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LOGIQUE
INFORMATIQUE
OLFA MOUELHI
MOHAMED HENY SELMI
ECOL E SUPÉRIEURE PR IVÉE D 'INGÉNIERIE ET DE TECHNOL OGIES
ORGANISATION DU
MODULE
Enseignement
• Cours/TD 80%
• TP sur machine 20%
Langage support PROLOG
Évaluations
• Evaluation (TD noté) 20%
• TP noté en fin de module 20%
• Examen final 60%
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
INTRODUCTION
PLAN DU COURS
Logique formelle (Bases théoriques )
• Calcul propositionnel
• Calcul des prédicats
Le langage PROLOG
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
DOMAINES D’APPLICATION
Intelligence Artificielle : une nouvelle façon de programmer
Systèmes Experts, Systèmes d’Aides à la Décision
Programmation des Jeux
Techniques de Représentation de Connaissances
Traduction formelle et Interprétation des langages naturel
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
EN TP, VOUS
APPRENDREZ À ...
Utiliser PROLOG
Résoudre automatiquement des énigmes logiques exprimées en
langage naturel
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
1. LOGIQUE DES PROPOSITIONS
(LOGIQUE D’ORDRE 0)
2. LOGIQUE DES PREDICATS
(LOGIQUE D’ORDRE 1)
3. PROGRAMMATION LOGIQUE
PROLOG
1. LOGIQUE DES PROPOSITIONS
(LOGIQUE D’ORDRE 0)
2. LOGIQUE DES PREDICATS
(LOGIQUE D’ORDRE 1)
3. PROGRAMMATION LOGIQUE
PROLOG
QU’EST-CE QU’UNE PROPOSITION ?
Une connaissance qui est vraie ou fausse!
Exemple :
- il pleut p1
- il fait beau p2
- après le repas, je tonds la pelouse p3
- Il y a un bon film à la télévision ce soir p4
Chacun de ces énoncés est représenté par une proposition.
On nomme chaque proposition élémentaire.
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Construire de nouvelles propositions à partir de
celles qui existent en ajoutant des connecteurs :
-Il pleut et il y a un bon film à la télévision ce soir:
-Je ne tonds pas la pelouse après le repas:
-Il pleut si et seulement si il ne fait pas beau:
p1 ^ p4
¬p3
p1 ¬p2
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DÉFINITION
Etude scientifique des conditions de vérités de proposition.
Manière basique et simple de raisonner.
Enchainement cohérent d’idées.
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OBJECTIFS
Comment écrire les formules ?
• Aspects syntaxiques
Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ?
• Aspects sémantiques
Comment démontrer de nouveaux résultats ?
• Aspects déductifs
modéliser
interpréter
Raisonner
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SYNTAXE DU LANGAGE
Vocabulaire
• un ensemble de variables propositionnelles(atomes)
{ p, q, r, … } énoncés élémentaires
• un ensemble de connecteurs
{ , , , , }
• Ensemble de délimiteurs
{(,)}
Formules bien formée (fbf)
• p est une fbf
• (H) est une formule si H est une fbf
• (H K), (H K), (H K) et (H K) sont des fbf si H et K sont
des fbf
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PRIORITÉ DES CONNECTEURS
ET PARENTHÈSES
On utilise les parenthèses pour éviter les ambigüités de lecture.
Priorité décroissante des connecteurs dans l’ordre:
Quand il y’a un seul connecteur l’association se fait de gauche à droite
Exemples:
1) P Q R (P (( Q) (R)))
2) P Q R (P (Q R ))
3) P QR S (((P Q)R) S)
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SÉMANTIQUE D’UNE FORMULE
Logique bi-valuée
• fausse (F)
• vraie (V)
Notion d’interprétation
• donner une valeur de vérité à une variable
• Pour n atomes 2n interprétations
1,,)( OouFVp
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TABLES DE VÉRITÉ :
OPÉRATEURS
V
F F F
F V
F V
V V
V V
F V
V F
F V
p p
F
V
F V
F
V
F V
F
V
F V
F
V
F V
F
V
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FORMULES
PARTICULIÈRES
Tautologie (valide) : formule toujours vraie
• Toutes les interprétations ne contiennent que des V
• exemple : p p
p ( p) (p p)
F
V
V
F
V
V
F V
V V
F V
F
V
toutes les interprétations
sont évaluées à VRAIE
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)()(: qpqpA
p q ¬ p ¬ q p q ¬ ( p q ) (¬ p ¬ q) A
F F
F V
V F
V V
V
V
F
F
V
F
V
F
F F
F V
F V
F
V
F V
V
V
F
F V
V V
F V
F
V
V F
F
V V
V
V F
F V
F V
F
V
V
V
V
V F
Calcul propositionnel
est-elle valide?
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VALIDE, INVALIDE, INCONSISTANTE,
CONSISTANTE ???
F V
V
V
V
V
F
F
F
F
F V
V F
V
F
V
V
F
F
V
F
F V V F
VALIDE INCONSISTANTE
CONSISTANTE INVALIDE INVALIDE
et
CONSISTANTE
V
V
F
F
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FORMULES ÉQUIVALENTES
Formules tautologiquement équivalentes
• les tables de vérité sont les mêmes
• Condition nécessaire et suffisante :
(A) (B) est une tautologie
)()(, BA
Calcul propositionnel
A B V V
V V
F F
V V
F F
F F
F F
EQUIVALENTES
A B V V
V F
F F
V V
F F
F F
F F
EQUIVALENTES
AB V
V
V
V
V
V
V
EQUIVALENTES
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FORMULES
ÉQUIVALENTES UTILES
AA= V (loi du tiers exclu)
A A=F
((AB) A) B (modus ponens)
((A B) B) A (modus tollens)
(A B) (B A) (contraposition)
A A (double négation)
A B A B
A B (A B) (B A)
AA AA A (idempotence)
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Lois de Morgan :
(AB) A B
(AB) A B
FORMULES
PARTICULIÈRES
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EXERCICE
D’APPLICATION :
Développer la négation en appliquant les lois de Morgan:
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FORMES NORMALES
But:
avoir une représentation uniforme des formules du calcul
propositionnel
limiter le nombre de connecteurs différents utilisés
FORMES NORMALES
FN CONJONCTIVES
FN DISJONCTIVES
(, ¬) (, ¬) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
FORMES NORMALES
Une formule F est dite sous Forme Normale Disjonctive ssi F est une disjonction de conjonctions de variables propositionnelles et de leurs négations
Toute formule du calcul propositionnel est tautologiquement équivalente à une formule sous forme normale disjonctive
Une formule F est dite sous Forme Normale Conjonctive ssi F est une conjonction de disjonctions de variables propositionnelles et de leurs négations
Toute formule du calcul propositionnel est tautologiquement équivalente à une formule sous forme normale conjonctive
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ALGORITHME DE
NORMALISATION
Début
Elimination des connecteurs et
Remplacer A B par A B
A B par (A B) (B A)
Application des lois de Morgan
Remplacer (AB) par A B
(AB) par A B
Elimination des doubles négations A par A
Application des règles de distributivité
A (B C) par (A B) (AC)
(A B) C par (AC) (BC)
Fin
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ASPECTS
DÉDUCTIFS
NOTION DE CONSÉQUENCE LOGIQUE
NOTION DE RAISONNEMENT
CONSÉQUENCE
LOGIQUE / SÉMANTIQUE
F1, F2 ,…, Fn n formules bien formées : hypothèses
G une formule bien formée : conclusion
? Peut on déduire G à partir des hypothèses F1, F2 ,…, Fn
G est une conséquence logique de F1, F2 ,…, Fn ssi
(F1 … Fn) G est une tautologie
OU G est une conséquence logique de F1, F2 ,…, Fn ssi
(F1 … Fn) G est inconsistante
Notion de réfutation : démonstration par l’absurde
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EXERCICE
D’APPLICATION:
Considérons les arguments suivants:
« Si Didier est l’auteur de ce bruit, il est stupide ou
dépourvu de principes. Didier n’est ni stupide ni dépourvu de
principes. Donc Didier n’est pas l’auteur de ce bruit. »
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H1 : « Si Didier est l’auteur de ce bruit, il est stupide ou dépourvu de
principes »
(D → (S ∨ P))
H2 : « Didier n’est pas stupide »
¬S
H3 : « Didier n’est pas dépourvu de principes » ¬P
C : « Didier n’est pas l’auteur de ce bruit »
¬D
D : « Didier est l’auteur de ce bruit »
S : « Didier est stupide » P : « Didier est dépourvu de principes »
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La table de vérité nous permet de vérifier aisément l’assertion:
Vérifier si ?
C est une conséquence logique de H1, H2 et H3
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