Losas m. Marco Eq_28!02!2010

UNIVERSIDA NACIONAL “ PEDRO RUIZ GALLO “ FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA- CONCRETO ARMADO II

CJ RAMOS/ 2007

ANALISIS DE LOSAS POR EL METODO DEL MARCO EQUIVALENTE

Preparado por INGº CARLOS J. RAMOS CH BASE DE ANALISIS .- El análisis esta basado en transformar una estructura tridimensional en una serie de pórticos bi dimensionales centrados en los ejes de las columnas o de los apoyos, que se extienden tanto transversalmente y longitudinalmente, como en toda su altura. IDEALIZACION DE LA ESTRUCTURA El método consiste en idealizar la estructura en una serie de pórticos en dos direcciones. Las columnas de los pórticos equivalentes son iguales a las columnas de la estructura propiamente dicha, más la viga perpendicular a la dirección del pórtico equivalente, cómo se muestra en la figura, lo que permite tomar en cuenta el efecto de restricción por torsión que ejercen las vigas sobre la losa.


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ELEMENTOS DEL PORTICO EQUIVALENTE

FRANJAS DE DISEÑO .- Lo anchos de franjas a considerar, están determinadas por los valores L1 ó L2, la que sea menor, de tal manera que los momentos tiendan a concentrarse en el eje de columna. Los elementos del marco equivalente están constituidos por Viga-Losa ( elementos horizontales ), columnas ( elementos verticales ), y elementos torsionantes, que permiten la transmisión del momento entre las vigas-losas y las columnas


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(b) Franja de Columna para l2 > l1


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ESPESOR DE LOSAS .- - Para losas con vigas :

H >/= Ln / 40 ; h>/= perimetro paño/ 180

- Para losas sin vigas interiores :

- Paño exterior : h>/= Ln/30 Sin vigas de borde - Paño interior : h>/= Ln/33 - Paño exterior : h>/= Ln/33 Con vigas de borde - Paño interior : h>/= Ln/33

CONTROL DE DEFLEXIONES ( ACI-99 ) En losas armadas en dos direcciones sometidas a flexión que tengan una relación de tramo largo a tramo corto no mayor de 2; el espesor mínimo para no calcular deflexiones, deberá determinarse con las siguientes expresiones : a ) Si αm, está comprendido entre 0.2 y 2 " h " esta dado por : h = Ln ( 0.8 + fy / 14000 ) / 36 + 5β ( αm - 0.2 ) , (1) y no será menor que : h = 12.5 cms b ) Si αm > 2 , el espesor mínimo será : h = Ln ( 0.8 + fy / 14000) / ( 36 + 9β ) (2) y no menor que h = 9 cms c ) Si αm </= 0.2 , el espesor de la losa debe ser : Para fy = 4200 kg/ cm² Sin ábaco con ábaco Paño exterior Paño interior Paño exterior Paño interior S/viga borde con viga s/viga borde con viga De borde borde Ln/33 Ln/30 Ln/33 Ln/33 Ln/36 Ln/36 d ) Para losas con ábacos h>/= 10 cms. y para losas sin ábacos h>/= 12.5 cms.. En extremos discontinuos la losa debe proveerse de una viga de borde con α >/= 0.8; si no hay peralte será igual al determinado por las ecuaciones (1) ó (2), incrementado en un 10%.


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β Relación de luz libre mayor a luz libre menor α Relación de rigidez a flexión de la sección de la viga a la rigidez a flexión de un

ancho de losa limitado lateralmente por las líneas centrales de paño adyacentes en cada lado de la viga.

αm promedio de los valores de α en todo el perímetro del paño . αm =0, para losas sin vigas. ANALISIS .- El método del pórtico equivalente, es un esquema de análisis de pórticos en el que se hallan las fuerzas en las uniones de vigas y columnas, y a partir de los cuales se determinan los momentos y cortantes en las caras de los apoyos, y los momentos positivos máximos, se puede utilizar cualquier método de análisis conocido, sin embargo, cómo la estructura que se analiza, no es en realidad un pórtico, sino un sistema de losas, es preciso efectuar algunas aproximaciones especiales con la finalidad que los resultados del análisis del pórtico tenga alguna relación válida con la losa El método consiste en dividir a la estructura en un sistema de pórticos, cuyas columnas son las de la estructura y cuyas vigas son franjas de losas comprendidas entre las lineas medias de paños adyacentes. Los pórticos deben ser analizados en las dos direcciones, aplicándosele la carga vertical que corresponde a cada franja; en el caso de cargas horizontales ( sismo ) , la estructura debe ser analizada en su conjunto. Definidos los pórticos, con alturas de columnas limitadas por las losas superior e inferior, se analizan éstos con cualquiera de los métodos de análisis elásticos conocidos, para lo cual debe determinarse las rigideces de la viga-losa y de columna. Se procederá a la distribución de los momentos hallados entre las franjas de columnas, franja central, y vigas si las hubiera. Seguidamente debe chequearse cortante y la transferencia de momentos a columnas. METODO DE ANALISIS .- a) Debe idealizarse la estructura tridimensional , en pórticos bi dimensionales,

constituidos por columnas y la vigas-losa de la franja de columna. b) Determinación del espesor de losa (h), por deflexión, cortante y punzonamiento ( para

el caso de losas sin vigas ) c) Metrado de cargas d) Determinación de las rigideces de los elementos que conforman los diferentes marcos

equivalentes : - Rigidez a flexión viga-losa - Rigidez a flexión de columnas - Rigidez a torsión - Rigidez columna - equivalente

e) Determinación de los factores de distribución, factores de transporte, y momentos de

empotramiento f) Análisis estructural de los pórticos ( cross, kani, takabeya ....)


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g) Distribución de los momentos flexionantes y fuerzas cortantes, obtenidos en el análisis, entre las franjas de columnas y franjas centrales de acuerdo a la tabla de porcentajes

h) Diseño del refuerzo en las dos direcciones i) Refuerzo, por transmisión del momento desequilibrado ( caso de losas sin vigas ). En sistemas de piso sin vigas, se asume que existe viga cuya altura es igual al espesor de la losa, y de ancho igual al de la columna o capitel en la dirección del pórtico equivalente. En el caso de losas con vigas se supone que las vigas transversales son vigas " T " ó " L ", con anchos de influencia </= 4t, conforme se indica en las figuras. En losas apoyadas sobre vigas; las vigas de los pórticos equivalentes, esta formado por la viga de la estructura y los tramos de losa comprendidos entre los ejes centrales de los paños. En losas apoyados sobre columnas, las vigas de los pórticos están constituidos por los tramos de losa comprendidos entre los ejes centrales de los paños DETERMINACION DE LA RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS QUE CONFORMAN EL PORTICO a) VIGA-LOSA ( Ksb )

Los diagramas de rigidez de las vigas-losas equivalentes, se pueden utilizar para determinar las constantes de distribución de momentos y los momentos de empotramiento para el análisis del pórtico; para lo cual debe tenerse en cuenta lo siguiente :

- Se considera las secciones brutas de concreto sin agrietar y sin tener en cuenta el refuerzo.

- Se toma en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo del eje de la viga-losa, entre los apoyos

- Un apoyo es una columna, un capitel, una ménsula o un muro, la viga no se considera

como elemento de apoyo.

- La viga-losa se considera como un elemento acartelado dentro del paño, por consiguiente los factores de rigidez , de transporte, así cómo los momentos de empotramiento basado en elementos prismáticos, no se pueden aplicar a los elementos del sistema viga-losa.

- La inercia de la viga-losa, desde el el paño de apoyo hasta el eje del mismo, se

considera igual al momento de inercia de la viga-losa en el paño del apoyo dividida entre el valor (1-c2/l2 )². El factor de amplificación (1 - c2/l2 )², que se aplica al momento de inercia entre el paño de apoyo y el eje de éste, hace que en efecto, cada viga -losa sea al menos un elemento acartelado dentro del tramo.


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- Las tablas A-1, al A-6, dan los coeficientes de rigidez, factores de transporte y coeficientes de momentos de empotramiento para diferentes configuraciones geométricas y de carga. La tabla A-1, puede utilizarse para placas planas y losas con vigas. La tabla A-2, hasta la A-5, puede usarse en losas planas y losas aligeradas, con diversos peraltes del ábaco. La tabla A-6, cubre el caso de una placa plana combinada con una losa plana.


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b) COLUMNA ( Kc )

La rigidez de la columna se basa en su altura Lc, medida de la mitad del peralte de la losa superior a la mitad del peralte de la losa inferior. La estructuración de los diagramas de rigidez se basa en las consideraciones siguientes :

- El momento de inercia de la columna, fuera de la unión viga-losa, se basa en la sección transversal total del concreto


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- Debe tomarse en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo del eje de la columna, entre las uniones viga-losa.

- Para columnas con capiteles, se considera que el momento de inercia varía

linealmente desde la base del capitel hasta el lecho inferior de la viga-losa.

- En la unión de la viga-losa, el momento de inercia se considera infinito, desde el lecho superior hasta el lecho inferior de la viga-losa.

- El factor de rigidez para columnas ( Kc ), no puede considerarse cómo elementos

prismáticos uniformes.

La tabla A7, puede utilizarse para determinar la rigidez de la columna real y los factores de transporte.


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c) ELEMENTOS SUJETOS A TORSION ( Kt ).-

La rigidez Kt del elemento sujeto a torsión está calculada con la siguiente expresión : Kt = ∑ 9 Ecs C / l2 [ 1 - ( c2 /l2 ) ] El término C es una constante de la sección transversal que define las propiedades torsionantes del elemento. El valor de C se calcula dividiendo la sección transversal del elemento sujeto a torsión en secciones rectangulares separadas y sumando los valores de C para cada uno de los rectángulos componentes. Es conveniente subdividir la sección transversal, de manera que resulte el valor más alto posible de C : C = ∑ [ 1 - 0.63 ( x/y ) ] x y / 3 X = la dimensión menor de una sección rectangular

Y = la dimensión mayor de una sección rectangular

Si las vigas forman pórtico con el apoyo en la dirección en que se determinan los momentos, es necesario incrementar la rigidez a la torsión Kt, dada por la ecuación : Kta = Kt Isb / Is Kta = rigidez a la torsión incrementada debido a la viga paralela Is = Inercia de una losa con un ancho igual al ancho total entre las líneas centrales del tablero l2, excluyendo la porción del alma de la viga que se extiende por arriba y por debajo de la losa ( Is = l2 h / 12 ) Isb = Inercia de la sección de la losa especificada para Is, incluyendo la porción del alma de la viga que se extiende por arriba y por debajo de la losa.


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d) COLUMNAS EQUIVALENTES ( Kec ) El concepto de columna equivalente se usa para representar la combinación de la rigidez de la viga-losa y de los elementos torsionantes en un elemento compuesto. La columna equivalente modifica la rigidez de la columna para tomar en cuenta la flexibilidad torsionante de la conexión losa a columna que reduce su eficacia en la transmisión de los momentos. La columna equivalente consiste en las columnas reales arriba y debajo de las vigas-losa más los elementos torsionantes adosados a cada lado de la columnas, que se extienden hasta los ejes centrales de los tableros adyacentes. La presencia de las vigas paralelas también influirá en la rigidez de la columna equivalente. La rigidez a la flexión Kec de la columna esta dado por : 1/ Kec = ( 1 / ∑ Kc ) + ( 1 / ∑ Kt ) Kec = ∑Kc x ∑Kt / ( ∑Kc + ∑Kt )


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DISTRIBUCION DE LAS CARGAS VIVAS Cuando la carga viva de servicio no excede de tres cuartos de la carga muerta de servicio, sólo es necesario utilizar el primer patrón de carga; con la carga viva total factorizada en todos los paños, para los momentos factorizados positivos y negativos. Cuando la relación carga viva a carga muerta de servicio excede de tres cuartos, es necesario analizar los tres patrones de carga mostrados, para determinar todos los momentos factorizados en los elementos del sistema viga-losa. Los patrones de carga ( 2 ) y ( 3 ) consideran cargas vivas parciales factorizadas para determinar los momentos factorizados. Sin embargo, con carga viva parcial, los momentos factorizados no pueden considerarse menores que los que ocurren con carga viva total factorizada en todos los claros del sistema viga-losa; por lo que se requiere patrón de carga ( 1 ) para completar el análisis. Para el caso de losas con vigas, que soportan cargas directamente ( peso propio o carga de muros ), debe efectuarse un análisis adicional del pórtico con la sección de la viga diseñada, para transmitir esas cargas, adicionándole los momentos que la losa transmite a la viga.


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DISTRIBUCION DE LOS MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS .- Los momentos positivos y negativos determinados a lo ancho de la franja de losa (l2), entre la franja de columna y la franja central. La distribución se hace de tal manera que el momento total en la franja completa, se divide primero entre la franja de columna y la franja central, y despues se divide el momento de la franja de columnas entre la losa y la viga si lo hubiere. a) Franja de Columna .- Los momentos que corresponden a la franja de columnas se determina en base a un porcentaje del momento total presentado en la tabla siguiente: PORCENTAJES DE LOS Mos. TOTALES QUE SE ASIGNA A LA FRANJA DE COLUMNA Relación de rigideces Valores de l2 / l1 0.5 1.0 2.0 Mos. Negativos en α1 l2 / l1 = 0 75 75 75 Apoyos interiores α1 l2 / l1 >/= 1.0 90 75 45 βt = 0 100 100 100 α1 l2 / l1 = 0 Mos. Negativos en βt = 2.5 75 75 75 Apoyos exteriores βt = 0 100 100 100 (α1 l2/l1 ) >/= 1.0 βt >/= 2.5 90 75 45 α1 l2 / l1 = 0 60 60 60 Mos. Positivos

α1 l2 / l1 >/ = 1. 0 90 75 45

b.- Franja Central .- Se determina por la diferencia entre el 100% y el porcentaje asignado

a la franja de columna. c.- Distribución entre la franja de columna y la viga .- A las vigas se les asigna el 85% el momento que corresponde a la franja de columna si (α1 l2 / l1), es igual o mayor que 1.0 :

Si este parámetro está comprendido entre 1.0 y cero, el porcentaje de momentos asignado a la viga se calculará por interpolación lineal entre 85 y cero por ciento. En todos los casos se pueden hacer interpolaciones lineales entre los valores mostrados en las tablas, si los calculados no coinciden con ellos. Los momentos calculados con los porcentajes anteriores pueden modificarse hasta en 10%, siempre que se conserve el momento estático total.


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GRAFICOS PARA ANALISIS POR DEFLEXIONES


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