Embed Size (px)
Citation preview
Geometri 1P og 1P-Y
1
Løsninger
Innhold Linjer og vinkler ....................................................................................................................................... 2
Måling av lengder .................................................................................................................................... 4
Setninger om vinkler ............................................................................................................................... 7
Mangekanter og sirkler ........................................................................................................................... 9
Formlikhet ............................................................................................................................................. 11
Kart og arbeidstegninger ....................................................................................................................... 16
Pytagoras’ setning ................................................................................................................................. 19
Areal ...................................................................................................................................................... 24
Volum og overflate ................................................................................................................................ 34
Tilleggsressurser: Skisser og perspektiv ................................................................................................ 48
Bildeliste ................................................................................................................................................ 49
Geometri 1P og 1P-Y
2
Linjer og vinkler
1.1
Hvordan definerer vi
- en linje?
En linje består av uendelig mange punkter. Linjen har en uendelig utstrekning i begge
retninger (én dimensjon).
- et linjestykke?
Et linjestykke er en del av en linje og avgrenses av to endepunkter.
- en stråle
En stråle er en del av en linje og avgrenses av ett endepunkt. Strålen har uendelig utstrekning
i én retning.
1.2
Tegn en rett, en spiss og en stump vinkel.
En rett vinkel er 90 .
En spiss vinkel er mindre enn 90 .
En stump vinkel er større enn 90 .
Geometri 1P og 1P-Y
3
1.3
a) Tegn to komplementvinkler.
b) Tegn to supplementvinkler
Geometri 1P og 1P-Y
4
Måling av lengder
2.1
Gjør om til meter.
a) 100 cm = 1 m
b) 10 dm = 1 m
c) 1 000 mm = 1 m
d) 1 km = 1 000 m
e) 1 mil = 10 km = 10 000 m
2.2
Gjør om til centimeter.
a) 1,2 m = 120 cm
b) 20 dm = 200 cm
c) 120 mm = 12 cm
d) 2 950 mm = 295 cm
e) 3,25 m = 325 cm
2.3
Gjør om til desimeter.
a) 3,2 m = 32 dm
b) 20 cm = 2 dm
c) 320 mm = 3,2 dm
d) 3 750 mm = 37,50 dm
e) 5,25 m = 52,5 dm
Geometri 1P og 1P-Y
5
2.4
Fyll ut tabellen.
m dm cm mm
1,25 12,5 125 1 250
34 340 3 400 34 000
0,59 5,9 59 590
2.5
Fyll ut tabellen.
Mil km m
2,0 20 20 000
34 340 340 000
0,2920 2,920 2 920
2.6
Regn ut. Oppgi svarene i meter.
a) 20,0 cm + 1,4 m + 38,0 dm = 0,20 m + 1,4 m + 3,80 m =5,4 m
b) 740 mm + 320 cm + 6,0 dm = 0,740 m + 3,20 m + 0,60 m = 4,54 m
c) 85 mm + 240,00 dm + 9,0 cm = 0, 085 m + 24,000 m + 0,090 m = 24,175 m
2.7
Regn ut. Oppgi svarene i kilometer.
a) 2,50 km + 900 m + 3,250 mil = 2,50 km + 0,900 km + 32,50 km = 35,90 km
b) 12,00 mil + 3 250 m + 12 350 m = 120,0 km + 3,250 km + 12,350 km = 135,6 km
Geometri 1P og 1P-Y
6
2.8
Regn ut. Oppgi svarene i passende enhet.
a) 400 m + 2,0 km + 400 mm = 0,4 km + 2,0 km + 0,0004 km ≈ 2,4 km
b) 4,0 m + 61 dm + 2900 mm = 4,0 m + 6,1 m + 2,9001 m ≈ 13,0 m
c) 4,4 m + 61,5 dm + 2900,1 mm = 4,4 m + 6,15 m + 2,9001 m = 13,45001 m ≈ 13,5 m
2.9 De første målesystemene som ble brukt, tok utgangspunkt i lengden av ulike kroppsdeler. Finn ut hvilken del av kroppen disse gamle enhetene stammer fra, og hva de tilsvarer i dagens metriske
system. Du kan for eksempel finne svarene ved å gå inn på www.wikipedia.no
2.10
Gjør et overslag og skriv ned hvor lang og bred du tror pulten din er.
Mål med linjal og finn ut hvor god du var til å beregne lengder.
Gå sammen to og to og gjør overslag på andre lengder du finner i klasserommet.
Hvem har best «øyemål»?
Tidligere måleenhet Lengde Opprinnelse
Fot 30,48 cm Lengden av en voksen manns fot
Tomme 2,54 cm Sannsynligvis tverrmålet av en tommel ved negleroten
Alen 62,75 cm Søk på internett og sjekk historien til alen
Favn ca. 188 cm Søk på internett og sjekk historien til favn
Geometri 1P og 1P-Y
7
Setninger om vinkler
3.1
Vis at w z= .
180
180
v w
w v
+ =
= −
180
180
z v
z v
+ =
= −
w z=
3.2
Tegn to samsvarende vinkler som er like store.
Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store.
Geometri 1P og 1P-Y
8
3.3
Forklar hvorfor u v= .
Vi har to rettvinklede trekanter, og to toppvinkler.
Vinkelsummen i en trekant er 180 , vi har derfor at u v= .
Geometri 1P og 1P-Y
9
Mangekanter og sirkler
2.2.1
Hvilke trekanter er
a) rettvinklede?
b) Likebeinte?
c) Likesidet?
2.2.2
Tegn og beskriv
et trapes, et parallellogram, et rektangel, en rombe og et kvadrat.
2.2.3
Figuren viser et parallellogram. Bestem de ukjente vinklene.
Geometri 1P og 1P-Y
10
2.2.4
Bestem B på figuren.
2.2.5
Sett navn på linjene og linjestykkene på figuren.
Geometri 1P og 1P-Y
11
Formlikhet
5.1 Forklar at trekanten ABC er formlik med trekanten DEF. Finn den siste vinkelen i trekantene.
Trekantene har parvis like store vinkler og er dermed formlike.
Den siste vinkelen er 180 45 71,57 63,43− − =
5.2 Trekantene ABC og DEF nedenfor er formlike.
a) Finn lengden AC
Geometri 1P og 1P-Y
12
Forholdstallet f mellom trekantene kan skrives som:
6,0 3
0,758,0 4
f = = =
Lengden 10,0 cm 0,75 7,5 cmAC = =
b) Finn lengden EF
Lengden 6,2 cm
8,3 cm0,75
EF =
5.3
Se på figuren og forklar hvorfor trekanten BTS er formlik med trekanten B’T’S.
Trekantene BST og B’ST’ har felles vinkel S. Begge trekantene er rettvinklet. Trekantene har da parvis
like store vinkler og er formlike.
Geometri 1P og 1P-Y
13
5.4
I trekanten nedenfor er DE parallell med GH. Forklar at trekanten DEF er formlik med trekanten GHF.
Trekantene DFE og GFH har felles vinkel F. De parallelle linjene DE og GH skjæres av linjene gjennom
DF og EF. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store, dvs.
at vinkel DEF = vinkel GHF osv. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike.
5.5
Figuren nedenfor viser to trekanter DSC og ASB. DC er parallell med AB.
Forklar at trekanten DSC er formlik med trekanten ASB.
Toppvinklene ASB og CDS er like store. De parallelle linjene DC og AB skjæres av linjene gjennom AB
og CD. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store.
Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike.
Geometri 1P og 1P-Y
14
5.6 Trekantene CSD og ASB nedenfor er formlike.
a) Finn lengden DS. DS er samsvarende med AS. AB er samsvarende med CD. Finner et forholdstall f mellom sidene:
3,0
0,754,0
f = =
Lengden 5,3 cm 0,75 4,0 cmDS =
b) Finn lengden BS.
Lengden 4,0 cm
5,3 cm0,75
BS =
5.7
Trekantene ABC og DEF nedenfor er formlike. A D = Hvor store er de andre vinklene i trekantene?
71,6
ACB DFE
ACB
=
=
180 45 71,6 63,4CBA FEB = = − − =
Geometri 1P og 1P-Y
15
5.8
Norges høyeste tre skal være grantreet
”Goliat” i Aurskog-Høland. Lise vil finne ut
hvor høyt treet er. Hun plasserer en 2,0 m
loddrett stav på bakken 10,0 m foran treet.
Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet
gjennom toppen av staven som treffer
bakken 0,5 m fra staven.
Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er.
Trekanten dannet av bakken, staven og
siktelinja er formlik med trekanten som dannes av bakken, treet og siktelinja. Trekantene har felles
vinkel der siktelinja treffer bakken og både staven og treet danner 90med bakken.
Forholdstall f er: 10,5
210,5
f = =
Treet er 2,0 m 21 42 = meter høyt.
5.9
Denne oppgaven krever fint vær og at du får lov av læreren din ☺ .
Gå sammen to og to og finn ut hvor høy skolen din er.
Utstyr:
Målbånd/tommestokk
Metode:
Gå ut i solen rett ved skolen.
Få medeleven din til å måle skyggen som du lager.
Mål lengden av skyggen som skolen lager.
Mål din egen høyde, dersom du ikke vet hvor høy du er.
Du har nå to formlike trekanter og kan finne ut hvor høy skolen din er!
Geometri 1P og 1P-Y
16
Kart og arbeidstegninger
9.1
Vi har et kart i målestokk 1 : 40 000
a) På kartet måler vi at det er 8,5 cm fra fastlandet og ut til en øy.
Hvor lang er denne avstanden i virkeligheten?
Når målestokken er 1 : 40 000 vil 1 cm på kartet være 40 000 cm 400 m 0,4 km= = i
virkeligheten. 8,5 cm på kartet blir dermed 8,5 0,4 km 3,4 km = i virkeligheten.
Avstanden ut til øya er 3,4 km.
b) Avstanden mellom to skjær er omtrent 5 200 meter.
Finn hvor mange centimeter dette utgjør på kartet.
1 cm på kartet utgjør 400 meter i virkeligheten.
5 200 meter i virkeligheten blir dermed 5 200
13,0400
=
Dette utgjør 13 cm på kartet.
Avstand på sjøen måles vanligvis i nautiske mil. En nautisk mil er 1 852 meter.
c) På kartet måler vi at det er 10,5 cm fra Sånum til Stussøy.
Finn avstanden i nautiske mil mellom disse to stedene.
10,5 cm på kartet blir 10,5 400 m 4 200 m = i virkeligheten.
4 2002,3
1 852
Det er ca. 2,3 nautiske mil fra Sånum til Stussøy.
Fart på sjøen måles vanligvis i knop. Knop er antall nautiske mil per time. Er farten din 10 knop,
kommer du 10 nautiske mil på 1 time. Er farten 7 knop, kommer du 7 nautiske mil på en time osv.
d) Tenk deg at du er på båttur fra Sånum til Stussøy med en fart på 6 knop.
Hvor lang tid tar båtturen?
Båtturen tar 2,3 nautiske mil
0,38 time6 nautiske mil/time
0,38 t 60 min t 23 minutter
Det tar ca. 23 minutter fra Sånum til Stussøy med en fart på 6 knop.
Geometri 1P og 1P-Y
17
9.2
Tegningen nedenfor viser grunnflaten til et hus i målestokk 1 : 100.
a) Hva betyr det at målestokken er 1 : 100?
1 cm på arbeidstegningen er 100 cm i virkeligheten.
b) Hvor mange kvadratmeter blir utvidelsen av stuen?
Utvidelsen av stuen blir 2450 cm 350 cm 4,50 m 3,50 m 15,75 m = =
Geometri 1P og 1P-Y
18
9.3
Tegn en skisse av pulten du sitter ved. Bruk målestokk 1:10.
9.4
En arbeidstegning av en maskindel er i målestokk 5 : 1.
a) Hva betyr det at målestokken er 5:1?
5 cm på tegningen er 1 cm i virkeligheten.
b) Et mål på tegningen er 100 mm. Hvor mange millimeter blir dette i virkeligheten?
100 mm blir 100 mm
20 mm5
= i virkeligheten.
c) Maskindelen har en lengde på 21 mm. Hva blir dette målet på tegningen?
Målet blir 21 mm 5 105 mm = på tegningen.
9.5
Bruk oppskriften fra teorien og lag din egen skisse av et rom med noen møbler.
Dersom du bruker for eksempel GeoGebra, vil du kunne dreie tegningen din i ulike retninger.
Ta deg tid til å gjøre dette skikkelig ☺.
Geometri 1P og 1P-Y
19
Pytagoras’ setning
6.1
Finn lengden av siden b i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor.
Bruker Pytagoras´ læresetning.
Lengden b er ca. 5,8 cm.
Geometri 1P og 1P-Y
20
6.2 Finn lengden BC i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor.
Bruker Pytagoras´ læresetning.
Lengden BC er ca. 7,1 cm.
Geometri 1P og 1P-Y
21
6.3 Figuren viser grunnflaten til en garasje. Regn ut lengden av diagonalen BC.
6.4 Mål lengden og bredden av pulten du sitter ved. Bruk Pytagoras’ læresetning og regn ut lengden av diagonalen på pulten din. Sjekk om du har regnet riktig ved å måle diagonalen.
Bruker Pytagoras´ læresetning.
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
hypotenus katet katet
6,0 8,0
36 64
100
100
10,0
BC
BC
BC
BC
BC
= +
= +
= +
=
=
=
Diagonalen BC er 10,0 m.
Geometri 1P og 1P-Y
22
6.5 Sjekk om det er riktig at trekanten nedenfor er rettvinklet.
6.6 Regn ut lengden AB i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor.
Bruker Pytagoras´ læresetning og sjekker om
lengden BC er 5,5 m.
Diagonalen BC er ca. 5,7 m. Trekanten er ikke rettvinklet
Bruker Pytagoras´ læresetning.
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
hypotenus katet katet
katet hypotenus katet
10,0 6,0
100 36
64
64
8,0
AB
AB
BC
BC
BC
= +
= −
= −
= −
=
=
=
Lengden AB er 8,0 dm.
Geometri 1P og 1P-Y
23
6.7 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 5,15 cm lang og den ene kateten 2,50 cm lang.
Regn ut lengden av den andre kateten.
Bruker Pytagoras´ læresetning.
Lengden av den andre kateten er ca. 4,50 cm.
6.8 Trekanten ABC nedenfor er likebeint. AC er 6,75 m og AB er 10,80 m. Finn høyden h.
Høyden h er ca. 4,05 m.
Geometri 1P og 1P-Y
24
Areal
7.1
Fyll ut tabellen
7.2
Gjør om til kvadratdesimeter, dm2.
a) 670 cm2 = 6,70 dm2
b) 120 m2 = 12 000 dm2
c) 900 cm2 = 9,00 dm2
7.3
Legg sammen og skriv svaret i kvadratmeter, m2.
a) 2 2 234 dm 800 cm 8,9 dm+ + 2 2 2 20,34 m 0,08 m 0,089 m 0,509 m= + + =
b) 2 2 2430 000 mm 7 800 cm 45 dm+ + 2 2 2 20,43 m 0,78 m 0,45 m 1,66 m= + + =
7.4
Legg sammen og skriv svaret i kvadratcentimeter, cm2.
a) 2 2 23,1 m 80 dm 79 000 mm+ +2 2 2 231 000 cm 8 000 cm 790 cm 39 790 cm= + + =
b) 2 2 28 300 mm 7 dm 0,05 m+ +2 2 2 283,0 cm 700 cm 500 cm 1 283 cm= + + =
m2 dm2 cm2 mm2
1,2 120 12 000 1 200 000
0,15 15 1 500 150 000
0,025 2,5 250 25 000
0,76 76 7 600 760 000
Geometri 1P og 1P-Y
25
7.5
Gitt rektangelet ABCD nedenfor.
a) Regn ut arealet av rektangelet.
Arealet 26 m 2 m=12 m=
b) Regn ut lengden av diagonalen AC.
Bruker Pytagoras’ læresetning og finner diagonalen.
Diagonalen AC er ca. 6,3 meter
c) Regn ut arealet av trekanten ABC.
Arealet av trekanten ABC 6,0 m 2,0
= m
226,0 m=
d) Hva er arealet av trekanten ACD?
Trekantene ABC og ACD er formlike og like store.
Arealet av ABC = arealet av ACD, altså 6,0 m2
Geometri 1P og 1P-Y
26
7.6
Et kvadrat har sidelengde på 10,0 cm. Regn ut arealet av kvadratet.
Sidene i et kvadrat har lik lengde.
Arealet av kvadratet 210,0 cm 10,0 cm 100,0 cm= =
7.7
a) Mål opp pulten din og regn ut arealet.
b) Sjekk om du får samme areal som eleven nærmest deg.
c) Hva er årsaken dersom dere ikke fikk samme svar? Målefeil? Ulik størrelse? Avrunding?
7.8
Gitt trapeset ABCD.
a) Finn arealet av trapeset.
Sidelengden AB 6 m 3 m 9 m= + =
Arealet av trapeset ABCD 29 m 6 m 15 m2 m 2 m 15 m
2 2
+ = = =
b) Finn arealet trekanten FBC og rektangelet AFCD.
Arealet av trekanten FBC 23 m 2 m3 m
2
= =
Arealet av rektangelet AFCD 26 m 2 m 12 m= =
c) Legg sammen arealene du fant i b). Hva observerer du?
Summen blir 2 2 23 m 12 m 15 m+ =
Arealet av trekanten + arealet av rektangelet er det samme som arealet av trapeset.
(Heldigvis ☺.)
Geometri 1P og 1P-Y
27
7.9
Finn arealet av parallellogrammet EFGH.
Arealet av parallellogrammet EFGH 2grunnlinje høyde 4 dm 2 dm 8 dm= = =
7.10
Finn arealet av trekanten ABC nedenfor.
Finner først høyden h fra C ned på linja gjennom AB.
Pytagoras’ læresetning gir:
2 2 2
2
2
5 3
25 9
16
4
h
h
h
h
= −
= −
=
=
Arealet av trekanten ABC 2grunnlinje høyde 2 cm 4 cm4 cm
2 2
= = =
Geometri 1P og 1P-Y
28
7.11
Regn ut arealet av sirkelen nedenfor.
Arealet av sirkel 228 cm=
7.12
Gitt en halvsirkel med radius 5 m. Regn ut arealet av halvsirkelen.
Arealet av halvsirkelen 239 m=
Geometri 1P og 1P-Y
29
7.13
Ei DVD-plate har en diameter på 12,0 cm. Innerst er det et hull med en diameter på 1,5 cm.
Finn arealet av DVD-plata.
Radien til DVD-plata er 6,0 cm og radien til hullet er 0,75 cm.
Arealet av DVD-plata 2111 cm=
Geometri 1P og 1P-Y
30
7.14
Stian skal sette opp et bygg. Grunnflaten har form som vist på tegningen ovenfor. Alle målene er gitt i
millimeter (mm).
Vis at grunnflaten til bygget har et areal på 107,5 m2.
Oppgaven kan løses på flere måter. Løsningen her er bare ett av mange alternativ.
Metode:
Finner arealet av de to store firkantene.
Legger til arealet av trekanten.
Trekker i fra det området der de to firkantene overlapper hverandre.
Areal av den øverste store firkanten 27,0 m 8,0 m 56,0 m= =
Areal av den nederste store firkanten 28,0 m 6,0 m 48,0 m= =
Areal av trekanten ( ) ( ) 28,0 m 2,5 m 7,0 m 3,0 m 5,5 m 4,0 m
11,0 m2 2
− − = =
Areal av det området som blir med i begge de store firkantene 22,5 m 3,0 m 7,5 m= =
Samlet areal blir: 2 2 2 2 256,0 m 48,0 m 11,0 m 7,5 m 107,5 m+ + − =
Geometri 1P og 1P-Y
31
7.15
Figuren nedenfor viser en likesidet trekant med sider 30,0 cm. Utskjæringen er en halvsirkel med
diameter 10,0 cm.
a) Regn ut høyden i trekanten.
Trekanten er likesidet. Høyden treffer dermed midt på grunnlinjen.
Bruker Pytagoras’ læresetning og finner høyden h.
Høyden i trekanten er ca. 26,0 cm.
b) Regn ut arealet av den utskårne trekanten.
Arealet av hele trekanten minus arealet av halvsirkelen.
Arealet er 2351 cm
Geometri 1P og 1P-Y
32
c) Regn ut omkretsen av den utskårne trekanten.
Omkretsen av halvsirkelen 2
d
Omkretsen av trekanten blir dermed 95,7 cm
7.16
Figuren nedenfor viser en arbeidstegning. Målene er satt på figuren.
Regn ut overflaten (arealet) av gjenstanden.
Overflaten av stort rektangel 26 cm 13 cm 78 cm= =
Overflaten av lite rektangel 22 cm 12 cm 24 cm= =
Overflaten av trekanten 212 cm 8 cm48 cm
2
= =
Samlet overflate av gjenstanden: 2 2 2 278 cm 24 cm 48 cm 150 cm+ + =
Geometri 1P og 1P-Y
33
7.17
Hvilken figur har størst areal, en sirkel med radius 4,00 cm eller et
kvadrat med sidelengde 7,00 cm?
Areal sirkel 2r=
Areal kvadrat 2 27,00 cm=
Arealet av sirkel er størst.
7.18
Regn ut arealet av det blå området på figuren.
Areal av rektangel 6,0 m 3,0 m=
Areal av de to kvartsirklene ( )
23,0 m
24
Arealet av det blå området blir: 23,9 m
Geometri 1P og 1P-Y
34
Volum og overflate
8.1
Fyll ut tabellen
8.2
Gjør om til kubikkdesimeter, dm3.
a) 6 700 cm3 36,7 dm=
b) 1 m3 31 000 dm=
c) 900 000 mm3 30,9 dm=
8.3
Legg sammen og skriv svaret i liter.
a) 3 3 33,4 dm 800 cm 0,001 m+ + 3 3 3
3
3,4 dm 0,8 dm 1,0 dm
5,2 dm
5,2 liter
= + +
=
=
m3 dm3 cm3 mm3
0,002 2 2 000 2 000 000
0,015 15 15 000 15 000 000
0,000 250 0,250 250 250 000
0,000 760 0,760 760 760 000
Geometri 1P og 1P-Y
35
b) 3 3 3430 000 mm 7 800 cm 0,045 m+ + 3 3 3
3
0,43 dm 7,80 dm 45,00 dm
53,23 dm
53,23 liter
= + +
=
=
8.4
Fyll ut tabellen
8.5
En eske har form som vist på figuren. Esken har ikke lokk.
a) Regn ut arealet av grunnflaten
l dl cl ml
2,1 21 210 2 100
15 150 1 500 15 000
0,25 2,5 25 250
0,076 0,76 7,6 76
Geometri 1P og 1P-Y
36
b) Regn ut volumet av esken. Gi svaret i liter.
326,4 dm 26,4 LV = =
c) Regn ut overflaten av esken.
Overflate av esken = Overflate av bunn pluss overflate av to langsider pluss overflate av to
endesider
8.6
En kartong med appelsinjuice har målene:
Høyde 24,0 cm, bredde 6,6 cm og dybde 6,4 cm.
Hvor mye rommer juicekartongen? Gi svaret i liter.
Kartongen rommer 3 31013,8 cm 1,0 dm 1,0 L =
Geometri 1P og 1P-Y
37
8.7 En tilhenger har følgende mål. Lengde: 2037 mm Bredde: 1160 mm Høyde: 350 mm
a) Hvor mange liter rommer tilhengeren?
Tilhengeren rommer 827 liter
Største nyttelast tilhengeren kan ha er 610 kg.
b) Hvor tykt lag med grus kan du fylle oppi tilhengeren når 1 liter grus veier 2,5 kg? Her kan det være greit å sette opp en likning. Vi kan regne ut massen i kg ved å multiplisere antall liter grus med antall kg grus per liter. Antall liter grus får vi ved å multiplisere lengden med bredden og videre med den ukjente høyden, som vi her kaller h. Dette regnestykket skal bli 610 kg, som er den største nyttelasten. Vi får
3
kg20,37dm 11,60dm 2,5 610kg
dmh =
Det kan fylles grus 1,03 dm = 10,3 cm opp i kassen.
Geometri 1P og 1P-Y
38
Alternativ løsning Vi finner ut hvor mange liter vi kan ha i tilhengeren. Deretter regner vi ut arealet av grunnflaten i tilhengeren. Til slutt tar vi volumet av grus og deler på grunnflaten for å finne høyden. Vi tar hele tiden med enhetene i CAS-utregningen som kontroll.
Geometri 1P og 1P-Y
39
8.8
Et svømmebasseng har en rektangelformet bunn med lengde 9,80 m og bredde 5,20 m. Høyden er
over alt 1,90 m. Alle målene er innvendige. Veggene og bunnen i bassenget er av betong og er 20 cm
tykke.
a) Hvor mange kubikkmeter betong har gått med til å lage vegger og bunn? Her er det kanskje enklest å regne ut det utvendige og det innvendige volumet av bassenget og trekke de fra hverandre. For å spare litt inntasting, starter vi med å skrive inn de tre målene i variablene l, b og h. Vi tar med enheten "m" her for å få enhet på svaret.
Så regner vi ut det utvendige volumet inkludert vegger og gulv og det innvendige volumet og trekker disse fra hverandre.
Det gikk med 323,1 m betong
Alternativt kan vi regne ut volumet av bunnen og de fire veggene direkte.
b) Hvor mange kvadratmeter fliser har gått med til å bekle vegger og bunn i bassenget? Se bort fra fuger mellom flisene. Vi må regne ut (det innvendige) arealet av de fire veggene pluss bunnen.
Det gikk med 108 m2 fliser.
Geometri 1P og 1P-Y
40
8.9 Figuren nedenfor viser en traktorskuffe.
Skuffen er laget av jernplater med en tykkelse på 6 mm. Jernet har en vekt på 7,87 g per cm3
Hvor mange kilo veier skuffen?
Vekten av skuffen blir: 210 000 g 210 kg=
Geometri 1P og 1P-Y
41
8.10
Det er planlagt å grave ut en 2 km lang kanal. Kanalen skal være 2,5 m dyp, 5 m bred øverst og 2,5 m
bred i bunnen. Sidene skråner jamt.
Hvor mange kubikkmeter masse må graves ut? Skissen til høyre viser et tverrsnitt av kanalen.
Antall kubikkmeter som må graves ut er 318 750 m
8.11
En kakeboks har form som en sylinder. Kakeboksen har en diameter på 21,0 cm og en høyde
på 16,0 cm. Hvor mange liter rommer kakeboksen?
Volumet av en sylinder er gitt ved formelen 2V r h=
Kakeboksen rommer 5,5 liter.
Geometri 1P og 1P-Y
42
8.12
En oljetank har form som en sylinder. Oljetanken er 5,0 meter høy. Diameteren er 3,0 meter.
a) Hvor mange liter olje rommer oljetanken?
Volum av oljetanken er 3 335 m 35 000 dm 35 000 liter= =
b) Regn ut overflaten av oljetanken.
Overflaten O av en sylinder med topp og bunn er gitt ved formelen 22 2O r h r = +
Overflaten av oljetanken er 261 m
8.13 En gryte har form som en sylinder. Gryta har en diameter på 260 mm og rommer 8 liter. Regn ut høyden til gryta.
Bruker formelen for volum av en sylinder.
Høyden til gryta er 150 mm.
Geometri 1P og 1P-Y
43
8.14 En tresøyle har form som en sylinder med diameter 30 cm og høyde 4,20 m. Søylen skal gis to strøk maling. En liter maling dekker 6 m2. Hvor mye maling vil gå med?
Regner ikke med topp og bunn i dette tilfellet.
Det vil gå med 1,3 liter maling
Geometri 1P og 1P-Y
44
8.15
Verdens mest kjente pyramide, Keopspyramiden like utenfor Kairo i Egypt, har kvadratisk grunnflate med sidelengde 230 m. Høyden på pyramiden var opprinnelig 146 meter, men 10 meter har forsvunnet.
a) Finn volumet av den opprinnelige Keopspyramiden.
Volum av pyramide er gitt ved formelen 3
G hV
=
Volumet V av Keopspyramiden blir 32 570 000 m
Et svømmebasseng har en lengde på 25,0 meter, en bredde på 12,5 meter og en gjennomsnittsdybde på 2,4 meter. b) Hvor mange liter rommer dette svømmebassenget?
Svømmebassenget rommer 750 000 liter
c) Hvor mange slike basseng rommer den opprinnelige Keopspyramiden?
Keopspyramiden rommer 3430 svømmebasseng av denne typen.
Gizapyramidene. Kefrenpyramiden og
Keopspyramiden i Giza ved Cairo.
Geometri 1P og 1P-Y
45
8.16
Gitt en kjegle med radius 12,0 cm og høyde 24,0 cm.
a) Finn volumet av kjeglen.
Volumet av en kjegle er gitt ved formelen 2
3
r hV
=
Volum av kjeglen er 33 620 cm
b) Finn overflaten av kjeglen.
Overflaten av en kjegle med bunn er gitt ved formelen 2O r r s = + Finner først sidekanten s ved hjelp av Pytagoras’ læresetning.
Overflaten av kjeglen er 21 460 cm
Geometri 1P og 1P-Y
46
8.17 En kjegle har radien 2,4 dm og en sidekant på 6,4 dm.
a) Finn høyden i kjeglen. Bruker Pytagoras’ læresetning og finner høyden.
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
sidekant radien høyden
s r h
= +
= +
Høyden er 5.9 dm
b) Finn volumet av kjeglen.
Volumet er 336 dm
8.18 En kuleformet appelsin har en diameter på 8,0 cm.
a) Finn overflaten av appelsinen.
Overflaten ( )22 24 4 4,0 cm 200 cmr = = =
b) Forklar hva overflaten er i praksis.
Overflaten av appelsinen er arealet av skallet.
c) Finn volumet av appelsinen.
Volumet ( )
3334 4,0 cm4
270 cm3 3
r = = =
Geometri 1P og 1P-Y
47
Skallet på appelsinen er 3 mm tykt.
d) Finn volumet av den spiselige delen av appelsinen (dersom du ikke er en som spiser skallet da). Radien av selve appelsinkjøttet: 4,0 cm 0,3 cm 3,7 cm− =
Volumet av appelsinen uten skall: ( )
3334 3,7 cm4
210 cm3 3
r = = =
e) Finn volumet av skallet. Volumet av skallet er ytre volum minus indre, altså 270 cm³ – 210 cm³ = 60 cm³
8.19
En kroneis består av en kjegleformet kjeks med is. I tillegg er det ei halvkule med is øverst. Diameteren på kjeksen er 6,0 cm. Høyden på kjeksen er 12,0 cm.
a) Finn radien i kula Radien i kula er den samme som radien på kjeksen dvs. 3,0 cm.
b) Finn volumet av isen.
Volum halvkule med is ( )
34 3,0 cm 1
3 2
=
Volum av kjegle med is ( )
23,0 cm 12,0 cm
3
=
Samlet mengde is blir 3170 cm 0,17 liter 1,7 dl = =
Geometri 1P og 1P-Y
48
Tilleggsressurser: Skisser og perspektiv
9.6
Tegn en melkekartong fra ulike vinkler. Se teorien for tips.
Eksempler:
Geometri 1P og 1P-Y
49
Oppgaver og løsninger
Stein Aanensen og Olav Kristensen
Bildeliste
Lister videregående skole, Studiested Flekkefjord
Foto: Anne Seland/NDLA
Gizapyramidene
Foto: Karsten Schnack/Scanpix Denmark
Melkekartonger i trepunktsperspektiv
Tegning: Knut Høihjelle/NDLA
Skisse av hus
Teikning: Alv Tore Romedal
