LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA

Iskazna logika

IV deo

Jelena Ignjatovic

1 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Kanonske forme

Podsecanje

Ako je A formula u kojoj ucestvuju iskazna slova p1, . . . , pn, tada to isticemo pisuci A(p1, . . . , pn)umesto A.

Ako je (α1, . . . , αn) ∈ {1, 0}n proizvoljna n-torka elemenata iz skupa {1, 0}, tada stavljamo

A(α1, . . . , αn)def= v(A),

gde je v(A) vrednost formule A u interpretaciji (α1, . . . , αn) (tj. v(pi) = αi, za svaki i, 1 6 i 6 n).

Obratan problem

Za proizvoljno preslikavanjef : {1, 0}n → {1, 0}

odrediti iskaznu formulu A(p1, . . . ,pn), cija bi istinitosna funkcija bilo preslikavanje f.

Resenje

Dokazacemo da ovakva formula postoji.

2 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Kanonske forme

n-arna operacija na skupu {1, 0}

Naime, dokazacemo da se svako preslikavanje f : {1, 0}n → {1, 0} (tj. n-arna operacija na skupu{1, 0}) moze na poseban nacin izraziti pomocu operacija ∧,∨ i ¬ iskazne algebre.

Najpre uvodimo oznaku

xα =

{

x, α = 1¬x, α = 0

Tvrdenje 1.

Za proizvoljno preslikavanje f : {1, 0}n → {1, 0} vazi

f(x1, . . . , xn) =∨

(α1 ,...αn)∈{1,0}n

f(α1, . . . , αn) ∧ xα11∧ · · · ∧ xαn

n . (⋆)

Pre nego sto predemo na dokaz, primetimo da se u ovoj jednakosti javljaju iskljucivo operacijeiskazne algebre.

Na primer, za n = 2, gornja jednakost u razvijenom obliku izgleda ovako:

f(x1, x2) = (f(1, 1) ∧ x11∧ x1

2) ∨ (f(1, 0) ∧ x1

1∧ x0

2) ∨ (f(0, 1) ∧ x0

1∧ x1

2) ∨ (f(0, 0) ∧ x0

1∧ x0

2),

odnosno,

3 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Kanonske forme

Tvrdenje 1.

f(x1, x2) = (f(1, 1) ∧ x1 ∧ x2) ∨ (f(1, 0) ∧ x1 ∧ ¬x2) ∨ (f(0, 1) ∧ ¬x1 ∧ x2) ∨ (f(0, 0) ∧ ¬x1 ∧ ¬x2)

Dokaz

Za proizvoljne b1, . . . , bn ∈ {1, 0} kao vrednosti promenljivih x1, . . . , xn, tim redom,

vrednost preslikavanja f je f(b1, . . . , bn) ∈ {1, 0}, a izraz na desnoj strani postaje∨

(α1 ,...αn)∈{1,0}n

f(α1, . . . , αn) ∧ bα11∧ · · · ∧ bαn

n .

Uzimajuci u obzir da za x ∈ {1, 0} vazi

xα = 1 ako i samo ako je x = α,

kao i cinjenicu da je konjunkcija tacna ako i samo ako su svi njeni clanovi tacni,zakljucujemo da je

bα11∧ · · · ∧ bαn

n = 1 ako i samo ako je αi = bi za sve i.

U svim ostalim slucajevima je vrednost tog izraza 0. Tako dobijamo da gornja disjunkcija postaje

0 ∨ · · · ∨ (f(b1, . . . , bn) ∧ 1) ∨ · · · ∨ 0 = f(b1, . . . ,bn),

pa je tvrdenje dokazano.

4 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Kanonske forme

Komentar

Pretpostavimo da funkcija f iz gornjeg tvrdenja nije jednaka 0 za sve uredene n-torke iz {1, 0}n , tj.da u njenoj tablici ima bar jedan znak 1.

Ako se tada sa desne strane jednakosti (⋆) izostave svi izrazi

f(α1, . . . , αn) ∧ xα11∧ · · · ∧ xαn

n

za koje je f(α1, . . . , αn) = 0, jednakost i dalje vazi, s obzirom da je u iskaznoj algebri x ∨ 0 = x.

Ako se u preostalim clanovima disjunkcije izostave izrazi

f(α1, . . . , αn)

(vrednost svakog od njih je 1) jednakost ponovo ostaje ocuvana, jer je 1 ∧ x = x. Tako se dobijaizraz

∨

f(α1,...αn)=1

xα11∧ · · · ∧ xαn

n . (♣)

Ako je f konstantno jednaka 0, onda poslednji izraz za nju ocito ne postoji;

U tom slucaju dodeljujemo joj x1 ∧ ¬x1.

5 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Kanonske forme

(♣)-iskazna formula

Izraz (♣) je iskazna formula (to je i x1 ∧ ¬x1), pa je gornjom analizom dokazano sledece tvrdenjekoje se odnosi na problem sa pocetka odeljka.

Tvrdenje 2.

Ako je f : {1, 0}n → {1, 0} proizvoljna n-arna operacija na skupu {1, 0} koja nije konstantno jednaka 0,onda se istinitosna vrednost iskazne formule (♣) u svakoj interpretaciji poklapa sa odgovarajucomvrednoscu preslikavanja f.Ako je f(x1 , . . . , xn) = 0 za sve (x1, . . . , xn) ∈ {1, 0}n, onda na isti nacin vrednosti iskazne formulex1 ∧ ¬x1 odgovaraju vrednostima preslikavanja f.

Kanonska disjunktivna forma

Iskazna formula koja se u obliku (♣) pridruzuje preslikavanju f zove se kanonska disjunktivnaforma tog preslikavanja.

6 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Kanonske forme

Napomena

Kanonska disjuktivna forma se moze i cisto sintaksicki definisati u odnosu na slova p1, . . . ,pn kaoformula (K1)∨ · · · ∨ (Km), gde su Ki razlicite konjunkcije svih navedenih slova sa negacijom ili beznje.

Ukoliko se ne zahteva da u svakoj konjunkciji ucestvuju uvek sva slova koja se u formuli javljaju,formula se zove disjunktivna forma.

Primer 1.

Formula

(p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r)

je jedna kanonska disjunktivna forma u odnosu na promenljive p, q i r, dok je

¬p ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬r)

primer disjunktivne forme.

Primer 2.

Neka je f : {1, 0}3 → {1, 0}, gde je

7 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Kanonske forme

Primer 2.

p q r f(p, q, r)

1 1 1 0

1 1 0 1 ∗

1 0 1 1 ∗

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 1 ∗

0 0 1 0

0 0 0 0

Da bi odredili formulu koja odgovara preslikavanju f, najpre izdvajamo one interpretacije slovap,q, r za koje funkcija f ima vrednost 1 (one oznacene sa ∗).

Zatim se, za svaku takvu trojku (α, β, γ) ∈ {1, 0}3, obrazuje konjunkcija pα ∧ qβ ∧ rγ.

Konacno, disjunkcija tih izraza jeste iskazna formula

(p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r).

8 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Kanonske forme

Komentar

Osim kanonske disjunktivne forme preslikavanja, mozemo govoriti i o kanonskoj disjunktivnojformi iskazne formule A – to je zapravo kanonske disjunktivna forma preslikavanja njene istini-tosne funkcije fA.

Takode, mozemo govoriti i o kanonskoj konjuktivnoj formi preslikavanja i formule.

f(x1 , . . . , xn) =∧

(α1,...αn)∈{1,0}n

f(α1, . . . , αn) ∨ x¬α11∨ · · · ∨ x¬αn

n .

Do njih mozemo doci iz kanonske disjunktivne forme koriscenjem De Morganovih zakona.

9 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Osobine tautologija

Tvrdenje 3.

Ako su formule A i A⇒ B tautologije, onda je tautologija i formula B.

Dokaz

Neka su A i A⇒ B tautologije.

Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v takva da je v(B) = 0, odakle, zbogcinjenice da je A tautologija, dobijamo da je

v(A⇒ B) = v(A)⇒ v(B) = 1⇒ 0 = 0,

sto je u suprotnosti sa pretpostavkom da je A⇒ B tautologija.

Dakle, zakljucujemo da B mora biti tautologija.

Tvrdenje 4.

Ako je A(p1,p2, . . . ,pn) tautologija, a B je formula dobijena iz A zamenom tih iskaznih slova,redom, formulama A1,A2, . . . ,An, onda je i B tautologija.

10 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Osobine tautologija

Dokaz

Neka je A tautologija i neka je v proizvoljna valuacija.

Za svaki i, 1 6 i 6 n, neka je v(Ai) = αi. Prema definiciji formule B imamo da je

v(B) = A(α1, α2, . . . , αn) = 1,

jer je A tautologija.

Prema tome, dokazali smo da je i B tautologija.

Primer

Formula ¬A ⇒ (A ⇒ (B ∧ ¬B)) je tautologija jer se moze dobiti iz tautologije ¬p ⇒ (p ⇒ q)zamenom promenljivih p i q formulama A i B ∧ ¬B, tim redom.

Tvrdenje 5.

Neka su A1, A i B formule takve da je A podformula neke formule A1, i neka je B1 formula dobijenaiz A1 zamenom podformule A formulom B. Tada je tautologija i formula

(A⇔ B)⇒ (A1 ⇔ B1).

11 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Osobine tautologija

Dokaz

Neka je v proizvoljna valuacija.

Ako je v(A) , v(B), tada je v(A⇔ B) = 0, pa je

v((A⇔ B)⇒ (A1 ⇔ B1)) = 1.

Ukoliko je v(A) = v(B), onda je i v(A1) = v(B1), jer se formule A1 i B1 razlikuju samo u podformu-lama A i B. Prema tome,

v((A⇔ B)⇒ (A1 ⇔ B1)) = 1⇒ 1 = 1.

Ovim smo dokazali da je (A⇔ B)⇒ (A1 ⇔ B1) tautologija.

Zapis tautologije

Da je formula A tautologija, zapisuje se krace sa |= A.

Tvrdenje 6.

Ako je |= A⇔ B i |= A, onda je i |= B.

12 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Osobine tautologija

Tvrdenje 7.

|= A ∧ B ako i samo ako je istovremeno |= A i |= B.

Tvrdenje 8.

a) |= A⇔ A;

b) ako je |= A⇔ B, onda je |= B⇔ A;

c) ako je |= A⇔ B i |= B⇔ C, onda je |= A⇔ C.

Napomena

Izrazi koji se ovde i nadalje javljaju i sadrze znak |= nisu formule u teoriji iskaza.

Oni pripadaju jeziku kojim govorimo o iskaznim formulama i sluze za sazeto zapisivanje nekihtvrdenja o njima.

Zadovoljive formule

Za iskaznu formulu se kaze da je zadovoljiva ako postoji interpretacija u kojoj je tacna.

13 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Primeri

Zadatak 1.

Dokazati da je sledeca formula tautologija:

((((A⇒ B)⇒ B)⇒ C)⇒ C)⇒ A ∨ B ∨ C.

Zadatak 2.

Neka je A(p) proizvoljna iskazna formula sa jednim iskaznim slovom p. Dokazati da je sledecaformula tautologija:

(A(p ∨ q)⇔ A(p) ∨A(q))⇔ (A(p ∧ q)⇔ A(p) ∧A(q)).

Dokaz

Resavamo metodom diskusije, recimo po slovu p. Ako je v(p) = 1, formula se svodi na sledecu:

(A(1)⇔ A(1) ∨A(q))⇔ (A(q)⇔ A(1) ∧A(q)).

Dalje diskusiju vrsimo po vrednosti A(1). Ako je A(1) = 1, dobijamo

(1⇔ 1)⇔ (A(q)⇔ A(q)),

sto je uvek tacno. Ako je A(1) = 0, onda je

(0⇔ A(q))⇔ (A(q)⇔ 0),

sto je takode tacno.

14 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Primeri

Dokaz

Slicno se, nakon uvrstavanja v(p) = 0 u formulu, diskutuje po vrednosti A(0), pa se u svakomslucaju dobija da je formula tacna, tj. tautologija je.

Zadatak 3.

Odrediti formulu F(p, q, r) iskaznog racuna, takvu da sledeca formula bude tautologija:

(F⇔ p ∧ q)⇒ (r ∧ F).

Resenje

Primetimo da je (F⇔ 1)⇔ F i (F⇔ 0)⇔ ¬F, sto znaci da u interpretaciji za koju je v(p) = v(q) =v(r) = 1, formula F moze imati proizvoljnu vrednost.

Da bi trazena formula bila tautologija, formula F mora imati vrednost kao u tablici.

15 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Primeri

Resenje

p q r formula F mora biti1 1 1 F⇒ F 1 ili 01 1 0 F⇒ 0 01 0 1 ¬F⇒ F 11 0 0 ¬F⇒ ⊥ 10 1 1 ¬F⇒ F 10 1 0 ¬F⇒ 0 10 0 1 ¬F⇒ F 10 0 0 ¬F⇒ 0 1

Na ovaj nacin su odredene dve funkcije koje zadovoljavaju trazene uslove. Za svaku od njihmoze se odrediti odgovarajuca formula, i jedan nacin za to je kanonska disjunktivna forma. Uovom slucaju medutim, ta forma bi imala 6 ili 7 clanova - konjunkcija, pa je pogodnije iskoristitikonjunktivnu formu. Jedna odgovarajuca formula je tako F(p, q, r) = ¬p ∨ ¬q ∨ r.

Zadatak 4.

Konstruisati iskaznu formulu F(p, q, r) tako da vazi:

v(F(p,q, r)) = 1 ako i samo ako v(q) = v(r) ili v(p) = 1 i v(r) = 0.

16 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Primeri

Resenje

p q r F1 1 1 11 1 0 11 0 1 01 0 0 10 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Odredicemo prvo funkciju koja zadovoljava trazene uslove.

Prema uslovima zadatka popunjavamo tablicu.

Nakon toga za funkciju iz tablice konstruisemo odgovarajucu formulu.

Ovo mozemo uciniti koristeci, na primer, kanonsku disjunktivnu formu (formula F) ili kanonskukonjunktivnu formu (formula G):

F(p, q, r) = (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r).

G(p, q, r) = (¬p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ ¬r).

17 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Pravila zakljucivanja (cont.)

Komentar

Na taj nacin dobijamo dve, od vise formula koje ispunjavaju uslove zadatka. Sve te formule sutautoloski ekvivalentne.

Zadatak 5.

Neka je F iskazna formula u kojoj se ne javljaju drugi logicki veznici osim ekvivalencije. Dokazatida je F tautologija ako i samo ako se svako iskazno slovo javlja paran broj puta.

Resenje

Neka su p1, ...,pk iskazna slova koja se javljaju u formuli F. Koristeci komutativnost i asocijativnostza ekvivalenciju, tj. formule

((A⇔ B)⇔ C)⇔ (A⇔ (B⇔ C)) i (A⇔ B)⇔ (B⇔ A),

dobijamo formulu ekvivalentnu datoj u kojoj su sleva prvo sva pojavljivanja slova p1, koliko ihima u formuli F, zatim sva pojavljivanja slova p2 i tako redom do pk. Dalje koristimo tautologije

(A⇔ A)⇔ 1 i (A⇔ 1)⇔ A.

Svaki par istih slova zamenjujemo znakom 1, a zbog druge tautologije znakovi 1 se gube. Formulaekvivalentna datoj koju dobijamo na ovaj nacin, ima u sebi po jedno slovo od onih koja se javljajuneparan broj puta, a nema slova koja se javljaju paran broj puta.

18 Iskazna logika Logika i teorija skupova

Pravila zakljucivanja (cont.)

Resenje

Dakle, ako se svako slovo javlja paran broj puta, onda je ekvivalencija svakog para istih slovatautoloski ekvivalentna sa 1, pa je i cela formula tautoloski ekvivalentna sa 1, odnosno tautologijaje.

Drugi smer dokazujemo kontrapozicijom. Ako se bar jedno slovo (pi) javlja neparan broj puta,tada u interpretaciji u kojoj pi dobija vrednost 0, a sva ostala slova vrednost 1, formula nije tacna.Zaista, prema gornjem razmatranju, formula F je ekvivalentna sa formulom u kojoj se javlja samojedno slovo pi. Koristeci komutativnost i asocijativnost za ekvivalenciju, utvrdujemo da je formulaF je tautoloski ekvivalentna sa formulom pi ⇔ F1. Sva iskazna slova u formuli F1 imaju vrednost1, pa je v(F1) = 1 i v(pi ⇔ F1) = 0⇔ 1 = 0. Dakle, formula F nije tautologija.

19 Iskazna logika Logika i teorija skupova