Logika kiskáté - unideb.hu · Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 3/29 Dom(%) = Con Ha p 2Con, akkor %(p) 2f0;1g. 8. Adja meg a formula szemantikai értékének

Logika kiskáté

Mihálydeák Tamás és Aszalós László

2012

1. Definíciók1. Adja meg a klasszikus nulladrendu nyelv definícióját!

Megoldás: Klasszikus nulladrendu nyelven az L(0) = 〈LC,Con, Form〉 rendezett hármast értjük, aholLC = {¬,⊃,∧,∨,≡, (, )} (a nyelv logikai konstansainak halmaza). Con 6= ∅ a nyelv nemlogikaikonstansainak (állítás- vagy kijelentés-paramétereinek) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza. AzLC ∩ Con = ∅. A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form halmazt az alábbi induktív definíció adjameg:

• Con ⊆ Form

• Ha A ∈ Form, akkor ¬A ∈ Form.

• Ha A,B ∈ Form, akkor

– (A ⊃ B) ∈ Form,

– (A ∧B) ∈ Form,

– (A ∨B) ∈ Form,

– (A ≡ B) ∈ Form.

2. Adja meg a nulladrendu atomi formula definícióját!

Megoldás: Ha L(0) egy nulladrendu nyelv (azaz L(0) = 〈LC,Con, Form〉), akkor Con halmaz elemeitnulladrendu atomi formuláknak vagy nulladrendu prímformuláknak nevezzük.

3. Adja meg a részformula definícióját a nulladrendu nyelvben!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv, A ∈ Form pedig a nyelvtetszoleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés: RF (A)],amelyre teljesül, hogy

• A ∈ RF (A), azaz az A formula részformulája önmagának;

• ha ¬B ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A);

• ha (B ⊃ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);

1

Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 2/29

• ha (B ∧ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);

• ha (B ∨ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);

• ha (B ≡ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A).

4. Adja meg a közvetlen részformula definícióját a nulladrendu nyelvben!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv.

• Ha A atomi formula (azaz A ∈ Con), akkor nincs közvetlen részformulája;

• ¬A egyetlen közvetlen részfomulája A;

• Az (A ⊃ B), (A ∧B), (A ∨B), (A ≡ B) formulák közvetlen részformulái az A és a B formulák.

5. Adja meg a részformula definícióját a közvetlen részformula segítségével nulladrendu nyelvben!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv, A ∈ Form pedig a nyelvtetszoleges formulája. Egy A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés: RF (A)],amelyre teljesül, hogy

• A ∈ RF (A), (azaz az A formula részformulája önmagának);

• ha A′ ∈ RF (A) és B közvetlen részformulája A′-nek, akkor B ∈ RF (A) (azaz, ha egy A′ formularészformulája A-nak, akkor A′ összes közvetlen részformulája is részformulája A-nak).

6. Adja meg a szerkezeti fa definícióját nulladrendu nyelv esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv, A ∈ Form pedig a nyelvtetszoleges formulája. Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges rendezett fát értünk,

• amelynek csúcsai formulák,

• gyökere az A formula,

• ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,

• (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C), (B ≡ C) alakú csúcsainak két gyermekét a B, illetve a C formulákalkotják,

• levelei prímformulák (atomi formulák).

7. Adja meg a nulladrendu logika interpretációjának definícióját!

Megoldás: A % függvényt az L(0) = 〈LC,Con, Form〉 nulladrendu nyelv egy interpretációjának nevezzük,ha


• Dom(%) = Con

• Ha p ∈ Con, akkor %(p) ∈ {0, 1}.

8. Adja meg a formula szemantikai értékének definícióját nulladrendu logika esetén (azaz adja meg nulladrendulogika szemantikai szabályait)!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és % egy nulladrendu interpretáció.Az A ∈ Form formula % interpretáció szerinti szemantikai értékét a következo szabályok határozzák meg(jelölés: |A|% jelöli az A formula % interpretáció szerinti értékét):

• Ha p ∈ Con, akkor |p|% = %(p)

• Ha A ∈ Form, akkor |¬A|% = 1− |A|%.


• |(A ⊃ B)|% =

{0, ha |A|% = 1 és |B|% = 01, egyébként

• |(A ∧B)|% =

{1, ha |A|% = 1 és |B|% = 10, egyébként.

• |(A ∨B)|% =

{0, ha |A|% = 0 és |B|% = 01, egyébként.

• |(A ≡ B)|% =

{1, ha |A|% = |B|%0, egyébként.

9. Adja meg a formulahalmaz modelljének definícióját nulladrendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A % interpretáció nulladrendu modellje a Γ formulahalmaznak, ha minden A ∈ Γ esetén |A|% = 1

10. Adja meg a formula modelljének definícióját nulladrendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula modelljén az {A} egyelemu formulahalmaz modelljét értjük.

11. Adja meg a formulahalmaz kielégíthetoségének definícióját nulladrendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégítheto, ha van modellje.

12. Adja meg a formula kielégíthetoségének definícióját nulladrendu logika esetén!


Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula kielégítheto, ha az {A} formulahalmaz kielégítheto.

13. Adja meg a formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját nulladrendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. Az Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégítheto, azaz nincs modellje.

14. Adja meg a formula kielégíthetetlenségének definícióját nulladrendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmaz kielégíthetetlen.

15. Adja meg a formulahalmaz logikai következményének definícióját nulladrendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz, és A ∈ Form egy formula. A Γ formulahalmaznak logikai következménye az A formula, ha aΓ ∪ {¬A} formulahalmaz kielégíthetetlen. Jelölés: Γ |= A

16. Adja meg a formula logikai következményének definícióját nulladrendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A,B ∈ Form két tetszolegesformula. Az A formulának logikai következménye a B formula, ha a {A} |= B. Jelölés: A |= B

17. Adja meg az érvényesség definícióját nulladrendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és A ∈ Form egy formula. Az A for-mula érvényes, ha ∅ |= A, azaz ha az A formula logikai következménye az üres halmaznak. Jelölés: |= A

18. Adja meg a formulák logikai ekvivalenciájának definícióját nulladrendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és A,B ∈ Form két formula. Az Aés a B formula logikailag ekvivalens, ha A |= B és B |= A. Jelölés: A⇔ B

19. Adja meg a zárójelelhagyási konvenciókat nulladrendu nyelv esetén!

Megoldás:


• A legkülso zárójelpár mindig elhagyható.

• A kétargumentumú logikai konstansok elsobbségi (precedencia) sorrendje: ∧,∨,⊃,≡

• A negáció erosebb bármely kétargumentumú logikai konstansnál.

• Az azonos kétargumentumú logikai konstansok egymás közötti elsobbségét a balról jobbra szabályrendezi: eloször mindig a bal oldali formulát tekintjük külön muveleti komponensnek.

20. Adja meg a literál definícióját!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv. Ha p ∈ Con, akkor a p,¬p formulákatliterálnak nevezzük. A p,¬p literálok esetén a p paramétert a literál alapjának nevezzük.

21. Adja meg az elemi konjunkció definícióját!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv. Ha az A ∈ Form formula literál vagykülönbözo alapú literálok konjunkciója, akkor A-t elemi konjunkciónak nevezzük.

22. Adja meg az elemi diszjunkció definícióját!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv. Ha az A ∈ Form formula literál vagykülönbözo alapú literálok diszjunkciója, akkor A-t elemi diszjunkciónak nevezzük.

23. Adja meg a diszjunktív normálforma definícióját!

Megoldás: Egy elemi konjunkciót vagy elemi konjunkciók diszjunkcióját diszjunktív normálformának ne-vezzük.

24. Adja meg a konjunktív normálforma definícióját!

Megoldás: Egy elemi diszjunkciót vagy elemi diszjunkciók konjunkcióját konjunktív normálformának ne-vezzük.

25. Adja meg az axiómaséma definícióját nulladrendu kalkulus esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv (a klasszikus állításlogika nyelve). Anulladrendu kalkulus (klasszikus állításkalkulus) axiómasémái (alapsémái):

(A1) A ⊃ (B ⊃ A)

(A2) (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))

(A3) (¬A ⊃ ¬B) ⊃ (B ⊃ A)


26. Adja meg a axiómaséma szabályos behelyettesítésének definícióját!

Megoldás: Az axiómaséma szabályos behelyettesítésén olyan formulát értünk, amely az axiómasémából abenne szereplo betuk tetszoleges formulával való helyettesítése útján jön létre.

27. Adja meg az axióma definícióját nulladrendu kalkulus esetén!

Megoldás: A nulladrendu kalkulus (klasszikus állításkalkulus) axiómái az axiómasémák szabályos behe-lyettesítései.

28. Adja meg a formulahalmaz szintaktikai következményének definícióját nulladrendu kalkulus esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy tetszoleges formula-halmaz. A Γ formulahalmaz szintaktikai következményeinek induktív definíciója:

Bázis:

• Ha A ∈ Γ, akkor Γ ` A.

• Ha A axióma, akkor Γ ` A.

Szabály (leválasztási szabály):

• Ha Γ ` B, és Γ ` (B ⊃ A), akkor Γ ` A.

29. Adja meg a formula szintaktikai következményének definícióját nulladrendu kalkulus esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A,B ∈ Form két tetszolegesformula. Az A formulának szintaktikai következménye a B formula, ha {A} ` B. Jelölés: A ` B

30. Adja meg az inkonzisztens formulahalmaz definícióját nulladrendu kalkulus esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A Γ formulahalmaz inkonzisztens, ha Cns(Γ) = Form.

31. Adja meg az inkonzisztens formula definícióját nulladrendu kalkulus esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ⊆ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula inkonzisztens, ha Cns({A}) = Form.

32. Adja meg a konzisztens formulahalmaz definícióját nulladrendu kalkulus esetén!


Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A Γ formulahalmaz konzisztens, ha nem inkonzisztens.

33. Adja meg a konzisztens formula definícióját nulladrendu kalkulus esetén!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ⊆ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula konzisztens, ha nem inkonzisztens.

34. Adja meg a levezetheto formula definícióját!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és A ∈ Form egy formula. Az Aformula levezetheto, ha ∅ ` A, azaz ha az A formula szintaktikai következménye az üres halmaznak. Jelölés:` A

35. Adja meg a szekvencia definícióját!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz ésA ∈ Form egy formula. Ha az A formula szintaktikai következménye a Γ formulahalmaznak, akkor a’Γ ` A’ jelsorozatot szekvenciának nevezzük.

36. Adja meg a természetes levezetés által bizonyítható következményrelációk definícióját nulladrendu kalkulus ese-tén (azaz adja meg a természetes levezetés által bizonyítható szekvenciák definícióját)!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ,∆ ⊆ Form és A,B,C ∈ Form.A természetes levezetés által az L(0) nyelvben bizonyítható következményrelációk PrND halmazát az alábbiinduktív definíció adja meg:

Bázis:

• Γ, A ` A ∈ PrND.

Szabályok:

• Strukturális szabályok:

– Ha Γ ` A ∈ PrND, akkor Γ, B ` A ∈ PrND.

– Ha Γ, B,B,∆ ` A ∈ PrND, akkor Γ, B,∆ ` A ∈ PrND.

– Ha Γ, B,C,∆ ` A ∈ PrND, akkor Γ, C,B,∆ ` A ∈ PrND.

– Ha Γ ` A ∈ PrND és, ∆, A ` B ∈ PrND, akkor Γ ∪∆ ` B ∈ PrND.

• Logikai szabályok:

– Ha Γ, A ` B ∈ PrND, akkor Γ ` (A ⊃ B) ∈ PrND.

– Ha Γ ` A ∈ PrND és Γ ` (A ⊃ B) ∈ PrND, akkor Γ ` B ∈ PrND.


– Ha Γ, A ` B ∈ PrND és Γ, A ` ¬B ∈ PrND, akkor Γ ` ¬A ∈ PrND.

– Ha Γ ` ¬¬A ∈ PrND, akkor Γ ` A ∈ PrND.

– Ha Γ ` A ∈ PrND és Γ ` B ∈ PrND, akkor Γ ` (A ∧B) ∈ PrND.

– Ha Γ, A,B ` C ∈ PrND, akkor Γ, (A ∧B) ` C ∈ PrND.

– Ha Γ ` A ∈ PrND, akkor Γ ` (A ∨B) ∈ PrND.

– Ha Γ ` B ∈ PrND, akkor Γ ` (A ∨B) ∈ PrND.

– Ha Γ, A ` C ∈ PrND és Γ, B ` C ∈ PrND, akkor Γ, (A ∨B) ` C ∈ PrND.

– Ha Γ, A ` B ∈ PrND és Γ, B ` A ∈ PrND, akkor Γ ` (A ≡ B) ∈ PrND.

– Ha Γ ` A ∈ PrND és Γ ` (A ≡ B) ∈ PrND, akkor Γ ` B ∈ PrND.

– Ha Γ ` B ∈ PrND és Γ ` (A ≡ B) ∈ PrND, akkor Γ ` A ∈ PrND.

37. Adja meg a klasszikus elsorendu nyelv definícióját!

Megoldás: Klasszikus elsorendu nyelven az

L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉

rendezett ötöst értjük, ahol

• LC = {¬,⊃,∧,∨,≡,=,∀,∃, (, )} (a nyelv logikai konstansainak halmaza).

• V ar (= {xn|n = 0, 1, 2, . . .}) a nyelv változóinak megszámlálhatóan végtelen halmaza.

• Con =⋃∞

n=0(F(n)⋃P(n)) a nyelv nemlogikai konstansainak legfeljebb megszámlálhatóan végtelen

halmaza.

– F(0) a névparaméterek (névkonstansok),

– F(n) az n argumentumú (n = 1, 2, . . .) függvényjelek (muveleti jelek),

– P(0) az állításparaméterek (állításkonstansok),

– P(n) az n argumentumú (n = 1, 2, . . .) predikátumparaméterek (predikátumkonstansok) hal-maza.

– Az LC, V ar, F(n), P(n) halmazok (n = 0, 1, 2, . . .) páronként diszjunktak.

• A nyelv terminusainak a halmazát, azaz a Term halmazt az alábbi induktív definíció adja meg:

– V ar⋃F(0) ⊆ Term

– Ha f ∈ F(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor f(t1, t2, . . . , tn) ∈ Term.

• A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form halmazt az alábbi induktív definíció adja meg:

– P(0) ⊆ Form

– Ha t1, t2 ∈ Term, akkor (t1 = t2) ∈ Form

– Ha P ∈ P(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor P (t1, t2, . . . , tn) ∈ Form.

– Ha A ∈ Form, akkor ¬A ∈ Form.

– Ha A,B ∈ Form, akkor (A ⊃ B), (A ∧B), (A ∨B), (A ≡ B) ∈ Form.

– Ha x ∈ V ar, A ∈ Form, akkor ∀xA, ∃xA ∈ Form.


38. Adja meg az elsorendu atomi formula definícióját!

Megoldás: Ha L(1) egy elsorendu nyelv (azaz L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉), akkor az elsorenduatomi formulák halmazát (jelölés: AtForm) az alábbi induktív definíció adja meg:

• P(0) ⊆ AtForm

• Ha t1, t2 ∈ Term, akkor (t1 = t2) ∈ AtForm

• Ha P ∈ P(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor P (t1, t2, . . . , tn) ∈ AtForm.

39. Adja meg az elsorendu nyelv részformuláinak definícióját!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv, A ∈ Formpedig a nyelv tetszoleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés:RF (A)], amelyre teljesül, hogy

• A ∈ RF (A), azaz az A formula részformulája önmagának;

• ha ¬B ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A);

• ha (B ⊃ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);

• ha (B ∧ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);

• ha (B ∨ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);

• ha (B ≡ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);

• ha ∀xB ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A);

• ha ∃xB ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A).

40. Adja meg a közvetlen részformula definícióját az elsorendu nyelvben!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv.

• Ha A elsorendu atomi formula, akkor nincs közvetlen részformulája;

• ¬A egyetlen közvetlen részfomulája A;

• Az (A ⊃ B), (A ∧B), (A ∨B), (A ≡ B) formulák közvetlen részformulái az A és a B formulák.

• ∀xA egyetlen közvetlen részformulája A;

• ∃xA egyetlen közvetlen részformulája A.

41. Adja meg a részformula definícióját közvetlen részformulák segítségével elsorendu nyelv esetén!


Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv, A ∈ Formpedig a nyelv tetszoleges formulája. Egy A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés:RF (A)], amelyre teljesül, hogy

• A ∈ RF (A), (azaz az A formula részformulája önmagának);

• ha A′ ∈ RF (A) és B közvetlen részformulája A′-nek, akkor B ∈ RF (A) (azaz, ha egy A′ formularészformulája A-nak, akkor A′ összes közvetlen részformulája is részformulája A-nak).

42. Adja meg a szerkezeti fa definícióját elsorendu nyelv esetén!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv, A ∈ Formpedig a nyelv tetszoleges formulája. Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges rendezett fát értünk,amelynek csúcsai formulák,

• gyökere az A formula,

• ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,

• (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C), (B ≡ C) alakú csúcsainak két gyermekét a B, illetve a C formulákalkotják,

• ∀xB alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,

• ∃xB alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,

• levelei prímformulák (atomi formulák).

43. Adja meg a formula szabad változói halmazának definícióját!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A ∈ Form egy formula.Az A formula szabad változóinak FreeV ar(A)-val jelölt halmazát az alábbi induktív definíció adja meg:

• Ha A atomi formula (azaz A ∈ AtForm), akkor a FreeV ar(A) halmaz elemei az A formulábaneloforduló változók.

• Ha az A formula ¬B alakú, akkor FreeV ar(A) = FreeV ar(B).

• Ha az A formula (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C) vagy (B ≡ C) alakú, akkor FreeV ar(A) =FreeV ar(B)

⋃FreeV ar(C).

• Ha az A formula ∀xB vagy ∃xB alakú, akkor FreeV ar(A) = FreeV ar(B) \ {x}.

44. Adja meg a formula kötött változói halmazának definícióját!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A ∈ Form egy formula.Az A formula kötött változóinak BoundV ar(A)-val jelölt halmazát az alábbi induktív definíció adja meg:

• Ha A atomi formula (azaz A ∈ AtForm), akkor a BoundV ar(A) = ∅.


• Ha az A formula ¬B alakú, akkor BoundV ar(A) = BoundV ar(B).

• Ha az A formula (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C) vagy (B ≡ C) alakú, akkor BoundV ar(A) =BoundV ar(B)

⋃BoundV ar(C).

• Ha az A formula ∀xB vagy ∃xB alakú, akkor BoundV ar(A) = BoundV ar(B)⋃{x}.

45. Adja meg a változó szabad elofordulásának definícióját!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formulaés x ∈ V ar egy változó. Az x változó valamely A-beli elofordulását szabadnak nevezzük, ha a tekintettelofordulás nem esik az A formula valamely ∀xB vagy ∃xB alakú részformulájába.

46. Adja meg a változó kötött elofordulásának definícióját!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formulaés x ∈ V ar egy változó. Az x változó valamely A-beli elofordulását kötöttnek nevezzük, ha a tekintettelofordulás nem szabad elofordulás.

47. Adja meg a zárójelelhagyási konvenciókat elsorendben!

Megoldás:

• A legkülso zárójelpár mindig elhagyható.

• A kétargumentumú logikai konstansok elsobbségi (precedencia) sorrendje: ∧,∨,⊃,≡

• A negáció erosebb bármely kétargumentumú logikai konstansnál.

• Az azonos kétargumentumú logikai konstansok egymás közötti elsobbségét a balról jobbra szabályrendezi: eloször mindig a bal oldali formulát tekintjük külön muveleti komponensnek.

• A kvantorok erosebbek bármely állításlogikai muveletnél.

• Az univerzális és az egzisztenciális kvantor egyenrangú (azaz erosségben egyik sem elozi meg a mási-kat).

48. Adja meg az elsorendu logika interpretációjának definícióját!

Megoldás: Az 〈U, %〉 párt az L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 elsorendu nyelv egy interpretációjánaknevezzük, ha

• U 6= ∅, azaz U nemüres halmaz;

• Dom(%) = Con, azaz a % a Con halmazon értelmezett függvény, amelyre teljesülnek a következok:

– Ha a ∈ F(0), akkor %(a) ∈ U ;


– Ha f ∈ F(n) ahol n 6= 0, akkor %(f) az U (n) halmazon értelmezett az U halmazba képezofüggvény (%(f) : U (n) → U );

– Ha p ∈ P(0), akkor %(p) ∈ {0, 1};– Ha P ∈ P(n) ahol n 6= 0, akkor %(P ) ⊆ U (n).

49. Adja meg az 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó v értékelés definícióját!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, 〈U, %〉 pedig a nyelv egy in-terpretációja. Az 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó v értékelésen egy olyan függvényt értünk, amely teljesítia következoket:

• Dom(v) = V ar;

• Ha x ∈ V ar, akkor v(x) ∈ U .

50. Definiálja a módosított értékelés fogalmát!

Megoldás: Legyen v egy tetszoleges 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés, x ∈ V ar egy változó ésu ∈ U egy objektum. Ekkor bármely y ∈ V ar esetén

v[x : u](y) =

{u, ha y = x;v(y), egyébként.

51. Adja meg az elsorendu logika szemantikai szabályait!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, 〈U, %〉 a nyelv egy interp-retációja, v pedig az 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés.

• Ha a ∈ F(0), akkor |a|〈U,%〉v = %(a).

• Ha x ∈ V ar, akkor |x|〈U,%〉v = v(x).

• Ha f ∈ F(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor

|f(t1, t2, . . . , tn)|〈U,%〉v = %(f)(|t1|〈U,%〉

v , |t2|〈U,%〉v , . . . , |tn|〈U,%〉

v )

• Ha p ∈ P(0), akkor |p|〈U,%〉v = %(p)

• Ha t1, t2 ∈ Term, akkor

|(t1 = t2)|〈U,%〉v =

{1, ha |t1|〈U,%〉

v = |t2|〈U,%〉v

0, egyébként.

• Ha P ∈ P(n) ahol n 6= 0, t1, . . . , tn ∈ Term, akkor

|P (t1, . . . , tn)|〈U,%〉v =

{1, ha 〈|t1|〈U,%〉

v , . . . , |tn|〈U,%〉v 〉 ∈ %(P );

0, egyébként.


• Ha A ∈ Form, akkor |¬A|〈U,%〉v = 1− |A|〈U,%〉

v .


|(A ⊃ B)|〈U,%〉v =

{0 ha |A|〈U,%〉

v = 1, és |B|〈U,%〉v = 0;

1, egyébként.

|(A ∧B)|〈U,%〉v =

{1 ha |A|〈U,%〉

v = 1, és |B|〈U,%〉v = 1;

0, egyébként.

|(A ∨B)|〈U,%〉v =

{0 ha |A|〈U,%〉

v = 0, és |B|〈U,%〉v = 0;

1, egyébként.

|(A ≡ B)|〈U,%〉v =

{1 ha |A|〈U,%〉

v = |B|〈U,%〉v ;

0, egyébként.

• Ha A ∈ Form, x ∈ V ar, akkor

|∀xA|〈U,%〉v =

{0, ha van olyan u ∈ U, hogy |A|〈U,%〉

v[x:u] = 0;

1, egyébként.

|∃xA|〈U,%〉v =

{1, ha van olyan u ∈ U, hogy |A|〈U,%〉

v[x:u] = 1;

0, egyébként.

52. Adja meg egy formulahalmaz elsorendu modelljének definícióját!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszo-leges formulahalmaz. Az 〈U, %, v〉 rendezett hármas elsorendu modellje a Γ formulahalmaznak, ha

• 〈U, %〉 egy interpretációja az L(1) nyelvnek;

• v egy 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés;

• minden A ∈ Γ esetén |A|〈U,%〉v = 1

53. Adja meg egy formula elsorendu modelljének definícióját!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy tetszo-leges formula. Az A formula modelljén az {A} egyelemu formulahalmaz modelljét értjük.

54. Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetoségének definícióját elsorendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszo-leges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégítheto, ha van (elsorendu) modellje.

55. Adja meg egy formula kielégíthetoségének definícióját elsorendu logika esetén!


Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy tetszo-leges formula. Az A formula kielégítheto, ha az {A} formulahalmaz kielégítheto.

56. Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját elsorendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszo-leges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégítheto, azaz nincs modellje.

57. Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját elsorendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy tetszo-leges formula. Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmaz kielégíthetetlen.

58. Adja meg egy formulahalmaz logikai következményének definícióját elsorendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendurendu nyelv, Γ ⊆ Form egy tet-szoleges formulahalmaz, és A ∈ Form egy formula. A Γ formulahalmaznak logikai következménye az Aformula, ha a Γ ∪ {¬A} formulahalmaz kielégíthetetlen. Jelölés: Γ |= A

59. Adja meg egy formula logikai következményének definícióját elsorendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Term,Con, Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két tet-szoleges formula. Az A formulának logikai következménye a B formula, ha a {A} |= B. Jelölés: A |= B

60. Adja meg az érvényesség definícióját elsorendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A ∈ Form egy formula.Az A formula érvényes, ha ∅ |= A, azaz ha az A formula logikai következménye az üres halmaznak. Jelölés:|= A

61. Adja meg a logikai ekvivalencia definícióját elsorendu logika esetén!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A,B ∈ Form két for-mula. Az A és a B formula logikailag ekvivalens, ha A |= B és B |= A. Jelölés: A⇔ B

62. Adja meg a behelyettesítoségre vonatkozó definíciókat!


Megoldás: Az alábbi definíciókban legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv,A ∈ Form egy formula, x, y ∈ V ar két változó és t ∈ Term egy terminus.

Definíció (Változó változóval való helyettesíthetosége) Az A formulában az x változó behelyettesítheto yváltozóval, ha az A formulában az x változó egyetlen szabad elofordulása sem esik az A formula valamely∀yB vagy ∃yB alakú részformulájába.

Definíció (Változó terminussal való helyettesíthetosége) Az A formulában az x változó behelyettesítheto a tterminussal, ha az A formulában az x változó behelyettesítheto minden olyan változóval, amely a t terminus-ban elofordul.

Definíció (Behelyettesítés eredménye) Tegyük föl, hogy az A formulában az x változó behelyettesíthetoa t terminussal. Ekkor az [A]tx kifejezéssel jelöljük azt a formulát, amely úgy keletkezik az A formu-lából, hogy benne az x változó minden szabad elofordulását a t terminussal helyettesítjük. Más jelölés:At/x, A(x‖t), A(xt )

63. Adja meg az átnevezésre vonatkozó definíciót!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A,B,C ∈ Form háromformula, x, x1, y, y1, z, z1 ∈ V ar hat változó.

• Ha az A formula ∀xA1 alakú (A1 ∈ Form), valamint az A1 formulában az x változó behelyettesít-heto az x1 változóval, és x1 /∈ FreeV ar(A1), akkor a ∀x1[A1]x1

x formula az A formula szabályosanvégrehajtott átnevezése.

• Ha az A formula ∃xA1 alakú (A1 ∈ Form), valamint az A1 formulában az x változó behelyettesít-heto az x1 változóval, és x1 /∈ FreeV ar(A1), akkor a ∃x1[A1]x1

x formula az A formula szabályosanvégrehajtott átnevezése.

• Ha

1. a ∀yB formula egy olyan részformulája az A formulának, amely különbözik A-tól,

2. a ∀y1[B]y1y formula a ∀yB formula szabályosan végrehajtott átnevezése (következésképpen telje-

sül, hogy a B formulában a y változó behelyettesítheto az y1 változóval, és y1 /∈ FreeV ar(B)),

3. az A′ formula úgy keletkezik az A formulából, hogy A-ban a ∀yB formula valamely elofordulásáta ∀y1[B]y1

y formulával helyettesítjük,

akkor az A′ formula az A formula szabályosan végrehajtott átnevezése.

• Ha

1. a ∃zC formula egy olyan részformulája az A formulának, amely különbözik A-tól,

2. a ∃z1[C]z1z formula a ∀zC formula szabályosan végrehajtott átnevezése (következésképpen telje-sül, hogy a C formulában a z változó behelyettesítheto az z1 változóval, és z1 /∈ FreeV ar(C)),

3. az A′′ formula úgy keletkezik az A formulából, hogy A-ban a ∃zC formula valamely elofordulá-sát a ∃z1[C]z1z formulával helyettesítjük,

akkor az A′′ formula az A formula szabályosan végrehajtott átnevezése.

64. Definiálja az egy formulával kongruens formulák halmazát!


Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy formula.Az A formulával kongruens formulák Cong(A)-val jelölt halmazát az alábbi induktív szabályrendszer adjameg:

• A ∈ Cong(A) (minden formula kongruens önmagával);

• ha B ∈ Cong(A) és a B′ formula a B formula szabályosan végrehajtott átnevezése, akkor B′ ∈Cong(A).

65. Definiálja, hogy mikor kongruens két formula!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két for-mula. Ha B ∈ Cong(A), akkor az A formula kongruens a B formulával.

66. Definiálja a formula szintaktikai szinonimáját!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két for-mula. Ha B ∈ Cong(A), akkor a B formulát az A formula szintaktikai szinonimájának nevezzük.

67. Definiálja a változóiban tiszta formulát!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy formula.Az A formulát változóiban tisztának nevezünk, ha

• szabad és kötött változói diszjunkt halmazt alkotnak, azaz FreeV ar(A)⋂BoundV ar(A) = ∅,

• minden kötött változó pontosan egyszer fordul elo kvantort közvetlenül követo pozícióban (mindenkötött változó pontosan egy kvantornak a változója).

68. Definálja a prenex alakú formulát!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv. Az A ∈ Formformulát prenex alakúnak nevezzük, ha az alábbi két feltétel valamelyike teljesül:

• az A formula kvantormentes, azaz sem a ∀ sem a ∃ kvantor nem szerepel benne;

• az A formula Q1x1Q2x2 . . . QnxnB (n = 1, 2, . . .) alakú, ahol

– B ∈ Form kvantormentes formula;

– x1, x2 . . . xn ∈ V ar különbözo változók;

– Q1, Q2, . . . , Qn ∈ {∀,∃} kvantorok.


2. Tételek

69. „Kielégítheto formulahalmaz minden részhalmaza kielégítheto.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonat-kozó tételt, és bizonyítsa be!

Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz. Ha Γkielégítheto formulahalmaz és ∆ ⊆ Γ, akkor ∆ kielégítheto formulahalmaz.

Bizonyítás Legyen Γ ⊆ Form egy tetszoleges kielégítheto formulahalmaz, és ∆ ⊆ Γ!

Γ kielégíthetosége miatt a Γ formulahalmaznak van modellje, legyen Γ egy modellje a % interpretáció.

% tulajdonsága: Ha A ∈ Γ, akkor |A|% = 1.

Mivel ∆ ⊆ Γ, ha A ∈ ∆, akkor A ∈ Γ, s így |A|% = 1.

Azaz a % interpretáció modellje ∆-nak, tehát ∆ kielégítheto.

70. „Kielégíthetetlen formulahalmaz minden bovítése kielégíthetetlen.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvrevonatkozó tételt, és bizonyítsa be!

Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz. Ha Γkielégíthetetlen formulahalmaz, és Γ ⊆ ∆, akkor ∆ kielégíthetetelen formulahalmaz.

Indirekt bizonyítás Tegyük fel, hogy Γ ⊆ Form tetszoleges kielégíthetetlen formulahalmaz, és ∆ ⊆ Formolyan formulahalmaz, amelyre teljesül, hogy Γ ⊆ ∆.

Indirekt feltétel: Γ kielégíthetetlen, és ∆ kielégítheto.

A tétel feltétele szerint Γ ⊆ ∆.

A kielégíthetoségre vonatkozó tétel miatt Γ kielégítheto, ez pedig ellentmondás.

71. Adja meg a következményreláció és a modell kapcsolatáról szóló tételt, és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form, és A ∈ Form. Γ |= A akkorés csak akkor, ha a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az a A formulának (azaz az {A} egyelemuformulahalmaznak) is.

Bizonyítás→ Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= A és van olyan modellje a Γ formulahalmaznak, amely nemmodellje az A formulának. Legyen ez a modell a % interpretáció! A % tulajdonságai:

• minden B ∈ Γ esetén |B|% = 1;

• |A|% = 0, azaz |¬A|% = 1

Ekkor a Γ ∪ {¬A} formulahalmaz minden eleme igaz %-ban, tehát Γ ∪ {¬A} kielégítheto, azaz Γ |= A nemteljesül, ami ellentmondás.

← Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az A formulának, deΓ |= A nem teljesül.


Ekkor a Γ∪{¬A} formulahalmaz kielégítheto, azaz van modellje. Legyen ez a modell a % interpretáció! A %tulajdonságai:

• minden B ∈ Γ esetén |B|% = 1;

• |¬A|% = 1, azaz |A|% = 0

Tehát a Γ formulahalmaznak van olyan modellje, ami nem modellje az A formulának, s ez ellentmondás.

72. „Érvényes formula minden formulahalmaznak következménye.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonat-kozó tételt, és bizonyítsa!

Megoldás: Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, A ∈ Form. Ha A érvényesformula (|= A), akkor minden Γ ⊆ Form formulahalmaz esetén Γ |= A.

Bizonyítás Ha A érvényes formula, akkor a definíció szerint ∅ |= A. Így ∅∪{¬A} (= {¬A}) kielégíthetetlen,s így a kielégíthetetlenségre kimondott tétel alapján ennek a halmaznak a bovítései is kielégíthetetlenek.Γ ∪ {¬A} bovítése {¬A}-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.

73. „Kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula következménye.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvrevonatkozó tételt, és bizonyítsa!

Megoldás: Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy formulahal-maz. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor minden A formula esetén Γ |= A.

Bizonyítás A már bizonyított tétel szerint ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor Γ minden bovítése iskielégíthetetlen. Γ ∪ {¬A} bovítése Γ-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.

74. Adja meg a következményreláció és a modell kapcsolatát leíró tétel következményét!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form és A ∈ Form. Γ |= Aakkor és csak akkor, ha minden olyan interpretációban, amelyben a Γ formulahalmaz minden eleme igaz,igaz az A formula is.

75. Adja meg a dedukció tételt, és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz és A,B ∈Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B, akkor Γ |= (A ⊃ B).

Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ ∪ {A} |= B teljesül, de Γ |= (A ⊃ B) nem teljesül.

Így Γ ∪ {¬(A ⊃ B)} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje a % interpretáció!

A % tulajdonságai:

• Γ minden eleme igaz a % interpretáció szerint.


• |¬(A ⊃ B)|% = 1

|(A ⊃ B)|% = 0, azaz |A|% = 1 és |B|% = 0. Így |¬B|% = 1. Γ ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmaz mindeneleme igaz a % interpretáció szerint, azaz a formulahalmaz kielégítheto, tehát Γ∪{A} |= B nem teljesül, amiellentmondás.

76. Adja meg a dedukció tétel megfordítását, és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz és A,B ∈Form két formula. Ha Γ |= (A ⊃ B), akkor Γ ∪ {A} |= B.

Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= (A ⊃ B), és ugyanakkor Γ ∪ {A} |= B nem teljesül.

Így Γ ∪ {A} ∪ {¬B} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje a % interpretáció!

A % tulajdonságai:

• Γ minden eleme igaz a % interpretáció szerint.

• |A|% = 1

• |¬B|% = 1, így |B|% = 0

Így a % interpretáció szerint |(A ⊃ B)|% = 0, következésképpen |¬(A ⊃ B)|% = 1. Γ ∪ {¬(A ⊃ B)}formulahalmaz minden eleme igaz a % interpretáció szerint, azaz a % interpretációja modellje a formulahal-maznak, ami egyben azt is jelenti, hogy a formulahalmaz kielégítheto. Tehát Γ |= (A ⊃ B) nem teljesül, amiellentmond indirekt feltételünknek.

77. Adja meg a következményreláció és implikáció kapcsolatát leíró tételt, és bizonyítsa!

Megoldás: A dedukciótétel és megfordításának következménye: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egynulladrendu nyelv, és A,B ∈ Form két formula. A |= B akkor és csak akkor, ha |= (A ⊃ B).

Bizonyítás Alkalmazzuk a dedukció tételt és megfordítását abban az esetben, amikor Γ = ∅.

78. Adja meg a logikai és materiális ekvivalencia kapcsolatát leíró következményt!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A,B ∈ Form két formula. A⇔ Bakkor és csak akkor, ha |= (A ≡ B).

79. Adja meg a metszet tételt és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel (Metszet tétel) Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ,∆ ⊆ Form két formula-halmaz és A,B ∈ Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B és ∆ |= A, akkor Γ ∪∆ |= B.

Indirekt bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ∪{A} |= B és ∆ |= A, de Γ∪∆ |= B nem teljesül.


Ekkor Γ ∪ ∆ ∪ {¬B} kielégítheto (a következményreláció definíciója miatt), azaz van modellje. Legyen aformulahalmaz egy modellje a % interpretáció.

A % interpretáció tulajdonságai:

• Γ minden eleme igaz a % interpretációban.

• ∆ minden eleme igaz a % interpretációban.

• |¬B|% = 1

Mivel ∆ |= A és ∆ minden eleme igaz a % interpretációban, |A|% = 1. Következésképpen a Γ∪{A}∪{¬B}halmaz minden eleme igaz a % interpretációban, ami azt jelenti, hogy a Γ ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmazkielégítheto. Ekkor azonban a következményreláció definíciója miatt Γ ∪ {A} |= B nem teljesül. Ez pedigellentmond indirekt feltételünknek.

80. Adja meg a normálforma tételt!

Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy formula. Ekkorlétezik olyan B ∈ Form, hogy

• A⇔ B

• B diszjunktív vagy konjunktív normálformájú.

81. „A szintaktikai következményreláció reflexív.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonatkozó tételt, ésbizonyítsa!

Megoldás:Tétel Γ, A ` A (azaz a szintaktikai következményreláció reflexív).

Bizonyítás Jelölés: a rövidség kedvéért Γ∪{A} helyett ’Γ, A’-t írunk. Mivel A ∈ Γ∪{A}, így a szintaktikaikövetkezményreláció definíciójának második pontja miatt Γ ∪ {A} ` A, azaz Γ, A ` A.

82. „A szintaktikai következményreláció monoton.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonatkozó tételt, ésbizonyítsa!

Megoldás:Tétel Ha Γ ` A, akkor Γ ∪∆ ` A.

Bizonyítás (strukturális indukcióval)

• Ha A axióma, akkor minden formulahalmaznak szintaktikai következménye, így a Γ ∪∆ formulahal-maznak is.

• Ha A ∈ Γ, akkor A ∈ Γ ∪∆, így A ∈ Γ ∪∆ ` A

• Tegyük fel, hogy A nem axióma, A /∈ Γ és Γ ` A. Ekkor van olyan B ∈ Form formula, hogy Γ ` Bés Γ ` B ⊃ A. Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy állításunk teljesül a B és a B ⊃ A formulára,azaz ha Γ ` B, akkor Γ ∪∆ ` B, és ha Γ ` B ⊃ A, akkor Γ ∪∆ ` B ⊃ A.


Ekkor be kell látni, hogy Γ ∪ ∆ ` A. Mivel Γ ∪ ∆ ` B és Γ ∪ ∆ ` B ⊃ A, így a szintaktikaikövetkezményreláció definíciójának harmadik pontja miatt ekkor a Γ ∪∆ ` A is teljesül.

83. Adja meg a kalkulus dedukció tételét, és bizonyítsa! (Segédtétel bizonyítása plusz pont.)

Megoldás:Tétel (Dedukció tétel, kalkulus) Ha Γ, A ` B, akkor Γ ` A ⊃ B.

Bizonyítás (strukturális indukcióval)

• Legyen B egy axióma. Ekkor Γ ` B. Mivel a B ⊃ (A ⊃ B) formula is axióma, így Γ ` B ⊃ (A ⊃B). Ha Γ ` B és Γ ` B ⊃ (A ⊃ B), akkor a szintaktikai következményreláció definíciójának 3.pontja miatt Γ ` (A ⊃ B).

• Legyen B ∈ Γ∪{A}. Ha B = A, akkor a segédtétel szerint ` A ⊃ A. A monotonitás miatt Γ ` A ⊃ A.

Ha B ∈ Γ, akkor Γ ` B. Mivel B ⊃ (A ⊃ B) axióma, így Γ ` B ⊃ (A ⊃ B). Ha Γ ` B és Γ ` B ⊃(A ⊃ B), akkor a szintaktikai következményreláció definíciójának 3. pontja miatt Γ ` (A ⊃ B).

• Tegyük fel, hogy B nem axióma, B /∈ Γ ∪ {A} és Γ, A ` B. Ekkor van olyan C ∈ Form formula,hogy Γ, A ` C és Γ, A ` C ⊃ B.

Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy állításunk teljesül a C és a C ⊃ B formulára, azaz ha Γ, A ` C,akkor Γ ` A ⊃ C, és ha Γ, A ` C ⊃ B, akkor Γ ` A ⊃ (C ⊃ B). Ekkor be kell látni, hogyΓ ` A ⊃ B.

– Γ ` A ⊃ C (indukciós feltevés)

– Γ ` A ⊃ (C ⊃ B) (indukciós feltevés)

– Γ ` (A ⊃ (C ⊃ B)) ⊃ ((A ⊃ C) ⊃ (A ⊃ B)) mivel a (A ⊃ (C ⊃ B)) ⊃ ((A ⊃ C) ⊃ (A ⊃B)) formula axióma.

– Γ ` (A ⊃ C) ⊃ (A ⊃ B) (A 2. és a 3. pontból leválasztással nyerheto.)

– Γ ` (A ⊃ B) (A 1. és a 4. pontból leválasztással nyerheto.)

Segédtétel ` A ⊃ A

Bizonyítás

• ` (A ⊃ ((C ⊃ A) ⊃ A)) ⊃ ((A ⊃ (C ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A)) (A második axióma a következoválasztással: A := A;B := C ⊃ A;C := A)

• ` (A ⊃ ((C ⊃ A) ⊃ A)) (Az elso axióma a következo választással: A := A;B := C ⊃ A)

• ` (A ⊃ (C ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A) (A leválasztási szabály alkalmazása az 1. és 2. pontra.)

• ` (A ⊃ (C ⊃ A)) (Az elso axióma a következo választással: A := A;B := C)

• ` A ⊃ A (A leválasztási szabály alkalmazása az 3. és 4. pontra.)

84. Adja meg a kalkulus dedukció tételének megfordítását, és bizonyítsa!


Megoldás:Tétel Ha Γ ` A ⊃ B, akkor Γ, A ` B

Bizonyítás A monotonítás miatt Γ, A ` A ⊃ B. A reflexivitás miatt Γ, A ` A. A leválasztási szabálytalkalmazva az elozo két pontra kapjuk, hogy Γ, A ` B.

85. Adja meg a kalkulus metszet tételét és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel Ha Γ ` A és ∆, A ` B, akkor Γ ∪∆ ` B.

Bizonyítás A monotonitás miatt Γ ∪∆ ` A. A dedukció tétel miatt ∆ ` A ⊃ B, s így a monotonitás miattΓ ∪∆ ` A ⊃ B. Az elozo két pontra alkalmazva a leválasztási szabályt kapjuk, hogy Γ ∪∆ ` B.

86. Adja meg az elsorendu szemantika alaptételeit!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula, 〈U, %〉egy elsorendu interpretáció és v egy 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés. Ekkor az |A|〈U,%〉

v értékegyértelmuen meghatározott.

Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula,〈U, %〉 egy elsorendu interpretáció és v1, v2 két 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés. Ha mindenx ∈ FreeV ar(A) esetén v1(x) = v2(x), akkor |A|〈U,%〉

v1 = |A|〈U,%〉v2

87. „A logikai ellentmondástalanság szukítéssel nem rontható el.” Adja meg pontosan az elsorendu tételt, és bizo-nyítsa!

Megoldás: Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form egyformulahalmaz. Ha Γ kielégítheto formulahalmaz és ∆ ⊆ Γ, akkor ∆ kielégítheto formulahalmaz.

Bizonyítás Legyen Γ ⊆ Form egy tetszoleges kielégítheto formulahalmaz, és ∆ ⊆ Γ! Γ kielégíthetoségemiatt a Γ formulahalmaznak van modellje. Legyen Γ egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas. 〈U, %, v〉modell tulajdonsága:

• Ha A ∈ Γ, akkor |A|〈U,%〉v = 1

Mivel ∆ ⊆ Γ, ha A ∈ ∆, akkor A ∈ Γ, s így |A|〈U,%〉v = 1. Azaz az 〈U, %, v〉 rendezett hármas modellje

∆-nak, tehát ∆ kielégítheto.

88. Adja meg a következményreláció és a modell kapcsolatáról szóló tételt elsorendben, és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form, és A ∈ Form.Γ |= A akkor és csak akkor, ha a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az a A formulának (azaz az{A} egyelemu formulahalmaznak) is.


Bizonyítás→ Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= A és van olyan modellje a Γ formulahalmaznak, amelynem modellje az A formulának. Legyen ez a modell az 〈U, %, v〉 rendezett hármas!

A 〈U, %, v〉 tulajdonságai:

• minden B ∈ Γ esetén |B|〈U,%〉v = 1;

• |A|〈U,%〉v = 0, azaz |¬A|〈U,%〉

v = 1

Ekkor a Γ ∪ {¬A} formulahalmaz minden eleme igaz a 〈U, %〉 interpretációban a v értékelés szerint, te-hát Γ ∪ {¬A} kielégítheto (hiszen modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas), azaz Γ |= A nem teljesül, amiellentmondás.

← Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az A formulának, deΓ |= A nem teljesül.

Ekkor a Γ∪ {¬A} formulahalmaz kielégítheto, azaz van modellje. Legyen ez a modell az 〈U, %, v〉 rendezetthármas!

Az 〈U, %, v〉 tulajdonságai:

• minden B ∈ Γ esetén |B|〈U,%〉v = 1;

• |¬A|〈U,%〉v = 1, azaz |A|〈U,%〉

v = 0

Tehát a Γ formulahalmaznak van olyan modellje (az 〈U, %, v〉 rendezett hármas), ami nem modellje az Aformulának, s ez ellentmondás.

89. „Érvényes formula minden formulahalmaznak következménye.” Adja meg pontosan a tételt elsorendben, és bizo-nyítsa!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form. Ha A érvényesformula (|= A), akkor minden Γ ⊆ Form formulahalmaz esetén Γ |= A.

Bizonyítás Ha A érvényes formula, akkor a definíció szerint ∅ |= A. Így ∅∪{¬A} (= {¬A}) kielégíthetetlen,s így a kielégíthetetlenségre kimondott tétel alapján ennek a halmaznak a bovítései is kielégíthetetlenek.Γ ∪ {¬A} bovítése {¬A}-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.

90. „Kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula következménye.” Adja meg pontosan a tételt elsorendben,és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy formulahal-maz.. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor minden A formula esetén Γ |= A.

Bizonyítás A már bizonyított tétel szerint ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor Γ minden bovítése iskielégíthetetlen. Γ ∪ {¬A} bovítése Γ-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.

91. Adja meg a dedukció tételt elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!


Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmazés A,B ∈ Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B, akkor Γ |= (A ⊃ B).

Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ ∪ {A} |= B teljesül, de Γ |= (A ⊃ B) nem teljesül.

Így Γ ∪ {¬(A ⊃ B)} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas!Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:

• Γ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és a v értékelés szerint.

• |¬(A ⊃ B)|〈U,%〉v = 1

|(A ⊃ B)|〈U,%〉v = 0, azaz |A|〈U,%〉

v = 1 és |B|〈U,%〉v = 0. Így |¬B|〈U,%〉

v = 1. Γ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmazminden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és a v értékelés szerint, azaz a formulahalmaz kielégítheto, tehátΓ ∪ {A} |= B nem teljesül, ami ellentmondás.

92. Adja meg a dedukció tételének megfordítását elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmazés A,B ∈ Form két formula. Ha Γ |= (A ⊃ B), akkor Γ ∪ {A} |= B.

Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= (A ⊃ B), és ugyanakkor Γ ∪ {A} |= B nem teljesül.

Így Γ ∪ {A} ∪ {¬B} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas!Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:

• Γ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint.

• |A|〈U,%〉v = 1

• |¬B|〈U,%〉v = 1, így |B|〈U,%〉

v = 0

Így |(A ⊃ B)|〈U,%〉v = 0, következésképpen |¬(A ⊃ B)|〈U,%〉

v = 1. Γ ∪ {¬(A ⊃ B)} formulahalmazminden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint, azaz az 〈U, %, v〉 rendezett hármas modelljea formulahalmaznak, ami egyben azt is jelenti, hogy a formulahalmaz kielégítheto. Tehát Γ |= (A ⊃ B) nemteljesül, ami ellentmond indirekt feltételünknek.

93. Adja meg a következményreláció és implikáció kapcsolatát leíró tételt elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A,B ∈ Form két formula.A |= B akkor és csak akkor, ha |= (A ⊃ B)

Bizonyítás Alkalmazzuk a dedukció tételt és megfordítását abban az esetben, amikor Γ = ∅.

94. Adja meg a logikai és materiális ekvivalencia kapcsolatát leíró következményt elsorendu logika esetén!


Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két for-mula. A⇔ B akkor és csak akkor, ha |= (A ≡ B).

95. Adja meg a metszet tételt elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ,∆ ⊆ Form két formulahal-maz és A,B ∈ Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B és ∆ |= A, akkor Γ ∪∆ |= B.

Indirekt bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ∪{A} |= B és ∆ |= A, de Γ∪∆ |= B nem teljesül.

Ekkor Γ ∪ ∆ ∪ {¬B} kielégítheto (a következményreláció definíciója miatt), azaz van modellje. Legyen aformulahalmaz egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas. Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:

• Γ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint.

• ∆ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint.

• |¬B|〈U,%〉v = 1

Mivel ∆ |= A és ∆ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint, |A|〈U,%〉v = 1. Követ-

kezésképpen a Γ ∪ {A} ∪ {¬B} halmaz minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint,ami azt jelenti, hogy a Γ ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmaz kielégítheto. Ekkor azonban a következményrelációdefiníciója miatt Γ ∪ {A} |= B nem teljesül. Ez pedig ellentmond indirekt feltételünknek.

96. Adja meg és bizonyítsa az elso de Morgan törvényt elsorendu logika esetén!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula ésx ∈ V ar egy változó. Ekkor ¬∃xA⇔ ∀x¬A.

Bizonyítás A törvény bizonyításához eloször lássuk be, hogy ¬∃xA |= ∀x¬A.

Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül a következményreláció, azaz a {¬∃xA,¬∀x¬A} halmaz kielégítheto.

Ekkor a halmaznak van modellje, legyen a tekintett formulahalmaz egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hár-mas. Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:

• |¬∃xA|〈U,%〉v = 1, és így |∃xA|〈U,%〉

v = 0

• |¬∀x¬A|〈U,%〉v = 1, azaz |∀x¬A|〈U,%〉

v = 0

Az univerzális kvantor szemantikai szabálya szerint a 2. pont akkor teljesül, ha van olyan u ∈ U , hogy|¬A|〈U,%〉

v[x:u] = 0, azaz |A|〈U,%〉v[x:u] = 1. Ez pedig az egzisztenciális kvantor szemantikai szabálya szerint azt

jelenti, hogy |∃xA|〈U,%〉v = 1, ami ellentmond az elso pontnak.

Most lássuk be, hogy ∀x¬A |= ¬∃xA! Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül a következményreláció, azaz a{∀x¬A,¬¬∃xA} halmaz kielégítheto.

Ekkor a halmaznak van modellje, legyen a tekintett formulahalmaz egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hár-mas. Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:


• |∀x¬A|〈U,%〉v = 1

• |¬¬∃xA|〈U,%〉v = 1, azaz |∃xA|〈U,%〉

v = 1

Az egzisztenciális kvantor szemantikai szabálya szerint a 2. pont akkor teljesül, ha van olyan u ∈ U , hogy|A|〈U,%〉

v[x:u] = 1, azaz |¬A|〈U,%〉v[x:u] = 0. Ez pedig az univerzális kvantor szemantikai szabálya szerint azt jelenti,

hogy |∀x¬A|〈U,%〉v = 0, ami ellentmond az elso pontnak.

97. Sorolja fel a kvantorok hatásköre bovítésének törvényeit!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A,B ∈ Form két formula ésx ∈ V ar egy változó. Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor

• A ∧ ∀xB ⇔ ∀x(A ∧B)

• A ∧ ∃xB ⇔ ∃x(A ∧B)

• A ∨ ∀xB ⇔ ∀x(A ∨B)

• A ∨ ∃xB ⇔ ∃x(A ∨B)

• A⊃∃xB ⇔ ∃x(A⊃B)

• ∃xB⊃A⇔ ∀x(B⊃A)

• A⊃∀xB ⇔ ∀x(A⊃B)

• ∀xB⊃A⇔ ∃x(B⊃A)

98. Adja meg a fiktív kvantorokra vonatkozó törvényeket!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula ésx ∈ V ar egy változó. Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor

• ∀xA⇔ A

• ∃xA⇔ A

99. Adja meg a szinonimákra vonatkozó tételeket!

Megoldás:Tétel A formulák között értelmezett kongruencia reláció ekvivalencia reláció, azaz:

• reflexív: A ∈ Cong(A);

• szimmetrikus: ha B ∈ Cong(A), akkor A ∈ Cong(B);

• tranzitív: ha B ∈ Cong(A) és C ∈ Cong(B), akkor C ∈ Cong(A).

Tétel A kongruens formulák logikailag ekvivalensek, azaz ha B ∈ Cong(A), akkor A⇔ B.


100. Adja meg a változótisztaságra vonatkozó tételt!

Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy formula. Ekkorlétezik olyan B ∈ Form formula, hogy

• a B formula változóiban tiszta,

• a B formula kongruens az A formulával, azaz B ∈ Cong(A).

101. Adja meg a prenex alakra vonatkozó tételt!

Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv és A ∈ Form.Ekkor létezik olyan B ∈ Form, hogy

• a B formula prenex alakú,

• A⇔ B.

3. Feladatok

102. Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmazban mindig van hamis elem!

103. Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak van kielégítheto része?

104. Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak van nem üres kielégítheto része?

105. Igaz-e, hogy minden kielégítheto formulahalmaznak van kielégíthetetlen bovítése?

106. Igaz-e, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmaznak minden része kielégíthetetlen?

107. Kielégítheto vagy kielégíthetetlen az üres formulahalmaz?

108. Adjon példát kielégítheto, illetve kielégíthetetlen formulahalmazra!

109. Bizonyítsa be, hogy A |= B (A,B ∈ Form) akkor és csak akkor, ha minden olyan interpretáció, amely A-tigazzá teszi, igazzá teszi B-t is!

110. Bizonyítsa be, hogy A |= B akkor és csak akkor nem teljesül, ha van olyan interpretáció, amelyben A igaz és Bhamis!

111. Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula következménye!

112. Bizonyítsa be, hogy egy érvényes formula minden formulahalmaznak következménye!

113. Igazak-e az alábbi állítások? (Ha igaz, akkor bizonyítsa, ha hamis, akkor ellenpéldával cáfolja!)

(a) Minden A formula esetén ha az A formula kielégítheto (azaz a {A} halmaz kielégítheto), akkor a ¬A iskielégítheto.

(b) Ha ¬A érvényes akkor A nem kielégítheto.

(c) Ha ¬A kielégítheto, akkor A érvényes formula.

(d) Ha A érvényes formula, akkor A kielégítheto.


(e) Ha A kielégítheto, akkor A érvényes formula.

(f) Minden A formula esetén létezik olyan A-tól különbözo B formula, amelyre teljesül, hogy A |= B.

(g) Minden A formula esetén létezik olyan A-val nem logikailag ekvivalens B formula, amelyre teljesül, hogyA |= B.

(h) Minden A formula esetén létezik olyan A-tól különbözo B formula, amelyre teljesül, hogy B |= A.

(i) Minden A formula esetén létezik olyan A-val nem logikailag ekvivalens B formula, amelyre teljesül, hogyB |= A.

(j) Minden A,B formula esetén teljesül, hogy A |= B vagy B |= A.

(k) Létezik olyan formula, amely minden formulának következménye.

(l) Minden A,B formula esetén teljesül, hogy ha A |= B, akkor B |= A.

(m) Minden A,B formula esetén teljesül, hogy ha A |= B, akkor B-nek nem logikai következménye az A.

(n) Létezik olyan A,B formula, hogy A |= B, de B-nek nem következménye A.

(o) Ha Γ |= A vagy Γ |= B, akkor Γ |= (A ∧B).

(p) Ha Γ |= A és Γ |= B, akkor Γ |= (A ∨B).

(q) Ha Γ |= A ∨B, akkor Γ |= A vagy Γ |= B.

(r) Ha Γ |= (A ⊃ B) és Γ |= (A ⊃ C), akkor Γ, A |= (B ∧ C).

(s) Ha Γ |= (A ⊃ B) és Γ |= (A ⊃ C), akkor Γ, C |= (A ∨B).

(t) Ha Γ |= (A ⊃ C) és Γ |= (B ⊃ C), akkor Γ, (A ∨B) |= C.

(u) Ha Γ |= (A ⊃ C) és Γ |= (B ⊃ C), akkor Γ, (A ∨ C) |= B.

114. Bizonyítsa be az alábbiakat!

(a) Ha Γ |= A és Γ |= (A ⊃ B), akkor Γ |= B.

(b) Ha Γ |= A és Γ |= B, akkor Γ |= (A ∧B).

(c) Ha Γ, A |= C és Γ, B |= C, akkor Γ, (A ∨B) |= C.

(d) Ha Γ |= A, akkor Γ |= A ∨B.

(e) Ha Γ, A |= B és Γ, A |= ¬B, akkor Γ |= ¬A.

(f) Ha Γ |= A és Γ |= (A ≡ B), akkor Γ |= B.

115. (a) Döntse el, hogy egy adott formulában egy adott változó behelyettesítheto-e egy megadott változóval! Haigen, akkor hajtsa végre a behelyettesítést!

(b) Döntse el, hogy egy adott formulában egy adott változó behelyettesítheto-e egy megadott terminussal! Haigen, akkor hajtsa végre a behelyettesítést!

(c) Adja meg egy adott formula szabályosan végrehajtott átnevezését!

(d) Döntse el két adott formuláról, hogy kongruensek-e!

(e) Döntse el két adott formuláról, hogy egymás szintaktikai szinonimái-e!

(f) Adja meg egy adott formula változótiszta alakját!

(g) Adja meg egy adott formula prenex alakját!

116. Bizonyítsa be a kvantifikáció De Morgan törvényeit!

(a) ¬∃xA⇔ ∀x¬A(b) ¬∃xA |= ∀x¬A(c) ∀x¬A |= ¬∃xA(d) ¬∀xA⇔ ∃x¬A(e) ¬∀xA |= ∃x¬A


(f) ∃x¬A |= ¬∀xA

117. Bizonyítsa be a kvantorok kifejezhetoségére vonatkozó törvényeket!

(a) ∃xA⇔ ¬∀x¬A(b) ∀xA⇔ ¬∃x¬A

118. Bizonyítsa be a kvantorok konjunkcióban való mozgatásának törvényeit!

(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∧ ∀xB ⇔ ∀x(A ∧B).

(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∧ ∀xB |= ∀x(A ∧B).

(c) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀x(A ∧B) |= A ∧ ∀xB.

(d) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∧ ∃xB ⇔ ∃x(A ∧B).

(e) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∧ ∃xB |= ∃x(A ∧B).

(f) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃x(A ∧B) |= A ∧ ∃xB.

119. Bizonyítsa be a kvantorok diszjunkcióban való mozgatásának törvényeit!

(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∨ ∀xB ⇔ ∀x(A ∨B).

(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∨ ∀xB |= ∀x(A ∨B).

(c) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀x(A ∨B) |= A ∨ ∀xB.

(d) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∨ ∃xB ⇔ ∃x(A ∨B).

(e) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∨ ∃xB |= ∃x(A ∨B).

(f) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃x(A ∨B) |= A ∨ ∃xB.

120. Bizonyítsa be az univerzális kvantor implikációban való mozgatásának törvényeit!

(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A⊃∀xB ⇔ ∀x(A⊃B).

(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A⊃∀xB |= ∀x(A⊃B).

(c) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀x(A⊃B) |= A⊃∀xB.

(d) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀xB⊃A⇔ ∃x(B⊃A).

(e) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀xB⊃A |= ∃x(B⊃A).

(f) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃x(B⊃A) |= ∀xB⊃A.

121. Bizonyítsa be az egzisztenciális kvantor implikációban való mozgatásának törvényeit!

(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A⊃∃xB ⇔ ∃x(A⊃B).

(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A⊃∃xB |= ∃x(A⊃B).

(c) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃x(A⊃B) |= A⊃∃xB.

(d) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃xB⊃A⇔ ∀x(B⊃A).

(e) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃xB⊃A |= ∀x(B⊃A).

(f) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀x(B⊃A) |= ∃xB⊃A.

122. Bizonyítsa be a kvantorok fiktív alkalmazására vonatkozó törvényeket!

(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀xA⇔ A.

(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃xA⇔ A.

Documents

Logika kiskáté - unideb.hu · Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 3/29 Dom(%) = Con Ha p 2Con, akkor %(p) 2f0;1g. 8. Adja meg a formula szemantikai értékének