Lgica

Contedo

1 Introduo 11.1 O que lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Sobre os Raciocnios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Sobre os raciocnios vlidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Sobre os raciocnios invlidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Aplicaes da Lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Lgica Tradicional 4

3 Princpios e as Proposies Categricas 53.1 Princpios da Lgica tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1.1 No-contradio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.2 Terceiro excludo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.3 Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Proposies Categricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.1 Converses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 Oposies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.3 Subalternao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 O Silogismo 84.1 O Silogismo Categrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.1 Regras do silogismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.2 Aplicando Diagramas de Venn resoluo de silogismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.3 Lista de silogismos categricos vlidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Ontologia e Predicao 145.1 Ontologia e predicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Clculo Proposicional Clssico 156.1 ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7 O que o Clculo Proposicional Clssico 167.0.1 Proposies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.0.2 Termos, Operadores, Conectivos e Valoraes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.0.3 Denio de Frmula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

i

ii CONTEDO

8 Operadores e Tabelas Veritativas 178.0.4 Tabelas Veritativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.0.5 Uso de parnteses e frmulas com mais de um operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.0.6 Completando a tabela de verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.0.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9 Resoluo dos Exerccios 219.1 Resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10 Frmulas Contingentes, Contradies e Tautologias 2210.0.1 Frmulas Contingentes, Contradies e Tautologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11 Resoluo dos Exerccios 2311.1 Resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

12 Consequncia Semntica 2412.0.1 Implicao semntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412.0.2 As tautologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412.0.3 Argumentando com o CPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

13 Funes de Verdade e Valoraes 2913.0.4 Todas funes de verdade e a interdenibilidade das operaes . . . . . . . . . . . . . . . 2913.0.5 Valoraes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

14 Tabls semnticos 3114.1 Tabls semnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14.1.1 Tabls de Frmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.1.2 Tabls de Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

15 Respostas 3615.0.3 Exerccio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.0.4 Exerccio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

16 Deduo Natural - Parte I 3716.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716.2 Regras de Inferncia Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

16.2.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.3 Trabalhando com Hipteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

16.3.1 Reduo ao Absurdo (RAA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.3.2 Regra de Prova Condicional (RPC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.3.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

17 Resoluo dos Exerccios 4017.1 Resoluo dos Exerccios de Regras de Inferncia Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4017.2 Resoluo dos Exerccios de Regras Hipotticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

CONTEDO iii

18 Deduo Natural - Parte II 4118.1 Regras de Inferncia Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

18.1.1 Repetio (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.2 Modus Tollens (MT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.3 Prexao (PRF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.4 Contraposio (CT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.5 Contradio (CTR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.6 Lei de Duns Scot (DS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.7 Lei De Morgan I (DM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.8 Lei De Morgan II (DM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.9 Lista das Regras Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.1.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

18.2 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.2.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.2.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.2.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.2.4 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.2.5 Exemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.2.6 Exemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.2.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

19 Resoluo dos Exerccios 4319.1 Resoluo de algumas Regras de Inferncia Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4319.2 Resoluo dos Exerccios de Aplicao das Regras de Inferncia Derivadas . . . . . . . . . . . . . 4319.3 Resoluo dos Exerccios de Demonstrao de Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

20 Axiomtica 4520.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4520.2 Axiomtica de Frege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

20.2.1 Prova de que o terceiro axioma dedutvel dos dois primeiros . . . . . . . . . . . . . . . . 4620.3 Axiomtica de 5 operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

20.3.1 Alguns Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

21 Clculo de Sequntes 4721.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4721.2 Notao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4721.3 Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4721.4 Metateoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4721.5 Teoremas e Inferncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

22 Clculo Quanticacional Clssico 4922.1 ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iv CONTEDO

23 Introduo 5023.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

23.1.1 Do CPC para o CQC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

24 Constantes, Variveis e Quanticadores 51

25 Constantes individuais e de predicados 52

26 Variveis individuais e Quanticadores 5426.1 Expresso de Sentenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

27 Estruturas 5627.0.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5627.0.2 Universo e Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

28 Tabls semnticos no CQC 57

29 Tabls Semnticos no CQC 5829.1 Tabls de Frmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5829.2 Regras de construo de tabls para frmulas quanticadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6029.3 Tabls de Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

30 Deduo Natural no CQC 6430.1 Regras para Quanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

30.1.1 Eliminao do Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6430.1.2 Introduo do Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6430.1.3 Introduo do Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6430.1.4 Eliminao do Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6530.1.5 Exerccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

30.2 Regras Derivadas para Quanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6530.2.1 Intercmbio de Quanticadores 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6530.2.2 Intercmbio de Quanticadores 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6530.2.3 Intercmbio de Quanticadores 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6530.2.4 Intercmbio de Quanticadores 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6530.2.5 Aplicando o Intercmbio de Quanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

30.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

31 Resoluo dos exerccios 6731.0.1 Exerccios de teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

32 Identidade e Smbolos Funcionais 68

33 Smbolos de identidade e funcionais (CQC=f ) 6933.1 Tabls Semnticos para o CQC=f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6933.2 Deduo Natural no CQC=f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

CONTEDO v

33.3 Formalizao de sistemas pelo CQC=f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6933.3.1 Fomalizao da Aritmtica pelo CQC=f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

34 Lgicas no-clssicas 7034.1 ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

35 Introduo 7135.0.1 O que so lgicas no-clssicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7135.0.2 Lgicas complementares e alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7135.0.3 Paralelo entre os sistemas de geometria e de lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

36 Lgica Modal 7436.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7436.2 Axiomatizao da Lgica Modal Normal Mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7436.3 Outros Axiomas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7436.4 Semntica de Krypke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

37 Lgica Intuicionista 7537.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

37.1.1 Motivaes Filoscas da Lgica Intuicionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7537.1.2 Discrepncias entre a Lgica Clssica e a Intuicionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

37.2 Interpretao dos smbolos lgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7537.3 Sintaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

37.3.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7537.4 Semntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

37.4.1 lgebra de Heyting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7637.4.2 Semntica de Kripke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

38 Apndice 77

39 Paradoxos 7839.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7839.2 Paradoxo de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

39.2.1 Anlise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7839.3 Paradoxo de Grelling-Nelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

39.3.1 Anlise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7939.4 Paradoxo do Mentiroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

39.4.1 Anlise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7939.5 Paradoxo de Curry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

39.5.1 Anlise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7939.6 Paradoxo de Epimnides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

39.6.1 Anlise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

40 O homem mascarado e os limites de aplicabilidade do CQC 80

vi CONTEDO

41 Falcia do Homem Mascarado 81

42 Princpio da Exploso, Lei de Dun Scot, Prexao e as propriedades antiintuitivas da implicao 8242.0.2 Princpio da Exploso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8242.0.3 Lei de Dun Scot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8342.0.4 Prexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

43 Propriedades antiintuitivas da Implicao 8443.1 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

44 Questes Filoscas 86

45 Desaos de lgica 8745.1 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

45.1.1 9 pontos, 4 segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8745.1.2 Casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8745.1.3 Travessia de jangada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8745.1.4 Quatro cientistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8845.1.5 Soma=Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

45.2 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8845.2.1 9 pontos, 4 segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8845.2.2 Casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8845.2.3 Travessia de jangada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8845.2.4 Quatro cientistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8845.2.5 Soma=Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

46 Bibliograa 8946.1 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

46.1.1 On-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8946.2 Fontes, contribuidores e licenas de texto e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

46.2.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9046.2.2 Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9146.2.3 Licena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Captulo 1

Introduo

1.1 O que lgicaLgica, originalmente, a cincia formal que estuda asleis necessrias construo de um raciocnio perfeito.Hoje seu campo de estudo muito mais amplo, abran-gendo das cincia da computao matemtica. Mas tra-taremos primeiramente da questo dos raciocnios.

1.1.1 Sobre os Raciocnios

Quando falamos em raciocnios, devemos deixar claroque para a lgica so irrelevantes quaisquer consideraespsicolgicas acerca do ato de raciocinar. O que importa a forma dos raciocnios. Portanto, vamos deni-los as-sim:Um raciocnio uma lista de proposies, sendo que altima chamada de concluso (geralmente distinguidadas outras por palavras como logo e portanto, ou pelosmbolo ) ) e derivada das demais, as quais so chama-das de premissas.Eis um argumento:Ontem Joo bebeu dois copos de cerveja. Ontem Jootambm bebeu uma taa de vinho. Portanto, Joo passoumal ontem.Contudo, podemos indagar: O que garante que Joo pas-sou mal? E se dois copos de cerveja e uma taa de vinhono so suciente para que Joo passe mal? Por que noconcluir, por exemplo, Portanto, Joo cou levementeembriagado ?Observe ainda que podemos estabelecer uma innidadede mtodos de derivao. Poderamos simplesmente es-tipular o seguinte: Escolha aleatoriamente algumas pala-vras de cada premissa e ento formule como conclusoqualquer proposio arbitrria bem construda.Isto permitiria derivar das premissas Ontem Joo bebeudois copos de cerveja e Ontem Joo tambm bebeu umataa de vinho, uma concluso como Anteontem Joobebeu uma taa de cerveja.A lgica foi desenvolvida para, entre outras coisas, deter-minar quais raciocnios so ou no vlidos, e quais m-todos de derivao garantem raciocnios vlidos. Mas

o que um raciocnio vlido? Bem, vrios critrios devalidade podem ser estipulados, tais como a relevnciada concluso em relao s premissas, ou a disponibili-dade das premissas para a recurso durante a derivao.Existem vrios sistemas de lgica que formalizam estescritrios. Primeiramente, e durante boa parte dos nos-sos estudos, vamos nos ater ao critrio mais fundamental:um raciocnio lgicamente vlido se e somente se, tiveruma forma na qual, qualquer que seja o contedo daspremissas, se estas forem verdadeiras, a concluso sernecessariamente verdadeira.

1.1.2 Sobre os raciocnios vlidos

Uma vez que o que importa para a lgica a forma do ra-ciocnio, nada impede que um raciocnio vlido contenhapremissas falsas. Por exemplo,Todos ces so vegetarianos. Dlmatas so ces. Logo,dlmatas so vegetarianos.Apesar da primeira premissa e da concluso serem absur-das, o raciocnio vlido, pois tem uma forma na qual,caso todas as premissas fossem verdadeiras, a conclusotambm seria verdadeira. Basta substituir todas as ocor-rncias de so vegetarianos por comem carne, queteremos um raciocnio com premissas verdadeiras e umaconcluso verdadeira:Todos ces comem carne. Dlmatas so ces. Logo, dl-matas comem carne.Engana-se quem pensa que todo raciocnio vlido quecontenha premissas falsas ter uma concluso necessari-amente falsa. Tomemos o raciocnio vlido logo acima, evamos substituir todas as ocorrncias de carnvoros porpeixes e dlmatas por tubares:Todos ces so peixes. Tubares so ces. Logo, tubaresso peixes.Ou seja, um raciocnio vlido, com premissas falsas e umaconcluso verdadeira.De fato, existem alguns raciocnios vlidos que, devidocertas condies especcas, transmitem tanto a verdadequanto a falsidade das premissas para a concluso. Umexemplo so os raciocnios que tem a seguinte estrutura:

1

2 CAPTULO 1. INTRODUO

Nenhum A B. Logo, Nenhum B A.Substituindo os termos A e B por palavras que tornem apremissa verdadeira, termos, por exemplo:Nenhum mamfero um rptil. Logo, nenhum rptil um mamfero.Agora, substituindo os termos A e B por palavras que tor-nem a premissa falsa, termos, por exemplo:Nenhummamfero um animal aqutico. Logo, nenhumanimal aqutico um mamfero.Como podemos ver nestes exemplos, este raciocnio v-lido transmite tanto a verdade quanto a falsidade da pre-missa para a concluso. O que acontece neste caso queNenhum A B equivalente a Nenhum B A, isto, ambas sentenas tm as mesmas condies para seremverdadeiras ou falsas.

1.1.3 Sobre os raciocnios invlidosQuanto invalidade, podemos facilmente determinar queum raciocnio invlido se suas premissas so verdadeirase a concluso falsa. Por exemplo,Todos ces comem carne. Nenhum co peixe. Logo,nenhum peixe come carne.Este raciocnio obviamente invalido. As premissas soverdadeiras, mas a concluso falsa. Anal, piranhas etubares so peixes e comem carne.Contudo, h vezes em que um raciocnio invlido temtanto premissas verdadeiras quanto concluses verdadei-ras. Podemos determinar a invalidade deste raciocniopor meio de um contra-exemplo, ou seja, um exemplo deum raciocnio que tenha a mesma forma do raciocnioque queremos provar ser invlido, mas tenha premissasverdadeiras e uma concluso falsa.Por exemplo, o seguinte raciocnio tem tanto premissasverdadeiras quanto concluso verdadeira:Todas galinhas tm penas. Todas aves tm penas. Logo,todas galinhas so aves.Contudo, se substituirmos todas as ocorrncias do termoaves pelo termo patos, teremos:Todas galinhas tm penas. Todos patos tm penas. Logo,todas galinhas so patos.Ou seja, um raciocnio invlido. E como a forma destesdois ltimos raciocnios a mesma, ambos so invlidos.Apesar de prtico, este mtodo falho pelos seguintesmotivos:

1. Se voc no encontrou um contra-exemplo para umargumento, no signica que ele vlido. Talvez elesejamesmo invlido, mas voc no conseguiu pensarem um contra-exemplo.

2. Como ter certeza que um pretenso contra-exemplo

tem a mesma forma que o argumento que queremosprovar ser invlido?

3. Este mtodo pressupe o conhecimento prvio daverdade de muitas proposies.

Os lgicos desenvolveram, portanto, os diversos mtodosvalendo-se de todo rigor matemtico, a m de determi-nar a validade e a invalidade de raciocnios, assim comoos mtodos de derivao que nos permitem construir ra-ciocnios vlidos. A Lgica , portanto, uma disciplinamatemtica.

1.1.4 Aplicaes da Lgica

Alm de determinar a validade de raciocnios, a Lgicapossui diversas aplicaes. Dentre elas convm listar:

Anlise da consistncia de sistemas

Uma das mais antigas aplicaes da Lgica analisar aconsistncia de sistemas (loscos, cientcos, matem-ticos etc.). Isto , determinar se todas as sentenas quecompe um sistema podem ser verdadeiras (simultanea-mente) sem se contradizerem.No custa salientar que, assim como um argumento podeser vlido, mas conter premissas falsas, um sistema podeser consistente, mas nem todas sentenas que o consti-tui serem verdadeiras. Por exemplo, o sistema planetriode Ptolomeu, mesmo contendo sentenas falsas acerca donmero de astros, do movimento destes e de suas posi-es, internamente consistente, pois as sentenas queo compe no se contradizem. Anal, um sistema serinternamente consistente (no conter proposies que secontradizem) e um sistema ser consistente com os fatosso duas coisas distintas.Uma posio freqente na histria do pensamento deque sistemas inconsistentes devam ser rejeitados ou aomenos reformulados. Ainda assim, a histria pontu-ada por correntes de pensamento mais exveis acerca dainconsistncia. No sculo XX apareceram sistemas delgica que lidam com esta exibilidade.

Anlise das sentenas

ALgica usada para determinar quais as condies paraque uma sentena seja verdadeira ou falsa. Por exemplo,a sentena todo corvo preto verdadeira se cada ele-mento do conjunto corvos vericar a propriedade serpreto. A mesma sentena falsa se ao menos um ele-mento do conjunto corvos no vericar a propriedadeser preto.E ainda, pela Lgica podemos especicamente determi-nar quais as estruturas de sentenas sempre garantem queuma sentena seja verdadeira. Por exemplo, Todo A

1.1. O QUE LGICA 3

A. O que quer que substituirmos por A nesta estru-tura, se zer sentido, ento teremos uma sentena verda-deira. Por exemplo: Todo corvo corvo, Todo cavalo cavalo, Todo drago drago etc.

Fundamentao da Aritmtica

No m do sculo XIX e incio do sculo XX, lsofose matemticos como Gottlob Frege, Giuseppe Peano eBertrand Russell tinham um projeto em comum chamadologicismo, o qual consiste na fundamentao da Arit-mtica sobre a Lgica.A motivao para tal: a Aritmtica um sistema com-posto por innitas sentenas e por conceitos difceis dedenir (voc provavelmente sabe somar dois nmerosNaturais, mas sabe denir adio e Nmero Natu-ral"?). A Lgica lhes parecia a soluo para estas di-culdades, tanto pelos recursos que ela oferece acima cita-dos, quanto pela concepo losca que estes pioneirostinham da prpria lgica.Apesar dos logicistas terem obtido bons resultados e aper-feioado a lgica com novos conceitos e sistematizaes,nem todas suas pretenses foram atingidas devido a pa-radoxos nos quais eles se depararam e ao Teorema da In-completude de Gdel.

Testes de raciocnio

A lgica pode ser entendida como uma caracterstica emuma pessoa, onde possvel testar o nvel de lgica portestes de Q.I. A lgica no pode ser entendida como in-teligncia por total, j que existem outros tipos, mas atu-almente a mais importante. Pessoas com alta lgicaso superdotadas, ou seja, conseguiram uma pontuaoacima de 126 no teste de Q.I.A pessoa superdotada pode ser melhor entendida comouma pessoa que tem maior ecincia nos raciocnios.

Captulo 2

Lgica Tradicional

Aristteles, o criador do formalismo lgico.

Voltar para o ndice de Lgica

Princpios e as Proposies Categricas O Silogismo Ontologia e Predicao

4

Captulo 3

Princpios e as Proposies Categricas

3.1 Princpios da Lgica tradicio-nal

3.1.1 No-contradioEfetivamente, impossvel a quem quer que seja acre-ditar que uma mesma coisa seja e no seja ARISTTE-LES, Mtafsica, 3; 1005 b 22-44Segundo o Princpio de No-contradio, dada uma pro-posio e sua negao, no podem ser ambas verdadeiras.

3.1.2 Terceiro excludoQuem diz de uma coisa que ou que no , ou dir o ver-dadeiro ou dir o falso. Mas se existisse um termo mdioentre os dois contraditrios nem do ser nem do no serpoder-se-ia dizer que ou que no ". ARISTTELES,Mtafsica, 7; 1011 b 28-30

3.1.3 Identidade"(Todo) A A.Cada coisa aquilo que " LEIBNIZ, Novos Ensaios so-bre o Entendimento Humano.Apesar de frequentemente atribudo a Aristteles, no hreferncias do Princpio de Identidade at o sculo XIII.De qualquer forma, ele est inserido nos estudos de l-gica tradicional. O principio de identidade a expressodo principio de no contradio e formula-se da seguinteforma: - Forma ontologica: o ser o no ser no , isto, toda coisa igual a s mesma. - Forma lgica: A=A;todo A igual a A.

3.2 Proposies Categricas A - Universal Armativa: Todo A B ou Qual-quer A B.

E - Universal Negativa: Todo A no B ou Ne-nhum A B.

I - Particular Armativa: AlgumA B ou AlgunsAs so Bs.

O - Particular Negativa: Algum A no B ou Al-guns As no so Bs.

Proposies cujo sujeito consiste em um nomeprprio - exemplo: Scrates mortal, Fu-lano A, Beltrano B etc. - so chamadasde proposies singulares.

Apesar de parecer muito restrito (e realmente), o escopo deste sistema lgico pode ser am-pliado parafraseando as proposies para a es-trutura A B. Exemplos:Algumas aves voam Algumas aves so vo-adorasJoo matou Pedro Joo assassino de Pe-droRenata tem uma moto Renata dona deuma motoTodos ornitorrincos pe ovos Todos orni-torrincos so ovparosetc.

Obviamente, nem sempre a quanticao(todo, algum, nenhum etc.) explcita.Ex: "[todos] Ornitorrincos pe ovos, A mai-oria das [ou seja, algumas] aves voam etc.

3.2.1 Converses

Converso um argumento ou raciocnio daseguinte estrutura:"A B"."Logo, B A".

A quanticao torna algumas converses lci-tas e outras ilcitas:

5

6 CAPTULO 3. PRINCPIOS E AS PROPOSIES CATEGRICAS

Converses Lcitas

Do tipo E (Universal Negativa):

Nenhum A B. Logo nenhum B A.Exemplo: Nenhum peixe anfbio. Logo ne-nhum anfbio peixe.

Do tipo I (Particulares Armativas):

Algum A B. Logo algum B A.Exemplo: Algumas mulheres so artistas.Logo alguns artistas so mulheres.

Converses Ilcitas

Do tipo A (Universal Armativa):

Todo A B. Logo todo B A.Exemplo: Todos humanos so animais racio-nais. Logo todos animais racionais so huma-nos.Contra-exemplo: Todas mulheres so seres hu-manos. Logo todos seres humanos so mulhe-res.Observao: se a proposio universal arma-tiva for uma denio - tal como o exemplopode ser considerado - ento a sua converso lcita.

Do tipo O (Particular Negativa):

Algum A no B. Logo algum B no A.Exemplo: Alguns peixes no so animais mar-timos. Logo alguns animais martimos no sopeixes.Contra-exemplo: Alguns peixes no so tuba-res. Logo alguns tubares no so peixes.

3.2.2 OposiesOposies so relaes entre proposies de ti-pos distintos com os mesmos termos nas mes-mas posies de sujeito e predicado acerca dovalor (verdadeiro ou falso) que cada uma devereceber nomesmo sistema ou contexto em vistados valores das demais.Exemplo: Dadas as proposies Todo corvo preto (A), Nenhum corvo preto (E),Algum(ns) corvo(s) (so) preto(s)" (I), Al-gum(ns) corvo(s) no (so) preto(s)" (O), ovalor (verdadeiro ou falso) de qualquer uma de-termina o valor das demais dentro do mesmocontexto.Todas oposies so recprocas.

Contrariedade

Duas proposies so contrrias quando ambasno podem ser verdadeiras, mas ambas podemser falsas.Universais Armativas (A) e Universais Nega-tivas (E) so contrrias.Exemplos:Todos corvos so pretos e Nenhum corvo preto no podem ser ambas verdadeiras.Todos homens so brancos e Nenhum ho-mem branco podem ser ambas falsas.

Contraditoriedade

Duas proposies so contraditrias quandoelas nunca podem ser ambas verdadeiras ouambas falsas.Universais Armativas (A) e Particulares Ne-gativas (O) so contraditrias. Universais Ne-gativas (E) e Particulares Armativas (I) socontraditrias.Exemplos:Se alguns mamferos so ovparos (I) ver-dadeira, ento nenhum mamfero ovparo(E) falsa.Se alguns mamferos so insetos (I) falsa,ento nenhum mamfero inseto (E) ver-dadeira.Se todos homens so mortais (A) verda-deira, ento alguns homens no so mortais(O) falsa.Se alguns homens no so brancos (O) ver-dadeira, ento todos homens so brancos (A) falsa.

Subalternidade

Quando a Universal da relao verdadeira,a Particular tambm verdadeira. Contudo,o contrrio no logicamente necessrio (ver:Induo).Quando a Particular da relao falsa, a Uni-versal tambm falsa. Contudo, o contrriono logicamente necessrio.Universais Armativas (A) e Particulares Ar-mativas (I) so subalternas. Universais Negati-vas (E) e Particulares Negativas (O) so subal-ternas.Exemplos:Se todos tringulos so polgonos (A) ver-dadeira, ento alguns tringulos so polgo-nos (I) verdadeira.

3.2. PROPOSIES CATEGRICAS 7

Se nenhum mamfero invertebrado (E) verdadeira, ento alguns mamferos no soinvertebrados verdadeira.Se alguns tringulos so crculos falsa, en-to todos tringulos so crculos falsa.Se alguns insetos no so artrpodes (O) falsa, ento nenhum inseto artrpode (E) falsa.

Subcontrariedade

Duas proposies so subcontrrias quandoambas no podem ser falsas, mas ambas po-dem ser verdadeiras.Particulares Armativas (I) e Particulares Ne-gativas (O) so subcontrrias.Exemplos:Alguns homens so asiticos (I) e alguns ho-mens no so asiticos (O) podem ser ambasverdadeiras, mas no podem ser ambas falsas.

3.2.3 SubalternaoSubalternao consiste num raciocnio no qualh uma nica premissa que universal e a con-cluso de um tipo subalterno ao da premissa,havendo a comutao entre sujeito e predi-cado.

Subalternao A-ITodo A B.Logo alguns Bs so As.

Exemplos:

Todo tringulo polgono.Logo alguns polgonos so tringulos.

Todos gatos so mamferos.Logo alguns mamferos so gatos.

Subalternao E-ONenhum A B.Logo alguns Bs no so As.

Exemplos:

Nenhum mamfero rptil.Logo alguns rpteis no so mamferos.

Agora uma ressalva muito importante deve serfeita. Os lgicos contemporneos repararamque, em certas circunstncias, este tipo de ra-ciocnio pode conter premissas verdadeiras econcluso falsa. Ou seja, falacioso. Istoocorre quando ao menos um dos termos emquesto vazio. Por exemplo, se o conjunto A vazio, Todo A B pode ser verdade, masalguns Bs so As falso. A ilustrao se-guinte esclarecer a questo:

Imagine o seguinte contexto: um pas no qual...

Todos assassinos so executados. Outros crimes alm do assassinato so punidos coma execuo.

Nunca ocorreu um assassinato.

Este sistema consistente, ou seja, as verdadesno so contrrias ou contraditrias entre si.No h nada de contraditrio em estar estipu-lada a punio para um crime que nunca ocor-reu. Contudo, se todos assassinos so execu-tados for premissa de um raciocnio de subal-ternao, teremos como concluso alguns exe-cutados so assassinos, o que contraditriocom nunca ocorreu um assassinato, ou seja,assassinos no existem [no contexto em ques-to].Assim, para se realizar a inferncia Todo A B. Logo alguns Bs so As. deve-se assumirque o conjunto dos As (e consequentemente odos Bs) no vazio. O que, na concepo con-tempornea de lgica, signica que deve haveruma premissa que arme que As existem.Da mesma forma, para se realizar a infernciaNenhum A B. Logo alguns Bs no so As.deve-se assumir que o conjunto dos Bs no vazio (podendo o conjunto dos As ser ou novazio). O que, na concepo contempornea delgica, signica que deve haver uma premissaque arme que Bs existem.Algo semelhante tambm ocorre com algunssilogismos, como veremos adiante.

Captulo 4

O Silogismo

4.1 O Silogismo Categrico Silogismo Categrico uma forma de raciocniolgico na qual h duas premissas e uma conclusodistinta destas premissas, sendo todas proposiescategricas ou singulares.

TermoMdio o termo que se repete nas duas pre-missas mas no aparece na concluso. Por exemplo:

Todo cachorro mamfero.Todo mamfero vertebrado.Logo todo cachorro vertebrado.

Neste caso, o termo mdio mamfero

4.1.1 Regras do silogismoA validade de um silogismo depende do respeito s regrasde estruturao. Tais regras, em nmero de oito, per-mitem vericar a correo ou incorreo do silogismo.As quatro primeiras regras so referentes aos termos e asquatro ltimas so referentes s premissas. So elas:

1) Todo silogismo contm somente trs termos:maior, mdio e menor;2) Os termos da concluso no podem ter ex-tenso maior que os termos das premissas;3) O termo mdio no pode entrar na conclu-so;4) O termo mdio deve ser universal ao menosuma vez;5) De duas premissas negativas, nada se con-clui;6) De duas premissas armativas no pode ha-ver concluso negativa;7) A concluso segue sempre a premissa maisfraca;8) De duas premissas particulares, nada se con-clui.

4.1.2 Aplicando Diagramas de Venn re-soluo de silogismos

O primeiro passo representar os trs termosdo silogismo da seguinte forma:

Assim representaremos quatro subconjuntospara cada conjunto:

8

4.1. O SILOGISMO CATEGRICO 9

Ento so eliminados os conjuntos que estoem desacordo com as premissas. Digamos quetemos as seguintes premissas:Todo A B.Todo B C.

Ora, se todo A B, ento devemos eliminar ossubconjuntos dos As que no so Bs:

E se todos Bs so Cs, devemos eliminar os sub-conjuntos dos Bs que no so Cs:

Restaram apenas trs subconjuntos. Mas comoas premissas no informam sobre os Cs que noso Bs ou As, devemos ignorar estes subcon-juntos. Resta apenas os conjuntos dos As queso Bs e tambm so Cs. Portanto, a concluso: Todo A C.

Diagrama de duas premissas que no permitem cons-truir um silogismo vlido

Se termo mdio repetir-se no predicado deduas premissas tipo A desta forma:Todo A C.Todo B C.O diagrama car assim:

As premissas no informam sobre os subcon-juntos de C. Portanto, no possvel formu-lar um silogismo logicamente vlido com duaspremissas universais armativas com o termomdio distribudo no predicado das duas.

10 CAPTULO 4. O SILOGISMO

Diagrama para Universal Negativa

Agora vejamos um raciocnio que contenhauma premissa universal negativa:

Todo A B.

Nenhum B C.

J vimos como lidar com a primeira premissa:

Quanto segunda premissa, se nenhum B C,ento devemos eliminar os subconjuntos dos Bsque so Cs:

Podemos ver que A e C no tem subconjuntosem comum. Como nenhuma premissa isolada-mente estabelece qualquer relao com A e C,podemos concluir que Nenhum A C:

Diagrama de duas premissas Universais Negativas

Agora vejamos como seria se houvesse duaspremissas negativas, por exemplo:Nenhum A B.Nenhum B C.

No teramos informao sobre a existncia deAs que no so Cs, de Cs que no so As nemde As que so Cs. Por isto no possvel umsilogismo com duas premissas negativas.

Diagrama para Particular Armativa

Agora vejamos como ca um silogismo comuma premissa particular armativa, digamos:Todo A B.Alguns Cs so As.

J sabemos como lidar com a primeira pre-missa. Quanto segunda, se alguns Cs so As,

4.1. O SILOGISMO CATEGRICO 11

ento o conjunto C tem ao menos um subcon-junto em comum com A:

Como, dadas as premissas, podemos ter cer-teza que existem As que so Bs e tambm soCs, e como nenhuma premissa isoladamenteestabelecia qualquer relao entre B e C, po-demos concluir que alguns Bs so Cs:

Repare que a premissa Alguns Cs so As in-forma que C tem ao menos um se no dois subconjuntos em comum com A. Porm, elaisoladamente no nos permite determinar quaisso. Ns pudemos dizer que existem As queso Bs e tambm so Cs, pois a premissa TodoA B elimina os As que so Cs e no soBs. Portanto, no possvel um silogismo comduas premissas particulares.

Diagrama para Particular Negativa

Agora vejamos como lidar com silogismos quetenham uma premissa particular negativa, talcomo:

Todo A B.

Alguns Cs no so Bs.

de se esperar que a essa altura j saibamoscomo lidar com a primeira premissa. Quanto segunda, repare que segundo ela existem Bsque no so Cs, mas ela isolada no nos permi-tiria determinar se existem Cs que so As masno so Bs, ou se existem Cs que no so Ase tambm no so Bs. Poderia haver somenteum destes casos ou ambos. Mas a primeira pre-missa, Todo A B, elimina os Cs que noAs mas no so Bs. Isto nos permite determi-nar que, segundo as premissas, existem Cs queno so As e tambm no so Bs:

Como no h premissas neste silogismo queisoladas estabelecem relao entre A e C, po-demos concluir que alguns Cs no so As:

12 CAPTULO 4. O SILOGISMO

Diagrama de silogismos que requerem a assuno deexistncia do termo mdio

Em alguns casos, um silogismo s validose supormos a existncia do termo mdio. como se houvesse uma terceira premissa: Xexiste, onde X o termo mdio.Veja por exemplo o silogismo Darapti, no qualas premissas so todo A B e todo A C":

No podemos concluir coisa alguma. Contdo,assumindo a existncia do termo mdio A,veja como ca:

4.1.3 Lista de silogismos categricos vli-dos

Os nomes dos silogismos foram dados na IdadeMdia com o intuito de facilitar a memori-zao. As vogais dos nomes so as mesmasvogais usadas para designar as proposies.

Exemplo: O silogismo BARBARA contmtrs Universais Armativas (A).

Figura 1

O termo mdio ocupa a posio de sujeito napremissa maior e predicado na premissa me-nor.

Barbara

Todo B um A.Todo C um B. Todo C um A.

Celarent

Nenhum B um A.Todo C um B. Nenhum C um A.

Darii

Todo B um A.Alguns Cs so Bs. Alguns Cs so As.

Ferio

Nenhum B um A.Alguns Cs so Bs. Alguns Cs no so As.

Figura 2

O termo mdio ocupa a posio de predicadoem ambas as premissas.

Cesare

Nenhum B um A.Todo C um A. Nenhum C um B.

Camestres

Todo B um A.Nenhum C um A. Nenhum C um B.

Festino

Nenhum B um A.Alguns Cs so As. Alguns Cs no so Bs.

4.1. O SILOGISMO CATEGRICO 13

Baroco

Todo B um A.Alguns Cs no so As. Alguns Cs no so Bs.

Figura 3

O termo mdio ocupa a posio de sujeito nasduas premissas.

Darapti

Todo C um A.Todo C um B. Alguns Bs so As.

Esta forma requer a assuno de que alguns Csexistem.

Dati

Todo C um A.Alguns Cs so Bs. Alguns Bs so As.

Dam

Alguns Cs so As.Todo C um B. Alguns Bs so As.

Felapton

Nenhum C um A.Todo C um B. Alguns Bs no so As.

Esta forma requer a assuno de que alguns Csexistem.

Feron

Nenhum C um A.Alguns Cs so Bs. Alguns Bs no so As.

Bocardo

Alguns Cs no so As.Todo C a B. Alguns Bs no so As.

Captulo 5

Ontologia e Predicao

5.1 Ontologia e predicaoCom o que foi visto at agora, no tem-se osuciente para determinar a invalidade de ra-ciocnios como:

Scrates branco.Branco uma cor.Logo Scrates uma cor.

A natureza do erro deste raciocnio consiste emter premissas onde a relao lgica e semn-tica entre o sujeito e o predicado distinta en-tre ambas. Ou seja, num silogismo vlido, aspremissas devem ter a mesma relao entre osujeito e o predicado.Aristteles estudou a fundo a questo dasrelaes lgico-semnticas estabelecidas peloverbo ser - lembrando que no Grego, assimcomo no Ingls, no Alemo etc., ser e estarso o mesmo verbo - nas obrasMetafsica e DeInterpretatione, entre outras.

Essenciais

S P

Denies

Pois no que diz respeito s denies, a maiorparte da discusso se so o mesmo ou distin-tos (Tpicos I, 102a 2).

S = P

Gnero S P

Contingentes

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Captulo 6

Clculo Proposicional Clssico

6.1 ndice O que o Clculo Proposicional Clssico Operadores e Tabelas Veritativas Frmulas Contingentes, Contradies e Tautologias

Consequncia Semntica Funes de Verdade e Valoraes Tabls semnticos Deduo Natural - Parte I Deduo Natural - Parte II Axiomtica Clculo de Sequntes

Este captulo foi eleito pelos colaboradores como um dosmelhores doWikilivros. Para mais informaes, consultea pgina de votaes.

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Captulo 7

O que o Clculo Proposicional Clssico

O Clculo Proposicional Clssico (CPC) con-siste num sistema simblico de Lgica Cls-sica. E como todos os sistemas de lgica cls-sica, segue os seguintes princpios:

Bivalncia: Cada frmula recebe apenas um de doisvalores distintos e absolutos, verdadeiro ou falso.

No-contradio: Dadas uma frmula e sua nega-o, uma delas falsa.

Terceiro Excludo: Dadas uma frmula e sua ne-gao, uma delas verdadeira.

Identidade: Se uma frmula verdadeira, entoesta frmula verdadeira.

O CPC se distingue de outros sistemas de Lgica Clssicapor lidar apenas com:

Letras sentenciais: No CPC, letras do alfabeto ro-manomaisculas so usadas para representar as pro-posies.

Este sistema foi desenvolvido para propsitos matemti-cos, tendo, portanto, limitaes no que se refere anlisede raciocnios. Ainda assim, podemos aplic-lo loso-a, s cincias e ao conhecimento ordinrio, desde quesempre estejamos cientes de suas limitaes.Por ser um sistema de lgica simblica, devemos ter v-rias consideraes tanto para formalizar proposies dalinguagem natural, quanto para interpretar suas frmulasna linguagem natural.

7.0.1 ProposiesProposies so estruturas lingsticas passveis de seremjulgadas verdadeiras ou falsas, tais como Todos homensso mortais, Scrates homem, A gua sob uma at-mosfera ferve a 100C, Siegfrid matou Fafnir, 2 + 2= 4 etc. No so proposies as estruturas lingsticasinterrogativas (ex: Quem voc?) ou imperativas (ex:Faa isto), pois elas no so passveis de serem julgadasverdadeiras ou falsas.

7.0.2 Termos, Operadores, Conectivos eValoraes

No CPC, frmulas atmicas representam proposiesde uma linguagem L . Para escrev-las, so usadas letrasdo alfabeto latino maisculas (A, B, C, D, E etc.).Operadores so usados para criar novas frmulas a partirde frmulas mais simples, constituindo assim frmulasmoleculares (ou frmulas no atmicas). Os 5 opera-dores mais usuais so: a negao (), a conjuno (), adisjuno (), a implicao () e a bi-implicao ().Parnteses so usadas para delimitar frmulas evitandoassim ambiguidades e facilitando a leitura. Um exemplode frmula no atmica : ((A B) (C A)). Osconectivos so aqueles operadores que relacionam duasfrmulas.

7.0.3 Denio de FrmulaFrmulas atmicas so frmulas bem formuladas.Se e so frmulas bem formuladas, ento : , ^, _ , ! e $ so frmulas bem formuladas.Se uma frmula bem formulada, ento subfrmulade : .Se e so frmulas bem formuladas, ento e sosubfrmulas de ^ , _ , ! e $ .

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Captulo 8

Operadores e Tabelas Veritativas

8.0.4 Tabelas Veritativas

Seja L uma linguagem que contenha as proposies A ,B e C .O que podemos dizer sobre proposio A ? Para come-ar, segundo o princpio de bivalncia, ela ou verdadeiraou falsa. Isto representamos assim:Agora, o que podemos dizer sobre as proposies A e B? Ora, ou ambas so verdadeiras, ou a primeira verda-deira e a segunda falsa, ou a primeira falsa e a segunda verdadeira, ou ambas so falsas. Isto representamos as-sim:Como voc j deve ter reparado, uma tabela para A , Be C assim:Cada linha da tabela (fora a primeira que contm as fr-mulas) representa uma valorao.Agora, o que dizer sobre frmulas moleculares, como:A,B_C ou (B ^ C)! (A$ B) ? Para estas, podemosestabelecer os valores que elas recebem em vista do valorde cada frmula atmica que as compe. Faremos istopor meio das tabelas veritativas.Os primeiros passos para construir uma tabela veritativaconsistem em:1) Uma linha em que esto contidos todas as subfrmu-las de uma frmula e a prpria frmula. Por exemplo, afrmula : ((A ^B)! C) tem o seguinte conjuntos desubfrmulas: { (A ^B)! C , A ^B , A , B , C }2) l linhas em que esto todos possveis valores que ostermos podem receber e os valores cujas as frmulas mo-leculares tem dados os valores destes termos.O nmero destas linhas l = nt , sendo n o nmerode valores que o sistema permite (sempre 2 no caso doCPC) e t o nmero de termos que a frmula contm. As-sim, se uma frmula contm 2 termos, o nmero de linhasque expressam a permutaes entre estes ser 4: um casode ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos deapenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e umcaso no qual ambos termos so falsos (F F). Se a frmulacontiver 3 termos, o nmero de linhas que expressam apermutaes entre estes ser 8: um caso de todos termosserem verdadeiros (V V V), trs casos de apenas dois ter-

mos serem verdadeiros (V V F , V FV , F VV), trs casosde apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F, F F V) e um caso no qual todos termos so falsos (F FF).Ento, para a frmula : ((A ^B)! C) , temos:Para completar esta tabela precisamos denir os opera-dores lgicos. Ao faz-lo, vamos aproveitar para explicarcomo interpret-los.

Negao

A negao tem o valor inverso da frmula negada. A sa-ber:

Interpretaes: No A ", No o caso de A "," falso que ' A '".

Assim, em uma linguagemL na qualA signica "Scrates mortal", :A pode ser interpretada como "Scrates no mortal", e, se o primeiro verdadeiro, o segundo falso;e se o primeiro falso, o segundo verdadeiro.Interpretar a negao por meio de antnimos tambm uma alternativa, mas deve-se ter cautela, pois nem sem-pre aplicvel em todos os casos. No exemplo acimaa interpretao por meio de antnimos perfeitamenteaplicvel, ou seja, se A signica "Scrates mortal", :Apode ser interpretada como "Scrates imortal". Por ou-tro lado, em uma linguagem L na qual B signica "Joo bom jogador", a proposio "Joo mau jogador" no a melhor interpretao para :B (Joo poderia ser apenasum jogador mediano).Pode-se adicionar indenidamente o operador de nega-o: ::A signica falso que :A . :::A signica falso que ::A .E assim por diante.Repare que ::A equivalente a A , assim como :::A equivalente a :A .A negao mltipla trs alguns problemas de interpreta-o. Interpretando mais uma vez A por "Scrates mor-

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18 CAPTULO 8. OPERADORES E TABELAS VERITATIVAS

tal", podemos perfeitamente interpretar ::A de diver-sar formas: "No o caso de que Scrates no mortal","No o caso de que Scrates imortal", " falso queScrates no mortal", " falso que Scrates imortal"etc. Contudo, nem sempre na lngua portuguesa a duplanegao de uma proposio equivale armao desta.Muitas vezes a dupla negao uma nfase na negao.Exemplos: "No veio ningum", No z nada hoje etc.

Conjuno

A conjuno entre duas frmulas s verda-deira quando ambas so verdadeiras. A saber:

Interpretao: " A ^ B " pode ser interpretadacomo " A e B ", Tanto A quanto B ", Ambasproposies ' A ' e ' B ' so verdadeiras etc.

Assim, em uma linguagem L na qual A signica "Soucidado brasileiro" e B signica "Sou estudante de lo-soa", A ^ B pode ser interpretada como "Sou cidadobrasileiro e estudante de losoa"; o que s verdade seA verdade e B verdade.Repare que a conjuno comutvel, ou seja, A ^ B equivalente a B ^A , a saber:A comutatividade da conjuno trs um problema paraformalizar proposies da linguagem natural no ClculoProposicional Clssico, pois a ordem em que as oraesaparecem pode sugerir uma seqencia temporal. Porexemplo "Isabela casou e teve um lho" bem diferentede "Isabela teve um lho e casou". Repare que o mesmoproblema no acomete a proposio "Isabela casada etem lhos", que equivalente a "Isabela tem lhos e ca-sada". Esta sentena , portanto, perfeitamente formali-zvel no Clculo Proposicional Clssico por meio de umaconjuno.Proposies que levam a palavra "mas" tambm podemser formalizadas pela conjuno. Por exemplo, em umalinguagemL na qualC signica "Joo foi atropelado" eDsignica "Joo sobreviveu ao atropelamento", as sentenas"Joo foi atropelado e sobreviveu" e "Joo foi atropelado,mas sobreviveu" podem ambas serem formalizadas assim:C ^DAnal, ambas proposies armam os mesmos eventosna mesma seqencia: o atropelamento e a sobrevivnciade Joo. A nica diferena entre ambas que aquela queleva mas expressa que uma expectativa subjetiva nofoi satisfeita, o que, para os desenvolvedores da lgicaclssica, no importa para a lgica.

Disjuno

A disjuno entre duas frmulas s verda-deira quando ao menos uma delas verdadeira.A saber:

Repare que a disjuno tambm comutativa:

Interpretao: " A _ B " pode ser interpretadacomo " A ou B ", Entre as proposies A e B ,ao menos uma verdadeira.

Assim, se A signica "Fulano estuda losoa" e B signi-ca "Fulano estuda matemtica", A _ B pode ser inter-pretada como "Fulano estuda losoa ou matemtica"; oque s falso se nem A nem B forem verdadeiras.Com a disjuno preciso tomar muito cuidado tanto nainterpretao de frmulas quanto na formalizao de pro-posies, pois na linguagem natural muitas vezes os dis-juntos so excludentes. Por exemplo: "Uma moeda aoser lanada resulta em cara ou coroa", "Nestas frias euvou viajar ou car em casa".Para estes casos usamos a disjuno exclusiva ou a bi-implicao combinada com a negao, como veremosmais adiante.

Implicao

A implicao entre duas frmulas s falsa se a da es-querda (antecedente) for verdadeira e da direita (con-seqente) for falsa. A saber:Repare que a implicao no comutativa:

Interpretao: " A ! B " pode ser interpretadacomo "Se A , ento B ", "A implica em B ", "Se aproposio ' A ' verdade, ento a proposio ' B 'tambm verdade", A partir de ' A ' inferimos ' B' ", " A satisfaz B ", " A condio suciente de B".

Assim, se, em uma linguagem L , A signica "O botovermelho foi apertado" e B signica "O lugar todo ex-plode", A ! B pode ser interpretada como "Se o botovermelho foi apertado, o lugar inteiro explode", o que s falso se o boto vermelho for apertado (verdade de A )e o lugar no explodir (falsidade de B ):A interpretao da implicao uma das mais compli-cadas. Talvez voc tenha estranhado que a implicaoseja verdadeira quando o antecedente falso. Ou ainda,voc poderia objetar mas e se o boto for apertado, olugar explodir, mas uma coisa no ter nada a ver com aoutra?".Quando temos na linguagem natural uma proposio quearma que, a partir de um evento, outro segue inexoravel-mente (por exemplo: "Se voc sair na chuva sem guarda-chuva ou capa de chuva, ento voc vai se molhar") ouuma proposio que arma que podemos deduzir um fatode outro (por exemplo: "Se todo nmero par divisvelpor 2, ento nenhum nmero par maior que 2 primo"),podemos seguramente formalizar estas proposies pormeio da implicao.

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Mas o contrrio, ou seja, interpretar uma implicao ana linguagem natural, problemtico. Podemos estar li-dando com uma implicao cujo o antecedente e o con-seqente no tem relao alguma. Bastando que o ante-cedente seja falso ou o conseqente seja verdadeiro paraque a implicao seja verdadeira. Nestes casos, bem di-fcil dar uma interpretao satisfatria para a implicao.

Bi-implicao

A bi-implicao entre duas frmulas verdadeira quandoambas so verdadeiras ou ambas so falsas.Repare que a bi-implicao comutativa:

Interpretao: " A $ B " pode ser interpretadacomo " A se e somente se B ", " A equivalente aB ", " A e B possuem o mesmo valor veritativo".

Assim, seA signica "As luzes esto acesas" eB signica"O interruptor est voltado para cima", A$ B pode serinterpretada como "As luzes esto acesas se e somente se ointerruptor est voltado para cima", o que s falso se asluzes estiverem acesas e o interruptor no estiver voltadopara cima (verdade de A falsidade de B ), ou se as luzesno estiverem acesas e o interruptor estiver voltado paracima (falsidade de A e verdade de B ):

Outros conectivos

Ainda h outros conectivos interessantes, mas, por moti-vos explicados mais para frente, no trabalharemos comeles. Vamos apenas nos familiarizar com alguns delesagora.

Adaga de Quine A # B verdadeiro somente se am-bos, A eB , forem falsos. Trata-se, portanto, da negaoda disjuno:

Disjuno Exclusiva A disjuno exclusiva entre duasfrmulas verdadeira somente se apenas uma delasfor verdadeira. Trata-se, portanto, da negao da bi-implicao:

Trao de Sheer A j B s falsa se ambos A e B fo-rem verdadeiros. Trata-se, portanto, da negao da con-juno.

8.0.5 Uso de parnteses e frmulas commais de um operador

Assim como na aritmtica e algebra, os parn-teses na lgica indicam o que considerar pri-meiro. Portanto, a frmula : (A ^B) con-siste na negao da conjuno entre A e B ,

enquanto a frmula :A ^ B consiste na con-juno entre a negao de A e B .A diferena entre as frmulas ca clara na ta-bela de verdade:

Da mesma forma, A ! (B ! C) distintade (A! B)! C . A saber:

Contudo, tem-se que a frmula A ^ (B ^ C) equivalente (A ^B) ^ C , pois ambas ssero verdadeiras se A , B e C forem verda-deiras.Da mesma forma, A _ (B _ C) equivalente (A _B) _ C (ambas s so falsas quandotodos termos so falsos), e A $ (B $ C) equivalente (A$ B)$ C .Devido a isto, vale como conveno informalas construes A^B ^C , A_B _C e A$B $ C .

8.0.6 Completando a tabela de verdadeAgora vejamos como completar a tabela de verdade dafrmula : ((A ^B)! C) .Uma vez que j estabelecemos todas valoraes deA , Be C vamos completar cada coluna, comeando pela sub-frmula mais simples at chegar frmula em questo.Neste caso, vamos comear por A ^ B . Pela deniode conjuno, em cada linha nas quais tanto A quanto Bforem verdadeiras, A ^ B ser verdadeira. Em todas asdemais, ser falsa:Agora vamos considerar a coluna da subfrmula(A ^B) ! C . Pela denio de implicao, emcada linha na qual o antecedente A ^ B for verdadeiroenquanto o conseqente C for falso, (A ^B) ! C serfalso. Em todas as demais, ser verdadeira:Por m, resta a coluna da frmula : ((A ^B)! C). Pela denio de negao, em cada linha na qual(A ^B) ! C for verdadeira, : ((A ^B)! C) serfalsa; e em cada linha na qual (A ^B) ! C for falsa,: ((A ^B)! C) ser verdadeira:Por meio desta tabela podemos ver que a frmula: ((A ^B)! C) s verdadeira em um nico caso: oqual A e B so verdadeiras enquanto C falsa. Esta uma das aplicaes da tabela de verdade: determinar emquais valoraes de suas subfrmulas uma frmula ver-dadeira ou falsa.

8.0.7 ExercciosSeja L uma linguagem na qual:A signica Russell desenvolveu a teoria das descries.B signica Gdel matemtico.

20 CAPTULO 8. OPERADORES E TABELAS VERITATIVAS

C signica Est chovendo.Formalize no CPC as seguintes proposies e faa a ta-bela de verdade de cada uma delas:

1. No est chovendo.

2. Russell desenvolveu a teoria das descries e Gdel matemtico.

3. Russell desenvolveu a teoria das descries ou Gdelno matemtico.

4. Se Gdel matemtico, ento est chovendo.5. Se no est chovendo, ento Gdel no matem-

tico.

6. Nem est chovendo, nem Russell desenvolveu a teo-ria das descries.

7. Russell no desenvolveu a teoria das descries se esomente se est chovendo.

Resoluo dos Exerccios

Captulo 9

Resoluo dos Exerccios

9.1 Resoluo1

No est chovendo.:C

2

Russell desenvolveu a teoria das descries e Gdel ma-temtico.A ^B

3

Russell desenvolveu a teoria das descries ou Gdel no matemtico.A _ :B

4

Se Gdel matemtico, ento est chovendo.B ! C

5

Se no est chovendo, ento Gdel no matemtico.:C ! :B

6

Nem est chovendo, nem Russell desenvolveu a teoria dasdescries.:C ^ :A

7

Russell no desenvolveu a teoria das descries se e so-mente se est chovendo.

:A$ C

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Captulo 10

Frmulas Contingentes, Contradies eTautologias

10.0.1 Frmulas Contingentes, Contradi-es e Tautologias

Frmulas contingentes so aquelas cuja valorao podeser verdadeira ou falsa, dependendo da valorao de suasfrmulas atmicas. Todas frmulas descritas na seo an-terior so contingentes:Contradies so frmulas que, independente da valora-o de suas frmulas atmicas, sua valorao Falso.Um exemplo de contradio A ^ :A :Tautologias so frmulas que, independente da valora-o de suas frmulas atmicas, sua valorao Ver-dadeiro. Bons exemplos de tautologia so A ! A ,: (A ^ :A) e A _ :A .

Nota: Toda negao de uma contradio con-siste numa tautologia e toda negao de umatautologia consiste numa contradio.

Exerccio

Faa a tabela de verdade das seguintes frmulas e deter-mine se elas so contingentes, contraditrias ou tautol-gicas.

1. A$ A2. A$ :A3. : (P _ :P )4. A! (B ! A)5. (A! B)! A6. (A _B)! A7. A! (A _B)8. (C ^D)! D9. D ! (C ^D)10. ::A

Resoluo dos Exerccios

Lista de Tautologias

Antes de listar as tautologias mais usuais, faz-se necess-rio um esclarecimento. Se dada uma frmula tautolgica,seus termos so substitudos por quaisquer outras frmu-las, ela continua sendo uma tautologia. Exemplo:A! A uma tautologia.Substitui-se o termo A pela frmula molecular(B ^ C)$ (D _ E)((B ^ C)$ (D _ E))! ((B ^ C)$ (D _ E))Est frmula tambm uma tautologia.Assim, a m de expressar abrangentemente as frmulastautolgicas, ao invs de usar letras romanas (A, B, C, Detc.), usar-se- letras gregas minsculas (, , , , etc.)que representam frmulas quaisquer (atmicas, molecu-lares, contingentes, contraditrias ou tautolgicas).Lembre-se que as letras do alfabeto grego no tem um sig-nicado especco em uma linguagemL . Elas consistemem variveis metalingsticas. As estruturas lingsticasformadas por elas no so frmulas ou teoremas, mas es-quema de frmulas ou esquema de teoremas. Porm, osprprios lgicos, por economia de linguagem, se referemaos esquemas de frmulas por frmulas e idem paraos esquemas de teoremas. Esta economia de linguagemtambm ocorre ao longo deste wikilivro.

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Captulo 11

Resoluo dos Exerccios

11.1 Resoluo1

A$ AA frmula tautolgica.

2

A$ :AA frmula contraditria.

3

: (P _ :P )A frmula contraditria.

4

A! (B ! A)A frmula tautolgica.

5

(A! B)! AA frmula contingente.

6

(A _B)! AA frmula contingente.

7

A! (A _B)A frmula tautolgica.

8

(C ^D)! DA frmula tautolgica.

9

D ! (C ^D)A frmula contingente.

10

::AA frmula contingente.

23

Captulo 12

Consequncia Semntica

12.0.1 Implicao semnticaUm conjunto de frmulas implica semanti-camente - ou materialmente - numa frmula , ( ) , sempre quando todas as frmu-las de forem verdadeiras, seja verdadeira.Por exemplo, digamos que = f g (Gama o conjunto unitrio da frmula alfa). Se verdadeira, ento verdadeira. Assim: (alfa implica semanticamente em alfa)Ainda utilizando o conjunto = f g , pode-mos dizer que: :: (alfa implica na negao da nega-o de alfa).Anal, sempre que uma frmula verdadeira,a negao de sua negao tambm verdadeira.Como est ilustrado na tabela adiante:

Agora digamos que = f ; g (Gama oconjunto binrio das frmulas alfa e beta). Re-vejamos algumas tabelas de verdade, apenas alinha que representa o caso de e seremambas verdadeiras:

Podemos ver que, sempre que duas frmulasso verdadeiras, a conjuno, disjuno, im-plicao e bi-implicao entre elas tambm soverdadeiras. Assim sendo:

= f ; g ^ _ ! $ No caso da conjuno, vlido o seguinte:

^

^

Anal, sempre que a conjuno entre duas fr-mulas verdadeira, ambas as frmulas so ver-dadeiras. Isto no acontece com as outras ope-raes lgicas (reveja as tabelas de verdade).

12.0.2 As tautologias

= f g

! : ( ^ :) _ :etc.

Alis, at um conjunto vazio de premissas im-plica semanticamente numa tautologia:

= ?

! : ( ^ :) _ :etc.

Portanto, podemos indicar que uma frmula tautolgica assim:

! : ( ^ :) _ :etc.

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25

Teorema da deduo

! se e somente se [ fg

Ou seja, um conjunto de frmulas implicatautologicamente em ! se e somente se acrescido de implica tautologicamente em

= ?

! se e somente se .Ou seja, se ! consiste numa tautologia,ento um argumento onde o antecedente ( ) seja a premissa e o conseqente ( ) seja aconcluso vlido. A recproca tambm ver-dadeira. Ex:

! ! :: :: ::! ::

12.0.3 Argumentando com o CPCAgora passemos para casos de implicao se-mntica mais interessantes. Vejamos o se-guinte conjunto de frmulas: = fA ;A! B gPodemos dizer que: BO que ca evidente na tabela:

Na nica linha na qual as frmulasA eA! B so ambasverdadeiras, a frmula B tambm verdadeira.Agora podemos usar o CPC para vericar a validade l-gica de uma innidade de raciocnios ou argumentos.Como acabamos de ver, vlido todo raciocnio com aseguinte estrutura:

A! BA

) BPor exemplo:

Se choveu, ento o cho est molhado.Oras, choveu.Logo, o cho est molhado.

Se ele estudou muito, ento conseguiu uma boanota.Ele estudou muito.Logo, ele conseguiu uma boa nota.

Tambm podemos apontar que um raciocnio logica-mente invlido, ou seja, falacioso. Por exemplo:

Se ele estudou muito, ento conseguiu uma boanota.Ele conseguiu uma boa nota.Logo, ele estudou muito.

Consideremos que A signica Ele estudoumuito e B signica Ele conseguiu uma boanota. A estrutura do argumento ento esta:

A! BB

) A

Agora faamos uma tabela de verdade para vericar sesempre que A! B e B so verdades, A tambm ver-dade:Como podemos ver, existe uma valorao na qual A !B e B so verdades e A uma falsidade. Portanto, oraciocnio invalido.

Lista de argumentos vlidos usuais

Modus ponens

fA! B ;Ag B

Ex:

Se choveu(A), ento o cho est molhado(B).Oras, choveu(A).Logo, o cho est molhado(B).

Modus tollens

fA! B ;:Bg :A

Ex:

Se ele estudou(A), ento ele tirou uma boanota(B).Ele no tirou uma boa nota(~B).Logo, ele no estudou(~A).

26 CAPTULO 12. CONSEQUNCIA SEMNTICA

Leis de Morgan 1: (A ^B) :A _ :B

Ex:

No o caso de virem ambos Fulano e Beltranopara a reunio.Logo, no vir o Fulano ou no vir o Beltrano.Obs: Como a disjuno no exclusiva, ela noexclui o caso de no virem ambos.

Observe que tambm vlido o seguinte:

:A _ :B : (A ^B)

Leis de Morgan 2: (A _B) :A ^ :B

Ex:

No o caso de vir Fulano ou vir Beltrano paraa reunio.Logo, no vir o Fulano e no vir o Beltrano.

Observe que tambm vlido o seguinte:

:A ^ :B : (A _B)

Silogismo Disjuntivo fA _B;:Ag B

Ex:

Certamente eu comprarei bolo de chocolate outorta de limo.No comprarei bolo de chocolate desta vez.Logo, comprarei torta de limo.

Repare que A _ B equivalente a :A ! B, de forma que o silogismo disjuntivo consistenum caso do Modus ponens.

Silogismo hipotticofA! B;B ! Cg A! C

Ex:

Se o buraco na camada de oznio aumenta, aincidncia de raios UV tambm aumenta.Se a incidncia de raios UV aumenta, o riscode contrair cncer de pele tambm aumenta.Logo, se o buraco na camada de oznio au-menta, o risco de contrair cncer de pele tam-bm aumenta.

Contraposio

A! B :B ! :A

Ex:Se tudo est calmo, ento estou entediado.Logo, se no estou entediado, ento nem tudoest calmo.

Repare que o inverso tambm vlido:

:B ! :A A! B

Argumento Conjuntivo

f: (A ^B) ; Ag :B

Ex:

No o caso de virem ambos Fulano e Beltrano reunio.Fulano veio reunio.Logo, Beltrano no veio.

Repare que o inverso tambm vlido:

f:B;Ag : (A ^B)

Falcias

Uma falcia (ou sosma) um raciocnio ou argumentoinvlido.Desde a antigidade lsofos como Plato e Aristtelesbuscavam distinguir entre argumentos vlidos dos sos-mas, que no passam de malabarismos retricos que po-dem nos afastar da verdade.Na literatura especilizada, assim como em vrios stiospela internet, constam vrias listas de falcias, das quaisvo da quebra de decoro retrico at o desrespeito me-todologia cientca.Nosso interesse aqui so as falcias lgicas, ou seja, odesrespeito as regras da lgica para a construo de raci-ocnios vlidos. No caso da lgica clssica, o raciocnioinvlido aquele que tem uma estrutura a qual no ga-rante que a concluso seja verdadeira caso as premissassejam verdadeiras. No Clculo Proposicional Clssicoisto signica ter ao menos uma valorao na qual as pre-missas so verdadeiras enquanto a concluso falsa.Antes de listar as falcias mais freqentes, h uma res-salva que precisa ser exposta: Muitos lgicos discordamque as falcias (mesmo as lgicas) estejam no escopo doestudo de lgica. Eles tm uma tima razo para armaristo. Os argumentos logicamente invlidos podem ter v-rias formas, tais como:

27

A.Logo, no A.

Se A, ento B.No A.Logo, No B.

Ambos argumentos so logicamente invlidos. Mas en-quanto ningum seria tolo o suciente para enganar-se,ser enganado ou tentar enganar algum com o primeiroargumento, o segundo freqente. A razo para tal no lgica, mas psicolgica. Por quais argumentos logica-mente invlidos as pessoas geralmente so enganadas?No uma questo estritamente lgica.De qualquer forma, cabe num livro de introduo lgicademonstrar que certos argumentos que por alguma razoparecem logicamente vlidos, de fato no o so.

Armao do conseqente

Se A, ento B. (AB)B.Logo, A.

Exemplos:

Se Joo estudou muito foi bem na prova.Joo foi bem na prova.Logo, Joo estudou muito.

Se Pedro foi atropelado, ento ele morreu.Pedro morreu.Logo, Pedro foi atropelado.

Repare que em uma linha, as frmulas AB eB so verdadeiras mas a frmula A falsa. Ouseja, Joo pode ter ido bem na prova, mas tal-vez no tenha estudado muito; e Pedro pode termorrido, mas talvez no tenha sido atropelado.

Um raciocnio semelhante vlido:

A se e somente se B. (AB)B.Logo, A.

Exemplos:

(Dado que no havia como colar, a prova es-tava muito difcil e o professor no condes-cendente).

Joo foi bem na prova se e somente se estudoumuito.Joo foi bem na prova.Logo, Joo estudou muito.

(Dado que Pedro um Highlander).Pedro morreu se e somente se foi decapitado.Pedro morreu.Logo, Pedro foi decapitado.

Negao do antecedente

Se A, ento B. (AB)No A. (A)Logo, no B. (B)

Exemplos:

Se Joo estudou muito, ento foi bem na prova.Joo no estudou muito.Logo, Joo no foi bem na prova.

Se Pedro foi atropelado, ento ele morreu.Pedro no foi atropelado.Logo, Pedro no morreu.

Repare que em uma linha, as frmulas AB e A soverdadeiras mas a frmula B falsa. Ou seja, Joopode no ter estudado muito, mas talvez tenha ido bem naprova; e Pedro pode no ter sido atropelado, mas talveztenha morrido.Um raciocnio semelhante vlido:

A se e somente se B. (AB)No A. (A)Logo, no B. (B)

Exemplos:

(Dado que no havia como colar, a prova es-tava muito difcil e o professor no condes-cendente).Joo foi bem na prova se e somente se estudoumuito.Joo no foi bem na prova.Logo, Joo no estudou muito.

(Dado que Pedro um Highlander).Pedro morreu se e somente se foi decapitado.Pedro no morreu.Logo, Pedro no foi decapitado.

28 CAPTULO 12. CONSEQUNCIA SEMNTICA

Armao do disjunto

A ou B. (A B)A.Logo, no B. (B)

Exemplo:

Nestas frias, Renata vai para Londres ou Pa-ris.Ela j comprou passagem para Londres.Logo, ela no vai para Paris.

Na primeira linha vemos um caso de A B e Aserem verdadeiros mas B ser falso. Ou seja,talvez Renata tenha ido tanto a Londres quantoa Paris nas frias.

Mas caso a disjuno seja exclusiva, o racioc-nio vlido:

Ou A ou B. (A B)A.Logo, no B. (B)

Comutao dos condicionais

A implica em B. (AB)Logo, B implica em A. (BA)

Exemplo:

Se Luana tem carteira de motorista, ela maiorde idade.Logo, se Luana maior de idade, ela tem car-teira de motorista.

Numa linha, AB verdadeira mas BA falsa. Ou seja, Luana pode ser maior de idade,mas no ter carteira de motorista.

A comutao vlida no caso da conjuno,disjuno e bi-implicao.

Contraposio imprpria

A implica em B. (AB)Logo, no A implica em no B. (A B)

Exemplo:

Se as condies forem favorveis para o fen-meno ocorrer, ele ocorrer.Logo, se as condies forem desfavorveis, ofenmeno no ocorrer.

Numa linha AB verdadeira enquantoAB falsa. Ou seja, talvez o fenmenopode ocorrer mesmo que as condies no se-jam favorveis.Um exemplo que tornaria o carter falaciosodeste argumento evidente :

Se decapitarmos Luis XVI, ele morrer.Logo, se no o decapitarmos, ele no morrer.

Negao de um termo conjunto

No o caso de ambos A e B. (AB)No A. (A)Logo, B.

Exemplo:

No o caso do clima estar ensolarado e estarnublado ao mesmo tempo.No est ensolarado.Logo, est nublado.

H uma linha na qual as frmulas A e (AB) so ver-dadeiras mas B falsa. Ou seja, o dia poderia no estarnem ensolarado e nem nublado.

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Sobre FalciasGuia das falcias de Stephen Downes no Cr-tica na RedeFallacy Files

Captulo 13

Funes de Verdade e Valoraes

13.0.4 Todas funes de verdade e a inter-denibilidade das operaes

Como voc deve saber, funes so procedimentos que,aplicados a cada elemento do domnio, remetem a umnico elemento do contra-domnio. Dado isto, fcil en-tender que os operadores lgicos no CPC so funes deverdade. Seja qual for o valor de uma frmula (ou os va-lores de duas), uma funo de verdade remeter este(s) aum e apenas valor: verdadeiro ou falso.Anteriormente apresentamos uma funo de verdadeunria (a Negao) e seis funes de verdades binrias,apesar de estarmos trabalhando apenas com quatro des-tas. Vejamos agora todas as funes de verdade do CPC.

As funes unrias

Voc provavelmente reconheceu na linha 3 a negao.

As funes binrias

J conhecemos algumas destas funes:Na coluna 2 temos o trao de Sheer, A j B .Na coluna 3 temos a implicao, A! B .Na coluna 5 temos a disjuno, A _B .Na coluna 8 temos a disjuno exclusiva (tam-bm conhecida como disjuno forte), A_B .Na coluna 11 temos a bi-implicao, A$ B .Na coluna 12 temos a conjuno, A ^B .Na coluna 15 temos a adaga de Quine, A # B.

At existem conectivos pouco usuais para algumas des-tas funes. Por exemplo, a funo da coluna 4 pode serrepresentada assim: A B .H bons motivos para no adotarmos conectivos paracada uma das funes de verdade, assim como para noutilizar todos conectivos:1) Algumas funes expressam relaes desinteressan-tes entre as frmulas, sendo algumas muito difceis deinterpretar.

2) Como veremos adiante, precisamos estabelecer re-gras de construo de tabls, regras de deduo naturale axiomas para cada conectivo que adotarmos.3) Os operadores so interdenveis, bastando adotar al-guns deles (inclusive menos do que adotamos aqui) paraexpressar todas as funes de verdade.Eis alguns exemplos da interdenibilidade dos operado-res:

(A! B) : (A ^ :B) (:A _B) : (:A # B)

Da mesma forma:(A ^B) : (B ! :A) : (:A _ :B) (:A # :B)

S mais um exemplo:(A _B) : (:A ^ :B) (:A! B) : (A # B)

Com aAdaga de Quine podemos prescindir atda negao. Ela sozinha capaz de expressartodas funes de verdade:

:P P # PP ^ Q (P # P) # (Q # Q)P _ Q (P # Q) # (P # Q)P! Q ((P # Q) # Q) # ((P # Q) # Q)P$ Q ((P # P) # Q) # (P # (Q # Q))O mesmo vale para o trao de Sheer:

:A AjA;A ^B (AjB)j(AjB)A _B (AjA)j(BjB)A! B Aj(BjB) Aj(AjB)A escolha de quais operadores sero usados uma facade dois gumes. Se por uma lado o excesso de operadores

29

30 CAPTULO 13. FUNES DE VERDADE E VALORAES

nos obriga a lidar com mais axiomas, regras de infernciae de construo de tabls; por outro, a economia de ope-radores nos obriga a lidar com frmulas mais complexas,mais difceis de serem lidas e interpretadas.No restante deste captulo trataremos apenas da conjun-o, disjuno, implicao, bi-implicao e negao.

13.0.5 Valoraes

Valoraes so funes que estabelecem um valor de ver-dade arbitrrio para cada frmula atmica de uma lin-guagem L e um valor para cada frmula molecular emvista dos valores das frmulas atmicas. Basicamente,em cada linha da tabela de verdade estamos trabalhandocom uma valorao.Para simbolizar as funes de valorao, usaremos a letrav . Trabalheremos com elas por meio de smbolos me-talgicos bem parecidos com os operadores lgicos queconhecemos.Exemplo:v1 (A) = V; v1 (B) = V =) v1 (A ^B) = VIsto quer dizer, se em uma valorao 1 a frmula A verdadeira e a frmula B verdadeira, ento na mesmavalorao 1 A ^B verdadeira.v2 (A) = V; v2 (B) = F =) v2 (A ^B) = FIsto quer dizer, se em uma valorao 2 a frmulaA ver-dadeira e a frmula B falsa, ento na mesma valorao2 A ^B falsa.Agora estabeleceremos, para quaisquer frmulas, as con-dies para que uma negao, uma conjuno, uma dis-juno, uma implicao e uma bi-implicao sejam ver-dadeiras ou falsas.A valorao de : verdadeira se e somente se a valo-rao de falsa:v (:) = V () v () = FA valorao de : falsa se e somente se a valorao de verdadeira:v (:) = F () v () = VA valorao de ^ verdadeira se e somente se a valo-rao de verdadeira e a valorao de verdadeira:v ( ^ ) = V () v () = V; v () = VA valorao de ^ falsa se e somente se a valoraode falsa ou a valorao de falsa:v ( ^ ) = F () v () = F ou v () = FA valorao de _ verdadeira se e somente se a valo-rao de verdadeira ou a valorao de verdadeira:v ( _ ) = V () v () = V ou v () = VA valorao de _ falsa se e somente se a valoraode falsa e a valorao de falsa:

v ( _ ) = F () v () = F ; v () = FA valorao de ! verdadeira se e somente se avalorao de falsa ou a valorao de verdadeira:v (! ) = V () v () = F ou v () = VA valorao de ! falsa se e somente se a valoraode verdadeira e a valorao de falsa:v (! ) = F () v () = V ; v () = FA valorao de $ verdadeira se e somente se avalorao de igual valorao de :v ($ ) = V () v () = v ()A valorao de $ falsa se e somente se a valoraode no igual valorao de :v ($ ) = F () v () 6= v ()

Captulo 14

Tabls semnticos

14.1 Tabls semnticosComo vimos, as tabelas de verdade so uma ferramentaque nos permite analisar as frmulas para cada caso devalorao, o que nos permite determinar se elas so tau-tologias, contradies ou contingentes. Tambm pode-mos usar as tabelas de verdade para comparar frmulas,e assim dizer se so contraditrias entre si, equivalentesou se uma conseqencia lgica da outra.Contudo, digamos que nosso interesse seja apenas deter-minar se uma frmula tautolgica ou um argumento vlido. Caso a frmula ou o argumento seja complexo,poderamos demorar muito at terminar a tabela, ou, nocaso de ser uma contingncia ou um argumento invlido,encontrar a valorao na qual a frmula falsa, ou a pre-missa seja verdadeira enquanto a concluso falsa, res-pectivamente.Neste caso, seria interessante ummtodo que permite ra-pidamente determinar se existe alguma valorao na quala frmula seja falsa ou a premissa seja verdadeira, ou umavalorao na qual a premissa seja verdadeira enquanto aconcluso seja falsa. Este metodo a construo dos ta-bls semnticos.Tabls semnticos - tambm conhecidos como tableauxou rvores - consistem num mtodo de provar que umafrmula tautologia ou que um argumento vlido porcontradio.Provar por contradio consiste em provar a verdade de supondo que falso, desenvolvendo a idia da falsi-dade at chegar a uma contradio. Oras, se falso contraditrio, ento verdadeiro.Em outras palavras, se v ( ) = F =) v (') =V ; v (') = F ento devemos inferir v ( ) = V .

14.1.1 Tabls de Frmulas

Exemplo 1

! ( ! )

Oprimeiro passo consiste em supor que ela sejafalsa:

F ! ( ! )

Agora desenvolveremos esta suposio. A fr-mula consiste em uma implicao que tem como antecedente e ! como con-seqente. Como vimos anteriormente, o valorde uma implicao falso se e somente se o an-tecedente verdadeiro e o consequente, falso.Portanto, vamos inserir isto no tabl.

F ! ( ! )V F !

feita uma marca ( ) nas frmulas usadas,pois estas no podem ser usadas novamente.Mais uma vez, se ! falso, ento o ante-cedente verdadeiro enquanto o conseqente falso:

F ! ( ! )V F ! V F

Este tabl nos mostra que v (! ( ! )) = F =)v () = V ; v () = F .

Oras, a frmula est com dois valores. Isto contradio. Supor que ! ( ! ) sejafalso nos leva a uma contradio. Assim sendo,! ( ! ) sempre verdadeira, ou seja, uma tautologia.

Exemplo 2

Passemos agora para um caso mais compli-cado. Vamos provar que a frmula que des-creve omodus tollens, (: ^ (! ))! :, tautolgica.

31

32 CAPTULO 14. TABLS SEMNTICOS

O primeiro passo. Supor que ela seja falsa:

F (: ^ (! ))! :J sabemos como proceder no caso da falsidade de umaimplicao:

F (: ^ (! ))! :V : ^ (! )F :

F (: ^ (! ))! :V : ^ (! )

F :V

:

F (: ^ (! ))! :

V : ^ (! )

F :V V :V !

F (: ^ (! ))! :

V : ^ (! )

F :V

V :V ! F

Agora, lidar com a verdade de ! mais complicado. Anal, uma implicao en-tre duas frmulas verdadeira em dois casos,quando o antecedente falso ou o conseqente verdadeiro.

O tabl ca, ento, desta forma:

Sempre que uma frmula tem duas condies alternati-vas para receber uma determinada valorao, o tabl ramicado; e necessrio que todos os ramos caiam emcontradio para que a frmula seja tautolgica.

Exemplo 3

Faamos um tabl de uma frmula que envolvavrios conectivos usuais. Uma das leis de Mor-gan,

: ( _ ) $ (: ^ :) , parece bastante adequadapara este m.

O primeiro passo j sabemos muito bem qual:

F : ( _ )$ (: ^ :)

Se estamos supondo a falsidade da bi-implicao entre duas subfrmulas, temos quesupor que uma falsa e a outra verdadeira.J temos uma ramicao:

: ( _ )

14.1. TABLS SEMNTICOS 33

Agora temos uma situao nova: a falsidade deuma disjuno. Oras! Se estamos supondo quea disjuno entre duas frmulas falsa, temosque supor que ambas so falsas:

Mais uma novidade para ns: a falsidade deuma conjuno. Sabemos que a conjuno en-tre duas frmulas falsa quando ao menos umadelas falsa, o que nos obriga a ramicar o ta-bl:

Fecharam todos ramos do lado esquerdo. Voltemos nossaateno para o direito:

J esto feitos todos casos conhecidos at che-garmos a um caso novo: a verdade de umadisjuno. Sabemos que uma disjuno entreduas frmulas verdadeira se e somente se aomenos uma das frmulas for verdadeira. Istonos obriga a ramicar o tabl:

Como podemos ver, o tabl fechou em todos os seus ra-mos. A frmula , portanto, tautolgica.Obs: Na verdade estamos trabalhando aqui com esquemasde frmulas. Como j foi explicado, chamar esquemas defrmulas por frmulas uma economia de linguagem.

Exemplo 4

: (! ( ! ))

34 CAPTULO 14. TABLS SEMNTICOS

Todas frmulas moleculares foram usadas.No hs mais como proceder. Os ramos do ta-blo caram abertos. No camos em contradi-o ao supor que a frmula seja falsa. Portantoela no consiste numa tautologia.

Exemplo 5

Vejamos agora como ca um tabl de uma fr-mula contingente, tal como (' _ )! :

Mesmo que algum(ns) ramo(s) feche(m), e no necessari-amente um tabl de uma frmula contingente ter ramosfechados, outro(s) continua(m) aberto(s).

Regras de Construo de Tabls

Segue adiante as regras de construo de tabls:

Um tabl est completo se:

todos ramos do tabl fecharem (carem em contra-dio). Neste caso a frmula tautolgica ou argu-mento vlido.

Ou se:

todas frmulas moleculares do tabl foram usadas.Neste caso, se algum ramo car aberto (no cair emcontradio) ento a frmula no tautolgica ou oargumento no vlido.

Exerccio

Determine por tabls semnticos se as seguintes frmulasso ou no so tautolgicas:

1. (A ^B)! ::A2. A! :A3. (C ! (D ! E))! ((C ! D)! (C ! E))4. :P ! (P ! Q)5. P ! (P ! Q)6. (A _B)! (A ^B)7. (A! (B ! C))$ (B ! (A! C))8. : (A ^B)$ (:A _ :B)9. : (A ^B)$ (:A ^ :B)

14.1. TABLS SEMNTICOS 35

10. (P ! Q)! P

11. ((P ! Q)! P )! P

Conra suas respostas

14.1.2 Tabls de Argumentos

Para vericar se uma frmula tautolgica,ou seja, sempre verdadeira, supomos que elaseja falsa, desenvolvemos esta suposio e, secairmos em contradio, porque a frmula mesmo tautolgica.De forma anloga, para vericar se um argu-mento vlido - ou seja, de forma tal quesempre que as premissas forem verdadeiras, aconcluso tambm verdadeira supomos queele seja invlido.Se um argumento invlido ento as premissaspodem ser verdadeiras enquanto a concluso falsa. justamente isto que vamos supor.

Exemplo 1

Vejamos como cara o tabl de um argumentoque j conhecemos, o Modus tollens,fA! B ;:Bg :A

V A! B

V :B

F :A

Oras, s muda o passo inicial em relao aostabls de frmulas. J sabemos como procederagora:

Exemplo 2

Agora vejamos como ca uma falcia no tabl.Peguemos uma que j conhecemos, tal como aarmao do termo disjunto:

No camos em contradio ao supor que Bseja falsa enquanto : (A ^B) e :A so ver-dadeiras. Portanto, B no concluso de umargumento vlido do conjunto de premissasf: (A ^B) ;:Ag

Exerccio

Determine por meio dos tabls semnticos se os seguin-tes argumentos so vlidos ou no. Lembre-se que as fr-mulas esquerda do smbolo " ) " so as premissas, en-quanto as frmulas direita, as respectivas concluses.

1. ' ) ' _ 2. f'! ; ! g ) '! 3. ! ) : ! :4. f _ ;:g ) 5. f _ ; g ) :6. ! ) : ! :7. f'! ; ! 'g ) '$ 8. f'! ; ! g ) (' _ )! 9. : ( ^ ) ) :10. : ) : ( ^ )

Conra suas respostas

Captulo 15

Respostas

15.0.3 Exerccio 1So tautolgicas apenas as frmulas 1, 3, 4, 7, 8, 10 e 11.

15.0.4 Exerccio 2So vlidos apenas os argumentos 1, 2, 4, 6, 7, 8 e 10.

36

Captulo 16

Deduo Natural - Parte I

16.1 IntroduoAt agora ns temos dois mtodos que sempre determi-nam a validade de argumentos e frmulas no CPC: as ta-belas de verdade e os tableaux semnticos. Claro quetambm podemos determinar a validade de uma frmulamostrando que esta se trata de uma instncia de outrafrmula vlida, ou por interdenibilidade de operadoresmostrar que ela equivalente a uma outra frmula v-lida, mas estes mtodos no so aplicveis em quaisquercircunstncias. Agora aprenderemos um terceiro mtodoque sempre determina a validade de frmulas e argumen-tos no CPC, alm de consistir em um mtodo de deriva-o, a Deduo Natural.Tomemos o seguinte argumento:

A! ::B

A

) B _ (::C _D)As tabelas de verdade no parecem muito prticas nestecaso. Anal, temos quatro frmulas atmicas, o querequer uma tabela de 16 linhas. Sem falar que tera-mos muitas colunas tambm, dada a quantidade de sub-frmulas.A alternativa provar a validade do argumento por table-aux. Contudo, repare que intuitivamente este argumentono passa da simples combinao de vrios argumentosvlidos, simples e que ns j conhecemos.Temos o Modus Ponens:

A! ::B

A

) ::BA eliminao da dupla negao:

::B

) B

Tambm sabemos que se uma frmula ' verdadeira,ento entre ' e uma frmula arbitrria , ao menos uma verdadeira. Ou seja:

'

) ' _ Este argumento chamado de Expanso. Ora, o se-guinte argumento obviamente uma instncia da expan-so:

B

) B _ (::C _D)Se sabemos de tudo isso, ento porque usar o mtodo detableaux semnticos se estes nos obrigam a considerar ovalor de proposies arbitrrias como (::C _D) , as-sim como lidar com os valores de ::B e de :B , quandosabemos que a primeira equivalente a B ? justamente isto que a Deduo Natural permite: pormeio de um pequeno nmero de regras de inferncia, de-monstrar a validade de uma innidade frmulas e argu-mentos sem a necesidade de considerar os valores quecada frmula ou subfrmula recebe. Ou seja, no esta-mos mais lidando com a semntica, mas com a sintaxe.Agora incrementaremos nossa notao e terminologia.At agora usamos o martelo semntico, " ". Agora usa-remos o martelo sinttico, " ` ".A leitura que fazemos de cada:

conseqncia semntica de , ou implicasemanticamente em .

` conseqncia sinttica de , ou a partir de prova-se .

37

38 CAPTULO 16. DEDUO NATURAL - PARTE I

`

dito de um sistema lgico que ele correto se ele ve-rica a seguinte propriedade:

` =) Ou seja, que todos os argumentos sintatica-mente vlidos tambm so semanticamente v-lidos.

dito de um sistema lgico que ele completo se eleverica a seguinte propriedade:

=) ` Ou seja, que todos os argumentos semantica-mente vlidos tambm so sintaticamente vli-dos.

O CPC verica ambas propriedades, ou seja, o CPC ve-rica que: ` () Obviamente, isto tambm vericado na instncia emque = ? . Portanto:` () Ou seja, todo teorema tautologia e toda tautologia te-orema.

16.2 Regras de Inferncia DiretasNas disciplinas matemticas como a lgica, a geometria,a aritmtica etc., prefervel demonstrar o mximo (deteoremas, construes... vlidos, obviamente) por meiodo mnimo (de conceitos primitivos, axiomas, regras deinferncia etc.).Na Deduo Natural trabalhamos apenas com regras deinferncia. Para que a correo do sistema seja veri-cada, as regras escolhidas devem ser reconhecidas comovlidas. A completude um pouco mais complicada. Di-gamos que para vericar a completude o ideal seria terduas regras para cada operador usado: uma que o insirae outra que o remova.Trabalharemos primeiramente com as regras de infere-rncia diretas. Como o nome sugere, estas regras regu-lam quais frmulas podemo inferir diretamente de outrasfrmulas.

Agora vejamos como construir uma deduo usando asregras de inferncia diretas. Vamos provar aque