Embed Size (px)
Citation preview
-I-
摘 要
在國中階段，根號是國中數學一直是同學們眼中惱人的單元之一。會的人，老師一點就
通；不會的人，再絞盡腦汁，仍是想到眼冒金星，頭昏眼花。但在志同道合下，三五好友們
齊聚一堂，為了科展努力，想必是一次令人難忘的回憶！
在此次的主題利用普通計算機解 10 次方根內的近似值，原本只為瞭解老師在課堂中利用
普通計算機算出二次方根操作，但無法求出三次方根以上的近似值，在與老師的討論指導下，
逐步的深究二次方根的原理，進而三次方根，才發現數學是需一步一腳印，慢慢從基本觀念
熟練後，才能在高深的運算中遊刃有餘。最後在導出 n 次方根近似值算法後，再進一步利用
普通計算機的特性，瞭解如何操作 M+ MRC M－ 這些平常漠視的功能，加速計算近似
值的時間，這過程與體悟，是此次最大的收穫。
研究的辛苦與成果是一齊參與同學共同的結晶與榮耀，更感謝這路上支持相挺的老師，
相信這一次的成果，也是同學們，國中生涯中最美好的回憶。
-1-
壹、研究動機
二年級時，老師教導如何利用普通計算機來計算二次方根的值，便有同學提出疑問，該
如何利用普通計算機算出三次方根，得到的答案確是只能用工程計算機，這一好問題更讓同
學們想突破此瓶頸，三五好友們一頭一栽進了計算機算方根的世界裡。
貳、研究目的
一、探討直式開二次方根的原理，進而運用在 n 次方根。
二、探討網路上三次方根的解法，進而運用在 n 次方根。
三、探討普通計算機計算 10 次方根內的操作。
參、研究設備及器材
普通計算機、筆、紙。
肆、研究過程或方法
在此次的研究中，首先從直式開二次方根開始研究，先瞭解其原理及運算方式，進而運
用其原理推論到三次方根，甚至到 n 次方根。
一、探討直式開二次方根的原理，進而運用在 n 次方根
在探討之前，先定義以下探討的根，皆以正實數為主，不討論虛根。而直式開二次方根
是現有除了計算機外，利用手算方式最準確快速的方法之一，故先討論開二次方根及開三次
方根方式，利用已知的原理法則，進而運用在 n 次方根之方式。
(一)、直式開二次方根
在探討直式開二次方根時，先得知道和的平方 2 2 2( ) 2a b a ab b ，且為了更瞭解直式
開根號方式的原理，先以一個例子「 .5 **50 ab cde≒ 」來說明，過程如下。
(1)若 .x 一位數…，即0 100x ； .x 兩位數…，即100 10000x ； .x 三位數…，
即10000 1000000x 。故以小數點為基準，往左或往右「每兩位」標上逗點，分成數小節。
例： 1'23'45.67'8 ，所以 550 註記為 5'50 。故從標示逗點數，就可得知開根號出來的值為
幾位數，即 0 個逗點為一位數，1 個逗點為二位數。如： 50 7.***≒ 為一位數， 162 ' *60 .**≒
-2-
為二位數，依此類推。
(2)從最左邊小節開始，估算一個小於或等於此小節的平方數 a ，並寫在根式的最左方運
算區，及根號上方近似值區。例： 5'50 ，取 2a ，因為 2 4 5a 。
(3)利用上述小節的值減去 2a ，其餘數再降至下一列，連同降下來的下一節兩位數，形成
一新的小節。將運算區的 2，再「重覆依此數字 a 的值」書寫下來，並利用加法計算形成 4。
如：
2
2
5' 5 0
+)
2 5- 5 0
a
a
a a
a a
2
2 5' 5 0
2 4
4 1 5 0
(4)在左方運算區的 2a 處及根號上近似值區 a 的右方，同時加入估算值 b (如： 3 )，形成
如運算區的 2a b (如： 4 3 )，及近似值區的 ab (如： 2 3 )。此時的 a 因多增加一位估算值 b ，
形成二位數，故 a 應放大為十位數，運算區及近似值區上的 2a b 、a b ，實質為 43 及 23。再
使運算區的 2a b b (即 (2 )a b b )的值，最接近上述新的一小節數列(如：150)，之後與
2a b b 的值相減得到一新的餘數(如：21)，餘數再降至下一列，原題目小數點後若無數字，
則降下 00 兩位數，形成一新的小節(如：2100)。而運算區剛寫入的 b ，則再「重覆依此數字
b 的值」書寫下來，並利用加法計算形成一新值 2 2a b ，即 46。作法如下：
=2
5' 5 0
+) 4
2 1 5 0
+) 2
2 2 (150-
a a b
a
a
a b
b a b b
a b
2 ) 00a b b
2 3
2 5' 5 0
2 4
4 3 1 5 0
3 1 2 9
4 6 2 1 0 0
(5)依上述求 c ，在運算區的 2 2a b 處及近似值上 a b 的右方，同時加入估算值 (如：4 )
，形成如運算區 2 2 a b c (如：4 6 4 )，及近似值區的 . a b c (如：23. 4 )。此時運算區 2 2a b 因
多增加一位估算值 ，形成三位數，故 a 、 b 的值應為百位數及十位數，運算區及近似值區
c
c c
c
-3-
的 2 2 a b c 、 . a b c，實質為 464 及 23.4。再使運算區 2 2 a b c c (即 (2 2 )a b c c )的值，最
接近上述新的一小節數列(如：2100)，再與 2 2 a b c c 的值相減得到一新的餘數(如：244)，
餘數再降至下一列，原題目若無數字，則降下 00 兩位數，形成一新的小節(如：24400)。而運
算區剛寫入的 ，則再「重覆依此數字 的值」書寫下來，並利用加法計算形成一新值
2 2 2a b c ，即 468，作法如下：
(6)依此步驟模式，繼續作下去，求出 5 、 2 ，直到所要求的位數為止，完整的過程如
圖 1 所示。
根據上述的步驟說明得知，近似根號的值，依要求其值的精確位數，公式略有不同，但
原理皆由和的平方而來。以上述的例子而言， 230 255 .45≒ ，若只求兩位數，可由推論，因
圖 1
c c
-4-
為 2 220 550 30 ，故 20a 代入，下一位數，公式則可拆解成 2 2( ) (2 )a b a a b b ，估
算第二位的值 b ，則將原值減去第一位估算值 2a 之餘數以 (2 )a b b 來逼近求得，即
2 2( ) (2 )a b a a b b ， 作 法 如 上 述 的 步 驟 ( 4 ) 。 若 要 再 求 得 第 三 位 c ， 則 依
來拆解，計算第一位 a 及第二位 b 的方式，如同
2 2 2( ) 2a b a ab b ，第三位則依 (2 2 )a b c c ，因為可將 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ac 的
公式重新分組，拆解成 2 2( ) (2 ) (2 2 )a b c a a b b a b c c ，作法如上述的步驟(5)。
故求第四位 d 時，則依 2 2( ) (2 ) (2 2 ) (2 2 2 )a b c d a a b b a b c c a b c d d
來完成，依此方式則可求解至要得到的位數為止。
再將圖 1 的運算區及近似值區仔細推敲，近似值區的值去除小數點的值後，可發現求第
一位近似值區 a，與運算區 2a 有關連，當要求得第二位近似值b 時，可利用 (2 )a b b 來求得，
此時的 a 因為增加一位b ， a 由個位數放大 10 倍為十位數，故 2a b 應為 20 +a b (如：43)。接
下來求第三位近似值 c 時，則由原本的 2( )a b 公式，增加一位數 c ，公式改為 2( )a b c ，且
公式依上述原則可重新拆解成 2 2( ) (2 ) (2 2 )a b c a a b b a b c c 。換個想法，可令
近似值區的第一、二位估算值 ab ，以 1a ab (即 1 23a )表示，因增加一位數 c ，故原先的二
位數 ab 將放大成三位數 10ab (如：23 10 230 )， 10ab 視為一個數值 1a ，加上新加入的 c ，
形成一新的三位數 abc (即 10 23 10+4=234ab c )，再利用和的平方，來求得近似值。而式
子拆解方式，就如同原先的公式一樣， 2 2( ) (2 )a b a a b b ，只是將 1a 看成 a ，要多求的
下一位 c ，看成b ，如此方式，反覆運算求得下一位，拆解過程如下。
2
2 2
2
( )
2
(2 )
a b
a ab b
a a b b
雷同
2
2
2
1
2 2
1 1
2
1 1
( )
( )
( )
2
(2 )
a b c
a b c
a c
a a c c
a a c c
2
2
2
2 2
2
(200 30 4)
(200 30) 4
(230 4)
230 2 230 4 4
230 (2 230 4) 4
故瞭解 2 2( ) (2 )a b a a b b 的原理後，可把圖 1 原本直式開根號的方式精簡成圖 2 的
-5-
方式。其他直式開 n 次方根，相信只要瞭解原始公式，就可利用相同模式拆解，來求得根號
所需的位數。
(二)、直式開三次方根
在瞭解直式開二次方根的原理及運算模式後，要探討直式開三次方根，得先知道三次方
和的公式 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b ，再根據直式開二次方根的方式原理，應可求出三次方
根的近似值。現以 3 47321 為例，其運算過程如圖 3 所示。
(1) 若 3 .x 一位數… ， 即 0 1000x 。 3 .x 兩位數… ， 即 1000 1000000x 。
3 .x 三位數…，即1000000 1000000000x 。故以小數點為基準，往左或往右「每三位」標
上逗點，分成數小節。例： 3 12 '345.678'9 ，故 3 47321 註記為 3 47 '321 。
(2)左方的運算區，是以 2 2(3 3 )a ab b b 的方式來估算下一位的近似值，而根號內的運
算則以減法完成，餘數再降至下一位，原題目若無數字，則降下 000 三位數，形成一新的小
節，整個過程運算皆利用 3 3 2 2( ) (3 3 )a b a a ab b b 的方式來求得近似值，直到要求的
位數為止。
圖 2
-6-
(三)、直式開 n 次方根
從直式開二次方根、三次方根的原理及運算模式後，若要探討四次方根、五次方根，甚
至是 n 次方根的值，皆可由 n( )a b 原始公式，再重新拆解公式求得。首先得將題目依 n 次方
情形在數字上每 n 位數標上逗點，再一一的估算求解，公式重新拆解並不難，最難的倒是運
算區隨著次方數的增加，數字次方過大反而是一大挑戰，只能藉由計算機的協助方可達成，
方法步驟雖規律，若皆由人工運算，相信得花上相當長的時間，失去了求值的意義。只能另
求方法，才能讓開 n 次方根，不再是費時惱人的數學難題。
二、探討網路上三次方根的解法，進而運用在 n 次方根
利用普通計算機求三次方根以上的方式，陳禾凱(2009)根據維基百科的內容，運用高一
所學數列與級數、無窮等比、極限等方式，發表以普通計算機來計算三次方根及五次方根的
近似值的文章，但七次方根以上則無法算出，為了突破此瓶頸，遍尋網路找到一個求三次方
根的方式，但為何如此運算確不得而知，相信有過程就有求 n 次方根的機會，應可讓直式開
n 次方根的方法，更上一層樓，以普通計算機的方式完成求解。
(一)、網路上三次方根的解法
在網路上有關於三次方根的解法大多以直式開三次方根為主，其他方式求出的解往往也
和正確值誤差較大，唯有一較正確及簡易的方式，其網路題目及求解內容如下：
圖 3
-7-
題目：求 99 的三次方根?
sol: 取最近的整數為 5，用 5 來除再除以 3
99-------->(5 +5 +(99/5 ^2 ))/3 =4.6533---
再用 4.65 來除，(4.65 +4.65 +(99/4.65 ^2 )/3 =4.626 -----
以 4.626 計，(4.626)^3≒ 99
根據上述的求解內容，先找出一估算值的三次方接近於要求三次方根的數字 N ，再利用
上述的方式來求得近似值，依此步驟，反覆求得至所需位數。為了更瞭解為何要以此方式運
算，將上述的值分別以代號來推敲原理。
假設要求 N 三次方根 (如： 3 N )，得先推估一估算值 3a 最接近 N 的值，利用上述方式
求得第一次的近似值 1a ，將近似值 1a 看成最接近 3 N 的估算值 a ，再仿照上述方式求得第二
次的近似值 2a ，如此反覆運算至要求的位數，為何要如此運算呢?我們藉由上述的計算過程，
以代數方式反推導回去求得 N ，其過程如下。
3
1 1 12 2 2
3 2 2 3
1 1
2( ) 3 2 3 3
2 3 =3 2
N N a Na a a a a a
a a a
a N a a N a a a
， ， ，
，
最後得 2 3
1=3 2N a a a ，研究發現，當近似值 1a 趨近於估算值 a 時，則 2 3
1
33 2a aa a ≒ ，
即 3N a ， 只 要 反 覆 用 此 方 式 ， 相 信 就 可 愈 逼 近 真 正 三 次 方 根 的 值 。 但 為 何 要 用
2 3
1
33 2a aa a ≒ 的方式， 2 3
1
3=2N aa a a ≒ 、 2 3
1
3=4 3N aa a a ≒ …，等方式是否可以，仍
待我們去研究瞭解。故只再多討論 2 3
1
3=2N aa a a ≒ 、 2 3
1
3=4 3N aa a a ≒ 兩種方式，來分
析探討其可行性及正確性。將兩方式重新推導公式如下，再代入實際數字來分析其適用性。
2 3
1
3 2
1
3
12
12
12
=2
2
2
2
( ) 2
N a a a
a N a a
a Na
a
Na a
a
Na a
a
2 3
1
3 2
1
3
12
12
12
=4 3
3 4
34
3 4
(3 ) 4
N a a a
a N a a
a Na
a
Na a
a
Na a
a
-8-
從上述再推導的 12( ) 2
Na a
a 、 12
(3 ) 4N
a aa
兩公式及原本求 12( ) 3
Na a a
a 三次
方根的公式，由此三個公式，代入實際的數字分析，是否由此原則皆可算出三次方根，還是
具有唯一性。而估算值 a 的推估方式乃以最接近 N 來計算，算出來 1a 皆取到小數第四位，再
四捨五入至小數第三位。再將 1a 代入公式求得 2a ，為瞭解 2a 的準確度，皆取到小數第七位，
四捨五入至小數第六位，紅色字體表示與正確開 n 次方根 n N 相同位數計算結果如表 1 所示。
表 1：三次方根推估近似值
公式
類別 12
( ) 2N
a aa
12(2 ) 3
Na a
a 12
(3 ) 4N
a aa
正確值
N a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 1a 近似值 2a 3 N
9 2 2.125 2.059040 2.083 2.080088 2.063 2.075919 2.080084
19 3 2.556 2.732409 2.704 2.668868 2.778 2.699002 2.668402
129 5 5.080 5.039380 5.053 5.052774 5.040 5.049605 5.052774
計算結果顯示，三個公式皆能求出近似值，但就準確度而言，以原始的公式較為精確，
其餘的雖不正確，但離正確值的誤差也不會太多。況且計算的方式較為簡易，用計算機或手
算皆可。只要利用公式反覆計算，計算的次數夠多，計算出的近似值與正確值往往可精確到
小數點第三位以上，甚至精確到小數第六位。為了瞭解此公式的通用性，再次仿照上述方式
推導，期盼也可以利用在開平方根，甚至是四次方根及 n 次方根。
(二)、二次方根的解法
從 表 1 結 果 顯 示 ， 三 次 方 根 的 速 解 由 2 3
1=3 2N a a a 的 方 式 較 為 正 確 ， 比 利 用
2 3
1=2N a a a 、 2 3
1=4 3N a a a 計算出來的結果精確度更高，倘若用此方式推導的公式運用
在二次方根上，是否也是有唯一性，故由 2
1=2N a a a 、 2
1=3 2N a a a 、 2
1=4 3N a a a 探
討，公式推導如下。再代入實際的數字分析，探討利用此方式推導的公式，是否也可以如同
三次方根解法，適用在二次方根上，進而運用在 n 次方根，計算結果如表 2 所示。
-9-
表 2：二次方根推估近似值
公式
類別 1( ) 2
Na a
a 1(2 ) 3
Na a
a 1(3 ) 4
Na a
a 正確值
N a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 1a 近似值 2a N
5 2 2.250 2.236111 2.167 2.213779 2.125 2.181985 2.236068
15 4 3.875 3.872984 3.917 3.887820 3.938 3.905760 3.872983
125 11 11.182 11.180340 11.121 11.160665 11.091 11.135850 11.180340
從表 2 結果顯示，二次方根的解法由 2
1=2N a a a 的方式較為正確，且隨著 N 逐漸增加，
第一次求得的近似值 1a 已可達小數點第二位，而第二次求得的近似值 2a 與正確值比較的精確
度，更可精確到小數點第六位。再與解三次方根 2 3
1=3 2N a a a 對應來看，二次方根以括號
除以 2 的公式、三次方根以括號除以 3 的公式為最優，由此推論，是否四次方根則以括號除
以 4 的公式較精準呢?若成立，相信就可以推導出求 n 次方根的公式。
(三)、四次方根的解法
為求證如二次方根解法所言，四次方根以括號除以 4 的公式較為正確，而此次推導的公
式以上述較精準的模式 3 4
1=4 3N a a a 為主，前後相仿公式 3 4
1=3 2N a a a 、 3 4
1=5 4N a a a
為輔，推導過程如下所示，計算結果如表 3 所示。
-10-
3 4
1
4 3
1
4
13
13
13
=3 2
2 3
23
2 3
(2 ) 3
N a a a
a N a a
a Na
a
Na a
a
Na a
a
3 4
1
4 3
1
4
13
13
13
=4 3
3 4
34
3 4
(3 ) 4
N a a a
a N a a
a Na
a
Na a
a
Na a
a
3 4
1
4 3
1
4
13
13
13
=5 4
4 5
45
4 5
(4 ) 5
N a a a
a N a a
a Na
a
Na a
a
Na a
a
表 3：四次方根推估近似值
公式類別 13
(2 ) 3N
a aa
13(3 ) 4
Na a
a 13
(4 ) 5N
a aa
正確值
N a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 1a 近似值 2a 4 N
17 2 2.042 2.026852 2.031 2.030543 2.025 2.029453 2.030543
127 3 3.568 3.310650 3.426 3.359054 3.341 3.353890 3.356997
1237 6 5.909 5.937844 5.932 5.930516 5.945 5.933454 5.930515
從表 3 計算結果顯示，四次方根的速解以 3 4
1=4 3N a a a 的方式較為正確，符合二次方
根和三次方根相仿的公式，即四次方根以括號除以 4 的公式較為精準。
(四)、n 次方根的解法
三次方根的解法，不只可用於解三次方根、二次方根、四次方根，相信也可以用同樣的
模式套用在解 n 次方根。除了要找出 n 次方根的速解通式，在每次第一次估算值的預測也是
此次探討的重點，以下就此兩重點加以分析討論。
1、n 次方根解法通式
從先前的二次方根、三次方根，到四次方根的求解，皆利用相仿的方式求解完成，為了
更確定義此公式的通用性，分別從已探討的二次方根、三次立方根、四次方根解法中，希望
找出差異性、規律性，進而運用在 n 次方根上，觀察 n 次方根內容如表 4 所示。
表 4：觀察 n 次方根
類別 二方根 三次方根 四次方根
公式 1( ) 2N
aa
a 2 1( )2 3 aa
a
N
3 1( )3 4 aaa
N
從表 4 內容發現，二次方根以括號除以 2 的公式，三次方根以括號除以 3 公式，四次方
根以括號除以 4 公式較為正確，故從上述公式的係數差異性，再對照欲求 n 次方根的次數，n
-11-
次方根的解法可能為 11[(n 1) ] n
n
Na a
a ，為了求證此推導公式的正確性，故再代入幾組
數字以求 10 次方根為限，求證不同方根的值是否正確，驗證的數據如表 5 所示。
表 5：驗證 10 次方根內的精確度
公式類別 11
[(n 1) ] nn
Na a
a n 次方根
N a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 3a 近似值 4a 近似值 5a n N
正確值
17 2 1.813 1.765093 1.762349 1.762340 1.762340 5 N 1.762340
17 2 1.755 1.632681 1.604793 1.603524 1.603522 6 N 1.603522
17 2 1.752 1.585689 1.511934 1.499251 1.498920 7 N 1.498920
17 2 1.767 1.585635 1.471752 1.429858 1.425029 8 N 1.424971
17 2 1.785 1.604994 1.469558 1.393112 1.371465 9 N 1.369987
17 2 1.803 1.631143 1.488827 1.387243 1.337865 10 N 1.327532
從表 5 所示，推導出的公式皆可求出近似值，但隨著欲求的根號次數愈大，與正確值的
精確度就會降低，在近似值 2a 上，次方數愈大，大多只能求到個位數的精確度，故只能增加
運算次數，求至近似值 5a ，才能更精準的求出近似值，相信隨著運算次數的增加，精確度肯
定能大幅的提升。至少方法、方向正確，能用簡易的方式運算，已是踏出成功的第一步。
2、估算值 a 的猜測
在找出解 n 次方根的計算方式後，另一個難題則是每次在猜測第一次估算值 a 時，往往
也是猜測了好幾次，猜測出的 na 才能愈接近 N 。以二次方根為例，在直式求二次方根時，會
先在 N 值上以兩位數為一單位用逗號標示，因估算值 a 皆為正整數，故約略可估算出為幾位
數，例如： 6'54'32 ，因為 22 <6 ，故 a 估算值猜測為 200； 12'34 ，因為 23 <12 ，故a 估算值
猜測為 30； 5'43 ，因為 22 <5 ，故 a 估算值猜測為 20，此次只猜測第一個近似值，其餘的以
0 補齊，減少猜測的時間，估算值 a 雖無法如先前一樣， na 接近 N ，但至少第一位數一定是
正確的，且能較快速猜出估算值 a ，再以此估算值 a 代入公式求解，測試結果如表 6 所示。
-12-
表 6：估算值 a 的猜測
估算值 a 的猜測，雖 na 不像之前的接近 N，只利用先前的直式開平方根或立方根的方式，
先求出第一位，其餘至個位數皆以 0 補齊。而此方法可觀察出，第一次求得的近似值 1a 則與
正確值誤差較大，但再算第二次，近似值 2a 即可相當接近至正確值至個位數，有些更達小數
點第三位，而第三次的近似值 3a 皆可達到小數點第三位的水準，甚至小數點第六位。故此方
式真能有效且快速的達到欲求的 n 次方根的值，差不多只要三次的運算，相信精確度皆能達
到小數點第三位。
三、探討普通計算機計算 10 次方根內的操作
普通計算機除了 + － = 之外，其餘尚有 M+ MRC M－ 等按鍵可供計算，
但較少利用。若要算出二次方根，普通計算機尚有 可使用，但三次方根以上除了用工程計
算機外，相信大多數人只會利用 excelc 函數算出，普通計算機只能望「機」興嘆。
探討出解 n 次方根通式，用普通計算機要一次算出近似值 1a 、 2a 或 3a ，則需利用 M+ 、
MRC 來運算，才能更快速方便。在舉例步驟前，先將會用的按鍵符號功能及自訂符號定義
加以說明，讓後面的按鍵操作意義，才能更加瞭解。
(一) 按鍵符號功能及自訂符號定義
+ － = 這些符號相信大家皆知如何使用及意義，故不加以贅述。底下只說明此
次有用到的符號及自訂符號定義來說明。
M+ ：記憶當前數字於記憶體，「加入」累加數字當中。
MRC ：按第一次為顯示記憶體內之所有數字和，按第二次為清除記憶體內的所有數字。
公式類別 11
[(n 1) ] nn
Na a
a n 次方根
N a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 3a n N
正確值
543 20 23.575 23.303937 23.302360 2 N 23.302360
1234 30 35.567 35.131041 35.128336 2 N 35.128336
65432 200 263.580 255.911709 255.796820 2 N 255.796794
-13-
=3 ：此為自訂符號，表示 = 連續按 3 次，裡面的數字表示按的次數。
(二)以計算 3 17 、 4 17 、 6 17 的近似值為例
在瞭解普通計算機的功能後，再善加使用，才能節省不必要的動作，試以計算 3 17 的近
似值為例，依 11[(n 1) ] n
n
Na a
a 公式，先推估題目的估算值 a ， 3 17 推估為 2，輸入步驟
如表 7 所示，步驟如下：
表 7： 3 17 的操作步驟
按鍵步驟 公式對應操作說明 結果
1 按 2 為最前面 1n ，即 1 3 1 2n 2
2 按 2 為估算值 2 22
3 按 M+ 記憶 22 算出的結果 22
4 按 17 為題目的 N 17
5 按 2 為 1na 裡的 a ，即估算值 2 172
6 按 =2 為 1na
，因 1 3 1 2n ，故按 = 2 次 1722
7 按 M+ 記憶 172 2 算出的結果 1722
8 按 MRC 將記憶的兩組數值相加 22 1722
9 按 3 = 因求三次方根，故 3 1a
第一次求出 1 2.750a ，按 AC 將計算機全部數字內容消除，再以此數值依上述步驟重新
運算分別求出 2 2.582645a ≒ 、 3 2.571332a ≒ ，與實際 3 2.5 217 7128≒ 相去不遠，相信多算幾次
一定與實際更加接近。
而 4 17 的計算，只要知道1 1 1
42 2 417 =17 = 17
，步驟先輸入題目17 ，再按 2 次 ，就可得到
4 2.0 317 3054≒ ，直接得到正確答案。利用此方式，故1 1 1
63 2 617 =17 = 17
，由上述 3 17 2.571332≒ ，
再按 1 次 ，就可得到 6 1.6 717 0323≒ 與實際 6 1.6 217 0352≒ 也差不了多少，省去再重覆運算
的次數與時間。只要利用公式，再配合 M+ 、 MRC 的交互運用，普通計算機也可以精確的
-14-
算出 10 次方根內的值。
(三)精進估算值 a ，減少 n N 的計算
根據表 5 求出的值，在次方數愈高時，求出的值需要計算更多次，才能達到更精確的結
果。為改善此狀況，先將估算值 a 利用普通計算機開根號至接近的次方數值，再利用公式及
計算機，精進表 5 的正確率及減少計算的次數，而估算值 a 是此次精進的重點。例如欲求 5 17
時，因為1
5 517=17 ，計算機每按一次 ，次數以1
2、
1
4、
1
8方式計算，故
1 11
5 8417 =17 ~17 之間，
估算值 a 即求1
417 與1
817 的平均數，其估算值 a 計算機計算過程如表 8 所示。
表 8： 5 17 的估算值 a 操作步驟
按鍵步驟 對應操作說明 結果
1 按題目 17 17
2 按 M+ 記憶1 1 1
42 2 417 =17 = 17
的結果 4 17
3 按題目 17 17
4 按 M+ 記憶11 1 1
882 2 217 =17 = 17
的結果 8 17
5 按 MRC 將記憶的兩組數值相加 84 17+ 17
6 按 2 = 求兩數的平均數，即估算值 a 84( 17+ 17) 2
按照表 8 的操作方式，求出的估算值 1.728a≒ ，比之前一開始推估的 2 更接近，相信利用
公式分別求出 1a 、 2a 、 3a ，也能更快接近近似值。因為計算機的 ，可以求出 4 N 、 8 N ，
故下表的將不討論，精進估算值 a 計算 n N 的結果如表 9 所示。
表 9：精進估算值 a 來計算 n N
公式類別 11
[(n 1) ] nn
Na a
a n 次方根
N a 的求法 推估值 a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 3a 精確度 n N 正確值
17 4( 17+ 17) 2 3.077 2.650 2.573597 2.571284 3 N 2.571282
17 17 4.123 3.082 2.651238 2.573669 3 N 2.571282
-15-
根據表 5 來改進計算次數，採用接近次方數的開根號方式來求估算值 a ，得出表 9 的內
容。從表 5 與表 9 的比較不難發現，表 5 求 n N 至近似值 3a 時，精確度隨著次方數的增加反
而下降，求至近似值 5a ，精確度也只進步至小數第一、二位左右，為了改善此繁複的計算，
精進估算值 a 得出表 9。根據表 9 得知， 3 N 、 5 N 、 6 N 、10 N 以求出介於前後方根的平均
數來當估算值 a ，之後計算出的近似值 3a 時，皆比以單一接近次數方根來當估算值 a 較為精
確。但 7 N 、 9 N 確以 8 17 為估算值來的較精確，探究原因 8 N 介於 7 N 與 9 N 之間，故以
單一接近次數方根來當估算值 a 更勝於以前後方根的平均數來當估算值 a 較為合適，有了更精
確的估算值 a，計算機計算的次數確實減少許多。而 6 N 、10 N 的計算，更可先求出 3 N 、5 N
後，再按一次 ，來精簡計算機的計算次數，有好的公式再加上好的計算工具，讓普通計算
機求 10 次方根內的近似值更加的簡便，是此次最大的收穫。
17 84( 17+ 17) 2 1.728 1.764 1.762343 1.762340
5 N 1.762340
17 4 17 2.031 1.825 1.766498 1.762360 5 N 1.762340
17 84( 17+ 17) 2 1.728 1.624 1.604156 1.603522
6 N 1.603522
17 4 17 2.031 1.774 1.639594 1.605448 6 N 1.603522
17 8 17 1.425 1.670 1.609797 1.603582 6 N 1.603522
17 84( 17+ 17) 2 1.728 1.572 1.508358 1.499095 7 N 1.498920
17 4 17 2.031 1.775 1.599082 1.515895 7 N 1.498920
17 8 17 1.425 1.511 1.499206 1.498920
7 N 1.498920
17 8 16( 17+ 17) 2 1.309 1.383 1.370466 1.369988 9 N 1.369987
17 8 17 1.425 1.378 1.370171 1.369987 9 N 1.369987
17 8 16( 17+ 17) 2 1.309 1.329 1.327539 1.327532 10 N 1.327532
17 8 17 1.425 1.353 1.329584 1.327546 10 N 1.327532
-16-
伍、研究結果
透過和同學的討論分析，原本只是按步驟完成的直式開根號方式，進而運用在三次方根，
甚至是 n 次方根，再透過普通計算機的反覆交互運算，也可求出三次方根以上的值，這過程
與結果，雖耗盡許多心力研究，但結果確是滿意的，最後將研究結果分析如下：
一、只要懂得直式開二次方根的原理，再將公式重新拆解，皆可運用在 n 次方根
直式開根號是運用 2 2 2( ) 2a b a ab b 的公式重新拆解成 2 2( ) (2 )a b a a b b 完成，
進而可推論到立方根的解，也是將公式拆解 3 3 2 2( ) (3 3 )a b a a ab b b 的方式，運用在
直式開立方根，只要懂得基本公式及拆解原理，n 次方根的解皆可運用直式運算完成。這些
知識相信皆是在國中就可以理解的，但往往礙於時間的壓力，課堂上大多只告知步驟，忽略
了理論與實務的結合。藉由此次的探討，開平方根、立方根將不再是一大難題，困難的倒是
自己基本的運算能力，隨著數字次方數的增加，數字的基本功就是一大學問了，但有了直式
解 n 次方根的方式，懂得原理，相信解 n 次方根將不再是難題。
二、利用 n 次方根的通式解法，皆能簡易運算完成
從研究發現，網路上三次方根的解法並非單一解法，但已是目前用普通計算機方式最簡
易的方法。在其未告知原理，確能輕易的運算出近似值，勾起大夥想要求知的慾望。為了求
證其原理，利用代數假設反推回去公式，再利用相仿的式子來驗證，終於在大夥們辛勤的驗
證下，找出一解 n 次方根的通式 11[(n 1) ] n
n
Na a
a 。此通用公式，直覺上簡單易懂，在
解三次方根以上的根，大多能直覺的運算求解，再透過隨手可得的普通計算機反覆運算，比
起手算直式開三次立方根一直猜測估算值，反覆運算至正確的近似值，方式固定簡易，節省
了許多猜測的時間。透過普通計算機只要肯反覆求出估算值 a ，精準度皆可達小數第三位，
甚至是小數第六位，並非難事。可見此解 n 次方根的方式，比起手算直式開 n 次方根的方法，
更勝一籌。
三、熟悉普通計算機的功能，再配合公式，可縮短求得 n 次方根的時間
普通計算機大家一定都不陌生，但 M+ 、 MRC 使用的次數相信寥寥可數，甚至從未使
用過。雖有好用的公式，一開始利用普通計算機上仍需額外利用紙、筆來記錄數值，但在熟
-17-
悉普訊算機的功能後，透過 M+ 、 MRC 的使用，也簡化了許多步驟與時間，且精進估算值
a 的方式，要計算 n N 在短時間求出 n 次方根的近似值，從此就並非難事了。
陸、討論
從一開始的直式開二方根及網路上解三次方根，找出解 n 次方根的通式，進而利用普通
計算機的使用運算，可大幅縮短手算 n 次方根的時間。但在國中的課程中，二次方根的值往
往以背誦為主，再利用十分逼近法求證，在此就以研究出的方式，實際運用在國中常用的二
次方根例子上，並對解 n 次方根加以論證，讓研究的公式獲得實質佐證。
一、解 n 次方根通式運用在國中課程
國中在討論二次方根的解，都是以十分逼近法的方式求解，但也往往耗費很多時間在算
平方值，再求出二次方根的近似值。在此，以推導出的解 n 次方根通式，以國中常背誦的二
次方根加以討論，試算出此方法的效率及正確性，內容如表 10 所示。
表 10：國中常背誦的二次方根
根據表 10 所示，國中常背誦的二次方根利用公式解法運算，差不多算至近似值 2a 時，準
確度大多可達小數點第二位，在實際運算所花費的時間約在 2-3 分鐘，比利用十分逼近法所
花費的時間少了許多，方式也比較直覺，只要基本運算能力夠強，相信能縮短時間，準確度
也達一定的水準。
公式類別 1( ) 2
Na a
a 平方根
N a 近似值 1a 近似值 2a 近似值 3a n N
正確值
2 1 1.500 1.417 1.414216 2 N 1.414214
3 2 1.750 1.732 1.732051 2 N 1.732051
5 2 2.250 2.236 2.236068 2 N 2.236068
6 2 2.500 2.450 2.449490 2 N 2.449490
7 3 2.667 2.646 2.645751 2 N 2.645751
10 3 3.167 3.162 3.162278 2 N 3.162278
-18-
二、解 n 次方根通式的論證
速解 n 次方根通式從先前舉例中求得，為了求證此公式的正確性，茲就兩方面來討論：
(一)、解 n 次方根通式的反推導
假設利用公式求出的 1a 與欲求得 n N 相當接近，則反推導的過程如下：
11[(n 1) ] n
n
nNa a
aN
≒
展開成 11n
Na n a a n
a
若估算值 a 趨近於近似值 1a 時，則 a n 趨近於 1a n
故1
0n
Na
a
1n
Na
a
得 1n nN a a a
以上推導，是假設 1a 與 n N 相當接近，為確保欲求的值更準確接近 n N ，則可利用此公
式反覆求出 2a 、 3a ，更接近欲求得的 n N 。
(二)、以牛頓法求整數開二次方根的近似值
為了找出解 n 次方根通式更有依據，找到了以前高中 95 課綱「選修數學(II)」的附錄二
「以牛頓法求整數開二次方根的近似值」，由已退休的臺灣大學數學系張海潮教授及數學學科
中心朱啟台助理撰寫的文章。其證明方式，先假設一 2( )f x x N 的二次函數，利用 ( ) 0f x ，
可求出 x N 。為了求出 N ，可先找出一估算值 a ，故在二次函數 , ( )a f a 作一切線，
這個切線和 x 軸的交點b 就是 N 的第 1 個近似值，再過第 1 個近似值 , ( )b f b 作切線，又可
找出切線和 x 軸的交點 1b 就是 N 的第 2 個近似值，依此步驟，就可逐步逼近 N ，圖形如
圖 4 所示。
圖 4
-19-
就圖形而言，可一步一步逐漸逼近欲求的 N ，而代數的運算，則會利用到牛頓法來估
計 N ，微分來找函數在變化的程度，等於切線斜率，再經推導如下：
假設 2( )f x x N ，經微分得 '( ) 2f x x
在 (x)f 上找一估算值 a ，作微分並代入，故 2( )f a a N ----， '( ) 2f a a ----
而微分等於切線斜率，即為垂直位移與水平位移的比值，即
( ) 0 ( )'( )
f a f af a
a b a b
分母移項 ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f a a b f a af a bf a
'( ) '( ) ( )bf a af a f a
'( ) ( )
'( )
af a f ab
f a
，將 ( )f a 、 '( )f a 替換代入
2 2 2 2(2 ) ( ) 2
2 2 2
a a a N a a N a Nb
a a a
推導出來的公式2
2
a Nb
a
，與我們 1( ) 2
Na a
a 公式相同，其求出的b 與 1a 定義相同，
可將公式推導為2 2 1
( ) 22 2
a N a N Nb a
a a a
，就和我們的公式完全一樣了。為了證明
解 n 次方根公式 11[(n 1) ] n
n
Na a
a 的正確性，依上述方式證明，且過估算值 a 作函
數 , ( )a f a 的切線，這個切線和 x 軸的交點以 1a 表示，就是接近 n N 的第 1 個近似值，證明
過程如下。
假設 ( ) nf x x N ，經微分得 1'( ) nf x n x
在 (x)f 上找一估算值 a ，作微分代入，故 ( ) nf a a N ----， 1'( ) nf a n a ----
而微分等於切線斜率，即為垂直位移與水平位移的比值，即
1 1
( ) 0 ( )'( )
f a f af a
a a a a
分母移項 1 1( ) ( ) '( ) '( ) '( )f a a a f a af a a f a
1 '( ) '( ) ( )a f a af a f a
-20-
1
'( ) ( )
'( )
af a f aa
f a
，將 ( )f a 、 '( )f a 替換代入
1
1 1
1
1
1
1
( )
( 1)
( 1) 1
[( -1) ]
n n
n
n n
n
n
n
n
n
n
a n a a Na
n a
n a a N
n a
n a N
n a
n a N
a n
Nn a n
a
從上述論證，得到的結果和推導的公式完全相同，代表大夥的研究結果是正確的，日後
在解 n 次方根，相信可以用更快速的方式求知，以提升運算的效率。
柒、結論
經過這幾個月來的努力，終於完成利用普通計算算出三次方根以上的方式，在這過程中，
雖然偶爾會有爭執，但是結果是甜美的。每個中午，不停地研究、測試，皇天不負苦心人，
讓我們研究出這一套公式，不用工程計算機也能輕鬆解 10 次方根內的值，謝謝這一路上給予
我們幫助的師長們。
從此次的科展，最大的收穫是直式開根號的原理及解 n 次方根公式的推導，數學不再是
老師單一制式的傳授，需要同學們主動去探討研究，才能在繁瑣制式的算式中，理解出一套
正確的處理方式。更瞭解課堂外的浩瀚學問，需要同學們共同主動去學習，常保主動求知的
精神，才能活用數學，讓數學不再是冰冷的公式。
捌、參考資料
1、康軒文教(2016)•國中數學課本第三冊。
2、張海潮(2007) •以牛頓法求整數開平方根的近似值•高中數學電子報 第 16 期。
3、陳禾凱(2009) •以普通計算機來計算三次方根及五次方根的近似值。高中數學電子報 第 35
期。
4、孫文先（2006 年 3 月 30 日）•請問如何用直是開方法開立方根?•取自
http://www.chiuchang.org.tw/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=1695&forum=6。
-21-
5、另類速算立方根的方法---2。（2000 年 8 月 7 日）•取自
http://euler.tn.edu.tw/think31.htm。
6、如求 99 的三次方根?（2010 年 9 月 10 日）•取自
https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1010091004260。
