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Lógica
Cálculo Proposicional
Introdução
2
�� �� �Lógica - Definição
Formalização de alguma linguagem� Sintaxe
Especificação precisa das expressões legais
� SemânticaSignificado das expressões
� DeduçãoProvê regras que preservam a semântica
3
�� �� �Cálculo Proposicional - CP
� Cálculo Proposicional ≡ Lógica Proposicional
� Apenas enunciados declarativos são permitidos
� Excluídas sentenças exclamativas, imperativas e interrogativas
4
�� �� �Termo
É usado para designar objetos
Exemplos:� Paula
� Um filme de terror
� Triângulo retângulo
5
�� �� �Proposição
É uma sentença declarativa que pode assumir os valores verdade (v) ou falso (f)
Exemplos:� Todo homem é mortal� Meu carro é um fusca� Está chovendo
6
�� �� �Proposição Atômica
Sentença que não contém conectivos(e, ou, se...então, ...)
� Todo homem é mortal.� Meu carro é um fusca.� Está chovendo.
7
�� �� �Proposição Composta
Sentença que contém um ou mais conectivos (e, ou, se...então, ...)
� Se Maria estuda então fará bons exames.� Ele come e dorme.� Pedro dança ou canta.
8
�� �� �Proposição - Cuidado!
� A expressão:
A distância entre Paraty e Ubatuba
não é uma sentença pois não possui valorverdade verdadeiro (v) ou falso (f).
9
�� �� �Conceitos Adicionais
� Proposição atômica ≡ átomo� Proposições atômicas são designadas por
letras latinas minúsculas (p, q, r, ...)� Literal é um átomo ou a negação de um
átomo� Conectivos ou Juntores: permitem a
construção de proposições compostas
10
�� �� �Conectivos
Conectivos ou Juntores:� e ∧� ou ∨� não ¬� condicional →� bicondicional ⇔
11
�� �� �Conectivo: e (∧)
� A partir de duas proposições, obtém-se uma terceira denominada conjunção:
� Exemplo:(p) Maria estuda o problema.(q) José vai pescar.
Conjunção de (p) e (q): p ∧ qMaria estuda o problema e José vai pescar.
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�� �� �Conectivo: ou (∨)
� A partir de duas proposições, obtém-se uma terceira denominada disjunção:
� Exemplo:(p) Maria estuda o problema.(q) José vai pescar.
Disjunção de (p) e (q): p ∨ qMaria estuda o problema ou José vai pescar.
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�� �� �Conectivo: não (¬)
� Nega o valor-verdade de uma proposição
� Exemplo:(p) Maria estuda o problema.
Negação de (p): ¬pnão (Maria estuda o problema).
14
�� �� �Conectivo: condicional (→)
� Conectivo condicional lido como se...então� A partir de duas proposições, obtém-se uma
terceira denominada condicional ou implicação
� Proposição à esquerda de → denomina-se premissa ou antecedente
� Proposição à direita de → denomina-se conclusão ou conseqüente
15
�� �� �Conectivo: condicional (→)
� Exemplo:(p) Eu como muito.(q) Eu engordo.
Condicional de (p) e (q): p → qSe eu como muito então eu engordo.
16
�� �� �Conectivo: bicondicional (⇔)
� Conectivo bicondicional lido como se e somente se
� A partir de duas proposições, obtém-se uma terceira denominada bicondicional
17
�� �� �Conectivo: bicondicional (⇔)
� Exemplo:(p) Um triângulo é retângulo(q) Um triângulo tem um ângulo reto.
Bicondicional de (p) e (q): p ⇔ qUm triângulo é retângulo se e somente se tem
um ângulo reto.
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�� �� �Semântica dos Conectivos
p q p∧q p∨q ¬p p→q p⇔q
v v v v f v v
v f f v f f f
f v f v v v f
f f f f v v v
19
�� �� �Fórmulas Bem Formadas (wff)
� Fórmulas construídas através dacombinaçao válida de símbolos
� Fórmulas Bem Formadas = Well FormedFormula = wff
� Para representar wff são usadasmetavariáveis proposicionais representadas pelas letras α, β, γ, etc
� Cada expressão envolvendo α, β, γ, etc échamada de forma sentencial
20
�� �� �Definição wff
1. um átomo é uma wff2. se α e β são wff, então são também wff:
wff lê-se¬α não αα ∧ β α e βα ∨ β α ou βα → β se α então βα ⇔ β α se e somente se β
3. As únicas wff são definidas por (1) e (2).
21
�� �� �Prioridade dos Conectivos (1 de 2)
¬∧∨→⇔
22
�� �� �Prioridade dos Conectivos (1 de 2)
¬∧∨→⇔
maior prioridade
menor prioridade
23
�� �� �Prioridade dos Conectivos (2 de 2)
� Exemplos:α → β ∨ γ significa α → (β ∨ γ)α ∨ β ∧ γ significa α ∨ (β ∧ γ)α → β ∧ ¬γ ∨ δ significa α → ((β ∧ (¬γ)) ∨ δ)
� A precedência pode ser alterada pelo uso de parênteses.
24
�� �� �Variações de Notação
Item Adotada Outras� e p∧q p&q p.q p,q � ou p∨q p|q p+q p;q� não ¬p ~p p� condicional p→q p⇒q p⊃q q←p� bicondicional p⇔q p↔q p≡q
25
�� �� �Semântica do CP
� Consiste na interpretação de suas fórmulas, ou seja, atribuição dos valores-verdade (v ou f) às formulas atômicas, por exemplo:
(p v q) → (p ∧ q)
� Como a fórmula possui 2 componentes atômicos ela admite 22 interpretações. Para uma fórmula de n componentes tem-se 2n
interpretações .
26
�� �� �Validade e Inconsistência (1 de 5)
� Se uma fórmula β tem valor v numa interpretação I, então β é verdadeira na interpretação I.
Ex: p q p ∧ qI1. v v vI2. v f fI3. f v fI4. f f f
(p ∧ q) é verdadeira na interpretação I1
27
�� �� �Validade e Inconsistência (2 de 5)
� Se uma fórmula β é verdadeira segundo alguma interpretação, então β é satisfatível(ou consistente).
Ex: p q p ∧ qI1. v v vI2. v f fI3. f v fI4. f f f
(p ∧ q) é satisfatível
28
�� �� �Validade e Inconsistência (3 de 5)
� Uma fórmula β é válida (tautologia) quando for verdadeira em todas suas interpretações
Ex: p ∨ ¬p
29
�� �� �Validade e Inconsistência (4 de 5)
� Se uma fórmula β tem valor f numa interpretação I, então β é falsa na interpretação I.
Ex: p q p ∧ qI1. v v vI2. v f fI3. f v fI4. f f f
(p ∧ q) é falsa nas interpretações I2, I3 e I4.
30
�� �� �Validade e Inconsistência (5 de 5)
� Uma fórmula β é insatisfatível (ou inconsistente ou contradição) quando for falsa segundo qualquer interpretação I.
Ex: p ∧ ¬p� Uma fórmula β é inválida quando for falsa
segundo alguma interpretação I.Ex: p ∧ q� Fórmulas que não são tautologias nem
contradições são chamadas contingentes.
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�� �� �Exercícios
� Provar usando tabela verdade que:
1. (p ∧ ¬p) é inconsistente e portanto inválida.2. (p ∨ ¬p)é valida e portanto consistente.3. (p → ¬p)é inválida, ainda que consistente.
32
�� �� �Conseqüência Lógica (1 de 2)
� Sejam α, β1, β2, ..., βn wff. Diz-se que α éconseqüência lógica de β1, β2, ..., βn se, e somente se, para qualquer interpretação em que β1, β2, ..., βn forem simultaneamente verdadeiras, α é também verdadeira.
� Se α é conseqüência lógica de β1, β2, ... βn,, diz-se que α segue-se logicamente de β1, β2, ... βn,.
Notação: β1, β2, ..., βn � α
33
�� �� �Conseqüência Lógica (2 de 2)
� Teorema 2.7.1: α é conseqüência lógica de β1, β2, ..., βn se e somente se:
β1 ∧ β2 ∧ ... ∧ βn → α é uma tautologia
� Teorema 2.7.2: α é conseqüência lógica de β1, β2, ..., βn se e somente se:
β1 ∧ β2 ∧ ... ∧ βn ∧ ¬α é uma contradição
34
�� �� �Equivalência Lógica
� Uma fórmula α é logicamente equivalente (≡) a uma fórmula β quando α for conseqüência lógica de β e β for conseqüência lógica de α:
α≡β se e somente se α⇔β é uma tautologia
35
�� �� �Exercício
� Provar que (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q) p q p→q ¬p∨q (p→q)⇔(¬p∨q)
v v v v v
v f f f v
f v v v v
f f v v v
36
�� �� �Argumento
� Argumento é uma sequência α1, α2, ..., αn(n ≥1) de proposições, onde:αi (1 ≤ i ≤ n-1) são chamadas premissas eαn denomina-se conclusão.
� Notação:α1, α2, ..., αn-1 � αn.
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�� �� �Argumento Válido (1 de 2)
� Um argumento α1, α2, ..., αn-1 � αn é válidose e somente se:α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn-1 → αn for uma tautologia
ou equivalentemente,
α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn-1 � αn
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�� �� �Argumento Válido (2 de 2)
Um argumento válido pode ser lido como:
� α1, α2, ..., αn-1 acarretam αn ou� αn decorre de α1, α2, ..., αn-1 ou� αn é conseqüência lógica de α1, α2, ..., αn-1
� Para n=1, o argumento é valido se e somente se α1 for tautológica
39
�� �� �Princípio da Substituição (1 de 2)
� Subfórmulas: dada a fórmula
α: (p → q) ⇔ r, entãop → q, p, q, r, são as subfórmulas de α.
� O princípio afirma que uma subfórmula de uma fórmula α, ou toda a fórmula α, pode ser substituída por uma fórmula equivalente e que a fórmula resultante é equivalente a α.
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�� �� �Princípio da Substituição (2 de 2)
� Exemplo: pelo princípio da substituição, a fórmula
α: (p v q) ∧ (p v r)
é equivalente a:
ϒ: (¬p → q) ∧ (¬p → r).
41
�� �� �Propriedades (1 de 5)
� Existem várias propriedades da negação, conjunção e disjunção.
� Estas propriedades podem ser verificadas como equivalências lógicas.
� Para demonstrar cada uma, basta utilizar as tabelas-verdade, constatando a tautologia.
42
�� �� �Propriedades (2 de 5)
� Propriedades da Conjunção
associativa α ∧ (β ∧ϒ) ≡ (α ∧ β) ∧ ϒcomutativa α ∧ β ≡ β ∧ αidempotente α ∧ α ≡ αpropriedadede v(erdade)
α ∧ v ≡ α
propriedadede f(also)
α ∧ f ≡ f
43
�� �� �Propriedades (3 de 5)
� Propriedades da Disjunção
comutativa α v β ≡ β v α associativa α v (β v ϒ) ≡ (α v β) v ϒidempotente α v α ≡ αpropriedadede v(erdade)
α v v ≡ v
propriedadede f(also)
α v f ≡ α
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�� �� �Propriedades (4 de 5)
� Distributivasα ∧ (β ∨ ϒ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ ϒ)α ∨ (β ∧ ϒ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ ϒ)
� Negação¬ (¬α) ≡ α
� Absorçãoα ∨ (α ∧ β) ≡ αα ∧ (α ∨ β) ≡ α
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�� �� �Propriedades (5 de 5)
� De Morgan¬ (α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β¬ (α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β
� Equivalência da Implicaçãoα → β ≡ ¬α ∨ β
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�� �� �
Fórmulas Proposicionais Equivalentes (1 de 2)
Nome da Regra Regramodus ponens α, α → β |= βmodus tollens α → β, ¬β |= ¬α
silogismo hipotético(ou regra da cadeia)
α → β, β → γ |= α → γ
silogismo disjuntivo α ∨ β, ¬α |= βdilema construtivo α → β, γ → δ, α ∨ γ |= β ∨ δdilema destrutivo α → β, γ → δ, ¬β ∨ ¬γ |= ¬α ∨ ¬γ
simplificação α ∧ β |= αconjunção α, β |= α ∧ β
adição α |= α ∨ βcontraposição α → β |= ¬β → ¬α
exportação α → (β → γ) |= (α ∧ β) → γimportação (α ∧ β) → γ |= α → (β → γ)
47
�� �� �
Fórmulas Proposicionais Equivalentes (2 de 2)
� Exemplo da forma de leitura modus ponens:
α, α→ β � β
caso α seja verdadee α→ β seja verdade,obrigatoriamente β será verdade.
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�� �� �
Verificação de Validade de Argumentos (1 de 2)
� Sejam α1, α2, ..., αn, β fórmulas do CálculoProposicional. Uma sequência finita de proposições C1, C2, ..., Cκ é uma prova ou dedução de β, a partir das premissas α1, α2, ..., αn , se e somente se:
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�� �� �
Verificação de Validade de Argumentos (2 de 2)
cada Cι é uma premissa αj (1 ≥ j ≥ n), ouCι provém das fórmulas precedentes, pelo uso de um argumento válido das regras de inferência, ouCι provém do uso do princípio de substituição numa fórmula anterior, ouCκ é β
� Diz-se então que β é dedutível de α1, α2, ..., αn ou que β é um teorema.
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�� �� �Exemplo (1 de 3)
Se as uvas caem, então a raposa as come.
Se a raposa as come, então estão maduras.
As uvas estão verdes ou caem.
Logo,
A raposa come as uvas se e só se as uvas caem.
51
�� �� �Exemplo (2 de 3)
Se as uvas caem, então a raposa as come. (C1)
Se a raposa as come, então estão maduras. (C2)
As uvas estão verdes ou caem. (C3)
Logo,
A raposa come as uvas se e só se as uvas caem.
p: as uvas caem Premissas:
q: a raposa come as uvas C1: p → q
r: as uvas estão maduras C2: q → r
(¬r: as uvas estão verdes) C3: ¬r ∨ p
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�� �� �Exemplo (3 de 3)
Premissas:
C1: p → q Provar que:
C2: q → r p → q, q → r, ¬r ∨ p |= p ↔ q
C3: ¬r ∨ p
Deduz-se que:
C4: r → p (C3: equivalência)
C5: q → p (C2 + C4: regra da cadeia)
C6: p → q ∧ q → p (C1 + C5: conjunção)
C7: p ↔ q (C6: equivalência)