Los números realesLOS NÚMEROS REALES SON LOS QUE PUEDEN SER EXPRESADOS POR UN NÚMERO ENTERO, ESTO QUIERE DECIR QUE ABARCAN A LOS NÚMEROS RACIONALES (QUE PUEDEN REPRESENTARSE COMO EL COCIENTE DE DOS ENTEROS CON DENOMINADOR DISTINTO A CERO) Y LOS NÚMEROS IRRACIONALES .

Números complejos

Números reales

Números irracionales

𝜋, 2

Números racionales

1.25=5/4Enteros

Enteros negativos

0

Enteros positivos o NÚMEROS

NATURALES

Representación de los números reales en la recta numérica. El numero a asociado al punto A sobre l se llama coordenada de A; estas coordenadas se conocen como sistema coordenado y l se denomina línea coordenada o recta numérica o recta real. Se puede asignar una dirección a l considerando la dirección positiva a la derecha y la negativa a la izquierda

Determinación de distancias entre puntosSean a y b las coordenadas de dos puntos A y B, respectivamente, sobre una recta coordenada. La distancia entre A y B, denotada por d(A,B), se define como:

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑏 − 𝑎

Ejemplo:Sean A,B,C Y D puntos con coordenadas -5, -3, 1 y 6, respectivamente en una recta coordenada, como se muestra En la figura. Encuentra d(A,B), d(C,B), d(0, A), d (C,D).

DesigualdadDefinición:

1.-Expresión de la falta de igualdad que existe o se supone existir entre dos cantidades.

2.-Comparación entre números, funciones, expresiones algebraicas, etc., diferente, menor que, menor o igual que, mayor que y mayor o igual que.

SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD

< > ≤ ≥

Ejemplos :

1.- 3x > 6

2.- 5 > 3

Propiedades de las desigualdadesI. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro Esto es, si a > b , entonces se cumple que a + c > b + c .

Ejemplo: 1) Si a la desigualdad 7 > 3 se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 7 + 2 > 3 + 2 , ya que: 9 > 5

II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo.

Ejemplo: Si a la desigualdad 5 > 2 se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 5⋅3 > 2 ⋅3 , ya que 15 > 6

III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.

Ejemplo: Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por − 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 6(− 4) < 3(− 4), ya que − 24 < −12

InecuaciónDesigualdad que cumple únicamente para un ciertoconjunto de valores de la incógnita o incógnitas que enella intervienen. El conjunto de esos valores se llamaconjunto solución o, simplemente, solución osoluciones de la inecuación.

Ejemplo:1.- 3x > 6x -6

2.- x 5x - 8

Ejemplo5x + 6 − 3x > 34 + 8x −10

Solución. Se transponen términos:

5x − 3x − 8x > 34 −10 − 6

se reducen los términos semejantes:

− 6x > 18

Dividiendo por − 6 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:

𝑥 <18

−6𝑥 < −3

Inecuaciones fraccionariasPara resolver una inecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican susdos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores con elobjeto de eliminarlos y se reduce para convertirla en una inecuación entera.Cuando el denominador contiene la incógnita, tiene que analizarse cuando estanto positiva como negativa. Para ambos casos debe obtenerse la respectivaintersección de las restricciones. La solución de la inecuación, es la unión de losdos intervalos obtenidos.

Tarea

Gráfica de una inecuación de primer gradoResolver una inecuación es encontrar el conjunto de valores de x que cumplan ladesigualdad. Gráficamente, la solución de una inecuación de primer grado estárepresentada por un intervalo del eje de las abscisas a partir de un valor límite a. Si la solución es de la forma x > a , entonces la región será todos los númerosque estén a la derecha de a sin incluirlo. Si la solución es de la forma x ≥ a , laregión incluye al valor a . De la misma forma, si la solución es de la forma x < a ,entonces la región será todos los números que estén a la izquierda de a sinincluirlo. Si la solución es de la forma x ≤ a , la región incluye al valor a .Dependiendo del tipo de desigualdad el conjunto solución puede ser uno o dosintervalos, la totalidad de los números reales o el conjunto vacío.

Inecuaciones cuadráticasUn procedimiento sistemático para la resolución de inecuaciones cuadráticas es el siguiente:

1. Se trasladan todos los términos de la inecuación al miembro de la izquierda.

2. Se hallan los números críticos r1 y r2 de la ecuación cuadrática y se forman los intervalos (− ∞, r1), (r2 , ∞). (Un número crítico de la desigualdad mencionada es una raíz real de la ecuación cuadrática )

3. Se prueban con valores de fácil sustitución localizados en dichos intervalos para determinar cuáles son los que satisfacen la desigualdad.

La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores que cero:

Ejemplo: Resolver la desigualdad 𝑥 ≥ 7

𝑥 ≤ −7 ó 𝑥 ≥ 7

𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍

𝒙 ∈ −∞, 𝟕 ∪ [𝟕,∞)

Ejemplo: Resolver la desigualdad 3 − 8𝑥 ≤ 5

−5 ≤ 3 − 8𝑥 ≤ 5

−8 ≤ −8𝑥 ≤ 2

1 ≥ 𝑥 ≥ −2

8

𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍

𝒙 ∈ −𝟏

𝟒, 𝟏

Ejemplo: Resolver la desigualdad 3

4−

𝑥

5< 11

−11 <3

4−𝑥

5< 11

−11 −3

4< −

𝑥

5< 11 −

3

4

−47

4< −

𝑥

5<41

4

235

4> 𝑥 > −

205

4

𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍

𝒙 ∈ −𝟐𝟎𝟓

𝟒,𝟐𝟑𝟓

𝟒

Ejemplo: Resolver la desigualdad 2𝑥−3

5𝑥−1≤ 4

−4 ≤2𝑥 − 3

5𝑥 − 1≤ 4

−𝟒 ≤𝟐𝒙 − 𝟑

𝟓𝒙 − 𝟏

5𝑥 − 1 > 05𝑥 > 1𝒙 > 𝟏/𝟓

5𝑥 − 1 < 05𝑥 < 1

𝒙 < 𝟏 𝟓

−4 ≤2𝑥 − 3

5𝑥 − 1

−4 5𝑥 − 1 ≤ 2𝑥 − 3−20𝑥 + 4 ≤ 2𝑥 − 32𝑥 + 20𝑥 ≥ 4 + 3𝒙 ≥ 𝟕/𝟐𝟐

−4 5𝑥 − 1 ≥ 2𝑥 − 3−20𝑥 + 4 ≥ 2𝑥 − 32𝑥 + 20𝑥 ≤ 4 + 3𝒙 ≤ 𝟕/𝟐𝟐

𝟐𝒙 − 𝟑

𝟓𝒙 − 𝟏≤ 𝟒

5𝑥 − 1 > 05𝑥 > 1𝒙 > 𝟏/𝟓

5𝑥 − 1 < 05𝑥 < 1

𝒙 < 𝟏 𝟓2𝑥 − 3

5𝑥 − 1≤ 4

2𝑥 − 3 ≤ 4(5𝑥 − 1)2𝑥 − 3 ≤ 20𝑥 − 420𝑥 − 2𝑥 ≥ 4 − 3𝒙 ≥ 𝟏/𝟏𝟖

2𝑥 − 3 ≥ 4(5𝑥 − 1)2𝑥 − 3 ≥ 20𝑥 − 420𝑥 − 2𝑥 ≤ 4 − 3𝒙 ≤ 𝟏/𝟏𝟖

𝒙 ∈𝟏

𝟓,∞ 𝒙 ∈ −∞,

𝟏

𝟏𝟖

𝒙 ∈ −∞,𝟏

𝟖∪

𝟏

𝟓,∞

𝒙 ∈𝟕

𝟐𝟐,∞ 𝒙 ∈ (−∞,

𝟏

𝟓)

𝒙 ∈ −∞,𝟏

𝟓∪

𝟕

𝟐𝟐,∞

ActividadMaterial:

2 papel bond

Marcadores de colores

Instrucciones:

1. Realizar un cuadro sinóptico en un papel bond del tema de números reales, que comprenda todo lo explicado en clase. Este cuadro se explicara frente a la clase por un miembro del equipo seleccionado al azar

2. Resolver en equipo el ejercicio proporcionado y explicarlo en un papel bond, la resolución del ejercicio se explicara frente a la clase por un miembro del equipo seleccionado al azar

Nota: en la pagina web pueden encontrar su equipo asignado