Logica de Predicados

TEMA 3 (parte 2).Representacion del Conocimiento

Francisco Jose Ribadas Pena

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

5 Informatica

[email protected]

13 de noviembre de 2009

– FJRP ccia [Inteligencia Artificial] –

3.2.2 Logica de Predicados

Mayor expresividad que la logica de proposiciones

En logica de proposiciones: hecho = proposicion

Tantas proposiciones como hechos se quieran representar

Proposiciones no tienen estructura interna

No se puede expresar conocimiento sobre conjuntos de hechos

Ejemplo: Mundo de los bloques

B

C

A

sobre C B sobre C B → ¬libre Csobre A C sobre C A→ ¬libre C¬sobre B A sobre B A→ ¬libre B¬sobre B C sobre B C → ¬libre B¬sobre C A ...

¬sobre A B ...

... ...

Solucion: Logica de predicados de 1er orden

Representa un mundo constituido por objetos (=elementos indivi-

duales del dominio)

Esos objetos tienen propiedades

Existen relaciones entre objetos

Se puede generalizar sobre los objetos, sus propiedades y relaciones

– FJRP ccia [Inteligencia Artificial] – 1

(a) SINTAXISELEMENTOS

Terminos: Representan objetos del dominio

• Constantes: Representan un objeto individual en concreto

◦ notacion: cadenas de caracteres, comienzan en mayusculas

◦ Ejemplos: Juan,Mi coche, ...

• Funciones: Representan (implıcitamente) un objeto individual que

esta relacionado con los n objetos que participan en la funcion

◦ notacion: sımbolo de funcion (cadena, comienza con Mays.)

con aridad n + n argumentos (terminos) entre parentesis

◦ Ejemplos: Padre de(Juan), Hijo de(Pedro,Ana), Coseno(45)...

• Variables: Representan objetos sin indicar cuales

◦ Uso:

referirse a un objeto especıfico no identificado

referirse a un conjunto de objetos◦ notacion: cadenas de caracteres en minusculas

◦ Ejemplos: x, y, padre, hijo, ...

Predicados: Representan una propiedad de un termino (si aridad 1)

o relaciones entre k terminos (si aridad k > 1)

notacion: cadenas de caracteres +

k terminos (variables, constantes, funciones) entre parente-

sis

• Atomos: formulas bien formadas (f.b.f.) compuestas por un unico

predicado

• Literales: Atomo o negacion de un atomo.

Ejemplos: Asesina(Juan, x), Es alto(Juan),

V ive con(Juan, Padre de(Juan)), ...


FORMULAS BIEN DEFINIDAS (oraciones logicas)

Formadas a partir de atomos (=predicados) aplicando conectivas

logicas y cuantificadores

Conectivas: ∧, ∨,→,↔, ¬• IDEM que en logica proposicional• Ejemplos:

Hermano(Juan, Luis)∧Hijo(Luis, Pedro)→ Tio(Juan, Pedro)

Cuantificadores: (∀, ∃) Permiten expresar propiedades sobre grupos

de objetos sin tener que enumerarlos todos

• cuantificador universal (∀): ”para todo”

◦ Afirmaciones sobre un conjunto de objetos

◦ ∀x α: afirma que α es cierto para cualquier valor por el que

sustituya la variable x

◦ ∀x Hermano(Juan, Luis) ∧Hijo(Luis, x)→ Tio(Juan, x)

” Juan es el tio de los hijos de Luis”

• cuantificador existencial (∃): ”existe”

◦ Afirmaciones sobre ”algunos” objetos del dominio

◦ ∃x α: afirma que existe al menos un objeto del dominio para

el cual α es cierto

Alcance del cuantificador: sentencia logica que le sigue

• La variable que sigue al cuantificador esta definida en todo el

alcance del cuantificador

◦ variables cerradas (ligadas): asociadas a sımbolos cuantifica-

dores

◦ variables libres: no cuantificadas

• Una f.b.f. con todas las variables ligadas se dice que es una f.b.f.cerrada, si no es ası se dira f.b.f. abierta

nota: Logica de proposiciones = logica de predicados de orden 0

• los predicados no tienen argumentos (son proposiciones)

• no existen constantes, variables, funciones, cuantificadores


(b) SEMANTICARepresentamos un mundo donde hay:

Un no infinito de objetos individuales representados por sımbolos de

constantes y variables

• Pueden ser entidades concretas (personas, cosas) o abstractas

(numeros, eventos)

Un no infinito de objetos definidos en funcion de otros objetos,

representados por sımbolos de funcion

Relaciones entre los objetos del dominio, representadas por sımbolos

de predicado

• Si la aridad es 1, se habla de propiedades de objetos

INTERPRETACIONES:

Una interpretacion establece las relaciones anteriores entre los sımbo-

los de la logica y los elementos del mundo real

• asocia a las constantes objetos del mundo

• asocia a las funciones relaciones funcionales entre objetos

• asocia a los predicados relaciones entre objetos

Mas compleja que en logica de proposiciones


dominio de una interpretacion: Conjunto de objetos del mun-

do que se manejan en una interpretacion

• Formalmente: Dada una conceptualizacion formada por:

◦ U : universo de discurso (conj. de individuos/objetos)

◦ R: conj. finito de relaciones entre objetos de U

◦ F : conj. finito de funciones que asocian a 1 objetos de U con

1 o mas objetos de U

Una interpretacion i es una funcion que asocia sımbolos del

lenguaje con elementos del la conceptualizacion verificando:

◦ Si c es un sımbolo de constante, i(c) ∈ U◦ Si P es un sımbolo de predicado de aridad k, i(P ) ⊆ Uk

◦ Si f es un sımbolo de funcion de aridad k, i(f) = Uk −→ U

Conceptualmente se pueden definir estas relaciones sobre U exten-

sionalmente, enumerando en forma de tuplas, los objetos del mundo

real que participan en ellas

Ejemplo:


SATISFACTIBILIDAD

Asignacion de variables(A): Funcion que asina a objetos de U con

las variables de una f.b.f.

Los atomos (predicados) pueden tener variables. Solo se pueden

asignar valores de verdad a una formula atomica si todas sus

variables estan asignadas

El valor de verdad de un atomo con todas sus variables asignadas,

es verdadero si y solo si los objetos del dominio cumplen la relacion

que representa ese predicado

→ el valor de verdad de una interpretacion i depende de la asignacion de variables

considerada

Para las f.b.f. no atomicas, su valor de verdad se obtiene combinando

valores de verdad de acuerdo a las tablas de verdad de las conectivas

(idem que log. proposiciones) y al significado de los cuantificadores

∀x α : sera V si α es V en cq. asignacion de la variable x

∃x α : sera V si α es V en al menoa 1 asignacion de la var. x

⇒ La asignacion de verdad es relativa a:

interpretacion (i)

asignac. de variables (A)nota: Una f.b.f. puede ser V o F en una misma conceptualizacion

dependiendo de la interpretacion y la asignacion de variables

Def.:sactisfactibilidadEn una conceptualizacion, una interpretacion i y una asignacion de

variables A, satisfacen una f.b.f. Ψ si hacen V a esa f.b.f.

Notacion: |=iA Ψ (”Ψ se satisface para i y A”)

• Ψ es satisfactible si y solo si ∃ i y ∃ A tales que |=iA Ψ

• Ψ es valida si y solo si ∀ i y ∀ A tales que |=iA Ψ

Una f.b.f. valida sin variables se denomina tautologıa

Extension a conjuntos de f.b.f. Φ = {Ψ1, ...,Ψn}idem que en logica proposicional


MODELOS

Una interpretacion i es modelo de Ψ (respectivamente de Φ) si

Ψ se satisface con esa i para todas las posibles asignaciones de

variables

Notacion: |=i Ψ

modelo mınimo: Ningun subconjunto de esa interpretacion es un

modelo

conclusion: Inaplicable tabla de verdad exhaustiva como meca-

nismo de evaluacion

EQUIVALENCIA E IMPLICACION LOGICA

Ψ1 y Ψ2 son logicamente equivalentes si sus valores de verdad son

identicos bajo todas las interpretaciones y asignaciones de variables.

Ψ1 ≡ Ψ2

Implicacion logicaΦ |= Ψ si y solo si ∀ interpretacion i y ∀ asignacion A para las

cuales se satisface Φ, tambien se satisface Ψ

Φ |= Ψ sii Φ |=iA Ψ ∀i ∀A

Equivalencias Logicas (sobre cuantificadores)

Leyes de DeMorgan:

¬(∀x α) ≡ ∃x ¬α¬(∃x α) ≡ ∀x ¬α

∀ ≈ conjuncion infinita, ∃ ≈ disyuncion infinita

Renombrado de variables:

∀x α ≡ ∀y α∃x α ≡ ∃y α

Ordenacion cuantificadores:

∀x∀y α ≡ ∀y∀x α ≡ ∀x, y α∃x∃y α ≡ ∃y∃x α ≡ ∃x, y α


(c) REGLAS DE INFERENCIAReglas inferencia de logica proposicional siguen siendo validas

Se deben generalizar para manejar variables

Existen nuevas reglas de inferencia para manejar cuantificadores

SUSTITUCION

sust(Θ, α) representa a la f.b.f. resultado de aplicar la sustitucionΘ a la f.b.f. α• Una sustitucion es un conjunto ordenado de pares de terminos

(termino, termino), donde al menos uno de ellos es un sımbolo

de variable

Ejemplo: Θ = {x/Juan, y/Ana, z/Padre de(Juan), ...}• Una sustitucion reemplaza en α el primer termino de cada par

de la lista por el termino asociado.

• Los reemplazos se realizan iterativamente de forma ordenada

REGLAS INFERENCIA CUANTIFICADORES

eliminacion del universal (generaliza introd. de la conjuncion)

Dada una f.b.f. α, una variable v y un termino g (constante o funcion):

∀v αsust({v/g}, α)

Ejemplo: Usando la sustitucion {x/BillGates}

∀x TieneDinero(x)→ EsRico(x)

TieneDinero(BillGates)→ EsRico(BillGates)


introduccion del existencial (generaliza introd. de la disyuncion)

Dada una f.b.f. α, una variable v no presente en α y un termino g

presente en α:α

∃v sust({g/v}, α)

Ejemplo: Usando la sustitucion {Juan/x}

Casados(Juan,Ana)

∃x Casados(x,Ana)” hay alguien casado con Ana”

nota: Ambos son solidos (correctos)

GENERALIZACION MODUS PONENS

Siendo pi, qi y r literales y Θ una sustitucion que asegure

sust(Θ, pi) = sust(Θ, qi) ∀i (todos los pi unifican con los qj)

p1, p2, ..., pnq1 ∧ q2 ∧ ... ∧ qn → r

sust(Θ, r)

Tenemos n literales + 1 implicacion con n antecedentes.

Si hay una sustitucion que unifique los n literales con los n ante-

cedentes, obtenemos el resultado de aplicar la sustitucion sobre el

consecuente.

Ejemplo: Mediante la sustitucion Θ = {x/Juan, y/Ana}

Hombre(Juan),Mujer(Ana), Liados(Juan.Ana)∀x∀y Hombre(x) ∧Mujer(y) ∧ Liados(x, y)→ Casados(x, y)

Casados(Juan,Ana) [= sust(Θ, Casados(x, y))]


RESOLUCION EN LOGICA DE PREDICADOS

Unificacion

• Procedimiento sintactico mediante el cual, dadas dos f.b.f. α y β

se encuentra una sustitucion Θ que aplicada sobre ellas, ambas

resultan identicas, esto es

unificador(α, β) = Θ tal que sust(Θ, α) = sust(Θ, β)

• Θ se denomina unificador de las 2 f.b.f. α y β

• En caso de no existir un unificador el algoritmo falla

• Unificador mas general (m.g.u.)◦ El m.g.u. de α y β es aquel unificador Θ tal que cualquier

otro unificador σ podra obtenerse a partir de σ mediante una

sustitucion τ , esto es

σ = sust(τ,Θ)

→ cualquier otro unificador se puede construir a partir del m.g.u.Regla Resolucion en logica de predicados

• Siendo pi y qj dos literales para los cuales existe un unificadorde la forma Θ = unificador(pi,¬qj)

p1 ∨ p2 ∨ ... ∨ pi ∨ ... ∨ pnq1 ∨ q2 ∨ ... ∨ qj ∨ ... ∨ qm

sust(Θ, p1 ∨ ... ∨ pi−1 ∨ pi+1 ∨ ... ∨ pn ∨ q1 ∨ ... ∨ qj−1 ∨ qj+1 ∨ ... ∨ qm)


PROCEDIMIENTO DE REFUTACION

Al igual que en log. proposicional, el conocimiento tiene que estar

representado en forma de clausulas (F.N.C.)

• Conjuncion de disyunciones (clausulas)

• Solo hay cuantificadores universales

Paso a Forma Normal Conjuntiva

1. Eliminar implicaciones

• Usar relaciones:

α→ β ≡ ¬α ∨ βα↔ β ≡ (α→ β) ∧ (β → α)

2. Reducir ambito de las negaciones

• Usar DeMorgan + doble neg.:

8<:¬∀xα ≡ ∃x¬α¬∃xα ≡ ∀x¬α¬¬α ≡ α

3. Independizar variables cuantificadas (renombrar variables ligadas)

• Asegurar que cada sımbolo de variable este ligado a un unico

cuantificador

• Ejemplo: ∀xP (x) ∧ ∃xQ(x) ≡ ∀x1P (x1) ∧ ∃x2Q(x2)

4. Eliminar cuantificadores existenciales (skolemizacion)

• Las ocurrencias de variables cuantificadas existencialmente se

sustituyen por:

a) Una constante (Sk) no presente en la f.b.f. si el ∃ aparece

al principio de la expresion

∃xP (x) ∧Q(x) P (Sk) ∧Q(Sk) {x/Sk}

b) Una funcion (Sk(...)) con tantos argumentos como cuanti-

ficadores universales (∀) haya antes del ∃ que cuantifica la

variable

∀x∀y∃zP (x)∧Q(y, z) P (x)∧Q(y, Sk(x, y)) {z/Sk(x, y)}


5. Mover cuantificadores universales a la izquierda de la f.b.f.6. Reordenar f.b.f. para obtener FNC

• Distribuir ∨ sobre ∧:

α ∨ (β ∧ γ) = (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)

7. Abandonar cuantificadores universales

8. Renombrar variables (si es necesario) para que ninguna variable

aparezca en mas de una clausula

Ejemplo 1:

Pasar {∀xP (x)} → {∀x∀y∃z[P (x, y, z)→ ∀wR(x, y, z, w)]} a FNC1. {¬∀xP (x)} ∨ {∀x∀y∃z[¬P (x, y, z) ∨ ∀wR(x, y, z, w)]}2. {∃x¬P (x)} ∨ {∀x∀y∃z[¬P (x, y, z) ∨ ∀wR(x, y, z, w)]}3. {∃x1¬P (x1)} ∨ {∀x2∀y∃z[¬P (x2, y, z) ∨ ∀wR(x2, y, z, w)]}4. ¬P (SK1) ∨ {∀x2∀y[¬P (x2, y, SK2(x2, y)) ∨ ∀wR(x2, y, SK2(x2, y), w)]}5. ∀x2, ∀y, ∀w ¬P (SK1) ∨ [¬P (x2, y, SK2(x2, y)) ∨ R(x2, y, SK2(x2, y), w)]6. Nada7. ¬P (SK1) ∨ ¬P (x2, y, SK2(x2, y)) ∨ R(x2, y, SK2(x2, y), w)8. Nada

Ejemplo 2: ∀x[P (x)→ ∃x(Q(x)→ R(x))]


REFUTACION MEDIANTE RESOLUCION (como en log. proposicional)

1. Convertir f.b.f. de Φ a FNC

2. Negar f.b.f. Ψ a demostrar y convertir a FNC

3. Unir clausulas resultantes de Φ y ¬Ψ en Π

4. Aplicar de forma exhaustiva la regla de resolucion para logica de

predicados sobre Π.

Seleccionar un par de clausulas con dos atomos p y q tales que

unifiquen con Θ = m.g.u.(p,¬q)Anadir resolvente a Π

Parar si:

• Se generar la clausula vacıa (hay contradiccion)

→ Se verifica: Φ |= Ψ

• No hay resolventes nuevos (no contradiccion)

→ Se verifica: Φ |=/ Ψ

nota: Ademas de comprobar si una f.b.f. Ψ es consecuencia logica de Φ

o no, la refutacion mediante resolucion permite ”responder” preguntas

mediante las sustituciones que dan lugar a la clausula vacıa.


Ejemplo: Pasar a FNC la siguiente base de conocimientos

1. Asterix es un galo

2. Los romanos que son amigos de algun galo odian a Cesar

3. Asterix ayudo a Marco

4. Marco es amigo de quien le ayuda

5. Quien odia a algun romano, lucha contra el

6. Marco es romano

Comprobar si a partir de este conocimiento es posible demostrar que

’’Marco odia a Cesar’’ mediante refutacion.

Base de conocimiento (Φ)

1. galo(Asterix) (en FNC)

2. ∀x [romano(x) ∧ (∃y galo(y) ∧ amigo(x, y))→ odia(x,Cesar)]

3. ayuda(Asterix,Marco) (en FNC)

4. ∀x [ayuda(x,Marco)→ amigo(Marco, x)]

5. ∀x∃y [romano(y) ∧ odia(x, y)→ lucha(x, y)]

6. romano(Marco) (en FNC)

Hipotesis (Ψ = odia(Marco, Cesar))


PROPIEDADES PROCEDIMIENTO DE REFUTACION

Refutacion mediante resolucion en logica de predicados es solida(correcta)

• Si se llega a la clausula vacıa (Φ `REFUTACION) entonces Φ |= Ψ.

Refutacion mediante resolucion en logica de predicados es completa

• Si Φ |= Ψ, el procedimiento de refutacion por resolucion gene-

rara la clausula vacıa

Refutacion mediante resolucion en logica de predicados no es deci-dible

• Si Φ |=/ Ψ el procedimiento de refutacion mediante resolucion

puede no terminar (”bucle infinito”)

→ Siempre parara si Φ |= Ψ, pero puede no parar si Φ |=/ Ψ

• No existe un metodo que nos pueda decir siempre si Φ |=/ Ψ

• Se dice que la logica de proposiciones es semidecidible◦ Se puede determinar Φ |= Ψ, pero ”a veces” no se puede

probar Φ |=/ Ψ

soluciones:

• Renunciar a la solidez o a la completitud

• Utilizar un lenguaje de representacion menos expresivo →clausulas de Horn


CLAUSULAS DE HORN

Todas las variables estan cuantificadas universalmente (∀ implıcito)

Clausulas que tienen como maximo un literal positivo (sin negar)

Todas las variables se suponen cuantificadas universalmente

Clausulas de Horn pueden escribirse como implicaciones

• Consecuente: literal atomico positivo

• Antecedente: conjuncion de literales positivos (DeMorgan)

¬p1 ∨ p2 ∨ ...¬pn ∨ q ≡ p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn → q

Distinguimos

• reglas: q ← p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn• hechos: h←• objetivos:← o1 ∧ o2 ∧ ... ∧ okRegla de resolucion para clausulas de Horn

Si b y di unifican mediante Θ = unificador(b, di), inferimos:

b← a1 ∧ a2 ∧ ... ∧ am (≡ b ∨ ¬a1 ∨ ... ∨ ¬am)c← d1 ∧ d2 ∧ ... ∧ dn (≡ c ∨ ¬d1 ∨ ... ∨ ¬dn)

sust(Θ, (c← d1 ∧ ... ∧ di−1 ∧ a1 ∧ ... ∧ am ∧ di+1 ∧ ... ∧ dn))

Clausulas de Horn son la base de los interpretes Prolog

Se anaden simplificaciones para mejorar eficiencia

• Todas las inferencias se realizan por encadenamiento hacia atras

(desde objetivos a hechos) usando busqueda en profundidad

• El orden de las clausulas y de los antecedentes dentro de ellas es

relevante (establece orden de busqueda)

◦ Busqueda en los antecedentes de IZQ a DER

◦ Procesamiento de las clausulas en orden de definicion

• Se omite el test de ocurencia (occur check, test de ciclicidad) en

la rutina de unificacion

◦ Hace unificaciones mas eficientes (menos comprobaciones)

◦ Existe la posibilidad de no terminacion (sustituciones cıclicas)

• Se omite la negacion (si se soporta negacion por fallo)


3.2.4 Representacion del conocimiento en logica depredicados

Fases generales en la construccion y utilizacion de una

base de conocimientos

1. Conceptualizacion

Decidir que conceptos son relevantes en el dominio

→ identificar objetos, propiedades y relaciones relevantes

Definir un vocabulario para asignar sımbolos a los conceptos

relevantes

→ vocabulario de predicados, funciones y constantes

Se tratara de construir una ontologıa: conjunto, normalmente

estructurado, de terminos relevantes en un dominio

2. Codificacion

Traduccion, de acuerdo al vocabulario, de todo el conocimiento

considerado de interes a su representacion en logica de predicados

Se construyen los axiomas del dominio (conjunto de f.b.f. Φ)

• Formulas que se consideran ciertas en el dominio actual

(Base de Conocimiento)

• Codificar reglas y propiedades generales

• Codificar conocimiento especıfico de partida

◦ Anadir predicados concretos (hechos iniciales)

◦ Los valores de verdad/falsedad de esos predicados deben de

estar respaldados por algun tipo de percepcion del dominio

real representado (sensores, consulta a BD, preguntas al

usuario, etc,...)


3. Actualizacion del conocimiento y consulta

Durante la ejecucion del sistema inteligente

• Se ”consulta”/desencadena el procedimiento de inferencia

(modus ponens, resolucion, ...) para obtener respuestas

◦ Distintas alternativas:

Sistemas que solo usan modus ponens, bien de forma pro-

gresiva (razonamiento hacia adelante) o regresiva (razona-

miento hacia atras)

Sistemas que solo usan resolucion y refutacion

Etc,...

• Se actualiza el conocimiento

→ introducir nuevos hechos

→ modificar hechos existentes

Sus valores de verdad deben estar respaldados por el ”mundo

real”

Pasos comunes a los demas mecanismos de representacion del conoci-

miento

En general es un proceso largo, que se suele hacer de forma iterativa

→ se amplıa y refina de forma iterativa la representacion

Suele necesitar la intervencion de expertos del dominio (entrevistas,

etc...)


Documents

Logica de Predicados