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Lois de
probabilités
continues
Introduction
Lois continues
sur un
intervalle
Loi uniforme
sur un
intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
Lois de probabilités continuesTerminale S
Année scolaire 2016-2017
Lois de
probabilités
continues
Introduction
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exponentielle
Loi normale
Introduction
Lois continues sur un intervalle
Loi uniforme sur un intervalle
Loi exponentielle
Loi normaleThéorème de Moivre LaplaceLoi normale centrée réduiteLoi normaleIntervalles et écarts type
Lois de
probabilités
continues
Introduction
Lois continues
sur un
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Loi uniforme
sur un
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Loi
exponentielle
Loi normale
Introduction
L'histogramme ci-dessous résume la répartition de latailles des individus au sein d'une population.
170 180 190160150
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exponentielle
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L'histogramme ci-dessous résume la répartition de latailles des individus au sein d'une population.
170 180 190160150
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Introduction
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sur un
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Introduction
L'histogramme ci-dessous résume la répartition de latailles des individus au sein d'une population.
170 180 190160150
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Loi uniforme
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intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
Introduction
On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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Introduction
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sur un
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exponentielle
Loi normale
Introduction
On tire au sort un individu au sein de cette population
et on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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sur un
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exponentielle
Loi normale
Introduction
On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.
X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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exponentielle
Loi normale
Introduction
On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle
[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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exponentielle
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Introduction
On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].
On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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Introduction
On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit
une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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exponentielle
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue
sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180])
correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à
l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.
Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178])
il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n,
et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).
La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par
la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f
qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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Introduction
Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
145
f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
140 150 160 170 180 190 200α β
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Cette fonction f devrait être
continue et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
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f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
140 150 160 170 180 190 200α β
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Cette fonction f devrait être continue
et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
145
f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
140 150 160 170 180 190 200α β
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Cette fonction f devrait être continue et
positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
145
f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
140 150 160 170 180 190 200α β
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215]
et telle que∫ 215
145
f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215] et telle que
∫ 215
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f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
145
f(x)dx =
1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
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f(x)dx = 1
pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
145
f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
140 150 160 170 180 190 200α β
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Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx.
La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
α
x.f(x)dx.
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Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
α
x.f(x)dx.
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Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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f(x)dx.
La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
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x.f(x)dx.
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Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
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P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
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P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X)
= x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
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P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) =
x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
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Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
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x.f(x)dx.
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Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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f(x)dx.
La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
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Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X)
=
∫ β
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P (X ∈ [α; β]) =
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f(x)dx.
La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
α
x.f(x)dx.
Lois de
probabilités
continues
Introduction
Lois continues
sur un
intervalle
Loi uniforme
sur un
intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
Introduction
Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx.
La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
α
x.f(x)dx.
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Loi
exponentielle
Loi normale
Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Loi normale
Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β].
On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f
si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe
une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b]
et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx
= 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
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La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Remarque 1
Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b], alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) = 0.
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Remarque 1Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b],
alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) = 0.
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Remarque 1Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b], alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) = 0.
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Remarque 1Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b], alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) =
0.
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Remarque 1Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b], alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) = 0.
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Remarque 2
La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète E(X) = x1.p(X = x1) + x2.p(X =x2) + . . .+ xn.p(X = xn) s'adapte aussi au cas d'unevariable aléatoire continue.
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Remarque 2La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète E(X) = x1.p(X = x1) + x2.p(X =x2) + . . .+ xn.p(X = xn) s'adapte aussi au cas d'unevariable aléatoire continue.
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Loi normale
Lois continues sur un intervalle [α; β]Propriété 1
Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b] alors :
E(X) =
∫ b
a
x.f(x)dx
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Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b] alors :
E(X) =
∫ b
a
x.f(x)dx
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Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b] alors :
E(X) =
∫ b
a
x.f(x)dx
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Exemple 1
Montrer que f(x) = 3x2 est une densité de loi deprobabilité sur [0; 1] d'une variable aléatoire X.Déterminer alors P (0, 1 ≤ X ≤ 0, 2) ainsi queP (0, 8 ≤ X ≤ 0, 9).
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Exemple 1Montrer que f(x) = 3x2 est une densité de loi deprobabilité sur [0; 1] d'une variable aléatoire X.Déterminer alors P (0, 1 ≤ X ≤ 0, 2) ainsi queP (0, 8 ≤ X ≤ 0, 9).
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Exemple 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi deprobabilité f où f(t) = at2 sur l'intervalle [0; 1].
1. Déterminer a.
2. Calculer P
(X ∈
[1
4;1
2
])
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Exemple 2Soit X une variable aléatoire suivant la loi deprobabilité f où f(t) = at2 sur l'intervalle [0; 1].
1. Déterminer a.
2. Calculer P
(X ∈
[1
4;1
2
])
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn
et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniforme
alors P (X = xi) =1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Loi
exponentielle
Loi normale
Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b]
si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X
est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction
constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à
1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
En e�et,
∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] :
f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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Preuve.
En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et
∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx =
1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or
∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx =
[cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
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Or∫ b
a
cdx = [cx]ba =
c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
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cdx = [cx]ba = c(b− a)
et donc c =1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
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c =1
b− a.
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a
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1
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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Introduction
Lois continues
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Loi uniforme
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Loi
exponentielle
Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Exemple 3
On choisit une loi uniforme X sur l'intervalle [0; 2π].
1. Pour tout réel α, β de [0; 2π], α < β, déterminerP (X ∈ [α; β])
2. Soit F la fonction de répartition dé�nie sur[0; 2π] par F (t) = P (X ≤ t). Déterminerl'expression de F (t).
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Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Exemple 3On choisit une loi uniforme X sur l'intervalle [0; 2π].
1. Pour tout réel α, β de [0; 2π], α < β, déterminerP (X ∈ [α; β])
2. Soit F la fonction de répartition dé�nie sur[0; 2π] par F (t) = P (X ≤ t). Déterminerl'expression de F (t).
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sur un
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Loi
exponentielle
Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Remarque 3
P (X = 3, 13) = 0 mais P (3, 12 < X < 3, 14) =0, 02
2π
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Loi
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Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Remarque 3
P (X = 3, 13) = 0 mais
P (3, 12 < X < 3, 14) =0, 02
2π
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Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Remarque 3
P (X = 3, 13) = 0 mais P (3, 12 < X < 3, 14) =0, 02
2π
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Loi
exponentielle
Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f .
Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b],
α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Loi
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Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β.
Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =
β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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probabilités
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=
β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a
=β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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probabilités
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Loi
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 3
Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f , alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =a+ b
2
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 3
Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f ,
alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =a+ b
2
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 3
Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f , alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =a+ b
2
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 3
Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f , alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =
a+ b
2
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Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f , alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =a+ b
2
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Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=
1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=
1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=
b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=
a+ b
2.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Loi
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Loi normale
Loi exponentielle
Dé�nition 3
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle deparamètre λ > 0 si sa densité est la fonction f dé�niesur [0; +∞[ par :
f(x) = λe−λx.
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Dé�nition 3
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle deparamètre λ > 0
si sa densité est la fonction f dé�niesur [0; +∞[ par :
f(x) = λe−λx.
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Dé�nition 3
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle deparamètre λ > 0 si sa densité est la fonction f dé�niesur [0; +∞[ par :
f(x) = λe−λx.
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Dé�nition 3
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle deparamètre λ > 0 si sa densité est la fonction f dé�niesur [0; +∞[ par :
f(x) = λe−λx.
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Loi normale
Loi exponentielle
Exercice 1
1. Véri�er que limt→+∞
∫ t
0
f(x)dx = 1
2. Déterminer P (X ≤ t) et P (X > t).
3. Déterminer P (t1 ≤ X ≤ t2)
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Loi exponentielle
Exercice 1
1. Véri�er que limt→+∞
∫ t
0
f(x)dx = 1
2. Déterminer P (X ≤ t) et P (X > t).
3. Déterminer P (t1 ≤ X ≤ t2)
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Loi exponentielle
Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.
Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Introduction
Lois continues
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Loi uniforme
sur un
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Loi
exponentielle
Loi normale
Loi exponentielle
Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,
I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,
I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,
I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,
I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 5
Si X est une variable aléatoire exponentielle de para-mètre λ alors son espérance est :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Propriété 5
Si X est une variable aléatoire exponentielle de para-mètre λ
alors son espérance est :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Si X est une variable aléatoire exponentielle de para-mètre λ alors son espérance est :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Si X est une variable aléatoire exponentielle de para-mètre λ alors son espérance est :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Loi normale
Loi exponentielle
Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) =
limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
=
limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
=
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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exponentielle
Loi normale
Loi exponentielle
Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0,
donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx
= 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx =
0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
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λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx
= 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx =
0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Loi exponentielle
Exemple 4
Un composant électonique a une durée de vie X (enheures) modélisée par une loi exponentielle deparamètre λ = 5.10−5.
1. Déterminer P (X ≤ t) et P (X > t).En déduire P (X > 1000).
2. Déterminer m tel que P (X > m) =1
2.
3. Calculer E(X). Interpréter votre résultat.
4. Comparer P{X≥t}(X ≥ t+ h) et P (X ≥ h).Interpréter votre résultat.
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Loi normale
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Exemple 4Un composant électonique a une durée de vie X (enheures) modélisée par une loi exponentielle deparamètre λ = 5.10−5.
1. Déterminer P (X ≤ t) et P (X > t).En déduire P (X > 1000).
2. Déterminer m tel que P (X > m) =1
2.
3. Calculer E(X). Interpréter votre résultat.
4. Comparer P{X≥t}(X ≥ t+ h) et P (X ≥ h).Interpréter votre résultat.
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exponentielle
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Remarque 4
On dit ainsi qu'une loi exponentielle est une loi dedurée sans vieillissement.
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Remarque 4On dit ainsi qu'une loi exponentielle
est une loi dedurée sans vieillissement.
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Remarque 4On dit ainsi qu'une loi exponentielle est une loi dedurée
sans vieillissement.
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Remarque 4On dit ainsi qu'une loi exponentielle est une loi dedurée sans vieillissement.
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Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Théorème de Moivre Laplace
Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.
Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p)
lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantes
d'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) =
np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =
√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Loi normale
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Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Théorème 1
Soit pour tout entier n,
une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p)
et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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exponentielle
Loi normale
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Intervalles etécarts type
Théorème de Moivre Laplace
Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.
Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
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P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Dé�nition 4
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Dé�nition 4
Une variable aléatoire X
suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Dé�nition 4
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1)
sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f
dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R
par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =
1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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α β
P (α ≤ X ≤ β)
f(x) = 1√2πe−
x2
2
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Remarque 5
On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut1 et qu'ainsi f est bien une densité.
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Remarque 5On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut
1 et qu'ainsi f est bien une densité.
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Remarque 5On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut1
et qu'ainsi f est bien une densité.
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Remarque 5On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut1 et qu'ainsi f est bien
une densité.
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Remarque 5On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut1 et qu'ainsi f est bien une densité.
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R
par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =
1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2
est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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x2
2 est
paire
et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc
symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
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I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) =
P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0)
= 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) =
0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5
,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,
I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0
: P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 :
P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) =
P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),
I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale centrée réduite
Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0
:P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :
P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) =
1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 7
Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite,
a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer
P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β)
on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction
normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β)
sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.
I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction
NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β)
sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Exercice 2Soit X une variable aléatoire suivant la loi normalecentrée réduite. A l'aide de la calculatrice calculer lesprobabilités suivantes :
a) P (−1, 5 ≤ X ≤ 2, 2) '
b) P (X < 1, 3) '
c) P (0, 22 < X) '
d) P (X = 1) =
e) P(X>−0,38)(x < 1, 02) =
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Remarque 8
Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite,
a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ
tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k
onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.
I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Loi normale centrée réduite
Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Loi normale centrée réduite
Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Exercice 3Soit X une variable aléatoire suivant la loi normalecentrée réduite. A l'aide de la calculatrice résoudre leséquations suivantes :
a) P (X ≤ a) = 0, 1256
b) P (X > b) = 0, 2347
c) P (0 < X < c) = 0, 4988
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est
E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) =
0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,
I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est
V (X) = 1 et son écart type est1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) =
1 et son écart type est1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1
et son écart type est1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Loi normale
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1
(admis).
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Loi normale
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Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) =
limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
=
limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
=
limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Lois continues
sur un
intervalle
Loi uniforme
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intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale centrée réduite
Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Loi normale
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
=
limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Loi normale
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)
= −1 + 1√2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)=
−1 + 1√2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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sur un
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sur un
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1
par composition de limites
= 0
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sur un
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Loi normale
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Loi normale
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
=
0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σsuit la loi normale centrée
réduite N (0; 1).
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Loi uniforme
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Loi
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Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X
suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σsuit la loi normale centrée
réduite N (0; 1).
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
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Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)
si la variable aléatoire X−µσ
suit la loi normale centréeréduite N (0; 1).
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exponentielle
Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σ
suit la loi normale centréeréduite N (0; 1).
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Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σsuit la loi normale centrée
réduite N (0; 1).
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σsuit la loi normale centrée
réduite N (0; 1).
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Voici quelques exemples de lois centrées réduites pourdi�érentes valeurs de σ et µ
Lois de
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Introduction
Lois continues
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Loi uniforme
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Loi
exponentielle
Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Voici quelques exemples de lois centrées réduites pourdi�érentes valeurs de σ et µ
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Loi normaleµ = 1σ = 1
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normaleµ = 1σ = 1
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sur un
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Loi normale
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Intervalles etécarts type
Loi normaleµ = 1σ = 2
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Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normaleµ = −5σ = 3
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Remarque 9
Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe et modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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sur un
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 9Modi�er la moyenne µ
déplace l'axe de symétrie de lacourbe et modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Loi normale
Intervalles etécarts type
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Remarque 9Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe
et modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 9Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe et
modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Introduction
Lois continues
sur un
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sur un
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 9Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe et modi�er l'écart-type σ
permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 9Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe et modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
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Loi normale
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Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
Lois de
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sur un
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sur un
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est
E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
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sur un
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) =
µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
Lois de
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Lois continues
sur un
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exponentielle
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ
,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
Lois de
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sur un
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sur un
intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est
V (X) = σ2 et son écart type est σ.
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
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Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) =
σ2 et son écart type est σ.
Lois de
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Lois continues
sur un
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sur un
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2
et son écart type est σ.
Lois de
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Introduction
Lois continues
sur un
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Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est
σ.
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Introduction
Lois continues
sur un
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sur un
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Loi
exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
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sur un
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sur un
intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Preuve.
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sur un
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sur un
intervalle
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Loi normale
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Loi normale
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Remarque 10
Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite,
si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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sur un
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intervalle
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exponentielle
Loi normale
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Loi normale
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Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2)
on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β)
qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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intervalle
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.
I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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sur un
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intervalle
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exponentielle
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Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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intervalle
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Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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Intervalles etécarts type
Loi normale
Exercice 4Le périmètre crânien en cm d'un enfant de 3 ans suitla loi normale d'espérance 49cm et d'écart-type1, 6cm.
1. Quelle est la probabilité pour que le périmètrecrânien d'un enfant de 3 ans soit compris entre45, 8 et 52, 2cm?
2. Quelle est la probabilité pour que le périmètrecrânien d'un enfant de 3 ans soit inférieure à48cm?
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Introduction
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Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
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Remarque 11
Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Introduction
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Loi normale
Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite,
si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2)
on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k
qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.
I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Théorème 2
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1)
alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[,
il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα
tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que
P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα)
= 1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) =
1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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−uα +uα
P (X ≥ uα) = α2P (X ≤ −uα) = α
2
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Preuve.
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Exemple 5
A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 =
1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.
I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 =
2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12
Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Propriété 9
Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2),
on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) '
0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68
,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,
I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) '
0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95
,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,
I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) '
0, 997.
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I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997
.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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µ− σ µ+ σµ
68%
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µ− 2σ µ+ 2σµ
95%
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Intervalles et écarts type
µ− 3σ µ+ 3σµ
99, 7%
