Luyện Thi Đại Học Môn Toán Phần Số Phức

Luyn thi i hc mn Ton phn S phc

A. CHUN B KIN THC

I. DNG I S CA S PHC .

1. Mt s phc l mt biu thc c dng a + bi, trong a, b l cc s thc v s i tho

mn i2 = -1. K hiu s phc l z v vit z = a + bi .

i c gi l n v o

a c gi l phn thc. K hiu Re(z) = a

b c gi l phn o ca s phc z = a + bi , k hiu Im(z) = b

Tp hp cc s phc k hiu l C.

*) Mt s lu :

- Mi s thc a dng u c xem nh l s phc vi phn o b = 0.

- S phc z = a + bi c a = 0 c gi l s thun o hay l s o.

- S 0 va l s thc va l s o.

2. Hai s phc bng nhau.

Cho z = a + bi v z = a + bi.

z = z '

'

a a

b b

3. Biu din hnh hc ca s phc.

Mi s phc c biu din bi mt im M(a;b) trn mt phng to Oxy.

Ngc li, mi im M(a;b) biu din mt s phc l z = a + bi .

4. Php cng v php tr cc s phc.

Cho hai s phc z = a + bi v z = a + bi. Ta nh ngha:

' ( ') ( ')

' ( ') ( ')

z z a a b b i

z z a a b b i

5. Php nhn s phc.

Cho hai s phc z = a + bi v z = a + bi. Ta nh ngha:

' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i

6. S phc lin hp.

Cho s phc z = a + bi. S phc z = a bi gi l s phc lin hp vi s phc

trn.

Vy z = a bi = a - bi

http://hocmai.vn/khoa-hoc-truc-tuyen/264/luyen-thi-quoc-gia-pen-c-mon-toan-thay-le-ba-tran-phuong.htmlhttp://hocmai.vn/khoa-hoc-truc-tuyen/264/luyen-thi-quoc-gia-pen-c-mon-toan-thay-le-ba-tran-phuong.html


Ch : 10) z = z z v z gi l hai s phc lin hp vi nhau.

20) z. z = a

2 + b

2

*) Tnh cht ca s phc lin hp:

(1): z z

(2): ' 'z z z z

(3): . ' . 'z z z z

(4): z. z = 2 2a b (z = a + bi )

7. Mun ca s phc.

Cho s phc z = a + bi . Ta k hiu z l mun ca s ph z, l s thc khng

m c xc nh nh sau:

- Nu M(a;b) biu din s phc z = a + bi, th z = OM

= 2 2a b

- Nu z = a + bi, th z = .z z = 2 2a b

8. Php chia s phc khc 0.

Cho s phc z = a + bi 0 (tc l a2+b

2 > 0 )

Ta nh ngha s nghch o z-1

ca s phc z 0 l s

z-1

= 22 2

1 1z z

a b z

Thng 'z

zca php chia s phc z cho s phc z 0 c xc nh nh sau:

1

2

' '..

z z zz z

z z

Vi cc php tnh cng, tr, nhn chia s phc ni trn n cng c y tnh

cht giao hon, phn phi, kt hp nh cc php cng, tr, nhn, chia s thc thng

thng.

II. DNG LNG GIC CA S PHC.

1. Cho s phc z 0. Gi M l mt im trong mt phng phc biu din s phc z. S

o (radian) ca mi gc lng gic tia u l Ox, tia cui OM c gi l mt acgumen

ca z.



Nh vy nu l mt acgumen ca z, th mi acgumen u c dng:

+ 2k, k Z.

2. Dng lng gic ca s phc.

Xt s phc z = a + bi 0 (a, b R)

Gi r l mun ca z v l mt acgumen ca z.

Ta c: a = rcos , b = rsin

z = r(cos +isin), trong r > 0, c gi l dng lng gic ca s phc z 0.

z = a + bi (a, b R) gi l dng i s ca z.

3. Nhn v chia s phc di dng lng gic.

Nu z = r(cos +isin)

z' = r(cos +isin) (r 0, r 0)

th: z.z = r.r[cos( +) +isin( +)]

' '

os( ' ) isin( ' )z r

cz r

khi r > 0.

4. Cng thc Moivre.

[z = r(cos +isin)]n = rn(cos n +isin n)

5. Cn bc hai ca s phc di dng lng gic.

Cho s phc z = r(cos +isin) (r>0)

Khi z c hai cn bc hai l: os isin2 2

r c

v - os isin2 2

r c

= os isin

2 2r c



B. MT S DNG TON C BN.

VN 1: DNG I S CA S PHC

Dng 1: Cc php tnh v s phc.

Phng php gii:

S dng cc cng thc cng , tr, nhn, chia v lu tha s phc.

Ch cho HS: Trong khi tnh ton v s phc ta cng c th s dng cc hng

ng thc ng nh nh trong s thc. Chng hn bnh phng ca tng hoc hiu, lp

phng ca tng hoc hiu 2 s phc

V d 1: Cho s phc z = 3 1

2 2i

Tnh cc s phc sau: z ; z2; ( z )

3; 1 + z + z

2

Gii:

a) V z = 3 1

2 2i z =

3 1

2 2i

b) Ta c z2 =

2

3 1

2 2i

= 2

3 1 3

4 4 2i i =

1 3

2 2i

( z )2 =

2

23 1 3 1 3 1 3

2 2 4 4 2 2 2i i i i

( z )3 =( z )

2 . z =

1 3 3 1 3 1 3 3

2 2 2 2 4 2 4 4i i i i i

Ta c: 1 + z + z2 =

3 1 1 3 3 3 1 31

2 2 2 2 2 2i i i

Nhn xt: Trong bi ton ny, tnh 3

z ta c th s dng hng ng thc nh trong s

thc.

V d 2: Tm s phc lin hp ca: 1

(1 )(3 2 )3

z i ii

Gii:



Ta c : 3 3

5 5(3 )(3 ) 10

i iz i i

i i

Suy ra s phc lin hp ca z l: 53 9

10 10z i

V d 3: Tm m un ca s phc (1 )(2 )

1 2

i iz

i

Gii: Ta c : 5 1

15 5

iz i

Vy, m un ca z bng: 2

1 261

5 5z

V d 4: Tm cc s thc x, y tho mn:

3x + y + 5xi = 2y 1 +(x y)i

Gii:

Theo gi thit: 3x + y + 5xi = 2y 1 +(x y)i

(3x + y) + (5x)i = (2y 1) +(x y)i

3 2 1

5

x y y

x x y

Gii h ny ta c:

1

7

4

7

x

y

V d 5: Tnh:

i105

+ i23

+ i20

i34

Gii:

tnh ton bi ny, ta ch n nh ngha n v o t suy ra lu tha

ca n v o nh sau:

Ta c: i2 = -1; i

3 = -i; i

4 = i

3.i

= 1; i

5 = i; i

6 = -1



Bng quy np d dng chng minh c: i4n

= 1; i4n+1

= i; i4n+2

= -1; i4n+3

= -i; n

N*

Vy in {-1;1;-i;i}, n N.

Nu n nguyn m, in = (i

-1)

-n =

1n

ni

i

.

Nh vy theo kt qu trn, ta d dng tnh c:

i105

+ i23

+ i20

i34

= i4.26+1

+ i4.5+3

+ i4.5

i4.8+2

= i i + 1 + 1 = 2

V d 6: Tnh s phc sau:

z = (1+i)15

Gii:

Ta c: (1 + i)2 = 1 + 2i 1 = 2i (1 + i)

14 = (2i)

7 = 128.i

7 = -128.i

z = (1+i)15

= (1+i)14

(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 128i.

V d 7: Tnh s phc sau: z = 16 8

1 1

1 1

i i

i i

Gii:

Ta c: 1 (1 )(1 ) 2

1 2 2

i i i ii

i

1

1

ii

i

. Vy

16 81 1

1 1

i i

i i

=i

16 +(-i)

8 = 2



Dng 2: Cc bi ton chng minh.

Trong dng ny ta gp cc bi ton chng minh mt tnh cht, hoc mt ng thc

v s phc.

gii cc bi ton dng trn, ta p dng cc tnh cht ca cc php ton cng,

tr, nhn, chia, s phc lin hp, mun ca s phc c chng minh.

V d 8: Cho z1, z2 C.

CMR: E = 1 2 1 2.z z z z R

gii bi ton ny ta s dng mt tnh cht quan trng ca s phc lin hp

l:

z R z = z

Tht vy: Gi s z = x + yi z = x yi.

z = z x + yi = x yi y = 0 z = x R

Gii bi ton trn:

Ta c E = 1 2 1 2 1 2 1 2.z z z z z z z z = E E R

V d 9: Chng minh rng:

1) E1 = 7 7

2 5 2 5i i R

2) E2 = 19 7 20 5

9 7 6

n ni i

i i

R

Gii:

1) Ta c: 1E = 7 7 7 7 7 7

12 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5i i i i i i E

E1R

2

19 7 (9 ) 20 5 (7 6 )19 7 20 52)

9 7 6 82 85

164 82 170 852 2

82 85

n nn n

n nn n

i i i ii iE

i i

i ii i

2 2E E E2 R


V d 10: Cho z C.

CMR: 1

12

z hoc |z2 + 1| 1

Gii:

Ta chng minh bng phn chng: Gi s 2

11

2

1 1

z

z

t z = a+bi z2

= a2 b

2 + 2a + bi

2

11

2

1 1

z

z

2 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2 2

1(1 ) 2( ) 4 1 0

2( ) 2( ) 0

(1 ) 4 1

a b a b a

a b a ba b a b

Cng hai bt ng thc trn ta c: (a2 + b

2 )

2 + (2a+1)

2 < 0 v l pcm



Documents

Luyện Thi Đại Học Môn Toán Phần Số Phức