Memoire presente pour lavalidation de la Formation

”Certificat d’Expertise Actuarielle”de l’Institut du Risk Management etl’admission a l’Institut des actuaires

Fevrier 2019

Modelisation de l’inflation : des vanillesaux structures

Entreprise :

Mazars Actuariat

Pole Ingenierie Financiere

Directeur de memoire en entreprise :

Nordine Choukar

Etudiant a l’institut du risk management :

Alix Dupuy

Plan du memoire

1 L’inflation : risque, couverture et modelisation 6

2 L’inflation : origines, calcul et naissance des produits derives 82.1 Les origines de l’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Le calcul de l’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Inflation et marches financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Les produits indexes sur l’inflation : obligations et derives 113.1 Les obligations indexees sur l’inflation . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Les derives indexes sur l’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Les swaps indexes sur l’inflation . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1.1 Les swaps zero-coupon . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1.2 Les swaps Year-on-Year . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.2 Les caps et les floors inflation . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Le premier modele de valorisation des derives indexes sur l’in-flation : le modele de Jarrow-Yildirim 144.1 Presentation du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Construction d’un marche complet et sans arbitrage . . . . . . . 16

4.2.1 Dynamique des prix actualises des actifs . . . . . . . . . 174.2.2 Completude du marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.3 Absence d’arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.4 Dynamique des prix actualises des actifs sous la proba-

bilite risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Formules de pricing des derives indexes sur l’inflation . . . . . . 21

4.3.1 Pricing des swaps Year-on-Year . . . . . . . . . . . . . . 214.3.2 Pricing des caplets et des floorlets . . . . . . . . . . . . . 224.3.3 Pricing des caps et des floors . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Calibration du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4.1 Calibration du taux d’interet reel . . . . . . . . . . . . . 244.4.2 Calibration des autres parametres . . . . . . . . . . . . . 24

3

5 Un modele alternatif de valorisation des derives indexes surl’inflation conduit par deux processus de Hull et White 255.1 Presentation du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Cadre mathematique du modele a deux facteurs suivant une dy-

namique Hull et White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.1 Dynamiques de rt et it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.2 Dynamiques des integrales des processus rt et it . . . . . 27

5.3 Formules de pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3.1 Pricing des swaps Year-on-Year . . . . . . . . . . . . . . 275.3.2 Pricing des caplets et des floorlets . . . . . . . . . . . . . 285.3.3 Pricing des caps et des floors . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.4 Le modele classique avec des coefficients constants . . . . . . . . 285.4.1 Parametres et dynamiques des processus . . . . . . . . . 285.4.2 La mesure risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4.3 Formules de pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.4.3.1 Expression de C . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4.3.2 Expression de V 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4.4 Calibration du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Amelioration du modele a coefficients constants : le modele acoefficients constants par morceaux 316.1 Parametres et dynamique des processus . . . . . . . . . . . . . . 316.2 La mesure risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3 Formules de pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.3.1 Expression de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3.2 Expression de V 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.4 Calibration du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4.1 Calibration du taux d’interet . . . . . . . . . . . . . . . 346.4.2 Implicitation de la variance V ∗2 et de la correlation C∗ a

partir des prix de marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.4.3 Calibration du taux d’inflation . . . . . . . . . . . . . . . 366.4.4 Calibration du parametre de correlation . . . . . . . . . 37

7 Applications numeriques et comparaison des differents modelesde valorisation des derives indexes sur l’inflation 387.1 Calibration des modeles de valorisation . . . . . . . . . . . . . . 38

7.1.1 Calibration du modele de Jarrow-Yildirim . . . . . . . . 387.1.2 Calibration du modele de Hull et White a coefficients con-

stants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.1.3 Calibration du modele de Hull et White a coefficients con-

stants par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.2 Applications numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4

7.2.1 Valorisation des swaps Year-on-Year . . . . . . . . . . . 407.2.2 Valorisation des caps inflation . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 Le modele developpe est plus performant que les modeles devalorisation classiques 45

A Preuves des resultats sur le modele de Jarrow et Yildirim 47

B Preuves des resultats sur le modele de Hull et White ameliore 51

References bibliographiques 56

5

Chapitre 1

L’inflation : risque, couvertureet modelisation

Semaine du 2 janvier 2017 : ”D’apres les chiffres publies cette semaine par Eu-rostat1, [. . . ] l’inflation [est de] 1,1% dans la zone euro [en ce debut d’annee].C’est plus en Allemagne : 1,7%. En France, la hausse des prix atteint 0,8%,alors que Bercy anticipait encore il y a quelques mois une inflation proche dezero. Des niveaux qui restent assez faibles mais qui marquent un changementde cap pour l’economie europeenne. Et si les prix augmentent, c’est d’abord acause du rencherissement du cout de l’energie, a commencer par le petrole : enun an, le baril de brut est passe de 30 a pres de 55 dollars.

Et ce mouvement devrait se poursuivre tout au long de l’annee. D’un point devue macroeconomique, c’est plutot une bonne nouvelle, puisque l’annee dernierea la meme epoque, la faiblesse de l’inflation faisait craindre le debut d’une spi-rale deflationniste etouffant la croissance.”

Afin de se couvrir contre le risque d’inflation, les differents agents (i.e. lesassureurs vie ou les fonds de pensions) peuvent employer differents types dederivees sur inflation.

Ce marche est complexe en raison de ses specificites avec en particulier l’existenced’un segment de marche d’obligations zero-coupon et d’un marche de swaps”Year-on-Year” dont il faut assurer la coherence. En effet, depuis la crise de2008, un nombre croissant d’instruments financiers permettant de se couvrircontre l’inflation sont apparus sur les marches. Cela a demarre avec certainsEtats comme le Royaume-Uni, la France, puis l’Allemagne, qui avaient pris

1Se referer a : http://ec.europa.eu/eurostat/statistics-explained/index.php/

Inflation_in_the_euro_area.

6

l’habitude d’emettre, a cote des obligations traditionnelles, des obligations in-dexees sur l’inflation. Apres la crise, la demande pour ces obligations s’est misea augmenter, rendant le marche tres liquide. En comparant ces obligations, iletait possible d’evaluer l’inflation anticipee sur les marches. Des lors, de plusen plus d’institutions financieres se sont mises a proposer des produits derives,plus ou moins complexes, permettant de se couvrir ou de speculer sur l’inflation.

L’objectif des travaux presentes dans ce memoire est de construire un cadre demodelisation risque neutre complet pour la valorisation de produits indexes surl’inflation. Ainsi, ce memoire presentera dans un premier temps les effets del’inflation sur les differents acteurs economiques ainsi que le marche des produitsfinanciers indexes sur l’inflation. Apres avoir explique les risques lies a l’inflationpour les differents acteurs economiques, ce memoire presentera les principauxproduits en lien avec l’inflation. Ensuite, le memoire presentera deux modelesfondamentaux utilises aujourd’hui pour la valorisation des produits vanilles(swap, caps et floors) indexes sur l’inflation : le modele de Jarrow-Yildirim et unmodele bi-facteurs reposant sur deux processus de Hull et White. Dans le cas dumodele de Jarrow-Yildirim, ce memoire presente une construction detaillee del’economie theorique consideree en absence d’opportunite d’arbitrage, ce qu’ilne fera pas dans le cas du second modele puisque sa construction mathematiques’en deduit par analogie. Enfin, seront developpes un modele – une ameliorationdes modeles nommes precedemment – permettant une meilleure prise en comptede certains effets de marche, notamment la term structure de volatilite des capsinflation2 pour la valorisation des options vanilles ainsi que ses methodes decalibration.

Les travaux presentes dans ce memoire ont ete realises au sein du Pole Fi-nance Quantitative de Mazars Actuariat qui joue aujourd’hui un role de conseilaupres des banques d’investissement, des compagnies d’assurance et de grandsgroupes industriels pour des missions variees, dont le developpement de modeleset d’outils permettant de generer des scenarios economiques ou encore la val-orisation d’instruments financiers vanilles et complexes sur toutes les classesd’actifs (taux, inflation, change, credit, matieres premieres, actions).

2Structure par terme, pour un niveau de strike donne, de la volatilite des caplets/floorletssur inflation.

7

Chapitre 2

L’inflation : origines, calcul etnaissance des produits derives

2.1 Les origines de l’inflation

L’inflation est un phenomene de hausse generalisee des prix, et correspond donca une baisse durable de la valeur reelle de la monnaie. La valeur de la monnaie atendance a baisser avec le temps, mais il lui arrive parfois d’augmenter, on parlealors de deflation, ou d’inflation negative. Ses causes sont complexes et variees,mais il est possible d’en decrire trois principales qui, combinees ou separement,generent de l’inflation.

1. La premiere est l’augmentation de la quantite de monnaie en circulationpar rapport a la quantite de bien produit;

2. La seconde est une augmentation des prix, liee a une augmentation descouts de production. Cela peut etre du a une augmentation des prix desmatieres premieres importees, dans ce cas on parle d’inflation importee;

3. La troisieme est induite par une augmentation de la demande par rapporta l’offre.

La conjonction de ces trois phenomenes peut inquieter les investisseurs. En ef-fet, pendant la crise, les pays europeens ont vu leurs dettes augmenter de faconimportante, au point que la capacite de remboursement de certains d’entre euxa ete remise en doute. Par un phenomene de ”flight to quality1”, les tauxdes obligations d’Etats se sont mis a diminuer en France et en Allemagne et a

1Flight to quality (fuite vers la qualite en francais) est un phenomene d’importants mou-vements de capitaux qui, lors d’un krach boursier, se deplacent de valeurs mobilieres vers desplacements plus surs.

8

augmenter au Portugal, en Espagne, et en Italie, engendrant ainsi une augmen-tation des spreads de taux2, au sein meme de l’Union Europeenne. Face a cesdifficultes, la tentation pour les gouvernements etait grande de faire intervenirla Banque Centrale Europeenne, ce qui aurait fait augmenter mecaniquementla quantite de monnaie en circulation. A cela s’ajoute l’augmentation des prixdes matieres premieres tel que le prix du petrole ou de l’energie.

2.2 Le calcul de l’inflation

L’inflation est un phenomene difficile a apprehender, d’abord car il est diffi-cile de comparer la valeur de deux biens ou services au cours du temps, maissurtout car l’evolution des prix de differents produits impacte differemment lesmenages, en fonction de leur consommation. Par consequent, l’inflation est sou-vent calculee par rapport a un panier representant la consommation moyenned’un menage d’une population donnee. L’inflation est donc toujours subjective,car elle est calculee sur la base d’un panier qui differe d’un pays a l’autre. EnFrance, l’inflation est mesure par l’INSEE, sous forme d’un indice appele indicedes prix a la consommation (IPC). L’IPC est calcule a la facon d’un indicede Laspeyres, comparant l’evolution des prix de l’echantillon de biens, a quan-tite constante, par rapport a une annee de reference3. Aux Etats-Unis, l’indiceutilise pour calculer l’inflation est le Consumer Price Index (CPI).

2.3 Inflation et marches financiers

Si les investisseurs se preoccupent de l’inflation, c’est qu’ils en sont les pre-miers concernes. En effet, un investissement initial permet l’obtention de cashflow futur, cependant si la monnaie perd de la valeur, alors les flux d’argentpercus dans le futur perdent egalement de la valeur et l’investissement de-vient moins rentable. L’inflation favorise les emprunteurs au detriment descreanciers. Les actionnaires sont moins affectes par l’inflation car le chiffred’affaire des entreprises augmente avec l’inflation, mais les detenteurs d’obliga-tions peuvent etre particulierement touches, surtout si leur taux d’interet estfixe. Les investisseurs institutionnels, et notamment les fonds de pension, sontsensibles a l’evolution de l’inflation. Ces fonds sont les principaux acheteursd’obligations d’Etats. Les Etats se sont donc naturellement mis a emettre desobligations indexees sur l’inflation, d’autant que leurs recettes augmentent avec

2Le spread de taux est l’ecart de taux par rapport au taux sans risque.3http://www.insee.fr

9

l’augmentation des prix.

Les creanciers etant, d’une facon generale, affectes par l’inflation, de nombreusesinstitutions financieres se sont mises a proposer sur les marches des produitsderives permettant de se couvrir contre ce phenomene. Sur ces marches, lesvendeurs de protection sont generalement des banques d’investissement et lesprincipaux acheteurs sont des assureurs et des fonds de pension. La partiesuivante de ce memoire sera consacree a l’etude de ces differents produits, elledecrira leurs avantages et leurs inconvenients, et donnera des exemples de con-textes dans lesquels ils sont utilises.

10

Chapitre 3

Les produits indexes surl’inflation : obligations et derives

3.1 Les obligations indexees sur l’inflation

Les TIPS (Treasury Inflation Protected Securities) emises par le tresor americainou encore les OATi (Obligation Assimilable du Tresor indexee sur l’inflation)emises par l’Etat francais different des obligations conventionnelles puisque leurscoupons sont constamment ajustes en fonction de l’inflation.

En effet, pour une obligation conventionnelle en euro B emise a la date 0, dematurite T , de nominal N et de taux de coupon RC, le flux verse a chaqueinstant t = 1, . . . , T − 1 est N × RC. A la date T le nominal est rembourseintegralement en plus du coupon. Le flux verse en t = T est donc N ×RC+N .Si on note P (t, T ) la valeur en t de l’obligation zero-coupon versant 1 euro enT , la valeur en t = 0 de cette obligation est :

B(0) =T∑t=1

N ×RC × P (0, t) +NP (0, T ).

Dans les cas d’une obligation indexee sur l’inflation BI , le coupon depend del’inflation constatee sur chaque periode, par rapport a une periode de reference,entre les versements des coupons. Si on considere une obligation emise a ladate 0 de maturite T , de nominal N , de taux de coupon RC, alors a unedate t de versement du coupon, la valeur de celui-ci sera RC × N × I(t)

I(0). La

valeur du coupon est simplement compensee par le taux d’inflation apres la dated’emission, i.e. le ratio I(t)

I(0)ou I(t) represente l’indice des prix a la consomma-

11

tion a la date t. Le prix en t de l’obligation sera donc :

BI(t) =T∑

k=t+1

RC ×N × I(k)

I(0)× P (0, k) +NP (0, T )

I(T )

I(0).

3.2 Les derives indexes sur l’inflation

3.2.1 Les swaps indexes sur l’inflation

Un swap indexe sur l’inflation est un swap ou, a chaque date de paiement, lacontrepartie A verse a la contrepartie B le taux d’inflation sur une periode pre-definie, tandis que B paie a A un taux fixe. Les swaps inflation les plus echangessont les swaps zero-coupon et les swaps Year-on-Year.

3.2.1.1 Les swaps zero-coupon

Dans le cas du swap zero-coupon, il n’y a qu’un seul versement au bout deTM = M annees. A cette date TM , B paie a A le montant :

N [(1 +K)M − 1],

ou K est le taux fixe du swap et N le nominal. En echange, B recoit :

N

[I(TM)

I(0)− 1

].

3.2.1.2 Les swaps Year-on-Year

Dans le cas du swap Year-on-Year, il y a plusieurs versements aux dates T1, . . . , TM .A chaque date Ti, B paie a A le montant :

NϕiK,

ou ϕi est un coefficient fixe au depart se rapportant a la periode [Ti−1, Ti] etcaracteristique de la jambe fixe. En echange, B recoit :

Nψi

[I(Ti)

I(Ti−1)− 1

],

ou ψi est un coefficient fixe au depart se rapportant a la periode [Ti−1, Ti] etcaracteristique de la jambe variable.

12

3.2.2 Les caps et les floors inflation

Un cap (resp. floor) indexe sur l’inflation est un flux de caplet (resp. floorlet)indexes sur l’inflation a differentes dates T0, T1, . . . , TM .

Un caplet indexe sur l’inflation est une option d’achat sur le taux d’inflation.Un floorlet est une option de vente sur ce meme taux d’inflation. A la date Ti,le payoff d’un caplet ou d’un floorlet est :

Nψi

[ω

(I(Ti)

I(Ti−1)− 1− κτ

)]+

,

ou (x)+ = max(x, 0), κ est le strike du caplet ou du floorlet, ψi un coefficient deponderation se rapportant a la periode [Ti−1, Ti], N le nominal, τ := Ti − Ti−1et ω = 1 pour un caplet et ω = −1 pour un floorlet.

Finalement, a chaque date Ti le payoff du cap ou du floor sera :

Nψi

[ω

(I(Ti)

I(Ti−1)− 1− κτ

)]+

.

Il existe d’autres produits plus complexes tels que les swaptions inflation, lesoptions knockout, etc... Ici nous nous interesserons uniquement aux produitsstandards decrit ci-dessus.

13

Chapitre 4

Le premier modele devalorisation des derives indexessur l’inflation : le modele deJarrow-Yildirim

En 2003, Jarrow et Yildirim proposent un modele d’inflation de type Heath-Jarrow-Morton (HJM). Ce modele avait ete etudie auparavant par Barone etCastagna en 1997. Ils modelisent les taux d’interet nominal et reel ainsi quel’indice des prix a la consommation (CPI : Consumer Price Index). Dans leur ar-ticle (cf. [9]), le CPI est vu comme le taux de change entre l’economie nominaleet l’economie reelle.

4.1 Presentation du modele

Jarrow et Yildirim considerent une economie en temps continu sur l’intervalle[0, τ ]. L’incertitude dans l’economie est caracterisee par un espace probabilise(Ω,F ,P) ou Ω est l’espace des etats, F l’ensemble des evenements possibles (unetribu sur Ω) et P est la mesure de probabilite historique sur (Ω,F). L’esperancesous P est notee E[.]. De plus, ils notent (Ft)t≤T la filtration naturelle engendreepar le mouvement Brownien standard tri-dimensionnel (Wn(t),Wr(t),WI(t))t≤T .Ses correlations sont donnees par dWn(t)dWr(t) = ρnrdt, dWn(t)dWI(t) = ρnIdtet dWr(t)dWI(t) = ρrIdt. Dans la suite de cette partie, les notations suivantesseront utilisees :

· r le taux d’interet reel, n le taux d’interet nominal,

· Pn(t, T ) : prix nominal a l’instant t d’un ticket zero-coupon de maturiteT en euro,

14

· I(t) : indice des prix a la consommation i.e. le nombre d’euro par unitede CPI a l’instant t,

· Pr(t, T ) : prix reel a l’instant t d’un ticket zero-coupon de maturite T ,

· fk(t, T ) : valeur a l’instant t du taux forward pour une maturite T donneeavec k ∈ r, n i.e. :

Pk(t, T ) = exp

(−∫ T

t

fk(t, u)du

),

· rk(t) = fk(t, t) : taux spot,

· Bk(t) = exp(∫ t

0rk(u)du

): valeur a l’instant t du prix de marche de l’actif

sans risque.

Jarrow et Yildirim definissent ensuite le prix du titre zero-coupon reel sans dated’ajustement (i.e. sans diviser par I(0)) comme :

PI(t, T ) = I(t)Pr(t, T ). (4.1)

et de meme pour la valeur reelle de la monnaie :

B∗(t) = I(t)Br(t). (4.2)

Puis, etant donne fr(0, T ), ils modelisent le taux forward reel par :

Hypothese 1 :

dfr(t, T ) = αr(t, T )dt+ σr(t, T )dWr(t), (4.3)

ou αr(t, T ) est Ft-adapte, mesurable et σr(t, T ) est une fonction deterministe.Ces fonctions sont telles que :∫ T

0

|αr(u, T )|du <∞, P− p.s. et

∫ T

0

σ2r(u, T )du <∞.

De la meme maniere, etant donne fn(0, T ), ils modelisent le taux forward nom-inal par :

Hypothese 2 :

dfn(t, T ) = αn(t, T )dt+ σn(t, T )dWn(t), (4.4)

15

ou αn(t, T )dt et σn(t, T ) sont soumis aux memes hypotheses de regularite queαr(t, T )dt et σr(t, T ).

Enfin, ils modelisent l’indice d’inflation (CPI) comme un Brownien geometrique:

Hypothese 3 :

dI(t)

I(t)= µI(t)dt+ σI(t)dWI(t), (4.5)

ou µI(t) est Ft-adapte, mesurable et σI(t) est une fonction deterministe dutemps. Ces fonctions sont telles que :

E[∫ T

0

|µI(u)|2du]<∞, P− p.s. et

∫ T

0

σ2I (u)du <∞.

Ces hypotheses permettent de garantir l’existence de solutions fortes pour lesequations (4.3), (4.4) et (4.5). La suite des travaux de Jarrow et Yildirimnecessite de se placer sous la probabilite risque neutre. Pour cela, ils considerentun certain nombre d’hypotheses leur permettant de construire un marche com-plet et sans arbitrage, ce qui leur garantit l’existence d’une unique probabiliterisque neutre. Cette demarche est presentee dans la section suivante.

4.2 Construction d’un marche complet et sans

arbitrage

Dans cette section, nous detaillons les restrictions necessaires ajoutees par Jar-row et Yildirim aux processus (4.3), (4.4) et (4.5) afin de rendre leur modele demarche complet et sans arbitrage. Ces restrictions concernent essentiellementles termes de drift des hypotheses 1 a 3 et imposent quelques conditions de nondegenerescence des volatilites.

Les prix actualises des actifs du marche sont donnes par Pn(t,T )Bn(t)

, I(t)Pr(t,T )Bn(t)

etI(t)Br(t)Bn(t)

. Ainsi, s’il existe une unique mesure telle que ces prix evoluent commedes martingales sous cette mesure, le marche est complet et sans arbitrage.La demarche suivie par Jarrow et Yildirim afin de construire une telle mesuremartingale est presentee dans les sous-sections suivantes.

16

4.2.1 Dynamique des prix actualises des actifs

Dans cette section, sera developpee la dynamique des prix actualises des actifs.Ainsi, il sera possible de donner des conditions sous lesquelles ces processus sontdes martingales. Pour cela, les lemmes qui suivent seront tres utiles.

Lemme 4.2.1. Les processus definis en (4.1) et (4.2) ont la dynamique suivante:

dB∗(t)

B∗(t)= (µI(t) + rr(t))dt+ σI(t)dWI(t),

dPI(t, T )

PI(t, T )= µTIPS(t)dt+ ar(t, T )dWr(t) + σI(t)dWI(t).

ouµTIPS(t) = rr(t) + br(t, T ) + µI(t) + ρrIar(t, T )σI(t),

avec

ar(t, T ) = −∫ T

t

σr(t, y)dy,

br(t, T ) = −∫ T

t

αr(t, y)dy +1

2a2r(t, T ).

Preuve : Voir l’annexe A.

On est maintenant en mesure de donner la dynamique des prix des actifs actu-alises. Pour cela on introduit quelques notations :

· Zn(t, T ) = Pn(t,T )Bn(t)

· Zr(t, T ) = PI(t,T )Bn(t)

= I(t)Pr(t,T )Bn(t)

· Znr(t) = B∗(t)Bn(t)

= I(t)Br(t)Bn(t)

La dynamique de ces processus (i.e. celle des prix actualises des actifs) estdonnee dans le lemme suivant.

Lemme 4.2.2. (Dynamique des prix actualises des actifs)Les processus Zn(t, T ), Zr(t, T ) et Znr(t) definis ci-dessus ont pour dynamique

dZn(t, T )

Zn(t, T )= bn(t, T )dt+ an(t, T )dWn(t) (4.6)

dZr(t, T )

Zr(t, T )= (µTIPS(t)− rn(t))dt+ ar(t, T )dWr(t) + σI(t)dWI(t) (4.7)

dZnr(t)

Znr(t)= (µI(t) + rr(t)− rn(t))dt+ σI(t)dWI(t) (4.8)

17

ou an(t, T ) et bn(t, T ) sont definis exactement comme pour le taux forward reelen changeant les r en n;

Preuve : Voir l’annexe A.

4.2.2 Completude du marche

Dans leur article, Jarrow et Yildirim ajoutent une hypothese a leur modele afinde rendre le marche complet. Ils commencent par reecrire la dynamique desprix actualises des actifs comme suit :

dZn(t, T )

Zn(t, T )= βn(t, T )dt+ γn,2(t, T )dWn(t)

dZr(t, T )

Zr(t, T )= βr(t, T )dt+ γr,1(t, T )dWr(t) + γr,3(t, T )dWI(t)

dZnr(t)

Znr(t)= βnr(t, T )dt+ γnr,3(t)dWI(t),

ou les β.(t, T ) et les γ.,i(t, T ) (i = 1, 2, 3) se deduisent des dynamiques du lemme4.2.2 et par definition γn,1(t, T ) = γn,3(t, T ) = γr,1(t, T ) = γnr,1(t) = γnr,2(t) =0,∀t, T. Jarrow et Yildirim considerent ensuite un ticket zero-coupon nominalde maturite T et un ticket zero-coupon reel de maturite M . Puis ils definissent:

A1(t) =

βn(t, T )βr(t,M)βnr(t)

et A2(t) =

γn,i(t, T )i=1,2,3

γr,i(t,M)i=1,2,3

γnr,i(t)i=1,2,3

.

Afin de s’assurer que ces trois titres recouvrent les trois sources de risques del’economie, Jarrow et Yildirim ajoutent l’hypothese suivante :

Hypothese 4 : (Marche complet) A−12 (t) existe P− p.s..

L’hypothese 4 garantit que le marche est complet. En effet, dans ce cas, etantdonne un payoff aleatoire au temps τ , mesurable et integrable, il existe unestrategie d’autofinancement mettant en jeu ces trois actifs et dont la valeurterminale replique le payoff. Jarrow et Yildirim s’interessent ensuite a des hy-potheses permettant d’assurer l’absence d’opportunite d’arbitrage.

4.2.3 Absence d’arbitrage

Notons Λ = (λr, λn, λI) la solution de :

A1(t) + A2(t)Λ(t) = 0. (4.9)

18

Ces trois quantites λr, λn et λI correspondent au prix de marche du risquerespectivement pour chaque source d’alea Wr,Wn et WI .

On definit maintenant une mesure de probabilite Q telle que sa derivee deRadon-Nikodym soit donnee par :

dQdP

= exp

∑i∈r,n,I

∫ T

0

λi(t)dWi(t)−1

2

∫ T

0

<∑

i∈r,n,I

λi(t)dWi(t),∑

i∈r,n,I

λi(t)dWi(t) > dt

.

(4.10)

On note EQ[.] l’esperance sous Q.

Hypothese 5 : (Existence d’une unique mesure martingale pour ces actifs specifiques)

(i) Q est une mesure de probabilites,

(ii) Zr(t, T ), Zn(t, T ) et Znr(t) sont des Q-martingales par rapport a la filtra-tion Ft, et

(iii) Wi(t) = Wi(t) −∫ t0λi(s)ds, i ∈ r, n, I est un mouvement Brownien tri-

dimensionnel sur (Ω,F ,Q).

Ces hypotheses garantissent que les processus de prix actualises donnes parles trois actifs Zr(t, T ), Zn(t, T ) et Znr(t) ne sont arbitrables i.e. ce sont desmartingales sous la mesure risque neutre. Une condition suffisante pour celaest que µI(t) + rr(t)− rn(t) et λi(t), i = r, n, I soient uniformement bornes sur(t, ω) ∈ [0, τ ] × Ω. Ceci est une consequence directe du critere de Novikov etdu theoreme de Girsanov au systeme (4.9). La combinaison des hypotheses 4et 5 implique que la mesure martingale est unique. A present, il faut s’assurerde l’absence d’arbitrage sur les autres actifs de l’economie. Pour cela Jarrow etYildirim font une derniere hypothese.

Hypothese 6 : Les λi(t) pour i = r, n, I sont independants des actifs particulierschoisis pour construire la mesure martingale.

Cette hypothese combinee aux hypotheses 1 a 5 suffit a assurer que le marcheest complet et sans arbitrage.

Proposition 4.2.1. (Existence d’une unique mesure martingale)Etant donnees les hypotheses 1 a 6, il existe une unique mesure Q, equivalente aP et sous laquelle tous les prix des actifs dans l’economie sont des martingales.

Preuve : C’est une consequence directe de l’unicite de Q.

19

Et c’est ainsi que Jarrow et Yildirim finissent de construire un marche completet sans arbitrage. Puis, ils s’interessent a la dynamique des prix des actifs sousla mesure risque neutre Q.

4.2.4 Dynamique des prix actualises des actifs sous laprobabilite risque neutre

Afin de determiner la dynamique des prix actualises des actifs sous la proba-bilite risque neutre, Jarrow et Yildirim donnent des conditions necessaires etsuffisantes caracterisant l’absence d’arbitrage sur le marche.

Proposition 4.2.2. (Structure des drifts en absence d’arbitrage)5Pn(t,T )Bn(t)

, I(t)Pr(t,T )Bn(t)

et I(t)Br(t)Bn(t)

sont des Q-martingales si et seulement si on a :

αn(t, T ) = σn(t, T )

(∫ T

t

σn(t, v)dv − λn(t)

), (4.11)

αr(t, T ) = σr(t, T )

(∫ T

t

σr(t, v)dv − ρrIσI(t)− λr(t)), (4.12)

µI(t) = rn(t)− rr(t)− σI(t)λI(t). (4.13)

Preuve : Voir l’annexe A

Jarrow et Yildirim obtiennent alors les differentes dynamiques des processussous la probabilite risque neutre.

Proposition 4.2.3. (Dynamique des processus sous la mesure risque neutre)

dfn(t, T ) = σn(t, T )

(∫ T

tσn(t, s)ds

)dt+ σn(t, T )dWn(t) (4.14)

dfr(t, T ) = σr(t, T )

(∫ T

tσr(t, s)ds− ρrIσI(t)

)dt+ σr(t, T )dWr(t) (4.15)

dI(t)

I(t)= (rn(t)− rr(t))dt+ σI(t)dWI(t) (4.16)

dPn(t, T )

Pn(t, T )= rn(t)dt−

(∫ T

tσn(t, s)ds

)dWn(t) (4.17)

dPI(t, T )

PI(t, T )= rn(t)dt+ σI(t)dWI(t)−

(∫ T

tσr(t, s)ds

)dWr(t) (4.18)

dPr(t, T )

Pr(t, T )=

(rr(t) + ρrIσI(t)

∫ T

tσr(t, s)ds

)dt−

(∫ T

tσr(t, s)ds

)dWr(t) (4.19)

5La preuve de cette proposition n’utilise pas la structure deterministe de la volatilite

20

Preuve : Reprendre les dymamiques des processus et utilier les conditions de lapropriete 4.2.2.

On voit donc que sous Q, les taux forward reel et nominal suivent une loi nor-male et l’indice de l’inflation est un Brownien geometrique. Ces formules sonttres utiles pour pricer des produits derives indexes sur l’inflation ou dependantdes taux forward reel et nominal.

Jarrow et Yildirim definissent ensuite une structure parametrique pour lesvolatilites des processus (4.3), (4.4) et (4.5) afin d’obtenir des formules de pric-ing sous forme analytique. Ils posent :

σk(t, T ) = σke−ak(T−t), k ∈ r, n,

ou σk > 0 et ak est un reel quelconque. De plus, la volatilite σI est constante.

Nous allons maintenant voir les formules de pricing obtenues avec ce modele.

4.3 Formules de pricing des derives indexes sur

l’inflation

Les formules de valorisation presentees dans ce memoire n’ont pas ete detailleesafin de ne pas l’alourdir. Toutes les formules sont obtenues avec des argumentsstandards de la theorie du pricing en absence d’opportunite d’arbitrage. Nousrenvoyons a [1] pour les demonstrations et le detail des calculs.

On reprend les notations introduites dans la section 3. De plus, on poseT := T1, . . . , TM, Ψ := ψ1, . . . , ψM et l(t) := min(i : Ti > t) (par definitionTl(t)−1 ≤ t < Tl(t)).

4.3.1 Pricing des swaps Year-on-Year

On note YYIIS(t, Ti−1, Ti, ψi, N) le prix a l’instant t < Ti de la patte flottantesur la periode [Ti−1, Ti]. Celui-ci est donne par la formule :

YYIIS(t, Ti−1, Ti, ψi, N) = NψiPn(t, Ti−1)Pr(t, Ti)

Pr(t, Ti−1)eC(t,Ti−1,Ti) −NψiPn(t, Ti),

21

ou on a :

C(t, Ti−1, Ti) = σrBr(Ti−1, Ti)

[Br(t, Ti−1)

(ρrIσI −

1

2σrBr(t, Ti−1)

+ρnrσnan + ar

(1 + arBn(t, Ti−1))

)− ρnrσnan + ar

Bn(t, Ti−1)

],

avec pour k ∈ r, n :

Pk(t, T ) = Ak(t, T )e−Bk(t,T )r(t),

Bk(t, T ) =1

ak(1− e−ak(T−t)),

Ak(t, T ) =Pk(0, T )

Pk(0, t)exp

(Bk(t, T )fk(0, t)−

σ2k

4ak(1− e−2akt)Bk(t, T )2

).

Puis, on note YYIIS(t, T ,Ψ, N) le prix en t < TM de la jambe flottante d’unswap Year-on-Year indexe sur l’inflation. Ce prix s’obtient en sommant lesvaleurs des paiements :

YYIIS(t, T ,Ψ, N) = Nψl(t)

[I(t)

I(Tl(t)−1)Pr(t, Tl(t))− Pn(t, Tl(t))

]+N

M∑i=l(t)+1

ψi

[Pr(t, Ti)

Pr(t, Ti−1)eC(t,Ti−1,Ti) − Pn(t, Ti)

].

(4.20)

En particulier en t = 0 on a :

YYIIS(0, T ,Ψ, N) = Nψ1 [Pr(0, T1)− Pn(0, T1)]

+NM∑i=2

ψi

[Pr(0, Ti)

Pr(0, Ti−1)eC(0,Ti−1,Ti) − Pn(0, Ti)

].

(4.21)

4.3.2 Pricing des caplets et des floorlets

On note IICplt(t, Ti−1, Ti, ψi, K,N, ω) le prix d’un caplet (pour ω = 1) (resp.d’un floorlet pour ω = −1) a l’instant t < Ti avec K := 1 + κτ . Celui-ci est

22

donne par :

IICplt(t, Ti−1, Ti, ψi, K,N, ω) = ωNψiPn(t, Ti)

[Pn(t, Ti−1)Pr(t, Ti)

Pn(t, Ti)Pr(t, Ti−1)eC(t,Ti−1,Ti)

× Φ

(ω

ln Pn(t,Ti−1)Pr(t,Ti)KPn(t,Ti)Pr(t,Ti−1)

+ C(t, Ti−1, Ti) + 12V 2(t, Ti−1, Ti)

V (t, Ti−1, Ti)

)

−KΦ

(ω

ln Pn(t,Ti−1)Pr(t,Ti)KPn(t,Ti)Pr(t,Ti−1)

+ C(t, Ti−1, Ti)− 12V 2(t, Ti−1, Ti)

V (t, Ti−1, Ti)

)],

(4.22)

avec les memes notations que precedemment. On ne donne pas ici l’expressionexplicite de V 2(t, Ti−1, Ti) car cette derniere est tres lourde et sans interet par-ticulier. Cependant, le lecteur pourra la trouver dans [1].

Remarque 4.3.1. De plus, notant vBlack−call(S,K, σ, T,N) (resp. vBlack−put(S,K, σ, T,N))le prix d’un call (resp. d’un put) europeen dans le modele de Black-Scholes surun un sous-jacent de prix S a maturite T et de strike K ou N est le nominal,on a pour T1 < T2 et t ≤ T2 :

IICplt(t, T1, T2, ψi, K,N, 1) = vBlack−call

(P (t, T2)

P (t, T1)eC(t,T1,T2), 1 + κτ, V (t, T1, T2), T2, Nψi

)

IICplt(t, T1, T2, ψi, K,N,−1) = vBlack−put

(P (t, T2)

P (t, T1)eC(t,T1,T2), 1 + κτ, V (t, T1, T2), T2, Nψi

),

avec pour t ≤ T, P (t, T ) := Pr(t,T )Pn(t,T )

.

4.3.3 Pricing des caps et des floors

Le prix en t = 0 d’un cap note IICapFloor(0, T ,Ψ, K,N, ω) (pour ω = 1)(resp. d’un floor pour ω = −1) s’obtient en sommant les prix des caplets (resp.floorlets) correspondants :

IICapFloor(0, T ,Ψ, K,N, ω) =M∑i=1

IICplt(0, Ti−1, Ti, ψi, K,N, ω).

4.4 Calibration du modele

Les volatilites et les correlations sont des parametres inobservables. Il va doncfalloir les estimer. En particulier, il faut etre capable d’estimer les valeurs

23

des parametres presents dans les formules (4.21) et (4.22) afin de pouvoir pricerd’autres produits du meme type ensuite. Dans les modele de Jarrow et Yildirim,les parametres apparraissant dans ces formules sont an, σn, ar, σr, σI , ρnr et ρnI .

4.4.1 Calibration du taux d’interet reel

La capture de la courbe des taux reels n’etant pas l’objectif principal des travauxpresentes dans ce memoire, pour les applications numeriques, les valeurs desparametres ar et σr ont ete retenues a dire d’expert.

4.4.2 Calibration des autres parametres

On note Ktheoric(p, Tj) le taux theorique a la monnaie d’un contrat swap Year-on-Year de maturite Tj (p designe l’ensemble des parametres dont il depend)et Kmarket(Tj) le taux de marche d’un swap de maturite Tj. Les parametresrestant a calibrer sont an, σn, σI , ρnr et ρnI . Afin, de repliquer au mieux lesprix de marche, nous cherchons a minimiser l’erreur quadratique entre le tauxtheorique a la monnaie et le taux de marche sous des contraintes correspondanta une realite economique via le programme d’optimisation suivant :

minan,σn,σI ,ρnr,ρnI

Nobs∑j=1

(Ktheoric(p, Tj)−Kmarket(Tj))2,

sous la contrainte que les correlations soient comprises entre−1 et 1 notamment.Ici Nobs est le nombre de donnees dont on dispose. Ce programme d’optimisationsous contraintes est resolu avec l’algorithme de Nelder-Mead.

24

Chapitre 5

Un modele alternatif devalorisation des derives indexessur l’inflation conduit par deuxprocessus de Hull et White

5.1 Presentation du modele

Les variables entrant en compte dans la modelisation de l’inflation sont le niveaude l’indice d’inflation et le taux d’interet. On peut donc modeliser l’inflationuniquement avec ces deux quantites. C’est l’idee du modele presente dans cettesection. On note :

· rt la valeur du taux d’interet spot a l’instant t,

· it la valeur ”taux” d’inflation a l’instant t,

· B(t) = exp(∫ t0rudu) le prix de l’actif sans risque a l’instant t,

· P (t, T ) le prix en t d’un zero-coupon de maturite T i.e. sous la mesurerisque neutre Q on a :

P (t, T ) = EQ[exp

(−∫ T

t

rudu

)∣∣∣∣ rt] ,· PI(t, T ) le prix en t d’un zero-coupon payant l’inflation en T i.e. sous la

mesure risque neutre on a :

PI(t, T ) = EQ[I(T ) exp

(−∫ T

t

rudu

)∣∣∣∣ rt, it] ,25

ou I est defini ci-dessous. Les autres notations restent inchangees.

Comme dans la partie 4 des conditions de non arbitrage peuvent etre trouveesen s’assurant qu’il existe un changement de mesure sous laquelle P (t,T )

B(t)et PI(t,T )

B(t)

sont des martingales.On considere donc l’indice d’inflation comme un actif dont on voudrait

modeliser le prix. Il est alors naturel de prendre le ”taux” d’inflation commeprocessus aleatoire conduisant l’economie, dans ce cas l’indice d’inflation s’ecritcomme :

I(T ) = I(T0)e∫ TT0iudu.

On souhaite modeliser le ”taux” d’inflation comme un processus de retour a lamoyenne, c’est pourquoi on utilise un modele de Hull et White :

dit = αIt (θIt − it) + σIt dW

It , (5.1)

il est egalement naturel de modeliser le taux spot r de la meme maniere :

drt = αrt (θrt − rt) + σrt dW

rt , (5.2)

ou (W I ,W r) est un mouvement brownien standard de correlation ρrI .Nous commencons par etudier la dynamique des processus (rt)t et (it)t dans

un cadre general. Nous preciserons par la suite la structure des parametres dumodele.

5.2 Cadre mathematique du modele a deux fac-

teurs suivant une dynamique Hull et White

5.2.1 Dynamiques de rt et it

En appliquant la formule d’Ito au processus Xt = e∫ t0 α

rudurt on peut montrer que

la dynamique du processus (rt)0≤t≤T s’ecrit en connaissant sa valeur a l’instants :

rt = e−∫ ts α

rudurs +

∫ t

s

αruθrue−

∫ tu α

rvdvdu+

∫ t

s

σrue−

∫ tu α

rvdvdW r

u . (5.3)

De meme on obtient la dynamique de (it)0≤t≤T en connaissant sa valeur al’instant s :

it = e−∫ ts α

Iuduis +

∫ t

s

αIuθIue−

∫ tu α

Ivdvdu+

∫ t

s

σIue−

∫ tu α

IvdvdW I

u . (5.4)

26

5.2.2 Dynamiques des integrales des processus rt et it

On considere maintenant deux instants T1 et T2 tels que : t ≤ T1 < T2. Par(5.3) et (5.4) on obtient facilement que :

∫ T2

T1

rsds = rt

∫ T2

T1

e−∫ st α

rududs

+

∫ T1

t

αruθru

(∫ T2

T1

e−∫ su α

rvdvds

)du+

∫ T2

T1

αruθru

(∫ T2

u

e−∫ su α

rvdvds

)du

+

∫ T1

t

σru

(∫ T2

T1

e−∫ su α

rvdvds

)dW r

u+

∫ T2

T1

σru

(∫ T2

u

e−∫ su α

rvdvds

)dW r

u ,

(5.5)

∫ T2

T1

isds = it

∫ T2

T1

e−∫ st α

Iududs

+

∫ T1

t

αIuθIu

(∫ T2

T1

e−∫ su α

Ivdvds

)du+

∫ T2

T1

αIuθIu

(∫ T2

u

e−∫ su α

Ivdvds

)du

+

∫ T1

t

σIu

(∫ T2

T1

e−∫ su α

Ivdvds

)dW I

u+

∫ T2

T1

σIu

(∫ T2

u

e−∫ su α

Ivdvds

)dW I

u ,

(5.6)

5.3 Formules de pricing

On se place maintenant sous la probabilite risque neutre. Nous verrons plusloin, les conditions a donner sur θrt et θIt afin d’etre sous cette mesure.

5.3.1 Pricing des swaps Year-on-Year

La formule de pricing des swaps Year-on-Year est la meme que (4.20) dansle modele de Jarrow-Yildirim en ayant cette fois comme expression pour C lacovariance due a la correlation entre les integrales :

C(t, Ti−1, Ti) = Corr

(∫ Ti−1

t

iudu,

∫ Ti

Ti−1

(ru − iu)du),

et en remplacant Pn(t, Ti) par P (t, Ti) et Pr(t, Ti) par PI(t, Ti). On a alors unenouvelle definition de P , pour t ≤ T :

P (t, T ) =PI(t, T )

P (t, T ).

27

5.3.2 Pricing des caplets et des floorlets

La formule de pricing des caplets et des floorlets est la meme que celle donneeen (4.22) avec C comme defini precedemment et :

V 2(t, Ti−1, Ti) = V ar

[∫ Ti

Ti−1

iudu|it], (5.7)

et en remplacant Pn(t, Ti) par P (t, Ti) et Pr(t, Ti) par PI(t, Ti).

5.3.3 Pricing des caps et des floors

La formule de pricing des caps et des floors est la meme que dans le modele deJarrow-Yildirim en changeant les notations comme evoque precedemment.

5.4 Le modele classique avec des coefficients

constants

5.4.1 Parametres et dynamiques des processus

Les parametres sont choisis constants par rapport au temps :

αIt = αI et σIt = σI ,

αrt = αr et σrt = σr.

Cette structure particuliere nous donne alors les dynamiques :

it = ise−αI(t−s) + αI

∫ t

s

θIue−αI(t−u)du+ σI

∫ t

s

e−αI(t−u)dW Iu ,

rt = rse−αr(t−s) + αr

∫ t

s

θrue−αr(t−u)du+ σr

∫ t

s

e−αr(t−u)dW ru .

et :

∫ Ti

Ti−1

isds = ite−αI(Ti−1−t)B(αI , Ti − Ti−1)

+ αI

∫ Ti−1

t

θIue−αI(Ti−1−u)B(αI , Ti − Ti−1)du+ αI

∫ Ti

Ti−1

θIuB(αI , Ti − u)du

+ σI

∫ Ti−1

t

e−αI(Ti−1−u)B(αI , Ti − Ti−1)dW Iu + σI

∫ Ti

Ti−1

B(αI , Ti − u)dW Iu ,

(5.8)

28

et :

∫ Ti

Ti−1

rsds = rte−αr(Ti−1−t)B(αI , Ti − Ti−1)

+ αr

∫ Ti−1

t

θrue−αr(Ti−1−u)B(αr, Ti − Ti−1)du+ αr

∫ Ti

Ti−1

θruB(αr, Ti − u)du

+ σr

∫ Ti−1

t

e−αr(Ti−1−u)B(αr, Ti − Ti−1)dW ru + σr

∫ Ti

Ti−1

B(αr, Ti − u)dW ru ,

(5.9)

avec :

B(α, T − t) =1− e−α(T−t)

α.

Nous allons maintenant donner des conditions necessaires et suffisantes sur lesdrifts afin de se placer sous la mesure risque neutre.

5.4.2 La mesure risque neutre

Dans [1] on pourra trouver une preuve que l’on est sous la mesure risque neutrelorsque le parametre de retour a la moyenne est donne par :

θrt = fr(0, t) +1

αr

∂

∂tfr(0, t) +

σ2

2α2r

(1− e−2αrt),

ou le taux d’interet forward est donne par :

fr(t, T ) = − ∂

∂TlnP (t, T ).

Et lorsque simultanement :

θIt = fI(0, t) +1

αr

∂

∂tfI(0, t) +

σ2I

2α2I

(1− e−2αI t)

+ρσσIαI

[1

α(1− e−αt) +

1

αI(1− e−αI t)e−αt

],

ou l’on a :

fI(t, T ) =∂

∂TlnPI(t, T )

P (t, T ).

5.4.3 Formules de pricing

Nous donnons ici les expressions particulieres de C et de V 2 afin de pouvoirutiliser les formules de pricing.

29

5.4.3.1 Expression de C

D’apres les expressions (5.8) et (5.9) :

C(t, T1, T2) = −σ2I

2B2(αI , T1 − t)B(αI , T2 − T1)

− ρrIσIσrαI

B(αr, T2 − T1)[B(αI + αr, T1 − t)−B(αr, T1 − t)]

5.4.3.2 Expression de V 2

De la meme maniere on a :

V 2(t, T1, T2) =σ2I

α2I

[T2 − T1 −B(αI , T2 − T1)−

αI2B(αI , T2 − T1)2

]+σ2

IB(2αI , T1 − t)B(αI , T2 − T1)2

5.4.4 Calibration du modele

On calibre l’ensemble des parametres comme dans la section 4.4.2 en ajoutantles contraintes :

3% ≤ αr ≤ 5%,

3% ≤ αI ≤ 5%,

ces contraintes correspondent a des pratiques de place.

30

Chapitre 6

Amelioration du modele acoefficients constants : le modelea coefficients constants parmorceaux

Cette nouvelle approche permet d’ameliorer le modele de Hull et White decritprecedemment. En effet, nous allons considerer que le facteur de correlationρ, les vitesses de retour a la moyenne αr et αI et les volatilites σr et σI sontconstantes par morceaux. Ceci va nous permettre de calibrer le modele par unalgorithme simple a mettre en place et de mieux capter la term structure devolatilite des caps inflation1.

6.1 Parametres et dynamique des processus

Considerons un horizon de maturite T . On note Ti, i = 1, . . . , n les instantsd’un swap d’inflation tels que : 0 = T0 < T1 < · · · < Tn = T . Les dynamiquesdu taux d’interet court terme et du taux d’inflation sont alors :

drt = αrt (θrt − rt)dt+ σrt dW

rt ,

dit = αIt (θIt − it)dt+ σIt dW

It ,

avec d < W rt ,W

It >= ρtdt. De plus, on pose :

j(t) := argi=1,...,nTi−1 < t ≤ Ti.

Avec cette notation on a alors :

1Structure par terme, pour un niveau de strike donne, de la volatilite des caplets/floorletssur inflation.

31

· ρt = ρTj(t) pour t ∈]Tj(t)−1, Tj(t)] et ρ0 = ρT1 ,

· αrt = αrTj(t) et αIt = αITj(t) pour t ∈]Tj(t)−1, Tj(t)] et αr0 = αrT1 , αI0 = αIT1 ,

· σrt = σrTj(t) et σIt = σITj(t) pour t ∈]Tj(t)−1, Tj(t)] et σr0 = σrT1 , σI0 = σIT1 .

Les dynamiques des processus (it)t et (rt)t ne sont pas donnees ici car leursexpressions sont tres lourdes mais il est tout de meme possible de les calculercomme pour le modele a coefficients constants.

6.2 La mesure risque neutre

On ne donne pas ici les conditions sur θIt et θrt pour se placer sous la mesurerisque neutre car celles-ci sont tres lourdes a expliciter et sans interet particulierpour ce memoire. Cependant, elles s’obtiennent exactement de la meme maniereque pour le modele a coefficients constants.

6.3 Formules de pricing

Les formules de pricing sont les memes que precedemment en changeant lesexpressions de C et de V 2. Nous les donnons maintenant car celles-ci jouent unrole crucial dans la calibration du modele.

6.3.1 Expression de C

On s’interesse au calcul du facteur de correlation C(t, T1, T2), avec t, T1, T2comme ci-dessus :

C(t, T1, T2) = Corr

(∫ T1

t

isds,

∫ T2

T1

(rs − is)ds).

On montre facilement que l’on a :

C(t, T1, T2) =

∫ T1

t

ρuσruσ

Iu

(∫ T1

u

e−∫ su α

Ivdvds

)(∫ T2

T1

e−∫ su α

rvdvds

)du

−∫ T1

t

σIu2(∫ T1

u

e−∫ su α

Ivdvds

)(∫ T2

T1

e−∫ su α

Ivdvds

)du (6.1)

32

Proposition 6.3.1. Le facteur de correlation s’ecrit pour t < Ti < Ti+1 :

C(t, Ti, Ti+1) = ρTj(t)σrTj(t)

σITj(t)Ari,j(t)×

(BIi,j(t)Cj(t)(α

rTj(t)

, αITj(t) , t) +Dj(t)(αrTj(t)

, αITj(t) , t))

+i−1∑j=j(t)

ρTj+1σrTj+1

σITj+1Ari,j+1×

(BIi,j+1Cj+1(α

rTj+1

, αITj+1, Tj) +Dj+1(α

rTj+1

, αITj+1, Tj)

)− σITj(t)

2AIi,j(t) ×

(BIi,j(t)Cj(t)(α

ITj(t)

, αITj(t) , t) +Dj(t)(αITj(t)

, αITj(t) , t))

−i−1∑j=j(t)

σITj+1

2AIi,j+1×

(BIi,j+1Cj+1(α

ITj+1

, αITj+1, Tj) +Dj+1(α

ITj+1

, αITj+1, Tj)

)(6.2)

avec :

· βk(j, i) = e−

∑i−1p=j α

kTp

(Tp−Tp−1), pour k ∈ r, I,

· Aki,j = βk(j, i+ 1)B(αkTi+1, Ti+1 − Ti), pour k ∈ r, I,

· Bki,j =

∑i−1p=j A

kp,j =

∑ip=j+1 βk(j, p)B(αITp , Tp − Tp−1),

· Cj(α1, α2, t) = e(α1+α2)(Tj−Tj−1)B(α1 + α2, Tj − t),

· Dj(α1, α2, t) = 1α2

1α1

(eα1(Tj−Tj−1) − eα1(t−Tj−1)

)+ 1

α1+α2

(e(α1+α2)t−α2Tj−α1Tj−1 − eα1(Tj−Tj−1)

)Remarque 6.3.1. De plus, pour t = Ti < Ti+1, on a C(t, Ti, Ti+1) = 0.

Preuve : Voir l’annexe B.

6.3.2 Expression de V 2

On s’interesse au calcul du facteur de volatilite V (t, T1, T2), avec t, T1, T2 commeci-dessus :

V 2(t, T1, T2) = V ar

[∫ T2

T1

isds

∣∣∣∣ it] .On montre facilement que l’on a :

V 2(t, T1, T2) =

∫ T1

t

σIu2(∫ T2

T1

e−∫ su α

Ivdvds

)2

du+

∫ T2

T1

σIu2(∫ T2

u

e−∫ su α

Ivdvds

)2

du

(6.3)

33

Proposition 6.3.2. Le facteur de variance s’ecrit pour t < Ti < Ti+1 et avecles memes notations que dans la proposition 6.3.1 :

V 2(t, Ti, Ti+1) = σITj(t)2AIi,j(t)

2×Cj(t)(αITj(t) , αITj(t)

, t)+i−1∑j=j(t)

σITj+1

2AIi,j+1

2×Cj+1(αITj+1

, αITj+1, Tj)

+σITi+1

2

αITi+1

2

((Ti+1 − Ti)−B(αITi+1

, Ti+1 − Ti)−αITi+1

2B2(αITi+1

, Ti+1 − Ti)

).

(6.4)

Remarque 6.3.2. De plus, pour t = Ti < Ti+1 on a :

V 2(t, Ti, Ti+1) =σITi+1

2

αITi+1

2

((Ti+1 − Ti)−B(αITi+1

, Ti+1 − Ti)−αITi+1

2B2(αITi+1

, Ti+1 − Ti)

).

Preuve : Voir l’annexe B

6.4 Calibration du modele

A partir de maintenant, toutes les variables etoilees designent des valeurs demarche.

Pour la calibration du modele, on se donne, a dire d’expert, les vitesses de retoura la moyenne αrTj et αITj (pour j = 1, . . . , n) comprises entre 3% et 5% commeprecedemment. Pour la partie numerique, nous avons suppose de plus que∀j = 1, . . . , n, αrTj = αr et αITj = αI car les produits que nous allons valorisersont peu sensibles a ces parametres. Maintenant, nous allons voir commentobtenir les autres parametres du modele.

6.4.1 Calibration du taux d’interet

Afin d’estimer les σ∗rTj pour j = 1, . . . , n, nous avons suivi et adapte l’une desmethodes developpees dans [4]. Celle-ci utilise la volatilite des swaptions ; lelecteur pourra trouver une description de ce produit dans la litterature.

Proposition 6.4.1. On considere des swaptions de meme tenor T pour differentesmaturites correspondant aux instants T1, . . . , Tn. On note Vswap(Tj, T ) la volatilitedu swaption de tenor T et de maturite Tj (j = 1, . . . , n). La methode de cali-bration repose sur l’approximation qui suit :

Vswap(Tj, T ) =

[P (0, Tj)

P (0, Tj)− P (0, T )

]2Vp(0, Tj, T ),

34

avec Vp(0, Tj, T ) qui s’ecrit dans le cas ou la vitesse de retour a la moyenne duprocessus de Hull et White conduisant le taux d’interet (rt) est constante egalea αr :

Vp(0, Tj, T ) = B(αr, T − Tj)∫ Tj

0

e2αruσru2du.

En posant :

V (0, Tj, T ) :=

[P (0, Tj)− P (0, T )

P (0, Tj)

]2Vswap(Tj, T )

B(αr, T − Tj),

on a :

∫ Tj

0

e2αruσru2du = V (0, Tj, T )

=

j∑i=1

σrTi2

∫ Ti

Ti−1

e2αrudu =

j∑i=1

σrTi2e2αrTiB(2αr, Ti − Ti−1),

et donc pour j = 1 on deduit en prenant les valeurs de marche :

σ∗rT1 =

√V ∗(0, T1, T )

e2αrT1B(2αr, T1),

et pour 2 ≤ j ≤ n on a :

σ∗rTj =

√V ∗(0, Tj, T )−

∑j−1i=1 σ

∗rTi

2e2αrTiB(2αr, Ti − Ti−1)e2αrTjB(2αr, Tj − Tj−1)

.

6.4.2 Implicitation de la variance V ∗2 et de la correlationC∗ a partir des prix de marche

On obtient les valeurs de marche de V ∗2(0, Ti, Ti+1) pour i = 0, . . . , n − 1 etde C∗(0, Ti, Ti+1) pour i = 1, . . . , n− 1. Pour ce faire, nous nous basons sur laproposition suivante :

35

Proposition 6.4.2. D’apres la remarque 4.3.1 et la parite call-put on a pour1 ≤ i ≤ n :

vBlack−call

(P (0, Ti)

P (0, Ti−1)eC(0,Ti−1,Ti), 1 + κτ, V (0, Ti−1, Ti), Ti, Nψi

)

− vBlack−put

(P (0, Ti)

P (0, Ti−1)eC(0,Ti−1,Ti), 1 + κτ, V (0, Ti−1, Ti), Ti, Nψi

)

= P (0, Ti)

(P (0, Ti)

P (0, Ti−1)eC(0,Ti−1,Ti) − (1 + κτ)

),

on en deduit alors avec des notations evidentes :

C∗(0, Ti−1, Ti) = ln

[(v∗Black−call(0, Ti−1, Ti)− v∗Black−put(0, Ti−1, Ti)

P ∗(0, Ti)+ 1 + κτ

)P ∗(0, Ti−1)

P ∗(0, Ti)

].

Et d’apres la formule de type Black, le facteur V ∗(0, Ti−1, Ti) est egal a la volatilite des capletsobservee sur le marche.

6.4.3 Calibration du taux d’inflation

Pour estimer la volatilite (σ∗ITj )j=1,...,n du taux d’inflation, nous allons nous servir

de la variance de marche V ∗2 comme dans la proposition qui suit :

Proposition 6.4.3. On commence par introduire quelques notations :

· γIi,j(t) := AIi,j2 × Cj(αITj , α

ITj, t),

· λITi+1:=

1

αITi+1

2

((Ti+1 − Ti)−B(αITi+1

, Ti+1 − Ti)−αITi+1

2B2(αITi+1

, Ti+1 −

Ti)

).

On peut alors ecrire (6.4) comme :

V 2(t, Ti, Ti+1) = σITj(t)2γIi,j(t)(t) +

i−1∑j=j(t)

σITj+1

2γIi,j+1(Tj) + σITi+1

2λITi+1

. (6.5)

On a alors :

σ∗IT1 =

√V ∗2(0, 0, T1)

λIT1,

36

et pour 1 ≤ i ≤ n− 1 on a :

σ∗ITi+1=

√√√√V ∗2(0, Ti, Ti+1)−∑i−1

j=0 σ∗ITj+1

2γIi,j+1(Tj)

λITi+1

.

Preuve : L’egalite sur σ∗IT1 s’obtient avec la remarque 6.3.2. Puis, en t = 0 on aj(t) = j(0) = 1, et on utilise (6.5) avec les valeurs de marche V ∗ et en faisantvarier i pour conclure.

6.4.4 Calibration du parametre de correlation

Pour estimer la correlation (ρ∗Tj)j=1,...,n entre le taux d’inflation et le tauxd’interet court terme, nous allons nous servir de la correlation de marche C∗ etdes estimations precedentes comme dans la proposition qui suit :

Proposition 6.4.4. On commence par introduire une notation :

ξki,j(t) := Aki,j ×(BIi,jCj(α

kTj, αITj , t) +Dj(α

kTj, αITj , t)

).

On peut alors ecrire (6.2) comme :

C(t, Ti, Ti+1) = ρTj(t)σrTj(t)

σITj(t)ξri,j(t)(t) +

i−1∑j=j(t)

ρTj+1σrTj+1

σITj+1ξri,j+1(Tj)

− σITj(t)2ξIi,j(t)(t)−

i−1∑j=j(t)

σITj+1

2ξIi,j+1(Tj). (6.6)

On a alors :

ρ∗T1 =C∗(0, T1, T2) + σ∗IT1

2ξI1,1(0)

σ∗rT1σ∗IT1ξr1,1(0)

,

et pour 2 ≤ i ≤ n− 1 on a :

ρ∗Ti =C∗(0, Ti, Ti+1)−

∑i−2j=0 ρ

∗Tj+1

σ∗rTj+1σ∗ITj+1

ξri,j+1(Tj) +∑i−1

j=0 σ∗ITj+1

2ξIi,j+1(Tj)

σ∗rTiσ∗ITiξri,i(Ti−1)

.

Remarque 6.4.1. On obtient ρ∗Tn avec une technique d’extrapolation (flat parexemple).

Preuve : En t = 0 on a j(t) = j(0) = 1, puis on utilise (6.6) avec les valeurs demarche C∗ et en faisant varier i pour conclure.

37

Chapitre 7

Applications numeriques etcomparaison des differentsmodeles de valorisation desderives indexes sur l’inflation

Dans ce chapitre, sont presentes les resultats de la calibration des differentsmodeles etudies dans ce memoire et en particulier du modele que nous pro-posons pour ameliorer le modele a deux facteurs Hull et White a coefficientsconstants. Apres avoir calibre ces modeles a partir des prix de marche obtenusvia Bloomberg, les taux swap Year-on-Year et les prix des caps inflation ont etecalcules et compares pour evaluer la performance de chacun des modeles.

Il est important de noter que l’ensemble des modeles de valorisation des derivesindexes sur l’inflation, presentes dans ce memoire, ont ete implementes dansla librairie de valorisation du Pole Ingenierie Financiere de Mazars Actuariat.L’ensemble des calculs realises a une date donnee et presentes dans cette partieen sont issus.

7.1 Calibration des modeles de valorisation

7.1.1 Calibration du modele de Jarrow-Yildirim

Pour calibrer le modele de Jarrow et Yildirim, nous utilisons la demarche decritedans 4.4. Les parametres du taux d’interet reel ont ete fixes a dire d’expert :

ar = 20% et σr = 1%,

38

et les valeurs des autres parametres sont obtenues apres resolution du problemede minimisation sous contraintes :

an = 161%, σn = 57%, σI = 20%, ρnr = 42% et ρrI = −57%.

7.1.2 Calibration du modele de Hull et White a coeffi-cients constants

En appliquant la demarche decrite dans 5.4.4, l’estimation des parametres dumodele de Hull et White a coefficients constants est donnee par :

σI = 10%, αI = 4%, ρ = 44%, σr = 23%, et αr = 4%.

7.1.3 Calibration du modele de Hull et White a coeffi-cients constants par morceaux

Pour le modele Hull White a coefficients constants par morceaux, la demarchedecrite dans 6.4 a ete suivie. En ligne avec les pratiques de place, les vitessesde retour a la moyenne ont ete fixees : αr = 3%, αI = 3%.

Par ailleurs, les valeurs retournees par l’algorithme decrit dans la section 6.4.1sont toutes relativement proches de 20% si bien qu’il a ete pose ∀j = 1, . . . , n :σrTj = σr = 20%.

Finalement, les resultats des propositions 6.4.3 et 6.4.4 ont ete utilises pourestimer σIt et ρt pour chaque maturite avec des swaps Year-on-Year et des capsinflation de strike 1%. Les valeurs obtenues se trouvent dans le tableau 7.1.

σ∗IT1 0.278% ρ∗T1 49.906%σ∗IT2 0.179% ρ∗T2 8.35%σ∗IT3 0.406% ρ∗T3 24.68%σ∗IT4 0.316% ρ∗T4 19.644%σ∗IT5 0.273% ρ∗T5 50.7%σ∗IT6 0.213% ρ∗T6 27.805%σ∗IT7 0.191% ρ∗T7 -19.385%σ∗IT8 0.214% ρ∗T8 -2.931%

Tableau 7.1: Parametres estimes pour la correlation et la volatilite du tauxd’inflation dans le modele de Hull et White a coefficients constants par morceaux

39

7.2 Applications numeriques

7.2.1 Valorisation des swaps Year-on-Year

Les valeurs de marche et les valorisations des swaps Year-on-Year obtenus avecles differents modeles etudies dans ce memoire, dont l’amelioration du modelede Hull-Whitte a facteurs constants que nous proposons, se trouvent dans letableau 7.2 :

Maturite (en annee) Jarrow-Yildirim Hull-White Hull-White ameliore Marche1 1.46% 1.46% 1.40% 1.40%2 1.72% 1.74% 1.72% 1.72%3 1.82% 1.84% 1.83% 1.83%4 1.91% 1.93% 1.92% 1.92%5 2.00% 2.02% 1.97% 1.97%6 2.08% 2.08% 2.08% 2.08%7 2.13% 2.13% 2.16% 2.16%8 2.19% 2.18% 2.19% 2.19%

Tableau 7.2: Prix des swaps pour les differents modeles et prix de marche.

Une representation graphique de ce tableau est donne ci-dessous :

Figure 7.1: En abscisse est representee la maturite des swaps et en ordonneeleur prix pour les differents modeles ainsi que le prix de marche. Les courbesverte et bleue sont confondues.

40

Les modeles Jarrow-Yildirim et Hull et White a coefficients constants donnentdes prix proches de ceux du marche. Il est a noter que le modele de Hullet White a coefficients constants par morceaux permet une meilleureestimation de la valeur de marche des swaps que les deux autresmodeles. Le modele developpe semble donc plus performant. En ef-fet, ce dernier modele combine a l’approche de calibration par bootstrappingdeveloppee dans ce memoire permet une replication exacte de la structure parterme des taux de swap inflation de marche.

Dans la suite, seuls les modeles Hull et White a coefficients constants et acoefficients constants par morceaux seront compares. En effet, meme si celan’est pas prouve dans ce memoire, il peut etre montre que le modele de Hull etWhite a coefficients constants est equivalent au modele de Jarrow-Yildirim.

7.2.2 Valorisation des caps inflation

Les valeurs de marche et les valorisations des caps indexes sur l’inflation pourun strike K = 1% obtenus avec le modele Hull-White a coefficients constantsainsi que l’amelioration que nous en proposons dans ce memoire, se trouventdans le tableau 7.3. A noter que les prix des caps inflation ont ete obtenus avecles valeurs des parametres obtenus precedemment.

Maturite Caps (HW) Caps (HW ameliore) Caps du marche1 4.79% 0.68% 0.68%2 10.92% 1.81% 1.81%3 18.08% 3.55% 3.55%4 26.01% 5.29% 5.29%5 34.54% 7.03% 7.03%6 43.51% 8.97% 8.98%7 52.94% 10.92% 10.92%8 62.58% 12.80% 12.80%

Tableau 7.3: Prix des caps calcules avec le modele de Hull et White a coeffi-cients constants et avec le modele de Hull et White a coefficients constants parmorceaux et prix de marche.

41

Une representation graphique de ce tableau est donne ci-dessous :

Figure 7.2: En abscisse est representee la maturite des caps inflations et enordonnee leur prix pour les differents modeles ainsi que le prix de marche. Lescourbes verte et bleue sont confondues.

Nous constatons que le modele de Hull et White a coefficients constants parmorceaux reproduit exactement les prix des caps observes sur le marche. Tan-dis que les prix donnes par le modele de Hull et White a coefficients constantss’ecartent des prix observes sur le marche. Cela est du au fait que le modelede Hull et White a coefficients constants a ete calibre sur des swaps qui netiennent pas compte de la term structure de volatilite des caps inflation1 con-trairement au modele que nous proposons. Ainsi, ce modele ne permet pasde valoriser convenablement d’autres produits tels que les caps et les floors in-flation si sa calibration est realisee de maniere ”naıve”, c’est a dire en tenantcompte uniquement des prix de marche des swaps Year-on-Year qui ne perme-ttent pas de refleter la volatilite implicite des caps inflations. Au contraire,le modele developpe dans ce memoire et sa technique de calibration permet-tent de repliquer, sans utiliser aucun algorithme de resolution de programmed’optimisation, tres facilement et simultanement les prix de marche des swapset des caps et floors inflation.

Pour remedier a ce probleme, nous avons re-calibre les parametres du modelede Hull-White a facteurs constants en fixant les valeurs de σI et de ρ. Ellesont ete determinees a partir des parametres obtenus avec le modele de Hullet White a coefficients constants par morceaux. Nous avons choisi de prendre

1Structure par terme, pour un niveau de strike donne, de la volatilite des caplets/floorletssur inflation.

42

σI = σ∗IT1 = 0.278% et ρ = ρ∗T1 = 49.906%. Les resultats du pricing sont donnesdans le tableau 7.4. Nous obtenons une meilleure approximation des prix descaps du marche.

Maturite Caps (HW) Caps (HW ameliore) Caps du marche1 1.03% 0.68% 0.68%2 2.14% 1.81% 1.81%3 3.51% 3.55% 3.55%4 5.11% 5.29% 5.29%5 6.88% 7.03% 7.03%6 8.76% 8.97% 8.98%7 10.92% 10.92% 10.92%8 13.06% 12.80% 12.80%

Tableau 7.4: Prix des caps calcules avec le modele de Hull et White a coeffi-cients constants et avec le modele de Hull et White a coefficients constants parmorceaux et prix de marche.

Une representation graphique de ce tableau est donne ci-dessous :

Figure 7.3: En abscisse est representee la maturite des caps inflations et enordonnee leur prix pour les differents modeles ainsi que le prix de marche. Lescourbes verte et bleue sont confondues.

Finalement, cette nouvelle application du modele de Hull-White acoefficient constant par morceaux montre qu’il est plus performantque les modeles classiques type Jarrow-Yildirim et Hull-White a co-efficient constants puisqu’il permet une replication exacte des prix de

43

marche des swaps Year-on-Year tout en repliquant egalement les prixdes caps et floors inflation pour un niveau de strike donne.

44

Chapitre 8

Le modele developpe est plusperformant que les modeles devalorisation classiques

Ce sujet de memoire d’actuariat se situant a l’intersection des problematiquesfinancieres, macroeconomiques et actuarielles m’a permis de mettre en appli-cation les enseignements theoriques recus a l’institut du risk management touten developpant un modele plus performant que les modeles de valorisation dederives indexes sur l’inflation classiques et en enrichissant la librairie de valori-sation developpee au sein du Pole Ingenierie Financiere de Mazars Actuariat.

L’objectif des travaux, qui a ete identique jusqu’a la redaction du memoire,etait de construire un cadre de modelisation risque neutre complet pour la val-orisation de produits indexes sur l’inflation. Cet objectif a ete atteint puisquenous sommes parvenus a developper un modele et une methode de calibrationpermettant, au travers d’une approche tres simple de bootstrapping, de repliquerparfaitement les prix de marche des swaps Year-on-Year et des caps et floorsinflation. Il s’agit d’une amelioration notable des modeles classiques repandusdans l’industrie dont l’une des limites connues est leur faible capacite a capturerla term structure de volatilite des caplets et floorlets inflation.

Pour y parvenir, au travers d’une revue de litterature, nous nous sommesinteresses dans un premier temps aux derives simples indexes sur l’inflation(swap, caps et floors) ainsi qu’aux deux modeles fondamentaux utilises au-jourd’hui pour leur valorisation : le modele de Jarrow-Yildirim et un modelebi-facteurs reposant sur deux processus de Hull et White. Ceci nous a permisd’en identifier les faiblesses afin de proposer un modele permettant de les cor-riger. C’est ainsi que nous avons developpe un modele – une amelioration des

45

modeles nommes precedemment – permettant une meilleure prise en compte dela structure par terme de la volatilite implicite des caplets et des floorlets infla-tion. Nous avons egalement developpe une methode de calibration tres efficace,par bootstrapping, ne necessitant aucun algorithme d’optimisation et permettantde capter precisement les prix des instruments de marche. Enfin, les differentsmodeles etudies ont ete implementes et testes sur des donnees reelles issues deBloomberg. Les modeles ont ainsi pu etre compares au travers de leur capacitea repliquer les prix de marche et de la difficulte a les calibrer.

Le modele developpe au cours de ces travaux ainsi que son approche de calibra-tion donnent de meilleurs resultats que les modeles utilises habituellement pourvaloriser des derives vanilles indexes sur l’inflation.

C’est pourquoi, il semblerait pertinent d’etudier d’autres applications de cemodele et de son approche de calibration a la valorisation d’instruments in-dexes sur l’inflation plus complexes et structures, ou encore a d’autres typesde problematiques comme la valorisation de swap de taux dont le taux d’actu-alisation est floore a zero et eventuellement a la generation de scenarios econo-miques mettant en jeu des indices d’inflation.

46

Annexe A

Preuves des resultats sur lemodele de Jarrow et Yildirim

Preuve du lemme 4.2.1

On applique la formule d’integration par parties a B∗(t) en notant que

dBr(t) = Br(t)rr(t)dt, (A.1)

et donc d < Br(.), I(.) >t= 0, ainsi on a :

dB∗(t) = Br(t)dI(t) + I(t)dBr(t)

et on deduit la dynamique de B∗(t) avec les expressions (4.5) et (A.1).

On fait de meme pour la dynamique de PI :

dPI(t, T ) = I(t)dPr(t, T ) + Pr(t, T )dI(t) + d < Pr(., T ), I(.) >t . (A.2)

Avant d’aller plus loin dans le calcul, il est necessaire de determiner la dy-namique de Pr(t, T ). On rappelle que l’on a :

Pr(t, T ) = exp

(−∫ T

t

fr(t, u)du

)donc

lnPr(t, T ) = −∫ T

t

fr(t, u)du

et d’apres (4.3)

fr(t, T ) = fr(0, T ) +

∫ t

0

αr(v, T )dv +

∫ t

0

σr(v, T )dWr(v) (A.3)

47

d’ou

lnPr(t, T ) = −∫ T

t

fr(0, u)du−∫ T

t

(∫ t

0

αr(v, u)dv

)du−

∫ T

t

(∫ t

0

σr(v, u)dWr(v)

)du

Jarrow et Yildirim utilisent ensuite un lemme qui generalise le theoreme deFubini aux integrales stochastiques sous certaines hypotheses de continuite sat-isfaites ici par nos processus. Afin de ne pas alourdir inutilement ce rapport,nous ne le presentons pas ici mais pour plus de details, le lecteur interesse pourraconsulter l’annexe de [2]. Ce lemme permet alors d’ecrire :

lnPr(t, T ) = −∫ T

t

fr(0, u)du−∫ t

0

(∫ T

t

αr(v, u)du

)dv −

∫ t

0

(∫ T

t

σr(v, u)du

)dWr(v)

= −∫ T

0

fr(0, u)du−∫ t

0

(∫ T

v

αr(v, u)du

)dv −

∫ t

0

(∫ T

v

σr(v, u)du

)dWr(v)

+

∫ t

0

fr(0, u)du+

∫ t

0

(∫ t

v

αr(v, u)du

)dv +

∫ t

0

(∫ t

v

σr(v, u)du

)dWr(v)

puis utilisant ar(v, T ) et br(v, T ) definis comme dans l’enonce du lemme :

lnPr(t, T ) = lnPr(0, T ) +

∫ t

0

rr(u)du+

∫ t

0

br(v, T )dv − 1

2

∫ t

0

a2r(v, T )dv +

∫ t

0

ar(v, T )dWr(v).

(A.4)

En effet, d’apres (A.3) on a :

rr(t) = fr(t, t)

= fr(0, t) +

∫ t

0

αr(v, t)dv +

∫ t

0

σr(v, t)dWr(v)

donc

∫ t

0

rr(u)du =

∫ t

0

fr(0, u)du+

∫ t

0

(∫ u

0

αr(v, u)dv

)du+

∫ t

0

(∫ u

0

σr(v, u)dWr(v)

)du

et d’apres le theoreme de Fubini generalise aux integrales stochastiques :

48

∫ t

0

rr(u)du =

∫ t

0

fr(0, u)du+

∫ t

0

(∫ t

v

αr(v, u)du

)dv +

∫ t

0

(∫ t

v

σr(v, u)du

)dWr(v),

ce qui justifie l’expression (A.4). Enfin d’apres (A.4) et la formule d’Ito, ondeduit la dynamique de Pr(t, T ) :

dPr(t, T )

Pr(t, T )= (rr(t) + br(t, T ))dt+ ar(t, T )dWr(t). (A.5)

Il est a present aise de determiner la dynamique de PI(t, T ). Des expressions(4.5) et (A.5) on deduit que

d < Pr(., T ), I(.) >t = ρrIar(t, T )σI(t)PI(t, T ). (A.6)

Enfin, on obtient la formule donnee pour la dynamique de PI(t, T ) en combinant(4.5), (A.2), (A.5) et (A.6).

Preuve du lemme 4.2.2

L’expression (4.6) s’obtient par integration par partie et comme dBn(t) =Bn(t)rn(t)dt, on a

dZn(t, T ) =dPn(t, T )

Bn(t)+ Pn(t, T )d

(1

Bn(t)

)=

1

Bn(t)(dPn(t, T )− Pn(t, T )rn(t)dt)

et la dynamique de Pn(t, T ) s’obtient exactement comme celle de Pr(t, T ) obtenueen (A.5). On en deduit ensuite l’expression (4.6). On obtient les expressions(4.7) et (4.8) de la meme maniere, en combinant une integration par parties etles expressions obtenues dans le lemme 4.2.1.

Preuve de la proposition 4.2.2

D’apres (4.8) on a :

49

Znr(t) = Znr(0) +

∫ t

0

Znr(s) (µI(s) + rr(s)− rn(s)) ds

+

∫ t

0

Znr(s)σI(s)dWI(s)

= Znr(0) +

∫ t

0

Znr(s) (µI(s) + rr(s)− rn(s) + σI(s)λI(s)) ds

+

∫ t

0

Znr(s)σI(s)dWI(s),

puis, Znr(t) est une Q-martingale si et seulement si :

∀s, Znr(s)(µI(s) + rr(s)− rn(s) + σI(s)λI(s)) = 0 P− p.s..

Comme Znr(s) 6= 0,P− p.s., on en deduit la condition (4.13).Puis, d’apres l’expression (4.6) et par un raisonnement similaire au precedent

on a que :

Zn(t, T ) est une Q-martingale⇐⇒ ∀s, bn(s, T ) = −an(s, T )λn(s)

et on obtient la condition (4.11), en utilisant les expressions de an(s, T ) etbn(s, T ) et en derivant l’egalite precedente par rapport a T ; il y a bien equivalencepuisqu’on peut remonter les calculs en integrant par rapport a T , la constanted’integration etant nulle.

Enfin, on obtient la condition (4.12), de facon identique i.e. par un calculsimilaire en partant de (4.7), en y injectant la condition (4.13), et enfin enderivant (resp. en integrant) par rapport a T .

50

Annexe B

Preuves des resultats sur lemodele de Hull et Whiteameliore

Preuve de la proposition 6.3.1

On decompose le calcul en plusieurs etapes :

1) Notre but est de calculer pour s ≤ Ti :∫ Ti

s

e−∫ vs α

kududv = e

∫ s0 α

kudu

∫ Ti

s

e−∫ v0 α

kududv.

1a) Il est facile de montrer que pour k ∈ r, I et v ∈ [0, T ] on a :

e−∫ v0 α

kudu = e

−∑j(v)−1

i=1 αkTi

(Ti−Ti−1)−αkTj(v)

(v−Tj(v)−1)

= βk(j(v))e−αk

Tj(v)(v−Tj(v)−1)

, (B.1)

avec βk(j) := e−∑j−1

i=1 αkTi

(Ti−Ti−1).

1b) Maintenant on ecrit que :∫ Ti

s

e−∫ v0 α

kududv =

∫ Tj(s)

s

e−∫ v0 α

kududv +

i−1∑j=j(s)

∫ Tj+1

Tj

e−∫ v0 α

kududv.

Pour v ∈ [s, Tj(s)] on a :∫ Tj(s)

s

e−∫ v0 α

kududv = βk(j(s))

∫ Tj(s)

s

e−αk

Tj(s)(v−Tj(s)−1)

dv

= βk(j(s))e−αk

Tj(s)(s−Tj(s)−1)

B(αkTj(s) , Tj(s) − s).

51

Pour v ∈ [Tj, Tj+1], j ≥ j(s) on a :∫ Tj+1

Tj

e−∫ v0 α

kududv = βk(j + 1)

∫ Tj+1

Tj

e−αk

Tj+1(v−Tj)dv

= βk(j + 1)B(αkTj+1, Tj+1 − Tj).

Ainsi on a :∫ Ti

s

e−∫ v0 α

kududv = βk(j(s))e

−αkTj(s)

(s−Tj(s)−1)B(αkTj(s) , Tj(s) − s)

+i−1∑

j=j(s)

βk(j + 1)B(αkTj+1, Tj+1 − Tj).

1c) Par (B.1) on a :

e∫ s0 α

kudu =

1

βk(j(s))eαkTj(s)

(s−Tj(s)−1),

on en deduit alors avec le resultat de 1b :∫ Ti

s

e−∫ vs α

kududv = B(αkTj(s) , Tj(s) − s)

+i−1∑

j=j(s)

βk(j + 1)

βk(j(s))eαkTj(s)

(s−Tj(s)−1)B(αkTj+1

, Tj+1 − Tj),

et on a βk(j+1)βk(j(s))

= e−

∑jp=j(s)

αkTp

(Tp−Tp−1) = βk(j(s), j + 1) d’ou :∫ Ti

s

e−∫ vs α

kududv = B(αkTj(s) , Tj(s) − s) + e

αkTj(s)

(s−Tj(s)−1)i−1∑

j=j(s)

Akj,j(s)

= B(αkTj(s) , Tj(s) − s) + eαkTj(s)

(s−Tj(s)−1)Bki,j(s).

2) On veut calculer :∫ Ti+1

Ti

e−∫ su α

kvdvds = e

∫ u0 αk

vdv

∫ Ti+1

Ti

e−∫ s0 α

kvdvds.

On fait comme precedemment en utilisant (B.1) et en se servant du fait que sur[Ti, Ti+1], j(s) = i+ 1 :∫ Ti+1

Ti

e−∫ su α

kvdvds =

1

βk(j(u))eαkTj(u)

(u−Tj(u)−1)∫ Ti+1

Ti

βk(i+ 1)e−αk

Ti+1(s−Ti)ds

= βk(j(u), i+ 1)B(αkTi+1, Ti+1 − Ti)e

αkTj(u)

(u−Tj(u)−1)

= Aki,j(u)eαkTj(u)

(u−Tj(u)−1).

52

3) On pose pour k1, k2 ∈ r, I :

f(u, αk1 , αk2) =

(∫ Ti

u

e−∫ su α

k1v dvds

)(∫ Ti+1

Ti

e−∫ su α

k2v dvds

),

on a alors par (6.1) :

C(t, Ti, Ti+1) =

∫ Ti

t

ρuσruσ

Iuf(u, αI , αr)du−

∫ Ti

t

σIu2f(u, αI , αI)du

= ρTj(t)σrTj(t)

σITj(t)

∫ Tj(t)

t

f(u, αI , αr)du

+i−1∑j=j(t)

ρTj+1σrTj+1

σITj+1

∫ Tj+1

Tj

f(u, αI , αr)du

− σITj(t)2∫ Tj(t)

t

f(u, αI , αI)du

−i−1∑j=j(t)

σITj+1

2∫ Tj+1

Tj

f(u, αI , αI)du. (B.2)

Il est donc clair qu’il nous reste qu’a calculer :∫ Tj(t)

t

f(u, αI , αr)du et

∫ Tj+1

Tj

f(u, αI , αr)du

et nous deduirons les autres integrales en posant r = I dans les calculs.

3a) On donne ici une expression de f(u, αI , αr) obtenue avec les resultats de 1et 2 :

f(u, αI , αr) =(B(αITj(u) , Tj(u) − u) + e

αITj(u)

(u−Tj(u)−1)BIi,j(u)

)× Ari,j(u)e

αrTj(u)

(u−Tj(u)−1)

= Ari,j(u)

(B(αITj(u) , Tj(u) − u)e

αrTj(u)

(u−Tj(u)−1)+BI

i,j(u)e(αI

Tj(u)+αr

Tj(u))(u−Tj(u)−1)

).

3b) On veut calculer : ∫ Tj(t)

t

f(u, αI , αr)du.

Par 3b et comme sur [t, Tj(t)], j(u) = j(t), il est clair qu’il nous suffit de calculer:∫ Tj(t)

t

B(αITj(t) , Tj(t)−u)eαrTj(t)

(u−Tj(t)−1)du et

∫ Tj(t)

t

e(αI

Tj(t)+αr

Tj(t))(u−Tj(t)−1)

du.

53

On laisse au lecteur le soin de verifier que :∫ Tj(t)

t

e(αI

Tj(t)+αr

Tj(t))(u−Tj(t)−1)

du = Cj(t)(αrTj(t)

, αITj(t) , t),∫ Tj(t)

t

B(αITj(t) , Tj(t) − u)eαrTj(t)

(u−Tj(t)−1)du = Dj(t)(α

rTj(t)

, αITj(t) , t).

et donc on a :∫ Tj(t)

t

f(u, αI , αr)du = Ari,j(u)

(BIi,j(u)Cj(t)(α

rTj(t)

, αITj(t) , t) +Dj(t)(αrTj(t)

, αITj(t) , t)).

3c) De meme, on montre que :∫ Tj+1

Tj

f(u, αI , αr)du = Ari,j+1

(BIi,j+1Cj+1(α

rTj+1

, αITj+1, Tj) +Dj+1(α

rTj+1

, αITj+1, Tj)

).

4) On reprend (B.2) en utilisant 3b et 3c pour obtenir le resultat.

Preuve de la proposition 6.3.2

On va reutiliser les calculs faits dans la preuve de la proposition 6.3.1 pourcalculer (6.3).

1) On veut calculer : ∫ Ti

t

σIu2(∫ Ti+1

Ti

e−∫ su α

Ivdvds

)2

du.

1a) On se sert du point 2 de la proposition 6.3.1 pour ecrire que :(∫ Ti+1

Ti

e−∫ su α

Ivdvds

)2

= AIi,j(u)2e2αI

Tj(u)(u−Tj(u)−1)

.

1b) On ecrit alors que :∫ Ti

t

σIu2(∫ Ti+1

Ti

e−∫ su α

Ivdvds

)2

du =

∫ Tj(t)

t

σIu2(∫ Ti+1

Ti

e−∫ su α

Ivdvds

)2

du

+i−1∑j=j(t)

∫ Tj+1

Tj

σIu2(∫ Ti+1

Ti

e−∫ su α

Ivdvds

)2

du

54

Puis par 1a on a :∫ Ti

t

σIu2(∫ Ti+1

Ti

e−∫ su α

Ivdvds

)2

du = σITj(t)2AIi,j(t)

2∫ Tj(t)

t

e2αI

Tj(t)(u−Tj(t)−1)

du

+i−1∑j=j(t)

σITj+1

2AIi,j+1

2∫ Tj+1

Tj

e2αI

Tj+1(u−Tj)du

= σITj(t)2AIi,j(t)

2Cj(t)(α

ITj(t)

, αITj(t) , t)

+i−1∑j=j(t)

σITj+1

2AIi,j+1

2Cj+1(α

ITj+1

, αITj+1, Tj).

2) On veut calculer : ∫ Ti+1

Ti

σIu2(∫ Ti+1

u

e−∫ su α

Ivdvds

)2

du.

Par le point 1c de la preuve de la proposition 6.3.1 on a :∫ Ti+1

Ti

σIu2(∫ Ti+1

u

e−∫ su α

Ivdvds

)2

du = σITi+1

2∫ Ti+1

Ti

B(αITj(u) , Tj(u) − u)

+i∑

j=j(u)

Akj,j(u)eαkTj(u)

(u−Tj(u)−1)2

du

= σITi+1

2∫ Ti+1

Ti

B2(αITi+1, Ti+1 − u)du

car j(u) = i+ 1 pour u ∈]Ti, Ti+1].

Enfin, on laisse au lecteur le soin de verifier que :∫ Ti+1

Ti

B2(αITi+1, Ti+1 − u)du =

1

αITi+1

2

((Ti+1 − Ti)−B(αITi+1

, Ti+1 − Ti)

−αITi+1

2B2(αITi+1

, Ti+1 − Ti)).

3) On conclut avec les points 1b et 2.

55

References bibliographiques

[1] F. Mercurio D. Brigo. Interest Rate Models - Theory and Practice WithSmile, Inflation and Credits. Springer, 2nd edition, August 2006.

[2] A. Morton D. Heath, R. Jarrow. Bond Pricing and the Term Structureof Interest Rates : A New Methodology for Contingent Claims Valuation.Econometrica, 60(1):77–105, January 1992.

[3] R. A. Jarrow K. I. Amin. Pricing foreign currency options under stochas-tic interest rates. Journal of International Money and Finance, 10:310–329,1991.

[4] T. Wong S. Gurrieri, M. Nakabayashi. Calibration Methods of Hull-White model. Risk Management Department, Mizuho Securities, November2009.

[5] Benhamou et Belgrade. A market model for inflation. working paperCDS IXIS-CM R&D, annee inconnue.

[6] Johnny Bou Maachar. Inflation Market Models. Technical report, HSBCDerivatives Research, juin 2006.

[7] Matthew Dodgson et Dherminder Kainth. Inflation-Linked Derivatives.Risk Training Course, Septembre 2006.

[8] E. Koehler. PRMIA et AFGAP : Le Risque d’Inflation. Technical report,Commerzbank, Septembre 2007.

[9] Robert Jarrow et Yildiray Yildirim. Pricing Treasury Inflation Pro-tected Securities and Related Derivatives Using an HJM Model. Journalof Financial and Quantitative Analysis (JFQA), 38(2):337–359, June 2003.

[10] Gianvittorio Mauri et Fabio Mercurio. Pricing Inflation-IndexedDerivatives. Quantitative Finance, 5:289–302, 2005.

[11] R. Kaufmann and All. Introduction to Dynamic Financial Analysis.Astin bulletin, 31(1):213–249, 2001.

56