CARACAS, 02 DE MAYO DE 2011

LOGICA PROPOSICIONAL DE PRIMER ORDEN | CECILIA BELESACA

UNIVERSIDAD

NUEVA

ESPARTA LÓGICA SIMBÓLICA

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LÓGICA

Lógica es la pega que ata juntos método y

razonamiento. Aristóteles fue quien fundó la lógica y desarrollo

ampliamente la silogística. Posteriormente, los Estoicos

hicieron algunas aportaciones a la lógica, desarrollaron el

silogismo hipotético e iniciaron lo que se llama actualmente lógica proposicional.

Hacia la mitad del siglo XIX la lógica se transforma radicalmente en lógica matemática. Los lógicos de la

edad moderna como Remée, Arnauld, Nicole, Leibniz,

Euler y Lambert procuraron simplificar la lógica al máximo y su tratamiento se completo hasta principios

del siglo XX con Boole, De Morgan, Frege y Russell.

El propósito de la lógica es establecer un lenguaje simbólico artificial que se pueda utilizar para simplificar los argumentos lógicos complicados, el

problema central es establecer bajo qué condiciones un enunciado, llamado

conclusión, puede ser considerado como derivado de otros enunciados, llamados premisas.

Este es, precisamente, el esquema estructural de los denominados

razonamientos: un par ordenado ({pi};q), donde {pi}(i=1, 2, ...,n), es un conjunto de premisas y q la conclusión, de la cual se espera que derive de las

premisas.

Así pues, se puede decirse que "el estudio de la lógica es el estudio de los

métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del

incorrecto".

Para razonar bien, no es necesario haber estudiado lógica; en cambio,

aquél que lo haya hecho tiene mayor posibilidad de razonar correctamente que el

que no conozca los principios generales de esta actividad mental.

Además, es conveniente destacar que el método científico prefiere en la

búsqueda del conocimiento seguir el camino del razonamiento; por ello, todo aquél que elija adentrarse en el mundo de la ciencia sentirá que para avanzar

con alguna seguridad dentro de él, irá precisando ahondar sus conocimientos de

lógica, aplicables luego en todo su universo de estudio.

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EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Este razonamiento se mueve de lo general a lo

particular. Toma una premisa general y deduce

conclusiones particulares. Un argumento deductivo “válido” es aquel en el que la conclusión necesariamente

se deriva de la premisa, ejemplo: Todos los perros

tienen pulgas. Éste es un perro. Por lo tanto, este perro

tiene pulgas. Puede ser que la premisa no sea “verdadera” pero, no obstante, la forma del argumento

es “válida”, ejemplo: Si todos los perros tienen pulgas,

y si este es un perro, entonces necesariamente este perro tiene pulgas. Un argumento deductivo “válido”

contendrá algo en la conclusión totalmente nuevo e independiente de aquellas

cosas mencionadas en la premisa del argumento, ejemplo: Si todos los perros tienen pulgas, entonces mi perro debe tener garrapatas. Pero las garrapatas

no se mencionan en la premisa.

Algunas veces no es tan obvio que algo nuevo ha sido introducido en la conclusión, ejemplo: solamente el hombre es un ser racional. Por lo tanto,

ninguna mujer es un ser racional. Este argumento se equivoca en el significado

de “hombre.” En la premisa, la palabra “hombre” significa humanidad, incluyendo a la mujer. En la conclusión, la palabra “mujer” se usa para

designar aquella porción de la humanidad que es del género femenino,

distinguiéndola de la porción masculina llamada “hombre.” De manera que un nuevo concepto – una distinción de género – es introducido en la conclusión.

Todo en la conclusión de un argumento deductivo válido debe también estar

contenido en las premisas. Por lo tanto, todo razonamiento deductivo válido

realmente es, por naturaleza, un razonamiento circular o que “da por sentado aquello por lo cual pregunta.”

Eso no quiere decir que la conclusión no tenga valor ejemplo: Si Johnny conduce el autobús 96 minutos todas las mañanas y 96 minutos todas las

tardes, cinco días a la semana, y si Johnny duerme ocho horas cada día,

entonces Johnny pasa el equivalente de un día despierto (16 horas) en el

autobús cada semana. La conclusión está totalmente contenida en las premisas, pero la conclusión replantea esas premisas de una manera que hace

que entendamos más plenamente las consecuencias de conducir tanto el bus.

La verdad (o veracidad) de la conclusión de un argumento deductivo

depende de dos cosas: la condición de correcta (o validez) de la forma del

argumento, y la verdad (o veracidad) de la premisa. La validez de la forma está determinada por la aplicación de las reglas establecidas. Así que, la única

debilidad de un argumento deductivo es el verdadero valor (veracidad) de sus

premisas. Sus conclusiones son únicamente tan buenas como sus premisas. O,

para decirlo de otra manera, sus presuposiciones siempre determinarán sus conclusiones.

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EL RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Se mueve de lo Particular a lo general. Reúne observaciones particulares en forma de premisas, luego razona a partir de estas premisas particulares

hacia una conclusión general. La forma más común de razonamiento inductivo

es cuando recopilamos evidencia de algún fenómeno observado, ejemplo: examinar a 10,000 perros en busca de pulgas; luego derivamos una conclusión

general acerca de tal fenómeno basados en nuestra evidencia recopilada,

ejemplo: el si todos los perros tienen pulgas.

En un argumento inductivo, la conclusión va más allá de lo que las

premisas en realidad dicen. Por ejemplo, si observo 10,000 perros, y todos los

perros tienen pulgas, puede que concluya “Todos los perros deben tener pulgas.” La conclusión es una conjetura o una predicción. La evidencia

posterior puede que respalde o niegue mi conclusión. Puede que el perro

número 10,001 no tenga pulgas. Por lo tanto, con un argumento inductivo, cualquiera puede afirmar todas mis premisas – los 10,000 perros con pulgas, y

aún así negar mi conclusión (todos los perros tienen pulgas) sin involucrarse

en alguna contradicción lógica. Lo que digo en mi conclusión es posible, puede

que incluso parezca muy probable. Sin embargo, no es una conclusión necesaria. Si alguien dijera, “Algunos perros pueden tener pulgas, pero no creo

que todos los perros tengan pulgas,” no hay una respuesta lógica que yo

pueda hacer. La certeza lógica de mi conclusión depende

completamente de mi correcta

interpretación de la evidencia y de la consistencia de la

evidencia con el resto del

fenómeno que no fue

observado, que no es observado, o que puede que

nunca sea observado. Quizá yo

tenga pulgas, y que sin querer se las haya pasado 1 a cada

uno de los 10,000 perros, de

manera que los 10,000 perros

en realidad no tenían pulgas excepto cuando los examiné.

Tendría que examinar a todos

los perros en todas las ocasiones bajo condiciones

meticulosamente monitoreadas

para poder “comprobar” mi conclusión. Pero esto sería una

tarea poco práctica. Por lo

tanto, es poco probable que mi

conclusión vaya a ser comprobada alguna vez. Sin

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embargo, puede ser desmentida.

Encuentre un perro sin pulgas. Entonces se quedará con la conclusión a la que debí haber llegado y con la cual comenzar, “Algunos perros tienen

pulgas.” Quizá la mayoría de los perros, o casi todos los perros tengan pulgas. Pero todo lo que sé con seguridad es que algunos perros tienen pulgas.

Recuerde, un argumento inductivo concluye con más de lo que las premisas en

realidad justifican. Usamos el razonamiento inductivo todo el tiempo. Es muy útil. Pero debemos reconocer sus límites. La mayor parte del razonamiento

inductivo no se basa en la evidencia exhaustiva, y por lo tanto la forma es

incompleta. (10,000 perros no son todos los perros.)

A menos que la evidencia o las observaciones sean exhaustivas (que

examine todos los perros en busca de pulgas), la conclusión es solo una suposición. Puede que sea una buena suposición. La fuerza del argumento

inductivo aumenta a medida que se acerca a la condición de completo. Si la

evidencia que acepto representa todas las posibilidades en un todo, mi conclusión inductiva será correcta. Mientras más pueda demostrar que la

evidencia es verdaderamente representativa, más convincente será mi

conclusión. “10,000 perros de todas las edades y variedades escogidas al azar

de entre todos los países de la tierra fueron examinados bajo condiciones controladas, y todos ellos tenían pulgas. Por lo tanto, parece probable que

todos los perros tengan pulgas

PROPOSICIÓN

Es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez.

CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES

Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo

enunciado.

Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más

proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas

llamadas conectivos lógicos.

METALENGUAJE

Es el lenguaje que se usa para hablar de otro lenguaje, y el lenguaje del que se está hablando es el LENGUAJE OBJETO, en nuestro caso el lenguaje

objeto sería el español y nuestro metalenguaje es la lógica simbólica que se

basa en signos para interpretar de manera clara y sin ambigüedades ciertos

acontecimientos.

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SÍMBOLOS los símbolos que más se utilizan en la lógica simbólica son:

SIMBOLO TRADUCCIÓN

¬ Negación

/\ Conjunción

\/ Disyunción

\/ Disyunción exclusiva

→ Implicación

<=> Bicondicional o doble implicación

CLASIFICACION DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

La Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una proposición para

cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo “¬”.

La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos

proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se

representa con el siguiente símbolo: “/\”.

La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones

simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se representa de la manera

siguiente: “V”.

La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones

simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se representa así: “V”.

La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→“.

La proposición que aparece entre las palabras ”Si y Entonces”, se denomina

antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se

le llama consecuente o conclusión.

La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa

así:”<=>”

VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS

La Negación: si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su

negación es falsa y viceversa. Ejemplo: si P es: “Constanza es un municipio de

la Vega”, ¬ P se leerá: “no es cierto que Constanza es un municipio de la

Vega”.

La Conjunción: esta proposición solo es verdadera cuando las dos

proposiciones que la forman son verdaderas, y en los demás casos será falsa.

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La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos

proposiciones que la forman son falsa, en caso contrario es verdadera.

La Disyunción Exclusiva: esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones

que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es

falsa.

La Condicional o Implicación: una condicional solo es falsa cuando su

antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en lo demás casos la

condicional es verdadera.

La Bicondicional o Doble Implicación: esta solo es verdadera cuando las dos

proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas.

En caso contrario la Bicondicional es falsa.

TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS

Negación:

p ¬p

V F

F V

Conjunción:

p q p /\ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disyunción Inclusiva:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

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Disyunción Exclusiva:

p q p v q

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional o Implicación:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional o Doble Implicación:

p q p <=> q

V V V

V F F

F V F

F F V

TAUTOLOGÍA

Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica

cuando es verdadera siempre, independientemente de los valores de verdad de

las proposiciones simples que la forman. Ejemplo:

p q p v q p→( p v q)

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

CONTRADICCIÓN

La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa

independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la

formen. Ejemplo:

p ¬p p /\ q

V F F

F V F

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CONTINGENCIA

La contingencia: es la combinación de la tautología y la contradicción. Ejemplo:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

EJEMPLOS DE TABLAS DE VERDAD CON TRES PROPOSICIONES

p q r p \/ q (p \/ q) /\ r

V V V V V

V V F V F

V F V V V

V F F V F

F V V V V

F V F V F

F F V F F

F F F F F

p q r p /\ q (p /\q) → r

V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

REGLA DE LA INFERENCIA

Primero que todo inferir es deducir, y deducir es obtener conclusiones a

partir de unas premisas. El cálculo inferencial tiene como finalidad facilitar el

análisis de argumentos mediante el lenguaje simbólico y las “Reglas de la

Inferencia”.

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de

razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de

las variables que contienen. A esos argumentos se les llaman reglas de

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inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o

hipótesis en una demostración.

LEYES LÓGICAS

Son todas aquellas proposiciones tautológicas, es decir, son

simplemente verdaderas como los axiomas.

MÉTODOS DE PRUEBA

Los métodos de prueba utilizados para comprobar la veracidad de

proposiciones con implicaciones son:

Deducción: para probar que p→q se asume que p es cierta, es decir, que

es una tautología y se procede a probar q.

Análisis por casos: cuando se tienen proposiciones con disyunciones o con algunas reducibles a disyunciones se procede a agrupar y a probar

estos grupos, (p V q V r) A (p =' s) A (q = s) A (r => s) => s Implicación Mutua: para probar que p→q se procede a probar que q→p y

que p→q.

Contradicción: para probar p se procede a probar ¬p s falso. Contrapositivo: para probar que p→q se procede a probar que ¬p→¬q

es cierto.

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AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA LÓGICA

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BIBLIOGRAFIA

* www.wikipedia.com

* D. Gries, F. Schneider. “A Logical Approach to Discrete Math”.

Springer 1993