Logica predicativa modale - DIPAFILO · Logica predicativa modale Sandro Zucchi 2012-13 S. Zucchi: Metodi formali per loso { Logica predicativa modale 1 Un argomento valido I L’argomento

Logica predicativa modale

Sandro Zucchi

2012-13

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 1

Un argomento valido

I L’argomento seguente e valido in italiano:

1. E necessariamente vero che tutti gli uomini sono mortali.2. E necessariamente vero che Socrate e un uomo.3. Dunque, e necessariamente vero che Socrate e mortale.

I Tuttavia, con i linguaggi logici che abbiamo a disposizionefinora non abbiamo alcun modo di rappresentare argomenti diquesto genere (e dunque di controllarne la validita), perchenon abbiamo un linguaggio che contenga sia operatori modaliche quantificatori.

I Lo introduciamo ora e lo chiamiamo “LQS5” (il linguaggiodella logica predicativa modale S5).


Il linguaggio LQS5i simboli

I Un insieme infinito di costanti individuali: c1 c2 c3 . . .

I Un insieme infinito di variabili individuali: x1 x2 x3 . . .

I Un insieme infinito di predicati a n-posti (per ogni n>0):P1

1 P12 P1

3 . . .P21 P2

2 P23 . . .P3

1 P32 P3

3 . . .

I La relazione di identita: =

I I quantificatori: ∀ ∃

I I connettivi vero-funzionali: ∧ ∨ ⊃ ≡ ∼

I Gli operatori di necessita e di possibilita: 2 3

I Le parentesi: ( )

I (Assumo le convenzioni consuete).


Il linguaggio LQS5le frasi

(a) Se P e un predicato a n-posti e c 1, . . . , c n sono costanti, allorapP (c 1, . . . , c n)q e una frase (atomica) di LQS5.

Se ϕ e ψ sono frasi di LQS5, allora

(b) p∼ ϕq e una frase di LQS5,

(c) p(ϕ∧ψ)q e una frase di LQS5,

(d) p(ϕ∨ψ)q e una frase di LQS5,

(e) p(ϕ ⊃ ψ)q e una frase di LQS5,

(f) p(ϕ ≡ ψ)q e una frase di LQS5,

(g) se pϕ(c )q e una frase di LQS5 che contiene la costante c, e v e unavariabile che non compare in pϕ(c )q, allora p∀v ϕ(v )q e p∃v ϕ(v )qsono frasi di LQS5,

(h) se c e u sono costanti, pc = uq e una frase di LQS5,

(i) 2ϕ e una frase di LQS5,

(j) 3ϕ e una frase di LQS5.

(k) Nient’altro e una frase di LQS5.


Il linguaggio LQS5modelli

Un modello per LQS5 e una tripla M=<D, W , F>, dove

I D e un insieme non vuoto di individui,

I W e un insieme non vuoto di mondi possibili,

I F e una funzione (detta interpretazione) tale che

(a) per ogni costante individuale c, F (c ) e un elemento di D,(b) per ogni mondo w e per ogni predicato P n, F (P n,w) e un

insieme di n-uple di elementi di D.

Chiamiamo il valore assegnato da F a una costanteindividuale o predicativa denotazione della costante.


Commenti alla definizione di modelloTre osservazioni sono opportune sulla definizione di modello:

I Notate che la relazione di accessibilita R non e piu un membro delmodello. Come mai? Nella semantica di LS5 ogni mondo e accessibile daogni mondo. Per questa ragione, e possibile formulare la semantica diLS5 semplicemente facendo a meno della relazione di accessibilita (non loabbiamo fatto prima, perche volevamo mantenere una formulazioneuniforme per i diversi sistemi modali). Dunque, nel formulare lasemantica di LQS5, che su LS5 si basa, possiamo tralasciare la relazionedi accessibilita (e lo facciamo).

I La denotazione delle constanti predicative in un modello di LQS5 erelativa a un mondo. Intuitivamente, possiamo pensare alla denotazionedi un predicato a un mondo come l’insieme degli individui che godonodella proprieta espressa dal predicato a quel mondo.

I La denotazione delle costanti individuali, d’altra parte, non e relativa a unmondo. Dunque, le costanti individuali di LQS5 denotano sempre lostesso individuo nelle formule in cui occorrono, quale che sia il mondo acui la formula e valutata (in questo senso, le costanti di LQS5 sonodesignatori rigidi).


c -varianti

I La nozione di c -variante di un modello e definita come per imodelli di LQ:

• una c -variante di un modello M e un modello M’ uguale Meccetto per il fatto che in M’ la funzione interpretazione puoassegnare alla costante c un individuo diverso del dominio D diM da quello che la funzione interpretazione assegna a c in M.


Denotazione delle frasi di LQS5Definiamo ora cosı la denotazione delle frasi di LQS5 in un modello Mrelativamente a un mondo (leggiamo [[α]]M,w come “la denotazione della fraseα in M al mondo w”):

1. se P n e un predicato e c 1, . . . , c n sono costanti individuali, allora[[P n(c 1, . . . , c n)]]M,w = 1 se < F (c 1), . . . , F (c n)> ∈ F (P n,w);

altrimenti [[P n(c 1, . . . , c n)]]M,w = 0.

2. se c e u sono costanti individuali, [[c = u ]]M,w = 1 se F (c )=F (u );altrimenti [[c = u ]]M,w = 0.

Se ϕ e ψ sono frasi di LQS5,

3. [[∼ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ]]M,w = 0; altrimenti [[∼ ϕ]]M,w = 0,

4. [[ϕ∧ψ]]M,w = 1 se [[ϕ]]M,w = 1 e [[ψ]]M,w = 1; altrimenti[[ϕ∧ψ]]M,w = 0,

5. [[ϕ∨ψ]]M,w = 1 se non si da il caso che [[ϕ]]M,w = 0 e [[ψ]]M,w = 0;altrimenti [[ϕ∨ψ]]M,w = 0,

6. [[ϕ ⊃ ψ]]M,w = 1 se non si da il caso che [[ϕ]]M,w = 1 e [[ψ]]M,w = 0;altrimenti [[ϕ ⊃ ψ]]M,w = 0,

7. [[ϕ ≡ ψ]]M,w = 1 se [[ϕ]]M,w = [[ψ]]M,w ; altrimenti [[ϕ ≡ ψ]]M,w = 0.


Denotazionecont.

8. [[2ϕ]]M,w = 1 se, per ogni w’ in W , [[ϕ]]M,w ′ = 1, altrimenti[[2ϕ]]M,w = 0;

9. [[3ϕ]]M,w = 1 se, per qualche w’ in W , [[ϕ]]M,w ′ = 1,altrimenti [[3ϕ]]M,w = 0;

Infine, sia c una costante che non occorre in ϕ e ϕ(c/v ) ilrisultato di sostituire c a ogni occorrenza di v in ϕ:

10. [[∀v ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ(c/v )]]M′,w = 1 per ogni c -variante M ′

di M; altrimenti [[∀v ϕ]]M,w = 0;

11. [[∃v ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ(c/v )]]M′,w = 1 per qualche c -varianteM ′ di M; altrimenti [[∃v ϕ]]M,w = 0.


Validita

La nozione di validita in LQS5 e definita cosı:

I Sia M=<D, W , F> un modello di LQS5. Una frase ϕ diLQS5 e vera in M a un mondo w in W se e solo se ladenotazione di ϕ in M a w e 1 (se e solo se [[ϕ]]M,w = 1);

I un argomento in LQS5 con premesse ϕ1, . . . ,ϕn e conclusioneψ e valido in LQS5 (in simboli, ϕ1, . . . ,ϕn |=LQS5 ψ) se esolo se non esiste un modello M=<D, W , F> di LQS5 e unmondo w in W tali che ϕ1, . . . ,ϕn sono tutte vere in M a w eψ e falsa in M a w ;

I una frase ϕ di LQS5 e valida in LQS5 (in simboli, |=LQS5 ϕ)se e solo se non esiste un modello M=<D, W , F> di LQS5 eun mondo w in W tali che [[ϕ]]M,w = 0.


Deduzione naturale per LQS5

Introduciamo ora un sistema di deduzione naturale per illinguaggio LQS5, che chiamiamo QS5(NAT).

I Il sistema QS5(NAT) consiste in queste regole:tutte le regole di Q(NAT) e tutte le regole di S5(NAT).


Completezza e correttezza

I E possibile mostrare che QS5(NAT) permette di derivare unaconclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi incui le premesse implicano la conclusione in LQS5.

I In simboli:

ϕ1, . . . ,ϕn `QS5(NAT ) ψ se e solo seϕ1, . . . ,ϕn |=LQS5 ψ.

I (Come caso particolare, e possibile mostrare che `QS5(NAT ) ψsse |=LQS5 ψ).


Tableaux per LQS5

I Per LQS5 introduciamo il sistema di tableaux QS5(TAB).

I Le regole di QS5(TAB) sono le regole di S5(TAB) + regolespecifiche di QS5(TAB).


Regole specifiche di QS5(TAB)Le regole specifiche di QS5(TAB) sono le seguenti:

dove ϕ(c ) e un’istanza di p∀ϕ(v )q e p∃ϕ(v )q, e pϕ (c/u)q e qualunque

risultato si ottiene sostituendo la costante c ad alcune o tutte le

occorrenze della costante u in ϕ.


Completezza e correttezza

I Le definizioni di tableau chiuso e terminato e di derivazionesono le consuete.

I Il sistema cosı ottenuto e corretto e completo: se unaconclusione e derivabile da un insieme di premesse inQS5(TAB), l’argomento e valido in LQS5; e, se un argomentoe valido in LQS5, la conclusione e derivabile dalle premesse inQS5(TAB).


Un’ambiguita

I Considerate ora l’enunciato seguente:

(1) Ogni povero e necessariamente povero.

I L’enunciato (1) pare avere sia l’interpretazione (a) chel’interpretazione (b):

(a) in tutte le circostanze possibili se un individuo e povero epovero;

(b) ogni individuo che e attualmente povero e povero in ognicircostanza possibile.

I Nell’interpretazione (a), (1) e chiaramente vero.

I Nell’interpretazione (b), (1) molto probabilmente e falso,perche e chiaro che ci persone attualmente povere che peroavrebbero potuto non esserlo, se le cose fossero andatediversamente.


Un’altra ambiguita

I Considerate ora l’enunciato (2):

(2) Alcune teorie devono essere errate.

I Di nuovo, (2) pare avere sia l’interpretazione (a) chel’interpretazione (b):

(a) in ogni circostanza possibile ci sono delle teorie errate,(b) ci sono delle teorie che sono errate in ogni circostanza possibile.

I Nell’interpretazione (a), (2) non attribuisce la proprieta diessere necessariamente errata ad alcuna teoria.

I Invece, nell’interpretazione (b), (2) afferma di alcune teorieche non potrebbero mai essere giuste.


Rappresentazione dell’ambiguita

I Le due interpretazioni di (1) e (2) si possono rappresentarecosı nel nostro linguaggio predicativo modale:

(1) Ogni povero e necessariamente povero.(a) 2∀x(P(x) ⊃ P(x))(b) ∀x(P(x) ⊃ 2P(x))

(2) Alcune teorie devono essere errate.(a) 2∃x(T (x)∧ E (x))(b) ∃x(T (x)∧2E (x))


de dicto\de re

I Nelle formule (a), l’operatore di necessita e il connettivo principale e ilquantificatore e nell’ambito dell’operatore.

I Nelle formule (b), l’operatore di necessita non e il connettivo principale eil quantificatore e fuori dall’ambito dell’operatore modale.

(1) Ogni povero e necessariamente povero.(a) 2∀x(P(x) ⊃ P(x))(b) ∀x(P(x) ⊃ 2P(x))

(2) Alcune teorie devono essere errate.(a) 2∃x(T (x)∧ E (x))(b) ∃x(T (x)∧2E (x))

I Una formula modale che contiene dei quantificatori e detta de re se tutti isuoi quantificatori sono fuori dall’ambito degli operatori modali.

I Una formula modale che contiene dei quantificatori e detta de dicto setutti i suoi quantificatori sono nell’ambito degli operatori modali.


La formula Barcan

I Considerate ora la frase (3) di LQS5:

(3) ∀x2F (x) ⊃ 2∀xF (x)

I Questa frase e un esempio dello schema di formula in BFdetto formula Barcan:

BF. ∀x2ϕ ⊃ 2∀xϕ

I Tutte le istanze della formula Barcan sono valide in LQS5.

I Vediamo una prova di (3) come caso particolare.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Prova: ∀x2F (x) ⊃ 2∀xF (x)

∀x2F (x)

3∀x2F (x)

Prova: 2∀xF (x)

3∀x2F (x)

Prova: ∀xF (x)

∼ ∀xF (x)

∃x ∼ F (x)

∼ F (a)

3 ∼ F (a)

3∀x2F (x)

Prova: 2 ∼ ∀x2F (x)

3 ∼ F (a)

∼ 2F (a)

∃x ∼ 2F (x)

∼ ∀x2F (x)

∼ 3∀x2F (x)

⊃I

Ass

3 I, 2

2I

R,3

∼I

Ass

QN

∃ E

3 I

R, 3

2 I,10

R,10

MN,13

∃ I,14

QN,15

MN,112


Leggere la formula Barcan

I Come possiamo leggere la formula Barcan? Quale principioesprime?

BF. ∀x2ϕ ⊃ 2∀xϕ

I Un modo possibile di intenderla e questo: se ogni oggetto cheesiste e tale che in ogni mondo possibile ϕ e soddisfatta,allora in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste e taleche ϕ e soddisfatta.

I Secondo questo modo di leggere la formula Barcan, l’istanza(3) afferma: se ogni oggetto che esiste e F in ogni mondopossibile, allora in ogni mondo possibile ogni oggetto cheesiste e F.

(3) ∀x2F (x) ⊃ 2∀xF (x)


La conversa della formula Barcan

I Considerate ora la frase (4) di LQS5:

(4) 2∀xF (x) ⊃ ∀x2F (x)

I Questa frase e un esempio dello schema di formula CBF dettoconversa della formula Barcan:

CBF. 2∀xϕ ⊃ ∀x2ϕ

I Tutte le istanze della conversa della formula Barcan sonovalide in LQS5.

I Vediamo una prova di (4) come caso particolare.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Prova: 2∀xF (x) ⊃ ∀x2F (x)

2∀xF (x)

Prova: ∀x2F (x)

Prova: 2F (a)

2∀xF (x)

∀xF (x)

F (a)

⊃I

Ass

∀I

2I,2

R,2

2E

∀E


Leggere la conversa della formula Barcan

I Come possiamo leggere la conversa della formula Barcan?Quale principio esprime?

CBF. 2∀xϕ ⊃ ∀x2ϕ

I Se seguiamo il modo adottato per BF, intenderemo CBF cosı:se in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste e tale cheϕ e soddisfatta, allora ogni oggetto che esiste e tale che inogni mondo possibile ϕ e soddisfatta.

I Secondo questo modo di leggere la conversa della formulaBarcan, l’istanza (4) afferma: se in ogni mondo possibile ognioggetto che esiste e F, allora ogni oggetto che esiste e F inogni mondo possibile.

(4) 2∀xF (x) ⊃ ∀x2F (x)


Formulazioni equivalenti

I Il principio espresso dalla formula Barcan a volte vieneformulato cosı:

BF’. 3∃xϕ ⊃ ∃x3ϕ

I Il principio espresso da CBF a volte viene formulato cosı:

CBF’. ∃x3ϕ(x) ⊃ 3∃xϕ(x)

I E possibile formulare BF come BF’ in quanto, data un’istanzadi BF e possibile derivare l’istanza corrispondente di BF’usando semplicemente le regole di contrapposizione, negazionemodale e negazione dei quantificatori (Fitting e Mendelsohn1998:109). E viceversa. Lo stesso vale per CBF e CBF’.


Obiezioni alla formula BarcanI La formula Barcan e un principio controverso:

BF. ∀x2ϕ(x) ⊃ 2∀xϕ(x)

I Consideriamo di nuovo l’istanza (3) di BF:

(3) ∀x2F (x) ⊃ 2∀xF (x)

I La formula (3) dice: se ogni oggetto che esiste e F in ogni mondopossibile, allora in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste e F.Un’obiezione che viene sollevata e questa: anche se ogni oggetto cheesiste e F in ogni mondo, potrebbero esistere dei mondi in cui esistonodegli individui che non sono F.

I Per esempio, supponiamo che gli oggetti che esistono siano a, b, e c e chein tutti i mondi a, b, e c siano F. Questo non esclude che ci sia un mondoin cui esiste un altro individuo d che non e F. Ma la formula Barcan negache questo possa accadere.

I (Anche se ritenete che, da un punto di vista metafisico, sia preferibile nonammettere la possibilita che negli altri mondi esistano individui che nonesistono nel mondo reale, non e ovvio che questa possibilita debba essereesclusa semplicemente su base logica).


Obiezioni alla conversa della formula BarcanI Anche la conversa della formula Barcan e un principio controverso:

CBF. 2∀xϕ(x) ⊃ ∀x2ϕ(x)

I Considerate l’istanza seguente di CBF:

(5) 2∀x∃y x = y ⊃ ∀x2∃y x = y

I La formula (5) asserisce questo: se in ogni mondo, per ogni individuo cheesiste, qualcuno e identico a quell’individuo, allora ogni individuo che esistee tale che in ogni mondo possibile esiste un individuo identico ad esso.

I Chiaramente, in ogni mondo, per ogni individuo che esiste, qualcuno eidentico a quell’individuo, e cioe quell’individuo stesso.

I Dunque, se accettiamo la conversa della formula Barcan, e quindiaccettiamo (5), dobbiamo accettare che ogni individuo che esiste e taleche in ogni mondo possibile esiste un individuo identico ad esso. Maquesto vuol dire che ogni individuo che esiste esiste in ogni mondopossibile!

I L’affermazione precedente e evidentemente falsa. Se i miei genitori non sifossero mai incontrati, io non sarei mai esistito.


Che fare?

I La formula Barcan e la sua conversa sono principi controversi.

I Dobbiamo, dunque modificare la semantica di LQS5 perevitare di rendere valide la formula Barcan e la sua conversa?

I Non necessariamente.


Rileggere la formula BarcanI Nel leggere la formula Barcan abbiamo assunto che il quantificatore “∀”

quantificasse su individui che esistono a un mondo.I Per esempio, abbiamo assunto che (3) fosse vera a un mondo w se e solo se e

soddisfatta questa condizione: se ogni oggetto che esiste in w e F in ogni mondopossibile, allora in ogni mondo possibile w ′ ogni oggetto che esiste in w ′ e F:

(3) ∀x2F (x) ⊃ 2∀xF (x)I Se la leggiamo cosı, (3) esclude la possibilita (6), che, almeno su base logica,

vorremmo mantenere aperta:

(6) tutti gli individui che esistono in w sono F in ogni mondo possibile, maesiste un individuo in un mondo w ′ che non e F.

I Tuttavia, il problema si dissolve se intendiamo “∀” come un quantificatore suindividui possibili invece che su individui che esistono ad un mondo.

I In questo caso, (3) e vera a un mondo w se e solo se e soddisfatta questacondizione: se ogni individuo possibile e F in ogni mondo, allora in ogni mondoogni individuo possibile e F.

I In questa interpretazione, (3) non esclude (6). Infatti, l’antecedente di (3) e orainteso come un’affermazione su tutti gli individui possibili e non sugli individuiche esistono a un mondo. Se si verifica la possibilita in (6), e chiaro che nontutti gli individui possibili sono F in ogni mondo. Dunque, l’antecedente delcondizionale in (3) e falso, e il condizionale e vero.


Rileggere la conversa della formula BarcanI Nel leggere CBF, abbiamo assunto che i quantificatori “∀” e “∃”

quantifichino su individui che esistono a un mondo.

I In questo caso, (5) e vera a un mondo w se e solo se e soddisfatta questacondizione: se in ogni mondo w ′, per ogni individuo che esiste in w ′,qualcuno e identico a quell’individuo, allora ogni individuo che esiste in wesiste in ogni mondo possibile.

(5) 2∀x∃y x = y ⊃ ∀x2∃y x = y

I Cosı intesa, (5) esclude la possibilita che un individuo esista solocontingentemente.

I Il problema scompare se assumiamo che “∀” e “∃” quantifichino suindividui possibili.

I In questo caso, (5) e vera a un mondo w se e solo se e soddisfatta questacondizione: se in ogni mondo w ′, per ogni individuo possibile, qualcheindividuo possibile e identico a quell’individuo, allora ogni individuopossibile in ogni mondo e identico a un individuo possibile.

I Intesa cosı, (5) lascia aperta la possibilita che un individuo a esista in unmondo w e non in un altro mondo w ′: infatti, anche in questo caso, inw ′ l’individuo possibile a e identico a un individuo possibile.


Modelli a dominio unico

I La difesa precedente della formula Barcan e della sua conversaassume che “∀” e “∃” quantifichino su individui possibili.

I Se assumiamo questa interpretazione “possibilista” deiquantificatori, i problemi sollevati per BF e CBF si dissolvonoe possiamo mantenere la formulazione della semantica diLQS5 che rende valide BF e CBF.

I In questa semantica, il dominio del modello e inteso comel’insieme di tutti gli individui possibili (e i quantificatoriquantificano su questo dominio).


Il predicato di esistenzaI La difesa possibilista della semantica a dominio unico lascia aperta una

questione.

I I quantificatori dell’italiano possono quantificare su individui esistenti a unmondo. Per esempio, (7) afferma che esistono tre miliardi di bambini nelmondo piu simile al nostro in cui la pillola non e stata inventata:

(7) se la pillola anticoncezionale non fosse stata inventata,esisterebbero tre miliardi di bambini.

I Se i quantificatori di LQS5 quantificano su individui possibili, comefacciamo a esprimere in LQS5 quantificatori come quello in (7)?

I Il possibilista puo rappresentare i quantificatori sugli individui esistenti aun mondo introducendo un predicato di esistenza “ε” che a ogni mondodenota gli individui che esistono a quel mondo.

I Gli enunciati che quantificano su individui esistenti a un mondo possonoora essere rappresentati cosı (Hughes and Cresswell 1996, Fitting eMendelsohn 1998):

∀x(ε(x) ⊃ ϕ)

∃x(ε(x)∧ϕ)


Modelli con domini variabili

I Un modo piu diretto di rappresentare la quantificazione suindividui esistenti consiste nel modificare la semantica dellinguaggio predicativo modale introducendo la possibilita cheil dominio dei quantificatori “∀” ed “∃” vari da mondo amondo.

I Vediamo come fare.


Il linguaggio LQS5f

simboli e frasi

I Se cambia la semantica dei quantificatori, cambia il linguaggio(anche se la rappresentazione grafica dei quantificatori rimaneuguale, hanno un significato diverso).

I Il linguaggio predicativo modale con domini variabili lochiamiamo LQS5f .

I I simboli e la definizione di frase sono gli stessi di LQS5.


Il linguaggio LQS5f

modelli

Un modello per LQS5f e una quadrupla M=<D, W , δ, F>, dove

I D e un insieme non vuoto di individui,

I W e un insieme non vuoto di mondi possibili,

I δ e una funzione che, a ogni mondo w in W , assegna unsottoinsieme di D (ovvero, δ(w) ⊆ D),

I F e una funzione (detta interpretazione) tale che

(a) per ogni costante individuale c, F (c,) e un elemento di D,(b) per ogni mondo w e per ogni predicato P n, F (P n,w) e un

insieme di n-uple di elementi di D.


Commenti alla definizione di modello

I La novita e la funzione δ, che a ogni mondo w del modelloassocia un sottoinsieme degli individui del dominio.

I Da un punto di vista intuitivo, possiamo pensare agli individuinell’insieme associato a un mondo w come gli individui cheesistono in w .

I Si noti che, secondo la definizione, il dominio di un mondopuo essere l’insieme vuoto (essendo l’insieme vuoto unsottoinsieme di qualunque insieme).

I Notate che la denotazione delle constanti individuali epredicative in un modello di LQS5f e definita come per LQS5:un costante individuale denota un individuo in D, e unacostante predicativa denota a un mondo un sottoinsieme di D(non necessariamente di δ(w)).


c -varianti per domini variabili

I Per far sı che i quantificatori quantifichino sul dominioassociato a un mondo, dobbiamo modificare la definizione di c-variante di un modello.

I La nozione di c -variante di un modello e ora definita cosı:

• una c -variante di un modello M relativa a un mondo w in We un modello M’ uguale M eccetto per il fatto che in M’ lafunzione interpretazione assegna alla costante c un individuoin δ(w).

• (Se la funzione interpretazione di M assegna gia a c unindividuo in δ(w), allora M stesso e una c -variante di Mrelativamente a w).


Denotazione delle frasi di LQS5f e validita

I La definizione di denotazione di una frase di LQS5f e la stessaassunta per LQS5, eccetto per le formule quantificate, la cuidenotazione e ora specificata cosı:

10. [[∀v ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ(c/v )]]M′,w = 1 per ogni c -variante M′

di M relativa a w ; altrimenti [[∀v ϕ]]M,w = 0;

11. [[∃v ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ(c/v )]]M′,w = 1 per qualche c -varianteM′ di M relativa a w ; altrimenti [[∃v ϕ]]M,w = 0.

I La definizione di validita e la stessa di LQS5.


Logica libera

I Nel linguaggio predicativo LQ, la formula seguente e valida:

(8) ∃x x = a

I In LQS5 la formula seguente e valida:

(9) 2∃x x = a

I In LQS5f , tuttavia, i quantificatori “∀” e “∃” quantificano sugliindividui che esistono a un mondo, mentre le costanti denotanoindividui che non sono necessariamente nel dominio del mondo sucui il quantificatore quantifica. Dunque, (9) non e valida in LQS5f ,in quanto potrebbe esserci un mondo tale che l’individuo denotatodalla costante a non esiste in quel mondo.

I Le regole di deduzione naturale di LQS5f devono pertanto riflettereil fatto che, dato un mondo w , una costante puo denotare unindividuo che non esiste a w .

I Le logiche libere da questo impegno esistenziale sono dette “logichelibere”.


Deduzione naturale per LQS5f

I Introduciamo ora un sistema di deduzione naturale per illinguaggio LQS5f , che chiamiamo QS5f (NAT).

I Il sistema LQS5f (NAT) consiste in queste regole: tutte leregole di S5(NAT) + le regole specifiche di LQS5f + le regoledi introduzione ed eliminazione dell’identita di Q(NAT).


Regole di inferenza specifiche di LQS5f

[ϕ(c ) e un’istanza di ∀v ϕ(v ) e ∃v ϕ(v ).]


Regole di inscatolamento e cancellazione di LQS5f

C’e una sola regola di inscatolamento e cancellazione specifica diLQS5f :


Tableaux per LQS5f

I Per LQS5f introduciamo il sistema di tableaux QS5f (TAB).

I Le regole di QS5f (TAB) sono le le regole S5(TAB) + le regoleper l’identita di QS5(TAB) + le regole specifiche diQS5f (TAB).


Regole specifiche di QS5f (TAB)Le regole specifiche di QS5f (TAB) sono le seguenti:

[ϕ(c ) e un’istanza di ∀v ϕ(v ) e ∃v ϕ(v ).]


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