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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INGENIERÍA
MODELADO DINÁMICO Y CONTROL DE UN SISTEMA DE
LOCOMOCIÓN BIOMIMÉTICO
DIRECTORES:
DR. JESÚS ALBERTO MEDA CAMPAÑA
DR. RICARDO TAPIA HERRERA
ING. RUBÉN GONZÁLEZ SALAZAR
P R E S E N T A:
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRÍA EN CIENCIAS DE INGENIERÍA MECÁNICA
MÉXICO, D.F. 2015
ii
iii
Agradecimientos al:
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología
Proyectos PIFI:
Diseño de mecanismos policéntricos para la implementación en
prótesis de miembro inferior.
Plataforma de arquitectura abierta para el control y automatización
de sistemas mecatrónicos.
A mis asesores:
Dr. Jesús Alberto Meda Campaña
Dr. Ricardo Tapia Herrera
Dr. José Ángel Lodegario Ortega
M. en C. Cándido Palacios Montufar
Dr. Orlando Susarrey Huerta
Dr. Didier Samayoa Ochoa
Dr. Valeriy Nosov
Dedicatorias
A mis padres Carmen Salazar y Tomas González por su apoyo a lo
largo de mi vida y de esta nueva etapa, a mis hermanos
Víctor, Yadira, Alfredo e Ivonne por sus consejos.
A mis sobrinos Diego, Elisa y Natalia.
A todas los que han formado
parte de mi vida.
Incontables noches de desvelo. Sueños cumplidos, sueños que llegan.
Algunos se van, otros se alcanzan. Tomamos lo mejor de cada uno.
Quizá era sólo una idea y nada más.
Mejor, ¿por qué no continuar?
ii
Resumen
Este trabajo presenta la formulación de Kane el modelo dinámico del sistema de
locomoción biomimético de un pez robot de cuatro grados de libertad empleando sistemas
multicuerpo. Debido la generación de oscilaciones que se presentan en la estructura el
del pez durante la propulsión, los sistemas de locomoción emplean aproximaciones a
través elementos rígidos con el propósito de formar una cadena cinematica unida por
actuadores en un intento de generar el movimiento oscilatorio. Derivado de la complejidad
que se presenta al obtener las ecuaciones de movimiento para sistemas de más de dos
grados de libertad, se seleccionaron las ecuaciones de Kane, ya que su formulación
genera una ecuación diferencial por cada grado de libertad del sistema, además de utilizar
fuerzas generalizadas, lo cual elimina la necesidad de analizar las fuerzas de interacción y
restricción, por otra parte, proporciona una manera directa de incorporar las fuerzas
hidrodinámicas al modelo dinámico de locomoción.
Empleando la función de nado se obtienen patrones de trayectoria que permiten
establecer el modelo del exosistema y generar las oscilaciones que se presentan durante
la locomoción de los peces. El seguimiento de los patrones de nado, se abordó mediante
la teoría de regulación difusa. Para desarrollar este algoritmo de control se construyó del
modelo difuso Takagi-Sugeno, mismo que se obtiene a partir de las ecuaciones dinámicas
de locomoción. La selección de los sistemas locales, se ha basado en la amplitud máxima
de los eslabones durante las oscilaciones generadas.
A partir del algoritmo de control propuesto, el sistema no lineal muestra una aproximación
asintótica a la señal de referencia cuando es aplicado el controlador difuso, por su parte,
el error tiende asintóticamente a cero durante el estado transitorio y se mantiene acotado
cuando alcanza el estado estable.
iii
Abstract
This paper presents the design of Kane dynamic model of a biomimetic locomotion system
for a four DOF of a biomimetic robot fish using multibody systems. Due the generation of
oscillations on the body fish during propulsion systems employ approximations locomotion
through rigid elements in order to form a kinematic chain linked by actuators in an attempt
to generate the oscillating motion. Derived from the complexity to obtain the equations of
motion for systems with four degrees of freedom, Kane equations were used, since its
formulation generates a differential equation for each degree of freedom of the system,
Also it uses generalized forces, which eliminates to analyze the interaction and restriction
forces, on the other hand, provides a direct way to incorporate the hydrodynamic forces to
the dynamic model of locomotion.
Using the swimming function is obtained the trajectory patterns for establishing the model
and generates exosystem oscillations occurring during fish locomotion. The tracking of
swimming patterns was addressed to the theory of fuzzy regulation. To develop this
control algorithm is required to stablish the Takagi-Sugeno fuzzy model, which is obtained
from the dynamic equations of locomotion. The selection of local systems, is based on the
maximum amplitude of the links in the generated oscillations.
From the proposed control algorithm, nonlinear system displays an asymptotic
approximation to the reference signal when the fuzzy controller applied, meanwhile, the
error tends asymptotically to zero during the transient state and remains bounded when it
reaches the state stable.
iv
Nomenclatura
𝜆 Longitud de onda del cuerpo del pez.
𝜶𝐺𝑘 Vector de aceleraciones angulares del 𝑘-ésimo eslabón.
𝜂1 Vector de posición del vehículo marino en el sistema de referencia fijo a la
tierra.
𝜂2 Vector de orientación del vehículo marino en el sistema de referencia fijo a la
tierra.
𝜑𝑗 Angulo de fase.
𝝉 Vector de momentos actuando sobre el vehículo marino.
𝝂 Vector de velocidades lineales del vehículo marino.
�� Vector de aceleraciones lineales del vehículo marino.
𝝎 Vector de velocidades angulares del vehículo marino.
��𝑘 Vector de velocidades angulares del 𝑘-ésimo eslabón.
𝜔𝑏 Frecuencia de onda del cuerpo.
𝝕(𝑡) Vector de estados del exosistema.
𝛀𝑘 Matriz de velocidades angulares generalizadas del 𝑘-ésimo eslabón.
��𝑘 Matriz de aceleraciones angulares generalizadas del 𝑘-ésimo eslabón.
𝐚𝐺𝑘 Vector de aceleraciones lineales del 𝑘-ésimo eslabón.
𝑨 Matriz de estados de la planta.
𝐴𝑗 Amplitud de la señal de referencia.
𝑩 Matriz de entrada de la planta.
𝑐1 Coeficiente lineal de la onda envolvente.
𝑐2 Coeficiente cuadrático de la onda envolvente.
𝑪 Matriz de salida de la planta
𝑪𝒄 Matriz de fuerzas centrifugas y de Coriolis del cuerpo rígido arbitrario.
𝑪𝑨 Matriz de fuerzas centrifugas y de Coriolis virtuales.
𝑪𝑩 Matriz de fuerzas centrifugas y de Coriolis.
𝑫 Matriz de fuerzas de amortiguamiento.
𝒆(𝑡) Vector de error.
𝑭 Vector de fuerzas actuando sobre el vehículo marino.
𝑭𝑩∗ Vector de fuerzas de inercia generalizadas.
v
𝑭𝑨∗ Vector de fuerzas virtuales generalizadas.
𝑭𝑫∗ Vector de fuerzas de amortiguamiento generalizadas.
𝑓(∙) Sistema no lineal.
𝑰𝟎 Matriz de inercia.
𝐼𝑥 Momento de inercia con respecto al eje 𝑋.
𝐼𝑦 Momento de inercia con respecto al eje 𝑌.
𝐼𝑧 Momento de inercia con respecto al eje 𝑍.
𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 Producto de inercia con respecto a los ejes 𝑋 − 𝑌
𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 Producto de inercia con respecto a los ejes 𝑋 − 𝑍
𝐼𝑦𝑧 = 𝐼𝑧𝑦 Producto de inercia con respecto a los ejes 𝑌 − 𝑍
𝑘 Numero de onda del cuerpo del pez.
𝑲 Matriz de ganancias del controlador.
𝐾 Momento de inercia alrededor del eje 𝑋.
𝑚 Masa del cuerpo rígido.
𝑀 Momento de inercia alrededor del eje 𝑌.
𝑴𝒄 Matriz de inercia del cuerpo rígido arbitrario.
𝑴𝑨 Matriz de inercias virtuales.
𝑴𝑩 Matriz de inercias del cuerpo rígido.
𝑀𝑏 Resolución de onda del cuerpo del pez.
𝑁 Momento de inercia alrededor del eje 𝑍.
𝑁𝑘∗ Momento de inercia generalizado del 𝑘-ésimo eslabón.
(𝑁𝑘∗)𝐴 Momento virtual de inercia generalizado del 𝑘-ésimo eslabón.
(𝑁𝑘∗)𝐷 Momento de amortiguamiento generalizado del 𝑘-ésimo eslabón.
𝑁𝑟 Momento de amortiguamiento del giro.
𝑁�� Derivada hidrodinámica de giro.
p Giro del vehículo marino
𝑷 Matriz de perturbaciones de la planta
q Cabeceo del vehículo marino.
𝑸 Matriz de salidas del exosistema
r Oscilación del vehículo marino.
𝒓𝑘 Vector de posición del centro de gravedad del 𝑘-ésimo eslabón.
𝒓𝑮𝒌 Vector de posición del centro de gravedad del 𝑘-ésimo eslabón.
𝑺 Matriz de frecuencias del exosistema.
vi
𝑺𝑟𝑘 Matriz antisimetrica del centro de gravedad del 𝑘-ésimo eslabón.
𝑺𝑘0 Matriz de transformación entre el 𝑘-ésimo sistema de referencia y el origen.
𝑡 Tiempo.
u Desplazamiento del vehículo marino.
𝒖(𝑡) Vector de entradas del sistema.
v Balanceo del vehículo marino.
𝐯𝐺𝑘 Vector de velocidades del centro de masas del 𝑘-ésimo eslabón.
𝑽𝑘 Matriz de velocidades parciales del 𝑘-ésimo eslabón.
��𝑘 Matriz de aceleraciones parciales del 𝑘-ésimo eslabón.
w Empuje del vehículo marino.
𝑥𝐺 Posición del centro de masa en el eje 𝑋.
𝑥𝑏 Desplazamiento longitudinal.
𝒙(𝑡) Vector de estados de la planta.
𝑋 Fuerza longitudinal del vehículo marino.
𝑋𝑘∗ Fuerza longitudinal generalizada del 𝑘-ésimo eslabón.
(𝑋𝑘∗)𝐴 Fuerza virtual longitudinal generalizada 𝑘-ésimo eslabón.
(𝑋𝑘∗)𝐷 Fuerza de amortiguamiento longitudinal 𝑘-ésimo eslabón.
𝑋𝐴 Fuerza virtual longitudinal
𝑋𝑢 Fuerza de amortiguamiento longitudinal.
𝑋�� Derivada hidrodinámica longitudinal.
𝑦𝐺 Posición del centro de masa en el eje 𝑌.
𝑦𝑏 Desplazamiento transversal del cuerpo del pez.
𝒚𝑗 Patrones de nado.
𝒚(𝑡) Vector de salida de la planta.
𝒚𝒓𝒆𝒇 Vector de señales de referencia.
𝑌𝑘∗ Fuerza lateral generalizada del 𝑘-ésimo eslabón.
(𝑌𝑘∗)𝐴 Fuerza virtual lateral generalizada del 𝑘-ésimo eslabón.
(𝑌𝑘∗)𝐷 Fuerza de amortiguamiento lateral del 𝑘-ésimo eslabón.
𝑌𝐴 Fuerza virtual lateral.
𝑌𝑣 Fuerza de amortiguamiento lateral.
𝑌�� Derivada hidrodinámica lateral.
𝑧𝐺 Posición del centro de masa en el eje 𝑍.
𝑍𝐴 Fuerza virtual
vii
Índice General
RESUMEN II
ABSTRACT III
NOMENCLATURA IV
ÍNDICE GENERAL VII
ÍNDICE DE FIGURAS X
ÍNDICE DE TABLAS XI
OBJETIVO GENERAL XII
JUSTIFICACIÓN XIII
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE 14
Introducción 14
1.1 Vehículos Submarinos 14
1.2 Robots Biomiméticos 16
1.3 Modelado de sistemas biomiméticos 17
1.4 Control de sistemas biomiméticos 18
1.5 Planteamiento del problema 20
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 21
Introducción 21
2.1 Locomoción del pez 21
2.1.1 Clasificación de los movimientos de propulsión 22
2.1.2 Fuerzas sobre animales acuáticos 23
2.2 Locomoción biomimética 24
2.3 Modelado de vehículos marinos 27
2.2.1 Cinemática de vehículos marinos 28
2.2.2 Dinámica de vehículos marinos 31
2.2.3 Ecuaciones vectoriales de Kirchoff 33
2.3 Fuerzas y momentos virtuales (hidrodinámicos) 33
2.3.1 Masa e inercia virtual 34
2.3.2 Amortiguamiento hidrodinámico 36
2.3.3 Ecuaciones de movimiento para vehículos marinos 37
viii
2.4 Ecuaciones de Kane en sistemas multicuerpo 38
2.4.1 Ecuaciones de movimiento 38
2.5 Teoría de Regulación 40
2.6 Modelo difuso Takagi-Sugeno 42
2.7 Regulación difusa 44
CAPÍTULO 3. DISEÑO CONCEPTUAL 46
Introducción 46
3.1 Diseño del pez robot 46
3.2 Cinemática del pez robot 48
3.3 Análisis dinámico del pez robot 52
3.3.1 Fuerzas de inercia 52
3.3.2 Fuerzas hidrodinámicas 54
3.3.3 Fuerzas de amortiguamiento 56
3.4 Fuerzas generalizadas 59
3.5 Ecuaciones de movimiento del pez robot 60
3.6 Modelo dinámico del sistema de locomoción 61
CAPÍTULO 4. SIMULACIÓN Y CONTROL 63
Introducción 64
4.1 Caracterización morfológica del pez robot 64
4.1.1 Parámetros físicos del pez robot 66
4.1.2 Coeficientes hidrodinámicos 67
4.1.3 Coeficientes de amortiguamiento 68
4.2 Diseño del controlador difuso 69
4.2.1 Representación del modelo en variables de estado 69
4.2.2 Modelo difuso del sistema de propulsión 70
4.2.2 Exosistema y la señal de referencia. 72
4.2.3 Controlador difuso 74
4.3 Simulación del sistema de propulsión 75
CONCLUSIONES 79
TRABAJOS FUTUROS 80
ix
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 81
ANEXOS 86
PUBLICACIONES 87 ANEXO A
CINEMÁTICA DEL PEZ ROBOT 90 ANEXO B
DINÁMICA DEL PEZ ROBOT. 113 ANEXO C
ECUACIONES DE KANE PARA EL PEZ ROBOT 123 ANEXO D
ECUACIONES DE KANE PARA EL SISTEMA DE LOCOMOCIÓN 126 ANEXO E
MODELO DINÁMICO DEL PEZ ROBOT 135 ANEXO F
SISTEMAS LINEALES. 140 ANEXO G
x
Índice de Figuras
Figura 2.1 Tipos de nado. Anguiliforme, Sub-caranguiforme, 23
Figura 2.2 Modelo simplificado de propulsión caranguiforme 25
Figura 2.3 Sistemas de referencia fijo al cuerpo y la tierra 28
Figura 2.4 Sistema de referencia inercial y sistema de referencia fijo al cuerpo 29
Figura 3.1 Estructura de diseño de un pez robot 47
Figura 3.2 Pez robot (Cadena eslabonada) 49
Figura 4.1. Curvaturas discretas del cuerpo del pez 65
Figura 4.2 Aproximación de los eslabones a la onda del cuerpo 65
Figura 4.3. Angulos de los eslabones calculados. 66
Figura 4.4 Configuracion del pez robot con elementos rectangulares 67
Figura 4.5 Vista superior del pez robot con elementos elipticos. 68
Figura 4.6. Diagrama de bloques del sistema de control. 69
Figura 4.7. Diagrama de bloques del controlador difuso. 69
Figura 4.6 Funciones de membresia para el modelo T-S 71
Figura 4.7. Señal de referencia generada con el exosistema. 74
Figura 4.8 Seguimiento de referencia para el sistema difuso. 75
Figura 4.9 Error de seguimiento para el sistema difuso. 76
Figura 4.10 Señal de entrada para el sistema difuso. 76
Figura 4.11 Seguimiento de refencia del sistema no lineal. 77
Figura 4.12 Error de seguimiento para el sistema no lineal. 78
Figura 4.13 Señal de entrada para el sistema no lineal. 78
xi
Índice de Tablas
Tabla 1.1. Aplicaciones de vehículos submarinos [2]. 15
Tabla 2.1 Clasificación de movimientos de nado en peces y cetáceos [43]. 22
Tabla 2.2 Tipos de Amortiguamiento hidrodinámico. 36
Tabla 4.1 Propiedades físicas de los eslabones. 67
Tabla 4.2 Coeficientes de masa virtual [59]. 68
Tabla 4.3 Coeficientes de amortiguamiento. 68
Tabla 4.4. Puntos de linealización (rad). 70
Tabla 4.5 Amplitud, ángulo inicial y posición longitudinal para la señal de referencia. 74
xii
Objetivo general
Obtener las ecuaciones no lineales de movimiento un sistema de locomoción biomimético
a partir de los parámetros morfológicos e ictiológicos de un pez que permitan el diseño de
controladores apropiados para aproximar la función de nado.
Objetivos específicos
Determinar parámetros morfológicos e ictiológicos para el diseño del sistema de
locomoción.
Obtener las ecuaciones dinámicas no lineales del sistema de locomoción
empleando las ecuaciones de Kane para sistemas multicuerpo.
Obtener el modelo difuso Takagi-Sugeno del sistema de locomoción.
Establecer el algoritmo de control para el seguimiento de referencias mediante
regulación difusa.
xiii
Justificación
El desarrollo de tecnología marina tiene el potencial de revolucionar el acceso a los
océanos y hacer frente a los problemas de exploración de litorales e inspección de
estructuras oceánicas principalmente. En este sentido, se ha visto un incremento en el
uso de vehículos submarinos ya que sus aplicaciones abarcan desde pesca, rescate
hasta protección y monitoreo de la contaminación marina. Además pueden ayudar a
entender mejor los problemas ambientales y marinos ya que tienen la ventaja de operar
en zonas profundas o donde los buzos no pueden acceder. El medio acuático representa
un entorno peligroso para el humano ya que muchas tareas requieren periodos largos de
tiempo y profundidades significativas, el uso de robots subacuáticos ha resultado una
alternativa viable, pero se encuentra limitada debido a los elevados costos de operación.
Por esta razón en el presente trabajo se establece el modelo dinámico de un sistema de
locomoción para analizar su comportamiento cuando se encuentra bajo la influencia de un
controlador calculado a partir de la teoría de regulación.
14
Capítulo 1. Estado del Arte
Introducción
Durante las últimas cuatro décadas, investigaciones sobre la robótica se han orientado en
buscar soluciones a necesidades técnicas, la evolución de los campos de aplicación y la
sofisticación desarrollada han influido en gran parte del entorno. Actualmente se pueden
observar sistemas robóticos en el desarrollo de tareas repetitivas, incomodas, peligrosas,
de rescate o exploración.
1.1 Vehículos Submarinos
La robótica móvil consiste de una plataforma con elementos que permiten su
desplazamiento, pueden ser aéreos, terrestres o acuáticos, dependiendo del entorno
donde van a desarrollar sus tareas. Dentro de las plataformas marinas se encuentran los
vehículos submarinos no tripulados (UUV), son robots subacuáticos operados con un
mínimo o sin intervención de un operador humano, generalmente se emplea esta
definición para describir los vehículos operados remotamente (ROV) y vehículos
autónomos subacuáticos (AUV) [1].
Los ROVs se implementan principalmente en tareas de inspección, instalación y
reparación de estructuras bajo el agua. Han sido empleados ampliamente en plataformas
marinas ya que estos vehículos se sumergen a profundidades considerables donde los
buzos no pueden llegar, esta característica ofrece seguridad y presenta una menor
demanda de personas como equipo de apoyo. Durante su funcionamiento son atados y
operados remotamente, sin embargo su uso se encuentra limitado por elevados costos de
operación, fatiga de los operadores [2].
Los AUV operan sin la necesidad de un monitoreo y supervisión constante, son los más
complejos ya que dependen de sus funciones autómatas, su evolución ha sido gradual
La paciencia es la clave de las cosas.
Anónimo.
15
gracias a la potencia de cálculo y la capacidad de almacenar energía a bordo. Sensores
pequeños, sistemas de navegación inercial son parte de los sistemas actuales lo cual ha
derivado en una fiabilidad mayor gracias al poco margen de error. Sus aplicaciones
involucran desde operaciones a distancias seguras incluyendo observación del fondo
marino, toma de muestras, inspecciones hidrotermales, de estructuras y perforación del
lecho marino [3].
Tabla 1.1. Aplicaciones de vehículos submarinos [2].
Área Descripción
Ciencia Mapeo del fondo marino.
Muestreo geológico.
Medio Ambiente Monitoreo por periodos largos de tiempo.
Reparación del medio ambiente.
Inspección de estructuras submarinas.
Militar Búsqueda y eliminación de minas.
Submarinos con sensores fuera de borda.
Minería marina Reconocimiento y evaluación de recursos.
Construcción de estructuras submarinas.
Otras Inspección de plantas nucleares.
Inspección de cascos de navíos.
Recorridos subacuáticos.
Instalación de cableado para comunicaciones.
En los últimos años, diversas investigaciones se han centrado en el incremento de la
autonomía en vehículos submarinos minimizando de este modo la presencia de
operadores humanos. La planeación de trayectorias y el control de vehículos en entornos
no estructurados también son temas de interés [4]. La demanda de tecnologías
avanzadas para robots submarinos está creciendo y eventualmente se desarrollaran
vehículos especializados, confiables y totalmente autónomos.
El creciente interés por desarrollar vehículos con sistemas eficientes de propulsión ha
derivado en investigaciones que buscan adoptar los mecanismos de locomoción de los
peces en robots submarinos. En este sentido el interés general se ha concentrado en el
16
entendimiento de la mecánica de fluidos que utilizan para impulsarse y las ventajas
energéticas que se obtendrían.
1.2 Robots Biomiméticos
La biomimética, es un nombre acuñado por Otto Schmitt en 1950 para la transferencia de
ideas y analogías de la biología a tecnología. La transferencia de conceptos o
mecanismos de sistemas vivientes a robóticos no es tan trivial y esto se logra tratando
sistemas biológicos como prototipos potenciales, realizando adaptaciones de ingeniería
además del uso de tecnología actual [5]. Observaciones muestran que un pez en la
naturaleza puede lograr la propulsión con eficiencia y una excelente maniobrabilidad, los
mecanismos de nado proveen inspiración para un diseño de locomoción que funcionará
mejor que los propulsores actualmente en uso [6], por otra parte la biología puede ofrecer
nuevas posibilidades tecnológicas y mejorar el rendimiento de las existentes.
Uno de los principales prototipos es RoboTuna [7], fue el primer pez robótico desarrollado
con éxito en el mundo, junto con RoboPike fueron utilizados para estudiar la reducción de
resistencia en la locomoción con forma de pez. Hu [8] presenta su robot G9, uno de los
primeros robots autónomos, con capacidad de nadar en ambientes no estructurados,
desarrolla un nado caranguiforme y su diseño mecánico es a través de una cadena
cinemática eslabonada abierta, también incluye optimizaciones en la longitud de los
eslabones para aproximar el movimiento a la onda natural del cuerpo, muestra
navegación en las tres dimensiones (ascendente, descendente y longitudinal).
Zhou [9], [10] implementa mecanismos articulados para la generación del movimiento de
la aleta caudal, esto permite tener un robot con nado caranguiforme de tres grados de
libertad y reducir la complejidad en los algoritmos de control. Boston Engineering [11]
desarrolla GhostSwimmer, tiene un diseño basado en cetáceos, su cuerpo aerodinámico y
flexible sugiere maniobrabilidad a velocidades altas y bajas, entre sus aplicaciones
destaca el transporte de carga, aunque fue desarrollado para la investigación
oceanográfica no se descartan aplicaciones militares [12].
Nilas [13] incluye en Koi aletas pectorales para la estabilidad y maniobrabilidad del robot,
su modelo de nado se basa en crear patrones en forma de “C” en lugar de recrear la
cinemática observada en los peces, con este diseño la propulsión depende de la
frecuencia y la distancia transversal. Nguyen [14] desarrolla su robot basado en el pez
17
Perla Arowana, está diseñado con cuatro eslabones radio controlados, emplea un sistema
de control punto a punto creando desventajas de maniobrabilidad, así como evasión de
obstáculos. Derivado de algunas desventajas tecnológicas en cuanto a sensores la
investigación se limita a la generación de movimiento y apariencia. Wang [15] diseña un
robot biomimético con propulsión ondulatoria, su sistema mecánico se puede comportar
de cuatro modos distintos, movimiento hacia enfrente, giro a la derecha e izquierda y
movimientos hacia arriba y abajo, además emplea sensores infrarrojos para la detección y
evasión de obstáculos.
Roy Chowdhury [16], presenta un robot cuyo diseño cinemático y dinámico ha sido
integrado con la teoría de la ondulación del cuerpo de Lighthill [17], con este modelo se
busca caracterizar parámetros como longitud de onda de propulsión, amplitud caudal que
afectan el desempeño de estos vehículos, determina la frecuencia de la cola (TBF), como
parámetro para el control de velocidad del vehículo.
James [18] presenta iSplash-I, un nuevo modelo de robot que busca innovar el diseño
mecánico, sustituye los servomotores en los eslabones, empleados generalmente y en su
lugar emplea un eje a lo largo de la curva de ondulación del cuerpo reduciendo a tres
grados de libertad el modelo para mejorar el rendimiento. Emplea un nado de cuerpo
completo como una forma de reducir las fuerzas que limitan el empuje del robot, de esta
forma obtiene una velocidad de 0.88 m/s logrando superar a los modelos de Yu [19] (0.32
m/s), Liu [20] (0.5 m/s) y Alvarado [21] (0.32 m/s).
1.3 Modelado de sistemas biomiméticos
El modelado dinámico y la simulación de vehículos autónomos submarinos (AUV, por sus
siglas en inglés) es importante en el proceso de diseño y análisis de maniobrabilidad.
Mason [22] desarrolla un modelo dinámico bajo la suposición de un flujo cuasi
estacionario, emplea una configuración de tres eslabones y considera únicamente el
movimiento plano para el nado tipo caranguiforme.
Kim [23] presenta un modelo dinámico donde el cálculo de fuerzas externas está basado
en la teoría de flujo potencial presentada por Thomson [24], considera un fluido ideal, no
viscoso e incompresible para determinar las fuerzas y torques hidrodinámicos. Estas
ecuaciones presentan desventajas debido a la limitación en las entradas de control a
diferencia de las ecuaciones de Kane [25], que ofrecen una manera directa para
18
incorporar fuerzas externas y señales de control en el modelo. En [26] se desarrollan las
ecuaciones de movimiento basado en el método de Kane contempla que todos los
eslabones tienen la misma longitud, masa y volumen. Las simulaciones son orientadas a
la búsqueda del nado adecuado para un pez robot submarino.
Yu [27] presenta el modelo dinámico para un pez robot con nado caranguiforme, su
diseño se constituye del cuerpo rígido (cabeza del robot), un cuerpo flexible (cadena
eslabonada) y la aleta caudal oscilante. Aplica la teoría del flujo no estacionario para
analizar el movimiento del cuerpo rígido y flexible, así como, la teoría del perfil
aerodinámico para la aleta caudal. Las ecuaciones de movimiento se obtienen como la
suma de las fuerzas longitudinal, lateral y el momento de guiñada de cada componente.
En [28] se presenta una extensión al obtener un modelo dinámico para el movimiento del
robot en tres dimensiones, la configuración incluye un par de aletas pectorales que
permiten el ascenso y descenso del mismo. Además, presenta movimientos circulares lo
que le permite una mayor maniobrabilidad al robot.
Liu [29] emplea una metodología de modelado considerando el movimiento relativo de la
cola respecto a la cabeza del pez, de esta manera deduce una función que describe el
movimiento de la cola obteniendo así patrones de nado. En este sentido, la búsqueda de
patrones se orienta a generar el movimiento similar a la cola de un pez real a través de
múltiples juntas mecánicas. Kim [30] emplea las ecuaciones de Lagrange para obtener el
modelo dinámico de un robot de cuatro eslabones, también incluye las fuerzas del fluido
basada en la propulsion caranguiforme de Lighthill [17].
Wang [31] presenta una combinación de la dinámica del cuerpo rígido y la teoría del
cuerpo alargado de Lighthill [32] para obtener el modelo dinámico. Éste se compone por
dos partes, la primera se refiere al cuerpo del robot, cuyas ecuaciones de movimiento
resultan de la incorporación de los efectos de masa virtual a la dinámica del cuerpo rígido.
El modelo se completa al calcular las fuerzas y el momento hidrodinámico causado por la
interacción de la cola y el cuerpo con el fluido por medio de la teoría del cuerpo alargado.
1.4 Control de sistemas biomiméticos
Kato [33] concentra su investigación en el control y orientación en plano horizontal de un
pez robot con aletas pectorales mecánicas, dada la cantidad de variables que contiene el
modelo y la dificultad de expresar las ecuaciones de movimiento explícitamente en
19
variables de control, emplea un algoritmo de control difuso. Este sistema permite hacer
nado preestablecido y flotar alrededor de un punto designado incluso en corrientes de
agua, entre otras características.
Morgansen [34] desarrolla una plataforma experimental de tres grados de libertad para el
control de movimiento plano con nado caranguiforme, el modelo dinámico está basado en
el flujo del fluido constante, la implementación del control para el movimiento hacia
delante es de naturaleza no lineal en lazo abierto.
Yu, [19] emplea diferentes tipos de control, integra un PID para el control de la velocidad,
este sistema se basa en la variación de la frecuencia de servomotores permitiendo
desarrollar diferentes velocidades de navegación. Integra un controlador difuso para la
orientación, teniendo como objetivo la generación de ángulos de deflexión para los
eslabones uno y dos cuando se desplaza entre dos puntos. El sistema se completa con
un controlador punto a punto retroalimentado por una cámara de visión artificial, se aplica
para generar una línea recta entre la posición inicial y el destino de robot con la ayuda del
control de velocidad y orientación para trazar el movimiento.
Hong [35], propone un modelo matemático para la locomoción ondulatoria, emplea el
cálculo de fuerzas y momentos hidrodinámicos a partir de la teoría de Lighthill [32] y la
dinámica del cuerpo rígido, de esta manera obtiene las ecuaciones dinámicas de nado del
robot.
Yu [27], presenta un modelo dinámico de un pez robot el cual es dividido en tres
secciones para su análisis, aplica la teoría de flujo no permanente para analizar la parte
rígida y flexible, para la aleta caudal adopta la teoría básica de perfil aerodinámico,
obtiene el modelo final sumando las componentes de cada sección, y características de
velocidad angular, de empuje y cabeceo mediante la solución de las ecuaciones
diferenciales. Wang [36] por medio de una cámara, un controlador local y control un
remoto desarrolla un sistema de control en red, a través del procesamiento de imágenes
en tiempo real que determina la posición del robot. La generación de las acciones de
control se calcula a través del entorno de Simulink de Matlab®. Los resultados
experimentales de un control punto a punto demuestran la validez de la red de control.
Nazaruddin [37] implementa un controlador lógico difuso con el cual busca desarrollar
patrones de movimiento de un pez cuando sigue una presa, emplea tres modos de
20
movimiento: 1) nado en línea recta y escape el cual es caracterizado por la variación de
frecuencia en la aleta caudal, 2) movimiento giratorio, utilizado cuando intenta escapar la
presa, 3) el cuerpo realiza un ángulo respecto a la cola al tiempo que deja de moverse,
este modo simula la condición de captura de un pez. La combinación de estos
movimientos muestran que para algunos rangos se puede desarrollar la mímica natural
del pez, además se pueden generar velocidades medias y altas.
Vo [38] utiliza la mecánica de Lagrange para obtener el modelo dinámico de un robot de
cuatro eslabones con nado caranguiforme, incluye cabeceo, movimiento que en otros
modelos no es considerado. Propone un control de modos deslizantes para el
desplazamiento recto y un controlador lógico difuso para el movimiento giratorio.
Wang [39] desarrolla un modelo fusionando la dinámica del cuerpo rígido con la teoría del
cuerpo alargado de Lighthill [32], además introduce la evaluación de la fuerza de
resistencia variable en el tiempo y los coeficientes de momento, los cuales son variables
con el ángulo de ataque. Éste es comparado con un modelo con coeficientes constantes
obteniendo resultados favorables. Muestra que la fuerza de presión en la punta de la cola
juega un papel significativo en la dinámica, el cual en ocasiones es ignorado.
1.5 Planteamiento del problema
Estudios realizados sobre nuevos métodos de propulsión para plataformas subacuáticas,
han resultado en el desarrollo de sistemas robóticos inspirados en organismos biológicos.
Los métodos de control se han divido en dos categorías, la primera empleando el
conocimiento biológico de los peces (bio-inspirado) y la segunda derivándose del análisis
de cuerpos rígidos (convencional). El control convencional de estos sistemas es una
técnica que requiere de la obtención de la ecuación dinámica de del sistema. En este
sentido, resulta difícil determinar los parámetros de natación apropiados, dificultando
modelar con precisión la interacción hidrodinámica entre el cuerpo y el fluido circundante.
Este trabajo busca desarrollar un modelo matemático sobre el cual se pueda aplicar un
sistema de control difuso que permita contener características de los métodos existentes,
es decir, mediante el análisis de cuerpo rígido determinar las ecuaciones dinámicas y a
partir de la función del cuerpo del pez y la relación entre los eslabones obtener sus
trayectorias de nado [29] y de este modo sintonizar el controlador que aproxime el
movimiento natural del mismo.
21
Capítulo 2. Fundamentos Teóricos
Introducción
La selección natural ha asegurado que los sistemas mecánicos desarrollados en el pez
sean eficientes en relación con el hábitat y el modo de vida; las propiedades del agua han
desempeñado un papel importante en la evolución de las especies permitiendo una gran
variedad de propulsores de natación. En este sentido no es de extrañar que científicos e
ingenieros busquen desarrollar tecnología basada en estos organismos que proporcionen
ventajas de propulsión, maniobrabilidad y controlabilidad sobre equipos marinos
convencionales.
2.1 Locomoción del pez
El entendimiento de los modos de nado de los peces y la gran variedad de adaptaciones
morfológicas para diferentes nichos ecológicos requiere el conocimiento de la interacción
dinámica entre el pez y el agua. Estas interacciones incluyen las fuerzas y momentos
actuando como una resultante de las tres componentes de la velocidad lineal y angular de
las aletas y las secciones del cuerpo en relación con el agua que los rodea [40].
Los peces nadan usando movimientos ondulatorios de su cuerpo o aletas, en este tipo de
nado, una onda viaja hacia atrás generando un tren de ondas por los músculos laterales
de la cabeza a la cola, la manera en que el músculo es utilizado para generar el empuje
puede variar de acuerdo a la especie, propiedades de forma del cuerpo, modo y velocidad
de natación [41]. La locomoción es una habilidad fundamental caracterizada por una
actividad rítmica y el uso de múltiples grados de libertad, es el resultado de un
acoplamiento complejo entre la dinámica neuronal y del cuerpo debido a las ondulaciones
o contracciones del cuerpo y aletas, las cuales con la aplicación de fuerzas generan el
La teoría es la esencia destilada del conocimiento
Rankine
22
movimiento en forma de onda [42]. La actividad muscular, la disposición y propiedades de
los elementos pasivos esqueléticos junto con la interacción del pez y las fuerzas reactivas
del agua se combinan provocando una curvatura del cuerpo en dirección de la cola [41].
Cuando un cuerpo se desplaza en el agua, encuentra una resistencia en la dirección del
movimiento y consecuentemente debe aplicar energía, así el desplazamiento ocurre a
velocidad uniforme. El estudio de los mecanismos de propulsión de un pez se divide en
dos partes: el análisis de fuerzas que resisten el movimiento a través del agua y el estudio
del mecanismo mediante el cual el pez utiliza la energía liberada por sus músculos para la
superación de las fuerzas de resistencia.
2.1.1 Clasificación de los movimientos de propulsión
Un análisis superficial del nado de los peces sugiere que este movimiento tiene
variaciones en diferentes grupos. Peces largos y delgados pasan una onda de propulsión
bien definida hacia atrás de su cuerpo, mientras que los cortos y anchos parecen nadar
con la aleta caudal solamente. En los movimientos de nado que involucran el cuerpo y la
aleta caudal se tienen patrones comunes entre los peces y los cetáceos, los nadadores
rápidos y aquellos que hacen grandes migraciones nadan de esta manera.
Tabla 2.1 Clasificación de movimientos de nado en peces y cetáceos [43].
Movimiento Descripción
Anguiliforme La onda propulsiva tiende a ser transmitida a lo largo de todo
el cuerpo, la longitud de onda se encuentra casi completa en
un momento dado. En este movimiento las fuerzas laterales
se cancelan de manera que se minimiza cualquier tendencia
de que el cuerpo retroceda.
Subcaranguiforme Los movimientos son similares a la anguila, la mayor
diferencia es una menor amplitud de movimiento en la parte
anterior del cuerpo.
Caranguiforme Las ondulaciones del cuerpo se limitan a la última tercera
parte de la longitud del cuerpo, el empuje es generado por
una aleta caudal rígida. La onda propulsiva debe ser
transmitida a través de una parte pasiva relativa del cuerpo.
23
Ostraciforme Se caracteriza por la oscilación pendular de la aleta caudal
mientras el cuerpo permanece esencialmente rígido,
obteniendo así la propulsión. El cuerpo rígido, no se
encuentra en la longitud de onda.
La mayoría de los estudios sobre la propulsión se han centrado en peces cuyo empuje es
generado por el cuerpo y aleta caudal, distinguiendo originalmente tres modos:
aguiliforme, caranguiforme, ostraciforme, los cuales incluyen un rango extenso de formas
morfológicas correlacionadas dentro de estos modos [44].
Figura 2.1 Tipos de nado. Anguiliforme, Sub-caranguiforme,
Caranguiforme, Tuniforme (Izq.-Der.) [45]
Los modos de nado del cuerpo se distinguen con base al número de medias longitudes de
onda propulsora contenida dentro de la longitud del cuerpo. Gray [46] siguiere que la
proporción del cuerpo involucrada en la onda de propulsión y el número de medias ondas
está determinado por la flexibilidad del mismo.
2.1.2 Fuerzas sobre animales acuáticos
El nado involucra la transferencia de momento del pez al agua circundante y viceversa, es
causado por las propiedades físicas del medio (densidad, viscosidad) y límites solidos
(fricción). Los mecanismos de trasferencia se describen en términos de rapidez de cambio
de momento o componentes de fuerza actuando sobre un animal. Para los vertebrados
las componentes de fuerza pertinentes son fricción y presión de arrastre, elevación y
fuerzas de reacción de aceleración [43].
24
Las partes de un organismo con movimiento ondulatorio se desplazan a velocidad
uniforme a lo largo de una trayectoria sinusoidal, las fuerzas tangenciales (fricción)
ejercidas por el ambiente externo ejecutan retardos de movimiento, impidiendo el
movimiento hacia delante. Entonces, el empuje de propulsión necesario para iniciar o
mantener la progresión debe ser derivado de las fuerzas externas que actúan
normalmente a la superficie del cuerpo. Desde el punto de vista mecánico un análisis de
la progresión ondulatoria se ocupa de la generación flexiones internas que exponen al
organismo a patrones de fuerzas externas que actuando normalmente a la superficie del
cuerpo la resultante sea igual pero opuesta a las fuerzas tangenciales de moderación [47].
Las fuerzas de arrastre y elevación se originan a partir de la viscosidad del agua y es
causada por la asimetría en el flujo, como éste se mueve pasado un objeto la presión de
un lado seria mayor que su opuesto. El ascenso se produce entonces en una dirección
perpendicular al flujo. La aceleración de reacción resulta del cambio en la energía cinética
del agua afectada por la aceleración o desaceleración del cuerpo, es una fuerza de inercia
generada por la resistencia del agua circundante [45].
El análisis de la locomoción está basado en el principio de conservación del momento
lineal y angular del cuerpo, el cual es igual a todas las fuerzas y momentos generados por
el cuerpo. Además las fuerzas de propulsión en un animal (fuerzas de empuje) deben ser
equilibradas con las fuerzas retardo (fuerzas resistivas). Cualquier mecanismo de
transferencia de momento contribuye al empuje y arrastre, pero la inercia del cuerpo
contribuye únicamente a la resistencia.
2.2 Locomoción biomimética
En la locomoción caranguiforme, las ondulaciones del cuerpo están confinadas a la
tercera parte posterior del cuerpo y el empuje proviene de la aleta caudal que es rígida.
Este tipo de locomocion desarrolla una mayor velocidad que los nados anguiliforme y sub-
caranguiforme, siendo más eficiente en velocidades altas, sin embargo la aceleración y
los giros están comprometidas por la relativa rigidez de sus cuerpos [48]. Por otro lado es
el nado más utilizado en el diseño de sistemas de propulsión biomimética debido a las
propiedades de controlabilidad, además de la eficiencia y conveniencia en la realización
de ingeniería, por lo cual muchas investigaciones se han centrado en este modo de
natación [20], [22], [49]–[51]. La propulsión de un pez robot consta de la parte posterior
del cuerpo flexible para la maniobrabilidad y una aleta caudal oscilante para la eficiencia.
25
El movimiento se analiza sólo en dos dimensiones del plano horizontal, la dirección
longitudinal del cuerpo se establece en el eje 𝑋 y el desplazamiento lateral en el eje 𝑌
Figura 2.2 Función de nado caranguiforme simplificado [50]
Investigaciones señalan una onda implícita en el sistema de los peces al nadar que se
extiende desde el cuello hasta la cola, la amplitud aumenta gradualmente y aparece como
la curvatura de la espina dorsal y los músculos del pez [51]. La curva empieza en el centro
de inercia del pez hacia la aleta caudal, asumiendo que toma la forma de onda de (2.1),
originalmente sugerida por Lighthill [17].
𝑦𝑏 = (𝑐1𝑥𝑏 + 𝑐2𝑥𝑏2) sin(𝑘𝑥𝑏 + 𝜔𝑏𝑡) (2.1)
donde 𝑦𝑏 denota el desplazamiento transversal del cuerpo del pez, 𝑥𝑏 representa el
desplazamiento a lo largo del eje principal, 𝑘 indica el número de onda del cuerpo
(𝑘 = 2𝜋 ∕ 𝜆), 𝜆 es la longitud de onda del cuerpo, 𝑐1 es la onda envolvente lineal de
amplitud, 𝑐2 es la onda envolvente cuadrática de amplitud y 𝜔𝑏 es la frecuencia de onda
del cuerpo (𝜔𝑏 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 ∕ 𝑇), donde 𝑓 es la frecuencia y 𝑇 es el periodo.
Inspirado por la propagación de ondas de propulsión del cuerpo de los peces y por
simplicidad, una curva plana discreta es parametrizada como una senoide. El argumento
dependiente del tiempo es separado de la función 𝑦𝑐, descomponiendo la onda del cuerpo
en dos partes: la primera establece una secuencia de curvas independientes al tiempo
𝑦𝑐(𝑥, 𝑖)(𝑖 = 0, 1, . . . 𝑀 − 1) cuya oscilación periódica es descrita por (2.2). La segunda parte
presenta curvaturas cuya frecuencia de oscilación depende del tiempo.
26
𝑦𝑏 = (𝑐1𝑥𝑏 + 𝑐2𝑥𝑏2) sin (𝑘𝑥𝑏 +
2𝜋
𝑀𝑏𝑖) (2.2)
donde 𝑖 denota la 𝑖-ésima variable de la secuencia de curvas 𝑦𝑏(𝑥, 𝑖), 𝑀𝑏 es llamada
resolución de onda del cuerpo y está representada por el grado discreto del total de
ondas, la cual es restringida por la frecuencia máxima de los actuadores.
Debido a que el cuerpo flexible del pez se compone de segmentos, el diseño de la parte
oscilatoria de un pez artificial consiste de varias articulaciones de revolución, que se
modelan como una cadena plana de eslabones a lo largo del eje de desplazamiento del
cuerpo y las posiciones de los eslabones se ajustan mediante un análisis numérico.
El cuerpo de un pez se somete continuamente a oscilaciones flexibles en forma de onda,
ésta es discretizada en una serie de líneas rectas unidas por dos puntos durante el diseño
biomimético del robot. Debido a que existe una diferencia entre la onda del cuerpo y los
eslabones rígidos se torna difícil reproducir con exactitud el movimiento natural del pez.
Una solución a esta problemática es la búsqueda adecuada de la relación de longitud de
los eslabones (𝑙1: 𝑙2: 𝑙3). Aproximando los puntos extremos de cada uno a la onda del
cuerpo se busca minimizar la distancia transversal y hacer más estrecha la diferencia
entre las funciones. Esto es matemáticamente equivalente a minimizar la suma
comprendida entre los enlaces móviles y la onda del cuerpo. Junzhi Lu [52], realiza una
descripción de optimización numérica realizada, toma 𝑔(𝑥) como la línea recta que
interseca la onda del cuerpo 𝑓(𝑥) los puntos de intersección son 𝑃𝑖𝑛 y 𝑃𝑓𝑖𝑛
respectivamente. El área de la envolvente S entre 𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥) se describe como:
𝑆 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑓𝑥
𝑖𝑥
(2.3)
donde 𝑖𝑥 y 𝑓𝑥 son las coordenadas horizontales de 𝑃𝑖 y 𝑃𝑓 respectivamente. Del mismo
modo se realiza para los diferentes eslabones. Se tiene entonces que 𝑔𝑖𝑗(𝑥) corresponde
a la línea recta del 𝑗-esimo eslabón en el i-ésimo instante de tiempo cuando interseca a la
onda del cuerpo 𝑓𝑖𝑗(𝑥). Por lo tanto 𝑆𝑖(𝑥) es la suma del área envolvente de cada eslabón
en el i-ésimo instante de tiempo.
27
𝑆𝑖(𝑥) = ∑|𝑆𝑗|
𝑁
𝑗=1
= ∑|∫ [𝑓𝑖𝑗(𝑥) − 𝑔𝑖𝑗(𝑥)]𝑓𝑥𝑖𝑗
𝑖𝑥𝑖𝑗
| 𝑑𝑥
𝑁
𝑗=1
(2.4)
donde 𝑖𝑥𝑖𝑗 y 𝑓𝑥𝑖𝑗
son las coordenadas horizontales de los dos puntos finales del 𝑗-esimo
eslabón en el i-esimo tiempo respectivamente. El área total de la envolvente en un
periodo de oscilación 𝑆𝑠(𝑥) puede expresarse como:
𝑆𝑠(𝑥) = ∑ ∑|∫ [𝑓𝑖𝑗(𝑥) − 𝑔𝑖𝑗(𝑥)]𝑑𝑥𝑓𝑥𝑖𝑗
𝑖𝑥𝑖𝑗
|
𝑁
𝑗=1
𝑀−1
𝑖=0
(2.5)
La optimización se plantea mediante una serie de pasos matemáticos
(𝑓𝑥𝑖𝑗− 𝑖𝑥𝑖𝑗
)2+ (𝑓𝑦𝑖𝑗
− 𝑖𝑦𝑖𝑗)2
= 𝑙𝑗2
𝑓𝑖𝑗(𝑥) = (𝑐1𝑥𝑖𝑗 + 𝑐2𝑥𝑖𝑗2 ) sin (𝑘𝑥𝑖𝑗 −
2𝜋
𝑀𝑖)
𝑔𝑖𝑗(𝑥) = 𝑘𝑖𝑗𝑥 + 𝑏𝑖𝑗
𝑘𝑖𝑗 =𝑓𝑦𝑖𝑗
− 𝑖𝑦𝑖𝑗
𝑓𝑥𝑖𝑗− 𝑖𝑥𝑖𝑗
𝑏𝑖𝑗 = 𝑖𝑦𝑖𝑗− 𝑘𝑖𝑗𝑖𝑥𝑖𝑗
𝑖𝑥𝑖𝑗= 𝑖𝑦𝑖𝑗
= 0, (𝑗 = 1)
𝑖𝑥𝑖𝑗= 𝑓𝑥𝑖,𝑗−1
, (𝑗 = 2,3)
(2.6)
Dada la complejidad de (2.6), habitualmente emplean métodos computacionales como el
método rotación generalizada y la integral compuesta de Simpson en la optimización de
dichas funciones.
2.3 Modelado de vehículos marin os
El modelado de sistemas es una manera de resolver, comprender y analizar sistemas
complejos. Se aplica cuando los prototipos o la experimentación son costosos y se busca
optimizar sistemas. El modelado de vehículos marinos involucra el estudio de estática, se
refiere al equilibrio de los cuerpos en reposo o moviéndose a velocidad constante y la
dinámica la cual involucra a los cuerpo con movimiento acelerado [53].
28
Un modelo matemático es la descripción más precisa de un sistema, ya que incluye la
dinámica del vehículo marino, sistemas de propulsión y medición, las fuerzas causadas
por el viento, olas y corrientes marinas. La simulación de dicho modelo permite reconstruir
las respuestas de tiempo del sistema real, así como recrear modos de fallo, accidentes o
señales erróneas.
El estudio del movimiento de vehículos marinos con seis grados de libertad, requiere de
sus respectivas coordenadas independientes para determinar la posición y orientación de
un cuerpo rígido. Las primeras tres coordenadas y sus derivadas describen la posición y
el movimiento traslacional a lo largo de los ejes , , ,x y z así mismo las tres últimas
coordenadas y sus derivadas describen la orientación y el movimiento rotacional.
2.2.1 Cinemática de vehículos marinos
Para el análisis de movimiento de vehículos marinos con seis grados de libertad, es
conveniente definir dos sistemas de coordenadas descritos en la figura 2.3. En este caso,
el sistema de coordenadas móvil (𝑋0, 𝑌0, 𝑍0), se mantiene fijo en el cuerpo, el origen 𝑂
coincide con el centro de gravedad (CG), además los ejes del cuerpo coinciden con los
principales ejes de inercia.
Figura 2.3 Sistemas de referencia fijo al cuerpo y la tierra [54].
29
El movimiento del sistema de referencia fijo al cuerpo se describe con relación a un
sistema de referencia inercial. Para vehículos marinos se asume que las aceleraciones de
un punto de la superficie de la Tierra se pueden despreciar, ya que su movimiento apenas
afecta a los vehículos de baja velocidad, como resultado un sistema de referencia (𝑋, 𝑌, 𝑍)
puede ser considerado inercial. Esto sugiere que la posición y orientación del vehículo
deben estar descritas en relación con el sistema (𝑋, 𝑌, 𝑍), mientras que las velocidades
angular y lineal se expresan en el sistema (𝑋0, 𝑌0, 𝑍0). El movimiento general de un
vehículo marino con seis grados de libertad se describe con los vectores [55] [56]:
𝜼 = [𝜂1𝑇 , 𝜂2
𝑇]𝑇 𝜂1 = [𝑥, 𝑦, 𝑧]𝑇 𝜂2 = [𝜙, 𝜃, 𝜓]𝑇
𝕧 = [𝝂𝑇 , 𝛚𝑇] 𝝂 = [u, v, w]𝑇 𝛚 = [p, q, r]𝑇
𝓕 = [𝒇𝑇 , 𝝉𝑇] 𝒇 = [𝑋, 𝑌, 𝑍]𝑇 𝝉 = [𝐾,𝑀,𝑁]𝑇
Donde, 𝜼 denota el vector de posición y orientación con coordenadas en el sistema de
referencia fijo a la tierra, 𝕧 es el vector de velocidad lineal y angular con coordenadas en
el sistema de referencia fijo al cuerpo, 𝓕 describe las fuerzas y momentos actuando sobre
el vehículo en el sistema de referencia fijo al cuerpo.
Figura 2.4 Sistema de referencia inercial (fijo a la tierra) y sistema de referencia fijo al cuerpo [54].
30
Para derivar las ecuaciones de movimiento para un origen arbitrario en un cuerpo fijo de
rotación del sistema de coordenadas se tiene:
�� = �� + 𝜔 × 𝑐 (2.7)
Donde �� es la derivada en el sistema de referencia fijo a la tierra, �� es la derivada en el
sistema de referencia móvil, (2.7) describe la derivada respecto al tiempo de un vector
arbitrario 𝑐 en , ,X Y Z y 0 0 0, ,X Y Z . Además:
�� = �� + 𝜔 × 𝜔 = �� (2.8)
establece que la aceleración angular es igual en los sistemas de referencia (𝑋, 𝑌, 𝑍) y
(𝑋0, 𝑌0, 𝑍0).
La posición, velocidad y aceleración de un vehículo marino entre los sistemas de
referencia (𝑋0, 𝑌0, 𝑍0) y (𝑋, 𝑌, 𝑍), (Figura 2.4) se obtiene como:
𝑟𝑐 = 𝑟0 + 𝑟𝐺 (2.9)
Siendo, la velocidad del centro de gravedad
𝑣𝑐 = ��𝑐 = ��0 + ��𝐺 (2.10)
Tomando en cuenta que 𝑣0 = ��0 y si 𝑟𝐺 coincide con el origen, entonces ��𝐺 = 0, entonces:
��𝐺 = ��𝐺 + 𝜔 × 𝑟𝐺 = 𝜔 × 𝑟𝐺 (2.11)
Para el vector de velocidad se tiene el teorema de velocidades relativas:
𝑣𝑐 = 𝑣0 + 𝜔 × 𝑟𝐺 (2.12)
El vector de aceleración se puede encontrar como:
��𝑐 = ��0 + �� × 𝑟𝐺 + 𝜔 × ��𝐺 (2.13)
Resultando en:
��𝑐 = ��0 + 𝜔 × 𝑣0 + �� × 𝑟𝐺 + 𝜔 × (𝜔 × 𝑟𝐺) (2.14)
31
2.2.2 Dinámica de vehículos marinos
Con el fin de obtener las ecuaciones de movimiento para un vehículo submarino es
necesario estudiar el movimiento del cuerpo rígido, la hidrodinámica e hidrostática. Las
ecuaciones de movimiento pueden ser derivadas usando la formualacion de Newton-
Euler, la mecánica de Lagrange o vectorial, se usan para simular barcos, vehículos
submarinos y estructuras flotantes operando bajo o sobre la superficie acuática.
Para vehículos marinos es deseable derivar las ecuaciones de movimiento para un origen
arbitrario en un sistema de coordenadas local (fijo al cuerpo), de este modo se puede
tomar ventaja de las propiedades geométricas del cuerpo. En este proceso se supone: 1)
el vehículo es rígido, 2) el sistema de referencia fijo a la tierra es inercial. La primera
suposición elimina la consideración de las fuerzas actuando entre elementos de masa
individuales, la segunda, elimina las fuerzas generadas por el movimiento relativo de la
Tierra a un sistema de referencia estelar.
La formulación de Newton-Euler está basada en la segunda ley de Newton, la cual
describe la relación de la masa 𝑚, aceleración ��𝑐 y fuerza 𝑓𝑐 como:
𝑚��𝑐 = 𝑓𝑐 (2.15)
Leonhard Euler (1707-1783), sugiere expresar la segunda ley de Newton en términos de
conservación de momento angular ℎ𝑐 y lineal 𝑝𝑐, estos resultados son conocidos como
“Primer y segundo axioma de Euler
��𝑐 = 𝑓𝑐; 𝐿𝑐 = 𝑚𝜈𝑐 (2.16)
��𝑐 = 𝑚𝑐; 𝐻𝑐 = 𝐼𝑐𝜔 (2.17)
Donde 𝑓𝑐 y 𝑚𝑐 son las fuerzas y momentos expresados en el centro de gravedad del
cuerpo, 𝜔 es el vector de velocidad angular e 𝐼𝑐 es el tensor de inercia alrededor del
centro de gravedad del cuerpo.
Por lo tanto, el movimiento de un cuerpo rígido con relación a un origen con respecto a
(𝑋0, 𝑌0, 𝑍0) con origen en O esta dado por:
𝑚[�� + 𝛚 × 𝝂 + �� × 𝒓𝑮 + 𝛚 × (𝛚 × 𝒓𝑮)] = 𝒇 (2.18)
𝑰𝟎�� + 𝛚 × (𝑰𝟎𝛚) + 𝑚𝒓𝑮 × (�� + 𝛚 × 𝝂) = 𝝉 (2.19)
32
Donde 𝒓𝑮 = [𝑥𝐺 , 𝑦𝐺 , 𝑧𝐺]𝑇 es el centro de gravedad y 𝑰𝟎 es la matriz de inercia con respecto
al origen O del sistema 0 0 0, ,X Y Z tal que:
𝑰𝟎 = [
𝐼𝑥 −𝐼𝑥𝑦 −𝐼𝑥𝑧
−𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑦 −𝐼𝑦𝑧
−𝐼𝑧𝑥 −𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑧
] (2.20)
Donde 𝐼𝑥, 𝐼𝑌 e 𝐼𝑧 son los momentos de inercia alrededor de los ejes 𝑋0, 𝑌0 y 𝑍0, e
𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑦𝑥, 𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 e 𝐼𝑦𝑧 = 𝐼𝑧𝑦 son los productos de inercia. Las ecuaciones (2.18) y (2.19)
también pueden ser expresadas de una manera compacta como
𝑴𝑐�� + 𝑪𝑐(𝕧)𝕧 = 𝝉𝒄 (2.21)
donde 𝕧 = [u, v, w, p, q, r]𝑇 es el vector de velocidad lineal y angular del sistema fijo,
𝝉𝒄 = [𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝐾,𝑀,𝑁]𝑇 es el vector generalizado de fuerzas y momentos externos, 𝑴𝑐 y
𝑪𝑐(𝝂) se refieren a la matriz de inercia, matriz de términos de fuerzas centrífugas y de
Coriolis respectivamente [55]. Tal que:
𝑴𝒄 =
[ 𝑚 0 0
0 𝑚 00 0 𝑚
0 𝑚𝑧𝑔 −𝑚𝑦𝑔
−𝑚𝑧𝑔 0 𝑚𝑥𝑔
𝑚𝑦𝑔 −𝑚𝑥𝑔 0
0 −𝑚𝑧𝑔 𝑚𝑦𝑔
𝑚𝑧𝑔 0 −𝑚𝑥𝑔
−𝑚𝑦𝑔 𝑚𝑥𝑔 0
𝐼𝑥 −𝐼𝑥𝑦 −𝐼𝑥𝑧
−𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑦 −𝐼𝑦𝑧
−𝐼𝑧𝑥 −𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑧 ]
(2.22)
Y
𝑪𝑐(𝕧) =
[
0 0 00 0 00 0 0
−𝑚(𝑦𝐺𝑞 + 𝑧𝐺𝑟) 𝑚(𝑦𝐺𝑞 − 𝑤) 𝑚(𝑧𝐺𝑝 − 𝜈)
𝑚(𝑥𝐺𝑝 − 𝑤) −𝑚(𝑧𝐺𝑟 + 𝑥𝐺𝑝) 𝑚(𝑧𝐺𝑞 + 𝑢)
𝑚(𝑥𝐺𝑟 + 𝑣) 𝑚(𝑦𝐺𝑟 − 𝑢) −𝑚(𝑥𝐺𝑝 + 𝑦𝐺𝑞)
𝑚(𝑦𝐺𝑞 + 𝑧𝐺𝑟) −𝑚(𝑥𝐺𝑞 − 𝑤) −𝑚(𝑥𝐺𝑟 + 𝜈)
−𝑚(𝑦𝑔𝑝 + 𝑤) 𝑚(𝑧𝐺𝑟 + 𝑥𝐺𝑝) −𝑚(𝑦𝐺𝑟 − 𝑢)
−𝑚(𝑧𝐺𝑞 − 𝑣) −𝑚(𝑧𝐺𝑞 + 𝑢) 𝑚(𝑥𝐺𝑝 + 𝑦𝐺𝑞)0 −𝐼𝑦𝑧𝑞 − 𝐼𝑥𝑧𝑝 + 𝐼𝑧𝑟 𝐼𝑦𝑧𝑟 + 𝐼𝑥𝑦𝑝 − 𝐼𝑦𝑞
𝐼𝑦𝑧𝑞 + 𝐼𝑥𝑧𝑝 − 𝐼𝑧𝑟 0 −𝐼𝑥𝑧𝑟 − 𝐼𝑥𝑦𝑞 + 𝐼𝑥𝑝
−𝐼𝑦𝑧𝑟 − 𝐼𝑥𝑦𝑝 + 𝐼𝑦𝑞 𝐼𝑥𝑧𝑟 + 𝐼𝑥𝑦𝑞 − 𝐼𝑥𝑝 0 ]
(2.23)
33
2.2.3 Ecuaciones vectoriales de Kirchoff
Las ecuaciones de Kirchoff proporcionan el modelo de un cuerpo rígido en un fluido ideal.
Son obtenidas a partir de la suposición que el cuerpo está sumergido en un volumen
infinitamente grande, irrotacional, incompresible y no viscoso que se encuentra en el
reposo infinito. Bajo circunstancias en las cuales lo efectos viscosos son pequeños o
despreciables es común describir la dinámica dominante de un vehículo submarino [57].
Considere un vehículo marino con velocidad lineal 𝝂 = [u, v, w]𝑇 y velocidad angular
𝛚 = [p, q, r]𝑇 expresados en el sistema de coordenadas (𝑋0, 𝑌0, 𝑍0), tal que las fuerzas
𝒇 = [𝑋, 𝑌, 𝑍]𝑇 y momentos 𝝉 = [𝐾,𝑀,𝑁]𝑇, se relacionan por la energía cinética como:
𝑇 =1
2𝕧𝑻𝑴𝕧 (2.24)
Obteniendo las ecuaciones vectoriales [53]:
𝑑
𝑑𝑡(𝜕𝑇
𝜕𝝂) + 𝛚 × (
𝜕𝑇
𝜕𝝂) = 𝒇
(2.25)
𝑑
𝑑𝑡(𝜕𝑇
𝜕𝛚) + 𝛚 × (
𝜕𝑇
𝜕𝛚) + 𝝂 × (
𝜕𝑇
𝜕𝛚) = 𝝉
(2.26)
Las cuales son muy útiles en la derivación de las expresiones para los términos de inercia
virtual
2.3 Fuerzas y momentos virtuales (hidrodinámicos)
La dinámica de cuerpo rígido y los movimientos del fluido son gobernados por la acción
combinada de diferentes fuerzas y momentos externos así como la inercia de los propios
cuerpos. En dinámica de fluidos no se puede considerar que las fuerzas y momentos
actúen sobre un punto o un sistema de puntos discretos, entonces, se debe suponer una
distribución relativamente suave o de manera continua de la masa del fluido, este hecho y
la descripción cinemática del fluido en movimiento son continuas, asumiendo que la
colección discreta de partículas de fluido pueden ser analizadas de la misma manera.
Por lo general se pueden anticipar mecanismos de fuerza asociados con la inercia del
fluido, peso, tensión viscosa y efectos secundarios como tensión superficial, en general
existen tres: inercia, gravedad y viscosidad. A menudo es imposible incluir todos los
34
mecanismos de fuerza en un solo modelo matemático, por lo cual, deben ser tratado por
pares. A fin de determinar el par de fuerzas dominantes es útil estimar el orden de la
magnitud de la inercia, fuerzas y momentos viscosos así como la gravedad por separado
[58].
2.3.1 Masa e inercia virtual
Para el caso del movimiento de vehículos submarinos o un flujo alrededor de un cuerpo,
se debe tener en cuenta el efecto adicional (fuerza) que resulta del fluido que actúa sobre
la superficie. En el sentido físico, este efecto se debe al volumen de fluido desplazado por
la aceleración del cuerpo. El movimiento del vehículo obligará al fluido a oscilar con
diferentes amplitudes en fase con el movimiento armónico, sin embargo, estas amplitudes
se desintegran a lo lejos, por lo tanto pueden ser insignificantes. Entonces, la masa virtual
debe ser entendida como la presión inducida por las fuerzas y momentos debido al
movimiento armónico forzado, el cual es proporcional a la aceleración del cuerpo [53].
Para que un objeto pase a través del fluido, éste debe desplazarse por los laterales y
cerrar detrás del mismo, en consecuencia de este movimiento el fluido poseerá energía
cinética. Para vehículos completamente sumergidos se asumirá que los coeficientes de
masa virtual son constantes y por lo tanto independientes de la frecuencia de onda. Junto
con esta suposición y el concepto de energía cinética del fluido se derivan los términos de
masa virtual.
La expresión de la energía cinética del fluido puede escribirse en su forma cuadrática
como:
𝑇𝐴 =1
2𝕧𝑻𝑴𝑨𝕧 (2.27)
Dónde 𝑴𝑨 es una matriz de inercia virtual de 6 × 6:
𝑴𝑨 =
u v w p q r
u v w p q r
u v w p q r
u v w p q r
u v w p q r
u v w p q r
X X X X X X
Y Y Y Y Y Y
Z Z Z Z Z Z
K K K K K K
M M M M M M
N N N N N N
(2.28)
35
Las fuerzas y momentos virtuales pueden ser derivados aplicando la teoría del potencial.
Este método se basa en la suposición de un fluido no viscoso, sin circulación y que el
cuerpo está completamente sumergido en un fluido sin límites. Expandiendo (2.27) se
tiene:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
A u v w w w v
p q r r r q
p p p
q q q
r r r
T X u Y v Z w Y uw X uw X uv
K p M q N r M qr K r p K pq
p X u Y v Z w
q X u Y v Z w
r X u Y v Z w
(2.29)
Aplicando las ecuaciones de Kirchoff (2.25) y (2.26), las cuales relacionan la energía del
fluido a las fuerzas y momentos que actúan sobre el vehículo [53], [59], se tiene:
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑢= 𝑟
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝜈− 𝑞
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑤− 𝑋𝐴
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝜈= 𝑝
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑤− 𝑟
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑢− 𝑌𝐴
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇𝐴
𝑤= 𝑞
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑢− 𝑝
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝜈− 𝑍𝐴
(2.30)
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑝= 𝑤
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑣− 𝜈
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑤+ 𝑟
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑞− 𝑞
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑟− 𝐾𝐴
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑢= 𝑢
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑤− 𝑤
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑢+ 𝑝
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑟− 𝑟
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑝− 𝑀𝐴
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑢= 𝜈
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑢− 𝑢
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝜈+ 𝑞
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑝− 𝑝
𝜕𝑇𝐴
𝜕𝑞− 𝑁𝐴
Como en la dinámica del cuerpo rígido es deseable separar las fuerzas y momentos
virtuales en términos que pertenecen a una matriz de inercia virtual 𝑴𝑨, (2.28) y una
matriz de términos de fuerzas centrifugas y de Coriolis 𝑪𝑨(𝝂):
36
𝑪𝑨(𝝂) =
3 2
3 1
2 1
3 2 3 2
3 1 3 1
2 1 2 1
0 0 0 0 a a
0 0 0 a 0 a
0 0 0 a a 0
0 a a 0 b b
a 0 a b 0 b
a a 0 b b 0
(2.31)
Dónde:
1 u v w p q r
2 v v w p q r
3 w w w p q r
1 p p p p q r
2 q q q q q r
3 r r r r r r
X X X X X X
X Y Y Y Y Y
X Y Z Z Z Z
X Y Z K K K
X Y Z K M M
X Y Z K M N
a u v w p q r
a u v w p q r
a u v w p q r
b u v w p q r
b u v w p q r
b u v w p q r
(2.32)
2.3.2 Amortiguamiento hidrodinámico
El amortiguamiento hidrodinámico es causado principalmente por la radiación inducida,
fricción superficial, derivación de olas, el desprendimiento de vórtices y fuerzas de empuje
[54]. En general, el amortiguamiento de vehículos completamente sumergidos con
velocidades altas son no lineales y acopladas. Sin embargo, una buena aproximación
supone que el vehículo desarrolla un movimiento no acoplado, tiene tres planos de
simetría y que los términos superiores de segundo orden son despreciables. Esto sugiere
una estructura diagonal para la matriz 𝑫(𝝂) con términos lineales
𝑫(𝝂) = −diag(𝑋𝑢, 𝑌𝑣 , 𝑍𝑤 , 𝐾𝑝,𝑀𝑞 , 𝑁𝑟) (2.33)
Tabla 2.2 Tipos de Amortiguamiento hidrodinámico.
Amortiguamiento Descripción
Potencial Se encuentra cuando un cuerpo es forzado a oscilar con una
frecuencia de onda de excitación en ausencia de ondas
incidentes. El término amortiguamiento por radiación inducida
37
se refiere a la amortiguación potencial dependiente de la
frecuencia lineal.
Fricción superficial Es importante cuando se considera el movimiento de vehículos
marinos a frecuencia baja. La fricción superficial dependiente
de la frecuencia lineal se deriva de la teoría laminar de capa
límite.
Olas derivadas Resistencia añadida para barcos que avanzan en olas. Este
tipo de amortiguamiento se deriva de la teoría de olas de
segundo orden.
Desprendimiento de
vórtices
La paradoja de D’Alembert establece que no hay fuerzas
hidrodinámicas actuando sobre un sólido completamente
sumergido que se mueve a velocidad constante en un fluido no
viscoso. En un fluido viscoso las fuerzas de fricción están
presentes, tal que el sistema es no conservativo con respecto
a la energía.
Fuerzas de empuje Son causadas por la circulación lineal del agua alrededor del
cuerpo y el arrastre de flujo transversal, este actúa a partir de
una transferencia de momento desde el cuerpo al fluido, está
estrechamente relacionado con el desprendimiento de vórtices
2.3.3 Ecuaciones de movimiento para vehículos marinos
La teoría de maniobra se basa en el estudio de vehículos submarinos desplazándose a
velocidad constante en aguas calmadas, donde los coeficientes hidrodinámicos son
independientes de la frecuencia (no hay ola de excitación). El modelo es obtenido
suponiendo que la masa virtual y el amortiguamiento pueden ser representados usando
las derivadas hidrodinámicas (parámetros constantes).
El modelo clásico resulta del desarrollo y posterior combinación de (2.18), (2.19) y (2.30),
obteniendo las componentes de las fuerzas. Con el fin de explotar las propiedades físicas
de los modelos, las ecuaciones de movimiento se representan en forma vectorial
reduciendo de este modo el número de coeficientes necesarios para el control. Cabe
señalar que estos modelos permiten la manipulación algebraica además de las ventajas
computacionales que representan por el uso de matrices.
38
2.4 Ecuaciones de Kane en sistemas multicuerpo
La dinámica de sistemas multicuerpo ha emergido como una nueva disciplina en
mecánica aplicada. Derivado del rápido desarrollo tecnológico, ha sido reconocida como
una herramienta importante en el diseño y simulación, además, forma parte esencial de la
dinámica computacional específicamente la cinemática y dinámica de sistemas de cuerpo
rígido o flexible. Por otra parte, el esfuerzo principal de las investigaciones se concentra
en desarrollar las ecuaciones de manera automática y la solución numérica adecuada
para predecir el comportamiento del sistema, o para su manipulación simbólica [60], [61].
Los formalismos de Newton-Euler (N-E) para la obtención de las ecuaciones de
movimiento no resultan atractivos pues requieren el cálculo de todas las fuerzas y
momentos de restricción, mientras que métodos basados en energía como Euler-
Lagrange (E-L) desprecian estas fuerzas ya que no contribuyen al trabajo total
desarrollado, sin embargo, implica obtener la derivada de la energía potencial y cinética
de todos los eslabones con respecto a las velocidades y coordenadas generalizadas del
sistema, la cual combinada con la naturaleza no lineal de la relación entre el giro de cada
cuerpo y las coordenadas resulta en una implementación poco práctica [62]. La
formulación de las ecuaciones de movimiento de sistemas multicuerpo puede ser obtenida
por diferentes métodos, sin embargo algunos son más eficientes que otros. En este
sentido, las ecuaciones de Kane, que buscan obtener las ventajas de estos métodos que
hacen uso de las fuerzas generalizadas que eliminan la necesidad de examinar las
fuerzas interactivas y de restricción, además el diferenciador requerido para calcular
velocidades y aceleraciones, pueden ser obtenidas mediante algoritmos basados en
productos vectoriales [63]. Se caracterizan por cálculos relativamente fáciles y su
eficiencia computacional, es decir, pocas operaciones simbólicas y menor cantidad de
operaciones numéricas para su solución [64].
2.4.1 Ecuaciones de movimiento
Considere el movimiento de un sistema 𝑆 de 𝑝 partículas 𝑃1, . . . 𝑃𝑝 ({𝑆} = {𝑃1, . . . 𝑃𝑝}) en un
sistema de referencia inercial 𝑅∗. La ecuación de la 𝑖–ésima partícula es
𝑭𝒊 = 𝑚𝑖𝐚𝒊 (2.34)
39
Donde 𝑭𝒊 es la resultante de todas las fuerzas de contacto actuando sobre 𝑃𝑖, 𝑚𝑖 es la
masa de la partícula 𝑃𝑖 en 𝑅∗. La ecuación (2.34) es la expresión de la segunda ley de
Newton. La fuerza de inercia 𝑭𝐢𝐧 𝒊 para 𝑃𝑖 en 𝑅∗ es definida como:
𝑭𝐢𝐧 𝒊 = −𝑚𝑖𝐚𝒊 (2.35)
Entonces (2.34) puede escribirse como
𝑭𝒊 + 𝑭𝐢𝐧 𝒊 = 𝟎 (2.36)
La ecuación (2.36) es la expresión del principio de D’Alembert.
Si 𝑆 es un sistema holonómico, posee 𝑛 grados de libertad controlados, entonces la
posición del vector 𝒓𝒊 de 𝑃𝑖 relativa al punto fijo 𝑂 en un sistema de referencia 𝑅∗es
expresada como una función vectorial de 𝑛 coordenadas generalizadas 𝑞1, . . . 𝑞𝑛 y el
tiempo 𝑡:
𝐫𝒊 = 𝐫𝒊(𝑞1, . . . 𝑞𝑛, 𝑡)
La velocidad 𝐯𝒊 de 𝑃𝑖 en 𝑅∗ tiene forma
𝐯𝒊 = ∑𝜕𝐫𝒊𝜕𝑞𝑟
𝑛
r=1
𝜕𝑞𝑟
𝜕𝑡+
𝜕𝐫𝒊𝜕𝑡
(2.37)
que puede reescribirse como:
𝐯𝒊 = ∑(𝐯𝒊)𝑟��𝑟 +𝜕𝐫𝒊𝜕𝑡
𝑛
r=1
(2.38)
Donde (𝐯𝒊)𝑟 es llamada la 𝑟-ésima velocidad parcial de 𝑃𝑖 en 𝑅∗ y es definida como:
(𝐯𝒊)𝑟 =𝜕𝐫𝒊𝜕𝑞𝑟
=𝜕𝐯𝒊
𝜕��𝑟
(2.39)
Si las fuerzas activas generalizadas 𝑄𝑟 y las fuerzas de inercia generalizadas 𝐾in 𝑟 son
definidas como
𝑄𝑟 = ∑(𝐯𝒊)𝑟 ∙ 𝑭𝒊 =
v
𝑖=1
∑𝜕𝐫𝒊𝜕𝑞𝑟
v
𝑖=0
∙ 𝑭𝒊 (2.40)
40
Y
𝐾in 𝑟 = ∑(𝐯𝒊)𝑟 ∙ 𝑭𝐢𝐧 𝒊 =
v
𝑖=1
∑𝜕𝐫𝒊𝜕𝑞𝑟
v
𝑖=0
∙ 𝑭𝐢𝐧 𝒊 (2.41)
Entonces la ecuación (2.36) puede escribirse como
𝑄𝑟 + 𝐾in 𝑟 = 0, r = 1, . . . , 𝑛 (2.42)
Siendo (2.42) las ecuaciones dinámicas de Kane.
2.5 Teoría de Regulación
Una de las funciones primarias de un sistema de control es la regulación de la salida, es
decir, minimizar o eliminar el efecto de las perturbaciones no decrecientes de la planta.
Otra función estrechamente relacionada con la regulación es el seguimiento de salida, en
este sentido, el sistema de control se asegura que la salida de la planta sigue una señal
de referencia con mínimo o error cero en estado estable [65]. En el caso que la señal de
referencia sea una función de Bohl (sinusoidal, rampa o escalón) puede ser generada por
algún modelo dinámico, específicamente, se puede establecer un sistema autónomo lineal
e invariante en el tiempo, de manera que, para algún estado inicial apropiado tenga la
señal de referencia como salida. Se debe tener en cuenta que la frecuencia de esta señal
de referencia es fijada por la dinámica del sistema autónomo (exosistema), mientras que
la fase y amplitud se determina por las condiciones iniciales [66].
El seguimiento de señales referencia, al menos de manera asintótica, es un tema
importante en la teoría de sistemas. Aunque existen diversos enfoques, la teoría de
regulación permite seguir señales referencias y estabilizar el sistema en lazo cerrado, sin
la presencia de señales externas. Básicamente, problema de regulación para un sistema
afectado por una perturbación y/o una señal de referencia, consiste en encontrar un
controlador retroalimentado por el estado o el error tal que el punto de equilibrio del
sistema en lazo cerrado sin señales externas es asintóticamente estable y el error de
seguimiento tiende a cero cuando el sistema se encuentra bajo la influencia del
exosistema [67].
Francis [68] proporciona la solución al problema de regulación lineal, siendo equivalente a
resolver un de ecuaciones matriciales, (ecuaciones de Francis). También define la
41
solución para un regulador lineal robusto, es decir, un controlador capaz de mantener las
propiedades de regulación a pesar de las variaciones del sistema, el cual puede
conseguirse mediante el uso de un controlado dinámico que contiene un modelo interno,
generalmente el del exosistema. Isidori y Byrnes [69] extendieron dichos resultados a su
forma no lineal, demostraron que el regulador no lineal puede ser obtenido a través de un
conjunto de ecuaciones diferenciales parciales, conocidas como las ecuaciones de
Francis-Isidori-Byrnes (FIB). En este caso, se demostró la inclusión del modelo interno
como una condición necesaria para garantizar la robustez con respecto a la variación de
parámetros.
Considerando el sistema no lineal:
��(𝑡) = 𝒇(𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡),𝝕(𝑡)) (2.43)
𝒚(𝑡) = 𝒄(𝒙(𝑡)) (2.44)
��(𝑡) = 𝒔(𝝕(𝑡)) (2.45)
𝒚𝐫𝐞𝐟(𝑡) = 𝒒(𝝕(𝑡)) (2.46)
𝒆(𝑡) = 𝒉(𝒙(𝑡),𝝕(𝑡)) (2.47)
dónde: 𝒙(𝑡) ∈ ℝ𝑛 es el vector de estados de la planta, 𝝕 ∈ 𝑊 ⊂ ℝ𝑝 es el vector de
estados del exosistema, 𝒖(𝑡) ∈ ℝ𝑚 es la señal de entradas. La ecuación (2.47) hace
referencia a la diferencia entre la salida de la planta (𝒚(𝑡) ∈ ℝ𝑚) y la señal de referencia
(𝒚𝐫𝐞𝐟(𝑡) ∈ ℝ𝑚), siendo 𝒉(𝒙(𝑡),𝝕(𝑡)) = 𝒚(𝑡) − 𝒚𝐫𝐞𝐟(𝑡) = 𝒄(𝒙(𝑡)) − 𝒒(𝝕(𝑡)). Linealizando
(2.43)-(2.47) en 𝒙 = 𝟎 se obtiene:
��(𝑡) = 𝑨𝒙(𝑡) + 𝑩𝒖(𝑡) + 𝑷𝝎(𝑡) (2.48)
𝒚(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡) (2.49)
��(𝑡) = 𝑺𝝕(𝑡) (2.50)
𝒚𝐫𝐞𝐟(𝑡) = 𝑸𝝕(𝑡) (2.51)
42
𝒆(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡) − 𝑸𝝕(𝑡) (2.52)
Entonces, el problema de regulación no lineal [69] consiste en encontrar una ley de
control 𝒖(𝑡) = 𝜶(𝒙(𝑡),𝝕(𝑡)), tal que el sistema en lazo cerrado ��(𝑡) = 𝑨𝒙(𝑡) + 𝑩𝜶(𝒙(𝑡), 𝟎)
tiene un punto de equilibrio asintóticamente estable y la solución de(2.48)-(2.52) satisface
lim𝑡→∞ 𝒆(𝒕) = 𝟎.
Definiendo 𝝅(𝝕(𝑡)) como el error en estado estacionario y 𝜸(𝝕(𝑡)) como las entradas en
estado estacionario, es posible establecer las condiciones para la solución del problema
de regulación no lineal:
Teorema 1: suponga que ��(𝒕) = 𝒔(𝝕(𝑡)) es Poisson estable, que existe la ganancia 𝑲
tal que la matriz 𝑨 + 𝑩𝑲 es estable y existen los mapeos 𝒙𝒔𝒔(𝑡) = 𝝅(𝝕(𝑡)) y
𝒖𝒔𝒔 = 𝜸(𝝕(𝑡)) con 𝝅(𝟎) = 𝟎 y 𝜸(𝟎) = 𝟎, satisfacen
𝝏𝝅(𝝕(𝑡))
𝝏𝝕(𝑡)𝒔(𝝕(𝑡)) = 𝒇 (𝝅(𝝕(𝑡)),𝝕(𝑡), 𝜸(𝝕(𝑡)))
𝟎 = 𝒉(𝝅(𝝕(𝑡)),𝝕(𝑡))
(2.53)
Entonces, la señal de control del regulador para el sistema no lineal está dado por:
𝒖(𝒕) = 𝑲(𝒙(𝒕) − 𝝅(𝝕(𝒕))) + 𝜸(𝝕(𝒕)) (2.54)
Siendo (2.53) las ecuaciones de Francis-Isidori-Byrnes (FIB). La contra parte lineal se
obtiene cuando 𝒙𝒔𝒔(𝑡) = 𝝅(𝝕(𝑡)) y 𝒖𝒔𝒔(𝑡) = 𝜸(𝝕(𝑡)) se convierten en 𝒙𝒔𝒔(𝑡) = 𝚷𝝕(𝑡) y
𝒖𝒔𝒔(𝑡) = 𝚪𝝎(𝑡) respectivamente. Entonces el problema de regulación lineal se reduce a
resolver las ecuaciones de Francis [68]:
𝚷𝑺 = 𝑨𝚷 + 𝑩𝚪 + 𝑷
𝟎 = 𝑪𝚷 − 𝑸
(2.55)
2.6 Modelo difuso Takagi-Sugeno
En la práctica, muchos sistemas físicos son muy complejos, de manera que, es muy difícil
obtener sus modelos matemáticos rigurosos. En este sentido es los últimos años se ha
empleado la lógica difusa en la ingeniería de control y en el modelado de sistemas. El
43
modelo difuso Takagi-Sugeno (T-S) [70], de un sistema se obtiene mediante un conjunto
de subsistemas locales lineales que aproximan el sistema no lineal, de esta manera se
pueden abarcar una gama amplia de sistemas no lineales.
Para construir el modelo difuso de sistemas mecánicos a partir de aproximaciones
locales, generalmente se utilizan las ecuaciones no lineales del sistema, las cuales
pueden ser obtenidas a partir de los formalismos de Lagrange, Newton-Euler o Kane,
entre otros [71], se tiene entonces que el modelo difuso T-S puede ser descrito por la
forma:
𝑅𝑖 Si 𝑧1(𝑡) es 𝑀1𝑖 𝑦 …𝑦 𝑧𝑟(𝑡) es 𝑀𝑝
𝑖
Entonces
��(𝑡) = 𝑨𝒊𝒙(𝑡) + 𝑩𝒊𝒖(𝑡) + 𝑷𝒊𝝕(𝑡)
��(𝑡) = 𝑺𝝕(𝑡)
𝒆(𝑡) = 𝑪𝒊𝒙(𝑡) − 𝑸𝝕(𝑡)
𝑖 = 1,2,… , 𝑟
(2.56)
Donde 𝑟 es el número de reglas en el modelo y 𝑀𝑗𝑖 son los conjuntos difusos definidos
sobre las bases de conocimiento del sistema. Además se asume que las matrices,
𝑨𝒊, 𝑩𝒊, 𝑷𝒊, 𝑪𝒊, 𝑺 y 𝑸 son obtenidas a través de la linealización de sistema no lineal sobre
algunos puntos de operación apropiados (𝑥, 𝑢, 𝜛) = (𝑥𝑖 , 𝑢𝑖, 𝜛𝑖), es decir:
𝑨𝒊 =𝜕𝒇(𝒙, 𝒖, 𝝕)
𝜕𝒙|(𝒙𝒊,𝒖𝒊,𝝕𝒊)
𝑩𝒊 =𝜕𝒇(𝒙, 𝒖,𝝕)
𝜕𝒖|(𝒙𝒊,𝒖𝒊,𝝕𝒊)
𝑷𝒊 =𝜕𝒇(𝒙, 𝒖,𝝕)
𝜕𝝕|(𝒙𝒊,𝒖𝒊,𝝕𝒊)
𝑪𝒊 =𝜕ℎ(𝒙,𝝕)
𝜕𝒙|(𝒙𝒊,𝝕𝒊)
𝑺 =𝜕𝒔(𝝕)
𝜕𝝕|(𝝕𝒊)
𝑸 =𝜕ℎ(𝒙,𝝕)
𝜕𝝕|(𝒙𝒊,𝝕𝒊)
Entonces, el modelo difuso T-S puede ser representado como [72]:
��(𝒕) = ∑ℎ𝑖(𝑧(𝑡))
𝑟
𝑖=1
{𝑨𝒊𝒙(𝑡) + 𝑩𝒊𝒖(𝑡) + 𝑷𝒊𝝕(𝑡)}
(2.57)
44
��(𝒕) = 𝑺𝝕(𝒕)
𝒆(𝒕) = ∑ℎ𝑖(𝑧(𝑡))
𝑟
𝑖=1
𝑪𝒊𝒙(𝒕) − 𝑸𝝕(𝒕)
Donde ℎ𝑖(𝑧(𝑡)) es el peso normalizado para cada regla calculada a partir de las funciones
de membresía de 𝑧𝑗(𝑡) en 𝑀𝑗𝑖 satisfaciendo:
𝜇𝑖(𝑧(𝑡)) = ∏𝑀𝑗𝑖(𝑧(𝑡))
𝑝
𝑗=1
ℎ𝑖(𝑧(𝑡)) =𝜇𝑖(𝑧(𝑡))
∑ 𝜇𝑖(𝑧(𝑡))𝑟𝑖=1
∑ℎ𝑖(𝑧(𝑡))
𝑟
𝑖=1
= 1
ℎ𝑖(𝑧(𝑡)) ≥ 0
(2.58)
Con 𝑧(𝑡) = [𝑧1(𝑡), 𝑧2(𝑡), … , 𝑧𝑝(𝑡)] como función de 𝑥(𝑡), 𝑖 = 1, . . . , 𝑟 y 𝑗 = 1, . . . , 𝑝.
2.7 Regulación difusa
En el diseño de sistemas de control clásico y moderno, el primer paso es establecer un
modelo matemático adecuado que describa el desempeño de la planta. Sin embargo, en
situaciones prácticas tal requisito no es suficiente debido a las no linealidades sin
modelar, o porque las ecuaciones diferenciales son insuficientes para representar el
sistema físico, por lo tanto, el controlador diseñado no puede garantizar un buen
desempeño, tales como la estabilidad y la robustez. Por esta razón, en los últimos años el
control lógico difuso ha surgido como un método alternativo a las técnicas de control
convencionales para sistemas no lineales complejos, esto debido, a que la lógica difusa
combina el razonamiento heurístico humano y la experiencia del experto para aproximar
el desempeño de una función determinada [70], [73].
El problema de regulación no lineal (2.53) es un conjunto de ecuaciones diferenciales
parciales, las cuales dependen del grado de complejidad de la planta y/o el exosistema y
cuya solución resulta en algunos casos imposible. En este sentido, los modelos difusos
T-S resultan una alternativa para resolver el problema de regulación no lineal.
45
Entonces, el problema de regulación difusa es definido por Meda [74] como la búsqueda
de una ley de control :
𝒖(𝑡) = 𝜶(𝒙(𝑡),𝝕(𝑡)) (2.59)
Tal que, el punto de equilibrio 𝒙(𝑡) = 𝟎 del sistema en lazo cerrado sin una señal externa:
��(𝑡) = ∑ℎ𝑖(𝑧(𝑡))
𝑟
𝑖=1
[𝑨𝒊𝒙(𝑡) + 𝑩𝒊𝜶(𝒙(𝑡), 𝟎)] (2.60)
es asintóticamente estable. Y, la solución del sistema (2.57) en lazo cerrado y satisface
lim𝑡→∞ 𝒆 = 𝟎 cuando la planta se encuentra bajo la influencia del exosistema.
El controlador difuso global deseado se representa como [75]:
𝒖(𝑡) = ∑ℎ𝑖
𝑟
𝑖=1
(𝑧(𝑡))𝑲𝒊[𝒙(𝑡) − 𝝅(𝝕(𝑡))] + 𝜸(𝝕(𝑡))
(2.61)
Considerando que las aproximaciones para las asignaciones 𝝅(𝝕(𝑡)) y 𝜸(𝝕(𝑡)) pueden
obtenerse como:
��(𝝕(𝑡)) = ∑ℎ𝑖
𝑟
𝑖=1
(𝑧(𝑡))𝚷𝑖𝝕(𝑡) (2.62)
��(𝝕(𝑡)) = ∑ℎ𝑖
𝑟
𝑖=1
(𝑧(𝑡))𝚪𝒊𝝕(𝑡) (2.63)
entonces, el problema de regulación difusa requiere obtener Π𝑖 y Γ𝑖 de los 𝑟 reguladores
lineales locales incluidos en (2.57) y definidos como:
𝚷𝒊𝑺 = 𝑨𝒊𝚷𝒊 + 𝑩𝒊𝚪𝒊 + 𝑷𝒊
𝟎 = 𝑪𝒊𝚷𝒊 − 𝑸
(2.64)
para 𝑟 = 1. . . 𝑟. Obteniendo el controlador:
𝒖(𝒕) = ∑ℎ𝑖(𝑧(𝑡))
𝑟
𝑖=1
𝑲𝒊 [𝒙(𝑡) − ∑ℎ𝑖(𝑧(𝑡))𝚷𝒊𝝕(𝑡)
𝑟
𝑖=1
] + ∑ℎ𝑖(𝑧(𝑡))𝚪𝒊𝝕(𝑡)
𝑟
𝑖=1
(2.65)
46
Capítulo 3. Diseño Conceptual
Introducción
En recientes años el diseño de robots, mecanismos, vehículos espaciales y diversos tipos
de maquinaria entre otros, resultan en sistemas complejos derivado de la interacción de
sus componentes que se encuentran interconectados por juntas, resortes o actuadores.
Aunado a las exigencias de sus aplicaciones (incremento en la velocidad para realizar sus
tareas) se ha vuelto imprescindible determinar su comportamiento dinámico. En este
sentido, ha surgido la dinámica multicuerpo como parte de la mecánica computacional
que busca fusionar diferentes disciplinas a fin de proporcionar métodos y herramientas
para desarrollar prototipos virtuales de sistemas mecánicos complejos.
3.1 Diseño conceptual del pez robot
En la búsqueda por desarrollar nuevas tecnologías y de mejorar las convencionales de
forma eficiente, se ha optado por construir sistemas de ingeniería que reflejan
características y capacidades de la evolución y la selección natural. Aunque la biología y
la ingeniería son muy diferentes, ambas coinciden en la búsqueda de soluciones a
problemas técnicos. Sin embargo, la transferencia de un concepto o mecanismo de un
organismo vivo a un sistema robótico no es trivial, rara vez una réplica simple de un
organismo biológico tiene éxito incluso con ayuda de la tecnología moderna. Por lo tanto,
es necesario un procedimiento de interpretación o traducción de la biología a la
tecnología, la cual es posible gracias al descubrimiento de los principios generales detrás
del funcionamiento, sólo entonces el principio bilógico estará disponible para su uso en la
biomimética.
La imaginación es más importante que el conocimiento
Albert Einstein
47
En años recientes el estudio de nuevas tecnologías marinas ha llevado a desarrollar
plataformas acuáticas bioinspiradas capaces de imitar con naturalidad los movimientos de
organismos biológicos (peces, anguilas, atunes, etc.) desarrollando mecanismos de
propulsión eficientes y maniobrables. Estos modelos son representados como una cadena
de elementos rígidos unidos por juntas, caracterizado el nado ondulatorio de los
organismos. En este sentido, el diseño de un pez robot involucra establecer parámetros
morfológicos, cinemáticos y dinámicos entre otros, que permitan establecer un modelo
teórico cuyas simulaciones y evaluaciones conlleven a obtener el sistema robótico
deseado.
Figura 3.1 Estructura de diseño de un pez robot
Durante el proceso de diseño del sistema de locomoción biomimético se ajustan los
parámetros continuamente hasta obtener un modelo adecuado para su construcción.
Entre mayor sea la aproximación a la onda del cuerpo se observará la eficiencia del
Características morfológicas
Modelo de referencia de un pez biológico
Modelo morfológico Modelo cinemático
Estructura y forma Modelo de nado
Modelo teórico del pez robot A
Simulación dinámica
Prototipo de pez robot
A Desempe
ño
Desempeño
48
diseño. Diversos investigadores como Junzhi Yu [52], Sfakiotakis [45], Barret [76]
Sparenberg [77], proponen cuatro parámetros importantes en el diseño de la parte
oscilatoria del pez.
1) La relación de longitud de la parte oscilatoria del pez a la del cuerpo (𝑅𝑙). Cuando
ésta decrece la eficiencia de la propulsión y velocidad aumentan pero se reduce la
maniobrabilidad.
2) Cuando se incrementa el número de eslabones 𝑁 resulta un incremento en la
flexibilidad del cuerpo del pez, una reducción del error de curvatura y se obtiene
una mejora en la maniobrabilidad pero la eficiencia de la natación decrece.
3) La relación entre la longitud de los eslabones de la parte oscilatoria 𝑙1: 𝑙2: 𝑙3
determina el grado con el cual se puede tomar forma a la onda de la ecuación
(2.1).
4) La forma de la aleta caudal es importante en la eficiencia ya que es la fuente
principal de propulsión en el modo caranguiforme, generalmente se construye de
un material rígido.
3.2 Cinemática del pez robot
Una gran variedad de sistemas de ingeniería como manipuladores, robots o mecanismos
pueden ser modelados como sistemas multicuerpo [63], [78], [79], ya que pueden ser
definidos como una serie de cuerpos interconectados con elementos restrictivos como
amortiguadores, juntas, resortes, actuadores los cuales se desempeñan bajo las fuerzas
externas e internas. En el estudio de la dinámica multicuerpo, un conjunto de
coordenadas generalizadas son utilizadas para describir la orientación del cuerpo rígido
con respecto de un sistema de referencia fijo. La selección apropiada de los sistemas de
referencia permite tener expresiones simples de velocidad y aceleración así como
algoritmos rápidos para derivar las ecuaciones de movimiento.
Para obtener la cinemática de la cadena abierta se deben considerar los sistemas de
referencia 𝑅𝑘∗ con 𝑘 = 1,2,3,4, para identificar los eslabones y la aleta caudal.
49
Figura 3.2 Pez robot (Cadena eslabonada)
Se tiene entonces que la posición de los centros de gravedad de los eslabones respecto
al sistema 𝑅1∗ estará dada por:
𝒓𝑮𝒌= (∑𝒑𝑘
𝑇[𝑺𝑖−1,0] + 𝒓𝑘𝑇[𝑺𝑘0]
𝑘
𝑖=1
)𝒏
(3.1)
donde 𝒏 = [X1 Y1 Z1] sistema de referencia fijo al eslabón uno.
Los vectores de posición están determinados como:
𝒓𝑮𝟏= (𝒓1
𝑇[𝑺10])𝒏 (3.2)
𝒓𝑮𝟐= (𝒑2
𝑇[𝑺10]+𝒓2𝑇[𝑺20])𝒏 (3.3)
𝒓𝑮𝟑= (𝒑2
𝑇[𝑺10]+𝒑3𝑇[𝑺20] + 𝒓3
𝑇[𝑺30])𝒏 (3.4)
𝒓𝑮𝟒= (𝒑2
𝑇[𝑺10] + 𝒑3𝑇[𝑺20] + 𝒑4
𝑇[𝑺30] + 𝒓4𝑇[𝑺40])𝒏 (3.5)
Donde 𝒑𝑘 ∈ ℝ3 y 𝒓𝑘 ∈ ℝ3 están definidos en el anexo B.1, las matrices [𝑺𝑘0] ∈ ℝ3×3 anexo
B.3 respectivamente.
Para definir la velocidad del centro de masa es necesario determinar la derivada respecto
al tiempo de la posición 𝒓𝑮𝒌, teniendo en cuenta las velocidades lineales del pez robot se
tiene:
50
𝐯𝑮𝑘= 𝝂 +
𝑑
𝑑𝑡𝒓𝑮𝒌
= (∑𝒚𝑇
𝑘
𝑖=1
[𝑺𝑝𝑖][𝑺𝑖−1,0] + 𝒚𝑇[𝑺𝑟𝑘
][𝑺𝑘0])𝒏
(3.6)
donde 𝝂 ∈ ℝ3 es el vector de velocidades lineales del sistema de referencia fijo al cuerpo,
𝐲𝑇 ∈ ℝ3 (anexo B.6) determina las coordenadas de las velocidades generalizadas,
[𝑺𝑝𝑘] ∈ ℝ3×3 y [𝑺𝑟𝑘
] ∈ ℝ3×3 (anexo B.2) son la matriz antisimétrica de los vectores
𝒑𝑘𝑇 ∈ ℝ3 y 𝒓𝑘
𝑇 ∈ ℝ3 respectivamente.
La expresión (3.6) puede representarse de manera compacta mediante la factorización de
las derivadas de las coordenadas generalizadas, entonces:
𝐯𝑮𝑘= (𝝂 + 𝐲𝑇[𝑽𝑘])𝒏 (3.7)
Donde [𝑽𝑘] ∈ ℝ3𝑘×3 (anexo B.5) es conocida como la matriz de velocidades parciales de
𝐯𝑮𝑘 en el sistema de referencia fijo al cuerpo del robot, la cual es asociada al vector de
velocidades generalizadas 𝐲. Las velocidades de los eslabones 𝑗 = 1,2,3,4 se calculan
como:
𝐯𝑮1= [u1, v1, 0]𝑇 = (𝝂 + 𝐲𝑇[𝑽1])𝒏 (3.8)
𝐯𝑮2= [u2, v2, 0]𝑇 = (𝝂 + 𝐲𝑇[𝑽2])𝒏 (3.9)
𝐯𝑮3= [u3, v3, 0]𝑇 = (𝝂 + 𝐲𝑇[𝑽3])𝒏 (3.10)
𝐯𝑮4= [u4, v4, 0]𝑇 = (𝝂 + 𝐲𝑇[𝑽4])𝒏 (3.11)
La velocidad angular del 𝑘-ésimo cuerpo se obtienen de manera matricial como:
��𝑘 = (��𝑇[𝛀𝑘])𝒏 (3.12)
donde la dimensión de �� y 𝛀𝑘 depende del número de cuerpos y de la cantidad de
coordenadas generalizadas usadas,
��1 = (��𝑇[𝛀1])𝒏 (3.13)
��2 = (��𝑇[𝛀2])𝒏 (3.14)
��3 = (��𝑇[𝛀3])𝒏 (3.15)
51
��4 = (��𝑇[𝛀4])𝒏 (3.16)
donde [𝛀𝑘] es la matriz de velocidades angulares generalizadas (anexo B.7).
Del mismo modo la aceleración del centro de masa se calcula derivando (3.6) respecto al
tiempo:
𝐚𝐺𝑘= ��𝐺𝑘
=𝑑
𝑑𝑡𝐯𝐺𝑘
= (�� + ��𝑇[𝑽𝑘] + 𝒚𝑇[��𝑘])𝒏 (3.17)
donde {��} está asociada al vector de aceleraciones generalizadas, [��𝑘] ∈ ℝ3𝑘×3 es la
matriz de aceleraciones parciales, la aceleración para los cuatro eslabones se determina
como:
𝐚𝐺1= [u1, v1, 0]𝑇 = (�� + ��𝑇[𝑽1] + 𝐲𝑇[��1])𝒏 (3.18)
𝐚𝐺2= [u2, v2, 0]𝑇 = (�� + ��𝑇[𝑽2] + 𝐲𝑇[��2])𝒏 (3.19)
𝐚𝐺3= [u3, v3, 0]𝑇 = (�� + ��𝑇[𝑽3] + 𝐲𝑇[��3])𝒏 (3.20)
𝐚𝐺4= [u4, v4, 0]𝑇 = (�� + ��𝑇[𝑽4] + 𝐲𝑇[��4])𝒏 (3.21)
La aceleración angular en un sistema multicuerpo se obtiene al derivar (3.12) con respeto
al tiempo, entonces:
𝜶𝐺𝑘= (��𝑇[𝛀𝑘] + ��𝑇[��𝑘])𝒏 (3.22)
donde [��𝑘] es la derivada con respecto al tiempo de la matriz de velocidades angulares,
las aceleraciones angulares correspondientes a los cuatro eslabones se escriben como:
𝜶𝐺1= (��𝑇[𝛀1] + ��𝑇[��1])𝒏 (3.23)
𝜶𝐺2= (��𝑇[𝛀2] + ��𝑇[��2])𝒏 (3.24)
𝜶𝐺3= (��𝑇[𝛀3] + ��𝑇[��3])𝒏 (3.25)
𝜶𝐺4= (��𝑇[𝛀4] + ��𝑇[��4])𝒏 (3.26)
El interés principal es usar las expresiones cinemáticas desarrolladas en la formulación de
las ecuaciones dinámicas
52
3.3 Análisis dinámico del pez robot
Como ya se ha establecido, el pez robot se puede dividir en dos partes principalmente, el
cuerpo rígido (cabeza) y la parte flexible (eslabones). Por otro lado, para analizar su
movimiento en el sistema de referencia inercial es necesario obtener las ecuaciones
dinámicas con variables de salida [u, v, r], que determinan la velocidad longitudinal, lateral
y de cabeceo en 𝑂 − 𝑋𝑌𝑍.
Para obtener el modelo dinámico de la cadena eslabonada se considera a cada eslabón
como un cuerpo rígido y que las fuerzas generadas por la oscilación derivan fuerzas de
masa virtual, arrastre y amortiguamiento. Las fuerzas que actúan en cada elemento del
sistema multicuerpo pueden ser modeladas por coordenadas generalizadas en un sistema
de referencia inercial como:
𝐹ℓ + 𝐹ℓ∗ = 0 (ℓ = 1, . . . 𝑛 ) (3.27)
donde 𝐹ℓ y 𝐹ℓ∗ denotan la fuerzas generalizadas activas y de inercia respectivamente.
3.3.1 Fuerzas de inercia
Las fuerzas generalizadas de inercia del sistema requieren del desarrollo de las
expresiones de fuerza y torque de inercia de cada parte del sistema, se tiene entonces
que las fuerzas que actúan sobre los eslabones al considerarse como cuerpo rígido están
dadas como:
𝑋𝑘∗ = −𝑚𝑘[uk − vkr − 𝑥𝐺𝑘
r2 − 𝑦𝐺𝑘r] (3.28)
𝑌𝑘∗ − 𝑚𝑘[vk + ukr − 𝑦𝐺𝑘
r2 + 𝑥𝐺𝑘r] (3.29)
𝑁𝑘∗ = −(𝐼𝑧𝑘
rk + 𝑚𝑘[𝑥𝐺𝑘(vk + ukr) − 𝑦𝐺𝑘
(uk − vkr)]) (3.30)
donde 𝑚𝑘 es la masa del 𝑘-ésimo eslabón, 𝑣𝑘 y 𝑢𝑘 son las velocidades lineales (Anexo
A.6), 𝑟𝑘 es la velocidad angular (Anexo A.7), ��𝑘 y ��𝑘 definen las aceleraciones lineales
(Anexo A.9), ��𝑘 representa la aceleración angular (Anexo A.10), 𝑥𝐺𝑘 e 𝑦𝐺𝑘
especifican la
posición del centro de masa del 𝑘-ésimo eslabón e 𝐼𝑧𝑘 representa el momento de inercia
alrededor del eje 𝑧. Por lo tanto 𝑋𝑘∗ e 𝑌𝑘
∗ definen la fuerza de inercia y 𝑁𝑘∗ el momento de
inercia respectivamente.
53
Para escribir (3.28)-(3.30) de forma vectorial se tiene:
(��𝑘∗ )𝐵 = [
𝑋𝑘∗
𝑌𝑘∗
𝑁𝑘∗]
(3.31)
La fuerza longitudinal 𝑋1∗, la fuerza lateral 𝑌1
∗ y el momento de inercia 𝑁1∗ que actúan sobre
el eslabón uno se determinan como:
𝑋1∗ = −𝑚1[u1 − v1r − 𝑥𝐺1
r2 − 𝑦𝐺1r] (3.32)
𝑌1∗ = −𝑚1[v1 + u1r − 𝑦𝐺1
r2 + 𝑥𝐺1r] (3.33)
𝑁1∗ = −(𝐼𝑧1
r1 + 𝑚1[𝑥𝐺1(v1 + u1r) − 𝑦𝐺1
(u1 − v1r)]) (3.34)
Escribiendo (3.32)-(3.34) de forma vectorial se tiene:
(��𝟏∗ )𝐵 = [
−𝑚1[u1 − v1r − 𝑥𝐺1r2 − 𝑦𝐺1
r]
−𝑚1[v1 + u1r − 𝑦𝐺1r2 + 𝑥𝐺1
r]
−(𝐼𝑧1r1 + 𝑚1[𝑥𝐺1
(v1 + u1r) − 𝑦𝐺1(u1 − v1r)])
] = [
𝑋1∗
𝑌1∗
𝑁1∗]
(3.35)
La fuerza longitudinal 𝑋2∗, la fuerza lateral 𝑌2
∗ y el momento de inercia 𝑁2∗ que actúan sobre
el eslabón dos se determinan como:
𝑋2∗ = −𝑚2[u2 − v2r − 𝑥𝐺2
r2 − 𝑦𝐺2r] (3.36)
𝑌2∗ = −𝑚2[v2 + u2r − 𝑦𝐺2
r2 + 𝑥𝐺2r] (3.37)
𝑁2∗ = −(𝐼𝑧2
r2 + 𝑚2[𝑥𝐺2(v2 + u2r) − 𝑦𝐺2
(u2 − v2r)]) (3.38)
Las ecuaciones (3.36)-(3.38) se escriben en forma vectorial como:
(��2∗)𝐵 = [
−𝑚2[u2 − v2r − 𝑥𝐺2r2 − 𝑦𝐺2
r]
−𝑚2[v2 + u2r − 𝑦𝐺2r2 + 𝑥𝐺2
r]
−(𝐼𝑧2r2 + 𝑚2[𝑥𝐺2
(v2 + u2r) − 𝑦𝐺2(u2 − v2r)])
] = [
𝑋2∗
𝑌2∗
𝑁2∗]
(3.39)
La fuerza longitudinal 𝑋3∗, la fuerza lateral 𝑌3
∗ y el momento de inercia 𝑁3∗ que actúan sobre
el eslabón dos se determinan como:
𝑋3∗ = −𝑚3[u3 − v3r − 𝑥𝐺3
r2 − 𝑦𝐺3r] (3.40)
54
𝑌3∗ = −𝑚3[v3 + u3r − 𝑦𝐺3
r2 + 𝑥𝐺3r] (3.41)
𝑁3∗ = −𝐼𝑧3
r3 − 𝑚3[𝑥𝐺3(v3 + u3r) − 𝑦𝐺3
(u3 − v3r)] (3.42)
Escribiendo (3.40)-(3.42) de forma vectorial se tiene:
(��3∗)𝐵 = [
−𝑚3[u3 − v3r − 𝑥𝐺3r2 − 𝑦𝐺3
r]
−𝑚3[v3 + u3r − 𝑦𝐺3r2 + 𝑥𝐺3
r]
−𝐼𝑧3r3 − 𝑚3[𝑥𝐺3
(v3 + u3r) − 𝑦𝐺3(u3 − v3r)]
] = [
𝑋3∗
𝑌3∗
𝑁3∗]
(3.43)
Para el eslabón cuatro la fuerza longitudinal 𝑋4∗, la fuerza lateral 𝑌4
∗ y el momento de
inercia 𝑁4∗ se escriben como:
𝑋4∗ = −𝑚4[u4 − v4r − 𝑥𝐺4
r2 − 𝑦𝐺4r] (3.44)
𝑌4∗ = −𝑚4[v4 + u4r − 𝑦𝐺4
r2 + 𝑥𝐺4r] (3.45)
𝑁4∗ = −(𝐼𝑧4
r4 + 𝑚4[𝑥𝐺4(v4 + u4r) − 𝑦𝐺4
(u4 − v4r)]) (3.46)
La forma vectorial de (3.44)-(3.46) se escribe como:
(��4∗)𝐵 = [
−𝑚4[u4 − v4r − 𝑥𝐺4r2 − 𝑦𝐺4
r]
−𝑚4[v4 + u4r − 𝑦𝐺4r2 + 𝑥𝐺4
r]
−𝐼𝑧4r4 − 𝑚4[𝑥𝐺4
(v4 + u4r) − 𝑦𝐺4(u4 − v4r)]
] = [
𝑋4∗
𝑌4∗
𝑁4∗]
(3.47)
3.3.2 Fuerzas hidrodinámicas
En muchas aplicaciones de vehículos submarinos el desplazamiento se realiza a
velocidades bajas, teniendo como ventaja el uso de menor cantidad de términos para
matriz 𝑀𝐴, en el caso específico de vehículos submarinos se puede considerar sólo la
diagonal principal como una buena aproximación. Obteniendo las fuerzas en su forma de
longitudinal, lateral y el momento, se escriben como:
(𝑋𝑘∗)𝐴 = −(𝑋��uk + 𝑌��rkvk) (3.48)
(𝑌𝑘∗)𝐴 = −(−𝑋��rkuk + 𝑌��vk) (3.49)
(𝑁𝑘∗)𝐴 = −(𝑋��ukvk − 𝑌��ukvk + 𝑁�� rk) (3.50)
55
donde 𝑌��, 𝑋�� y 𝑁�� son las derivadas hidrodinámicas [53].
Escribiendo (3.48)-(3.50) en forma vectorial se tiene:
(��𝒌∗ )𝐴 = [
(𝑋𝑘∗)𝐴
(𝑌𝑘∗)𝐴
(𝑁𝑘∗)𝐴
]
(3.51)
Las fuerzas hidrodinámicas que actúan sobre el eslabón se determinan como:
(𝑋1∗)𝐴 = −𝑋��u1 − 𝑌��r1v1 (3.52)
(𝑌1∗)𝐴 = 𝑋��r1uk − 𝑌��v1 (3.53)
(𝑁1∗)𝐴 = −𝑋��u1v1 + 𝑌��u1v1 − 𝑁�� r1 (3.54)
Escribiendo (3.52)-(3.54) de forma vectorial resulta:
(��𝟏∗ )𝐴 = [
−𝑋��u1 − 𝑌��r1v1
𝑋��r1uk − 𝑌��v1
−𝑋��u1v1 + 𝑌��u1v1 − 𝑁�� r1
] = [
(𝑋1∗)𝐴
(𝑌1∗)𝐴
(𝑁1∗)𝐴
]
(3.55)
Para determinar las fuerzas hidrodinámicas que actúan sobre el eslabón dos se tiene:
(𝑋2∗)𝐴 = −𝑋��u2 − 𝑌��r2v2 (3.56)
(𝑌2∗)𝐴 = 𝑋��r2u2 − 𝑌��v2 (3.57)
(𝑁2∗)𝐴 = −𝑋��u2v2 + 𝑌��u2v2 − 𝑁��r2 (3.58)
Las ecuaciones (3.56)-(3.58) se pueden escribir de forma vectorial como:
(��𝟐∗ )𝐴 = [
−𝑋��u2 − 𝑌��r2v2
𝑋��r2u2 − 𝑌��v2
−𝑋��u2v2 + 𝑌��u2v2 − 𝑁�� r2
] = [
(𝑋2∗)𝐴
(𝑌2∗)𝐴
(𝑁2∗)𝐴
]
(3.59)
Para el eslabón tres se tienen:
(𝑋3∗)𝐴 = −𝑋��u3 − 𝑌��v3r3 (3.60)
(𝑌3∗)𝐴 = 𝑋��u3r3 − 𝑌��v3 (3.61)
(𝑁3∗)𝐴 = −𝑋��u3v3 + 𝑌��u3v3 − 𝑁��r3 (3.62)
56
Escribiendo (3.60)-(3.62) en forma vectorial se tiene:
(��𝟑∗ )𝐴 = [
𝑋��u3 − 𝑌��v3r3
𝑋��u3r3 + 𝑌��v3
−𝑋��u3v3 + 𝑌��u3v3 + 𝑁�� r3
] = [
(𝑋3∗)𝐴
(𝑌3∗)𝐴
(𝑁3∗)𝐴
]
(3.63)
Por último, se determinan las fuerzas hidrodinámicas que actúan sobre el eslabón cuatro
como:
(𝑋4∗)𝐴 = 𝑋��u4 − 𝑌��r4v4 (3.64)
(𝑌4∗)𝐴 = 𝑋��r4u4 + 𝑌��v4 (3.65)
(𝑁4∗)𝐴 = −𝑋��u4v4 + 𝑌��u4v4 + 𝑁��r4 (3.66)
Las ecuaciones (3.64)-(3.66) se escriben de forma vectorial como:
(��4∗)𝐴 = [
𝑋��u4 − 𝑌��r4v4
𝑋��r4u4 + 𝑌��v4
−𝑋uu4v4 + 𝑌vu4v4 + 𝑁rr4
] = [
(𝑋4∗)𝐴
(𝑌4∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴
]
(3.67)
3.3.3 Fuerzas de amortiguamiento
La fuerza de amortiguamiento del fluido es considerada por la fuerza de arrastre. En
general, los términos de amortiguamiento en un vehículo submarino con seis grados de
libertad suele ser no lineal y acoplado, sin embargo una buena aproximación sugiere un
movimiento no acoplado y que los términos de segundo orden y superiores se pueden
despreciar, tomando en cuenta los planos de simetría. Se tiene entonces que las fuerzas
de amortiguamiento lineal se calculan como:
(𝑋𝑘∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷𝑘
𝑆𝑘|u𝑘|u𝑘 (3.68)
(𝑌𝑘∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷𝑘
𝑆𝑘|v𝑘|v𝑘 (3.69)
(𝑁𝑘∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷𝑘
𝑆𝑘|r𝑘|r𝑘 (3.70)
57
Donde 𝜌 es la densidad del fluido, 𝐶𝐷𝑘 es el coeficiente de arrastre del 𝑘-esimo eslabón,
𝑆𝑘 es el área superficial del 𝑘-esimo eslabón, 𝑢𝑘 y 𝑣𝑘 son las velocidades lineales, y 𝑟𝑘 es
la velocidad angular del 𝑘-esimo eslabón respectivamente.
Escribiendo las fuerzas de amortiguamiento en forma vectorial se tiene:
(��𝒌∗ )𝐷 = [
(𝑋𝑘∗)𝐷
(𝑌𝑘∗)𝐷
(𝑁𝑘∗)𝐷
]
(3.71)
Los términos asociados a las fuerzas de amortiguamiento para el eslabón uno se escriben
como:
(𝑋1∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷1
𝑆1|u1|u1 (3.72)
(𝑌1∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷1
𝑆1|v1|v1 (3.73)
(𝑁1∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷1
𝑆1|r1|r1 (3.74)
Escribiendo (3.72)-(3.74) en forma vectorial se tiene:
(��𝟏∗ )𝐷 =
[ −
1
2𝜌𝐶𝐷1
𝑆1|u1|u1
−1
2𝜌𝐶𝐷1
𝑆1|v1|v1
−1
2𝜌𝐶𝐷1
𝑆1|r1|r1 ]
= [
(𝑋1∗)𝐷
(𝑌1∗)𝐷
(𝑁1∗)𝐷
]
(3.75)
Para el eslabón dos se tienen:
(𝑋2∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷2
𝑆2|u2|u2 (3.76)
(𝑌2∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷2
𝑆2|v2|v2 (3.77)
(𝑁2∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷2
𝑆2|r2|r2 (3.78)
Las ecuaciones (3.76)-(3.78) se escriben de forma vectorial como:
58
(��𝟐∗ )𝐷 =
[ −
1
2𝜌𝐶𝐷2
𝑆2|u2|u2
−1
2𝜌𝐶𝐷2
𝑆2|v2|v2
−1
2𝜌𝐶𝐷2
𝑆2|r2|r2 ]
= [
(𝑋2∗)𝐷
(𝑌2∗)𝐷
(𝑁2∗)𝐷
]
(3.79)
Las fuerzas de amortiguamiento para el eslabón tres se escriben como:
(𝑋3∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷3
𝑆3|u3|u3 (3.80)
(𝑌3∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷3
𝑆3|v3|v3 (3.81)
(𝑁3∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷3
𝑆3|r3|r3 (3.82)
La forma vectorial de (3.80)-(3.82) se escribe como:
(��𝟑∗ )𝐷 =
[ −
1
2𝜌𝐶𝐷3
𝑆3|u3|u3
−1
2𝜌𝐶𝐷3
𝑆3|v3|v3
−1
2𝜌𝐶𝐷3
𝑆3|r3|r3 ]
= [
(𝑋3∗)𝐷
(𝑌3∗)𝐷
(𝑁3∗)𝐷
]
(3.83)
Por último, se calculan las fuerzas de amortiguamiento que ejerce el eslabón cuatro sobre
el sistema de locomoción:
(𝑋4∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷4
𝑆4|u4|u4 (3.84)
(𝑌4∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷4
𝑆4|v4|v4 (3.85)
(𝑁4∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷4
𝑆4|r4|r4 (3.86)
Escribiendo (3.84)-(3.86) en forma vectorial se tiene:
59
(��𝟒∗ )𝐷 =
[ −
1
2𝜌𝐶𝐷4
𝑆4|u4|u4
−1
2𝜌𝐶𝐷4
𝑆4|v4|v4
−1
2𝜌𝐶𝐷4
𝑆4|r4|r4 ]
= [
(𝑋4∗)𝐷
(𝑌4∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷
]
(3.87)
3.4 Fuerzas generalizadas
La contribución total de las fuerzas generalizadas de inercia en la presencia de
movimiento de traslación y rotación es definida como:
(𝑭𝓵∗)𝐵 = ∑ (
𝜕𝐯𝑮𝑘
𝜕��ℓ∙ (��𝒌
∗ )𝐵 +𝜕��𝒌
𝜕��ℓ∙ (��𝒌
∗ )𝐵)
𝑁
𝑘=1
(3.88)
donde ℓ = (1,2,3), 𝑁 es el número de cuerpos y ��ℓ es la velocidad generalizada, tal que:
��ℓ = [u, v, r]𝑇 (3.89)
Las fuerzas generalizadas de inercia también se pueden escribir como la suma de fuerzas
de cada eslabón, entonces:
𝑭𝑩∗ = (𝑭𝟏
∗ )𝑩 + (𝑭𝟐∗ )𝑩 + (𝑭𝟑
∗ )𝑩 + (𝑭𝟒∗ )𝑩 (3.90)
Las fuerzas generalizadas de inercia debido a la masa virtual para la cadena eslabonada
calcula como:
(𝑭𝓵∗)𝐴 = ∑ (
𝜕𝐯𝑮𝑘
𝜕��ℓ∙ (��𝒌
∗ )𝐴 +𝜕��𝒌
𝜕��ℓ∙ (��𝒌
∗ )𝐴)
𝑁
𝑘=1
(3.91)
Siendo (3.91) la formulación general para incorporar las fuerzas hidrodinámicas y el
momento dentro del modelo dinámico.
Escribiendo las fuerzas generalizadas hidrodinámicas como las suma de las fuerzas
individuales de los eslabones:
𝑭𝑨∗ = (𝑭𝟏
∗ )𝑨 + (𝑭𝟐∗ )𝑨 + (𝑭𝟑
∗ )𝑨 + (𝑭𝟒∗ )𝑨 (3.92)
Finalmente las fuerzas generalizadas de amortiguamiento se determinan como:
60
(𝑭𝓵∗)𝐷 = ∑ (
𝜕𝐯𝑮𝑘
𝜕��ℓ∙ (��𝒌
∗ )𝐷 +𝜕��𝒌
𝜕��𝓵∙ (��𝒌
∗ )𝐷)
𝑁
𝑘=1
(3.93)
La contribución total de fuerzas de amortiguamiento se escribe como:
𝑭𝑫∗ = (𝑭𝟏
∗ )𝑫 + (𝑭𝟐∗ )𝑫 + (𝑭𝟑
∗ )𝑫 + (𝑭𝟒∗ )𝑫 (3.94)
3.5 Ecuaciones de movimiento del pez robot
Una vez calculadas las fuerzas generalizadas de inercia para todos los cuerpos que
componen el pez robot, así como la aleta caudal, se determinan las ecuaciones de
movimiento:
𝑭𝑩∗ + 𝑭𝑨
∗ + 𝑭𝑫∗ = 𝟎 (3.95)
Dada la naturaleza de (3.95) y la inconveniencia que presenta al realizar simulaciones se
recomienda obtener el modelo dinámico en forma matricial, como:
𝑴�� + 𝑪(𝝂)𝝂 + 𝑫(𝝂)𝝂 = 𝝉 (3.96)
donde 𝑴 es la matriz general de inercias tal que:
𝑴 = 𝑴𝑨 + 𝑴𝑩 (3.97)
𝑪(𝝂) es la matriz de términos de fuerzas centrifugas y de Coriolis:
𝑪(𝝂) = 𝑪𝑨(𝝂) + 𝑪𝑩(𝝂) (3.98)
𝑫(𝝂) es la matriz de términos de amortiguamiento lineal y 𝜈𝑇 = [𝑢, 𝑣, 𝑟], es el vector de
velocidades. Para calcular las matrices se tiene:
𝑴𝑩 = −
𝜕
𝜕��𝑭𝑩
∗ (3.99)
𝑴𝑨 = −
𝜕
𝜕��𝑭𝑨
∗ (3.100)
𝑪𝑩(𝝂) = −
𝜕
𝜕𝝂𝑭𝑩
∗ (3.101)
61
𝑪𝑨(𝝂) = −
𝜕
𝜕𝝂𝑭𝑨
∗ (3.102)
𝑫(𝝂) = −
𝜕
𝜕𝝂𝑭𝑫
∗ (3.103)
Por último, para obtener el modelo dinámico en el sistema inercial (respecto a la tierra) se
tiene:
𝑴𝜼(𝜼) = 𝑱−𝑻(𝜼)𝑴𝑱−𝟏(𝜼) (3.104)
𝑪𝜼(𝝂, 𝜼) = 𝑱−𝑻(𝜼)[𝑪(𝝂) − 𝑴𝑱−𝟏(𝜼)��(𝜼)]𝑱−𝟏(𝜼) (3.105)
𝑫𝜼(𝝂, 𝜼) = 𝑱−𝑻(𝜼)𝑫(𝝂)𝑱−𝟏(𝜼) (3.106)
𝝉𝜼(𝜼) = 𝑱−𝑻(𝜼)𝝉 (3.107)
Tal que:
𝑴𝜼(𝜼)�� + 𝑪𝜼(𝝂, 𝜼)�� + 𝑫𝜼(𝝂, 𝜼)�� = 𝝉𝜼(𝜼) (3.108)
Donde 𝜼𝑻 = [𝑥, 𝑦, 𝜓], la matriz de transformación 𝐽 se escribe como:
𝑱 = [−cos𝜓 sin𝜓 0sin𝜓 cos𝜓 0
0 0 1]
(3.109)
Siendo (3.108) el modelo dinámico del pez robot cuyas variables de salida representan el
desplazamiento frontal y el cabeceo respecto a la tierra
3.6 Modelo dinámico del sistema de locomoción
Los modelos matemáticos utilizados en la implementación de algoritmos de control se
determinan en función de las variables a controlar, las ecuaciones de movimiento que
aproximan la ecuación (2.1) se determinan con respecto a las velocidades angulares
generalizadas:
��𝑟 = [��1, ��2, ��3, ��4]𝑇 (3.110)
62
Conociendo las fuerzas de inercia (3.31), las fuerzas de masa virtual (3.51) y las fuerzas
de amortiguamiento (3.71) se derivan las ecuaciones de Kane, formulación de las
ecuaciones de movimiento para el sistema de control se escriben como:
(𝑭𝒓∗)𝐵 = ∑ (
𝜕𝐯𝑮𝑘
𝜕��𝑟∙ (��𝒌
∗ )𝐵 +𝜕��𝑘
𝜕��𝑟∙ (��𝒌
∗ )𝐵)
𝑁
𝑘=1
(3.111)
(𝑭𝒓∗)𝐴 = ∑ (
𝜕𝐯𝑮𝑘
𝜕��𝑟∙ (��𝒌
∗ )𝐴 +𝜕��𝑘
𝜕��𝑟∙ (��𝒌
∗ )𝐴)
𝑁
𝑘=1
(3.112)
(𝑭𝒓∗)𝐷 = ∑ (
𝜕𝐯𝑮𝑘
𝜕��𝑟∙ (��𝒌
∗ )𝐷 +𝜕��𝑘
𝜕��𝑟∙ (��𝒌
∗ )𝐷)
𝑁
𝑘=1
(3.113)
Donde 𝑟 = 1. . . 𝑁, 𝑁 es el número de eslabones que componen el cuerpo flexible y ��𝑟 es
la velocidad generalizada.
Ya que las ecuaciones dinámicas se pueden escribir como:
(𝑭𝒓∗)𝑩 + (𝑭𝒓
∗)𝑨 + (𝑭𝒓∗)𝑫 = 𝟎 (3.114)
Para obtener el modelo dinámico en forma matricial se tiene:
��(𝒒)�� + ��(𝒒, ��)�� + ��(𝒒, ��) = �� (3.115)
Dónde:
��(𝒒) = ��𝑨 + ��𝑩 (3.116)
��(𝒒, ��) = ��𝑨(𝒒, ��) + ��𝑩(𝒒, ��) (3.117)
Y �� es el vector de fuerzas aplicadas al sistema, por lo que resulta:
��𝑩 = −𝜕
𝜕��(𝑭𝒓
∗)𝐵 (3.118)
��𝑨 = −𝜕
𝜕��(𝑭𝑟
∗)𝐴 (3.119)
��𝑩(𝝂) = −𝜕
𝜕��(𝑭𝑟
∗)𝐵 (3.120)
��𝑨(𝝂) = −𝜕
𝜕��(𝑭𝑟
∗)𝐴 (3.121)
63
��(𝝂) = −𝜕
𝜕��(𝐹𝑟
∗)𝐷 (3.122)
Capítulo 4. Simulación y Control
Problemas complejos requieren soluciones creativas.
Anónimo
64
Introducción
En años recientes, se ha incrementado el uso de sistemas computacionales en diferentes
campos de la ciencia con una inmensa cantidad de aplicaciones, debido a su impacto en
diversas investigaciones se ha considerado como una herramienta necesaria para
ingenieros y científicos. El campo de la ingeniería mecánica no ha sido la excepción en el
desarrollo de aplicaciones para el diseño, la exigencia de sistemas complejos, la
optimización o la facilidad para para cambiar parámetros son algunas de la características
que ofrecen los programas computacionales. Cabe destacar que para su funcionamiento
correcto, son necesarios parámetros geométricos así como sus características dinámicas,
de esta manera se asegura que los análisis realizados correspondan al sistema en
cuestión.
4.1 Caracterización morfológica del pez robot
El diseño del pez robot consiste de tres partes, un cuerpo rígido (cabeza), el cuerpo
flexible (eslabones 1, 2, 3) y la aleta caudal (eslabón 4), desde el punto de vista de la
ingeniería mecánica el cuerpo flexible puede diseñarse como una cadena eslabonada con
juntas oscilatorias actuadas por motores. El movimiento del cuerpo flexible se espera
coincida de manera aproximada a la onda generada por (2.1), obteniendo así un empuje
longitudinal. Para el diseño del cuerpo flexible se considera (2.2), la caracterización de
esta ecuación incluye parámetros morfológicos como el número de onda 𝑘 = 2𝜋 𝜆⁄ , la
longitud de onda 𝜆 = 1𝐿 que depende directamente del tipo de nado, la forma del cuerpo y
la cinemática de nado [80], de parámetros discretos, donde (𝑖 = 0, 1, . . . 𝑀 − 1) denota la
secuencia de curvas del cuerpo del pez y 𝑀 = 18, es la resolución de onda y 𝑥 es el
desplazamiento lo largo del eje principal.
65
Figura 4.1. Curvaturas discretas del cuerpo del pez
Por otra parte, los coeficientes lineal y cuadrático de la onda envolvente de cuerpo del pez
𝑐1 = 0.01 y 𝑐2 = 0.0073 se han seleccionado tomado en cuenta la amplitud de la onda del
20% de la longitud del cuerpo como máximo [19], de manera que la curva generada se
aproxime a la cinemática de un pez biológico [80]–[82]. En este sentido, Liu [83] y Yu [84]
coinciden que la longitud de los eslabones es un factor importante en la aproximación del
mecanismo de locomoción a la onda del pez, la disminución del área existente entre la
onda continua y los eslabones permite mejorar el desempeño del robot respecto a
estudios anteriores cuyas longitudes son arbitrarias [19], [85].
Figura 4.2 Aproximación de los eslabones a la onda del cuerpo con 𝑐1 = 0.02 y 𝑐2 = 0.004
0 5 10 15 20 25-6
-4
-2
0
2
4
6
Desp
lazam
ien
to late
ral
Desplazamiento Longitudinal
Y
X
cm
Y
X
cm
0 5 10 15 20 25 30-6
-4
-2
0
2
4
6
Desplazamiento Longitudinal
Desp
lazam
ien
to late
ral
Y
X
cm
l1
l2
l3
l4
66
Tomando en cuenta resultados de optimización Yu [84], cuyo análisis deriva en las
longitudes óptimas para los eslabones que componen el cuerpo flexible de pez robot, se
proponen las longitudes de los eslabones {𝑙1: 𝑙2: 𝑙3} = {11: 7.9: 7.1} (𝑐𝑚) para un robot
cuya parte oscilatoria será del 50%, se tiene entonces que la longitud total será de
𝐿 = 52 𝑐𝑚 y la longitud de la alera caudal se propone en 𝑙4 = 4 𝑐𝑚.
Puesto que (2.1) describe de manera general el movimiento del pez y derivado del estudio
de la cinemática, es posible establecer una serie de patrones que describan el movimiento
para cada uno de los eslabones que componen el pez robot a través de una función [29].
𝒚𝑗 = A𝑗 sin(ω𝑏𝑡 + 𝜑𝑗) , 𝑗 = 1…𝑁 (4.1)
Donde 𝜑𝑗 es el ángulo de fase.
Figura 4.3. Angulos de los eslabones calculados.
4.1.1 Parámetros físicos del pez robot
La evolución de las especies marinas a través de los años ha permitido desarrollar
cuerpos con cantidades considerables de vertebras que permiten oscilar el cuerpo de
manera constante de manera eficaz, teóricamente se compara con perfiles
hidrodinámicos [86]. Sin embargo, imitar estas propiedades con elementos rígidos es
ampliamente complejo. Para obtener una aproximación se puede utilizar elementos con
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
T i e m p o (s)
A m
p l i t u
d (°
)
1
2
3
4
67
bordes suaves que permitan que el flujo alrededor del cuerpo se aproxime al perfil
hidrodinámico [87], [88].
Figura 4.4 Configuracion del pez robot con elementos elipticos.
Para poder realizar las simulaciones correspondientes al desempeño del robot es
necesario conocer los parámetros físicos de cada uno de los componentes. La masa, el
momento de inercia, así como la longitud de los eslabones son características que
determinan el comportamiento del pez robot. Para efectos de simulación y análisis se
tomarán algunas consideraciones: los eslabones son elementos de masa homogénea,
simétricos, con centro de gravedad y de masa coincidente.
Tabla 4.1 Propiedades físicas de los eslabones.
Eslabón Longitud (𝑚) Masa (𝐾𝑔) Momento de inercia (𝐾𝑔 𝑚2)
0 0.26 0.721 1.6351𝑒−4
1 0.11 0.225 1.819𝑒−4
2 0.08 0.144 7.03𝑒−5
3 0.07 0.109 4.27𝑒−5
4 0.04 0.014 1.9𝑒−6
4.1.2 Coeficientes hidrodinámicos
Los coeficientes hidrodinámicos son la masa añadida (virtual) y el amortiguamiento
hidrodinámico. Están relacionados con las fuerzas y momentos del fluido que actúan
sobre el cuerpo bajo el agua como resultado del movimiento el fluido.
68
Figura 4.5 Vista superior del pez robot con elementos elipticos.
Tabla 4.2 Coeficientes de masa virtual [54].
Eslabón 𝑿�� = 𝜋𝜌𝑎2 𝒀�� = 𝜋𝜌𝑏2 𝑵�� =1
8𝜋𝜌(𝑏2 − 𝑎2)2
0 4.0633 52.9867 0.03037
1 3.2105 9.4843 4.9949𝑒−4
2 2.6367 5.0164 7.1866𝑒−5
3 2.2856 3.8407 3.0690𝑒−5
Eslabón 𝑿�� = 4.754𝜌𝑎2 𝒀�� = 4.754𝜌𝑎2 𝑵�� = 0.725𝜌𝑎4
4 1.8977 1.8977 1.1576𝑒−4
4.1.3 Coeficientes de amortiguamiento
A partir de Hirata [89] se determinan el coeficiente de arrastre 𝐶𝐷, la proyección de área 𝑆.
Tabla 4.3 Coeficientes de amortiguamiento.
Eslabón 𝑿𝒖 =1
2𝜌𝐶𝐷𝑆|u| 𝒀𝒗 =
1
2𝜌𝐶𝐷𝑆|v| 𝑵𝒓 =
1
2𝜌𝐶𝐷𝑆|r|
0 0.0973|u| 0.0973|v| 0.0973|r|
1 0.0469|u| 0.0469|v| 0.0469|r|
2 0.0332|u| 0.0332|v| 0.0332|r|
3 0.0276|u| 0.0276|v| 0.0276|r|
4 0.0935|u| 0.0935|v| 0.0234|r|
69
4.2 Diseño del controlador difuso
Los controladores difusos incorporan conocimiento de expertos humanos en forma de
reglas de inferencia. Brindan la capacidad de formular una solución aproximada a un
problema planteado de manera imprecisa, o extender la solución de un sistema complejo
(dos o más variables) a diferencia de la lógica clásica que busca resolver de manera
exacta un problema con matemáticas determinísticas clásicas.
Figura 4.6. Diagrama de bloques del sistema de control.
En la teoría de control de sistemas si la interpretación difusa de un problema real es
correcta y si la teoría difusa es desarrollada apropiadamente, entonces los controladores
difusos pueden ser diseñados adecuadamente y trabajar con todas sus ventajas.
Figura 4.7. Diagrama de bloques del controlador difuso.
4.2.1 Representación del modelo en variables de estado
Para obtener el modelo en el espacio de estados a partir de las ecuaciones de
movimiento, se deben establecer los respectivos cambios de variable, tal que:
𝜃1 = 𝑥1 ��1 = ��1 = 𝑥5 ��5 = ��1
𝜃2 = 𝑥2 ��2 = ��2 = 𝑥6 ��6 = ��2
𝜃3 = 𝑥3 ��3 = ��3 = 𝑥7 ��7 = ��3
𝜃4 = 𝑥4 ��4 = ��4 = 𝑥8 ��8 = ��4
𝑦𝑅𝑒𝑓 Controlador Difuso
𝑦𝑆𝑎𝑙 𝑢 𝑒
−
+
Planta
Fuzificación
Base de reglas
Inferencia
Desfuzificación
70
Sea entonces:
𝜽 = [𝜃1, 𝜃2, 𝜃3, 𝜃4]𝑇 (4.2)
𝒙 = [𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ]𝑇 (4.3)
�� = [��1, ��2, ��3, ��4]𝑇 (4.4)
De manera que la expresión (3.115) en el espacio de estados se escribe como:
𝑑
𝑑𝑡[𝑥��] = [
����−1(𝜃)[�� − ��(𝜃, ��) − ��(𝜃, ��)]
] (4.5)
4.2.2 Modelo difuso del sistema de propulsión
Considerando los puntos de linealización:
Tabla 4.4. Puntos de linealización (rad).
Posición 𝜃1 𝜃2 𝜃3 𝜃4
1 0.0628 0.0232 −0.2658 −0.4668
2 0.0178 0.1872 0.1582 −0.1918
3 −0.0452 0.1032 0.3292 0.3202
4 −0.0642 −0.0228 0.2652 0.4672
5 −0.0182 −0.1888 −0.1578 0.1912
6 0.0438 −0.1038 −0.3288 −0.3198
se obtienen las matrices de estados para los subsistemas locales (anexo F.24 y F.25) y
de este modo se puede construir el modelo difuso (2.57):
��(𝑡) = ∑ℎ𝑖(𝑧(𝑡))
6
𝑖=1
{𝑨𝒊𝒙(𝑡) + 𝑩𝒊𝒖(𝑡)}
(4.6)
��(𝑡) = 𝑺𝝕(𝑡)
𝒆(𝑡) = ∑ℎ𝑖(𝑧(𝑡))
6
𝑖=1
𝑪𝒊𝒙(𝑡) − 𝑸𝝕(𝑡)
Donde 𝑨 ∈ ℝ8×8 es la matriz de estados, 𝑩 ∈ ℝ8×4 es la matriz de entrada, 𝑪 ∈ ℝ4×8 es la
matriz de salida, 𝑺 ∈ ℝ8×2 es la matriz oscilación del exosistema y la matriz 𝑸 ∈ ℝ4×2
71
pertenece a la señal de referencia respectivamente. Se establecen funciones de
membresía lineales (Figura 4.8) para obtener el modelo difuso correspondiente.
Función de membresía para 𝜃1 Función de membresía para 𝜃2
Función de membresía para 𝜃3 Función de membresía para 𝜃4
Figura 4.8 Funciones de membresia para el modelo T-S
Teniendo la base de reglas como:
𝑅1: Si 𝜃1 = 𝑀11, 𝜃2 = 𝑀21, 𝜃3 = 𝑀32 y 𝜃4 = 𝑀42 Entonces ��1 = 𝑨1𝒙(𝑡) + 𝑩1𝒖(𝑡)
𝑅2: Si 𝜃1 = 𝑀11, 𝜃2 = 𝑀22, 𝜃3 = 𝑀32 y 𝜃4 = 𝑀42 Entonces ��2 = 𝑨2𝒙(𝑡) + 𝑩2𝒖(𝑡)
𝑅3: Si 𝜃1 = 𝑀12, 𝜃2 = 𝑀22, 𝜃3 = 𝑀32 y 𝜃4 = 𝑀41 Entonces ��3 = 𝑨3𝒙(𝑡) + 𝑩3𝒖(𝑡)
𝑅4: Si 𝜃1 = 𝑀12, 𝜃2 = 𝑀22, 𝜃3 = 𝑀31 y 𝜃4 = 𝑀41 Entonces ��4 = 𝑨4𝒙(𝑡) + 𝑩4𝒖(𝑡)
𝑅5: Si 𝜃1 = 𝑀12, 𝜃2 = 𝑀21, 𝜃3 = 𝑀31 y 𝜃4 = 𝑀41 Entonces ��5 = 𝑨5𝒙(𝑡) + 𝑩5𝒖(𝑡)
𝑅6: Si 𝜃1 = 𝑀11, 𝜃2 = 𝑀21, 𝜃3 = 𝑀31 y 𝜃4 = 𝑀42 Entonces ��6 = 𝑨6𝒙(𝑡) + 𝑩6𝒖(𝑡)
Para obtener los valores de los pesos 𝑤𝑖 se tiene:
𝜇1 = 𝑀11(𝜃1(𝑡)) × 𝑀21(𝜃2(𝑡)) × 𝑀32(𝜃3(𝑡)) × 𝑀42(𝜃4(𝑡)) (4.7)
𝜇2 = 𝑀11(𝜃1(𝑡)) × 𝑀22(𝜃2(𝑡)) × 𝑀32(𝜃3(𝑡)) × 𝑀42(𝜃4(𝑡)) (4.8)
72
𝜇3 = 𝑀12(𝜃1(𝑡)) × 𝑀22(𝜃2(𝑡)) × 𝑀32(𝜃3(𝑡)) × 𝑀41(𝜃4(𝑡)) (4.9)
𝜇4 = 𝑀12(𝜃1(𝑡)) × 𝑀22(𝜃2(𝑡)) × 𝑀31(𝜃3(𝑡)) × 𝑀41(𝜃4(𝑡)) (4.10)
𝜇5 = 𝑀12(𝜃1(𝑡)) × 𝑀21(𝜃2(𝑡)) × 𝑀31(𝜃3(𝑡)) × 𝑀41(𝜃4(𝑡)) (4.11)
𝜇6 = 𝑀11(𝜃1(𝑡)) × 𝑀21(𝜃2(𝑡)) × 𝑀31(𝜃3(𝑡)) × 𝑀42(𝜃4(𝑡)) (4.12)
Calculando los valores para ℎ𝑖 se tiene:
ℎ1 =𝜇1
(𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + 𝜇5 + 𝜇6) (4.13)
ℎ2 =𝜇2
(𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + 𝜇5 + 𝜇6) (4.14)
ℎ3 =𝜇3
(𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + 𝜇5 + 𝜇6) (4.15)
ℎ4 =𝜇4
(𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + 𝜇5 + 𝜇6) (4.16)
ℎ5 =𝜇5
(𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + 𝜇5 + 𝜇6) (4.17)
ℎ6 =𝜇6
(𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + 𝜇5 + 𝜇6) (4.18)
4.2.2 Exosistema y la señal de referencia .
Sea:
𝜛1 = sin(𝜛𝑡) (4.19)
𝜛2 = cos(𝜛𝑡)
y su derivada respecto al tiempo:
��1 = 𝜛 cos(𝜛𝑡) (4.20)
��2 = −𝜛 sin(𝜛𝑡)
Reescribiendo (4.20) se tiene:
��1 = 𝜛2 𝜛 (4.21)
��2 = −𝜛1 𝜛
73
Tomando en cuenta (2.50), la matriz 𝑆 se define como:
𝑆 = [0 𝜛
−𝜛 0] (4.22)
donde 𝜛 es la frecuencia de la señal de referencia del exosistema.
Sea la señal de referencia:
𝒚𝐫𝐞𝐟 = A𝑗 sin(𝜔𝑏𝑡 + 𝜑𝑗) , 𝑗 = 1…𝑁 (4.23)
donde 𝐴𝑗 es la amplitud de la onda, (𝜔𝑏 = 2𝜋𝑓) determina la frecuencia (𝑓) de la onda y
𝜑𝑗 = (−𝑘𝑥𝑗 + 𝜃𝑗) es el ángulo de fase, 𝑘 es la longitud de onda (del pez), 𝑥𝑗 es la posición
longitudinal del cuerpo del pez y 𝜃𝑗 el ángulo de la 𝑗-ésima articulación, 𝑁 es el número de
articulaciones. Tomando en cuenta las identidades trigonométricas, la señal de
referencias 𝑦ref se escribe como:
𝒚𝐫𝐞𝐟 = 𝐴𝑗 sin(𝜔𝑡) cos(𝜑𝑗) + 𝐴𝑗cos(𝜔𝑡) sin(𝜑𝑗) (4.24)
Sustituyendo (4.19) en (4.24):
𝒚𝐫𝐞𝐟 =
[ 𝐴1𝜔1 cos(𝜑1) + 𝐴1𝜔2 sin(𝜑1)
𝐴2𝜔1 cos(𝜑2) + 𝐴2𝜔2 sin(𝜑2)
𝐴3𝜔1 cos(𝜑3) + 𝐴3𝜔2 sin(𝜑3)
𝐴4𝜔1 cos(𝜑4) + 𝐴4𝜔2 sin(𝜑4)]
(4.25)
Para obtener la señal de referencia (2.51) a partir de
(4.25), sea la matriz:
𝑸 =
[ 𝐴1 cos(𝜑1)
𝐴2 cos(𝜑2)
𝐴3 cos(𝜑3)
𝐴4 cos(𝜑4)
𝐴1 sin(𝜑1)
𝐴2 sin(𝜑2)
𝐴3 sin(𝜑3)
𝐴4 sin(𝜑4)]
(4.26)
por lo tanto 𝒚𝐫𝐞𝐟 se define como:
𝒚𝐫𝐞𝐟 =
[ 𝐴1 cos(𝜑1)
𝐴2 cos(𝜑2)
𝐴3 cos(𝜑3)
𝐴4 cos(𝜑4)
𝐴1 sin(𝜑1)
𝐴2 sin(𝜑2)
𝐴3 sin(𝜑3)
𝐴4 sin(𝜑4)]
[𝜔1
𝜔2]
(4.27)
74
originando el vector con las señales de referencia para el sistema de propulsión cuyas
condiciones iniciales 𝐶𝐼 el exosistema se establecen como:
[𝜔1
𝜔2] = [
01] (4.28)
Puesto que el eslabón uno inicia en cero 𝜑1 = 0.
Tabla 4.5 Amplitud, ángulo inicial y posición longitudinal para la señal de referencia.
Articulación
(𝑁)
Amplitud (máx.)
(𝐴) cm
Posición angular
(𝜃) 𝑟𝑎𝑑
Posición longitudinal
(𝑥) cm
1 0.0642 0 0
2 0.1888 0.0228 1.3278
3 0.3292 0.0428 2.2726
4 0.4692 0.0132 3.1086
La Figura 4.9 muestra las señales de referencia para el sistema de propulsión obtenido
mediante el exosistema con CI se obtienen a partir de la tabla 4.5, se puede observar una
similitud la función calculada para cada articulación (Figura 4.3).
Figura 4.9. Señal de referencia generada con el exosistema.
4.2.3 Controlador difuso
De acuerdo a (2.65), el controlador requiere la obtención de las matrices Π𝑖 y Γ𝑖, las
cuales se calcula a partir de las ecuaciones de Francis (2.64). Teniendo en cuenta los
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
T i e m p o (s)
A m
p l i t u
d (°
)
1
2
3
4
75
subsistemas lineales (Anexo G), y la frecuencia de oscilación (𝜔 = 1) para la matriz 𝑆 del
exosistema da como resultado:
𝚷𝟏 = 𝚷𝟐 = 𝚷𝟑 = 𝚷𝟒 = 𝚷𝟓 = 𝚷𝟔 =
[
0.06420.0496
−0.2016−0.4687
0−0.1822−0.2603−0.0217
0−0.1822−0.2603−0.02170.06420.0496
−0.2016−0.4687]
(4.29)
Las matrices de ganancias (Anexo G.26). La ley de control se calcula como:
𝒖(𝑡) = (𝒉1𝑲1 + 𝒉2𝑲2 + 𝒉3𝑲3 + 𝒉4𝑲4 + 𝒉5𝑲5 + 𝒉6𝑲6)[𝒙 − 𝚷𝝕]
(𝒉1𝚪1 + 𝒉2𝚪2 + 𝒉3𝚪3 + 𝒉4𝚪4 + 𝒉5𝚪5 + 𝒉6𝚪6)𝝕
(4.30)
Dónde:
𝒖(𝑡) = [
𝑢1
𝑢2𝑢3
𝑢4
]
(4.31)
4.3 Simulación del sistema de propulsión
Una vez caracterizado el modelo dinámico y desarrollado el algoritmo de control se
realizan las simulaciones correspondientes para evaluar el robot así como determinar
factores que permitan mejorar el desempeño del mismo.
Figura 4.10 Seguimiento de referencia para el sistema difuso.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-30
-20
-10
0
10
20
30
T i e m p o (s)
A m
p l
i t
u d
(°
)
1
2
3
4
1
2
3
4
76
Como se puede observar en la figura 4.10, la señal de salida del sistema difuso tiende
asintóticamente a la señal de referencia, por su parte el error de seguimiento (figura 4.11)
tiende asintóticamente a cero.
Figura 4.11 Error de seguimiento para el sistema difuso.
Una parte importante en el diseño de controladores para sistemas físicos es observar la
señal de entrada generada, ya que esta otorgará características de amortiguamiento en el
estado transitorio del sistema. En este caso, se busca una señal de entrada amortiguada
que permita aproximar la señal de salida del sistema a la señal de referencia sin sobre
impulsos.
Figura 4.12 Señal de entrada para el sistema difuso.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
T i e m p o (s)
A m
p l
i t
u d
(°
)
e1
e2
e3
e4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
T i e m p o (s)
Fu
erz
a (
N)
u1
u2
u3
u4
77
En la figura 4.12, se observa que la señal de entrada no presenta sobre impulsos, por lo
tanto la selección de polos para calcular la matriz de ganancias ha sido apropiada. Por
otra parte se establece que el error es originado por las condiciones iniciales del sistema
difuso. Cabe señalar que durante el estado transitorio se requiere de una mayor fuerza
antes de observar una señal de forma periódica en el estado estable.
Después del análisis anterior del sistema difuso, se realizan las simulaciones
correspondientes al sistema no lineal. En este caso se emplea el controlador difuso
calculado a partir del modelo T-S, en este sentido, se busca corroborar que un sistema no
lineal puede ser controlado a partir de la regulación no difusa. De igual manera primero se
obtiene la comparación de la señal de salida y de referencia.
Figura 4.13 Seguimiento de refencia del sistema no lineal.
Como se puede observar la respuesta del sistema no lineal (figura 4.13) tiende
asintóticamente a la señal de referencia de manera similar al sistema difuso, por lo tanto,
se puede deducir que los puntos de linealización se han seleccionado de manera
correcta. Por consiguiente, el modelo construido a partir de subsistemas locales en
conjunto con la selección de funciones de membresía y reglas difusas describen el
modelo no lineal del sistema de locomoción de manera aproximada, misma que permite
desarrollar el algoritmo de control.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-30
-20
-10
0
10
20
30
T i e m p o (s)
A m
p l
i t
u d
(°
)
1
2
3
4
1
2
3
4
78
Figura 4.14 Error de seguimiento para el sistema no lineal.
El error de seguimiento (figura 4.14), al igual que en el sistema difuso en el estado estable
tiende asintóticamente a cero, aunque en este caso la magnitud de error es mayor y se
mantiene acotado cuando alcanza el estado estable. Esta característica se puede atribuir
principalmente a la forma de las matrices de entrada para los sistemas locales, condición
necesaria para la regulación exacta. Además, hay que considerar que el algoritmo de
control está fundamentado en la teoría difusa por lo cual se tienen aproximaciones del
sistema no lineal.
Figura 4.15 Señal de entrada para el sistema no lineal.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
T i e m p o (s)
A m
p l
i t
u d
(°
)
e1
e2
e3
e4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1
0
1
2
3
4
T i e m p o (s)
Fu
erz
a (
N)
u1
u2
u3
u4
79
Conclusiones
Con base en la función de nado se obtuvieron patrones para la posición y la trayectoria a
seguir durante el desplazamiento del robot. Se observó que los coeficientes de la
envolvente, así como, la longitud de onda y la frecuencia de oscilación determinan la onda
característica de nado, influyendo directamente en los patrones de nado, por lo tanto, se
ha tomado en cuenta la morfología de movimiento del pez que se busca reproducir con el
propósito de tener una mejor aproximación al movimiento oscilatorio.
Con la aplicación de las ecuaciones de Kane, se obtiene el modelo dinámico del sistema
de locomoción de manera eficiente, es decir, el número de ecuaciones corresponde a los
grados de libertad del sistema. Esta característica aunada a las ecuaciones diferenciales
ordinarias obtenidas permite su implementación en algún programa especializado y
desarrollar simulaciones de manera directa, así como, formular el modelo difuso Takagi-
Sugeno, empleado en el diseño del controlador difuso.
El algoritmo de control difuso sintetizado a partir de la teoría de regulación difusa presentó
buenos resultados, el error de seguimiento se mantuvo acotado cuando el sistema
alcanza el estado estable. Este comportamiento se observó en el sistema difuso, así
como en el sistema no lineal, con lo cual se determina que el modelo difuso desarrollado
representa una buena aproximación a las ecuaciones de movimiento del sistema de
locomoción.
80
Trabajos Futuros
El sistema de locomoción desarrollado ha sido aproximado empleando elementos
elípticos, sin embargo, no representan en su totalidad un pez robot biomimético. Por lo
tanto, se recomienda desarrollar un modelo geométrico que corresponda a la forma del
pez robot, así como integrar sus componentes electrónicos en alguna plataforma CAD con
el propósito de obtener una mejor aproximación de los parámetros de masa, inercia y
centros de masas.
En el análisis presentado se considera el plano 𝑋𝑌, limitando los movimientos de ascenso
y descenso del robot. A fin de obtener un movimiento en el espacio, se propone incorporar
aletas pectorales articuladas, así como, desarrollar el modelo dinámico del pez robot en el
espacio.
Para aumentar la velocidad del pez robot, se requiere un incremento en la frecuencia de
oscilación del exosistema, se sugiere realizar las simulaciones correspondientes a fin de
observar el comportamiento del robot y sus efectos hidrodinamicos.
81
Referencias bibliográficas
[1] A. Budiyono, “Advances in unmanned underwater vehicles technologies: Modeling, control and guidance perspectives,” Indian J. Mar. Sci., vol. 38, no. 3, pp. 282–295, 2009.
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Anexos
87
Publicaciones Anexo A
88
89
90
Cinemática del pez robot Anexo B
B.1 Vectores de posición.
Los vectores 𝒑𝑘 𝜖 ℝ3 definen la posición relativa al sistema de referencia del cuerpo
contiguo anterior y los vectores 𝒓𝑘 𝜖 ℝ3 definen la posición del centro de gravedad del 𝑘-
ésimo eslabón.
Se tiene las posiciones de los vectores 𝑝𝑘𝑇 , 𝑘 = 1,2,3,4 se escriben como:
𝒑1𝑇 = [0 0 0] (B.1.1)
𝒑2𝑇 = [𝑙1 0 0] (B.1.2)
𝒑3𝑇 = [𝑙2 0 0] (B.1.3)
𝒑4𝑇 = [𝑙3 0 0] (B.1.4)
La posición de los centros de masa para los eslabones {𝑟𝑘}𝑇 , 𝑘 = 1,2,3,4
𝒓1𝑇 = [
𝑙12
0 0] (B.1.5)
𝒓2𝑇 = [
𝑙22
0 0] (B.1.6)
𝒓3𝑇 = [
𝑙32
0 0] (B.1.7)
𝒓4𝑇 = [
𝑙42
0 0] (B.1.8)
91
B.2 Representación matricial de los vectores.
Otra forma de escribir vectores definidos en el espacio es en forma matricial. Sean
𝒂 = [𝑎1, 𝑎2, 𝑎3]𝑇 y 𝒃 = [𝑏1, 𝑏2, 𝑏3]
𝑇 dos vectores arbitrarios definidos en el espacio (𝑋𝑌𝑍) tal
que el producto vectorial:
𝒄 = [
𝑐1
𝑐2
𝑐3
] = 𝒂 × 𝒃 = [
𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2
𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3
𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1
] (B.2.1)
produce el vector ortogonal 𝒄. El cual se reescribe como:
��𝒃 = [
0 −𝑎3 𝑎2
𝑎3 0 −𝑎1
−𝑎2 𝑎1 0] [
𝑏1
𝑏2
𝑏3
] (B.2.2)
dónde:
�� = [
0 −𝑎3 𝑎2
𝑎3 0 −𝑎1
−𝑎2 𝑎1 0]
(B.2.3)
es la matriz antisimetrica. Para los vectores 𝒑𝑘 , 𝑘 = 1,2,3,4 la forma matricial se expresa
como:
[𝑺𝑝] = [0 0 00 0 −𝑝𝑘
0 𝑝𝑘 0]
(B.2.4)
Entonces:
[𝑺𝑝2] = [
0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0
]
(B.2.5)
[𝑺𝑝3] = [
0 0 00 0 −𝑙20 𝑙2 0
]
(B.2.6)
[𝑺𝑝4] = [
0 0 00 0 −𝑙30 𝑙3 0
]
(B.2.7)
Y para los vectores 𝒓𝑘
92
[𝑺𝑟1] = [
0 0 0
0 0 −𝑙12
0𝑙12
0
]
(B.2.8)
[𝑺𝑟2] = [
0 0 0
0 0 −𝑙22
0𝑙22
0
]
(B.2.9)
[𝑺𝑟3] = [
0 0 0
0 0 −𝑙32
0𝑙32
0
]
(B.2.10)
[𝑺𝑟4] = [
0 0 0
0 0 −𝑙42
0𝑙42
0
]
(B.2.11)
93
B.3 Matrices de trasformación.
Las matrices de transformación y sus derivadas son muy importantes en la formulación de
velocidades y aceleraciones angulares y del centro de masas.
[𝑺10] = [−cos 𝜃1 sin 𝜃1 0sin 𝜃1 cos 𝜃1 0
0 0 1]
(B.3.1)
[𝑺21] = [cos 𝜃2 sin 𝜃2 0−sin 𝜃2 cos 𝜃2 0
0 0 1]
(B.3.2)
[𝑺32] = [cos 𝜃3 sin 𝜃3 0−sin 𝜃3 cos 𝜃3 0
0 0 1]
(B.3.3)
[𝑺43] = [cos 𝜃4 sin𝜃4 0
−sin 𝜃4 cos 𝜃4 00 0 1
] (B.3.4)
[𝑺01] = [𝑺10]𝑇 = [cos 𝜃1 −sin 𝜃1 0sin𝜃1 cos 𝜃1 0
0 0 1]
(B.3.5)
[𝑺12] = [𝑺21]𝑇 = [cos 𝜃2 −sin𝜃2 0sin 𝜃2 cos 𝜃2 0
0 0 1]
(B.3.6)
[𝑺23] = [𝑺32]𝑇 = [cos𝜃3 −sin 𝜃3 0sin𝜃3 cos 𝜃3 0
0 0 1
] (B.3.7)
[𝑺34] = [𝑺43]𝑇 = [cos 𝜃4 −sin 𝜃4 0sin𝜃4 cos 𝜃4 0
0 0 1]
(B.3.8)
[𝑺20] = [𝑺21][𝑺10] = [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
] (B.3.9)
5
[𝑺30] = [𝑺32][𝑺21][𝑺10] = [cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 00 0 1
] (B.3.10)
94
[𝑺40] = [𝑺43][𝑺32][𝑺21][𝑺10]
= [−cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) 0
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) 00 0 1
]
(B.3.11)
B.4 Posición de los centros de masa.
Desarrollando (3.2) se tiene la posición del centro de gravedad del eslabón uno respecto
al sistema de referencia 𝑅1∗.
𝒓𝑮𝟏= (𝒓1
𝑇[𝑺10])𝒏 (B.4.1)
𝒓𝑮𝟏
= [𝑙12
0 0] [cos𝜃1 sin𝜃1 0−sin𝜃1 cos𝜃1 0
0 0 1]
(B.4.2)
𝒓𝑮𝟏= [
𝑙12
cos𝜃1
𝑙12
sin𝜃1
0
]
(B.4.3)
De igual manera al desarrollar (3.3) se obtiene la posición del centro de gravedad del
eslabón dos con respecto al sistema 𝑅0∗.
𝒓𝑮𝟐= (𝒑2
𝑇[𝑺10]+𝒓2𝑇[𝑺20])𝒏 (B.4.4)
𝒓𝑮𝟐
= [𝑙1 0 0] [cos 𝜃1 sin𝜃1 0
− sin𝜃1 cos𝜃1 00 0 1
]
+ [𝑙22
0 0] [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
]
(B.4.5)
𝒓𝑮𝟐= [
𝑙1 cos 𝜃1 +𝑙22
cos(𝜃1 + 𝜃2)
𝑙1 sin 𝜃1 +𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2)
0
]
(B.4.6)
Teniendo la forma explícita de (3.4) se obtiene la posición del centro de gravedad del
eslabón tres con respecto al sistema 𝑅0∗.
95
𝒓𝑮𝟑= (𝒑2
𝑇[𝑺10]+𝒑3𝑇[𝑺20] + 𝒓3
𝑇[𝑺30])𝒏 (B.4.7)
𝒓𝑮𝟑
= [𝑙1 0 0] [cos 𝜃1 sin𝜃1 0−sin𝜃1 cos 𝜃1 0
0 0 1]
+ [𝑙2 0 0] [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
]
+ [𝑙32
0 0] [cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 00 0 1
]
(B.4.8)
𝒓𝑮𝟑= [
𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
𝑙1 sin𝜃1 + 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
0
]
(B.4.9)
Finalmente la forma explícita de (3.5) proporciona la posición del centro de gravedad del
eslabón cuatro con respecto al sistema 𝑅0∗.
𝒓𝑮𝟒= (𝒑2
𝑇[𝑺10] + 𝒑3𝑇[𝑺20] + 𝒑4
𝑇[𝑺30] + 𝒓4𝑇[𝑺40])𝒏 (B.4.10)
𝒓𝑮𝟒
= [𝑙1 0 0] [cos 𝜃1 sin 𝜃1 0
−sin 𝜃1 cos 𝜃1 00 0 1
]
+ [𝑙2 0 0] [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
]
+ [𝑙3 0 0] [cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 00 0 1
]
+ [𝑙42
0 0] [−cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) 0
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) 00 0 1
]
(B.4.11)
𝒓𝑮𝟒
= [
𝑙1 cos𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
0
]
(B.4.12)
96
B.5 Velocidades parciales.
Sea [𝑉𝑘] definida como
[𝑽𝑘] =
[ [𝑺𝑝2
][𝑺10]
[𝑺𝑝3][𝑺20]
⋮[𝑺𝑝𝑘
][𝑺𝑘0]
[𝑺𝑟𝑘][𝑺𝑘0]
03×3 ]
(B.5.1)
Se tiene entonces que la matriz de velocidades parciales para el vector uno se determinan
como:
[𝑽1] =
[ [𝑺𝑟1][𝑺
10]
03×3
03×3
03×3 ]
(B.5.2)
[𝑽1] =
[ [
0 0 0
0 0 −𝑙12
0𝑙12
0
] [−cos 𝜃1 sin𝜃1 0sin𝜃1 cos 𝜃1 0
0 0 1]
03×3
03×3
03×3 ]
(B.5.3)
[𝑽1] =
[
0 0 0
0 0 −𝑙12
−𝑙12sin𝜃1
𝑙12cos 𝜃1 0
03×3
03×3
03×3 ]
(B.5.4)
La matriz de velocidades parciales para el vector dos se determina como:
[𝑽2] =
[ [𝑺𝑞2
][𝑺10]
[𝑺𝑟2][𝑺20]
03×3
03×3 ]
(B.5.5)
97
[𝑽2] =
[
[
0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0
] [−cos𝜃1 sin𝜃1 0sin𝜃1 cos𝜃1 0
0 0 1]
[
0 0 0
0 0 −𝑙22
0𝑙22
0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
]
03×3
03×3 ]
(B.5.6)
[𝑽2] =
[ 0
0−𝑙1 sin 𝜃1
00
−𝑙22sin(𝜃1 + 𝜃2)
00
𝑙1 cos 𝜃1
00
𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)
0−𝑙100
−𝑙22
003×3
03×3 ]
(B.5.7)
La matriz de velocidades parciales para el eslabón tres se escribe como:
[𝑽3] =
[ [𝑺𝑞2
][𝑺10]
[𝑺𝑞3][𝑺20]
[𝑺𝑟3][𝑺30]
03×3 ]
(B.5.8)
[𝑽3] =
[
[
0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0
] [cos 𝜃1 sin 𝜃1 0−sin𝜃1 cos 𝜃1 0
0 0 1]
[
0 0 00 0 −𝑙20 𝑙2 0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
]
[
0 0 0
0 0 −𝑙32
0𝑙32
0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 00 0 1
]
03×3 ]
(B.5.9)
98
[𝑽3] =
[
00
−𝑙1sin𝜃1
00
−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2)00
−𝑙32sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
00
𝑙1cos 𝜃1
00
𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2)00
𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
0−𝑙100
−𝑙200
−𝑙32
003×3 ]
(B.5.10)
Por último, la matriz de velocidades parciales para el eslabón cuatro se calcula como:
[𝑽4] =
[ [𝑺𝑞2
][𝑺10]
[𝑺𝑞3][𝑺20]
[𝑺𝑞4][𝑺30]
[𝑺𝑟4][𝑺40]]
(B.5.11)
[𝑽4] =
[
[
0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0
] [−cos𝜃1 sin𝜃1 0sin𝜃1 cos𝜃1 0
0 0 1]
[
0 0 00 0 −𝑙20 𝑙2 0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
]
[
0 0 00 0 −𝑙30 𝑙3 0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 00 0 1
]
[
0 0 0
0 0 −𝑙42
0𝑙42
0
] [−cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) 0
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4) 00 0 1
]
]
(B.5.12)
[𝑽4] =
[
00
−𝑙1 sin𝜃1
00
−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2)00
−𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)00
−𝑙42sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
00
𝑙1 cos 𝜃1
00
𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2)00
𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)00
𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
0−𝑙100
−𝑙200
−𝑙300𝑙42
0 ]
(B.5.13)
99
B.6 Velocidades de los centros de masa.
Sea:
𝐲𝑇 = ��𝑇[𝑾] (B.6.1)
Dónde:
��𝑇 = [0 0 ��1 0 0 ��2 0 0 ��3 0 0 ��4] (B.6.2)
Y [𝑾] se define como:
[𝑾] =
[ [𝑺
10]03×3
03×3
03×3
[𝑺10]
[𝑺20]03×3
03×3
[𝑺10]
[𝑺20]
[𝑺30]03×3
[𝑺10]
[𝑺20]
[𝑺30]
[𝑺40]]
(B.6.3)
Tal que
𝐲𝑇
= [0 0 θ1 0 0 (θ1 + θ2) 0 0 (θ1 + θ2 + θ3) 0 0 (θ1 + θ2 + θ3 + θ4)]
(B.6.4)
Y
𝝂𝑇 = [u v 0] (B.6.5)
Las velocidades lineales para el eslabón se calcula como:
𝐯𝑮𝑘= (𝝂 + 𝐲𝑇[𝑽1])𝒏 (B.6.6)
𝐯𝑮1= [
𝑢𝑣0] + 𝐲𝑇
[
0 0 0
0 0 −𝑙12
−𝑙12sin𝜃1
𝑙12cos𝜃1 0
03×3
03×3
03×3 ]
(B.6.7)
𝐯𝑮1= [
u1
v1
0]
(B.6.8)
100
Dónde:
u1 = u −𝑙12
θ1sin 𝜃1 (B.6.9)
v1 = v +𝑙12 θ1 cos 𝜃1 (B.6.10)
Las velocidades del centro de masa del eslabón de calculan como:
𝐯𝑮2= (𝝂 + 𝐲𝑇[𝑽2])𝒏 (B.6.11)
𝐯𝑮2= [
uv0] + 𝐲𝑇
[ 0
0−𝑙1 sin 𝜃1
00
−𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2)
00
𝑙1 cos𝜃1
00
𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)
0−𝑙100
−𝑙22
003×3
03×3 ]
(B.6.12)
𝐯𝑮2= [
u2
v2
0]
(B.6.13)
Dónde:
u2 = u − 𝑙1θ1 sin𝜃1 +𝑙22(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2) (B.6.14)
v2 = v + 𝑙2θ1 cos 𝜃1 +𝑙22 (θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2) (B.6.15)
Para el eslabón tres las velocidades del centro de masa se determinan como:
𝐯𝑮3= (𝝂 + 𝐲𝑇[𝑽3])𝒏 (B.6.16)
𝐯𝑮3= [
uv0] + 𝐲𝑇
[
00
−𝑙1sin𝜃1
00
−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2)00
−𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
00
𝑙1cos𝜃1
00
𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2)00
𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
0−𝑙100
−𝑙200
−𝑙32
003×3 ]
(B.6.17)
101
𝐯𝑮3= [
u3
v3
0]
(B.6.18)
Dónde:
u3 = u − 𝑙1��1 sin 𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2) −𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) (B.6.19)
v3 = v + 𝑙1θ1 cos𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
(B.6.20)
Las velocidades del centro de masa del eslabón cuatro se calculan como:
𝐯𝑮4= (𝝂 + 𝐲𝑇[𝑽4])𝒏 (B.6.21)
𝐯𝑮4= [
uv0] + 𝐲𝑇
[
00
−𝑙1 sin 𝜃1
00
−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2)00
−𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)00
−𝑙42sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
00
𝑙1 cos 𝜃1
00
𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2)00
𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)00
𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
0−𝑙100
−𝑙200
−𝑙300𝑙42
0 ]
(B.6.22)
𝐯𝑮4= [
u4
v4
0]
(B.6.23)
Dónde:
u4 = u − 𝑙1θ1 sin𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
(B.6.24)
v4 = v + 𝑙1 θ1cos 𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+ 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
(B.6.25)
102
B.7 Velocidades angulares de los centros de masa.
Sea:
��𝑘 = ��𝑇[𝛀𝑘]𝒏 (B.7.1)
Dónde:
[𝛀𝑘] =
[
𝑰𝑺10
𝑺20
⋮𝑺𝑗−1,0
0 ]
(B.7.2)
Dónde 𝑰 ∈ ℝ3×3 y 𝑺𝑗−1,0 son las matrices de transformación, 𝒒𝑇 se define como:
��𝑇 = [0 0 ��1 0 0 ��2 0 0 ��3 0 0 ��4] (B.7.3)
Calculando la velocidad angular del eslabón uno, se tiene:
[𝛀1] = [
𝑰03×3
03×3
03×3
]
(B.7.4)
��1 = ��𝑇
[ 1 0 00 1 00 0 1
03×3
03×3
03×3 ]
(B.7.5)
��1 = [0 0 ��1] (B.7.6)
Para el eslabón dos se tienen:
[𝛀2] = [
𝐼[𝑺10]03×3
03×3
]
(B.7.7)
��2 = ��𝑇
[
100
cos 𝜃1
−sin𝜃1
0
010
sin𝜃1
cos𝜃1
0
001001
03×3
03×3 ]
(B.7.8)
103
��2 = [0 0 (��1 + ��2)] (B.7.9)
Para el eslabón tres:
[𝛀3] = [
𝐼[𝑺10]
[𝑺20]03×3
]
(B.7.10)
��3 = ��𝑇
[
100
cos𝜃1
−sin𝜃1
0cos(𝜃1 + 𝜃2)
− sin(𝜃1 + 𝜃2)0
010
sin 𝜃1
cos 𝜃1
0sin(𝜃1 + 𝜃2)
cos(𝜃1 + 𝜃2)0
001001001
03×3 ]
(B.7.11)
��3 = [0 0 (��1 + ��2 + ��3)] (B.7.12)
Finalmente es para el eslabón cuatro se tiene:
[𝛀4] = [
𝐼[𝑺10]
[𝑺20]
[𝑺30]
]
(B.7.13)
��4 = ��𝑇
[
100
cos𝜃1
−sin𝜃1
0cos(𝜃1 + 𝜃2)
− sin(𝜃1 + 𝜃2)0
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)0
010
sin 𝜃1
cos 𝜃1
0sin(𝜃1 + 𝜃2)
cos(𝜃1 + 𝜃2)0
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)0
001001001001]
(B.7.14)
��4 = [0 0 (��1 + ��2 + ��3 + ��4)] (B.7.15)
104
B.8 Aceleraciones parciales.
Sea [��𝑘] definida como:
[��𝑘] =
[
[𝑺𝑞2][𝚯10][𝑺10]
[𝑺𝑞3][𝚯20][𝑺20]
⋮[𝑺𝑞𝑘
][𝚯𝑘−1,0][𝑺𝑘−1,0]
[𝑺𝑟𝑘][𝚯𝑘0][𝑺𝑘0]
03×3 ]
(B.8.1)
Dónde:
[𝚯𝑘0] = [��𝑘0][𝑺𝑘0]𝑇 = [
0 −𝜔𝑧 𝜔𝑦
𝜔𝑧 0 −𝜔𝑥
−𝜔𝑦 𝜔𝑥 0]
(B.8.2)
Donde 𝜔𝑥, 𝜔𝑦 y 𝜔𝑧 representan las componentes del vector de velocidades angulares ��𝑘.
Se tiene que la matriz de aceleraciones parciales para el eslabón uno se escribe como:
[��1] =
[ [
0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0
] [0 −��1 0𝜃1 0 00 0 0
] [−cos 𝜃1 sin𝜃1 0sin𝜃1 cos 𝜃1 0
0 0 1]
03×3
03×3
03×3 ]
(B.8.3)
[��1] =
[
00
−𝑙12��1 cos 𝜃1
00
−𝑙12��1 sin𝜃1
000
03×3
03×3
03×3 ]
(B.8.4)
Para el eslabón dos:
[��2]
=
[
[
0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0
] [0 −��1 0𝜃1 0 00 0 0
] [−cos 𝜃1 sin𝜃1 0sin𝜃1 cos 𝜃1 0
0 0 1]
[
0 0 0
0 0 −𝑙22
0𝑙22
0
] [
0 −(��1 + 𝜃2) 0
(��1 + 𝜃2) 0 0
0 0 0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
]
03×3
03×3 ]
(B.8.5)
105
[��2] =
[
00
−𝑙1��1 cos 𝜃1
00
−𝑙22(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙1��1 sin𝜃1
00
−𝑙22(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
000000
03×3
03×3 ]
(B.8.6)
Para el eslabón tres, la aceleración parcial se escribe como:
[��3] =
[
[
0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0
] [0 −��1 0𝜃1 0 00 0 0
] [−cos 𝜃1 sin 𝜃1 0sin 𝜃1 cos 𝜃1 0
0 0 1
]
[
0 0 00 0 −𝑙20 𝑙2 0
] [0 −𝜃23 0
𝜃23 0 00 0 0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
]
[
0 0 0
0 0 −𝑙32
0𝑙32
0
] [0 −𝜃33 0
𝜃33 0 00 0 0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 00 0 1
]
03×3 ]
(B.8.7)
[��3] =
[
00
−𝑙1��1 cos𝜃1
00
−𝑙2(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
00
−𝑙1��1 sin𝜃1
00
−𝑙2(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
000000000
03×3 ]
(B.8.8)
Dónde:
𝜃23 = (��1 + ��2) (B.8.9)
106
Finalmente para el eslabón cuatro se tienen:
[��4]
=
[
[
0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0
] [0 −��1 0𝜃1 0 00 0 0
] [−cos 𝜃1 sin𝜃1 0sin𝜃1 cos 𝜃1 0
0 0 1]
[0 0 00 0 −𝑙20 𝑙2 0
] [0 −𝜔23 0
𝜔23 0 00 0 0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2) sin(𝜃1 + 𝜃2) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) 00 0 1
]
[
0 0 00 0 −𝑙30 𝑙3 0
] [0 −𝜔33 0
𝜔33 0 00 0 0
] [cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 0
−sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) 00 0 1
]
[
0 0 0
0 0 −𝑙42
0𝑙42
0
] [0 −𝜔43 0
𝜔43 0 00 0 0
] [−cos(𝜃) sin(𝜃) 0sin(𝜃) cos(𝜃) 0
0 0 1
]
]
(B.8.10)
[��4]
=
[
00
−𝑙1��1 cos 𝜃1
00
−𝑙2(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙3(��1 + ��2 + ��3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
00
−𝑙42𝜔43 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
00
−𝑙1��1 sin 𝜃1
00
−𝑙2(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙3(��1 + ��2 + ��3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
00
−𝑙42𝜔43 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
000000000000]
(B.8.11)
Dónde:
𝜃33 = (��1 + ��2 + ��3) (B.8.12)
𝜃43 = (��1 + ��2 + ��3 + ��4) (B.8.13)
107
B.9 Aceleraciones del centro de masa.
Sea:
��𝑇
= [0 0 θ1 0 0 (θ1 + θ2) 0 0 (θ1 + θ2 + θ3) 0 0 (θ1 + θ2 + θ3 + θ4)]
(B.9.1)
Y
��𝑇 = [u v 0] (B.9.2)
Las aceleraciones del centro de masa para el eslabón uno se calcula como:
𝐚𝐺1= (�� + ��𝑇[𝑽1] + 𝐲𝑇[��1])𝒏 (B.9.3)
𝐚𝐺1= [
uv0] + ��𝑇
[
0 0 0
0 0 −𝑙12
−𝑙12sin𝜃1
𝑙12cos 𝜃1 0
03×3
03×3
03×3 ]
+ {𝑦}𝑇
[
00
−𝑙12��1 cos 𝜃1
00
−𝑙12��1 sin𝜃1
000
03×3
03×3
03×3 ]
(B.9.4)
𝐚𝐺1= [
u1
v1
0]
(B.9.5)
Dónde:
u1 = u −𝑙12�� sin 𝜃1 −
𝑙12��1
2 cos 𝜃1 (B.9.6)
v1 = v +𝑙12�� cos 𝜃1 −
𝑙12��1
2 sin𝜃1 (B.9.7)
Para el eslabón dos, las aceleraciones del centro de masa se calculan como:
𝐚𝐺2= (�� + ��𝑇[𝑽2] + 𝐲𝑇[��2])𝒏 (B.9.8)
108
𝐚𝐺2= [
uv0] + ��𝑇
[ 0
0−𝑙1 sin𝜃1
00
−𝑙22sin(𝜃1 + 𝜃2)
00
𝑙1 cos 𝜃1
00
𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)
0−𝑙100
−𝑙22
003×3
03×3 ]
+ 𝐲𝑇
[
00
−𝑙1��1 cos 𝜃1
00
−𝑙22(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙1��1 sin𝜃1
00
−𝑙22(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
000000
03×3
03×3 ]
(B.9.9)
��2 = [��2
��2
0]
(B.9.10)
Dónde:
u2 = u − 𝑙1�� sin 𝜃1 − 𝑙1��12 cos 𝜃1 −
𝑙22(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙22(��1 + ��2)
2cos(𝜃1 + 𝜃2)
(B.9.11)
v2 = v + 𝑙1�� cos𝜃1 − 𝑙1��12 sin𝜃1 +
𝑙22(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙22(��1 + ��2)
2sin(𝜃1 + 𝜃2)
(B.9.12)
Las aceleraciones del centro de masa presentes en el eslabón tres se calculan como:
𝐚𝐺3= (�� + ��𝑇[𝑽3] + 𝐲𝑇[��3])𝒏 (B.9.13)
𝐚𝐺3= [
uv0] + ��𝑇
[
00
−𝑙1sin 𝜃1
00
−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2)00
−𝑙32sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
00
𝑙1cos 𝜃1
00
𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2)00
𝑙32cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
0−𝑙100
−𝑙200
−𝑙32
003×3 ]
+
(B.9.14)
109
𝐲𝑇
[
00
−𝑙1��1 cos 𝜃1
00
−𝑙2(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
00
−𝑙1��1 sin𝜃1
00
−𝑙2(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
000000000
03×3 ]
𝐚𝐺3= [
u3
v3
0]
(B.9.15)
Dónde:
u3 = u−𝑙1��1sin 𝜃1 − 𝑙1��12 cos 𝜃1 − 𝑙2(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2cos(𝜃1 + 𝜃2) −
𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3)
2cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
(B.9.16)
v3 = v + 𝑙1��1cos𝜃1 − 𝑙1��12 sin𝜃1 +𝑙2(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2sin(𝜃1 + 𝜃2) +
𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
(B.9.17)
Las aceleraciones del centro de masa para el eslabón cuatro se determinan como:
𝐚𝐺4= (�� + ��𝑇[𝑽4] + 𝐲𝑇[��4])𝒏 (B.9.18)
𝐚𝐺4= [
uv0] + ��𝑇
[
00
−𝑙1 sin𝜃1
00
−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2)00
−𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)00
−𝑙42sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
00
𝑙1 cos𝜃1
00
𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2)00
𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)00
𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
0−𝑙100
−𝑙200
−𝑙300𝑙42
0 ]
+
(B.9.19)
110
𝐲𝑇
[
00
−𝑙1��1 cos 𝜃1
00
−𝑙2(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙3(��1 + ��2 + ��3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
00
−𝑙42𝜔43 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
00
−𝑙1��1 sin𝜃1
00
−𝑙2(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
00
−𝑙3(��1 + ��2 + ��3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
00
−𝑙42𝜔43 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
000000000000]
𝐚𝐺4= [
u4
v4
0]
(B.9.20)
Dónde:
u4 = u − 𝑙1��1 sin 𝜃1 − 𝑙1��12 cos𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2cos(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− 𝑙3(��1 + ��2 + ��3)2cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
−𝑙42(��1 + ��2 + ��3 + ��4)
2 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
(B.9.21)
v4 = v + 𝑙1��1 cos𝜃1 − 𝑙1��12 sin𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2sin(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− 𝑙3(��1 + ��2 + ��3)2sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
−𝑙42(��1 + ��2 + ��3 + ��4)
2 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
(B.9.22)
111
B.10 Aceleraciones angulares de los centros de masa.
Sea:
��𝑇 = [0 0 ��1 0 0 ��2 0 0 ��3 0 0 ��4] (B.10.1)
Tal, que las aceleraciones angulares se calculan como:
𝜶𝐺𝑘= (��𝑇[𝛀𝑘] + ��𝑇[��𝑘])𝒏 (B.10.2)
De acuerdo a la configuración del sistema y dado que tiene rotación únicamente en el eje
𝑍𝑘, el producto ��𝑇[��𝑘] = 0 se presenta en los cuatro eslabones, de esta manera se
reduce el cálculo de las aceleraciones angulares, se tiene entonces para el eslabón uno:
𝜶𝐺1= ��𝑇
[ 1 0 00 1 00 0 1
03×3
03×3
03×3 ]
𝒏
(B.10.3)
𝜶𝐺1= [0 0 ��1]𝒏 (B.10.4)
La aceleración angular para el eslabón dos se calcula como:
𝜶𝐺2= (��𝑇[𝛀2])𝒏 (B.10.5)
𝜶𝐺2= ��𝑇
[
100
cos 𝜃1
−sin𝜃1
0
010
sin𝜃1
cos𝜃1
0
001001
03×3
03×3 ]
𝒏
(B.10.6)
𝜶𝐺2= [0 0 (��1 + ��2)]𝒏 (B.10.7)
La aceleración angular del centro de masa del eslabón tres se escribe como:
𝜶𝐺3= (��𝑇[𝛀3])𝒏 (B.10.8)
112
𝜶𝐺3= ��𝑇
[
100
cos 𝜃1
−sin𝜃1
0cos(𝜃1 + 𝜃2)
− sin(𝜃1 + 𝜃2)0
010
sin𝜃1
cos𝜃1
0sin(𝜃1 + 𝜃2)
cos(𝜃1 + 𝜃2)0
001001001
03×3 ]
𝒏
(B.10.9)
𝜶𝐺3= [0 0 (��1 + ��2 + ��3)]𝒏 (B.10.10)
La aceleración angular para el eslabón cuatro se determina como:
𝜶𝐺4= (��𝑇[𝛀4])𝒏 (B.10.11)
𝜶𝐺4= ��𝑇
[
100
cos 𝜃1
−sin 𝜃1
0cos(𝜃1 + 𝜃2)
− sin(𝜃1 + 𝜃2)0
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)0
010
sin𝜃1
cos𝜃1
0sin(𝜃1 + 𝜃2)
cos(𝜃1 + 𝜃2)0
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)0
001001001001]
𝒏
(B.10.12)
𝜶𝐺4= [0 0 (��1 + ��2 + ��3 + ��3)]𝒏 (B.10.13)
113
Dinámica del pez robot. Anexo C
C.11 Fuerzas de inercia
La forma explícita de las fuerzas que actúan sobre cada uno de los eslabones se
determina al sustituir la posición de los centros de masa (Anexo A.4), las velocidades
lineales (Anexo A.6) y angulares (Anexo A.7), aceleraciones lineales (Anexo A.9) y
angulares (Anexo A.10) en las ecuaciones (3.28)-(3.30).
La fuerza longitudinal (3.32), la fuerza lateral (3.33) y el momento de inercia (3.34) para el
eslabón uno se escriben de manera explícita como:
𝑋1∗ = −𝑚1 [(u −
𝑙12�� sin 𝜃1 −
𝑙12��1
2 cos𝜃1) − r (v +𝑙12 θ1 cos 𝜃1) − 𝑟2 (
𝑙12
cos 𝜃1)
− �� (𝑙12
sin𝜃1)]
(C.11.1)
𝑌1∗ = −𝑚1 [(�� +
𝑙12�� cos 𝜃1 −
𝑙12��1
2 sin𝜃1) + 𝑟 (𝑢 −𝑙12
θ1sin 𝜃1) − 𝑟2 (𝑙12
sin𝜃1)
− �� (𝑙12cos 𝜃1)]
(C.11.2)
𝑁1∗ = −𝐼𝑧1
(�� + ��1) + 𝑚1 [𝑙12
4�� +
𝑙12�� cos 𝜃1 −
𝑙12�� sin 𝜃1 +
𝑙12𝑢𝑟 cos 𝜃1 +
𝑙12𝑣𝑟 sin 𝜃1] (C.11.3)
La expresión (3.36) describe la fuerza longitudinal, (3.37) la fuerza lateral y (3.38) el
momento de inercia que acta sobre el eslabón dos, la forma explícita se escribe como:
𝑋2∗ = −𝑚2 [(�� − 𝑙1�� sin 𝜃1 − 𝑙1��1
2 cos 𝜃1 −𝑙22(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙22(��1 + ��2)
2cos(𝜃1 + 𝜃2))
− 𝑟 (𝑣 + 𝑙2θ1 cos 𝜃1 +𝑙22 (θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2))
− 𝑟2 (𝑙1 cos 𝜃1 +𝑙22
cos(𝜃1 + 𝜃2)) − �� (𝑙1 sin𝜃1 +𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2))]
(C.11.4)
𝑌2∗ = −𝑚2 [(�� + 𝑙1�� cos 𝜃1 − 𝑙1��1
2 sin𝜃1 +𝑙22(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙22(��1 + ��2)
2sin(𝜃1 + 𝜃2))
+ 𝑟 (𝑢 − 𝑙1 θ1sin 𝜃1 +𝑙22(θ1 + θ2)sin(𝜃1 + 𝜃2))
− 𝑟2 (𝑙1 sin𝜃1 +𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2)) + �� (𝑙1 cos 𝜃1 +𝑙22
cos(𝜃1 + 𝜃2))]
(C.11.5)
114
𝑁2∗ = −𝐼𝑧2
(�� + ��1 + ��2)
− 𝑚2 [��1 (𝑙12 +
𝑙22
4+ 𝑙1𝑙2 cos 𝜃2) + ��2(
𝑙22
4+
𝑙1𝑙22
cos𝜃2)
− �� (𝑙1 sin 𝜃1 +𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2)) + �� (𝑙1 cos 𝜃1 +𝑙22
cos(𝜃1 + 𝜃2))
+ 𝑢𝑟 (𝑙1 cos𝜃1 +𝑙22
cos(𝜃1 + 𝜃2)) + 𝑣𝑟 (𝑙1 sin 𝜃1 +𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2))
+ −𝑙1𝑙22
��22 sin𝜃2 −
𝑙1𝑙22
��2𝑟 sin 𝜃2 − 𝑙1𝑙2��1��2 sin𝜃2]
(C.11.6)
La forma explícita de la fuerza longitudinal (3.40), la fuerza lateral (3.41) y el momento de
inercia (3.42) para el eslabón tres se escribe como:
𝑋3∗ = −𝑚3 [(�� −𝑙1��1sin 𝜃1 − 𝑙1��1
2 cos𝜃1 − 𝑙2(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2cos(𝜃1 + 𝜃2) −
𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3)
2cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
− 𝑟 (𝑣 + 𝑙1θ1cos𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
− 𝑟2 (𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
− �� (𝑙1 sin𝜃1 + 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))]
(C.11.7)
𝑌3∗ = −𝑚3 [(�� + 𝑙1��1cos 𝜃1 − 𝑙1��1
2 sin 𝜃1 +𝑙2(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2sin(𝜃1 + 𝜃2) +
𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
− 𝑟 (𝑢 − 𝑙1��1 sin 𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
− 𝑟2 (𝑙1 sin𝜃1 + 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
+ �� (𝑙1 cos𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))]
(C.11.8)
115
𝑁3∗ = −𝐼𝑧3
(�� + ��1 + ��2 + ��3)
− 𝑚3 [(𝑙1 cos𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2)
+𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) ((��
+ 𝑙1��1cos 𝜃1 − 𝑙1��12 sin 𝜃1 +𝑙2(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2sin(𝜃1 + 𝜃2) +
𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
+ 𝑟 (𝑢 − 𝑙1��1 sin 𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)))
− (𝑙1 sin𝜃1 + 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2)
+𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) ((�� −𝑙1��1sin 𝜃1 − 𝑙1��12 cos𝜃1
− 𝑙2(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙2(��1 + ��2)2cos(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3)
2cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
+ 𝑟 (𝑣 + 𝑙1θ1 cos 𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)))]
(C.11.9)
Finalmente, la fuerza longitudinal (3.44), la fuerza lateral (3.45) y el momento de inercia
(3.46) que actúan sobre el eslabón cuatro son descritas de manera explícita como:
𝑋4∗ = −𝑚4 [(�� − 𝑙1��1 sin𝜃1 − 𝑙1��1
2 cos 𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2cos(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− 𝑙3(��1 + ��2 + ��3)2cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
−𝑙42(��1 + ��2 + ��3 + ��4)
2cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
(C.11.10)
116
−𝑟 (𝑣 + 𝑙1 θ1cos 𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+ 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
− 𝑟2 (𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
− �� (𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))]
𝑌4∗ = −𝑚4 [(�� + 𝑙1��1 cos 𝜃1 − 𝑙1��1
2 sin 𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2sin(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− 𝑙3(��1 + ��2 + ��3)2sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
−𝑙42(��1 + ��2 + ��3 + ��4)
2sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
+ 𝑟 (𝑢 − 𝑙1θ1 sin𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
− 𝑟2 (𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
+ �� (𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))]
(C.11.11)
𝑁4∗ = −𝐼𝑧4
(�� + ��1 + ��2 + ��3 + ��4)
− 𝑚4 [(𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
(C.11.12)
117
(�� + 𝑙1��1 cos 𝜃1 − 𝑙1��12 sin 𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2sin(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− 𝑙3(��1 + ��2 + ��3)2sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
−𝑙42(��1 + ��2 + ��3 + ��4)
2 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
+ 𝑟 (𝑢 − 𝑙1��1 sin𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
− (𝑙1 cos𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) ((�� − 𝑙1��1 sin 𝜃1 − 𝑙1��12 cos 𝜃1
− 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙2(��1 + ��2)2cos(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− 𝑙3(��1 + ��2 + ��3)2cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
−𝑙42(��𝑟1 + ��2 + ��3 + ��4)
2 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
− 𝑟 (𝑣 + 𝑙1 θ1cos𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+ 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)))]
118
C.12 Fuerzas hidrodinámicas
Para obtener la forma explícita de las fuerzas que se derivan de la interacción entre un
fluido líquido y un cuerpo rígido se consideran las velocidades lineales (Anexo A.6),
aceleraciones lineales (Anexo A.9), velocidades angulares (Anexo A.7) y aceleraciones
angulares (Anexo A.11) de los sólidos que componen al pez robot, así como las derivadas
hidrodinámicas 𝑌��, 𝑋�� y 𝑁�� [53].
La fuerza longitudinal (3.52), la fuerza lateral (3.53) y el momento de inercia (3.54)
hidrodinámicos para el eslabón uno se calculan como:
(𝑋1∗)𝐴 = 𝑋�� (�� −
𝑙12�� sin 𝜃1 −
𝑙12��1
2 cos𝜃1) − 𝑌��(𝑟 + θ1) (𝑣 +𝑙12 θ1 cos 𝜃1) (C.12.1)
(𝑌1∗)𝐴 = 𝑋��(𝑟 + θ1) (𝑢 −
𝑙12
θ1sin 𝜃1) + 𝑌�� (�� −𝑙12�� sin 𝜃1 −
𝑙12��1
2 cos𝜃1) (C.12.2)
(𝑁1∗)𝐴 = (𝑌�� − 𝑋��) (𝑢 −
𝑙12θ1sin𝜃1) (𝑣 +
𝑙12 θ1 cos 𝜃1) + 𝑁��(�� + ��1) (C.12.3)
Para el eslabón dos, la fuerza longitudinal (3.56), la fuerza lateral (3.57) y el momento de
inercia (3.58) se calculan como:
(𝑋2∗)𝐴 = 𝑋�� (�� − 𝑙1�� sin 𝜃1 − 𝑙1��1
2 cos 𝜃1 −𝑙22(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙22(��1 + ��2)
2cos(𝜃1 + 𝜃2))
− 𝑌��(𝑟 + θ1 + θ2) (𝑣 + 𝑙2θ1 cos𝜃1 +𝑙22 (θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2))
(C.12.4)
(𝑌2∗)𝐴 = 𝑋��(𝑟 + θ1 + θ2) (𝑢 − 𝑙1θ1 sin𝜃1 +
𝑙22(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2))
+ 𝑌�� (�� + 𝑙1�� cos 𝜃1 − 𝑙1��12 sin 𝜃1 +
𝑙22(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙22(��1 + ��2)
2sin(𝜃1 + 𝜃2))
(C.12.5)
(𝑁2∗)𝐴 = (𝑌�� − 𝑋��) (𝑢 − 𝑙1θ1 sin𝜃1 +
𝑙22(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑣 + 𝑙2θ1 cos 𝜃1
+𝑙22 (θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)) + 𝑁��(�� + ��1 + ��2)
(C.12.6)
119
La fuerza longitudinal (3.60) la fuerza lateral (3.61) y el momento de inercia (3.62)
presente en el eslabón tres se escriben como:
(𝑋3∗)𝐴 = 𝑋�� (�� −𝑙1��1sin𝜃1 − 𝑙1��1
2 cos 𝜃1 − 𝑙2(��1 + ��2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2cos(𝜃1 + 𝜃2) −
𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3)
2cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
− 𝑌��(𝑟 + θ1 + θ2 + θ3) (𝑣 + 𝑙1θ1 cos 𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
(C.12.7)
(𝑌3∗)𝐴 = 𝑋��(𝑟 + θ1 + θ2 + θ3) (𝑢 − 𝑙1��1 sin 𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) + 𝑌����
+ 𝑙1��1cos 𝜃1 − 𝑙1��12 sin 𝜃1 +𝑙2(��1 + ��2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2sin(𝜃1 + 𝜃2) +
𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙32(��1 + ��2 + ��3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
(C.12.8)
(𝑁3∗)𝐴 = (𝑌�� − 𝑋��) (𝑢 − 𝑙1��1 sin𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑣 + 𝑙1θ1 cos 𝜃1
+ 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
+ 𝑁��(�� + ��1 + ��2 + ��3)
(C.12.9)
Finalmente la fuerza longitudinal (3.64), la fuerza lateral (3.65) y el momento de inercia
(3.66) presente en eslabón cuatro se calcula como:
(𝑋4∗)𝐴 = 𝑋�� (�� − 𝑙1��1 sin𝜃1 − 𝑙1��1
2 cos 𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2cos(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− 𝑙3(��1 + ��2 + ��3)2cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
−𝑙42(��1 + ��2 + ��3 + ��4)
2 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
(C.12.10)
120
−𝑌��(𝑟 + θ1 + θ2 + θ3 + ��4) (𝑣 + 𝑙1 θ1cos𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+ 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
(𝑌4∗)𝐴 = 𝑋��(𝑟 + θ1 + θ2 + θ3 + ��4)𝑢 − 𝑙1θ1 sin𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
+ 𝑌�� (�� + 𝑙1��1 cos𝜃1 − 𝑙1��12 sin𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙2(��1 + ��2)2sin(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
− 𝑙3(��1 + ��2 + ��3)2sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
−𝑙42(��1 + ��2 + ��3 + ��4)
2 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
(C.12.11)
(𝑁4∗)𝐴 = (𝑌�� − 𝑋��) (𝑢 − 𝑙1θ1 sin𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑣 + 𝑙1 θ1cos 𝜃1
+ 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
+ 𝑁��(�� + ��1 + ��2 + ��3 + ��4)
(C.12.12)
121
C.13 Fuerzas de Amortiguamiento
Los términos de amortiguamiento asociados al movimiento de los eslabones se
determinan principalmente por las velocidades lineales y angulares (Anexos A.6 y A.7)
respectivamente. Se tiene entonces que para el eslabón uno el amortiguamiento
hidrodinámico se calcula como:
(𝑋1∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷1
𝑆1 |𝑢 −𝑙12
θ1sin𝜃1| (𝑢 −𝑙12θ1sin𝜃1) (C.13.1)
(𝑌1∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷1
𝑆1 |𝑣 +𝑙12 θ1 cos 𝜃1| (𝑣 +
𝑙12 θ1 cos 𝜃1) (C.13.2)
(𝑁1∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷1
𝑆1|𝑟 + θ1|(𝑟 + θ1) (C.13.3)
Los términos de amortiguamiento para el eslabón dos se calculan como:
(𝑋2∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷2
𝑆2 |𝑢 − 𝑙1θ1 sin 𝜃1 +𝑙22(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)| (𝑢 − 𝑙1θ1 sin𝜃1
+𝑙22(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2))
(C.13.4)
(𝑌2∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷2
𝑆2 |𝑣 + 𝑙2θ1 cos𝜃1 +𝑙22 (θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)| (𝑣 + 𝑙2θ1 cos 𝜃1
+𝑙22 (θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2))
(C.13.5)
(𝑁2∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷2
𝑆2|𝑟 + θ1 + θ2|(𝑟 + θ1 + θ2) (C.13.6)
Para el eslabón tres los términos de amortiguamiento se escriben como:
(𝑋3∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷3
𝑆3 |𝑢 − 𝑙1��1 sin𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
−𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)| (𝑢 − 𝑙1��1 sin𝜃1
− 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2) −𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
(C.13.7)
122
(𝑌3∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷3
𝑆3 |𝑣 + 𝑙1θ1 cos 𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)| (𝑣 + 𝑙1θ1 cos 𝜃1
+ 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3))
(C.13.8)
(𝑁3∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷3
𝑆3|𝑟 + θ1 + θ2 + θ3|(𝑟 + θ1 + θ2 + θ3) (C.13.9)
Para el eslabón cuatro, los términos de amortiguamiento hidrodinámico se calculan como:
(𝑋4∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷4
𝑆4 |𝑢 − 𝑙1θ1 sin𝜃1 − 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2)
− 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)| (𝑢 − 𝑙1θ1 sin 𝜃1
− 𝑙2(θ1 + θ2) sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
−𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
(C.13.10)
(𝑌4∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷4
𝑆4 |𝑣 + 𝑙1 θ1cos𝜃1 + 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2)
+ 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)| (𝑣 + 𝑙1 θ1cos 𝜃1
+ 𝑙2(θ1 + θ2) cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3(θ1 + θ2 + θ3) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
+𝑙42(θ1 + θ2 + θ3 + θ4) cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4))
(C.13.11)
(𝑁4∗)𝐷 = −
1
2𝜌𝐶𝐷4
𝑆4|𝑟 + θ1 + θ2 + θ3 + θ4|(𝑟 + θ1 + θ2 + θ3 + θ4) (C.13.12)
123
Ecuaciones de Kane para el pez robot Anexo D
D.14 Fuerzas generalizadas de inercia
Desarrollando (3.8) se tiene:
𝑭𝐵∗ =
[ 𝜕𝐯𝑮1
𝜕u∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕u∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕u∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮4
𝜕u∙ (��4
∗)𝐵
𝜕𝐯𝑮1
𝜕v∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕v∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕v∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮4
𝜕v∙ (��4
∗)𝐵
𝐯𝑮1
𝜕r∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕r∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕r∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮4
𝜕r∙ (��4
∗)𝐵 ]
+
[ 𝜕��1
𝜕u∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕��2
𝜕u∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕��3
𝜕u∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕��4
𝜕u∙ (��4
∗)𝐵
𝜕��1
𝜕v∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕��2
𝜕v∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕��3
𝜕v∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕��4
𝜕v∙ (��4
∗)𝐵
𝜕��1
𝜕r∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕��2
𝜕r∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕��3
𝜕r∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕��4
𝜕r∙ (��4
∗)𝐵]
(D.14.1)
Sustituyendo los vectores de fuerza de inercia y calculando las velocidades parciales:
𝑭𝐵∗ =
[ [100] ∙ [
(𝑋1∗)𝐵
(𝑌1∗)𝐵
(𝑁1∗)𝐵
] + [100] ∙ [
(𝑋2∗)𝐵
(𝑌2∗)𝐵
(𝑁2∗)𝐵
] + [100] ∙ [
(𝑋3∗)𝐵
(𝑌3∗)𝐵
(𝑁3∗)𝐵
] + [100] ∙ [
(𝑋4∗)𝐵
(𝑌4∗)𝐵
(𝑁4∗)𝐵
]
[010] ∙ [
(𝑋1∗)𝐵
(𝑌1∗)𝐵
(𝑁1∗)𝐵
] + [010] ∙ [
(𝑋2∗)𝐵
(𝑌2∗)𝐵
(𝑁2∗)𝐵
] + [010] ∙ [
(𝑋3∗)𝐵
(𝑌3∗)𝐵
(𝑁3∗)𝐵
] + [010] ∙ [
(𝑋4∗)𝐵
(𝑌4∗)𝐵
(𝑁4∗)𝐵
]
[000] ∙ [
(𝑋1∗)𝐵
(𝑌1∗)𝐵
(𝑁1∗)𝐵
] + [000] ∙ [
(𝑋2∗)𝐵
(𝑌2∗)𝐵
(𝑁2∗)𝐵
] + [000] ∙ [
(𝑋3∗)𝐵
(𝑌3∗)𝐵
(𝑁3∗)𝐵
] + [000] ∙ [
(𝑋4∗)𝐵
(𝑌4∗)𝐵
(𝑁4∗)𝐵
]
]
+
[ [000] ∙ [
(𝑋1∗)𝐵
(𝑌1∗)𝐵
(𝑁1∗)𝐵
] + [000] ∙ [
(𝑋2∗)𝐵
(𝑌2∗)𝐵
(𝑁2∗)𝐵
] + [000] ∙ [
(𝑋3∗)𝐵
(𝑌3∗)𝐵
(𝑁3∗)𝐵
] + [000] ∙ [
(𝑋4∗)𝐵
(𝑌4∗)𝐵
(𝑁4∗)𝐵
]
[000] ∙ [
(𝑋1∗)𝐵
(𝑌1∗)𝐵
(𝑁1∗)𝐵
] + [000] ∙ [
(𝑋2∗)𝐵
(𝑌2∗)𝐵
(𝑁2∗)𝐵
] + [000] ∙ [
(𝑋3∗)𝐵
(𝑌3∗)𝐵
(𝑁3∗)𝐵
] + [000] ∙ [
(𝑋4∗)𝐵
(𝑌4∗)𝐵
(𝑁4∗)𝐵
]
[001] ∙ [
(𝑋1∗)𝐵
(𝑌1∗)𝐵
(𝑁1∗)𝐵
] + [001] ∙ [
(𝑋2∗)𝐵
(𝑌2∗)𝐵
(𝑁2∗)𝐵
] + [001] ∙ [
(𝑋3∗)𝐵
(𝑌3∗)𝐵
(𝑁3∗)𝐵
] + [001] ∙ [
(𝑋4∗)𝐵
(𝑌4∗)𝐵
(𝑁4∗)𝐵
]
]
(D.14.2)
Finalmente, las fuerzas generalizadas de inercia se calculan como:
𝑭𝐵∗ = [
(𝑋1∗)𝐵 + (𝑋2
∗)𝐵 + (𝑋3∗)𝐵 + (𝑋4
∗)𝐵
(𝑌1∗)𝐵 + (𝑌2
∗)𝐵 + (𝑌3∗)𝐵 + (𝑌4
∗)𝐵
(𝑁1∗)𝐵 + (𝑁2
∗)𝐵 + (𝑁3∗)𝐵 + (𝑁4
∗)𝐵
] (D.14.3)
124
D.15 Fuerzas hidrodinámicas generalizadas
Desarrollando (3.91) se tiene:
𝑭𝐴∗ =
[ 𝜕𝐯𝑮1
𝜕u∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕u∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕u∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮4
𝜕u∙ (��4
∗)𝐴
𝜕𝐯𝑮1
𝜕v∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕v∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕v∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮4
𝜕v∙ (��4
∗)𝐴
𝐯𝑮1
𝜕r∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕r∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕r∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮4
𝜕r∙ (��4
∗)𝐴 ]
+
[ 𝜕��1
𝜕u∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕��2
𝜕u∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕��3
𝜕u∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕��4
𝜕u∙ (��4
∗)𝐴
𝜕��1
𝜕v∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕��2
𝜕v∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕��3
𝜕v∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕��4
𝜕v∙ (��4
∗)𝐴
𝜕��1
𝜕r∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕��2
𝜕r∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕��3
𝜕r∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕��4
𝜕r∙ (��4
∗)𝐴]
(D.15.1)
Sustituyendo los vectores de fuerza hidrodinámica y calculando las velocidades parciales:
𝑭𝐴∗ =
[ [100] ∙ [
(𝑋1∗)𝐴
(𝑌1∗)𝐴
(𝑁1∗)𝐴
] + [100] ∙ [
(𝑋2∗)𝐴
(𝑌2∗)𝐴
(𝑁2∗)𝐴
] + [100] ∙ [
(𝑋3∗)𝐴
(𝑌3∗)𝐴
(𝑁3∗)𝐴
] + [100] ∙ [
(𝑋4∗)𝐴
(𝑌4∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴
]
[010] ∙ [
(𝑋1∗)𝐴
(𝑌1∗)𝐴
(𝑁1∗)𝐴
] + [010] ∙ [
(𝑋2∗)𝐴
(𝑌2∗)𝐴
(𝑁2∗)𝐴
] + [010] ∙ [
(𝑋3∗)𝐴
(𝑌3∗)𝐴
(𝑁3∗)𝐴
] + [010] ∙ [
(𝑋4∗)𝐴
(𝑌4∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴
]
[000] ∙ [
(𝑋1∗)𝐴
(𝑌1∗)𝐴
(𝑁1∗)𝐴
] + [000] ∙ [
(𝑋2∗)𝐴
(𝑌2∗)𝐴
(𝑁2∗)𝐴
] + [000] ∙ [
(𝑋3∗)𝐴
(𝑌3∗)𝐴
(𝑁3∗)𝐴
] + [000] ∙ [
(𝑋4∗)𝐴
(𝑌4∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴
]
]
+
[ [000] ∙ [
(𝑋1∗)𝐴
(𝑌1∗)𝐴
(𝑁1∗)𝐴
] + [000] ∙ [
(𝑋2∗)𝐴
(𝑌2∗)𝐴
(𝑁2∗)𝐴
] + [000] ∙ [
(𝑋3∗)𝐴
(𝑌3∗)𝐴
(𝑁3∗)𝐴
] + [000] ∙ [
(𝑋4∗)𝐴
(𝑌4∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴
]
[000] ∙ [
(𝑋1∗)𝐴
(𝑌1∗)𝐴
(𝑁1∗)𝐴
] + [000] ∙ [
(𝑋2∗)𝐴
(𝑌2∗)𝐴
(𝑁2∗)𝐴
] + [000] ∙ [
(𝑋3∗)𝐴
(𝑌3∗)𝐴
(𝑁3∗)𝐴
] + [000] ∙ [
(𝑋4∗)𝐴
(𝑌4∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴
]
[001] ∙ [
(𝑋1∗)𝐴
(𝑌1∗)𝐴
(𝑁1∗)𝐴
] + [001] ∙ [
(𝑋2∗)𝐴
(𝑌2∗)𝐴
(𝑁2∗)𝐴
] + [001] ∙ [
(𝑋3∗)𝐴
(𝑌3∗)𝐴
(𝑁3∗)𝐴
] + [001] ∙ [
(𝑋4∗)𝐴
(𝑌4∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴
]
]
(D.15.2)
Las fuerzas generalizadas hidrodinámicas se calculan como:
𝑭𝐴∗ = [
(𝑋1∗)𝐴 + (𝑋2
∗)𝐴 + (𝑋3∗)𝐴 + (𝑋4
∗)𝐴
(𝑌1∗)𝐴 + (𝑌2
∗)𝐴 + (𝑌3∗)𝐴 + (𝑌4
∗)𝐴
(𝑁1∗)𝐴 + (𝑁2
∗)𝐴 + (𝑁3∗)𝐴 + (𝑁4
∗)𝐴
] (D.15.3)
125
D.16 Fuerzas generalizadas de amortiguamiento
Desarrollando (3.93) se tiene:
𝑭𝐷∗ =
[ 𝜕𝐯𝑮1
𝜕u∙ (��1
∗)𝐷 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕u∙ (��2
∗)𝐷 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕u∙ (��3
∗)𝐷 +𝜕𝐯𝑮4
𝜕u∙ (��4
∗)𝐷
𝜕𝐯𝑮1
𝜕v∙ (��1
∗)𝐷 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕v∙ (��2
∗)𝐷 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕v∙ (��3
∗)𝐷 +𝜕𝐯𝑮4
𝜕v∙ (��4
∗)𝐷
𝐯𝑮1
𝜕r∙ (��1
∗)𝐷 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕r∙ (��2
∗)𝐷 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕r∙ (��3
∗)𝐷 +𝜕𝐯𝑮4
𝜕r∙ (��4
∗)𝐷 ]
+
[ 𝜕��1
𝜕u∙ (��1
∗)𝐷 +𝜕��2
𝜕u∙ (��2
∗)𝐷 +𝜕��3
𝜕u∙ (��3
∗)𝐷 +𝜕��4
𝜕u∙ (��4
∗)𝐷
𝜕��1
𝜕v∙ (��1
∗)𝐷 +𝜕��2
𝜕v∙ (��2
∗)𝐷 +𝜕��3
𝜕v∙ (��3
∗)𝐷 +𝜕��4
𝜕v∙ (��4
∗)𝐷
𝜕��1
𝜕r∙ (��1
∗)𝐷 +𝜕��2
𝜕r∙ (��2
∗)𝐷 +𝜕��3
𝜕r∙ (��3
∗)𝐷 +𝜕��4
𝜕r∙ (��4
∗)𝐷]
(D.16.1)
Sustituyendo los términos de amortiguamiento y calculando las velocidades parciales:
𝐹𝐷∗ =
[ [100] ∙ [
(𝑋1∗)𝐷
(𝑌1∗)𝐷
(𝑁1∗)𝐷
] + [100] ∙ [
(𝑋2∗)𝐷
(𝑌2∗)𝐷
(𝑁2∗)𝐷
] + [100] ∙ [
(𝑋3∗)𝐷
(𝑌3∗)𝐷
(𝑁3∗)𝐷
] + [100] ∙ [
(𝑋4∗)𝐷
(𝑌4∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷
]
[010] ∙ [
(𝑋1∗)𝐷
(𝑌1∗)𝐷
(𝑁1∗)𝐷
] + [010] ∙ [
(𝑋2∗)𝐷
(𝑌2∗)𝐷
(𝑁2∗)𝐷
] + [010] ∙ [
(𝑋3∗)𝐷
(𝑌3∗)𝐷
(𝑁3∗)𝐷
] + [010] ∙ [
(𝑋4∗)𝐷
(𝑌4∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷
]
[000] ∙ [
(𝑋1∗)𝐷
(𝑌1∗)𝐷
(𝑁1∗)𝐷
] + [000] ∙ [
(𝑋2∗)𝐷
(𝑌2∗)𝐷
(𝑁2∗)𝐷
] + [000] ∙ [
(𝑋3∗)𝐷
(𝑌3∗)𝐷
(𝑁3∗)𝐷
] + [000] ∙ [
(𝑋4∗)𝐷
(𝑌4∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷
]
]
+
[ [000] ∙ [
(𝑋1∗)𝐷
(𝑌1∗)𝐷
(𝑁1∗)𝐷
] + [000] ∙ [
(𝑋2∗)𝐷
(𝑌2∗)𝐷
(𝑁2∗)𝐷
] + [000] ∙ [
(𝑋3∗)𝐷
(𝑌3∗)𝐷
(𝑁3∗)𝐷
] + [000] ∙ [
(𝑋4∗)𝐷
(𝑌4∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷
]
[000] ∙ [
(𝑋1∗)𝐷
(𝑌1∗)𝐷
(𝑁1∗)𝐷
] + [000] ∙ [
(𝑋2∗)𝐷
(𝑌2∗)𝐷
(𝑁2∗)𝐷
] + [000] ∙ [
(𝑋3∗)𝐷
(𝑌3∗)𝐷
(𝑁3∗)𝐷
] + [000] ∙ [
(𝑋4∗)𝐷
(𝑌4∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷
]
[001] ∙ [
(𝑋1∗)𝐷
(𝑌1∗)𝐷
(𝑁1∗)𝐷
] + [001] ∙ [
(𝑋2∗)𝐷
(𝑌2∗)𝐷
(𝑁2∗)𝐷
] + [001] ∙ [
(𝑋3∗)𝐷
(𝑌3∗)𝐷
(𝑁3∗)𝐷
] + [001] ∙ [
(𝑋4∗)𝐷
(𝑌4∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷
]
]
(D.16.2)
Las fuerzas generalizadas de amortiguamiento se escriben como:
𝐹𝐷∗ = [
(𝑋1∗)𝐷 + (𝑋2
∗)𝐷 + (𝑋3∗)𝐷 + (𝑋4
∗)𝐷
(𝑌1∗)𝐷 + (𝑌2
∗)𝐷 + (𝑌3∗)𝐷 + (𝑌4
∗)𝐷
(𝑁1∗)𝐷 + (𝑁2
∗)𝐷 + (𝑁3∗)𝐷 + (𝑁4
∗)𝐷
] (D.16.3)
126
Ecuaciones de Kane para el sistema de locomoción Anexo E
E.17 Velocidades parciales.
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��1= [
−𝑙12
sin𝜃1
𝑙12
cos𝜃1
0
]
(E.17.1)
𝜕𝐯𝑮2
𝜕��1= [
−𝑙1 sin 𝜃1 −𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2)
𝑙1 cos 𝜃1 +𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)
0
]
(E.17.2)
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��1= [
−𝑙1sin 𝜃1 − 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) −𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
𝑙1cos𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
0
]
(E.17.3)
𝜕𝐯𝑮4
𝜕��1
= [
−𝑙1 sin 𝜃1 − 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −𝑙42sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
𝑙1 cos𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
0
]
(E.17.4)
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��2= [
000]
(E.17.5)
𝜕𝐯𝑮2
𝜕��2= [
−𝑙22sin(𝜃1 + 𝜃2)
𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)
0
]
(E.17.6)
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��2= [
−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) −𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
0
]
(E.17.7)
𝜕𝐯𝑮4
𝜕��2= [
−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
0
]
(E.17.8)
127
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��3= [
000]
(E.17.9)
𝜕𝐯𝑮2
𝜕��3= [
000]
(E.17.10)
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��3= [
−𝑙32sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)
0
]
(E.17.11)
𝜕𝐯𝑮4
𝜕��3= [
−𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
0
]
(E.17.12)
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��4= [
000]
(E.17.13)
𝜕𝐯𝑮2
𝜕��4= [
000]
(E.17.14)
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��4= [
000]
(E.17.15)
𝜕𝐯𝑮4
𝜕��4= [
−𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)
0
]
(E.17.16)
𝜕��1
𝜕��1= [
001]
(E.17.17)
𝜕��2
𝜕��1= [
001]
(E.17.18)
𝜕��3
𝜕��1= [
001]
(E.17.19)
𝜕��4
𝜕��1= [
001]
(E.17.20)
128
𝜕��1
𝜕��2= [
000]
(E.17.21)
𝜕��2
𝜕��2= [
001]
(E.17.22)
𝜕��3
𝜕��2= [
001]
(E.17.23)
𝜕��4
𝜕��2= [
001]
(E.17.24)
𝜕��1
𝜕��3= [
000]
(E.17.25)
𝜕��2
𝜕��3= [
000]
(E.17.26)
𝜕��3
𝜕��3= [
001]
(E.17.27)
𝜕��4
𝜕��3= [
001]
(E.17.28)
𝜕��1
𝜕��4= [
000]
(E.17.29)
𝜕��2
𝜕��4= [
000]
(E.17.30)
𝜕��3
𝜕��4= [
000]
(E.17.31)
𝜕��4
𝜕��4= [
001]
(E.17.32)
129
E.18 Fuerzas generalizadas de inercia
Para obtener las fuerzas generalizadas que actúan sobre el sistema de locomoción se
tiene:
��𝐵∗ =
[ 𝜕𝐯𝑮1
𝜕��1∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕��1∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��1∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��1∙ (��4
∗)𝐵
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��2∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕��2∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��2∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��2∙ (��4
∗)𝐵
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��3∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕��3∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��3∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��3∙ (��4
∗)𝐵
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��4∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕��4∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��4∙ (��3
∗)𝐵 +𝐯𝑮3
𝜕��4∙ (��4
∗)𝐵 ]
+
[ 𝜕��1
𝜕��1∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕��2
𝜕��1∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕��3
𝜕��1∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕��4
𝜕��1∙ (��4
∗)𝐵
𝜕��1
𝜕��2∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕��2
𝜕��2∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕��3
𝜕��2∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕��4
𝜕��2∙ (��4
∗)𝐵
𝜕��1
𝜕��3∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕��2
𝜕��3∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕��3
𝜕��3∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕��4
𝜕��3∙ (��4
∗)𝐵
𝜕��1
𝜕��4∙ (��1
∗)𝐵 +𝜕��2
𝜕��4∙ (��2
∗)𝐵 +𝜕��3
𝜕��4∙ (��3
∗)𝐵 +𝜕��4
𝜕��4∙ (��4
∗)𝐵]
(E.18.1)
O bien, se pueden obtener como la suma de las fuerzas que actúan en cada eslabón
como:
��𝑩∗ = (��𝟏
∗)𝑩
+ (��𝟐∗)
𝑩+ (��𝟑
∗)𝑩
+ (��𝟒∗)
𝑩 (E.18.2)
Dónde:
(��𝟏∗)
𝐵=
[ (−
𝑙12
sin𝜃1) (𝑋1∗) + (
𝑙12
cos𝜃1) (𝑌1∗)
000 ]
+ [
𝑁1∗
000
]
(E.18.3)
130
(��𝟐∗)
𝐵=
[ (−𝑙1 sin𝜃1 −
𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑋2∗) + (𝑙1 cos𝜃1 +
𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑌2
∗)
(−𝑙22sin(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑋2
∗) + (𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑌2
∗)
00 ]
+[
𝑁2∗
𝑁2∗
00
]
(E.18.4)
(��𝟑∗)
𝐵=
[ (−𝑙1sin 𝜃1 − 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) −
𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑋3∗)
(−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) −𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑋3∗)
(−𝑙32sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑋3
∗)
0
+(𝑙1cos 𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑌3∗)
+ (𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑌3∗)
+ (𝑙32cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑌3
∗)
0 ]
+ [
𝑁3∗
𝑁3∗
𝑁3∗
0
]
(E.18.5)
(��𝟒∗)
𝐵=
[ (−𝑙1 sin 𝜃1 − 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −
𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4∗)
(−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −𝑙42sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4
∗)
(−𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4∗)
(−𝑙42sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4
∗)
+(𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4∗)
+ (𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4∗)
+ (𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4∗)
+ (𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4∗) ]
+
[ 𝑁4
∗
𝑁4∗
𝑁4∗
𝑁4∗]
(E.18.6)
131
E.19 Fuerzas hidrodinámicas generalizadas
Para obtener las fuerzas generalizadas virtuales que actúan sobre el sistema de
locomoción se tiene:
��𝐴∗ =
[ 𝜕𝐯𝑮1
𝜕��1∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕��1∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��1∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��1∙ (��4
∗)𝐴
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��2∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕��2∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��2∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��2∙ (��4
∗)𝐴
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��3∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕��3∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��3∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��3∙ (��4
∗)𝐴
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��4∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮2
𝜕��4∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕𝐯𝑮3
𝜕��4∙ (��3
∗)𝐴 +𝐯𝑮3
𝜕��4∙ (��4
∗)𝐴 ]
+
[ 𝜕��1
𝜕��1∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕��2
𝜕��1∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕��3
𝜕��1∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕��4
𝜕��1∙ (��4
∗)𝐴
𝜕��1
𝜕��2∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕��2
𝜕��2∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕��3
𝜕��2∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕��4
𝜕��2∙ (��4
∗)𝐴
𝜕��1
𝜕��3∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕��2
𝜕��3∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕��3
𝜕��3∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕��4
𝜕��3∙ (��4
∗)𝐴
𝜕��1
𝜕��4∙ (��1
∗)𝐴 +𝜕��2
𝜕��4∙ (��2
∗)𝐴 +𝜕��3
𝜕��4∙ (��3
∗)𝐴 +𝜕��4
𝜕��4∙ (��4
∗)𝐴]
(E.19.1)
O bien, se pueden expresar como la suma de las fuerzas que actúan en cada eslabón
como:
𝐹𝐴∗ = (𝐹1
∗)𝐴 + (𝐹2∗)𝐴 + (𝐹3
∗)𝐴 + (𝐹4∗)𝐴 (E.19.2)
donde
(��1∗)
𝐴=
[ (−
𝑙12
sin𝜃1) (𝑋1∗)𝐴 + (
𝑙12
cos𝜃1) (𝑌1∗)𝐴
000 ]
+ [
(𝑁1∗)𝐴
000
]
(E.19.3)
(��𝟐∗)
𝐴=
[ (−𝑙1 sin𝜃1 −
𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑋2∗)𝐴 + (𝑙1 cos𝜃1 +
𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑌2
∗)𝐴
(−𝑙22sin(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑋2
∗)𝐴 + (𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑌2
∗)𝐴
00 ]
+[
(𝑁2∗)𝐴
(𝑁2∗)𝐴
00
]
(E.19.4)
132
(��3∗)
𝐴=
[ (−𝑙1sin 𝜃1 − 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) −
𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑋3∗)𝐴
(−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) −𝑙32sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑋3
∗)𝐴
(−𝑙32sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑋3
∗)𝐴
0
+(𝑙1cos 𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑌3
∗)𝐴
+(𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑌3∗)𝐴
+(𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑌3∗)𝐴
0 ]
+ [
(𝑁3∗)𝐴
(𝑁3∗)𝐴
(𝑁3∗)𝐴
0
]
(E.19.5)
(��4∗)
𝐴=
[ (−𝑙1 sin𝜃1 − 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −
𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4∗)𝐴
(−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4∗)𝐴
(−𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4∗)𝐴
(−𝑙42sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4
∗)𝐴
+(𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4∗)𝐴
+(𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4∗)𝐴
+(𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4∗)𝐴
+(𝑙42cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4
∗)𝐴 ]
+
[ (𝑁4
∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴
(𝑁4∗)𝐴]
(E.19.6)
133
E.20 Fuerzas de amortiguamiento hidrodinámico generalizadas
Para obtener las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre el sistema de locomoción
se tiene:
��𝐷∗ =
[ 𝜕𝐯𝑮1
𝜕��1
∙ (��1∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮2
𝜕��1
∙ (��2∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��1
∙ (��3∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��1
∙ (��4∗)𝐷
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��2
∙ (��1∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮2
𝜕��2
∙ (��2∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��2
∙ (��3∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��2
∙ (��4∗)𝐷
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��3
∙ (��1∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮2
𝜕��3
∙ (��2∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��3
∙ (��3∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��3
∙ (��4∗)𝐷
𝜕𝐯𝑮1
𝜕��4
∙ (��1∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮2
𝜕��4
∙ (��2∗)𝐷 +
𝜕𝐯𝑮3
𝜕��4
∙ (��3∗)𝐷 +
𝐯𝑮3
𝜕��4
∙ (��4∗)𝐷 ]
+
[ 𝜕��1
𝜕��1
∙ (��1∗)𝐷 +
𝜕��2
𝜕��1
∙ (��2∗)𝐷 +
𝜕��3
𝜕��1
∙ (��3∗)𝐷 +
𝜕��4
𝜕��1
∙ (��4∗)𝐷
𝜕��1
𝜕��2
∙ (��1∗)𝐷 +
𝜕��2
𝜕��2
∙ (��2∗)𝐷 +
𝜕��3
𝜕��2
∙ (��3∗)𝐷 +
𝜕��4
𝜕��2
∙ (��4∗)𝐷
𝜕��1
𝜕��3
∙ (��1∗)𝐷 +
𝜕��2
𝜕��3
∙ (��2∗)𝐷 +
𝜕��3
𝜕��3
∙ (��3∗)𝐷 +
𝜕��4
𝜕��3
∙ (��4∗)𝐷
𝜕��1
𝜕��4
∙ (��1∗)𝐷 +
𝜕��2
𝜕��4
∙ (��2∗)𝐷 +
𝜕��3
𝜕��4
∙ (��3∗)𝐷 +
𝜕��4
𝜕��4
∙ (��4∗)𝐷]
(E.20.1)
O bien, se pueden expresar como la suma de las fuerzas que actúan en cada eslabón
como:
𝑭𝑫∗ = (𝑭𝟏
∗ )𝑫 + (𝑭𝟐∗ )𝑫 + (𝑭𝟑
∗ )𝑫 + (𝑭𝟒∗ )𝑫 (E.20.2)
donde
(��𝟏∗)
𝐷=
[ (−
𝑙12
sin𝜃1) (𝑋1∗)𝐷 + (
𝑙12
cos𝜃1) (𝑌1∗)𝐷
000 ]
+ [
(𝑁1∗)𝐷
000
]
(E.20.3)
(��𝟐∗)
𝐷=
[ (−𝑙1 sin 𝜃1 −
𝑙22
sin(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑋2∗)𝐷 + (𝑙1 cos 𝜃1 +
𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑌2
∗)𝐷
(−𝑙22sin(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑋2
∗)𝐷 + (𝑙22cos(𝜃1 + 𝜃2)) (𝑌2
∗)𝐷
00 ]
+[
(𝑁2∗)𝐷
(𝑁2∗)𝐷
00
]
(E.20.4)
134
(��3∗)
𝐷=
[ (−𝑙1sin 𝜃1 − 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) −
𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑋3∗)𝐷
(−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) −𝑙32
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑋3∗)𝐷
(−𝑙32sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑋3
∗)𝐷
0
+(𝑙1cos𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑌3∗)𝐷
+(𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) +𝑙32cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑌3
∗)𝐷
+(𝑙32
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)) (𝑌3∗)𝐷
0 ]
+ [
(𝑁3∗)𝐷
(𝑁3∗)𝐷
(𝑁3∗)𝐷
0
]
(E.20.5)
(��𝟒∗)
𝐴=
[ (−𝑙1 sin𝜃1 − 𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −
𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4∗)𝐷
(−𝑙2 sin(𝜃1 + 𝜃2) − 𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4∗)𝐷
(−𝑙3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) −𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4∗)𝐷
(−𝑙42
sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑋4∗)𝐷
+(𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4
∗)𝐷
+(𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4
∗)𝐷
+(𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) +𝑙42
cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4∗)𝐷
+(𝑙42cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃4)) (𝑌4
∗)𝐷 ]
+
[ (𝑁4
∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷
(𝑁4∗)𝐷]
(E.20.6)
135
Modelo dinámico del pez robot Anexo F
F.21 Matriz de inercia
Sea:
𝑴𝑩 = −𝜕
𝜕��𝑭𝐵
∗ (F.21.1)
Donde 𝐹𝐵∗ son las fuerzas generalizadas del cuerpo rígido, definidas en (3.90) y
��𝑇 = [�� �� ��] (F.21.2)
Se tiene entonces que:
𝑴𝑩 = [
𝑚𝐵11
0−𝑚𝐵31
0𝑚𝐵22
𝑚𝐵32
−𝑚𝐵13
𝑚𝐵23
𝑚𝐵33
] (F.21.3)
Dónde:
𝑚𝐵11 = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4 (F.21.4)
𝑚𝐵13 = 𝑚1𝑦𝐺1+ 𝑚2𝑦𝐺2
+ 𝑚3𝑦𝐺3+ 𝑚4𝑦𝐺4
(F.21.5)
𝑚𝐵22 = 𝑚𝐵11 = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4 (F.21.6)
𝑚𝐵23 = 𝑚1𝑥𝐺1+ 𝑚2𝑥𝐺2
+ 𝑚3𝑥𝐺3+ 𝑚4𝑥𝐺4
(F.21.7)
𝑚𝐵31 = 𝑚𝐵13 = 𝑚1𝑦𝐺1+ 𝑚2𝑦𝐺2
+ 𝑚3𝑦𝐺3+ 𝑚4𝑦𝐺4
(F.21.8)
𝑚𝐵32 = 𝑚𝐵23 = 𝑚1𝑥𝐺1+ 𝑚2𝑥𝐺2
+ 𝑚3𝑥𝐺3+ 𝑚4𝑥𝐺4
(F.21.9)
𝑚𝐵33 = 𝐼𝑧1+ 𝐼𝑧2
+ 𝐼𝑧3+ 𝐼𝑧4
(F.21.10)
Tal que, 𝑚𝑘 , 𝑘 = 1,2,3,4 es la masa de 𝑘-ésimo eslabón, 𝑥𝐺𝑘 y 𝑦𝐺𝑘
son las componentes
horizontal y vertical del centro de masas e 𝐼𝑧𝑘 es el momento de inercia del 𝑘-ésimo
eslabón.
Para obtener la matriz de inercias hidrodinámicas se tiene:
𝑴𝑨 = −𝜕
𝜕��𝑭𝐴
∗ (F.21.11)
136
Tal que:
𝑴𝑨 = [𝑚𝐴11
00
0𝑚𝐴22
0
00
𝑚𝐴33
]
(F.21.12)
Dónde:
𝑚𝐴11 = 𝑋��1+ 𝑋��2
+ 𝑋��3+ 𝑋��4
(F.21.13)
𝑚𝐴22 = 𝑌��1+ 𝑌��2
+ 𝑌��3+ 𝑌��4
(F.21.14)
𝑚𝐴33 = 𝑁��1 + 𝑁��2 + 𝑁��3 + 𝑁��4 (F.21.15)
Tal que 𝑋��𝑘, 𝑌��𝑘
y 𝑁��𝑘 son las derivadas hidrodinámicas correspondientes al 𝑘-esimo
eslabón.
Sea entonces:
𝑴 = 𝑴𝑩 + 𝑴𝑨 (F.21.16)
Tal que:
𝑴 = [
𝑚11
0−𝑚31
0𝑚22
𝑚32
−𝑚13
𝑚23
𝑚33
]
(F.21.17)
dónde:
𝑚11 = (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4) + (𝑋��1+ 𝑋��2
+ 𝑋��3+ 𝑋��4
) (F.21.18)
𝑚13 = 𝑚𝐵13 = 𝑚1𝑦𝐺1+ 𝑚2𝑦𝐺2
+ 𝑚3𝑦𝐺3+ 𝑚4𝑦𝐺4
(F.21.19)
𝑚22 = (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4 +) + (𝑌��1+ 𝑌��2
+ 𝑌��3+ 𝑌��4
) (F.21.20)
𝑚23 = 𝑚𝐵23 = 𝑚1𝑥𝐺1+ 𝑚2𝑥𝐺2
+ 𝑚3𝑥𝐺3+ 𝑚4𝑥𝐺4
(F.21.21)
𝑚33 = (𝐼𝑧1+ 𝐼𝑧2
+ 𝐼𝑧3+ 𝐼𝑧4
) + (𝑁��1 + 𝑁��2 + 𝑁��3 + 𝑁��4) (F.21.22)
𝑚13 = 𝑚31 y 𝑚23 = 𝑚32 (F.21.23)
137
F.22 Matriz de fuerzas centrifugas y de Coriolis
Sea:
𝑪𝑩(𝝂) = −𝜕
𝜕𝝂𝑭𝐵
∗ (F.22.1)
Donde 𝐹𝐵∗ son las fuerzas generalizadas del cuerpo rígido, definidas en (3.90) y
𝝂𝑇 = [u v r] (F.22.2)
Se tiene entonces:
𝑪𝑩(𝝂) = [
0 −𝑐𝐵12 −𝑐𝐵13
𝑐𝐵21 0 −𝑐𝐵23
𝑐𝐵31 𝑐𝐵32 0]
(F.22.3)
Dónde:
𝑐𝐵12 = 𝑐𝐵21 = 𝑟(𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4) (F.22.4)
𝑐𝐵13 = 𝑐𝐵31 = 𝑚1(𝑟𝑥𝐺1+ 𝑣1) + 𝑚2(𝑟𝑥𝐺2
+ 𝑣2) + 𝑚3(𝑟𝑥𝐺3+ 𝑣3) + 𝑚4(𝑟𝑥𝐺4
+ 𝑣4) (F.22.5)
𝑐𝐵23 = 𝑐𝐵32 = 𝑚1(𝑟𝑦𝐺1− 𝑢1) + 𝑚2(𝑟𝑦𝐺2
− 𝑢2) + 𝑚3(𝑟𝑦𝐺3− 𝑢3) + 𝑚4(𝑟𝑦𝐺4
− 𝑢4) (F.22.6)
Para obtener la matriz 𝑪𝑨(𝝂) se tiene:
𝑪𝑨(𝝂) = −𝜕
𝜕𝝂𝑭𝐴
∗ (F.22.7)
Tal que:
𝑪𝑨(𝝂) = [
0 0 𝑐𝐴13
0 0 −𝑐𝐴23
−𝑐𝐴31 𝑐𝐴32 0]
(F.22.8)
Dónde:
𝑐𝐴13 = 𝑐𝐴31 = (𝑌��1𝑣1 + 𝑌��2
𝑣2 + 𝑌��3𝑣3 + 𝑌��4
𝑣4) (F.22.9)
𝑐𝐴23 = 𝑐𝐴32 = (𝑋��1𝑢1 + 𝑋��2
𝑢2 + 𝑋��3𝑢3 + 𝑋��4
𝑢4) (F.22.10)
138
Se tiene entonces:
𝑪(𝝂) = 𝑪𝑨(𝝂) + 𝑪𝑩(𝝂) (F.22.11)
Tal que:
𝑪(𝝂) = [
0 𝑐12 𝑐13
𝑐21 0 𝑐23
𝑐31 𝑐32 0]
(F.22.12)
Dónde:
𝑐12 = 𝑐21 = −𝑟(𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4) (F.22.13)
𝑐13 = −(𝑚1(𝑟𝑥𝐺1+ 𝑣1) + 𝑚2(𝑟𝑥𝐺2
+ 𝑣2) + 𝑚3(𝑟𝑥𝐺3+ 𝑣3) + 𝑚4(𝑟𝑥𝐺4
+ 𝑣4))
+ (𝑌��1𝑣1 + 𝑌��2
𝑣2 + 𝑌��3𝑣3 + 𝑌��4
𝑣4)
(F.22.14)
𝑐23 = −(𝑚1(𝑟𝑦𝐺1− 𝑢1) + 𝑚2(𝑟𝑦𝐺2
− 𝑢2) + 𝑚3(𝑟𝑦𝐺3− 𝑢3) + 𝑚4(𝑟𝑦𝐺4
− 𝑢4))
− (𝑋��1𝑢1 + 𝑋��2
𝑢2 + 𝑋��3𝑢3 + 𝑋��4
𝑢4)
(F.22.15)
𝑐31 = 𝑚1(𝑟𝑥𝐺1+ 𝑣1) + 𝑚2(𝑟𝑥𝐺2
+ 𝑣2) + 𝑚3(𝑟𝑥𝐺3+ 𝑣3) + 𝑚4(𝑟𝑥𝐺4
+ 𝑣4)
− (𝑌��1𝑣1 + 𝑌��2
𝑣2 + 𝑌��3𝑣3 + 𝑌��4
𝑣4)
(F.22.16)
𝑐32 = (𝑚1(𝑟𝑦𝐺1− 𝑢1) + 𝑚2(𝑟𝑦𝐺2
− 𝑢2) + 𝑚3(𝑟𝑦𝐺3− 𝑢3) + 𝑚4(𝑟𝑦𝐺4
− 𝑢4))
+ (𝑋��1𝑢1 + 𝑋��2
𝑢2 + 𝑋��3𝑢3 + 𝑋��4
𝑢4)
(F.22.17)
139
F.23 Matriz de amortiguamiento hidrodinámico
Sea
𝑫(𝝂) = −𝜕
𝜕𝝂𝑭𝐷
∗ (F.23.1)
Y
𝝂𝑇 = [u v r] (F.23.2)
Se tiene que:
𝑫(𝝂) = [
𝑐𝐷11 0 00 𝑐𝐷22 00 0 𝑐𝐷33
] (F.23.3)
Dónde:
𝑐𝐷11 = 𝑋𝑢1+ 𝑋𝑢2
+ 𝑋𝑢3+ 𝑋𝑢4
(F.23.4)
𝑐𝐷22 = 𝑌𝑣1+ 𝑌𝑣2
+ 𝑌𝑣3+ 𝑌𝑣4
(F.23.5)
𝑐𝐷33 = 𝑁𝑟1 + 𝑁𝑟2 + 𝑁𝑟3 + 𝑁𝑟4 (F.23.6)
140
Sistemas lineales. Anexo G
G.24 Matrices de estados
𝐴1 =
[
0000
0.0084−0.01470.0166
−0.0170
0000
−0.02300.1003
−0.15160.1212
0000
−0.00780.00630.0495
−0.0782
0000
−0.00140.0017
−0.00720.0303
1000
0.2701−1.91674.0969
−3.8947
0100
0.1119−0.64191.1924
−1.0321
0010
0.00120.0004
−0.05980.1055
0001
−0.00120.0016
−0.00650.0057 ]
(G.24.1)
𝐴2 =
[
0000
0.0087−0.01590.0164
−0.0115
0000
−0.02350.1000
−0.15110.1177
0000
−0.0048−0.00290.0556
−0.0701
0000
−0.00280.0017
−0.00180.0267
1000
0.3423 −2.13084.3172
−3.7667
0100
0.1243−0.68091.2375
−0.9923
0010
−0.00310.0051
−0.05000.0870
0001
−0.00250.0016
−0.00160.0021 ]
(G.24.2)
𝐴3 =
[
0000
0.0086−0.01460.0147
−0.0145
0000
−0.02300.1007
−0.15690.1283
0000
−0.00610.00320.0495
−0.0774
0000
−0.0004−0.0020−0.00200.0262
1000
0.3130−2.01544.2370
−4.0359
0100
0.1244−0.67501.2445
−1.0812
0010
0.0024−0.0064−0.04820.0972
0001
−0.0004−0.0020−0.00200.0036 ]
(G.24.3)
141
𝐴4 =
[
0000
0.0084−0.01470.0166
−0.0170
0000
−0.02300.1003
−0.15160.1212
0000
−0.00780.00630.0495
−0.0782
0000
−0.00140.0017
−0.00710.0303
1000
0.2699−1.91664.0973
−3.8949
0100
0.1118−0.64191.1926
−1.0322
0010
0.00120.0004
−0.05980.1055
0001
−0.00120.0015
−0.00640.0057 ]
(G.24.4)
𝐴5 =
[
0000
0.0087−0.01590.0164
−0.0115
0000
−0.02350.0998
−0.15100.1177
0000
−0.0047−0.00300.0557
−0.0702
0000
−0.00280.0017
−0.00170.0267
1000
0.3421−2.13034.3178
−3.7683
0100
0.1242−0.68051.2371
−0.9922
0010
−0.00310.0051
−0.05000.0870
0001
−0.00250.0015
−0.00160.0021 ]
(G.24.5)
𝐴6 =
[
0000
0.0086−0.01460.0147
−0.0145
0000
−0.02300.1007
−0.15690.1283
0000
−0.00610.00320.0495
−0.0774
0000
−0.0004−0.0020−0.00200.0261
1000
0.3129−2.01554.2377
−4.0363
0100
0.1244−0.67501.2446
−1.0812
0010
0.0024−0.0064−0.04820.0970
0001
−0.0004−0.0020−0.00190.0036 ]
(G.24.6)
142
G.25 Matrices de entrada
𝐵1 = 10−3
[
0000
0.0444−0.16260.2377
−0.1953
0000
−0.07710.3656
−0.67170.6257
0000
0.0159−0.19100.5820
−0.7137
0000
0.0114−0.0052−0.17620.4027 ]
(G.25.1)
𝐵2 = 10−3
[
0000
0.0455−0.16350.2363
−0.1823
0000
−0.08670.3893
−0.69040.5948
0000
0.0357−0.23870.6118
−0.6784
0000
−0.0033 0.0184−0.16340.3512 ]
(G.25.2)
𝐵3 = 10−3
[
0000
0.0447−0.16290.2424
−0.2016
0000
−0.08120.3729
−0.68700.6446
0000
0.0207−0.19560.5876
−0.7302
0000
0.0140−0.0228−0.15130.3955 ]
(G.25.3)
𝐵4 = 10−3
[
0000
0.0444−0.16270.2378
−0.1954
0000
−0.07710.3656 −0.67180.6258
0000
0.0159−0.1909 0.5820
−0.7136
0000
0.0114−0.0053−0.17600.4025 ]
(G.25.4)
143
𝐵5 = 10−3
[
0000
0.0454−0.16330.2362
−0.1822
0000
−0.08660.3891
−0.69030.5949
0000
0.0357−0.23880.6122
−0.6789
0000
−0.00330.0185
−0.16360.3514 ]
(G.25.5)
𝐵6 = 10−3
[
0000
0.0447−0.16280.2424
−0.2016
0000
−0.08120.3729
−0.68710.6446
0000
0.0207−0.19560.5876
−0.7302
0000
0.0140−0.0229−0.15110.3953 ]
(G.25.6)
144
G.26 Matriz de ganancias.
𝐾1 = 106
[
3.13062.08501.30950.5987
1.59111.13460.77580.3836
1.04590.75440.54440.2999
0.05930.06570.07420.0745
2.58641.72031.08710.4983
1.34000.95300.65260.3229
0.76920.55900.40850.2288
0.14630.11870.10080.0780
]
(G.26.1)
𝐾2 = 106
[
3.22312.16391.37390.6616
1.68261.20850.82720.4243
1.11600.80560.57400.3241
0.10870.09410.08630.0824
2.66151.78451.13980.5500
1.40951.01010.69260.3557
0.82330.59830.43070.2467
0.19030.14520.11350.0868
]
(G.26.2)
𝐾3 = 106
[
3.1023 2.07081.29610.5987
1.57671.13580.77760.3882
1.03610.75850.54730.3025
0.07030.07770.08150.0764
2.56421.70941.07670.4986
1.33110.95610.65540.3273
0.76240.56300.41140.2309
0.15320.12710.10580.0794
]
(G.26.3)
𝐾4 = 106
[
3.13062.08501.30950.5987
1.59121.13460.77580.3836
1.04590.75440.54440.2999
0.05930.06570.07420.0745
2.58641.72031.08710.4983
1.34000.95300.65260.3229
0.76920.55900.40850.2287
0.14630.11870.10080.0780
]
(G.26.4)
𝐾5 = 106
[
3.22262.16361.37370.6615
1.68241.20850.82710.4242
1.11590.80550.57400.3241
0.10880.09420.08640.0824
2.66111.78431.13960.5500
1.40931.01010.69260.3557
0.82320.59830.43070.2467
0.19040.14520.11360.0868
]
(G.26.5)
𝐾6 = 106
[
3.10242.07091.29620.5988
1.57681.13590.77770.3882
1.03620.75860.54730.3025
0.07040.07770.08160.0764
2.56431.70951.07680.3274
1.33120.95620.65540.3274
0.76250.56310.41140.2309
0.15330.12710.10580.0794
]
(G.26.6)
145
G.27 Matriz 𝜞𝒊 para las ecuaciones de Francis.
Γ1 = 104 [
0.42470.62890.8168 0.8111
8.99776.49694.56732.4100
]
(G.27.1)
Γ2 = 104 [
0.94370.93720.94670.8864
9.52246.90274.82462.6237
]
(G.27.2)
Γ3 = 104 [
0.47980.72330.87790.8251
8.94686.54214.60072.4412
]
(G.27.3)
Γ4 = 104 [
0.42450.62880.81660.8111
8.99786.49704.56722.4100
]
(G.27.4)
Γ5 = 104 [
0.94380.93750.94690.8864
9.52136.90264.82452.6236
]
(G.27.5)
Γ6 = 104 [
0.48050.72380.87800.8252
8.94766.54284.60112.4415
]
(G.27.6)
