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8/11/2019 Lpm Matematicas Vol1 3 Ayudaparaelmaestro
1/217
3erGrado
VolumenI
USTITU
IR
MATEMTICAS
3er GradoVolumen I
II
III
MATEMTICAS
Libroparaelmaestro
Libroparaelmaestro
L i b l t
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Libro para el maestro
3er GradoVolumen I
III
MATEMTICAS
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Introduccin al modelo pedaggico renovado
La enseanza y aprendizaje de las Matemticas en TelesecundariaLa tecnologa en el modelo renovado de Telesecundaria
C I N C O SU G ER EN C I A S PA R A EN SE A R EN LA TELESEC U N D A R I A
1 Crear un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente 3 Fomentar la interaccin en el aula 4 Utilizar recursos mltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas
Pistas didcticas
Mapa-ndice
Clave de logos
BLOQUE 1
SECUENCIA1 Productos notables y factorizacin
SECUENCIA2 Tringulos congruentes y cuadrilteros
SECUENCIA3 Entre rectas y circunferencias
SECUENCIA4 ngulos en una circunferencia
SECUENCIA5 Problemas con curvas
SECUENCIA6 La razn de cambio
SECUENCIA7 Diseo de experimentos y estudios estadsticos
BLOQUE 2
SECUENCIA8 Ecuaciones no lineales
SECUENCIA9 Resolucin de ecuaciones por factorizacin
SECUENCIA10 Figuras semejantes
SECUENCIA11 Semejanza de tringulosSECUENCIA12 ndices
SECUENCIA13 Simulacin
Examen bloque 1
Examen bloque 2
Bibliografa
4
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22
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ndice
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PresentacinLa trayectoria de la Telesecundaria no ha sido ajena al avance de las
tecnologas de la informacin y la comunicacin y a las enormes
posibilidades que dichas tecnologas han abierto para la educacin. La
renovacin del modelo pedaggico ofrece, en esta tradicin innovadora, la
posibilidad de trabajar de manera flexible con los programas de
televisin, adems de enriquecer la interaccin en el aula al incluir los
recursos informticos, materiales en audio, as como materiales impresos
diversos y renovados, de acuerdo con las necesidades de un sistema
educativo que prepara a sus alumnos para producir y utilizar diferentes
tipos de conocimientos y herramientas conceptuales, analticas y
culturales, para operar de modo competente en un medio complejo y
dinmico.
La renovacin del modelo pedaggico de la Telesecundaria insiste en que
el alumno encuentre mltiples oportunidades y maneras para expresar lo
que sabe y acercarse a lo que no sabe; situaciones en las que pueda
desplegar sus ideas y conocer las de los dems. Para lograr esto, las
actividades propuestas requieren la colaboracin entre los participantes,
la consulta a diferentes fuentes y la participacin en situaciones deaprendizaje variadas, as como usos diversos de la lectura y la escritura, el
desarrollo de un pensamiento lgico-matemtico, la comprensin del
mundo natural y social, la formacin en valores ticos y ciudadanos y la
creatividad.
Con base en lo anterior, se introducen nuevos materiales y actividades de
aprendizaje que fomenten la consulta de varias fuentes, la discusin, la
comparacin de textos, la integracin de diferentes formas de
representacin (imagen, sonido, grficos, texto, mapas, entre otros), y el
uso de herramientas digitales para la exploracin y la verificacin deconjeturas.
La relevancia de los contenidos escolares para la vida de los alumnos de
Telesecundaria y la necesidad de crear situaciones de aprendizaje en las
que la experiencia y el conocimiento de los alumnos son relevantes y
tiles para participar en la clase, constituyen desde luego el principal
punto de partida de la renovacin.
Introduccin al modelopedaggico renovado
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La organizacin pedaggica en el aulaEn la nueva propuesta pedaggica para Telesecundaria, la actividad en el
aula se organiza en secuencias de aprendizaje que duran entre una y dos
semanas; las secuencias abarcan un cierto nmero de sesiones,
dependiendo de la asignatura. Cada secuencia se articula en torno a la
realizacin de un proyecto, la resolucin de una o varias situaciones
problemticas o el anlisis de un estudio de caso, que ponen en juego el
tratamiento de varios contenidos de los Programas de estudio 2006 para
la educacin secundaria, y al menos uno de sus mbitos o ejes
transversales. El trabajo por proyectos, estudios de caso o la resolucin de
situaciones problemticas permiten combinar el desarrollo de
competencias con la atencin a algunas necesidades de los adolescentes,
tanto en el contexto personal como en el social/comunitario.
El cambio de sesiones diarias a secuencias de una o dos semanas permite
disponer del tiempo necesario para el trabajo alrededor de las situaciones
problemticas, proyectos temticos, o estudios de caso, cuya realizacin
exige la elaboracin de productos y la discusin de los mismos ante el
grupo. Otra de las razones de esta modificacin tiene que ver con la
necesidad de ampliar el tiempo para profundizar en la comprensin, lareflexin y la elaboracin de conceptos y nociones, lo cual permite ofrecer
mayores oportunidades para el aprendizaje.
Se pretende que las secuencias de aprendizaje cumplan con los siguientes
propsitos educativos:
1. Centrarse en el aprendizaje ms que en la enseanza, y en el alumnoms que en la disciplina.
Proporcionar acceso a fuentes de informacin y recursos variados,
impresos y tecnolgicos, as como a diferentes formas de
representacin de ideas, situaciones y conceptos.
Presentar los contenidos de manera lgica y darle prioridad al
tratamiento a profundidad sobre el extensivo.
Centrar el tratamiento temtico en el desarrollo de nociones,
habilidades y actitudes para la comprensin de conceptos centrales.
Utilizar, como referencia, los conocimientos e intereses de los
alumnos.
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2. Promover la interaccin en el aula y propiciar la participacin reflexivay colaborativa entre los alumnos.
Ampliar las prcticas lectoras y de escritura.
Contener actividades que permitan a los alumnos dar explicaciones
ordenadas, formular argumentos lgicos, hacer interpretaciones
fundamentadas y realizar anlisis abstractos.
3. Presentar un proceso de evaluacin que constituya una herramientaque oriente las decisiones del docente y de los alumnos.
Responder a una demanda social e interinstitucional de certificar los
conocimientos curriculares previstos por asignacin de calificaciones.
Reconocer los diferentes modos de representacin en que se
pueden expresar los procesos de produccin de conocimiento y el
lugar propicio para su evaluacin.
4. Establecer estrategias claras de vinculacin con la comunidad.
Incorporar el enfoque intercultural en los contenidos, discurso y diseo.
El papel del docente en el modelorenovadoEl mdulo pedaggico renovado de Telesecundaria busca ampliar las
prcticas de los docentes para que puedan:
Fomentar discusiones en el aula que impliquen razonamientos complejos.
Llevar a cabo actividades de aprendizaje que promuevan la discusin,
el planteamiento de preguntas autnticas y la bsqueda de respuestas,
el anlisis y solucin de problemas, la elaboracin de productos
culturales.
Integrar las participaciones de los alumnos para concluir, cuestionar y
construir andamiajes, a fin de que stos transiten hacia entendimientos
ms profundos.
Trabajar con una multiplicidad de materiales didcticos (impresos,
digitales, de audio y video), utilizndolos de tal modo que tengan
relevancia y sean significativos para el aprendizaje.
Reconocer los avances y aprendizajes de sus alumnos, as como los
aspectos que requieren mayor reflexin.
Es necesario concebir la transformacin de la prctica docente en la
Telesecundaria como un proceso paulatino, que permita a los docentes
reconocer y recuperar logros alcanzados y aprender de los errores
cometidos. Para apoyar al maestro, los nuevos materiales didcticos
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aportan elementos que favorecen un proceso gradual de mejora continua,
en el cual se articulen materiales educativos, actividades y formas de
participacin novedosas de los maestros y los alumnos.
La evaluacin en el modelo renovadoDesde el modelo pedaggico renovado se propone considerar que laevaluacin es parte del proceso didctico y que significa para los
estudiantes una toma de conciencia de lo que han aprendido y, para los
docentes, una interpretacin de las implicaciones de la enseanza de esos
aprendizajes.
A la hora de reflexionar sobre la evaluacin, se aplican los mismos
interrogantes que a la hora de pensar las actividades de aprendizaje y su
valor en la construccin del conocimiento. Planteamos que la evaluacin
tiene que ver ms con la produccin de conocimientos que con lareproduccin de ellos, y por lo tanto requiere actividades que promuevan
la revisin crtica de lo aprendido y de las actividades realizadas.
La evaluacin, planteada desde esta perspectiva, favorece en los alumnos
el mejoramiento de sus producciones y proporciona a los docentes la
oportunidad de mejorar su prctica y crecimiento profesional. En el
modelo renovado de Telesecundaria, en trminos generales se propone:
1. La evaluacin del aprendizaje a partir de los diferentes modos derepresentacin y expresin del conocimiento (ensayos, elaboracin de
proyectos, anlisis de fuentes, resolucin de casos, entre otras).2. La incorporacin de opciones de evaluacin inspirados en pruebas
estandarizadas a las que los alumnos tienen necesariamente que
enfrentarse a lo largo de su vida escolar.
3. La evaluacin del desempeo de los alumnos en su participacin en lasolucin de problemas, la elaboracin de proyectos, la utilizacin del
pensamiento de nivel superior, el despliegue de estrategias de
razonamiento en situaciones reales, las prcticas sociales del lenguaje
y los productos alcanzados.
4. La evaluacin entre pares: esto permite a los estudiantes, ver, juzgar yaprender del trabajo de los dems, basndose en los criterios
definidos. La definicin de criterios puede centrar la discusin durante
la clase y el anlisis del trabajo realizado por el grupo. Cuando se
logra que los estudiantes participen en el establecimiento de los
criterios a partir de los aprendizajes esperados, les es ms fcil
comprender los aspectos importantes de un producto.
Para el caso de la evaluacin de desempeo se requiere cubrir ciertos
criterios que la conviertan en una herramienta eficaz: tener un propsito
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claro, identificar los aspectos observables, crear un ambiente propicio
para realizar la evaluacin, emitir un juicio o calificacin que describa el
desempeo. Se trata de formular criterios significativos, importantes y que
los alumnos comprendan.
Dadas las caractersticas anteriores, este tipo de evaluacin consume
mucho tiempo. Por ello, en una primera etapa los mater iales renovadosproponen los lugares especficos para evaluar, as como los criterios
apegados a los aprendizajes esperados establecidos en los Programas de
estudio 2006. Se espera que, con el tiempo, los maestros puedan conocer
gradualmente las exigencias de este tipo de evaluaciones de tal manera
que establezcan el momento para realizarla, los criterios para efectuarla y
que stos puedan establecerse conjuntamente con sus alumnos.
Se pretende que el profesor se familiarice con la idea de conceder mayor
valor a los tipos ms importantes de desempeo (proyectos, portafolio,
etctera) que a los cuestionarios cortos, las pruebas objetivas o a las
tareas escolares, pues los primeros ofrecen una visin ms completa e
integrada del aprendizaje. Las orientaciones especficas van dirigidas a
que los mtodos con que se valoren los diversos tipos de informacin
evaluativa sean los ms sencillos posible y su descripcin concreta est
expuesta en los documentos particulares de cada rea acadmica.
Caractersticas de los nuevosmaterialesUn aspecto clave de la renovacin pedaggica para la Telesecundaria es la
disponibilidad de diversos materiales en el aula.
Los nuevos materiales impresos incluyen llamados a diversos tipos de
recursos: libros de consulta, libros temticos de difusin cientfica y
cultural, literatura, incluidos en las colecciones de las Bibliotecas
Escolares y de Aula; material audiovisual en programas transmitidos por
la Red satelital EDUSAT y actividades para realizar en la computadora con
capacidad de despliegue o de ejecucin. Algunos de estos materiales se
integrarn de manera gradual para llevar a cabo las actividades
propuestas por el modelo renovado.
En el material de base o Libro para el alumno se hacen invitaciones
especficas para el uso de varios recursos, y se crean tiempos curriculares
para la lectura, la consulta y el trabajo con estos materiales.
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Materiales impresosLibro para el alumnoFunciona como texto articulador de recursos mltiples, impresos,
audiovisuales e informticos. Integra, en dos volmenes por asignatura, la
informacin bsica y las actividades de aprendizaje.El Libro para el alumno cuenta con un mapa de contenidos, el cual se
concibe como una herramienta que permite ver el panorama global del
curso y de sus partes, las secuencias con los temas y el uso de otros
recursos involucrados, audiovisuales e informticos, as como los aspectos
que cada asignatura considera relevantes.
Adems de las secuencias de aprendizaje vinculadas con los contenidos
programticos, se proponen sesiones al final de cada bimestre, destinadas
a la integracin de los conocimientos y a la evaluacin de los
aprendizajes. De la misma manera, se incluye una sesin introductoria queayudar al docente y alumnos a conocer sus materiales y las formas de
trabajo sugeridas para el curso.
Con base en lo planteado en los Programas de estudio 2006, las
asignaturas constan de cinco bloques o bimestres integrados por un
nmero variado de temas y subtemas. La distribucin de los contenidos en
cinco bloques por curso tiene la intencin de apoyar a los docentes en el
reporte de los avances de los logros de aprendizaje de los alumnos. El
modelo pedaggico renovado retoma esta organizacin como eje
articulador de toda la programacin.
La estructura general de las secuencias es la misma para todas las
asignaturas, si bien se introducen subttulos de acuerdo con las
necesidades especficas de cada una de ellas. Las etapas generales y las
especficas, as como su descripcin se incluyen en las introducciones de
cada volumen.
El trabajo en cada secuencia considera diferentes formas de organizacin
entre los alumnos, as como actividades que pueden realizarse en
versiones para lpiz y papel o mediante la tecnologa, con el nfasis en su
uso como herramienta para la enseanza (despliegue en aula) o bien
como herramienta para el aprendizaje (aula de medios).
Las indicaciones sobre el tipo de actividades que pueden ser realizadas con
el apoyo de recursos audiovisuales, informticos u otros impresos, as como
las formas de organizacin para el trabajo, estn claramente indicadas a lo
largo de las secuencias de aprendizaje mediante logotipos alusivos, cuya
equivalencia puede ser consultada en la clave de logos de la pgina 43.
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Libro para el maestroEl Libro para el maestro reproduce, en formato reducido, las secuencias
del Libro para el alumno, con orientaciones didcticas concretas ligadas a
la secuencia, adems de ofrecer recursos y formas alternativas de abordar
los contenidos.
Este material incorpora la familiarizacin del docente con el modelo
pedaggico renovado, la propuesta de uso de la tecnologa, la
presentacin general del curso y sus propsitos, junto con la descripcin
general de las secuencias. Tambin proporciona criterios de uso para los
materiales impresos y tecnolgicos y propuestas de evaluacin.
El apartado titulado Cinco sugerencias para ensear en la Telesecundaria,
proporciona recomendaciones didcticas generales y pistas didcticas
concretas que el docente puede desplegar para el trabajo en el aula.
Cada secuencia da inicio con un texto breve, el cual incluye informacin
general como un resumen, los propsitos de la secuencia, qu se espera
lograr y el enfoque. Un recuadro proporciona informacin referente a las
sesiones en que se divide la secuencia, los temas que se abordarn, las
destrezas y las actitudes por desarrollar, los productos esperados, los
recursos por utilizar, la relacin con otras asignaturas o secuencias, en
resumen, la informacin que cada asignatura considere relevante para
que el profesor pueda planear su trabajo y tener un panorama general de
la secuencia.
Las sugerencias y orientaciones especficas por sesiones y actividades o
grupos de actividades principian con un breve texto sobre la intencin
didctica de las mismas y el tiempo estimado para realizarlas.
Asimismo, se incorporan las respuestas a las actividades planteadas
diferenciando, cuando sea aplicable, las respuestas esperadas y el
tratamiento didctico de los errores, de las respuestas modelo y de las
libres; se incluyen ideas para el maestro sobre qu aspectos o criterios
debe considerar, en qu debe hacer nfasis, cmo orientar a los alumnos,
etctera.
Otros recursos impresosEn los materiales de base para cada una de las asignaturas se consider
el uso de otros libros. Los impresos aprovechan las colecciones de las
Bibliotecas Escolares y de Aula.
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12/21711L ib ro para e l maest ro
Materiales audiovisualesLa utilizacin de las Tecnologas de la Informacin y de la Comunicacin
(TIC), en el modelo renovado para Telesecundaria, considera la
actualizacin y el replanteamiento del uso de la televisin. Los nuevos
materiales audiovisuales consideran diversos elementos como
audiotextos, as como material para ser transmitido va satlite. Lainsercin de estos recursos depende del diseo didctico de cada
asignatura y secuencia.
En el apartado La tecnologa en el modelo renovado de Telesecundaria se
describen las caractersticas generales y los usos del material audiovisual.
Materiales informticosSon materiales para el despliegue en el aula de representaciones
dinmicas, interactivas y ejecutables de situaciones, fenmenos y
conceptos, que permitan retroalimentar el tratamiento de temas
concretos, la realizacin de actividades y generar dinmicas diversas para
las intervenciones de los alumnos.
De igual manera se aprovechan las experiencias que dan cuenta de la
insercin de las TICen el aula, entre las que destacan el proyecto de
Enseanza de las Matemticas y de la Fsica con Tecnologa (EMAT-EFIT), el
proyecto de Enseanza de la Ciencia por medio de Modelos Matemticos
(ECAMM), el proyecto de Enseanza de las Ciencias con Tecnologa (ECIT), y
Enciclomedia, como herramienta para la vinculacin y el despliegue derecursos.
La forma como se articula cada uno de estos recursos en las secuencias de
aprendizaje se aborda en la propuesta concreta de cada asignatura y en el
texto La tecnologa en el modelo renovado de Telesecundaria.
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13/21712 L ib ro para e l maest ro
El enfoque con el cual se disearonlos nuevosmateriales para Telesecundaria considera que la resolucin de problemas
es la estrategia que permite a los alumnos apropiarse de los
conocimientos matemticos.
Aunque la resolucin de problemas ha estado presente en diversas posturas
y prcticas de enseanza, se le ha otorgado diferentes significados. Desde el
enfoque, en los nuevos materiales para Telesecundaria se asume que resolver
problemas sirve para aprender cuando los conocimientos se ponen en juegoy solucionan alguna situacin. Con ese propsito, en el libro para el alumno
se plantean situaciones problemticas.
Una situacin problemtica es aquella que representa un reto para el
alumno, es decir, que implica una solucin que no es tan sencilla como
para que resulte obvia, ni tan difcil que a sus ojos parezca imposible de
resolver. Una situacin problemtica puede tomar muchas formas: un
enunciado, una construccin geomtrica, una actividad puramente
numrica, etctera.
El alumno echa mano de sus conocimientos previos para enfrentar el retoque le plantea la situacin problemtica y producir una solucin. En este
primer acercamiento quiz no resuelva correctamente el problema o siga
procedimientos no convencionales. El maestro debe ser consciente de que
lo importante es que el alumno obtenga al menos una solucin. Despus,
el trabajo matemtico que se desarrolla en las sesiones procura acercar al
alumno a una (o varias) soluciones correctas, econmicas y en muchos
casos, convencionales. En buena medida, el desafo para el estudiante
est en reestructurar algo que ya sabe, modificndolo o amplindolo para
enfrentar el problema nuevo que le presenta la situacin problemtica.
Por ello, en este enfoque es fundamental permitir a los alumnos entrar en
accin con la situacin problemtica antes de darles la clase y
explicarles paso a paso lo que tienen que hacer; aun cuando pueda
parecer que cometen muchos errores, que les toma mucho tiempo o que
llegan a conclusiones equivocadas.
Lo anterior no quiere decir que el maestro ya no deba ensear frmulas,
definiciones o algoritmos; tampoco significa que no deba dar explicaciones
o aclarar dudas. La diferencia est en el momento en el que introduce esos
aspectos: en lugar de tomarlos como punto de partida, se pretende que se
La enseanza y el aprendizaje de lasMatemticasen Telesecundaria
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14/21713L ib ro para e l maest ro
aborden una vez que los alumnos hayan enfrentado la situacin
problemtica; es decir, primero ellos utilizan sus conocimientos previos
para resolver el problema y luego el docente va orientando el trabajo
matemtico hasta formalizar los nuevos conocimientos (por ejemplo,
definiendo algn concepto o dndole nombre a un procedimiento). La
ejercitacin de una tcnica de resolucin y la aplicacin de lo aprendido
siguen siendo necesarias, por lo que es conveniente dar espacios para ello.
En la perspectiva que ahora se propone, hay que considerar tambin quelos conocimientos matemticos que se ensean no estn acabados, pues
se trata de nociones que se van enriqueciendo. Por ejemplo, en la primaria
los alumnos saben que 3 478 es mayor que 976 porque su experiencia les
dice que los nmeros con ms cifras son mayores; pero si los nmeros son
0.6 y 0.325, la comparacin a partir de la cantidad de cifras ya no es un
conocimiento que pueda funcionar de la misma manera.
Por otra parte, se reconoce la importancia de la interaccin entre los
alumnos para el logro de los propsitos de aprendizaje, no slo porque
pueden apoyarse entre s para comprender el planteamiento de un
problema o intercambiar estrategias de solucin, sino tambin porque se
reconoce que el aprendizaje se produce en un medio social determinado;
por eso es condicin indispensable que existan mecanismos de
comunicacin oral, grfica o escrita, que permitan transmitir informacin
al otro y construir significados matemticos compartidos.
El papel del docente en el modelorenovadoDesde la perspectiva que orienta el diseo de estos materiales, tanto los
alumnos como los docentes se enfrentan a nuevos retos que reclaman
actitudes distintas frente al conocimiento matemtico y una revisin sobre
lo que significa ensear y aprender matemticas. Los estudiantes
aprenden matemticas resolviendo problemas que implican la
modificacin de sus conocimientos previos, y el maestro se encarga de
organizar las condiciones para que este aprendizaje tenga lugar. No se
trata slo de buscar las explicaciones ms sencillas y amenas para dar la
clase o de limitarse a plantear las instrucciones iniciales, sino de analizar
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y proponer problemas adecuados para que los alumnos aprovechen lo que
ya saben y avancen en el uso de tcnicas y razonamientos cada vez ms
eficaces.
El maestro debe ocuparse de los siguientes aspectos:
seleccionar y proponer problemas interesantes, debidamente
articulados, para que los alumnos apliquen lo que saben y avancen en
el uso de tcnicas y razonamientos ms eficaces;
organizar al grupo para que los alumnos trabajen en equipos, en
parejas o individualmente; fomentar la comunicacin de
procedimientos y resultados obtenidos en el grupo;
identificar cmo interpretan los alumnos esos problemas, considerando
que los resultados diferentes no son necesariamente incorrectos, sino
que corresponden a una interpretacin distinta del problema;
asegurarse que los alumnos aprendan las nociones o procedimientosque se establecen en los propsitos de aprendizaje.
Organizacin didcticaEn el curso de Matemticas para tercer grado, los contenidos se trabajan
a lo largo de 30 secuencias de aprendizaje organizadas en 5 bloques, uno
por bimestre. En cada secuencia se aborda un contenido del programa de
matemticas en varias sesiones (de 2 a 5, dependiendo de la amplitud del
contenido que se trate).
La propuesta curricular actual considera una clase diaria de 50 minutos.
En total, son 200 clases durante todo el ciclo escolar as que se puede
dedicar ms de una clase a algunas de las sesiones para repasar temas,
continuar alguna actividad que se haya prolongado, realizar actividades
de evaluacin, etctera.
Los nuevos materiales educativos
El modelo pedaggico renovado de Telesecundaria considera el diseo denuevos materiales educativos: libro para el alumno, libro para el maestro,
materiales informticos e impresos complementarios. El propsito de
todos ellos es promover la adquisicin de los conocimientos descritos
tanto en la propuesta curricular actual como en el modelo pedaggico de
Telesecundaria, y articular la utilizacin de los mltiples recursos impresos
e informticos.
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17/21716 L ib ro para e l maest ro
Es necesario aclarar que la estructura de las sesiones no es rgida; hay
unas en las cuales se parte de una situacin problemtica y otras que son
un repaso de sesiones anteriores.
En cada una de las sesiones se sugieren diferentes formas de organizar el
trabajo de los alumnos (individual, en parejas o en equipos, y trabajo
grupal). La importancia de alternar estas formas de trabajo se basa en elreconocimiento de que es posible aprender conocimientos matemticos
participando en actividades que son compartidas con otros.
Las sesiones tambin consideran la utilizacin de recursos multimedia en
distintos momentos, dependiendo del propsito especfico de cada
secuencia. Se proponen los siguientes recursos tecnolgicos, cuyo uso
depender de la infraestructura con la que cuente la escuela:
Recursos tecnolgicos para Matemticas
Programasde televisin
Se transmiten a travs de la red satelital Edusat; su propsito es ampliar la informacin y
diversificar los contextos desarrollados en cada una de las secuencias. Su uso y el momento
en que se presentan son optativos. La programacin y los contenidos de estos videos pueden
consultarse en la Revista Edusat. Se sealan tanto en el libro para el alumno como en el libro
del maestro.
Interactivos
Se indican en el impreso con el icono de un ratn; se utilizan en el saln de clases. Su
propsito es desarrollar ideas intuitivas sobre los contenidos, verificar respuestas y validar
hiptesis y conjeturas de los alumnos.
Trabajo en el aulade medios
Trabajo en hojas de clculo, geometra dinmica, calculadora y Logo. Permiten llevar a cabo el
trabajo colaborativo en entornos tecnolgicos. Promueven en los alumnos el desarrollo del
pensamiento lgico y el anlisis de datos mediante la resolucin de problemas. Se trabajan
en el aula de medios.
Libro para el maestroEl libro para el maestro tambin consta de dos volmenes, y en l se
reproducen, en formato reducido, las sesiones que conforman el conjunto
de las secuencias del libro para el alumno. Su propsito es ofrecerle
orientaciones didcticas para abordar los contenidos de enseanza,
desarrollar en los alumnos los conocimientos y habilidades esperados y
evaluar el aprendizaje.
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18/21717L ib ro para e l maest ro
Para cada una de las secuencias, usted encontrar:
Una descripcin general y los propsitos de la secuencia y de cada
sesin.
Recomendaciones para la organizacin del grupo.
Informacin respecto a los posibles procedimientos, dificultades y
errores de los alumnos ante un problema matemtico concreto y
sugerencias de cmo usted puede intervenir.
Soluciones correctas a los problemas y preguntas que se le plantean
al alumno.
Explicaciones de conceptos matemticos que pueden ayudarle en el
desarrollo de la clase.
Orientaciones para propiciar el intercambio de idas entre los alumnos y
la confrontacin de distintos procedimientos y soluciones.
Actividades para recuperar lo aprendido y formalizar los conocimientos
matemticos esperados.
Formas alternativas de abordar los contenidos, desarrollar conocimien-
tos y habilidades y evaluar el aprendizaje.
Estas orientaciones y sugerencias didcticas aparecen junto a las
actividades especficas de cada secuencia de aprendizaje.
El libro para el maestro no pretende ser un documento normativo de su
trabajo, sino un recurso que puede enriquecer sus experiencias, saberes y
estilos de enseanza para que los alumnos y sus aprendizajes constituyan,
realmente, el centro de la organizacin del trabajo en el aula.
Los recursos tecnolgicos en laenseanza y el aprendizaje de lasMatemticas
En el modelo de Telesecundaria que ha estado operando, los programasde televisin han desempeado un papel central en las actividades de
enseanza y de aprendizaje que se llevan a cabo en el aula, pues adems
de ser una fuente de informacin para alumnos y docentes, otro de sus
propsitos ha sido tambin provocar intercambios de experiencias y
puntos de vista entre el docente y los alumnos.
Si bien el modelo se ha visto enriquecido con las experiencias y las
innovaciones que los docentes introducen en sus prcticas, la forma en
que est diseado limita las posibilidades de dialogar y profundizar en el
tratamiento de los contenidos matemticos.
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19/21718 L ib ro para e l maest ro
El modelo renovado para la Telesecundaria, adems de ampliar y
diversificar el tipo de recursos tecnolgicos (materiales audiovisuales,
material informtico para el trabajo con una computadora por saln de
clases y hojas de trabajo para el aula de medios), sugiere un uso de los
recursos tecnolgicos acorde con las concepciones de aprendizaje y de
enseanza que se promueven en el enfoque: su propsito es apoyar la
realizacin de actividades centradas en la exploracin de los problemas,
la argumentacin y comunicacin de los posibles procedimientos de
resolucin, as como estimular las diversas formas de colaboracin en el
saln de clases: entre el alumno y el recurso tecnolgico, entre los
alumnos al trabajar en equipos, y entre el grupo y el docente.
La evaluacinTradicionalmente, la evaluacin se usa para medir lo que los alumnos
saben respecto de algn conocimiento y, a partir de esa medicin, se
asigna una calificacin. En el modelo que ahora se propone, la evaluacin
tiene, adems, el objetivo de identificar los logros y las dificultades en los
procesos de enseanza y aprendizaje, hacindolos evidentes a los
docentes y alumnos, con la finalidad de que se tomen decisiones
oportunas para mejorar la eficiencia de esos procesos.
Para ello, se proponen dos recursos de evaluacin: la integracin de
un portafolios del alumno y un examen escrito bimestral. Estos
instrumentos pretenden apoyar el trabajo de evaluacin, por lo que son
susceptibles de ser adaptados a las condiciones especficas del grupo dealumnos y complementados con otras prcticas validadas por la
experiencia docente.
8/11/2019 Lpm Matematicas Vol1 3 Ayudaparaelmaestro
20/21719L ib ro para e l maest ro
El portafolios del alumnoConsiste en armar una carpeta para cada alumno en la que el maestro
rena algunos ejercicios. Tiene dos funciones pr incipales: por una parte,
proporcionarle informacin sobre el grado de avance del alumno de
manera constante y sin tener que esperar a que acabe el bimestre y
aplique el examen. Esto permite al docente estar en posicin de tomardecisiones efectivas y a tiempo cuando considere que hay aspectos que
los estudiantes no han comprendido o han comprendido dbilmente. Por
otra parte, los ejercicios del portafolios pueden convertirse en un insumo
ms para asignar a los alumnos la calificacin bimestral.
En cada secuencia, el maestro encontrar sugerencias de ejercicios para
integrar al portafolios, qu aspectos son importantes en ellos y
recomendaciones en caso de que los alumnos tengan dificultades.
El examen bimestralEn el libro para el maestro se presenta, al final, una coleccin de
problemas con sus soluciones para seleccionar algunos de ellos y elaborar
un examen escrito. Se recomienda darle un valor que no sea superior al
50% de la calificacin final.
8/11/2019 Lpm Matematicas Vol1 3 Ayudaparaelmaestro
21/21720 L ib ro para e l maest ro
La tecnologa en el modelorenovado de TelesecundariaEl papel innovador de la Telesecundariase reafirma en lapropuesta del modelo renovado que ofrece al maestro, la posibilidad de trabajar
con una gama de medios ms amplia que incluye, adems de los materiales
impresos y de televisin, recursos informticos. La inclusin del uso de la computa-
dora, materiales en audio, programas de televisin transmitidos por la red satelital
Edusat, junto con la Biblioteca de la escuela, tienen la finalidad de actualizar y
diversificar los materiales educativos disponibles para crear en el aula situaciones
de aprendizaje dinmicas, mltiples y variadas. Estos recursos se articulan a travs
del libro para el alumno: es decir, en ste, aparecen llamadas para hacer uso de los
diferentes recursos y, en puntos especficos de las secuencias de aprendizaje,indicaciones sobre cmo y cundo utilizar, entre otros, los materiales informticos,
la televisin y los audio-textos
Los recursos tecnolgicos utilizados en el modelo renovado son de dos tipos:
1. Despliegue de material interactivo y multimediatanto en pantalla grande como en Aula de medios,ambas modalidades permiten distintos tipos deactividades:
SESIONES EXPOSITORIAS Y DE DISCUSIN
presentacin de temas, contenidos, mapas conceptuales o procedimientos por
parte del profesor, con apoyo visual y acceso a fuentes de informacin comple-
mentarias,
presentacin de producciones de los alumnos (realizadas en aula de medios),y
bsqueda de informacin en fuentes digitales previamente seleccionadas.
ACTIVIDADES Y DISCUSIONES COLECTIVAS
realizacin de actividades en grupo, con participaciones individuales o porequipos pasando al pizarrn, como por ejemplo: resolucin de problemas,
realizacin de experimentos virtuales, verificacin de respuestas, validacin
de hiptesis y conjeturas, anlisis de textos, videos, datos e informacin en
general,
realizacin de actividades de produccin de los alumnos, individual o por
equipos, como por ejemplo: bsqueda y presentacin de informacin, registro
de datos, elaboracin de reportes, produccin de textos y otros materiales, y
bsqueda de informacin en fuentes digitales previamente seleccionadas.
AULADEMEDIOS
INTERACTIVO
8/11/2019 Lpm Matematicas Vol1 3 Ayudaparaelmaestro
22/21721L ib ro para e l maest ro
En la asignatura de Matemticas III, volumen I se pueden men-cionar los siguientes ejemplos de uso de un material informtico:
En el Bloque 1, Secuencia 1 Productos notables y factorizacin,
Sesin 2, se le solicita al alumno que, a partir del material interac-
tivo, identifique cmo se obtiene un trinomio, como se muestra en
la pgina 17.
2. Programas de televisin por Edusat conlas siguientes caractersticas:
PROGRAMA
INTEGRADOREDUSAT
Estos programas son transmitidos por la Red Satelital Edusat, con
horarios que permiten un uso flexible para apoyar los contenidos
revisados durante una semana, se encuentran marcados en el
libro del alumno. Se debe consultar la cartelera Edusat para
conocer los horarios de transmisin y repeticiones a lo largo de
cada semana.Estos programas permiten la:
presentacin de temas desde una perspectiva integradora de
los contenidos estudiados en la semana,
ejemplificacin de conceptos a partir de contextos sociocultu-
rales cercanos a las experiencias de los alumnos,
presentacin de contextos socioculturales lejanos a las expe-
riencias de los jvenes para que puedan conocer diversas
formas de vida, e integracin de informacin proveniente de diversas fuentes.
En la asignatura de Matemticas III se puede mencionar el
siguiente ejemplo de un programa integrador:
En el libro de Matemticas III, volumen I, Bloque 2, en la Secuen-cia 11, Sesin 4 Clculo de distancias, el alumno puede, a partir
del programa 20 Medir lo que no se puede medir directamente!,
conocer la utilidad de la semejanza de tringulos para medir
distancias inaccesibles, como se muestra en la pgina 125.
Manos a la obraI. Ana y Ricardo decidieron usar algunos bloques
cuadrado azul de la figura 3.
Ricardo se dio cuenta de que con un bloque dcompletar el cuadrado de lado x.
x
x
1
1
.
CLCULO DE DISTANCIA
Lo que aprendimosUna de las aplicaciones ms tiles de la semejanza
inaccesibles a la medicin directa.
Resuelvan los siguientes problemas.
1. Los tringulos son semejantes, cunto vale x?
3cm
x
2. En la siguiente figura, si el segmento
BC es paralelo al segmento BC, en-
tonces los tringulos ABCy ABCson
semejantes. Cul criterio de semejan-
B
B'
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Cinco sugerencias para ensearen laTelesecundaria
1 3 4
52
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25/21724 L ib ro para e l maest ro
C I N C O SU G ER EN C I A S PA R A EN SE A R EN LA TELESEC U N D A R I A
Aprender significa tomar riesgos:Lo nuevo siemprecausa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar
dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de
confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer
preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para
lograr esto son:
Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas
ocasiones las preguntas tienen ms de una solucin. Por ello, es
importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a
llegar a una solucin nica. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar
a sus compaeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las
propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qu punto se
acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemticas, por ejemplo,
muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que
corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea
colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden
aparecer en la clase sobre un mismo problema.
Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo
es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de
conocimientos y exper iencias. Algunos sern lectores fluidos, otros
sabrn argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarn con mucha
facilidad, otros harn clculos y estimaciones con soltura. Formar
equipos heterogneos propicia que unos puedan compartir lo que
saben con otros. Esto es particularmente til para la realizacin de los
proyectos de Ciencias, debido a
que stos integran contenidos
conceptuales, habilidades y
actitudes desarrolladas a lo
largo de un bloque o al final
del ao escolar.
Crear un ambiente de confianza1
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26/21725L ib ro para e l maest ro
Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando
su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situacin que
desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en
silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro
puede hacer lo mismo. Esto lo ayudar a darse cuenta de cunto
tiempo toma, qu retos especiales presenta o qu aspectos hay que
tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo,
tambin puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar
informacin y tomar sugerencias.
Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento
a qu ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer
intervenciones ms directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlosde manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede
pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o
palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales;
tambin puede participar en algunos grupos para conocer la dinmica
del trabajo en equipo. Adems, en algunos momentos, puede orientar
el dilogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algn
contenido conceptual.
Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en
ocasiones los alumnos concluyen una actividad y despus de discutirlacon otros se dan cuenta de que les gustara modificarla. Puede resultar
de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algn
aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, dles tiempo
para reelaborar y sentirse ms satisfechos con su trabajo.
Cmo haceruna lluvia de ideas
Cmo coordinarla discusin de
un dilema moral
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27/21726 L ib ro para e l maest ro
Es importante usar diferentes prcticasacadmicasde manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos
tipos de textos, grficas, esquemas, mapas, frmulas e imgenes;
demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar
trminos tcnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y
realizar operaciones matemticas. Las siguientes estrategias pueden servir
como lineamientos generales para la enseanza en el aula:
Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las
diferentes frmulas, grficas, mapas, tablas e imgenes que se les
presentan en los libros para el alumno, libros de las BibliotecasEscolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos
sobre por qu se incluyen estos recursos en la actividad, qu tipo de
informacin aportan y en qu aspectos deben poner atencin para
comprenderlos mejor.
Las actividades relacionadas con los mapas, imgenes, grficas,
problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de
favorecer la construccin colectiva de significados: en lugar de
utilizarlas para verificar la comprensin de lectura o la interpretacin
de la informacin representada, se busca construir con el grupo, con laparticipacin de todos, qu dice el texto o las otras representaciones,
qu conocemos acerca de lo que dice, qu podemos aprender de ellos
y qu nos dicen para comprender mejor nuestro mundo.
Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta consti-
tuye una situacin privilegiada para escuchar un texto y comentarlo
sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar
su significado; la lectura en pequeos grupos crea oportunidades para
que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexin personal y la
relectura de fragmentos. Segn la ocasin y el propsito, tambin
puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos.
Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar
de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensin de
los estudiantes, utilcelas para construir, junto con ellos, los
significados de los textos incluidos en las secuencias.
Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeos
textos, puede modelarse cmo iniciar el escrito en el pizarrn: pida a
dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar
a todos a empezar a escribir.
Incorporar estrategias deenseanza de manera permanente
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28/21727L ib ro para e l maest ro
Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van
escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los
escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos
y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los
ayudar a escuchar cmo se oye (y cmo se entienden) sus escritos.
Propicie la valoracin y aceptacin de las opiniones de los otros con el
fin de mejorar la composicin de textos. Modele y propicie el uso de
oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas.
Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el
conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunaspreguntas pueden promover el pensamiento crtico en los estudiantes
porque no slo se dirigen a los contenidos conceptuales, tambin se
involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexin de
aspectos ticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros.
Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temtica o
contenido acadmico: para ejemplificar algn tipo de expresin,
identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula
y lalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales mltiples y
la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.
Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los
alumnos, de acuerdo a la temtica o contenido acadmico.
Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo
que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces,
cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de
nuestras preguntas y dudas. Tambin se puede usar la escritura para
ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hiptesis o
registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasin posterior.
En matemticas, por ejemplo, el carcter de formal o acabado delprocedimiento de solucin de un problema depende del problema que
trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicati-
vo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma
operacin es un procedimiento experto para un
problema de tipo aditivo. El conoci-
miento matemtico est en cons-
truccin permanente.
Cmo apoyar laelaboracin de resmenes
Cmo introducirotros recursos
Para hacer usodel diccionario
Cmo leerun mapa
Cmo concluirun dilogo o actividad
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28 L ib ro para e l maest ro
El dilogo e interaccin entre los pares es unaparte central en el proceso de aprendizaje: la participacin con otros nosayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos
hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, or las ideas de los
dems y compararlas con las propias. Por ello, es deseable:
Fomentar la interaccin en el aula con mltiples oportunidades para
opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer
preguntas y contestar : las preguntas que se responden con s o
no, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir
las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las
preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de
respuestas que permiten el anlisis, la comparacin y la profundizacin
en las problemticas a tratar; tambin permiten explorar
razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Adems,
dan pie a un uso ms extenso de la expresin oral.
Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el
tema nuevo o lo que estn aprendiendo: en diferentes momentos de
las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abr irse dilogos,
con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros
alumnos, y con ello enriquecer y promover la construccin compartidade conocimientos.
Fomentar la interaccin en el aula
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Incorporar en las actividades cotidianas los dilogos en pequeosgrupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es
ms probable que lo hagan en un grupo ms pequeo o en parejas.
Utilizar ciertos formatos de interaccin de manera reiterada, con
materiales de apoyo escritos y/o grficos para organizar actividades:
algunos ejemplos de estos formatos son la presentacin oral de
reseas de libros, la revisin de textos escritos por los alumnos,
realizacin de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno
tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de
informacin, analista, etctera).
Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden
ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del
grupo; un registro de diferentes formas de expresin o propuestas de
cmo decir algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una
tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.
Cmo llevara cabo un debate
Cmo conducir unarevisin grupal de textos
Cmo conducirun dilogo grupal
Cmo coordinarla discusin de
un dilema moral
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Una parte fundamental de la educacinsecundariaes aprender a utilizar recursos impresos y tecnolgicos para conocer
diversas expresiones culturales, buscar informacin y resolver problemas.
Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como
parte de la preparacin de las clases y
Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los
alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes
recursos.
Promover el uso constante de otros recursos tecnolgicos y bibliogrficos
disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede
Utilizar recursos mltiples
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fomentarse su uso para la realizacin de los trabajos escolares y, de
contar con conectividad, para buscar informacin en Internet.
Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la
biblioteca de la escuela y la biblioteca pblica son fuentes de
informacin potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos
tecnolgicos, como los videos, los simuladores para computadora y
otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensin de
fenmenos o procesos matemticos, biolgicos, fsicos y qumicos que
muchas veces son difciles de replicar en el laboratorio o a travs de
alguna actividad experimental.
Cmo anotar referenciasde las fuentes utilizadas
Cmo introducirotros recursos
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32 L ib ro para e l maest ro
Las paredes del aula constituyen un espacioimportante para exponer diferentes recursos de consulta rpida y
constante. Por ejemplo, se puede:
Crear un banco de palabras en orden alfabtico de los trminos
importantes que se estn aprendiendo en las distintas materias. Sirven
de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus
guas, escribir pequeos textos, participar en los dilogos, etc.
Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver
algn tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para
orientar qu hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en
un texto:
Desplegar ideas en el aulapara consultas rpidas
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Tratar de inferir el significado
del texto.Buscarla en el diccionario.
Preguntar al maestro
o a un compaero.
Saltarla y seguir leyendo.
QU HACER CUANDO NO SABESQU SIGNIFICA UNA PALABRA?
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33L ib ro para e l maest ro
Colgar mapas, tablas, grficas, frmulas, diagramas y listas para la
consulta continua.
Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y
la evolucin de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una
bitcora donde se escribe cada da lo que ocurri en las diferentes
clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el
registro del trabajo y experiencias del da. La bitcora se pone a
disposicin de todos para consultar. Esta no es una actividad para
calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la
memoria del grupo durante el ao escolar. Cada alumno podrseleccionar qu fue lo relevante durante el da y escribir de acuerdo a
su estilo y sus intereses.
Cmo organizar labitcora del grupo
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Cmo hacer una lluvia de ideas Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situacin (Qu
pasara si? Cmo podramos? Por qu creen que esto ocurre as? Qu les sugiere esto?).
Permita y promueva que los alumnos den su opinin, anote ideas y sugerencias y
planteen dudas.
Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrn, de manera abreviada,
sus comentarios y aportaciones. Tambin puede anotar sus ideas en un procesador
de palabras y proyectarlas en la pantalla.
Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquendiferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas
cronolgicamente, agruparlas por contenido, etctera).
Resuma con el grupo las principales aportaciones.
Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.
Cmo concluir un dilogo o una actividad Hacia el final del dilogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los
participantes.
Seale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recurdele al
grupo cmo se plantearon y cmo se resolvieron.
Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales
de la actividad y de sus reflexiones.
Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestar las
entre ellos.
Anote en el pizarrn las ideas y conclusiones ms
importantes.
Cmo organizar la bitcora del grupo La bitcora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca
escribir da a da la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en elsentido de que cada alumno puede elegir qu aspecto del da comentar y cmo
comentarlo. No se trata de corregirlosino de compartir las diferentes perspecti-
vas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula.
Cada da un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar
fotografas, etctera.
Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras.
Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitcora electrnica) del grupo que
se despliegue en Internet. En la pgina www.blogspot.comse explica cmo hacerlo.
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2
SECUENCIA
SESI
N
RECURSOSTECNOLGICOS
Programas
Interactivos
Aulademedios
8.
Ecuacionesnolineales.
[124-133]
Utilizarecuacionesnolinealesparamodelarsituacionesyresolverlas
utilizandoprocedimientospersonalesuoperacionesinversas.
8.1
Elnmerosecreto
Programa13
EcuacionesconmsdeunasolucinI
(Calculadora)
8.2
Cubos,cuadradosyaristas
8.3
Mendeproblemas
Programa14
Interactivo
9.
Resolucindeecuacionesporfactorizacin.
[134-145]
Utilizarecuacionescuadrticasparamodelarsituacionesyresolverlas
usandolafactorizacin.
9.1
Cuntomidenloslados?
Programa15
9.2
Losfactoresdecero
Interactivo
9.3
Eladorno
Programa16
9.4
Apliquemosloaprend
ido
10.Figurassemejantes.
[146-151]
Construirfigurassemejantesycompararlasm
edidasdelosngulosy
deloslados.
10.1
Uncoraznmuyesp
ecial
Programa17
Interactivo
10.2
Aplicacionesdelase
mejanza
Programa18
Interactivo
11.Semejanzadetringulos.
[152-161]
Determinarloscriteriosdesemejanzadetrin
gulos.
Aplicarloscriteriosdesemejanzadetringulo
senelanlisisde
diferentespropiedadesdelospolgonos.
Aplicarlasemejanzadetringulosenelclculodedistanciaso
alturasinaccesibles.
11.1
Explorandolasemejanzadetringulos
Programa19
11.2
CriteriosdesemejanzadetringulosI
Ideadet
ringulossemejantes
(Geo
metradinmica)
11.3
CriteriosdesemejanzadetringulosII
11.4
Clculodedistancias
Programa20
Interactivo
12.ndices.
[162-177]
Interpretaryutilizarndicesparaexplicarelcomportamientode
diversassituaciones.
12.1
ElndiceNacionaldePreciosal
Consumidor
Programa21
12.2
ndicesenlaescuela
12.3
Quineselpeloteromsvalioso?
Programa22
12.4
Mssobrendices
Interactivo
13.Simulacin.
[178-189]
Utilizarlasimulacinpararesolversituacionesprobabilsticas.
13.1
Simulacin
Programa23
13.2
Aplicandolasimulacin
13.3
Simulacinytiroslibres
Programa24
Interactivo
Simulacinc
onelmodelodeurna(1)
(H
ojadeclculo)
EVALUACIN
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SECUENCIA
SESI
N
RECURSOSTECNOLGICOS
Programas
Interactivos
Aulademedios
21.Diferenciasensucesiones.
Determinarunaexpresingeneralcuadrtica
paradefinirelensimo
trminoensucesionesnumricasyfigurativas
utilizandoelmtodo
dediferencias.
21.1
Nmerosfigurados
Programa38
Interactivo
21.2
Lasdiferenciasenex
presionesalgebraicas
21.3
Elmtododediferencias
Programa39
21.4
Apliquemosloapren
dido
22.TeoremadePitgoras.
AplicarelteoremadePitgorasenlaresoluci
ndeproblemas.
22.1
QueselteoremadePitgoras?
Programa40
Interactivo
TeoremadePitgoras
(Geo
metradinmica)
22.2
Aplicacionesdelteo
remadePitgorasI
Programa41
22.3
Aplicacionesdelteo
remadePitgorasII
23.Razonestrigonomtricas.
Reconocerydeterminarlasrazonestrigonomtricasenfamiliasde
tringulosrectngulossemejantes,comococientesentrelasmedidas
deloslados.
Calcularmedidasdeladosydengulosdetri
ngulosrectngulosa
partirdelosvaloresderazonestrigonomtricas.
Resolverproblemassencillos,endiversosmbitos,utilizandolasrazo-
nestrigonomtricas.
23.1
Lacompetencia
Programa42
Interactivo
ngulode
elevacinydepresin
(H
ojadeclculo)
23.2
Cosenosysenos
23.3
30,45y60
Programa43
23.4
Aresolverproblemas
Interactivo
24.Laexponencialylalineal.
Interpretarycompararlasrepresentacionesgrficasdecrecimiento
aritmticoolinealygeomtricooexponencia
ldediversas
situaciones.
24.1
Crecimientodepoblaciones
Programa44
Interactivo
24.2
Interscompuesto
24.3
Grficadelaexpone
ncial
Programa45
24.4
Ladepreciacindelascosas
25.Representacindelainformacin.
Analizarlarelacinentredatosdedistintanaturaleza,peroreferidos
aunmismofenmenooestudioquesepresentaenrepresentaciones
diferentes,paraproducirnuevainformacin.
25.1
Muchosdatos
Programa46
Interactivo
25.2
Deimportanciasocial
EVALUACIN
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B
loque
5
SECUENCIA
SESI
N
RECURSOSTECNOLGICOS
Programas
Interactivos
Aulademedios
26.Ecuacionesysistemasdeecuaciones.
Dadounproblema,determinarlaecuacinlin
eal,cuadrticao
sistemadeecuacionesconquesepuederesolver,yviceversa,
proponerunasituacinquesemodeleconun
adeesasrepresenta-
ciones.
26.1
LosdiscpulosdePit
goras
Programa47
26.2
Ecuacionesygeome
tra
Interactivo
27.Conosycilindros.
Anticiparlascaractersticasdeloscuerposquesegeneranalgiraro
trasladarfiguras.
Construirdesarrollosplanosdeconosycilindr
osrectos.
Anticiparyreconocerlasseccionesqueseobt
ienenalrealizarcortes
auncilindrooaunconorecto.
Anticiparyreconocerlasseccionesqueseobt
ienenalrealizarcortes
auncilindrooaunconorecto.
Determinarlavariacinquesedaenelradiodelosdiversoscrculos
queseobtienenalhacercortesparalelosenu
naesferaconorecto.
27.1
Slidosderevoluci
n
Programa48
27.2
Cilindros
Programa49
27.3
Conos
Interactivo
27.4
Seccionesdecorte
28.Volumendelconoydelcilindro.
Construirlasfrmulasparacalcularelvolume
ndecilindrosyconos.
28.1
Tinacosdeagua
Programa50
Interactivo
28.2
Conosdepapel
Programa51
29.Estimarvolmenes.
Estimarycalcularelvolumendecilindrosyco
nos.Calculardatos
desconocidosdadosotrosrelacionadosconlasfrmulasdelclculo
devolumen.
29.1
Problemasprcticos
Programa52
Interactivo
30.Grficacaja-brazo.
Interpretar,elaboraryutilizargrficasdecajabrazosdeunconjunto
dedatosparaanalizarsudistribucinapartir
delamedianaodela
mediadedosomspoblaciones.
30.1
Interpretacindeda
tos
Programa53
Interactivo
30.2
Construccindelag
rficacaja-brazos
30.3
Comparacindedat
osmediantelagrfica
decaja-brazos
Programa54
EVALUACIN
EJE
1:
Sentidonumricoypensamie
ntoalgebraico
EJE
2:
Forma,espacioymedida
EJE
3:
Manejodelainformacin
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46 L ib ro para e l maest ro
Propsito del programa.Ejemplificar cmose deduce la regla para obtener el trinomiocuadrado perfecto que resulta de elevar unbinomio al cuadrado.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultarla cartelera para saber horario y das detransmisin.
Propsito de la sesin.Descubrir la regla para
obtener el trinomio cuadrado perfecto que resultade elevar un binomio al cuadrado.
Propsito de la actividad.Los alumnos hanutilizado anteriormente los bloques algebraicospara representar operaciones. En esta sesintambin se utilizan para que representenmultiplicaciones de binomios que se conocen comosuma de cuadrados. Es importante que efectiva-mente usen los bloques, ya que pueden ser unavaliosa ayuda para darle sentido a los productosde dichas multiplicaciones.
Sugerencia didctica.Plantee a los alumnos losiguiente: averiguar cul es la medida de los ladosde cada bloque, cul es el rea y por qu se expresaas su rea. Esto servir para que repasen algunascosas bsicas como que el resultado de multiplicarxpor xes x2, xpor 1es x. Despus puede proponera los alumnos varias actividades con los bloquesalgebraicos.
Primero pdales que formen cuadrados usandoel nmero de bloques que quieran.
Luego ponga una condicin para formarlos:utilizar cierta cantidad de bloques, por ejemplo,nueve bloques en total (pueden ser de cualquiertamao).
Agregue otra condicin: utilizar una cantidadexacta de cada uno de los bloques, por ejemplo,uno azul, cuatro rojos y 16grises. Tambinplantee cantidades de bloques con las que esimposible construir un cuadrado, por ejemplo,uno azul, tres rojos y nueve grises. Dles unos
minutos para intentar formarlo y luego pdalesque agreguen la menor cantidad de bloques quesean necesarios para poder formar un cuadrado.
Es importante que para cada cuadrado que formencon los bloques escriban expresiones querepresenten la medida del lado y la del rea.
12
SECUENCIA 1
En esta secuencia descubrirs procedimientos simplificados para
efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar
los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.
A FORMAR CUADRADOS
Para empezarLos bloques algebraicos son una herramienta que permite representar operaciones con
expresiones algebraicas. En la secuencia 12 de Matemticas II, volumen I los usaste paramultiplicar polinomios; ahora, te ayudarn a encontrar, de manera simplificada, el resul-
tado de elevar al cuadrado un binomio .
Recorta los Bloques algebraicosdel anexo 1 Recortables y pgalos en cartn.
Con bloques de reas x2, xy 1forma cuadrados de diferente tamao e identifica la ex-
presin algebraica que corresponde a la medida de sus lados como se muestra en las dos
figuras siguientes.
SESIN 1
Productos notablesy factorizacin
x+ 1
x 1
A = x2+ x+ x+ 1= x2+ 2x+ 1
x+ 2
x 2
A = x2+ 2x+ 2x+ 4= x2+ 4x+ 4
Encuentra el trinomio que representa el rea de los dos cuadrados siguientes.
: :
Eje
Sentido numrico y pensamiento algebraico.
Tema
Significado y uso de las operaciones.
Subtema
Operaciones combinadas.
Antecedentes
En Matemticas II, los alumnos estudiaron
expresiones algebraicas equivalentes y las
resolvieron utilizando la propiedad distributi-
va, tambin hicieron algunas factorizaciones
en problemas de clculo de reas. En esta
secuencia se pretende que calculen,
simplifiquen o factoricen productos notables,
tanto para que sean capaces de expresar
situaciones algebraicamente, como para que
puedan resolverlas.
Propsitos de la secuencia
Efectuar o simplificar clculos con expresiones algebraicas tales como:
(x+ a)2; (x+ a) (x+ b); (x+ a) (x a).
Factorizar expresiones algebraicas tales como: x 2+ 2ax+ a 2 ; ax 2+ bx ; x 2+ bx+ c ;x 2 a 2.
Sesin Propsitos de la sesin Recursos
1
A formar cuadrados
Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto queresulta de elevar un binomio al cuadrado.
Programa 1
2
El cuadrado de una diferencia
Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que
resulta de elevar al cuadrado una diferencia de dos trminos.
Interactivo
3La diferencia de dos cuadrados
Descubrir la regla para factorizar una diferencia de cuadrados.
4
A formar rectngulos
Descubrir la regla para multiplicar dos binomios con trmino comn e
invertirla para factorizar un trinomio de segundo grado.Programa 2
5Un caso especial de la factorizacin
Descubrir la regla para factorizar binomios con factor comn.
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47L ib ro para e l maest ro
Sugerencia didctica.Pida a los alumnos que
escriban en la tabla los trinomios que
corresponden a los cuadrados cuyos lados miden
x+ 4 y x+ 6 .
Luego, invtelos a que analicen los cuatro casos
que tienen ilustrados (los cuadrados que miden
x+ 1, x+ 2, x+ 4 y x+ 5 ) para que traten de
encontrar una regla que les permita escribir elrea de los cuadrados cuyos lados miden x+ 3 y
x+ 10 .
Posibles procedimientos.Los alumnos tienen
al menos dos vas para llenar la tabla: apoyarse
en el recurso grfico para justificar todo el
desarrollo algebraico que se presenta hasta
obtener el rea de cada cuadrado; o bien,
multiplicar los dos binomios (que son los lados
del cuadrado). Permita que lo resuelvan como
ellos decidan y, si fuera necesario, repasen la
informacin del Recuerden que que aparece
en el apartado Manos a la obrapara que
recuerden cmo se multiplican dos binomios.
Si llenan la tabla multiplicando los lados del
cuadrado, quiz sea til que desarrolle al menos una
de las multiplicaciones en el pizarrn. Por ejemplo,
para el cuadrado cuyo lado mide x+ 1sera:
(x+ 1) (x+ 1) = x2+ x+ x+ 1 = x2+ 2x+ 1
Posibles dificultades.Con esta pregunta se
quiere saber si los alumnos pudieron encontrar
la regla para elevar un binomio al cuadrado.
Quiz algunos alumnos piensen que para elevar
un binomio al cuadrado basta con elevar al
cuadrado cada uno de los trminos y luego
representar el rea con una suma. En este caso,
pondran como resultado x2+ 10 000.
Los alumnos que subrayen el trinomio
x2+ 100x+ 10 000, quiz piensen que para
obtener el trmino del trinomio que tiene x
basta multiplicar los dos trminos del binomio.
Si los alumnos cometen stos u otros errores,
pdales que realicen la multiplicacin trmino
por trmino y analicen los resultados.
13
IIIMATEMTICAS
Consideremos lo siguienteEn la siguiente tabla aparecen binomios que representan las medida del lado de diferen-tes cuadrados, as como los trinomios que corresponden a sus respectivas reas.
a) Examina los dos primeros ejemplos y completa la siguiente tabla.
Binomio Trinomio
x+ 1 (x+ 1)2= x2+ 2x+ 1
x+ 2 (x+ 2)2= x2+ 4x+ 4
x+ 3 (x+ 3)2=
x+ 4 (x+ 4)2=
x+ 6 (x+ 6)2=
x+ 10 (x+10)2=
b) Subraya el trinomio que representa el rea de un cuadrado cuyo lado midex+ 100.
x2+ 100x+ 10000 x2+ 10 000 x2+ 200x+ 10000
Comparen sus soluciones. Comenten cmo obtuvieron los trinomios que son resultadode elevar los binomios al cuadrado.
x+ 4
x 4
A =
=
x+ 6
x 6
A =
=
: :
(x+ 3) (x+ 3) = x2+ 3x+ 3x+ 9 = x2+ 6x+ 9
(x+ 4) (x+ 4) = x2+ 4x+ 4x+ 16 = x2+ 8x+ 16
(x+ 6) (x+ 6) = x 2+ 12x+ 36
(x+ 10) (x+ 10) = x 2+ 10x+ 10x+ 100 = x2+ 20x+ 100
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48 L ib ro para e l maest ro
Respuestas. En la figura 1 hay un bloque
de rea x 2, 10de rea xy 25de rea 1,
por lo tanto, las expresiones correctas son
x 2+ 5x+ 5x+ 25y x 2+ 10x+ 25.
Posibles procedimientos.Los alumnos podran
multiplicar lado por lado del cuadrado para
obtener el rea, es decir, (x+ 5) (x+ 5) ; pero
tambin se pueden fijar en el dibujo del
cuadrado y contar directamente cuntos bloques
de cada rea hay. A los alumnos que hayan
utilizado la multiplicacin de binomios para
resolver, pdales que verifiquen su resultado
contando los bloques en el dibujo.
Sugerencia didctica.Aunque se espera que
los alumnos ya lo sepan, conviene recordarles
que elevar un nmero o un trmino al
cuadrado significa que ese nmero o trmino
se multiplica por s mismo una vez.
Posibles dificultades.Cuando se trate de un
solo nmero, los alumnos quiz no tengandificultades para elevarlo al cuadrado, pero
puede haber dudas cuando sea un trmino
como x+ 5 . Algunos podran pensar que x+ 5
al cuadrado es igual a:
x2+ 5
x+ 25
2x+ 10
x2+ 25
Si cometen alguno de esos errores, lean juntos
el recuadro Recuerden que y proponga
algunos ejemplos para que los resuelvan:(4 + 5)2= 81
(7 + b)2= b 2+ 14b+ 49
(z+ w)2= z 2+ 2zw+ w 2
14
SECUENCIA 1
Manos a la obraI. La figura 1 muestra un cuadrado que mide de lado x+ 5.
x+ 5
x+ 5
Figura 1
a) Cuntos bloques de rea x2 se utilizaron para formar
el cuadrado?
b) Cuntos de rea x?
c) Cuntos de rea 1?
d) De las siguientes expresiones, subrayen las que repre-sentan el rea del cuadrado.
x+ 5
x2+ 5x+ 5x+25
x2+ 25
x2+ 10x+25
e) Verifiquen si las expresiones que subrayaron se obtie-nen al elevar al cuadrado el binomio x+ 5. Para eso,completen la multiplicacin (x+ 5) (x + 5)y luegosumen los trminos semejantes para obtener un trino-mio.
(x
+ 5)2
= (x
+ 5) (x
+ 5)
=
=
Recuerdenque:
Paramultiplicardosbinomiossem
ultiplica
cadatrminodeunbinomioporto
dos
lostrminosdel otroyluegosesum
anlos
trminosquesonsemejan
tes.
(x+7)(x+7) =x
2+7x+7x+49
= x2+14x+49
Comparen sus soluciones y comenten cul de los siguientes procedimientos usaran parahacer de manera simplificada la multiplicacin (x+ 8) (x+ 8), sin necesidad de haceruna multiplicacin trmino por trmino.
El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer trmino (x2)y el cuadradodel segundo trmino (64).
El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer trmino (x2)ms el produc-to de los dos trminos (8x)ms el cuadrado del segundo trmino (64).
El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer trmino (x2)ms el doble delproducto de los dos trminos (16x)ms el cuadrado del segundo trmino (64).
Verifiquen sus reglas haciendo la multiplicacin (x+ 8) (x+ 8).
: :
Sugerencia didctica.Permita que los alumnos
comenten cada una de las reglas siguientes e
invtelos a justificar la validez de cada una verifi-
cando si la regla funciona para cualquier
binomio. Para ello, pueden usar los datos de
tabla o los dibujos de los cuatro cuadrados que
formaron con los bloques algebraicos.
Propsito de la actividad.Los alumnos ya
saben multiplicar dos binomios, as que el
nfasis en esta parte est puesto en que
aprendan que, al elevar al cuadrado un binomio,
se obtiene un trinomio.
Por ello, no es tan importante que hagan las
multiplicaciones en un orden especfico, sino que
logren analizar el producto que obtienen porque
a partir de esa informacin podrn comprender
una nueva regla:
El cuadrado del primer trmino ms el doble
del primero por el segundo trmino, ms el
cuadrado del segundo trmino, nos da como
resultado un trinomio.
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49L ib ro para e l maest ro
15
MATEMTICAS IIIII. Eleven al cuadrado el binomio (2x+ 3) y multipliquen trmino por trmino para
obtener cuatro productos parciales como lo indican las lneas. Luego sumen los tr-minos semejantes hasta obtener un trinomio.
4x2
(2x+ 3) (2x+ 3) = 4x2+ 6x+ + =
+ Trinomio cuadrado perfecto
6x 12x
a) Qu relacin hay entre el trmino 4x2 del trinomio y el trmino 2xdel binomio?
b) Qu relacin hay entre el 9del trinomio y el 3del binomio?
c) Cuntas veces aparece el producto parcial 6xen la multiplicacin?
d) Qu trminos del binomio se multiplicaron para obtenerlo?
e) Qu relacin hay entre el trmino 12xdel trinomio y el producto de los dos tr-
minos del binomio?
Comparen sus soluciones y encuentren una procedimiento simplificado para obtenerel trinomio que resulta al efectuar la operacin (3x+ 2)2, sin necesidad de hacer unamultiplicacin trmino por trmino.
A lo que llegamosLa expresin que resulta al elevar al cuadrado un binomio se llamatrinomio cuadrado perfecto.
El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.
(3x+ 5)2= 9x2+ 30x+ 25
El primer trmino del binomiose eleva al cuadrado
El segundo trmino del binomiose eleva al cuadrado
Se multiplican ambos trminos(3x) (5) = 15x
Se duplica el producto(2) (15x) = 30x
: :
Respuestas.
a) 4x 2es el cuadrado de 2x.
b) 9es el cuadrado de 3.
c) Dos veces.
d) 3y 2x.
e) 12xes la suma de 6x+ 6x.
Propsito de la actividad.Se pretende que los
alumnos, a partir de las respuestas que dieron
en la actividad anterior, se den cuenta de que
pueden obtener el trinomio cuadrado perfecto
sin necesidad de efectuar la multiplicacin
trmino por trmino. Si no saben cmo hacerlo,
lean juntos la informacin del apartado A lo que
llegamos.
9
6x 9 4x 2+ 12x+ 9
6x
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50 L ib ro para e l maest ro
16
SECUENCIA 1
Lo que aprendimosEscribe el binomio al cuadrado o el trinomio cuadrado perfecto que falta en cada ren-gln de la siguiente tabla.
Binomio al cuadrado Tr inomio cuadrado perfecto
(x+ 9)2
(3x+ 1)2
x2+ 24x+ 144
(2m+ 5)2
4x2+ 36x+ 81
EL CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
Consideremos lo siguienteDel cuadrado de la figura 2 se recortaron algunas partes hasta que qued otro cuadradoms pequeo, como se muestra en la figura 3.
x
x
x2
x
x
1
1
Figura 2 Figura 3
a) Cul es la medida del lado del cuadrado azul de la figura 3?
b) La expresin algebraica que representa el rea del cuadrado azul es:
Comparen sus soluciones.
SESIN 2
: :
Sugerencia didctica.Si an hay alumnos que
requieren hacer trmino a trmino toda la
multiplicacin, permtales hacerlo. Luego pdales
que intenten obtener el producto como se
explica en el apartado A lo que llegamos.
Posibles dificultades.Para completar los
renglones 3 y 5 de esta tabla, los alumnos deben
invertir el proceso de la multiplicacin, en vez de
obtener el producto a partir de los factores, deben
hacer el proceso inverso: hallar los factores
teniendo el producto, es decir, factorizar. Dicho
proceso puede ser difcil para los estudiantes, por lo
que necesitarn algo ms de tiempo y posiblemente
ayuda. Sera muy til repasar la informacin del
apartado A lo que llegamosplanteando enseguida
algunas preguntas, por ejemplo, se sabe que el
primer trmino del trinomio cuadrado perfecto es el
cuadrado del primer trmino del binomio, entonces
cul es el primer trmino del binomio si el primer
trmino del trinomio es x 2?.
Propsito de la sesin.Descubrir la regla para
obtener el trinomio cuadrado perfecto que
resulta de elevar al cuadrado una diferencia de
dos trminos.
Propsito de la actividad.Se pretende que el
alumno se enfrente al reto que le supone
expresar algebraicamente la medida de un lado
al que se le quita una parte, as como el rea
resultante.
Algunos alumnos podrn resolverlo haciendo uso
de sus conocimientos sobre la multiplicac in de
binomios, pero para otros quiz no sea difcil
plantear cul es la medida del lado del nuevo
cuadrado. Si ese fuera el caso, permtales seguir
avanzando y ms adelante vuelvan a estas
preguntas y corrijan si hubo errores.
Respuestas.
a) x 1
b) (x 1)2
x 2+ 18x+ 81
9x 2+ 6x+ 1
(x+ 12)2
4m 2+ 20m+ 25
(2x+ 9) 2
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51L ib ro para e l maest ro
17
MATEMTICASIIIManos a la obraI. Ana y Ricardo decidieron usar algunos bloques algebraicos para completar el rea del
cuadrado azul de la figura 3.
Ricardo se dio cuenta de que con un bloque de rea xy otro de rea x 1podacompletar el cuadrado de lado x.
Figura 4
x
x
1
1
x
1rea=x
x
1rea= x 1
Despus de completar el cuadrado de lado x, expres que el rea del cuadrado azulde la figura 3 era: x2 x (x 1).
Ana, por su parte, us tres bloques para cubrir el cuadrado de lado x; despus expre-s el rea del cuadrado azul como x2 2(x 1) 1.
a) Usen los bloques algebraicos de la derecha (de reasx 1y 1) para completar elcuadrado de lado xcomo crean que lo hizo Ana; luego tracen cada bloque sobrela figura 5 e ilumnenlos de acuerdo a su color.
11
1
x
x
1
1 rea= x 1
rea= x 1
Figura 5
: :
Propsito del interactivo.Que el alumno
explore las representaciones grfica y algebraica
simultneamente para descubrir y comprender
la regla de los binomios al cuadrado y obtener
un trinomio cuadrado perfecto.
Propsito de la actividad.Al completar el
cuadrado de la figura 3 con bloques para volver
a tener el cuadrado completo de la figura 2, se
pretende que los alumnos comprendan que el
rea del cuadrado de la figura 3 es igual al rea
del cuadrado completo de la figura 2 menos los
dos bloques que Ricardo us, uno de rea xy
otro de rea x 1.
Sugerencia didctica.Es importante que los
alumnos apoyen sus respuestas y las verifiquen
usando los bloques algebraicos. Esto les
permitir darle sentido a las actividades de este
apartado, por lo que es necesario que los tengana la mano y los utilicen.
Posibles respuestas.Los tres bloques pueden
acomodarse en distintas posiciones para
completar el cuadrado azul de la figura 5 y tener
as el rea del cuadrado completo de la figura 2.
Es importante que los alumnos comparen entre
ellos sus distintos acomodos y que estn seguros
de que el rea no vara dependiendo de las
posiciones en las que se pongan los bloques.
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52 L ib ro para e l maest ro
Posibles dificultades.Para algunos alumnos
puede ser difcil obtener el trinomio a partir de las
expresiones iniciales. Si lo considera til, vaya
resolviendo en el pizarrn una a una como se
muestra:
Procedimiento de Ana
Ana sabe que el lado del cuadrado azul de la figura
3 mide (x 1)y para conocer su rea debe elevaral cuadrado esa medida, con lo que quedara
(x 1)2. Tambin sabe que al rea del cuadrado
completo de la figura 2 se le puede restar la de los
tres bloques que ella utiliz, y el resultado ser el
rea de la figura 3. Recuerde a los alumnos que
Ana utiliz tres bloques: dos de rea x 1
y uno de rea 1, que son los que se restan:
(x 1)2= x 2 2 (x 1) 1
Esta expresin puede leerse como el rea del
cuadrado de la figura 3 es igual al rea del
cuadrado de la figura 2 menos dos bloques de rea
x 1, menos un bloque de rea 1. Al resolver
quedara:
(x 1)2= x2 2 (x 1) 1 = x2 2x+ 2 1 =
x 2 2x+ 1
Procedimento de Ricardo
Ricardo sabe que el rea del cuadrado de la figura
3 puede obtenerse restndole al rea del cuadrado
de la figura 2 los dos bloques que utiliz. Recuerde
a los alumnos que Ricardo utiliz: un bloque de
rea xy un bloque de rea x 1, que son los que
se restan.
(x 1)2= x 2 x (x 1)
Para obtener el trinomio puede ser ms fcil
escribirlo as:
(x 1)2= x 2 1 (x ) 1 (x 1)
Esta expresin puede leerse como el rea del
cuadrado d