Longevity risk: identificazione e misurazione

Longevity risk:

identificazione e misurazioneidentificazione e misurazione

Susanna Levantesi

Facoltà di Ingegneria dell’informazione, Informatica e Statistica

Università Sapienza

[email protected]

Roma, 24 marzo 2015

Agenda

► Trend demografici

► Il longevity risk

► Identificazione e classificazione del longevity risk

Misurazione del rischio tramite modelli di proiezione della mortalità

Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazioneSlide 2

► Misurazione del rischio tramite modelli di proiezione della mortalità

� Modelli deterministici

� Modelli stocastici

Trend demografici e longevity risk

Trend Trend Demografici

• Cambiamento strutturale della popolazione

• Aumento del peso degli anziani sulla popolazione

• Aumento speranza di vita


Invecchiamento

popolazione

Invecchiamento della

popolazione

• Aumento speranza di vita

• Diminuzione natalità

Longevity risk

• Aumento progressivo della speranza di vita

• Incremento del numero degli esposti al rischio di sopravvivenza

• Incertezza

Piramidi delle etàFonte: ISTAT

0-4

10-14

20-24

30-34

40-44

50-54

60-64

70-74

80-84

90-94

0-4

10-14

20-24

30-34

40-44

50-54

60-64

70-74

80-84

90-94Maschi Femmine Maschi Femmine

2010 2020


3000000 2000000 1000000 0 1000000 2000000 3000000 3000000 2000000 1000000 0 1000000 2000000 3000000

3000000 2000000 1000000 0 1000000 2000000 3000000

0-4

10-14

20-24

30-34

40-44

50-54

60-64

70-74

80-84

90-94

3000000 2000000 1000000 0 1000000 2000000 3000000

0-4

10-14

20-24

30-34

40-44

50-54

60-64

70-74

80-84

90-94Maschi Femmine Maschi Femmine

2030 2050

Piramidi delle età

► La piramide delle età (o della popolazione) fornisce una

rappresentazione grafica che descrive la distribuzione per età

di una popolazione

► Dall’evoluzione temporale delle piramidi per età si evidenzia:


� Una riduzione della base della piramide a causa di un forte decremento del tasso di natalità;

� Uno spostamento verso l’alto del peso delle classi di età centrali;

� Un allargamento del vertice della piramide, attribuibile ad un significativo allungamento della speranza di vita alla nascita.

L’evoluzione delle classi di età della popolazione

90+

80+

80+

90 +

Maschi


Fonte: ISTAT

90 +

80+

90 +

Femmine

Fonte: ISTAT

L’esperienza di mortalità nell’ultimo secolo

► Negli ultimi decenni l’evoluzione della mortalità ha comportato

una consistente diminuzione dei decessi alle età adulte ed

anziane � aumento della vita media

► Conseguente impatto sulla forma della curva dei sopravviventi


� Rettangolarizzazione della curva dovuta ad una concentrazione dei decessi intorno alla moda ad età avanzate

� Curva dei decessi: spostamento del punto di Lexis (moda) verso le età estreme � espansione della funzione di sopravvivenza

L’esperienza di mortalità nell’ultimo secolo

Rettangolarizzazione Espansione


► Utilizzo di un approccio dinamico allo studio della mortalità:

mortalità come funzione sia dell’età che dell’anno di calendario

Evoluzione della curva di sopravvivenza

Tavole SIM

Sopravviventi alle varie età, anni 1931-2006, maschi

70000

80000

90000

100000

1931

1951

1961

1971


0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100105110

so

pra

vv

iven

ti

età

1971

1981

1992

1996

1999

2000

2002

2004

2006

Fonte: ISTAT

Evoluzione della curva dei decessi

3000

3500

4000

4500

5000

1931

1951

1961

1971

Decessi alle varie età, anni 1931-2006, maschi


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100105110

decessi

età

1981

1992

1996

1999

2000

2002

2004

2006

Fonte: ISTAT

Speranza di vita a 65 anni

23,6

24,1

22,622,9

23,223,6

23,824,1

22,7

23,3

23,9

24,424,8

25,325,7

26,0

23,4

24,3

25,1

25,8

26,4

26,9

27,4

27,9

23

24

25

26

27

28

29

Sc. basso

Sc. centrale

Sc. alto

Sc. basso

Previsioni popolazione, ISTAT 2010-2050 (scenario basso, centrale, alto)

Femmine


17,918,1

18,418,7

19,019,4

19,720,0

20,2

18,3

18,8

19,4

19,9

20,5

21,021,4

21,822,2

18,6

19,5

20,4

21,1

21,9

22,5

23,1

23,6

21,722,0

22,322,6

22,9

22,1

22,722,4

16

17

18

19

20

21

22

23

2010

2015

2020

2025

2030

2035

2040

2045

2050

Sc. basso

Sc. centrale

Sc. alto

Maschi

Longevity risk: definizione

► Il longevity risk è un rischio caratteristico di enti (compagnie di

assicurazione / enti di previdenza) che erogano prestazioni in

caso di vita (ed in particolare rendite) ad un soggetto assicurato

/ iscritto

► Può essere definito a livello individuale o aggregato (cfr.

Stallard, 2006)


Stallard, 2006)

► Longevity risk (aggregato): rischio che i percettori di rendita vivano in media più a lungo di quanto previsto nelle basi tecniche

► Si manifesta laddove la mortalità osservata è sistematicamente inferiore a quella osservata

► E’ la conseguenza dell’incertezza insita nel fenomeno della mortalità e della sua rappresentazione tramite un modello di proiezione

Longevity risk: definizione e caratteristiche

► Rischio sistematico derivante dall’incertezza presente nella

rappresentazione del fenomeno attraverso una determinata

proiezione

► Rischio “non pooling” (non diversificabile) � interviene nella

stessa direzione per tutta la collettività assicurata


Identificazione del rischio:rischio individuale e aggregato

► Il longevity risk aggregato ha carattere di rischio sistematico

► Il longevity risk individuale è un rischio di fluttuazioni casuali: deriva dagli scostamenti aleatori tra i tassi di mortalità attesi e quelli osservati che non derivano da scostamenti sistematici, ma sono insiti nella natura stocastica della mortalità;

� Si può ridurre aumentando la dimensione del portafoglio: al crescere

dei rischi esposti frequenze teoriche e osservate convergono.


dei rischi esposti frequenze teoriche e osservate convergono.

Fluttuazioni casuali Deviazioni sistematiche

Longevity risk: conseguenze

► Influenza fortemente enti previdenziali, casse di previdenza,

fondi pensione e prodotti assicurativi di rendita

� Estensione del periodo di pagamento della rendita e conseguente

incremento della passività attuariali

� E’ presente nella fase di accumulo nei fondi a prestazione definita

� E’ presente nella fase di decumulo (erogazione della rendita) nei fondi a

contribuzione definita


contribuzione definita

► In passato le proiezioni della mortalità hanno sottostimato la tendenza all’aumento della longevità della popolazione

► Necessità di adottare tavole proiettate di mortalità per il

calcolo dei valori attuariali delle rendite

� Da tavole di mortalità statiche basate su un solo anno di calendario a

tavole dinamiche che incorporano la proiezione della mortalità

19,5

Valore attuariale rendita vitalizia a 65 anni -Femmine

16,5

Valore attuariale rendita vitalizia a 65 anni -Maschi

Impatto del longevity risk sul valore delle rendite

► Principali conseguenze sui soggetti erogatori di rendita:

� Estensione del periodo di pagamento della rendita

� Incremento della passività attuariali per effetto della diminuzione delle probabilità di morte

+ 5.0%


16,5

17,0

17,5

18,0

18,5

19,0

Q(0.5%) Mediana Q(99.5%)

13,5

14,0

14,5

15,0

15,5

16,0

Q(0.5%) Mediana Q(99.5%)

+ 5.0%

- 5.0%

+ 3.4%

- 3.6%

Elaborazione dell’autore

Scenario Scenario ScenarioAlto Centrale Basso

Scenario Scenario ScenarioAlto Centrale Basso

Impatto del longevity risk sul valore della riserva

Maschi Femmine

► Tasso atteso di riserva in t = [1,40]

� Generazione nata nel 1942 (65 anni nel 2007)

� Probabilità di sopravvivenza calcolate con il modello Lee-Carter

16,0

18,0

20,0 Scenario Alto

Scenario Centrale14,0

16,0

18,0 Scenario Alto

Scenario Centrale


Elaborazione dell’autore

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

1 6 11 16 21 26 31 36

Tempo t

Centrale

Scenario Basso

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37

Tempo t

Centrale

Scenario Basso

Rappresentare il longevity risk

► Trend decrescenti della mortalità impongono l’adozione di tavole proiettate di mortalità per calcolare i valori attuariali delle rendite

► Utilizzo di proiezioni stocastiche per quantificare esplicitamente l’incertezza della mortalità proiettata

► Necessità di formulare differenti ipotesi sull’evoluzione della


► Necessità di formulare differenti ipotesi sull’evoluzione della mortalità� scelta di un insieme di significativi scenari di mortalità (tavole di mortalità)

► Due diversi approcci nella costruzione di scenari futuri:

� deterministico (singolo scenario)

� stocastico (multi - scenario)

La tavola di mortalità

► : numero atteso di individui viventi all’età x in una data

popolazione (inizialmente costituita da individui di età 0)

► Tavola di mortalità: sequenza decrescente di

► Se i dati derivano da osservazioni longitudinali del numero di individui viventi alle età 1,2,…, ω, si ha una tavola di generazione (o coorte): richiede l’osservazione di ω+1 anni


(o coorte): richiede l’osservazione di ω+1 anni

► Se i dati forniscono i tassi di mortalità alle varie età osservate su un anno specifico, si ha una tavola di periodo (basata su una coorte fittizia o sintetica):

Per si ha la sequenza:

► Numero atteso di decessi tra le età x e x+1:

► Deve valere la condizione:

► Dalla tavola di mortalità sono direttamente ricavabili le

probabilità di morte/sopravvivenza:

� Probabilità di morte annuali:

� Probabilità di sopravvivenza annuali:

Tavole di mortalità e probabilità di morte


� Probabilità di sopravvivenza pluriennali:

� Mortality odds:

� Probabilità di morte in funzione degli odds:

Tavole di mortalità proiettate

► Una tavola di mortalità proiettata è ottenuta sulla base di

procedure statistiche di stima dei tassi di mortalità osservati

Anno base proiezione

età

anno di calendario

FuturoPassato

Pe


calendario

Profilo della mortalità

eriodo

Approccio deterministico

► Consente ai soggetti che erogano le rendite di valutare esclusivamente il rischio di fluttuazioni casuali della mortalità intorno ai valori attesi

► Scelta di scenari “medi” (riduzione media della mortalità) e di


► Scelta di scenari “medi” (riduzione media della mortalità) e di scenari “estremi” (riduzione molto elevata o molto bassa della mortalità)

► Scenario testing: analisi di sensitività delle principali variabili attuariali in funzione dei trend futuri di mortalità

► Assegnazione di una distribuzione di probabilità sull’insieme di scenari ritenuti possibili

► Consente ai soggetti che erogano le rendite di valutare sia le fluttuazioni casuali che le deviazioni sistematiche della mortalità

Approccio stocastico

Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazioneSlide 23Longevity risk during the decumulation phase and strategies to manage it

Insieme discreto di scenari Insieme continuo di scenari

Approccio stocastico

► Per modellizzare e misurare il longevity risk necessario un modello stocastico di proiezione della mortalità

� quantifica esplicitamente l’incertezza della proiezione

► Risultati della proiezione con un modello stocastico:


� stime puntuali dei tassi futuri di mortalità

� intervalli di confidenza

Misurazione del longevity risk

I modelli di proiezione della mortalità

► Modelli deterministici basati su leggi di mortalità

� Permettono di ben rappresentare le principali caratteristiche di uno scenario di mortalità

� Ad esempio: Gompertz, Makeham, Weibull, Heligman-Pollard


� Ad esempio: Gompertz, Makeham, Weibull, Heligman-Pollard

► Modelli estrapolativi

� Deterministici

� Stocastici

• Interpolazione dei trend di mortalità osservati in passato

• Ipotesi: i trend osservati si ripeteranno in futuro � estrapolazione dei trend

• La natura stocastica della mortalità non viene considerata

Modelli estrapolativi deterministici

Modelli estrapolativi

Un database con molti anni di

calendario può presentare trend di

mortalità più o meno forti in base al

periodo che si considera � attenzione

alla scelta del periodo di riferimento

per la proiezione


Fonte: Pitacco - Denuit - Haberman - Olivieri A. (2009) “Modelling Longevity Dynamics for Pensions and Annuity Business”.

Modelli estrapolativi

• I tassi di mortalità osservati sono estrazioni di variabili casuali che rappresentano la mortalità passata

• I tassi di mortalità proiettati sono stime di variabili casuali che rappresentano la mortalità futura

• Si definiscono un insieme di ipotesi circa la mortalità e un legame tra osservazioni e proiezioni

Modelli estrapolativi stocastici


Il modello Lee–Carter (1992)

► I tassi centrali di mortalità hanno una forma log-bilineare:

dove:

� descrive il comportamento della mortalità al variare dell’età

� descrive per ogni età come la mortalità reagisce al variare di

Decessi

Esposti al rischio


� indice della variazione della mortalità nel tempo

� termine di errore � errori indipendenti ed identicamente

distribuiti con distribuzione N(0, )

► Parametri individuati attraverso i vincoli: e

► I parametri stimati sono poi modellizzati e proiettati come

una serie temporale stocastica utilizzando i modelli ARIMA.

Estensione del modello Lee – CarterBrouhns et al. (2002)

► Il modello LC assume implicitamente che gli errori casuali

siano omoschedastici (medesima varianza rispetto all’età)

● ipotesi poco realistica per età elevate, dove è presente una maggiore variabilità della mortalità a causa dell’esiguo numero di decessi

► Proposta di Brouhns et al. (2002): tassi centrali di mortalità


► Proposta di Brouhns et al. (2002): tassi centrali di mortalità

modellizzati tramite il modello Lee-Carter:

con decessi distribuiti come una Poisson:

► Rispetto al Lee-Carter originario: introduzione di una

variazione casuale del numero di decessi di tipo Poisson al

posto del termine di errore additivo . Ipotesi realistica per

età elevate.

Osservazioni sul modello Lee-Carter

► Il modello ha bisogno dei vincoli sui parametri beta e kappa per

poter essere calibrato, altrimenti pone problemi di

identificabilità dei parametri

► La normalizzazione dei parametri ottenuta attraverso i vincoli

su beta e kappa, comportano che il parametro alpha sia pari

alla media del logaritmo dei tassi centrali di mortalità nel tempo


alla media del logaritmo dei tassi centrali di mortalità nel tempo

► Il parametro beta potrebbe essere negativo per alcune età,

indicando che la mortalità per quelle età tende ad aumentare,

mentre diminuisce ad età differenti

Il modello Cairns-Blake-Dowd-1

► Analisi empiriche sui dati di mortalità suggeriscono che il

logaritmo naturale degli odds, , assume una forma

lineare rispetto all’età x per un periodo temporale di t anni

► Cairns et. Al. (2006) hanno quindi proposto il seguente modello

che include 2 fattori temporali:


► Dove k1 e k2 sono due processi stocastici che costituiscono

una serie temporale bivariata e governano la proiezione dei

tassi di mortalità.

)(logit tqx

Ovvero:

La funzione può anche essere scritta come:

Il modello Cairns-Blake-Dowd-1

► Non pone problemi di identificazione dei parametri (no vincoli)

► In genere k1 decresce nel tempo così come nel modello Lee-

Carter, mostrando come i tassi di mortalità diminuiscono nel

tempo per tutte le età

► Se durante il periodo di osservazione dei dati gli incrementi di

mortalità sono più elevati alle età giovanili rispetto alle età


mortalità sono più elevati alle età giovanili rispetto alle età

anziane, allora k2 aumenta nel tempo

► Rispetto al modello di Lee-Carter il modello Cairns-Blake-

Dowd-1 (CBD-1) mostra cambiamenti dei tassi di mortalità non

perfettamente correlati con le età.

Proiezione della mortalità e serie temporali

► Step 1: calibrazione del modello parametrico (Lee-Carter, CBD,

ecc.) sulla matrice di dati di mortalità per età e anno di

calendario

► Step 2 (per i parametri funzione del tempo): utilizzo di un

modello per le serie temporali di tipo ARIMA (p,d,q) per

modellizzare e proiettare i parametri


modellizzare e proiettare i parametri

� ARIMA: autoregressive integrated moving average (modello autoregressivo a media mobile integrato)

• p = ordine autoregressivo

• d = ordine di differenziazione

• q = ordine della media mobile

� Approccio simulativo che permette di rilevare gli errori generati dalla serie temporale

� Approccio che permette il calcolo di intervalli di confidenza

Proiezione della mortalità e serie temporali

► I modelli ARIMA (p,d,q)

► Esempi di modelli ARIMA per il parametro temporale k :

� arima (0,1,0):


� arima (0,1,0):

► arima (1,1,0):

► arima (1,1,1):

drift (deriva)

del processoerrori del processo

con

(Random walk with drift)

Modello Lee-Carter: proiezione di kt

► Se né il coefficiente di autocorrelazione né quello di

autocorrelazione parziale dell’indice kt sono significativamente

diversi da 0: è appropriato utilizzare un ARIMA (0,1,0) =

random walk with drift

► Dinamica del parametro temporale:

► Stima dei parametri del processo ARIMA:

errori i.i.d

secondo una

N(0, )


► Stima dei parametri del processo ARIMA:

► Proiezione del parametro kt :

Drift (deriva del processo) Varianza del processo

Modello CBD-1 : proiezione di kt[1] e kt

[2]

► Dinamica dei parametri k1 e k2 :

► Matrice di varianze e covarianze:


► Stima del drift del processo ARIMA:

� Drift (deriva del processo):

Effetto coorte

► In alcuni Paesi si osservano tassi di mortalità che sembrano influenzati non solo da età e anno di calendario, ma anche dall’anno di nascita della coorte.

► Per evidenziare questo effetto si possono analizzare i tassi di incremento annuo della mortalità


Fonte: Cairns et al. (2007). A quantitative comparison of stochastic mortality models using data from England & Wales and theUnited States. North American Actuarial Journal 13: 1-35.

Il modello di Renshaw-Haberman (2006)

► Il logaritmo della forza di mortalità (o del tasso centrale di

mortalità) è modellizzato come:

� Rappresenta una versione age-period-cohort (APC) del modello Lee-Carter

� :parametro che rappresenta l’effetto coorte (t-x=anno di nascita)


� :parametro che rappresenta l’effetto coorte (t-x=anno di nascita)

� : descrive per ogni età come la mortalità reagisce al variare dell’effetto coorte

� : descrive per ogni età come la mortalità reagisce al variare del parametro temporale

► Parametri individuati attraverso i vincoli:

I modelli di Cairns-Blake-Dowd (2007)

► Cairns et. al. (2007) hanno proposto due varianti del

modello CBD-1 che includono l’effetto coorte

� CBD-2:

parametro che

rappresenta

l’effetto coorte


� CBD-2:

� CBD-3:

► Questi modelli pongono problemi di identificazione dei

parametri. Per ovviare a tale problema i parametri sono

trasformati utilizzando fattori di trasformazione che li rendono

individuabili.

I criteri di scelta del modello di proiezione della mortalità

► Cairns et al. (2008) suggeriscono i criteri per scegliere tra i vari

modelli di proiezione della mortalità:

� Tassi di mortalità positivi

� Modello coerente con i dati storici

� Dinamiche future a lungo termine del modello biologicamente ragionevoli


ragionevoli

� Stime dei parametri robuste rispetto al periodo di dati e intervalli di età impiegati

� Previsioni del modello robuste rispetto al periodo di dati e intervalli di età impiegati

� Livelli di previsione dell’incertezza e traiettorie centrali plausibili e coerenti con le tendenze storiche e la variabilità dei dati di mortalità

I criteri di scelta del modello di proiezione della mortalità

� Modello semplice da attuare mediante metodi analitici o veloci algoritmi numerici

� Modello relativamente parsimonioso

� Modello utilizzabile per generare percorsi campione e calcolare intervalli di previsione

� Modello che consente di integrare l'incertezza del parametro nelle


� Modello che consente di integrare l'incertezza del parametro nelle simulazioni

� Almeno per alcuni Paesi, modello che incorpora un effetto stocastico di coorte

Scelta del periodo di calibrazione del modello

► La maggior parte degli studi attuariali basano la calibrazione

dei modelli di proiezione della mortalità su statistiche relative al

periodo 1950-ad oggi. Tale periodo rappresenta meglio

l’aspettativa per il futuro rispetto ad un periodo più lungo: 1900-

ad oggi.

► La mortalità diminuisce per tutte le età in maniera più forte nel


► La mortalità diminuisce per tutte le età in maniera più forte nel

periodo1950–2000 rispetto al periodo 1900–2000.

► La qualità dei dati di mortalità, in particolare per le età elevate,

è discutibile nel periodo 1900–1950

► Le cause di morte sono differenti per i due periodi, prima e

dopo il 1950 (prima le malattie infettive, dopo le malattie cardio-

circolatorie e i tumori).

Scelta del periodo di calibrazione ottimo: un esempio

► Booth et al. (2002) hanno proposto una procedura per

individuare il periodo di calibrazione ottimo che identifichi il

periodo più lungo per cui il parametro che indica la mortalità

stimata, kt, sia lineare

► La scelta del periodo di calibrazione è basta sul rapporto tra:

media delle devianze del fit ottenuta con il modello Lee–Carter


media delle devianze del fit ottenuta con il modello Lee–Carter

sul fit lineare complessivo.

► Tale rapporto è calcolato in base all’anno di partenza e

scegliendo il periodo di calibrazione per cui tale rapporto è

minore rispetto ai periodi che iniziano in anni precedenti.

Criteri quantitativi

► Diagnostica del modello in base ai residui

� Plot del residui del modello (solitamente standardizzati)

► Dinamica del modello in base ai parametri temporali

� Scelta del modello ARIMA (ACF, PACF)


� Scelta del modello ARIMA (ACF, PACF)

� Stima dei parametri

� Diagnostica del modello in base ai residui

► Indicatori di bontà del fitting del modello

� Bayes Information Criterion (BIC)

� Akaike Information Criterion (AIC)

Criteri quantitativi di scelta del modello: BIC e AIC

► Bayes Information Criterion (BIC): criterio obiettivo di scelta

del modello basato sulla qualità statistica del fit

� : insieme dei parametri da stimare con la funzione di verosimiglianza

)ln(5.0)ˆ( NKlBIC −= ρ

ρ


verosimiglianza

� : stima di massima verosimiglianza del vettore dei parametri

� : funzione di massima log-verosimiglianza dei parametri

� : vettore del numero delle osservazioni

� : numero effettivo dei parametri stimati

► Akaike Information Criterion (AIC):

ρ̂

N

K

)ˆ(ρl

KlAIC −= )ˆ(ρ

Modello Lee-Carter: applicazione alla popolazione italiana

► Popolazione italiana maschile di età 20-89 negli anni di calendario1974-2008

● Decessi

● Esposti al rischio


Parametri stimati del modello Lee-Carter

Residui del modello Lee-Carter


Tassi centrali di mortalità storici modellizzatie probabilità di morte proiettate


Proiezioni della mortalità

qx

annuali qx(t) per la coorte nata nel

(65 anni nel 2008)


tpx

Misurare il longevity risk

Individuazione di grandezze che rappresentino lo stato di “salute” o di “sofferenza” dei soggetti erogatori di rendite

• Funzione di perdita

Scelta di un’adeguata “misura di rischio”


• Varianza

• Coefficiente di variazione

• Quantili, VaR, TVaR

• Probabilità di rovina

Definizione di un orizzonte temporale di analisi e delle modalità di indagine

• Annuale, pluriennale,….

• Alla scadenza, su tutto l’intervallo temporale

Misurare il longevity risk: approccio deterministico

► Portafoglio composto da una coorte di contratti di rendita

immediata a premio unico

► Valore attuale aleatorio al tempo 0 delle prestazioni

j-mo assicurato Portafoglio di N0 contratti


► Valore atteso e varianza

Importo annuo della rendita Vita residua del j-mo assicurato all’età iniziale x0

: scenario di mortalità ipotizzato

j-mo assicurato

Portafoglio di N0 contratti

Misurare il longevity risk: approccio deterministico

► Coefficiente di variazione: scenario di mortalità ipotizzato



La rischiosità del portafoglio

diminuisce all’aumentare del

numero di contratti

Misurare il longevity risk: approccio stocastico

► Valore atteso e varianza

: insieme degli scenari di

mortalità ipotizzati con

probabilità ρ

j-mo assicurato



Fluttuazioni casuali intorno al valore atteso

Deviazioni sistematiche dei valori osservati da quelli attesi


► Coefficiente di variazione



Misura la parte del rischio di

mortalità che non è rimovibile

semplicemente aumentando la

grandezza del portafoglio (parte

sistematica del rischio)


► Il Value at Risk della riserva matematica

Percentile della riserva matematica calcolata all’epoca t (Vt)

con un livello di confidenza pari a 99.5%=α

α=99.5%


► Il Tail VaR (o Expected Shortfall) della riserva matematica

� Strumento utile per valutare la severità delle perdite che superino il VaR ad un fissato livello di confidenza

Media dei valori dei VaR della riserva matematica all’epoca t

che risultano superiori ad un fissato livello di confidenza

(99.5%)

α=99.5%

VaR e Tail VaR (o Expected Shortfall (ES))

L = generica distribuzione delle perdite


Bibliografia

► Brouhns, N., Denuit, M. and Vermunt, J. K. (2002). A Poisson Log-Bilinear Approach to theConstruc- tion of Projected Life Tables. Insurance: Mathematics and Economics 31: 373-393.

► Cairns, A.J.G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G.D., Epstein, D., Ong, A., Balevich, I. (2007). Aquantitative comparison of stochastic mortality models using data from England & Wales and theUnited States. North American Actuarial Journal 13: 1-35.

► Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., (2008). Modelling and management of Mortality Risk: areview. Scandinavian Actuarial Journal 2-3: 79-113.

► Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2011):


► Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2011):Mortality density forecasts: An analysis of six stochastic mortality models, Insurance: Mathematicsand Economics, 48, 355–367.

► Coughlan et al. (2007). LifeMetrics: A toolkit for measuring and managing longevity and mortalityrisk . Technical Document. JP Morgan, London.

► Currie I. D., Durban, M. and Eilers, P. H. C. (2004) Smoothing and forecasting mortality ratesStatistical Modelling, 4, 279-298.

► Dowd, K., Cairns, A. J. G., Blake, D., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2010):Evaluating the goodness of fit of stochastic mortality models, Insurance: Mathematics andEconomics, 47: 255–265.

Bibliografia

► Dowd, K., Cairns, A. J. G., Blake, D., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2010):Backtesting stochastic mortality models: An ex-post evaluation of multi-period-ahead densityforecasts, North American Actuarial Journal, 14: 281–298.

► HMD. (2010). Human Mortality Database, University of California, Berkeley (USA) and MaxPlanck Institute for Demographic Research, Rostock (Germany).

► Lee, R.D., Carter, L.R. (1992). Modelling and forecasting U.S. mortality. Journal of the AmericanSta- tistical Association 87: 659-675.

► Olivieri A., Pitacco E. (2006) “Life annuities and longevity dynamics”. Working Paper n.


► Olivieri A., Pitacco E. (2006) “Life annuities and longevity dynamics”. Working Paper n.36, CERAP.

► Pitacco E., Denuit M., Haberman S., Olivieri A. (2009) “Modelling Longevity Dynamics forPensions and Annuity Business”. Oxford University Press.

► Renshaw, A.E., Haberman, S. (2003). On the forecasting of mortality reduction factors. Insurance:Mathematics and Economics 32: 379-401.

► Renshaw, A.E., Haberman, S. (2006). A cohort-based extension to the Lee-Carter model formortality reduction factors. Insurance: Mathematics and Economics 38: 556–570.

Documents

Longevity risk: identificazione e misurazione