Los Numeros Racionales

Los Números Racionales Los Números Racionales

Universidad Central de ChileUniversidad Central de ChileCarrera: Postítulo Mención en Carrera: Postítulo Mención en

MatemáticaMatemáticaAsignatura: Didáctica de la AritméticaAsignatura: Didáctica de la AritméticaProfesora: Lorna Benavente KennedyProfesora: Lorna Benavente Kennedy

Alumno: Francisco Javier Oyarzun Alumno: Francisco Javier Oyarzun RetamalRetamal

Los Números Racionales ( )Los Números Racionales ( )

““Un Un número racionalnúmero racional es todo es todo númeronúmero que puede representarse como el que puede representarse como el cocientecociente de de dos enterosdos enteros, con denominador distinto de cero”, con denominador distinto de cero”. Se representa . Se representa por el símbolo por el símbolo

Estos números racionales surgen por la necesidad de expresar y resolver Estos números racionales surgen por la necesidad de expresar y resolver problemas que no tienen solución en el conjunto de los enteros, como por problemas que no tienen solución en el conjunto de los enteros, como por ejemplo la división de dos enteros; que el dividendo sea menor que el divisor. ejemplo la división de dos enteros; que el dividendo sea menor que el divisor. Es por esto que la definición de número racional es:Es por esto que la definición de número racional es:

Representación de los Números Racionales ( )

Representación según teoría de Representación según teoría de conjuntosconjuntos.

Representación según la recta numéricaRepresentación según la recta numérica.

- Las Fracciones o Números Fraccionarios:Las Fracciones o Números Fraccionarios:El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir dividir una totalidad en partes igualesuna totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un , como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina o de algo.depósito de gasolina o de algo.

Numerador: indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero.Línea Fraccionaria: Línea que separa a los dos enteros, sirve como una división

Denominador: indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.

El conjunto de los Números Racionales ( ) se subdivide en dos El conjunto de los Números Racionales ( ) se subdivide en dos conjuntos los cuales son equivalentes, y estos son los Números conjuntos los cuales son equivalentes, y estos son los Números decimales y los Números fraccionarios:decimales y los Números fraccionarios:

Las partes de una fracción son las siguientes:Las partes de una fracción son las siguientes:

Dentro de las fracciones hay cuatro sub-divisiones y son las siguientes:

Ejemplo:

Ejemplo:

Fracciones EquivalentesFracciones Equivalentes

Las fracciones equivalentes son aquellas fracciones que al multiplicar o dividir numerador y denominador el valor de la fracción no cambia

Lectura de algunas Fracciones

Fracción Fracción EscrituraEscritura

1/41/4 Un cuartoUn cuarto

1/51/5 Un quintoUn quinto

1/21/2 Un medioUn medio

1/31/3 Un tercioUn tercio

1/201/20 Un veinteavoUn veinteavo

2/ 92/ 9 Dos novenosDos novenos

23/14023/140 Veintitrés ciento Veintitrés ciento cuarentavocuarentavo

Representación grafica de algunas fracciones

5 8

=

3 5

=

=

5 6

=

1 2

= =

=

Orden en los Números Racionales ( )Orden en los Números Racionales ( )

Los números racionales solamente se pueden ordenar cuando se encuentren como una fracción, ya que como número decimal no es posible establecer el mayor o el menor ya que estos números poseen cifras ilimitadas hacia la derecha.

Para ordenar los racionales se presentan dos casos:

a) Si los denominadores son iguales: Si los denominadores son iguales: En este caso será mayor la fracción que presente un numerador mayor.

Ejemplo:

Ordenando esto de menor a mayor quedaría así:

b) Si los denominadores son distintos: Si los denominadores son distintos: En este caso lo primero que hay que realizar es igualar los denominadores, esto se realiza con el M.C.M. (mínimo común múltiplo) y luego se amplifican las fracciones para que todas tengan el mismo denominador.

Ejemplo: El M.C.M. de 4, 6 y 8 es 24

Así que amplificamos todas las fracciones de modo que los denominadores queden igual a 24, esto resulta:

Esto ordenado de mayor a menor en las primeras fracciones quedan así:

Ordenamos estas fracciones de mayor a menor y quedan:

Otra forma de encontrar si las fracciones son mayores o menores es por los productos cruzados:

Ejemplo:

Se multiplican cruzado los términos

Esto quedaría así:6 x 7= 42 y 5 x 12 = 60El primer término multiplicado se consideraría como la primera fracción y el segundo término como la segunda fracción

Ordenando estas fracciones de menor a mayor quedaría así :

Operaciones conOperaciones con Números Racionales ( )Números Racionales ( )

Adición y Sustracción de números racionales (fracciones)Adición y Sustracción de números racionales (fracciones)con el mismo denominadorcon el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Adición Sustracción

Adición y Sustracción de números racionales (fracciones)Adición y Sustracción de números racionales (fracciones)con distinto denominadorcon distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador (M.C.M), luego se amplifica ambas fracciones para obtener el mismo denominador y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas..



Propiedades de la adición en Propiedades de la adición en los Números Racionales ( )los Números Racionales ( )

1° Clausura1° Clausura: : Al sumar cualquier número racional (fracción o decimal) con otro se obtendrá un número que pertenece al conjunto de los racionales.

Ejemplo:

2° Elemento Neutro2° Elemento Neutro: : Al sumar cualquier número racional con un cero permanecerá el mismo número racional.

Ejemplo:

3° Conmutativa3° Conmutativa: En la adición, el orden de los Sumando no altera la Suma, en la conmutatividad solamente se utilizan solo 2 sumandos.


Ejemplo:

Propiedades de la adición de Propiedades de la adición de los Números Racionales ( )los Números Racionales ( )

4° Asociativa4° Asociativa: En la adición, cuando se suman 3 o mas sumando el resultado es el mismo, independientemente del orden que tengan los sumandos.

Ejemplo:


5° Inverso Aditivo5° Inverso Aditivo: Todo número racional sumado con su opuesto o inverso es igual a cero.

Ejemplo:


Multiplicación de números racionales (fracciones)Multiplicación de números racionales (fracciones)

Se multiplican los numeradores y también se multiplican los denominador.

Ejemplo:

Propiedades de la multiplicación en Propiedades de la multiplicación en los Números Racionales ( )los Números Racionales ( )

1° Clausura1° Clausura: : Al multiplicar cualquier número racional (fracción o decimal) con otro se obtendrá un número que pertenece al conjunto de los racionales.

Ejemplo:

2° Elemento Neutro2° Elemento Neutro: : Al multiplicar cualquier número racional con un número uno permanecerá el mismo número racional.

Ejemplo:

3° Conmutativa3° Conmutativa: En la multiplicación, el orden de los factores no altera el producto, en la conmutatividad solamente se utilizan solo 2 factores.


Ejemplo:


4° Asociativa4° Asociativa: En la multiplicación, cuando se multipliquen 3 o mas factores el producto será el mismo, independientemente del orden que tengan los factores.

Ejemplo:

5° Inverso multiplicativo5° Inverso multiplicativo: Todo número racional multiplicado con su opuesto o inverso es igual a uno.

Ejemplo:


6° Elemento Absorbente del cero6° Elemento Absorbente del cero: Todo número racional multiplicado por cero es igual a cero, y este termino tiene que ser distinto de cero.

Ejemplo:


7° Distributiva7° Distributiva: La propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número racional da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número racional y después sumar todos los productos.

Ejemplo:


División de números racionales (fracciones)División de números racionales (fracciones)

En la división de fracciones se multiplica cruzado el numerador por el segundo denominador, el resultado de la multiplicación queda como numerador y también se multiplican el denominador por el numerador de la segunda fracción y este resultado queda como denominador.

Otra forma de obtener la división de fracciones, es invirtiendo la segunda fracción y el signo de división se convierte en multiplicación.

Forma 1 Forma 2

Ejemplo:Ejemplo:

Otra explicación del porque se multiplican las divisiones fraccionarias.

ActividadActividad

I. Calcula las siguientes operaciones con números racionales (fraccionario):

1.-

2.-

3.-

4.-

II. Calcula las siguientes divisiones (fraccionario):

1.-

3.-

2.-

III. Resuelve las siguientes operaciones con números racionales (fraccionario):

b).-

a).-

c).-

IV. Resuelve las siguientes operaciones y descubre que propiedad es:

a).

c).

Multiplicación - DistributivaMultiplicación - Distributiva

b).

d).

Multiplicación – inverso Multiplicación – inverso multiplicativomultiplicativo

Adición – inverso aditivoAdición – inverso aditivo

Adición – AsociativaAdición – Asociativa

Potencias de Números Racionales ( )Potencias de Números Racionales ( )

En las potencia de Números Racionales ( ), los dos términos tanto el numerador con el denominador se amplifica o potencia tantas veces diga el exponente

Potencias de exponente entero positivo y base racionalPotencias de exponente entero positivo y base racional

ExponenteExponente: Indica cuantas veces se multiplicara la base racional.

Base RacionalBase Racional: Es aquel termino el cual se multiplicara tantas veces le indique el exponente.

Ejemplo:


Potencias de exponente entero negativo y Base enteraPotencias de exponente entero negativo y Base entera

En las potencia de Números Enteros ( ), cuando el exponente es negativo, el termino entero (por naturaleza el entero es un numero racional con denominador 1) se “convierte” en su inverso multiplicativo, luego los dos términos tanto el numerador con el denominador se amplifica o potencia tantas veces diga el exponente.

Ejemplo:

En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es negativo, “el numerador pasa a ser denominador y el denominador pasa a ser numerador”, esto ocurre por el inverso multiplicativo, luego los dos términos tanto el numerador con el denominador se amplifica o potencia tantas veces diga el exponente.

Ejemplo:


Potencias de exponente entero negativo y Base RacionalPotencias de exponente entero negativo y Base Racional


Potencias de exponente racional positivo y Base RacionalPotencias de exponente racional positivo y Base Racional

En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es racional es equivalente a decir la raíz del numero racional y se expresa de la siguiente forma.

Ejemplo:

““Algunas de esta potencias al resolverlas pueden dar Algunas de esta potencias al resolverlas pueden dar Números Irracionales”Números Irracionales”


Potencias de exponente racional negativo y Base RacionalPotencias de exponente racional negativo y Base Racional

En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es racional y negativo es equivalente a decir la raíz del numero racional con invertir las fracciones por su inverso multiplicativo y se expresa de la siguiente forma.

Ejemplo:

““Algunas de esta potencias al resolverlas pueden dar Algunas de esta potencias al resolverlas pueden dar Números Irracionales”Números Irracionales”

Potencias de exponente cero y Base RacionalPotencias de exponente cero y Base Racional

En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es cero es igual a 1.

Propiedades de Potencias dePropiedades de Potencias de Números Racionales ( )Números Racionales ( )

Ejemplo:

Potencias de exponente uno y Base RacionalPotencias de exponente uno y Base Racional

En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es uno es igual a la misma fracción.

Ejemplo:

Multiplicaciones de Potencias de igual Base Racional y Multiplicaciones de Potencias de igual Base Racional y distinto exponentedistinto exponente

En las multiplicaciones de potencia de Números Racionales ( ), se conserva la base y se suman los exponentes.


Ejemplo:

Multiplicaciones de Potencias de igual Exponente y distinta Multiplicaciones de Potencias de igual Exponente y distinta Base RacionalBase Racional

En las multiplicaciones de potencia de Números Racionales ( ), se conserva el exponente y se multiplican las bases.


Ejemplo:

División de Potencias de igual Base Racional y distinto División de Potencias de igual Base Racional y distinto ExponenteExponente

En las divisiones de potencia de Números Racionales ( ), se conserva la base radical y se restan los exponentes.


Ejemplo:

División de Potencias de igual Exponente y distinta Base División de Potencias de igual Exponente y distinta Base RadicalRadical

En las divisiones de potencia de Números Racionales ( ), se conserva el exponente y se dividen las bases radicales (se utiliza el inverso multiplicativo).


Ejemplo:

Potencia de PotenciasPotencia de Potencias

En las potencia de potencia de Números Racionales ( ), se conserva la base racional y se multiplican los exponentes..


Ejemplo:

ActividadActividad

I. Resuelve los siguientes ejercicios:

b).a). = 1

c). d).

e). f).

Los Números DecimalesLos Números Decimales

Un número decimal es un número escrito en un sistema de base 10 en que cada dígito, según su posición, señala la cantidad de unidades, decenas, miles, décimas, centésimas, milésimas, etc., que contiene. Con una coma se separa la parte entera de la parte no entera del número.

2’ ,0 : 4 = 0,5

Los números enteros son números decimales con Los números enteros son números decimales con ceros infinitos.ceros infinitos.

1° Tomaremos la primera cifra para dividirla, pero el dividendo es menor del divisor, por lo cual se le agrega un cero al cuociente y se acompaña con una coma, al realizar esto la coma decimal del dividendo se corre un espacio y con esto obtenemos un “cero” el cual podemos considerarlo como “entero” y se nos agrandan los enteros

2° Luego de hacer el proceso anterior podemos considerar las 2 cifras y dividirlas como si fueran enteros y este resultado se acompaña al cero y la coma decimal, si necesitáramos algún otro cero lo podemos correr por la primera coma decimal que escribimos.

20’, 0 : 4 = 0,5- 20 0//

Ejemplo:

4 ´4 ´, 0, 0 : 5 = : 5 = 0 0 ,, 88 40´40´, 0, 0- 40- 40 0 0 ////

Partes de un Número DecimalPartes de un Número Decimal

Parte enteraParte entera: Es todo número que se encuentra en la parte izquierda de la coma decimal

Coma DecimalComa Decimal: Es el signo el cual separa la parte entera de la cifra decimal.

Parte DecimalParte Decimal: Es el número que se encuentra en la parte derecha de la coma decimal.

Fracción Fracción Decimal Decimal EscrituraEscritura

1/101/10 0,10,1 Un decimoUn decimo

1/1001/100 0,010,01 Un centésimo Un centésimo

1/10001/1000 0,0010,001 Un milésimoUn milésimo

1/100001/10000 0,00010,0001 Un diezmilésimoUn diezmilésimo

1/1000001/100000 0,000010,00001 Un cienmilésimoUn cienmilésimo

1/10000001/1000000 0,0000010,000001 Un millonésimoUn millonésimo

Lectura de algunas Fracciones decimales y la Lectura de algunas Fracciones decimales y la lectura de los Números Decimales.lectura de los Números Decimales.

De las fracciones decimales se derivan los nombre de los decimales, esto se determina según su posición después de la coma decimal

Los números decimales se pueden clasificar en números decimales finitos e infinitos:

a) Números decimales finitos: Son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un número que se repita.

Ejemplos: 4,56 ; 0,0003 ; 2,9876 : 0,1 ; 3,42 , etc.

Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la división termine y se obtenga resto cero, la división es exacta y su resultado será un decimal finito.

Un decimal finito representa una fracción decimal.

Clasificación de Números DecimalesClasificación de Números Decimales

b) Números decimales infinitos: son aquellos números que no se acaban, es decir, hay uno o varios números que se repiten infinitamente.

Por ejemplo: 0,333333..... es infinito por que el 3 se repite indefinidamente.

Estos números son divisiones inexactas. No representan una fracción decimal.

Los decimales infinitos pueden ser: infinitos puros, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos.

Clasificación de Números DecimalesClasificación de Números Decimales

a) Número decimales infinitos periódicos: Son aquellos que tiene una o más cifras que se repiten sucesiva e infinitamente, formando el período. Se escribe en forma abreviada coronando al período con un pequeño trazo.

Ejemplo:

Clasificación de Números Decimales Clasificación de Números Decimales InfinitosInfinitos

b) Números decimales infinitos semiperiódicos: En estos decimales aparecen una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se llama ante-período (es un número que está entre la coma y la rayita).

Ejemplo:

Al conjunto de los números racionales sólo pertenecen los números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. Los decimales infinitos puros pertenecen al conjunto de los números irracionales, porque no pueden transformarse en fracción.

Ejemplo: El valor decimal de π

Clasificación de Números Decimales InfinitosClasificación de Números Decimales Infinitos

Transformación de un número decimal finito a fracciónTransformación de un número decimal finito a fracción

Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número y con esto el número se convierte a fracción decimal y, si se puede, se simplifica.

Se anota el número, en este caso 45. Se divide por 1.000, porque hay tres espacios decimales ocupados, luego simplificamos por 5

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Los pasos a seguir son los siguientes:

Primero para obtener el numerador se anota el número completo como si fuera un numero entero y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita).

Luego en el denominador se le coloca un 9 por cada número que está dentro del período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, así sucesivamente.). Si se puede simplificar, se simplifica a una fracción irreductible, o se transforma a un número mixto.

Transformación de un número decimal infinito periódicoTransformación de un número decimal infinito periódico en fracciónen fracción

Ejemplo:

Primero el numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el ante-período, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”.

Luego el denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el ante-período. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.

Transformación de un número decimal infinito semiperiódicoTransformación de un número decimal infinito semiperiódicoen fracciónen fracción

Ejemplo:


Adición y Sustracción de Números Racionales (decimales)Adición y Sustracción de Números Racionales (decimales)

Se suman o se restan los enteros con los enteros y los decimales con los decimales, conservando la posición de decimos, centésimos, milésimos, etc.


+


Multiplicación de Números Racionales (decimales)Multiplicación de Números Racionales (decimales)

Se multiplica como que no hubieran números decimales, solo se multiplica de normalmente, pero la diferencia radica que al resultado final se “le suman” todas las cifras decimales y se “le agregan” al resultado final colocando la coma decimal dependiendo de todos los espacios que exista entre los decimales.

48,54 x 3,45

24270 19416- +14562— 167,4630


División de Números Racionales (decimales)División de Números Racionales (decimales)

Existen 4 tipos de divisiones de decimales y son las siguientes:

División de dos números enteros con cuociente decimal:

Dependiendo de los signos se conserva el signo que predomine y se realiza la división de la siguiente manera:

4’ ,0 : 8 = 0,5

40’, 0 : 8 = 0,5- 20 0//

4 : 8 = 0,5

Primero consideramos que todo numero natural es un número decimal con infinitos ceros, los cuales no se escriben; luego de esto consideramos la parte entera del dividendo y realizamos la división, si el número entero es mayor que el divisor se realiza la división, cuando se llegue a un número el cual no se pueda dividir por el divisor se agregara la coma decimal y el número entero que estaba de resto se le agrega un cero y se continua la división hasta que el resto sea cero; y si el numero entero considerado es menor que el divisor se agrega un cero al cuociente y se le acompaña de una coma decimal, al realizar esto la coma decimal se mueve un espacio a la derecha y el número entero se “vuelve” mayor que el divisor y podemos realizar la división normalmente hasta que obtengamos un resto cero o la división sea infinita (periódica o semiperiódica).

Ejemplo:

Lo que se realiza es amplificar al número entero tantas veces como números decimales tenga el decimal con el cual estamos operando, así ambos términos se “transforman” en números enteros y se realiza la misma operación que en el caso anterior.

División de un número decimal por un numero entero



Así por ejemplo, si queremos dividir, lo que hacemos es dividir; estos números hay que amplificarlos por 100 por los dos números decimales que riene y luego operar con dichos números como si fueran enteros.

7,14 : 2 = 3,57

7,14 x 100 : 2,00 x 100=

714 : 200 = 3,57

Cuando dividimos un decimal por alguna potencia de 10 debemos desplazar la coma a la izquierda tantas veces como ceros tenga la potencia con la cual estemos trabajando.

División de números decimales por potencias de 10



Así por ejemplo, vemos que si dividimos, debemos desplazar dos veces hacia la izquierda la coma de éste, obteniendo:

Esto se aplica a todas las divisiones por potencias de 10, por lo que lo único que tenemos que hacer es contar los ceros que tenga el número por el cual se divide el decimal, y correr la coma a la izquierda tantos espacios como ceros tenga dicho número. Así, cuando dividimos por 10 sólo corremos 1 espacio, cuando lo hacemos por 100 corremos 2 espacios, cuando dividimos por 1.000 desplazamos 3 espacios la coma, y así sucesivamente.



Lo que se tiene que realizar primero al trabajar con la división consideramos a los números como enteros. Ahora bien, para dividir números decimales tenemos que preocuparnos de tener la misma cantidad de decimales tanto en el dividendo como en el divisor.

Por ejemplo, si tenemos que dividir 12,24: 0,08, y debido a que ambos números tienen la misma cantidad de decimales, lo que hacemos es realizar la división entre 1224 y 8, es decir, 1224:8= 153.

Sin embargo, cuando tenemos números que no tienen la misma cantidad de decimales, tenemos que amplificarlos hasta que ambas coincidan.

En el caso de que queramos dividir 10,8 y 0,12 lo que hacemos es agregar tantos ceros como decimales tenga el número con mayor cantidad de decimales. En este ejemplo, haríamos 10,80 y 0,12, para luego dividir 1080:12 = 90, y así con todos los decimales.

División entre dos números decimales

Documents

Los Numeros Racionales