LOGIKA MATEMATIKALOGIKA MATEMATIKA Terima Kasih

LOGIKA MATEMATIKALOGIKA MATEMATIKA

Pengertian LogikaPengertian LogikaDari Wikipedia Indonesia:Dari Wikipedia Indonesia:• LogikaLogika berasal dari kata berasal dari kata Yunani kunoYunani kuno λόγος ( λόγος (logoslogos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran ) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran

yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa.yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa.

• Logika sebagai ilmu pengetahuanLogika sebagai ilmu pengetahuan– Logika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dimana obyek materialnya adalah berpikir Logika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dimana obyek materialnya adalah berpikir

(khususnya penalaran/proses penalaran) dan obyek formal logika adalah berpikir/penalaran (khususnya penalaran/proses penalaran) dan obyek formal logika adalah berpikir/penalaran yang ditinjau dari segi ketepatannya.yang ditinjau dari segi ketepatannya.

• Logika sebagai cabang filsafatLogika sebagai cabang filsafat– Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis disini berarti logika dapat Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis disini berarti logika dapat

dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari.dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari.– Logika lahir bersama-sama dengan lahirnya Logika lahir bersama-sama dengan lahirnya filsafatfilsafat di di YunaniYunani. Dalam usaha untuk . Dalam usaha untuk

memasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-filsuf Yunani kuno tidak memasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-filsuf Yunani kuno tidak jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan menunjukkan jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan menunjukkan kesesatan penalarannyakesesatan penalarannya..

– Logika digunakan untuk melakukan Logika digunakan untuk melakukan pembuktianpembuktian. Logika mengatakan yang bentuk . Logika mengatakan yang bentuk inferensiinferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang filosofifilosofi, , tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematikamatematika..

• Logika sebagai matematika murniLogika sebagai matematika murni– Logika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang Logika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang

tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (logika simboliklogika simbolik). Logika ). Logika tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.geometri.

http://id.wikipedia.org/wiki/Logika

Iman: mufakat pada hak dan dengan dalil.Mufakat pada hak maksudnya benar atau sesuai dengan keyataan.

Kebenaran: daruri/instink (tidak dengan bukti) dan najari (dengan bukti/dalil)Dalil: akal dan naqli.

Hukum:Akal: Wajib, mustahil dan harus

Adat: kebiasaan yang berulang-ulang, suatu kejadian diikuti kejadian yang lain.Konvensi/syariat, suatu hukum yang didasari kesepakatan terbagi menjadi: Wajib, haram,

sunat, harus, mubah.

Kegunaan Logika

• Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren. • Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif. • Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri. • Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis • Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan. (Wikepedia)

Agama

Filsafat

Ilmu

Pengetahuan

Indera

AQLI

AkalNAQLI

Wahyu

Pernyataan

Kalimat terbuka:.Kalimat terbuka mengandung variabel dan belum pasti benar salahnya

sedangkan kalimat tertutup sudah ada kepastian akan benar atau salahnya.

Pernyataan adalah sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan kepada pihak lain dengan menggunakan suatu media yang telah disepakati,

biasanya lewat lisan atau tulisan, sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan tersebut memiliki nilai kebenaran, yakni bernilai benar atau salah, biasa juga

disebut sebagai kalimat tertutup.

Latihan : Lengkapi tabel berikut, tentukan jenis kalimat berikut, terbuka atau tertutup, jika tertutup benar atau salah?

√√Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?

√√Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10

√√2x + 4 = 82x + 4 = 8

√√Presiden Indonesia pertama adalah Ir. SoekarnoPresiden Indonesia pertama adalah Ir. Soekarno

SalahSalahBenarBenar

TertutupTertutupTerbukaTerbukaPernyataanPernyataan

Pernyataan

Kalimat terbuka:.Kalimat terbuka mengandung variabel dan belum pasti benar salahnya

sedangkan kalimat tertutup sudah ada kepastian akan benar atau salahnya.

Pernyataan adalah sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan kepada pihak lain dengan menggunakan suatu media yang telah disepakati,

biasanya lewat lisan atau tulisan, sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan tersebut memiliki nilai kebenaran, yakni bernilai benar atau salah, biasa juga

disebut sebagai kalimat tertutup.

√√Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?

√√Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10

√√2x + 4 = 82x + 4 = 8

√√Presiden Indonesia pertama adalah Ir. SoekarnoPresiden Indonesia pertama adalah Ir. Soekarno

SalahSalahBenarBenar

TertutupTertutupTerbukaTerbukaPernyataanPernyataan

Latihan 1: Lengkapi tabel berikut, tentukan jenis kalimat berikut, terbuka atau tertutup, jika tertutup benar atau salah?

Pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal yang dirangkai dengan menggunkan kata hubung logika.

Pernyataan Majemuk

Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan maka banyak baris pada

tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah

Hubungan dan (Konjungsi), simbol “∧ “

Hubungan atau (Disjungsi), simbol “∨ “

Hubungan maka (Implikasi), simbol “→ “

Hubungan Jika dan hanya jika (Biimplikasi), simbol “↔ “

Dalam hal ini:

Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang disusun dari n buah pernyataan tunggal

11 22

22 44

33 88

44 1616

…… ……7 128

ppnn pp33 pp33 pp22 pp11

BB B B B B

BB B B B S

BB B B S B

BB B B S S

BB B S B B

BB B S B S

BB B S S B

BB B S S S

BB S B B B

BB S B B S

BB S B S B

BB S B S S

BB S S B B

BB S S B S

BB S S S B

BB S S S S

Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang disusun dari n buah pernyataan tunggal

S S S S S

ppnn pp33 pp33 pp22 pp11

BB B B B B

BB B B B S

BB B B S B

BB B B S S

BB B S B B

BB B S B S

BB B S S B

BB B S S S

BB S B B B

BB S B B S

BB S B S B

BB S B S S

BB S S B B

BB S S B S

BB S S S B

BB S S S S

Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang disusun dari n buah pernyataan tunggal

S S S S S

ppnn …… pp33 pp33 pp22 pp11

BB …… B B B B

BB …… B B B S

BB …… B B S B

BB …… B B S S

BB …… B S B B

BB …… B S B S

BB …… B S S B

BB …… B S S S

BB …… S B B B

BB …… S B B S

BB …… S B S B

BB …… S B S S

BB …… S S B B

BB …… S S B S

BB …… S S S B

BB …… S S S S

Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang disusun dari n buah pernyataan tunggal

S …… S S S S

Konjungsi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan

kata hubung danp ∧ q

p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Disjungsi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan

kata hubung ataup ∨ q

p q p ∨ q

B B B

B S B

S B B

S S S

Implikasi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan

kata hubung jika p maka q

p → qp q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Biimplikasi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan

kata hubung p jika dan hanya jika q

p ↔ qp q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

1. Langkapi Tabel untuk Pernyataan

(p ∧ q) → r

No. p q r p ∧ q (p ∧ q) → r(1) B B B B B

(2) B B S B S

(3) B S B S B

(4) B S S S B

(5) S B B S B

(6) S B S S B

(7) S S B S B

(8) S S S S B

No. p q r p ∧ q (p ∧ q) ⇔ r(1) B B B B B

(2) B B S B S

(3) B S B S S

(4) B S S S B

(5) S B B S S

(6) S B S S B

(7) S S B S S

(8) S S S S B

2. Langkapi Tabel untuk Pernyataan

(p ∧ q) ⇔ r

3. Tentukan bentuk pernyataan dari rangkaian berikut, kemudian cari nilai kebenarannya jika p dan r benar, q, s

dan t salah.

Sebuah pernyataan majemuk yan selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan

komponennya.

p q p ∧ q (p ∧ q) ⇒ pB B B B

B S S B

S B S B

S S S B

Tautologi

Sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasiContoh

(p ∧ q) ⇒ p

Implikasi Logis

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B B

B S S

S B S

S S S

B ^ Be Bilang

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B B

B S S

S B S

S S S

B ^ Be Bilang

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B B

B S S

S B S

S S S

B ^ Be Bilang

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B B

B S S

S B S

S S S

B ^ Be Bilang

p q

Konjungsi (^)

p q p ^ q

B B B

B S S

S B S

S S S

B ^ Be Bilang

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B B

B S B

S B B

S S S

S v Su Sapi

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B B

B S B

S B B

S S S

S v Su Sapi

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B B

B S B

S B B

S S S

S v Su Sapi

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B B

B S B

S B B

S S S

S v Su Sapi

P

q

Disjungsi (V)

p q p V q

B B B

B S B

S B B

S S S

S v Su Sapi

Im p l ik a s i (→)

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Be Sar Sekali

p

q

~P

q

p → q setara dengan ~p ∨ q

Im p l ik a s i (→)

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Be Sar Sekali

p q

p → q setara dengan ~p ∨ q

p

q

Im p l ik a s i (→)

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Be Sar Sekali

pq

p → q setara dengan ~p ∨ q

p

q

Im p l ik a s i (→)

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Be Sar Sekali

p

q

p → q setara dengan ~p ∨ q

p

q

Im p l ik a s i (→)

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Be Sar Sekali

pq

p → q setara dengan ~p ∨ q

p

q

p q

Biimplikasi (↔)

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Sama Benar

p q

Biimplikasi (↔)

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Sama Benar

p q

Biimplikasi (↔)

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Sama Benar

p q

Biimplikasi (↔)

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Sama Benar

p q

Biimplikasi (↔)

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Sama Benar

Menyatakan lawan dari suatu pernyataanIngkaran p ditulis

∼ p

Negas i/Ingkaran:

Nega s i/Ingkaran:

Perlu dicamkan:∼ (p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q tanda “≡” artinya ekuivalen, setara, sama hasilnya

∼ ( p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q∼ ( p → q) ≡ ∼ (∼p v q) ≡ p ∧ ∼ q∼ ( p ↔ q) ≡ ∼ [(p → q) ∧ (q → p)] ≡ ∼(p → q) ∨ ∼(q → p) ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p)

∼ (∀x ; p(x)) ≡ ∃x ; ∼p(x)Dibaca: Ingkaran dari pernyataan semua/setiap x

merupakan p(x) adalah ada x yang bukan p(x)

∼ (∃x ; p(x)) ≡ ∀x ; ∼p(x)Dibaca: Ingkaran dari pernyataan ada x yang p(x)

adalah semua x bukan p(x).

Pernyataan B erkuantorPernyataan yang memuat kata-kata

“ada, semua/setiap.”

p q q p

∼p ∼q ∼q ∼p

konvers

invers kontraposisi

Invers, Konvers dan Kontraposisi

konvers

invers

A w a s , i n v e r s ≠ n e g a s i

(i n g k a r a n )

p ⇒ q ……………. premis 1 q ⇒ r ……………. premis 2∴ p ⇒ r ……………. kesimpulan/konklusinya

p ⇒ q ……………. premis 1 p ……………. premis 2 ∴ q ……………. kesimpulan/konklusinya

p ⇒ q ……………. premis 1 ∼q ……………. premis 2 ∴ ∼p ……………. kesimpulan/konklusinya

Silogisme :

Modus Ponens:

Dalam bentuk implikasi, modus ponens di atas dapat ditulis:[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q

Modus Tollens:

Dalam bentuk implikasi, modus ponens di atas dapat ditulis:[(p ⇒ q) ∧ ∼q] ⇒ ∼p

• Terima Kasih, Tarima Kasih (Melayu)• Thank You• Kamchia (Chine)• Matur Nuwon (Jawa)• Hatur Nuhun (Sunda)• Mauliate (Batak)• Sahwa Gele (Nias)• Bujur (Karo)• Matur Suksma (Bali)• Terimang Genasih (Aceh)