LU06 Das Koordinatensystem · Punkt H ist der Höhenschnittpunkt. Er liegt beim spitzwinkligen Dreieck innerhalb der ... LU09 Flächen und Volumen LU13 Mit Würfeln Quader bauen

Theorieblätter mathbuch 1

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LU06 Das Koordinatensystem

In einem Koordinatensystem, gehört zu jedem Punkt eindeutig ein Zahlenpaar P(x/y). Normalerweise wählt man die x-Achse waagrecht mit Richtungspfeil nach rechts (rot in der Abbildung), die y-Achse senkrecht mit Richtungspfeil nach oben (blau in der Abbildung). Die erste Koordinate eines Punktes ist die x-Koordinate, die zweite Koordinate eines Punktes ist die y-Koordinate. Mit «Ursprung» wird der Schnittpunkt der Achsen im Koordinatensystem bezeichnet. Die Koordinaten des Ursprungs sind somit (0/0).


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LU14 Graphen zeichnen

Wird der Zusammenhang zweier Grössen in einem Koordinatensystem dargestellt, spricht man von einen «Graphen». Beispiele: Füllgraphen, Weg-Zeitdiagramm, Anhalteweg eines Autos …

Zu jedem Gefäss gibt es einen passenden Graphen, der die Abhängigkeit der Füllhöhe und der Füllmenge darstellt. Je steiler der Graph, desto dünner ist das Gefäss. Je flacher der Graph, desto breiter ist das Gefäss. Eine Gerade entsteht, wenn das Gefäss immer gleich breit ist.


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LU01 Proportionalität

Zwei Grössen x und y heissen «proportional» zueinander, wenn das Verdoppeln (Halbieren, Dritteln, …) der einen Grösse das Verdoppeln (Halbieren, Dritteln, …) der anderen Grösse bewirkt.

Menge [g] 100 200 300 400 500 600 Preis [CHF] 3.00 6.00 9.00 15.00 22.50 30.00

Graph Stellt man die proportionale Abhängigkeit zweier Grössen in einem Koordinatensystem dar, ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung.

Wertetabelle Zusammenhänge zwischen Grössen können in einer Wertetabelle festgehalten werden.

In der Wertetabelle erkennt man Proportionalität daran, dass der Quotient aus zugeordneten Werten konstant (immer gleich) ist. Der x-Wert dividiert durch den y-Wert (oder auch y : x) ergibt immer die gleiche Zahl. Ausgenommen ist das Paar (0/0) – auch Ursprung genannt.


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LU15 Kosten berechnen

Direkte Proportionalität x Zwei Grössen heissen proportional, wenn das Verdoppeln (Halbieren,

Dritteln, ...) der einen Grösse das Verdoppeln (Halbieren, Dritteln, ...) der andern Grösse bewirkt.

x Merkspruch: Je mehr, desto mehr; je weniger, desto weniger! x y : x (oder x : y) ist konstant. x Der Graph ist eine Gerade und geht durch den Ursprung. Aufgabe 8 Stück eines Produkts kosten Fr. 16.-. Wie viel kosten 5 Stück?

Stück Preis in Fr.

8 16.-

1 2.-

5 10.- Fünf Stück kosten Fr. 10.-

Lösungsschema 1. Überlege dir, ob die Aufgabe proportional ist. 2. Stelle die T-Darstellung auf. 3. Links und rechts sind gleiche Operatoren nötig, um über «1» zum gesuchten Wert zu kommen. 4. Schreibe einen Antwortsatz.


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LU29 Direkte Proportionalität – indirekte Proportionalität

x Zwei Grössen sind «umgekehrt proportional» zueinander, wenn das Verdoppeln (Halbieren, Dritteln, ... ) der einen Grösse das Halbieren (Verdoppeln, Verdreifachen, ...) der andern bewirkt.

x Merkspruch: Je mehr, desto weniger; je weniger, desto mehr! x y · x (oder x · y) ist konstant. x Die Darstellung im Koordinatensystem ergibt eine Hyperbel.

Wertetabelle:

Aufgabe Drei gleichwertige Pumpen leeren einen vollgelaufenen Keller in 8 Stunden. Wie lange brauchen zwei gleiche Pumpen dafür?

Pumpen Zeit in h

3 8

1 24

2 12 Zwei Pumpen brauchen 12h.

Lösungsschema 1. Überlege dir, ob die Aufgabe proportional oder umgekehrt proportional ist. 2. Stelle die T-Darstellung wie bei der direkten Proportionalität auf. 3. Links und rechts sind nun gegenteilige Operatoren nötig, um über «1» zum gesuchten Wert zu kommen. 4. Schreibe einen Antwortsatz.

x 4 7.5 10 24 y 15 8 6 2.5


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LU05 Messen und zeichnen

Winkel messen 1. Winkelgrösse schätzen. 2. Geodreieck mit dem 0-Punkt auf den Scheitelpunkt des Winkels legen. 3. Eine Seite des Geodreiecks liegt auf einem Schenkel. 4. Ablesen der Winkelgrösse auf der richtigen Skala (dort wo das Geo-Dreieck auf dem Schenkel liegt,

muss die Skala bei 0 beginnen!)

Winkelbezeichnungen

Bezeichnungen von Winkeln mit griechischen Buchstaben:

D alpha E beta J gamma G delta H epsilon

Parallelen

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie überall den gleichen Abstand haben. Die Parallelität wird mit Doppelstrichen angezeigt.

Um eine Gerade parallel zu verschieben, legst du Geodreieck und Lineal folgendermassen hin:

0° < α < 90°: «spitz» 90° < β < 180°: «stumpf» 180° < γ < 360°: «überstumpf» α = 90°: «rechter Winkel»

δ = 180°: «gestreckt» ε = 360°: «voll»


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Senkrechte Wenn Geraden oder Strecken einen 90°-Winkel bilden, spricht man von «senkrecht stehen».

Gebräuchlich sind die beiden Darstellungen oben. Im «mathbuch» markieren wir rechte Winkel mit Viertelkreis und Punkt.


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LU12 Parallelogramme und Dreiecke

Eigenschaften von Parallelogrammen und Dreiecken

Rechteck

Das Rechteck ist ein Viereck mit lauter rechten Winkeln. x Die Diagonalen sind gleich lang. x Die Geraden, welche gegenüberliegende

Seitenmitten verbinden, sind Symmetrieachsen. x Der Schnittpunkt der Diagonalen ist das

Symmetriezentrum der Figur.

Quadrat

Das Quadrat ist ein spezielles Rechteck. x Es besitzt vier Symmetrieachsen. x Der Schnittpunkt der Symmetrieachsen ist

Symmetriezentrum. x Alle Seiten sind gleich lang. x Alle Winkel sind rechte Winkel.

Parallelogramm (Rhomboid)

Das Parallelogramm (auch «Rhomboid») ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind (schräges Rechteck) Für ein Parallelogramm gilt: x Gegenüberliegende Winkel sind gleich gross. x Der Schnittpunkt der Diagonalen ist (wie bei allen

Parallelogrammen) Symmetriezentrum.

Rhombus

Der Rhombus (die «Raute») ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten (schräges Quadrat). Für einen Rhombus gilt: x Alle Seiten sind gleich lang. x Gegenüberliegende Winkel sind gleich gross. x Die beiden Diagonalen stehen senkrecht

aufeinander und sind Symmetrieachsen. x Der Schnittpunkt der Diagonalen ist (wie bei allen

Parallelogrammen) Symmetriezentrum.

Dreiecke

In einem Dreieck werden die Eckpunkte üblicherweise im Gegenuhrzeigersinn mit Grossbuchstaben in alphabetischer Reihenfolge beschriftet, zum Beispiel mit

A, B, C. Die Seiten bezeichnet man dann meistens mit den entsprechenden Kleinbuchstaben a, b, c, wobei a der Ecke A gegenüberliegt, b der Ecke B und c der Ecke C. Der Winkel bei Punkt A heisst dann α («Alpha»), der Winkel bei B heisst β («Beta») und derjenige bei C heisst γ («Gamma»).


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LU12 Parallelogramme und Dreiecke

Einzeichnen von Höhen Im Dreieck ist die Höhe die kürzeste Verbindungsstrecke von einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite (oder der Verlängerung der Seite). Punkt H ist der Höhenschnittpunkt. Er liegt beim spitzwinkligen Dreieck innerhalb der Figur, beim stumpfwinkligen Dreieck ausserhalb. Beim rechtwinkligen Dreieck fällt er mit der Ecke beim rechten Winkel zusammen. Höhen stehen immer senkrecht auf der zugehörigen Seite.

Im Parallelogramm ist die Höhe der Abstand zweier paralleler Seiten. Sie entspricht der Streifenbreite. Wie die Illustration zeigt, gibt es im Parallelogramm zwei verschiedene Höhen.

Flächeninhalt Parallelogramm Erklärung durch neu zusammensetzen

Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man aus Grundlinie mal zugehörige Höhe: A = g · h Wählt man als Grundseite a gilt: A = a · ha Wählt man als Grundseite b gilt: A = b · hb Flächeninhalt Dreieck Der Flächeninhalt ist beim Dreieck halb so gross wie das Produkt aus einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe. A = 𝑔∙ℎ

2 A = 𝑔∙ℎ2 oder A = 𝑎∙𝑏

2 A = 𝑔∙ℎ2


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Konstruktion Aus gegebenen Stücken wird ein Parallelogramm konstruiert. Eine Konstruktion besteht immer aus 3 Teilen: 1. Skizze zeichnen und gegebene Stücke rot einzeichnen 2. Konstruktion Schritt für Schritt durchführen 3. Konstruktionsbericht schreiben Beispiel Konstruiere ein Parallelogramm aus a = 10 cm, b = 6 cm und α = 40°. 1. Skizze: 2. Konstruktion: 3. Konstruktionsbericht: Weg: 1) Strecke AB = 10 cm -> Punkte A und B 2) α in A an a und α in B an a 3) Kreise um A und B mit r = 6 cm schneiden mit Winkelschenkel -> Punkte D und C. 4) Parallelogramm ABCD


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LU10 x-beliebig

Variable Eine Variable ist ein Buchstabe, der als Platzhalter für eine Zahl steht. Term Mit «Term» bezeichnet man jede sinnvolle mathematische Zeichenreihe aus Zahlen, Variablen, Operationszeichen, Klammern, ... Beispiel: Betrachte die folgende Zahlenreihe. Die Differenz zweier benachbarter Zahlen ist immer konstant, in diesem Falle 7. Der Term beinhaltet also 7x. Wir kontrollieren, ob der Wert für eingesetzte Zahlen stimmt. Wenn nein, addieren oder subtrahieren wir die Korrektur.

1 2 3 4 5 6 7 x 4 11 18 25 32 39 46 7x - 3

7 7 7 7 7 7 Betrachte die folgende Zahlenreihe und ihre Differenzen.

1 2 3 4 5 6 7 x 1 4 9 16 25 36 49 x2

3 5 7 9 11 13 2 2 2 2 2

Die ersten Differenzen sind nicht konstant, wachsen aber gleichmässig an. Die 2. Reihe ist aber konstant 2. Sind die Differenzen erst in der 2. Reihe konstant, so beinhaltet der Term x2. Wir kontrollieren durch Einsetzen. Wie sieht es aber mit der folgenden Zahlenreihe aus?

1 2 3 4 5 6 7 x 4 10 18 28 40 54 70 x2 + 3x

6 8 10 12 14 16 2 2 2 2 2

Auch hier sehen wir, dass die Differenzen konstant um 2 wachsen. Also beinhaltet der gesuchte Term auch hier den Wert x2. Bei der Kontrolle durch Einsetzen merken wir, dass es noch nicht stimmt. Wir subtrahieren darum jeweils x2 von den Ausgangswerten – das ergibt folgende neue Tabelle:

4-1 = 3 10-4 = 6 18-9 = 9 28-16 = 12 40-25 = 15 54-36 = 18 70-49 = 21 x2 + 3x 3 3 3 3 3 3

Die Differenz zweier benachbarter Zahlen ist immer konstant, in diesem Falle 3. Der Term beinhaltet also zusätzlich 3x. Wir kontrollieren, ob der Wert für eingesetzte Zahlen stimmt. Wenn nein, addieren oder subtrahieren wir die Korrektur.


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LU11 Knack die Box

Bei «Knack die Box»-Aufgaben gelten folgende Regeln: 1. Beidseits des Gleichheitszeichens müssen immer gleich viele Hölzchen sein. 2. Blau/hell steht für x-Boxen, y-Boxen sind rot/dunkel. 2. In Boxen gleicher Farbe sind jeweils immer gleich viele Hölzchen. Beispiele:

Boxenanordnung Gleichung Wertetabelle Text

2x = y + 3 x 2 3 4 5 y 1 3

In zwei blauen/hellen Boxen hat es drei Hölzer mehr als in der dunklen/roten Box.

y + 3 = 3x x 1 2 3 4 y 0 3

In der dunklen/roten Box sind 3 Hölzchen weniger, als in 3 hellen /blauen Boxen zusammen.


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LU07/08 Brüche, Dezimalbrüche, Prozente

Brüche Ein Bruch kann als Teil eines Ganzen aufgefasst werden («Bruchteil»).

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𝑝𝑞

𝑍äℎ𝑙𝑒𝑟

𝑁𝑒𝑛𝑛𝑒𝑟 (p und q sind ganze Zahlen, q ≠ 0)

Zu jedem Bruch gibt es weitere Brüche mit dem gleichen Wert. Man erhält sie durch kürzen und erweitern. kürzen Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl dividiert. erweitern Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert. 1648

= 824

= 412

= 26 = 1

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𝑏𝑎

ist der Kehrbruch von 𝑎𝑏

. Die entsprechenden Werte bezeichnet man als «Wert» und «Kehrwert».

Ein Bruch mit Zähler 1 heisst «Stammbruch». 14 1

𝑥

Dezimalbrüche Jeder Bruch kann als Dezimalbruch dargestellt werden. Der Bruchstrich ist ein Divisionszeichen. Wird die Division ausgeführt, wird die Zahl zum «Dezimalbruch» (Zahlen mit Komma oder Punkt): 34

= 3 : 4 = 0.75 43

= 1.3̅ abbrechender Dezimalbruch 0.45 0.714285 periodischer Dezimalbruch 2. 6̅ (gelesen: 2 Komma Periode 6)

Prozent Prozent (%) bedeutet «Hundertstel» (lateinisch PRO CENTUM «von hundert»).

25% = 25

100 = 0.25 = 1

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LU09 Flächen und Volumen LU13 Mit Würfeln Quader bauen

Umrechnungszahlen Die Umrechnungszahl bei Flächenberechnungen ist 100: Als Volumen (V) bezeichnet man den Rauminhalt oder das Fassungsvermögen eines Körpers. Die Umrechnungszahl bei Volumenberechnung ist 1000:


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Volumenberechnung Das Volumen eines Würfels berechnet man wie folgt: V = s · s · s = s3. Anders ausgedrückt rechnet man Grundfläche · Höhe. Das Volumen eines Quaders berechnet man wie folgt: V = l · b · h. Anders ausgedrückt rechnet man Grundfläche · Höhe.

Netze oder Abwicklungen

Grundfläche Deckfläche Mantelfäche

Es gibt verschiedene Netze eines Körpers (hier am Beispiel eines Quaders).

Die Oberfläche S Die Oberfläche (S, vom Begriff «Surface») des Körpers ist die Fläche, die das Netz des Körpers belegt. Die Oberfläche kann bemalt werden und sie wird nass, wenn man den Körper in Wasser eintaucht.

Die Oberfläche S berechnet man also aus der Deckfläche, der Grundfläche und den 4 Mantelflächen


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Schrägbilder zeichnen Im Schrägbild werden die nach hinten verlaufenden Strecken in einem Winkel von 45° gezeichnet und um die Hälfte verkürzt. Unsichtbare Kanten werden gestrichelt.


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LU17 Operieren mit Brüchen

Addition 1. Gleichnennerig machen 2. Zähler addieren, Nenner gleich lassen 34 + 1

6 = 9

12 + 2

12 = 11

12

Subtraktion 1. Gleichnennerig machen 2. Zähler subtrahieren, Nenner gleich lassen 23 –

12 = 4

6 – 3

6 = 1

6

Multiplikation 1. Kürzen 2. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner 34

∙ 125

= 3∙124∙5

= 2120

= 1 120

3 ∙ 4

5 = 3

1∙ 4

5 = 3∙4

1∙5 = 12

5 = 2 2

5

34 von 5 = 3

4∙ 5 = 3∙5

4∙1 = 15

4 = 3 3

4

Division 1. Hinteren Bruch «umkehren» 2. Kürzen 3. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner 34

: 57 = 3

4∙ 7

5 = 21

20 = 1 1

20


20


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LU04 So klein - so gross

Vorsilben von Masseinheiten

Längenmasse Flächenmasse Volumenmasse Litermasse Gewichtsmasse Zeiteinheiten


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LU16 Wie viel ist viel?

Potenz Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren kann man als Potenz schreiben. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 35 a • a • a • a = a4

10 • 10 • 10 • 10 • 10• 10 = 106

Zehnerpotenzen Für grosse (und auch für sehr kleine positive Zahlen) werden Zehnerpotenzen eingesetzt: Basis der Potenz ist dann die Zahl 10.

Zahl Potenz in Worten Vorsilbe Kürzel

1 100 Eins 10 101 Zehn Deka- 100 102 Hundert Hekto- h 1’000 103 Tausend Kilo- k 1'000’000 106 Million Mega- M 1'000'000’000 109 Milliarde Giga- G 1'000'000'000’000 1012 Billion Tera- T 1'000'000'000'000’000 1015 Billiarde Peta- P

1'000'000'000'000'000’000 1018 Trillion Exa- E Wissenschaftliche Schreibweise In der wissenschaftlichen Schreibweise schreibt man immer genau eine Stelle vor dem Komma. 3'700'000 = 3.7�106 925’000'000 = 9.25 · 108 4‘235‘250 = 4.23525 · 106 Um eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise wieder in eine «normale» Zahl umzuwandeln, muss man das Komma um so viele Stellen nach rechts (bei «-» nach links) verschieben, wie es der Exponent der Zehnerpotenz anzeigt. 2.51�106 = 2‘510‘000 8.2544684�109 = 8‘254‘468‘400 6.25489�105 = 625‘489 4.56789�10-3 = 0.00456789 Taschenrechner haben meistens maximal Platz, um 10 Ziffern einer Zahl anzuzeigen. Wenn ein Resultat mehr als 10 Ziffern hat, stellt es der Taschenrechner in wissenschaftlicher Schreibweise dar.

1.234567890 · 1099 1.711224524 · 1098 3.234469136 · 10-11


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LU19 Summen und Produkte

Addition: Assoziativ- und Kommutativgesetz Es gilt das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) 2 + (3 + 5) = (2 + 3) +5 = 2 + 3 + 5+= 10 a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c Es gilt das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) 14 + 12 = 12 + 14 = 26 a + b = b + a 0 ist das Neutralelement der Addition 5 + 0 = 5 a + 0 = a

Subtraktion: Assoziativ- und Kommutativgesetz Das Assoziativgesetz gilt nicht: 20 – (10 – 5) = 15 Ö (20 – 10) – 5 = 5 a – (b – c) ≠ (a – b) – c Das Kommutativgesetz gilt nicht: 14 – 12 = 2 Ö 12 – 14 = -2 a – b ≠ b – a

Multiplikation: Assoziativ- und Kommutativgesetz Es gilt das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) 2 · (3 · 4) = (2 · 3) · 4 = 2 · 3 · 4 = 24 a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c Es gilt das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) 3 · 4 = 4 · 3 = 12 a · b = b · a 1 ist das Neutralelement der Multiplikation 5 · 1 = 5 a · 1 = a

Division: Assoziativ- und Kommutativgesetz Das Assoziativgesetz gilt nicht: 100 : (10 : 5) = 100 : 2 = 50 Ö (100 : 10) : 5 = 10 : 5 = 2 a : (b : c) ≠ (a : b) : c Das Kommutativgesetz gilt nicht: 5 : 2 = 2.5 Ö 2 : 5 = 0.4 a : b ≠ b : a

Klammern können bei Summen beliebig gesetzt oder weggelassen werden

Summanden dürfen beliebig vertauscht werden

Klammern können bei der Subtraktion nicht beliebig gesetzt oder weggelassen werden

Minuend und Subtrahend dürfen nicht beliebig vertauscht werden

Klammern können bei der Multipliktion beliebig gesetzt oder weggelassen werden

Faktoren dürfen beliebig vertauscht werden

Klammern können bei der Division nicht beliebig gesetzt oder weggelassen werden

Dividend und Divisor dürfen nicht beliebig vertauscht werden


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Verbindung der 4 Grundoperationen Bei der Verbindung von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division muss man weitere Rechengesetze beachten. Distributivgesetz 12 · (10 + 7) = 12 · 10 + 12 · 7 = 120 + 84 = 204 a · (b + c) = a · b + a · c (16 + 20) : 4 = 16 : 4 + 20 : 4 = 4 + 5 = 9 (a + b) : c = a : b + b : c

Klammern auflösen Klammern können einfach weggelassen werden, wenn ein + davor steht. 12 + (52 + 39) + 14 + (15 + 31) = 12 + 52 + 39 + 14 + 15 + 31 = 163 Wenn ein – vor einer Klammer steht, können die Klammern nur weggelassen werden, wenn alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden. 56 – (42 – 17 + 23 + 42) – (18 – 59) = 56 – 42 + 17 – 23 – 42 – 18 + 59 = 7

Verschachtelte Klammern Bei ineinander verschachtelten Klammern rechnet man von innen nach aussen. 6 · ((15 – 5) + 30) – 40 = 6 · (10 + 30) – 40 = 6 · 40 – 40 = 240 – 40 = 200

Klammern auflösen in verschachtelten Klammern Auch hier gilt der Grundsatz von innen nach aussen. 70 – (64 + (78 – 32) + 25 – 72) + 86 = 70 – (64 + 78 – 32 + 25 – 72) + 86 = 70 – 64 – 78 + 32 – 25 + 72 + 86 = 93 Wenn unmittelbar vor einer Klammer kein Vorzeichen steht so ist es dort immer ein +. (52 – ((42 + 32 – (13 + 8) – 75) +91 – 7)) +31 = (52 – ((42 + 32 – 13 – 8 – 75) + 91 – 7)) + 31 = (52 – (42 + 32 – 13 – 8 – 75 + 91 – 7)) + 31 = (52 – 42 – 32 + 13 + 8 + 75 – 91 + 7) +31 = 52 – 42 – 32 + 13 + 8 + 75 – 91 – 7 + 31 = 7 Punkt vor Strich Bei Rechnungen mit Punktoperationen und Strichoperationen rechnet man zuerst die Punktoperation, dann die Strichoperation (Punkt vor Strich – ausser bei Klammern, die kommen immer zuerst). 20 + 28 : 4 – 2 · 6 = 20 + 7 – 12 = 15


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Addition/Subtraktion

Nur genau Gleiches darf addiert oder subtrahiert werden.

6a2b + 3ab = __________ ax4 + 4ax4 – 3ax = __________ a + b – ab = _______________

Klammerregeln 4a + (3b – 7a) = _________________ 4a – (3a – 7c) = _____________

4a – [3b – (7c + 4a)] = ___________________________________________

Multiplikation

6ab · z · 4b · 2s = ____________________ 3a (4b + 3c – b) = _____________________

(4c + 5d) (f + 2d) = __________________________________________________________

5y (2xy + y2) (2x + 4y) = ______________________________________________________

Punkt vor Strich

9x · y · 3 + 4a · bc + 16 · b = ____________________________________

9x (3y – x) – (x + y) (x + y) = ____________________________________

____________________________________


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LU20 Symmetrien und Winkel

Kongruenzabbildung

Eine Kongruenzabbildung führt eine Figur in eine gleich grosse Figur von gleicher Form über. Dabei bleiben Winkel, Längen und Flächen der Figur unverändert. Die Achsenspiegelung, die Drehung, die Punktspiegelung und auch die Schiebung sind Kongruenzabbildungen.

Achsenspiegelung:

Drehung:

Punktspiegelung:

Schiebung:


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Achsensymmetrie

Eine Figur heisst achsensymmetrisch, wenn sie beim Falten längs einer bestimmten Geraden mit sich zur Deckung gebracht werden kann. Diese Achse heisst «Symmetrieachse» oder «Spiegelachse». Eine achsensymmetrische Figur kann auch durch Spiegeln erzeugt werden.

Achsenspiegelung

Die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Die Spiegelachse ist Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke zwischen Punkt und Bildpunkt. Original- und Bildgerade schneiden sich auf der Spiegelachse. Das Bild einer Achsen-Parallelen ist wieder parallel zur Achse. Wird ein ebenes Vieleck an einer Geraden (Spiegelachse) gespiegelt, so hat das Bild den entgegengesetzten Drehsinn. Man spricht hier auch von «entgegengesetzter Orientierung». Die Achsenspiegelung wird auch «Geradenspiegelung» genannt.

Punktsymmetrie

Gibt es bei einer Figur einen Drehpunkt D, sodass nach einer Drehung um 180° die Figur exakt gleich aussieht wie vorher, heisst sie «punktsymmetrisch». Den Drehpunkt D nennt man in diesem Fall auch «Symmetriezentrum». Propeller und viele Spielkarten sind punktsymmetrische Figuren.


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Punktspiegelung

Die Punktspiegelung ist eine spezielle Kongruenzabbildung: Sie entspricht der Drehung einer Figur in der Ebene um einen Winkel von 180°. Konstruktiv ist sie – einfacher als durch einen Drehvorgang – wie folgt auszuführen: Das Bild P' eines Punktes P erhält man, indem auf einem Strahl von P durch den Drehpunkt D der Abstand auf die andere Seite abgetragen wird (der Drehpunkt D ist dann Mitte von 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅̅). Original und Bild einer Geraden sind jeweils parallel.

Drehung

Die Drehung ist eine Kongruenzabbildung. Spezialfall: Beträgt der Drehwinkel 180°, so spricht man von einer «Punktspiegelung».

Schiebung

Wird eine Figur in eine bestimmte Richtung als Ganzes um eine bestimmte Strecke parallel verschoben (Pfeil in der Abbildung), so spricht man von einer «Schiebung» oder «Parallelverschiebung».


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Winkel an Geraden

Zwei sich schneidende Geraden bilden vier Winkel.

Zwei einander gegenüberliegende Winkel heissen «Scheitelwinkel». Sie sind gleich gross: α = δ und β = γ. Zwei benachbarte Winkel heissen «Nebenwinkel». Sie ergänzen sich auf 180°.

«Stufenwinkel» an geschnittenen Parallelen sind gleich gross: α = β. «Wechselwinkel» an geschnittenen Parallelen sind gleich gross: δ = γ.


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LU21 Boccia

Mittelsenkrechte

Alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten zur Strecke von A nach B.

Winkelhalbierende

Jeder Punkt, der von beiden Schenkeln eines Winkels gleich weit entfernt ist, liegt auf einer Halbierenden dieses Winkels (der «Winkelhalbierenden»). Zu einem Geradenpaar gibt es zwei Winkelhalbierende. Diese stehen senkrecht aufeinander.

Lot

Die Zeichnung zeigt das Lot von Punkt P auf die Gerade g. Je nach Situation ist damit die Senkrechte (Gerade) oder bloss die Strecke von P nach F (dem «Lotfusspunkt») gemeint.


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LU21 Boccia

Umkreismittelpunkt

Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Sein Zentrum ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Inkreismittelpunkt

Jedes Dreieck hat einen Inkreis. Sein Zentrum ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (w).

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