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NÚMEROS ÍNDICESLos números índices son una medida estadística que permite comparar una magnitud simple ocompleja en dos situaciones diferentes respecto al tiempo o al espacio tomando una de ellas comoreferencia.
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NMEROSNDICES
Losnmerosndicessonunamedidaestadsticaquepermitecompararunamagnitudsimpleocomplejaendossituacionesdiferentesrespectoaltiempooalespaciotomandounadeellascomoreferencia.
Alperodoinicialseledenominaperodobaseoreferenciayseleasignaelvalor100,encambio,lasituacinquedeseamoscompararsedenominaperodoactualocorriente.
Paralascomparacioneshayquetenerencuentadosaspectosimportantes:
Fijarlasituacininicial(deformaarbitraria)alaquesereferirnlascomparaciones.Sealarquelaeleccindelasituacininicialcondicionaelresultadodelacomparacin,porloqueelpuntodereferenciainicialdebeserelmsidneoposiblealosobjetivosquesepersiguen.
Lasmagnitudesquesecomparanpuedensersimplesocomplejas,loquenosintroduceenel
problemadelaconstruccindesistemasdecomparacinadecuados.Unamagnitudcomplejaescompararlaproduccindeunmismopasendospocasdiferentesolaproduccinglobaldedospases.Noolvidemosquelaproduccinesunamagnitudcomplejacompuestapormagnitudessimplesheterogneas(unidadesdeproduccin,litros,kilogramos,etc.)
Unaclasificacinsencilladelosnmerosndicessera:
SinponderarMediaGeomtricaMediaArmnicaBradstreet-Dtot(mediaagregativa)LaspeyresPaascheNMEROSNDICES
SIMPLESSerefierenaunsoloproductooconcepto
COMPLEJOSSerefierenavariosproductosoconceptos
Serie(referenciafija)Cadena(referenciaeldatoanterior)
Sauerbeck(mediaaritmtica)PonderadosEdgeworth
Fisher
NMEROSNDICESSIMPLES.-Sonlosndicesqueproporcionanlavariacinquehasufridounamagnitudoconceptoentredosperodosolugaresdistintos.Generalmente,estacomparacinserealizaconelvalordeunperodofijo(periodobase).
Dependiendodeslareferenciaesfijaono,sehabladendicesenserie(referenciafija)endicesencadena(referenciavariable).
1
AoTrimestreMujeresactivas(miles)Base(2009-3)
2009310089,4100
2009410139,3(10139,3/10089,4).100=100,4946
2010110213,3(10213,3/10089,4).100=101,2280
2010210250,5(10250,5/10089,4).100=101,5967
2010310265,2(10265,2/10089,4).100=101,7424
AoTrimestreMujeresactivas(miles)Base(2009-3)
2009310089,4---------
2009410139,3(10139,3/10089,4).100=100,49
2010110213,3(10213,3/10139,3).100=100,73
2010210250,5(10250,5/10213,3).100=100,36
2010310265,2(10265,2/10250,5).100=100,14
It0(X)=.100NMEROSNDICESSIMPLESENSERIE.-Seanxtyx0dosvaloresdeunavariableX,elvalor
tdelnmerondiceenseriequecorrespondealvalorxttomandocomoreferenciaobasefijax0serepresentamedianteI0(X)ysedefine:
xtx0
Ejemplo1.-Enlatablasepresentaelnmerodemujeres(enmiles)activasenEspaadesdeeltercertrimestrede2009hastaeltercertrimestrede2010.Enlaltimacolumnaserepresentanlosnmerosndicessimplesenserieconbaseeltercertrimestrede2009.
NMEROSNDICESSIMPLESENSERIEtxtLosndicesreflejanlavariacinporcentualqueexperimentanlosdistintosvaloresdelavariableconrespectoalvalorquesehatomadocomoreferencia(3trimestrede2009).
Observandolatabla,elnmerodemujeresactivasenEspaaeneltercertrimestrede2010esun1,74%superioralquehabaeneltercertrimestredelaoanterior.
Losndicesqueseobtienenrespectodeunabase(periododereferencia)fijasedenominanndicesenserie.
NMEROSNDICESSIMPLESENCADENA.-Cuandoelndicecorrespondienteacadadatosecalculatomandocomoreferenciaeldatoinmediatamenteanterior.
Seanxt-1yxtlosvaloresobservadosdeunavariableXendosinstantesconsecutivos,elndiceencadenaquecorrespondealvalorxtserepresentamedianteICtysedefine:
IC=.100xt-1
Paraseriesdeobservacionestemporales,estosndicesreflejanlavariacinporcentualqueexperimentalavariableentrecadadosobservacionesconsecutivas.
NMEROSNDICESSIMPLESENCADENA2
AoTrimestreICParadosconstruccinICParadosservicios
20091--------------
2009294,37101,33
2009388,6495,84
2009498,79100,7
2010197,87106,35
2010287,7195,91
2010387,496,04
LosndicesencadenareflejanlavariacinporcentualentretrimestresdelnmerodemujeresactivasenEspaa.
Enestalnea,enelsegundotrimestrede2010elnmerodemujeresactivasfueun0,36%superioraldatodeltrimestreanterior.
2IC20103
10250,510213,3
.100100,36
RELACINENTRENDICESSIMPLESENSERIEYENCADENA
Losndicesencadenasepuedenobtenerapartirdelosndicesenserie
xt
ICxtx0I0t
.100.100
txt1xt1I01x0
.100
2Enelejemplo,IC20103
101,5967101,2280
.100100,36
Losndicesenseriesepuedenobtenerapartirdelosndicesencadena
I(X)xtxtxt1xt2IC(X)IC(X)IC(X)IC(X)x2x1t0
.100......100.....100x0xt1xt2xt3x1x0100100100100
tt121
Enelejemplo,I20103(X)
100,14100,36100,73100,49....100101,7424100100100100
Ejemplo2.-EnlatablaadjuntarecogelosndicesencadenatrimestralesparaelnmerodeparadosenlossectoresdelaconstruccinyserviciosenEspaa
96,0495,91..100100106,35100,70..100100100
a)Determinarlavariacinporcentualqueexperimentoelnmerodeparadosenelsectorserviciosduranteeltercertrimestrede2009altercertrimestrede2010.
b)Sabiendoqueenelsectordelaconstruccinelnmerodeparadosascendia527,6milesdepersonasduranteelsegundotrimestrede2010.Hallarlaserieexpresadaenmilesdetrabajadoresparadosenlaconstruccin.
3
AoTrimestreICParadosconstruccinIParados(2009-100)Milesdeparados(construccin)
20091-------100x2009-1743,754
2009294,3794,3700743,754x94,37701,881
2009388,6483,6496743,754x83,6496622,147
2009498,7982,6374743,754x82,6374614,619
2010197,8780,8772743,754x80,8772601,528
2010287,7170,9374527,600
2010387,461,9993743,754x61,9993461,122
Solucin:Enelapartado(a)
IC2009-3(paradosservicios)ICICICIC2009-42010-3
2010-32010-22010-1....100100100100100
96,0495,91106,35100,70....10098,6468100100100100
Enconsecuencia,lavariacinporcentualquecorrespondealperiodocomprendidoentreeltercertrimestrede2009yeltercertrimestrede2010esde98,64681001,3532%
b)Enlaconstruccin,primeroseobtienenlosndicesenserieconbaseprimertrimestrede2009:
I(X)ICIC88,6494,37I200924(X)2009320092
2009
2009320092..100..10083,6496100100100100
98,7988,6494,37...10082,6374100100100
Utilizandoeldatode527,6milparadosparaelsegundotrimestrede2010secalculaeldatodeparoparaelprimertrimestrede2009:
xt527,6tIo
.100x0x20091
.10070,9374x20091743,754
xt21tTASASDEVARIACIN(Variacinporcentual)
Seaxt1elvalordeunavariableXenelinstanteoperiododetiempot1yxt2elvalordelamismaenuninstanteoperiodoposteriort2,latasadevariacindeXent2conrespectoat1sedefinecomo:
-x
2Tasatt1(x)=.100xt1
xt.100=2-1.100=Itt21(x)-100xt2AdvirtasequeTasat1(x)=
xt2-xt1xt1
1
4
Datos2001200220032004
Destinoextranjero2919,22814,42915,23414,2
tI200110096,41099,863116,957
ttTasa2001I20011000-3,590-0,13716,957
Datos2001200220032004
Viajestursticos12815,21209312743,714568,5
DestinoEspaa98969274,69828,511154,3
Destinoextranjero2919,22814,42915,23414,2
Tasa(x),ysecalculaapartirdelndiceencadena:Latasadevariacinentredosobservacionesconsecutivas(xt-1,xt)deX,sedenotaport
txt-xt-1tTasa(x)=.100=IC(x)-100xt-1
Sesueleutilizarlaexpresintasadevariacininteranual,intertrimestralointermensual,parareferirsealatasadevariacinentreobservacionesconsecutivascorrespondientesaaos,trimestresomeses,respectivamente.
Cuandosetrabajaconseriesdedatosmensualesotrimestralescorrespondientesadistintosaos,tambinseutilizalaexpresintasadevariacininteranualcorrespondienteaundeterminadomes(otrimestre)parareferirsealavariacinporcentualqueexperimentalavariableenundeterminadomes(otrimestre)delaoinmediatamenteanterior.
Ejemplo3.-Enlatablaadjuntasereflejaelgastototalenviajestursticos(enmillonesdeeuros)delosresidentesenEspaaparaelperiodo2001-2004.
a)CulfueelincrementoporcentualdegastoenviajestursticosdelosresidentesenEspaaentrelosaos2001-2004?
b)Hallarlavariacinporcentualdelgastoenviajestursticoscondestinoalextranjerocorrespondienteacadaaorespectoalao2001.
c)Determinarlastasasdevariacininteranual(%)paraelgastoporviajescondestinoaEspaacorrespondientesalperiodo2001-2004,sabiendoqueenelao2001respectoal2000fuedeun16,2%.
Solucin:Enelapartado(a)
Tasa2001(x)x2004-x14568,512815,22004
x200112815,2
.100
.10013,6814
obien,Tasa20012001(x)-100(x)I20042004
14568,512815,2
10013,6814
b)Seobtienelaseriedendicessimplesenserieconbase2001paraelgastoenviajestursticosydespusseobtienelatasaporcentualrestando100acadandice.
5
Mes2004-062004-072004-082004-092004-102004-112004-12
Hipotecas4155383633804212411939273801
tIC(mes)------92,3288,11124,6297,7995,3496,79
TasatIC100-------7,68-11,8924,62-2,21-4,66-3,21
Datos2001200220032004
DestinoEspaa98969274,69828,511154,3
ICt116,293,72105,97113,49
tTasainteranualIC10016,20-6,285,9713,49
Mes2004-062004-072004-082004-092004-102004-112004-12
Hipotecas4155383633804212411939273801
Tambinapartirdelaexpresin:Tasa2001(x)t
xt-x2001x2001
.100
c)Lastasasdevariacininteranualsecalculanapartirdelosndicesdecadena:
I2001(X)I2002(X)I2003(X)2002
9274,69896
.10093,72
2003
9828,59274,6
.100105,97
2004
11154,39828,5
.100113,49
Ejemplo4.-Enlatablaadjuntafiguranelnmerodehipotecasinmobiliariasparafincasrsticasentrejunioydiciembrede2004.
a)Determinarlastasasintermensualesdevariacincorrespondientes
b)Conociendoqueelnmerodehipotecasenseptiembrede2005ascendia4410,obtenerlatasadevariacininteranualcorrespondientealmesdeseptiembre.
Solucin:Enelapartado(a)
4410b)Latasainteranualparaelmesdeseptiembrede2005:
Tasainteranual200509IC200509100
44104212
.1001004,7%
TASAMEDIADEVARIACIN(Tasamediacrecimientoacumulativo)
SedenominatasamediadevariacindelavariableXenelperiodo[t,t+k],otasamediadecrecimientoacumulativo,alatasaTkquepermiteobtenerlaobservacinxt+kenelinstanteoperiodot+k,partiendodelaobservacinxtenelinstantet,aplicandoentreinstantesoperiodosconsecutivosunincrementoporcentualconstanteeigualaTk.
6
Mes2004-062004-072004-082004-092004-102004-112004-12
Hipotecas4155383633804212411939273801
.xt.xtxt1xt
Tk100
100Tk100
T100Tkk100TT100Tkk100Txt2
xt3
xt1k.xt1.xt1.xt100100100
xt2k.xt2.xt2.xt100100100
2
3
T100Tkk100Txtk1k.xtk1.xtk1.xtxtk
100100100
k
xtk100Tkk100T.xtSiendoxtk
xt100100
kk
k
xtkxt
100Tk100
xtkPortanto,Tkk1.100xt
Ejemplo5.-Enlatablaadjuntafiguranelnmerodehipotecasinmobiliariasparafincasrsticasentrejunioydiciembrede2004.
4410a)Determinarlatasamediadevariacinintermensualde2004
b)Conociendoqueelnmerodehipotecasenseptiembrede2005ascendia4410,obtenerelcrecimientomediomensualacumulativoparaelperiodoseptiembre2004-septiembre2005
Solucin:Enelapartado(a)
63801x200412T6.100.10011
6
x2004064155
6
0,91481.1001,47%
b)Elcrecimientomediomensualacumulativoentreseptiembre2004-2005(periodode13meses):
124410x200509T12.100.10011
12
x2004093380
12
1,30471.1002,24%
7
NDICESSIMPLESMSUTILIZADOS
mismoenelperodobasepi0:p0tit.100actualqitybaseqi0:qt0it.100
PRECIORELATIVO:Relacinentreelpreciodeunbienenelperodoactualpityelpreciodelppi0
CANTIDADRELATIVA:Raznentrelacantidadproducidaovendidadeunbienensusperodosqqi0
VALORRELATIVO:Valordeunbienenunperodocualquierasedefinecomoelproductodel
V0t==.100=.100=p00t.100Vtpit.qitpitqitt(cntimoseuro)Variacinpreciobarradepan2006302006I2005=.100=1202007322007I2005=.100128preciodeesebienylacantidadproducida(vendida).Elvalorrelativoserlaraznentrelosvaloresdeesebienenelperodoactual(pit.qit)yenelperodobase(pi0.qi0):
..qV0pi0.qi0pi0qi0
Elvalorrelativodeunbienesigualalproductodesupreciorelativoysucantidadrelativa.
Ejemplo6.-Sedeseaconocerlaevolucindelpreciodelabarradepanente2005y2010enEspaa.Paraellosedisponedelasiguienteinformacin:
ndicesAosPreciobarradepan
20052510030253225
I20052008382008
I20052009442009
I20052010482010
382544254825
.100152
.100176
.100192
Calculadalaseriedendicesdevariacin,seobservaqueelpreciodelabarradepanen2007fue1,28veceselde2005;elde2010fue1,92veceslade2005,yassucesivamente.
Sealarqueelndiceesunamedidaadimensional,numeradorydenominadorvienendadosenlasmismasunidadesdemedida.
8
Artculospocas12n
0p10p20pn0
1p11p21pn1
2p12p22pn2
tp1tp2tpnt
Artculos12n
ndicessimplesp1t100p10p2t100p20pnt100pn0
NDICESCOMPLEJOS.-Generalmenteelintersnoseencuentraencompararprecios,cantidadesovaloresindividuales,sinoquesecomparanfenmenosdelmundorealdondeintervienenmuchasvariables.Comoconsecuencia,lainformacinsuministradaporlosndicesdediferentesbienesdebedeserresumidaenunnicondicealquesedenominandicecomplejo.
Laconstruccindeunndicecomplejonoesunatareafcil.Paraelaborarlaevolucindelcostedelavidadeunpas(IPCenEspaa)habraqueseleccionarungrupodebienesquereflejarandichocoste,teniendoencuentalaimportanciarelativadecadaunodeesosbienes,decidiendofinalmentelaformadeunificartodalainformacinparaobtenerunnicondice.
Elobjetivoesllegaraunnmerondicesencilloquerenalamayorcantidadposibledeinformacin.
Deestamanera,sellegaadostiposdendicescomplejos:ndicescomplejosnoponderados(cuandoprimalasencillez)endicescomplejosponderados(cuandosedeseaquecontenganlamayorcantidaddeinformacin).
NDICESCOMPLEJOSDEPRECIOSNOPONDERADOS.-MediantelosndicesdePreciosseanalizaelestudiodemagnitudeseconmicas,quecuantificanlaevolucindelamagnitudpreciodeunconjuntodebienesyservicios.
Setendralainformacinqueproporcionauncuadroanlogoalsiguiente:
Elobjetivoserencontrarunamedidaestadsticaqueresumatodalainformacinypermitaconocerculhasidolavariacinexperimentadaporlospreciosenelperodotrespectoalperodobase.
Pararesumirlainformacinobtenidaatravsdelosndicessimples,eslgicopromediarstos.Deestemodo,losndicescomplejosvanasermediasaritmticas,geomtricas,armnicasyagregativasdelosndicessimples.
ponderadadelosndicessimples:Sp.it.100pitNDICEDESAUERBECK:ConsiderandolospreciosrelativosIi
1npni1pi0
n
tNDICEMEDIAGEOMTRICA:I0n.100i1pi0
9
pitpi0
,eslamediaaritmticano
ArtculosPrecios
200820092010
Pan384448
Huevos130150215
Leche88100110
Pollo160190205
pi0NDICEMEDIAARMNICA:
tI0
nn
i1pit
.100
DelostresndiceselqueseutilizaconmayorfrecuenciaeselndicedeSauerbeck.
NDICEMEDIAAGREGATIVASIMPLEODEBRADSTREET-DTOT:Consisteenconsiderarunndicesimpledeagregadosdemagnitudes(precios).Esdecir,secalculalarazndelamediaaritmticadelospreciosdenartculos(enelperodotcomoenelperodobase):
npit
BDP
i1n
.100
pi0i1
Sealarquelosndicesanalizadostienenlaventajadeserfcilesdeaplicar,peropresentaninconvenientesimportantes:
Ejemplo7.-Enlatablaadjuntaaparecendistintosartculosylosprecios(encntimosdeeuros)entre2008y2010.Sepidecalcularlosndicescompuestos.
ndicedeSauerbeck:Sp.it.100(mediaaritmticasimple)Solucin:
1npni1pi0
Sp2009.it.100.160Sp2010.it.100.1602008
2008
1np1441501001904i1pi043813088
1np1482151102054i1pi043813088
.100115,89
.100136,21
pitn
tndicemediaGeomtrica:I0ni1pi0
.100
2008I20094
44150100190....100115,883813088160
2008I20104
48215110205...3813088160
.100135,25
10
MesesPrecioArrozPrecioTrigoPrecioPatatas
0503040
1603040
2703545
3754045
4804550
5905050
pi0tndicemediaArmnica:I0
nn
i1pit
.100
2008I2009
2008I2010
4381308816044150100190
4381308816048215110205
.100115,86
.100134,37
ndicemediaagregativasimpleodeBradstreet-Dtot:BDP
4
npiti1npi0i1
.100
2008BDP2009
piti14pi0
.100
441501001903813088160
.100116,35
i1
4
2008BDP2010
piti14pi0
.100
482151102053813088160
.100138,94
i1
Sealarqueestoscuatrotiposdendicescompuestossinponderarsepuedenutilizarparaestudiarlaevolucindecualquierotravariabledistintadelprecio.
Ejemplo8.-Conlatablaadjuntadepreciosdeproductosagrcolas(arroz,trigoypatatas).CalcularlosndicesdepreciosdeSauerbeckydeBradstreet-Dtot,ascomolastasasdevariacinintermensuales.
(xAt)aritmticasimplendicesI0t(X)t.100ymediaagregativasimplendicesIA0(X)Solucin:
LosndicescomplejosdeSauerbeckyBradstreet-Dtotseobtienen,respectivamente,comomedia
xt.100
x0(xA)011
Meses012345
B-D(mediaagregativa)100108,33125133,33145,83158,33
Tasasvariacin(intermensuales)---------8,332533,3345,8358,33
SauerbeckMeses
ArrozTrigoPrecioPrecio
PatatasPrecio
ArrozI.simple
TrigoI.simple
ndicePatatasI.simpleM.aritmtica
TOTALxA
Bradstreet-DtotM.agrexA
05030401001001001001201001603040120100100106,67130108,332703545140116,667112,5123,061501253754045150133,333112,5131,94160133,334804550160150125145175145,835905050180166,667125157,22190158,33
tElndicedeSauerbeckeslamediaaritmticadelosndicessimples:I0(X)
xtx0
.100
120100100Sp2106,773
140116,667112,5Sp3123,063
..
ElndicedeBradstreet-Dtoteslamediaagregativasimple:IA0(X)t
(xA)t(xA)0
.100
1BDP0
130120
.100108,33
3BDP0
160120
.100133,33
..
.100.100I0t(x)-100tLastasasdevariacinintermensuales:Tasa0(x)
x0x0
xt-x0xt
-1
12
INDICESCOMPLEJOSDEPRECIOSPONDERADOS.-Unapresentacinsobrelossistemasdeponderacionespropuestostradicionalmente:
pi0.qi0valordelacantidadconsumidadelbieni-simoenelperodobase,apreciosdeperodobase.(situacinreal)
pi0.qitvalorapreciosdelperodobasedelacantidadconsumidadelbieni-simoenelperodoactual.(situacinconvaloracinficticia)
Losndicescomplejosponderadosmsutilizadosson:Laspeyres,Paasche,EdgeworthyFisher.
NDICEDEPRECIOSDELASPEYRES:IMPORTANCIADELASPONDERACIONES
Analizanlasvariacionesdebidasaloscambiosenlospreciosdeunconjuntodeartculosponderndolossiempreporlasmismascantidades.
ElndicedeLaspeyressedefinecomolamediaaritmticaponderadadelosndicessimplesdeprecios.Elcriteriodeponderacinespi0.qi0,conlocual:
pLp
n
i10pitpi0.qi0npi0.qi0i1
npit.qi0
n.100i1pi0.qi0i1
.100
Loscriteriosparaleeleccindelperodobasesonvariados,fundamentalmenteserequierequeseaunaonoirregularonormal.ElinconvenientedelndicedeLaspeyresesquesuponequesiempreseadquierenlasmismascantidadesqueenelperodobase.
NDICEDEPRECIOSDEPAASCHE:ALTERNATIVASALNDICEDELASPEYRES
ElndicedeLaspeyressecuestionaenocasiones,yaqueparecepocorealistasuponerquelascantidadescompradasoadquiridasenelaodereferencianovaraneneltiempo.
Comoejemplo,noparecemuyrealistalahiptesisdequeenaosdesequa,yenconsecuencia,desubidasimportantesdelospreciosdelosproductosagrarios,lascantidadesdemandadasseaniguales.
Seplantelanecesidaddedisponerdeotrosndicesque,conlafinalidaddemedirlavariacindepreciosdeundeterminadoconjuntodeartculos,noestuvierasujetoalarestriccindesuponerquesiempreseadquiranlasmismascantidadesqueenelperodobase.
ElndicedePaaschesedefinecomolamediaaritmticaponderadadelosndicessimplesdeprecios.Elcriteriodeponderacinespi0.qit,conlocual:
pPp
n
i10pitpi0.qitnpi0.qiti1
.100
npit.qiti1npi0.qiti1
.100
ElclculodelndicedePaascheeslaborioso,exigecalcularlasponderacionespit.qitparacadaperodocorriente.Otroinconvenienteadicional,elndicedepreciosdecadaaoslosepuedecompararconeldelaobase.
LosdosinconvenientesexpuestosenelndicedePaasche,hacenquesuusohadecadoconsiderablemente.
13
NDICEDEPRECIOSDEEDGEWORTH
Esunamedidaagregativaponderadadeprecioscuyocoeficientedeponderacines(qi0qit):
npit.(qi0qit)
Ep
i1n
.100
pi0.(qi0qit)i1
NDICEDEPRECIOSIDEALDEFISHER
I.FisherpropusocomonmerondicedeprecioslamediageomtricadelosndicesdepreciosdeLaspeyresyPaasche,esdecir:
FpLp.Pp
NDICEDEVALOR
Elndicedevaloreselcocienteentreelvalordelosbienesconsideradosenelperodoactualapreciosdelperodoactualyelvalordelosbienesenelperodobaseapreciosdelperodobase,porconsiguientereflejaconjuntamentelasvariacionesdelospreciosylascantidades.
n
,severificaIV0P0Q0Q0P0P0Q0tL.PL.PF.FtIV0
VtV0
pit.qiti1npi0.qi0
tttttt
i1
PROPIEDADESDELOSNMEROSNDICES
perodosentresI0t,elnuevondicedebeverificar:I0ttIt0.I0t1It0.Itt'It0'It'CCLICA.-Consecuenciadelapropiedaddeinversinycircular:It0.Itt'.Itt'''0I0t.Itt'.Itt'''It0''
EXISTENCIA.-Todonmerondicedebeestarbiendefinidoyserdistintodecero.
IGUALDAD.-Cuandocoincideelperodobaseyelperodoactual,elnmerondiceesigualalaunidad.Sealarquelosnmerosndicesmidenvariacionesentredosperodosy,alcoincidirestos,noreflejanningunavariedad.
tINVERSIN.-DenotandoporI0unndiceconbase0yperodoactualt,alintercambiarlos1I0
tt'I0.Itt'.I01CIRCULAR.-Considerandolosperodos0,t,t',t'',sedebeverificar:tt't''0I0.It.It'.It''1
tt'1I0.It01
It''
14
PROPORCIONALIDAD.-Sienelperodoactuallamagnitud(otodaslasmagnitudessimplesenelcasodeunndicecomplejo)varaenunaproporcin,elndicecambiaenlamismaproporcin.
Silosvaloresxitsufrenunavariacindeordenk,losnuevosvaloresenelperodot'sondela
formaxit'xitk.xit(1k).xit,ylosnuevosndicessern:I'iit'xxi0
(1k).xitxi0
(1k).Ii
HOMOGENEIDAD.-Aunndicenodebenafectarleloscambiosenlasunidadesdemedida.
vendidaprecioscantidadvendidaprecioscantidadSealarqueestaspropiedadesqueseverificanparalosndicessimples,nosiempreseverificanparalosndicescomplejos.
Ejemplo9.-Supongamosqueenelejemplo7disponemosdeinformacinadicionalsobrelacantidadvendidaencadaunodelosperodos,comosedetallaenlatablaadjunta.DeterminarlosndicesdeLaspeyres,Paasche,EdgeworthyFisherpara2010,siendoelaobase2008.
200820092010ArtculosprecioscantidadvendidaPan381504420048240Huevos130400150580215560Leche88700100780110925Pollo160400190400205375
Solucin:
LaspeyresPaascheEdgeworth
Artculos
pi10.qi08
pi08.qi08
pi10.qi10
pi08.qi10
(qi08qi10)
pi10.(qi08qi10)
pi08.(qi08qi10)
Pan720057001152091203901872014820Huevos860005200012040072800960206400124800Leche7700061600101750814001625178750143000Pollo82000640007687560000775158875124000252200183300310545223320562745406620
4
pi10.qi08
20084ndicedeLaspeyres:Lp2010i1pi08.qi08
.100
252200183300
.100137,59
i1
4
ndicedePaasche:
2008Pp2010
pi10.qi10i14pi08.qi10
.100
310545223320
.100139,06
i1
4
2008ndicedeEdgeworth:Ep2010
pi10.(qi08qi10)i14pi08.(qi08qi10)
.100
562745406620
.100138,40
i1
15
ndicedeFisher:
200820082008Fp2010Lp2010.Pp2010137,59.139,06138,32
Lossistemasdeponderacionespropuestostradicionalmentei0i0INDICESCOMPLEJOSPONDERADOSDEPRODUCCINOCUNTICOS.-Losnmerosndicescunticosodeproduccinanalizansuevolucineneltiempo,estudiandolasvariacionesdelaproduccinfsicadeunconjuntodebienesyservicios.
ElcriteriodeponderacinesigualqueenlosndicesdePrecios,aqusehadeponderarelvalornetoovaloraadidodelbienynoelpreciodeventaovalorbrutodelmismo,puestoquesisehicieraassecontabilizaraunamismacantidadvariasveces,tantascomoetapasdiferentessuponganelprocesodeproduccin.
q.psituacinrealqi0.pitsituacinficticia
Losndicescomplejosponderadosmsutilizadosson:Laspeyres,PaascheyFisher.ElndicedeLaspeyreseselquemsseutiliza,tantoparandicesdePrecioscomoparandicesCunticos.
qitNDICECUNTICODELASPEYRES:
Lq
n
i1qi0n
qi0.pi0
.100
n
.pqiti0i1n
.100
qi0i1
.pi0
qi0.pi0i1situacinreal
qi1qitqi0itNDICECUNTICODEPAASCHE:
Pq
n
n
i0
.p
.100
nqiti1n
.pit
.100
qi0i1
.pit
qi0.piti1situacinficticia
NDICECUNTICOIDEALDEFISHER:FqLq.Pq
PROBLEMASCONLAUTILIZACINDENMEROSNDICES.-Fundamentalmentesonreferentesadoscuestiones:
PONDERACIONES.-Enlamedidadeloposible,eltipodeponderacindebereflejarlaimportanciarelativadecadabienenparticular.Enlosndicesexpuestoslasponderacionesmsapropiadassebasanencantidadesovaloresparalosndicesdeprecios,yenpreciosovaloresparalosndicesdecantidad.Enlaprctica,cadabienincluidoenunndicecomplejosesueleinterpretarcomorepresentativodetodalaclasedeartculosrelacionadosynocomobienindividual.Enestesentido,laponderacinasignadaacadaartculoindividualreflejalaimportanciadetodalaclasequerepresenta.
PERODOBASE.-Esaqulperodoconrespectoalqueseefectanlascomparaciones,porloqueparaquemuchascomparacionesnopierdansignificado,sesueleelegircomotalunperodonoalejadoexcesivamentedelperodocorriente.Enestalnea,sehacenecesariorenovarperidicamentelainformacinrelativaalaobase.16
AosPreciorefresco(euros)ndicesSimplesBase2000ndicesSimplesBase2005
20001,2100(100/145).10068,97
20011,3(1,3/1,2).100108,33(108,33/145).10074,71
20021,42(1,42/1,2).100118,33(118,33/145).10081,61
20031,54(1,54/1,2).100128,33(128,33/145).10088,51
20041,65(1,65/1,2).100137,50(137,5/145).10094,83
20051,74145100
20061,86(1,86/1,2).100155(155/145).100106,90
20071,94(1,94/1,2).100161,67(161,67/145).100111,49
20082,15(2,15/1,2).100179,17(179,17/145).100123,56
20092,25(2,25/1,2).100187,50(187,50/145).100129,31
20102,30(2,30/1,2).100191,67(191,67/145).100132,18
Perodondice(perodo0)ndice(perodoh)
0I000Ih
1I10I1h
iIi0Iih
hIh0Ihh
ttI0tIh
CAMBIOSDEBASEREVISINDELABASEENNDICESSIMPLES.-Alalejarsedelperodobaseelndicesufreunaprdidaderepresentatividad,enespecialcuandoparaponderarmagnitudesactualesseutilizanpreciosrelativosreferidosalperodobase.Esteproblemaseresuelvehaciendouncambiodebaseaperodomsprximoalactual.Pararelacionarseriesdendicesreferidosadistintosperodosbaseseutilizanenlacestcnicosentreambasseries.
Lanuevaseriedendicesseobtiene:Ii0hIi0Iih
h.IhhI0I0
dondeIh0eselndicequehacedeenlacetcnicoentrelasdosseries.Ejemplo10.-Dadalaserieadjuntaconbaseao2000,sedeseacambiarlabasealao2005
Elintersdelcambioresideentenerlosdatosmsactuales,conlatransformacinsepuedeobservarcomoelpreciodelabotelladerefrescosenelao2010aumentoel32,18%enrelacinalao2005.
Sealarquepararealizaruncambiodebaseenlosndicessimplesbastadividircasaunodelosndicesdelabaseantiguaporelvalordelndicecorrespondientealperodoseleccionadocomonuevabaseymultiplicarlopor100.
Comoalternativaalaactualizacindelperodobasedescritoparalossistemasdebasefija,sevieneutilizandoconmayorfrecuencialossistemasdendicesdebasevariableoencadenada(sistemasqueutilizancomobaseelperodoinmediatamenteanterior).
Observandolatablaanterior,utilizandolaBASEVARIABLEoENCADENADA:
17
AosPreciorefresco(euros)ndicesSimples2005=100ndicesSimplesBasevariableoEncadenadaTasavariacin(interanual)
20051,74100----------
20061,86106,90(106,90/100).100106,906,90
20071,94111,49(111,49/106,90).100104,304,30
20082,15123,56(123,56/111,49).100110,8210,82
20092,25129,31(129,31/123,56).100104,654,65
20102,30132,18(132,18/129,31).100102,222,22
Enlaltimacolumna,seobservaqueentre2006y2005elpreciodelabotelladerefrescosvariun6,90%,entre2006y2007un4,30%,etc.Enesteejemplo,dendicesdebasevariableoencadenada,cadandicesecalcularespectoaunaodistinto.
Destacarqueapartirdelaseriedebasevariable(ltimacolumna)sepuedecalcularelndiceparabasefijadecualquierperodo.Deestamanera,elndicedelosrefrescosde2010conbase2005sera:
I2010I2005200620072008.100.I.I.I2005
2006200720082009
106,9104,30110,82104,65102,22.....100132,18100100100100100
CAMBIOSDEBASEREVISINDELABASEENNDICESCOMPLEJOS.-Elconceptodeperodobaseenlosndicesdeunconjuntodeartculos(comoocurreconlosndicesdeLaspeyresyPaasche)noeselmismoqueenunndicesimple.
Elperodobaseenlosndicescomplejosponderados,ademsdesereltiempodereferencia,eseltiempoenquesedebenverificardeterminadosrequisitosrespectoadoscaractersticas:(a)Artculosoelementosindependientesalosqueserefiereelndice.(b)Ponderacionesquesevanaasignaracadaelementooartculo.
Losndicescomplejos,comolosndicessimples,puedenelaborarseconunsistemadebasefijaoconunsistemadebasevariableodeencadenamientos.
Cuandoseeligeunsistemadebasefija,nohayqueolvidarquelaestructuradelgastoestsometidaaunaconstanteevolucin.Enotraspalabras,amedidaquenosalejamosdelperodobasesevanaproducircambiosdedistintandole,querespondenfundamentalmenteadoscaractersticas:(a)Cambiosenlosbienesoserviciosquecomponenelndice.(b)Cambiosenlosgustosopreferenciasdelosagenteseconmicos.
18
Aos20002001200220032004200520062007200820092010
Base=2000101112131516
Base=20051818,620222324
Aos20002001200220032004200520062007200820092010
Base=2000100110120130150160
Base=2005100103,33111,11122,22127,78133,33
Aos20002001200220032004200520062007200820092010
Base=2000100110120130150160
Base=200562,568,757581,2593,75100103,33111,11122,22127,78133,33
Ejemplo11.-Enlatablaadjuntasepresentanlosdatosdeunconjuntodebienespit.qi0yp'it.q'i0,respectivamente,dondelosperodosdeponderacinson2000y2005:
a)HallarloscorrespondientesndicesdepreciosdeLaspeyres.b)Determinarlosndicesdepreciosentrelosperodos2000-2004conbase2005.
Solucin:
a)LoscorrespondientesndicesdeLaspeyresseran:
Lp2000
1010
.100100%
Lp2005
1818
.100100%
Lp2001
1110
.100110%
2005Lp2006
18,618
.100103,33%
Lp2002
Lp2003
Lp2004
Lp2005
1210131015101610
.100120%
.100130%
.100150%
.100160%
2005200520052005Lp2007
Lp2008
Lp2009
Lp2010
2018221823182418
.100111,11%
.100122,22%
.100127,78%
.100133,33%
ndicedeLaspeyresb)Determinarlosndicesdepreciosentrelosperodos2000-2004conbase2005=100.
h,setiene:Lp20052000.100Conladefinicindecambiodebase
Iih
I0Lp2000
Ii02000Lp2000
100160
.10062,5%
ParalosotrosndicesdeLaspeyres:
20052005Lp2001Lp2001.Lp2000110.62,568,75%
20052005Lp2003Lp2003.Lp2000130.62,581,25%
ndicedeLaspeyres20052005Lp2002Lp2002.Lp2000120.62,575%
20052005Lp2004Lp2004.Lp2000150.62,593,75%
19
PerodosBase1974Base1990Base1990(Diciembre1995=100)
1987429,70429,70x0,2165=93,0393,03x0,8453=78,61
1998444,49444,49x0,2165=96,2396,23x0,8453=81,34
1989460,67460,67x0,2165=99,7399,73x0,8453=84,30
1990471,12102102x0,8453=86,22
1991102,6x4,6188=473,89102,6102,6x0,8453=86,73
1992104,2x4,6188=481,28104,2104,2x0,8453=88,08
1993107,7x4,6188=497,45107,7107,7x0,8453=91,04
1994113,3x4,6188=523,31113,3113,3x0,8453=95,77
1995118,3x4,6188=546,41118,3100
PerodosBase1974Base1990
1987429,70429,70x0,2165=93,03
1998444,49444,49x0,2165=96,23
1989460,67460,67x0,2165=99,73
1990471,12102
1991102,6x4,6188=473,89102,6
1992104,2x4,6188=481,28104,2
1993107,7x4,6188=497,45107,7
1994113,3x4,6188=523,31113,3
1995118,3x4,6188=546,41118,3
I471,12==4,6188I102Ejemplo12.-EnlatablaserecogenlosndicesdePreciosIndustrialesparaEspaaconbase1974y1990paralosmesesdediciembredecadaao.Sepideobtenerunaserienicaparalasdosbases.
1990197419901990
I1974I19901990
102
==0,2165471,12
Paracambiarlabasedeunndicebastacondeterminarlarelacinexistenteentrelosvaloresdelmismoparaelnicoperodoenelquesedisponeinformacinenlasdosbases.
Enestesentido,elperodoenquesedisponeinformacinenlasdosbasesesdiciembrede1990,la
I1990relacinocoeficientedeenlaceconbase1974:
1974I19901990
471,12==4,6188102
I1974Tomando1990comobase,elcoeficientedeenlace:
I19901990
102==0,2165471,12
==0,8453I19901188,3Unaoperacinsimilaralenlacedeserieseselcambiodebaseparaunaserieconcreta.Enestalnea,paraquelaserieconbase1990tomaseelvalor100endiciembrede1995,senecesitabuscarelcoeficientequehagaposibleestatransformacin.Enestecaso,elcoeficientesera:
1001001995
DEFLACTARSERIESESTADSTICAS.-Losnmerosndices,yenespeciallosnmerosndicesdeprecios,tienenaplicacionesmuyimportantesenelmundoreal.
Unafuncinimportantedeldineroesladepasardeunidadesfsicasaunaunidaddecuentacomn,medianteunavaloracindelosdistintosbienesyservicios,generalmentemediantelautilizacindeunsistemadeprecios.20
AosSalarioanual(euros)ndiceevolucinsalariomonetarioIPCBase2005(deflactor)Salarioanualreal(deflactado)=Salarioreal/IPCndiceevolucinsalarioreal
200568401001006840100
20067102105106670097,95
200775241101096902,8100,92
200882081201196897,5100,84
200988921301257113,6104
201092341351307103,1103,85
Aos200520062007200820092010
Salarioanual(euros)684071027524820888929234
ndiceevolucin100105110120130135
Realizadalahomogeneizacinpodemosefectuarcomparacionesenbasealaunidaddecuentacomn,siemprequenosehayanproducidocambiosenlospreciosdedeterminadosartculos.
Enotraspalabras,lacomparacinesposiblecuandolavaloracinserealizaapreciosconstantes(deunperododeterminado),noesposiblerealizarlacuandoseefectaaprecioscorrientes(preciosdecadaperodo),puestoquelasalteracionesdelospreciosdeunperodoaotroasignandistintopoderadquisitivoalasunidadesmonetarias(encuantoasupoderdecompra,uneurode2001noesequivalenteauneurode2010).
Paraclarificarloexpuesto,podemosrecurriraunejemplosencillo:.
Elprocedimientoquepermitetransformarunaserieexpresadaenvalorescorrientesavaloresconstantesseconocecomodeflactacindelaserieyalndiceelegidoparadichatransformacinselellamadeflactor.Eldeflactornosiempreeselmismo,encadacasohabrqueelegirelptimoparacadaalcanzarelobjetivodeseado.
Ejemplo13.-Enlatablaserecogeelsalarioanualdeuntrabajadorenelperodo2005-2010:
ndicedeevolucindelsalariomonetarioComopuedeobservarse,enlatercerafilaseincluyeunndicesimpledeevolucindelsalariodeltrabajador,tomandocomobaseelao2005.Elndicede2010esde135%,esdecir,elsalariodeltrabajadorsehaincrementadodurantesteperodoun35%.
Parasabersirealmentelossalariohanaumentadoentrminodeloquesepuedeadquirirconellos,laformamselementalseracompararlosconlassubidasdelIPC(queproporcionaunindicadorgeneraldelasvariacionesdelospreciosdelosbienesyserviciosqueadquierenlasfamiliasespaolas).
ndicesdeevolucinsalariomonetarioysalariorealElsalarioanualreal(salariodeflactado)seobtienedividiendoelsalarioanualdecadaaoosalariomonetarioporelIPCdecadaao.
21
PerodosValornominal(eneuroscorrientes)Valorreal(eneurosconstantesdelperodo0)
0nV0pi0.qi0i1RnV0pi0.qi0i1
1nV1pi1.qi1i1RnV1pi0.qi1i1
2nV2pi2.qi2i1RnV2pi0.qi2i1
tnVtpit.qiti1RnVtpi0.qiti1
nnVnpin.qini1RnVnpi0.qini1
Ladeflactacineselprocesoquehapermitidotransformarlossalariosanuales(eneuros)asalariosreales,eliminandoelefectodelainflacin.ElndiceelegidocomodeflactorhasidoelIPC.Laseriedeflactadasedenominaserieapreciosconstantes.
Enuncasogeneral,endondelaserieestadsticaseaelresultadodeunvalor,esdecir,elresultadodemultiplicarcantidadesporprecios,setienelatablaadjunta:
ndicesdepreciosmsutilizadossonLaspeyresyPaasche.Seplanteacomoactanestosndicesensuaplicacinparadeflactarunaserieestadstica.nSeaVtpit.qitelvalordelamagnitudcomplejaenelperodot.Utilizandocomodeflactoreli1npit.qi0
ndicedeLaspeyresLp
n
i1npi0.qi0i1
n
,setiene:
VtLp
pit.qiti1npit.qi0
npi0.qi0.i1
pit.qiti1npit.qi0
tV0.PqVR
Nosepasadevaloresmonetarioscorrientesavaloresmonetariosconstantes.Apesardeello,elndicedeLaspeyresseutilizacomodeflactor
i1npi0.qi0i1
i1
muchasveces,porserelqueseelaboramscomnmente.
npit.qit
UtilizandocomodeflactorelNDICEDEPAASCHEPp
i1npi0.qiti1
,setiene:
VtPp
npit.qiti1npit.qiti1
n
tpi0.qitVRi1
UtilizandocomodeflactorelndicedePaasche,seobtieneunarelacinentrevaloresmonetarioscorrientesyvaloresmonetariosconstantes.Enconsecuencia,elndicedePaaschesereldeflactormsadecuadosiemprequelosvaloresqueaparecenenlaserie
npi0.qiti1
estadsticasepuedandescomponerensumasdepreciosporcantidades.
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Subrayarquelaeleccindeldeflactor,esdecir,delndicedepreciosadecuadoesfundamental:Siloquesedeflactaesunaseriesobrelaproduccindelaindustriahabraqueutilizarunndicedepreciosindustriales;sisedeflactaunaseriesobreelPIBnominalhabraqueutilizarunndicegeneraldeprecios;sisedeflactaunaseriesobrelosvaloresnominalesocorrientesdelaproduccinagrariaseraconvenientedisponerdeunndicedepreciosagrarios;etc.
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