LTI 系统对输入信号所起的作用包括两个方面 :

1. 改变输入信号各频率分量的幅度；

2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。

)()()( jHjXjY )()()( jjj eHeXeY

|)(||)(|)( jHjXjY

§4.7LTI的频域分析

长春理工大学

0( ) j tH j e 0( ) ( )y t x t t

信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生

改变都会引起信号波形的改变，即发生失真。

当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只引

起信号在时间上的平移。若连续时间 LTI 系统：

则

此时并未丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的。

§4.7LTI的频域分析

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如果系统的相位特性是非线性的，由于不同频率分量受相位特性影响所产生的时移不同，叠加起来一定会变成一个与原来信号很不相同的信号波形。

对离散时间 LTI 系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当相位特性的斜率是整数时，只引起信号的时域移位。若相位特性的斜率不是整数，由于离散时间信号的时移量只能是整数，需要采用其他手段实现，其含义也不再是原始信号的简单移位。

§4.7LTI的频域分析

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一 、系统响应的频域分析

h(t)H(jω)

1. 系统函数 H(jω) 的频域形式

e(t)=δ(t)

F(jω)=1

r(t)=h(t)

R(jω)=H(jω)

h(t)H(jω)

e(t) r(t)=e(t)* h(t)

E(jω) R(jω)= E(jω) H(jω)

§4.7LTI的频域分析

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例 7. 求 RC 电路的系统函数

CR

V1(t) V2(t)(1) 微分方程法

)()()(

122 tvtvdt

tdvRC

jRCjV

jVjH

1

1

)(

)()(

1

2

两边进行傅立叶变换

)()()( 122 jVjVjVjRC

§4.7LTI的频域分析

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(2) 傅氏变换法已知 RC 冲击响应为： )(

1)( tueRC

th RC

t

）（— 21

1)]([)(

jRCthFTjH

(3) 相量法

jRCCjRCj

jH

1

11

)(

1

2

V

V

系统函数

§4.7LTI的频域分析

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例 8. 设 RC-LPF 的 V1(t) 为一矩形脉冲，利用 FT 求 C 两端的电压

RCjjH

1 ,)(

211

2

)2

sin()1()]([)(

jj eEe

j

EtvFTjV

§4.7LTI的频域分析

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)(

2

212

2)(

2

)2

sin()()()(

j

j

ejV

eE

jjVjHjV

222

)2

sin(2

)(

E

jV

2)2(2n1)2(2n

[ ,)](2

[

])12(24

[ )],(2

[)(

1

1

2

tg

nntg

§4.7LTI的频域分析

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)1()1()1()(2

jej

Ejej

Ejej

E

jjV

)(]1[)()1(

)]()([)]()([)()(

)(2

tueEtueE

tuetueEtutuEtvt

t

§4.7LTI的频域分析

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矩形脉冲通过 RC 低通网络

CR

V1(t) V2(t)

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Sa(t)--sinc(t)

t

Sa(t)--sinc(t)

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Sa(t)--sinc(t)

t

Sa(t)--sinc(t)

§4.7LTI的频域分析

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二 . 信号的无失真传输条件1 、无失真传输

LTIe(t) r(t)—— 波形失真

失真原因：低通对高频的抑制作用

R(jω)-

失真：时域 r(t)- 波形失真 频域 R(jω)- 振幅相位失真

§4.7LTI的频域分析

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LTIH(jω)

e(t) r(t)=ke(t-t0)

无失真传输条件

R(jω)= Ke-jt

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

exp(-t2)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

exp(-t2)

t0

e(t)r(t)

)()( 0ttKetr 无失真：保持波形不变

H(jω)=Ke-jt

E(jω)

R(jω)=H(jω) E(jω)

§4.7LTI的频域分析

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0( ) ( )y t kx t t 0( ) ( )y n kx n n

0( ) j tH j ke 0( ) j njH e ke

如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视为在传输中未发生失真。

这就要求系统的频率特性为

如果一个系统的幅频特性是一个常数，称这种系统为全通系统。

§4.7LTI的频域分析

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)()( 0ttkth —— 时域表征

据此可得出信号传输的不失真条件：

0| ( ) | , ( )H j k H j t

0

|)(| jH

通常，系统若在被传输信号的带宽范围内满足不失真条件，则认为该系统对此信号是不失真系统。

0( ) ,j tH j ke —— 频域表征

0

( )H j

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2 、 群时延 Group Delay

对线性相位系统，系统的相位特性表明了信号的各个频率分量在通过系统时，系统对它所产生的附加相移。相位特性的斜率就是该频率分量在时域产生的时延。

( ) ( )d

H jd

对非线性相位系统，定义群时延为

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　群时延代表了在以 为中心的一个很小的频带或很少的一组频率上信号所受到的有效公共延时。 　考察一个中心频率为 的窄带输入信号，一个非线性相位的系统在此窄带范围内，可将其相位的变化近似看成线性的。因此，

0

0

1. 由 引起的幅度成形；| ( ) |H j

该系统对窄带输入信号的近似效果就是：( ) ( ) | ( ) | j jY j X j H j e e

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3. 对应系统在窄带内的近似线性相位 所产生的时延 。该时延就是系统在 的群时延。

0

2. 对应系统在 的恒定相位 的因子 的影响；

0 je

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3 、利用系统失真形成升余弦脉冲 原理：需要 r(t)→R(j), 由 R(j) → H

(j)= R(j) ， e(t)= (t) ， r(t)=FIT[H(j)]= FIT[R(j)]

为其他值）t

ttE

tr

( ,0

)22

( )],2

cos(1[2)(

2)2

(1

1

2

)2

sin(

2)(

EjR

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2)2

(1

1

2

)2

sin(

2)()(

EjRjH

于是，在 (t) 作用下，系统响应为升余弦脉冲Er(t)

-5 0 5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

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三、理想频率选择性滤波器

1. 频率成形滤波器2. 频率选择性滤波器

1. 滤波

通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。

滤波器可分为两大类：

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2. 理想频率选择性滤波器的频率特性

理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。

理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。

滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（ pass band），完全不允许信号通过的频段称为阻带（ stop band）。

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连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性

低通 高通

带通 带阻

cc 0

1

cc 0

1

0

1

11 220

1

11 22

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3. 理想滤波器的时域特性

以理想低通滤波器为例

连续时间理想低通滤波器

( )H j c

c 1,

0,

1( )H j

cc

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由傅里叶变换可得 :1 sin

( ) Sa( )2

c

c

j t c cc

th t e d t

t

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如果理想低通滤波器具有线性相位特性

则 sin ( )( ) Sa ( )

( )c c

c

th t t

t

( )H j , | |j

ce

0, | | c

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理想低通滤波器的单位阶跃响应

( ) ( ) * ( )s t h t u t

sin 1 sinct tc c

c

t xdt dx

t x

0

0

1 sin 1 sinctx xdx dx

x x

0

sinSi( )

xd x

令 正弦积分

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, Si( ) ; , Si( )2 2

Si(0) 0

x x x x

由于

1 1 1 1( ) [Si(0) Si( )] Si( ) Si( )

2c cs t t t

t

( )s t

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1. 理想滤波器是非因果系统。因而是物理不

可实现的；

2. 尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频

率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳

的。 或 都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想

滤波器的时域特性与频域特性并不兼容。

3. 在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必

须对时域特性和频域特性作出恰当的折中。

( )h t ( )h n

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