Logika I. - edux.fit.cvut.cz · PDF fileLogika I. RNDr. Kate rina Trlifajov a PhD. ... Aristotel es Z akladn z akony logiky z akon vylou cen sporu z akon vylou cen eho t ret ho z akon

Logika I.

RNDr. Katerina Trlifajova PhD.

Katedra teoreticke informatikyFakulta informacnıch technologiı

Ceske vysoke ucenı technicke v Prazec©Katerina Trlifajova, 2010

BI-MLO, ZS 2011/12

Evropsky socialnı fond.Praha & EU: Investujeme do vası budoucnosti

RNDr. Katerina Trlifajova PhD. (FIT CVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 36

Logika I.

Vyznam, historie, jazyk, formule

Formule vyrokove logiky. Pravdivostnı tabulky.

Tautologie, kontradikce, splnitelnost.


Literatura

Svejdar, V., Logika - neuplnost, slozitost a nutnost, Academia,Praha, 2002.

Sochor, A., Logika pro vsechny ochotne myslet, Karolinum, Praha,2011.

Demlova, M., Mathematical Logic, CVUT, Praha: KernbergPublishing, 2008

Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic, Chapman andHall, 1997.

Copi, I.M. Symbolic Logic, The Macmilian Company, London,1967.

Smullyan, R., Jak se jmenuje tahle knızka?, Naveky nerozhodnuto,Satan, Cantor a nekonecno, ...


Vyznam logiky

1 Spravne logicke usudky vprirozenem jazyce.

2 Zkoumanı logickych zakonu

3 Zkoumanı logickych systemu.


Jestlize jsem nemocny, mam horecku. Mam horecku. Jsem tedy nemocny.Ne.

Vsichni studenti jsou inteligentnı. Nekterı inteligentnı lide jsou podivıni.Plyne z toho, ze nekterı studenti jsou podivıni?Ne.

Jedina kniha, kterou jsem kdy cetl, je Pan prstenu. Co je opakem tohototvrzenı neboli co platı, jestlize lzu?Necetl jsem zadnou knihu,nebo jsem cetl jinou knihu,nebo jsem cetl jeste dalsı knihu.


1 Anticke Recko (6. - 3. stol. pr. Kr.)

2 Stredovek (11. - 13. stoletı)

3 Modernı logika (19. - 20. stoletı)

Tam take v Egypte byla poprve objevena dialektika. Parmenides sevyhybal mestum a lidem, stravil dlouhou dobu na skale aby promysleldialektiku . (Hugo ze St.Victor, 12. stol.)

Dialektika (dialegesthai = diskutovat)


Parmenides a Zenon

Parmenides - nenı mnohost, je jen jedno

Zenon - paradoxy

Je-li jsoucen mnoho, je nutno, aby jich bylo tolik, kolik jich jest, ani vıce,ani mene. A je-li jich tolik, kolik jich jest, byla by poctem omezena.

Je-li jsoucen mnoho, jsou poctem neomezena, nebot vzdy jsou mezijsoucny jina a mezi temi zas jina, a tak jsou poctem neomezena.

Je-li nemozno, aby byla mnohost, a je-li nutno, aby bylo bud jedno, nebomnohost, a nemuze-li byti mnohost, zbyva, ze je jedno.


Aristoteles

Zakladnı zakony logiky

zakon vyloucenı sporu

zakon vylouceneho tretıho

zakon identity


Aristotelske typy soudu

S je P.

Vsechna/nektera S jsou/nejsou P.

Kladne Zaporne

A EObecne Vsechna s jsou p. Zadna s nejsou p.

Vsechny kocky jsou selmy. Zadne kocky nejsou selmy.

I OCastecne Nektera s jsou p. Nektera s nejsou p.

Nektere kocky jsou selmy. Nektere kocky nejsou selmy.

Kontradikce: A a O, E a I.

Subsumpce: z A plyne I, z E plyne O.


Sylogistika

Ze dvou soudu (predpokladu) odvodıme tretı soud (zaver). Kdy je platny?Kazda kocka je selma.Kazda selma je zvıre.Tudız kazda kocka je zvıre. BARBARA.

Zadny clovek nenı zvıre.Nektere zvıre je selma.Tudız nektera selma nenı clovek. FRESISON.

Tudız nektery clovek nenı selma.


Megarska skola

Eubulides, Diodoros z Kronu, Filo z Megary (4. stol. B.C.)

Clovek o sobe rıka, ze lze. Mluvı pravdu nebo lze?

Clovek, ktery ma hlavu porostlou vlasy, nenı holohlavy. Vytrhneme-limu jeden vlas, nestane se holohlavym. Avsak pokracujeme-li v tomtoprocesu, holohlavym se casem stane.

Co jsi neztratil, to mas. Ale neztratil jsi rohy. Tedy je mas.

Tento clovek je svec. Tento clovek je dobry. Tudız tento clovek jedobry svec.


Stoicko-megarska skola

Zenon z Kitia, Chrysippos (4. - 3. stol. B.C.)

1 Jestlize prve, pak druhe, avsak prve, tudız druhe.

2 Jestlize prve, pak druhe, avsak ne druhe, tudız ne prve.

3 Ne zaroven prve a druhe, avsak prve, tudız ne druhe.

4 Bud jen prve, nebo jen druhe, ale prve, tudız ne druhe.

5 Bud jen prve, nebo jen druhe, ale ne druhe, tudız prve.


G.W.Leibniz (1646 - 1718)

Mathesis universalis.

Universalnı jazyk -characteristica universalis

Platna odvozovacı pravidla -calculus ratiocinator

Ariadnina nit: Calculemus!


B. Bolzano (1781 - 1848)

A1: Existuje alespon jednapravdiva veta.

An+1: Veta An je pravdiva.

Existuje nekonecne pravdivychvet.

Vedoslovı. O logice.


G. Frege (1848 - 1925)

Formalizace jazyka:spojky, kvantifikatory,promenne, relace

Axiomaticky system:6 axiomu + 1 odvozovacıpravidlo

Dukaz: posloupnost formulı.

Logicismus.

Begrifftschrift, Die Grundlagender Arithmetik.


D. Hilbert (1862 - 1943)

Hilbertuv program

Formalizace matematickych ijinych disciplın.

Prevedenı do axiomatickehotvaru.

Dukaz bezespornosti formalnıhosystemu.


Kurt Godel (1906 - 1978)

Vety o neuplnosti.

V kazde teorii T, ktera obsahujearitmetiku, existujenedokazatelne tvrzenı.

Nelze dokazat bezespornostteorie obsahujıcı aritmetiku.


Neklasicke logiky

Intuicionisticka logika: neprijıma princip vylouceneho tretıho.

Konstruktivisticka matematika. (J.Brouwer)

Modalnı logika: pridava predikat “je mozne, je nutne ”.

Je mozne, ze P = Nenı nutne, ze ne-P.Je nutne, ze P = Nenı mozne, ze ne-P(Aristoteles, W.Ockham, J.D. Scottus, Saul Kripke)

Fuzzy-logika: pravdivostnı hodnota vyroku lezı mezi 0 a 1.

(L.Zadeh, J.Lukasiewicz, K.Godel, P.Hajek, Pavelka)


Vyrokova logika

Definice

Prvotnı vyrok je jednoducha oznamovacı veta, u ktere ma smysl se ptat,zda je ci nenı pravdiva. Prvotnı vyroky oznacujeme velkymi tiskacımipısmeny A,B, ...A1,A2, ..., kterym rıkame prvotnı formule.

A: Je rok 2011.B: 2 + 2 = 5.C : Studuji FIT.P: Prsı.A1: Bitva u Hastingsu byla v roce 1066.A2: Bitva na Bıle hore byla v roce 1621.

Mnozina prvotnıch vyroku: { Je rok 2011., 2 + 2 = 5., ... }Mnozina prvotnıch formulı: {A,B,C ,P,A1,A2}


Pravdivostnı hodnota

Definice

Pravdivostnı ohodnocenı mnoziny prvotnıch vyroku je funkce v z mnozinyprvotnıch formulı do mnoziny {0, 1}.Vyroku A priradı pravdivostnı hodnotu 1, jestlize je pravdivy, v(A) = 1.Vyroku A priradı pravdivostnı hodnotu 0, jestlize je nepravdivy, v(A) = 0.

A: Je rok 2011. v(A) = 1.B: 2 + 2 = 5. v(B) = 0.C : Studuji FIT. v(C ) = 1.P: Prsı. v(P) = 0 (?)K : Pujdu do kina. (?)A1: Bitva u Hastingsu byla v roce 1066. v(A1) = 1.A2: Bitva u Bıle hory byla v roce 1621. v(A2) = 0.


1. Negace

¬A: ”Nenı pravda, ze A.” ”A je nepravdive.”

A: Je rok 2011. v(A) = 1¬A: Nenı pravda, ze je rok 2011. Nenı rok 2011. v(¬A) = 0

B: 2 + 2 = 5. v(B) = 0¬B: 2 + 2 6= 5. v(¬B) = 1

A ¬A

1 0

0 1


2. Konjunkce

A ∧ B: ”A a B.”

A ∧ C : Je rok 2011 a studuji FIT.v(A ∧ C ) = 1

A1 ∧ A2: Bitva u Hastingsu byla v roce 1066 a bitva na Bıle hore vroce 1621.v(A1 ∧ A2) = 0

A B A ∧ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0


3. Disjunkce

A ∨ B: ”A nebo B.”

A ∨ C : Je rok 2011 nebo studuji FIT.v(A ∨ C ) = 1

A1 ∨ A2: Bitva u Hastingsu byla v roce 1066 nebo bitva na Bıle horev roce 1621.v(A1 ∨ A2) = 1

A B A ∨ B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0


4. Implikace

A ⇒ B: ”Z A plyne B.” ”Jestlize A, pak B”. ”A implikuje B.”

P: Prsı. K : Jdu do kina.P ⇒ K : Jestlize prsı, pak jdu do kina.

Prsı a jdu do kina. v(P ⇒ K ) = 1

Neprsı a jdu do kina. v(P ⇒ K ) = 1

Prsı a nejdu do kina. v(P ⇒ K ) = 0

Neprsı a nejdu do kina. v(P ⇒ K ) = 1

A B A ⇒ B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1


5. Ekvivalence

A ⇔ B: ”A prave tehdy, kdyz B.” ”A tehdy a jen tehdy, kdyz B.” ”A jeekvivalentnı s B.”

P ⇔ K : Jdu do kina prave tehdy, kdyz prsı. Jdu do kina vzdy, kdyz prsı.

Jdu do kina a prsı. v(P ⇔ K ) = 1

Jdu do kina a neprsı. v(P ⇔ K ) = 0

Nejdu do kina a prsı. v(P ⇔ K ) = 0

Nejdu do kina a neprsı. v(P ⇔ K ) = 1

A B A ⇔ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1


Formule vyrokove logiky

Definice

Jazyk vyrokove logiky obsahuje:mnozina prvotnıch formulı A,B,C , ...,logicke spojky ¬,∧,∨,⇒,⇔,zavorky ( , ).

Definice

Vyrokova formule:I. Prvotnı formule je vyrokova formule.II. Jsou-li A,B vyrokove formule, pak jsou i¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) vyrokove formule.III. Kazda vyrokova formule vznikne konecnym uzitım pravidel I. a II.


Pravdivostnı hodnota

Definice

Je-li dano pravdivostnı ohodnocenı prvotnıch formulı, pak pravdivostnıhodnotu vyrokove formule urcıme dle nasledujıcı tabulky:

A B ¬A A ∧ B A ∨ B A ⇒ B A ⇔ B

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1


Pravdivostnı tabulky pro dve prvotnı formule

A ⇔ (B ∧ ¬A)

A B ¬A B ∧ ¬A (A ⇔ (B ∧ ¬A))

1 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 1 1 0

0 0 1 0 1

A ⇔ (B ∧ ¬ A)

1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0

0 1 0 0 1 0

¬A ∧ ¬B


Pravdivostnı tabulky pro tri prvotnı formule

A ⇒ (¬B ∧ C )

A ⇒ (¬ B ∧ C )

1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0

1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1

0 1 1 0 0 0


Pravdivostnı tabulky pro n prvotnıch formulı

1 prvotnı formule - 2 radky tabulky

2 prvotnı formule - 4 radky tabulky

3 prvotnı formule - 8 radek tabulky

n prvotnıch formulı - 2n moznych ohodnocenı - 2n radku tabulky


Ostrov poctivcu a padouchu

Poctivci mluvı vzdy pravdu, padousi vzdy lzou.

1 Zde mame dva obyvatele ostrova A,B. A prohlası: ”Pokud je Bpoctivec, pak ja jsem padouch.”- A ⇔ (B ⇒ ¬A).

2 Tentokrat A rekne: ”Bud ja jsem padouch nebo je B poctivec.”- A ⇔ (¬A ∨ B).

3 Potkal jsem dva, kterı odpocıvali pod stromem. Zeptal jsem se: ”Jemezi vami poctivec?” Odpovedel, a ja znal spravnou odpoved na svouotazku. Kdo byl ten, ktereho jsem se zeptal? A co ten druhy?

4 Jste v jeskyni na ostrove poctivcu a padouchu. Z teto jeskyne vedoudva vychody. Jeden vychod vede na svobodu, druhy na smrt. Predkazdym z nich stojı domorody strazce. Muzete mu polozit pouzejednu otazku, abyste se dozvedel/a, jak se zachranit. Jakou?


Documents

Logika I. - edux.fit.cvut.cz · PDF fileLogika I. RNDr. Kate rina Trlifajov a PhD. ... Aristotel es Z akladn z akony logiky z akon vylou cen sporu z akon vylou cen eho t ret ho z akon