Teorija odlučivanja i igara – osnovni pojmovi

Matematika relacija

Skup je kolekcija objekata, koje nazivamo elementima, ili članovima.

Primeri:

skup svih pasaskup studenata na ovom kursuskup koji obuhvata brojeve 1, 2 i 3

Za skupove ovobično koristimo velika latinična slova A, B, ..., S, ... Za elemente obično koristimo mala latinična slova a, b, c, ..., x, y, z‘a∈S’ znači da je objekat a element skupa S

Skupovi se standardno definišu na dva načina:

listanjem članova skupa navođenjem svojstva koje na jedinstven način

određuje elemente skupa

Primeri:

S1 = {1, 2, 3}S2 = {x : x je prirodni broj između 0 i 4}

Pored ova dva načina, postoji i neformalni način definisanja skupova crtanjem dijagrama:

1 S3

2 3

Jednakost skupova (princip ekstenzije):

Dva skupa su jednaka akko imaju iste elemente

Notacija: akko je skraćenica za ‘ako i samo ako’

Dakle, ‘akko’ sadrži dve implikacije. Primetite da je implikacija u principu jednakosti koja ide s leva na desno trivialna (ako su dva skupa jednaka, onda, naravno, imaju iste elemente) a u suprotnom smeru nije, već je stvar naše odluke.

Npr. implikacija s desna na levo nam kaže da je S1 = S2 = S3

S1 = {1, 2, 3}S2 = {x : x je prirodni broj između 0 i 4}

1 S3

2 3

Iz principa ekstenzije sledi:

{x, y} = {y, x}

Uređeni parovi:(x, y) ili <x, y>

(x, y) ≠ (y, x)

(x, y) = (x’, y’) akko važi i x = x’ i y = y’

Primer:

{(x, y) : x je prirodni broj između 0 i 4, y = x2} =

= {(1, 1), (2, 4), (3, 9)}

Poseban simbol za prazan skup: ∅

Kvantifikatori: ∀, ∃

univerzalni: ∀x(x ≥ 1)

(čita se: za svako x, x je veće ili jednako 1)

egzistencijalni: ∃y(y2 = 1)

(čita se: postoji y takvo da je y2 = 1)

Podskupovi:

S ⊆ S’ (S S je podskup skupa S’) akko ∀x(ako x∈S, onda x∈S’)

Pravi podskupovi:

S ⊂ S’ (S je pravi podskup skupa S’) akko S ⊆ S’ ali ne S’ ⊆ S

Sva poznata matematika može se izraziti teorijom skupova i logikomIsto važi za teoriju odlučivanja i igara.

Relacije

U matematici, nauci i običnom životu stalno su nam bitne neke relacije. Zato je korisno imati matematički jezik koji može da govori o relacijama

Primeri relacija:

x je veće od yx je bolje od yx voli yx uzrokuje y

Notacija:

Relacije obeležavamo velikim slovima latinice, npr. R,

R’.

Neke važne relacije imaju posebne simbole, npr. >, =.

xRy znači da su individue x i y (tim redom) u relaciji R

Definisanje relacija:

Koristićemo tri načina da definišemo pojedinačne relacije:

1. Navođenjem svih relavantnih objekata i svih primera u kojima relacija koju definišemo važi

Primeri:

Neka je S = {Uganda, Gvajana, Filipini, Uzbekistan, Taškent, Montevideo, Manila, Kampala} skup na kome definišemo relaciju R.

(Primetite da se relacije uvek definišu s obzirom na neki skup, kao što je i istina rečenica jezika prvog reda pojam relativan u odnosu na neki skup, tj. domen interpretacije)

Neka xRy znači ‘x je glavni grad y-a’

Onda se R definiše ovakvim spiskom:

Gvajana R DžordžtaunUganda R Kampala

Filipini R ManilaUzbekistan R Taškent

Neka je S’ = {1, 2, 3}

Onda se relacija ‘>’ definiše na skupu S’ ovako:

3 > 23 > 1 2 > 1

2. Opisom

xRy važi akko je x glavni grad y-a i x,y∈S

x > y akko je x veće od y i x,y∈S’

3. Slikom

Gvajana Džordžtaun

Uganda Kampala

Filipini Manila

Uzbekistan Taškent

Formalna definicija relacija:

Relacije su skupovi

Predikati su skupovi individuaBinarna relacija je skup uređenih parovaTernarna relacija je skup uređenih trojkin-arna relacija je skup uređenih n-torki

Relacije se, rekosmo, uvek definišu na nekom skupuTako je R iz gornjeg primera definisano na S, a > na S’

R = {(Gvajana, Džordžtaun), (Uganda, Kampala), (Filipini, Manila), (Uzbekistan, Taškent)}

> = {(3, 2), (3, 1), (2, 1)}

Svojstva relacija:

Relacija R na skupu S je:

refleksivna akko (∀x∈S) xRx(akko je svaki element iz S u relaciji R sa samim sobom)

simetrična akko (∀x,y∈S) ako xRy onda yRx

(akko za svaki elmenent x skupa S i svaki element y skupa S važi da ako je x u relaciji R sa y, onda je i y u relaciji R sa x)

tranzitivna akko (∀x,y,z∈S) ako xRy i yRz, onda xRz(akko za svaki element x, y i z skupa S važi da ako je x u relaciji R sa y i y u relaciji R sa z, onda je i x u relaciji R sa z)

totalna akko (∀x,y∈S) ili xRy ili yRx(akko za svaki elmenent x skupa S i svaki element y skupa S važi da je ili x u realciji R sa y, ili je y u relaciji R sa x)

Funkcije

Funkcije su relacije

Prema tome, funkcije su skupovi

Definicija:

Relacija F na skupu S je funkcija ako F preslikava svaki element skupa S na najviše jedan element skupa S, tj.

(∀x,y,z∈S) ako xFy i xFz, onda y = z

Notacija:

funkcije obeležavamo malim latiničnim slovima: f, g, u, p

Ako je f funkcija, obično pišemo f(x) = y umesto x f y Ako f(x) = y, onda x zovemo argumentom funkcije f,

a y zovemo vrednošću funkcije f za x.

Prmeri:

x je sin y-a je funkcijax je glavni grad y-a je funkcijax je roditelj y-a nije funkcija

Relacije preferencije i funkcije korisnosti

Teorija odlučivanja proučava relacije preferencije između datih opcija

Notacija:

Neka je O skup opcija među kojima se vrši izbor (ukusi sladoleda, akcije na berzi, loto kombinacije, strategije u ratu ili u igrama, itd itd).

1. x y znači da onaj ko vrši izbor preferira opciju x u odnosu na opciju y

2. x ~ y znači da je onaj ko vrši izbor indifirentan kada su opcije x i y u pitanju

3. x y znači da onaj ko vrši izbor ne preferira opciju y u odnosu na opciju x

je relacija striktne preferencije

je relacija slabe preferencije

~ je relacija indiferencije

Neke relacije preferencije su u isto vreme i rang-liste raspoloživih opcija. Rangiranje se može pretstaviti dodeljivanjem jednog broja svakoj opciji. Ako x y, onda se x-u dodeljuje veći broj nego y-u.

Primer:

Pretpostavimo da Mira ovako rangira sladolede: najviše voli od čokolade, zatim od vanile, pa od maline

korist(čokolada) = 3korist(vanila) = 2korist(malina) = 1

x y akko korist(x) > korist(y)

Pri dodeljivanju brojeva bitan je samo redosled:

korist2(čokolada) = 1000korist2(valina) = 2korist2(malina) = –123

x y akko korist2(x) > korist2(y)

Uzimamo relaciju slabe preferencije kao primitivni pojam

Jaka preferencija i indiferencija se onda definišu ovako:

x y akko x y i nije y xx ~ y akko x y i y x

Definicija funkcije korisnosti:

Funkcija korisnosti (u engleskoj literaturi ovaj pojam ćete naći pod imenom 'a score function or utility function’) k dodeljuje jedan broj svakoj opciji iz datogskupa O.Funkcija korisnosti k predstavlja relaciju preferencije na skupu opcija O samo u slučaju kada važi ekvivalencija:(∀x,y∈O) x y akko k(x) ≥ k(y)

Racionalne preferencije

Definicija:

Relacija slabe preferencije je racionalna akko je:

1. totalna

2. refleksivna

3. tranzitivna

Teorema 1:

Ako je relacija slabe preferencije racionalna, onda je

1. odgovarajuća relacija stroge preferencije tranzitivna2. odgovarajuća relacija indiferencije ~ refleksivna i

tranzitivna

Teorema 2

Kada je dat konačni skup opcija, postoji funkcija korisnosti koja predstavlja slabu relaciju preferencije samo u slučaju kada je racionalna.

Pumpanje novca (Money pumping)

Setite se gornjeg primera sa Mirom koja bira sladoled. Zamislite da njene preferecije nisu racionalne zato što nisu tranzitivne, na primer ovako:

čokolada vanila malina čokolada ...

(Da je Mirina relacija preferencije tranzitivna, onda bismo iz čokolada vanila malina mogli da zaključimo da Mira više voli čokoladu od maline, tj. čokolada malina. Ali iz gornje formule vidimo da važi obrnuto, tj. malina čokolada)

Miru bi zbog ovakvih preferencija mogla da se pretvori u ‘pumpu za novac’, tj. pri razmeni i trgovini sa sladoledima mogla bi da gubi novac koliko god ga imala. Objasnite kako?

Društveni izbor

Tabelom možemo predstaviti izbor i preferencije koje bi jedno društvo (u ovom slučaju skup pojedinaca koji demokratski, tj. glasanjem, donose odluke) imalo na osnovu preferencija svakog člana društva.

Primer:

Tri osobe donose odluku gde će na ručak

opcije

članovi društva

Vuk 0 -5 2

Proleće 10 7 8Kolarac 15 7 10

Na osnovu preferencija pojedinaca, izvodimo preferencije grupe, koja odlučuje većinom glasova:

Kolarac Í Proleće Í Vuk, iKolarac É Proleće É Vuk

Kondorseov (Condorcet) paradoks

opcije

članovi društva

Vuk 3 1 2

Proleće 2 3 1Kolarac 1 2 3

Pretpostavite da gornja matrica izražava preferencije svakog člana društva. Svaki član ima racionalne preferencije (zašto? pogledajte teoremu 2). Na osnovu tablice, preferencije društva su ovakve:

Vuk É Proleće É Kolarac É Vuk

Poenta Kondorseovog paradoksa: demokratskim glasanjem moguće je donositi iracionalne odluke iako su preferencije svakog glasača racionalne!