Loi de probabilité : élément central de la statistique La détermination de la loi de probabilité suivie par une variable va servir aux calculs de probabilité

Loi de probabilité : élément central de la statistique

La détermination de la loi de probabilité suivie par une variable va servir aux

calculs de probabilité de réalisation d'évènements, à la déduction et à

l'inférence statistiques.

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités1. Préambule

Déduction :

prédire, à partir d'une population connue ou supposée connue, les

caractéristiques des échantillons qui en seront prélevés

Induction (inférence) :

prédire les caractéristiques d'une population inconnue à partir des statistiques

déterminées dans un échantillon représentatif de cette population.

Extrapolation des observations réalisées dans un échantillon à

l'ensemble de la population


Population• taille ?

• Inaccessible

• : caractéristique théorique ou attendue

Echantillon• taille : n (n_échantillon)

• représentatif

• : observée

On part des seules informations disponibles : et n

Un tel échantillon va-t-il nous permettre de préciser la population dont il pourrait être issu ?

Risque seuil

Risques o et

ENCADREMENT DE

oX

oX

oX

On étudie les populations à partir d’échantillons (représentatifs)

Epreuve :

expérience

- qui peut être reproduite dans les mêmes conditions autant de fois que l'on veut,

- dont le résultat n'est pas prévisible

- et pour laquelle on peut définir l'ensemble des résultats possibles.

L'événement :

est un sous ensemble des résultats possibles de l'épreuve.


C - Lois de probabilités

1. Préambule

2. Quelques rappels sur les probabilités

3. Définition ; 2 cas à considérer

4. Exemples

5. Loi binomiale

6. Loi de Poisson

7. Calcul de probabilités dans le cas des lois continues

8. Loi normale

9. Passage d’une loi binomiale à une loi normale

Une épreuve : lancer d'une pièce de 1 Euro

- Evénement A : le résultat est 'Face'

- nA : fréquence de réalisation de l'événement A

- N : nombre de jets

- Fréquence relative de réalisation de l'événement A : fA = nA /N

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités 2. Quelques rappels sur les probabilités

Lorsque N est très grand, fA se stabilise à une valeur constante

qui est la probabilité de réalisation de l'événement A

Evènement impossible (ne se réalisera jamais en pratique) :

C : la pièce retombe en équilibre sur la tranche (ni 'pile' ni 'face')

P(C)=0

P(A) = lim nA/N

N


P(A) = fA

incertitude/erreur sur l'estimation de la probabilité à partir des données d'un échantillon

0

N

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1 105 100 1000

Nombre de jets d'une pièce de 1 Euro

Fréquence relative de 'FACE'

Loi des grands nombres (Jacques Bernoulli)


Probabilité

Définition 1 probabilité p(E) d'un évènement E : limite de sa fréquence relative. répétition de l’épreuve un grand nombre de fois (n) P(E) = lim (NE / n) n Définition 2

La probabilité p(E) d'un évènement E, lors de la réalisation d'une épreuve, est un nombre compris entre 0 et 1. 0 correspond à un évènement impossible et 1 à un évènement certain. La probabilité de E sera d'autant plus grande que E se produira fréquemment.

De façon schématique :

Nombre de cas favorables à l'événement E p(E) = Nombre de cas possibles

Définition 3 Soit n le nombre de résultats possibles d'une épreuve. A tout résultat e i, associé à l'évènement élémentaire E, est attaché une probabilité pi telle que :

pi >=0 (i=1, 2, ... n) pi =1.

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités2. Quelques rappels sur les probabilités

Probabilité

Origine :

le jeu de dés fut, il y a plusieurs centaines d'années, à l'origine de la théorie des probabilités

Une notion importante

La notion de probabilité intervient en statistiques dans :

- définition des modèles probabilistes (lois de probabilités) ;

- mesure du degré de confiance que l'on peut accorder aux modèles ou à certaines de

leurs propriétés.

On déduira d'une population connue des résultats s'appliquant à un échantillon tiré de cette population.

Les prévisions dans un contexte d'incertitude nécessitent la connaissance des lois de probabilités.

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

P(A B) = 0

P(A / B) = P(A B) / P(B)

Théorème des probabilités totales

Evènements incompatibles :

Théorèmes

Théorème des probabilités composées

Evènements indépendants

Exemples, empruntés à l'univers du jeu, servant de rappels Application des probabilités composées à un problème de biotechnologie


P(A / B) = P(A / B) = P(A) P(A B) = P(A).P(B)


Exercice 1

On dispose d'un jeu de 32 cartes.

A/ On tire une carte au hasard. Calculer les probabilité des évènements suivants :

- tirer une carte rouge ou une carte noire

- tirer l'as de coeur

- tirer un roi et une reine

- tirer un valet ou un as

- tirer un roi ou un trèfle

- tirer un as ou une carte rouge

B/ On tire successivement 2 cartes (tirage non exhaustif / avec remise).

Calculer les probabilités des évènements suivants :

- tirer 2 fois le roi de pique

- tirer 2 as

- tirer un as et un valet

- tirer un roi et un trèfle

- tirer un as et une noire


Exercice 2

On dispose d'un jeu de 54 cartes (Poker). Dans une main de 10 cartes,

calculer les probabilités d’obtenir exactement les évènements suivants :

-un carré d'As ;

-full aux dames par les valets (3 dames et 2 valets) ;

-une suite (ex : 10, valet, dame, roi, as).

Exercice 3

Un élevage (50 animaux) est composé de 10 brebis beiges, 12 brebis noires,

15 moutons blancs, 5 moutons beiges à tête noires.

Calculer la probabilité d'obtenir (exactement) 5 moutons blancs et 2 brebis

lors d'une capture de 10 animaux (au hasard).

T r i a n g l e d e P a s c a l

C o e f f i c i e n t s p

nC d u b i n ô m e ( a + b ) n

1

1 1

1 2 1 p1-n

C 1-p

1-nC

pn

C 1 3 3 1 n

1 4 6 4 1

1 5 1 0 1 0 5 1

1 6 1 5 2 0 1 5 6 1

1 7 2 1 3 5 3 5 2 1 7 1

1 8 2 8 5 6 7 0 5 6 2 8 8 1

1 9 3 6 8 4 1 2 6 1 2 6 8 4 3 6 9 1

1 1 0 4 5 1 2 0 2 1 0 2 5 2 2 1 0 1 2 0 4 5 1 0 1

p



Exercice 4 : "Séquences de tetrapeptides"

On s'intéresse à des peptides de 4 résidus d'acide aminés (parmi les

20 plus fréquemment rencontrés). Répondez aux questions suivantes

en considérant, les 2 situations : les 4 acides aminés constituant les

peptides sont tous différents ou, au contraire peuvent être

quelconques. A combien de peptides différents peut-on s'attendre, à priori? Trouver la probabilité d'obtenir un peptide contenant :

• 2 résidus proline exactement ;

• 1 résidu proline et 3 résidus hydrophobes

• 4 résidus hydrophobes ;

• au moins 2 résidus aromatiques ;

• 1 résidu hydrophile et 3 résidus hydrophobes ;

• le peptide de séquence MAGI ;

• les résidus dans les proportions suivantes A : 50%, M : 25% et I :

25%


Détaillons un calculSoit A, l’évènement {" le peptide contient 2 résidus proline"}Soit B = {" présence d’un résidu proline à une position donnée"} Soit C = {" présence d’un résidu, autre que proline, à une position donnée"} ; C=NON(B)

On ne considère toutes les séquences possibles dans cet exercice!

Dans le cas où les 2 résidus non proline sont quelconques (équivalent tirage non exhaustif , avec remise)

1 résidu proline parmi les 20 aas : P(B)=1/20

Il reste 19 aas, autres que proline à choisir sur les autres positions : P(C)=19/20 ; P(C)=P[non(B)]=1-1/20

P(A) = (1/20)2 x (19/20)2 x 6

Il y a en effet 6 combinaisons de séquences possibles : proline en positions : 1 et 2, ou 1 et 3, ou 1 et 4, ou 2 et 3, ou 2 et 4, ou 3 et 4 => nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 5)

P(A) = 6x192/204 = 7,20 %

Chaque évènement est indépendant (ce qui explique qu’on multiplie simplement les probabilités)

Dans le cas où les 2 résidus non proline sont différents

La proline peut toujours être présente en 1ère , 2ème, 3ème ou 4ème position => 6 possibilités

Il reste 19 aas, autres que proline à choisir sur la première des positions non occupée par une proline et enfin 18 aas, autres que proline à choisir sur la dernière position possible parmi 18 résidus (2 étant déjà pris). Ainsi, P(A) = 1/20 x 1/20 x (19/19) x (18/18) x 6

P(A) =6/202 = 1,50 %


Détaillons un calcul

Soit A = {" le peptide contient 1 résidu proline et 3 résidus hydrophobes"}

Dans le cas où les 4 résidus sont quelconques

1 résidu proline parmi les 20 aas : 1/20

Parmi les 20 aas les plus fréquents, 8 sont classés comme hydrophobes (A, I, L, M, F, W, Y, V) : 8/20

La proline peut être présente en 1ère , 2ème, 3ème ou 4ème position => 4 combinaisons possibles

P(A) = 1/20 x (8/20)3 x 4

P(A) = 1/5 x (8/20)3 = 1,28 %

Chaque évènement est indépendant (ce qui explique qu’on multiplie les probabilités entre elles)

Nbre de peptides : 4x83 = 2048

Dans le cas où les 4 résidus sont différents

La proline peut toujours être présente en 1ère , 2ème, 3ème ou 4ème position => 4 possibilités

Parmi les 19 aas, autres que proline, 8 résidus classés comme hydrophobes (A, I, L, M, F, W, Y, V) : 8/19

Le 2ème résidus placé, parmi les 18 aas non encore considérés, il en reste 7 hydrophobes : 7/18

Le 3ème résidus placé, parmi les 17 aas non encore considérés, il en reste 6 hydrophobes : 6/17

P(A) = 1/20 x (8/19) x (7/18) x (6/17) x 4

P(A)= 1/20x(8/19)x(7/18)x(6/17) +8/20x(1/19)x(7/18)x(6/17) +8/20x(7/19)x(1/18)x(6/17) +8/20x(7/19)x(6/18)x(1/17)

P(A) = 4x8x7x6/20x19x18x17 = 1,16 % ; Nbre de peptides : 4x19x18x17


On peut retrouver ce résultats en utilisant les arragements A(n,p)

Dans le cas où les 4 résidus sont différents

Les mêmes résidus placés dans la séquence dans un ordre différent donnent des peptides différents!

L'ordre importe donc dans ce problème d'où l'utilisation des arrangements A(n,p)

A(n,p) = n!/(n-p)!

Il y a A(8,3) arrangements possibles de 3 hydrophobes parmi 8

Il y a A(8,3) arrangements possibles de 3 hydrophobes parmi 8

Et il y a toujours C(4,1) combinaisons possibles d’une proline dans une séquence de 4 aas

C(n,p)= n!/p!(n-p)!

D’où:

4

20

3

8

1

1

1

4

A

AAC (A)

xxP

P(A) = (4!/[3!1!] x 1!/0! x 8!/5!)/(20!/16!)

P(A) = (4 x1x8x7x6) / (20x19x18x17)

On retrouve bien :

P(A) = 4x8x7x6/20x19x18x17 ; Nbre de peptides : 4x1x19x18x17


Détaillons un calcul

Soit B = {" le peptide contient au moins 2 résidus aromatiques"}

Considérons son contraire : A = {"le peptide contient 0 ou 1 résidu aromatique") ; P(B) = 1 – P(A)

Considérons également les 2 évènement : E = {"le peptide ne contient aucun résidu aromatique"}

et F = {"le peptide contient un seul résidu aromatique"} ;

on a donc : P(A) = P(E) + P(F)

Dans le cas où les 4 résidus sont différents :

Les mêmes résidus placés dans la séquence dans un ordre différent donnent des peptides différents!

L'ordre importe donc dans ce problème d'où l'utilisation des p

nA

Et il y a C(4,1) combinaisons possibles de 1 aromatiques dans une séquence de 4 aas

Dans le cas où les 4 résidus sont quelconques et peuvent donc être identiques :

4

20

4

16

A

A P(E) 4

20

3

16

1

4

1

4

A

AAC

xxP(F)

16,2%720x19x18x1

429x16x15x1 1 1 P(B) Ainsi, - -

)(4

20

4

16

3

16

1

4

1

4

A

AAAC xx

4

20

16

P(E) encore là considérer à est ordrel' ,P(F)

3

20

16

20

4 4 xx

18,1% 2 - 1 P(B) : Ainsi 4

4

20

16


Exercice 5 "L'examen de TP"

On fait passer l'examen de TP de biochimie aux étudiants de master d'une grande

université (250 inscrits). L'examen consiste en 2 manips, M1 et M2, notées

chacune sur 10. Un étudiant "réussit" une manip s'il obtient au moins la note de

5/10 à cette manip. Un étudiant est reçu à l’examen de TP s’il obtient la note de

10/20 en ayant réussi les deux manips.

On constate que la probabilité de réussir la manip M1 est de 0,5. La probabilité de

réussir la manip M2 est, quant à elle, de 0,6. Enfin, la probabilité qu'un étudiant

réussisse la manip M2 alors qu’il a réussit la manip M1 est de 0,8.

- Réussir M1et M2 sont-ils deux évènements indépendants ?

- Quelle est la probabilité d’être reçu à l’examen de TP de biochimie ?


Exercice 6 "Aimez –vous les yaourts?"

Dans une usine pilote de fabrication de yaourts, on s'intéresse à améliorer la qualité des produits destinés à la vente. La production conduit en moyenne à 96% de yaourts "BONS", c'est à dire dont les qualités organoleptiques sont conformes au cahier des charges fixé à l'origine (saveur, acidité inférieure à seuil limite, onctuosité, …). L'équipe que vous dirigez a mis au point un test rapide et peu coûteux, destiné à révéler la qualité des yaourts en cours de fabrication. Lorsque ce test est appliqué sur les yaourts "MAUVAIS", il se révèle positif (coloration spécifique) dans 98% des cas tandis que 90% des yaourts "BONS" conduisent à un test négatif. A/ Donnez la probabilité que le test s'avère positif sur de mauvais yaourts B/ Cherchez la probabilité qu'un yaourt soit mauvais alors que le test est négatif C/ Finalement, inversez le schéma initial : au lieu de partir de la qualité réelle ("BON" ou "MAUVAIS), partez du résultat du TEST ("Test Positif" ou Test Négatif") et faites-y figurer toutes les valeurs utiles. A QUELLES CONCLUSONS CECI CONDUIT-IL ?


Processus déterministe Processus dans lequel un antécédent produit toujours le même effet. cause effet Processus stochastique (aléatoire) Processus qui, pour un antécédent donné, peut produire plusieurs effets, chacun

ayant une probabilité déterminée.

résultat Probabilité

#1 P1 #2 P2

cause #3 P3 #4 P4 #5 P5

Les processus stochastiques font l’objet de l’analyse statistique.


Exemple de processus déterministe :

Loi de Beer-Lamber DO=.l.C

On peut suivre une courbe de croissance (vers 620 nm) bactérienne à

l’aide d’un spectrophotomètre. La cause C augmente provoque

directement le même effet DO augmente.

Exemple de processus stochastiques :

- Résistance d’une souche bactérienne à un antibiotique donné

(boîtes de Pétri)

- Naissance des alvins quelques jours après l’accouplement

de 2 poissons

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités3. Définition ; 2 cas à considérer

Une loi de probabilitéUne loi de probabilité est entièrement définie par l’ensemble des valeurs possibles

prises par la variable aléatoire associée et les probabilités d’apparition de chacune de

ces valeurs.

Dans le cas d’une variable aléatoire X discrète, une loi de probabilité

est entièrement définie l ’ensemble des couples (k, p[X=k]) (k Entier, en général)

p[X=k] a un sens!

Dans cas d’une Variable Aléatoire X continue, une loi de probabilité

est entièrement définie l’ensemble des couples ( , p[X> ) (Réel)

p[X= ] = 0 !

Prendre p[X< dans la définition reviendrait au même

Une définition très simple …

… qui demande un peu de précision

Exemple introductif

Considérons un caractère dû à un gène ayant deux allèles A et a. Si les parents sont tous deux hétérozygotes (ont le génotype Aa), les génotypes de leurs descendants sont l'un des 4 types suivants : AA Aa aA aa. Si ces évènements sont également probables, la probabilité de chacun d'eux est 1/4. On obtient une première loi de probabilité :

Génotype [AA] [Aa] [aa] Probabilité 1/4 1/2 1/4

Si de plus, le gène A est dominant, les individus de génotype AA, Aa et aA ont le même phénotype et la probabilité d'obtenir ce phénotype est 3/4. On obtient finalement la loi de probabilité suivante :

Phénotype [A] [a] Probabilité 3/4 1/4 Le modèle ainsi défini convient à l'étude de nombreux croisements (ex pois étudiés par Mendel, le caractère étudié pouvant être par exemple la couleur des fleurs)


Exercice « les pois de Mendel »

Soit le croisement de pois à fleurs jaunes (A, caractère dominant) et

vertes (a). Calculer la probabilité qu’une plante à fleurs jaunes de la

deuxième génération (c’est-à-dire obtenue par croisement de deux

hétérozygotes) soit hétérozygote.Solution

Soit J : « les fleurs sont jaunes » et H : « la plante est hétérozygote »

La probabilité recherchée est P(H / J) (« fleur jaune » est le caractère établit)

En se servant de la loi de probabilité établie auparavant :

P(H / J) = P(H J )/P(J)

P(J) = 3 / 4 (A dominant)

H J = {Aa, aA}= H P(H J ) = 2 / 4

P(H / J) = P(H J )/P(J) = 2/3


• Variable(s) statistique(s) (et type) ?

• Variable(s) aléatoire(s) sous-jacente(s)?

• Calculer la probabilité d’obtenir l’un des deux phénotypes [ab] ou [Ab]

A vous de jouer …

Expression d’un caractère impliquant 2 gènes non liés.

Dans le cas où 2 gènes non liés sont en cause pour l’expression d’un

caractère, déterminez la loi de probabilité attendue pour la

ségrégation des phénotypes à l'issue du croisement de deux

drosophiles hétérozygotes de génotype {AaBb} (A et B dominants).


Croisement {A/a,B/b} X {A/a,B/b} ,

expression d’un caractère impliquant 2 gènes non liés

Génotypes Phénotypes Probabilités (proportions attendues)

[AABB]

[AABb] (caractère exprimé) 9/16

[AAbB] [AB]

[AaBB]

….

[aabb] (caractère non exprimé)

[Aabb] [ab]

… [Ab] 7/16

[aB]


Seule l’expérience permet de décider si les valeurs attribuées aux probabilités sont ou non satisfaisantes pour la description du phénomène étudié.

Commentaire …

Les évènements (génotypes) ont été pris ici également probables, c’est ce qui est

observé lorsqu’on considère les pois étudiés par Mendel (couleur des fleurs).

Ce modèle ne convient pas aux primevères pour le caractère des

feuilles plates (A) ou ondulées (a) : la fréquence expérimentale du

nombre de feuilles plates est en effet voisine de 4/5

(les plantes à feuilles crispées sont moins viables que les plantes à feuille plates).


C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités4. Exemples

On sait très bien que P ("naissance d'un garçon ") > P ("naissance d'une fille")

[mais les filles sont plus résistantes…]

prenons : P (G) = 0.52 et P(F) = 0.48

( Laplace : P (G) = 22/43 = 0,5117 ; anecdote associée à ces statistiques relevés sur

10 ans pour Londres, St Petersburg Berlin et l’ensemble de la France et …25/49=0,5102 pour Paris !)

Sur trois enfants (de mêmes parents),

quelle serait la probabilité d’avoir une seule fille?

(précision : pas de jumeaux)

construire un cheminement logique …

http://www.ined.fr/publications/pop_et_soc/pes404/index.html


Naissance n°1 Naissance n°2 Naissance n°3 G G G G G F G F G G F F F G G F G F F F G F F F

3 naissances : évènements indépendants à chaque naissance : une alternative : P (G) = 0.52 et P(F) = 0.48

P (G et G et F) = P(G).P(G).P(F) (indépendance des naissances) = 0.52 x 0.52 x 0.48 = 0.129 P (G et G et F) = P (G et F et G) = P (F et G et G) Variable aléatoire d’étude : X = « nombre de filles obtenues à l’issue de 3 naissances consécutives sans jumeaux » Il est clair que la probabilité recherchée est : p(X=1) = 3*0.129 p(X=1) = 0.387


Avec cet exemple nous visualisons :

- variable aléatoire = fonction

- la loi de probabilité

- Calcul de probabilités possible à partir de la distribution

- Nous pouvons calculer la moyenne de la distribution

)xp(XxX ii

io x

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités5. Loi Binomiale

La solution du problème des épreuves répétées conduit à la loi binomiale.

On jette 5 fois de suite une pièce de monnaie non truquée. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 fois "face" à l'issue des 5 jets ?

- Quelle est l’épreuve associée ?

- Variable de Bernouilli : pour chaque lancé de la pièce,

Y=0 si le résultat est ‘Pile’ (échec/absence caractéristique) ;

Y=1 si le résultat est face ’Face’ (réussite/présence caractère)

- Echantillon ou population ?

- Variable aléatoire associée ?

- Ensemble des résultats possibles ?

- Quelle est la loi de distribution ?

- Quels sont la moyenne et l'écart-type de la distribution ?

- Représentation graphique


Vers le calcul d’une probabilité : P(X=2)

- Variable aléatoire associée ?

- Résultats possibles

- Si on passait au calculs …

- Généralisation du processus

Commençons par établir la probabilité : P(X=1)

Commençons par établir la probabilité : P(X=1)

X = 'nombre de 'face' obtenus à l'issue de 5 jets consécutifs d'une pièce non truquée'}

Notons 'P' l'événement 'obtenir pile comme résultat du lancé}

et 'F' l'événement 'obtenir face comme résultat du lancé}

Revue des événements possibles :

{'PPPPP'} X=0

{'FPPPP'} X=1 {'PFPPP'} 5 cas {'PPFPP'} Les évènements sont indépendants {'PPPFP'} P(X=1) = 5x P('F')x P('P')4 {'PPPPF'} P(X=1) = 5x 0.5x0.54 = 0.156 {'FFPPP'} X=2 Combien de cas ????

. . . . {'FFPPP'} X=5

X {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Calcul d’une probabilité : P(X=2)

Calcul d’une probabilité : P(X=2)

{'PPPPP'} X=0 .

. . {'FFPPP'} X=2 {'FPFPP'} 10 cas {'FPPFP'} {'FPPPF'} {'PFFPP'} {'PFPFP'} {'PFPPF'} {'PPFFP'} Les évènements sont indépendants {'PPFPF'} P(X=2) = 10x P('F')2

x P('P')3 {'PPPFF'} P(X=2) = 10x 0.52

x0.53 = 0.313 {'FFFPP'} X=3 Combien de cas ????

. etc… .

. . {'FFPPP'} X=5

X {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Généralisation du processus : P(X=k)

Généralisation du processus : P(X=k)

{ ' P P P P P ' } X = 0 .

. . X = k

knC c a s ( c h a q u e c o m b i n a i s o n s ' o b t i e n t e n e f f e t d e f a ç o n u n i q u e ! )

L e s é v è n e m e n t s s o n t i n d é p e n d a n t s

P ( X = k ) = k)-(nkk

n )P'P(' )F'P(' C xx

P ( X = k ) = 0.5 0.5 C k)-(nkk

n x x .

. . { ' F F P P P ' } X = 5

X { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

T r i a n g l e d e P a s c a l

C o e f f i c i e n t s p

nC d u b i n ô m e ( a + b ) n

1

1 1

1 2 1 p1-n

C 1-p

1-nC

pn

C 1 3 3 1 n

1 4 6 4 1

1 5 1 0 1 0 5 1

1 6 1 5 2 0 1 5 6 1

1 7 2 1 3 5 3 5 2 1 7 1

1 8 2 8 5 6 7 0 5 6 2 8 8 1

1 9 3 6 8 4 1 2 6 1 2 6 8 4 3 6 9 1

1 1 0 4 5 1 2 0 2 1 0 2 5 2 2 1 0 1 2 0 4 5 1 0 1

p

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités 5. Loi binomiale


k p(X=k) k*p(X=k)0 0,031 01 0,156 0,156252 0,313 0,6253 0,313 0,93754 0,156 0,6255 0,031 0,15625

sommes : 1,000 2,500

B (5, 0.5)

i

i

iii

n

x n X

ii

ii n

n xX p or )(, :

i

ii )x p(X x X

Moyenne : 2.5 (valeur non prise par la variable!)

Moyenne : n (valeur pas systématiquement prise par la variable!)


k p(X=k)0 0,0311 0,1562 0,3133 0,3134 0,1565 0,031

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0 1 2 3 4 5

p(X=k)

k

B (5, 0.5)


Notations ….

probabilité élémentaire

moyenne population (taille N pas toujours connue!) X Variable aléatoire d’étude (échantillon taille n)

oX moyenne échantillon (taille n)

écart type population (taille N pas toujours connue!)

o meilleure estimée de l'écart type de la population dont est issu l'échantillon (on utilise la taille n de l'échantillon pour le calcul)


Cas où la loi Binomiale est impliquée :

A chaque fois, qu'une épreuve est répété un certain nombre n de fois

(échantillon) avec toujours la même alternative :

un événement E est réalisé (probabilité ) ou non réalisé (probabilité 1-).

E /

n fois épreuve

non E / (1-)

Exemples d'épreuve :

- jet d'une pièce de monnaie - répondre au hasard à une questions posée - germination d'une graine - naissance d'un enfant - apparition d’un résidu d’AA dans une séquence peptidique aléatoire - etc…


Epreuve, variable et Loi de Bernouilli :

X : variable de Bernouilli, associée à une épreuve possèdant l’alternative :

un événement E est réalisé (probabilité ) ou non réalisé (probabilité 1-).

E /

épreuve

non E / (1-)

Loi de probabilité :

X prend la valeur 1 à la réalisation de E, et X=0 à la non réalisation de E

P(X=1)=

P(X=0)=1-

Moyenne de la loi : ; Variance : La loi binomiale est ainsi la résultante de N variables de Bernouilli indépendantes


Loi Binomiale

X, V. A. discrète, "nombre de réalisations d'un

certain événement E lors des n répétitions d'une

même épreuve"

X B (n, )

Espérance (moyenne théorique) : n

(valeur pas toujours prise par la variable!)

variance : n

k)(nkkn Π)(1Π C k)p(X

Cependant cette loi est peu pratique à utiliser lorsque n est grand (calculs fastidieux!)

Tables de la loi binomiale…

Approche par d'autres lois lorsque c'est possible…

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

p(X=k)

k

n=15, =0,8


Soit la variable Po = X/N , avec X : VA binomiale.

(proportion d’individus satisfaisant à la définition de la VA X)

Quelle est la loi de probabilité suivie par Po?

Quels sont la moyenne et la variance de Po ?

n)1(

Espérance :

Loi Binomiale

Po, V. A. discrète, "proportion de réalisations

d'un certain événement E lors des n répétitions

d'une même épreuve"

Po B (n, )

Espérance (moyenne théorique) : (valeur pas toujours prise par la variable!)

variance : n


Les distributions de X et Po sont toutes deux des lois binomiales de paramètres n et

mais elles n'ont pas la même moyenne ni la même variance

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 1/15 2/15 1/5 4/15 1/3 2/5 7/15 8/15 3/5 2/3 11/15 4/5 13/1514/15 1

p(Po=k/n)

k/n

n=15, =0,8

k)(nkkn )(1C )

n k P ( P

0


A propos de la moyenne d’une Loi de probabilité

Espérance ou moyenne théorique d’une loi de distribution

Barycentre de la distribution

(valeur pas toujours prise par la variable!)


Exercice « Le technicien expérimenté »

Le technicien d’un laboratoire pilote réalise une manipulation très délicate qu’il

ne rate que dans 30 % des cas. Il procède par série de 5 manipulations. Grâce

à son expérience, il répète un assez grand nombre de fois ses séries de

manipulations dans des conditions pratiquement identiques.

La V.A. d’étude est X = « nombre de manipulations réussies par série de 5 »

Quel est le type de la V.A. X ?

Représentez graphiquement la distribution de X

Quels sont l’espérance et l’écart-type de cette distribution ?

Hypothèse : on supposera sans le démontrer que les manipulations sont toutes indépendantes les unes des autres (effet de la fatigue, impact d’un échec ou d’une

réussite sur la manip suivante non pris en compte)


0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0 1 2 3 4 5

p(X=k)

k

k p(X=k)0 0,0021 0,0282 0,1323 0,3094 0,3605 0,168

B (5, 0.7) Espérance : 3.50Ecart-type : 1.02


Exercice "sachets de graines"

Un producteur de graines vient de lancer une superbe variété de fleur. Il garantit que seules 2 graines sur 10 ne germent pas. Chaque sachet mis en vente contient 200 graines.

a/ Indiquez combien de fleurs peut donner en moyenne un sachet de graines.

b/ Quel est l'écart type associé ?

c/ Pour obtenir un massif de 500 fleurs, combien de sachets faut-il acheter en moyenne ? (Indiquez votre raisonnement).

Vous n'oublierez pas de bien définir la VA sous jacente et d'indiquer sa nature (qualitative, quantitative discrète ou quantitative continue).


Exercice "sachets de graines "

X = « Nombre de graines donnant à une fleur sur un échantillon de 200 graines »

=1-2/10=0,8

N=200

=N=200x0,8=160

Variance=N(1-)=200x0,8x0,2=32

=5,7

En moyenne un sachet permet d’obtenir 160 fleurs.

Il faut donc 4 sachets pour atteindre au moins l’effectif de 500 fleurs (3x160=480, insuffisant et 4x160=640, OK!).

Rq : On pourra préciser l’incertitude en approchant la loi par une distribution normale

Avec 3 paquets, seulement 12% de chances (environ) d’obtenir plus de 500 graines


On considère une chaîne polypeptidique de n acides aminés générée de façon aléatoire.

Soit n=50, taille de la séquence

- Q1 - Quelle est la probabilité de trouver plus de 50% de résidus proline dans cette séquence aléatoire ?

- Q2 - Quelle est la probabilité de trouver le tripeptide ‘LLL’ dans cette séquence polypeptidique ?

- Q3 - Un poly L , c’est à dire une séquence polypeptidique constituée uniquement du résidu leucine ?

Exercice « Séquence Random »

- Q1 -

P ( Po > 0.5) = P ( X > 25)

Po suit une B (50, 0,05)

Variable de Bernouilli associée

Présence Proline associée à X=1 ; P(X=1)=1/20

Absence Proline (présence de tout autre aa) associée à X=0 ; P(X=0)=19/20=0,95

50

26k )

NkP(P25)P(X o

50

26kk )P(X25)P(X

50

26

)50(95005050k

kk .. C k xx25)P(X

Application numérique : utiliser table de la loi binomiale ou ordinateur!

Exemple : en saisissant LOI.BINOMIALE(25;50;0,05;VRAI) dans Excel,

le résultat recherché est le complémentaire à 1 de cette valeur, donc 0

P ( Po > 0.5) = 0

Correction de l' exercice « Séquence Random »

Correction de l' exercice « Séquence Random »

- Q2 - Soit n : nombre de résidus dans la séquence polypeptidique ;Soit Nt : nombre de tripeptides dans une séquence de n résidus d'acides aminésNt = n – 3 +1Ici : Nt = 50 – 3 +1 = 48

Variable de Bernouilli / Probabilité élémentaire :Pour chaque tripeptide considéré dans la séquencePrésence de LLL , W=1 P(W=1)=(1/20)3=0.000125Absence de LLL , W=0 P(W=0)=1-0.000125=0.999875

Soit la V.A. Y : "nombre de tripeptides LLL dans la séquence aléatoire de 50 résidus d'aa"

Y suit une loi binomiale B (48, 0.000125)

{Présence de LLL dans la séquence} = (Y > 0)P (Y > 0) = 1 – P(Y=0)

P(Y=0) = 1x1x(0.999875)48 = 0.99402P (Y > 0) = 1 – P(Y=0) = 1-0.9940 = 0.006 (ordre de grandeur : 1%)

- Q3 - La probabilité recherchée est : (1/20)50 , pratiquement nulle!

480 0.999875x0.000125x 0)P(Y C048

On peut également dans ce cas utiliser l'approximation par la loi de Poisson de

paramètre =48x0.000125 ; P(0.006)

Saisir sous Excel : =LOI.POISSON(0;0,006;FAUX)


Une grande marque produit chaque semaine 20000 kits de laboratoires prêts à

l'emploi, dont 17000 ne présentent aucun défaut (85 %).

Le service de contrôle-qualité prélève 10 kits au hasard d'une production hebdomadaire

pour estimer la qualité de l'ensemble de la fabrication.

Quelle est la probabilité que cet échantillon présente autant de kits défectueux que kits

bons pour la vente ?

Autrement dit, dans un échantillon de 10 kits prélevés au hasard, on a une probabilité de

… % pour que 5 kits soient défectueux et 5 bons pour la vente.

Est-ce beaucoup ???

Maintenant que l'on sait à quoi s'attendre que faut-il faire ?

Comparer l'observation à la prévision …

…. Ce sera l'objet des tests statistiques ….


situation variable aléatoire nombre de cas probabilité de succès

sur une épreuve hypothèse loi de probabilité

jet d’une pièce n fois de suite

X = « nombre de faces obtenues »

n + 1 possibilités

= 0.5

pièce non truquée

Loi binomiale avec P(X =k) k appartenant à (0,1,2,...,n) Variable de Bernouilli : Succès : Y=0 Echec : Y=1

nombre de filles dans une famille de 8 enfants

X = « nombre de filles dans un échantillon de 8 enfants Y = « nombre de garçons »

{ 0 ; 1 ; .. ; 8} P(F) = P(G) = 0.5 pas de variation de cette probabilité avec le rang de la naissance

Loi binomiale avec P(X =k) k appartenant à (0,1,2,...,8)

questions posées à un examen QCS : 20 questions, 5 propositions par question

note obtenue sur 20 0 => 20 21 notes possibles

= 0.2 réponse juste = 1 point (une seule réponse est bonne et les questions sont indépendantes)

Loi binomiale avec P(X =k) ex : obtenir la moyenne en répondant au hasard au question : P(X > 10)

contrôle qualité d’un échantillon de 10 pipettes au hasard d’une production de 40000 pour lesquelles 32000 sont bonnes

X = « nombre de pipettes défectueuses»

0 à 10 pipettes défectueuses

= 0.8 (à peu près constante quand n est grand)

On n'est pas dans un cas d’indépendance Formelle on considère la probabilité de l'évènement à 3 chiffres après la virgule.

On décide tout de même avec une faible erreur de traiter le problème en utilisant la loi binomiale avec P(X =k), k appartenant à { 0,1,2,...,10}

Quelques cas où l'on rencontre de la LOI BINOMIALE :

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités6. Loi de Poisson

Que constatons-nous dans cet exemple ?

X suit une loi binomiale dont la moyenne est très proche de la variance

Et petite pour N plutôt grand

Moyenne : n = 0.02*100 = 2

Variance : n= 100*0.02*0.98 = 1.96

Exemple introductif

Dans une expérience faite sur des rats, l’étalement sur la peau d’une crème de soin du

commerce peut provoquer une réaction allergique dans 20 cas sur 1000.

Soit X la variable aléatoire "Nombre de rats présentant une réaction allergique après

dépôt du produit sur N individus"

A/ Quelle loi de probabilité suit X ?

B/ Quelle est la probabilité d'observer moins de 3 cas d'allergie sur 100 étalements ?

En déduire la probabilité d'observer au plus 3 cas d'allergie sur 100 étalements.


Cas d'application (Siméon Denis Poisson 1781-1840)

Lorsque le nombre d'épreuves n est grand et très petit (proche de 0),

la loi Binomiale B (n, ) tend vers une loi de Poisson P () de seul paramètre

(espérance et variance de la loi binomiale approchée par la loi de Poisson).

La loi de Poisson est une distribution discrète. Elle est tabulée

P(X=k) = e- k / k!

Côté pratique

On vérifiera d'abord que les calculs ne peuvent être approchés par une

distribution normale, plus pratique à utiliser


Nous sommes maintenant armés pour résoudre notre exemple introductif

Dans une expérience faite sur des rats, l’étalement sur la peau d’une crème de soin du

commerce peut provoquer une réaction allergique dans 20 cas sur 1000.

Soit X la variable aléatoire "Nombre de rats présentant une réaction allergique après

dépôt du produit sur N individus"

A/ Quelle loi de probabilité suit X ?

B/ Quelle est la probabilité d'observer moins de 3 cas d'allergie sur 100 étalements ?

En déduire la probabilité d'observer au plus 3 cas d'allergie sur 100 étalements.

On va utiliser une loi de poisson de paramètre : =2


• Nombre de poissons par mètres cube d’eau

• Passages d’un ours dans un site des Pyrénées sur une semaine

• Concentration de bactéries (hématimètre) dans un lac (homogénéité)

• Nombre d’insectes d’une certaine espèce capturés sur un filet en une nuit en forêt amazonienne

• Nombre de désintégration d’un radio-isotope par minute

• Nombre d’appels enregistrés par un standard téléphonique dans une courte période de temps

• Nombre de skieurs empruntant un télésiège en l’espace d’une heure dans une petite station alpine

• Etc…

Réels domaines d’utilisation d’une loi de Poisson

Nombre d’évènements par unité de volume, de surface, de temps


Exercice « les ours des Pyrénées »

Un écologiste étudie le passage des ours, récemment introduits, en un point précis

d’une rivière séparant un champ d’une petite forêt des Pyrénées. A l’issue d’un

contage long et rigoureux, il observe en moyenne 4 individus par jour.

a/ Quelle est la probabilité qu’il détecte précisément 3 ours en l’espace de 12 h ?

b/ Quelle est la probabilité qu’il détecte entre 1 et 3 ours en 6 heures ?

a/ = 4 individus / j

uniformité sur une courte période de temps : = 2 ind. / 12 h

calcul de P(X=3) avec X suit une loi de Poisson de paramètre =2 (voir table)

P(X=3) =0.18

b/ calcul de P(1 Y 3) avec Y suit une loi de Poisson de paramètre =1

Loi discrète donc P(1 Y 3) = P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3) (voir table)

P(1 Y 3) = 0.3679+0.1839+0.0613 = 0.6131 (0.61 est suffisamment

précis)

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités7. Calcul de probabilités dans le cas des lois de distribution continues

transformation de l'échelle verticale des graphes Densité de fréquence relative (Pour toute variable X ordonnée classée)

Fréquence relative

Densité de fréquence relative = Amplitude de classe

Taux d’une hormone en mg/ml


AIRE TOTALE = 1

Avec la densité de fréquence relative on a facilement accès aux probabilités, associées aux surfaces du diagramme.



Lois continues

L’augmentation de la taille de l’échantillon permet des classes de plus en plus fines et fait tendre la densité de fréquence relative vers une courbe appelée densité de probabilité.

Les lois de distributions continues (loi normale, Chi-deux, etc…) sont entièrement caractérisées par l ’équation de leur fonction de densité de probabilité f(x).

Variable aléatoire X quantitative continue Distribution continue f(x) densité de probabilité

f(x) X

1 ; 1

2

21 f(x)dx avec f(x)dx ) ε X P(ε

ε

ε

En employant la fonction de densité de probabilité on a une visualisation claire de la notion de probabilité : La probabilité P(<X<) est l’aire du diagramme délimitée d’une part par l’intervalle [] et d’autre part par la courbe de densité de probabilité f(X).


R e m a r q u e s F o n c t i o n d e p a r t i t i o n : p r i m i t i v e d e l a f o n c t i o n d e d e n s i t é d e p r o b a b i l i t é

(

ε

f(x)dx ) P(X) F εε

) F( ) F( ) X P( ε ε ε ε 1221

M o y e n n e :

x f(x)dx μ

x

V a r i a n c e :

f(x)dx) μ (x σ

xx

22


C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités8. Loi Normale

De nombreuses variables aléatoires ont pour fonction de densité une courbe en

forme de cloche, appelée courbe Normale ou courbe de Laplace-Gauss

(Pierre Simon de Laplace 1749-1827 ;Karl Friederich Gauss 1777-1855)

la loi statistique la plus répandue et la plus utile de nombreuses lois de probabilités peuvent souvent être approchées

par la loi Normale

dérivée : loi Log-Normale


Quand est-elle rencontrée ? Lorsqu'une grandeur subit l'influence d'un grand nombre de facteurs

(ou paramètres ; non tous identifiés, voire identifiables!) tous

indépendants, qui, pris isolément, ne contribuent que très faiblement à

faire varier la grandeur étudiée, les valeurs prises par la variable aléatoire

(continue) associée à la grandeur se distribuent selon la loi de Laplace-

Gauss (appelée Loi Normale). Cette loi revêt un caractère de généralité.

On y fait très souvent appel en Biologie

Loi de Laplace – Gauss

distribution continue et symétrique

caractérisée par sa moyenne et son écart-type . associée à une variable aléatoire X quantitative continue

X N ()


• Propriétés de la Loi Normale N , repères graphiques

• Définition des fonctions de densité de probabilité et de partition

• Une probabilité est une aire (comme pour toute distribution continue)

• Loi Normale centrée réduite

• Changement de variable et conservation des aires

• Lecture des tables de la Loi Normale centrée réduite

• Un exemple

• Bilan de ce qu’il faut retenir

• Exercices

• Loi Log-Normale

• Passage d’une loi Binomiale à une loi Normale


2

21

2

1

σ

x-μ-

e πσ

f(x)

πσ 2

1

X

X N () POPULATION

courbe symétrique par rapport à x =

P( X < ) = P(X ) = 0.5

P( < X < ) = 0.68

P( < X < ) = 0.95

P(X > 3) < 0.0015


Loi Normale Centrée - Réduite

Z N ()

2

21

2

1 z

π f(z)

-e

π21

Z

La variable centrée réduite Z=(X-)/

a pour moyenne 0 et 1 pour écart-type

courbe symétrique par rapport à Z =0

P( Z 0 ) = P( Z > 0 ) = 0.5

P( -1 Z 1 ) = 0.68

P( -1.96 Z 1.96 ) = 0.95

P( Z > 3 ) < 0.0015


2

1

X2X1

2

2

1

2

1

σ

x-μ-

e πσ

f(x)

X

N () N ()

Z = ( X - ) / X Conservation des aires

σ

μX

σ

μX

X

X

g(Z) dZ f(X) dX

2

1

2

1

Changement de variable

2

2

1

2

1 z

π g(z)

-e

π2

1

0 1-1

Z1 Z2

Z


Z

Principe de la table de la loi Normale Centrée Réduite

N ( 0,1) = P(Z > t) , t 0

(Echantillon de calculs d'intégrales)

Grâce au changement de variable Z = (X - )/,

on utilise la table de la loi Normale centrée

réduite pour calculer les probabilités (aires)

d'une loi Normale quelconque.

2

2

1

2

1 z

π f(z)

-e

π2

1

0

t


Table de la loi Normale Centrée Réduite

N (0,1) = P(Z > t) , t 0

(Echantillon de calculs d'intégrales)

0

Z

t

Utilise la symétrie de la loi N (0,1)

permet de trouver , connaissant t

permet de trouver t , connaissant

Il existe également la "table de l'écart réduit"

(on s'en servira dans les tests d'hypothèse)

Exemple : P( Z > 2.43 ) = 0.0075494


Du Côté d’EXCEL :

(loi normale quelconque)

- loi.normale renvoie la valeur de P(X<z) pour z donné

- loi.normale.inverse renvoie z à partir de P(X<z)


Exercice "Les grains de maïs"

Les ingénieurs d'une coopérative agricole ont constaté que les grains d'un maïs issus d'une sélection (résistant mieux aux intempéries) sont moins lourds que ceux du maïs utilisé jusqu'alors par la coopérative. Suite à des statistiques répétées sur plusieurs années, on note que la masse des grains est distribuée normalement dans les 2 populations de maïs, avec pour moyennes et écart-type exacts :

- maïs utilisé par la coopérative moyenne : 3,4 g ; écart-type : 0,5 g

- variété sélectionnée pour sa résistance aux intempéries moyenne : 3,2 g ; écart-type : 0,5 g

Seuls les grains de masse supérieure à 2,5 g sont commercialisables

A/ Calculez la probabilité des évènements suivants, d'une part pour le maïs utilisé par la coopérative, d'autre par pour le maïs sélectionné :

- La masse des grains est inférieure à 2,5 g - La masse des grains est comprise entre 3,0 et 4,0 g - La masse des grains est supérieure à 4,0 g

B/ On prélève au hasard un grain de chacun des 2 types de maïs, quelle est la probabilité qu'un grain de maïs utilisé par la coopérative ait une masse supérieure à celui du maïs sélectionné ?

C/ On dispose de données complémentaires qui montrent qu'un certain traitement T translate les distributions de 100 mg sur la gauche.

- Quelle est la proportion de grains non commercialisables chez le maïs exposé au traitement T et chez le maïs non exposé au traitement T ?

- Quelle est l'augmentation relative du risque de non-commercialisation chez le maïs exposé au traitement T par rapport au maïs non exposé ?

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités9. Passage d’une loi binomiale à une loi normale

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

n=50 =0.5n=25

=0.7n(1-=15

Evolution de la forme d’une distribution binomiale lorsque n est grand

Pratique : Les calculs impliquant une distribution binomiale peuvent,

dans certains cas, être approchés par une distribution normale (plus pratique à utiliser)

On utilise la moyenne et l’écart-type de la Binomiale pour définir la Normale

Lorsque X B (n)

et que n> 5et n(1-) > 5

Alors n> 5et n(1-) > 5

les calculs de probabilité peuvent être approchés en utilisant

La loi de distribution Y N (n)

Remarque : Lorsque les conditions ne permettent pas cette

approximation,

il faut alors essayer … la loi de Poisson …

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités 9. Passage d’une loi binomiale à une loi normale

Π 1nΠ

C’est en fait ainsi que la loi Normale a été

(re)découverte par Laplace vers 1800 !

Pratique : Les calculs impliquant une distribution binomiale peuvent,

dans certains cas, être approchés par une distribution normale (plus pratique à utiliser)

On utilise la moyenne et l’écart-type de la Binomiale pour définir la Normale

Lorsque P0 B (n)

et que n> 5et n(1-) > 5

Alors n> 5et n(1-) > 5

les calculs de probabilité peuvent être approchés en utilisant

La loi de distribution Y N ()n Π 1Π

Remarque : Lorsque les conditions ne permettent pas cette

approximation,

il faut alors essayer … la loi de Poisson …



Exercice "Kit ou … double?"

L'industriel fabricant des kits de biotechnologie a mis en place une technique éliminant les éléments défectueux. A l'issue de cette étape, 99% des kits vendus sont corrects et utilisables sans risque de disfonctionnement.

L'industriel vient juste de vendre un lot de 1000 kits à l'un de ses distributeurs. Préoccupé par son image de marque, il a demandé à une jeune stagiaire de lui donner, dans l'heure, la probabilité qu'il y ait plus de 2% de kits défectueux dans le lot vendu.

Qu'en serait-il s'il avait vendu :

- un lot de 10000 kits?

- un lot de 100 kits?

Tracez les variations de la variance en fonction de la taille de l'échantillon

Exercice "Kit ou … double?"

Définissons les variables aléatoires utilisables dans cet exercice,

X : « Nombre d’éléments défectueux dans un lot de N kits de biotechnologie vendus »

Po : « Proportion d’éléments défectueux dans un lot de N kits de biotechnologie vendus »

L’épreuve de Bernoulli, répétée N fois, associe la probabilité =1-0,99=0,01 (paramètre) à l’évènement

« un kit pris au hasard est défectueux ».

L'industriel vient juste de vendre un lot de 1000 kits à l'un de ses distributeurs. N=1000

X suit la loi binomiale B(1000, 0,01) de moyenne N=10

Po suit la loi binomiale B(1000, 0,01) de moyenne =0,01

et d’écart type [(1-)/N]1/2 =[0,01x0,99/1000]1/2=0,0032

P(Po >0,02) = P(X>20) = 1-[P(X=0)+P(X=1)+….+P(X=20)] . Ce calcul impliquant la somme de 21 termes

binomiaux est bien trop fastidieux. On s’intéresse donc de suite sur l’approximation par une loi Normale.

Comme N et N(1-) sont tous deux supérieurs à 5, cette approximation est possible.

Soit Y la variable aléatoire suivant la loi normale N(, [(1-)/N]1/2), les fluctuation de Po peuvent être

approchées par la loi de Y. Pour N=1000 et =0,01, Y suit la loi N(0,01, 0,0032)

P(Po>0,02)=P(Y>0,02)

P(Y>0,02)=P[Z>(0,02-0,01)/0,0032)], Z suivant la loi normale centrée réduite N(0,1)

P(Y>0,02)=P(Z>3,17)

P(Z>3,17)=0,00076

Ainsi la probabilité recherchée P(Po >0,02) est proche de 0,08%. L’industriel peu se rassurer!

S'il avait vendu un lot de 10000 kits, l’approximation Normale est encore meilleure. La moyenne ne

change pas, elle est toujours égale à 0,01 mais l’écart type de la loi B(1000, 0,01) valant

[0,01x0,99/10000]1/2=0,000995 (à peu près 0,001), la position de la valeur 0,02 sur la distribution normale

est cette fois à plus de 10 écart-type de la position de la moyenne 0,01! Autrement dit la probabilité

recherchée est nulle.

Exercice "Kit ou … double?« (suite)

S'il avait vendu un lot de 100 kits,

N=1, étant inférieur à 5, l’approximation Normale n’est cette fois plus possible.

La moyenne de la loi B(100, 0,01) suivie par X vaut N=1 et la variance est 0,01x0,99x100=0,0099,

valeur très proche de la moyenne. On ne peut donc utiliser la loi de Poisson P(1), de paramètre =1 pour

effectuer les calculs.

Attention, N=100 donc P(Po >0,02) = P(X>2)

P(Po >0,02) = 1-[P(Po=0)+P(Po=0,01)+P(Po=0,02)]=P(X>2) = 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]

P(Po >0,02) =1-[C01000,010x0,99100+ C1

1000,011x0,9999+C21000,012x0,9998]

En utilisant la loi P(1) , P(Po >0,02) =1-(0,3679+0,3679+0,1839)

P(Po >0,02) =0,08, cette fois la probabilité n’est pas faible, elle concerne 8 ventes sur 100!

Rq : Pour appliquer la loi de Poisson, quelque soit N, il faut(1-) proche de

Tableau des variations de la moyenne, de la variance, de l’écart-type de Po et de la probabilité

recherchée , en fonction de la taille de l'échantillon :

N 100 250 500 1000 10000

0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

0,01 0,0062 0,0045 0,0032 0,001

2 0,0001 0,00004 0,00002 0,00001 0,000001

P(Po >0,02) 0,080 0,054 0,012 0,00076 0

Le risque est donc faible à partir de 500 kits vendus (probabilité de l’ordre de 1%, ce qui est raisonnable).

C - C - Lois de probabilitésLois de probabilités 10. Some more training

Exercice : « Les citrons » (extrait de l’examen 2002)

Des citrons sont produits dans des conditions reproductibles par une entreprise agroalimentaire du sud de l’Espagne pour laquelle vous travaillez. Ces citrons forment une population de référence. Leur diamètre est distribué normalement dans cette population avec une moyenne de 7,0 cm et un écart-type de 1,0 cm. Un dispositif performant permet également de détecter, sur chaque citron, la concentration de pesticide absorbé par l'écorce. Cette grandeur est, elle aussi, distribuée normalement dans la population référence avec une moyenne de 2,5 mg/ml et un écart-type de 0,2 mg/ml. Les citrons sélectionnés pour la vente sont ceux dont le diamètre (*) est compris entre 5,5 et 9,0 cm (inclus) et dont la concentration de pesticide absorbé par l'écorce est inférieure ou égale à 2,8 mg/ml

Calculez la proportion de citrons sélectionnés pour la vente dans la population référence.

(* Les citrons trop petits n’intéressent personne tandis que les citrons trop volumineux ont une écorce trop épaisse et, très souvent, une forme irrégulière déplaisant aux consommateurs).

Exercice : « Les citrons » (extrait de l’examen 2002)



Exercice "Diamond is the best girl friend... "

Tous les ans, le groupe agro-alimentaire DIAMOND (23 usines en Europe) est confronté

à une dure réalité : sur cinq réacteurs de la gamme R201 contrôlés, trois en moyenne ont

besoin d'une sérieuse révision. Une révision est facturée 500 Euros HT par réacteur.

L'usine de Toulouse possède 11 réacteurs de la gamme R201.

1/ Quelle est la probabilité que la facture de la révision de ses réacteurs soit comprise

entre 1000 et 1500 Euros HT ?

2/ Quelle est la probabilité qu'elle soit supérieure ou égale à 1500 Euros HT ?

3/ Quel est le coût moyen des réparations ?

pour répondre aux questions :

Définissez la population et l'échantillon d'étude.

Vous allez être amenés à utiliser 2 variables aléatoires. Définissez ces 2 variables. Pour chacune

d'elles, vous indiquerez si elle est discrète ou continue.

Justifiez vos calculs d'1 ou 2 lignes de commentaires en français.

Exercice "Diamond is the best girl friend... "

Population : tous les réacteurs en service dans les 23 usines européennes du groupe agro-alimentaire

Echantillon : les 11 réacteurs de l'usine de Toulouse

Posons X=« Nombre de réacteurs ayant besoin d’une révision dans un échantillon de 11 »

X , variable quantitative discrète, suit une B(11,3/5) ; =0,6

Appelons R le coût HT d’une réparation. R = 500 euros.

Posons Z=« Coût des réparations à réaliser dans l’usine de Toulouse »

Z=R.X, avec R constante

P(1000 ≤ Z ≤1500) = P(1000 ≤ R.X ≤ 1500)

P(1000 ≤ Z ≤1500) = P(1000/R ≤ X ≤ 1500/R)

P(1000 ≤ Z ≤1500) = P(2 ≤ X ≤ 3)

P(1000 ≤ Z ≤1500) = P(X=2)+P(X=3)

P(1000 ≤ Z ≤1500) = 10x0,62x0,49+10x0,63x0,48

P(1000 ≤ Z ≤1500) =0,0024

P(Z ≥1500) = P(X ≥ 3)

P(Z ≥1500) = 1-P(X<3) =1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]

P(Z ≥1500) = 1-[1x0,60x0,411+5x0,61x0,410+10x0,62x0,49]

P(Z ≥1500) = 1-0,0013

P(Z ≥1500) = 0,9987

L’espérance de la loi B(11, 0.6) est X=N=11.0,6=6,6

Le coût moyen des réparations est : R. X=500x6,6=3300 euros

Exercice : « Du tabac pour la bonne cause »

Des études menées sur une exploitation pilote ont montré que la quantité d’une protéine

recombinante produite par un pied de tabac peut être représentée par un variable normale

de moyenne 10 mg et d’écart-type 2 mg.

- Quelle est, dans ces conditions, la probabilité d’observer dans cette exploitation un plan

ayant produit plus de 13 mg de protéine ?

- On prélève au hasard 50 plans de tabac de l’exploitation pilote.

Quelle est la probabilité d’observer au moins 3 plans ayant produit chacun plus de15 mg

de la protéine recombinante?

Il est conseillé de bien définir la VA et la loi suivie par la VA pour répondre aux questions, de

faire un schéma si possible.


Exercice : « Du tabac pour la bonne cause »

Posons X =« quantité en mg d’une protéine recombinante produite par un pied de tabac »

X suit la loi N(10, 2). Nous recherchons P(X>13).

P(X>13)=P[Z>(13-10)/2] , Z suivant la loi normale centrée réduite N(0, 1).

P(X>13)=P[Z>1,5]

P(X>13)=0,0967 , soit 10% environ, ce qui n’est donc pas négligeable.

Posons Y =« nombre de plans de tabac produisant plus de 15 mg de protéine recombinante

parmi les 50 plans récoltés»

Y suit la loi binomiale B(50, P(X>15)). Il faut au préalable déterminer P(X>15).

P(X>15) = P[Z>(15-10)/2] ; P(X>15)=P[Z>2,5]=0,0062

Ainsi, plus précisément, Y suit donc une binomiale B(50, 0,006).

On recherche P(Y ≥ 3)=P(Y>2)=1-P(Y ≤ 2)

P(Y ≥ 3) = 1-[P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)]

P(Y ≥ 3) = 1-[C0500,0060x0,99450+ C1

490,0061x0,99449+C2480,0062x0,99448]

Nous remarquons immédiatement que la probabilité associée à l’épreuve de Bernoulli (probabilité

élémentaire) est très petite. Ce qui laisse espérer l’utilisation d’une loi de Poisson.

La moyenne de la binomiale est N=50x0,006=0,3 ; la variance est 2=N1-50x0,006x0,994=0,3

Moyenne et variance sont suffisamment proches pour utiliser une loi de poisson de paramètre =0,3.

P(Y ≥ 3) = 1-[P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)]

P(Y ≥ 3) = 1 - (0,7408+0,2222+0,0333) (Lecture de la table de la loi P(0,3))

P(Y ≥ 3) = 0,004 ; probabilité très faible!

Exercice : « Le QI »

(Une variante de l’exercice précédent, d’après un exercice trouvé sur le web. Vous pouvez

vous aussi trouver de bons exercices sur le web)

On sait que le QI d’un individu dans une population peut être représenté par un variable

aléatoire de loi N(100, 10).

- Quelle est, dans ces conditions, la probabilité d’observer dans cette population un individu

ayant un QI de plus de 120 ?

- Supposons que l’on tire 10 personnes au hasard de cette population, quelle est alors la

probabilité d’observer plus de 3 personnes ayant un QI dépassant 110 ?

Il est conseillé de bien définir la VA et la loi suivie par la VA pour répondre aux questions, de

faire un schéma si possible.


Documents

Loi de probabilité : élément central de la statistique La détermination de la loi de probabilité suivie par une variable va servir aux calculs de probabilité