Logik f¨ur Informatiker - userpagessofronie/logik-ss-2012/...Das SAT-Problem (Erfullbarkeitsproblem)¨ Deﬁnition: SAT-Problem Gegeben: Eine aussagenlogische Formel F Frage: Ist

Logik fur Informatiker

2. Aussagenlogik

Teil 5

8.05.2012

Viorica Sofronie-Stokkermans

Universitat Koblenz-Landau

e-mail: [email protected]

1

Bis jetzt

• Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge aller Formeln

− Strukturelle Induktion (Induktion uber Formelaufbau)

• Semantik der Aussagenlogik: Wahrheit einer Formel in einem Modell

• Erfullbarkeitstests:

− Wahrheitstafelmethode

− Logische Umformung (Aquivalenzumformung)

2

Bis jetzt

Unser Ziel

Kalkul(e) zur systematischen Uberprufung von Erfullbarkeit

(fur Formeln und/oder Formelmengen)

Dazu brauchen wir “Normalformen”

3

Bis jetzt

Unser Ziel

Kalkul(e) zur systematischen Uberprufung von Erfullbarkeit

(fur Formeln und/oder Formelmengen)

Dazu brauchen wir “Normalformen”

• Atom/Literal/Klausel

• Konjunktive Normalform (KNF):

Konjunktion von Disjunktionen von Literalen,

d.h., eine Konjunktion von Klauseln

• Disjunktive Normalform (DNF):

Eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen.

4

Bis jetzt

Eigenschaften:

• Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es:

- eine aquivalente Formel in KNF

- eine aquivalente Formel in DNF

• Diese aquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig

• DNF (KNF) konnen aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden

• KNF/DNF konnen durch Umformungen hergestellt werden

5

Umformung in KNF

Vier Schritte:

1. Elimination von ↔

Verwende A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)

2. Elimination von →

Verwende A → B ≡ (¬A ∨ B)

3. “Nach innen schieben” von ¬

Verwende de Morgans Regeln und ¬¬A ≡ A

4. “Nach innen schieben” von ∨

Verwende Distributivitat von ∨ uber ∧

A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

6

Umformung in DNF

Vier Schritte:

1. Elimination von ↔

Verwende A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)

2. Elimination von →

Verwende A → B ≡ (¬A ∨ B)

3. “Nach innen schieben” von ¬

Verwende de Morgans Regeln und ¬¬A ≡ A

4. “Nach innen schieben” von ∨

Verwende Distributivitat von ∧ uber ∨

A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

7

Beispiel zur exponentiellen Lange der KNF

Gegeben:

An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)

Zu An aquivalente KNF^

f :{1,...,n}→{1,2}

(P1,f (1) ∨ · · · ∨ Pn,f (n))

Große der KNF:

• Klausel in KNF von An: 2n

Beweis: Induktion

8


Gegeben:

An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)

n = 1 : A1 = P11∧P12 Lange: 2 = 21

9


Gegeben:

An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)

n = 1 : A1 = P11∧P12 Lange: 2 = 21

n = 2 : A2 = (P11∧P12)∨(P21∧P22)

≡ ((P11∧P12)∨P21)∧((P11∧P12)∨P22)

≡ (P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22) Lange: 2 · 2 = 22

10


Gegeben:

An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)

n = 1 : A1 = P11∧P12 Lange: 2 = 21

n = 2 : A2 = (P11∧P12)∨(P21∧P22)

≡ ((P11∧P12)∨P21)∧((P11∧P12)∨P22)

≡ (P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22) Lange: 2 · 2 = 22

n = 3 : A3 = (P11∧P12)∨(P21∧P22)| {z }

A2

∨(P31∧P32)

≡ ((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))| {z }

KNF (A2)

∨(P31∧P32)

11


Gegeben:

An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)

n = 1 : A1 = P11∧P12 Lange: 2 = 21

n = 2 : A2 = (P11∧P12)∨(P21∧P22)

≡ ((P11∧P12)∨P21)∧((P11∧P12)∨P22)

≡ (P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22) Lange: 2 · 2 = 22

n = 3 : A3 = (P11∧P12)∨(P21∧P22)| {z }

A2

∨(P31∧P32)

≡ ((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))| {z }

KNF (A2)

∨(P31∧P32)

≡ (((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))∨P31)∧

(((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))∨P32)

12


Gegeben:

An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)

n = 1 : A1 = P11∧P12 Lange: 21

n = 2 : A2 = (P11∧P12)∨(P21∧P22)

≡ ((P11∧P12)∨P21)∧((P11∧P12)∨P22)

≡ (P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22) Lange: 22

n = 3 : A3 = (P11∧P12)∨(P21∧P22)| {z }

A2

∨(P31∧P32)

≡ ((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))| {z }

KNF (A2)

∨(P31∧P32)

≡ (((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))∨P31)∧

(((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))∨P32)

≡ (((P11∨P21∨P31)∧(P12∨P21∨P31)∧(P11∨P22∨P31)∧(P12∨P22∨P31)∧

(((P11∨P21∨P32)∧(P12∨P21∨P32)∧(P11∨P22∨P32)∧(P12∨P22∨P32) Lange: 23

13


Gegeben: An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)


Beweis durch Induktion

Induktionsbasis: n = 1 : A1 in KNF, 21 Klausel.

14





Induktionsvoraussetzung: KNF von An hat 2n Klausel

KNF (An) = C1 ∧ · · · ∧ C2n , Ci = (Li1 ∨ · · · ∨ Li

ni) Klausel

Induktionsschritt: Zu zeigen: KNF von An+1 hat 2n+1 Klausel

An+1 = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2) ∨ (P(n+1),1 ∧ P(n+1),2)≡ ((P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)

| {z }

An

) ∨ (P(n+1),1 ∧ P(n+1),2)

≡ (C1 ∧ · · · ∧ C2n )| {z }

KNF (An)

∨ (P(n+1),1 ∧ P(n+1),2)

≡ ((C1 ∧ · · · ∧ C2n ) ∨ P(n+1),1) ∧ ((C1 ∧ · · · ∧ C2n ) ∨ P(n+1),2)≡ (C1 ∨ P(n+1),1) ∧ · · · ∧ (C2n ∨ P(n+1),1) ∧ (C1 ∨ P(n+1),2) ∧ · · · ∧ (C2n ∨ P(n+1),2)

15





Induktionsvoraussetzung: KNF von An hat 2n Klausel

KNF (An) = C1 ∧ · · · ∧ C2n , Ci = (Li1 ∨ · · · ∨ Li

ni) Klausel

Induktionsschritt: Zu zeigen: KNF von An+1 hat 2n+1 Klausel

An+1 = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2) ∨ (P(n+1),1 ∧ P(n+1),2)≡ ((P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)

| {z }

An

) ∨ (P(n+1),1 ∧ P(n+1),2)

≡ (C1 ∧ · · · ∧ C2n )| {z }

KNF (An)

∨ (P(n+1),1 ∧ P(n+1),2)

≡ ((C1 ∧ · · · ∧ C2n ) ∨ P(n+1),1) ∧ ((C1 ∧ · · · ∧ C2n ) ∨ P(n+1),2)≡ (C1 ∨ P(n+1),1) ∧ · · · ∧ (C2n ∨ P(n+1),1)

| {z }

2n

∧ (C1 ∨ P(n+1),2) ∧ · · · ∧ (C2n ∨ P(n+1),2)| {z }

2n

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KNF: Mengenschreibweise

Notation:

Klausel als Menge von Literalen

Formel in KNF als Menge von Klauseln

17


Notation:

Klausel als Menge von Literalen

Formel in KNF als Menge von Klauseln

Beispiel:

(P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ Q ∨ ¬R) ∧ (¬P ∨ Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ ¬Q ∨ R)

{ {P,Q,R}, {P, Q,¬R}, {¬P, Q,R}, {¬P,¬Q,R} }

18


Bedeutung der leeren Menge

• Leere Klausel

= leere Menge von Literalen

= leere Disjunktion

= ⊥

19


Bedeutung der leeren Menge

• Leere Klausel

= leere Menge von Literalen

= leere Disjunktion

= ⊥

• Leere Menge von Klauseln

= leere Konjunktion

= ⊤

20

Vereinfachung der KNF: Subsumption

Theorem (Subsumption Regel)

Enthalt eine KNF-Formel (= Klauselmenge) Klauseln K ,K ′ mit

K ⊂ K ′

dann entsteht eine aquivalente Formel, wenn K ′ weggelassen wird.

Beweis:

K = {L1, . . . , Lp} ⊆ {L1, . . . , Lp , Lp+1, . . . , Lm} = K ′

F enthalt K ∧ K ′

K ∧ K ′ = (L1 ∨ · · · ∨ Lp) ∧ ((L1 ∨ · · · ∨ Lp) ∨ Lp+1 ∨ . . . Lm)

≡ (L1 ∨ · · · ∨ Lp) = K (Absorption)

21

Das SAT-Problem (Erfullbarkeitsproblem)

Definition: SAT-Problem

Gegeben: Eine aussagenlogische Formel F

Frage: Ist F erfullbar?

22





NB: F allgemeingultig gdw. ¬F nicht erfullbar

23






Erfullbarkeitsproblem fur DNF Formeln

Sei F =Wn

i=1(Vm

j=1 Lij ) in DNF

F unerfullbar gdw. (Vm

j=1 Lij ) unerfullbar fur alle i = 1, . . . , n

gdw. (Vm

j=1 Lij ) enthalt zwei komplementare Literale fur alle i

24






Erfullbarkeitsproblem fur DNF Formeln

Sei F =Wn

i=1(Vm

j=1 Lij ) in DNF

F unerfullbar gdw. (Vm

j=1 Lij ) unerfullbar fur alle i = 1, . . . , n

gdw. (Vm

j=1 Lij ) enthalt zwei komplementare Literale fur alle i

Allgemeingultigkeit fur DNF Formeln

F in KNF allgemeingultig gdw. jede Disjunktion zwei komplementare

Literale enthalt.

25





Theorem (ohne Beweis)

SAT ist ein NP-vollstandiges Problem

26

NP

Zur Erinnerung:

• P ist die Klasse aller Probleme, die in polynomieller Zeit entscheidbar

sind.

27

NP

Zur Erinnerung:


sind.

• NP ist die Klasse aller Probleme, die nichtdeterministisch in

polynomieller Zeit entscheidbar sind.

28

NP

Zur Erinnerung:


sind.



Ein Entscheidungsproblem ist genau dann in NP, wenn eine gegebene

Losung fur das entsprechende Suchproblem in Polynomialzeit uberpruft

werden kann.

29

NP

Zur Erinnerung:


sind.



Ein Entscheidungsproblem ist genau dann in NP, wenn eine gegebene

Losung fur das entsprechende Suchproblem in Polynomialzeit uberpruft

werden kann.

SAT ist in NP:

• Rate eine “Losung” (Interpretation A mit A(F ) = 1)

• Uberprufe, ob A wirklich eine “Losung” ist (i.e. ob A(F ) = 1)

kann in Polynomialzeit uberpruft werden

30

NP-Vollstandigkeit

Zur Erinnerung:

“SAT ist NP-vollstandig” heißt:

• SAT ist nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbar

31

NP-Vollstandigkeit

Zur Erinnerung:



• Jedes nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbare Problem

kann in polynomieller Zeit auf SAT reduziert werden

32

NP-Vollstandigkeit

Zur Erinnerung:



• Jedes nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbare Problem

kann in polynomieller Zeit auf SAT reduziert werden

• Wenn es stimmt, dass NP 6= P, dann ist SAT nicht in polynomieller

Zeit entscheidbar

33

Teilklassen des Erfullbarkeitsproblems

Definition:

k-KNF Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln hochstens k Literale haben

34


Definition:


Theorem

• Erfullbarkeit fur Formeln in KNF: NP-vollstandig (ohne Beweis)

35


Definition:


Theorem


• Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF: NP-vollstandig (Beweisidee)

36


Definition:


Theorem


• Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF: NP-vollstandig (Beweisidee)

• Erfullbarkeit fur Formeln in 2-KNF: polynomiell entscheidbar

• Erfullbarkeit fur Formeln in DNF: polynomiell entscheidbar

37

Horn-Formeln

Defintion:

Horn-Formel: Formel in KNF, in der jede Klausel hochstens ein positives

Literal enthalt

38

Horn-Formeln

Defintion:


Literal enthalt

Notation: als Implikation

¬P1 ∨ · · · ∨ ¬Pn ∨ P P1 ∧ · · · ∧ Pn → P

¬P1 ∨ · · · ∨ ¬Pn PA ∧ · · · ∧ Pn →

P → P

39

Horn-Formeln

Defintion:


Literal enthalt

Notation: als Implikation

¬P1 ∨ · · · ∨ ¬Pn ∨ P P1 ∧ · · · ∧ Pn → P

¬P1 ∨ · · · ∨ ¬Pn PA ∧ · · · ∧ Pn →

P → P

P1 ∧ · · · ∧ Pn : Rumpf

P: Kopf

40

Horn Formel: Beispiele

Klausel Literalmengen Implikationen

41



¬P {¬P} P →

42



¬P {¬P} P →

Q ∨ ¬R ∨ ¬S {Q,¬R,¬S} R ∧ S → Q

43



¬P {¬P} P →

Q ∨ ¬R ∨ ¬S {Q,¬R,¬S} R ∧ S → Q

¬Q ∨ ¬S {¬Q,¬S} Q ∧ S →

44



¬P {¬P} P →

Q ∨ ¬R ∨ ¬S {Q,¬R,¬S} R ∧ S → Q

¬Q ∨ ¬S {¬Q,¬S} Q ∧ S →

R {R} → R

¬Q ∨ P {¬Q,P} Q → P

45



¬P {¬P} P →

Q ∨ ¬R ∨ ¬S {Q,¬R,¬S} R,S → Q

¬Q ∨ ¬S {¬Q,¬S} Q,S →

R {R} → R

¬Q ∨ P {¬Q,P} Q → P

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