Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
LOS SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA EN LA ENSEÑANZA DE
FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO EN LA INSTITUCIÓN
EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO
Jorge Iván Amaya Baena
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín, Colombia
2019
Los sistemas de representación semiótica en la enseñanza de funciones
polinómicas de segundo grado en la Institución Educativa Javiera Londoño
Jorge Iván Amaya Baena
Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
Diego Esteban Agudelo Suarez
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín, Colombia
2019
Resumen V
RESUMEN
Según los actuales planteamientos sobre la educación matemática, la enseñanza de las funciones
debe centrarse en el estudio de situaciones de variación donde se identifiquen los elementos que
varían, cómo lo hacen y de qué manera están relacionados, lo cual resulta más sencillo cuando
dichas situaciones están enmarcadas en un contexto específico y cercano para los estudiantes.
Por esto, en el presente trabajo se propone la realización de una secuencia didáctica conformada
por una serie de actividades que promueven el uso de diferentes registros de representación
semióticos (Duval, 1999), alrededor de una situación de cambio abordada con ayuda de material
concreto. Esto con el fin de analizar el concepto de función polinómica de segundo grado y
fortalecer su enseñanza en estudiantes de Noveno grado de la Institución Educativa Javiera
Londoño del municipio de Medellín. Tras el desarrollo de la secuencia se encuentra que el uso de
varios registros en una situación de variación contextualizada no sólo permite conocer las ideas
de función cuadrática que manejan las estudiantes, sino que además contribuye con la enseñanza
de su concepto.
Palabras clave: Registros de representación semióticos, situaciones de variación, función
polinómica de segundo grado, material concreto
Abstract VI
ABSTRACT
According to the current approaches to mathematical education, the instruction of functions is to
be centered on the study of situations of variability, where the variable elements can be
identified as to how and in which manner they are related, which in turn results to be less
challenging for learners when such situations are both contextually specific and close to them.
That being said, this work aims to provide a didactical teaching sequence composed of a series of
activities promoting the use of various semiotic representation registers (Duval, 1999), around
which, a situation of change is addressed with the help of specific material. This is done in order
to both analyze the concept of a second degree polynomial function and strengthen its command
in the ninth grade students from La Institución Educativa Javiera Londoño in the city of
Medellin. After having carried out the proposed didactic sequence, it was discovered that the use
of various registers in a contextually specific situation does not only allow to determine the
concept of a quadratic function held by learners but it also contributes to its instruction.
Keywords: semiotic representation registers, situations of variability, second degree polynomial
function, specific material
Tabla de contenido VII
TABLA DE CONTENIDO
Resumen .................................................................................................................................... V
Abstract ................................................................................................................................... VI
Tabla de contenido .................................................................................................................. VII
Lista de figuras......................................................................................................................... IX
Introducción ............................................................................................................................. XI
1. Capítulo I. Diseño teórico .................................................................................................. 14
1.1 Selección y delimitación del tema ............................................................................... 14
1.2 Planteamiento del problema ........................................................................................ 14
1.2.1 Descripción del problema ........................................................................................ 14
1.2.2 Formulación de la pregunta. .................................................................................... 18
1.3 Justificación ................................................................................................................... 19
1.4 Objetivos ........................................................................................................................ 21
1.4.1 Objetivo general .......................................................................................................... 21
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................... 21
1.5 Marco Referencial .......................................................................................................... 22
1.5.1 Referente Antecedentes. .......................................................................................... 22
1.5.2 Referente Teórico........................................................................................................ 25
1.5.3 Referente Conceptual-Disciplinar ................................................................................ 30
1.5.4 Marco legal ................................................................................................................. 37
1.5.5 Marco espacial ................................................................................................................. 38
2 CAPÍTULO II. DISEÑO METODOLÓGICO: INVESTIGACIÓN APLICADA................ 40
2.2 Enfoque .......................................................................................................................... 40
2.3 Método ....................................................................................................................... 41
Instrumentos de recolección de información y análisis de información................................... 42
2.4 Población y Muestra ....................................................................................................... 43
2.5 Delimitación y alcance ................................................................................................... 43
2.6 Cronograma .................................................................................................................... 44
Tabla de contenido VIII
2.7 Cronograma de actividades ......................................................................................... 46
3 Capítulo III. Sistematización de la intervención ................................................................. 47
3.1 Diseño de la secuencia didáctica ................................................................................. 47
3.2 Resultados y análisis de la intervención ....................................................................... 52
3.3 Conclusiones y Recomendaciones ............................................................................... 78
3.3.1 Conclusiones ........................................................................................................... 78
3.3.2 Recomendaciones ................................................................................................ 80
Referencias ............................................................................................................................... 82
A. Anexo: Pretest, actividad diagnostica .............................................................................. 84
B. Anexo: Guía número 1 ................................................................................................... 87
C. Anexo: Guía número 2 ................................................................................................... 90
D. Anexo: Guía número 3 ................................................................................................... 95
E. Anexo: Guía número 4 ....................................................................................................... 99
Lista de figuras IX
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.5.2-1 Mapa mental de la Teoría de Registros de Representación Semiótica .......... 27
Figura 1.5.2-2. Ejemplo de conversión entre el Registro de Representación Grafos y el
Registro de Representación Algebraico.................................................................................. 28
Figura 3-1 Plano de la caja en 2D ........................................................................................... 49
Figura 3.2-3-2 Ejercicio en registro de representación gráfico ............................................. 53
Figura 3.2-3-3 Ejercicio en registro de representación gráfico ............................................. 54
Figura 3.2-3-4 Ejercicio en registro de representación gráfico ............................................. 55
Figura 3.2-3-5 Ejercicio en registro de representación gráfico ............................................. 56
Figura 3-6 Ejercicio en registro de representación gráfico ................................................... 56
Figura 3-7Función en lenguaje natural y diagrama sagital ................................................... 57
Figura 3-8 Función en lenguaje natural y gráfico .................................................................. 57
Figura 3-9 Función en lenguaje natural y diagrama sagital .................................................. 58
Figura 3-10 Función en lenguaje natural y gráfico ................................................................ 58
Figura 3-11 Identificación de variables .................................................................................. 59
Figura 3-12 Identificación de variables .................................................................................. 60
Figura 3-13 Representación de situación mediante diagrama de barras .............................. 61
Figura 3-14 Análisis de la situación ........................................................................................ 67
Figura 3-15 Análisis de la situación ........................................................................................ 67
Figura 3-16 Análisis de la situación ........................................................................................ 67
Figura 3-17 Análisis de la situación ....................................................................................... 68
Figura 3-18 Representación gráfica ....................................................................................... 69
Figura 3-19 Representación gráfica ....................................................................................... 69
Lista de figuras X
Lista de tablas
Tabla 1.5.3-1 Ejemplo de objeto matemático representado en varios sistemas de
representación semióticos ....................................................................................................... 35
Tabla 1.5.4-1 Normograma ..................................................................................................... 37
Tabla 2.2-1 Fuentes primarias de información ...................................................................... 42
Tabla 2.6-1 Planificación de actividades ................................................................................ 44
Tabla 3.2-3-1 Rúbrica de evaluación de la actividad diagnóstica.......................................... 52
Tabla 3-2 Rúbrica de evaluación. Guía 1 ............................................................................... 62
Tabla 3-3 Rúbrica de evaluación. Guía 2 ............................................................................... 65
Tabla 3-4 Rúbrica de evaluación. Guía 3 ............................................................................... 70
Tabla 3-5 Rúbrica de evaluación. Guía 4 ............................................................................... 73
Introducción XI
INTRODUCCIÓN
“En la vida real, te lo aseguro, no hay algo como el álgebra”.
Fran Lebowitz
El mundo que nos rodea se caracteriza por estar en un constante cambio; el tiempo
avanza, la temperatura cambia, los objetos se desplazan. Existe una infinidad de variables que
interactúan y se relacionan unas con otras; algunas de estas relaciones son las denominadas
funciones, las cuales por definición son aquellas que relacionan dos conjuntos de elementos, en
donde el cambio en un primer conjunto de partida produce una única respuesta ubicada en un
conjunto de llegada. Esto hace que las relaciones tengan un carácter sistémico, el cual puede ser
estudiado y evaluado; es por esto que las Matemáticas cobran gran importancia, puesto que
aportan explicaciones a hechos y eventos además proporcionan predicciones de futuros
comportamientos de algo que está en constante movimiento.
¿Cómo hacen las Matemáticas para comunicar y explicar los comportamientos del mundo
real? Si bien la problemática de este trabajo no se basa en determinar si las Matemáticas son un
lenguaje o no y/o develar las reglas de formación y comunicación que existen dentro de éstas, se
puede afirmar que las formas de representar y comunicar los objetos propios de las Matemáticas
son cuando menos peculiares y particulares, diferentes a cualquier tipo lenguaje utilizado por los
seres humanos para comunicar ideas. En Matemáticas se cuenta con unas reglas de formación
que combinan signos y operadores especiales propios del área, existiendo tal variedad que se
puede comunicar la misma idea u objeto matemático utilizando reglas y signos totalmente
diferentes. Por ejemplo, si se quiere mostrar el comportamiento del cambio en la relación
Introducción XII
funcional de las distancias recorridas por un auto con referencia al tiempo que lleva en marcha,
se puede hacer por medio de la tabulación de diferentes datos o también por medio de una
gráfica cartesiana.
Cada forma que tienen las Matemáticas para expresar los objetos propios del área son
llamados registros de representación semiótica, término acuñado por el francés Raymond Duval
(1999) quien se asume como referente principal para el presente trabajo. El objetivo planteado es
pensar la enseñanza a partir de situaciones de variación en las cuales se presentan las diferentes
representaciones semióticas del concepto de las funciones polinómicas de segundo grado en la
Institución Educativa Javiera Londoño, posibilitando un inicio hacia la reconfiguración de las
formas, métodos y maneras de enseñanza, con el fin que la institución se empiece a asentar con
mayor fuerza hacia la generación de conocimiento por competencias, aplicados en el contexto
cercano al estudiante.
Para ello se plantea una secuencia didáctica dividida en tres momentos: En primer lugar
se realiza un diagnóstico de las debilidades y fortalezas que tienen los estudiantes, vislumbrando
de este modo un panorama claro de los saberes previos que tienen y que sirvieron como bases
iniciales para proponer las situaciones con las que se trabajó. El diagnóstico de los saberes de los
estudiantes posibilitó mirar en el espejo, reflejar y reflexionar sobre nuestro quehacer docente en
el aula, dando así los primeros pasos para que el presente trabajo tuviese un buen impacto, al
obtener resultados más relevantes que contribuyen con la mejora de la calidad en la educación.
Posteriormente se implementó una secuencia didáctica desarrollada a través de 4 guías de
trabajo, las cuales permitieron que los estudiantes se acercaran al objeto de conocimiento de
manera continua y progresiva, dándole un sentido y una aplicación útil para que los estudiantes
Introducción XIII
se aproximen al objeto de conocimiento desde una perspectiva dinámica, que es asequible y
comprensible para ellos. Esto además de brindar la posibilidad de crear diferentes registros de
representación, en donde se realizan transformaciones entre estos con el fin de clarificar el objeto
matemático estudiado.
Finalmente se realizó el análisis y la retroalimentación del trabajo realizado en clase, a través
de unas rúbricas de evaluación, cada una constituida por 4 criterios de observación y tres niveles
de desempeño: “Cumple”, “Cumple parcialmente” y “No cumple”.
Capítulo I. Diseño teórico 14
1. CAPÍTULO I. DISEÑO TEÓRICO
1.1 Selección y delimitación del tema
Implementación de registros de representación semiótica para el análisis del concepto de
función polinómica de segundo grado en estudiantes de Noveno grado de la Institución
Educativa Javiera Londoño del municipio de Medellín, por medio de una situación de cambio
abordada con ayuda de material concreto.
1.2 Planteamiento del problema
1.2.1 Descripción del problema
Es claro que el concepto de función guarda principal trascendencia dentro del campo
conceptual de las Matemáticas, debido a que alrededor de él se sitúan múltiples objetos
matemáticos y se desarrolla una amplia gama de habilidades de pensamiento.
Lamentablemente son muchas las dificultades que comúnmente se observan a nivel del
aprendizaje de las funciones, las cuales en parte responden a las metodologías que
tradicionalmente son empleadas para su enseñanza y que privilegian el uso de expresiones
simbólicas abstractas y descontextualizadas.
Al respecto, Azcárate (1992-1996), Sierpinska (1985-1988) & Ruiz (1998) citados por
(Diaz, Belmar, & Poblete, 2018), expresan:
Capítulo I. Diseño teórico 15
Tradicionalmente en la escuela los maestros centran su interés en mostrar el aspecto
algebraico del concepto dejando de lado en muchas ocasiones un análisis profundo y
detallado sobre los elementos propios que permitan consolidar un concepto con suficiente
significado para ser aprendido convenientemente. Consecuencia de esto es que los
estudiantes en muchos casos terminan teniendo la posibilidad de repetir rutinas sobre objetos
algebraicos que poco sentido tienen para ellos. (p.1205)
Los docentes privilegian metodologías que le exijan al estudiante memorizar un
conglomerado de reglas y fórmulas que conforman un algoritmo con aplicación en situaciones
ideales que resultan desprovistas de significado para ellos. Con respecto a esto, Trigueros citado
por Betancur (2019), “explica que incluso en niveles universitarios la enseñanza de las
matemáticas se desarrolla de manera tradicional, haciendo énfasis en el uso de definiciones y
teoremas, situación a la que no escapa el concepto de función” (p 12).
El énfasis del carácter simbólico de la enseñanza de las funciones que se ha dado
tradicionalmente, repercute en un desconocimiento del mundo de significados que hay detrás de
las mismas, por lo que es común encontrar estudiantes que preguntan “¿Esto para qué sirve?”,
“¿Qué sentido tiene estudiar funciones?”, esto es debido a que no se da un contexto y prima la
ejercitación, proponiendo ejercicios como por ejemplo “Determine el dominio y el rango además
de la gráfica para la siguiente función 𝑓(𝑥) = 5𝑥2”.
Esto repercute en el hecho que los estudiantes no alcancen una comprensión significativa de
lo que implica una función y no encuentren su relación con situaciones cotidianas o fenómenos
propios del mundo real, marcados por la variación y el cambio, como es el caso de múltiples
Capítulo I. Diseño teórico 16
fenómenos físicos, problemas de predicción de costos y ganancias, optimización de terrenos,
entre otros.
Con respecto a esto, los Lineamientos curriculares de Matemáticas provistos por el MEN
(1998) afirman:
El estudio de las funciones en la educación básica secundaria tiene más sentido si se
hace a partir de la modelación de situaciones de cambio, como se propuso en la Renovación
Curricular. Es importante que los alumnos se sensibilicen ante los patrones que se
encuentran a diario en diversas situaciones, a describirlos y a elaborar modelos matemáticos
de esos patrones y a establecer relaciones. Si el estudio del álgebra se hace partiendo de
expresiones simbólicas, como se ha hecho tradicionalmente, se está privando al alumno de la
experiencia de modelación para llegar a esos sistemas simbólicos. (p 102)
Lo anterior reafirma que la enseñanza de las funciones debe abordarse a partir del estudio de
situaciones de variación que sean cercanas al estudiante y posibiliten la construcción de sentidos
alrededor de ellas. Por lo anterior y con el fin de iniciar un avance con miras a dotar de sentido la
enseñanza de las funciones, para el presente trabajo se elige como objeto de estudio las funciones
polinómicas de segundo grado, ya que:
• Este tipo de función tiene profunda importancia dentro de las Matemáticas.
• No cuenta con un acervo de antecedentes en su estudio como sí lo hace la función
lineal.
• Aparece en diversidad de contextos (el presente trabajo expone una situación en
donde se analiza la relación funcional existente entre los lados y el área de un
rectángulo).
Capítulo I. Diseño teórico 17
Dicha construcción de sentidos se ve potenciada cuando el acercamiento a las funciones
de segundo grado es considerada desde diferentes formas de representación de dicho objeto, con
el fin de interpretarlo no sólo desde su componente algebraico como usualmente sucede, sino
también a partir de otros tipos de representación, como por ejemplo el tabular o el verbal.
Con lo anterior se hace referencia a lo que Duval denomina representaciones semióticas y
que de manera somera consiste en los signos, imágenes o símbolos que evocan un objeto
matemático, particularmente para este trabajo las funciones polinómicas de segundo grado. Estas
representaciones son herramientas que permiten pensar a las funciones polinómicas de segundo
grado, comprenderlas y comunicarlas a través de las ideas que alrededor suyo construye el
individuo.
Duval explica que para los objetos matemáticos existen diferentes representaciones
semióticas como el lenguaje natural, la representación algebraica, tabular, gráfica e icónica; las
cuales en conjunto configuran el concepto relacionado a un objeto matemático. De ahí la
importancia de considerar diversas representaciones semióticas en el estudio de un objeto, pues
limitarse a una sola representación imposibilita su comprensión.
De este modo, se propone analizar cómo la variedad de representaciones semióticas en el
tratamiento de situaciones cotidianas marcadas por la variación y el cambio, contribuyen con la
enseñanza de funciones polinómicas de segundo grado en estudiantes de Noveno de la
Institución Educativa Javiera Londoño de Medellín.
Capítulo I. Diseño teórico 18
1.2.2 Formulación de la pregunta.
¿Cómo los registros de representación semiótica contribuyen con la enseñanza de las
funciones polinómicas de segundo grado?
Justificación 19
1.3 JUSTIFICACIÓN
El presente trabajo es un esfuerzo por analizar el concepto de función polinómica de segundo
grado de los estudiantes, basándose en la implementación de diferentes tipos de registros de
representación semiótica como son el lenguaje natural, pictórico, tabular, gráfico y algebraico,
con el fin de contribuir a la enseñanza con sentido de dicho objeto matemático, ya que el uso de
múltiples registros de representación en el estudio de un eje conceptual facilita su enseñanza y
aprendizaje, tal y como lo propone Duval (1999).
Esta perspectiva de enseñanza permite mitigar el constante reclamo de los estudiantes acerca
del sin sentido que representan para ellos las Matemáticas, ya que en muchas ocasiones éstas se
presentan en las aulas de manera descontextualizada y sin significado práctico. Para esto se
propone una situación de variación y cambio que puede ser representada con material concreto,
facilitando que sea dotada de significado y éste sea expresado a través de diferentes registros de
representación.
Con referencia a lo anterior, el MEN (2003) en los Estándares Básicos por Competencias
afirma que:
(…) Este tipo de pensamiento (variacional y los sistemas algebraicos y analíticos)
tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización
de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción,
modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean
verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. (p. 66)
Justificación 20
La implementación de diferentes registros de representación cobra importancia debido a que
“los diferentes tipos de representación son irreductibles entre sí” (Duval,1999, p.11), por lo cual
cada registro además de cumplir su función comunicativa, dota de un significado particular al
objeto matemático, repercutiendo en un enriquecimiento del nivel de abstracción y comprensión
de los estudiantes ya que los registros de representación que como fichas de un rompecabezas
por separado no develan el significado, pero a medida que van encajando las unas con las otras
se forma un todo que dejar ver el objeto matemático.
Las conversiones entre un registro de representación semiótico y otro no se presentan de
manera espontánea en el estudio de los objetos matemáticos, a pesar de jugar un papel esencial
en el andamiaje operacional de tal objeto, ya que permite realizar conexiones entre los saberes
previos de los estudiantes y los nuevos. Por esto, es meritorio apostarle no solamente a las
diferentes representaciones, sino también al estudio de situaciones que posibiliten las
transformaciones entre sistemas de representación semióticos.
Objetivos 21
1.4 OBJETIVOS
1.4.1 OBJETIVO GENERAL
Analizar la contribución de los registros de representación semiótica a la enseñanza de las
funciones polinómicas de segundo grado en estudiantes de Noveno grado de la Institución
Educativa Javiera Londoño.
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Realizar un diagnóstico a través de un pretest a los estudiantes del grado Noveno de la
Institución Educativa Javiera Londoño, determinando los conocimientos previos para el
desarrollo de las funciones polinómicas de segundo grado.
• Diseñar una secuencia didáctica que utilice las representaciones semióticas de las
funciones polinómicas de segundo grado.
• Intervenir la enseñanza de las funciones polinómicas de segundo grado en el grado
Noveno a través de la secuencia didáctica.
• Evaluar el impacto de la secuencia didáctica a través de la observación de las
conversiones que realizan los estudiantes entre los diferentes registros de representación
semióticos de las funciones polinómicas de segundo grado.
Marco Referencial 22
1.5 MARCO REFERENCIAL
1.5.1 Referente Antecedentes.
A nivel internacional se toma como referente el artículo de revista titulado “Objetos,
significados, representaciones semióticas y sentido”, Bruno D`Amore (2006), donde el autor
aborda las consecuencias que se dan cuando se realizan transformaciones semióticas, tanto de
tratamientos como de conversiones, en lo concerniente a los sentidos que los estudiantes asignan
a un objeto matemático. Para ello aborda varios ejemplos y a la luz de la Teoría de las
Representaciones desarrollada por Raymond Duval, analiza cómo se pueden alcanzar diferentes
sentidos para un mismo objeto matemático.
A nivel nacional y en relación con el estudio de la enseñanza basada en las
representaciones semióticas, en su Tesis Doctoral “Articulación de saberes matemáticos:
representaciones semióticas y sentidos”, Rojas Garzón (2014) realiza un análisis de las
dificultades que los estudiantes encuentran a la hora de articular los sentidos asignados a un
mismo objeto matemático desde diversas representaciones semióticas, asociado a la práctica de
transformaciones entre representaciones tipificadas como tratamientos o conversiones. La
investigación realizada muestra que estudiantes e incluso docentes, no vinculan las
representaciones de un mismo objeto y en muchas ocasiones los sentidos que atribuyen a un
objeto matemático desde otra representación son contradictorios.
Centrando la atención en los trabajos realizados sobre las representaciones y el
pensamiento variacional, específicamente en referencia al tema de las funciones, se retoma la
Tesis de Maestría de la Universidad de Antioquia titulada “Propuesta didáctica de aproximación
al concepto de función lineal desde una perspectiva variacional”, Posada y Villa (2006), donde
Marco Referencial 23
se muestra el diseño de una propuesta didáctica para la enseñanza del concepto de función lineal,
basada en el concepto de variación, el proceso de modelación matemática y los registros
semióticos de representación.
Desde la Universidad Pedagógica Nacional se encuentra la Tesis de Maestría
“Caracterización de tratamientos y conversiones: el caso de la función afín en el marco de las
aplicaciones”, Gutiérrez Otálora & Parada Landazábal (2007) donde se describen las
características principales de las transformaciones hechas por estudiantes de la Escuela
Colombiana de Ingeniería, concluyendo como hallazgo principal que aunque dichos estudiantes
poseen variadas representaciones de algunos objetos matemáticos, muestran un bajo nivel en la
articulación entre registros.
Por último y en relación más directa con la temática del presente proyecto, cabe
considerar las Tesis de Maestría de la Universidad de Manizales denominadas “Tratamiento de
las representaciones semióticas de la función cuadrática”, González (2011) y “Las actividades
cognitivas de tratamiento y conversión de las representaciones semióticas en la resolución de
problemas contextuales relacionados con el concepto de función cuadrática”, Escobar (2016);
ambas propuestas se desarrollan alrededor de las representaciones semióticas y las funciones
polinómicas de segundo grado. De estos trabajos se resalta:
• Una de las dificultades principales del estudiantado es la comprensión del registro
verbal de los problemas.
• Según González (2011) “La coordinación adecuada y la congruencia entre
diversos sistemas de representación de un mismo objeto no son espontaneas y se
necesitan estrategias para concientizar al estudiante de este proceso” (p 34).
Marco Referencial 24
• A los estudiantes se les dificultad el reconocimiento del mismo objeto matemático
en diferentes registros de representación.
• Tal y como lo plantea Escobar (2016), “La movilidad y tratamiento entre las
representaciones semióticas de la función cuadrática son útiles al momento de
resolver problemas en contexto que requieran el planteamiento de alguno de sus
registros de representación” (p. 2).
Puede observarse que en los referentes retomados ya se han hecho análisis de cómo las
transformaciones -ya sean tratamientos o conversiones- aportan a la construcción de sentidos y
significados de los objetos matemáticos, así como a la identificación de las dificultades típicas y
su posible solución. El presente trabajo busca aprovechar los registros de representación
semióticos, tomando como objeto de conocimiento las funciones polinómicas de segundo grado,
para lo cual se utiliza como medio una situación de variación que los estudiantes construyen y
representan a través de material concreto. Luego se analizan las diferentes representaciones
construidas por los estudiantes desde la actividad planteada, para posteriormente abstraer las
construcciones particulares relacionadas con la situación y pasar a una generalización,
incluyendo dominios no representables en la vida cotidiana como es una distancia negativa.
Referente Teórico 25
1.5.2 REFERENTE TEÓRICO
El referente teórico de este trabajo apunta a dos componentes fundamentales. El primero
refiere al desarrollo de la teoría de las representaciones semióticas cuyo exponente principal es el
Doctor Raymond Duval y que permite direccionar el modo como se comunican los objetos
matemáticos abordados, además de evidenciar el aprendizaje del estudiante. El segundo tiene que
ver con el concepto de secuencia didáctica como mecanismo por medio del cual se diseña y
ejecuta la propuesta de intervención para los estudiantes.
Con respecto al primero de los componentes, las representaciones semióticas, es
necesario comenzar explicando que la comunicación guarda un papel fundamental en el acto de
enseñar, tal y como lo afirma El Ministerio de Educación Nacional (1998) en su texto
Lineamientos Curriculares de Matemáticas, al enunciar que “la comunicación es la esencia de la
enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de las matemáticas” (p. 75), por lo cual analizar la
forma en que se representan las ideas y son expresadas entre las personas puede contribuir a
tener una mejor comprensión del acto educativo.
A propósito de la comunicación cabe mencionar el término Representación, el cual puede
entenderse como el símbolo, la imagen o el signo que evoca determinado objeto o concepto,
según Raymond Duval (1999). La representación tiene tres polos: el objeto, que es la idea que se
pretende representar; el contenido, es decir lo que se representa; y la forma, que refiere al
registro semiótico en el cual se presenta.
Aparece en el escenario el concepto de Registro de Representación Semiótica, que según
Duval consiste en las reglas de formación que permiten combinar signos que evocan
Referente Teórico 26
determinados conceptos, siendo denominados estos signos como Tipos de Representaciones
Semióticas. La combinación de signos forma asociaciones que tienen un sentido definido.
Debido a la naturaleza abstracta de los objetos matemáticos, resulta imposible acceder a ellos de
manera tangible y observable; su representación se limita entonces a diferentes Tipos de
Representaciones Semióticas que se inscriben en una amplia variedad de Registros de
Representación Semiótica.
Es necesario aclarar que ningún Tipo de Representación Semiótica logra representar
fielmente los objetos y más bien es el conjunto de todos ellos el que ayuda a la comprensión de
dichos objetos, por lo cual se puede deducir que entre más representaciones semióticas realice un
sujeto de un objeto matemático, más cerca está de su conceptualización. Con respecto a esto
Duval (1999) afirma
(…) Las posibilidades de las transformaciones de las representaciones producidas
son tan esenciales como cada una de las representaciones que se puedan producir. La
actividad intelectual consiste esencialmente en la transformación de las representaciones
semióticas en la perspectiva de elaborar nuevas representaciones. Todo progreso de
conocimientos en matemáticas pasa por este trabajo de transformación. (p. 44)
Debe resaltarse que además de su funcionalidad comunicativa, los Registros de
Representación Semiótica posibilitan el tratamiento de los objetos matemáticos y su
comprensión; los registros se complementan entre ellos y cada uno deja ver en diferentes grados
de profundidad una parte del objeto. Es por esto que las actividades que se planteen en un
proceso de enseñanza aprendizaje deben permitir que los objetos matemáticos puedan expresarse
desde diferentes Registros de Representación Semiótica.
Referente Teórico 27
Es imprescindible mencionar que en general el paso de un Registro de Representación a
otro resulta complejo y difícil para los individuos; no es un proceso que se presenta de manera
natural, por lo cual se debe proponer a los estudiantes situaciones que propicien el uso de
diferentes formas de representar un mismo objeto matemático. El paso de un Registro de
Representación a otro es denominado Transformación y según Duval existen dos tipos que se
dan en el proceso de comunicar, estudiar y enseñar los registros de representación: el
Tratamiento que refiere a las transformaciones que se realizan internamente desde un mismo
registro de representación, y las Conversiones, que son las transformaciones que se hacen de un
registro de representación a otro.
Ahora bien, en la Figura 1.5.2-1, se muestra cómo en el presente proyecto se pretende
abordar las funciones polinómicas de segundo grado (objeto matemático), para lo cual es
pertinente utilizar los siguientes Registros de Representación Semiótica: lenguaje natural escrito
y oral, sistema de escritura algebraico, figuras geométricas planas (que para efectos de este
trabajo llamaremos lenguaje icónico), tabular, y grafos de planos cartesianos.
Figura 1.5.2-1 Mapa mental de la Teoría de Registros de Representación Semiótica
Referente Teórico 28
Fuente: Elaboración del autor
Las actividades que se proponen en este trabajo son situaciones de variación que pueden
ser modeladas por funciones polinómicas de segundo grado. Estas actividades deben partir desde
un Registro de Representación que sea entendible desde los conocimientos previos de los
estudiantes, a través del lenguaje natural y/o icónico, para luego adentrar a los estudiantes en
registros más refinados y especializados como son el sistema de escritura algebraico, el tabular y
el gráfico.
El nodo central de las actividades propuestas no sólo consiste en representar una situación
de variación en los diferentes Registros de Representación, sino lograr las transformaciones entre
los Registros de Representación Semiótica, realizando tratamientos en las registros
algoritmizables como es el sistema de escritura algebraico y conversiones entre todos los
registros, como por ejemplo pasar de un registro de grafos de planos cartesianos al sistema de
escritura algebraico como se visualiza en la Figura 1.5.2-2.
Figura 1.5.2-2. Ejemplo de conversión entre el Registro de Representación Grafos y el Registro de Representación Algebraico.
Fuente: elaboración del autor
Finalmente y en coherencia con los elementos presentados hasta el momento, el presente
trabajo pretende diversificar las formas de Representaciones Semióticas de las funciones
Referente Teórico 29
polinómicas de segundo grado, apuntando a dos vías; primero comunicar de manera efectiva y
entendible el objeto matemático, sin caer en el error de confundir su representación con el objeto
representado; y segundo, generar conexiones y/o relaciones entre los diferentes registros de
representación y sus respectivos Tipos de Representación Semiótica. Esto con el fin de aportar a
la comprensión de las funciones polinómicas (en este caso, de segundo grado), que constituyen
un eje relevante dentro de las Matemáticas ya que sirven como entrada para el estudio del
cálculo.
Respecto al segundo componente del referente teórico, se retoma lo expresado por y
tomando como referencia los aportes de Díaz Barriga (2013), se entiende una secuencia didáctica
como una organización de las actividades de aprendizaje que se realizan con los alumnos y para
los alumnos con la finalidad de crear situaciones que les permitan desarrollar un aprendizaje
significativo. Así, la secuencia didáctica consiste en la organización de una serie de actividades
que se realizan en el marco de la enseñanza y el aprendizaje, tomando como punto de partida los
saberes previos de los estudiantes y vinculando éstos a una situación problemática,
contextualizada y cercana a ellos; para así motivar el trabajo y buscar la movilización del
conocimiento.
Ahora bien, la estructura de una secuencia didáctica puede variar dependiendo de los
intereses que con ella se persigan. Sin embargo, en relación con los planteamientos de Díaz
Barriga (2013), es necesario considerar los siguientes aspectos:
• Partir de los conocimientos previos del estudiantado y tomarlos como insumo para la
realización de las primeras actividades.
Referente Conceptual-Disciplinar 30
• Articular elementos de la realidad en el proceso de enseñanza aprendizaje, que permitan
dar sentido y significado a los objetos matemáticos a trabajar.
• Las actividades planteadas deben servir en doble sentido; una como forma de expresión y
comunicación de los objetos matemáticos tratados, otra como forma de evidenciar el
aprendizaje que aportan a la evaluación sumativa final.
Y en específico para el presente trabajo, es fundamental que una secuencia didáctica
cumpla permitir diferentes tipos de representaciones semióticas del objeto matemático a trabajar,
además de posibilitar y procurar conversiones entre tales representaciones.
El Doctor en Pedagogía Ángel Diaz Barriga establece además dos líneas en las cuales
organizar una secuencia didáctica. Para esta propuesta se eligió la línea que divide la secuencia
en tres momentos: Apertura, donde se define una variedad de actividades que motiven a la
participación activa del estudiante; Desarrollo, en el cual se procura reacomodar los saberes
previos con los cuales cuenta el estudiante y llevarlo hacia un nuevo conocimiento; y por último,
el momento de Cierre, que busca una integración de las actividades realizadas durante el proceso.
La secuencia didáctica aquí asumida está movilizada a través de guías de trabajo, cada
una con una duración aproximada de 2 horas de desarrollo y que cumplen con los descriptores
antes mencionados sobre la idea de secuencia didáctica.
1.5.3 REFERENTE CONCEPTUAL-DISCIPLINAR
Desde los Estándares Curriculares de Matemáticas (2003) se plantea que “ […] el cálculo
algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en
Referente Conceptual-Disciplinar 31
situaciones de variación de los valores de las mediciones de cantidades relacionadas
funcionalmente” (pág. 68). Así pues, es claro que el estudio de las funciones en términos
generales constituye uno de los componentes fundamentales al interior de las Matemáticas, pues
sirve como punto de conexión entre las Matemáticas básicas y las de carácter superior, al
posicionarse como eslabón entre la proporcionalidad directa (que emerge de la multiplicación) y
el cálculo diferencial.
Bien se sabe que la multiplicación es uno de los componentes primordiales de las
Matemáticas, ya que sirve como herramienta para la construcción de gran cantidad de conceptos
y procesos. Inicialmente la multiplicación es pensada en términos de sumas abreviadas, lo cual es
válido pero insuficiente para comprender la magnitud de este objeto matemático, por lo que se
hace necesario abordarla en una perspectiva de proporcionalidad directa.
Este hecho pone en el escenario la idea de relación entre dos cantidades (como por
ejemplo unidades de un producto y precio por unidad) que varían de manera correlacionada; esto
es, al aumentar o disminuir una de las cantidades, la otra también lo hace.
Dicha idea de variabilidad posibilita el tratamiento de fenómenos de cambio propios del
entorno cercano a los estudiantes. Existen muchas situaciones de variación que cotidianamente
los estudiantes enfrentan, como por ejemplo la relación gastos semanales y dinero obtenido o
proporcionado, fuerza proporcionada al lanzamiento de un balón y distancia recorrida, tiempo
hablando por el celular y dinero gastado, lo mismo que tiempo navegando en internet y el gasto
en megas bites de datos, entre otros, en general es cualquier situación donde una variable
dependa de otra.
Referente Conceptual-Disciplinar 32
Estas situaciones también guardan relación con campos del conocimiento como la física,
la economía, la agricultura, entre otros. Así pues, el estudio de las funciones desde una
perspectiva dinámica que tome como eje de conceptualización la noción de cambio y
movimiento, permite desarrollar procesos de enseñanza aprendizaje resaltando las Matemáticas
del entorno y su interdisciplinariedad con otras áreas del saber.
Ahora bien, en particular las funciones polinómicas de segundo grado son la excusa para
el tratamiento de situaciones relacionadas con problemas de cálculo de áreas, las cuales además
de encontrarse fácilmente en el entorno, son el puente de contacto entre el pensamiento
numérico, el espacial, el variacional y el métrico; es decir, este tipo de funciones promueve no
sólo la relación entre los sistemas que operan al interior de las Matemáticas, sino también entre
el área y otras disciplinas; esto es interdisciplinariedad e interdisciplinariedad respectivamente.
Se podría concluir que el estudio de las funciones polinómicas de segundo grado apunta a
cuatro focos fundamentales. En primer lugar, el acercamiento a las funciones desde una
perspectiva de tratamiento de situaciones de cambio que fortalece el desarrollo de múltiples
habilidades de pensamiento como la observación, la reflexión, la argumentación, entre otros; esto
implica pensar la función no como objetivo temático a abordar sino como proceso de aprendizaje
que sirve como puente para el desarrollo de esas habilidades de pensamiento.
En segundo lugar y en relación directa con el propósito del presente trabajo, el abordaje
de las funciones hace énfasis en el uso de diversos registros de representación como el lenguaje
natural, el icónico, el tabular, el gráfico y el algebraico.
Referente Conceptual-Disciplinar 33
En tercer lugar, se ubica el hecho de que las funciones son un eje transversal a los cinco
pensamientos matemáticos (Numérico, Espacial, Variacional, Aleatorio y Métrico), evidenciando
así la integralidad de las Matemáticas.
En último lugar es necesario mencionar que las situaciones de cambio que sirven como
excusa para el estudio de las funciones corresponden a diversos campos de conocimiento como
la economía, la física, la biología y otros, haciendo así evidente la gran posibilidad de
transversalidad que las Matemáticas guardan con otros saberes.
Estos focos hacen que la enseñanza a nivel escolar de las funciones polinómicas de
segundo grado cobre relevancia, cuya enseñanza requiere que los estudiantes posean varios
conceptos por lo menos de manera intuitiva. Dichos conceptos se precisan a continuación:
La variable, entendida para Leithold (1992) como “(…) símbolo que se emplea para
representar cualquier elemento de un conjunto dado.” (p. 3). Para efectos del presente trabajo se
toma la variable en el sentido de que establece una relación funcional, en donde varía su valor
dependiendo de la situación específica.
Con respecto a la representación semiótica gráfica, se consideran los siguientes
elementos: par ordenado, definido por Leithold (1992) como “Dos números reales cualesquiera
forman un par (o pareja), y cuando el orden del par tiene importancia, se le llama <<par
ordenado>>, además, <<cada pareja ordenada>> (𝑥, 𝑦) se denomina punto del plano” (p. 16).
El concepto de plano cartesiano, cuyo precursor fue el matemático filósofo francés René
Descartes, y cuya definición presentada en el libro de Leithold sostiene que “Se escoge una
recta horizontal en el plano geométrico y se le denomina eje x. se elige una recta vertical y se le
Referente Conceptual-Disciplinar 34
llama eje y. El punto de intersección del x y el eje y recibe el nombre de origen y se denota por la
letra O” (p. 24).
Estos elementos posibilitan que al darle valores a la variable y ubicarlos en un plano
cartesiano se logre una conversión entre registros de representación semióticas, debido a que se
pasa de un registro representación algebraico a uno gráfico.
El concepto de función, Hernández (2014), citando a Dirichlet, también tiene relevancia
y es definido como:
Si una variable y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre
que se atribuya un valor numérico a x hay una regla según la cual queda determinado un
único valor de y, entonces se dice que y es una función de la variable independiente. (pág.
21)
Este concepto se toma como base para el inicio de las funciones polinómicas de segundo
grado.
Hasta acá se han definido los conceptos previos, a continuación, se pasa a definir los
conceptos que se espera que los estudiantes alcancen en el transcurso de la intervención.
Una ecuación polinómica se puede entender según Avirama & Gustín (2014) como una
ecuación de la forma 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ . . +𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0 donde 𝑛 es un número
natural y 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 … 𝑎𝑛 son números reales. Una ecuación polinómica de segundo grado es
aquella que tiene como mayor exponente el número 2, y es de la forma 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 = 0 y
que para efectos prácticos y de uso común se nombra 𝑎0 como 𝑐, 𝑎1 como b y 𝑎2 es 𝑎. De esta
forma se obtiene que una ecuación polinómica de segundo grado se representa como:
Referente Conceptual-Disciplinar 35
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
De lo que se infiere que una función polinómica de segundo grado es aquella que tiene la
forma:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Donde 𝑓(𝑥) es una variable denominada dependiente y 𝑥 es una variable denominada
independiente.
Todos estos conceptos conforman el referente conceptual en el cual se fundamenta la
presente propuesta de enseñanza sobre las funciones polinómicas de segundo grado.
En la Tabla 1.5.3-1 se presenta un ejemplo donde se observa qué es lo que se espera que
los estudiantes logren con cada uno de los registros de representación semióticos.
Tabla 1.5.3-1Ejemplo de objeto matemático representado en varios sistemas de representación semióticos
Tipo de registro Ejemplo concreto
Lenguaje natural Se cuenta con 24 metros de alambre para encerrar un terreno rectangular.
Analice cómo varía el área del rectángulo en función del cambio de uno
de los lados del rectángulo.
En el problema se observan dos variables; la independiente, que es uno de
los lados del rectángulo que se puede nombrar como x, la otra variable es
el área del rectángulo que se nombra como variable a.
El perímetro de la variable es 24 metros, por lo que el otro lado del
rectángulo es 12 menos x, y el área del rectángulo es la multiplicación de
los dos lados, lo cual sería x multiplicado 12 menos x
Referente Conceptual-Disciplinar 36
Icónico
Tabular Lado 1 x 2 4 6 8 10
área a 20 32 36 32 20
Gráfico
Algebraico 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 24 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑆𝑒𝑎 𝑥 𝑙𝑎𝑑𝑜 1 𝑆𝑒𝑎 𝑦 𝑙𝑎𝑑𝑜 2
𝑆𝑒𝑎 𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 24 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦
24 = 2𝑥 + 2𝑦 24 − 2 = 2𝑦
𝑦 =24 − 2
2
𝑦 = 12 − 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∗ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∗ (12 − 𝑥)
𝑎 = −𝑥2 + 12𝑥
Marco legal 37
1.5.4 MARCO LEGAL
Tabla 1.5.4-1Normograma
LEY TEXTO DE LA NORMA CONTEXTO DE LA
NORMA
Lineamientos
Curriculares de
Matemáticas
“Entre los diferentes sistemas de
representación asociados a la
variación se encuentran los
enunciados verbales, las
representaciones tabulares, las
gráficas de tipo cartesiano o sagital,
las representaciones pictóricas e
icónicas, la instruccional
(programación), la mecánica
(molinos), las fórmulas y las
expresiones analíticas”.
Norma proporcionada por el
Ministerio de Educación
Nacional como orientación
para los docentes de la
República de Colombia,
donde se dictamina que en las
instituciones educativas se
debe proporcionar como
concepto básico las funciones
a partir de situaciones de
variación.
Estándares Básicos
de Competencias
“Analizo en representaciones
gráficas cartesianas los
comportamientos de cambio de
funciones específicas pertenecientes
a familias de funciones polinómicas”.
Documento proporcionado
por el Ministerio de
Educación Nacional en el
cual se determina que las
funciones hacen parte de las
competencias mínimas que se
deben brindar en el ciclo de
8° a 9°.
1.5.5 Marco espacial 38
Derechos Básicos
de Aprendizaje
Versión 2
“Resuelve problemas mediante el uso
de las propiedades de las funciones y
usa representaciones tabulares,
gráficas y algebraicas para estudiar la
variación, la tendencia numérica y las
razones de cambio entre
magnitudes”.
Documento proporcionado
por Ministerio de Educación
Nacional donde se establece
que las funciones
polinómicas de segundo
grado deben ser estudiadas en
el grado 9°.
1.5.5 MARCO ESPACIAL
La Institución Educativa Javiera Londoño fue fundada en 1949, es de carácter oficial y se
encuentra ubicada en la calle 53 No 40-65 en la comuna número 10 del Centro de Medellín.
Inicialmente y hasta el año 2014 fue una institución femenina; hoy en día es de carácter mixto, y
su calendario es tipo A. Desde el 2015 es jornada única y aproximadamente cuenta con una
población de 2000 estudiantes matriculados.
La población estudiantil se caracteriza por ser de sexo femenino en un aproximado del
80% de la población, aunque se encuentre en el proceso de mixtura desde el 2014. Los
estudiantes mayoritariamente son de un nivel socioeconómico medio y bajo; se presenta
diversidad de estratos entre el 0, 1, 2 y 3, ya que por pertenecer al Centro de Medellín y ser una
institución de tradición en el municipio, sus estudiantes pertenecen a comunas muy variadas de
la ciudad.
El Proyecto Educativo Institucional se basa en los principios de inclusión, respeto,
responsabilidad y tolerancia, y en concordancia con esta perspectiva con la presente propuesta se
1.5.5 Marco espacial 39
buscó impactar los conocimientos de los estudiantes de manera tal que el objeto de estudio
abordado se aborde desde una metodología que apunta a su comprensión desde la aplicabilidad
en la vida cotidiana, fortaleciendo las competencias académicas de los estudiantes pero también
aportando indirectamente a sus competencias laborales y ciudadana.
CAPÍTULO II. DISEÑO METODOLÓGICO: INVESTIGACIÓN APLICADA
40
2 CAPÍTULO II. DISEÑO METODOLÓGICO: INVESTIGACIÓN
APLICADA
2.2 ENFOQUE
El presente trabajo se enmarca en el paradigma crítico social, el cual propone un enfoque de
Investigación Acción. En particular se toma la investigación Acción Educativa, que refiere
particularmente al estudio, investigación e indagación de procesos de enseñanza-aprendizaje.
Este enfoque le da al maestro un estatus de investigador de su propia práctica, éste cumple con el
rol de planear las actividades, ser partícipe de las mismas y además reflexiona sobre el hacer de
su práctica.
La investigación Acción Educativa concibe el proceso de enseñanza-aprendizaje como un
acto social que involucra incontables variables, por lo cual no puede ser estudiado e investigado
desde fuera. No es un fenómeno que un investigador externo pueda controlar o entender desde un
punto objetivo y externo, así la mirada del que realiza la práctica es fundamental, ya que los
problemas que se experimentan en la educación son más del hacer día a día. Al respecto
Restrepo (s. f) citando a Elliot afirma que:
“La I-A (Investigación Acción) aplicada a la educación tiene que ver con los
problemas prácticos cotidianos experimentados por los docentes, más que con
problemas teóricos definidos por investigadores dentro de un área del conocimiento” (p. 2).
Enfoque 41
2.3 Método
El método que se utiliza en la investigación acción es el crítico social, caracterizado por
utilizar procesos inductivos y deductivos que facilitan al docente llegar a conclusiones que sean
válidas y valiosas para el proceso de enseñanza
Este método está subdivido en 3 momentos o fases. La primera fase es el diagnóstico, en el
cual se observa un problema de la institución educativa, se delimita un tema, se realiza una
pregunta y se enuncia una propuesta de cómo se piensa abordar tal problema. Con respecto a este
problema se inicia un proceso de investigación de antecedentes que lo afecten, ya sea en el plano
local, nacional e internacional, permitiendo tener ideas de cómo abordar el problema y comenzar
a planear una solución.
La segunda fase es plan de acción; fase donde se planean y diseñan las actividades
concernientes a la propuesta, se conceptualiza el tema, se define el método de enseñanza y se
delimita la metodología de la investigación, estableciendo las herramientas con las que se va a
recolectar la información y describiendo el proceso por el cual se va a realizar el análisis de la
información recolectada. Por último en esta fase se realizan y aplican las guías que permiten
ejecutar lo anteriormente planeado.
La tercera fase corresponde a la evaluación, y es donde se triangula la información
obtenida, cotejándola con lo planeado y con las hipótesis que se tenían antes de hacer la práctica
en el aula. Esto permite evaluar el impacto que tiene la propuesta y dar un balance positivo o
Enfoque 42
negativo de lo realizado, con el fin de tomar acciones que desde un proceso planeado de
aplicación y reflexión permita mejorar las practicas docentes.
Instrumentos de recolección de información y análisis de información
Los instrumentos de recolección de información se subdividen en dos tipos, fuentes primarias
y fuentes secundarias Las fuentes primarias son las que se obtienen a través del contacto directo,
que particularmente para la presente propuesta son todas las que se obtienen a través de la
práctica docente con los estudiantes, como diario de campo, entrevistas a estudiantes,
cuestionarios o evaluaciones aplicadas a estudiantes, test, talleres, observación directa.
En la Tabla 2.2-1 se describe cada una de las fuentes primarias de información.
Tabla 2.2-1Fuentes primarias de información
Fuente Descripción
Observación directa Se registra lo que el docente observó, de manera objetiva, sin
hacer cuestionarios o preguntas a los estudiantes.
Diario de campo Se describen de manera escrita las etapas llevadas a cabo en cada
sesión durante la practica académica y se realiza una reflexión
acerca de lo ocurrido.
Pre-Test Evalúa a los estudiantes antes de realizar la intervención,
observando sus saberes previos.
Guías Son intervenciones que permiten llevar la teoría a la práctica,
recolectando información acerca del aprendizaje alcanzado por
los estudiantes.
Población y Muestra 43
Las fuentes secundarias son aquellas que brindan información a través de los datos ya
existentes. El contacto es indirecto y los instrumentos de este tipo son de origen externo, como el
Proyecto Educativo Institucional PEI, las normas que regulan la educación, las teorías de
enseñanza, los antecedentes del tema, y los libros o escritos referentes al marco disciplinar.
Después de recoger la información se realiza una triangulación entre las fuentes primarias
y las secundarias, se organizan los datos y se registran de manera ordenada.
2.4 POBLACIÓN Y MUESTRA
La población con la que se realiza este trabajo es la Institución Educativa Javiera Londoño del
Municipio de Medellín, y la muestra escogida corresponde a los estudiantes del grado Noveno.
2.5 DELIMITACIÓN Y ALCANCE
Se busca aportar al aprendizaje y comprensión del concepto de las funciones polinómicas de
segundo grado de los estudiantes de la Institución Educativa Javiera Londoño. Para tal fin, el
estudio de situaciones de variación cercanas al estudiante posibilita un avance hacia la
comprensión del pensamiento variacional y las funciones, ya que se asigna sentido y significado
a los objetos matemáticos abordados en el aula. Esto puede redundar de manera directa en las
pruebas censales, ya que uno de los aprendizajes a mejorar según información suministrada por
el ICFES (con un 75% de estudiantes aprobados) es: “Establecer relaciones entre propiedades de
las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas”. De modo tal que el estudio de
Cronograma 44
situaciones de variación a través de diferentes registros de representación semióticos puede servir
como estrategia de mejora para el aprendizaje pendiente en la institución.
De manera indirecta y aunque no es el objetivo, puede tener un alcance en las metodologías
de enseñanza de los maestros de la institución educativa, cambiando formas en las cuales se
imparte el concepto y buscando una apropiación más alta de las representaciones semióticas que
las estudiantes generan del concepto.
2.6 CRONOGRAMA
Tabla 2.6-1Planificación de actividades
FASE OBJETIVOS ACTIVIDADES
Fase 1:
Diagnóstico
Realizar un diagnóstico a
través de un pre test a los
estudiantes del grado
Noveno de la Institución
Educativa Javiera
Londoño, determinando
los conocimientos previos
para el desarrollo de las
funciones polinómicas de
segundo grado.
1.1 Revisión bibliográfica sobre la enseñanza de
las funciones polinómicas de segundo grado en
el medio local, nacional e internacional.
1.2 Revisión bibliográfica las teorías de Raymond
Duval acerca de las representaciones
semióticas.
1.3 Revisión bibliográfica de los documentos del
MEN enfocados a los estándares en la
enseñanza de las funciones polinómicas de
segundo grado.
1.4 Diseño y construcción de actividades para
evaluación de los preconceptos.
Cronograma 45
Fase 2:
Diseño
Diseñar una secuencia
didáctica que utilice las
representaciones
semióticas de las
funciones polinómicas de
segundo grado.
2.1 Diseño y construcción de una secuencia
didáctica mediada por medio de guías de clase para
la aplicación y creación de sistemas de
representación semiótica.
Fase 3:
Intervención
en el aula.
Intervenir la práctica
educativa del área de
matemáticas en el grado
Noveno a través de la
secuencia didáctica.
3.1 Intervención y puesta en acción de los test que
evalúan los preconceptos.
3.2 Aplicación de las guías diseñadas en la fase 2.
Fase 4:
Evaluación
Evaluar si los estudiantes
realizan conversiones
entre los diferentes
registros de
representación semiótica
de las funciones
polinómicas de segundo
grado.
4.1 Aplicación de actividades evaluativas durante
la implementación de las guías diseñadas.
4.2 Realización del análisis de los resultados
obtenidos al implementar la estrategia didáctica.
Cronograma 46
2.7 Cronograma de actividades
Tabla 2.7-1 Cronograma de actividades
ACTIVIDADES SEMANAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Actividad 1.1 X X X
Actividad 1.2 X X
Actividad 1.3 X X
Actividad 1.4 X
Actividad 2.1 X X X
Actividad 3.1 X X X X
Actividad 3.2 X X X X
Actividad 4.1 X X X X
Actividad 4.2 X X X X X
Capítulo III. Sistematización de la intervención
47
3 CAPÍTULO III. SISTEMATIZACIÓN DE LA INTERVENCIÓN
3.1 Diseño de la secuencia didáctica
La intervención en el aula se realizó mediante la aplicación de una secuencia didáctica, la
cual en términos de Díaz Barriga (2013) es “el resultado de establecer una serie de actividades
de aprendizaje que tengan un orden interno entre sí” (p. 4). En este sentido, para este trabajo se
propone partir desde la consideración de los saberes previos de los estudiantes para luego
vincular los problemas que ponen en juego dichos saberes previos.
La secuencia didáctica desarrollada tiene como finalidad que los estudiantes representen por
medio de diferentes sistemas semióticos el concepto de función polinómica de segundo grado,
para así lograr una comprensión más significativa de dicho eje conceptual, pues tal y como lo
expresa Duval citado por MEN (2003) “si no se dispone al menos de dos formas distintas de
expresar y representar un contenido matemático, formas que el autor llama <<Registros de
representación>> o <<registros semióticos>>, no parece posible aprender y comprender dicho
contenido” (pág. 54).
Para esto se realizó en primer lugar una prueba diagnóstica donde se indagó por aspectos
como la ubicación de cantidades enteras en el plano cartesiano, el concepto de función y su
diferencia con una relación, la identificación de variables dependientes e independientes, y la
representación de una situación de cambio por medio del registro elegido libremente por los
estudiantes (tablas, gráficas y/o ecuaciones).
Capítulo III. Sistematización de la intervención
48
Posterior a la prueba diagnóstica se presentaron cuatro guías a los estudiantes, cada una con
un tiempo aproximado de ejecución de 2 horas y cuya realización se hizo en parejas con el fin de
propiciar el intercambio de ideas a la hora de analizar las situaciones.
Las actividades contenidas en las guías giran en torno al problema de construcción de una
caja con determinadas longitudes que varían, y la medición del área de las paredes de la caja. El
problema se basa en uno que aparece planteado en el Módulo 2, Pensamiento Variacional y
Razonamiento Algebraico; documento que hace parte de la Serie Didáctica de las Matemáticas
de la Gobernación de Antioquia en colaboración con la Universidad de Antioquia. Se elige este
problema porque permite que el estudiante realice un análisis de la correlación entre longitud y
área de un rectángulo y las variaciones que allí se presentan. Además, y de manera principal,
porque posibilita el uso de diferentes registros para representar esa correlación.
Así pues, la primera guía denominada “Construcción de cajas” apuntó a representar con
material concreto, una situación de variación que permita correlacionar variables y generar un
registro de representación semiótica tabular de la situación. Es necesario resaltar que las demás
guías toman como referencia el trabajo realizado en ésta.
En un primer momento se le pide a los estudiantes que con el material proporcionado (un
rectángulo de cartulina de 30 cm por 20 cm) realicen una caja sin tapa, y aunque todos tienen la
misma cantidad de material, a cada pareja se le asigna una altura diferente llamada X, cuyo valor
entero se ubica entre 1 y 9. En la imagen, las figuras 1 se recortan, las figuras 2 y 3 son las
paredes laterales y la figura 4 es el fondo de la caja.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
49
Figura 3-1Plano de la caja en 2D
Fuente: Elaboración del autor
Además, se observan tres variables: la distancia X, la distancia Y, y la distancia Z, es de
notar que las variables Y, Z, dependen del valor que le asigne a X. Las funciones que serán
objeto de estudio son las áreas de la figura 1, 2, 3 y 4 las cuales varían en función de la variable
X.
En un segundo momento y con ayuda del material concreto, se realiza el cálculo de las
áreas de los rectángulos que componen la caja, incluyendo el rectángulo que se recorta (en este
punto se trabaja el concepto de área y su cálculo), para luego registrar estas áreas en una tabla.
Por último, se socializan resultados hallados y se realiza un registro general de las medidas de las
áreas de cada una figura dependiendo del valor de X, para lo que cada pareja aporta su
información y completa la de los demás.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
50
La segunda guía, “De las tablas a las curvas”, tiene como objetivo convertir un registro de
representación tabular a un registro de representación gráfico en una situación de cambio que se
modela por medio de una función cuadrática; tal situación es el problema de la caja
anteriormente explicada.
En primer lugar, se les solicita a los estudiantes que analicen la situación presentada,
observando cuáles son las cantidades que varían y cuáles son la variables dependientes e
independientes. Luego, con la intención de determinar el rango y el dominio de las funciones
trabajadas, se formulan preguntas a los estudiantes como ¿qué pasaría si se asigna un X igual o
mayor que 10, una cantidad decimal o una negativa? Ya con el rango y el dominio determinados
se pasa a realizar representaciones gráficas de las funciones, tomando como punto de partida el
registro tabular hecho en la guía anterior.
La guía número 3, titulada “La ecuación de una caja”, pretendió hacer la conversión de
un registro de representación tabular y un registro de representación gráfico a uno de
representación algebraica. Para ello es necesario que se analice cómo las variables Y y Z
dependen de la variable X, para luego determinar la ecuación que describe esta relación. Por
ejemplo, como el largo de la caja mide 30 cm y el largo es 2 veces X y una vez Z, entonces se
puede afirmar que:
2𝑥 + 𝑧 = 30
Por lo tanto 𝑧 = −2𝑥 + 30
De esta manera se obtiene el registro de representación algebraico de Z que es la base o la
altura de las figuras; esto mismo se puede hacer con la variable Y.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
51
Posteriormente los estudiantes analizan las gráficas y las tablas, buscando los patrones
que se repiten y las regularidades que se presentan. Por último, se pide realizar una operación
entre polinomios con la longitud de la base y la altura en términos de x, para hallar así la
representación algebraica de las áreas de las mismas figuras.
Finalmente, la guía 4 nombrada “Características de una función cuadrática”, tuvo como
objetivo realizar el proceso inverso de conversión, es decir, partir del registro algebraico para
pasar al tabular y luego al icónico. Así, debían analizar cómo se comporta gráficamente una
ecuación funcional de segundo grado o cuadrática, partiendo desde un registro algebraico hacia
uno tabular y gráfico.
En esta guía se vuelven a realizar las gráficas de las funciones estudiadas en la secuencia,
pero apartando la situación en las cuales se generaron las relaciones funcionales para realizar una
abstracción de la actividad de la cual se partió y esperando que se logre una ampliación tanto del
dominio como el rango de la función. Esto para caracterizar de manera más general las funciones
cuadráticas y realizar una comparación entre su ecuación y sus gráficas. De esta manera culmina
la secuencia didáctica desarrollada con los estudiantes.
Es importante resaltar que se propone al lector una quinta guía para caracterizar y analizar
transformaciones de las funciones cuadráticas por medio de Geogebra, aprovechando las ventajas
que aporta esta herramienta para la visualización gráfica. De este modo es posible analizar qué
sucede cuando se modifica un registro de representación como el algebraico y la variación que
esto genera en la representación gráfica.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
52
3.2 Resultados y análisis de la intervención
Para el análisis de cada guía se construyó una rúbrica de evaluación específica, donde se
formulan desempeños relacionados con las acciones que los estudiantes realizaron y se determina
si cumplieron con dichos desempeños de manera total, parcial o nula, para lo cual se establecen
las categorías “Cumple”, “Cumple parcialmente” y “No cumple”.
En lo referente a la “Actividad Diagnóstica”, la rúbrica de evaluación corresponde a la Tabla
3.2.2-1:
Tabla 3.2-3-1Rúbrica de evaluación de la actividad diagnóstica
Rúbrica de evaluación para actividad diagnóstica Cumple
Cumple
parcialmen
te
No
cumple
Desempeño
1
Reconoce los elementos de un plano
cartesiano y sabe ubicar puntos en él. 13 43.3% 2 6.7% 15
50
%
Desempeño
2
Conoce cuando una relación es
funcional, además de interpretar
gráficas como diagramas sagitales y
gráficas en planos cartesianos.
9 30% 11 36.7
% 10
33.
3%
Desempeño
3
Interpreta una situación de cambio
presentada a través del lenguaje
natural y en representación tabular.
5 16.7% 4 13.3
% 21
70
%
Desempeño
4
Realiza alguna representación como
tablas, gráficas, ecuaciones para
modelar una situación de cambio que
3 10% 9 30% 18 60
%
Capítulo III. Sistematización de la intervención
53
se comporta como una relación de
función lineal.
Para el Desempeño 1 se pedía dibujar un plano cartesiano y ubicar en él coordenadas con
cantidades enteras. Se observó que el 43% de los estudiantes trazó los ejes de manera correcta,
escogieron una escala adecuada y ubicaron los puntos acertadamente sobre el plano cartesiano.
Del 50% (15 estudiantes) que no cumplió con el desempeño, 8 estudiantes dibujaron
correctamente el plano y usaron una escala adecuada, pero presentaron dificultades para ubicar las
parejas ordenadas. Los otros 7 estudiantes no lograron dibujar acertadamente el plano y por ende
tampoco ubicaron las coordenadas adecuadamente.
Las dificultades más recurrentes en lo que respecta al manejo del plano cartesiano se mencionan a
continuación:
Confundir el punto que corresponde a cada eje. En la Figura 3.2.3-2 se aprecia este error
en las coordenadas (3,-5), (8,2) y (-2,-3).
Figura 3.2-3-2 Ejercicio en registro de representación gráfico
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Capítulo III. Sistematización de la intervención
54
• En el caso de las coordenadas donde una de sus componentes es el número cero, éste se
ubica en el punto (0,0) o por encima o debajo de alguno de los ejes y no sobre el eje. Un
ejemplo de esto aparece en la Figura 3.2.3-3, en las coordenadas (5,0) y (0,-8).
Figura 3.2-3-3 Ejercicio en registro de representación gráfico
Fuente: Elaboración de los estudiantes
• No rotular o nombrar los puntos, lo que no permite evaluar si están ubicados de manera
correcta. Este aspecto se presentó reiterativamente, tal y como se ve en las imágenes
anteriores.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
55
• Confusión en el orden de los enteros negativos. En la Figura 3.2.3-4 es posible observar
que el estudiante ubica las cantidades en orden descendente en la parte positiva del eje Y.
además, en la parte negativa de ambos ejes comienza desde -10 en lugar de -1.
Figura 3.2-3-4 Ejercicio en registro de representación gráfico
Fuente: Elaboración de los estudiantes
• No manejar adecuadamente la escala, esto es, asignar diferentes espacios entre las unidades
(Figura 3.2.3-5). Como puede verse, en el eje negativo de Y la distancia entre las unidades
no es la misma.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
56
Figura 3.2-3-5 Ejercicio en registro de representación gráfico
Fuente: Elaboración de los estudiantes
• Dificultad para ubicar la parte positiva y negativa de un eje, tanto en X como en Y (Figura
3-6).
Figura 3-6 Ejercicio en registro de representación gráfico
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Capítulo III. Sistematización de la intervención
57
Para el Desempeño 2, se presentaban en las actividades dos problemas; uno que contenía
una relación no funcional expresada en lenguaje natural y en un diagrama sagital, y otro que tenía
que ver con una relación funcional representada en lenguaje natural y gráfico mediante un plano
cartesiano. En ambos casos se pedía determinar si las relaciones constituían una función o no y
explicar por qué. El 30% de los estudiantes logró reconocer la relación funcional y la no funcional
(Figuras 3-7 y 3-8); en cuanto al argumento que utilizaron para justificarlo, algunos realizaron la
“Prueba de la línea reca vertical” y otros se valieron de lenguaje natural para explicar que la
relación es funcional cuando a los componentes del conjunto de partida les corresponde uno sólo
del conjunto de llegada.
Figura 3-7Función en lenguaje natural y diagrama sagital
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Figura 3-8 Función en lenguaje natural y gráfico
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Capítulo III. Sistematización de la intervención
58
En el 70% restante se identifica una dificultad generalizada para diferenciar relaciones
funcionales y no funcionales (Figuras 3-9 y 3-10); además, algunos estudiantes desconocen el
significado de relación y de función, o simplemente no dan ninguna respuesta a los interrogantes
que tienen que ver con esta parte. También se observan errores reiterados en los numerales donde
el análisis se propone a partir de un plano cartesiano.
Figura 3-9 Función en lenguaje natural y diagrama sagital
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Figura 3-10 Función en lenguaje natural y gráfico
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Capítulo III. Sistematización de la intervención
59
En el Desempeño 3 se presentaron 4 literales; los dos primeros preguntaban por la variable
dependiente y la independiente, los otros pedían hacer una optimización a través de un análisis
costo beneficio para un valor determinado de la variable independiente. Sólo el 16.7% logró
identificar qué elementos estaban variando y cuáles eran dependientes e independientes, además
de seleccionar el plan que optimizaba el beneficio al menor costo.
Respecto a los numerales 1 y 2 de esta guía, se observan como errores más comunes:
• Asumir como variable el valor básico del plan de minutos y la cantidad básica de minutos
que trae cada plan, los cuales son constantes en el problema (Figura 3-11).
Figura 3-11 Identificación de variables
Fuente: Elaboración de los estudiantes
• Señalar el valor a pagar como variable independiente y los minutos gastados como
dependiente (Figura 3.12).
Capítulo III. Sistematización de la intervención
60
Figura 3-12 Identificación de variables
Fuente: Elaboración de los estudiantes
En lo concerniente a los numerales 3 y 4 de la misma guía, se observa dificultad para la
interpretación del problema, tanto en la información que presenta como en lo que se pide hacer.
Esto se hace evidente al no lograr optimizar el costo beneficio del plan de telefonía celular, y al
responder con un valor en dinero cuando se pregunta por el plan que resulta más óptimo.
Ahora bien, para el Desempeño 4 se presenta al estudiante una situación en lenguaje natural
y se le pide que la exprese por medio de otra representación semiótica de su preferencia. El 10%
realiza una gráfica o una tabla que demuestra comprensión de la situación de variación,
permitiendo apreciar el momento en el que cada uno de los planes de pago se optimiza dependiendo
de la cantidad de clientes.
Respecto a los errores más comunes en los estudiantes que cumplieron parcialmente o no
cumplieron con el desempeño, se observa:
Capítulo III. Sistematización de la intervención
61
• No identifican la correlación existente entre las variables, lo que puede verse en la Figura
3.13 donde la situación se representó con un diagrama de barras donde una barra
corresponde al sueldo básico y la otra la comisión.
Figura 3-13 Representación de situación mediante diagrama de barras
Fuente: Elaboración de los estudiantes
• Dificultad para reconocer que era un problema de variación, pues le daban un tratamiento
meramente aritmético al limitarse a operar las cantidades.
• Cuando se les pedía explicar cada plan, se centraban en determinar bajo qué circunstancias
uno es más rentable que el otro, pero no realizaban una representación completa de las
características de cada uno, que permitiera observar su comportamiento a medida que varía
la cantidad de clientes. Esto es, que determinaron de manera aritmética el punto de máximo
Capítulo III. Sistematización de la intervención
62
beneficio, pero no se apoyaron en registros tabulares o gráficos para representar la situación
de variación contenida en cada plan.
Analicemos ahora la Guía 1 (Tabla 3-2):
Tabla 3-2 Rúbrica de evaluación. Guía 1
Rúbrica de evaluación guía 1 Cumple Cumple
parcialmente
No
cumple
Desempeño 1 Crea una caja de cartón a
partir de unas indicaciones
presentadas en lenguaje
natural de forma verbal y
escrita.
27 90% 3 10% 0 0%
Desempeño 2 Sobre una caja de cartón
logra hallar el área de los
rectángulos que componen
sus paredes. Registro 1.1
28 93.4% 1 3.3% 1 3.3%
Desempeño 3 Logra determinar que esta
variando y cual es la variable
dependiente e independiente
en la situación de cambio
planteada registro 2.1
28 93.4% 1 3.3% 1 3.3%
Desempeño 4 Representa de forma tabular
la situación de cambio
22 73.3% 7 23.4% 1 3.3%
Capítulo III. Sistematización de la intervención
63
generada al variar la altura de
la caja. Registro 1.2
Fuente: Elaboración del autor
Sobre el Desempeño 1, es necesario mencionar que los estudiantes debían crear una caja
de cartón a partir de ciertas indicaciones presentadas en lenguaje natural de forma verbal y escrita.
La mayoría de estudiantes entendieron las instrucciones y construyeron adecuadamente la caja,
aspecto fundamental para realizar el resto de la secuencia didáctica, pues todo su planteamiento
gira en torno al análisis de dicho material. Sólo 3 personas cumplieron parcialmente con el
desempeño, debido a que presentaron errores en la medición de las dimensiones de la caja.
Es importante resaltar que los estudiantes se mostraron interesados y motivados debido al
uso de material concreto, lo que además permitió que casi la totalidad comprendiera la situación.
El Desempeño 2 apuntaba a hallar el área de los rectángulos que componen las paredes de
la caja construida. El 93% logró determinar las áreas de los rectángulos calculando el producto de
la base por la altura de cada uno, conocimiento éste que hace parte de los sabres previos con que
debe contar un estudiante de Noveno grado.
Como el rectángulo es una figura conocida por los estudiantes y el procedimiento para el
cálculo de su área es dominado con destreza, esta parte de la guía se realizó con facilidad. Sería
interesante analizar qué estrategias utilizan para encontrar el área de las paredes de una caja cuya
forma es un polígono irregular y para lo cual no hay un algoritmo estandarizado.
Pasando al Desempeño 3, se hacía énfasis en analizar qué elementos varían en la situación
y determinar cuál es la variable independiente y cuál la dependiente, lo que supone una
Capítulo III. Sistematización de la intervención
64
comprensión global de la situación de cambio. El 93,4% de los estudiantes pudo identificar que
las áreas varían dependiendo del valor de X asignado, que corresponde a la altura de la caja. De
este modo, la variable independiente es X y la dependiente, el área de cada rectángulo.
El 6,6% que cumplió parcialmente o no cumplió con el desempeño, presenta dificultades
para comprender lo que implica una relación de dependencia y en sentido más estricto, lo que es
una relación funcional.
En el Desempeño 4 se pretendía representar de forma tabular la situación de cambio
generada al variar la altura de la caja y la variación que esto produce en las áreas de los
rectángulos. Se observó que a medida que avanzaban en la realización de la tabla, cada vez
necesitaban menos observar la caja pues habían logrado una buena comprensión de la situación y
sus elementos constitutivos.
Además, se resalta que la representación por medio de tablas se torna sencilla para los
estudiantes y logran por medio de ella establecer la relación funcional entre las variables altura y
área. Incluso en ocasiones se observan dificultades para expresar mediante el lenguaje verbal la
variación, pero a la hora de elaborar las representaciones tabulares y observar allí el
comportamiento de las variables, se logra una comprensión de la situación de manera global.
Obsérvese ahora la rúbrica para la Guía 2 (Tabla 3-3):
Capítulo III. Sistematización de la intervención
65
Tabla 3-3 Rúbrica de evaluación. Guía 2
Rúbrica de evaluación guía 2 Cumple Cumple
parcialmente
No
cumple
Desempeño 1 Determina el valor del área
de las caras de la caja
cuando se asigna un valor a
x que sea decimal.
20 64.5% 8 25.8% 3 9.6%
Desempeño 2 Indica cuando un valor para
la variable x no puede ser
utilizado, ya que no tiene
sentido en el contexto del
problema.
24 77.4% 4 12.9% 3 9.6%
Desempeño 3 Convierte un registro de
representación tabular a un
registro de representación
gráfico.
17 54.8% 8 25.8% 6 19.3%
Desempeño 4 Compara representaciones
de un mismo registro e
identifica similitudes entre
ellas.
20 64,5% 6 19,3% 5 16,2%
Fuente: Elaboración del autor
Capítulo III. Sistematización de la intervención
66
Para el Desempeño 1 era necesario determinar el valor del área de las caras de la caja
cuando se asigna un valor decimal a X. Más del 90% de los estudiantes tiene claridad en cuanto
al procedimiento para hallar el área; la mayor dificultad aparece a la hora de realizar operaciones
con cantidades decimales. Esto es una muestra de que en ocasiones el concepto es comprendido
pero su representación se ve afectada por dificultades a nivel operativo, las cuales es necesario
intervenir para fortalecer su enseñanza y aprendizaje.
Por otra parte, para este momento los estudiantes se han desligado del material concreto y
están en condiciones de realizar el cálculo del área de las caras de la caja sin tener que recurrir a
su observación y valiéndose sólo del análisis matemático configurado a partir del material
concreto. Esto resalta una vez más el potencial de la utilización de material concreto para la
enseñanza de las Matemáticas, pues es un excelente recurso para facilitar el paso del pensamiento
concreto al abstracto, mediado en este caso por el uso de los diferentes registros de representación
semióticos.
Sobre el Desempeño 2, se buscaba que los estudiantes indicaran cuándo un valor para la
variable X no puede ser utilizado ya que no tiene sentido en el contexto del problema. Más del
77% determinó adecuadamente las restricciones para los valores de X, refiriéndose así y de
manera tácita a la idea de dominio de una función. El hecho de que fuese una situación real
favoreció esta parte del análisis, pues aritméticamente los valores de X podrían variar en todo el
conjunto de los números Reales, pero en el marco de la situación propuesta, del dominio se reduce
significativamente.
Las Figuras 3-14, 3-15 y 3-16 esbozan un par de aportes de los estudiantes:
Capítulo III. Sistematización de la intervención
67
Figura 3-14 Análisis de la situación
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Figura 3-15 Análisis de la situación
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Figura 3-16 Análisis de la situación
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Capítulo III. Sistematización de la intervención
68
Figura 3-17 Análisis de la situación
Fuente: Elaboración de los estudiantes
En relación con este desempeño también se evidenció que los estudiantes logran
comprender que no existe un límite para el valor de X, ya que no se le pueden asignar el 0 ni el
10 como valores, pero sí cualquier número mayor que 0 y menor que 10.
Además, se resalta que la simbolización que realizan los estudiantes del dominio de las
funciones se vale del lenguaje natural, haciendo necesaria una intervención del docente para
explicar el procedimiento para expresar un dominio a través del lenguaje matemático.
El Desempeño 3 consistía en la conversión de un registro de representación tabular a un
registro de representación gráfico. El 19% de los estudiantes no presentaron la actividad debido a
que el tiempo no les fue suficiente y por motivos del cronograma de clases de la institución, no
fue posible dedicar otro momento para esta actividad.
Se vio también que el 25% de los estudiantes tiene dificultades con el trazado y ubicación
de puntos en el plano cartesiano, sobre todo cuando la escala del eje es grande (por ejemplo si la
escala va de 50 en 50, hay errores al ubicar puntos como A(3 , 42)).
Por último, con respecto a este desempeño, es satisfactorio ver que un 55% de los
estudiantes logra realizar conversiones de un registro de representación tabular a un registro de
representación gráfico, tal y como se aprecia en las Figuras 3-18 y 3-9.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
69
Figura 3-18 Representación gráfica
Fuente: Elaboración de los estudiantes
Figura 3-19 Representación gráfica
Fuente: Elaboración de los estudiantes
El Desempeño 4 estaba enfocado a comparar representaciones de un mismo registro e
identificar similitudes entre ellas. Esto consistía en (después de construir una representación
gráfica que relacionara altura con área de cada rectángulo) comparar las diferentes gráficas. La
mayoría de estudiantes construyó adecuadamente las gráficas, siendo posible visualizar que todas
contenían una curva parabólica, aunque -por supuesto- no lo nombraran de esta forma. Los
Capítulo III. Sistematización de la intervención
70
estudiantes que cumplieron parcialmente o no cumplieron, tuvieron errores en la construcción de
las gráficas, por lo que al estar mal elaboradas no ofrecían ninguna similitud. Nuevamente los
vacíos en algunos saberes previos obstaculizaron el desarrollo de la secuencia didáctica.
Continuando con la Guía 3, la rúbrica de análisis fue la siguiente (Tabla 3-4):
Tabla 3-4 Rúbrica de evaluación. Guía 3
Rúbrica de evaluación guía 3 Cumple Cumple
parcialmente
No
cumple
Desempeño 1 Expresa a través de una tabla
la correlación lineal existente
entre los lados de la caja y la
variable x (altura de la caja).
31 96.8% 0 0% 1 3.1%
Desempeño 2 Reconoce las reglas de
formación para determinar las
funciones algebraicas de las
variables y, z en función de la
variable x .
25 78.1% 6 18.7% 1 3.1%
Desempeño 3 Utiliza y entiende
correctamente la fórmula del
área para trabajar con las
variables x, y, z en función de
x .
29 90.6% 2 6.2% 1 3.1%
Capítulo III. Sistematización de la intervención
71
Desempeño 4 Realiza tratamientos en el
registro de representación
algebraico, para determinar de
manera simplificada la
representación algebraica de
las áreas de las figuras 1, 2, 3,
4.
17 53.1% 14 43.7% 1 3.1%
Fuente: Elaboración del autor
En relación con el Desempeño 1, se buscaba expresar a través de una tabla la correlación
lineal existente entre la base de la caja y la variable X (altura de la caja), expresando la primera
en términos de la segunda. Se observó que gracias al trabajo realizado hasta el momento en la
secuencia didáctica, los estudiantes fácilmente lograron transformar la situación y realizar la
conversión desde el lenguaje natural a un registro tabular. Para ello, varios estudiantes
coincidieron en establecer una correspondencia uno a uno entre el valor de la altura y el
correspondiente de la base, hasta encontrar una regularidad (en este caso, una relación
inversamente proporcional) que les permitiera hacer los cálculos para otros valores de X de
manera más ágil.
Resulta importante señalar que el desarrollo acertado de la situación responde en parte a
que con anterioridad se había abordado en clase la función lineal y por ende los estudiantes
contaban con bases para realizar las actividades propuestas.
En lo concerniente al Desempeño 2, se buscaba reconocer las reglas de formación para
determinar las funciones algebraicas de las variables y (ancho), z (largo) en función de la variable
Capítulo III. Sistematización de la intervención
72
x (altura). Un 97% supo plantear la ecuación, para lo cual se les indicó expresar las funciones
con la forma general 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. No obstante, aparecen dificultades a la hora de efectuar
tratamientos sobre el registro de representación algebraico, tal y como sucede con el 18% que
tuvo inconvenientes para efectuar el producto entre la base y la altura de los rectángulos, estando
la primera expresada en términos de la segunda.
El Desempeño 3 refiere a utilizar y entender correctamente la fórmula del área para
trabajar con las variables y (ancho), z (largo) en función de x (altura). Pudo apreciarse que los
estudiantes reconocen la formula del área de un rectángulo y la expresan a través de variables
relacionadas; adicionalmente el 90% de los estudiantes expresan de manera correcta las variables
en función de la variable x. Sin embrago, por observación directa del docente se notó que los
estudiantes no tienen claro el sentido del porqué se deben escribir las variables y, z en función de
x, y simplemente lo hicieron porque la guía lo requería.
Para el Desempeño 4 se esperaba realizar tratamientos en el registro de representación
algebraico, para determinar de manera simplificada la representación algebraica de las áreas de
las figuras 1, 2, 3, 4. Se presentaron problemas en el tratamiento del registro de representación
algebraico. Aunque la gráfica y los demás registros de representación apuntan a mostrar que las
ecuaciones deben contener una forma específica, los estudiantes no toman en cuenta esta
situación, es decir no poseen una iniciativa para analizar si hay coherencia entre registros de
representación
Llama la atención que los estudiantes no se dieron a la tarea de verificar si las ecuaciones
funcionales que estaban representando eran coherentes con los pares ordenados anteriormente
Capítulo III. Sistematización de la intervención
73
hallados mediante tablas. Es decir, no se comprueba la coherencia global entre las diferentes
representaciones de una misma situación.
Finalmente, obsérvese la rúbrica de la Guía 4 (Tabla 3-5):
Tabla 3-5Rúbrica de evaluación. Guía 4
Rúbrica de evaluación guía 4 Cumple Cumple
parcialmente
No cumple
Desempeño 1 Representa mediante un
registro tabular los registros de
representación algebraico,
asignando valores a la variable
x que por fuera del dominio
que proporciona el contexto de
la situación inicial .
30 100% 0 0% 0 0%
Desempeño 2 Logra dar el paso de un registro
algebraico a uno tabular y
luego a uno gráfico.
20 66.6% 5 16.6% 5 16.6%
Desempeño 3 Amplía los valores del rango y
el dominio en su
representación gráfica,
desligándolo de la situación
real inicial.
15 50% 3 10% 12 40%
Capítulo III. Sistematización de la intervención
74
Desempeño 4 Realiza un análisis de las
ecuaciones funcionales
comparándola con su
comportamiento a nivel
gráfico.
10 33.3% 3 10% 17 56.6%
Fuente: Elaboración del autor
En cuanto al Desempeño 1, era necesario representar mediante un registro tabular los
registros de representación algebraico, asignando valores a la variable x que por fuera del dominio
que proporciona el contexto de la situación inicial. El rendimiento en este desempeño es de un
100%, que puede deberse a que los estudiantes tienen un conocimiento significativo de la
situación y a que se hace más fácil realizar una conversión desde el registro de representación
algebraico al registro de representación tabular.
En la guía se establecían los valores para x que los estudiantes debían evaluar, pero se
sugiere como recomendación que sean ellos quienes los seleccionen de acuerdo a lo que se pide
en la situación.
Ya en el Desempeño 2 se logra dar el paso de un registro algebraico a uno tabular y luego
a uno gráfico. Debe mencionarse que los estudiantes no conocían la curva general de una gráfica
de una función cuadrática, por lo cual se basaron en los valores que obtenían de la tabla, aunque
se presentaron fallas a la hora de asignar valores donde la escala de la gráfica debía ser alta.
Varios aspectos se observaron:
• Se presentaron casos donde se unían los puntos no mediante una curva, sino a través de
segmentos de recta.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
75
• Aunque contaban con una tabla correctamente construida, aún se presentaron
equivocaciones para ubicar coordenadas en el plano cartesiano.
• La mayoría de los estudiantes sabe dibujar un plano cartesiano y ubicar puntos en él, así
como asignar una escala adecuada para representar los valores obtenidos en la tabla.
Para el Desempeño 3 se ampliaban los valores del rango y el dominio en su representación
gráfica, desligándolo de la situación real inicial. Aquí se buscaba observar si los estudiantes
lograban completar la gráfica o por lo menos indicar de alguna manera que la gráfica continuaba
con el mismo comportamiento, encontrando que el 50% de los estudiantes logró comprenderlo.
Sin embargo, los estudiantes se limitan a observar el fragmento de la gráfica construido y no se
peguntan por cómo continúa su comportamiento; es necesaria la intervención del docente para
sugerir este interrogante.
Por último, en el Desempeño 4 se realiza un análisis de las ecuaciones funcionales,
comparándolas con su comportamiento a nivel gráfico. Este desempeño es el menos alcanzado en
todos los equipos de trabajo, lo que puede ser debido a:
• Dificultad para realizar un análisis desde un registro de representación algebraico y
asociarlo a otro registro, en este caso al de representación algebraica.
• Muchos de los estudiantes no realizaron el momento 3 de la guía 4.
• Debido a la extensión de la secuencia didáctica, los estudiantes empezaron a perder interés
en ella y la exigencia en el trabajo disminuyó. Éste es un aspecto a revisar en próximas
intervenciones.
Ahora bien., de manera general en la secuencia didáctica se resaltan los siguientes aspectos:
Capítulo III. Sistematización de la intervención
76
• La mayoría de estudiantes logra determinar qué está variando en la situación, así como
cuál es la variable independiente y la dependiente. Esto constituye un significativo avance
en comparación con los hallazgos de la actividad diagnóstica, donde determinar estos
aspectos generó varias dificultades.
• Se logra fácilmente la conversión de un registro de representación tabular a un registro de
representación gráfico.
• A diferencia del pretest o actividad diagnóstica donde se presentaron inconvenientes con
el trazado y dibujo de los planos cartesianos, en las actividades de las guías (aunque el
nivel de complejidad aumentó debido a que las escalas que debían utilizar las estudiantes
eran mucho más grandes) se presentó una mejoría en el desempeño y un manejo más claro
del registro de representación.
• Los estudiantes se limitan a realizar las actividades propuestas en las guías y no proponen
otras formas de representación. Lo mismo sucede con el análisis que hacen a partir de las
gráficas y que gira en torno a los interrogantes planteados en las guías.
• Tal y como se mencionó varias líneas atrás, los estudiantes no revisan la coherencia entre
los distintos registros de una misma situación.
• Se observan tratamientos en el registro de representación algebraico, para determinar de
la forma más simplificada posible la representación algebraica de las áreas de las figuras.
• A nivel general se presentaron problemas con las transformaciones de tipo tratamiento
(ver Referente Conceptual) en el registro representación algebraico, aspecto éste que no
fue considerado en el pretest y hace parte de los saberes previos que los estudiantes deben
contar. La razón de las fallas reiteradas en este aspecto puede responder a vacíos
conceptuales relacionados con operaciones básicas entre polinomios.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
77
• Al analizar el trabajo realizado por los estudiantes en toda la secuencia didáctica, es
posible afirmar que a medida que se avanzaba en la realización de las guías, se evidenciaba
un avance en el paso de un registro de representación a otro, y más importante aún, en la
comprensión de la situación de variación. En las primeras guías por ejemplo, los
estudiantes se limitaban a realizar acciones muy concretas con valores específicos, pero
en las últimas lograron llegar a abstracciones más generales en un dominio mucho más
amplio.
• El desarrollo de la secuencia didáctica, además de contribuir con la enseñanza de las
funciones polinómicas de segundo grado, ayuda a identificar las dificultades que tienen
que ver con saberes previos a este eje conceptual, permitiendo solucionarlas a medida que
se avanza en el trabajo.
Más que lograr una profundización en la enseñanza de las funciones polinómicas de segundo
grado, el presente trabajo permitió fortalecer el razonamiento funcional y el razonamiento
variacional que se pone en juego gracias a él, y que se ve potenciado por el uso de los registros
de representación semióticos. Así pues, en lugar de apuntar a un tema en específico (funciones
cuadráticas en este caso), lo que se logra con este trabajo es fortalecer el análisis de situaciones
de variación y cambio que denotan una relación funcional.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
78
3.3 Conclusiones y Recomendaciones
3.3.1 Conclusiones
Teniendo como referencia el objetivo y los alcances a los que se pretendía llegar con este
trabajo, se puede concluir a nivel general que una buena estrategia de enseñanza de las funciones
polinómicas de segundo grado es aquella que favorece la utilización de variados registros de
representación, además de posibilitar el uso de transformaciones entre estos registros. Esto permite
comunicar las ideas matemáticas de una manera más efectiva y comprensible, además de hacer
posible dotar de sentido y significado a los objetos matemáticos con los cuales se está trabajando.
En procura de dotar sentido y significado a los objetos matemáticos es indispensable que
se propongan secuencias didácticas que consideren situaciones de variación que le sean próximas
a los estudiantes, en mayor medida si estas situaciones pueden ser representadas a través de
material concreto. Esto posibilita un afianzamiento de la actividad cognitiva en referencia a las
formas de representación más abstractas como son por ejemplo el registro de representación
algebraico, además de hacer las conversiones entre los tipos de registros menos traumáticas y con
un significado evidente.
Una parte importante de la secuencia didáctica es el diagnóstico hecho a los estudiantes, ya
que permitió evidenciar que a la mayoría se les dificulta manejar los signos y símbolos propios de
los registros de representación semiótico, como, por ejemplo, el uso del plano cartesiano y la
comprensión de problemas presentados en lenguaje natural. Además fue posible ver que la
identificación de variables dependiente e independiente en una situación de cambio es un problema
generalizado, por lo cual y tomando como base los saberes previos de los estudiantes, se
Capítulo III. Sistematización de la intervención
79
consideraron aspectos como utilizar hojas de papel milimetradas para dibujar los planos
cartesianos, crear una plantilla para la realización de tablas, realizar explicaciones adicionales por
parte del docente y utilizar una situación de variación a través de la construcción grupal por medio
de material concreto.
La aplicación de la secuencia didáctica mediada por guías de trabajo tenía como objetivo
principal que los estudiantes expresaran las funciones polinómicas de segundo grado desde
diferentes registros de representación como son el tabular, algebraico, lenguaje natural, icónico y
gráfico, además de propiciar la conversiones y transformaciones entre tales registros. Esto debido
a que los estudiantes de manera natural no logran de manera inmediata representar un objeto
matemático desde los diferentes tipos de registro de representación, y muchos menos, realizar de
manera espontánea transformaciones. El objetivo se logró cumplir en un porcentaje de aprobación
satisfactorio, donde se presentó más dificultad fue cuando se pedía la conversión desde cualquier
registro de representación hacia el algebraico, esto puede ser debido a que se pasa de una
representación de casos hacia una generalización.
Por último, queda como aspecto de análisis y reflexión que aunque se logró que los
estudiantes utilizaran variados registros de representación semióticos e hicieran transformaciones
entre estos, los estudiantes por iniciativa propia no analizaban la coherencia subyacente que debe
existir entre estos, es decir que, si se presentaban errores en uno de los registros de representación
los estudiantes no reflexionaban ni utilizaban los otros registros de representación como
herramienta para verificar o buscar el porqué de estos errores.
Capítulo III. Sistematización de la intervención
80
3.3.2 Recomendaciones
Como se dijo anteriormente, una de las recomendaciones a realizar es idear una guía
adicional en la secuencia didáctica que esté enfocada en desarrollar habilidades que permitan ver
la coherencia entre registros de representación, haciendo énfasis en el emparejamiento de los
registros de representación algebraico y gráfico. Este tipo de conversiones es ideal hacerlo a través
de una herramienta tecnológica como celular, Tablet o computador, así como el uso de aplicaciones
como GeoGebra, que tal y como su nombre lo indica, mezcla la geometría con el álgebra. Esto
repercutiría en que los estudiantes hagan análisis más profundos y críticos de cada registro y de la
relación entre diferentes tipos de ellos.
Otra actividad interesante con la cual es posible trabajar la secuencia didáctica y
complementar la situación planteada, apuntaría a pensar en una caja (ver descripción de la
secuencia didáctica) donde las paredes no sean rectangulares. Esto complejizaría en gran medida
la situación aumentando el nivel de dificultad y promoviendo otros análisis interesantes. Se podría
observar que aun si cambia la forma de los polígonos que forman la caja, cuando se pregunta por
un área en función de uno de sus lados, esta relación se comporta también como una función
polinómica de segundo grado y se realizaría el mismo análisis tal y como se hizo con la situación
anterior.
Cabe también enunciar que el estudio de las funciones polinómicas de segundo grado se
puede realizar con más contundencia si las situaciones propuestas son variadas e incluyen muchos
ámbitos de aplicación. Así, como se evidenció, en general toda la secuencia didáctica estuvo
enmarcada en una sola situación de variación referente a las áreas de una caja, pero sería
Capítulo III. Sistematización de la intervención
81
importante también pensar la situación en otros campos como la economía, la física, el movimiento
de los objetos, entre otros.
Finalmente se propone extender la utilización de situaciones de variación en el estudio de
otras funciones además de las funciones polinómicas de segundo grado y realizar el análisis de los
registros de representación que se utilizan para cada una de éstas, buscando que los estudiantes
logren conceptualizar con un significado más amplio y entendiendo su aplicabilidad y necesidad
en el contexto real.
Referencias 82
REFERENCIAS
Avirama, L. &. (2014). Una propuesta para la enseñanza de la ecuación cuadrática en la escuela
a través de la integración del material manipultaivo. Cali.
Betancur Pelaez, S. (julio de 2019). Aproximación a la identificación de relaciones funcionales de
tipo lineal por medio de tareas que enfatizan la constante de proporcionalidad. Medellín.
Obtenido de htt://bdigital.unal.edu.co: htt://bdigital.unal.edu.co/72869/
Bruno, D. (2006). Objetos, significados, representaciones semióticas y sentido. Cinvestav,, 177-
196.
Diaz Barriga, Á. (2013). GUÍA PARA LA ELABORACIÓN DE UNA SECUENCIA
DIDACTICA. Mexico.
Diaz, V., Belmar, H., & Poblete, A. (2018). Manifestación emocional y modelación de una
función. Bolema, 1198-1218.
Duval, R. (1999). los problemas fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas y las formas
superiores en el desarrollo cognitivo. Cali: Merlin I. D.
Escobar, G. (2016). LAS ACTIVIDADES COGNITIVAS DE TRATAMIENTO Y CONVERSIÓN DE
LAS REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CONTEXTUALES RELACIONADOS CON EL CONCEPTO DE FUNCIÓN
CUADRÁTICA . Manizales.
González, G. (2011). TRATAMIENTO DE LAS REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS DE LA
FUNCIÓN CUADRÁTICA . Manizales .
Gutiérrez Otálora, S. I., & Parada Landazábal, D. A. (2007). CARACTERIZACIÓN DE
TRATAMIENTOS Y CONVERSIONES: EL CASO DE LA FUNCIÓN AFÍN EN EL
MARCO DE LAS APLICACIONES . Bogotá.
Hernández, Y. (2014). Interpretación del cambio de funciones de variable real a partir de las
formas de representación con el uso de Moodle. Bogotá.
Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría analítica. México: Industria editorial mexicana.
MEN . (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Bogota: ministerio de educación
nacional.
MEN. (2003). Estándares básicos de competencias en matemáticas. Potenciar el pensamiento
matemático:¡un reto escolar! . Bogotá: Editorial magisterio.
Referencias 83
Posada, F. A., & Villa, J. A. (2006). PROPUESTA DIDÁCTICA DE APROXIMACIÓN AL
CONCEPTO DE FUNCIÓN LINEAL DESDE UNA PERSPECTIVA VARIACIONAL .
Medellín .
Restrepo Gomez, B. (s. f). UNA VARIANTE PEDAGÓGICA DE LA INVESTIGACIÓN-
ACCIÓN. Revista Iberoamericana de Educación, 1 - 10.
Rojas Garzón, P. J. (2014). Articulación de saberes previos: representaciones semióticas y
sentidos . Bogotá : U. distrital Francisco José de Caldas .
secretaria de educación para la cultura de Antioquia. (2006). SERIE DIDÁCTICA DE LAS
MATEMÁTICAS. Medellín : Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia.
Anexo: Pretest, actividad diagnostica 84
A. ANEXO: PRETEST, ACTIVIDAD DIAGNOSTICA
Institución Educativa Javiera Londoño
Actividad diagnostica Nombre: _________________________________________________________
Fecha: _______________ Grado: _______________
Docente: Jorge Iván Amaya
Objetivo: observar los saberes previos de los estudiantes del grado noveno sobre los
sistemas de representación semióticos de las funciones.
Duración: 2 horas
1) Dibuje un plano cartesiano y ubique los siguientes puntos sobre él.
• 3, -5
• 8, 2
• -5, 2
• 0, -3
• 5, 0
• -2, -3
2) A partir de las gráficas expuestas a continuación, responda a las siguientes preguntas:
a. Los meses de cumpleaños en los cuales cumple este grupo de amigos, se distribuyen de la siguiente manera:
¿Esta relación es una función? Justifique su respuesta.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Anexo: Pretest, actividad diagnostica 85
b. El sueldo de María está determinado por un básico de $1´200.000 además de comisiones, por las cuales cada unidad de carro vendida tiene como ganancia $100.000. Teniendo en cuenta esta información, la gráfica se compone de la siguiente forma.
¿Esta relación es una función? Justifique su respuesta.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3) Una compañía de telefonía móvil cuenta con los siguientes planes de minutos:
Plan Valor básico
Cantidad básica minutos
Valor por minuto después del plan básico
1 18.000 190 120
2 15.000 160 130
3 30.000 350 100
4 25.000 300 140
Responda y justifique:
a. En la situación anterior, ¿Cuál es la variable independiente?
______________________________________________________________________
b. En la situación anterior, ¿Cuál es la variable dependiente?
______________________________________________________________________
c. Para alguien que gasta menos de 100 minutos al mes, ¿Qué plan debería elegir?
______________________________________________________________________
d. ¿Qué plan le conviene más a una persona que gaste en promedio 230
minutos?
______________________________________________________________________
Anexo: Pretest, actividad diagnostica 86
4) La empresa Plumones Amaya fabrica lapiceros, actualmente dispone de dos formas de pago para los empleados. La Primera forma, cuenta con un básico de $850.000 junto con una comisión de $50.000 por cada cliente mayoritario que contrate con la empresa. La Segunda forma de pago consta de un plan básico de $ 980.000 incluyendo una comisión de $10.000 por cada cliente mayoritario que contraten. Usted como gerente de la empresa debe explicar a los empleados cada plan, y para ello prepara una exposición en la cual deberá responder la siguiente pregunta: ¿cuándo es más rentable cada plan de pago? ¿Cómo lo haría?, anexe una hoja con su respuesta justificada.
Anexo: Guía número 1 87
B. ANEXO: GUÍA NÚMERO 1
Institución Educativa Javiera Londoño
Guía numero 1 Construcción de cajas
Nombre: _________________________________________________________
Fecha: _______________ Grado: _______________
Docente: Jorge Iván Amaya
Objetivo: Representar con material concreto, una situación de variación que permita
correlacionar variables y generar un registro de representación semiótica tabular
de la situación.
Duración: 2 hora 2 sesiones
Materiales:
• 1/8 de Cartulina por persona
• Regla
• Tijeras
• Pegamento
• Lápiz
• Hoja de trabajo
Momento 1
Con ayuda de tu regla mida en el octavo de cartulina un rectángulo de 20 cm x 30 cm,
luego recorte el mismo.
Con tal rectángulo se realizarán cajas, una por cada estudiante, en las cuales variarán
sus dimensiones, su motivo se debe a que el docente asignara un número del 1 al 9
de forma aleatoria
a cada alumno, el número
asignado es el valor en
centímetros de la distancia
x, la cual se
encuentra
representada en la
siguiente gráfica:
Anexos 88
La figura nombrada con el número 1 en la gráfica anterior, es la pieza que debe
recortarse dejando un pequeño sobrante, en la medida de lo posible del mismo
tamaño, éstas serán de utilidad para unir los lados laterales de la caja. El borde de la
figura cuatro servirá como guía a la hora de hacer el doblez de las paredes de dicha
caja.
Momento 2
Teniendo en cuenta que, el área de un rectángulo es la multiplicación de la longitud
de la base por la longitud de la altura 𝐴 = 𝑏𝑥ℎ , mida la base y la altura de cada figura
que compone la caja (figura 1, 2, 3, y 4) y determine el área de cada una. Plasme los
resultados en la siguiente tabla, no olvide marcar cada respuesta con la unidad de
medida correspondiente (cm, 𝑐𝑚2)
Nota: de la figura número 1 se recortó un pedazo ya que de éste se extrajeron las
pestañas para unir la caja, ignore este hecho y suponga que la figura sigue siendo un
rectángulo.
Registro 1.1
Figura Base Altura Área
1
2
3
4
Momento 3
Como las dimensiones de la caja varían, el grupo de estudiantes deberá socializar los
resultados obtenidos, llenando así, cada espacio de la gráfica expuesta a
continuación con la información obtenida.
Anexos 89
Registro 1.2
Medida de x en
cm
Área de
Figura 1
Área de
Figura 2
Área de
Figura 3
Área de
Figura 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Anexos 90
C. ANEXO: GUÍA NÚMERO 2
Institución Educativa Javiera Londoño Guía número 2
De las tablas a las curvas Nombre: _________________________________________________________
Fecha: _______________ Grado: _______________
Docente: Jorge Iván Amaya
Objetivo: convertir de un registro de representación tabular a un registro de
representación grafico en una situación de cambio que se modela por medio de
una función cuadrática
Duración: 2 horas
Materiales:
• guía 1
• cajas realizadas en la primera guía
• Lápiz
• Hoja milimetrada
Anexos 91
Momento 1
• Observe detenidamente las cajas y compare entre las cajas realizadas por los
compañeros y la suya, luego realice un diálogo con el docente y a nivel general
escriba una lluvia de ideas en el tablero acerca de lo observado
• Asigne un nombre a cada una de las variables, como por ejemplo la variable x,
el área de la figura número 1, etc.
• Determine cuáles son variables dependientes y variables independientes.
• Escriba una conclusión que englobe todo el momento número 1, en la cual
deberá definir las variables, el nombre asignado, y cuáles serían las variables
dependientes e independientes.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Momento 2
Analice y de respuesta a las siguientes preguntas.
• En la guía anterior el docente asignó números del 1 al 9, los cuales que
correspondían al valor en centímetros que debía tomar la variable x para cada
estudiante, ¿Qué pasaría si el docente asigna a un alumno 10 centímetros como
valor de x?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
• ¿Qué pasaría con el área de figura 4 si el docente asigna a un estudiante 3,5
centímetros como valor de x?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Anexos 92
• Realice un debate con sus compañeros y resuelvan si es posible que el docente
asigne a un estudiante el número 0,1 cm como valor de x, e imaginen cómo
quedaría formada la caja. Describa las conclusiones a las cuales llegaron.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
• En caso tal de que se asignara a un estudiante el valor de 9.5 cm como valor de
x, indique cuál sería el valor del área para cada una de las 4 figuras en el
siguiente cuadro:
Registro 2.1
Figura Base Altura Área
1
2
3
4
Momento 3
Realice la gráfica en un plano cartesiano del área de la figura 1, figura 2, figura 3 y
figura 4 (Una gráfica por cada figura) en términos de la variable independiente x. Para
ello se tiene como apoyo el registro 1.2 de la guía 1.
Se debe tener en cuenta que, para cada gráfica el eje x va a tener los mismos valores
(del 0 al 10), y para el eje y se debe escoger una escala que sea propicia a los valores.
Recorte y pegue las gráficas realizadas en el papel milimetrado.
Registro 2.2
Anexos 94
Registro 2.5
Analice y de solución a las siguientes preguntas:
• ¿Qué hay de común en cada una de las gráficas resueltas en clase?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________
• ¿Hay valores negativos? Sí__ NO__ ¿Por qué?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Anexos 95
D. ANEXO: GUÍA NÚMERO 3
Institución Educativa Javiera Londoño Guía numero 3
La ecuación de una caja Nombre: _________________________________________________________
Fecha: _______________ Grado: _______________
Docente: Jorge Iván Amaya
Objetivo: convertir de un registro de representación tabular y registro de representación
grafico a un registro de representación algebraico en una situación de cambio
que se modela por medio de una función cuadrática
Duración: 2 horas
Materiales:
• Guía 1 y 2
• Regla
• Lápiz
• Hoja de trabajo
Momento 1
En una tabla analice el comportamiento de las variables 𝒚 , 𝒛 según la forma en la que
modifica la variable 𝒙, tome la variable x como la variable independiente. Para ello
complete:
Anexos 96
Registro 3.1
Variable x en cm Variable y en cm Variable z en cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Momento 2
Analice y de respuesta:
• ¿Se observa alguna secuencia entre los números que se le van
asignando a la columna de la variable y?
___________________________________________________________
___________________________________________________________
• ¿Se observa alguna secuencia entre los números que se le van
asignando a la columna de la variable z?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
• Para calcular las áreas de la figura 1, 2, 3 y 4 en el momento que la
variable x toma el valor de 2, 5, 8, y 5.5 ¿Sería capaz de realizar sin tener
que mirar la caja o la tabla anteriormente realizada? Explique qué
procedimiento utilizaría.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Anexos 97
• Si le pidieran una ecuación que nos permita calcular y en función del valor
que se le asigne a x, ¿Qué ecuación daría?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
• Si le pidieran una ecuación que nos permita calcular z en función del valor
que se le asigne a x, ¿Qué ecuación daría?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Como se puede observar, las ecuaciones funcionales resultantes de la
correlación entre la variable x con las variables y, z son ecuaciones del tipo
lineal con forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 anteriormente estudiadas.
Momento 3
La intención de esta guía es poder lograr la deducción de la ecuación funcional que
relaciona la variable independiente x con los valores variables de las áreas de las
figuras 1, 2, 3, 4. Para ello vamos a tomar como base de nuestro estudio la fórmula
para hallar el área de un rectángulo 𝑨 = 𝒃𝒙𝒉 (área igual a la base por altura).
Complete la siguiente tabla, para ello debe repasar cómo se realiza la multiplicación de
polinomios, reducir términos semejantes de manera tal que se presente la ecuación
funcional lo más simplificada posible. Utilice una hoja de operaciones adicional para
realizar sus cálculos y anéxela a la guía.
Anexos 98
Registro 3.2
Figura Base Base en
términos de
x
Altura Altura en
términos de
x
Ecuación del
área
(multiplica
base en
términos de x
por la altura)
1
2
3
4
Anexos 99
E. ANEXO: GUÍA NÚMERO 4
Institución Educativa Javiera Londoño Guía numero 4
Características de una función cuadrática Nombre: _________________________________________________________
Fecha: _______________ Grado: _______________
Docente: Jorge Iván Amaya
Objetivo: observar cómo se comporta gráficamente una ecuación funcional de segundo
grado o cuadrática, partiendo desde un registro algebraico hacia uno tabular y
gráfico
Duración: 2 horas
Materiales:
• Guía 1, 2 y 3
• Regla
• Lápiz
• Hoja de trabajo
• Hoja de papel milimetrado Momento 1 Como se analizó anteriormente en la guía número 2, para la construcción de la caja el
docente no puede asignar un número para x igual o mayor a 10 e igual o menor a 0, ya
que si lo hace es imposible que se configure la construcción de una caja con el material
dado, pero, gracias al poder de abstracción que tienen las matemáticas podemos
analizar que sucede con el registro gráfico y tabular si se amplía el dominio de la
función a números negativos y números mayores que el 10.
• Utilizando como apoyo el registro 3.2 donde están consignadas las
ecuaciones de cada una de las funciones estudiadas, evalúe y complete
las siguientes tablas:
Anexos 100
Registro 4.1 función de la figura 1
x -5 -3 -2 0 2 4 8 12 14
y
Registro 4.2 función de la figura 2
x -5 -3 -2 0 2 4 8 12 14
y
Registro 4.3 función de la figura 3
x -5 -3 -2 0 2 4 8 12 14
y
Registro 4.4 función de la figura 4
x -5 -3 -2 0 2 4 8 12 14
y
Momento 2
En base a los registros realizados en el momento número 1 de la presente guía, se
realizará en la hoja de papel milimetrado las gráficas correspondientes a las funciones,
en esta ocasión excediendo los límites que nos impone el contexto real de la situación
estudiada, por consiguiente, los ejes de la gráfica deben tener tanto la parte positiva
como negativa.
Recorte y pegue las gráficas realizadas en el papel milimetrado.
Anexos 103
Momento 3
Analice y de solución a la siguiente pregunta, ¿Qué pasa con la gráfica cuando el signo
que acompaña a la variable x es positivo y qué sucede cuando este signo es negativo?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________