-lo pela ação real e material.

O uso de materiais concretos, quer estruturados ou não, e a apli­cação de uma metodologia que permita ao aluno descobrir, dão-lhe a oportunidade de construir conceitos, de descobrir as proposições e al­goritmos, bem como a capacidade de dominar a terminologia adequada.

O material concreto é um recurso para o alcance dos objetivos do ensino; deve ser selecionado em função do que se pretende alcançar e dos interesses da criança.

Há muitos tipos de material de ensino atendendo a objetivos diver­sos. Vamos classificá-los em dois tipos; materiais ambientais (ou não estruturados) e materiais estruturados.

Materiais Ambientais

(Não Estruturados) Materiais ambientais são aqueles materiais encontrados sem difi­

culdade no meio ambiente em que a criança vive. Muitos deles podem ser simplesmente coletados ou então adquiridos, ou mesmo fabricados pelo professor e pelas crianças. São eles:

• coleções de objetos pequenos, como pedrinhas, conchinhas, carrinhos, bonequinhas e que servem para classificar, ordenar, com­parar quantidades e fazer contagem;

• palitos de sorvete, elásticos, chapinhas, saquinhos de plástico de vários tamanhos e quadro-de-pregas, para iniciar o sistema de nume­ração;

• chapinhas, figuras geométricas em cartolina, para introduzir a noção de frações;

• balanças e pesos; metro; réguas; ampulhetas; relógios; calen­dários.

Mater ia is Estruturados Materiais estruturados são materiais mais elaborados, que permi­tem desenvolver o pensamento lógico da criança, por serem mais ricos em atributos. Esses materiais podem ser industrializados, como os Blo­cos Lógicos e o Povo Lógico, ou construídos pelo próprio professor.

Vejamos a construção de um material, cuja estrutura é 3x2x2. Vamos trabalhar com três atributos (forma, tamanho e cor). O primeiro atributo

tem três valores: lápis, régua e flor; o segundo, dois: grande e pequeno; e o terceiro, dois: azul e vermelho. Esse material poderá ser feito em papel e cartolina, desenhando-se e pintando os objetos conforme seus atributos.

Agora combinaremos esses valores para formar o material.

Siga as setas e veja as combinações formadas.

1 lápis grande e azul 1 lápis grande e vermelho 1 lápis pequeno e azul 1 lápis pequeno e vermelho 1 régua grande e azul 1 régua grande e vermelha 1 régua pequena e azul 1 régua pequena e vermelha 1 flor grande e azul 1 flor grande e vermelha 1 flor pequena e azul 1 flor pequena e vermelha

Esse material tem uma estrutura 3x2x2, cujos elementos, combina­dos, deram um total de 12 peças.

Os Blocos Lógicos são um material mais rico, pois têm quatro atri­butos: forma, tamanho, cor e espessura. O atributo forma tem 4 valores: quadrado, círculo, retângulo e triângulo.

O atributo cor tem 3: azul, vermelho e amarelo. O atributo tamanho tem 2: grande e pequeno. O atributo espessura tem 2: grosso e fino. Logo, a sua estrutura é 4x3x2x2, cujos elementos, combinados, darão 48 peças.

Brincar com materiais estrutu­rados desenvolve o raciocínio lógico.

Exemplo com frases

A partir da 2.a série, podemos utilizar como material estruturado a construção de frases, pela combinação de palavras escritas em peque­nos cartões.

Vejamos um exemplo com a estrutura 4x3x3.

NOME JOÃO PAULO MARIA CLARA

AÇÃO

BRINCA PULA CORRE

LUGAR

NO QUINTAL NA CALÇADA NO PARQUE

Veja as combinações formadas:

João brinca no quintal. João brinca na calçada. João brinca no parque. João pula no quintal. João pula na calçada. João pula no parque. João corre no quintal. João corre na calçada. João corre no parque.

Paulo brinca no quintal. Paulo brinca na calçada. Paulo brinca no parque. Paulo pula no quintal. Paulo pula na calçada. Paulo pula no parque. Paulo corre no quintal. Paulo corre na calçada. Paulo corre no parque.

Maria brinca no quintal. Maria brinca na calçada. Maria brinca no parque. Maria pula no quintal. Maria pula na calçada. Maria pula no parque. Maria corre no quintal. Maria corre na calçada. Maria corre no parque.

Clara brinca no quintal. Clara brinca na calçada. Clara brinca no parque. Clara pula no quintal. Clara pula na calçada. Clara pula no parque. Clara corre no quintal. Clara corre na calçada. Clara corre no parque.

Nos próximos capítulos, veremos, em diferentes situações, a utili­zação desses materiais em atividades de sala de aula.

• Inicialmente, todas as crianças devem manipular o material fa­zendo construções livres. Isso é muito importante para que as crianças conheçam o material, se familiarizem com ele e aceitem as regras que lhe serão propostas para diferentes ações.

OBSERVAÇÃO:

Releia a aula 12 de Didática (volume 2 do Programa de Qualificação Profissional, para professores de 1.a a 4.a séries do 1.° Grau).

Construa um material estruturado que tenha como estrutura 4x3x2.

Lembre-se

SUGESTÃO DE ATIVIDADES

MATEMÁTICA:

LINGUAGEM ECONÔMICA E CONCISA

OBJETIVOS DESTA AULA

Avaliar a importância da linguagem matemática.

Caracterizar as formas de utilização da linguagem matemática.

TEXTO PARA LEITURA

Sabemos que linguagem é qualquer sistema de comunicação entre os homens, e que todo sistema de comunicação é composto de códigos que obedecem a um conjunto de regras básicas. A Matemática é uma ciência que, ao longo de sua história, foi adquirindo uma linguagem própria. Esta linguagem, além de possuir uma terminologia técnica, uti­liza símbolos, gráficos e diagramas. Denominamos "terminologia técnica" as palavras ou expressões derivadas da linguagem cotidiana ou não, que servem para denominar fatos matemáticos. Por exemplo: adição, par­celas, minuendo, subtraendo, relação, figuras planas, etc. Quanto aos símbolos, gráficos e diagramas, vejamos alguns exemplos:

Símbolos

+. -. =

Gráficos

Gráficos como estes são for­mas sintéticas de comunica­ção.

Diagramas

A linguagem matemática usa também diagramas, como este, da interseção.

As regras básicas do conjunto de códigos matemáticos evidenciam uma forma econômica e concisa de comunicação, além de exigir dos enunciados matemáticos uma precisão absoluta, sem a qual deixam de ter o mínimo significado. Esta é a diferença básica entre a linguagem matemática e a linguagem comum, e que faz com que, muitas vezes, a utilização da primeira pareça mais árdua. A comunicação verbal pode ser tão ambígua que dois interlocutores julguem entender-se sem pen­sarem exatamente a mesma coisa. A linguagem matemática, no entanto, pretende ser precisa; e mais que isto: universal.

A matemática utiliza símbolos de reconhecimento universal.

Podemos afirmar que a linguagem matemática é um instrumento de comunicação a serviço do desenvolvimento da ciência e da ativação das estruturas do pensamento. No primeiro caso, sabemos que o grande e permanente desenvolvimento científico e tecnológico vem exigindo um maior conhecimento matemático e também um maior intercâmbio deste conhecimento, entre povos de várias línguas. Daí podemos vislumbrar a necessidade de uma linguagem que seja universalmente utilizada e com­preendida, tanto no processo científico quanto na aprendizagem da ci­ência. Várias ciências, como a Física por exemplo, exprimem suas leis utilizando linguagem matemática.

No segundo caso, ou seja, na ativação das estruturas do pensa­mento, a linguagem matemática desenvolve o raciocínio lógico e o poder de síntese. Ela deve aparecer estreitamente ligada à linguagem corrente, dotando os símbolos de significações. No processo ensino-aprendiza­gem, é importante que o professor conheça o estágio de desenvolvimen­to mental de seus alunos para fazer adequações entre as duas lingua­gens. É necessário partir sempre da linguagem corrente, que o aluno domina, de forma a auxiliá-lo na descoberta e construção do discurso matemático. A criança^ utilizará a linguagem corrente até que sinta ne­cessidade de uma outra forma de expressar seu pensamento. Em alguns casos, o grau de abstração de uma simbologia é tão grande que utili­zamos a linguagem cotidiana durante todo o primeiro segmento do 1.° Grau. É o caso, por exemplo, dos símbolos usados na teoria dos con-

É preciso ter muito cuidado com a linguagem usada na comunicação com a criança.

juntos. Vamos usar, preferencialmente, as expressões "pertence" e "não pertence", no lugar dos símbolos s e s .

Já dissemos que a linguagem matemática é concisa e que permite economizar pensamentos e símbolos. Vejamos alguns exemplos:

LINGUAGEM MATEMÁTICA

1) axb = bxa

2) 1 — e N 2

LINGUAGEM CORRENTE

Numa multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto (pro­priedade comutativa da multiplica­ção).

0 número fracionário 1 não é

2 elemento do conjunto dos núme­ros naturais (números que auxiliam a contagem).

As crianças, até atingirem o estágio das operações formais, devem utilizar, por exemplo, as propriedades da multiplicação, sem que seja ne­cessário nomeá-las ou mesmo representá-las matematicamente. Por exem­plo: a criança deve apenas perceber que, para multiplicar 256 X 12, pode multiplicar 256 X 10 e somar o resultado ao produto de 256 X 2.

É importante ressaltar que, na maioria dos casos, o rigor formal apa­receu como recurso técnico muito mais tarde do que as importantes des­cobertas matemáticas. De outra forma, podemos dizer que o formalismo da linguagem não é condição necessária para que uma criança, percor­rendo os caminhos dos antigos matemáticos, redescubra alguns conceitos fundamentais.

A Criança e a

Linguagem Matemática O registro de experiências, na aprendizagem ativa, é a etapa na qual

a criança utilizará a Matemática como linguagem. A primeira forma de comunicar suas descobertas é a narrativa oral, que muitas vezes inclui vá­rios rodeios, devido à dificuldade natural de extrair apenas as ideias principais, e ainda à falta de hábito de dialogar e debater com adultos e mesmo com colegas. O professor, portanto, deve estimular a comunicação

entre as crianças e ouvir atenta e pacientemente os relatos de seus alu­nos, fazendo as correções necessárias. A linguagem matemática deverá ser introduzida paulatinamente, na medida em que a criança for tendo necessidade de um vocabulário mais amplo para uma comunicação ade­quada; ela não deve ser imposta e sim natural, nascida da necessidade. Os símbolos aparecerão como uma forma abreviada de registrar fatos ou como nova formulação de uma linguagem já conhecida. A representação de informações através de ilustrações, diagramas, gráficos, etc, aparece também como meio econômico e conciso de comunicar uma experiência.

No processo de introdução de um símbolo novo, o professor pode incentivar seus alunos a criarem símbolos que economizem palavras. Por exemplo, a criança, através de experiências, conclui que conjuntos com cinco elementos têm mais elementos do que conjuntos com três elemen­tos. Ela poderá comunicar essa descoberta escrevendo: "cinco é maior que três" ou ainda "5 é maior que 3". Após várias experiências seme­lhantes, em que o aluno registra no papel suas conclusões, o professor pode sugerir que ele crie um símbolo, para não ter que repetir tantas vezes a relação "é maior que", em seu registro. Será interessante observar a criatividade e o empenho com o qual se dedicará a tal tarefa. Caso não surja nada parecido com o símbolo matemático usual " > " , o professor introduzirá o mesmo ou, quando for possível, através de pequenas trans­formações, o símbolo matemático surgirá. Assim os alunos passarão a registrar concisamente "5 > 3".

Atividades para

Introdução do Conceito

de Símbolo

Esta atividade tem como objetivo levar a criança a perceber que um símbolo representa um objeto, uma ideia ou uma atividade. Lembre-se que, na aquisição de uma nova linguagem, é importante apresentar às crianças atividades que sirvam como suporte à introdução, compreensão e utilização dos símbolos matemáticos.

Desenvolvimento da atividade: Divida a turma em grupo e dê a cada grupo algumas das figuras abaixo para que tentem dizer o que cada uma delas representa ou significa. Após algum tempo, solicite que um represen­tante de cada grupo explique, mostrando para a turma os símbolos que conhece.

Identificar símbolos de uso cotidiano facilita o aprendi­zado dos símbolos matemá­ticos.

OBSERVAÇÕES:

• Você pode utilizar estes e/ou outros símbolos recortados de jor­nais e revistas e colados em cartões.

• Caso nenhum aluno da turma conheça um dos símbolos propos­tos, peça às crianças que perguntem aos pais ou irmãos, se conhecem, e contem aos colegas no dia seguinte.

Tais atividades têm como objetivo conseguir que o aluno compreenda e traduza o significado de gráficos e tabelas, tão importantes no mundo atual. Estas atividades conduzem também ao conceito de quantidade e ao estabelecimento de comparações. Nos primeiros gráficos, a própria cri­ança e as pessoas do mundo em que ela vive (família, escola, comunidade, nesta ordem) devem ser a fonte de dados.

A construção de gráficos pode ser feita através de perguntas tais como:

a) Como você vem para a escola?

a pé

de ônibus

de carro • • • •

b) Qual a merenda de que você mais gosta?

c) Quais as profissões das pessoas de sua família?

comerciante motorista vendedor sapateiro professor mascate

No caso de gráficos semanais, após cada aluno colocar o cartão com seu nome no quadro-de-pregas, podemos perguntar:

d) Quantos cartões sobraram? (alunos ausentes)

segunda terça quarta quinta sexta

Atividades Envolvendo

a Confecção de Gráfico

ou Tabelas

OBSERVAÇÃO:

Após a construção do gráfico (no caso dos gráficos semanais, feitos no final da semana), o professor deve estimular a capacidade de análise dos alunos, com perguntas como estas:

• Há mais crianças que vêm a pé ou que vêm de carro? • Qual a merenda preferida pela nossa turma? • Quantos alunos faltaram hoje? e ontem? • Em que dia houve mais faltas, hoje ou ontem? Quantas a mais?

SUGESTÃO DE Imagine um tema do interesse de seus alunos, que sirva de motivo ATIVIDADES p a r a , e v a n t a m e n t o de dados e construção de um gráfico. A pesquisa será

feita no ambiente da escola, família ou outros setores da comunidade a que sua turma tenha acesso.

EXPLORANDO O MUNDO

OBJETIVOS DESTA AULA

• Avaliar a importância das atividades de localização espacial e temporal para o aprendizado da Matemática.

TEXTO PARA LEITURA

As noções de tempo e espaço são aprendidas no cotidiano.

A criança traz para a escola um grande número de experiências ma­temáticas extraídas do ambiente em que vive. Sabemos, no entanto, que as informações matemáticas que a criança possui, em geral, são desor­ganizadas e pouco significativas.

Cabe ao professor — principalmente na fase inicial — a grande res­ponsabilidade de guiá-las, de forma a organizar e sistematizar seu ra­ciocínio matemático. Estes objetivos serão alcançados não só através do planejamento de situações de experiência, como também do aproveita­mento das oportunidades que surgirem na exploração do meio ambiente e nos debates em sala de aula.

Um tipo de informação matemática que comumente as crianças uti­lizam antes mesmo de ingressarem na escola, é a percepção de algumas relações entre ela e outras pessoas, entre ela e objetos, entre dois ou mais objetos e entre acontecimentos. A organização do pensamento passa, necessariamente, pela percepção destas relações, que podem ser resu­midas como: relações de espaço e de tempo. O desenvolvimento de tais relações, de forma a proporcionar sua utilização adequada, é fundamen­tal às atividades cotidianas mais elementares. Pode-se imaginar várias situações da vida diária, nas quais as localizações espacial e temporal se fazem necessárias.

A Matemática é uma estrutura de ideias relacionadas. O estabele­cimento de relações diretas e posteriormente inversas envolve um con­junto de atividades matemáticas que levam ao desenvolvimento do racio­cínio lógico. A criança deve ser levada a observar as relações existentes no mundo físico e social que a cerca, para que possa posteriormente utilizar relações puramente matemáticas como: ". .. . tem mais elementos

que . .. ." " ' . . . . é divisor de . . . . " ; " . . . . é o dobro de . . . . " . Tais re­lações exigem, além de habilidade de relacionar e do conhecimento do conteúdo, um maior poder de abstração.

As experiências iniciais realizadas pela criança, que têm como ob­jetivo levá-la a perceber e estabelecer relações, não são exclusivamente matemáticas. A criança precisa vivenciar tais relações porque elas vão surgir da observação e da ação no mundo em que ela vive, auxiliando na formação de conceitos (conceitos de Ciências, de Estudos Sociais), no enriquecimento do vocabulário e, como já dissemos, na organização do pensamento.

A importância da localização espacial para o aprendizado da Mate­mática também pode ser observada de um outro ângulo. A última fase atingida pela criança na obtenção de tais conceitos é a aquisição das relações métricas (de medida) ou euclidianas, que são a base para o aprendizado de geometria, mais especificamente das unidades de medida de comprimento e área. As relações métricas só aparecerão se as primei­ras relações espaciais tiverem sido bem desenvolvidas. Nas aulas 26, 27 e 28, veremos como são desenvolvidas tais relações.

Da mesma forma, a localização temporal, que evolui mais lentamente, deve ser muito trabalhada. É essencial que a criança vivencie a organi­zação temporal, de forma a adquirir a noção de presente, passado e futu­ro, e as unidades de medida do tempo: dia-semana-mês-ano-século/hora-minuto-segundo (ver aula 30).

Vocabulário As noções de espaço e de tempo envolvem a aquisição e a utilização correta e adequada do seguinte vocabulário:

perto longe dentro fora em cima embaixo entre ao lado

em frente antes atrás depois em torno demorado à direita rápido à esquerda começo primeiro fim último novo o próximo velho

Além do vocabulário acima, o professor deve também levar os alu­nos a relacionarem os objetos através de comparações. Essas relações, além de necessárias à vida diária, são fundamentais na classificação e ordenação de objetos que, como veremos na próxima aula, são a base da construção do número.

Este vocabulário envolve palavras como:

alto baixo maior menor

fino grosso cheio vazio

áspero liso comprido curto

Atividades É partindo do seu próprio corpo e com referência a ele que a criança Levam à d e v e t e r s u a s P r i m e i r a s experiências de localização espacial. Se, numa

que i e » o m primeira fase, ela pode fazer percurso nos quais é ela mesma, com seu Localização Espacial corpo, que se encontra embaixo da mesa, em cima da cadeira, longe da

professora, etc; numa segunda fase, ela será capaz de colocar, segundo comandos do professor, alguns objetos, como lápis, livros e cadernos em diferentes posições no espaço, como por exemplo, "dentro da pasta , "em cima da mesa".

Atividades propostas:

• Andar livremente e depois em grupo, feito um trem, na sala de aula e no pátio;

• Seguir percursos predeterminados entre os móveis da sala, ou com barreiras riscadas no chão do pátio;

• Pular de cima de um tijolo, para frente, para trás, para a direita, para a esquerda, segundo as ordens do professor ou de um colega;

• Uma criança sai da sala e a turma esconde um objeto. Através de deslocamentos e perguntas aos colegas, utilizando os termos "perto", "dentro", "em cima", "atrás", a criança que havia saído tentará localizar o objeto escondido;

• Com duas cores de giz, riscar no chão dois círculos grandes em que as crianças serão dispostas espontaneamente, ou usando um critério como: meninas num círculo e meninos no outro. Então, serão solicitadas algumas atividades como: colocar as mãos na cabeça, as do círculo azul; bater palmas, as do círculo vermelho; abaixar-se, as do círculo azul; etc. Repetir esta atividade várias vezes, mudando as crianças de cada círculo, mudando a disposição dos círculos, aumentando o número de círculos e colocando um círculo dentro do outro. No último caso, se o círculo azul estiver dentro do círculo vermelho, o professor deve dar ordens como: dar as mãos, as do circulo azul; pular, as do círculo vermelho (leve as crian­ças a observar que todas devem pular, já que as do círculo azul também estão no círculo vermelho); levantar os braços, as do círculo vermelho, que não estão no círculo azul.

• Brincar de roda, de lenço atrás, de coelhinho na toca.

Atividades O tempo dividido em horas e minutos, em passado, presente e futuro, que Levam à é um conceito muito abstrato. Para a criança, o tempo aparece com a to­

mada de consciência de que o desenrolar das suas experiências tem uma determinada duração e de que uma mesma atividade pode ser realizada em diferentes ritmos.

Localização Temporal

Para a criança, a noção de tempo está muito ligada à sua relação com a natureza.

Atividades propostas:

• Andar segundo o ritmo de palmas do professor, que deverá va­riar, indo do mais rápido ao mais lento, e vice-versa;

• limitar o andar rápido do coelho, lento da tartaruga, saltitante do pássaro, pesado e ritmado do elefante;

• O professor faz rolar uma bola e pede a uma criança que corra mais depressa, ou mais devagar, ou com a mesma velocidade qtle a bola;

• Após contar uma história pequena, na qual a sequência dos acon­tecimentos seja bem marcante, e ilustrada por gravuras ou desenhos sol­tos, misturar as ilustrações e pedir a uma criança que ordene corretamen­te, de acordo com os acontecimentos da história;

• Participar do planejamento diário das atividades; • Conversar com as crianças fazendo perguntas como: o que faze­

mos depois das refeições? E antes de merendar? Qual a melhor atividade de ontem?

Atividades que Levam à

Comparação

Para que possa relacionar objetos através de comparações, a criança deve dispor de vários materiais, que irá manusear. É claro que para uti­lizar corretamente palavras como: fino, grosso, áspero, liso, etc, a criança terá que utilizar o tato e a visão para compreender o significado de cada um destes termos. É importante lembrar que qualquer comparação esta­belecida depende dos objetos utilizados. Por exemplo, após observar o pátio da escola, um aluno estabelece que "a mangueira é mais alta que o arbusto", como vemos a seguir.

No desenho, a criança ex­pressa as comparações de tamanho que observou concre­tamente.

No entanto, outro aluno, pela mesma observação, estabelece que "o coqueiro é mais alto que a mangueira". O professor deve proporcionar experiências variadas para que o aluno observe que a comparação de­pende dos objetos. No exemplo anterior, as crianças poderão concluir que a relação "é mais alto que" pode ser utilizada para ordenar as árvores do pátio e também para formar frases como: "o coqueiro é a árvore mais alta" ou "o arbusto é a árvore mais baixa".

Atividades propostas:

• Separar em duas caixas botões pequenos e botões grandes; • Comparar dois alunos chamados a frente da sala pelo professor,

respondendo às perguntas: qual é o mais alto? e o mais baixo?; • Auxiliar na ordenação de um grupo de alunos, do mais baixo pa­

ra o mais alto; • Descrever um material, de olhos vendados, usando apenas o ta­

to; • Separar um conjunto de canetas hidrocor e pilot, por exemplo,

usando o critério "finos" de um lado e "grossos" de outro; • Coletar vários tipos de folhas e classificar segundo critérios co­

mo: estreitas e largas, compridas e curtas; • Observar e explorar todo o material disponível na sala de aula.

Lembre-se • Na aquisição de qualquer vocabulário especifico, as crianças devem utilizá-lo, inicialmente, em brincadeiras e jogos, usando seu pró­prio corpo e manuseando objetos. Atividades envolvendo representações em papel só serão utilizadas depois que a criança tiver vivenciado várias experiências concretas.

• As relações de tempo e espaço e as comparações são introdu­zidas desde o pré-escolar e vão sendo enriquecidas durante todo o 1° Grau, conforme a evolução do desenvolvimento mental da criança.

OS NÚMEROS COMO PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS

OBJETIVOS DESTA AULA

• Identificar as etapas que devem ser exploradas para a construção do número.

• Propor situações de experiências que visem à classificação, à ordenação e à comparação de quantidades.

TEXTO PARA LEITURA

A construção do número se dá lentamente. As noções incluídas neste processo são as noções de classe, ordem e comparação de quantidades, que devem ser desenvolvidas concomitantemente.

Temos que o número cardinal é uma propriedade dos conjuntos finitos, propriedade essa que envolve uma certa abstração. A noção de car­dinalidade será adquirida através de atividades nas quais os alunos pos­sam formar classes de conjuntos equivalentes, ou seja, como o mesmo número de elementos. Por exemplo, se encontrarmos três livros, três lápis, três cadernos, etc, sobre a mesa, veremos os livros, os lápis, os cadernos, mas a quantidade três é apenas percebida.

Para que essa classificação num nível mais abstrato possa ocorrer é necessário planejarmos atividades que permitam às crianças identifi­carem diferenças e semelhanças.

Atividades que

Conduzem ao Conceito de Classificação

Vejamos alguns exemplos:

• Trace dois círculos no pátio e dê ordens de forma a obter dois agrupamentos.

"Meninas num circulo e meninos no outro". "Crianças com óculos num círculo e crianças sem óculos no outro".

Você pode descobrir com a turma critérios de arrumação para outros agrupamentos, que eles próprios façam.

Utilize também pequenos objetos (carrinhos, bolinhas, pedaços de giz, etc.) e sacos plásticos transparentes. Distribua os objetos e deixe que as crianças os manipulem e façam construções à sua vontade. Proponha que as crianças arrumem os objetos de maneira que seja fácil encon­trá-los quando for necessário usá-los. Para isso, por exemplo, inicie uma arrumação, colocando dentro de cada saquinho um ou dois objetos de cada tipo e peça às crianças que continuem. Repita várias vezes a atividade com outros objetos, até que as crianças escolham, elas próprias, um cri­tério de classificação.

Depois de desenvolvidas essas primeiras noções de classificação, ofereça às crianças um material mais estruturado e rico em atributos.

Para exemplo, utilizaremos o material construído na aula 2. O mate­rial deve ser entregue às crianças (de preferência, um para cada grupo

de 5 alunos). A seguir, o professor propõe que elas separem o material em coleções da mesma forma, dizendo: "Vamos fazer montes com as peças, colocando peças da mesma forma num mesmo monte". — Repita a atividade, separando os montes por cor e por tamanho.

Esse material, depois de classificado, também pode ser arrumado em árvores lógicas, para que a criança perceba que uma peça contém mais de um atributo, como por exemplo:

• dê uma tabela a cada grupo de 4 alunos; • peça às crianças que coloquem os cartões na base da árvore; • dê uma explicação prévia às crianças de como esses cartões

devem percorrer os caminhos indicados pelas etiquetas;

O uso de materiais estrutura­dos, como este, ajuda a criança na construção do con­ceito de classificação.

• pergunte às crianças como elas irão separar os cartões na pri­meira bifurcação (os alunos deverão observar as etiquetas e separar as flores, lápis e réguas);

• repita a pergunta em relação à segunda e à terceira bifurcação, observando o tamanho e as cores das peças.

OBSERVAÇÃO

Os símbolos para indicar grande ou pequeno, devem ser convencio­nados pelos próprios alunos, os usados na tabela (X $ ) é só a título de ilustração. As últimas etiquetas devem ser pintadas de vermelho e azul e não escrita como no modelo.

Não sendo possível trabalhar com grupos de 5 alunos, por impossi­bilidade de reproduzir o material, outra alternativa é fixar a tabela no quadro-de-giz e pedir a um grupo de 5 alunos que venha à frente para trabalhar a atividade, enquanto os outros observam. Os cartões deverão ser fixados na tabela com fita adesiva.

Os símbolos podem ser usados em tabelas, com os desenhos, enquanto as crianças trabalham com os objetos ou sua ilustração em car­tões. Veja:

Esta tabela serve para identificar elementos que possuem dois ou mais atributos. Deve ser utilizada da seguinte maneira:

• Peça à criança para observar atentamente os elementos dese­nhados na tabela.

• A seguir, as crianças observam os cartões para classificá-los. Deixe que os alunos descubram que critério deve ser usado na classi­ficação, pois, observando a tabela e as peças eles devem perceber que é por forma e por tamanho.

• Depois de terem feito essas duas classificações, as crianças misturam os cartões, e você deve apanhar um; por exemplo: o que tenha um lápis e que seja grande, perguntando:

— "Como é esse cartão?" — "Qual o lugar dele na tabela?"

• Apanhe outros cartões e peça que os alunos descrevam suas características e os distribuam pela tabela, obedecendo às indicações.

Sugerimos que se usem, indiferentemente, materiais industrializados ou os fabricados pelas professoras ou, de preferência, os feitos pelos alunos, sempre que possível.

Outros tipos de atividades que levam o aluno a perceber bem essas diferenças são jogos, em que se usa esse material como se fosse uma brincadeira, em que os alunos devem colocar uma peça ao lado de outra que tenha apenas uma diferença. Por exemplo: uma flor grande e azul pode vir ao lado de um lápis grande e azul, pois a única diferença é a forma.

Essas são atividades que devem preceder à formação do conceito de número no seu aspecto de cardinalidade.

Atividades que As atividades de ordenação decorrem naturalmente, daquelas ações Conduzem a um Critério em °.ue se aguçou a percepção visual, permitindo que as crianças façam

_ • ~ comparações, estabelecendo um critério de ordenação.

Vejamos um exemplo:

Distribua aos alunos nove tiras de papelão de cores diferentes da mesma largura, mas de comprimentos diferentes.

Numa primeira etapa, distribua somente três tiras e peça às crianças que as arrumem da maior para a menor.

A seguir, ofereça uma tira intermediária e peça que seja colocada na ordem estabelecida. E assim por diante, até se esgotarem as tiras.

A partir da observação dessa última ordenação de tiras, pergunte:

— "Qual a tira maior?" — "Qual a tira menor?" — "Qual a tira maior que a azul e menor que a vermelha?" — "Qual a tira imediatamente menor que a azul?" (antecessora) — "Qual a tira imediatamente maior que a azul?" (sucessora)

Faça diversas perguntas desse tipo, usando as várias tiras. Repita a atividade acima, empregando materiais com os quais se possa

pedir às crianças arrumações do tipo: do mais claro para o mais escuro, do mais comprido para o mais curto, do mais áspero para o mais liso.

Essas atividades podem ser vividas pelas próprias crianças, com­parando o tamanho de uma criança com o de outra e ordenando. Escolha crianças que tenham uma diferença bem acentuada.

Podem ser desenvolvidas outras atividades, utilizando as peças estru­turadas do material descrito ou outro material estruturado qualquer. Ar­rume as peças usando um critério de ordenação como, por exemplo: uma peça grande, uma peça pequena, uma peça grande, etc.

Iniciada a fila, peça a uma criança que a continue, observando o critério de ordenação.

'Peça a um aluno que pense em outro critério de ordenação e comece outra fila e peça a um colega para continuar.

Atividades que

Preparam para a

Aquisição dos Conceitos

de Igua ldade e

Desigualdade de

Cardinais

Concomitantemente ao trabalho de classificação e ordenação de­vemos desenvolver atividades envolvendo correspondência um a um entre os elementos de dois conjuntos, pois elas conduzem à comparação de quantidades. Vejamos, por exemplo:

Distribua para cada aluno 5 lápis e 5 borrachas de colocar no lápis. Peça que os alunos retirem e coloquem as borrachas nos lápis repetidas vezes. Em seguida, pergunte:

— "Há mais lápis do que borrachas?" — "Há menos lápis do que borrachas?"

Discuta sobre a igualdade do número de lápis e do número de bor­rachas. Repita a atividade variando o material, como por exemplo: pires e xícaras, os próprios alunos e suas carteiras (quando não faltar nin­guém), etc.

O conceito de desigualdade de cardinais também deve ser traba­lhado. Exemplo: peça que todos os meninos se levantem e formem uma fila. Em seguida, peça às meninas que façam o mesmo. Formadas as filas, peça que cada menino dê a mão a uma menina. Pergunte:

— "Algum menino ficou sozinho?" — "Alguma menina ficou sozinha?" — "Há mais meninas que meninos?" — "Há mais meninos que meninas?"

Repita a atividade, dando montinhos de pedras, para que as crianças as coloquem em correspondência termo a termo, sendo um de pedras grandes e outro de pedras pequenas. O montinho de pedras grandes deve ter menos pedras que o montinho de pedras pequenas.

Observe se as crianças percebem que a quantidade independe do tamanho dos objetos. E faça uma outra atividade: distribua 5 chapinhas e 5 bolinhas para cada grupo de 5 alunos, colocando em correspondência, termo a termo. Pergunte:

— "Hâ mais chapinhas ou bolinhas?" Se a resposta for correta, amontoe as chapinhas e pergunte: — "E agora, há mais chapinhas ou bolinhas?"

Deixe as crianças concluírem a resposta, pois elas só estarão pron­tas para aprenderem números quando descobrirem que a quantidade independe da forma em que os elementos estão arrumados.

Atividades para Vejamos agora onde a criança utilizará toda essa sua percepção que Classificar Comparar e f o i a9uçada. Exemplo: distribua cartões onde estão desenhados os con-

_ . ' _ . i l juntos com 1, 2, 3, 4, 5 objetos diferentes, sendo no mínimo 5 cartões Ordenar Quantidades d e c a d a

Brincando com cartões sim­ples como estes, as crianças constroem o conceito de nú­mero.

Peça que arrume os cartões de acordo com seus próprios critérios. A arrumação na qual o atributo "ter o mesmo número de elementos" pode demorar a aparecer, mas a professora deve esperar que as crianças des­cubram sozinhas. Quando isso acontecer, peça que ordenem os cartões, a partir do que tem menos elementos até o que tem mais. Faça etiquetas com os numerais:

E coloque em cada montinho formado, respectivamente. Outra atividade que pode ser desenvolvida é aquela na qual utili­

zamos, por exemplo, 15 chapinhas e uma folha de papel, dividida con­forme o modelo abaixo:

• Peça que coloquem uma chapinha na primeira divisão; a seguir, peça que coloquem outra chapinha na segunda divisão.

Pergunte:

— "Onde há mais objetos?" — "Quantos objetos há em cada conjunto?"

• Peça então que coloquem outra chapinha dentro da segunda divisão e pergunte:

— "Onde há mais chapinhas?" — "Quantas a mais?"

• Peça que coloquem 2 chapinhas na terceira divisão; peça para compararem o segundo conjunto com o terceiro e repitam as perguntas; diga que coloquem mais uma chapinha no terceiro conjunto, e repita as duas segundas perguntas. Proceda da mesma maneira até se esgotarem as chapinhas.

• Repita as duas últimas atividades, ampliando o material, para construir os números até 9.

Lembre-se • As noções de classificação, ordenação, seriação e comparação de quantidades são noções que embasam o conceito de número e, atra­vés delas, os alunos percebem que o número é uma propriedade dos con­juntos.

• Por isso, sugerimos que você invente outras atividades, diferentes das que já propusemos nesta aula, e que envolvam essas noções.

SISTEMA DE NUMERAÇÃO

OBJETIVOS DESTA AULA

• Apresentar suscintamente a evolução histórica do sistema de numeração.

• Analisar os princípios básicos de uma notação posicionai.

TEXTO PARA LEITURA

Exatamente quando foram inventados os primeiros números, ninguém sabe; sabe-se, porém, que povos pré-históricos, antes mesmo de pos­suírem uma linguagem escrita, contavam e grafavam o resultado de suas contagens, ou então grafavam o próprio ato da contagem.

Na construção dos primeiros sistemas de numeração, os homens passaram por várias dificuldades, que nem sempre foram contornadas ou solucionadas com eficiência imediata. Assim, o sistema de numeração que usamos hoje é o resultado de um longo evoluir de notações de nume­rações diferentes.

Histórico da Evolução

do Sistema de Numeração

Já dissemos que os povos pré-históricos grafavam suas contagens, e muitos achados arqueológicos confirmam esse fato. Segundo o arqueó­logo Karl Assalon, um osso de animal pré-histórico com cerca de 30.000 anos, encontrado na Tchecoslováquia, e que possuía 55 traços dispostos em grupos de 5, leva-nos a pensar que alguma coisa estava sendo con­tada, e que cada risco representava uma unidade.

Mantida essa hipótese, estariam esses homens utilizando também agrupamentos de cinco em cinco, para facilitar a contagem?

Os Egípcios

Os egípcios, 3.000 anos A. C, possuíam cidades, templos e rebanhos, e se empenhavam em conquistar novas terras. Por isso, tornou-se impor­tante para eles haver registros, marcas que mostrassem a quantidade de animais de um rebanho, por exemplo, ou o número de prisioneiros, e as­sim por diante.

Os egípcios podiam fazer uma marca diferente para cada quantidade, mas isso exigiria lembrar milhares de marcas. Eles usavam, então, um sistema de numeração em base dez. Assim: representavam o 1 por J , o 2 por II, o 3 por III, e assim por diante, até nove unidades. Inventaram um novo símbolo para o dez, usando o () . Como não tinham um sistema posicionai, ou seja, no seu sistema a ordem de colocação dos símbolos não alterava o valor destes, tanto fazia escrever o onze como f ) I ou IO • Não usavam mais do que nove símbolos. Assim, para escrever o cem, os egípcios usavam uma espécie de caracol que se parece com o nove Gj) , o 1.000 por 5 , uma flor de lótus estilizada, o 10.000 por £^\ um dedo dobrado, 100.000 por C\ um girino, 1.000.000 por X . u™ homem com

os braços para cima, parecendo maravilhado com quantidade tão gráfj/te^ Os egípcios não usavam o zero, nem esse parecia lhes fazer fart jg

já que não usavam notação posicionai.

Os Babilónicos e Maias

Os babilónicos, 1.900 A. O, utilizavam um sistema de numeração mis­to de base dez e base sessenta, numa notação não perfeita. Também faltava-lhe o zero. Usavam 50 dígitos diferentes, pois a contagem era de sessenta em sessenta; e usavam somente dois símbolos, o ^ para unidades e o^l para dezenas. Vejamos como os babilónicos represen­tavam os números menores que 60.

Sendo um sistema misto de base dez e base sessenta, como já dis­semos, sua imperfeição aparecia quando completava 60. Usavam o mesmo símbolo do V para representar os sessenta, e Y V Pa r a representar duas vezes sessenta; etc. Logo, o f tanto podia representar o 1 como o 60, o V ^ j 7 ou duas vezes sessenta, V ^ y o 3, ou três vezes 60, o ^. ou dez vezes 60, o que causava uma certa ambiguidade. Posterior­mente, usaram um símbolo para o zero, mas só entre dois dígitos e nunca no final do número.

Os maias, povo que vivia ao sul do México, antes da chegada dos europeus, usavam um sistema baseado em vinte. Tinham uma notação posicionai e utilizavam o zero.

Os Gregos

Já os gregos usavam sucessivamente dois sistemas diferentes de numeração. No primeiro, usavam um sistema cuja representação era:

1 por I 2 por II

inicial maiúscula da palavra grega "penta", cuja tradução é cinco. inicial maiúscula de "deca", cuja tradução é dez. os dois símbolos juntos indicavam 5 x 10. inicial de "hekaton", cuja tradução

é cem. inicial de "Kilice", cuja tradução é mil. inicial de "myrion". 5 x 1.000.

No outro sistema, posteriormente, usavam somente as letras do seu alfabeto:

— a representando 1 — (3 representando 2, e assim por diante

Os gregos acrescentavam certos sinais às letras para representar números grandes, o que envolvia certos princípios multiplicativos.

Os Romanos

Os romanos, por sua vez, também usaram letras tiradas de seu alfa­beto, para representar os números. É muito mais fácil identificá-los, hoje, pois seus símbolos nos são familiares e são amplamente conhecidos em nossa época. Mantendo a tradição, continuamos a usá-los em ocasiões especiais, por exemplo: para indicar séculos, para designações nominais dos Papas, para capítulos de livros, sendo usados inclusive em alguns relógios. Era assim que os romanos representavam os números:

1 — I 2 — Il 3 — III 4 — IV 5 — V 6 — VI

10 — X

Observe que os romanos não possuíam o zero, mas já tinham um sistema posicionai. Observando o IV e o VI, verificamos que no quatro o I vem antes do V, o que diminui seu valor de uma unidade, e no seis o I vem depois do V, o que aumenta seu valor de uma unidade.

Para efetuar operações neste sistema era tão difícil que os romanos utilizavam o ábaco.

Até hoje, em alguns lugares, usa-se o ábaco para realizar operações matemáticas.

Os Hindus

Vem-nos da índia o sistema de numeração hindu-arábico, usado ho­je por quase todos os povos do ocidente. Os números hindus mais antigos datam do século III A. C. Era um sistema de numeração que sa asseme­lhava ao dos gregos: não usavam a notação posicionai, nem usavam o zero. Os árabes eram conquistadores e subjugaram todo o norte da África, fundando um império que se estendia da índia à Espanha. Mas além de conquistadores eram divulgadores das ciências e das artes. Sendo assim, os conhecimentos adquiridos através de suas conquistas eram divulgados e chegavam até a Europa Ocidental, e de lá até a América.

O registro do sistema de numeração hindu fez-se no iivro intitulado "Al-Jabr Walmuqbala", escrito por "Mohamed ibn Musa Al-Kawarizmi". De Al-Jabr vem-nos a palavra "Álgebra", e de Al-Kawarizmi vem "algarismo" e "algoritmo".

O conjunto de símbolos desenvolvidos pelos hindus são os usados até hoje, porém as formas não são exatamente as mesmas que os hindus usavam. Dos hindus obtivemos os seguintes símbolos:

1 — um 2 — dois 3 — três 4 — quatro 5 — cinco 6 — seis 7 — sete 8 — oito 9 — nove

No início, os hindus inventaram novos símbolos para números supe­riores a nove. Tinham um símbolo diferente para dez, vinte, etc. Da mesma maneira para cem, duzentos, trezentos e não usavam o zero. Só mais tarde é que alguém deve ter percebido que não havia necessidade de criar esses números superiores a nove: bastava usar os nove símbolos e um sistema posicionai. Mas a generalização desse sistema — ou a melhor forma de escrevê-lo — isso só apareceu no século XVII.

Os Princípios Básicos

da Notação Posicionai

Examinando o sistema de numeração decimal, vemos que o signifi­cado de um símbolo depende da posição em que ele está. Desta maneira, os nove numerais hindus seriam suficientes. Observe bem. Imagine que você tenha o número 354. O símbolo à direita significa quatro unidades ou quatro. O número à sua esquerda, cinco dezenas, ou cinco grupos de dez unidades ou cinquenta. O outro número à esquerda do cinco, três centenas ou 3 grupos formados cada um por um grupo de dez dezenas, ou seja, trezentas unidades. O quatro, o cinquenta e o trezentos somam trezentos e cinquenta e quatro, e isto é o que o 354 representa.

Agora suponhamos que eu quisesse escrever o número duzentos e três. Escrevendo 23, eu estaria escrevendo vinte e três. O número que queremos escrever tem 2 centenas, não tem dezenas e tem 3 unidades. Usamos então o símbolo que representa o "nada". Logo, escrevemos 203.

Usando os nove símbolos hindus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, o símbolo para "nada", 0, em um sistema posicionai, qualquer número pode ser facilmente escrito.

Trabalhando com

Mater ia l Concreto Vimos que o processo para aquisição de um sistema de numeração

foi longo e trabalhoso. É exigir muito das crianças que, só através da re­presentação simbólica dos números, ela consiga entender e analisar a necessidade de um sistema posicionai. Após a construção do conceito dos números, a criança relaciona os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . 9 com as respectivas quantidades que eles representam e consegue ordenar essas quantidades, observando que o sucessor de um número tem sempre uma unidade a mais. A partir desse momento, faz-se necessário um longo trabalho com material de contagem (palitos, pedrinhas, chapinhas, elásti­cos, caixinhas de vários tamanhos), com o qual ela possa fazer seus agrupamentos e identificar os diferentes valores que um algarismo pode ter, dependendo da posição que ele ocupa nesse número.

Atividades

Dê uma quantidade de palitos ou chapinhas maior que nove, e peça às crianças que escrevam o símbolo que representa essa quantidade. Se a quantidade for treze, eles podem até escrever 13, mas essa representa­ção decorre de observações informais do dia a dia. Você pode perguntar então:

— "Por que esse número tem dois símbolos?" — "O que quer dizer o um à esquerda do três?"

As respostas não devem aparecer; os alunos não podem fazê-los, já que nem têm conhecimento para isso. Mas a situação-problema está lançada, e cabe ao professor auxiliá-los na descoberta. Distribua então vários palitos (inicialmente menos que 100) e elásticos para cada criança e peça que, cada vez que ela contar dez, ela amarre essa quantidade com um elástico. Faça diversas situações dessa, aumentando e diminuindo a quantidade. Após cada contagem, a criança deverá representar o que fez com desenho e anotar o resultado numa tabela. Assim:

• Faça perguntas para verificar a compreensão do processo de agrupar quantidades:

— "Para fazer um amarradinho, quantos palitos devo ter?" — "Quantos palitos no máximo podem ficar sem amarrar?" — "Se tenho dez palitos, que devo fazer com eles?"

Após fazer várias vezes essas contagens, repita as perguntas. Depois escreva uma tabela no quadro, como esta:

• Peça que eles arrumem a quantidade indicada. Repita diversas vezes essa atividade, inicialmente com os palitos e depois através de desenhos. Por exemplo:

Em outra etapa, você pode mostrar as etiquetas 16 l e | 61 l e perguntar:

A Ordenação

— "Elas representam a mesma quantidade?" — "Represente o 16 com desenho" — "Represente agora o 61 com desenho."

Solicite às crianças que observem a diferença existente entre esses dois agrupamentos. Depois de muitas atividades como as descritas acima, volte à pergunta que deu início a todo esse processo. Apresente o número 13 e pergunte outra vez:

— "Por que esse número tem dois símbolos?". — "O que quer dizer o um na frente do três?"

As respostas a essas duas perguntas já devem aparecer no início, mas com dificuldade, pois a verbalização nessa idade é difícil.

Antes de iniciarmos a ordenação das quantidades, devemos compa­rá-las, pois só através da comparação entre as quantidades de elementos dos conjuntos, é que o aluno será capaz de ordenar.

Para isso, usamos as relações: " . . . há mais elementos que . . . " , "há menos elementos que . . . " , há tantos elementos quanto . . . " , . . . "qual vem antes de . . .", . . . "qual vem depois de . . . " , " . . . qual vem imediatamente antes . . . " , eas perguntas, "quantos a mais", "quantos a menos" e tc . . .

Vencida essa primeira etapa, é chegado o momento de ordenar esses números. Distribua uma folha de papel mimeografada com desenhos, como o modelo abaixo; os alunos deverão completar com números ou desenhos, ou então com os dois.

Repita essa atividade partindo do 20 ou do 30, em ordem crescente e decrescente, de 10 em 10, variando. Por processo análogo, faça os agrupamentos com quantidades maiores que 99. Os alunos devem perce­ber que, quando completam dez grupos de dez, eles devem tornar a amar­rar e formar um grupão.

Quando houver necessidade de uma quantidade muito grande de palitos, discuta com as crianças a troca de grupos e grupões por palitos coloridos. Assim:

1 palito natural vale 1 unidade. 1 palito vermelho vale 10 palitos naturais, logo, 10 unidades. 1 palito azul vale 10 vermelhos, ou seja, 100 naturais. Portanto, 100

unidades.

Assim, para escrever 984 bastariam 9 palitos azuis, 8 vermelhos e 4 da cor natural, ao invés de 984 palitos naturais.

OBSERVAÇÃO:

As cores descritas acima devem ser discutidas com as crianças: elas resolvem qual a cor que representará a dezena, a centena, e assim por diante.

PARA VOCÊ O Sistema de numeração decimal, que você conhece, levou séculos CARPD M A K Pa r a s e r c o n s t r u l c ' 0 - É, portanto, necessário que a criança vivencie de bAbfcK m A l b diferentes maneiras esse aprendizado, utilizando também outros materiais,

que tenham a mesma estrutura dos palitos.

a) o material montessoriano de contagem, por exemplo, consiste em cubos e barras de madeira, de modo que:

dade. um cubo pequeno, de 1 cm x 1 cm x 1 cm, representa a uni-

uma barra, com 10 cubos unidos, representa 1 dezena.

uma chapa com 100 cubos, unidos de 10 em 10, representa a centena.

o milhar. um cubo grande, com 1.000 cubos, unidos de 10 em 10, representa

b) Se você encontrar dificuldade em conseguir os cubos e barras de madeira, use cartões em que os quadradinhos são desenhados, for­mando as unidades, dezenas e centenas.

c) Podemos também construir cordões de contas ou sementes. As­sim:

• uma conta representa uma unidade.

• uma argola com 10 contas representa uma dezena.

• uma argola maior, com 10 argolas menores, representa uma cen­tena.

LembrG-Se • A cada etapa do estudo do nosso sistema de numeração, ou seja:

1.° — construção do número (O a 9) 2° — construção da dezena (10 a 99)

• 3.° — construção da centena (100 a 999) etc..., o aluno deve viven­ciar atividades envolvendo leitura, escrita, comparação e ordenação. Deve ainda operar com os números já conhecidos, aprofundando o conceito das operações, paralelamente ao enriquecimento do sistema de nume­ração.

PREPARANDO PARA A ADIÇÃO E A SUBTRAÇÃO I

OBJETIVOS • Propor atividades que favoreçam a conceituação de adição e DESTA AULA subtração, apresentando uma como operação inversa da outra.

TEXTO PARA

LEITURA

A conceituação da operação de adição serve de base para boa parte de aprendizagens futuras em Matemática. A criança deve passar por várias experiências concretas envolvendo o conceito da adição, para que ela possa interiorizá-lo e transferi-lo na aprendizagem do algoritmo, que vem a ser o mecanismo de cálculo. Ao realizar o algoritmo, a criança esque­matiza a adição no plano abstrato e em situações-problema.

Quanto à conceituação da operação de subtração, esta é feita para­lelamente, já que em atividades concretas a exploração dos dois tipos de conceitos é muito natural. Além disso, não podemos deixar escapar a oportunidade que o aluno tem de ver, na prática, que a subtração e a adição são operações inversas. Por exemplo, quando reúne conjuntos para desenvolver o significado da adição, a criança sente que pode tam­bém separá-los. Assim, ela vê que, se 4 + 1 := 5, logo 5 — 1 = 4 .

Tanto o sucesso como o fracasso, no inicio do trabalho com expe­riências de adição e subtração, vão refletir-se em toda a aprendizagem futura da Matemática. Dos conceitos básicos destas operações dependem outras aprendizagens, tais como: a conceituação da multiplicação como adição de parcelas iguais; a conceituação da divisão como subtrações sucessivas; o algoritmo da multiplicação, quando se adicionam os pro­dutos parciais, para obter o produto total; o algoritmo da divisão, quando usamos a adição, para verificar a exatidão da subtração e vice-versa.

A criança já adquire experiências de adição quando desenvolve o conceito de número. Verifica, por exemplo, que pode arrumar cinco palitos como "quatro e um" ou "três e dois". Essas experiências são renovadas e enriquecidas, para que a criança possa registrá-las mais tarde, em lin­guagem matemática, como: 4 + 1 = 5 e 3 + 2 = 5. O professor terá de oferecer inúmeras oportunidades concretas para que a criança comece a exprimir experiências em linguagem matemática. Assim, quando ela escreve 4 + 3 = 7, essa ação deve refletir uma experiência e não uma simples informação transmitida pelo professor.

A adição corresponde sempre a dois tipos de ação: juntar (ou reunir) ou então acrescentar, enquanto a subtração corresponde às ações de: retirar, comparar ou completar. É muito importante que as crianças viven-ciem experiências envolvendo todos esses tipos de ação. A dificuldade que os alunos sentem na resolução de problemas, evidenciada pela per­gunta "que conta devo fazer?", é causada, principalmente, pela falta de experiências concretas variadas.

Vejamos alguns problemas, comumente propostos pelos professores, que exemplificam os diferentes tipos de ação citados.

Juntar

• Sobre a mesa há 5 livros e no armário há mais 2. Reunindo todos os livros numa só prateleira, quantos livros teremos lá?

Acrescentar

• Há 6 alunos na janela. Se chegarem mais 3, quantos alunos fica­rão na janela?

Retirar

• Quantos alunos estudam nesta turma? ( ) Se faltassem 4 alunos, quantos ficariam?

Comparar

• João tem 7 anos e Maria 5 anos. Quantos anos João tem a mais que Maria?

Completar

• Preciso descascar 9 laranjas. Já descasquei 5. Quantas laranjas preciso ainda descascar para completar o trabalho?

Note que, se o aluno não tiver tido oportunidade de realizar várias atividades, envolvendo cada um dos tipos de ação, quando lhe for apre­sentado um problema que esteja relacionado com uma ação diferente daquela com a qual trabalhou, a dificuldade na determinação da operação a realizar será muito natural.

Utilize materiais concretos como chapinhas, palitos, botões, grãos e pedrinhas e uma folha de papel para cada aluno, onde estão desenhados três círculos de cores diferentes (azul, vermelho e verde, por exemplo). Peça às crianças que coloquem no círculo vermelho 3 lápis e no círculo azul, 2. Feito isto, peça que juntem, no círculo verde, os dois conjuntos de lápis e pergunte: "quantos lápis estão reunidos no círculo verde?".

Repita essa atividade várias vezes, variando a quantidade de objetos e a forma de apresentação; por exemplo, utilizando caixas ao invés de ' círculos ou gravuras no flanelógrafo.

Usando materiais concretos como lápis, por exemplo, a criança brinca de juntar ele­mentos de diferentes conjun­tos.

o professor pode aproveitar esse gosto, para criar jogos que envolvam os conceitos a serem trabalhados. Veja este outro exemplo, batizado de "jogo de esconder".

Distribua 9 objetos do mesmo tipo para cada dupla de alunos. Diga às crianças que o jogo consiste nas seguintes regras:

Atividades que

Envolvem a

Ação de Juntar

É bastante comum que as crianças gostem de atividades lúdicas, e

a) Um aluno apresenta ao seu colega dois conjuntos separados de fichas (ou o objeto que estiverem utilizando);

b) Depois que o colega observar, junta as fichas e cobre-as com uma folha de papel;

c) O aluno que joga deve dizer o total de fichas que ficou embaixo da folha;

d) Levantam então a folha e conferem o resultado. Para cada resul­tado correto será marcado um ponto;

e) A turma faz 10 jogadas, revezando sempre o aluno jogador. De­pois contam-se os pontos para determinar o vencedor da partida.

Atividades que

Envolvem a

Ação de Acrescentar

Aproveite todas as situações que ocorram na sala de aula. Digamos que três alunos estejam trabalhando na pintura e mais dois alunos se reúnam aos primeiros; registre esse fato e pergunte: "quantos estão pin­tando agora?"

Além de registrar situações espontâneas, o professor pode propor atividades utilizando material concreto. Pode utilizar uma caixa para cada aluno ou grupo de alunos (no máximo, 4) e alguns objetos simples como pedrfnhas ou conchinhas. Por exemplo: peça que coloquem 4 pedrinhas dentro da caixa e, a seguir, que acrescentem mais 2 pedrinhas. Pergunte quantas pedrinhas existem na caixa. Repita essa atividade, variando as quantidades, o material utilizado e a forma de apresentação.

Outra forma interessante de trabalhar é contar histórias, usando fla-nelogravuras. Por exemplo: "Havia 5 patinhos no lago". Peça que um aluno venha à frente e prenda os cinco patinhos no flanelógrafo, de forma que as outras crianças acompanhem a tarefa. Continue contando: "Che­garam mais dois patinhos". Peça, então, que o aluno represente a história no flanelógrafo. Pergunte então, no final: "quantos patinhos estão agora no lago?"

A criança participa ativamente da construção do conceito da adição.

Atividades que

Envolvem a

Ação de Retirar

Usando o mesmo material que em atividades anteriores, proponha experiências como: "Coloque 5 borrachas dentro da caixa"; depois, "re­tire 3" e "verifique quantas ficaram na caixa".

Forme, na frente da turma, uma fila de crianças (até 9). Peça a uma criança, que não pertence à fila, que observe a quantidade de crianças da fila e depois vire de costas. Sem falar, retire alguns alunos da fila, diga à criança de costas que se vire e pergunte:

— "Quantos alunos havia na fila?" — "Quantos alunos ainda ficaram?" — "Quantos saíram?"

Repita a atividade mudando o número de alunos da fila.

Atividades que

Envolvem a Ação de Comparar

A situação de comparação é muito comum no dia-a-dia, e a criança deve compreender POR QUE a subtração é a operação que leva ao resul­tado correto. Isso, à primeira vista, não é muito natural.

A ação de comparar não é do mesmo tipo que a ação de retirar estu­dada antes. Na ação de retirar, considerando um conjunto dado, um sub­conjunto era retirado para encontrar-se o resto. No entanto, numa ação comparativa como "Marcos tem 5 lápis e 2 canetas. Quantos lápis ele tem a mais do que canetas?", o conjunto de 2 canetas não é subconjunto do conjunto de 5 lápis. É claro que 2 canetas não são subtraídas de 5 lápis. Surge, então, a seguinte questão: "Que método de manipulação de objetos conduzirá a criança a relacionar a subtração com ações compa­rativas?".

Na aula 5 deste livro, estudamos atividades que preparam para a aqui­sição do conceito de desigualdade de cardinais, e lá está a resposta para nossa pergunta. É através do emparelhamento de objetos que a criança fará suas primeiras comparações. Colocando elementos de dois conjuntos, lado a lado, até que todos os elementos de um dos conjuntos tenham sido utilizados, a criança verá que, separando ou retirando os elementos do conjunto maior, que tiveram elementos correspondentes no conjunto me­nor, ela estará determinando o número de elementos do resto.

A criança emparelha objetos e compara quantidades, apren­dendo o conceito da subtra­ção.

Desta forma, estaremos subtraindo elementos de um mesmo conjunto. Do total de 5 lápis (conjunto maior), do exemplo anterior, retiramos 2 lápis, que foram emparelhados com as 2 canetas. Sobraram 3 lápis. Este resul­tado diz "quantos a mais" há no conjunto maior. Vemos, então, que ativi­dades de fazer correspondência um-a-um servem para determinar quantos elementos do conjunto maior devem ser subtraídos, porque tiveram ele­mentos correspondentes no conjunto menor.

Utilize materiais diversos e proporcione muitas atividades de empa­relhar objetos. Somente quando você perceber que a relação da ação de comparação com a subtração foi compreendida e está sendo correta­mente utilizada, é que poderá partir para generalizações trabalhando com comparações nas quais os alunos não possam dispor os elementos dos dois conjuntos lado a lado, como por exemplo a comparação de conjuntos com uma grande quantidade de elementos, como o número de habitantes de dois Estados.

Atividades que

Envolvem a

Ação de Completar

Para a criança, a utilização da subtração em situações de completar é ainda mais difícil. Quando precisamos descobrir quantos elementos faltam para completar um conjunto de objetos, a ação de completar está intimamente relacionada com a ação de acrescentar. No entanto, a opera­ção usada é a subtração, e as crianças devem ser ajudadas a compreender POR QUE se usa a subtração para resolver esse tipo de situação aditiva.

Quando o problema é resolvido concretamente, pode-se determinar o número de objetos procurados, acrescentando-os um-a-um, até obter-se

a quantidade necessária. Tais atividades envolvem, inicialmente, o empa­relhamento dos objetos, como fizemos na comparação, substituindo a pergunta "quantos a mais" por "quantos mais são necessários".

Aqui, para compreender que a subtração resolve esse tipo de situa­ção-problema, o aluno deve ser levado a visualizar a quantidade total necessária; ele inclui o que já tem, e imagina a retirada desse grupo da quantidade total. Separando do total o conjunto de objetos disponíveis, o aluno verá por que subtrai para encontrar a resposta.

Além de atividades envolvendo manipulação de materiais, em que o aluno, após o emparelhamento, lança mão de mais objetos para que os conjuntos comparados tenham a mesma quantidade de elementos, suge­rimos a seguir algumas outras:

• Coloque no flanelógrafo 2 conjuntos de figuras, sendo que em um dos conjuntos faltam algumas figuras que estão no outro.

• Peça a um aluno que complete o segundo conjunto, respondendo à questão: "Quantas figuras você precisou colocar para que as quanti­dades ficassem iguais?".

No flanelógrafo, o aluno com­pleta conjuntos de figuras.

A ação de completar pode ser explorada em atividades nas quais os alunos tenham que completar uma tarefa já iniciada. Podemos utilizar, para isto, folhas mimeografadas com desenhos, para colorir ou completar: Veja:

— "Quantas bolas estão desenhadas?" — "Quantas estão pintadas?" — "Quantas faltam pintar?" — "Pinte as bolas que ainda faltam pintar".

Maria tem 4 vasos.

— "Quantos estão plantados?" — "Quantos estão vazios?" — "Complete o trabalho de Maria, desenhando flores nos vasos

vazios."

Os comandos dos exercícios acima podem ser apresentados oral­mente e o professor acompanha as respostas dos alunos. Várias atividades deste tipo devem ser propostas.

Lembre-se • Esse momento — de preparar a criança para a adição e a subtra­ção — é de fundamental importância. Todas essas atividades aqui propos­tas devem ser vivenciadas mesmo, concretamente, pela criança, até que você perceba que ela está compreendendo realmente os conceitos das operações. Então você verá como ela vai sentir-se segura e como tudo isso vai facilitar o aprendizado da Matemática, nos estágios seguintes.

PREPARANDO PARA A ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO II

OBJETIVOS DESTA AULA

• Identificar a importância da apreensão dos fatos básicos da adi­ção e da subtração, na preparação do aprendizado dessas operações.

• Propor atividades de manipulação concreta para a compreensão das propriedades da adição e da subtração.

TEXTO PARA LEITURA

Na aula anterior apresentamos um conjunto de atividades cujo obje­tivo principal era a compreensão dos conceitos da adição e da subtração, pelas crianças. Realizando atividades como as propostas, ligadas às ações de juntar, acrescentar, retirar, comparar e completar, os alunos estarão aprendendo, simultaneamente, os fatos básicos dessas duas operações.

Mas o que é fato básico?

Quando numa operação empregamos números de um só algarismo, estamos diante de um fato básico. Em outras palavras, os fatos básicos são os cálculos de uma determinada operação que se devem fazer men­talmente, sem o auxílio do algoritmo.

A ordem de apresentação dos fatos básicos é muito importante. De maneira geral, aconselha-se que, inicialmente, a criança estude os fatos com somas e minuendos até 9, trabalhando com um total de cada vez. Por exemplo, a criança estuda todos os fatos da adição de soma 5, re­gistrando as seguintes experiências: 1 +4 = 5, 2 + 3 = 5, 3 + 2 = 5, 4 + 1 =5 — e fatos da subtração com minuendo 5, ou seja, 5 — 1 = 4 , 5 — 2 = 3, 5 — 3 = 2, 5 — 4 = 1. Estes fatos são aprendidos como um conjunto de fatos relacionados; isto é, quando a criança aprende que 1 +4 = 5, aprende também que 5 — 4 = 1.

Atividades que

Levam à Decomposição

de Números

Usando a Adição

Para que os alunos construam os fatos básicos da adição, você deve realizar com eles, além das atividades envolvendo as ações de juntar e acrescentar, outras atividades, que levam à decomposição de números, usando a adição. São exercícios que estão, também, ligados diretamente à construção do conceito de número. Veja um exemplo:

Forme na frente da turma uma fila com 7 crianças, por exemplo. Usando uma vassoura, peça às crianças que apontem as diferentes ma­neiras de a vassoura "furar a fila".

As crianças brincam e apren­dem.

No quadro, desenha-se a tabela abaixo. E, à medida que cada so­lução é apontada pelas crianças, estas vão sendo registradas.

Antes da vassoura

3

2

Depois da vassoura

4

5

É necessário indicar o início da fila, para poder usar as expressões "antes da vassoura" e "depois da vassoura".

Conte histórias e utilize material concreto para que os alunos, mani-pulando-os, observem que uma mesma quantidade pode ser arrumada de várias maneiras. Estas atividades, como a anterior, levam às várias representações de uma quantidade, usando a adição, ou seja, levam à decomposição de um número.

Apresentamos uma história que serve como exemplo para o professor utilizar e criar várias outras semelhantes que, numa primeira fase, serão apresentadas oralmente. Este tipo de atividade é também uma preparação para a resolução de problemas. Após a criança dominar o conceito da operação e seus fatos básicos e quando puder ler e interpretar pequenos textos, podemos propor-lhe as mesmas histórias por escrito. Veja:

"João ganhou 6 bolas de gude e tem 2 bolsos para guardá-las. Mos­tre as várias maneiras que ele tem de guardar as 6 bolas nos bolsos".

O aluno representa as diferentes decomposições, usando material concreto, e registra suas experiências num quadro, que pode ser apre­sentado em folha mimeografada.

O registro das experiências concretas é etapa importante na aprendizagem.

Atividades para

Introduzir os

Fatos Básicos

da Subtração

Utilizando os dedos da mão, podemos introduzir os fatos básicos da subtração com minuendo 5. Podemos propor uma brincadeira como esta, a seguir, que está diretamente relacionada com a ação de retirar, vista na aula 7.

Minha mão tem dedos.

Escondendo 1, ficam dedos.

Escondendo 2, ficam dedos.

Escondendo 4, fica

Escondendo 3, ficam

dedo.

dedos.

O professor poderá ir registrando, com o auxílio das crianças, no quadro-de-giz:

Da mesma forma, podemos introduzir os fatos básicos de minuendo igual a 10, utilizando as duas mãos.

Normalmente, é um pouco mais tarde — quando a criança já assi­milou bem a primeira etapa — que se desenvolve o estudo dos fatos com somas e minuendos até 18. O estudo desses fatos básicos deve ser feito da mesma forma que o estudo feito até 9, ou seja, através de atividades concretas, para que os alunos venham a registrar matematicamente cada fato básico, como resultado de suas experiências.

Preparando para

o Algoritmo

Antes do aprendizado do algoritmo, que possibilitará à criança a resolução de qualquer situação-problema, ela viverá uma preparação que envolve basicamente três fases. Na primeira, a criança manuseia objetos, trabalhando apenas o conceito, de forma que a terminologia adequada vá sendo introduzida aos poucos. Ela realiza, por exemplo, atividades de juntar e acrescentar, e nessas ocasiões o professor deve levá-la a asso­ciar tais ações à palavra "mais".

Após essa primeira fase, quando as crianças compreendem as ações e já estão operando espontaneamente, a palavra "mais" deve ser asso­ciada ao sinal "mais" (+) , no sentido de representar matematicamente o que já fazem de forma concreta.

A terceira dessas fases gerais é a memorização dos fatos básicos, apreendidos e simbolizados, o que é fundamental para seu bom desem­penho na aprendizagem do algoritmo.

Algumas propriedades da adição (comutativa e associativa) e da subtração (propriedade fundamental), devem ser trabalhadas com os alu­nos, porém, sem que eles precisem nomeá-las. Nesse momento, o pro­fessor deve ter apenas uma preocupação principal: oferecer oportuni­dades para os alunos observarem que podem ser feitas algumas mani­pulações interessantes, com objetos de contagem. Na verdade, o que o professor faz com os alunos são jogos de arrumação de quantidades, conduzidos de tal forma que as crianças comecem a compreender, infor­malmente, essas propriedades.

Assim, se a criança sabe que tanto 2 + 3 quanto 3 + 2 representam 5, está usando a propriedade comutativa da adição. Esta propriedade, quando percebida pelos alunos, reduz o estudo dos fatos básicos à me­tade, e uma de suas aplicações é a verificação do algoritmo da adição: adiciona-se cada coluna no sentido oposto ao usado anteriormente. As­sim:

(somar debaixo para cima e vice-versa, para verificar 89 se o resultado está correto)

O aluno estará usando a propriedade associativa da adição, quando notar que reunir ou somar 4 + 1 + 2 é o mesmo que: (4 + 1) + 2 = 5 + 2 ou ainda: 4 + (1 + 2) = 4 + 3. Essa propriedade auxilia muito na com­preensão dos fatos básicos de total maior que 10. Assim, fica mais fácil a criança compreender que:

8 + 3 = (4 + 4) + 3 9 + 4 = (5 + 4) + 4

A propriedade fundamental da subtração deverá ser trabalhada con­cretamente, e o professor levará seus alunos a percebê-la através de perguntas, tais como:

— "De 7 ovos, quebraram 2.

Quantos ovos restaram?" (7 — 2 = 5)

— "Se quebrassem 3 ovos, ficaríamos com mais ou com menos ovos?" ( 7 - 3 = 4)

— "Se tivéssemos 9 ovos e também quebrassem 2, ficaríamos com mais ou com menos ovos?" (9 — 2 = 7)

Através de atividades como esta, o aluno vai percebendo que: Quando AUMENTA o minuendo de uma quantidade e NÃO SE ALTERA o subtraendo, o resto AUMENTA da mesma quantidade.

25 + 1 26

12 12

1 3 + 1 14

+

16

32

41

As Propriedades da Adição e da Subtração

• Quando DIMINUI o minuendo de uma quantidade e NÃO SE AL­TERA o subtraendo, o resto DIMINUI da mesma quantidade.

25 12

13

1

- 1

24 12

12

• Quando NÃO SE ALTERA o minuendo e AUMENTA o subtraendo de uma quantidade, o resto DIMINUI da mesma quantidade.

25 25 — 12 + 1 - 13

13 1 12

• Quando NÃO SE ALTERA o minuendo e DIMINUI o subtraendo de uma quantidade, o resto AUMENTA da mesma quantidade.

25 - 12

25 11

13 + 1 14

• Quando AUMENTA ou DIMINUI o minuendo e o subtraendo de uma mesma quantidade, o resto NÃO SE ALTERA.

25 - 12

13

+ 1 + 1

26 13

13

ou 25 12

13

24 - 11

13

Muitas crianças passam a conhecer essas propriedades a partir de suas experiências com os fatos básicos. Entretanto, todas as crianças de­veriam adquirir tais conhecimentos, já que eles serão úteis em aprendi­zagens futuras e na resolução de problemas, além de possibilitarem maior habilidade de cálculo. Sendo assim, é necessário que o professor traba­lhe essas propriedades, através de diferentes atividades.

SUGESTÃO DE ATIVIDADES

Usando cartolina, confeccione cartões como estes, a seguir, e crie as regras dos jogos, que vão facilitar a memorização dos fatos básicos.

• DOMINÓ DA ADIÇÃO

(São necessárias 18 peças para incluirmos todos os fatos básicos de soma até 5 e 54 peças para fatos de soma até 9).

O ALGORITMO DA ADIÇÃO

OBJETIVOS DESTA AULA

• Identificar as etapas do ensino do algoritmo da adição. • Indicar procedimentos que tornem o aluno capaz de adicionar

corretamente.

TEXTO PARA LEITURA

O algoritmo é um dispositivo prático, que foi criado para facilitar a adição de vários numerais, permitindo fazer a adição com exatidão e ve­locidade razoáveis.

Esta habilidade não se adquire de uma só vez; requer tempo e prá­tica, pois envolve técnicas que vão além dos fatos básicos da adição. Por isso, o algoritmo da adição só deve ser apresentado às crianças quando elas já dominam o conceito da operação, os fatos básicos e o sistema de numeração.

No ensino do algoritmo da adição, recomenda-se que os primeiros exemplos envolvam adições com "reservas", ou seja, onde a soma das unidades isoladas seja maior que nove, sendo assim necessário fazer um agrupamento para a casa das dezenas. Se o sistema de numeração é bem trabalhado, essa dificuldade não existe, e permite ao aluno ver o processo como um todo e não em partes. (Ver "Lembre-se" desta aula).

Trabalhando com "reserva" desde o início, o aluno compreende por que é necessário começar a operar pelas unidades, ou seja, da direita para a esquerda, o que contraria seus hábitos de leitura. Ao contrário, se trabalharmos só sem reservas, podemos operar da esquerda para di­reita ou vice-versa, pois o resultado da operação será o mesmo. Isso não permite que o professor perceba se ele está operando na ordem certa ou não, dificultando todo o seu processo de aprendizagem.

Atividades que Ao iniciarmos a aprendizagem do algoritmo da adição, devemos ex-Levam o Aluno a P | 0 r a r bastante o material de contagem e o quadro-valor-de-lugar.

Adicionar Corretamente P o r exemplo:

• Distribua para cada 2 alunos uma certa quantidade de palitos e um retângulo de cartolina, com o seguinte formato:

• Peça a um aluno que coloque 5 palitos na casa das unidades, e que outro coloque 7, logo abaixo.

• Peça a seguir que some (junte) essas quantidades e as coloque na última casa. Deverá ficar assim:

• Analise com eles quantos palitos ficaram na casa das unidades, e o que devem fazer agora.

OBSERVAÇÃO:

Os alunos deverão perceber que há mais de 9 unidades na casa das unidades, e que é preciso fazer um grupo de dez e transferi-lo para casa das dezenas.

• Repita a atividade várias vezes, usando outros numerais, como por exemplo:

1) 16 e 8

OBSERVAÇÃO:

Essas etapas se passam dentro da mesma tabela. Foram aqui colo­cadas em tabelas diferentes para uma melhor percepção das etapas.

2) 34 e 28

Depois de repetir várias vezes essa atividade, somente com material de contagem, vamos utilizar, além do retângulo de cartolina e dos palitos. uma folha de papel em branco para registrar numericamente a operação.

Por exemplo:

1) Vamos adicionar 7 e 8.

2) Vamos adicionar 15 e 9.

Esse tipo de atividade deve ser repetido várias vezes, usando-se ou­tros números. Só quando o aluno já dominar bem a reserva das unidades para a dezena é que devemos iniciar, por um processo análogo, as ope­rações que envolvem centenas. Trabalhar com grupos de cem dificulta

a representação; é melhor usarmos palitos coloridos para representar as centenas, as dezenas e as unidades, como já foi descrito na aula de sistema de numeração. (Veja a aula 6).

Por exemplo:

Entregue às crianças uma outra tabela como a do modelo abaixo:

• Peça para representarem na tabela a soma de 246 e 37.

Se as cores escolhidas pelas crianças forem:

vermelho para as centenas azul para as dezenas natural para as unidades

a representação na tabela ficará assim:

na primeira linha

2 palitos vermelhos na casa das centenas; 4 palitos azuis na casa das dezenas; 6 palitos naturais na casa das unidades.

na segunda linha

3 palitos azuis na casa das dezenas; 7 palitos naturais na casa das unidades.

OBSERVAÇÃO:

Como não dispomos de cores, usaremos daqui por diante este código, para facilitar nossa representação:

para representar as unidades

para representar as dezenas

para representar as centenas

Quando as crianças juntarem os palitos da unidade, perceberão que o resultado é de 13 palitos naturais. Logo, poderão fazer um grupo de dez e trocar por um palito azul, que vai se juntar aos outros da casa das dezenas. Quando juntar os palitos azuis, vai perceber que só ficaram oito, logo não há troca, pois a quantidade de dezenas não forma uma centena. Na casa das centenas, só temos duas; então, basta repeti-las.

Peça que os alunos representem também graficamente e numerica­mente, em uma tabela, a operação feita.

Continue usando o material de contagem e as tabelas, até se esgo­tarem todas as dificuldades com "reserva", das unidades para as deze­nas e das dezenas para as centenas. Só abandone esses recursos quan­do as crianças já tiverem interiorizado todo o processo.

PARA VOCÊ SABER MAIS

1. Para melhor compreensão da organização do algoritmo da adi­ção, podemos utilizar também outros materiais, como vimos no final da aula 6, sobre Sistema de numeração. Vejamos um exemplo, usando o material Montessoriano de contagem (cubos, barras e chapas de madeira) e o quadro-valor-de-lugar.

* Trocamos 10 barras (dez dezenas) por uma placa (1 centena); ficaram 4 barras.

f

2. Os nomes dados aos termos de uma adição são:

3 > parcela + 4 > parcela

7 > soma ou total

Esses nomes devem ser introduzidos naturalmente, para que aos poucos a criança os incorpore ao seu vocabulário, usando as expressões como usa qualquer outra palavra da linguagem corrente.

Lembre-se • Para podermos trabalhar com as crianças os algoritmos das quatro operações, da forma como propomos em nossas aulas, é de vital impor­tância que elas dominem os conceitos das operações, que os fatos básicos estejam memorizados e que o sistema de numeração esteja interiorizado. E' necessário que as crianças compreendam toda a organização do sis­tema: os agrupamentos de dez em dez, o valor posicionai dos algarismos, e também que leiam e escrevam bem esses algarismos, sabendo compô-los e decompô-los. Enfim, que saibam realmente os porquês existentes no sistema de numeração.

• Partindo desses pressupostos é que, no inicio desta aula, reco­mendamos que se trabalhe primeiro a adição com reserva, o que dará ao aluno uma melhor compreensão do porquê de se começar da direita para a esquerda, ou seja, das unidades para as dezenas e assim por diante.

O ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO

OBJETIVOS DESTA AULA

• Identificar as etapas do ensino do algoritmo da subtração. • Indicar procedimentos que tornem o aluno capaz de subtrair cor­

retamente.

TEXTO PARA LEITURA

O algoritmo da subtração tem a mesma finalidade do algoritmo da adição, ou seja, no caso, subtrair grandes quantidades; e como o da adição, só deve ser introduzido depois que as crianças dominarem os fatos básicos da subtração.

A utilização do algoritmo não oferece muitas dificuldades, porque as crianças já têm experiências anteriores com o algoritmo da adição. É bem verdade que elas ainda não sabem subtrair grandes quantidades, mas o processo de subtrair primeiro as unidades e depois as dezenas é facilmente percebido.

Atividades que Ao iniciarmos o algoritmo da subtração, devemos usar, como na Levam O Aluno a adição, material de contagem e o quadro-valor-de-lugar.

Subtrair Corretamente D „ r Q V Q m r , , „ Por exemplo.

1 — Vamos subtrair 13 de 24. Para isso, distribua a seus alunos um quadro-valor-de-lugar, como o do modelo abaixo, mais 24 palitos, e peça a eles que arrumem esses palitos no quadro-valor-de-lugar:

A seguir, peça que as crianças façam a representação gráfica desse quadro no caderno, que deve ficar como o modelo acima.

Diga aos alunos:

— "Agora vamos resolver o nosso problema, ou seja, tirar 13 palitos dos 24 palitos".

— "Quantos palitos ficaram?" — "Pinte de vermelho no seu desenho os palitos que representam a

quantidade que você tirou". — "Copie, agora, num quadro (como este abaixo), as unidades e as

dezenas que não foram pintadas; ou seja, o resto".

OBSERVAÇÃO:

Discuta com as crianças que a parte pintada representa a que reti­ramos e a não pintada é a que restou. Logo: 24 — 13 = 11.

2 — Vamos subtrair 5 de 32.

Arrumar as quantidades concretamente na tabela.

Observe com os alunos que eles não podem tirar 5 unidades de 2 unidades: que será preciso pedir uma dezena emprestada. Assim, ele desamarra uma dezena e arruma na casa das unidades, ficando assim:

Pergunte aos alunos:

— "E agora .podemos tirar 5 unidades de 12 unidades?" (sim) — "Com quantas unidades ficaremos?" (7) — "Com quantas dezenas ficaremos?" (2)

Repita a atividade com vários números, até as crianças compreende­rem bem o processo. So então utilize a representação numérica.

Por exemplo:

Vamos subtrair 17 de 35.

Veremos agora um exemplo onde aparece o zero na casa das deze­nas, fato que é considerado uma dificuldade da subtração, mas que deixa de existir se trabalhamos com material concreto e o sistema de nume­ração.

Por exemplo:

Vamos tirar 25 de 208.

Essa atividade deve ser feita com palitos coloridos. Como aqui não dispomos de cor, vamos representar a centena por um | | (retângu­lo), a dezena por um Q (quadrado), e a unidade por um | (traço).

Antes de trabalharmos somente com o algoritmo, devemos fazer ain­da a operação apoiada na representação gráfica, como vemos no modelo abaixo.

Por exemplo:

Vamos subtrair 18 de 32.

1.° — Este quadro é entre­gue aos alunos.

2.° — Primeiramente, eles devem desmanchar uma de­zena, já que não podem ti­rar 8 unidades de 2 unidades, representando a nova situa­ção na 2.a linha do quadro.

3.° — Feito isto, eles vão ris­car 8 unidades, das 14 repre­sentadas e 1 dezena das 2 representadas no quadro, ou seja, eles tiram 18 de 32.

4.° — Finalmente, eles re­presentam o resultado obti­do (o que não foi riscado) na última Unha do quadro.

Depois peça que as crianças completem:

Observando o desenvolvimento do trabalho acima, vimos que, depois de trocarmos os quadrados (dezenas) pelos palitos, riscamos o que que­ríamos tirar, e registramos o resto. Logo:

32 - 18 = 14

Essa tabela deve ser apresentada assim, para o aluno:

Logo:

240 - 132 =

Lembre-se Os nomes dos termos da subtração são:

8 5

minuendo subtraendo

-* resto ou diferença

A novidade na subtração é que:

minuendo = resto •§- subtraendo

• Na subtração, como na adição, podemos variar o material de contagem, para uma melhor compreensão da organização do algoritmo.

PREPARANDO PARA A MULTIPLICAÇÃO

E A DIVISÃO I

OBJETIVOS DESTA AULA

• Propor atividades que favoreçam a conceituação de multiplicação e divisão.

• Identificar a importância de trabalhar concomitantemente a divi­são e a multiplicação.

TEXTO PARA LEITURA

Os conceitos ligados à multiplicação, como os de adição, são fun­damentais para o desenvolvimento de muitos outros conceitos aritméticos. Se não dominar o conceito da operação, a criança conseguirá, no máxi­mo, memorizar os fatos básicos e mecanizar o processo de cálculo (isto é, o algoritmo) posteriormente. A dificuldade nesta memorização será muito grande, e a insegurança ficará clara diante de um problema, quan­do ela não será capaz de decidir-se sobre a operação a realizar.

Da mesma forma, os conceitos relacionados com a divisão de núme­ros naturais desempenharão um papel decisivo para aprendizagens de outros tópicos da Matemática, como os conceitos de números fracioná-rios e decimais.

Como fizemos com a adição e a subtração, sugerimos que os alunos realizem atividades para a conceituação da multiplicação e da divisão, concomitantemente. Isto não significa que todos os alunos adquiram os dois conceitos ao mesmo tempo e do mesmo modo. No entanto, a criança que compreende convenientemente a relação multiplicação/divisão, terá mais facilidade na aprendizagem do algoritmo da divisão, que tanta "dor de cabeça" tem causado a professores e alunos de um modo geral.

Atividades que levam à formação de um conceito devem basear-se em experiências concretas, nas quais os alunos terão oportunidade de construir e, com o tempo, aperfeiçoar e transferir tais conceitos. O pro­fessor deve proporcionar à criança múltiplas oportunidades de trabalho com material concreto para que ela, compreendendo o significado da operação, chegue à representação de seus fatos básicos.

A multiplicação de dois números naturais pode ser trabalhada sob dois enfoques:

a) como adição de parcelas iguais.

Por exemplo:

3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6

b) como o número de pares possíveis formados com os elementos de dois conjuntos.

Por exemplo:

"Se um menino tem 2 calças e 3 camisas, de quantas maneiras po­derá se vestir?"

Considerando, porém, que o enfoque da multiplicação como adição de parcelas repetidas é mais natural, o professor deve inicialmente se prender a experiências deste tipo. O segundo enfoque poderá ser tra­balhado mais tarde, como enriquecimento dos conceitos já apreendidos, já que também será necessário na resolução de alguns problemas, como o que vemos a seguir:

— "Uma indústria de brinquedos fabrica bolas de 3 tamanhos: pe­queno, médio e grande e; de 4 cores: amarelo, vermelho, verde e azul. Quantas bolas diferentes a fábrica produz?"

Esquema de solução:

O primeiro enfoque da adição de parcelas iguais é trabalhado con­cretamente através de experiências como esta, por exemplo: diante de 3 caixas com 5 bolas cada uma, a criança será levada a reuni-las, for­mando um único grupo e exprimindo sua ação como tendo reunido três grupos de cinco. O resultado desta ação pode ser obtido somando-se 5 _|_ 5 _|_ 5 — 15; num segundo momento, registrando que o 5 se repete 3 vezes com notação semi-algorítmica, ou seja, 3 vezes 5 = 15 e, mais tarde, utilizando a linguagem matemática, 3 x 5 = 15.

A Divisão A divisão também tem dois enfoques. De início, a criança será levada a explorar apenas a chamada divisão-repartição, chegando depois à divisão-comparação ou medida.

a) Divisão comparação ou medida:

Ações que envolvem este tipo de divisão se encontram em situações nas quais se conhece o número de elementos dos subconjuntos a serem formados e se quer saber quantos desses subconjuntos podemos formar.

Por exemplo:

— "12 lápis serão separados em subconjuntos de 3 lápis cada um. Quantos conjuntos serão feitos?"

b) Divisão repartição:

A ação de repartir se encontra em situações nas quais se conhece o número de subconjuntos a ser formado, e precisa ser encontrado o número de elementos (cardinalidade) de cada um desses subconjuntos.

Por exemplo:

— "12 lápis precisam ser separados em 4 subconjuntos iguais. Quan­tos lápis haverá em cada subconjunto?"

Em atividades que envolvem a divisão-comparação, se a criança tem, por exemplo, os 12 lápis sobre a carteira e sabe que deve formar gru-pinhos de 3 lápis, ela irá separando seu material de 3 em 3 e verificará, ao final da atividade, quantos montinhos formou. No segundo caso, divisão-repartição, ela sabe por exemplo que deve distribuir os 12 lápis em 4 caixas ou pelos 4 cantos da mesa, e fará a distribuição colocando 1 lápis de cada vez, até que se esgotem; verifica, então, quantos lápis ficaram em cada caixa ou canto da mesa.

Atividades que

Levam à Conceituação

da Multiplicação

e da Divisão

1 — Brincando de veterinário:

Material necessário: tampinhas de refrigerante, para representar os animais e grãos (feijão ou milho, por exemplo), para representar os re­médios.

Inicie a brincadeira contando uma pequena história sobre um vete­rinário e diga que, para cada tipo de tratamento, o veterinário anotava o número de animais tratados e o número de comprimidos dados por dia.

Materiais simples são usados para aprender o conceito das operações: divisão e multi­plicação.

a) Explique às crianças que as tampinhas serão os animais e os grãos serão os comprimidos. Faça com eles o primeiro exemplo, apre-sentando-o no flanelógrafo ou no quadro-de-giz.

Veja:

"O veterinário recebeu 3 cachorrinhos com a mesma doença". Espe­re que todos os alunos separem 3 tampinhas sobre sua carteira. Diga, en­tão, que cada cachorrinho tomou 4 comprimidos durante o dia, e verifique se todos os alunos colocaram 4 grãos dentro de cada tampinha.

Pergunte quantos comprimidos o veterinário gastou, deixando os alunos contarem os grãos antes de responder.

Apresente no flanelógrafo ou retroprojetor, ou mesmo no quadro-de-giz, outras situações (outros tratamentos feitos pelo veterinário) com desenhos representando animais e comprimidos. Cada aluno reproduz a situação em sua carteira, utilizando as tampinhas e os grãos.

Faça, para cada nova situação apresentada, as seguintes perguntas:

— "Quantos animais?" — "Quantos comprimidos para cada animal?" — "Qual o total de comprimidos gastos?"

Por exemplo:

b) Para iniciar o uso da tabela, passe a apresentar as situações, escrevendo no quadro-de-giz:

N.° de animais

N.° de comprimidos por animal

3

2

Os alunos representarão sobre suas carteiras:

. . . e responderão:

N.° de animais

N.° de comprimidos por animal

Total de comprimidos gastos

3

2

6

Faça vários exemplos com seus alunos e deixe-os registrados no quadro-de-giz, formando tabelas como a seguinte:

N.° de animais

N.° de comprimidos por animal

Total de comprimidos gastos

3

2

6

1

3

3

7

2

14

6

5

30

3

3

9

7

5

35

c) Distribua tabelas pequenas para que os alunos representem as situações na carteira e registrem o total de comprimidos gastos.

Número de animais

Número de comprimidos por animal

Total de comprimidos gastos

4

2

5

1

2

3

6

4

d) Agora, o objetivo é que os alunos encontrem o numero de com­primidos dados a cada animal em tratamento, sabendo o número de animais e o total de comprimidos gastos.

Conte aos alunos que, um dia, o veterinário não anotou quantos comprimidos deu a cada animal, mas sabia quantos animais tinha rece­bido para tratar e podia descobrir, nas caixas de comprimidos, o total de comprimidos gastos.

Manipulando as tampinhas de refrigerante e os grãos (feijão ou mi­lho, por exemplo), os alunos deverão encontrar o número de comprimidos dados por animal.

Por exemplo:

Total de comprimidos gastos

N.° de animais

10

5

Os alunos separam 10 grãos e 5 tampinhas e vão distribuindo os grãos para encontrar:

Número de comprimidos por animal: 2

• Faça vários exemplos com os alunos e depois distribua tabelas pequenas para que trabalhem independentemente.

2 — A Bota de Muitas Léguas '

Material necessário: Folha mimeografada com semi-retas graduadas e dois conjuntos de cartões numerados de 1 a 5.

a) História:

• Pergunte se algum aluno conhece a história da "bota de sete léguas". - Se alguém conhece, peça-lhe que a conte. Caso ninguém co­nheça, faça você um resumo e então pergunte:

1 Adaptação da atividade de autoria dos professores Regilnaldo Neves de Lima e Maria do Carmo Vila — CECIMIG (Belo Horizonte).

3 A história da "Bota das 7 Léguas" faz parte do repertório dos contos de fadas universais e tem muitas versões, mas todas falam da bota de um gigante que foi usada por um menino. O passo do gigante media 7 léguas, e quando o menino calçou a bota mágica, começou a dar passos de 7 léguas. Os detalhes podem ser pesquisados ou até inventados junto com as crianças.

— "Quanto media cada pulo dado com a bota?" — "Se a bota andava 14 léguas, quantos pulos dava?" — "Se a bota dava 3 pulos, quantas léguas andava?"

À medida que você vai fazendo cada pergunta, espere até que os alunos encontrem as respostas. Em caso de dificuldade, ajude-os a en­contrarem esses resultados, observando:

"Se 2 pulos são 14 léguas, mais um pulo são 14 + 7 = 21; logo, 3 pulos são 21 léguas".

• Proponha então:

"Vamos, agora, brincar com uma bota que dá pulos do comprimento que quisermos".

• Peça a um aluno que sorteie um cartão numerado. Este primeiro número sorteado indica o número de pulos que a "bota" dará.

• Peça a outro aluno que sorteie outro cartão numerado. Este se­gundo número sorteado indica o comprimento de cada pulo.

Inicialmente, desenhe uma semi-reta graduada no chão. Um terceiro aluno, brincando de ter calçado a bota, dará os pulos sobre a semi-reta, e a turma verificará o número no qual ele parou.

Você pode dividir a turma em duas equipes e propor que disputem quem calçou a bota que levou mais longe.

Por exemplo:

Equipe A

Número de pulos: 2 Comprimento do pulo: 3

Equipe B

Número de pulos: 4 Comprimento do pulo: 2

Neste exemplo, ganha a equipe B, cujo representante chegou a um número maior.

b) Distribua as folhas mimeografadas para que os alunos repre­sentem os pulos da "bota", utilizando flechas, e depois verifiquem o número a que a "bota" chegou. Cada folha pode conter 3 jogadas.

• Peça aos alunos que façam o sorteio e cantem para a turma o número de pulos (1.° sorteio) e o comprimento de cada pulo (2.° sorteio). Espere que todos os alunos façam suas representações, antes da próxima jogada.

As crianças representam os "pulos" da bota em retas numéricas.

Você pode aumentar os dois conjuntos de cartões, para introduzir ou­tros fatos básicos, lembrando que as semi-retas devem ser numeradas com todos os resultados possíveis. Por exemplo, se você utilizar cartões numerados até 9, a semi-reta deve ser numerada até 81.

c) Desenhe no quadro-de-diz alguns movimentos da "bota", por exemplo:

• Diga aos alunos que: "As flechas dizem que três vezes dois é igual a seis".

• Repita a atividade 2 b pedindo aos alunos que anotem, abaixo de cada reta, o que elas dizem:

Por exemplo:

Número de pulos: 3 Comprimento do pulo: 5

d) Diga aos alunos que o jogo agora é outro: um aluno vai sortear um número que indicará o comprimento do pulo que a "bota de muitas léguas" pode dar, e você (professor) dirá o número da reta (múltiplo do número sorteado), onde a "bota" está esperando para voltar ao zero (ponto de partida). O jogo é descobrir quantos pulos a "bota" precisa dar.

Por exemplo:

Um aluno sorteia o número 5. Os alunos anotam então o comprimento do pulo: 5 Você então diz que a "bota" está esperando para voltar, no número

20 (múltiplo de 5), por exemplo. Os alunos circundam o número 20 na reta, e representam os movimentos, agora no sentido contrário.

Os alunos então completam. Número de pulos: 4 Quando os alunos souberem encontrar, sem erro, o número de pulos

de um dado comprimento, para voltar de um certo número, passe para a atividade 2e

e) Desenhe no quadro-de-giz uma das situações representadas na atividade anterior e diga aos alunos que, agora, flechas em sentido con­trário dizem:

"No comprimento 6 há 2 pulos de comprimento 3".

• Faça outros exemplos e depois repita a atividade 2 d, acrescen­tando abaixo de cada reta um registro.

Por exemplo:

Comprimento do pulo: 2 (número sorteado)

Numero de pulos: 5 No comprimento 10 cabem 5 pulos de comprimento 2. Mais tarde,

você poderá ir substituindo a frase pelos símbolos matemáticos conveni­entes, como abaixo:

Se • A multiplicação e a divisão devem ser trabalhadas concomitante­mente, ressaltando-se que uma operação é o inverso da outra. Assim, quando os conceitos da multiplicação e da divisão já estiverem inte­riorizados, podemos fazer atividades como a que vemos a seguir:

PREPARANDO PARA A MULTIPLICAÇÃO

E A DIVISÃO II

OBJETIVOS • Identificar a importância da apreensão dos fatos básicos da multi-rjpçTA A U I A P''caÇão e da divisão, na preparação do aprendizado dessas operações.

• Propor atividades de manipulação concreta para a compreensão das propriedades da multiplicação e da divisão.

TEXTO PARA LEITURA

Da mesma forma que esclarecemos sobre o ensino da adição e da subtração, os fatos básicos da multiplicação e da divisão devem ser estu­dados informalmente para que, após uma primeira conceituação, possam ser registrados matematicamente e depois memorizados.

O estudo dos fatos básicos deve ser feito tomando-se um produto de cada vez, para que a criança possa redescobrir todas as combinações de parcelas iguais possíveis, o que também facilita o correlacionamento da multiplicação e da divisão como operações inversas. Por exemplo, com 12 palitos, se estuda o produto 12, e a criança registra suas experiências, vendo que 2 x 6 , 3 x 4 , 4 x 3 , 6 x2 são 12, assim como 12 H- 2 = 6, 12 H- 3 = 4, 12 -f- 4 = 3, 12 -f- 6 = 2.

A memorização dos fatos básicos é necessária para que a criança multiplique com exatidão e rapidez. O que não se deve fazer é levar a criança a estudar a tabuada, sem que ela tenha formado o conceito e sem que seja capaz de reconhecer situações multiplicativas. Esta memorização deve ser feita através de jogos e brincadeiras, o que a tornará natural e agradável.

A ordem de apresentação dos fatos básicos também é importante. Apresentamos na tabela abaixo uma sugestão de gradação destes fatos. É importante lembrar que as peculiariedades da turma e o ritmo de apren­dizagem dos alunos podem diferir e devem ser respeitados.

1.a etapa 2.a etapa 3.a etapa

Produtos e dividen­dos até 9 (informal­mente)

Produtos e dos até 36.

dividen- Produtos e dos até 81.

dividen-

Os fatos básicos da primeira etapa são utilizados para a conceitua­ção, e este trabalho, provavelmente, levará à fixação desses mesmos fatos.

Posteriormente, com os conceitos já bastante vivenciados e com­preendidos, os fatos das outras etapas vão sendo introduzidos em situa­ções concretas, semelhantes às já utilizadas, reforçando assim os con­ceitos. A passagem da 2.a para a 3.a etapa deve ser feita quando todos os fatos da 2.a tiverem sido bem trabalhados e fixados.

Atividades que Para a memorização dos fatos básicos, você pode fazer exercícios Levam à Memorização como estes:

1 — Descubra o fato da multiplicação representado na reta:

2 — Complete o quadro:

3X1

3

3X2

6

3X-..

9

3X4 3X5 3X-..

21

3X8

27

3 — Represente a sentença com desenho:

4 x 2 = 8

4 x 5 = 20

4 — Dê a resposta certa:

— Quantas filas de quadrinhos? — Quantos quadrinhos há em cada fila? — Quantos quadrinhos há ao todo? — Podemos escrever: 5 X 3 — 15

5 — Complete as loterias:

6 — Vamos colorir:

As bonequinhas podem ser louras ou morenas. Para os vestidos podemos usar: vermelho, azul, verde ou lilás. Pinte os cabelos e os vestidos de modo que as bonequinhas fiquem

diferentes entre si.

— Quantas bonequinhas diferentes você obteve? Complete: 2 x 4 =

7 — Vamos fabricar poltronas:

Nossa fábrica usa 3 tipos de tecidos: liso, estampado com flores e estampado com estrelas.

Estes tecidos podem ser de 4 cores: azul, amarelo, vermelho ou verde.

Faça todas as poltronas diferentes que você conseguir:

— Quantas poltronas diferentes você obteve? Complete: 3 x 4 =

As Propriedades O estudo de algumas propriedades da multiplicação e do principio fundamental da divisão é muito importante. No entanto, estas proprie­dades devem ser trabalhadas concretamente, sem que haja preocupação de sistematizá-las e sequer de nomeá-las. O professor deve apenas dar oportunidade para que a criança vivencie os fatos enunciados por tais propriedades, de maneira que ela própria chegue às conclusões funda­mentais. De um modo geral, o conhecimento de uma propriedade facilita a própria conceituação da operação, e sua utilização aumenta a habili­dade operatória.

A compreensão da propriedade comutativa da multiplicação reduz o estudo dos fatos básicos à metade, além de facilitar o uso do algoritmo. O aluno que percebeu que a multiplicação é comutativa, sabe que pode multiplicar 2 4 8 x 1 2 ao invés de 12x248 , o que facilitará seu cálculo, reduzindo as chances de erro. Esta propriedade é facilmente observada utilizando papel quadriculado, como vemos a seguir.

Em representações como esta é fácil observar que, tanto conside­rando 4 colunas de 3 (4 x 3) ou 3 linhas de 4 (3 x 4), o resultado, ou número de quadradinhos pintados, é o mesmo.

Outra propriedade importante da multiplicação é a propriedade dis­tributiva em relação à adição, que permitirá a compreensão do algoritmo, evitando sua realização mecânica. Sua observação pode ser feita em situações-problema como as que passamos a descrever.

'Observe o desenho do edifício.

Temos 4 andares com 5 janelas cada. Qual o total de janelas? ( 4 x 5 = 20) Observe que em cada andar temos 2 janelas grandes e 3 janelas

pequenas. Existe outra forma de encontrarmos quantas janelas tem o edifício?"

Os alunos devem concluir que podemos encontrar o total de janelas grandes e de janelas pequenas e então somar os resultados. Matematica­mente representamos:

4 x 2 + 4 x 3 = 8 + 1 2 = 20

Note-se que o resultado não se altera, porque estamos utilizando a propriedade distributiva, ou seja:

4 X 5 = 4 X ( 2 + 3) = 4 X 2 + 4 X 3 = 8 + 12 = 20

Esta atividade pode ser realizada envolvendo vários outros tipos de situações, como por exemplo:

a) um estacionamento com 2 filas, sendo que em cada uma delas existem 3 vagas para motos e 5 para carros de passeio; precisamos determinar o número total de vagas.

2 X 8 = 16 ou 2 X 3 + 2 X 5 = 6 + 10 = 16

b) um pomar com 5 filas iguais, nas quais foram plantadas 3 ma­cieiras e 4 laranjeiras; queremos o total de árvores plantadas.

5 X 7 = 35 ou 5 X 3 + 5 X 4 = 15 + 20 = 35

Princípio Fundamental da Divisão

c) uma horta com 4 filas iguais, em que foram plantados 6 pés de alface e 3 pés de couve-flor.

4 x 9 = 4 x 6 + 4 x 3 = 24 + 12 = 36

Denominamos Princípio Fundamental da Divisão a seguinte igualdade:

D = d x q + r

onde:

D é o dividendo d é o divisor, q é o quociente e r é o resto.

O professor, conhecendo bem este princípio, saberá que a concei­tuação da divisão para a criança só terá ocorrido se ela reconhecer que:

• o quociente é sempre menor que o dividendo; • numa divisão exata (resto igual a zero), o produto do quociente

pelo divisor é igual ao dividendo; , • numa divisão inexata (resto diferente de zero), o resto é sempre

menor que o divisor;

• se o resto não é zero, encontramos o divisor multiplicando o quociente pelo divisor e somando o resto.

Essas relações vão sendo observadas durante todo o estudo da divi­são, não sendo necessário que as crianças explicitem seus enunciados. Atividades envolvendo a ação de repartir, por exemplo, são excelentes para a observação da terceira relação: a criança deve ser levada a obser­var que, se a quantidade que lhe resta na mão ainda é maior que o número de subconjuntos pelos quais está distribuindo o material, ainda poderá colocar um objeto, pelo menos, em cada subconjunto, até que o resto seja menor que o divisor (número de subconjuntos).

A habilidade de dividir e a utilização compreensiva do algoritmo de­penderá do reconhecimento de tais relações, como veremos na próxima aula.

O ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO

OBJETIVOS DESTA AULA

• Identificar as etapas do algoritmo da multiplicação. • indicar procedimentos que tornem o aluno capaz de multiplicar

corretamente.

TEXTO PARA LEITURA

Já sabemos que, para ensinar um algoritmo, a criança precisa enten­der o conceito da operação, os fatos básicos e o sistema de numeração. No algoritmo da multiplicação, além desses pré-requisitos citados, é de fundamental importância que as crianças tenham vivenciado e aprendido as propriedades operacionais da multiplicação e da adição.

O algoritmo da multiplicação não é de fácil aprendizagem, por isso deve ser trabalhado por etapas, até chegarmos à utilização de todas as técnicas na sua forma padronizada.

Atividades que

Levam o Aluno

a Mult ipl icar

Corretamente

A primeira etapa a ser desenvolvida para a aprendizagem do algo­ritmo da multiplicação é aprender a calcular o produto de dois números, de modo que um dos fatores (multiplicador) seja formado por um número de um só algarismo, e o outro (o multiplicando), um número que repre­sente dezenas exatas. Para isso, utilizamos a contagem dos múltiplos de 10 em linha numérica, em que são registradas apenas as dezenas.

Por exemplo:

Represente na reta numérica o produto abaixo:

5 X 30

Pergunte ao aluno:

— "Quantas dezenas há em 30?"

— "Se dermos cinco pulos de três dezenas, teremos quantas deze­nas?" 15 dezenas ou 150 unidades. Até que número pulamos?"

Registre:

5 X 30 = 150

Depois que as crianças tiverem dominado a habilidade de multiplicar numerais formados por um algarismo, pelos que representam dezenas exatas, estarão prontas para aprender o algoritmo da multiplicação de um numeral de um algarismo, por um de dois.

Por exemplo:

Vamos multiplicar 3 x 25.

Num primeiro momento, peça às crianças que representem no qua-dro-valor-de-lugar, com os palitos coloridos, o número 25.

• Discuta com elas, observando o quadro, que poderiam escrever em linguagem matemática essa representação e registrar:

20 + 5

(ou seja, outra maneira de escrever 25)

Num segundo momento, peça que as crianças representem no qua-dro-valor-de-lugar a operação pedida, ou seja:

• Observe com elas que temos três vezes duas dezenas mais três vezes cinco unidades.

• Registre em linguagem matemática:

3 X (20 + 5) = (3 X 20) + ( 3 x 5 ) propriedade distributiva

• Repita várias vezes a atividade, usando o quadro-valor-de-lugar e os palitos. Só depois de compreendidos todos os passos, realize todo o processo sem o material concreto. Por exemplo:

4 x 13 = 4 x (10 + 3) 1.° passo

4 x 13 = (4 X 10) -f- (4 X 3) 2.° passo

4 x 13 = 40 + 12 3.° passo

4 x 13 = 40 + (10 + 2) 4.° passo

4 X 13 = (40 + 10) + 2 5.° passo

4 x 13 = 50 + 2 6.° passo

4 x 13 = 52 7.° passo

Analisando esse exemplo, e para concluirmos essa etapa, temos o seguinte raciocínio:

• No 1.° passo, decompomos o 13, ou seja, 10 + 3 (o-que-já foi trabalhado).

• No 2.° passo aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

• No 3.°, usam-se as duas habilidades da multiplicação já apren­didas (multiplicação de um número de um só algarismo por dezenas exa-tas e multiplicação de dois números de um só algarismo).

• No 4.°, decompomos o doze, para podermos adicionar as deze­nas, 10 + 2.

• No 5.°, usa-se a propriedade associativa da adição.

• No 6.°, adicionam-se as dezenas. • No 7.°, adicionam-se as dezenas e as unidades, dando o nome

padrão.

• Repita e resolva as operações indicadas à esquerda da igual­dade:

OBSERVAÇÃO:

Dê muita ênfase à ideia de que, as dezenas obtidas após a multipli­cação das unidades, são adicionadas às outras dezenas só depois que estas também já foram multiplicadas pela unidade. Para isso, volte ao 5.° passo e pergunte: "Que fizemos com as dezenas obtidas, quando multiplicamos 4 x 13?"

A Aprendizagem Quando essa etapa estiver bem compreendida, as crianças estarão do Algor i tmo P r o n t a s Para aprender a notação vertical da multiplicação, ou seja, o

Propriamente Dito algoritmo.

Dividiremos essa etapa em três estágios, como veremos a seguir.

Por exemplo:

Vamos multiplicar 32 por 6, ou seja, 6 x 32.

1.° estágio

180 + 12 = 192

Pergunte aos alunos:

— "Que resultado obtivemos depois que multiplicamos 6 por (30 -f-+ 2)?"

— "Qual será a maneira mais conveniente de escrever 12 e 180 para adicioná-los?" (o aluno deve concluir que é utilizado o algoritmo da adi­ção).

• Escreva no quadro-de-giz a mesma multiplicação da seguinte forma:

6 X 32

e a resolva com os alunos, fazendo as seguintes perguntas:

— "Quando multiplicamos o 6 pelo 2, que produto obteremos?"

Registre:

— "Que representa o 3 do 32?" (3 dezenas) — "Quando multiplicamos 6 por 3, qual será o produto?" (18 de­

zenas ou 180 unidades)

• Comente que já observamos qual é a melhor maneira de adicio­nar e registrar.

OBSERVAÇÃO:

Esse algoritmo é feito em um só, mas aqui foi apresentado em 3 partes, para melhor compreensão.

2.° estágio

Nesse estágio, a criança já deve ter fixado todo o desenvolvimento do processo e já deve efetuar mentalmente algumas operações.

Por exemplo:

• Efetue a operação com a criança, mostrando que, ao multiplicar­mos o 6 por 2, escrevemos as duas unidades e guardamos mentalmente a dezena, que será adicionada às dezenas; estas, por sua vez, serão ob­tidas quando se multiplicar 3 por 6.

3.° estágio

Nesta última etapa, veremos o algoritmo da multiplicação de dois numerais de dois algarismos. A essa altura, as crianças já devem ter uma base para aprender o algoritmo, incluindo um mínimo de novas técnicas.

Por exemplo:

Vamos calcular o produto de 43 por 27.

• Faça essa etapa com as crianças, mostrando que estamos mul­tiplicando sete unidades por 43, e que o processo é igual ao anterior.

Efetue agora o produto das duas dezenas, que serão adicionadas ao produto das unidades.

Dê muita ênfase ao valor do 2 no número 27, ou seja, enfatize que ele representa 2 dezenas; logo, nessa segunda multiplicação, estaremos multiplicando o 3 por duas dezenas e obteremos 6 dezenas, que devem ser colocadas na ordem das dezenas; e, ao multiplicarmos as duas deze­nas por 4 dezenas, acharemos 8 centenas, as quais devem ser colocadas na ordem das centenas.

Temos, assim, que:

O desenvolvimento desse algoritmo é feito através de muitos e va­riados exercícios.

Lembre-se • Os termos da multiplicação têm nomes específicos:

3 —» multiplicando ;8 multiplic

24 * produto

X8 multiplicador

• O multiplicando indica quantos elementos possui cada conjunto; o multiplicador, quantos conjuntos temos; e o produto, o total de elementos desses conjuntos.

fatores

O ALGORITMO DA DIVISÃO: PROCESSO LONGO E ABREVIADO

OBJETIVOS DESTA AULA

• Identificar as etapas do ensino do algoritmo da divisão. • Indicar procedimentos que tornem o aluno capaz de dividir cor­

retamente.

TEXTO PARA LEITURA

O algoritmo da divisão é, sem dúvida, o mais difícil, o mais complexo, pois envolve, além do sistema de numeração, dos fatos básicos e do conceito da operação, a utilização das outras operações (adição, subtra­ção e multiplicação), e da propriedade distributiva da divisão em relação à adição.

Iniciaremos o estudo utilizando material de contagem representado no quadro-valor-de-lugar; e começaremos pelo processo longo até chegar ao abreviado.

O algoritmo pelo processo abreviado é o mais conhecido, e é o que apresenta maior eficiência e rapidez de trabalho. Mas isso não quer dizer que devemos começar por ele; na verdade, o processo longo serve como etapa para o aprendizado do processo breve.

Os alunos devem trabalhar bastante com materiais concretos antes da utilização do algoritmo, o que lhes dará uma melhor compreensão e segurança no desenvolvimento de todas as etapas que o algoritmo apresenta.

Procedimentos que

Tornam o Aluno

Capaz de Dividir

Corretamente

Antes de iniciarmos o algoritmo da divisão, vamos rever os valores atribuídos aos palitos coloridos.

1 palito natural vale 1 unidade 1 palito vermelho vale 10 palitos naturais; ou seja, 1 dezena;

logo, 10 unidades. 1 palito azul vale 10 vermelhos ou 100 naturais; ou seja, 1 centena,

que vale 10 dezenas ou 100 unidades.

Depois de recordar os valores atribuídos aos palitos, trabalhe com as crianças as seguintes atividades:

• Distribua para cada grupo de quatro alunos uma certa quantidade de palitos coloridos.

• Peça às crianças que, usando alguns palitos, representem o número 16 (um vermelho e seis naturais).

• Em seguida, peça que as crianças dividam igualmente esses pali­tos entre eles (os quatro de cada grupo).

89

OBSERVAÇÃO:

O professor deve deixar que eles cheguem à conclusão de que devem trocar o palito vermelho por 10 naturais. Assim, cada aluno receberá 4 palitos naturais.

• Repita a atividade, inicialmente com divisões exatas; depois que os alunos já estiverem efetuando bem as trocas, as divisões poderão ter resto.

OBSERVAÇÃO:

Para facilitar nossa representação, pois não dispomos de cores, daqui por diante usaremos:

para representar as unidades.

para representar as dezenas.

para representar as centenas.

logo:

Comecemos agora o estudo do algoritmo com o divisor de um alga­rismo; assim:

• Escreva no quadro o algoritmo e faça o comentário que está à direita dos números.

42 No exemplo à esquerda, o quatro vale "40 unidades" ou "4 dezenas"; e o 2 representa "2 unidades."

Peça aos alunos que o representem, no quadro abaixo:

• Pergunte aos alunos:

— "Quantos quadrados há na coluna das dezenas?" (quatro) — "Quantos pauzinhos há na coluna das unidades?" (dois)

• Peça para completarem:

— "Quatro quadradinhos divididos por dois é igual a (dois) — "Dois pauzinhos divididos por dois é igual a (um)

tados: Peça aos alunos que completem o quadro, utilizando os resul-

• Repita essa atividade variando as quantidades, utilizando núme­ros de tal forma que cada algarismo desse número a ser dividido seja múltiplo do divisor.

• Proponha divisões em que seja necessário fazer transformações: Por exemplo:

15

Peça que representem no quadro, como a seguir:

Pergunte aos alunos:

(não) — "Um quadrado pode ser dividido por 3?" v,<~, — "O que temos que fazer com ele?" (trocar o quadradinho por 10

pauzinhos) — "Quantos pauzinhos temos agora?" (15) — "Quinze pauzinhos podem ser divididos por 3?" (sim) — "Quinze pauzinhos divididos por 3 é igual a: (cinco)

Continue trabalhando concretamente todos os exemplos em que apareçam as diferentes dificuldades da divisão. Por exemplo:

412 -f- 4

• Peça aos alunos que representem no quadro, como vemos abaixo:

Em permanente diálogo, pro­fessor e alunos raciocinam juntos.

— "Quatro retângulos dá para dividir por 4?" (sim) — "Quatro retângulos divididos por 4 é igual a (1) — "E uma dezena dá para dividir por 4?" (não) — "O que temos que fazer com ela?" (trocar por 10 pauzinhos)

— "Como ficará a casa das dezenas à direita do algoritmo?" (vazia) — "Quantos pauzinhos temos agora?" (doze) — "Doze pauzinhos podem ser divididos por (quatro) — "Doze pauzinhos divididos por 4 é igual a (três)"

• Peça aos alunos que representem no quadro com os palitos:

• Represente numericamente o resultado da divisão:

412 -u 4 = 103

Vejamos mais um exemplo, com outro tipo de dificuldade:

513 -r- 3 =

• Peça que os alunos representem, como no quadro abaixo:

Então, você pode perguntar ou pedir que completem:

— "Cinco retângulos dá para dividir por 3?" (sim) — "Cinco retângulos divididos por 3 é igual a (um) e sobram

(dois)". — "Que devo fazer com esses dois retângulos que sobraram?"

(transformá-los em quadradinhos) — "Quantos quadradinhos tenho agora?" (21) — "Vinte e um quadradinhos dá para dividir por 3?" (sim) — "Vinte e um quadradinhos divididos por 3 é igual a (sete) — "Três pauzinhos eu posso dividir por 3?" (sim) — "Três pauzinhos divididos por 3 é igual a (um)".

• Repita várias vezes esse tipo de atividade com outras quantidades.

Depois que todo o processo tiver sido aprendido, você pode começar a operar numericamente, com os alunos. Assim:

Por exemplo:

42

• Registre no quadro abaixo e pergunte; ou então peça que com­pletem:

— "Quatro dezenas divididas por 2 é igual a (2 dezenas)" — "Sobrou alguma?" (não) — "Que operação devo fazer para saber quantas dezenas usamos?"

(multiplicar 2 x 2 ) — "Que operação devo fazer para saber se sobrou alguma dezena?"

(subtrair o resultado de 2 x 2, das dezenas dadas)

Agora, vamos abaixar as duas unidades para trabalharmos com ela.

—"Duas unidades divididas por 2 é igual a (uma unidade)" — "Sobrou alguma?" (não) — "Que operação devo fazer para saber quantas unidades usamos?"

(multiplicar 1 por 2) — "Que operação devo fazer para saber se sobraram unidades?"

(subtrair o resultado de 1 x 2, das dezenas dadas)

Logo:

Vejamos outro exemplo:

42 21

15

Pergunte aos alunos; ou peça que completem:

— "Uma dezena pode ser dividida por 3?" (não) — "Que devo fazer com ela?" (transformá-la em unidades) — "Quantas unidades tenho agora?" (quinze) — "Quinze unidades podem ser divididas por 3?" (podem) — "Quinze unidades divididas por 3 é igual a (5 unidades)" — "Que operação devo fazer para saber quantas unidades usamos?"

(multiplicar 5 por 3)

— "E para saber quantas sobraram?" (subtrair o resultado da mul­tiplicação de 5 por 3, das unidades existentes)

Logo:

15 -=- 3 = 5

Este outro exemplo apresenta uma outra dificuldade.

412 -f 4

O professor não antecipa res­postas. O aluno é estimulado a pensar.

— "Quatro centenas podem ser divididas por quatro?" (podem) — "Quatro centenas divididas por 4 é igual a (um)" — "Que operação devo fazer para saber quantas centenas usamos?"

(multiplicar 1 por 4) — "Que operação devo fazer para saber quantas unidades sobra­

ram?" (subtrair o resultado da multiplicação de 1 por 4, das centenas dadas).

Agora, abaixemos as dezenas.

— "Uma dezena pode ser dividida por quatro?" (não) — "Que devo fazer com ela?" (transformá-la em unidades) —"Que número devemos colocar na casa das dezenas à direita do

algoritmo?" (zero)

Baixar o 2.

— "Quantas unidades tenho agora?" (doze) — "Doze unidades podem ser divididas por quatro?" (podem) — "Doze unidades divididas por 4 é igual a (três unidades)". — "Que operação devo fazer para saber quantas unidades usamos?"

(multiplicar 3 por 4) — "E para saber se sobraram unidades?" (subtrair o resultado de

3 x 4 , das unidades)

Vejamos agora outro exemplo, envolvendo restos nas divisões

542 •*• 3

Você, então, pode perguntar aos alunos:

— "Cinco centenas podem ser divididas por 3?" (podem) — "Cinco centenas divididas por 3 é igual a (1) e restam (2) — "Que operação devo fazer agora para saber quantas unidades

usamos?" (multiplicar 1 por 3) — "E para saber quantas sobraram?" (subtrair o resultado obtido,

3, das centenas dadas). — "O que faço com as centenas que sobraram?" (transformo-as

em dezenas; 2 centenas = 20 dezenas)

Agora, podemos baixar as dezenas dadas.

— "Quantas dezenas tenho agora?" (vinte e quatro) — "Vinte e quatro dezenas podem ser divididas por 3?" (podem) — "Vinte e quatro dividido por 3 é igual a (8 dezenas) e não sobram

(dezenas) — "Que operação devo fazer para saber quantas dezenas usamos?"

(multiplicar 8 por 3) — "E para saber quantas dezenas sobraram?" (subtrair 24 das deze­

nas existentes) — "Sobrou alguma dezena?" (não)

Agora, vamos baixar as unidades.

— "Duas unidades podem ser divididas por 3?" (não) — "Então o que devo fazer?" (devemos completar a casa das uni­

dades com zero, pois zero multiplicado por 3 dá zero, e essa foi a quanti­dade de unidades que usamos)

— "Que operação devemos fazer para saber quantas unidades so­braram?" (subtrair 0, das unidades dadas)

Assim:

542 3 = 180 e restam 2

O quadro-valor-de-lugar é usado até que os alunos tenham compreen­dido bem a técnica operatória. Alguns professores passam do quadro-valor-de-lugar para o processo abreviado; outros preferem fazer ainda o processo longo. Nas primeiras vezes em que formos trabalhar o algoritmo sem o quadro-valor-de-lugar, devemos chamar a atenção dos alunos para o valor dos números, fazendo as mesmas perguntas que fizemos até agora.

Assim:

— "Seis centenas podem ser divididas por quatro?" (sim) — "Seis divididos por 4 dá 1, logo:

1 X 4 = 4 6 - 4 = 2

— "Temos agora 23 dezenas. 23 dezenas divididas por 4 é igual a (5 dezenas)

• E assim por diante.

O processo abreviado consiste em fazer a subtração mentalmente; logo, o algoritmo ficará da seguinte forma:

• 6 centenas divididas por 4 dá 1; logo:

1 X 4 = 4 6 - 4 = 2

• Teremos agora 23 dezenas que, divididas por 4, é igual a (5). E assim por diante.

• Os termos da divisão têm nomes específicos.

dividendo

• A novidade na divisão é que:

dividendo = divisor x quociente + resto

Lembre-se

O ALGORITMO DA DIVISÃO: SUBTRAÇÕES SUCESSIVAS

OBJETIVOS DESTA AULA

• Identificar procedimentos que visem a uma melhor compreensão da estrutura do algoritmo da divisão.

TEXTO PARA LEITURA

O processo das subtrações sucessivas é uma outra opção para se chegar ao algoritmo da divisão, e tem como ponto de partida a relação paralela que existe entre a subtração e a divisão. Entretanto, esse pro­cesso não é muito usado nas nossas escolas, sendo mesmo desconhecido por alguns professores.

Achamos por bem colocá-lo aqui, para enriquecer e ampliar o co­nhecimento sobre o assunto, e para o caso de alunos que tenham difi­culdades na compreensão e utilização do algoritmo da divisão, apresen­tado através dos processos longo e abreviado (veja aula 14). Assim, se trabalharmos bem todas as etapas do processo das subtrações sucessi­vas, de modo que a criança perceba cada uma delas, ela acabará conse­guindo efetuar essas etapas de memória, abreviando-se assim o processo de resolução do algoritmo da divisão.

Atividades que

Levam à Util ização

de Procedimentos

para Compreender a

Estrutura do Algori tmo

da Divisão

Vamos aprender uma nova maneira de calcular a divisão de 18 por 3, por exemplo.

Apresente o algoritmo e converse sobre a forma como ele se apre­senta.

18|_3_

Paralelamente, dê um conjunto de 18 elementos e peça ao aluno que forme conjuntos de três elementos. Peça-lhe que vá tirando um conjunto de três elementos de cada vez, e pergunte:

— "Quantas vezes você tirou um conjunto de três elementos?"

O aluno deve responder: (6) Vamos ver o que acontece no algoritmo. Vamos registrar aqui a quantidade de vezes que vamos retirar um

conjunto de 3.

Pergunte:

— "Como descobriremos quantos objetos você retirou, se você reti­rou uma vez 1 conjunto?" (multiplicando 1 por 3)

— "Quantos objetos você tirou?" (três) — "Que devo fazer para saber com quantos objetos você ficou?"

(subtrair 3 de 18) — "Posso continuar tirando grupos de três, agora que tenho 15

objetos?"

OBSERVAÇÃO:

Repita as perguntas até se esgotarem todas as possibilidades de se retirarem grupos de três, observando as quantidades restantes e fazendo o registro no algoritmo depois de cada pergunta; não o apresente pronto como está ao lado.

— "Agora, que você não pode mais tirar nenhum grupo de 3, res­ponda: quantas vezes você tirou um conjunto de três?" (seis)

— "Que operação você fez para achar essa quantidade?"

Depois de entendido o processo, pergunte:

— "Será que é necessário tirar um conjunto de três de cada vez?" Vamos agora pegar o conjunto de 18 objetos outra vez e formar alguns

conjuntos de 3 e retirar.

— "Quantos conjuntos de 3 você formou?" Vamos fazer de conta que foram (quatro)

Registre:

— "Quantas vezes você tirou um conjunto de 3 elementos?" (quatro) — "Que operação você deve fazer para saber quantos objetos tem

que retirar?" (multiplicar 4 por 3) — "Que operação você tem que fazer para saber quantos objetos

sobraram?" (subtrair 12 de 18, ou seja, 6)

— "Quantos objetos você tem agora?" (seis) — "Com essa quantidade você ainda pode formar conjunto de 3?"

(posso)

— "Quantos?" (dois) — "Quantas vezes você retirou agora um conjunto de 3?" (duas) — "Que operação você deve fazer agora para saber quantos objetos

retirou?" (multiplicar 2 por 3) — "Que operação você deve fazer para saber quantos objetos so­

braram?" (subtrair 6 de seis)

— "Quantos objetos você tem agora?" (nenhum) — "E' possível fazer novos grupos de 3?" — "Que operação você deve fazer para calcular o número total de

vezes em que você retirou grupos de 3, de 18?" (adicionar 4 e 2)

(número de vezes de conjuntos de 3).

Só depois que as crianças estiverem familiarizadas com a técnica do algoritmo, que se baseia em subtraçoes repetidas e utiliza fatos básicos já conhecidos, é que estarão prontas a aprender situações mais com­plexas da divisão, como por exemplo, uma divisão como a de 86 por 5.

Escreva no quadro-de-giz:

8615

Pergunte:

— "Alguém sabe quantos grupos de 5 temos no número 86?" (su­por que tenham dito 8)

Vamos ver se está correta a resposta.

— "Quantos objetos você tem agora?" (seis) — "Com essa quantidade você ainda pode formar conjunto de 3?"

(posso)

— "Quantos?" (dois) — "Quantas vezes você retirou agora um conjunto de 3?" (duas) — "Que operação você deve fazer agora para saber quantos objetos

retirou?" (multiplicar 2 por 3) — "Que operação você deve fazer para saber quantos objetos so­

braram?" (subtrair 6 de seis)

— "Quantos objetos você tem agora?" (nenhum) — "E' possível fazer novos grupos de 3?" — "Que operação você deve fazer para calcular o número total de

vezes em que você retirou grupos de 3, de 18?" (adicionar 4 e 2)

(número de vezes de conjuntos de 3).

Só depois que as crianças estiverem familiarizadas com a técnica do algoritmo, que se baseia em subtrações repetidas e utiliza fatos básicos já conhecidos, é que estarão prontas a aprender situações mais com­plexas da divisão, como por exemplo, uma divisão como a de 86 por 5.

Escreva no quadro-de-giz:

Pergunte:

— "Alguém sabe quantos grupos de 5 temos no número 86?" (su­por que tenham dito 8)

Vamos ver se está correta a resposta.

— "Quantos grupos de 5 você formou?" — "Que operação você deve fazer para saber quantos objetos você

tem que retirar?" (multiplicar 8 por 5) — "Que operação você tem que fazer para saber quantos objetos

sobraram?" (subtrair 40 de 86)

— "Quantos objetos você tem agora?" (46) — "Com essa quantidade, você ainda pode formar grupos de 5?"

(posso)

— "Quantos?" (supor que tenham sido 7) — "Quantas vezes você retirou agora um conjunto de 5?" (sete) — "Que operação você deve fazer para saber quantos objetos re­

tirou?" (multiplicar 7 por 5) — "Que operação você deve fazer para saber quantos objetos so­

braram?"

— "Quantos objetos você tem agora?" (onze) — "£ ' possível ainda fazer grupos de 5?" (sim) — "Quantos" (a criança a essa altura deve perceber que, com 11,

só é possível fazer 2 grupos de 5) — "Quantas vezes você retirou agora um conjunto de 5?" (duas) — "Que operação você deve fazer agora para saber quantos objetos

sobraram?" (subtrair 10 de 11)

— "Que operação você deve fazer para calcular o número total de vezes em que você retirou grupos de 5, de 86?" (adicionar 8, 7 e 2)

í

Há certas atividades que podem ser realizadas para que as crianças possam efetuar com mais eficiência e rapidez o algoritmo da divisão, que se baseia em subtrações repetidas. Uma delas é usar a relação entre a multiplicação por múltiplos de 10 e a divisão por múltiplos de 10; outra é procurar o maior múltiplo do divisor que se pode subtrair do resto.

Veja este exemplo: se o número a ser dividido fosse 435 por 17, leve o aluno a observar que ele vai resolver mais rapidamente a divisão, se utilizar um múltiplo de 10, como por exemplo o 20. Se ele multiplica 17 por 20, terá 340 que, subtraído de 435, reduzirá para 95 o resto que ainda pode ser agrupado. Se ele procurar um número que, multiplicado por 17, der o seu maior múltiplo, menor que 95, ficará mais fácil ainda.

M17 = {0, 17, 34, 51, 68, 85, 102. . .}

Logo, o múltiplo de 17 menor que 95 é 85, e o número que multipli­camos por 17 para achá-lo foi 5; assim:

Pelo processo da subtração sucessiva, fica também fácil analisar que o resto nunca pode ser igual ou maior que o divisor, pois, caso contrário, ainda poderíamos fazer mais uma subtração. A criança pode e deve che­gar, ela mesma, a essa conclusão.

Lembre-SG • Nas aulas 14 e 15, vimos dois processos pelos quais pode ser tra­balhado o algoritmo da divisão. Nos dois casos, fazemos questão de ressal­tar o uso de material concreto e do sistema de numeração.

• Cabe ao professor escolher qual o melhor processo a ser utilizado. E isso depende principalmente do desenvolvimento de sua turma.

O QUE SAO PROBLEMAS

OBJETIVOS DESTA AULA

• Reconhecer o que é um problema; e qual sua função e impor­tância no ensino da Matemática e na vida das pessoas.

TEXTO PARA LEITURA

Denominamos problema a toda situação que, desafiando a curiosi­dade, possibilita uma descoberta. Tais situações aparecem frequente­mente em nossa vida diária. Somos desafiados a encontrar soluções para problemas matemáticos ou não, dos mais simples, como encontrar um objeto perdido, aos mais complexos, como entender fenómenos da natu­reza ou compreender uma nova tecnologia.

Pessoas diferentes enfrentam, em suas vidas, problemas diferentes, e a variedade de problemas com a qual uma pessoa pode se defrontar é ilimitada. Além disso, nossa sociedade se encontra em permanente e rápida evolução tecnológica, o que não nos permite sequer identificar os problemas do futuro. Por essas razões é que devemos, como educa­dores, preocupar-nos em desenvolver o gosto pelo trabalho mental inde­pendente, de forma a capacitar a criança para a vida.

Concluímos assim que esta tradicional unidade do ensino da Mate­mática — a resolução de problemas — deve ser encarada sob um enfoque mais abrangente do que o de simples treino de problemas-tipo. Vimos que a própria definição de problemas é bastante abrangente, não sendo compatível com um ensino por adestramento. Mesmo quando nos referi­mos a problemas matemáticos, ou seja, àqueles que podem ser traduzidos por sentenças matemáticas, eles devem ser encarados em seu sentido amplo.

Não propomos a um aluno que resolva um problema como simples aplicação da habilidade de calcular, mas sim como análise de situações em que ele aplicará o pensamento quantitativo ou descobrirá relações numéricas. Não são todos os problemas matemáticos que têm como obje­tivo encontrar uma resposta numérica. Existem problemas onde se quer simplesmente levar a criança a interpretar e analisar os dados, a orga­nizar os dados de maneira adequada, ou então fazer estimativas numé­ricas e previsões, por exemplo.

Veja estes exemplos de problemas, que não pedem uma resposta numérica.

1 — "Vamos colocar uma moldura de fita colorida no nosso quadro de avisos?

E como vamos saber a quantidade de fita que precisamos comprar?" 2 — "Após uma pesquisa de preços dos produtos considerados bási­

cos pelos alunos, em três supermercados da comunidade, proponha que a turma arrume os dados de maneira a facilitar a consulta a esses mesmos dados".

3 — "Utilizando a mesma pesquisa descrita acima, pergunte em qual dos supermercados eles gastariam menos, para comprar uma lista de produtos".

O Papel do Professor

Sabendo o que se entende por problema, compreendendo a impor­tância e a função deste na educação matemática, o professor precisa ainda reconhecer-se no papel de orientador junto à criança. Seu objetivo principal é o desenvolvimento do gosto pelo raciocínio independente. Assim, o professor tem a grande oportunidade de proporcionar à criança o prazer da descoberta. Experiências de raciocínio independente e de descobertas levarão a uma postura positiva e otimista diante de uma situação-problema, por toda a vida.

O professor ajuda, mas descoberta é do aluno.

Quando falamos em trabalho independente, isso não significa que o professor deva deixar o aluno sozinho, sem auxílio ou então com auxílio insuficiente em relação às suas necessidades. Isso poderia ser muito prejudicial para a criança, não levando, na maioria das vezes, a nenhuma descoberta e a nenhum progresso. O professor, observando o trabalho dos alunos, deve estimulá-los e orientá-los através de perguntas que con­duzam correta e eficientemente à solução do problema. Esta ajuda deve ser natural, de modo que o professor não dê a solução, já que o prazer da descoberta é do aluno.

O que o professor faz é oferecer aos alunos um método geral de ataque a um problema. Este método, dividido em etapas claras e distintas, será sempre seguido, mesmo para problemas simples, nos quais a solu­ção pareça evidente. Tal procedimento cria então um hábito que será muito útil, principalmente quando a complexidade dos problemas for aumentando. As etapas para a resolução de um problema podem ser resu­midas como a seguir:

l.o —

2.° 3.° 4.°

Compreender o problema, determinando: • o que se pede; • e o que foi dado. Elaborar um plano para resolução. Executar o plano. Examinar a solução.

Ao auxiliar seus alunos na resolução de problemas, o professor, se­guindo sempre esses passos, vai habituá-los ao uso do método de reso­lução. Procurando acompanhar o raciocínio da criança, ele fará perguntas ou dará sugestões tais como:

• "Releia o problema." • "Qual é a pergunta?" • "O que precisamos encontrar?" • "O que já sabemos?" • "Qual o próximo passo do seu plano?"

Para exemplificar, veja este exemplo de diálogo que leva os alunos à compreensão de um problema e ao planejamento da resolução. Observe como o professor se preocupa mais em incentivar o raciocínio, do que em oferecer respostas prontas.

Problema:

• "Numa sala de aula os alunos estão arrumados em 4 filas com 10 carteiras cada uma. Se quisermos trabalhar em grupos de 5 alunos, quantos grupos vamos formar?"

P — professor A — aluno

P — "O que nós sabemos? A — Que a sala está arrumada em filas e queremos arrumá-la em

grupos. P — Isto mesmo. Mas nós sabemos quantas filas? A — O problema diz que são 4 filas com 10 carteiras em cada uma. P — Qual é a pergunta? A — Quantos grupos vão formar. P — Certo. Mas o que mais nós sabemos para responder a esta

pergunta? A — Que cada grupo terá 5 alunos. P — O que vamos fazer primeiro para resolver nosso problema? A — Temos que saber quantos alunos tem a turma toda. P — E depois? A — Ora, depois dividimos o total de alunos por 5. P — Por quê? A — Para saber quantos grupos de 5 cabem na turma toda. P — É isso mesmo. Vamos lá, todos ao trabalho."

Não devemos esquecer que o objetivo de tal procedimento não é apenas o de auxiliar na resolução de um problema em classe, mas pre­parar o aluno para resolver problemas futuros, independentemente.

Cabe ainda ao professor selecionar ou elaborar os problemas que serão propostos às crianças, em situações variadas. Tais situações, con­cretas ou imaginárias, podem ser situações de vida ou outras que possam ocorrer, situações provenientes das demais disciplinas, situações de classe, e assim por diante. Existem alguns cuidados na seleção ou con­fecção de problemas que não podemos esquecer (ver aula 17), sendo que o principal é respeitar a etapa de desenvolvimento mental e o nível de conhecimento matemático dos alunos.

SUGESTÃO DE Elabore uma lista de perguntas, no mínimo três, para cada etapa do ATIVIDADES método de resolução de problemas que acabamos de apresentar. São A il v iu A U " perguntas que você considera que poderão encaminhar o raciocínio de

seus alunos.

RESOLVENDO PROBLEMAS

OBJETIVOS DESTA AULA

Propor situações que estimulem a resolução de problemas.

TEXTO PARA LEITURA

Resolver um problema é seguir um processo bem definido, através do qual aplicamos conceitos e habilidades já adquiridos a uma situação nova, na qual estamos interessados. Vejamos com mais cuidado os con­ceitos aqui sintetizados.

Etapas para a

Resolução de um

Problema

Na aula 16, vimos que as etapas para a resolução de um problema sao:

1.° 2.° 3.° 4.°

Compreender o problema. Elaborar um plano. Executar o plano. Examinar a solução.

Cada uma destas etapas é muito importante, e seu conjunto define claramente um processo natural de resolução de qualquer problema.

Para problemas escritos ou não, é básica a compreensão do pro­blema, ou seja, uma interpretação adequada do texto escrito ou então de uma situação apresentada oralmente. Diante de um problema, precisamos antes de tudo saber o que estamos procurando ou o que devemos solu­cionar — enfim, o que se pede — e também o que já sabemos a respeito da situação, as condições impostas e, em alguns casos, o que não foi dito mas foi dado, e é necessário para a elaboração do plano e para a própria resolução.

Tendo compreendido o problema, o segundo passo depende dos con­ceitos e habilidades que já temos desenvolvido. É natural que, para ela­borar um plano, recorramos aos nossos conhecimentos e experiências anteriores, tentando recordar se já estivemos diante de alguma situação semelhante. No entanto, se a situação for idêntica a uma já resolvida, não estaremos resolvendo um problema, mas apenas aplicando uma resposta habitual, dada anteriormente. Diante de uma situação nova, só será pos­sível elaborar um plano, se esta situação for adequada, não exigindo conhecimentos matemáticos ainda não apreendidos em sua plenitude.

O terceiro passo ou etapa do método de resolução de problemas será muito simples, se os dois primeiros tiverem sido bem explorados e se o problema estiver adequado. Bastará apenas que a execução siga o plano elaborado e que ela seja feita com atenção, verificando-se cada passo.

O exame da solução é uma etapa frequentemente omitida. No entanto, é ela que levará à formação do senso crítico e proporcionará, muitas vezes, novas descobertas. Quando examinamos a solução de um problema resol-

vido, não estamos só interessados em verificar se a resposta obtida está correta ou, no caso de uma situação com mais de uma solução, se a resposta encontrada se adapta às condições e aos dados. Esta etapa leva também a descobertas como: se é possível encontrar a solução por um caminho mais rápido e eficiente; se a solução poderia ter sido estimada (adivinhada com uma exatidão razoável); ou se o método de resolução poderá ser utilizado em outros problemas.

Só para exemplificar: foi feita uma pesquisai*) com alunos da 5.a série, num grupo de escolas do Município do Rio de Janeiro, com o objetivo de fazer um diagnóstico do desempenho daqueles alunos nas quatro operações com números naturais. Os resultados mostraram, entre outras coisas, como os alunos não vivenciam as etapas, descritas anteriormente, para a resolução de problemas. Vejamos um dos problemas propostos na pesquisa, em que se verificou que um simples exame da solução teria elevado o percentual de acertos.

"Para chegar à escola às 8 horas, Maria deve acordar 2 horas antes. A que horas Maria deve acordar?"

10% dos alunos responderam que Maria devia acordar às 10 horas. É claro, que, na vida prática, os alunos não dariam tal resposta. Se per­guntados diretamente sobre a resposta dada, provavelmente perceberiam que, acordando às 10 horas, jamais poderiam já estar na escola às 8 horas. O simples hábito de rever a solução levaria aqueles alunos a refor­mularem a resposta dada.

Esse hábito de sempre rever a solução, de pensar, de raciocinar compreendendo o que se acabou de fazer, é importantíssimo, não só para resolver problemas de Matemática; mas também, para avaliar situações cotidianas, tarefas realizadas nas mais diferentes ocasiões do nosso dia-a-dia. E, para que o hábito seja criado, o incentivo do professor é básico: através de perguntas que estimulam a inteligência do aluno, o professor ajuda a rever o próprio raciocínio e a pensar com clareza e criatividade.

Sabemos, pela definição de problema e do que é resolver um pro­blema, que este deve despertar alguma curiosidade e interesse no aluno. Não haverá prazer na descoberta, ou mesmo, não haverá a própria desco­berta, se não houver o interesse e a possibilidade de realizá-la. Desta forma, uma situação-problema apresentada a um aluno, além de ser com­patível com seus conhecimentos matemáticos, deve, durante as quatro primeiras séries (quando a criança, na maioria dos casos, está no estágio das operações concretas), e^tar intimamente ligada a ações concretas como: reunir e acrescentar, no caso da adição; retirar, comparar e com­pletar, no caso da subtração; adicionar parcelas iguais, na multiplicação; e repartir ou verificar "quantos cabem" (divisão-medida), quando envolver a divisão. Tais ações podem ser reais ou então imaginadas, nos casos em que não dispomos ou em que não é possível dispor dos objetos, por serem imóveis ou muito numerosos.

Suponhamos que o nosso problema fosse, por exemplo, saber o número total de bois de Minas e São Paulo. Reunir todos esses bois e contá-los seria muito difícil. No entanto, a ação de reuni-los pode ser imaginada, e o total facilmente encontrado, se os números envolvidos na situação forem conhecidos e representados simbolicamente.

É importante que haja motivação e que a situação apresentada possa ser compreendida pela criança. Os enunciados devem ser sempre claros e não muito longos, conter palavras do vocabulário do aluno, ou então palavras que já tenham sido exploradas em sala de aula. Geralmente,

(*) Pesquisa do Projeto de Formação Permanente de Professores de 1.°, 2.° e 3.° Graus do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro/SME/ SESU/MEC — 1980.

a dificuldade dos alunos em resolver um problema está mais na compre­ensão do enunciado, muitas vezes mal escrito, longo ou confuso. Daí, professor, a necessidade de um cuidado muito grande na redação de uma situação-problema.

Desenvolvendo a

Habi l idade de

Resolver Problemas

A habilidade de resolver problemas só se desenvolve à medida que a criança os resolve. Da mesma forma que só se aprende a andar ten­tando, caindo, tentando de novo e treinando. O aluno só chegará a resol­ver problemas independentemente, se o professor lhe der múltiplas opor­tunidades nas quais, apesar de auxiliá-lo quando for necessário, deixa que uma parcela considerável do trabalho seja feita por ele próprio. Quanto mais situações-problema variadas o aluno resolver, maior tam­bém será o seu repertório, o que o auxiliará, como já vimos, na elabo­ração de um plano, diante de uma situação nova.

É conveniente que haja um desenvolvimento gradual, antes de serem propostos problemas sob a forma escrita. A criança pode resolver situa­ções-problema simples, mesmo antes de ter sido alfabetizada. Quando mostramos atividades que preparam para a conceituação das operações (aulas 7 e 11), a maior parte delas eram provenientes de situações-problema vividas, manipuladas e até mesmo apresentadas sob a forma de "historinhas" contadas pelo professor. Aquelas atividades, além de prepararem para o uso das operações matemáticas, são os primeiros problemas propostos aos alunos.

Sob a forma de pequenas histórias, os problemas ficam mais claros para a criança.

Depois que os conceitos das operações tiverem sido dominados, e quando a criança já é capaz de interpretar pequenos textos, os problemas escritos começam a ser apresentados. Os textos devem ser curtos e claros, contendo palavras do vocabulário dos alunos, e a situação narrada deve envolver apenas uma operação. A dificuldade irá aumentando conforme forem crescendo as habilidades dos alunos em ler, interpretar e com­preender; também é preciso considerar os avanços da criança no sentido da conceituação das operações e da utilização correta dos algoritmos.

Não podemos esquecer porém que, quando apresentamos um pro­blema, o objetivo não é a cobrança de cálculos complicados ou com números muito grandes, mas sim o desenvolvimento do raciocínio e das habilidades necessárias à realização das etapas de resolução.

Outras atividades muito proveitosas no desenvolvimento da habili­dade de resolver problemas seriam, por exemplo: levar a criança a redigir ou apenas a enunciar oralmente, com suas próprias palavras, problemas provenientes de situações de classe, de uma aula de geografia, de uma notícia de jornal, de um cartaz ou mesmo criados a partir de sentenças matemáticas. Tais atividades permitem avaliar a compreensão que o aluno tem dos fatos, medir até que ponto usa corretamente o vocabulário mate­mático e em que medida domina o conceito das operações. O professor pode colecionar esse material para propor sua resolução, e as crianças se sentirão muito estimuladas a resolver problemas que elas próprias ou os colegas criaram.

PARA VOCÊ SABER MAIS

Vamos ver alguns exemplos de tipos diferentes de problemas:

Problema dramatizado: • Duas crianças brincando de "lojinha". Uma criança tem que dar

o troco à outra.

alto.

Problema sem dados numéricos: • Invente uma maneira de verificar qual, entre dois alunos, é o mais

Problema incompleto: • Um terreno retangular, de 5 m de largura, foi cercado com 3

voltas de arame. O que precisamos ainda saber para podermos calcular quantos metros de arame foram necessários?

Problema para desenvolver a habilidade de interpretação de símbolos e representações gráficas:

Observe a linha do tempo e responda:

1800 1900

Vinda da Família Real Portuguesa

Proclamação da República

a) Cada espaço (| i) representa (10) anos. b) Ao todo estão representados anos ou um c) Procure assinalar corretamente na linha do tempo:

• A Independência do Brasil (1822) • O fim da Guerra do Paraguai (1870)

d) Há quantos anos foi proclamada a República? (Lembre-se do ano em que estamos) Resposta:

Problema extraído de anúncios • A "Loja X" vende ferro de passar roupa por Cr$ 39.000, com

garantia de 6 meses. A "Loja Z" vende por Cr$ 45.000 com garantia de um ano. Em que loja você compraria o seu ferro? Explique por quê.

Problema de Construções Geométricas • Usando apenas dobraduras e a tesoura, de que forma você faria

um quadrado?

INTRODUZINDO FRAÇÕES

OBJETIVOS DESTA AULA

• Propor atividades que levam à conceituação de frações, como partes iguais de um inteiro discreto ou contínuo.

TEXTO PARA LEITURA

A conceituação de fração é um dos tópicos da Matemática no qual os alunos têm apresentado muitas dificuldades. Estas dificuldades apa­recem quando o professor — pensando que as crianças já compreendem o que seja uma fração, simplesmente porque escrevem números fracio-nários — começa o ensino das operações ou a proposição de problemas com frações. Este fato fez com que alguns matemáticos, preocupados com o ensino da Matemática, propusessem novas metodologias para o ensino de frações. Dentre as experiências existentes, a que melhores resultados vem oferecendo é a proposta do professor Luiz Alberto S. Bra­sil, apresentada em seu livro "Aplicações da Teoria de Piaget ao Ensino da Matemática."

A metodologia por ele criada vem sendo utilizada por vários pro­fessores. O Grupo de Pesquisa em Educação Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, complementou e enriqueceu o trabalho inicial, elaborando um material didático (fichas de atividades para o aluno), que bons resultados vem demonstrando.

Consideramos que esta é uma forma adequada de ensinar frações; e tentaremos explicá-la apresentando algumas atividades.

A Proposta Sabemos que, para uma criança incorporar um conceito, ela precisa manipular, experimentar muitas vezes, até que possa descobrir tal con­ceito, tirando suas próprias conclusões. Nossa sugestão aqui é esta: que o conceito de fração seja construído através de inúmeras atividades de manipulação de grandezas discretas ,ou seja, grandezas que podem ser contadas, divididas em partes iguais.

Na maioria dos problemas que aparecem em nossa vida, o conceito de fração é utilizado para determinar frações de quantidades numéricas ou de conjuntos de objetos que podemos contar e cuja cardinalidade podemos determinar, isto é, conjuntos discretos. Muitas vezes, precisamos saber dividir em partes iguais conjuntos de alunos, de bois, de mesas, para que possamos encontrar dois quintos dos alunos, três quartos do gado bovino, um sexto das mesas da escola e assim por diante.

Na maioria dos livros didáticos, o ensino de frações já parte.da re­presentação no papel, ou seja, do desenho, que costumamos denominar de fase semi-concreta, não se preocupando com a fase concreta. Além disso, quando a fase concreta é levada em consideração, a proposta mais comum é a de que o conceito de fração seja introduzido dividindo-se objetos como laranjas, bolos ou barras de chocolate, em partes iguais.

Este tipo de trabalho pode ser prejudicial, já que pode levar as crian-

ças a considerarem que as partes não precisam ser exatamente iguais, para que possamos denominá-las "metade do todo", "terça parte do todo".

Isto não significa, entretanto, que o aluno não deva visualizar frações de grandezas ditas contínuas, como a barra de chocolate e o bolo, divi­didas em partes iguais. Afirmamos, porém, que tem sido mais difícil para os alunos começar com a barra de chocolate e transferir o aprendizado, quase sempre sem o auxílio de etapas intermediárias, para os problemas que lhe são apresentados mais tarde e que envolvem grandezas discretas.

Primeiras Experiências

com Frações As primeiras experiências que o aluno tem com frações são inciden­

tais. Na primeira série ,o professor pode trabalhar a noção de metade

já que, muitas vezes, o aluno traz esta noção e atende corretamente a ordens como: "divida esta folha de papel ao meio", "dê a metade destas chapinhas ao João", "separe estes palitos em duas partes iguais". É claro que a noção de quantidade já deve ter sido formada, e o aluno utilizara o emparelhamento, no caso discreto, e a superposição, no caso contínuo, para verificar se as partes obtidas são realmente iguais.

Lembre-se que, quando propusermos a divisão de um objeto (um todo contínuo) em duas partes iguais, devemos utilizar materiais que, após cortados, possam ser superpostos, como: barbante, papel, figuras geométricas (quadrados e círculos, por exemplo), de forma a propiciar que a criança verifique se as partes obtidas são realmente iguais.

É importante lembrar neste momento que os primeiros passos no ensino de frações já são dados quando utilizamos materiais concretos no ensino da divisão. Nesta ocasião, a criança estará desenvolvendo a habilidade necessária para dividir conjuntos em partes iguais.

A introdução do conceito de fração, da representação dos números fracionários e da nomenclatura adequada, só é aconselhada após o con­ceito de divisão ter sido trabalhado e compreendido pelos alunos, que já devem dominar os fatos básicos da divisão com dividendos até 36, pelo menos.

Atividades para o

Estudo de Frações

Cada aluno deve possuir um conjunto de 36 cartões de papelão ou cartolina, com faces de cores diferentes (vermelho e branco, por exemplo). Podemos utilizar também coleções de 36 tampinhas de refrigerantes para cada criança.

Começamos a trabalhar com 12 cartões e repetimos as atividades, variando o número de cartões até 36.

Desenvolvimento das atividades

ATENÇÃO:

1 — Vamos descrever aqui os passos e o raciocínio que você fará com o aluno.

• Separe 12 cartões. • Arrume estes cartões em 3 filas iguais, estando todo os cartões

com o lado branco para cima. • Vamos dividir o conjunto de cartões em 3 partes iguais. Cada

uma das 3 partes é chamada

TERÇO

lho. Vire todos os cartões da primeira das 3 filas para o lado verme-

Pergunte então:

• "Quantas filas estão na cor vermelha?" Temos então UM TERÇO dos cartões na cor vermelha.

• "Quantas filas estão na cor branca?"

Logo, temos DOIS TERÇOS dos cartões na cor branca.

2 — Vamos arrumar os cartões de outra forma.

• Tente colocar seus 12 cartões em 4 filas iguais. • Agora, vire a primeira fila para o lado vermelho, deixando as

outras três do lado branco.

Quando dividimos um conjunto em 4 partes iguais, cada uma destas partes é chamada

QUARTO

• "Quantos QUARTOS estão na cor vermelha?" (3) • "Quantos QUARTOS estão na cor branca?" (9)

3 — Procure arrumar os 12 cartões em 6 filas iguais, sendo que a primeira fica em vermelho e as outras do lado branco.

Dividimos o conjunto de cartões em 6 partes iguais. Cada uma destas partes é chamada

SEXTO

• "Quantos SEXTOS estão na cor vermelha?" (2) • "Quantos SEXTOS estão na cor branca?" (10)

4 — Sem desarrumar os cartões, vire mais uma das 6 filas, a segun­da, para o lado vermelho.

• "Quantos SEXTOS estão na cor vermelha?" (4) • "Quantos SEXTOS estão na cor branca?" (8)

Repita as atividades descritas acima, utilizando 24 e 36 cartões, para fixar as noções de TERÇO, QUARTO e SEXTO.

Com 20 cartões, podemos introduzir a noção de QUINTO e ainda fixar QUARTO; e com 18 ou 36 cartões, introduzimos NONO (frações com de­nominador 9) e fixamos as frações já estudadas, cujos denominadores sejam divisores destes números.

Na segunda série de atividades, o professor começa a levar seus alunos a relacionarem a fração com a quantidade de elementos existentes em cada parte considerada do todo. Vejamos gm exemplo.

Você começa perguntando aos alunos:

"Em quantas partes iguais devemos dividir 18 cartões, para obtermos um terço?"

Peça que arrumem 18 cartões em três partes iguais, sendo a primeira fila, na cor vermelha, e as outras, na cor branca.

A resposta é então:

Temos UM TERÇO dos 18 cartões na cor vermelha

• "Então, UM TERÇO de 18 cartões quantos cartões são?" (6) • "E DOIS TERÇOS de 18, quantos cartões são?" (12)

Quando a criança estiver dominando as nomenclaturas introduzidas e relacionando as frações obtidas a quantidades, começamos a trabalhar

com o semi-concreto, ou seja, com atividades a partir de desenhos mi-meografados, por exemplo.

Vejamos uma atividade deste tipo.

Nesta fase o aluno poderá também resolver alguns problemas en­volvendo fração, recorrendo, se necessário, à confecção de desenhos ou aos cartões.

— de 12 ovos, quantos ovos são? 4

1 "Ao calcular — dos 12 ovos, que operações você fez"?

4

de trinta cruzeiros, quantos cruzeiros são?

"Para encontrar 3 de 30 quantas operações foram necessárias?

Quais foram elas?"

Para verificarmos se um aluno compreendeu o conceito de fração, usando conjuntos discretos, ele deve ainda ser capaz de, dada uma quan­tidade do todo, dizer que fração esta quantidade é daquele conjunto. Vejamos dois exemplos de atividades.

No semi-concreto:

• "As maçãs pintadas representam que fração do total de maçãs da bandeja abaixo?" (....)

• "E as maçãs que não foram pintadas?" ( . . . . )

Através de Problemas:

1 — "Em quantas filas você deve dividir 12 cartões para obter 3 cartões em cada fila?"

2 — "6, que fração é de 18?" 3 — "2 ovos, que fração é de 1 dúzia de ovos?" 4 — "10 bolas de gude, que fração é de 100 bolas de gude?"

Tendo trabalhado bastante cada uma das etapas descritas acima, através de alguns exemplos, o professor também trabalhará com conjun­tos contínuos. Aqui também começamos com o manuseio de materiais, como barbante ou figuras recortadas, para que o aluno possa dobrar e comparar.

Por exemplo, tendo distribuído um quadrado para cada criança ou confeccionado os quadrados com eles, proponha:

"Dobre o quadrado em quatro partes iguais. Cada parte obtida, que fração é do quadrado? Pinte DOIS QUARTOS do quadrado".

Use materiais diferentes e dobraduras, que levem a frações variadas, para depois passar para as tradicionais atividades semi-concretas, como as exemplificadas abaixo.

1 — "Escreva a fração correspondente à parte pintada das figuras".

2 — "Pinte, em cada figura, a parte correspondente à fração indi­cada."

PARA VOCÊ SABER MAIS

"Os antigos matemáticos, quando começaram a expressar os núme­ros inteiros por algarismos, passaram a usar estes símbolos também para expressar as frações ordinárias. No começo, da seguinte maneira: 2 ter­ços em vez de DOIS TERÇOS; 3 quintos, 4 sextos, etc. Escreviam com os algarismos o número que exprimia a quantidade de partes iguais que com­preendiam a fração. Para eles, somente a quantidade de partes era núme­ro e por isso chamaram este número NUMERADOR da fração; enquanto que as palavras meio, terço, quarto, etc. denominavam a natureza dessas partes e, por isso, eram os DENOMINADORES da fração.

Muito depois foi que convencionaram designar o denominador pelo número que indicasse em quantas partes iguais tinha sido dividida a unidade (o todo, o conjunto). Convencionaram então escrever 2 para

3

significar dois terços. O número acima da barra designando o numerador, e o número abaixo da barra, o denominador."

(Fonte: Luis Alberto Brasil, "Experiências Pedagógicas segundo Jean Piaget", Forense)

Lembre-se • Temos um conjunto discreto quando nos referimos a um conjunto de objetos que podem ser contados. Por exemplo: um conjunto de tam­pinhas ou um conjunto de palitos. No ensino das frações vamos trabalhar com partes, com frações desse conjunto. Um todo contínuo é uma coisa única, que pode ser dividada através de algum recurso. Por exemplo: uma folha é um todo continuo, que poderá ser dividida ao meio, com uma tesoura.

EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES

OBJETIVOS • Reconhecer frações equivalentes como maneiras diferentes de DESTA AULA escrever a mesma quantidade.

• Avaliar a importância da identificação de frações equivalentes.

TEXTO PARA LEITURA

Dedicamos esta aula ao estudo da equivalência de frações. O con­ceito de equivalência deve ser bem trabalhado, já que amplia a compre­ensão do que é fração, ou seja, a compreensão de que uma parte de um todo pode ser representada por diferentes frações, que evidenciam a forma pela qual esta parte foi obtida. A conceituação de frações equiva­lentes possibilita a comparação e a simplificação de frações, sem a utili­zação de regras decoradas, além de ser fundamental para a adição e a subtração de frações heterogéneas (frações de denominadores diferentes).

Denominamos frações equivalentes àquelas frações que representam a mesma quantidade. Por exemplo: as frações 12 4 são equivalen-

~2~'~4'ir tes. Se você tem um total de 16 cartões, pode arrumar 8 cartões em vermelho e 8 cartões em branco de diversas maneiras. Veja:

Em cada um dos três casos acima, temos 8 cartões em vermelho; eles foram conseguidos, no 1.° caso, virando-se uma de duas filas iguais; no 2.° caso, virando duas dentre quatro filas iguais; e no 3.°, 4 dentre 8 filas iguais.

Acabamos de comprovar, utilizando um conjunto discreto, que as frações J_ _2_ _4_ são equivalentes.

2 ' 4 ' 8

O mesmo pode ser observado em conjuntos contínuos como nos gráficos abaixo.

Note, mais uma vez, que a parte do todo que estas frações repre­sentam é equivalente, isto é, as frações J_ 2_ e 4_ são maneiras dife-

2 4 8 rentes de escrever a mesma quantidade.

Você já deve saber que obtemos frações equivalentes de uma fração dada, multiplicando ou dividindo ambos os seus termos (numerador e deno­minador) por um mesmo número diferente de 0 (zero). Por exemplo, as frações _3 e 1^ são equivalentes a 6_. Além disso, como podemos

4 16 8 multiplicar os termos de uma fração por uma infinidade de números, um conjunto de frações equivalente é infinito.

Observe: o c o n j u n t o / ^ 6^ 9± l í ^ 15^ j é u m conjunto de U 8 12 16 20 /

frações equivalentes. No entanto, como temos enfatizado, os conceitos são formados na

criança a partir de manipulações e experimentações. Depois de vivenciar várias atividades concretas, a criança deverá construir regras próprias para encontrar frações equivalentes. As atividades que levam à conceituação de equivalência de frações utilizam conjuntos discretos e contínuos, como fizemos anteriormente. Daremos apenas um exemplo, lembrando, no en­tanto, que tais atividades devem ser repetidas, variando as quantidades e as frações, até que as crianças cheguem às suas conclusões, mos­trando que compreenderam.

Equivalência de

Frações de

Conjuntos Discretos

A atividade que apresentamos a seguir pode ser proposta por escrito, em folha mimeografada, ou oralmente, anotando-se apenas os resultados obtidos. O material necessário são os cartões já utilizados na aula 17.

1.° caso.

• "Separe 24 cartões e coloque-os sobre a mesa: • Arrume seus cartões em três filas iguais, sendo uma na cor vermelha

e duas em branco. • Quantos cartões vermelhos há? • Que fração estes cartões representam do total?"

2.° caso. • "Agora, sem virar os cartões, coloque-os em seis filas iguais. Em cada

fila, os cartões devem ter a mesma cor. • Que fração os cartões vermelhos representam do total?

• Quantos cartões vermelhos há? • Que fração os cartões brancos representam do total?"

3.° caso

• "Arrume os mesmos 24 cartões, sem virar nenhum, em doze filas iguais. Em cada fila os cartões devem ter a mesma cor.

• Que fração os cartões vermelhos representam do total? • Quantos há? • Que fração os cartões brancos representam do total? • Quantos há?

Agora peça que os alunos completem: • "Nos três casos a quantidade de cartões vermelhos é " • "No 1.° caso, 8 cartões vermelhos representam a fração

do total." • "No 2.° caso, 8 cartões vermelhos representam a fração

do total." • "No 3.° caso, 8 cartões vermelhos representam a fração

do total." Como a quantidade de cartões vermelhos é a mesma, dizemos que

as frações - = - , - ^ - , - y s - representam quantidades iguais, e por isso 3 6 12

são frações equivalentes.

Escreve-se assim:

• "Quantos cartões brancos há em cada caso? " • "No 1.° caso cartões brancos correspondem à fração . . . .

do total." • "No 2.° caso cartões brancos correspondem à fração . . . .

do total." • "No 3.° caso, . . . . cartões brancos correspondem à fração . . . .

do total." • "Assim, as frações e . . . . são equivalentes. E escre­

vemos: . . . . = . . . . = . . . . "

Durante o desenvolvimento desta atividade, é interessante que o pro­fessor deixe registrado com cartões no flanelografo, em cartaz ou ainda com giz colorido no quadro-de-giz, cada um dos casos obtidos concreta­mente pelas crianças; ou seja:

1.° caso

2.° caso

Isso facilitará muito a comparação de cada um deles. Podemos propor atividades semi-concretas, substituindo os cartões

por desenhos feitos pelas crianças em folha de papel. Por exemplo: Distribua para os alunos uma folha mimeografada como a seguinte:

1 —

. . . . bolas vermelhas represen­tam a fração . . . . do total.

3 —

. . . . bolas vermelhas represen­tam a fração . . . . do total.

2 —

. . . . bolas vermelhas represen­tam a fração . . . . do total.

4 —

Escreva as frações equivalentes que você obteve:

Você vai, então, pedir aos alunos o seguinte: 1 — No espaço que tem o n.° 1, desenhe 16 bolas em duas filas,

com o mesmo número de bolas em cada uma delas.

— Pinte uma das duas filas de vermelho. — Quantas bolas você coloriu de vermelho? — Que fração elas representam do total? — Agora, complete a frase da sua folha com atenção.

2 — No espaço de n.° 2, desenhe 16 bolas em quatro filas iguais.

— Pinte duas das quatro filas de vermelho. — Quantas bolas você coloriu de vermelho? — Que fração elas representam do total? — Agora, complete a frase da sua folha com atenção.

3 — Desenhe, no espaço de n.° 3, 16 bolas em um outro n.° de filas iguais.

— Pinte as bolas de quantas filas você precisar, para que o n.f de bolas vermelhas continue sendo 8. Lembre que em cada fila as bolas devem ter a mesma cor.

— Quantas filas você obteve? — As 8 bolas vermelhas representam que fração do total? — Complete agora a frase do espaço 3. — Observe as experiências realizadas e complete, no espaço com

n.° 4, as frações equivalentes que acabamos de encontrar.

Você deve ter observado que, com o mesmo tipo de folha mimeogra-fada, você pode repetir esta atividade variando o número de bolas e as frações equivalentes que as crianças irão encontrar.

Equivalência de Para realizar tais atividades você pode utilizar círculos, quadrados Frações em ou t ' ras> sempre do mesmo tamanho, recortados em papel.

_ * , Cada aluno deve dispor do material necessário para a realização da Con|untos Contínuos atividade.

Então, você vai solicitar ao aluno que:

1 — Pegue um círculo, dobre-o em duas partes iguais e pinte uma delas.

— Recorte a parte pintada. — Que fração do circulo esta parte representa? — Escreva esta fração no pedaço separado.

2 — Pegue outro círculo, dobre-o em quatro partes iguais e pinte duas delas.

• Que fração do círculo você pintou? • Separe as partes pintadas e escreva no pedaço obtido a fração

do círculo que ele representa.

3 — Pegue o último círculo, dobre-o em oito partes iguais e pinte quatro delas.

• Que fração do circulo você pintou? • Separe as partes pintadas e escreva no pedaço obtido a fração

que ele representa do circulo todo.

4 — Compare agora as partes pintadas obtidas nas três experiências, colocando-as uma sobre a outra.

• O que você concluiu? • Como a parte pintada do círculo, em cada caso foi a mesma, você

1 2 4 observa que as frações —~—, — j — e -5— representam a mesma parte cio todo.

• Vamos registrar nossas conclusões em linguagem matemática?

Escrevemos = = ou dizemos que as frações e são equivalentes.

Após algumas atividades de manipulação, podemos utilizar repre­sentações gráficas em folhas mimeografadas. A atividade acima, por exemplo, passaria a ser proposta da seguinte forma.

• "Pinte nos círculos abaixo a fração que se pede."

• Observe que as partes pintadas são do mesmo tamanho. Logo, as frações e são equivalentes, e escrevemos

Para que os alunos concluam que — se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração, por um mesmo número diferente de zero, obteremos uma fração equivalente — é útil ir regis­trando, num mural ou folhas de papel pardo, as frações equivalentes que forem descobrindo.

O professor deve levar os alunos a observarem os conjuntos obti­dos e perguntar se poderiam encontrar outras frações equivalentes a

1 2 4 - — , -— e por exemplo. Quando eles chegarem a descobrir

3 6 12 outra fração equivalente a estas, pergunte o que fizeram para encontrá-la. Acrescente, então, outras frações equivalentes a todos os conjuntos de frações equivalentes já anotados.

Simplificação de Frações Quando o professor estiver trabalhando com os conjuntos de frações equivalentes, deve levar os alunos a observarem, através de perguntas, que estes conjuntos são infinitos, e que em cada um deles existe uma fração

que é mais simples. Observando as frações equivalentes - e

- por exemplo, pergunte: 15

• "Qual delas é a mais simples?"

• "Por quanto você deve multiplicar os dois termos da fração

para obter a fração 10

• "E para obter a fração 15

• "A fração 5 1 é equivalente a —=— ? Por quê? Poderíamos 25 " • — 5

escrever outras frações equivalentes a estas?" m "Quais?" • "Existem apenas estas, ou podemos continuar encontrando ou

trás?" • "Por quê?"

Apresente aos alunos a fração 12 36

, por exemplo, e pergunte:

• "O que precisamos fazer para encontrar uma fração equivalente a esta, com denominador menor que 36?"

12 • "Qual a fração equivalente a 36 , com denominador igual

a 18?"

"Podemos encontrar outra fração equivalente a 12 36 com

termos ainda menores? Qual?" • "Qual a fração equivalente a esta, com numerador 3?" • "Podemos encontrar uma ainda mais simples?"

Através de atividades como as descritas acima, os alunos irão per­cebendo que estamos simplificando uma fração, sempre que dividirmos ambos os seus termos por um mesmo número. Cada fração equivalente, assim obtida, é mais simples do que a anterior, e quando uma fração não pode ser mais simplificada, dizemos que está reduzida à sua forma mais simples (fração irredutível).

Comparação de Frações A comparação de frações deve ser proposta através de situações-problema, nas quais o aluno verá sua utilidade e ficará estimulado a des­cobrir a solução, passando pela necessidade da descoberta de regras de comparação.

Primeiramente, os problemas devem envolver comparação de frações com o mesmo numerador, e o aluno deverá ser estimulado a utilizar os cartões ou a confeccionar gráficos na resolução de tais problemas. Veja dois exemplos:

"Rodrigo acertou

Quem acertou mais?"

"Pedro comeu -

Quem comeu mais?"

12 20

das questões da prova, e Felipe 15 20

8 de uma "pizza" e Caroline comeu

Para comparar frações de denominadores diferentes, após apresen­tado o problema e durante a fase de compreensão, os alunos devem che­gar a explicitar a nova dificuldade (de que há denominadores diferentes). Durante a elaboração do plano, o professor estimulará seus alunos a en­contrarem frações equivalentes às frações dadas, e que tenham o mesmo denominador. Isso ele vai fazer através de perguntas como:

• "Nós já sabemos comparar frações com denominadores iguais?" • "O que fazemos neste caso?" • "Podemos encontrar outras frações que representam a mesma

quantidade?"

• "Como estas frações são chamadas?" • "Então, podemos encontrar frações equivalentes às frações do

problema?"

Lembre-se que só sabemos comparar frações com denominadores iguais. Veja agora este outro problema:

"Se Maria comeu - = - do bolo, e Mariana comeu - ^ - , quem

comeu mais? Para saber quem comeu mais, procurem encontrar 2 1

frações equivalentes a - = - e - ^ - , com o mesmo denominador. 9 3

Que denominador podemos usar?"

• Não consideramos fundamental que as crianças utilizem o menor denominador comum. Tendo compreendido a noção de frações equiva­lentes, a diversidade de respostas deve até mesmo ser estimulada. Co­mumente, as próprias crianças vão comparar suas soluções e vão descobrir que, quanto menor os números utilizados, mais simplesmente e com menos possibilidade de erro será encontrada a solução.

Lembre-se

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

OBJETIVOS DESTA AULA

• Propor situações concretas que favoreçam o aprendizado das operações da adição e subtração de frações.

TEXTO PARA LEITURA

Os conceitos da adição e subtração de frações devem ser desenvol­vidos, inicialmente, a partir de experiências com materiais concretos, como os cartões já utilizados (conjuntos discretos) e tiras de papel ou figuras geométricas (conjuntos contínuos). Após algumas atividades de manipulação, devemos trabalhar com representações gráficas de conjun­tos discretos e contínuos.

O importante é levar o aluno a concluir as regras, observando o tempo e o número de atividades necessários para isso.

Atividades para

Adição

Você vai solicitar ao aluno que:

1 — "Separe 20 cartões.

Arrume-os em 5 filas iguais. Vire _1_ dos cartões para o lado vermelho.

5

Agora, vire mais _2_ 5

dos cartões para o lado vermelho.

Quantos quintos dos cartões você tem em vermelho? (

Quantos cartões estão em vermelho? (12) Observe o que fizemos":

J_ 5 i 4

+

+

_2_ = 5 i 8 =

_3_ 5 l

12

2 — "Pegue um círculo e divida em 8 partes iguais.

Pinte de vermelho 2 do círculo e 5 de azul. 2_ 8

5_ 8

Que fração do circulo você pintou? ( 7_ ) 8

3

5

• Vamos representar o que fizemos, matematicamente" :

3 — "Pinte de vermelhoJ_do total de flores e_3_de amarelo. 7 7

• Quantas flores você pintou de vermelho? (2) • E de amarelo? (6) • Quantos sétimos do total de flores você pintou? (quatro sétimos

ou _4_ ) 7

• Quantas flores você pintou? (8) • Observe:

Os alunos devem executar atividades como as descritas acima, até que sejam capazes de concluir, com suas próprias palavras, que:

"Para somar frações de mesmo denominador, somam-se os numeradores e repete-se o denominador".

Neste estágio, o professor proporá uma nova situação-problema. "Vocês conseguiram somar '"

Durante a análise do problema, devem ser levantados os seguintes dados:

• precisamos somar duas frações; • as frações são

• estas frações têm denominadores diferentes; • sabem somar frações de denominadores iguais.

Conhecendo os dados, o segundo passo é a elaboração do plano de resolução. Os alunos, constatando que sabem somar apenas frações com denominadores iguais, e que as frações do problema têm denominadores diferentes, devem pensar em encontrar uma forma de transformar as fra­ções dadas em frações com o mesmo denominador. Isto é possível, uti­lizando o aprendizado de frações equivalentes. O plano então será: en­contrar frações equivalentes a J_ e J_ com o mesmo denominador

2 3 e somar as frações encontradas.

A execução do plano deve ser coletiva. Os alunos determinarão o denominador comum que irão utilizar, e o professor pode mostrar-lhes que, quanto menor o número escolhido, mais fácil será a solução. Ob­serve que, se escolherem o número 18, as frações serão 9 = 1 e

'18 2 6 = 1; enquanto que se escolherem 6, as frações equivalentes

lã 3 a 1 e 1 serão 3 e _2_ , respectivamente. Tendo as fra-

T ~3~ ~6~ ~6~

ções, eles vão utilizar a regra para somar frações de mesmo denominador e encontrarão o resultado:

O resultado será verificado, utilizando-se 3 tiras de papel do mesmo tamanho. Recorte, primeiramente, _1_ de uma das tiras, e _1_ de

2 3 outra, e escreva as frações correspondentes nos pedaços obtidos.

Divida agora a terceira tira em 6 partes iguais, risque as divisões e coloque as partes recortadas sobre ela, para verificar quantos sextos são necessários para representar 1 + J_ • Note que você pode apro-

2 3 veitar para comentar e verificar cada passo da resolução.

Proponha que os alunos somem outros pares de frações com deno­minadores diferentes, para que possam vivenciar o método descoberto, sanando possíveis dúvidas. A verificação da solução deve ser estimulada, e a diversidade de respostas, causada pela escolha de números diferen­tes para denominador, deve ser analisada. Quando os alunos estiverem trabalhando eficientemente, o professor pode propor que somem três fra­ções de denominadores diferentes.

Atividades para

Subtração

A aprendizagem da subtração será bem mais rápida, já que o aluno poderá utilizar os conhecimentos adquiridos com a adição e transferi-los para a subtração. As atividades são semelhantes e devem levar os alunos a concluir que:

"Para subtrair frações de mesmo denominador, subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador."

Pinte _5_ de azul. 8

• Agora, marque com um X duas das partes coloridas. Que fração do circulo você marcou com X? ( 2 ) •

• Quantas partes coloridas não estão marcadas? (3) • A que fração elas correspondem do circulo todo? |

Enfão, responda: 8 — 2_ = 3 8 8 8

A subtração de frações com denominadores diferentes será proposta em forma de situação-problema, da mesma maneira que fizemos com a adição.

Lembre-se • Estas operações deverão ser bastante trabalhadas em problemi-nhas variados, envolvendo os dois aspectos da adição (juntar e acres­centar) e as três ações subtrativas (retirar, comparar e completar).

• Nestes problemas, o aluno deverá transferir os conceitos com­preendidos para que se efetive o aprendizado.

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

OBJETIVOS

DESTA AULA

• Propor situações concretas que favoreçam o aprendizado da mul­tiplicação de frações.

TEXTO PARA

LEITURA

Devemos trabalhar a multiplicação de frações, somente quando per­cebermos que já existe um amadurecimento, por parte dos alunos, em relação às operações com os números naturais e às frações. Não porque sua resolução seja de difícil aprendizagem, pois, em termos operacionais práticos, é o que apresenta maior facilidade. Mas o seu resultado é bas­tante complexo para a criança, porque o conceito de produto será refor­mulado, uma vez que, ao multiplicar frações, ela irá encontrar produtos menores que um dos fatores.

Atividades Concretas

Que Levam ao

Aprendizado da

Mult ipl icação de Frações

Partindo do pressuposto de que o aluno já conhece o conceito de multiplicação de números naturais, vamos desenvolver agora nosso tra­balho na seguinte sequência.

1.° — Multiplicação de frações por inteiro

3 X

• Peça ao aluno que desenhe um retângulo e o divida em quatro partes iguais.

Que, a seguir, pinte de maneira diferente três dessas partes.

• Pergunte, então:

• "Observando a figura e usando a adição, de que maneira você pode representar o desenho acima?"

OBSERVAÇÃO:

Deixe que os alunos concluam que é:

4 ^ 4 T 4 4

• "Lembrando a multiplicação de números naturais, qual é a outra forma de representar essa igualdade?" 3 x 1 — 3

4 4

Podemos propor atividades em que se usam várias figuras iguais, como por exemplo:

• Peça ao aluno que desenhe três círculos e os divida ao meio, marcando uma das metades.

Pergunte aos alunos:

• "Quantas vezes temos o meio representado nas figuras?" (três) • "Como se calcula o total de partes pintadas nas figuras?" (so­

mando J_ + J_ + J_ = _3_ ) 2 2 2 2

• "Utilizando a multiplicação, qual é a outra maneira de calcular?" (3 X ± = JL )

2 2

Devemos trabalhar também com as crianças a utilização de um con­junto discreto, como esta por exemplo:

• Peça aos alunos que disponham 12 chapinhas em seis colunas, com a parte escrita para cima.

• Peça aos alunos que virem ao contrário - g - dessas chapinhas.

• Diga que virem agora para o lado contrário o dobro de - = - de

chapinhas.

OBSERVAÇÃO:

Espere que os alunos virem e então pergunte:

• "Que fração representa 2 vezes ? ( )

Logo:

• Repita a atividade usando o triplo, o quádruplo e o quíntuplo.

2.° — Multiplicação de número inteiro por fração

- • X 8

• Peça às crianças que arrumem 8 chapinhas.

• Discuta com as crianças que o oito se r e p e t e d e vez, ou

seja, menos de uma vez; logo, o que queremos achar é a quarta parte de 8; assim:

Pela figura, temos: - - x 8 = - o u - • x 8 = 2.

3.° — Multiplicação de fração por fração

• Peça aos alunos que desenhem um retângulo e o dividam em 3

quatro partes iguais, marcando os —r- dele.

Peça agora que achem a metade de vez de -—r- , ou seja, que

dividam —— ao meio. 4

Pergunte:

• "Que fração da figura inicial ficou agora remarcada?" ( )

• " O que podemos concluir?" ( q u e x = 3 ) ~8

Outra atividade que deve ser feita é a de trabalhar com o conjunto discreto, como por exemplo:

• Peça aos alunos que peguem 6 chapinhas e separem - delas.

Pergunte:

• "Quantas chapinhas você separou?" (duas)

• Peça que separem a metade destas chapinhas.

Pergunte:

• "Quantas chapinhas você separou?" (uma)

• "1 chapinha, que fração é de 6 chapinhas?" ( )

Concluímos, então, que - de - - das 6 chapinhas é o mesmo que

das chapinhas.

Em Matemática, escreve-se

Lembre-se

• Repita a atividade, usando tanto o conjunto contínuo como o discreto, até que as crianças concluam que:

Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores e os denominadores.

• Para melhor fixação, devemos usar também problemas, nos quais vemos a utilização dessa operação. Observe este exemplo:

dos livros de uma estante é de livros de Matemática.

desses livros de Matemática é de livros de 1a à 4a série. desses

livros de Matemática são livros de 5a à 8a série. O restante desses livros de Matemática é de livros de pesquisa para professores".

• Utilize o gráfico para descobrir:

— Que parte da estante é de livros de Matemática, de 1a à 4.a série?

— Que parte é de livros de Matemática, de 5.a à 8.a série?

— Que parte é de livros de pesquisa?

DIVISÃO DE FRAÇÕES

OBJETIVOS DESTA AULA

• Identificar as etapas do ensino da divisão de frações.. • Propor situações concretas que favoreçam o aprendizado da

operação de divisão de frações.

TEXTO PARA LEITURA

Todos nós aprendemos que, para dividir frações, simplesmente se inverte o divisor, e então, se efetua a multiplicação. Provavelmente, essa regra deve ter sido dada sem nenhuma justificativa. Hoje sabemos que, para utilizar uma regra, é preciso entendê-la. Nesta nossa aula mostra­remos como trabalhar concretamente, para identificar as etapas neces­sárias a uma real compreensão da divisão de frações.

Na verdade, não há uma utilidade prática desse aprendizado: a divi­são de frações raramente é usada no dia-a-dia, e por isso não desperta muito interesse nos alunos. Como acontece com a multiplicação, este conceito é muito complexo, uma vez que as crianças irão encontrar quo­cientes maiores que o dividendo, o que, à primeira vista, poderá dificultar o entendimento da operação.

Atividades que

Facilitam a Compreensão

e o Aprendizado da

Operação de Divisão

de Frações

Utilizando o conceito da divisão por números inteiros, você pode desenvolver o trabalho com seus alunos na seguinte sequência:

1 — Primeiro, faça com eles a divisão de uma fração por um número inteiro:

Por exemplo:

• Peça às crianças que desenhem um retângulo e o dividam em

três partes iguais, marcando -

Depois, que dividam - em 2 partes, como vemos a seguir.

• Finalmente, observando a figura inicial e comparando-a com a outra, você pode concluir com seus alunos que:

Veja agora outro exemplo, desta vez usando um conjunto discreto.

• Peça aos alunos que peguem 10 chapinhas e separem delas,

dividindo este quinto em duas partes iguais.

Pergunte:

"Que fração do total de chapinhas você obteve?

"Por quanto você dividiu das chapinhas?" (por 2)

Então você conclui com eles que:

2 — Nesta segunda etapa, proponha a divisão de um inteiro por uma fração.

• Discuta com os alunos os diferentes conceitos de divisão de números naturais. Para compreender concretamente a divisão de um inteiro por uma fração, é necessário que o aluno perceba quantas vezes a fração está contida no inteiro.

Por exemplo:

• Peça aos alunos que desenhem 4 retângulos com as mesmas medidas, e que dividam cada um deles em três partes iguais.

Assim:

Pergunte:

• "Quantas vezes está contido em 4?" (doze)

Então conclua com eles que:

Atividades Envolvendo

Problemas

Outro exemplo de atividade que leva à compreensão desse tipo de divisão são problemas como os que encontramos nas Fichas de Ativi­dades para o Estudo das Frações do Projeto Fundão, da Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Veja alguns exemplos:

• Dê uma folha mimeografada para cada aluno com o seguinte pro­blema. Se não for possível, escreva no quadro-de-giz e peça que eles copiem:

"Se a professora der balas amanhã, você ganhará mais se toda a turma vier ou se só a metade vier? . . . .

Por quê?" . . .

"Se você ganha três balas, tendo vindo todos os alunos, quantas balas você ganharia se apenas a metade viesse?".. .

Faça o seguinte raciocínio com seus alunos:

Quando você divide as balas pela metade do número de alunos,

cada aluno ganha o (dobro) de balas. Então, dividir por é o mesmo

que multiplicar por (2).

A seguir, utilize as mesmas perguntas para o estudo da terça

p a r t e e d a quarta p a r t e . Vejamos agora outros exem­

plos de exercícios:

• Observe os desenhos e complete:

"Em 3, quantos ?" (ou: Em três inteiros, quantos terços

temos)?

Resposta: (9)

• "Em 2, quantos ?" (Quantos meios em dois inteiros?)

Resposta: (4)

• "Agora faça você os desenhos":

3 =

10 =

3 — Numa terceira etapa, trabalhe então a divisão de fração por fração.

Por exemplo:

O raciocínio é análogo ao da divisão de inteiro por fração. Sendo assim, propomos que você:

• Peça aos alunos que desenhem dois retângulos do mesmo ta­

manho e marquem neles.

Pergunte aos alunos:

• "Quantas vezes estão contidos em ?"

Basta contar para percebermos que = 2

Por exemplo:

"Em , quantos

Resposta: (2)

• "Em - , quantos ?"

Resposta: (3)

• "Em - , quantos - ?"

Resposta: (3)

Utilize problemas para que os alunos façam a generalização, ou seja, para que eles descubram a regra que depois vão usar.

'Um fazendeiro distribuía igualmente 72 litros de leite entre doze famílias de colonos. Cada família recebia (6) litros de leite por dia. Veio a seca e a quantidade de leite diminuiu; por isso o fazendeiro só podia dar a metade para cada família. Algumas famílias foram embora, e assim

o número de famílias se reduziu a

• "Quantos litros de leite o fazendeiro passou a distribuir?"

de 72 = (36)

• "Quantas famílias passaram a receber leite?" de 12 = (9)

• "Quantos litros cada família passou a receber?" (4)

• "4 litros que fração é de 6 litros?"

• "Como chegamos a esse resultado?"

Foi dividindo da quantidade de leite por - do total de famí­

lias. Assim, cada família passou a receber do que recebia.

Observe:

Veja que

Então, os alunos podem concluir com você que: dividir por

é o mesmo que multiplicar por

A seguir, faça exercícios de fixação, como estes, por exemplo:

Vamos descobrir e completar:

• "Quantos grupos de 2 podemos fazer com 8 unidades?"

8 + 2 r= (4)

• "Quantos estão contidos em 1 unidade?"

• "Quantos estão contidos em 2 unidades?"

"Quantos - - estão contidos em ?'

• "Se você prestou atenção, saberá completar:"

NÚMEROS DECIMAIS

OBJETIVOS DESTA AULA

• Reconhecer números decimais como outra representação das frações decimais.

• Analisar os princípios básicos da notação posicionai e a nomen­clatura.

TEXTO PARA LEITURA

Sabemos que experiências variadas proporcionam oportunidades para o aluno adquirir uma maior flexibilidade de raciocínio. Isso permite que ele desenvolva seus conhecimentos e os aplique em atividades prá­ticas.

O estudo dos números decimais nos permite verificar se, de fato, está havendo esta flexibilidade de raciocínio. Isso porque a estrutura da nota­ção decimal é a mesma do sistema decimal, e a sua aplicabilidade prá­tica será vista quando estudarmos os sistemas de medidas de compri­mento, áreas e volumes.

Atividades que

Levam o Aluno a

Reconhecer um

Número Decimal

Devemos iniciar esse estudo fazendo uma recapitulação da identifi­cação do valor de um algarismo pela posição que ocupa no número. Assim, escreva no quadro, por exemplo, os números.

35700 3570 357

Converse com os alunos sobre os diversos valores que o [õ] as­sume nos números acima. A seguir peça aos alunos que expliquem com suas palavras essa diferença.

Depois que os alunos já tiverem verbalizado essas diferenças, o pro­fessor deverá fazer-lhes perguntas, para formalizar esses conhecimentos e levá-los a utilizar a notação do número decimal.

Por exemplo:

"Que quantidade representa o algarismo{^\no número 35 700?" (5 mil)

"E no número 3 570?" (quinhentos) "E no número 357?" (cinquenta)

• "O que aconteceu com o (T) quando foi deslocado uma ordem

à direita?" (passou a valer 10 vezes menos) • "Quando o número Uca dez vezes menor, ele foi multiplicado ou

dividido por dez?" (dividido)

A seguir, escreva outro exemplo no quadro:

22

E pergunte aos alunos:

• "Qual o algarismo das unidades?" (dois) • "E o das dezenas?" (dois) • "Os algarismos são iguais, mas representam quantidades dife­

rentes. Tente explicar isso com suas palavras."

tem: Depois, peça que os alunos observem os exemplos acima e comple-

• "1 dezena vale (10) vezes mais que 1 unidade."

• "Que fração 1 unidade é de 1 dezena?"

• "1 centena vale (10)vezes mais que 1 dezena."

• "Que fração 1 dezena é de 1 centena?"

• "Observe que o algarismo das unidades está (uma) casa (à direita) do algarismo das dezenas."

• "E que o algarismo das dezenas está (uma) casa à (direita) do algarismo das centenas".'

• "E que o algarismo das dezenas está (duas) casas á (direita) do da casa das centenas".

Agora que já recapitulamos o valor posicionai do nosso sistema de numeração, vamos rever alguns exercícios com frações decimais.

1.° — Escreva a fração correspondente à parte marcada em cada figura.

de uma tira.

do total de bolinhas.

Escreva outras frações decimais no quadro e discuta com eles a sua

e per-representação no quadro-valor-de-lugar. Por exemplo

gunte:

• "Et possível representar esse número no quadro-valor-de-lugar?

OBSERVAÇÃO:

No quadro-de-giz, você desenha antes o quadro-valor-de-lugar.

(Os alunos deverão concluir que não)

• "Por quê?

(porque ele é menor que a unidade)

• "Quantas vezes ele é menor que a unidade?"

(dez)

• "Dividindo a unidade em 10 partes iguais, que fração uma dessas partes é da unidade?"

• "Vamos ampliar o nosso quadro?"

centenas

Parte inteira

dezenas unidades

Parte decimal

décimos

1

(Os alunos poderão sugerir como fazer a ampliação).

• Peça a eles que pensem em tudo que já foi trabalhado e expli­quem com suas palavras: "por que>é possível representar agora?"

Discuta com os alunos a necessidade de uma nova notação. Eles já sabem que o último algarismo de um número representa a unidade, e que o um, agora representado no quadro-valor-de-lugar, é dez vezes menor que a unidade. Nesse caso, teremos que utilizar um zero para represen­tar a parte inteira, e uma vfrgula para separar a parte decimal.

Assim = 0,1

Vejamos agora um exemplo onde há uma parte inteira.

Parte inteira

centenas aezenas unidades

2

Parte decimal

décimos

3

Assim, para representar o número 2 , sem usar fração, o

algarismo 3 deve ser escrito à direita do algarismo 2, devendo os dois algarismos serem separados por uma vírgula.

Então:

Faça vários exercícios com os alunos, como por exemplo:

• "2 quantos inteiros têm? (2) E mais quantos décimos (5)

Escreva em forma de número decimal. (2,5)

quantos inteiros têm?" "E mais quantos décimos?"

• "Escreva em forma de número decimal".

Vimos até aqui a representação dos décimos. Vamos agora ver como representamos os centésimos.

e pergunte Escreva no quadro-de-giz a fração decimal

aos alunos:

• "Quanto vale essa fração?"

(cinquenta e sete centésimos)

• "£ ' possível representar cinquenta e sete centésimos dentro da casa dos centésimos?"

Os alunos deverão dizer que não, raciocinando por analogia com o sistema de numeração, segundo o qual dez unidades de uma ordem for­mam uma imediatamente superior.

Distribua então duas folhas de papel transparente, desenhadas como as do modelo abaixo:

A seguir, peça que pintem os cinquenta e sete centésimos no qua­drado que foi dividido em cem partes:

• Peça então que coloquem sobre ele o outro quadrado, que foi dividido em dez partes, e pergunte:

• "Quantos décimos há em 57 centésimos?" (cinco) • "Então, como representaremos esses 57 centésimos no quadro-

valor-de-lugar?"

Os alunos deverão concluir que o cinco ficará na casa dos décimos e o sete na casa dos centésimos, pois cinquenta centésimos correspondem a cinco décimos, assim como 50 unidades correspondem a 5 dezenas.

• Peça a um aluno que represente a quantidade no quadro-valor-de-lugar.

Parte inteira

centena dezena unidade

Parte decimal

décimo

5

centésimo

7

• Peça a outro aluno que venha fazer a representação dessa quan­tidade em número decimal.

( 0,57 )

Vários exercícios devem ser realizados com os alunos para que eles percebam que 10 centésimos formam um décimo, e também para que eles possam aplicar esses conhecimentos dentro da mesma metodologia para milésimos, e assim por diante.

Veja alguns exemplos de exercícios que podemos realizar com os alunos; estes foram tirados da apostila de números decimais do Projeto Fundão da Universidade Federal do Rio de Janeiro:

• Distribua para os alunos folhas com desenho como o modelo abaixo. E peça:

• "Escreva as frações correspondentes às partes assinaladas na figura":

A: . . . . D: B: . . . . E: C: . . . . F:

"Qual das partes assinaladas ocupa mais que - ^ - da figura?"

"Pinte no quadro abaixo as partes correspondentes a:

a) 1 décimo — em vermelho b) 1 décimo e 2 centésimos — em verde c) 2 décimos e 4 centésimos — em preto d) 7 centésimos — em azul"

• "Agora, represente as partes pintadas através de números de­cimais."

a) 0,1 b) c) d)

• Podemos concluir que:

— "1 décimo é (10) vezes maior que 1 centésimo." — "1 centésimo que fração é de 1 décimo?" ( ) — "1 centésimo é . . . . vezes . . . . que 1 décimo". — "Ao escrevermos os números decimais, devemos escrever o al-

garismo dos centésimos casa à do algarismo dos décimos".

— "Escreva ao lado de cada número decimal acima a fração cor­respondente".

Depois de feitos vários exercícios, discuta com os alunos que:

— os números decimais com 1 algarismo à direita da vírgula corres­pondem à fração de denominador 10;

— os números decimais com 2 algarismos à direita da vírgula cor­respondem à fração decimal com denominador 100.

Toda fração com denominador 10, 100, 1 000, etc, chama-se FRAÇAO DECIMAL e toda FRAÇAO DECIMAL corresponde a um NÚMERO DECIMAL

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

OBJETIVOS

DESTA AULA

• Indicar procedimentos que tornem os alunos capazes de adicionar e subtrair números decimais corretamente.

TEXTO PARA

LEITURA

Como dissemos na aula passada, o número decimal foi criado com a finalidade de simplificar as operações, envolvendo a notação fracionária decimal. A criança não encontrará dificuldades em somar e subtrair núme­ros decimais, desde que domine as operações com os números naturais, pois o processo é o mesmo. Para facilitar a aprendizagem da adição e da subtração, devemos ajudar a criança a perceber que 1,0 designa "dez décimos" ou "um inteiro". Para isto, devemos escrever no quadro sentenças como a desenvolvida abaixo:

Peça às crianças que a transcrevam sob a forma de números deci­mais, ou seja:

0,4 + 0,6

Com raciocínio análogo, conclua com as crianças que "dez centé­simos" são iguais a "um décimo" e que "dez milésimos" são iguais a um centésimo".

A partir destas conclusões, podemos, então, armar os algoritmos da adição e da subtração dos números decimais.

Atividades que Levam à Escreva inicialmente as sentenças em forma de frações decimais. Compreensão da Adição Por exemplo:

e da Subtração de

Números Decimais

Peça aos alunos que resolvam. Eles terão que reduzir ao mesmo de­nominador, para poder adicionar.

Peça que traduzam para números decimais. Assim:

0,3 + 0,45 + 0,5

Discuta com os alunos sobre o algoritmo, como ele deve ser escrito, obedecendo aos mesmos critérios usados para a adição de números na­turais. Ou seja, décimos em baixo de décimos, unidades em baixo de unidades e assim por diante. Peça, então, que eles armem o algoritmo, usando o quadro-valor-de-lugar.

Parte inteira

centenas dezenas unidades

0

0

0

1

Parte decimal

décimos

3

4

5

2

centésimos milésimos

5

5

ou

Observe o exemplo com os alunos, discutindo a sua organização e a maneira como foi efetuada a operação. Pergunte:

• "Por que o 5 ficou sozinho?" • "Quantos décimos obtivemos quando somamos os décimos?" • "E possível escrever 12 décimos no algoritmo?" • "O que fizemos com eles?"

Desenvolva outras expressões aditivas, incluindo números mistos, co­mo, por exemplo:

Faça o aluno resolver, primeiramente, a expressão apresentada nesta forma, e só depois solicite que ele passe para a forma de números deci­mais. Assim:

4,2 + 0,58 + 3,25 =

Compare os processos de resolução, de modo que eles percebam que, na segunda forma, fica mais simplificado o processo de resolução. Além disso, gasta-se menos tempo.

Subtração de Decimais A subtração de números decimais deve ser apresentada de maneira análoga à da adição. Por exemplo, vamos resolver:

Resolva primeiramente usando a forma fracionária:

A seguir, peça que os alunos traduzam a expressão para a forma de números decimais:

0,7 - 0,25

Peça, depois, que armem o algoritmo, utilizando o quadro-valor-de-lugar:

Parte inteira

centenas dezenas unidades

0

0

Parte decimal

décimos

7

2

centésimos

5

milésimos

ou

í

Observe o algoritmo e discuta com os alunos sobre a necessidade de se escrever 0,70 ao invés de 0,7 pois eles já sabem que são números equivalentes e que isso facilitara muito a operação. Assim:

A operação fica resolvida pelo mesmo processo usado na subtração de números naturais; nela, pede-se uma unidade da ordem imediatamente superior. No caso, pedimos um décimo, que se transformou em dez cen­tésimos.

As técnicas operatórias, envolvendo milésimos, décimos de milési­mos, etc, são semelhantes àquelas desenvolvidas para décimos e cen­tésimos.

Lembre-se • As noções de medidas de comprimento devem ser desenvolvidas concomitantemente com as operações envolvendo números decimais. Isso é importante, pois a aplicação prática dessas operações está presente nos cálculos dos perímetros.

152

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

OBJETIVOS DESTA AULA

• Indicar procedimentos que tornem o aluno capaz de multiplicar e dividir números decimais corretamente.

TEXTO PARA

LEITURA

Assim como na adição esna subtração, os algoritmos da multiplicação e da divisão de números decimais não diferem da estrutura da multipli­cação e da divisão de números naturais. A única novidade no processo é a colocação da vírgula.

Antigamente, o que se ensinava a esse respeito era somente uma regra sobre a colocação da vírgula, aprendida sem nenhuma compreensão. Hoje, todavia, sabemos que só a memorização da regra não basta; é preciso que os alunos pensem no significado da regra e inclusive que eles próprios aprendam a construí-la.

Para que isso aconteça, no caso da multiplicação, por exemplo, é necessário que sejam desenvolvidas atividades, através das quais os alunos percebam que, ao multiplicarmos decimais por decimais, encon­traremos centésimos; décimos por centésimos, encontraremos milésimos, e assim por diante. O processo mais usual para levar à compreensão da colocação da vírgula, no resultado da multiplicação de números decimais, é transformar esses números em frações decimais e analisar o resultado.

Atividades que

Capaci tam a Mult ipl icar

Números Decimais

Corretamente

No início deste estudo, o primeiro passo é resolver atividades em que aparece a multiplicação de um decimal por 10.

• Distribua para as crianças uma folha de papel com vários qua­drados, alguns quadriculados (cem quadradinhos) e outros divididos em dez barras, como os dos modelos abaixo:

I

• Peça às crianças que pintem na primeira figura, na vertical, 10 vezes cinco centésimos. E, então, pergunte:

• "Que fração decimal corresponde à região marcada na figura?" Resposta: (0,5)

Então: 10 X 0,05 = (0,50 ou 0,5)

• Utilize agora 2 quadradosjum dividido em 100 partes e outro em 10 partes, e pinte 10 vezes 0,16. Assim: pinte 10 vezes 6 centésimos e 10 vezes 1 décimo, nos respectivos quadrados.

• "Que fração decimal corresponde à região marcada nas figuras?" Resposta: (16 décimos ou 1 inteiro e seis décimos)

Então: 10 X 0,16 = (1,6)

Pergunte aos alunos:

• "Vocês se lembram do princípio que utilizamos para escrever nossos números e os números decimais?"

Os alunos deverão responder que sim] que um número que ocupa uma ordem superior passa a valer 10 vezes mais; ou seja, foi multiplicado por 10.

A seguir, escreva no quadro-de-giz os exercícios:

• O algarismo 5, que em 0,05 representa os centésimos, no produto de 0,05 por 10 passará a representar os (décimos).

• Quando multiplicamos 0,15 por 10, acontece o seguinte:

5 (centésimos) passam a 5 (décimos) e 1 (décimo) passa a 1 (inteiro)

• Peça que copiem os exercícios no caderno, completando as lacunas. Para isso, os alunos devem observar os desenhos e lembrar do sistema posicionai da nossa numeração.

Terminado o exercício acima, pergunte:

• "O que vocês podem observar a respeito da vírgula, depois de efetuada a multiplicação por dez?" Várias respostas podem aparecer, mas na certa eles concluirão que a vírgula se desloca uma casa para a direita.

• A seguir, dê uma série de exercícios como os que se seguem abaixo:

0,24 X 10 = 0,07 X 10 = 0,7 X 10 =

Observe com os alunos que multiplicar por 100 é o mesmo que multi­plicar por 10 duas vezes. Assim:

0,325 X 100 = (0,325 X 10) X 10 = 3,25 X 10 = 32,5

Então:

0,325 X 100 = 32,5

Quando multiplicamos 0,325 por 100, 3 décimos passarão a ser dezenas; e 2 (centésimos) passarão a ser 2 unidades; 5 (milésimos) passarão a ser 5 décimos.

• Peça aos alunos que concluam uma regra para o caso de se multiplicar um número decimal por 100, 1000, etc.

Outras Atividades para a Compreensão do

Algoritmo

Vamos ver agora exemplos de atividades que ajudam os alunos na compreensão da multiplicação de números decimais.

Escreva no quadro 0,5 X 2,5 e pergunte aos alunos:

• "Podemos transformar essa operação de números decimais em uma outra de frações decimais?" Os alunos deverão responder que sim.

• "Então vamos transformá-la e efetuà-la:"

• "O que aconteceu quando multiplicamos os décimos pelos dé­cimos?" Os alunos deverão responder que o resultado foi "centésimo".

• "Vamos escrever agora esse resultado na forma de número de­cimal."

0,5 X 2,3 = 1,15

Depois, proponha exercícios como estes:

a) 1,3 X 2,45

Após esse tipo de exercícios, oriente os alunos para raciocinarem no sentido das conclusões que podem ser tiradas. Então, proponha este exercício:

Observando os exemplos anteriores, complete as lacunas: • "Quando você multiplica um número com 2 casas decimais por

outro com 3 casas decimais, quantas casas decimais haverá no produto?" (cinco casas)

Isto porque: Um número com 2 casas decimais = fração com denominador (100) Um número com 3 casas decimais == fração com denominador (1000) O produto desses números corresponde a uma fração com denomi­

nador (100000) Logo: o produto terá (5) casas decimais.

OBSERVAÇÃO:

Repita a atividade muitas vezes, variando a quantidade de casas dos números decimais.

ou 2,05 X 0,003 = 0,00615

ou 4,2 X 6 = 25,2

c) 2,05 X 0,003

b) 4,2 X 6

ou 1,3 X 2,45 = 3,185

A seguir escreva uma nova operação no quadro: 0,25 x 1.7 e pergunte aos alunos:

• "Será que agora já podemos efetuar essa operação, sem trans-formá-la em frações decimais?"

Se alguns alunos responderem que "sim", pergunte: "como?" E se houver alguma dúvida, continue a questionar: • "O que fizemos para achar os numeradores das atividades ante­

riores?" (Usamos o algoritmo da multiplicação, sem pensar na vírgula) • "Vamos, então, efetuar esta multiplicação, sem nos preocupar com

a virgula":

Neste momento, pergunte aos alunos:

• "Quantas casas decimais existem no multiplicando?" (duas) • "Quantas casas decimais existem no multiplicador?" (uma) • "Quantas casas decimais deverá ter o produto?" (três) • Por quê? (porque multiplicamos décimos por centésimos, e assim

vamos obter milésimos). Volte, agora, ao algoritmo e proponha a colocação da vírgula, que

deverá ficar assim:

Finalmente, pergunte: • "Será que vocês podem concluir, agora, uma regra prática para

efetuarmos a multiplicação de decimais?" Eles estarão em condições de concluir que:

Na prática, multiplicam-se os números decimais como se fos­sem números inteiros, com uma diferença apenas: é que, no resul­tado, usa-se uma vírgula, colocada da direita para a esquerda, separando um número de algarismos igual à soma dos números de algarismos das partes decimais dos fatores.

Atividades que

Capacitam o Aluno a

Dividir Decimais

Corretamente

Inicie as atividades, perguntando: • "£ ' possível dividir 2 por 4?" (os alunos responderão que não) Escreva, então, no quadro:

• "E se transformássemos essas unidades em decimais, quantos décimos obteríamos?" (vinte)

• "Poderíamos dividir vinte décimos por quatro?" (sim) • "Quantos inteiros teríamos?" (nenhum) • "Quantos décimos teríamos?" (cinco décimos) • "Vamos colocar essa divisão no algoritmo?"

• "Como indicaremos que não temos nenhum inteiro?" (colocando zero vírgula no quociente)

2 L ^ UNID.

0,

DÉC. CENTÉS

Agora vamos transformar as duas unidades em vinte décimos e com­pletar a operação.

Vamos ver agora um exemplo onde o dividendo é um número deci­

mal; e o divisor, um número natural.

Escreva no quadro e pergunte:

244,8 17

• "£ ' possível dividir 244,8 por 17?" (sim) • "Vamos armar o algoritmo?"

• "Podemos dividir duas centenas por dezessete?" (não) • "O que temos que fazer?" (transformá-las em dezenas) • "Quantas dezenas temos agora?" (vinte e quatro) • "£ ' possível dividir vinte e quatro dezenas por dezessete?" (sim)

Então vamos continuar:

• "Setenta e quatro unidades podem ser divididas por 17?" (sim)

Continuando:

• Abaixando o oito e transformando as 6 unidades em décimos, teremos sessenta e oito décimos. "Que teremos que fazer para separar a parte inteira da decimal que vem agora?" (colocar a vírgula)

Quando o divisor não for um número natural, podemos relembrar com os alunos que uma divisão pode ser representada sob forma de frações, e através de frações equivalentes podemos reestruturar o pro­blema, de forma a criar um divisor que seja um número natural; como por exemplo:

4,136 0,14

• Transformando em frações ordinárias, teremos:

I

Pergunte, então:

• "Por quanto devo multiplicar o numerador e o denominador dessa fração, para encontrar uma equivalente de denominador 14?" (os alunos deverão responder que é por 100)

• Vamos colocar essa divisão no algoritmo.

Lembre-se • Observe com os alunos que agora eles podem continuar sozinhos, pois, caímos no caso anterior, ou seja, em que o divisor é um número na­tural.

• Resolva com os alunos no quadro-de-giz e deixe registrados nele os casos de divisão de decimais, para que as crianças possam concluir que essas diversas situações podem ser sempre transformadas em divi­sões, cujo divisor é sempre um número decimal.

A GEOMETRIA PRESENTE NO MUNDO FÍSICO.

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E FIGURAS PLANAS

OBJETIVOS DESTA AULA

• Criar situações que estimulem e valorizem o conhecimento da geometria.

• Propor atividades que levem ao conhecimento das figuras planas, a partir da compreensão do que sejam sólidos geométricos.

TEXTO PARA LEITURA

Observando os sólidos geomé­tricos, a criança chega mais facilmente à compreensão das figuras planas.

O estudo da geometria apresenta alguns dos problemas mais discuti­dos do ensino da Matemática atual. Isso não deveria ser assim, pois, uma criança, desde o seu nascimento, já explora o espaço, e a geometria é na verdade a exploração do espaço. Talvez as dificuldades no ensino da geometria se dêem então pela aplicação de uma metodologia inadequa­da, pela maneira como esse conhecimento é apresentado, em geral de uma forma muito abstraía e sem relação com a realidade física.

Historicamente, podemos localizar a geometria no ano 2000 A. C, no Egito, como um dos primeiros exemplos de uma ciência em ação. Seus métodos resolviam, na prática, o problema da medida da terra; daí o nome geometria. Ela servia também para resolver os problemas das cons­truções.

O processo de abstração dessa ciência iniciou-se com a escola grega, e sua síntese está contida no famoso livro "Elementos de Euclides", que tem como ponto de partida os "objetos simples", isto é: o ponto, a reta e o plano. Depois desses "objetos simples", descobrem-se pouco a pouco as situações espaciais, para chegar enfim ao estudo dos sólidos.

O fato de a criança viver num mundo tridimensional nos ajuda a pen­sar que é mais fácil para ela reconhecer os sólidos geométricos do que as figuras planas. Tudo que a cerca tem três dimensões: o quarto, o berço, a mamadeira, os armários. Por isso, trabalharemos inicialmente com os sólidos geométricos, levando as crianças a perceberem que as faces dos sólidos representam figuras geométricas planas (triângulos, quadrados, retângulos), e que os lados dessas figuras são segmentos de retas.

159

Daí ela pode perceber que a interseção desses segmentos de reta é um ponto, ou seja, o vértice dos sólidos. Assim, a criança parte experi­mentalmente do todo para a análise das partes.

As atividades iniciais de geometria, de exploração do espaço, foram abordadas na aula 4, deste volume: "Explorando o mundo", onde vimos que a criança precisa de um tempo bastante longo para desenvolver as ideias de perspectiva, de distância, de profundidade, e de noções como as de: "dentro" e "fora", "diante" e "atrás", "antes" e "depois". Outras noções também são importantes no ensino da geometria, como por exem­plo: fronteira, região, interior, exterior. Sabemos que estas noções, como todas as outras, não se ensinam: devemos é apresentar situações reais que ajudarão as crianças a formá-las.

Atividades para

Desenvolver as Noções

de Fronteira, Região,

Interior e Exterior

Vamos ver agora algumas atividades que levam a criança a perceber e vivenciar diferentes situações de exploração do espaço, particularmente para desenvolver noções de fronteira, região, interior e exterior.

1 — Dê às crianças várias caixas, de tamanhos e cores diferentes, e vários objetos pequenos, como botões, palitos, fichas, bolinhas.

OBSERVAÇÃO:

Essas caixas podem ser de madeira, cartão ou mesmo de vidro ou plástico transparente, o que facilitaria a visão dos objetos dentro e fora das caixas. Outro material que poderia ser usado são arcos de cores dife­rentes: sua utilização permite atingir esses mesmos objetivos, da mesma forma.

Peça a seguir que:

• coloquem um palitinho na caixa verde e depois fechem a caixa; • coloquem uma ficha na caixa vermelha e depois fechem a caixa; • coloquem a caixa vermelha dentro da caixa marrom; • coloquem um botão dentro da caixa marrom, mas fora da caixa

vermelha. Tampem a caixa marrom; • coloquem a caixa verde e a caixa marrom dentro da caixa azul; • coloquem uma bolinha dentro da caixa azul, mas fora da verde

e da marrom. Tampem a caixa azul.

Os alunos aprendem as no­ções de fronteira, região, inte­rior e exterior, manipulando objetos simples como caixas, palitos, bolinhas e fichas.

Terminada essa etapa, pergunte aos alunos:

• "F verdade que o palitinho está na caixa verde?" • "A ficha está fora da caixa marrom?" • "A bolinha está dentro da azul e da vermelha, mas fora da verde?" • "O que está dentro da caixa azul?" • "Quantas coisas estão no interior da marrom?" • "£ ' verdade que a ficha está dentro da caixa marrom?" • "E verdade que se alguma caixa está dentro da azul também está

dentro da vermelha?" • "£ ' verdade que se alguma coisa está dentro da caixa verde

também está dentro da azul?"

2 — Outra atividade consiste em analisar a sala de aula, comparan do-a com as caixas. Feita a comparação, pergunte:

• "O que há na sala que nos permite dizer que estamos dentro dela?"

Identifique com elas as fronteiras da sala, ou seja, o assoalho, as paredes, o teto, a saída que é a porta, o interior, o exterior e os vizinhos da sala.

161

!

3 — Apresente às crianças algumas caixas abertas e outras fechadas, ambas contendo objetos pequenos; peça às crianças que virem as caixas e observem o que aconteceu; depois, peça que analisem a situação.

4 — Entregue às crianças contas furadas e alguns cordões, uns amar­rados, outros não.

Peça às crianças que enfiem as contas nos cordões. A seguir per­gunte:

• "Foi possível enfiar as contas em todos os cordões?" (não) • "Em quais cordões foi possível enfiar as contas?" • "E nos outros, por que não foi possível enfiar?"

5 — Entregue às crianças dois cordões fechados, de cores e tama­nhos diferentes.

Peça a um aluno que arrume os cordões, de maneira que ele (aluno) possa colocar-se dentro dos dois ao mesmo tempo; e peça a um outro aluno que se coloque dentro de um só deles.

Outras atividades podem e devem ser realizadas, como: jogar amare­linha, traçar um campo para jogar bola e assim por diante.

Essas atividades devem ser bem vividas, para só depois passar para a representação gráfica e a análise dessas regiões fronteiras.

Atividades Envolvendo Representação Gráfica

Vejamos alguns exemplos de atividades semi-concretas, feitas no papel, para o desenvolvimento de noções de espaço, necessárias à apren­dizagem da geometria.

1 — Zezinho pode percorrer vários caminhos de "A" até "B" .

Trace outros caminhos para Zezinho.

2 — Zezinho pode percorrer vários caminhos partindo de "A" e che­gando a "A".

Desenhe outros caminhos para Zezinho.

Cubra com verde as curvas fechadas e com azul as curvas aber-

163

4 — Pinte de vermelho o interior das curvas fechadas.

5 — Assinale em que casos Zezinho pode ir de "a " para " b " sem atravessar fronteiras.

Na figura (1) a e b não estão na mesma região. Na figura (2) a e b estão na mesma região. Na figura (3) Na figura (4)

Atividades Uti l izando

os Sólidos para

Desenvolver os Conceitos

Geométricos Simples:

Ponto/Linha/Plano

Agora que já trabalhamos com os conceitos de interior, exterior, fron­teiras, regiões, vamos passar ao estudo dos sólidos, também através de atividades.

1 — Entregue a cada aluno uma caixa de creme dental com um objeto dentro e pergunte:

• "£ ' possível, sem abrir a caixa, tirar o objeto que está dentro dela?"

• "E possível, sem abrir a caixa, colocar um objeto dentro dela?" • "Você tem um objeto fora da caixa. E' possível mudar esse objeto

para o outro lado da caixa, sem necessidade de passar por dentro dela?" • "O que separa a parte de dentro da parte de fora?"

2 — Entregue agora um vidro fechado com um objeto dentro e per­gunte:

• E' possível tirar o objeto de dentro do vidro, sem quebrá-lo ou sem abri-lo?"

• "Se você sacudir, virar, balançar o vidro, o objeto pode ir para qualquer lugar dentro do vidro, sem sair do vidro?"

164

• "O que separa a parte de dentro da parte de fora do vidro?

Observe com as crianças que elas têm em mãos superfícies fe­chadas: a caixa e o vidro. E que essa superfície determina a forma do objeto e decompõe o espaço em três partes: a parte formada pela super­fície, o espaço dentro da superfície, e o espaço fora da superfície. Os nomes usados para indicar cada uma dessas partes são os seguintes:

fronteira (é a superfície) interior (é a parte de dentro) exterior (é a parte de fora)

Diga ainda para as crianças que a reunião da fronteira com o seu interior chama-se sólido .

3 — Vamos construir, agora, alguns sólidos geométricos com os alu­nos. Para isso, distribua alguns moldes, como os exemplificados no final desta aula. Os alunos deverão recortá-los e colá-los, para formar com eles caixas de diversos tipos.

A seguir, peça aos alunos que formem, com esse conjunto, dois sub­conjuntos, com a seguinte ordem: "Os elementos dos dois sub-conjuntos deverão ter alguma coisa em comum".

4 — Distribua o conjunto de sólidos construído, mais uma bola (que é também um sólido), e peça aos alunos que:

• Passem a mão na superfície dos sólidos. • Separem agora um cubo e uma bola. • Tornem a passar a mão sobre a superfície do cubo e da bola.

Pergunte então aos alunos:

• "Que diferença você notou entre as duas superfícies?" (uma é plana e a outra não plana)

Repita a atividade utilizando os outros sólidos, sempre dois a dois. Depois sistematize com os alunos o que eles acabaram de ver:

• "Então, vocês notaram o seguinte: existem sólidos em que as partes que formam a sua superfície são todas planas; e existem sólidos nos quais as partes que formam a sua superfície são planas e não planas. Vimos também que a superfície da bola não tem nenhuma parte plana".

A seguir, desenhe no quadro-de-giz a seguinte tabela, e peça aos alunos que a completem, tendo observado bem os sólidos.

A superfície do cubo tem 6 parte(s) plana(s). parte(s) não plana(s).

A superfície do cilindro tem partes partes

A superfície do tetraedro tem partes partes

A superfície do paralelepípedo tem partes partes

A superfície do cone tem partes partes

165

5 — Distribua o conjunto de sólidos e diga aos alunos:

• Vamos agora trabalhar só com os sólidos que têm todas as su­perfícies planas.

• Pegue um desses sólidos. • Numere as partes planas de sua superfície. Cada parte plana é

chamada Face.

Pergunte aos alunos:

• "Quantas faces tem este sólido?" • "Você pode ligar, com um traço, dois números escritos em faces

diferentes, sem passar por uma dobra?"

Diga aos alunos:

Cada dobra é chamada Aresta.

A seguir, peça à sua turma que cubra com lápis vermelho todas as dobras deste sólido.

Então, pergunte:

• "Quantas arestas há nesse sólido?"

Observe com os alunos que uma aresta pertence a duas faces; e que estas arestas se encontram formando um ponto, e que o nome desse ponto é vértice.

Peça aos alunos que contem o número de vértices e pergunte:

• "Quantos vértices você encontrou?"

A seguir, peça que completem o quadro abaixo:

Nome do sólido

Número de faces

Número de arestas

Número de vértices

Repita o item 5 para todo o conjunto de sólidos formados só por superfícies planas, registrando sempre no quadro as conclusões.

6 — Distribua o conjunto de sólidos e uma folha de papel pardo, a cada grupo de cinco alunos, e peça:

• Pegue um sólido. • Coloque sobre a folha. • Contorne, com um lápis, cada face do sólido que está apoiada

sobre a folha (se o sólido tiver duas faces iguais, contorne uma delas). • Repita para todos os sólidos o que você fez com este. • Verifique quantos lados tem cada figura que você desenhou e

coloque esta numeração:

( I) Nas figuras que têm três lados. ( II) Nas figuras que têm quatro lados. ( III) Nas figuras que têm mais de quatro lados. ( IV) Nas que sobraram.

Diga aos alunos:

As figuras que estão numeradas com I, Il e III recebem o nome de Polígonos.

As figuras de número IV chamam-se Círculos.

Pergunte aos alunos:

• "Você pode, com o auxílio de uma régua, desenhar um polígono?" • "E um círculo?"

Diga aos alunos que usem uma régua para desenhar um polígono de três lados. Conclua com eles:

Os polígonos de três lados são chamados Triângulos.

Depois, peça que usem uma régua para desenhar um polígono de quatro lados. E conclua com a turma:

Os polígonos de quatro lados são chamados Quadriláteros.

Cada lado do polígono é chamado Segmento de Reta.

At ividades Envolvendo Exercícios gráficos como os dos exemplos abaixo devem ser feitos.

Exercícios Gráficos e , a

1 — Vamos desenhar polígonos.

Você vai pedir ao aluno, nesse tipo de exercício:

• Trace segmentos de reta unindo pontos em ordem alfabética. • Pinte os segmentos de reta de vermelho. Trace com lápis verme­

lho, em cada quadro, mais um segmento, de forma que as figuras fiquem fechadas.

• Pinte de azul o interior do polígono.

2 — Estas figuras são polígonos. Passe o lápis vermelho .sobre os lados dos polígonos.

— Estas figuras não são polígonos. Passe o lápis azul sobre elas.

— Pinte de vermelho os polígonos.

— Pinte da mesma cor os polígonos que têm o mesmo número de lados.

0

• Nas séries iniciais, as atividades envolvendo noções de geometria são feitas a partir do próprio corpo da criança, caminhando, gesticulando, usando materiais concretos. Mais adiante, quando essas noções já estive­rem interiorizadas, o professor já pode começar atividades com repre­sentação gráfica, no papel. A seguir, as crianças já começam a construir alguns sólidos, e a analisar interior, exterior e fronteira, passando a estudar os polígonos, as arestas e os vértices, a partir das faces dos sólidos.

Moldes de Sólidos Geométricos

Cortar Vincar e Colar

Dobrar

Paralelepípedo Retângulo

Cortar Vincar e Dobrar Colar

Prisma Triangular

Cortar Vincar e Dobrar Colar

Prisma Triangular

Cortar — - Vincar e Dobrar

Colar

Prisma Pentagonal

Cortar Vincar e Dobrar Colar

Pirâmide Triangular

Cortar Vincar e Dobrar Colar

Pirâmide Triangular

Cortar Vincar e Dobrar Colar

Pirâmide Quadrangular

Cortar Vincar e Dobrar Colar

Octaedro

vzz. Cortar Vincar e Dobrar Colar

Cone

Cortar Vincar e Dobrar Colar

Cilindro

Cortar Vincar e Dobrar Colar

UNIDADES DE MEDIDA:

COMPRIMENTO

TEXTO PARA

LEITURA

• Propor situações para avaliar comprimentos, usando unidades e medidas não padronizadas e padronizadas.

Antes de iniciarmos com os alunos o estudo da medida de compri­mento, é aconselhável organizar atividades que abordem conceitos tais como: mais comprido que, mais curto que, tão comprido quanto, mais alto que, maior que, menor que, tão grande quanto, mais perto que, mais longe que, tão longe quanto, estreito, largo, mais estreito que, mais largo que, grosso, fino.

Essas atividades têm como fim propiciar aos alunos oportunidades de comparar e relacionar objetos, e ainda fazer estimativas de medição, com objetos. Medir comprimentos nada mais é que estimar, comparar e rela­cionar o comprimento que queremos medir, com a unidade de compri­mento existente.

Mas é preciso que isso aconteça de uma maneira real e consistente. Depois de desenvolvidos os conceitos, através de atividades em que as crianças usam unicamente a sua percepção, devemos promover jogos atra­vés dos quais elas sintam necessidade de medir comprimentos. Nesse momento é interessante não apresentar ainda a unidade padronizada de medir comprimento, o metro, mas sim medidas arbitrárias como palmo, pé, livro, borracha, lápis, varetas, mesas, para só depois utilizar a uni-dade-padrão.

Vamos ver agora, para efeito de exemplo, algumas atividades que levam os alunos a medir.

a) Distribua para cada grupo de quatro alunos uma caixa com fitas e cordões coloridos, de diversos comprimentos. Separe com antecedên­cia cordões que tenham a exata medida de objetos como a largura da carteira, o comprimento do lápis, do caderno, etc. A seguir, peça a cada um que tire uma fita da caixa e procure, na sala ou entre seus materiais escolares, objetos que tenham o mesmo comprimento da fita ou do bar­bante escolhido. Faça com cada grupo uma lista dos objetos encontrados e compare o comprimento dos objetos, verificando se os alunos enunciam frases como:

"O meu objeto é maior (menor) que o seu". "O meu lápis mede uma fita amarela".

Depois que os alunos tiverem comparado os objetos de seus grupos, peça que:

Atividades que Levam o Aluno a Avaliar

Comprimentos Usando Unidades e Medidas

não Padronizadas

• mostrem a peça de maior comprimento. • mostrem, em seguida, a de menor comprimento. • coloquem em ordem de comprimento todos os objetos encontra­

dos, começando primeiro pelo menor até o maior e vice-versa.

b) Dê a cada grupo de 4 alunos um rolo de barbante, >e cole na parede uma tira de papel pardo. Peça a uma criança que encoste bem reto nessa fita e que um colega venha marcar a altura do outro colega. Marque a altura dos quatro. Peça a seguir que comparem os compri­mentos. marcados e se ordenem do maior para o menor.

c) Distribua tiras de papelão, todas do mesmo comprimento, que deve ser tal que caiba um número exato de vezes no comprimento da carteira ou mesa do aluno. Então peça que verifiquem quantas vezes a tira cabe no comprimento da mesa. A seguir, registre o resultado. Assim, por exemplo: "3 vezes uma tira". Dê agora aos alunos outras tiras de pape­lão de mesmo comprimento entre si, mas de comprimentos diferentes do das anteriores, que caibam também um número exato de vezes no compri­mento da carteira. E peça:

• verifiquem quantas vezes a nova tira cabe na carteira. Registrem o resultado.

• comparem agora o resultado encontrado quando medimos com tiras diferentes. (A quantidade de vezes será diferente).

d) Para outra atividade você pode, por exemplo, selecionar alguns alunos com tamanhos de pé bem diferentes, incluindo o pé da própria professora. Peça que vejam quantos pés de cada um cabe no compri­mento da sala. Faça a seguir uma tabela no quadro-de-giz, e compare com eles os diferentes resultados para a mesma sala.

15 20 25 22

pés pes pes pes

da professora do João da da

Maria Joana

Introduzindo a Medida-Padrão:

o Metro

Depois de ter desenvolvido atividades como essas, de medir com os pés e as tiras, pergunte aos alunos:

• "E possível, para uma pessoa que não conhece a Maria, saber o comprimento da sala se eu falar para ela: a sala mede 10 pés da Maria?"

• "E se falarmos nas tiras das atividades anteriores para uma pes­soa que não viu as tiras? A carteira mede 5 vezes uma tira. Será que ela vai saber o comprimento da carteira?"

Os alunos certamente vão dizer que o mesmo comprimento (da car­teira, da sala) tem medidas diferentes e que, se as pessoas não conhe­cerem essas medidas, não poderão imaginar o seu comprimento. A partir dessas respostas, você poderá, com a ajuda deles, concluir, então, pela necessidade de introduzir uma medida padrão.

Depois disso, o professor pode apresentar o "metro", (de preferência de madeira), do qual todos já devem ter ouvido falar, e que em toda parte tem o mesmo nome e sempre tem o mesmo comprimento.

As crianças, ao utilizarem o metro, logo perceberão que ele não vai resolver com precisão suas situações-problema. Algumas vezes eles vão encontrar comprimentos um pouco maiores que o metro, ou um pouco menores. O professor deverá então relembrar com os alunos as frações decimais e sua representação como números decimais. Nessa ocasião, o professor distribui uma fita de papel pardo para cada aluno, medindo um metro e pede a eles que a dividam em 10 partes iguais. Ele mostra que o metro foi dividido em 10 partes iguais, e que cada uma dessas partes vale um décimo do metro. Mas o termo certo não é um décimo do metro, mas sim decímetro.

Logo, em 1 metro temos 10 decimetros. Assim, a notação é a mesma da notação de número decimal.

Logo: 1 dm = 0,1 m

A seguir faça exercícios como os propostos abaixo com os alunos:

1 — Complete:

a) Cada metro contém decimetros. b) Cada decímetro é do metro. c) Em 3 m temos decimetros. d) Em 52 m temos decimetros. e) Em 1,5 m temos decimetros. f) 0,3 m tem decimetros.

2 — Medimos alguns objetos em metros e em decimetros. Alguns resultados foram anotados na tabela.

Complete-a:

Objeto

Altura da porta

Corredor da escola

Comprimento do quadro

Lápis

Medida em m

2,1

3,20

Medida em dm

60

1,6

Compare as medidas dos mesmos objetos em metros e em decime­tros, e leve-os a concluir que, para transformar metro em decimetros, basta multiplicar a medida em metro por 10, pois em um metro temos dez decimetros. Proceda de modo análogo para trabalhar o centímetro e o milímetro.

Depois de conhecidos os submúltiplos do metro, trabalhe bastante com esses dados, usando situações de vida prática. Assim, por exemplo:

• "Dona Maria comprou 3 m de fazenda para fazer um vestido, mas só gastou 2,8 m. Quanto sobrou- da fazenda?"

• "Quero colocar moldura em volta de um quadro. Sei que ele tem a forma e as medidas marcadas na figura abaixo. Quantos metros de ripa são necessários?"

Logo:

Depois de resolvido o problema da moldura, diga aos alunos:

Ao calcularmos a soma das medidas dos lados de uma figura plana, estamos determinando o Perímetro da figura |.

Só depois de termos trabalhado bastante com as crianças os submúl-tiplos do metro é que devemos levantar a necessidade do uso dos múlti­plos, para medirmos grandes distâncias, como por exemplo: o compri­mento de uma estrada ou o comprimento do litoral do Brasil.

Para isso, podemos levar as crianças para o pátio da escola com as fitas métricas de papel pardo, construídas por elas. Peça a elas que emendem essas fitas, quando chegar a 10. Torne a lembrar o nosso sis­tema de numeração, em que fazemos grupos de 10; comente que existe um nome para quando completamos dez metros, que é o decametro; quando completamos 10 decâmetros, temos o hectômetro, do qual pode­mos dizer também que tem 700 m. E, finalmente, apresentamos o quiló­metro, que tem 10 hectômetros, 100 decâmetros e 1.000 metros.

O decametro e o hectômetro não são muito utilizados na vida prática, mas não podemos deixar de apresentá-los aos alunos, pois ficaria es­tranho para eles passarem para o quilómetro sem ver o decametro e o hectômetro.

Compreendendo a

Noção de ESCALA

Depois de muito trabalhar com o metro, os seus múltiplos e submúl-tiplos, em situações-problema, em exercícios de fixação de mudanças de unidades, podemos comentar com os alunos a utilidade do uso da escala, para representarmos graficamente grandes medidas, como a planta de uma casa, os mapas com os seus limites, seus rios, ruas, estra­das. Utilize então essa nova noção em atividades práticas, como por exemplo:

• Peça a cada aluno que meça o perímetro do seu quarto e traga também a medida da porta e da janela, e uma régua.

No dia seguinte, pergunte a um aluno: • "Qual a forma do seu quarto?" (suponhamos que seja retangu-

lar) • "Qual a medida das paredes?" (suponhamos que seja: 4 m por

3 m)

Diga ao aluno: • Desenhe agora um retângulo de modo que cada centímetro vai

representar 1. metro da casa. Assim, uma das paredes terá 4 cm e a outra 3 cm, no desenho.

Torne a perguntar:

• "Qual o comprimento do vão da porta?" (suponhamos que seja: 90 cm ou 0,90 m)

• "Pensando na escala, qual seria a medida marcada no desenho?" (9 mm)

• "Qual o comprimento da janela?" (suponhamos que seja: 2,5 m) • "Pensando na escala, qual seria a medida marcada no desenho?"

(2,5 cm)

Peça a seguir que o aluno complete o seu desenho, que talvez fique assim.

Outros Tipos de

At iv idades em que

Usamos Escalas

a) As cidades A, B, C, D e E são ligadas por rodovias.

• Observe o mapa das rodovias que ligam estas cidades.

• Use a sua régua para medir a distância entre a cidade "A" e a cidade " B " : cm.

• Observe a escala. • Pela escala, 1 cm representa km. • Logo, a distância real entre as cidades A e B é de km. • A distância real entre C e D é de km. • A distância real entre D e E é de km. • Uma pessoa, para ir de automóvel, da cidade A até a cidade E,

percorrerá km.

Lembre-se • As atividades aqui propostas deverão ser desenvolvidas durante as quatro primeiras séries, respeitando-se os pré-requisitos de cada etapa. Inicie com situações-problema, que envolvam a utilização de medidas arbitrárias, até chegar ao uso do metro. O meio metro só deve ser tra­balhado depois que as crianças já tiverem noções de fração. Quanto aos múltiplos e sub-múltiplos do metro, estes são estudados quando os alunos já tiverem adquirido a noção de números decimais.

185

UNIDADES DE MEDIDA: ÁREA

OBJETIVOS DESTA AULA

• Propor estratégias para o ensino das unidades padronizadas de medidas de área.

• Indicar procedimentos que tornem o aluno capaz de transformar unidades de medida de área.

TEXTO PARA LEITURA

Para introduzir medidas de superfície, começamos também usando medidas arbitrárias — cartões ,por exemplo. Manipulando materiais bem simples, as crianças realizam a descoberta pessoal dos conceitos e das noções, e isso é indispensável na aprendizagem das medidas de área, bem como de qualquer outro conteúdo de Matemática. Mas não basta uma experiência isolada; é preciso a vivência de múltiplas e variadas situações até que a criança compreenda mesmo o que está fazendo, aprenda o novo conceito, e possa se apoiar nessa aprendizagem bem concreta, sempre que sentir necessidade.

Atividades Envolvendo

a Comparação de

Superfícies

Vamos trabalhar, inicialmente, com atividades que permitam à criança que ela compare superfícies. Como por exemplo: o assento de uma ca­deira e a parte superior de uma mesa. Você pergunta: "Qual é o pedaço de madeira maior, este ou aquele?" Você pode solicitar aos alunos que eles comparem desta forma diversas superfícies, respondendo sempre a partir da apreciação visual.

Quando você perceber que todos já estão estimando as medidas com uma certa coerência, mostre às crianças uma superfície comprida e estreita e uma outra mais curta e mais larga (o tampo de uma carteira e o tampo de uma mesa, por exemplo), e peça que comparem essas super­fícies.

Devem surgir hesitações. É nesse momento que você deverá, então, distribuir cartões de cartolina com lados iguais de 10 cm, por exemplo, e que cubram toda a área das duas superfícies. Esses cartões devem ter sido construídos levando isso em consideração. Além disso, lembre que a quantidade de cartões deve ser maior do que o necessário para cobrir a superfície da mesa.

Pergunte a seguir aos alunos:

• "Quantos pedaços de cartolina são necessários para cobrir esta superfície?"

Auxilie os alunos a dispor os cartões sobre a superfície em questão, de maneira que ela fique inteiramente coberta. Peça a seguir que eles contem a quantidade de cartões usados e registrem o resultado.

Proceda da mesma forma para a outra superfície. E compare os re­sultados com as crianças. Você verá que agora elas não terão dificuldades em responder qual é a maior superfície.

Depois de feitas as contagens, mostre como é possível conseguir o mesmo resultado de outra forma, multiplicando o número de cartões do comprimento pelo número de cartões da largura. Os alunos certamente vão fazer associação com o que aprenderam na multiplicação.

Os alunos aprendem concre­tamente como calcular a área de uma superfície.

Introduzindo a Medida-Padrão

"Quantos decímetros quadra­dos tem a superfície da minha carteira?"

Utilizando a mesma superfície, mas com cartões um pouco menores, repita a atividade anterior. Depois, compare esse resultado com o resul­tado da atividade anterior e conclua com os alunos que, assim como aconteceu com a medida de comprimento, aqui também vamos precisar de uma medida-padrão.

Para isso, mostre um quadrado com um metro de lado, recortado em papelão. Nesse momento, deixe as crianças manipularem o quadrado, comparando-o por exemplo com a área de alguma superfície. É provável que as próprias crianças o chamem de metro quadrado; se isso não acontecer, você deve dizer o nome: "Isto aqui é um metro quadrado".

A seguir, dê para as crianças um outro quadrado com 1 decímetro (1 dm) de lado, para que elas reconheçam que é um decímetro quadrado. Depois, peça às crianças que verifiquem quantos m2 são necessários para cobrir a superfície do chão, e registrem o resultado. Se este não for exato, podem registrar o número aproximado.

Depois verifique com eles quantos dm2 são necessários para cobrir a superfície da carteira e peça que registrem o resultado; se não for um número inteiro, podem registrar a forma aproximada. A seguir a turma verifica quantos dm2 são necessários para cobrir o m2, e registra o resul­tado. Identifique então o m2 como unidade de área e o dm- como seu submúltiplo.

Para trabalharmos o centímetro quadrado, procedemos da mesma forma que no caso dos decímetros quadrados. Exercícios como os do exemplo abaixo servem para fixar a noção.

• Determine a área de cada figura abaixo, sabendo que a unidade de medida é:{~ (um quadrado com 1 cm de lado); logo, sua área é: 1 cm2.

Observe o desenho e complete o quadro:

Lembre-se • Sem dar muita ênfase, apresente às crianças o dam2 e o hm", e só ressalte a utilidade do km1 nas medidas de grandes áreas como os continentes, países, estados e cidades. Quanto às medidas de pequenas propriedades, estas são dadas em outra unidade de medida, que é o are, e que não deve ser trabalhada nessa faixa etária.

UNIDADES DE MEDIDA:

MASSA

OBJETIVOS DESTA AULA

• Propor situações que levem o aluno a perceber a necessidade de unidades padronizadas de medida de massa.

TEXTO PARA LEITURA

Antes de reafizar atividades que propiciem à criança a habilidade de compreender e determinar pesos, o professor precisa verificar se seus alunos já sabem o que significa pesado, leve, mais pesado que, menos pesado que, mais leve que, tão pesado quanto, e outras comparações ligadas a peso. É indispensável que façam muitas experiências para que não venham a confundir tamanho de um objeto com seu peso.

Para isso, faz-se necessário dar vários objetos que eles possam se­gurar em cada mão, para avaliar qual o mais pesado e qual o mais leve. Dê objetos grandes e leves, ou objetos grandes e pesados, mas de tal forma que todas as crianças possam segurá-los e cada uma possa per­ceber qual o mais leve e qual o mais pesado. Usamos o termo "peso", em lugar de "massa" — que seria o correto — porque "peso" é uma palavra do uso corrente, à qual os alunos já estão acostumados.

Depois de várias experiências com objetos grandes e pesados, gran­des e leves, dê a seus alunos dois objetos com peso quase igual, de modo que eles não possam sentir a diferença. Por exemplo: uma borracha e uma caixa de fósforos. O professor deve dizer que um é um pouco mais pesado que o outro, e os alunos então fazem tentativas, usando a advi-nhação para responder qual é o mais pesado.

O professor apresenta nesse momento uma balança à turma: é a balança de pesos como a do desenho, que é a que nos interessa nesse estágio, já que inicialmente só vamos comparar entre si os pesos dos objetos. A criança vive então duas experiências diferentes: primeiro, com­para o peso de um objeto com o peso de outro objeto. Depois, compara o peso de um objeto com o "peso" usado para avaliar a massa de objetos com auxílio da balança.

Conhecendo e Usando Antes de iniciar qualquer atividade com a balança, as crianças devem _• • „ primeiro observá-la bem, examiná-la, mexer nela. O professor pode fazer

a balança ae resos p e r g u n t a s

como: • "O que você vê na balança?" • "Como a balança é feita?" • "Para que servem os pratos?" • "Como ficam os pratos na balança?"

Depois de feita essa observação minuciosa e depois de bastante diálogo, as crianças terão condições de concluir que, quando os pratos estão vazios, eles se encontram no mesmo nível. A seguir o professor

deve colocar na balança dois objetos de peso igual, que já foram testados manualmente pelas crianças e dos quais elas já conhecem o peso. Elas percebem que os dois pratos permanecem no mesmo nível. A seguir, usamos outros dois objetos de pesos diferentes, para que digam qual o mais pesado, antes de colocá-los na balança.

Feita a verificação, o professor pede a uma criança que coloque os objetos um em cada prato. Os alunos deverão perceber que um dos pratos fica mais baixo que o outro.

Pergunte então a eles:

• "Qual o objeto que está no prato mais baixo: o mais leve,ou o mais pesado?"

• "Se trocarmos os objetos de lado, que será que acontece?"

Repita várias vezes esse tipo de atividade, até eles perceberem que sempre o objeto mais pesado está no prato que fica mais baixo. A seguir, pergunte, apontando os objetos:

• "Quanto este objeto é mais pesado do que aquele?"

Certamente, as crianças não vão conseguir dizer a resposta. Peça então para retirarem um dos objetos da balança. Distribua alguns pregos de dois tamanhos diferentes, e combine com as crianças: "Vamos pesar o objeto que ficou na balança, usando os pregos". Ou seja, você vai combinar com os alunos que eles vão nivelar os pratos da balança, usando pregos. Pergunte depois:

• "Quantos pregos usamos para pesar?"

Registre a resposta. Por suposição: 2 pregos grandes e 2 pequenos. Retire os pregos e o objeto da balança, e repita a operação, usando

agora o outro objeto. Registre a resposta. Por suposição: 3 pregos grandes e 2 pequenos Repita a pergunta:

• "Quanto este objeto é mais pesado que aquele?" Elas agora terão condições de responder que é: um prego grande. Essa atividade e outras semelhantes devem ser preparadas em casa

pelo professor para que a quantidade de pregos, ao ser comparada, dê um número exato.

A seguir, dê dois objetos cuja diferença entre seus pesos não seja um número exato; eles, então, só conseguirão calcular aproximadamente.

Fale nesse momento da necessidade de se ter uma medida-padrão, para que possamos informar as pessoas do peso real dos objetos. Se não conhecemos o tamanho do prego, não podemos calcular esse peso, e não poderemos pesar com exatidão.

O professor apresenta então as unidades legais: apresenta o grama e o quilo, dizendo que o quilo tem 1.000 gramas. As crianças manipulam os objetos (os pesos); você vai ver como elas se divertem, observando a mesma forma sob tamanhos diferentes.

Comente com elas que o menor peso se chama grama, que é a uni­dade da medida de massa, e que cada um deles tem 10 unidades a mais do que aquele que o antecede. Assim:

1 1 1 1

grama = 1 decagrama hectograma kilograma =

g = 10 g = 10 dag

: 10 hg = = 100 g 100 dag = 1000 g

Introduzindo a Med ida -Padrão

Você poderá ampliar as informações de seus alunos, explicando que as medidas menores que o grama (o miligrama, por exemplo) só são usadas por especialistas, como os bioquímicos, na fabricação de remé­dios, por exemplo. Na nossa vida cotidiana, usamos o kilograma e o grama para nos referirmos ao peso dos objetos; assim:

Vários problemas relacionados com a vida prática devem ser tra­balhados. Como estes, por exemplo:

• "Carlos comprou 5,400 kg de carne e mandou o açougueiro lim­par. Ao chegar em casa, pesou a carne limpa e verificou que só pesava 4,285 kg.

Que quantidade de carne ele pagou e não levou?"

• "Mamãe dividiu um quilo de balas em pacotes de 100 gramas cada um. Quantos pacotes de balas ela arrumou?"

• Problemas envolvendo o grama e seus múltiplos devem ser tra­balhados quando os alunos já dominam ós conceitos de fração e de números decimais.

t

UNIDADES DE MEDIDA:

TEMPO

OBJETIVOS • Caracterizar as várias situações em que utilizamos a unidade de ncçTA A I I I A medida de tempo. uca IA AULA # Propor atividades para o reconhecimento do sistema horário como

distinto do sistema decimal.

TEXTO PARA LEITURA

O desenvolvimento da noção de tempo ocorre paralelamente ao da noção de espaço, só que esta (do espaço) amadurece mais cedo, enquanto a noção de tempo é a que oferece maiores dificuldades. Demora muito até que a criança atinja, em relação à noção de tempo, um nível de estru­turação equilibrada.

Por isso, antes de trabalharmos com as medidas de tempo, devemos desenvolver atividades através das quais possamos observar:

• Se eles conseguem ordenar ou seriar acontecimentos, nomeando por exemplo o que vem antes e o que vem depois de algum fato.

• Se conseguem avaliar o tempo pela duração dos intervalos, atra­vés de um jogo de composição, por exemplo, em que eles possam observar quem começou primeiro ou quem acabou primeiro; nesse caso, eles mos­tram se conseguem relacionar velocidade com tempo, e se não confundem velocidade com espaço, achando que "mais depressa" é igual a "mais tempo", quando o correto é o inverso (quem correu mais depressa, levou menos tempo, percorrendo o mesmo espaço).

• Se conseguem definir a idade das pessoas pelo tempo vivido por elas, ao invés de basear-se em qualidades ou fatos como "ser professor", "ser filho", "ser bom como a mamãe" e outros.

Depois de aplicarmos atividades como essas, observando se as no­ções nelas compreendidas são dominadas pelas crianças, podemos avan­çar no desenvolvimento do conceito de tempo, como veremos a seguir.

Atividades que

Auxi l iam as Crianças

a Medi rem o Tempo

Quando queremos medir o tempo, precisamos ter um instrumento para isso. Vamos usar, nessa primeira atividade, velas, previamente divi­didas em seções, com circunferências coloridas, como se vê na ilustração. Essas circunferências coloridas devem ser marcadas bem próximas uma da outra, para que a unidade de tempo seja relativamente breve.

O professor divide a turma em 4 grupos e estabelece tarefas dife­rentes para cada grupo. A seguir distribui 4 velas, que devem ser acesas assim que o grupo iniciar a tarefa. Quando cada grupo for acabando, apaga a sua vela. Você então pede aos alunos que comparem as marcas das quatro velas utilizadas, e respondam à pergunta:

• "Que tarefa durou mais tempo?"

Nesta atividade, as crianças usam o consumo das velas como medida de tempo.

Outra atividade que pode ser desenvolvida é a que se faz com o auxílio da ampulheta e batidas de pé. Como na atividade anterior, da vela, dê para os 4 grupos atividades diferentes. So que dois desses gru­pos medirão o tempo gasto usando a ampulheta, e os outros dois medirão o tempo contando as batidas do pé. Em geral, todos concordam com o tempo marcado pela ampulheta, e dizem qual dos dois grupos executou a tarefa primeiro. Mas quando se trata de bater pés, há muita discussão e dúvidas, alegando-se por exemplo que um grupo contou mais rápido que o outro.

Aqui, elas comparam dois ins­trumentos diferentes de me­dida.

Usando o Apresente então às crianças um despertador, explicando o seu fun-n . i cionamento. É preciso dar a cada criança a oportunidade de usar o des-uesperraaor para pertador e nele ler os resultados.

Medir o Tempo

Finalmente, o despertador é usado para a percepção de intervalos precisos.

As atividades iniciais devem ser propostas com pequenos intervalos de minutos, por exemplo: 5 minutos. Você pode propor à turma uma tarefa qualquer, mesmo que não seja de Matemática, como uma corrida ou um

giro em torno de uma mesa. Diga a eles que, quando o despertador tocar, eles devem parar. Repita essa atividade durante vários dias, variando as tarefas, até que as crianças sejam capazes de fazer uma estimativa do que seja um intervalo de tempo de 5 minutos.

A partir de então, proponha atividades com intervalos maiores. A hora é um intervalo muito longo para uma criança, longo demais para se fazer uma atividade e longo demais para se conservar na mente sem ajuda. Para isso, aconselhamos o uso do despertador, não muito estridente para não assustar, que esteja regulado para tocar de hora em hora. As cri­anças, ouvindo-o tocar todas as horas, saberão que passou mais uma hora.

Lendo as Horas Quando a criança completa dois anos na escola, já deve saber ler as horas, os quartos de hora e as meias horas. Para isso, devemos fazer algumas atividades em que elas usam o relógio, como estas por exemplo:

• Faça no pátio um relógio sem ponteiros, como o do modelo abaixo:

• Peça a uma criança que se coloque no centro do relógio, para ela servir de ponteiro. O seu braço esquerdo vai ser o ponteiro grande, e sua perna direita, o seu ponteiro pequeno.

• Converse com elas sobre a representação da hora; fale dos pon­teiros e da posição deles no relógio. A seguir, peça que marquem, por exemplo, 4 horas. O seu braço esquerdo deverá ficar virado para o 12, e sua perna direita, apontando para o 4. Mostre que, quando passar das 6 horas, devemos inverter os braços e as pernas: o braço direito passa a apontar para o 12, e a perna esquerda aponta para o número que representa as horas. Para os intervalos de 15 minutos e meia hora, você pode utilizar a mesma atividade.

A criança mostra as com o próprio corpo.

horas

Podemos também utilizar um relógio de cartolina para cada aluno, de modo que eles marquem nos seus relógios a hora assinalada.

Mais tarde, peça que marquem os minutos, assínalando-os por tra­ços no relógio. Faça a mesma atividade das horas, utilizando o relógio de papelão, para fazer também a leitura dos minutos. Depois de muito trabalhar nessa leitura, leve o aluno a perceber que "em uma hora temos 60 minutos". Use o mesmo método para trabalhar o segundo.

Vamos agora abordar a noção de dia. Para isso, sugerimos a seguinte atividade: cada manhã, quando a criança chegar à escola, deve colar uma fitinha colorida numa cartolina, presa num mural, para representar os dias passados na escola. Depois de procederem assim durante várias semanas, as crianças serão levadas a considerar os dias sem aula (sábado e domingo) e marcá-los com uma fita branca.

Depois de pedir às crianças que contem os dias de aula e os dias passados em casa, elas registram o total dos dias da semana. Pergunte, então: "Como se chama esse grupo de dias?" Algumas crianças — ou todas elas — responderão: "Semana", pois esse nome já lhes deve ser familiar. Elas vão concluir na contagem que há sefe dias na semana, dos quais 5 são para ir à escola e 2 são os dias em que ficam em casa. Depois, é só ensinar o nome dos dias da semana, que elas vão memorizar.

Aproveite a necessidade de fixar a sequência dos nomes dos dias da semana, para trabalhar também a noção de ordem. Pergunte, por exemplo:

• "Qual o primeiro dia da semana?" • "Qual o que vem antes de sexta-feira?" • "Qual o dia que vem depois da quarta-feira?" • "Qual o dia que está entre a sexta-feira e o domingo?" • "A quarta-feira vem quantos dias depois da segunda-feira?" . . . .

As crianças, desde cedo, já estão acostumadas a ouvir os nomes dos meses do ano. Uma atividade que pode ser desenvolvida com elas é a construção de um calendário, observando os meses que têm 30 dias, os que têm 31 e o único que tem 28 ou 29 dias. Discuta com as crianças o porquê da variação de um dia no mês de fevereiro. Esta última noção só deve ser trabalhada quando as crianças já tiverem cursado uns três anos de escola.

Atividades como as abaixo ajudam as crianças a fixar essas noções referentes ao ano e aos meses do ano; veja:

Um ano tem 12 meses: JANEIRO, FEVEREIRO, MARÇO, ABRIL, MAIO, JUNHO, JULHO, AGOSTO, SETEMBRO, OUTUBRO, NOVEMBRO DEZEMBRO.

Aprendendo os Dias

da Semana e os

Meses do Ano

• Estamos no mês de • Que mês vem antes desse mês? • Que mês vem depois? • Quais os meses que têm 30 dias? • E os que têm 31 dias? • Qual o mês que tem 28 ou 29 dias? • Hoje é . . . . . . . . . de • Quantos dias desse mês já se passaram? • Quantos dias faltam para o final deste mês? • Um ano tem 12 meses. Um bimestre tem 2 meses. Quantos bimes­

tres tem um ano? • Um trimestre tem 3 meses. Quantos meses têm 4 trimestres? .... • Quantos trimestres tem um ano?

Lembre-se • As operações com as unidades de medida devem ser estudadas em série mais adiantada, pois — como você deve ter percebido — o sistema de medida de tempo não é decimal, e não cabe nessa faixa de nossos alunos usá-las. O que podemos fazer são trocas de uma unidade para outra, como vimos na atividade anteriormente proposta. Esse mesmo tipo de perguntas pode relacionar, também, dia com hora, hora com mi­nuto e minuto com segundo.

MAIS UMA PALAVRA Como você deve ter observado, professor, nestas 30 aulas o que propomos é uma metodologia de ensino da Matemática, que o auxilie no seu trabalho com os alunos. Exercícios escritos, por exemplo, para cada conteúdo, isso você talvez encontre com uma certa facilidade em livros ou em textos mimeografados. O importante, aqui, como já dissemos, é a proposta de uma metodologia. Em que consiste essa metodologia?

No decorrer destas 30 aulas, você deve ter visto que essa metodo­logia se expressa através de um conjunto de atitudes e comportamentos do professor com os alunos, no ensino da Matemática. Vamos lembrar alguns deles:

1.° — A Matemática é vivida no cotidiano das pessoas; portanto, ao ser aprendida na escola, não pode ser apresentada como algo fora da realidade. Por outro lado, ela serve para a pessoa ter mais domínio sobre sua vida na sociedade.

2.° — Matemática é também uma linguagem, uma forma de comu­nicação, cheia de símbolos, expressões, desenhos que significam um determinado conceito ou ideia. Para aprender um conceito matemático, é preciso que a criança participe da construção desse conceito. Se ela não participa de todo o processo, deixa de compreender o conceito e então passa a operar mecanicamente.

196

3.° — Na construção de um conceito, há sempre três etapas vividas pelo aluno, e que não podem faltar: a experimentação, a reflexão e a comunicação. O aluno descobre o conceito, através de experimentações bem concretas; reflete sobre o que faz; e fala, é ouvido, troca ideias, se expressa sobre o que faz. Assim, ele aprende a pensar com autonomia, desenvolve o raciocínio e adquire a habilidade fundamental de transferir o conhecimento, aplicando em situações novas o que já aprendeu.

4.° — As crianças de 1.a a 4.a séries estão, em geral, na faixa dos 6 aos 11/12 anos. Nessa época, vivem o estágio das operações concretas; ou seja, a partir de ações sobre materiais concretos, conseguem realizar operações, estabelecem relações, compreendem regras e são capazes de formar um conceito. Mas o ponto de partida é sempre a manipulação de objetos bem concretos e significativos para elas. Não adianta esperar que, nessa idade, as crianças façam abstrações.

5.° — O professor é aquela pessoa amiga, que está perto, que es­tuda, se informa e que, sobretudo, acompanha e orienta a criança, esti-mulando-a a pensar por si mesma, a conviver no grupo e a falar sobre o que aprende. O professor não antecipa respostas. Ele incentiva a des­coberta. É o adulto cooperando com a criança para que ela seja livre, autónoma, criativa e inteligente.

ESTAGIO SUPERVISIONADO

As atividades propostas nas fichas-tarefas do Estágio Supervisionado são amplas e abrangentes, de modo a permitir sua realização por pro­fessores das diferentes séries, em qualquer momento do ano letivo, à medida que os conteúdos vão sendo tratados pelas diferentes disciplinas do Curso. Cabe a você, professor, planejar cada tarefa com o maior de­talhamento possível e realizá-la de acordo com as possibilidades e ne­cessidades de sua turma.

Caso você não possa contar com a ajuda de um monitor ou super­visor, você pode solicitar que um colega avalie com você o planejamento e a realização da tarefa que lhe propomos. Para isso, são úteis as aulas de Didática relativas a planejamento: aulas n.°8 17, 18 e 19.

Sempre que possível, é interessante observar e participar de ativi­dades em séries diferentes daquela com que você está trabalhando; desse modo, estará ampliando suas experiências em relação aos conteúdos e procedimentos didáticos referentes às quatro primeiras séries do 1.° grau.

Você pode utilizar, para o seu planejamento, este esquema, fazendo as adaptações que julgar necessárias.

SÉRIE TURMA DATA

N.o DE ALUNOS PROFESSOR

PLANEJAMENTO/REALIZAÇAO/AVALIAÇÃO

Objetivos

Material

Modo Operacional (descreva aqui como vai ser realizada a atividade, para que se atinjam os objetivos propostos)

Avaliação (relate como a atividade se desenvolveu, fazendo críticas. observações e dando sugestões)

ESTAGIO SUPERVISIONADO DE MATEMÁTICA

Para as fichas-tarefa, selecionamos estes temas:

rios.

1 2 3 4 5

6 7

O conceito de número. O sistema de numeração. Os conceitos das quatro operações. Os algoritmos das quatro operações. O conceito de fração e as operações com números fracioná-

As primeiras noções de geometria. Unidades de medida.

FICHA-TAREFA 1

(Consultar as aulas de 1 a 5, especialmente a aula 5).

Planejar, realizar e avaliar atividades que favoreçam a construção do número pela criança, considerando um destes itens:

• a construção e utilização de um material estruturado (por exem­plo, com a estrutura 4 x 3 x 2 ) , para o aluno fazer diferentes classifica­ções;

• a realização de jogos através dos quais as crianças comparem quantidades;

• a utilização de diferentes materiais, de modo que os alunos os ordenem, por exemplo, do maior para o menor, do mais claro para o mais escuro, do mais grosso para o mais fino, e tc ;

• o uso de materiais concretos, para a criança comparar, classifi­car e ordenar quantidades até 9.

(Consultar as aulas de 1 a 6, alem da aula 23, especialmente a 6).

Planejar, realizar e avaliar atividades que envolvam o sistema de numeração, considerando um destes itens:

• a utilização de materiais concretos, diferentes daqueles sugeri­dos no livro, para o aluno perceber com clareza os princípios básicos da notação posicionai do sistema decimal;

• exercícios ligados à leitura e escrita de números, tendo como apoio o quadro-valor-de-lugar;

• a introdução da noção de números decimais, em que é necessá­ria uma revisão dos princípios fundamentais do sistema de numeração.

FICHA-TAREFA 2

(Consultar especialmente as aulas 7, 8, 11 e 12).

Planejar, realizar e avaliar atividades para desenvolver o conceito das operações, de acordo com um dos itens abaixo:

• situações-problema com uso de materiais concretos, envolvendo as diferentes ações relacionadas com cada uma das operações:

adição: juntar; acrescentar. subtração; retirar; completar; comparar. multiplicação: somar parcelas iguais, encontrar o número de

pares possíveis. divisão: repartir; medir.

• criação de diferentes jogos para fixação dos fatos básicos de uma das quatro operações;

• situações-problema envolvendo as propriedades das operações; • utilização das propriedades para auxilio no cálculo mental.

(Consultar as aulas de 7 a 17, especialmente 9, 10, 13, 14 e 15).

Planejar, realizar e avaliar atividades envolvendo o algoritmo das quatro operações, considerando:

• as etapas do desenvolvimento do algoritmo de uma das operações; • o diagnóstico do desempenho dos alunos no uso de um algoritmo; • a verificação dos resultados obtidos com um algoritmo, utilizan­

do o algoritmo da operação inversa; • a utilização das propriedades para racionalização do uso dos al­

goritmos.

\

FICHA-TAREFA 4

(Consultar as aulas de 18 a 27).

Planejar, realizar e avaliar atividades envolvendo o conceito de fração e as operações com números fracionários, considerando:

• situações-problema para verificar o relacionamento dos concei­tos de divisão e fração, trabalhando concretamente com conjuntos dis­cretos;

• situações-problema com apoio de material concreto, para desen­volver uma das operações, respeitando as etapas de seu desenvolvimento.

FICHA-TAREFA 5

(Consultar as aulas 4 e 26).

Planejar, realizar e avaliar atividades relacionadas com as primeiras noções de geometria, considerando um dos itens abaixo:

• a organização de uma gincana cujas tarefas tenham como ob­jetivo permitir que as crianças relacionem os conceitos geométricos aprendidos, com objetos do mundo físico de sua vivência;

• o uso da área livre da escola, para enriquecimento dos conceitos topológicos (dentro, fora, curva aberta, curva fechada, etc).

FICHA TAREFA 6

(Consultar as aulas de 27 a 30).

Planejar, realizar e avaliar atividades relacionadas com as unidades de medida (comprimento, área, massa e tempo), envolvendo um dos itens abaixo:

• a construção e uso, pelos alunos, de unidades arbitrárias de me­dida;

• a construção de uma planta baixa, utilizando unidades padroni­zadas de medida de comprimento e os conceitos de perímetro e área;

• a construção de gráficos, tabelas e linhas de tempo, para a crian­ça estabelecer a relação com os conceitos de medida de tempo e para a utilização das unidades padronizadas;

• situações-problema da vivência do aluno nas quais seja neces­sário o uso de unidades de medida.

FICHA-TAREFA 7

B I B L I O G R A F I A BRASIL, Luiz Alberto dos Santos. Experiências Pedagógicas Baseadas na Teoria de Piaget. Rio de Janeiro, Ed. Forense Universitária, 1979.

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D'AUGUSTINE, Charles H. Métodos Modernos para o Ensino da Mate­mática. Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico S. A., 1976.

DEL VALLE, Magdalena. Explorando a Matemática na Escola Primária. Rio de Janeiro, Livraria José Olympio Editora, 1969.

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SECRETARIA DE EDUCAÇÃO E CULTURA — Reformulação de Currículos. Pré-Escolar a 4.a série. Subsídios Teóricos e Sugestões de Atividades. Laboratório de Currículos, 2.a edição revista e atualizada, 4 volumes, Rio de Janeiro, MEC/FENAME, 1981.

Mimeografados

LIMA, Reginaldo Naves e VILAS, Maria do Carmo. PAM. Projeto de Ensino à Distância. Belo Horizonte, Centro de Ciências de Minas Gerais, s/d.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO. INSTITUTO DE MATE­MÁTICA, CCMN. Fichas de Atividades para o Estudo de Frações — Projeto de Formação Permanente para Professores de 1.°, 2.° e 3.° Graus. Rio de Janeiro, s/d.

SUPERVISÃO GERAL DIRETORIA DE PLANEJAMENTO — DPLAN — FUNTEVÊ

Adélia Maria Nehme Simão e Koff Janine Martins da Cruz

Heloísa Meira Coelho Melhado

COORDENAÇÃO NÚCLEO DE PRODUÇÃO DIDÁTICA — CBTVEGA

Miriam Ripper Nogueira Lobo Rosa Maria Bueno Fischer

ELABORAÇÃO DO CONTEÚDO Maria José Araújo Montes

Mónica Cerbella Freire Mandarino

REVISÃO Luselene Farias Veras

Angela Fragelli Cardoso (estagiária)

PROGRAMAÇÃO VISUAL Yonne Polli

ILUSTRAÇÃO Marcelo Vianna

VOLUME 1

Fundamentos da Educação

•

VOLUME 2

Didática

•

VOLUME 3

Comunicação e Expressão Língua Portuguesa

(Conteúdo e Metodologia)

•

VOLUME 4

Educação Artística Música

Artes Plásticas

•

VOLUME 5

Ciências Fisicas e Biológicas (Conteúdo e Metodologia)

Educação para a Saúde

•

VOLUME 6

Matemática (Conteúdo e Metodologia)

•

VOLUME 7

Integração Social (Conteúdo e Metodologia)

Estrutura e Funcionamento do Ensino de 1." Grau

Educação Física — Jogos e Recreação

Multimeios de Aprendizagem

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