LỜI CẢM ƠN - · PDF fileKhóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận này tôi gặp rất nhiều khó

khăn và bỡ ngỡ. Nhưng dưới sự chỉ bảo tận tình của Giảng viên Bùi Văn Bình,

tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành khóa luận với đề tài “Phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng và bài tập hình học”. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ

nhiệt tình của thầy.

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa

Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo

điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.

Tôi xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Phạm Thị Kiều Trang



LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Giảng

viên Bùi Văn Bình cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên

cứu tôi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài

liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu

của bản thân không trùng lập với bất kì kết quả nào khác.

Sinh viên

Phạm Thị Kiều Trang



MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

1.Lý do chọn đề tài. .......................................................................................... 1

2.Mục đích nghiên cứu: .................................................................................... 2

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài: ......................................................... 2

4. Nhiệm vụ nghiên cứu: .................................................................................. 2

5.Các phương pháp chính: ........................................................................................ 2

NỘI DUNG ................................................................................................................ 3

CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỌA ĐỘ .................................. 3

A. TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC. .................................................................... 3

1. VECTƠ ............................................................................................................ 3

2.TRỤC TỌA ĐỘ ................................................................................................ 3

2.1 Tọa độ của vectơ trên trục. ......................................................................... 3

2.2 Tọa độ của điểm trên trục. .......................................................................... 4

B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. ............................................................................................ 4

1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. ....................................................................................... 4

2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. ............................... 4

3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. ......................... 5

4. ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC. ....................... 5

5. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG. ........................................ 6

C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. .................... 6

1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG........................... 6



2. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG. ........................................................... 7

3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG. ................................ 7

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG. ............... 7

5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. ...................................... 8

6.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. ............................................................... 9

7.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. .............................................................10

CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP TỌA ĐỘ. ......................................................................................................11

A. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HƯỚNG

KHI GIẢI TOÁN. .......................................................................................................... 11

B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN ........................................................................ 12

I. DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN ........................................................................12

KẾT LUẬN ..............................................................................................................43

TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................44


Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 1

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài.

Môn toán là một trong những môn học quan trọng hàng đầu trong chương

trình giáo dục phổ thông. Nó không chỉ là cơ sở, tiền đề để học tốt các môn

học khác mà còn có ứng dụng rất quan trọng trong thực tế. Trong đó phương

pháp tọa độ là phương pháp toán học cơ bản kết hợp với phương pháp tổng

hợp để nghiên cứu những đối tượng và quan hệ hình học trên mặt phẳng và

trong không gian.

Nó là công cụ để giải các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài chứng minh

mà không giải được bằng suy luận.

Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã thiết lập mối quan hệ mật thiết giữa

hình học và đại số là hai ngành toán học phát triển theo hai hướng khác nhau

của toán học.

Phương pháp tọa độ là phương pháp chuyển các yếu tố hình học về các

yếu tố đại số.

Nhằm tạo cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề có nhiều góc cạnh khác

nhau và cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải các bài toán hình học

phẳng.

Vì thế, việc đưa ra phương pháp tọa độ vào phương trình hình học là

nhằm hiện đại hóa môn học. Đồng thời sẽ giúp học sinh có thêm một công cụ

mới để diễn đạt, suy luận, để suy nghĩ về toán học theo một phương pháp khác

với các phương pháp quen thuộc từ trước tới nay.

Xuất phát từ những lý do trên, tôi đi đến quyết định chọn đề tài nghiên

cứu: “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học” để làm đề

tài nghiên cứu khoa học của mình.



2. Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh giải quyết một bài toán hình học phẳng bằng nhiều cách

giải khác nhau.

Giới thiệu cho học sinh làm quen với phương pháp tọa độ để cho học sinh

thấy được những ứng dụng rộng rãi và tính ưu việt của phương pháp này.

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài:

1. Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học.

2. Phạm vi nghiên cứu:

Vì lý do thời gian và trình độ của mình nên trong phạm vi của đề tài nghiên

cứu này tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán điển hình trong hình học phẳng với

kiến thức không vượt quá chương trình toán học lớp 10 trung học phổ thông.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương pháp tọa độ mà

học sinh đã học.

Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quan

trọng của phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng ở phổ

thông.

5. Các phương pháp chính:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận.

- Phương pháp quan sát.

- Phương pháp điều tra.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.



NỘI DUNG

CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ

TỌA ĐỘ

A. TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC.

1. VECTƠ

Vectơ AB

: A là điểm đầu, B là điểm cuối.

Khi A trùng với B gọi là vectơ không: 0

AB

: độ dài của vectơ AB

2.TRỤC TỌA ĐỘ

Trục tọa độ(còn gọi là trục hay trục số)là 1 đường thẳng trên đó đã xác định 1 điểm

O và một vectơ i

có độ dài bằng 1.

Điểm O gọi là gốc tọa độ , vectơ i

gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ.

2.1 Tọa độ của vectơ trên trục.

AB =m i

( số thực m là số duy nhất được gọi là tọa độ của vectơ AB

)

Nếu A,B có tọa độ lần lượt là a,b. Khi đó:

AB

có tọa độ là (b-a)

x x’ O i



2.2 Tọa độ của điểm trên trục.

Cho điểm A trên trục x’Ox. Khi đó OA ai

thì A được gọi là tọa độ của điểm

A trên trục.

Cho điểm 1 2;A a a , điểm B 1 2

;b b . Khi dó điểm ;M x y là trung điểm của

AB thì:

1 1

2 2

2

2

M

M

a bx

a by

B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.

1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.

Trên mặt phẳng cho 2 trục 'xOx (vectơ đơn vị i

), 'y Oy (vectơ đơn vị j

) vuông

góc với nhau tại O. Hệ gồm 2 trục nói trên gọi là hệ trục tọa độ, kí hiệu

0; ;Oxy hay i j

Điểm O gọi là gốc tọa độ

Trục Ox gọi là trục hoành

Trục Oy gọi là trục tung

2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.

-Đối với hệ trục tọa độ ; ;o i j

, nếu a xi y j

thì cặp số ;x y được gọi là tọa

độ của vectơa

, ký hiệu là ; ;a x y hay a x y

-Tính chất:

y

0 x’

y’

i

x

j



Nếu ' '; à ;u x y v v x y

thì:

' ';u v x x y y

;ku kx ky

2 2u x y

3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M. Khi đó tọa độ OM gọi là tọa

độ điểm M đối với hệ Oxy .

;OM xi y j M x y

*Định lý: ' '; , ;A x y B x y thì:

' '

2 2' '

;AB x x y y

AB AB x x y y

4. ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC.

Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k nếu:

MA k MB

Nếu ' '; à ;A x y v B x y

và M chia AB theo tỷ số 1k thì điểm M có tọa

độ là:

' '

,1 1

M M

x kx y kyx y

k k

Đặc biệt nếu M là trung điểm đoạn AB thì:



'

'

2

2

M

M

x xx

y yy

5. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG.

Nếu : 1 2;a a a

1 2;b b b

thì

1 1 2 2.a b a b a b

C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm 0 0;I x y và vectơ ; 0n a b

Gọi là đường thẳng đi qua I,

có vectơ pháp tuyến làn

thì

phương trình đường thẳng có dạng:

0 00a x x b y y

Hay: 2 20 0 (1)ax by c a b

Khi đó phương trình (1) được gọi là

phương trình tổng quát của .

x

y

I

0

M

n



2. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

Cho đường thẳng (d) có phương trình: y kx m , hệ số k được gọi là hệ số

góc của đường thẳng (d).

Điều kiện để 2 đường thẳng song song với nhau là:

'

'

k k

m m

Điều kiện để 2 đường thẳng vuông góc với nhau là:

'. 1k k

3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,

cho đường thẳng đi qua điểm 0 0;I x y

và có vectơ chỉ phương ;u a b

thì phương

trình đường thẳng có dạng: 0, 0I x y

2 2

0

0

0 (1)x x at a b

y y bt

Hệ (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng với tham số t.

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG.

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng có phương trình tổng quát:

x

y

0

,M x y

u



2 2a 0 0x by c a b

d M Thì khoảng cách từ M tới được tính bởi công thức:

2 2

a; M M

x by cd M

a b

5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Xét 2 đường thẳng 1 2

àv có phương trình tổng quát lần lượt là:

1 1 1 2 2 20 à 0a x b y c v a x b x c

Tọa độ giao điểm 1 2

àv là nghiệm của hệ phương

trình: 1 1 1

2 2 2

01

0

a x b y c

a x b y c

Ta có các trường hợp sau:

a, Hệ (1) có một nghiệm 0 0;x y , khi đó

1 2 tại điểm 0 0

;o

M x y .

b, Hệ (1) có vô số nghiệm, khi đó 1 2

c, Hệ (1) có vô nghiệm, khi đó 1 2

àv không có điểm chung, hay 1 2/ / .

y

x

0

M’

M



6. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

* Định nghĩa

Hai đường thẳng 1 2

àv cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất của

các góc đó được gọi là số đo của góc giữa 2 đường thẳng1 2

àv , hay đơn

giản là góc giữa 1 2

àv

Khi 1

song song hoặc trùng với 2

ta quy ước góc giữa chúng bằng 00

*Kí hiệu: 1 2; , hoặc 1 2

;

Chú ý: 0

1 20 ; 90

*Công thức:

Xét 2 đường thẳng 1 2

àv có phương trình tổng quát lần lượt là:

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

a x b y c

a x b y c

Các vectơ pháp tuyến của1 2

àv lần lượt là: 1 1 1 2 2 2; ; ;n a b n a b

Ta có công thức tính góc giữa 2 đường thẳng 1 2

àv là:

1n

2

2n

2



1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

osa a bb

ca b a b

7.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.

Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C),

có tâm 0 0,I x y và bán kính R.

Điểm ,M x y thuộc đường tròn (C) và chỉ

Khi IM R , hay là phương trình của đường

tròn : 2 2

0 0x x y y R (1)

Ta gọi phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C).

y

y

0

y

0 0x

I

M

x

x



CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.

A. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

HƯỚNG KHI GIẢI TOÁN.

Với nhiều bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học như:

thẳng hàng, song song, vuông góc … hay chứa yếu tố khoảng cách, nếu ta chọn

hệ tọa độ thích hợp thì có thể chuyển thành bài toán đại số với các quan hệ giữa

những số , những chữ, những vectơ và những phép toán các bài toán đại số này

có thể giải được dễ dàng.

Việc giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ đòi hỏi học sinh

phải được luyện tập, vận dụng tổng hợp những kiến thức có liên quan.

Học sinh cần nắm được các bước giải một bài toán bằng phương pháp tọa

độ:

+ B1: Chọn hệ tọa độ thích hợp

+ B2: Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ tọa độ

+ B3: Dùng các kiến thức tọa độ để giải

+ B4: Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học.

Trong phạm vi bài viết này, tôi xin đưa ra ba dạng bài toán có thể sử dụng

phương pháp tọa độ để giải (có so sánh với phương pháp tổng hợp) đó là:

- Bài toán tính toán

- Bài toán chứng minh

- Bài toán tìm quỹ tích



B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

I. DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN

Đối với những bài toán tính toán thì việc giải bằng phương pháp sơ cấp đôi

khi rất khó khăn, phức tạp. Do vậy phương pháp tọa độ sẽ là công cụ giải toán

tói ưu cho loại bài toán này (vì nó thường liên quan đến khoảng cách mà

phương pháp tọa độ thường cho ta biểu diễn khoảng cách các điểm một cách dễ

dàng).

Bài toán 1:

Trên trục x’Ox cho 3 điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a,b,c. Tìm tọa độ điểm

M sao cho :

0MA MB MC

(1)

Lời giải

Theo giả thiết ta có MA

có tọa độ a – x (x la tọa độ điểm M)

MB

có tọa độ b – x

MC

có tọa độ c – x

Vậy (1) a – x + b – x + c – x = 0

x =3

a b c

Bài toán 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;3), B(-1;1), C(6;0). Hỏi tam

giác ABC la tam giác gì?

Lời giải



Ta có: 2 2 2 2

3 4 5B A B AAB x x y y

2 2 2 2

4 3 5C A C AAC x x y y

Vậy AB = AC nên tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A (1)

Lại có: 2 2 250AB AC BC tam giác ABC vuông ở A (2)

Từ (1) và (2) tam giác ABC vuông cân đỉnh A.

Bài toán 3:

Cho 3 điểm A(4;6); B(5;1); C(1;-3)

a. Tính chu vi tam giác ABC

b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính đường

tròn đó.

Lời giải

a, Ta có 2 2 2 21 5 26B A B AAB x x y y

2 2 2 24 4 4 2C B C BBC x x y y

2 2 2 23 9 3 10C A C AAC x x y y

Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC = 26 4 2 3 10

b,Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, giả sử O có tọa độ (x;y)

Ta có: OA OB OC hay 2 2 2OA OB OC

2 22 4 6OA x y

2 22 5 1OB x y



2 22 1 3OC x y

Vậy:

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

4 6 5 1 13 / 4

5 / 44 6 1 3

x y x yOA OB x

yOA OC x y x y

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: O(13/4;5/4)

Bán kính là:

2 2

2 13 5 185 1854 6

4 4 8 8OA R OA

Bài toán 4

Cho đường tròn (O;R) và 2 dây cung bất kỳ AB và CD vuông góc với

nhau.Hãy tính 2 2AB CD và tìm P để 2 2AB CD lớn nhất, nhỏ nhất.

Lời giải

Đặt hệ trục O sao cho sao cho:

Ox // CD, Oy // AB

Gọi P(0; 0

x y ) 2 2 2

0 0x y R :

2 2

0 0

2 2

0

2 2

0

2 2

0

;

;

;

;

o

o

o

A x R x

B x R x

C R y y

D R y y

2 2

2 22 2 2 2 2

0 0 0 02 2

o oAB CD x x R x R y y y

P

A

B

C D

O x x0

y

y0



= 2 2 2

0 08 4R x y

= 2 28 40R P

Vậy 2 2 2 28 40AB CD R P và 2 2AB CD lớn nhất O P

2 2AB CD nhỏ nhất P đường tròn tâm O.

Bài toán 5

Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm M(1;3); N(4;2)

a. Tìm tọa độ điểm P thuộc trục Ox và cách đều 2 điểm M và N.

b. Tính chu vi và diện tích tam giác OMN.

c. Phân giác trong của góc MON cắt MN tại E. Tìm tọa độ của E.

Lời giải

a.

Giả sử P 0;0x , theo giả thiết ta có:

PM=PN 0

5

3x

Vậy P5

;03

b.

Ta có OM = 1 9 10

2

x

1 4 P O

3

y

M

N



MN = 9 1 10

ON = 16 4 2 5

Vậy chu vi tam giác OMN là: OM+MN+ON=2 5 10

Gọi I ;I I

x y là trung điểm của ON 2I

x và 1I

y

Độ dài đường cao MI = 2 2

1 2 3 1 5

Vậy diện tích tam giác OMN là: 1 1

. .2 5. 5 52 2

OMNS ON MI

(đơn vị diện

tích)

c.

Vì OE là phân giác của MON nên ta có: 10 2

22 5

EM OM

EN ON

2

2EM EN điểm E chia đoạn MN theo tỉ số

2

2nên ta có:

21 .4 2 4 22

2 2 21

2

23 .2 6 2 22

2 2 21

2

E

E

x

y



Bài toán 6

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có trọng tâm G 2;0 . Biết

phương trình các cạnh AB, BC theo thứ tự là 4 14 0,2 5 0x y x y . Tìm

tọa độ các đỉnh A, B, C.

Lời giải

Ta có; A AB AC Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

4 14 0 4

2 5 2 0 2

x y x

x y y

Hay A(-4;2)

( ; 4 14)B AB B b b

2 1;5 5

C AC C c c

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

4 63 ( 3; 2)

2 11 (1;0)2 4 14

5 5

b cb B

c Cb c o

Vậy A(-4;2), B(-3;-2), C(1;0)

Bài toán 7

Cho ABC cân tại A, BC=a, đường cao AH=h. Gọi K là hình chiếu của B

lên cạnh AC. Tìm điều kiện của a, h để K thuộc cạnh AC khi đó hãy tính AK?



Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: H(0;0), A(0;h), B(-a/2;0)

Giả sử: K(x;y)

Từ giả thuyết ta có: BK AC

AK AC

cùng phương

. 0

.( ) ( ) 02

BK AC

ax h y h

22 4 0

2 0

ax hy a

hx ay ab

2

2 2

2

2 2

(4 )

2( 4 )

2

4

a h ax

a h

a hy

a h

Để K thuộc cạnh AC ta phải có x > 0 và y > 0 (y > 0 hiển nhiên do h>0)

Để x>0 phải có 2 24 0 2h a h a

Vậy với 2h>a thì K ∈ AC

Với A(0;h),

2 2 2

2 2 2 2

(4 ) 2;

2 4 4

a h a a hK

a h a h

Ta có:

2 222 2 2 22

2

2 2 2 2 2 2

4 420

2( 4 ) 4 4 4

a h a h aa hAK h

a h a h a h

A

B H C x

y

h

O

K

a



Vậy 2 2

2 2

4

2 4

h aAK

a h

Kết luận: Để K thuộc cạnh AC phải có : 2h>a, khi đó 2 2

2 2

4

2 4

h aAK

a h

Bài toán 8

Với M là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC . Hãy tính giá trị:

4 4 4MA MB MC

Lời giải:

Gọi (I; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Chọn hệ trục tọa độ, ta chọn đường cao AH làm trục hoành.

Đương thẳng vuông góc với AH tại A làm trục tung.

Vậy A(0;0) làm gốc tọa độ

y

x A

B

C

I

H



AI=R AH=3

2AI=

3

2R

Trong hệ tọa độ đã chọn ta có: I(R;0); B(3

2

R;

By );C(

3

2

R;

Cy )

Ta có: 0

3 3: 3

tan 60 2 2B

AH R Ry BH

3

2c B

Ry y

Suy ra 3 3 3 3

; ; ;2 2 2 2

R R R RB C

Giả sử M(x;y) ∈ (I;R)

Ta có: 22 2 2 2 2 2 2MI R MI R x R y R x y Rx

Ta lại có:

4 4 4

2 22 22 2

2 2 3 3 3 3

2 2 2 2

MA MB MC

R R R Rx y x y x y

2 22 2 22 3 3 3 3Rx R Rx R y R Rx R y

2 2 4 3 2 26 18 12 6R x R R x R y

2 2 2 4 36 18 12R x y R R x

26R ∙ 4 32 18 12Rx R R x



3 4 3 412 18 12 18R x R R x R

Vậy 4 4 4 418MA MB MC R

Bài toán 9

Cho ∆ABC, đường phân giác trong và ngoài góc C của ∆ABC cắt đường

thẳng AB tại L và M sao cho CL=CM. Hãy tính AC2

+ BC2

theo R.

Lời giải

Từ giả thiết CL CM

CL CM

∆MCL vuông cân ở C

Chọn hệ tọa độ:

Chọn đường thẳng chứa A,B làm trục hoành.

Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB làm trục tung.

O làm gốc tọa độ như hình vẽ.

Khi đó ta có O(0;0), A(a;0), C(0;c).

A

C

O L B M X

Y



Từ OM=OL=OC=>M(-c;0), L(c;0)

Vì CL là phân giác trong góc C nên có: LA CA

LB CB

Hay

22 2 2 2

2 2 2 2

LA CA a c a c

LB CB b c b c

2

2 0c

a b c ab ba

A B a b

Vậy nếu tính theo a,c thì B

2

;0c

a

24 2 2

2 2 2 2 2

21

c a cAC BC a c c

a a

Gọi I( 0x ; 0

y )là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có

2 2

2 2

IA IC IA IC

IA IB IA IB

2 22 2

0 0 0 0

2

2 2 20

0 0 0

0

2 2

0

a

2

x a y x y c

x cx a y y

a

y c

a cx

a

Vậy

2 2

;2

a cI c

a

22 2 2 2

20

2 2

a c a cR IC c c

a a

(2)



Từ (1) và (2)=>AC2

+ BC2

= 4R2

( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC)

II. DẠNG TOÁN CHỨNG MINH

Với nhiều bài toán cách chứng minh bằng phương pháp tổng hợp có thể

ngắn gọn hơn phương pháp tọa độ nhưng để tìm được hướng chứng minh thật

không đơn giản. Khi vẽ hình với các dữ kiện đã cho của bài toán xuất phát từ

kết luận ta phải làm rõ các mối liên hệ giữa giả thiết, kết luận, phải có cái nhìn

tổng quát, sự phân tích thành thạo chuẩn xác. Đối với phương pháp tọa độ nếu

chọn được một hệ tọa độ thích hợp thì bài toán trở nên đơn giản hơn, hướng

giải quyết dễ nhìn nhận hơn.

Bài toán 10

Trên trục x’Ox cho 4 điểm A ,B ,C, D tùy ý. Gọi I , J, K , L lần lượt là

trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD.

Chứng minh: IJ và KL có chung trung điểm.

Lời giải:

Gọi a, b ,c, c,d lần lượt là tọa độ của các điểm A, B,C ,D đối với trục x’Ox.

Khi đó tọa độ của I, J, K, L lần lượt là: ; ; ;2 2 2 2

a c b d a b c d

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của KL thì:

Tọa độ của M là:2

a b c d ; Tọa độ của N là:

2

a b c d

Nên suy ra : MN

x’ x’ D B C O A



Hay IJ và KL có chung một trung điểm .

Bài toán 11

Cho góc xOy bằng 090 . Trên Ox lấy 2 điểm A va A ' , trên Oy lấy 2 điểm B

và B ' sao cho ' '. .OAOA OB OB

Chứng minh rằng trung tuyến OM của ∆AOB vuông góc với A’B’.

Lời giải:

Đặt hệ trục Oxy.

Giả sử tạo độ các điểm là:

A(a;0) ; B(0;b) ; A’(a’;0) ; B’(0;b’)

(a, b, a’, b’ > 0)

Vì OA.OA’ = OB.OB’ a.a’ = b.b’

Mà M là trung điểm của AB nên M ;2 2

a b

nên ;2 2

a bOM

M

y

x O

B’

A’

B

A



Ta có . ' . '

' ' ( '; ') . ' ' ; 02 2

a a b bA B a b OM A B

Do vậy: ' 'OM A B (Đpcm).

Bài toán 12

Chứng minh rằng ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một

điểm.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ: Từ A hạ đường cao AH xuống cạnh BC. Khi đó đường

thẳng chứa A, H gọi là trục tung , đường thẳng chứa B, C gọi là trục hoành và

H là gốc tọa độ.

Giả sử tọa độ các điểm là : H(0;0);A(0;a);B(-b;0);C(c;0)

Khi đó:

Tọa độ trung điểm M của BC nên M ;02

c b

Tọa độ trung điểm N của CA nên N ;2 2

c a

M H B C

A

N L

G



Tọa độ trung điểm L của AB nên L ;2 2

b a

Phương trình đường thẳng AM là: 2y a x

a c b

2axy a

c b

Phương trình đường thẳng BN là: 2 2( )

2

y x b

a c b

( )

2

a x by

c b

Phương trình đường thẳng CL là: 2( ) 2

2

x c y

b c a

( )

2

a c xy

b c

Ba đường thẳng chứa AM, BN, CL đồng quy tại một điểm khi và chỉ khi:

2

( )

2

( )

2

axy a

c b

a x by

c b

a c xy

b c

có nghiệm duy nhất.

Rõ ràng hệ đó chỉ có một cặp nghiệm duy nhất: ( ; ) ( ; )3 3

c b ax y

Vậy AM, BN, CL đồng quy tại một điểm ;3 3

c b aG

Bài toán 13

Gọi K là trọng tâm của MNP .

Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 23.( )MN NP PM KN KP KM H N P

K

M y

x



Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Giả sử tọa độ các điểm là:

H(0;0) ; M(0;a) ; N(-b;0) ; P(c;0) ; K ;3 3

c b a

Khi đó:

2 2 2 2 2 2 2 2( )MN NP PM b a b c c a

= 2 2 22 2 2 2 1a b c bc

Mặt khác: 2 2 2 23( )KN KP KM

2 2 2 22 2

39 3 3 9 3 9

c b a c b a c b aa b c

2 2 2 22 3 3 2 2c b a b c b c b c c b

Từ (1) và (2) suy ra:

MN2

+ NP2

+ PM2

= 3(KN2

+ KP2

+ KM2

) .

Bài toán 14

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm BC, D là hình chiếu của

H trên AC, M là trung điểm HD. Chứng minh AM⊥BD.



Lời giải

Chọn hệ trục tọa dộ như hình vẽ.

Giả sử H(0;0); A(0;a) ; B(-c;0) ; C(c;0) ; D(x;y)

( ; ); ( ; ); ( ; )DH x y AC c a AD x y a

Vì D là hình chiếu vuông góc cuả H trên AC nên: DH AC

và AC, AD cùng

phương.

Vậy D có tọa độ : D (2 2

2 2

a c

a c;

2

2 2

ac

a c)

2 2

2 22( )

a c

a c;

2

2 22( )

ac

a c)

M là trung điểm của HD

2 2

2 2 2 2;

2 2

a c c aM

a c a c

AM

= (2

2 22( )

a c

a c;

3 2

2 2

2 2

2( )

a ac

a c

)

H B C

M

A y

x

D



BD

= (2 3

2 2

2

( )

a c c

a c

;

2

2 2( )

ac

a c)

4 2 2 4 4 2 2 4

2 2 2 2 2 2

2 2. 0

2( ) 2( )

a c a c a c a cBD AM

a c a c

Vậy BD AM

hay BD AM .

Bài toán 15

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A .Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng

tâm của tam giác ACM. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh rằng : GI CM

Lời giải

Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC.

Chọn trục tọa độ sao cho BC là trục hoành,

A thuộc trục tung , gốc O.

Giả sử 2BC a .

Khi đó :O(0;0); A(0;h) ; B(-a;0); C(a;0)

Toạ độ trung điểm M của AB là : 2 2

2 2

A B

M

A BM

x x ax

y y hy

Vậy M ;2 2

a h

I

y

x

A

B C O

G

M



Toạ độ trung điểm G của ACM là: 2 6

2 2

A M C

G

A M CG

x x x ax

y y y hy

Vậy G ;6 2

a h

Giả sử tọa độ của I (0;yo) suy ra ;2 2

o

a hIM y

Do IM AB nên . .( ) .( ) 02 2

o

a hIM AB a y h

2 2

2o

h ay

h

Vậy 2 2

(2

h aI

h

2 2

(0; )2

h aI

h

.

Do đó ta có :2 3

; ; ;6 2 2 2

a a a hGI CM

h

.

Vậy 2 23

. 012 4

a aGI CM

Suy ra : GI CM (Đpcm).

Bài toán 16

Cho bốn điểm phân biệt M , N ,P ,Q mà không cùng nằm trên một đường

thẳng. Chứng minh rằng:



2 2 2 2MP NQ MN PQ MQ NP

Lời giải:

Chọn đường thẳng MP là trục hoành , đường thẳng đi qua N và vuông góc với

MP là trục tung.

Khi đó ta gọi M(a;0) ; N(0;b) ; P(c;0); Q(m;n)

Ta có : 2 2 2 2MN PQ MQ NP

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )

2 2

a b m c n m a n c b

mc ma

2 ( ) 0m a c (1)

Do ;0 ;0 0M a P c a c

Vậy từ (1) suy ra m = 0 nên Q nằm trên trục tung chứa N.

Hay MP NQ (Đpcm).

y

x M P

N

O

Q(m;n)



Bài toán 17

Cho ABC có đường cao CH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh

đoạn AB, CH . Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB và cắt

cạnh AC tại M , cắt BC tại N . Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q

nằm trên cạnh AB . Gọi I là tâm của hình chữ nhật MNPQ.

Chứng tỏ ba điểm I ,J, K thẳng hàng;

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy sao cho OH . Các điểm A,B nằm

trên trục Ox; điểm C nằm trên trục Oy . Do đó tọa độ các điểm là:

H(0;0) ; A(a;0) ; B(b;0) ; C(0;c)

Vì I là trung điểm của AB nên I có tọa độ là: I ;02

a b

K là trung điểm của CH nên K có tọa độ là: K 0;2

c

Đường thẳng d //AB d // Ox.Do đó gọi d có phương trình y = m và

0 < m < c.

C

x A Q H P

N M

B I

J K

O

d



Đường thẳng AC có phương trình: 1 0x y

cx ay aca c

Đường thẳng BC có phương trình: 1 0x y

cx by bcb c

Do M là giao điểm của AC và đường thẳng d nên tọa độ của M thỏa mãn

hệ phương trình: ( )0

y my m

a c mcx ay ac x

c

( )

;a c m

M mc

Tương tự N là giao điểm của BC và đường thẳng d,ta có ( )

;b c m

N mc

Theo giả thiết MNPQ là hình chữ nhật MQ AB

NP AB

Hay P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của hai điểm M, N trên trục Ox

( ) ( );0 ; ;0

b c m a c mP Q

c c

J là trung điểm của PM ( )( )

;2 2

a b c m mJ

c

Ta có ; ;IJ ;2 2 2 2

a b c a b mIK m

c

Ta nhận thấy : 2 2

IJ

2 2

a b a b cm

c m cIK

mc m c

m

Hay ba điểm I, J, K thẳng hàng.



III. DẠNG TOÁN TÌM QUỸ TÍCH

Bài toán tìm quỹ tích là những bài toán tìm tất cả những điểm trong mặt

phẳng hoặc không gian cùng có chung tính chất nào đó khác với các điểm khác.

Trong mỗi bài toán quỹ tích thường có 2 yếu tố, yếu tố cố định và yếu tố thay

đổi. Do đó ta phải tìm được mối liên hệ giữa 2 yếu tố này. Dùng phương pháp

tọa độ để kết luận quỹ tích của điểm cần tìm.

Bài toán quỹ tích thông thường được thực hiện theo các bước:

1. Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp. Từ đó suy ra các điểm cần tìm.

2. Thiết lập biểu thức giải thích cho yếu tố cần tìm quỹ tích trong trường hợp

bài toán có điều kiện ràng buộc cần hạn chế quỹ tích. Sau đó suy ra quỹ tích của

điểm đó cần xác định thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán 18

Trong mặt phẳng cho hai nửa đường thẳng Od1, Od2 vuông góc với nhau tại

O. Trên Od1, Od2 lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho : OM+ON = a (a = const) .

Tìm tập hợp trung điểm K của đoạn thẳng MN.

Lời giải:

y

x O M

No

K

N

Mo



Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Ox = Od1 ; Oy = Od2:

2 22 22 0 0 2OM ON x y a (giả thiết)

2 2x y a hay 2

ay x

Vậy tọa độ trung điểm K thỏa mãn phương trình: 2

ay x .

Phải có :

02

02

ax y

ay x

Suy ra : Tập hợp K giới hạn bởi :

Vậy tập hợp trung điểm K của đoạn thẳng MN là một phần đường thẳng

2

ay x (phần đoạn thẳng MoNo)

Bài toán 19

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Hãy tìm tập hợp các điểm cách điểm O

một khoảng R > 0 cho trước .

Lời giải:

y

x O

R



Giả sử M(x;y) cách điểm O(0;0) một khoảng R (R > 0).

Ta có : OM = R 2 2

0 0x y R 2 2 2x y R

Vậy tập hợp các điểm M(x;y) cách điểm O một khoảng R thỏa mãn

: 2 2 2x y R (*).

(Ta biết rằng trong mặt phẳng tập hợp các điểm M cách O một khoảng R là

đường tròn tâm O bán kính R nên (*) chính là đường tròn tâm O bán kính R

trong hệ trục tọa độ Oxy).

Bài toán 20

Cho đường thẳng cố định AB với AB = 4a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa

mãn điều kiện : 2 2 23 28MA MB a .

Lời giải:

Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức : 3 0OA OB

. Tức là : 3OA OB

y

x O B A

M(x;y)



Chọn hệ trục tọa độ:

Ta chọn đường thẳng AB là trục hoành, O là gốc tọa độ , đường thẳng vuông

góc với AB là trục tung.

Khi đó trong hệ trục tọa độ mới đã chọn với AB = 4a ta có:

O(0;0) ; A(-3a;0) ; B(a;0)

Giả tọa độ của điểm M phải tìm là M(x;y) .

Lúc đó : 2 2 23 28MA MB a 2 22 2 23 3 28x a y x a y a

Vậy tập hợp những điểm M thỏa mãn đề bài là đường tròn tâm O bán kính

2

ABR .

Bài toán 21

Cho hai điểm cố định A, B. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho:

2 2 22 3 5MA MB AB

Lời giải:

Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức 3 0OA OB

. Tức là : 3

2OA OB

y

x O

M(x;y)

A B



Giả sử AB = a. Lập hệ trục Oxy , gốc O , chiều dương của trục hoành hướng từ

A đến B .

Với hệ trục tọa độ đó thì ta có : O(0;0) ; A(-3a;0) ; B(-2a;0)

Giả sử tọa độ điểm M phải tìm là M(x;y).

Khi đó : 2 2 22 3 5MA MB AB 2 22 2 22 3 3 2 5x a y x a y a

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính AB.

Bài toán 22

Cho hình vuông ABCD tâm O . Vẽ đường thẳng quay quanh O, cắt AD và

BC tại E và F (E,F không trùng với các đỉnh hình vuông). Từ E và F vẽ các

đường thẳng lần lượt song song với BD và AC ,chúng cắt nhau tại I.Tìm quỹ

tích điểm I.

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ gốc O sao cho : A(-a;0); B(0;a); C(a;0); D(0:-a)

x

D

A

B

C

y

I F

E

O



Ta có : Phương trình EF : y = kx , ( 1)k

Phương trình BC : x + y = a

Phương trình AD : x + y = - a

Phương trình AB : x – y = - a

Phương trình CD : x – y = a .

;1 1

a kaF EF BC F

k k

;1 1

a kaE EF AD E

k k

;1 1

a kaI

k k

Ta thấy tọa độ I thỏa mãn phương trình: - x + y = a hay x – y = - a.

Đây là phương trình đường thẳng AB .

Suy ra quỹ tích điểm I là đường thẳng AB.

Bài toán 23

Cho ABC , M là điểm di động trên cạnh CB. Hạ MN, MQ tương ứng

vuông góc và song song với AB ;N AB Q AC .Gọi P là hình chiếu của Q

trên AB .Gọi I là tâm hình chữ nhật MNPQ. Tìm quỹ tích I khi M chạy trên CB.

Lời giải



Gọi O là chân đường cao hạ từ C xuống AB . Vẽ hệ trục tọa độ Oxy như hình

vẽ (gốc tọa độ là O , trục hoành trùng với cạnh AB và chiều dương hướng từ B

sang A , chiều dương của Oy hứơng từ O đến C).

Giả sử trong hệ tọa độ này : A(a;0), B(b;0) , C(0;h) , (h > 0, a,b tùy ý và a b ).

Dễ thấy đường thẳng qua AC có phương trình: 1x y

a h

Đường thẳng qua BC có phương trình: 1x y

b h

Giả sử đường thẳng đi qua M, Q có phương trình: y = m , (0 )m h .

Tọa độ (xQ;yQ) của điểm Q là nghiệm của hệ phương

trình: ( );( )1

Q Q

Q Q

Q

y m y ma

Q h m mx y ahx h m

ha h

y

x O K P

Q M

N B A

C

H

I



Tương tự tọa độ (xM;yM) của điểm M là nghiệm của hệ phương

trình: ( );1 ( )

M M

M M

M

y m y mb

M h m mx y bhx h m

b h h

Dễ thấy : ( );0a

P h mh

Gọi I(x;y) là tâm của hình chữ nhật MNPQ.

Do: 1 1

2 2 2M Q

a b h ma bx x x h m h m

h h h

(1)

1 1

02 2 2

M Q

my y y m (2)

Từ đó suy ra : 2hx + 2(a+b)y = h(a+b)

Hay nếu 0a b thì 1

2 2

x ya b h

(3)

Từ (1) va do0 m h 1

02 2

h m

h

(4)

Từ (3) và (4) suy ra : Quỹ tích của tâm I là đoạn thẳng HK , trong đó H là trung

điểm của OC còn K là trung điểm của AB.

Bài toán 24

Cho hai điểm A, B cố định và một đường thẳng vuông góc với đường

thẳng AB nhưng không đi qua A, B. Một điểm M nằm trên . Tìm tập hợp

các giáo điểm N của các đường thẳng vuông góc với MA , MB tại A, B.



Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy sao cho trục Ox là đường thẳng

chứa A, B trục Oy là đường thẳng . Chọn gốc O là giao điểm của và AB.

Ta có : A(a;0) ; B(b;0) ; M(0;m).

Gọi N(x;y) và khi đó : ;MA a m

;MB b m

;NA a x y

;NB b x y

Ta có : . 0

. 0

MA NA MA NA

MB NB MB NB

2

2

0

0

0

0

a a x my

b b x my

a ax my

b bx my

x a b

aby

m

Do m là giá trị luôn thay đổi khi ta khử m từ phương trình ( 2 ) thay vào phương

trình (1) nên phương trình đường thẳng cần tìm là: x a b

Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng vuông góc với Ox tại H có hoành độ:

OH=a+b

y

x O

M

N

A(a;0) B(b;0)



KẾT LUẬN

Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó ta có một phương pháp

mới,một công cụ mới để giải toán. Khái niệm tọa độ ra đời cho ta một phương

pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn. Nhờ các phương pháp này các

bài toán như chứng minh vuông góc, thẳng hàng, tìm quỹ tích… nói chung

được giải quyết ngắn gọn,dễ dàng.

Nhờ có phương pháp hình học với cơ sở là phương pháp tọa độ, ta có thể

nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ, phương pháp của đại số. Ta cũng có thể

nghiên cứu những bài toán về bất đẳng thức bằng phương pháp của hình học.

Trong toán học không có chìa khóa nào là vạn năng cả. Có những bài toán

có nhiều phương pháp giải. Có thể lời giải mà tôi đưa ra chưa phải là tối ưu

song đây là tôi minh họa cho ứng dụng của phương pháp này.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song đây là lần đầu tiên tôi làm quen với việc

nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi mong

muốn các thầy cô, các bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn được

hoàn thiên tốt hơn và thực sự là tài liệu tham khảo bổ ích của giáo viên, sinh

viên, học sinh.



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí – Phương pháp giải toán tọa độ

2. Nguyễn Mộng Hy – Các bài toán về phương pháp véctơ và phương pháp

tọa độ.

3. Phan Huy Khải – Phương pháp tọa độ để giải các bài toán sơ cấp.

4. Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học môn toán.

5. Hình học nâng cao 10 – NXB Giáo Dục.

6. Hình học nâng cao 10 – Sách giáo viên – NXB Giáo Dục.

Documents

LỜI CẢM ƠN - · PDF fileKhóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học