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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Lois avec queues régulières et estimations des paramètres
Shuyan LIU
Laboratoire Paul Painlevé
Université des Sciences et Technologies Lille 1
MECANISME DE TRANSPORT DES COMETES DU NUAGE DE OORT
Lille, 29 Avril 2008
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Shuyan LIU, Lille 2008, Lois avec queues régulières et estimations des paramètres
Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Plan
1 Introduction
2 Analyse de α sur les perturbations
3 Méthode d'estimation (PPP)
4 Comparaison
5 Appendice
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Plan
1 Introduction
2 Analyse de α sur les perturbations
3 Méthode d'estimation (PPP)
4 Comparaison
5 Appendice
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Lois avec queues régulières
Dé�nition
La loi d'une variable aléatoire (v.a.) X dans R1 a la queue à
variation régulière (VR), si ∃σ: mesure �nie sur {−1, 1} t.q.
limr→∞
rαP{X > r} = σ(1), limr→∞
rαP{X < −r} = σ(−1),
σ s'appelle la mesure spectrale.
Remarques:
{−1, 1} est la sphère unité de R1, notée S .
σ(−1), σ(1) ≥ 0, σ(−1) + σ(1) = σ(S) > 0.
0 < α ≤ 2: X est strictement α-stable.
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Lois avec queues régulières
Dé�nition
La loi d'une variable aléatoire (v.a.) X dans R1 a la queue à
variation régulière (VR), si ∃σ: mesure �nie sur {−1, 1} t.q.
limr→∞
rαP{X > r} = σ(1), limr→∞
rαP{X < −r} = σ(−1),
σ s'appelle la mesure spectrale.
Remarques:
{−1, 1} est la sphère unité de R1, notée S .
σ(−1), σ(1) ≥ 0, σ(−1) + σ(1) = σ(S) > 0.
0 < α ≤ 2: X est strictement α-stable.
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Lois avec queues régulières
Dé�nition
La loi d'une variable aléatoire (v.a.) X dans R1 a la queue à
variation régulière (VR), si ∃σ: mesure �nie sur {−1, 1} t.q.
limr→∞
rαP{X > r} = σ(1), limr→∞
rαP{X < −r} = σ(−1),
σ s'appelle la mesure spectrale.
Remarques:
{−1, 1} est la sphère unité de R1, notée S .
σ(−1), σ(1) ≥ 0, σ(−1) + σ(1) = σ(S) > 0.
0 < α ≤ 2: X est strictement α-stable.
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Strictement α-stable
Dé�nition
Une v.a. X ∈ R1 est strictement α-stable (SαS) si ∀a, b > 0
a1/αX1 + b1/αX2d= (a + b)1/αX ,
où X1,X2: copies indépendantes de X ,d=: égalité en loi.
Exemples:
N (0, σ2) est SαS avec α = 2: a1/2X1 + b1/2X2 ∼ N (0, (a+ b)σ2).
La densité : p(x) = 1
2σ√πe−
(x−µ)2
4σ2 .
Cauchy(σ, µ) est SαS avec α = 1: p(x) = σπ((x−µ)2+σ2) .
Lévy(σ, µ) est SαS avec α = 1/2:
p(x) =(σ2π
)1/2 1
(x−µ)3/2exp
(− σ
2(x−µ)
).
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Strictement α-stable
Dé�nition
Une v.a. X ∈ R1 est strictement α-stable (SαS) si ∀a, b > 0
a1/αX1 + b1/αX2d= (a + b)1/αX ,
où X1,X2: copies indépendantes de X ,d=: égalité en loi.
Exemples:
N (0, σ2) est SαS avec α = 2: a1/2X1 + b1/2X2 ∼ N (0, (a+ b)σ2).
La densité : p(x) = 1
2σ√πe−
(x−µ)2
4σ2 .
Cauchy(σ, µ) est SαS avec α = 1: p(x) = σπ((x−µ)2+σ2) .
Lévy(σ, µ) est SαS avec α = 1/2:
p(x) =(σ2π
)1/2 1
(x−µ)3/2exp
(− σ
2(x−µ)
).
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Strictement α-stable
Dé�nition
Une v.a. X ∈ R1 est strictement α-stable (SαS) si ∀a, b > 0
a1/αX1 + b1/αX2d= (a + b)1/αX ,
où X1,X2: copies indépendantes de X ,d=: égalité en loi.
Exemples:
N (0, σ2) est SαS avec α = 2: a1/2X1 + b1/2X2 ∼ N (0, (a+ b)σ2).
La densité : p(x) = 1
2σ√πe−
(x−µ)2
4σ2 .
Cauchy(σ, µ) est SαS avec α = 1: p(x) = σπ((x−µ)2+σ2) .
Lévy(σ, µ) est SαS avec α = 1/2:
p(x) =(σ2π
)1/2 1
(x−µ)3/2exp
(− σ
2(x−µ)
).
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Paramétrisation
Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).
Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,
σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.
X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.
Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.
Relation avec la mesure spectrale σ:
σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).
Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).
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Paramétrisation
Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).
Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,
σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.
X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.
Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.
Relation avec la mesure spectrale σ:
σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).
Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).
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Paramétrisation
Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).
Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,
σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.
X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.
Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.
Relation avec la mesure spectrale σ:
σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).
Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).
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Paramétrisation
Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).
Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,
σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.
X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.
Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.
Relation avec la mesure spectrale σ:
σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).
Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).
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Paramétrisation
Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).
Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,
σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.
X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.
Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.
Relation avec la mesure spectrale σ:
σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).
Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Paramétrisation
Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).
Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,
σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.
X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.
Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.
Relation avec la mesure spectrale σ:
σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).
Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Images des densités stables
Densités stables pour α variés avec β = 0 σ = 1 et µ = 0.
Densités stables pour β = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 avec α = 1.5, σ = 1
et µ = 0.
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Images des densités stables
Densités stables pour α variés avec β = 0 σ = 1 et µ = 0.
Densités stables pour β = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 avec α = 1.5, σ = 1
et µ = 0.
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Plan
1 Introduction
2 Analyse de α sur les perturbations
3 Méthode d'estimation (PPP)
4 Comparaison
5 Appendice
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Une distribution des perturbations dans
l'espace
Plan des perturbations contenant 2, 4× 106 points avec la grille (20× 80).
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Résultat d'estimation des paramètres
Plots des α estimés. Plots des β estimés.
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Plan
1 Introduction
2 Analyse de α sur les perturbations
3 Méthode d'estimation (PPP)
4 Comparaison
5 Appendice
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Construction d'estimateur
Regroupement d'échantillon
ξ1, . . . , ξm︸ ︷︷ ︸,Gm1 ,
ξm+1, . . . , ξ2m︸ ︷︷ ︸,Gm2 , ...,
ξ(n−1)m+1, . . . , ξnm︸ ︷︷ ︸Gmn .
En pratique on choisit m et n = [N/m], alors nm = [N/m]m ∼ N
quand N →∞.
Supposons n,m→∞ quand N →∞.
M(1)mi
= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi}, ‖ξmi‖ = M(1)mi
,
M(2)mi
= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi\{ξmi}}, i = 1, . . . , n.
θmi =ξmi‖ξmi‖
, i = 1, . . . , n.
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Construction d'estimateur
Regroupement d'échantillon
ξ1, . . . , ξm︸ ︷︷ ︸,Gm1 ,
ξm+1, . . . , ξ2m︸ ︷︷ ︸,Gm2 , ...,
ξ(n−1)m+1, . . . , ξnm︸ ︷︷ ︸Gmn .
En pratique on choisit m et n = [N/m], alors nm = [N/m]m ∼ N
quand N →∞.
Supposons n,m→∞ quand N →∞.
M(1)mi
= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi}, ‖ξmi‖ = M(1)mi
,
M(2)mi
= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi\{ξmi}}, i = 1, . . . , n.
θmi =ξmi‖ξmi‖
, i = 1, . . . , n.
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Construction d'estimateur
Regroupement d'échantillon
ξ1, . . . , ξm︸ ︷︷ ︸,Gm1 ,
ξm+1, . . . , ξ2m︸ ︷︷ ︸,Gm2 , ...,
ξ(n−1)m+1, . . . , ξnm︸ ︷︷ ︸Gmn .
En pratique on choisit m et n = [N/m], alors nm = [N/m]m ∼ N
quand N →∞.
Supposons n,m→∞ quand N →∞.
M(1)mi
= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi}, ‖ξmi‖ = M(1)mi
,
M(2)mi
= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi\{ξmi}}, i = 1, . . . , n.
θmi =ξmi‖ξmi‖
, i = 1, . . . , n.
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Construction d'estimateur
Estimateur de α
κmi =M
(2)mi
M(1)mi
, Sn =n∑i=1
κmi , α̂N =Sn
n − Sn.
Estimateur de σ(·)
σ̂N(·) =1
n
n∑i=1
δθmi(·).
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Construction d'estimateur
Estimateur de α
κmi =M
(2)mi
M(1)mi
, Sn =n∑i=1
κmi , α̂N =Sn
n − Sn.
Estimateur de σ(·)
σ̂N(·) =1
n
n∑i=1
δθmi(·).
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Resultats principaux
Théorème
(Davydov et al. 2000) Si ξ véri�e (VR) et Sn est dé�ni comme
précédent, alors
1
n
n∑i=1
M(2)mi
M(1)mi
p.s.−−−−→N→∞
α
1 + α.
Théorème
(Davydov et al. 2000) Si ξ véri�e (VR) et θmi est dé�ni comme
précédent, alors
θmi ⇒ σ quand m→∞,
pour chaque i .
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Plan
1 Introduction
2 Analyse de α sur les perturbations
3 Méthode d'estimation (PPP)
4 Comparaison
5 Appendice
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Comparaison avec la méthode de Hill
Plots des α estimés par PPP. Plots des α estimés par Hill .
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Analyse par histogramme
Histogramme des α estimés par PPP. Histogramme des α estimés par Hill .
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Plan
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2 Analyse de α sur les perturbations
3 Méthode d'estimation (PPP)
4 Comparaison
5 Appendice
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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice
Vitesse de convergence optimale
Plot de (t, α̂N) et (t, β̂N) où t = logN m, (m = [Nt ]). Les lois réelles sont
S1.5(0, 1, 0),S0.5(−0.5, 1, 0).
On prend t = 0.4, la vitesse de convergence théorique est√n = N0.3. La taille
d'échantillon augmente de N1 = 500 à N25 = 106.
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Estimation avec grilles di�érentes
Estimation des α avec grille grande (20× 16). Estimation des α avec grille petite (40× 80).
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Plan Q07-15
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Plan Q15-25
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Plan Q25-32
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