Logistisk regressionstaff.pubhealth.ku.dk/~ebj/basal08_2/overheads/lr... · 2012. 3. 19. · Sædvanlig lineær regression Her er responsvariablen yi kvantitativ og vi antager, at

Logistisk regression

Basal Statistik for medicinske PhD-studerende

November 2008

Bendix Carstensen

Steno Diabetes Center, Gentofte &

Biostatististisk afdeling, Københavns Universitet

[email protected] www.biostat.ku.dk/~bxc


Logistisk regression omhandler analyse af responsvariable der

kun har to mulige udfald ogsa kaldet

• 0-1 variable

• binære variable

• ja-nej variable

November 2008: Logistisk regression 1

Eksempler er:

• Syg-rask

• død-levende

• stor-lille

Responsvariablen ønskes forklaret af en eller flere forklarende

variable.


Eksempel pa 0-1 variabel

Knoglemarvstransplantation pa 37 leukæmipatienter, udfaldet er

forekomst af ”acute graft versus host disease”, GvHD (DGA, s.361).

Obs gvhd donage preg type 19 0 25 1 11 0 23 0 2 20 0 24 0 32 0 18 0 2 21 1 35 1 13 0 19 0 1 22 1 35 1 24 0 22 0 2 23 1 23 0 35 0 38 0 2 24 1 43 0 36 0 20 0 2 25 1 24 1 37 0 19 0 2 26 1 35 1 28 0 23 0 2 27 1 31 0 39 0 36 0 1 28 1 29 1 210 0 19 0 1 29 1 20 0 111 0 20 0 2 30 1 39 1 112 0 21 0 3 31 1 14 0 113 0 38 0 2 32 1 35 1 214 0 15 0 2 33 1 25 1 315 0 16 0 2 34 1 32 0 316 0 25 0 1 35 1 19 0 317 0 21 1 1 36 1 34 0 318 0 20 0 2 37 1 20 0 1


Udfaldet

gvhd =

{

1 hvis patienten oplevede GvHD

0 hvis patienten ikke oplevede GvHD

Forklarende variable:

donage: donors alder

preg: har donor nogensinde været gravid =

{

1 ja

0 nej


type: leukæmitype =

1 akut myeloid leukæmi (AML)

2 akut lymfatisk leukæmi (ALL)

3 kronisk myeloid leukæmi (CML)

Hvilken betydning har de forklarende variable for risikoen for

at opleve GvHD?


Sædvanlig lineær regression

Her er responsvariablen yi kvantitativ og vi antager, at den er

normalfordelt

yi = b0 + b1x1i + b2x2i + ei, ei ∼ N (0, σ2)

eller:

yi ∼ N (b0 + b1x1i + b2x2i, σ2)

Forklarende variable: x1i, x2i

Regressionskoefficienter: b0, b1, b2


Fortolkning af lineær regression:

Hvad pavirker størrelse af thymus hos spædbørn:

thymus størrelse = 6.09+1.06×dreng+0.35×fødslesvægt i 100 gram

• For et givent køn vokser thymus med 0.35 pr. 100 g

fødselsvægt.

• For en given vægt er thymus 1.06 større hos drenge end

hos piger.

• For et pige barn med vægt lig 0 er den forventede thymus

størrelse 6.09.


• Effekten af de enkelte forklarende variable er betinget af de

øvrige variables tilstedeværelse i modellen.

• Effekten af de forklarende variable er lineær.


Analyse af 0-1 variabel

• Responsvariabel binær (0/1) – hvordan udtrykkes

afhængighed af donors alder (donage), donors

graviditetshistorie (preg) og patientens type af leukæmi

(type)

• Model for

p = P {GvHD} ∈ [0, 1]

• Upraktisk med

p = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3


• Transformationer

– Lidt bedre med

ln(p) = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3

– Bedst med logistisk regression som benytter logaritmen

(naturlige) til odds

ln

(

p

1− p

)

= b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3


Logistisk regression - lidt mere præcist

logit(p) = ln

(

p

1− p

)

= b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3

• Binære udfald: Y ∈ {0, 1}

• Sandsynlighed: p = P {Y = 1} ∈ [0, 1]

• Odds: ω =p

1− p∈ [0,+∞] dvs. p =

ω

1 + ω

• Odds-ratio: OR =p1

1− p1

/

p2

1− p2∈ [0,+∞]


• log-odds: logit(p) = ln

(

p

1− p

)

logit kaldes ogsa for link-funktionen.

• Lineær prediktor: logit(p) = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 = η

• Prædikteret odds: ω = exp(η)

• Prædikteret sandsynlighed: p =ω

1 + ω=

exp(η)

1 + exp(η)


Logistisk regression – fortolkning

To grupper, med sandsynligheder p1 hhv. p2:

logit(p1)− logit(p2) = ln

(

p1

1− p1

)

− ln

(

p2

1− p2

)

= ln

(

p1

1− p1

/

p2

1− p2

)

= ln(OR)

Lineære modeller for logit(p) giver sammenligninger via

odds-ratios.


Estimation af regressionskeofficienterne foregar ved en

metode kaldet maksimum likelihood estimation. I logistisk

regression er denne metode en iterativ procedure som der

ikke er nogle simple formler for. Hjælpen er SAS (eller anden

statistik software).


Logistisk regression af GvHD

En model kun med den binære forklarende variabel preg (har

donor nogensinde været gravid).

p = P {GvHD}

logit(p) = ln

(

p

1− p

)

= b0 + b1 × preg

Resulterende model:

logit(p) = −0.6931 + 2.0794× preg


Modellen

logit(p) = −0.6931 + 2.0794× preg

udtrykkes som sandsynlighed:

p =exp(−0.6931 + 2.0794× preg)

1 + exp(−0.6931 + 2.0794× preg)=

{

0.33 hvis preg=0

0.80 hvis preg=1


Binær forklarende variabel

Log-odds for GvHD for en patient hvis donor har været

gravid (preg=1):

ln

(

p1

1− p1

)

= ln(ω1) = b0 + b1 × 1 = b0 + b1

Log-odds for GvHD for en patient hvis donor IKKE har været

gravid (preg=0):

ln

(

p0

1− p0

)

= ln(ω0) = b0 + b1 × 0 = b0


Forskellen i log-odds mellem disse to typer af patienter er:

ln(ω1)− ln(ω0) = b0 + b1 − b0 = b1

Husk regnereglerne for logaritmer:

ln(ω1)− ln(ω0) = ln

(

ω1

ω0

)

= b1

Dvs. odds ratio mellem de to typer af patienter er

OR =ω1

ω0= exp(b1) = exp(2.0794) = 8


Fortolkningen er, at en patient hvis donor har været gravid

har 8 gange større odds for GvHD end en patient hvis donor

ikke har været gravid.

Donor gravid

Ja Nej Total

GvHD+ 8 9 17

GvHD− 2 18 20

Total 10 27 37

Odds ratio i denne 2 x 2 tabel beregnes som ...

Sandsynlighederne for GvHD afhængig af donorerens


graviditetshistorie ... sammenlign med slide nr. ??.


Donor gravid

Ja Nej Total

GvHD+ 8 9 17

GvHD− 2 18 20

Total 10 27 37

OR =8/2

9/18=

8× 18

9× 2= 8

p1 =8

10= 0.8, p0 =

9

27= 0.33 ⇒ RR =

0.8

0.33= 2.4


I dette eksempel er værdierne for OR og RR meget forskellige.

Hvorfor?

Hvis udfaldet er forholdsvis sjældent vil OR og RR ligge

tættere i værdi.


Vi udvider nu med at inkludere donors alder, donage:

logit(p) = b0 + b1 × preg + b2 × donage

logit(p) = −2.6883 + 1.6982× preg + 0.0806× donage

Kontrolleret for donors alder er odds ratio for preg nu

exp(1.6982) = 5.46, dvs lidt mindre end i den tidligere

model. I denne model er der ogsa en antagelse om, at uanset

hvilken alder donoren havde vil odds ratio for preg være 5.46.

Hvad er fortolkningen af estimatet for donage?


Kvantitativ forklarende variabel

Fortolkningen af donage hvis donor aldrig har været gravid

(preg=0):

Log-odds for GvHD for en patient hvis donor var A+1 ar:

ln

(

p1

1− p1

)

= ln(ω1) = b0+b1×0+b2×(A+1) = b0+b2×(A+1)

Log-odds for GvHD for en patient hvis donor var A ar:

ln

(

p0

1− p0

)

= ln(ω0) = b0 + b1 × 0 + b2 ×A = b0 + b2 ×A



ln(ω1)−ln(ω0) = b0+b2×(A+1)−(b0+b2×A) = b2 = 0.0806

Dvs. ORA+1,A = exp(0.0806) = 1.084.

Nar donors alder stiger med 1 ar stiger forholdet mellem

patienter der far hhv. ikke far GvHD med en faktor 1.084.

Tilsvarende hvis donor har været gravid.


Fortolkningen af donage hvis donor aldrig har været gravid:

Log-odds for GvHD for en patient hvis donor var A+10 ar:

ln

(

p1

1− p1

)

= ln(ω1) = b0+b1×0+b2×(A+10) = b0+b2×(A+10)

Log-odds for GvHD for en patient hvis donor var A ar:

ln

(

p0

1− p0

)

= ln(ω0) = b0 + b2 ×A



ln(ω1)−ln(ω0) = b0+b2×(A+10)−(b0+b2×A) = b2×10 = 0.0806

Dvs. ORA+10,A = exp(0.0806× 10) = exp(0.0806)10 =

1.08410 = 2.240.

Nar donors alder stiger med 10 ar stiger forholdet mellem

patienter der far hhv. ikke far GvHD med en faktor 2.240.

Tilsvarende hvis donor har været gravid.


Hvad betyder interceptet b0?

logit(p) = −0.6931 + 2.0794× preg

−0.6931 er log-odds for GvHD hos en patient hvis donor

aldrig har været gravid.

logit(p) = −2.6883 + 1.6982× preg + 0.0806× donage

−2.6883 er log-odds for GvHD hos en patient hvis donor

aldrig har været gravid og donors alder var 0 ar – ikke særligt

meningsfyldt. Vi vender tilbage til dette senere.


Konfidensintervaller (Wald type)

Som for lineær regression:

estimat± z1−α/2 × std.error

Std. error er ogsa noget som maximum likelihood

estimationen giver os.

Men i logistisk regression er estimaterne log-odds eller

log-odds-ratio.


GvHD data:

95% konfidensinterval for estimat (log-odds-ratio) associeret

med donors graviditetshistorie:

1.6982± 1.96× 0.9289 = (−0.1223, 3.5188)

For odds ratio:

(exp(−0.1223), exp(3.5188)) = (0.885, 33.745)



med 1 ars forskel i donors alder:

0.0806± 1.96× 0.0509 = (−0.0191, 0.1804)

For OR:

(exp(−0.0191), exp(0.1804)) = (0.981, 1.198)


med 10 ars forskel i donors alder:

10×0.0806±1.96×10×0.0509 = 10×(−0.0191, 0.1804) = (−0.191


For OR:

(exp(−0.0191)10, exp(0.1804)10) = (0.98110, 1.19810) = (0.826, 6


Wald test

Alternativt kan man teste hypotesen om en

regressionskoefficient er lig 0 med Wald χ2-testet:

X2 =

(

estimat

std.error

)2

∼ χ2(1).

Hvis χ2(1) er større end 3.84 forkastes hypotesen med et

signifikansniveau pa 5%.


Test af hypotesen H0: ingen association mellem GvHD og

donors graviditesthistorie (dvs. teste om estimatet for preg

= 0):

X2 =

(

1.6982

0.9289

)2

= 3.3425, p > 0.05

Test af hypotesen H0: ingen association mellem GvHD og

donors alder (dvs. teste om estimatet for donage = 0):

X2 =

(

0.0806

0.0509

)2

= 2.5096, p > 0.05


GvHD data analyseret i SAS – uden Analystdata gvhd;

input gvhd donage preg type;cards;0 23 0 20 18 0 20 19 0 10 22 0 2...1 20 0 1;run;

proc logistic data=gvhd;model gvhd(event="1") = preg donage / cl;

run;


Output fra SAS-program

The LOGISTIC ProcedureModel Information

Data Set WORK.GVHDResponse Variable gvhdNumber of Response Levels 2Model binary logitOptimization Technique Fisher’s scoring

Number of Observations Read 37Number of Observations Used 37

Response Profile

Ordered TotalValue gvhd Frequency

1 1 172 0 20

Probability modeled is gvhd=1.


Analysis of Maximum Likelihood Estimates

Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 -2.6883 1.3480 3.9772 0.0461preg 1 1.6982 0.9289 3.3425 0.0675donage 1 0.0806 0.0509 2.5096 0.1132

Odds Ratio Estimates

Point 95% WaldEffect Estimate Confidence Limitspreg 5.464 0.885 33.745donage 1.084 0.981 1.198

Wald Confidence Interval for Parameters

Parameter Estimate 95% Confidence LimitsIntercept -2.6883 -5.3302 -0.0463preg 1.6982 -0.1223 3.5188donage 0.0806 -0.0191 0.1804


Kategoriske forklarende variable

preg: har donor nogensinde været gravid =

{

1 ja

0 nej

Fortolkningen af OR for preg var forskellen i risiko for GvHD

mellem preg=1 og preg=0, eller svarende til en forskel pa 1

i den forklarende variabel. Men her er det vigtigt at preg var

kodet som 0/1. Hvis man vil være sikker i SAS skal man

benytte et sakaldt class statement.


SAS: class statementproc logistic data=gvhd;

class preg / param=ref;model gvhd(event="1")=preg;

run;


Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 1.3863 0.7906 3.0748 0.0795preg 0 1 -2.0794 0.8898 5.4619 0.0194


Point 95% WaldEffect Estimate Confidence Limitspreg 0 vs 1 0.125 0.022 0.715


Estimatet for preg er det samme som tidligere men med

minus foran og OR er den recibrokke af den tidligere OR.

Interceptet er ogsa ændret:

Uden class statement:

logit(p) = −0.6931+2.0794×preg ⇒ OR = exp(2.0794) = 8

Med class statement:

logit(p) = 1.3863−2.0794×preg ⇒ OR = exp(−2.0794) =


Dette skyldes, at SAS som default vælger den største værdi

af en klassevariabel som referencekategori, i dette tilfælde

preg = 1.

Hvad betyder interceptet i de to modeller? (hhv. −0.6931 og

1.3863)


Man kan vælge reference med ref=""(Husk citationstegn ogsa nar variablen er numerisk!)proc logistic data=gvhd;

class preg(ref="0") / param=ref;model gvhd(event="1")=preg;

run;Analysis of Maximum Likelihood Estimates

Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 -0.6931 0.4082 2.8827 0.0895preg 1 1 2.0794 0.8898 5.4619 0.0194

Odds Ratio EstimatesPoint 95% Wald

Effect Estimate Confidence Limitspreg 1 vs 0 8.000 1.399 45.755


Variable med mere end to kategorier

type: leukæmitype =

1 akut myeloid leukæmi (AML)

2 akut lymfatisk leukæmi (ALL)

3 kronisk myeloid leukæmi (CML)

proc logistic data=gvhd;model gvhd(event="1")=type;

run;


Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 -1.5333 0.9896 2.4010 0.1213type 1 0.6896 0.4641 2.2077 0.1373


Point 95% WaldEffect Estimate Confidence Limits


type 1.993 0.802 4.949


SAS: class statementproc logistic data=gvhd;

class type / param=ref;model gvhd(event="1")=type;

run;Type III Analysis of Effects

WaldEffect DF Chi-Square Pr > ChiSqtype 2 6.4478 0.0398

Analysis of Maximum Likelihood EstimatesStandard Wald

Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 1.3863 0.7906 3.0748 0.0795type 1 1 -1.5686 0.9958 2.4812 0.1152type 2 1 -2.4849 0.9789 6.4432 0.0111

Odds Ratio EstimatesPoint 95% Wald

Effect Estimate Confidence Limitstype 1 vs 3 0.208 0.030 1.467type 2 vs 3 0.083 0.012 0.568


Valg af akut lymfatisk leukæmi som referencekategori:

proc logistic data=gvhd;class type(ref="2") / param=ref;model gvhd(event="1")=type;

run;


Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSq

Intercept 1 -1.0986 0.5774 3.6208 0.0571type 1 1 0.9163 0.8367 1.1994 0.2734type 3 1 2.4849 0.9789 6.4432 0.0111


Point 95% WaldEffect Estimate Confidence Limits

type 1 vs 2 2.500 0.485 12.886type 3 vs 2 12.000 1.762 81.742


SAS class statement genererer automatisk to binære

variable (indikatorvariable) for de kategorier som ikke er

reference:

I{type=1} =

{

1 hvis type = 1

0 ellersI{type=3} =

{

1 hvis type

0 ellers

Modellen bliver sa:

logit(p) = b0 + b1 × I{type=1}+ b2 × I{type=3}

= −1.0986 + 0.9163× I{type=1}

+ 2.4849× I{type=3}


Log-odds for GvHD for en patient med akut myeloid leukæmi

(type=1)

logit(p1) = ln(ω1) = b0 + b1 × 1 + b2 × 0 = b0 + b1

Log-odds for GvHD for en patient med akut lymfatisk lekæmi

(type=2)

logit(p2) = ln(ω2) = b0 + b1 × 0 + b2 × 0 = b0


ln(ω1)− ln(ω2) = b0 + b1 − b0 = b1


Dvs. odds ratio mellem AML og ALL er

ORAML vs. ALL =ω1

ω2= exp(b1) = exp(0.9163) = 2.5

Tilsvarende er odds ratio mellem CML og ALL

ORCML vs. ALL = exp(b2) = exp(2.4849) = 12

Hvad betyder interceptet?


Log-odds for GvHD for en patient med AML (type=1)

logit(p1) = ln(ω1) = b0 + b1 × 1 + b2 × 0 = b0 + b1

Log-odds for GvHD for en patient med CML (type=3)

logit(p2) = ln(ω2) = b0 + b1 × 0 + b2 × 1 = b0 + b2


ln(ω1)− ln(ω2) = b0 + b1 − (b0 + b2) = b1 − b2

Dvs. odds ratio mellem AML og CML er

ORAML vs. CML =ω1

ω2= exp(b1−b2) = exp(0.9163−2.4849) = exp(


Wald test for kategoriske forklarende variable

Det Wald χ2-test (med 1 frihedsgrad) vi tidligere har set pa

var beregnet for hver parameterestimat for sig. Med en

kategorisk forklarende variabel med mere end to niveauer vil

vi ogsa gerne udtale os om variablen er statistisk signifikant

associeret til risikoen for responsen. Til dette findes en

version af Wald χ2-testet med antal frihedsgrader lig antal af

kategorier minus 1. Dette kan man ogsa kalde et test for

uafhængighed mellem variablen og responsen.


For variablen type fra GvHD eksemplet er antallet af

kategorier 3 sa Wald testet for hypotensen om ingen

sammenhæng mellem GvHD og type af leukæmi vil have 2

frihedsgrader. Dette svarer ogsa til ”simultant” at teste, at

begge parameterestimater for type er lig 0 – eller at teste

om alle tre kategorier har samme risiko for GvHD.

Heldigvis beregner SAS ogsa dette for os (i SAS kaldet ”Type

III analysis”). Det har ingen betydning for testet, hvilken

kategori der er blevet anvendt som reference:


proc logistic data=gvhd;class type / param=ref;model gvhd(event="1") = type;



proc logistic data=gvhd;class type(ref="2") / param=ref;model gvhd(event="1")=type;




Effekt af centrering af kvantitativ forklarende

variabel

For GvHD data havde vi modellen

logit(p) = −2.6883 + 1.6982× preg + 0.0806× donage.

Interceptet er log-odds for GvHD for en patient hvis donor

aldrig har været gravid og donors alder var 0 ar. Centrerer vi

donage omkring gennemsnitsalder for donorer (som er 26 ar)

er interceptet log-odds for GvHD for en patient hvis donor

aldrig har været gravid og donors alder var 26 ar:


data gvhd2;set gvhd;donage26=donage-26;

run;

proc logistic data=gvhd2;model gvhd(event="1")=preg donage26;

run;The LOGISTIC Procedure


Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 -0.5915 0.4298 1.8935 0.1688preg 1 1.6982 0.9289 3.3425 0.0675donage26 1 0.0806 0.0509 2.5096 0.1132


Hvis kovariaterne centreres omkring en værdi:

• ændres estimaterne ikke

• ændres standardafvigelsen ikke

• Wald’s test og p-værdi forbliver den samme

• Interceptet kommer til at referere til log-odds for den værdi

af kovariaterne man centrerer omkring.


Interaktion

Modellen fra GvHD eksemplet:

logit(p) = b0 + b1 × preg + b2 × donage26

antager, at effekten af donors alder pa risikoen for GvHD er

den samme blandt donorer som har været hhv. ikke har

været gravide. Dette bør vi teste. Dette gøres typisk ved at

tilføje en ekstra variable interact som er produktet mellem

preg og donage26:

interact = preg*donage26


Dvs.

interact =

{

donage26 hvis donor har været gravid

0 hvis donor ikke har været gravid


Modellen bliver

logit(p) = b0 + b1 × preg + b2 × donage26 + b3 × interact

• b1 er forskellen i log-odds mellem preg=1 og preg=0 for

en donor med en alder pa 26 ar.

• b2 er effekten af donage26 blandt donorer som IKKE har

været gravide.

• b3 er den ekstra effekt donage26 har blandt donorer som

har været gravide ud over b2. Dvs. hvis denne effekt er lig

0 vil effekten af donage26 være den samme for donorer der

har hhv. ikke har været gravide.


proc logistic data=gvhd;class preg(ref="0") / param=ref;model gvhd(event="1")=preg donage26 interact;

run;Type 3 Analysis of Effects

WaldEffect DF Chi-Square Pr > ChiSqpreg 1 1.6188 0.2033donage26 1 0.9534 0.3288interact 1 0.8699 0.3510 <- TEST FOR INGEN INTERAKTION


Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 -0.6199 0.4198 2.1797 0.1398preg 1 1 2.2368 1.7580 1.6188 0.2033donage26 1 0.0514 0.0527 0.9534 0.3288interact 1 0.7153 0.7669 0.8699 0.3510


proc logistic data=gvhd;class preg(ref="0") / param=ref;model gvhd(event="1")=preg donage26 preg*donage26; <----------------- LIDT LETTERE

run;

Type III Analysis of Effects

WaldEffect DF Chi-Square Pr > ChiSq

preg 1 1.6188 0.2033donage26 1 0.9534 0.3288donage26*preg 1 0.8699 0.3510


Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSq

Intercept 1 -0.6199 0.4198 2.1797 0.1398preg 1 1 2.2368 1.7580 1.6188 0.2033donage26 1 0.0514 0.0527 0.9534 0.3288donage26*preg 1 1 0.7153 0.7669 0.8699 0.3510


Alternativ parametrisering til interaktion

To nye variable:

donage26 notpreg =

{

donage26 hvis donor aldrig gravid

0 hvis donor tidl. gravid

donage26 preg =

{

0 hvis donor aldrig gravid

donage26 hvis donor tidl. gravid

Modellen skal sa være

logit(p) = b0+b1×preg+b2×donage26 notpreg+b3×donage26


logit(p) = b0+b1×preg+b2×donage26 notpreg+b3×donage26

• b1 er forskellen i log-odds mellem preg=1 og preg=0 for

en donor med en alder pa 26 ar.

• b2 er effekten af donage26 blandt donorer som IKKE har

været gravide.

• b3 er nu effekten af donage26 blandt donorer som HAR

været gravide.


data gvhd2;set gvhd;donage26_notpreg=donage26*(preg=0);donage26_preg=donage26*(preg=1);

run;

proc logistic data=gvhd2;class preg(ref="0") / param=ref;model gvhd(event="1")=preg donage26_notpreg donage26_preg;Interaction: test donage26_notpreg=donage26_preg; <- TEST FOR INGEN INTERAKTION

run;



Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 -0.6199 0.4198 2.1797 0.1398preg 1 1 2.2368 1.7580 1.6188 0.2033donage26_notpreg 1 0.0514 0.0527 0.9534 0.3288donage26_preg 1 0.7667 0.7651 1.0042 0.3163


Point 95% WaldEffect Estimate Confidence Limitspreg 1 vs 0 9.363 0.299 293.655donage26_notpreg 1.053 0.950 1.167donage26_preg 2.153 0.481 9.644

Linear Hypotheses Testing Results

WaldLabel Chi-Square DF Pr > ChiSqInteraction 0.8699 1 0.3510 <- TEST FOR INGEN INTERAKTION


Ordnede kategoriske forklarende variable

Data fra DGA s. 261: Sammenhæng mellem kejsersnit og

skostørrelse (skostørrelse er en simpel indikator for størrelse

af bækken):

Skonummer

Kejsersnit < 4 4 4.5 5 5.5 ≥ 6 Ialt

Ja 5 7 6 7 8 10 43

Nej 17 28 36 41 46 140 308

I alt 22 35 42 48 54 150 351

Odds for kejsersnit er 0.29, 0.25, 0.17, 0.17, 0.17, 0.07 for

stigende skostørrelse.


data sko;input cs $ skonr antal;cards;

Y 3.5 5Y 4.0 7Y 4.5 6Y 5.0 7Y 5.5 8Y 6.0 10N 3.5 17N 4.0 28N 4.5 36N 5.0 41N 5.5 46N 6.0 140;run;

proc logistic data=sko descending;class skonr / param=ref;model cs=skonr;weight antal;

run;


Model Fit StatisticsIntercept

Intercept andCriterion Only CovariatesAIC 263.067 263.723SC 263.552 266.632-2 Log L 261.067 251.723

Testing Global Null Hypothesis: BETA=0Test Chi-Square DF Pr > ChiSqLikelihood Ratio 9.3442 5 0.0961Score 9.2874 5 0.0981Wald 8.6369 5 0.1245

Type 3 Analysis of EffectsEffect DF Chi-Square Pr > ChiSqskonr 5 8.6369 0.1245


Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 -1.2237 0.5087 5.7860 0.0162skonr 4 1 -0.1626 0.6614 0.0604 0.8058skonr 4.5 1 -0.5680 0.6732 0.7118 0.3988skonr 5 1 -0.5439 0.6527 0.6944 0.4047skonr 5.5 1 -0.5255 0.6368 0.6808 0.4093skonr 6 1 -1.4153 0.6049 5.4734 0.0193


proc logistic data=sko descending;model cs=skonr;weight antal;

run; Model Fit StatisticsIntercept

Intercept andCriterion Only CovariatesAIC 263.067 257.508SC 263.552 258.477-2 Log L 261.067 253.508

Testing Global Null Hypothesis: BETA=0

Test Chi-Square DF Pr > ChiSqLikelihood Ratio 7.5597 1 0.0060Score 8.0237 1 0.0046Wald 7.6971 1 0.0055


Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 0.6877 0.9462 0.5283 0.4673skonr 1 -0.5194 0.1872 7.6971 0.0055 <- TEST FOR TREND


Likelihood ratio test

Likelihood-ratio er forholdet mellem likelihood funktionens

maximum under to forskellige modeller, som alene adskiller

sig ved at den mindste “mangler” en eller flere parametre

(nestede modeller).

I SAS skal man køre de to modeller hver for sig og derefter

trække værdien af ”-2 Log L Intercept and

Covariates” for den største model fra ”-2 Log L

Intercept and Covariates” fra den mindste model. Dette

tal skal vurderes i en χ2-fordeling med antal frihedsgrader lig

forskellen i frihedsgrader (DF) i de to modeller.


Test for linearitet

For at undersøge om den lineære model er acceptabel skal vi

sammenligne de to modeller

Model 1: skonr som en class variabel

Model 2: skonr som en kvantitativ variabel

Forskellen i ”-2 Log L Intercept and Covariates” er

(model 2) - (model 1) = 253.508− 251.723 = 1.785.


Antal frihedsgrader findes under overskriften

”Testing Global Null Hypothesis: BETA=0”:

DFmodel 1 − DFmodel 2 = 5− 1 = 4.

Dvs.

Likelihood ratio test = 1.785 ∼ χ2(4) ⇒ p = 0.775

Testet er IKKE signifikant sa vi accepterer den lineære model.


Beregning af p-værdi i SASdata;

p=1-probchi(1.785,4);put p;

run;

-------------------- LOG VINDUE --------------------

40 data;41 p=1-probchi(1.785,4);42 put p;43 run;

0.7752255237NOTE: The data set WORK.DATA4 has 1 observations and 1 variables.NOTE: DATA statement used (Total process time):

real time 0.01 secondscpu time 0.01 seconds


Præsentation af resultater fra logistisk

regression

Typisk vil man præsentere odds ratio med tilhørende 95%

confidensintervaller. For klassevariable vil man ogsa supplere

med en p-værdi fra testet om uafhængighed mellem variablen

og resonsen. Nogle tidsskrifter forlanger ogsa p-værdier for

hvert estimat men dette er unødvendigt da

confidensintervallet indeholder samme information.


Case-kontrol studier

• I et case-kontrol-studie udvælges:

– cases (sygdomstilfælde) som er verificeret fra et register

eller lignende

– kontroller, som er personer der repræsenterer den

population hvorfra cases stammer.

• Personer i case-kontrol-studier udvælges altsa pa baggrund

af udfaldet. Typisk vil man pa forhand fastsætte forholdet

mellem antallet af cases og kontroller.


• Hvis en variabel har betydning for sygdommens udvikling:

Forskellig fordeling af variablen mellem cases og kontroller.

• Sandsynligheden for at være en case (i populationen),

p{sygdom} kan ikke estimeres ud fra et case-kontrol studie.

• Men effekten af kovariaterne pa sygdomssandsynligheden

kan!


Case-kontrol studier

• I populationen:

p = P {case}p

1− p= odds(case)

• Udvælgelsesbrøker, dvs. inklusionssandsynligheder π0 og π1:

P {inklusion i studiet | case} = π1

P {inklusion i studiet | kontrol} = π0


• I et case-kontrol studie observerer man antallet af cases og

antallet af kontroller, betinget af at disse faktisk er med i

studiet.

• Afhænger af diverse kovariater

(det er det man interesseret i)

og

inklusionssandsynlighederne

(som man ikke er interesseret i).


@@@@@@@

p

1− p

case

kontrol

��

HHHHHHH

π1

1− π1

��

�

HHHHHHH

π0

1− π0

inkluderet

inkluderet

P {case & inkl.} = p× π1

P {kontrol & inkl.} = (1− p)× π0

odds(case|inkl.) =p× π1

(1− p)× π0=

p

1− p×

π1

π0



• Model for populationen:

ln

[

p

1− p

]

= b0 + b1x1 + b2x2

• Model for det observerede:

ln[odds(case|inkl.)] = ln

[

p

1− p

]

+ ln

[

π1

π0

]

=

(

ln

[

π1

π0

]

+ b0

)

+ b1x1 + b2x2


• Analyse af P {case — inklusion} — dvs. binære

observationer:

Y =

{

1 ∼ case

0 ∼ kontrol

• Effekt af kovariater estimeres korrekt.

• Intercept uden mening. — afhænger af π0 og π1 der

sædvanligvis er ukendte.


Documents

Logistisk regressionstaff.pubhealth.ku.dk/~ebj/basal08_2/overheads/lr... · 2012. 3. 19. · Sædvanlig lineær regression Her er responsvariablen yi kvantitativ og vi antager, at