LOG530 DISTRIBUSJONSPLANLEGGING

Sikreste vei

2

NETTVERK

LOG530 Distribusjonsplanlegging

Noen ganger står en overfor ønsket om å finne sikreste kjørerute fra et gitt startpunkt til et ønsket stoppested.

Sikreste vei

1 2

4

5

3

6

8

7

9

0,0012

0,00320,0029 0,0018

0,00301

0,00250,0014

0,0003

0,0034

0,0027

0,0021

0,0033

0,0007

0,0017

0,0032

0,0011

0,0031

-1

+1

I dette nettverket angir tallene langs greinene sannsynligheten for uhell, dvs. ulykkesfrekvensen langs veistrekningen.

Vi skal nå finne sikreste kjørerute fra node 1 til node 9.

Tallet 0,0021 mellom node 4 og 7 angir 2,1‰ ulykkesrisiko.

3

PROBLEM

LOG530 Distribusjonsplanlegging

• La Xf,t angi om greinen fra node f til node t benyttes.• Om Xf,t = 1 indikerer det at vi reiser (transporterer 1 enhet) fra

node f til t.• Vi skal altså transportere denne enheten fra startnoden, via

forskjellige transittnoder, helt til vi kommer fram til endenoden.• Vi forsøker å velge den kjøreruten som gjør at totalrisikoen for

uhell blir så lav som mulig.• Det er imidlertid lettere matematisk å maksimere risikoen for

ikke uhell – som jo blir det samme.

Sikreste vei

LOG530 Distribusjonsplanlegging 4

SYMBOLER

Beslutningsvariabler:

Sikreste vei

Xft Angir om greinen fra node f til node t benyttes (f,t) {G} Xft {0, 1}

n Antall noderN Mengden noder N = {1, 2, …, n}G Mengden av greiner mellom nodenedj Tilbud/Behov ved node j j {N}; dj {-1, 0, +1}pft Sannsynlighet for uhell mellom node f og node t (f,t) {G}

Merk at mengden av greiner, G, inneholder start- og stopp -nodeangivelsen på alle greiner. Siden greinene er urettede må de angis i begge retninger, slik at for eksempel både (1,2) og (2,1) angir samme grein mellom node 1 og 2, men i forskjellig retning.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 5

MATEMATISK FORMULERINGMålfunksjon:

Sikreste vei

Om vi kjører langs greinen fra node f til node t, så er variabelen Xft = 1. Da kan vi

skrive sannsynligheten for ikke uhell som (1 – pft∙Xft), som tilsvarer (1 – pft∙1). For

greiner vi velge å ikke benytte er Xft = 0, og sannsynligheten for ikke uhell (1 – pft∙Xft)

blir (1 – pft∙0), dvs. 1.

Simultansannsynligheten for ikke å ha uhell langs hele kjøreruten kan altså skrives

som produktet av å ikke ha uhell langs alle greinene i nettverket:

(1 − p1,2∙X1,2)(1 – p1,3∙X1,3)(1 − p1,5∙X1,5)(1 – p2,4∙X2,4)(1 – p2,5∙X2,5) ∙∙∙ (1 – p8,9∙X8,9)

13 1‑Maksimer simultansannsynligheten for ikke uhell langs alle benyttede greiner i

nettverket.

( , )

max 1 ft ftf t G

p X

LOG530 Distribusjonsplanlegging 6

MATEMATISK FORMULERINGRestriksjoner:

Sikreste vei

• Siden ”behovet” = -1 i startnoden, må vi reise derfra.• Hvis vi kommer til en transittnode, vil restriksjonen tvinge

oss til å reise videre, siden ”behovet” = 0.• Når vi kommer til endenoden må vi forbli der, fordi

”behovet” = 1.

13 2‑

Sum transportert/ankommet til en node, minus sum

transportert/avreist fra samme node, må tilsvare behovet i noden.

Dette kravet gjelder alle noder.

fj jt jf G t G

X X d for alle j N

LOG530 Distribusjonsplanlegging 7

MATEMATISK FORMULERINGRestriksjoner:

Sikreste vei

X2,1 + X3,1 + X5,1 – X1,2 – X1,3 – X1,5 = -1 Start-node 1

X1,2 + X4,2 + X5,2 – X2,1 – X2,4 – X2,5 = 0 Transitt-node 2

X1,3 + X5,3 + X6,3 – X3,1 – X3,5 – X3,6 = 0 Transitt-node 3

X2,4 + X5,4 + X7,4 – X4,2 – X4,5 – X4,7 = 0 Transitt-node 4

X1,5 + X2,5 + X3,5 + X4,5 + X6,5 + X7,5 + X8,5

– X5,1 – X5,2 – X5,3 – X5,4 – X5,6 – X5,7 – X5,8 = 0 Transitt-node 5

X3,6 + X5,6 + X7,6 + X8,6 – X6,3 – X6,5 – X6,7 – X6,8 = 0 Transitt-node 6

X4,7 + X5,7 + X6,7 + X8,7 + X9,7 – X7,4 – X7,5 – X7,6 – X7,8 – X7,9 = 0 Transitt-node 7

X5,8 + X6,8 + X7,8 + X9,8 – X8,5 – X8,6 – X8,7 – X8,9 = 0 Transitt-node 8

X7,9 + X8,9– X9,7 – X9,8 = 1 Stopp-node 9

LOG530 Distribusjonsplanlegging 8

REGNEARK ORGANISERT SOM NETTVERK

Sikreste vei

Merk:Ikke-lineær modell

Merk:binærvariabl

er

LOG530 Distribusjonsplanlegging 9

IKKE-LINEÆRE MODELLER – NLP• Om modellen er

ikke-lineær, vil det kunne forekomme flere lokale optimumsløsninger.• For å forsøke å

finne den globalt beste av de ulike lokale optimumsløsningene, må en velge «MultiStart» opsjonen under Global Optimization under Engine –fanen i Solver Task Pane.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 10

HELTALLSPROBLEMER• Når modellen

inneholder beslutningsvariabler som må være heltall, må en sette Integer Tolerance = 0.• Ellers vil Solver

kunne stoppe før beste heltallsløsning er funnet.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 11

SIKRESTE KJØRERUTESikreste vei

1 2

4

5

3

6

8

7

9

0,0012

0,00320,0029 0,0018

0,00301

0,00250,0014

0,0003

0,0034

0,0027

0,0021

0,0033

0,0007

0,0017

0,0032

0,0011

0,0031

-1

+1