Matemática (Logaritmos)

Professor: Pedro Rosa 205

1. Em um experimento com uma colônia de bactérias, observou-se que havia 5.000 bactérias vinte minutos após o início do experimento e, dez minutos mais tarde, havia 8.500 bactérias. Suponha que a população da colônia cresce exponencialmente, de acordo com a função P(t) = Po . ekt, em que Po é a população inicial, k é uma constante positiva e P(t) é a população t minutos após o início do experimento. Calcule o valor de P0/100, desprezando a parte fracionaria de seu resultado, caso exista. Gab: 17 2. Quaisquer que sejam os números reais positivos a,

b, c, d, x e y, a expressão log2 ba + log2

cb +

log2 dc - log2

dx

ay pode ser reduzida a:

a) log2

x

y

b) log2

yx

c) 1 d) 0

e) log2

xd

ya

2

2

Gab: B 3. Daqui a t anos, o número de habitantes de uma

cidade será t000(1,02) 40 N . O valor de t para que a

população dobre em relação a de hoje é:

a) 02,1log

2log

b) 50 c) (log 2)(log 1,02)

d) 02,1log

2log2

e) 2(log 2)(log 1,02) Gab: A 4. Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determinada cidade, com idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula h = log (100,7 . i ), onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). pela fórmula, uma criança de 10 anos desta cidade terá de altura: a) 170 cm

b) 123 cm c) 125 cm d) 128 cm e) 130 cm Gab: A 5. Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções: altura: H(t) = 1 +

(0,8)log2 (t+1) diâmetro do tronco: 71

2)1,0()t(D

com H(t) e D(t) em metros e t em anos. a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas. b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros. Gab: a) 1 metros e 10 centímetros b) 20 centímetros 6. As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula:

1

2

M

M1012 logRR

onde M1 e M2 medem as energias liberadas pelos respectivos terremotos, sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Considerando que ocorreram dois terremotos, um corresponde a R1 = 6 e outro correspondente a R2 = 4, determine a razão entre as energias liberadas pelos mesmos.

Gab: 100

1

M

M

1

2

7. O número de lactobacilos numa cultura duplica a cada hora. Se num dado instante essa cultura tem cerca de mil lactobacilos, em quanto tempo, aproximadamente, a cultura terá um milhão de lactobacilos? Considere log2 = 0,3. a) 5 horas b) 100 horas c) 10 horas d) 7 horas

2

01

e) 2 horas Gab: C 8. O nível sonoro de um som de intensidade I, medido

em decibéis, é calculado pela fórmula 10 log0I

I,

onde log representa logaritmo na base 10, e I0 é um valor de referência que corresponde aproximadamente à menor intensidade de som audível ao ouvido humano. Com base nessas informações, é correto afirmar: 01. Se um som tem intensidade I0, então o seu nível sonoro é igual a zero. 02. Um som de 1 decibel tem intensidade igual a

10 I0. 04. Um som de 40 decibéis tem intensidade igual a

10000 I0. 08. Se um som tem nível sonoro de 10 decibéis, então outro som que é dez vezes mais intenso que aquele tem nível sonoro igual a 100 decibéis. 16. Se três sons têm níveis sonoros de 50, 60 e 70 decibéis, e suas intensidades são, respectivamente, I1, I2, e I3, então esses números formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Gab: VFVFV 9. Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica:

log10

E = 1,44 + 1,5 M

Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.0 na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente a) 10 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. b) 15 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.

c) 21 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. d) 31 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. Gab: D 10. Sendo a e b reais positivos diferentes de 1 tais que x = logb a e y = logab, a soma dos inversos de x e y, em função de x, é igual a:

a) 2x

1x2 b)

x

1x2 c)

x

1x 2

d) x2 x + 1 e) x2 2x + 1 Gab: C 11. Em notação científica, um número é escrito na

forma p · 10q, sendo p um número real tal que 1 p < 10, e q um número inteiro. Considerando log 2 = 0,3, o número 2255, escrito em notação científica, terá p igual a

a) 10

b) 3

c) 2 d) 1,2 e) 1,1 Gab: A 12. Um professor de Matemática propôs o seguinte problema aos seus alunos: Determine o valor preciso da seguinte expressão, em que os algoritmos são todos calculados na base 10 (logaritmos decimais):

10

9log

9

8log

8

7log

7

6log

6

5log

5

4log

4

3log

3

2log

2

1logx

Os alunos que resolveram corretamente esta questão concluíram que

a) x = 1/2 b) x = 1 c) x = 2

d) x = 2

e) x = 1 Gab: E