Embed Size (px)
Citation preview
Manuale di riferimento:
C. Casadio, Logica e psicologia del pensiero, Carocci
1. Ragionamento e deduzione
2. Logica proposizionale
3. Logica predicativa
4. Lo studio del ragionamento in psicologia
5. Logica e ragionamento
Logica e Filosofia della Scienza Prof.ssa Claudia Casadio
Indice degli argomenti:
1.Proposizioni ed inferenze
Conseguenza logica
2.Verità e validità
3.Sillogismo
Proposizioni categoriche
Qualità e quantità
Ragionamento diagrammatico
1. Ragionamento e deduzione
Proposizioni
Con questo termine si fa riferimento agli enunciati
del linguaggio naturale utilizzati per studiare le
proprietà delle operazioni logiche e impiegati negli
argomenti logici, con particolare riferimento a quelli
deduttivi.
Esempi tipici di proposizioni in questo contesto
sono gli enunciati dichiarativi, semplici o composti:
al modo indicativo, in genere al tempo presente o
passato e alla terza persona singolare o plurale
Descrivono situazioni, stati di cose, regolarità
• Venere è un pianeta.
• L’acqua gela a 0 gradi centigradi.
• Il numero 3 è dispari e il numero 8 è la
somma di 6 e 2.
• Se un poligono ha tre lati, non è un
quadrato.
• L’Europa è una federazione di stati se e
solo se la Francia è una repubblica.
Argomenti
• Quando parliamo di un insieme di
proposizioni unite, collegate tra loro, da
una certa relazione, usiamo il termine:
ARGOMENTO
• Vi sono vari tipi di argomenti (retorica).
• Gli argomenti logici esprimono e
trasmettono proprietà logiche
Esempi di argomenti
• Quando viene l’autunno i giorni si accorciano.
• Il 12 ottobre la luce del giorno è diminuita di più di un’ora
rispetto al 12 settembre.
• Oggi è il 12 ottobre e il giorno è più breve.
• Il riscaldamento della atmosfera terrestre è causato dalle
emissioni di CO2.
• Gli alberi riducono la quantità di CO2 presente
nell’ambiente.
• La distruzione di alberi causa un aumento del
riscaldamento della atmosfera terrestre.
Esempi di non-argomenti
• Quando viene l’autunno i giorni si accorciano.
• Nel periodo estivo abbiamo avuto belle giornate di sole.
• Oggi è il 12 ottobre e sta piovendo.
• Il riscaldamento della atmosfera terrestre è causato
dalle emissioni di CO2.
• Gli alberi sono un ornamento indispensabile
dell’ambiente.
• La distruzione di alberi è combattuta dai movimenti
naturisti.
Qual è la differenza?
• In un argomento troviamo una continuità
del pensiero espresso, una transizione di
certi contenuti che consente di formare
connessioni.
• Un non-argomento è invece un aggregato
disconnesso di pensieri, che magari
riguardano cose simili, concetti vicini, ma
in cui non si ritrova una particolare
connessione.
Argomenti logici
• La connessione è instaurata mediante
proprietà logiche.
• Queste proprietà sono BUONE perché
assicurano la certezza dell’argomento, la
sua controllabilità, la sua computabilità.
• Questi argomenti sono fondamentali nella
scienze teoriche, applicate e in informatica.
• Saperli usare aiuta anche a pensare, a
ragionare, meglio.
Quando parliamo di logica come “scienza
del pensiero” intendiamo riferirci alle forme
valide del ragionamento. Un esempio:
1. Tutti i manuali forniscono una conoscenza
di base.
2. Tutti i libri introduttivi ad una disciplina
sono manuali.
Tutti i libri introduttivi ad una disciplina
forniscono una conoscenza di base.
Le prime due proposizioni sono le premesse
del ragionamento, o deduzione, che
consentono di inferire la terza proposizione,
la conclusione, in base alla forma generale:
Tutti gli A sono B Premessa I
Tutti i C sono A Premessa II
Tutti i C sono B Conclusione
ESEMPI
1. Tutti gli artisti sono creativi.
2. Tutti i pittori sono artisti.
3. Tutti i pittori sono creativi.
1. Tutti gli alimenti sono prodotti dietetici.
2. Una ciambella è un alimento.
3. Una ciambella è un prodotto dietetico.
Verità e validità
La verità è una proprietà degli enunciati o
proposizioni.
Una proposizione è Vera se e solo se
corrisponde ai fatti, a come stanno le cose.
Altrimenti la proposizione è Falsa.
Quando dalla verità delle premesse segue la
verità della conclusione, diciamo che la
deduzione rappresenta, costituisce un
argomento valido.
Tutti gli scapoli non sono sposati. Tutti gli scapoli non sono sposati.
Mario è scapolo. Mario non è sposato.
Mario non è sposato. Mario è scapolo.
Tutti i dinosauri sono estinti. Tutti i dinosauri sono estinti.
I brontosauri sono dinosauri. I brontosauri sono estinti
I brontosauri sono estinti. I brontosauri sono
dinosauri.
viene focalizzata una parte diversa delle premesse,
sono corrette la prima e la terza inferenza
Spiegazione
• Nel primo esempio l’attenzione è sul
soggetto della I premessa, ribadito nella II
• Nel secondo esempio l’attenzione è sul
predicato della proposizione
• Nel terzo esempio si focalizza il soggetto
della I premessa che è il predicato della
seconda
• Nel quarto esempio si focalizza sempre il
predicato
Definizioni
Definizione 1. 1
• Proposizione Enunciato che descrive uno stato di cose ed è vero o falso, ovvero, per il quale è possibile determinare le condizioni di verità.
Definizione 1. 2
• Premessa Proposizione che contribuisce a formare un argomento.
Definizione 1. 3
• Conclusione Ultima proposizione di un argomento, che risulta dalle premesse e dal modo in cui l’argomento è formato.
Definizione 1. 4
• Argomento deduttivo. Un argomento che procede dall’universale al particolare; la conclusione segue in modo necessario dalle premesse. La sua validità dipende dalla verità delle premesse e dalla correttezza della deduzione.
Definizione 1. 5
• Argomento induttivo. Un argomento che procede dal particolare all’universale; la conclusione segue dalle premesse con un certo grado di probabilità.
Sillogismo
Ragionamento deduttivo formato da
due premesse
una conclusione
Premessa Maggiore
Premessa Minore .
Conclusione
Transitività
La deduzione sillogistica si basa sul
principio di transitività:
A B B C _________________
A C
• La transitività è assicurata dal termine
medio che compare in entrambe le
premesse (B nell’esempio)
Sillogismi sono ragionamenti
Prima premessa o premessa MAGGIORE
Seconda premessa o premessa MINORE
Conclusione
1) Termine Medio – Termine Maggiore
2) Termine Minore – Termine Medio
3) Termine Minore – Termine Maggiore
Esempio
1. Tutti gli A sono B
2. Tutti i C sono A
3. Tutti i C sono B
1. Tutti i poligoni sono figure geometriche
2. Tutti i quadrati sono poligoni
3. Tutti i quadrati sono figure geometriche
Conseguenza logica
Una proposizione B (conclusione) è
conseguenza logica delle proposizioni
A1, …, An (premesse) se e solo se non
si dà il caso che :
A1, …, An sono VERE
e B è FALSA
• Dalla verità non può seguire la falsità
2. LOGICA PROPOSIZIONALE
Indice degli argomenti:
1. Calcolo delle proposizioni
2. Connettivi logici
Leggi logiche
3. Regole di inferenza
4. Dimostrazioni e teoremi
Logica proposizionale
Gli oggetti della logica sono studiati in appropriati linguaggi chiamati sistemi formali o calcoli simbolici. La sillogistica, ad esempio, è un sistema formale che studia le proprietà degli argomenti proposizionali formati da due premesse e una conclusione.
La logica contemporanea, a partire dal lavoro pionieristico di G. Frege, ha sviluppato un’ampia tipologia di sistemi formali alla cui base troviamo il Calcolo delle Proposizioni e il Calcolo dei Predicati del primo ordine.
Calcolo delle Proposizioni
• ha come oggetti proposizioni
• studia le proprietà delle proposizioni
complesse o molecolari, che si
formano a partire da un insieme (finito o
infinito) di proposizioni atomiche
• mediante l’applicazione di operatori o
connettivi proposizionali.
• Gli elementi strutturali più semplici – gli
atomi - sono proposizioni
• Proposizione atomica:
Carlo è un leone.
• Proposizione molecolare:
Carlo è un leone e Piero è triste.
• Proposizione atomica:
Carlo non parte.
• Proposizione molecolare:
Se Piero è triste, allora Carlo non parte.
Calcolo dei Predicati
• Il Calcolo dei Predicati del I Ordine[1] ha come oggetti i costituenti essenziali delle proposizioni: nomi (termini) e predicati, che a loro volta possono essere proprietà (valgono di un termine) o relazioni (valgono di due o più termini)
[1] Detto anche Logica del Primo Ordine, è così chiamato perché è ammessa solo la quantificazione rispetto ad individui, ovvero l’ontologia di tale sistema formale è costituita da universi di individui. Vi sono, tuttavia, sistemi formali che hanno ontologie più complesse, in cui è possibile quantificare su proprietà, proprietà di proprietà, ecc. Tali sistemi sono detti di ordine superiore al primo, dove ogni nuovo livello corrisponde ad un incremento nella complessità degli oggetti ammessi. Per esempio, il secondo ordine, ammette oltre alle proprietà di individui, anche proprietà di proprietà di individui.
• nome: Carlo
• proprietà: è un leone
termine: a proprietà: P P(a)
Carlo è un leone
• nomi: Carlo, Piero
• relazione: è amico di
termini: a, b relazione: R R(a, b)
Carlo è amico di Piero
Connettivi proposizionali
I connettivi proposizionali svolgono un ruolo
fondamentale nella logica enunciativa,
poiché è attraverso di essi che le
proposizioni complesse o molecolari sono
formate a partire da proposizioni elementari
o atomiche (metafora chimica). Elenchiamo
i principali connettivi proposizionali nella
seguente tabella:
Definizione Notazione Significato
Negazione ~ oppure non, non si dà il caso che
Congiunzione oppure and, et, e
Disgiunzione o, or, vel
Implicazione oppure se ... allora, implica
Equivalenza oppure se e solo se, equivale
Questi connettivi sono detti connettivi logici
perché introducono
operazioni vero-funzionali:
la verità o la falsità di una proposizione
complessa (molecolare) è determinata
dalla verità o falsità delle proposizioni
(atomi) che la formano in base alle
connessioni istituite dai connettivi logici.
Nella logica proposizionale classica
abbiamo cinque fondamentali funzioni di
verità associate ai cinque connettivi
considerati:
(1) Negazione
se A è una proposizione, la
proposizione ~A è la negazione di A,
con la condizione di verità:
se A è vera, ~A è falsa;
se A è falsa, ~A è vera.
A ~A
V F
F V
Negazione
La negazione nel linguaggio naturale occorre in diverse posizioni, prima del predicato come in Maria non corre, ma anche prima del soggetto: Non tutti gli studenti praticano uno sport, prima di un avverbio Non è sempre domenica, o comparire in modo discontinuo Né l’uno né l’altro ha avuto successo.
Il connettivo logico non viene posto davanti ad un enunciato A (p. es. Maria corre) per generare la sua negazione ~A (Maria non corre).
La negazione è detta
connettivo mono-argomentale
perché si applica a singoli enunciati.
(2) Congiunzione
se A, B sono proposizioni, la proposizione
A B è la loro congiunzione, con la
seguente condizione di verità :
A B è vera se e solo se
sia A che B sono vere;
se o A, o B o entrambe sono false, allora
A B è falsa.
Congiunzione
A B A B
V V V
V F F
F V F
F F F
Date due proposizioni A e B, la loro congiunzione
è vera se e solo se entrambe sono vere.
Nel linguaggio naturale troviamo vari tipi di congiunzione, non solo tra enunciati come in
Maria corre e Piero salta, ma anche tra nomi: Maria e Piero si allenano, tra avverbi: Oggi e domani andiamo al mare, tra preposizioni: Il treno da e per Roma è sempre molto affollato.
Il connettivo logico e (and) connette sempre
due proposizioni A e B chiamate congiunti e,
in quanto tale, è un connettivo bi-argomentale.
(3) Disgiunzione
se A, B sono proposizioni, la proposizione
A B è la loro disgiunzione, con la
seguente condizione di verità:
A B è vera se o A è vera, o B è vera o
entrambe sono vere.
A B è falsa se e solo se sia A che B
sono false.
Disgiunzione
A B A B
V V V
V F V
F V V
F F F
Disgiunzione
Date due proposizioni A e B, la loro disgiunzione
è vera se almeno una delle due è vera.
Nel linguaggio naturale esistono vari tipi di
disgiunzione, non solo tra proposizioni: Prendo
l’automobile o vado in treno, ma tra nomi
Ordino insalata o macedonia, tra avverbi Mi
piace troppo o troppo poco, ecc.
La disgiunzione logica o (or) connette sempre
due proposizioni, dette i suoi disgiunti, e in
quanto tale è un connettivo bi-argomentale.
Vi sono due interpretazioni della disgiunzione,
inclusiva ed esclusiva:
secondo l’interpretazione inclusiva “A o B”
significa: “A, o B, o entrambe” (connettivo vel
della lingua latina), come nell’enunciato: Parigi
è una città oppure il Tevere è un fiume,
secondo l’interpretazione esclusiva “A o B”
significa: “o A, o B, ma non entrambe”
(connettivo aut-aut della lingua latina), come
nell’enunciato Nel fine settimana resterò a
casa o prenderò il treno.
Il simbolo “” designa il connettivo della
disgiunzione inclusiva, la disgiunzione esclusiva
può essere definita nei termini di tale connettivo.
(4) Condizionale
(o implicazione materiale)
se A, B sono proposizioni, la proposizione
A B è il condizionale se A allora B
(A implica B), dove A è l’antecedente e B il
conseguente, con la condizione di verità:
A B è vera se e solo se non si dà il caso
che l’antecedente A sia vero e il conseguente
B sia falso;
A B è falsa se e solo se A è vera e B è
falsa.
(4) Condizionale
A B A B
V V V
V F F
F V V
F F V
Il condizionale “se …allora …” è un connettivo bi-argomentale che mette in relazione una proposizione A, detta antecedente, con una proposizione B, chiamata conseguente.
Il condizionale offre varie interpretazioni; quella usata nella logica proposizionale è detta implicazione materiale: la proposizione “se A allora B” è falsa quando l'antecedente A è vero ed il conseguente B è falso, come nell’enunciato (i) Se Parigi è la capitale della Francia, allora Roma è la capitale della Gran Bretagna. Negli altri casi la proposizione “se A allora B” è vera
Vi sono anche interpretazioni non vero-
funzionali del condizionale, ad esempio
l'interpretazione causale:
Se questo pezzo di ferro viene messo in
acqua tiepida al tempo t, allora esso
fonderà a t
questa proposizione è falsa anche nel
caso in cui il pezzo di ferro non venga
messo nell'acqua al tempo t
(la proposizione si comporta come la
violazione di una legge scientifica, ed è
falsa in tutte le circostanze).
Condizionali contraffattuali:
Se Napoleone Bonaparte non fosse
diventato imperatore dei francesi, non si
sarebbero verificate guerre tra gli stati
europei nel XVIII secolo.
(o bicondizionale materiale):
se A, B sono proposizioni, A B è la
proposizione A se e solo se B, con la
seguente condizione di verità:
A B è vera se e solo se A e B sono
entrambe vere e, o entrambe false;
altrimenti A B è falsa
(5) Equivalenza
Equivalenza
A B A B
V V V
V F F
F V F
F F V
Due proposizioni sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso valore di verità: sono entrambe vere, o entrambe false.
p.es. la proposizione Maria va a teatro se e solo se Piero ha comprato i biglietti è vera tanto nel caso in cui Piero compra i biglietti e quindi Maria va a teatro, quanto nel caso in cui nessuno dei due eventi si realizza.
Infatti, il significato di una proposizione di equivalenza è che il realizzarsi di uno degli eventi descritti è condizione necessaria e sufficiente per il realizzarsi dell’altro.
Anche l’equivalenza logica è un connettivo bi-argomentale.
Funzioni di verità
A B ~A ~B A B A B A B A B
V V F F V V V V
V F F V F V F F
F V V F F V V F
F F V V F F V V
Calcolo delle proposizioni L(P)
DIZIONARIO DI L(P) :
• Simboli descrittivi: lettere o variabili proposizionali:
p, q, r, … A, B, C,
• Simboli logici: connettivi proposizionali
Negazione ~ non
Congiunzione e - and
Disgiunzione o - or - vel
Implicazione o condizionale se … allora
Equivalenza o bicondizionale se e solo se
• Simboli grafici: parentesi ( ) [ ] … , segni di interpunzione
• DEFINIZIONE 2. 1
Formula enunciativa: una espressione di L(P) formata da lettere proposizionali o dalla applicazione dei connettivi proposizionali a lettere proposizionali.
• DEFINIZIONE 2. 2
Formula ben formata. (fbf) Sono formule ben formate di L(P) tutte e sole le seguenti:
Formule atomiche: lettere enunciative p , q , r, …
Formule molecolari: se A e B sono formule
enunciative, allora lo sono anche
~ A , A B , A B , A B , A B .
Tavole di verità
• DEFINIZIONE 2. 3
Funzione di verità. Una funzione di verità (ad n argomenti) è una funzione n-aria, i cui argomenti ed il cui valore sono esclusivamente i valori di verità V (vero) e F (falso).
Connettivo vero-funzionale. Un connettivo che introduce una funzione di verità: il valore di verità della formula enunciativa risultante dipende unicamente dai valori di verità delle formule enunciative cui si applica.
• DEFINIZIONE 2. 4
Connettivo principale. Il connettivo più esterno in una formula enunciativa rispetto all’ordine delle parentesi, quello che si applica alla sotto-formula principale (connettivo mono-argomentale) o che connette le due sotto-formule principali (o di primo livello) di una formula enunciativa.
Costruzione di una tavola di verità
[a] Ad ogni assegnazione di valori di verità V o F
alle lettere enunciative (variabili
proposizionali) che compaiono in una formula
enunciativa, corrisponde un solo valore di
verità per la formula enunciativa;
[b] questo valore è determinato mediante un
procedimento finito di computazione in base
alle funzioni di verità dei connettivi;
[c] una tavola di verità è una tabella costituita da
n colonne e m righe;
[d] ciascuna riga rappresenta una (possibile) assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative e il corrispondente valore assunto dalla funzione di verità introdotta da un connettivo per quella assegnazione;
[e] ciascuna colonna rappresenta i valori assunti da una delle funzioni di verità introdotte dai connettivi e la colonna sottostante al connettivo principale rappresenta la funzione di verità determinata dalla formula enunciativa.
[f] in una formula enunciativa con n lettere diverse, si hanno 2n possibili assegnazioni di valori di verità alle sue lettere enunciative e quindi 2n righe nella tavola di verità.
Metodo esteso
I II III IV
A ~A ~(~A) A ~(~A)
V F V V
F V F V
Metodo esteso con 2 prop.
I II III IV V VI VII VIII
A B ~A ~B A B ~ (A B) (~A ~B) ~ (A B) (~A ~B)
V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V
Metodo abbreviato
A ~ (~ A) A ( ~ A)
V V V F V V V F V
F V F V F F V V F
Tautologie e contraddizioni • DEFINIZIONE 2. 5
Un enunciato è una tautologia sse la funzione di verità da esso determinata assume sempre il valore V (Vero) per qualsiasi assegnazione di valori alle sue lettere enunciative.
• DEFINIZIONE 2. 6
Un enunciato è una contraddizione sse la funzione di verità da esso determinata assume sempre il valore F (Falso) per qualsiasi assegnazione di valori alle sue lettere enunciative.
• DEFINIZIONE 2. 7
Un enunciato si dice contingente sse la funzione di verità da esso determinata assume il valore V (Vero) per certe assegnazioni alle lettere enunciative e il valore F (Falso) per altre assegnazioni alle lettere enunciative.
Leggi logiche
Leggi logiche sono quelle proposizioni della
logica che sono sempre vere, indipendentemente
dalla situazione di fatto. Possiamo dire che una
proposizione di questo tipo è vera solo in virtù
della sua struttura vero-funzionale, ovvero della
sua forma logica. Per questa ragione si dice che
sono logicamente vere o valide a priori, che non
apportano contenuto empirico e, proprio per
questo, non necessitano di verifica empirica.
Ciò che è vero logicamente è vero sempre.
Leggi logiche
Doppia negazione A ~ ~A Terzo escluso A ~A
Non contraddizione ~ (A ~A) Condizionale (A B) (~A B)
Legge di De Morgan Legge di De Morgan
~ (A B) ~A ~B ~ (A B) ~A ~B
Legge distributiva Legge distributiva
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
Legge commutativa Legge commutativa
A B B A A B B A
Legge Associativa Legge Associativa
(A B) C A (B C) (A B) C A (B C)
Legge commutativa Legge Associativa
(A B) (B A) ((A B) C) (A (B C))
Assorbimento Assorbimento
A (A B) A A (A B) A
Contrapposte Equivalenza
(A B) (~B ~A) (A B) ((A B) (B A))
Idempotenza Idempotenza
(A A) A (A A) A
Transitività ((A B) (B C)) (A C)
Leggi Logiche
• Doppia Negazione : DN
A (A)
SIGNIFICATO : negando due volte una
proposizione A si ottiene una proposizione
equivalente ad A (stesso valore di verità)
Leggi Logiche
• Transitività
((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C)
SIGNIFICATO :
esprime la proprietà transitiva del connettivo “ → ”, la transizione
dell’informazione apportata dagli enunciati condizionali A → B e
B → C, in cui il secondo ha come antecedente il conseguente B
del primo: il risultato di questo processo è un terzo enunciato
condizionale A → C che ha, come antecedente, l’antecedente A
del primo, e come conseguente, il conseguente C del secondo.
Questa legge logica può essere presentata anche sotto forma di regola di inferenza
Leggi Logiche
• Principio del Terzo Escluso
A A
SIGNIFICATO : Data una proposizione A del
calcolo delle proposizioni, o è VERA A,
o è VERA la sua negazione ~A; in altre
parole, o A è VERA, o A è FALSA
Leggi Logiche
• Principio di Non Contraddizione
(A A)
SIGNIFICATO : Una proposizione A del calcolo delle proposizioni non può valere assieme
alla sua negazione ~A; in altre parole, non si
dà il caso che A sia VERA insieme alla sua
negazione ~A
Leggi Logiche
• Leggi di De Morgan
~(A B) ↔ (~A ~B)
~(A B) ↔ (~A ~B)
Leggi Logiche
• Legge del condizionale
(A → B) ↔ ( ~ A B) SIGNIFICATO : Una proposizione (formula enunciativa)
condizionale A→B del calcolo delle proposizioni è equivalente alla disgiunzione della negazione
dell’antecedente ~ A con il conseguente B; questa legge è importante perché consente di tradurre (convertire) una proposizione in forma condizionale in una proposizione equivalente in forma disgiuntiva.
Leggi Logiche
• Legge di Contrapposizione
(A → B) ↔ (~ B → ~ A)
SIGNIFICATO : Un enunciato condizionale A → B
è equivalente all’enunciato condizionale in cui
si invertono antecedente e conseguente negati
~ B→~ A (il processo da A a B è equivalente al
processo da ~B a ~A).
Regole di inferenza
Le regole di inferenza consentono di dedurre
nuove proposizioni da proposizioni date.
Queste ultime sono chiamate premesse (o
ipotesi) delle regole, mentre la proposizione
che viene dedotta è detta conclusione. Quando
le premesse di una regola di inferenza sono
vere, anche la conclusione sarà vera: è un
teorema del calcolo logico in oggetto. In
genere, le premesse di una regola di inferenza
sono assiomi, leggi logiche o proposizioni
precedentemente dimostrate (teoremi).
Possiamo rappresentare le premesse e la
conclusione di una inferenza deduttiva in
modo lineare mediante la formulazione:
A1, … , An | B
in cui il simbolo | significa che esiste una
deduzione da A1, …, An a B;
in altre parole, B è una conclusione dedotta
dalle premesse A1,…, An.
Alternativamente, possiamo impiegare la
seguente rappresentazione verticale, in cui le
premesse sono elencate al di sopra della linea
orizzontale, mentre la conclusione compare al
di sotto di essa:
A1 Se δ è un triangolo, ha tre lati
A2 δ è un triangolo
______ _____________________
B δ ha tre lati
Regole di inferenza condizionali
MODUS PONENS MP MODUS TOLLENS MT
A B
A _______
B
A B
~ B _______
~ A
AFFERMAZIONE CONSEGUENTE AC NEGAZIONE ANTECEDENTE NA
A B
B _______
*A
A B
~ A _______
*~ B
Regole condizionali
MODUS PONENS MODUS TOLLENS
A B A B
A B
_______ _______
B A
Fallacie condizionali
NEGAZIONE ANTECEDENTE AFFERMAZIONE CONSEGUENTE
A B A B
A B
______ _______
*B * A
Asterisco * indica che Nulla Consegue
Regole di inferenza condizionali
Si tratta di un gruppo importante di regole di inferenza della logica proposizionale basate sul nesso condizionale “se … allora”, formalizzato con il connettivo “” (condizionale materiale).
Abbiamo due regole fondamentali:
la regola di Modus Ponens, in cui viene affermato
l’antecedente del condizionale,
e la regola di Modus Tollens, in cui viene negato
il conseguente del condizionale.
Queste regole di inferenza sono costituite da due premesse e una conclusione.
Fallacie condizionali
A queste regole corrispondono due fallacie, che
si ottengono nel caso in cui
l’antecedente del condizionale viene
negato: NA
il conseguente del condizionale viene
affermato: AC
Benché invalide, le fallacie sono importanti per
comprendere pienamente il significato delle
regole condizionali.
Regole condizionali: esempi
MODUS PONENS MODUS TOLLENS
Triangolo Tre lati Triangolo Tre lati
Triangolo Tre lati
_________________ _________________
Tre lati Triangolo
Fallacie condizionali: esempi
NEGAZIONE ANTECEDENTE AFFERMAZIONE CONSEGUENTE
Triangolo Tre lati Triangolo Tre lati
Triangolo Tre lati
_________________ _________________
* Tre lati * Triangolo
Regole di inferenza congiuntive
CONGIUNZIONE CONG SEMPLIFICAZIONE SIMP
A
B _________
A B
A B A B _______ _______
A B
Regole di inferenza additive
ADDIZIONE ADD SILLOGISMO DISGIUNTIVO SD
A _______
A B
A B A B
~ A ~ B ______ _______
B A
Inferenze congiuntive: esempi
Il triangolo è un poligono.
Il rombo è un quadrilatero.
-------------------------------------------------------CONG
Il triangolo è un poligono e il rombo è quadrilatero
L’ossigeno è un gas ed è freddo.
----------------------------------------------SIMP
L’ossigeno è freddo.
Inferenze additive: esempi
L’ossigeno è un gas.
---------------------------------------------------ADD
L’ossigeno è un gas o l’aria è un liquido.
Il ferro è un metallo o l’acqua è solida.
L’acqua non è solida.
---------------------------------------------------SD
Il ferro è un metallo.
Conseguenza logica e validità
• Definizione 2.8
Conseguenza logica. Una proposizione B è conseguenza logica delle proposizioni A1, …, An , in simboli
A1, …, An | B,
sse non si dà il caso che le proposizioni A1, …, An sono vere e la proposizione B è falsa. La proposizione B è detta conclusione dalle premesse A1, …, An.
• Definizione 2.9
Correttezza. Una inferenza deduttiva A1, …, An | B è corretta sse la conclusione B è conseguenza logica delle premesse A1 ,…, An.
A B A B (A B) A ((A B) A) B
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Prova condizionale di MP
Dimostrazioni
Nel calcolo delle proposizioni P è possibile determinare l’insieme delle proposizioni logicamente valide in P, o verità logiche di P, facendo ricorso all’insieme delle inferenze logiche e delle leggi logiche di P. Il procedimento che conduce all’individuazione di una proposizione logicamente valida A di P è chiamato una dimostrazione di A in P, e la proposizione dimostrata è chiamata un teorema di P.
Scriviamo Г | P A, per indicare che esiste in P una dimostrazione della proposizione A sulla base dell’insieme di ipotesi Г, e | P A per indicare che A è logicamente valida in P, ovvero è un teorema di P
Dimostrazioni
• Definizione 2. 10
Г | P A : esiste una dimostrazione della
proposizione A in P sulla base delle ipotesi
Г
• Definizione 2. 11
| P A : A è logicamente valida in P
Dimostrazioni con MP
1. A B I premessa 1. Se piove, mi bagno.
2. A II premessa 2. Piove.
3. B 1, 2, MP 3. Mi bagno.
1. ~ A B I premessa 1. Se non studio, sono bocciato.
2. ~ A II premessa 2. Non studio.
3. B 1, 2, MP 3. Dunque, sono bocciato.
Dimostrazioni con MT
1. ~A ~B I premessa Se non fa freddo, non metto
il cappotto.
2. B II premessa Metto il cappotto.
3. A 1,2, MT Quindi fa freddo
1. A ~B I premessa Se ho studiato poco, non
passo l'esame.
2. B II premessa Passo l'esame.
3. ~A 1,2, MT Non ho studiato poco (ho
studiato molto)
Negazione con MP e MT
Le inferenze MP e MT richiedono una
riflessione più laboriosa quando si fa uso
della negazione, come nel caso in cui il
condizionale è del tipo :
~ A B con antecedente negato
A ~ B con conseguente negato
oppure del tipo:
~ A ~ B
con antecedente e conseguente negati
Antecedente negato:
MP: 1. ~A B MT: 1. ~A B
2. ~A 2. ~B
3. B 3. A (~(~A)) DN
In entrambi i casi la conclusione è affermativa
Conseguente negato:
MP: 1. A ~B MT: 1. A ~B
2. A 2. B (~(~B)) DN
3. ~B 3. ~A
In entrambi i casi la conclusione risulta negativa
Antecedente e conseguente negati:
MP: 1. ~A ~B MT: 1. ~A ~B
2. ~A 2. B (~(~B)) DN
3. ~B 3. A (~(~A)) DN
Dimostrazioni
Le dimostrazioni sono ottenute con il seguente metodo:
[1] Si scrive ciascuna premessa, accompagnata dalla sua denominazione; a sinistra viene indicata la numerazione degli argomenti coinvolti nella deduzione;
[2] Si scrive il risultato della applicazione di una regola di inferenza, indicando a destra il nome della regola ed i numeri delle premesse coinvolte; a sinistra viene indicato il numero del passaggio corrispondente nella deduzione;
[3] Si scrive una legge logica, indicando a destra il nome della regola e a sinistra il numero del passaggio nella deduzione;
[4] L’ultima proposizione della sequenza è la proposizione An che si voleva dimostrare, i.e. la proposizione di cui si è prodotta la dimostrazione mediante i passaggi 1, …, n.
Dimostrazioni con MT
1. ~A B I premessa Se non studio, sono bocciato.
2. ~B II premessa Non sono bocciato.
3. A 1, 2, MT Dunque, studio.
1. (A B) C I premessa Se cammino o faccio sport,
mi tengo in forma.
2. ~C II premessa Non mi tengo in forma.
3. ~(A B) 1,2, MT Non cammino o faccio sport.
Dimostrazioni con transitività
1. A B I premessa Se piove, mi bagno.
2. B C II premessa Se mi bagno, prendo il
raffreddore
3. A C 1, 2, Trans Se piove, prendo il
raffreddore
1. (A B) ~C I premessa Se dormo o guardo la
tv, non mi tengo in forma.
2. ~C D II premessa Se non mi tengo in forma
sto male.
3. (A B) D 1,2, Trans Se dormo o guardo la tv,
sto male
Regole congiuntive
1. A B I premessa Galileo era un matematico e
un astronomo.
2. A 1, Simp Galileo era un matematico
1. A B I premessa Galileo era un matematico e
un astronomo.
2. B 1, Simp Galileo era un astronomo
1. A I premessa Galileo era un matematico.
2. B II premessa Galileo era un astronomo.
3. A B 1, 2 Cong Galileo era un matematico e
un astronomo
Regole additive : SD
1. A B I premessa Dormo o guardo la tv.
2. ~A II premessa Non dormo.
3. B 1,2, SD Guardo la tv.
1. A B I premessa Dormo o guardo la tv.
2. ~B II premessa Non guardo la tv.
3. A 1,2, SD Dormo.
Definizione di
(A B) (~A B)
1. A B I premessa
2. ~B C II premessa
3. ~A B 1, def.
4. ~B 2, Simp
5. ~A 3,4 SD
Dimostro ~A dalle premesse (1) e (2).
Dalle premesse A → B e A C, dimostrare la conclusione B C
1. A → B I premessa
2. A C II premessa
3. A 2, SIMP
4. B 1, 3, MP
5. C 2, SIMP
6. B C 4, 5, CONG
Dimostrazioni
Dalle premesse (A ∨ B) → C e A, dimostrare la
conclusione C.
1. (A ∨ B) → C I premessa
2. A II premessa
3. A ∨ B 2, ADD
4. C ∴ 1, 3, MP
Se Claudia canta o balla, allora Piero suona.
Claudia canta.
Claudia canta o balla.
Piero suona.
Dimostrazioni
Dalle premesse A ∧ B, C ∧ D, (D ∧ A) → E, dimostrare la conclusione E∧B.
1. A∧B I premessa Claudia tace e Piero parla.
2. C∧D II premessa Claudia suona e Piero canta.
3. (D∧A) → E III premessa Se Piero canta e Claudia
tace, allora Claudia ascolta.
4. D 2b, SIMP Piero canta.
5. A 1a, SIMP Claudia tace.
6. D∧A 4, 5, CONG Piero canta e Claudia tace.
7. E 3, 6, MP Claudia ascolta.
8. B 1b, SIMP Piero parla.
9. E∧B ∴ 7, 8, CONG Claudia ascolta e Piero parla.
Logica predicativa
Indice degli argomenti:
1. Proprietà e relazioni
2. Quantificatori e inferenze
3. Sillogismi
4. Dimostrazioni di (semplici) sillogismi
Logica predicativa
Indichiamo un oggetto o individuo con la lettera minuscola a
(costante individuale) ed eventuali proprietà godute da tale
individuo con le lettere maiuscole P, Q (lettere predicative).
Quando relativamente all’individuo designato da a viene
predicata la proprietà indicata con P, scriviamo P(a) e
diciamo che a ha la proprietà P o gode della proprietà P.
Ad esempio, se P è la proprietà “essere bianco”, l’individuo a
ha la proprietà P se e solo se a è bianco:
a. Questo tavolo è bianco : P(a) (a = questo tavolo)
b. La neve è bianca : P(n) (n = la neve)
Analogamente, se indichiamo con la lettera minuscola b
un altro oggetto o individuo, e con la lettera maiuscola R
una certa relazione a due argomenti, scriviamo R2 (a, b)
per esprimere il fatto che a è (si trova) nella relazione R
con b, ovvero che tra a e b sussiste la relazione R.
Per esempio, se R è la relazione “essere amico di”, a è
nella relazione R con b se e solo se a è amico di b.
c. Piero è amico di Maria :
R (a, b) (a = Piero, b = Maria)
Logica predicativa
DEFINIZIONE 3.1
Dominio degli individui: l’insieme D degli oggetti o individui
che sono argomenti di proprietà e relazioni.
Oggetto (o individuo): elemento di D, possibile argomento
di proprietà o relazione.
DEFINIZIONE 3.2
Proprietà. Predicato P che si applica ad un solo argomento (elemento di D): P(a);
Relazione (binaria). Predicato P che si applica a due
argomenti (elementi di D): R2(a1, a2);
Relazione (n-aria). Predicato P che si applica a n argomenti:
R n(a1, ..., a n).
Logica predicativa
Quantificatori
Questo albero è verde PROP. PARTICOLARE
V(a)
Qualcosa è verde PROP. ESISTENZIALE
(x)V(x)
Tutto è verde PROP. UNIVERSALE
Ogni cosa è verde
(x)V(x)
Quantificatori
a. Piero è più alto di Giacomo.
b. x è più alto di Giacomo.
(x)(+ A x g) , (x)(+ A x g)
c. Piero è più alto di y.
(y)(+ A p y) , (y)(+ A p y)
d. x è più alto di y.
(x)(y)(+ A x y) , (y)(+ A x y)
Quantificatori a. x è più alto di Giacomo
1. (∃x)(x è più alto di Giacomo) chiusura esistenziale
2. (∀x)(x è più alto di Giacomo) chiusura universale
3. Piero è più alto di Giacomo sostituzione
b. Piero è più alto di y
1. (∃y)(Piero è più alto di y) chiusura esistenziale
2. (∀y)(Piero è più alto di y) chiusura universale
3. Piero è più alto di Giovanni sostituzione
c. x è più alto di y
1. (∃x)(∃y)(x è più alto di y) chiusura esistenziale
2. (∃x)(∀y)(x è più alto di y) chiusura esistenziale, chiusura universale
3. (∀x)(∃y)(x è più alto di y) chiusura universale, chiusura esistenziale
4. (∀x)(∀y)(x è più alto di y) chiusura universale, chiusura universale
4. Paolo è più alto di Giovanni sostituzione
Quantità e qualità
Proposizioni sillogistiche Quattro tipi di proposizioni categoriche: soggetto, copula,
predicato
1) Universale affermativa
Tutti gli S sono P : Tutti i leoni sono felini (A)
2) Particolare affermativa
Qualche S e P : Qualche leone ha la criniera (I)
3) Universale negativa
Tutti gli S non sono P:Tutti i leoni non sono pesci (E)
4) Particolare negativa
Qualche S non e P : Qualche leone non ha la criniera (O)
