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tesAp

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Bachillerato

37 Ejercicios propuestos

Gènius, ¡ el secreto de los mejores ! Gènius, ¡ el secreto de los mejores ! Gènius, ¡ el secreto de los mejores ! Gènius, ¡ el secreto de los mejores !

Ximo BeneytoXimo BeneytoXimo BeneytoXimo Beneyto

X.B.

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Cuadernos Genius : LÍMITESPresentaciónLa coleccion de cuadernos Genius Límites/Derivación/Integración, han sido diseñados

integramente por nosotros, en base a la experiencia adquirida durante varios años explicandolas técnicas más habituales de cálculo de límite/derivada/primitiva de una función,

incidiendo, especialmente, en aquellos aspectos que mayor dificultad presentan para lamayoría de nuestros alumnos. Consta de tres cuadernos el curso de derivadas, cinco

cuadernos el curso de primitivas y tres cuadernos el curso de cálculo de límites funcionales,cada uno de los cuales lleva algo más de una hora de elaboración. La filosofía de estos

cuadernos es muy sencilla, hacer fácil lo difícil. Comencemos...

;

No es sencilla la tarea del cálculo del límite de una función real de variable real, enadelante, función simplemente, cuando la variable ‘tiende’ hacia un determinado valor,

sea éste finito o no. Una propiedad fundamental del cálculo de límites, el límite de una función para un

valor de la variable o infinito, es ÚNICO. La mejor manera de comenzar será, cuando sea posible, reemplazar la variable

por dicho valor en toda la expresión de la función correspondiente al límite, en cualquiercaso, obtendremos:

i) Un valor, sea finito o no, en cuyo caso habremos obtenido el valor del límitepropuesto.

ii) Una indeterminación, en cuyo caso tendremos que acudir a alguna de lastécnicas adecuadas para resolver la indeterminación, es decir, obtener el valor del límite,

si existe.La aparición de programas informáticos potentísimos, así como ciertas calculadoras

científicas, han contribuido de manera muy eficaz a calcular, de forma sencilla, límitesfuncionales dificilísimos, no obstante, la riqueza operativa, técnica, cálculo, ingenio y

generación de recursos que aporta el cálculo de límites son insustituibles.Recordemos, para empezar, algunas de las situaciones de indeterminación más

frecuentes,

X.B.

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Comencemos

En este primer cuaderno, la variable tenderá hacia cualquier valor real. En principio, unasimple sustitución en la expresión de la función correspondiente al límite, nos puede dar el

valor de éste, por ejemplo:

,

a menos que:

No se pueda sustituir directamente, o bien se genere una situación de indeterminación.

Funciones definidas ‘a trozos’ (Necesidad, en ocasiones, de obtener límiteslaterales)

Sea . Hallar , ,

Empecemos por un pequeño gráfico de soporte

Observamos que, "alrededor" de x = 2 tenemos dos expresiones distintas de la función,

obtengamos para x = 2 los límites laterales de la función.

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[ Al ser los límites laterales distintos, no existe el límite ]

"Alrededor" de x = 0 tenemos una única expresión de la función. Sustituiremos directamente

Como en el caso anterior.

[ Fundamentos para decidir cuando es necesario, o no, hallar límites laterales en una función

definida a trozos o mediante intervalos]

1. Hallar , , , ,

2. Hallar , , , ,

3. Hallar , , , , .

;

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Límites laterales (...)Encontramos otras situaciones en el cálculo ordinario de límites funcionales, en

las cuales se hace necesaria la obtención de los límites laterales.

Más difíciles de identificar que en las funciones anteriores, debemos obtenerlímites laterales cuando el comportamiento de la función a ambos lados del valor en

cuestión, modifique, o pensemos que modifique, el comportamiento de ésta en el límite.Veamos dos gráficas de apoyo:

Gráfica (trozo) de la función f(x)=1/x

Gráfica (trozo) de la función f(x)=1/x2

X.B.

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Obtener

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

X.B.

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13.

INDETERMINACION

Veamos algunos recursos para resolver esta indeterminación, sin utilizar , cuandofuera posible, el teorema de L'Hôpital

a)

. Indeterminación (Cociente de polinomios)

Factoricemos los polinomios del numerador y del denominador

x3 - 2x + 1 = ( x - 1 ) A ( x2 + x - 1 )

x3 - 1 = ( x - 1 ) A ( x2 + x + 1 )

Sustituimos...

Así pues

[ Observa que el hecho de obtener cuando sustituimos x = 1, nos garantiza

X.B.

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el factor x - 1 tanto en la factorización del polinomio del numerador como en ladel polinomio del denominador. Si x 6 1 Y x-1… 0 lo cual nos permite

simplificar ambos factores ]

b)

Indeterminación.

Operemos como en el problema anterior x2 + x - 2 = 0 Y

c)

Indeterminado.

Factoricemos :

x3 - 5x2 + 8x - 4 = ( x - 2 )2 A (x - 1)

x2 - 4x + 4 = ( x - 2 )A( x - 2 ) = ( x - 2 )2

[ Bueno, también se veía enseguida ]

X.B.

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Y

¡Llegó tu hora!

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Seguimos ...

d)

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Indeterminación.

Ya que x 6 0 parece más razonable sacar factor común en numerador y

denominador la expresión conveniente :

Y

Resolver

22.

23.

24.

25.

Una nueva situación...

e)

Indeterminación.

Ya que el cero del numerador lo obtenemos como diferencia de raíces

cuadradas, multipliquemos y dividamos por la expresión conjugada delnumerador de la fracción.

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f)

Indeterminación.

Operemos como en el problema anterior introduciendo una variante :

Como ( A - B ) A ( A + B ) = A2 - B2 Y

Tomando y B = 4 en el límite obtenemos :

= [ Sencilla factorización ]

=

[ Agilizando cálculos, generando recursos ]

g)

Indeterminación.

De nuevo vamos a emplear la técnica del problema anterior

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[ Seguro que a más de uno le "suena" esta fórmula ]

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. ¡¡Ah!!

34.

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h)

Indeterminación.

Dos formas de resolverlo :

1ª) Utilizando la expresión : An - Bn = ( A - B ) A ( An-1 + An-2 A B + ... + A A Bn-2 + Bn-1 )

Para n = 3 Y A3 - B3 = ( A - B ) A ( A2 + A A B + B2 ), despejando,

Objetivo : Eliminar radicales

si

2º Utilizando el desarrollo del Binomio de Newton correspondiente

X.B.

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[ De nuevo generando recursos ]

35.

36.

37.

i)

Indeterminación.

Vamos a desarrollar el cubo, sin más.

[ Resultó sencillo ]

j) n 0000 N

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Indeterminación.

Vamos a aprovechar este límite para explicar de nuevo un cambio de variable.

Tomemos x - a = t Y x = a + t , si x Y a Y t Y 0

[ Desarrollando mediante el

Binomio de Newton ]

[ Realmente interesante el cambio de variable cuando la variable no tiende acero. A tener en cuenta ! ]