M etodos de Matem aticas Aplicadascevale2.uis.edu.co/~cevale2/wiki/images/LibroMetMatPart1V00.pdf · M etodos de la F sica Matem atica (Vol 1) BORRADOR PRELIMINAR M etodos de Matem

Metodos de la Fısica Matematica (Vol 1) BORRADOR PRELIMINAR

Metodos de Matematicas Aplicadas

Volumen 1: De los Espacios Lineales y

a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Hector HernandezUniversidad de Los Andes

Merida Venezuela

Luis A. NunezUniversidad Industrial de Santander

Bucaramanga Colombia

y

Universidad de Los AndesMerida Venezuela

Version 0.1 Diciembre 2012

Hernandez & Nunez Universidad Industrial de Santander 1

Indice general

1. Los vectores de siempre 71.1. Para comenzar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Vectores y escalares y algebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Escalares y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Algebra de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Independencia lineal y las bases para vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Productos de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3. Una division fallida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.4. Producto triple o mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Componentes, coordenadas y cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.1. Bases, componentes y coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.2. Cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6. Algebra vectorial y coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.1. Suma y resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.2. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.5. Triple producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7. Algebra vectorial con ındices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7.1. Convencion de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7.2. Los vectores y los ındices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.3. Un par de calculos ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.4. El escalares, pseudoescalares, vectores y pseudovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8. Aplicaciones del algebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8.1. Rectas y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8.2. Planos y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9. Un comienzo a la derivacion e integracion de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9.1. Vectores variables, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9.2. Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9.3. Velocidades y aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.9.4. Vectores y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.9.5. El vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.9.6. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.10. Vectores y numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2


1.10.1. Los numeros complejos y su algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.10.2. Vectores y el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.10.3. Formulas de Euler y De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.10.4. Algunas Aplicaciones Inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.11. Algunos ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.12. Algunos ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.13. Vectores y MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2. Espacios Vectoriales Lineales 652.1. Grupos, Campos y Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.2. Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1.3. Espacios Vectoriales Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2. Metricas y Espacios Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3. Normas y Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4. Producto Interno y Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.1. Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.2. La desigualdad de Cauchy Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5. Variedades Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5.1. Dependencia, independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5.2. Bases de un Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.5.3. El determinante de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.5.4. Ortogonalidad y Bases Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.5. Ortogonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.5.6. Complementos Ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.5.7. Descomposicion ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.6. Temas Avanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.6.1. Aproximacion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.6.2. El Metodo de Mınimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.7. Algunos ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.8. Algunos ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3. Vectores Duales y Tensores 1003.1. Funcionales Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2. Bases Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.3. Parentesis Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.3.1. Tensores una definicion funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3.2. Producto Tensorial: Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3.3. La tentacion del producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3.4. Bases para un producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3.5. Tensores, sus componentes y sus contracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3.6. Tensor Metrico, Indices y Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.4. Un par de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.4.1. El tensor de esfuerzos (stress) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.4.2. El Tensor de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.5. Repensando los vectores, otra vez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.5.1. Vectores, Covectores y Leyes de Transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.5.2. Cartesianas y Polares, otra vez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119



3.5.3. Repensando las componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.6. Transformaciones, vectores y tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.7. Teorema del Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.8. Vectores, Tensores y Espacios Pseudo-Euclideanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.8.1. Espacios Minkowskianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.8.2. Un Toque de Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.9. Temas avanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.9.1. Bases Discretas y Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.9.2. Bases de Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.9.3. Las Representaciones |r〉 y |p〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.10. Algunos ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.11. Algunos ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4. Matrices, Determinantes y Autovectores 1404.1. Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.1.1. Espacio Vectorial de Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.1.2. Composicion de Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.1.3. Proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.1.4. Espacio Nulo e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.1.5. Operadores Biyectivos e Inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.1.6. Operadores Hermıticos Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.1.7. Operadores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.2. Representacion Matricial de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.2.1. Bases y Representacion Matricial de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2.2. Algebra de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.2.3. Representacion Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.2.4. Sistemas de Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.2.5. Operadores Hermıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.2.6. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.2.7. Cambio de Bases para vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.3. Traza de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.3.1. Invariancia de la Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.3.2. Propiedades de la Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.3.3. Diferenciacion de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.3.4. Reglas de Diferenciacion de Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.3.5. La Formula de Glauber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.4. Un Zoologico de Matrices Cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.4.1. La matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.4.2. Diagonal a Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.4.3. Triangular superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.4.4. Matriz singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.4.5. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.4.6. Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.5. Un Parentesis Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.5.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.5.2. Propiedades Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.6. Autovectores y Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.6.1. Definiciones y Teoremas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170



4.6.2. Algunos comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.6.3. Algunos Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.6.4. Autovalores, autovectores e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.7. Autovalores y Autovectores de un operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.7.1. El polinomio caracterıstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.7.2. Primero los autovalores, luego los autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.8. Autovalores y Autovectores de Matrices Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.8.1. Autovalores y Autovectores de Matrices Similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.8.2. Autovalores y Autovectores de Matrices Hermıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.8.3. Autovalores y Autovectores de Matrices Unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.9. Conjunto Completo de Observables que conmutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.10. Algunos ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924.11. Algunos ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5. Coordenadas Curvilineas 2025.1. Disgrecion Derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.2. Curvas y parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.3. Coordenadas Curvilıneas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.3.1. Coordenadas generalizadas, vectores y formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.3.2. Velocidades y Aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.3.3. Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.3.4. Coordenadas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.3.5. Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.3.6. Otros Sistemas Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.4. Vectores, Tensores, Metrica y Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.4.1. Transformando Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.4.2. Transformando Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6. Campos y Operadores Diferenciales 2246.1. Campos Tensoriales y el Concepto de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.2. Campos escalares y superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.3. Campos vectoriales y lıneas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.3.1. Lıneas de flujo o curvas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2306.3.2. Trayectorias ortogonales a las lıneas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.4. Flujo de Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.5. La fauna de los operadores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.5.1. Derivada direccional, diferencial total y gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.5.2. Divergencia y flujo en campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.5.3. Rotores, lıneas de torbellino y Circulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.5.4. Formulario del Operador nabla, ~∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.5.5. Nabla dos veces y el Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.5.6. Derivadas Direccionales de Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6.6. Integrales y Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.6.1. Resumiendo lo visto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6.7. Campos Vectoriales y Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.7.1. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.7.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.8. Teorıa de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263



6.8.1. Potenciales escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.8.2. Potenciales vectoriales y calibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2646.8.3. Teorema de Green y Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2656.8.4. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2687.1. Motivacion y Origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.2. Empezando por el principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.2.1. Ejemplos de Algunas ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2747.2.2. De Ecuaciones y Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.2.3. Fauna y Nomenclatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . . . . . . . . . . . . . 2767.2.4. Metodos elementales de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7.3. Ecuacion Diferenciales de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2837.3.1. Ecuaciones Diferenciales separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2837.3.2. Ecuaciones Diferenciales Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.3.3. Solucion Parametrica de Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

7.4. Soluciones Numericas a las Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2917.4.1. Las Ideas Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2917.4.2. La idea de la Integracion y los Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2937.4.3. Control del Paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

7.5. Algunas Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . 3017.5.1. Ley de Malthus/Decaimiento Radioactivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3017.5.2. La Ecuacion logıstica o Ley de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3027.5.3. La Ley de Enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3037.5.4. Interes Compuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3057.5.5. Mecanica Elemental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.5.6. Modelado de Concentracion/Desliemiento de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

7.6. Definiciones para comenzar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3147.7. Homogeneas, Lineales, de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3157.8. Ecuaciones Diferenciales de Orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3177.9. Algunos Metodos de Solucion para Ecuaciones Inhomog’eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

7.9.1. El Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3197.9.2. Metodos de los Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3217.9.3. Metodos de Variacion de los Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3227.9.4. Metodos de Reduccion de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

7.10. Algunas Aplicaciones de las Ecuaciones de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3267.10.1. Mecanica y Electricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3267.10.2. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3267.10.3. Oscilaciones Libres Amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3277.10.4. Oscilaciones Forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3307.10.5. Oscilaciones Forzadas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3327.10.6. Movimiento alrededor de un punto de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3357.10.7. Pendulo Simple con desplazamiento finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3367.10.8. Disgresion Elıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3437.10.9. ¿Cuan buena es la aproximacion lineal ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3467.10.10.El Pendulo Fısico: Integracion Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347


Capıtulo 1

Los vectores de siempre

7


1.1. Para comenzar

Este conjunto de secciones pretende hacer una repaso, un recordatorio y avanzar sobre lo que la mayorıade Uds. conocen o han escuchado a lo largo de sus cursos de Fısica, Matematicas y Quımica.

1.2. Vectores y escalares y algebra vectorial

Desde siempre, desde los primeros cursos de Fısica en educacion media, venimos hablando de vectorescomo cantidades que tienen que ser representadas con mas de un numero. Son muchas las razones que obligana introducir este (y otro) tipo de cantidades, enumeraremos algunas que, a criterio personal, son las masrepresentativas.

1. Necesidad de modelos matematicos de la naturaleza. Desde los albores del renacimiento, conGalileo Galilei a la cabeza, nos es imperioso representar cantidades de manera precisa. Las matematicasnos apoyan en esta necesidad de precision. Desde ese entonces las matematicas son el lenguaje de laactividad cientıfica.

2. Los modelos tienen que tener contrastacion experimental. Las ciencias y sus modelos, en ultimainstancia, tienen que ver con la realidad, con la naturaleza y por ello debemos medir y contrastar lashipotesis con esa realidad que modelamos. Necesitamos representar cantidades medibles (observables)y que, por lo tanto, tienen que ser concretadas de la forma mas compacta, pero a la vez mas precisaposible.

3. Las leyes de los modelos deben ser independiente de los observadores. Cuando menos auna familia significativa de observadores. El comportamiento de la naturaleza no puede depender de lavision de un determinado observador, ası los modelos que construimos para describirla, tampoco puedendepender de los observadores. Con conocer la ley de transformacion entre observadores equivalentesdeberemos conocer como ocurren los fenomenos en otros referenciales.

Por ello, tropezaremos con escalares, vectores, tensores y espinores, dependiendo del numero de cantidadesque necesitemos para representar ese objeto pero, sobre todo, dependiendo de la ley de transformacion queexista entre estos objetos. Constataremos que las leyes de la Fısica vienen escritas en forma vectorial (otensorial) y, por lo tanto, al conocer la ley de transformacion de los vectores (tensores) conoceremos la visionque de esta ley tendran otros observadores.

1.2.1. Escalares y vectores

Dejaremos para mas adelante caracterizar objetos como tensores y espinores, por ahora nos contentaremoscon refrescar nuestros recuerdos con cantidades como:

Escalares: Seran aquellas cantidades las cuales se representan con UN solo numero, una magnitud: temperatura,volumen, masa, entre otras. Es costumbre no denotarlas de manera especial, ası T = 5oC represen-tara una temperatura de 5 grados centıgrados.

Vectores: Seran cantidades las cuales, para ser representadas por un objeto matematicos requieren mas de unnumero, requieren de UN numero, UNA direccion y UN sentido. Entre las cantidades que tıpicamentereconocemos como vectores estan: la velocidad, la aceleracion, la fuerza En terminos graficos podremosdecir que un vector sera un segmento orientado, en el cual la dimension del segmento representara sumodulo y su orientacion la direccion y el sentido. Para diferenciarla de las cantidades escalares hay



Figura 1.1: Vectores y sus operaciones

una variedad de representaciones, entre ellas: en negrita a; con una flecha arriba de la cantidad ~a;

con una tilde arriba a; o explicitando el origen del segmento orientado−−→OP . El modulo del vector lo

representaremos dentro de la funcion valor absoluto, o sencillamente sin la flecha arriba a = |a| = |~a| .

Los vectores son independientes del sistema de coordenadas. Sus caracterısticas (modulo, direccion ysentido) se preservaran en todos los sistemas de coordenada. Mas aun, habra vectores que podremos des-plazarlos (conservando su modulo direccion y sentido) paralelos a ellos mismos, en el espacio y (obvio que)seguiran siendo los mismo. Por ello encontraran el termino de vectores deslizantes. Un ejemplo de ellos sonlas fuerzas que actuan en un determinado cuerpo, como se muestra el cuadrante III en la Figura 1.1, arriba.Tambien habra vectores atados a un punto en el espacio, por cuanto representan una de sus propiedades:la velocidad del viento, el campo electrico, o sus variaciones son algunos ejemplos de estos vectores atados(observe la Figura 1.2 como ejemplos ilustrativos).

1.2.2. Algebra de vectores

Enumeraremos rapidamente el algebra de vectores sin hacer referencia a un sistema de coordenadas.Desde siempre nos ensenaron a representar graficamente este algebra. Ası tenemos que:

Vector nulo Es aquel que tiene por modulo cero y no se le pude asignar direccion ni sentido. Podremoscomparar vectores si tienen la misma direccion y sentido.

Vector unitario Es aquel que tiene por modulo la unidad, es muy util por cuanto, para efectos algebraicos,“contiene” unicamente direccion y sentido. Lo denotaremos con un acento circunflejo, comunmente llamado

“sombrero” u~a =~a

|~a|, con lo cual todo vector ~a = |~a| u~a se podra expresar por un modulo en la direccion y

sentido de un vector unitario.



Figura 1.2: Ejemplos de vectores atados

Comparamos vectores Al comparar sus modulos diremos que pueden ser mayores, menores o iguales.Por lo tanto, tal y como mostramos en el cuadrante I de la Figura 1.1, dos vectores seran iguales ~a = ~b sitienen la misma direccion y sentido.

Multiplicacion por un escalar Un vector, multiplicado por un escalar, n, cambiara su modulo si n > 0y cambiara su sentido y eventualmente su modulo si n < 0 Tal y como puede apreciarse en el cuadrante I dela Figura 1.1. Claramente dos vectores proporcionales seran colineales. Diremos ademas, que el inverso delvector ~a sera la multiplicacion de ~a por (−1) . Esto es ~c = (−1)~a = −~a

Suma de vectores Aprendimos que para sumar vectores utilizamos la regla del paralelogramo, es decir,desplazamos paralelamente uno de los vectores y lo colocamos a continuacion del otro, de tal forma quela diagonal del paralelogramo, que tiene por lados los vectores sumandos, constituye el vector suma (vercuadrantes IIa y IIb de la Figura 1.1). Este esquema se puede generalizar para varios vectores tal y como lomostramos en el cuadrante IIa de la Figura 1.1. Allı construimos un polıgono cuyos lados los constituyen losvectores sumandos ~a,~b,~c,~d y ~n con ~n = ~a+~b+ ~c+ ~d.

Notese que aun el caso tridimensional, el vector suma siempre sera coplanar (estara en el mismo plano)a los sumandos que lo generaron.

Igualmente, podemos definir la resta de vectores al sumar el inverso. Esto es

~a−~b ≡ ~a+(−~b)⇒ 0 = ~a− ~a ≡ ~a+ (−~a)

En terminos graficos la resta de dos vectores se representa colocando los vectores (minuendo y sutraendo) conel mismo origen y uniendo las cabezas de flecha. Dependiendo de cual vector es el minuendo y cual sustraendoel vector resta apuntara del sustraendo hacia el minuendo. Observese el cuadrante IIa de la Figura 1.1 la

resta(~a+~b+ ~c

)− ~a = ~b+ ~c.



Claramente, el modulo del vector resta representa la distancia entre los dos extremos de los vectoresminuendo y el sustraendo

Un resumen de propiedades Podemos resumir las propiedades del algebra de vectores como sigue

La suma de vectores

• tiene un unico elemento neutro 0 + ~a = ~a+ 0 = ~a ∀~a• existe un elemento simetrico (−~a) (uno para cada vector) tal que 0 = ~a− ~a ≡ ~a+ (−~a)

• es conmutativa ~a+~b = ~b+ ~a

• es asociativa(~a+~b

)+ ~c = ~a+

(~b+ ~c

)• es distributiva µ

(~a+~b

)= µ~a+ µ~b respecto a la multiplicacion por escalares

La multiplicacion de escalares por vectores

• es conmutativa ~aµ = µ~a

• es asociativa µ (ν~a) = (µν)~a

• es distributiva (µ+ ν)~a = µ~a+ ν~a

1.3. Independencia lineal y las bases para vectores

Armados con el algebra y explicitando sus propiedades podemos construir la primera aproximacion a unode los conceptos fundamentales del algebra lineal. La nocion de independencia o dependencia lineal.

Diremos que tres vectores ~a,~b,~c son linealmente independientes si se cumple que

µ~a+ ν~b+ γ~c = 0 ⇒ µ = ν = γ = 0

es decir que la unica manera que al sumar cualquier multiplo de ~a,~b,~c se anule esto obliga que los escalares sonnecesariamente nulos. Si no se cumple lo anterior entonces diremos que uno de los vectores sera linealmentedependiente y que por lo tanto se podra expresar como combinacion lineal de los otros dos

µ~a+ ν~b+ γ~c = 0 alguno de

µ 6= 0ν 6= 0γ 6= 0

⇒ ~c = µ ~a+ ν ~b

Los vectores linealmente independientes formaran base para el espacio donde ellos “viven” y el numeromaximo de vectores linealmente independientes sera la dimension de ese espacio de “residencia”. Tratemosde concretar algunas de estas importantes afirmaciones.

Dos vectores linealmente dependientes son colineales. Es claro que

µ~a+ ν~b = 0 con alguno de

µ 6= 0ν 6= 0

⇒

~a = −ν

µ~b

~b = −µν~a



el contrario tambien sera cierto: si dos vectores son colineales ellos seran linealmente dependientes.

~a = α~b ⇒ µ~a+ ν~b = 0 ⇒ µα~b+ ν~b = 0 ⇒ (µα+ ν)~b = 0 ⇒ α = −νµ

y con lo cual podremos afirma que si dos vectores son linealmente independientes ellos no son colineales ymas aun si dos vectores son linealmente independientes no son colineales.

Tres vectores linealmente dependientes son complanares. Es claro que por ser los tres vectoreslinealmente dependientes al menos uno de los escalares tiene que ser distinto de cero. Esto es

µ~a+ ν~b+ γ~c = 0⇒ ~c = −µγ~a− ν

γ~b = µ ~a+ ν ~b

pero como µ ~a ∝ ~a y ν ~b ∝ ~b eso significa que ambos µ ~a y ~a y ν ~b y ~b son colineales respectivamente y susuma estara en el mismo plano.

Dos vectores linealmente independientes expanden todos los vectores coplanares. Esto es, dadodos vectores ~a,~b linealmente independientes, entonces cualquier vector ~c,complanar con ~a y ~b, podra expre-sarse como una combinacion lineal de ellos y diremos que ~c se expresa en terminos de ~a,~b como ~c = µ ~a+ ν ~by esa expresion es unica.

La primera de las afirmaciones es directa por cuanto hemos visto que si ~a y~b son linealmente independientey ~c es complanar con ~a y ~b. Entonces, necesariamente ~a,~b y ~c son linealmente dependientes. Esto es

µ~a+ ν~b+ γ~c = 0⇒ ~c = −µγ~a− ν

γ~b = µ ~a+ ν ~b

La demostracion de que la expansion es unica viene de suponer que existen dos maneras distintas de repre-sentar al vector ~c

~c = µ ~a+ ν ~b

~c = µ ~a+ ν ~b

⇒ 0 = (µ− µ) ~a+ (ν − ν) ~b ⇒

µ− µ = 0 ⇒ µ = µ

ν − ν = 0 ⇒ ν = ν

debido a que ~a y~b son linealmente independiente. La demostracion para el caso tridimensional es equivalente.Es decir tres vectores linealmente independientes ~a,~b y ~c expanden, de manera unıvoca, todos los vectoresdel espacio. Esta demostracion queda para el lector.

Cuando un vector ~c se pueda expresar en terminos de dos vectores linealmente independientes ~a,~b diremosque ~a y ~b forman una base para todos los vectores complanares a ellos. Equivalentemente para el casotridimensional, tres vectores linealmente independientes ~a,~b y ~c conformaran una base para los vectores delespacio. Los escalares µ, ν para el caso bidimensional se denominan las componentes de ~c a lo largo de ~a y~b, .respectivamente. Equivalentemente µ, ν, γ seran las componentes de cualquier vector para el caso 3D a lolargo de ~a,~b y ~c, respectivamente. Esta nomenclatura sera mas evidente luego de la proxima seccion.

1.4. Productos de vectores

1.4.1. Producto escalar

Denominaremos producto escalar de dos vectores ~a y ~b a un escalar cuyo valor sera igual al producto delos modulos multiplicado por el coseno del angulo que ellos forma.

ζ = ~a ·~b = |~a|∣∣∣~b∣∣∣ cos θ〈~a,~b〉



Figura 1.3: Productos de Vectores

El significado geometrico del producto escalar es evidente el cuadrante I de la Figura El producto escalarrepresenta la proyeccion de ~a sobre ~b y equivalentemente la proyeccion de ~b sobre ~a.

De esta definicion se derivan varias consecuencias las cuales por obvias no dejan de ser importantes.

El producto escalar de un vector consigo mismo, siempre es positivo. ζ~a = ~a·~a = |~a|2 ≥ 0 y solo sera nulosi ~a es el vector nulo. Esto es ζ~a = 0 ⇒ ~a = 0. Con esto podemos concluir que |~a| ==

√~a · ~a =

√ζ~a

El producto escalar es conmutativo ζ = ~a ·~b = ~b · ~a ya el angulo entre los vectores es el mismo y lamultiplicacion entre escalares es conmutativa.

El producto escalar es distributivo Esto es ~a ·(~b+ ~c

)= ~a ·~b + ~a · ~c. La demostracion (grafica) puede

apreciarse en el cuadrante II de la Figura 1.3

La multiplicacion por un escalar. ζ = αζ = |α|(~a ·~b

)= (α~a) · ~b = ~a ·

(α~b)

= |α~a|∣∣∣~b∣∣∣ cos θ〈~a,~b〉 =

|~a|∣∣∣α~b∣∣∣ cos θ〈~a,~b〉

Desigualdad de Cauchy Schwarz. A partir de la definicion de producto interno es inmediata la compro-bacion de la desigualdad de Cauchy Schwarz(~a ·~b

)2

=(|~a|∣∣∣~b∣∣∣ cos θ〈~a,~b〉

)2

⇒(~a ·~b

)2

≤ |~a|2∣∣∣~b∣∣∣2 ⇔

(~a ·~b

)≤ |~a|

∣∣∣~b∣∣∣ ya que 0 ≤ cos2 θ〈~a,~b〉 ≤ 1

Del producto escalar surge el Teorema del Coseno. Es inmediato generalizar el producto escalar de unvector consigo mismo, para ello suponemos que ~c = ~a+~b, con lo cual

~c = ~a+~b ⇒ ~c · ~c =(~a+~b

)·(~a+~b

)= |~c|2 = |~a|2 +

∣∣∣~b∣∣∣2 + 2 |~a|∣∣∣~b∣∣∣ cos θ〈~a,~b〉



que no es otra cosa que el teorema del coseno y esta ilustrado en el cuadrante III de la Figura 1.3.

Diremos que dos vectores, no nulos son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es nulo.Esta afirmacion es inmediata

~a ⊥ ~b ⇒ θ〈~a,~b〉 =π

2⇒ ~a ·~b = |~a|

∣∣∣~b∣∣∣ cos θ〈~a,~b〉 = 0

1.4.2. Producto vectorial

De siempre, tambien hemos aprendido que existe otro producto entre vectores. El producto vectorial. Adiferencia del producto escalar que genera un escalar, el producto vectorial ~c = ~a ×~b tiene como resultadootro vector (realmente un pseudovector o vector axial en contraposicion a los vectores polares pero eso loveremos mas adelante), ~c, con las siguientes caracterısticas:

El modulo de ~c, sera |~c| = |~a|∣∣∣~b∣∣∣ sen θ~a~b. Es claro que el modulo de ~c representa el area del paralelogramo

cuyos lados estan formados por ~a y ~b (cuadrante V de la Figura 1.3)

Tal y como muestran los cuadrantes IV y V de la Figura 1.3, tendra como direccion la perpendicularal plano que forman ~a y ~b

y como sentido regla del pulgar derecho, regla de la mano derecha, o mas elegante sera positivo cuandola multiplicacion de ~a×~b corresponda al sentido horario.

Otra vez, podemos deducir algunas consecuencias de esta definicion.

El producto vectorial es anticonmutativo. Esto es ~a×~b = −~b×~a y se sigue de la definicion que expresael cuadrante IV de la Figura 1.3

El producto vectorial es distributivo respecto a la suma. Vale decir ~a ×(~b+ ~c

)= ~a × ~b + ~a × ~c. La

demostracion de esto lo dejaremos para mas adelante. Valga ahora creerse la propiedad.

La multiplicacion por un escalar. Nos conduce rapidamente a

|~c| = |α|∣∣∣~a×~b∣∣∣ =

∣∣∣(α~a)×~b∣∣∣ =

∣∣∣~a× (α~b)∣∣∣ = |α~a|∣∣∣~b∣∣∣ sen θ~a~b = |~a|

∣∣∣α~b∣∣∣ sen θ~a~b

Dos vectores seran colineales si su producto vectorial se anula. Al igual que el cuando se anula elproducto escalar identificabamos a dos vectores ortogonales, cuando se anule el producto vectorialtendremos dos vectores paralelos. Obvio que esto se cumple de inmediato

~a ‖ ~b ⇒ θ~a~b = 0 ⇒ |~c| =∣∣∣~a×~b∣∣∣ = |~a|

∣∣∣~b∣∣∣ sen θ~a~b = 0

y si el modulo del vector es cero, obvio que es el vector nulo. Ahora bien, tambien de aquı deducimosque

~c = ~a×~b ⇒ ~c · ~a =(~a×~b

)· ~a = ~c ·~b =

(~a×~b

)·~b = 0



1.4.3. Una division fallida

Uno esperarıa que para cada una de las definiciones de productos vectoriales, existiera vector cociente. Esdecir pudieramos “despejar” uno de los multiplicados en terminos del otro. La situacion es que esta operacionno esta definida unıvocamente y lo podemos intuir a partir de una de las definiciones de producto.

Supongamos que tenemos un producto escalar o ζ = ~a ·~b con lo cual, si pudieramos “despejar”, digamos

~b =ζ

~a¿ tendrıamos entonces definido ~b de una manera unıvoca ? La respuesta es NO. ya que ζ = ~a ·

(ζ

~a+ ~d

)donde ~a ⊥ ~d por lo cual existen infinitos ~b =

ζ

~a+ ~d que cumplen ζ = ~a ·~b.

1.4.4. Producto triple o mixto

Analicemos ahora el numero (pseudoescalar) que proviene de la multiplicacion

V = ~c ·(~a×~b

)= |~c|

∣∣∣(~a×~b)∣∣∣ cos θ〈~c,~a×~b〉

representa del volumen del paralelepıpedo cuyos lados quedan definidos por ~a,~b y ~c. Este producto tambiencumple con algunas propiedades que enunciaremos ahora y demostraremos mas tarde

El producto mixto(~a×~b

)·~c, representa el volumen del paralelepıpedo cuyos lados son los vectores ~a,~b

y ~c.Es claro y fue ilustrado que el modulo del producto vectorial∣∣∣(~a×~b)∣∣∣ representa el area de la base

y la altura esta representada por la proyeccion del vector ~c sobre la perpendicular al plano de la baseque es, precisamente, |~c| cos θ〈~c,~a×~b〉

El producto mixto es cıclico respecto a sus factores. Esto es(~a×~b

)· ~c =

(~b× ~c

)· ~a = (~c× ~a) ·~b

Esta afirmacion se vera demostrada mas adelante

el producto mixto se anula cuando se repite alguno de sus factores(~a×~b

)· ~a =

(~a×~b

)·~b = (~a× ~a) · ~c =

(~b×~b

)· ~c = 0

Claramente, si(~a×~b

)⊥ ~a⇒

(~a×~b

)· ~a = 0

Si los tres vectores ~a,~b y ~c son coplanares (linealmente dependientes) entonces(~a×~b

)·~c = 0 o, dicho

de manera mas elegante, util e impactante: tres vectores que cumplen(~a×~b

)· ~c 6= 0 forma base para

el espacio tridimensional. Esa base se denominara levogira (contraria al giro de las manecillas del reloj)

si(~a×~b

)· ~c < 0 y dextrogira (la convencional base de la mano derecha) si

(~a×~b

)· ~c > 0.



Figura 1.4: Vectores, bases y componentes

1.5. Componentes, coordenadas y cosenos directores

1.5.1. Bases, componentes y coordenadas

La formulacion de las leyes fısicas debe hacerse en termino de cantidades vectoriales (tensoriales). Estoindependiza su formulacion de un sistema particular de coordenadas, pero llegado el momento de calcularvalores y utilizar estas leyes, es mucho mas conveniente referirla a un sistema de coordenadas particularmenteadaptado a la geometrıa del problema. En ese caso la ecuacion vectorial se convertira en tantas ecuacionescomo componentes (referidas al sistema de coordenadas utilizado) tenga los vectores en ese sistema decoordenadas

Tal y como mencionamos arriba tres vectores no coplanares cualesquiera son linealmente independientesy constituyen una base para el espacio tridimensional. Denominaremos, de ahora en adelante estos vectoresbase ~w1, ~w2, ~w3 y por ser linealmente independientes podremos expresar cualquier vector ~a como unacombinacion lineal unica. Tal y como lo mostramos en el cuadrante I de la Figura 1.4 con los vectores base~w1, ~w2, ~w3 podemos construir un sistema (oblicuo en general) de coordenadas al colocarlos con un mismoorigen. Esto es

~a = a1 ~w1 + a2 ~w2 + a3 ~w3

donde las cantidadesa1, a2, a3

son numeros (no son escalares) que representan las componentes del vector

~a a lo largo de cada uno de los vectores base ~w1, ~w2, ~w3 . Notese que por costumbre (la cual sera evidentemas adelante) etiquetamos estos numeros con superındices y la letra que identifica el vector.

Mas aun, cada punto P del espacio viene definido por un radiovector−→r (P ) ≡

−−→OP que une el origen

de coordenadas con el punto P y se le asocian tres numerosx1, x2, x3

, los cuales son las proyecciones

a lo largo de cada uno de los ejes coordenados

0x1, 0x2, 0x3. Los numeros

x1, x2, x3

se denominaran

componentes de−→r (P ) en el sistema de referencia ~w1, ~w2, ~w3 .



Existe una familia de sistema de coordenadas en la cual sus vectores base son ortogonales (o mejorortonormales), es decir los vectores base ~e1, ~e2, ~e3 son perpendiculares entre si. Tal y como mostraremosmas adelante, siempre se puede construir un sistema ortogonal (ortonormal) ~e1, ~e2, ~e3 a partir de unabase generica de vectores linealmente independientes ~w1, ~w2, ~w3 . Cuando el sistema sea ortogonal suscomponentes se denominaran rectangulares. Dependiendo del signo del triple producto mixto el sistema decoordenadas sera dextrogiro ((~e1 × ~e2) · ~e3 > 0) o levogiro ((~e1 × ~e2) · ~e3 < 0) tal y como se muestra en elcuadrante III de la Figura 1.4

Es costumbre ancestral, por relaciones de dominacion de los derechos sobre los izquierdos (en latın eitaliano los zurdos son siniestros) utilizar la convencion dextrogira ((~e1 × ~e2) ·~e3 > 0) y en ese caso utilizamos

el bien conocido conjunto de vectores unitarios

ı, , k

con lo cual desde siempre tenemos que

~a = axı + ay + azk y ~r (P ) = x ı + y + z k

de ahora en adelante representaremos este sistema de coordenadas ortonormal como

ı ≡ e1, ≡ e2, k ≡ ı3

para recordar que estamos en un sistema de coordenadas cartesianas.

Obviamente el modulo del vector se podra expresar con la utilizacion del Teorema de Pitagoras√a2x + a2

y + a2z = |~a| y

√x2 + y2 + z2 =

∣∣∣−→r (P )∣∣∣

y la multiplicacion por un escalar

α~a = α(axı + ay + azk

)= (αax) ı + (αay) + (αaz) k ⇒ |~a| = α

√a2x + a2

y + a2z

Igualmente un vector unitario

u~a =~a

|~a|=

1√a2x + a2

y + a2z

(axı + ay + azk

)=

ax√a2x + a2

y + a2z

ı +ay√

a2x + a2

y + a2z

+az√

a2x + a2

y + a2z

k

con lo cual todo vector

~a = |~a| u~a =√a2x + a2

y + a2zu~a

1.5.2. Cosenos directores

Como se puede apreciar en el cuadrante IV de la Figura 1.4 podemos construir tres triangulos rectanguloscon el radiovector ~R (P ) como hipotenusa de cada uno de ellos. Los angulos que forma el radiovector ~R (P )con cada uno de los ejes coordenados x, y, z son α, β, γ respectivamente, con lo cual

Rx =∣∣∣~R∣∣∣ cosα Ry =

∣∣∣~R∣∣∣ cosβ y Rz =∣∣∣~R∣∣∣ cos γ ⇒ cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1

pero ademas

u~a =~a

|~a|= cosα ı + cosβ + cos γ k

1.6. Algebra vectorial y coordenadas

Entonces podremos reescribir el algebra vectorial como de forma algebraica, vale decir mediante opera-ciones referidas a las coordenadas. Ası



1.6.1. Suma y resta de vectores

Sera representada por

~a+~b =(axı + ay + azk

)+(bxı + by + bzk

)= (ax + bx) ı + (ay + by) + (az + bz) k

o equivalentemente

~a+~b =(a1e1 + a2e2 + a3e3

)+(b1e1 + b2e2 + b3e3

)=(a1 + b1

)e1 +

(a2 + b2

)e2 +

(a3 + b3

)e3

y obviamente, la resta

~a+~b =(a1e1 + a2e2 + a3e3

)−(b1e1 + b2e2 + b3e3

)=(a1 − b1

)e1 +

(a2 − b2

)e2 +

(a3 − b3

)e3

con lo cual la distancia entre dos puntos P y M sera

d (P,M) =∣∣∣(−→r (P ) = ~a

)−(−→r (M) = ~b

)∣∣∣ =

√(ax − bx)

2+ (ay − by)

2+ (az − bz)2

1.6.2. Dependencia e independencia lineal

Ahora es facil estudiar la dependencia/independencia lineal en coordenadas. Otra vez, tres vectores

~a = axı + ay + azk;~b = bxı + by + bzk y ~c = cxı + cy + czk seran linealmente independientes si se cumpleque

µ~a+ ν~b+ γ~c = 0 ⇒ µ = ν = γ = 0

Antes de proseguir en forma general, veamos algunos casos particulares

La base canonica e1 = ı ≡ (1, 0, 0) ; e2 = ≡ (0, 1, 0) ; e3 = k ≡ (0, 0, 1). Estos vectores son claramentelinealmente independientes y por lo tanto constituyen un base

µ = 0ν = 0

γ = 0

Los vectores w1 = ı ≡ (1, 0, 0) ;w2 = ı + ≡ (1, 1, 0) ; ı3 = ı + + k ≡ (1, 1, 1). Estos vectores no sonlinealmente independientes de manera obvia. Veamos

µ = 0µ +ν = 0µ +ν +γ = 0

⇒

µ = 0ν = 0γ = 0

con lo cual demostramos que son linealmente independientes y por lo tanto constituyen una base paralos vectores tridimensionales.

En general tendremos que

0 = µ(axı + ay + azk

)+ ν

(bxı + by + bzk

)+ γ

(cxı + cy + czk

)⇒

0 = (µax + νbx + γcx) ı + (µay + νby + γcy) + (µaz + νbz + γcz) k ⇒

µax + νbx + γcx = 0µay + νby + γcy = 0µaz + νbz + γcz = 0



Esto no es otra cosa que un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incognitas µ, ν, γ y la solucion queestamos buscando µ = ν = γ = 0 se cumplira si∣∣∣∣∣∣

ax bx cxay by cyaz bz cz

∣∣∣∣∣∣ = az (bycx − cxby)− ay (bxcz − czbx) + ax (bycz − czby) 6= 0

1.6.3. Producto escalar

Del mismo modo representaremos el producto escalar de dos vectores en una base cartesiana como

ı, , k

es una base ortonormal entonces

~a ·~b =(axı + ay + azk

)·(bxı + by + bzk

)= axbx + ayby + azbz

ya que por ser ortogonales

ı · ı = · = k · k = 1 y

ı · = · ı = 0

ı · k = k · ı = 0

· k = k · = 0

Las propiedades del producto escalar en coordenadas comprueban facilmente

El producto interno de un vector consigo mismo, siempre es positivo.

ζ~a = ~a · ~a = |~a|2 = a2x + a2

y + a2z ≥ 0 y a2

x + a2y + a2

z = 0 ⇒ ax = ay = az = 0 ⇔ ~a = 0

Adicionalmente |~a| =√ζ~a =

√~a · ~a =

√a2x + a2

y + a2z

El producto escalar es conmutativo

ζ = ~a ·~b = ~b · ~a = axbx + ayby + azbz = bxax + byay + bzaz

El producto escalar es distributivo:

~a ·(~b+ ~c

)= ~a ·~b+ ~a · ~c

m(axı + ay + azk

)·(

(bx + cx) ı + (by + cy) + (bz + cz) k)

= ax (bx + cx) + ay (by + cy) + az (bz + cz)

(axbx + axcx) + (ayby + aycy) + (azbz + azcz) = (axbx + ayby + azbz) + (axcx + aycyazcz)

La multiplicacion por un escalar.

ζ = αζ = |α|(~a ·~b

)= (α~a)·~b = ~a·

(α~b)

= (αax) bx+(αay) by+(αaz) bz = ax (αbx)+ay (αby)+az (αbz)

Desigualdad de Cauchy Schwarz.(~a ·~b

)= axbx + ayby + azbz ≤

√a2x + a2

y + a2z

√b2x + b2y + b2z = |~a|

∣∣∣~b∣∣∣Hernandez & Nunez Universidad Industrial de Santander 19


Diremos que dos vectores, no nulos son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es nulo.Esta afirmacion es inmediata

~a ⊥ ~b ⇒ θ〈~a,~b〉 =π

2⇒ ~a ·~b = |~a|

∣∣∣~b∣∣∣ cos θ〈~a,~b〉 = 0

Por lo cual

axbx + ayby + azbz = |~a|∣∣∣~b∣∣∣ cos θ~a~b ⇒ cos θ

~a~b=

axbx + ayby + azbz(√a2x + a2

y + a2z

)(√b2x + b2y + b2z

)de donde se deduce que dos vectores perpendiculares

~a⊥~b ⇒ 0 = axbx + ayby + azbz

Los vectores de la base canonica e1 = ı ≡ (1, 0, 0) ; e2 = ≡ (0, 1, 0) ; ı3 = k ≡ (0, 0, 1) son claramentemutualmente ortonormales

cos θı = ı · = · ı = 0

ı · k = k · ı = 0

· k = k · = 0

Del producto escalar surge el Teorema del Coseno. Es inmediato generalizar el producto escalar de unvector consigo mismo, para ello suponemos que ~c = ~a+~b, con lo cual

~c = ~a+~b ⇒ ~c · ~c =(~a+~b

)·(~a+~b

)= |~c|2 = |~a|2 +

∣∣∣~b∣∣∣2 + 2 |~a|∣∣∣~b∣∣∣ cos θ〈~a,~b〉

que no es otra cosa que el teorema del coseno y esta ilustrado en el cuadrante III de la Figura 1.3

1.6.4. Producto vectorial

De igual manera aprendimos

~c = ~a×~b = (aybz − azby) ı+ (azbx − axbz) + (axby − aybx) k

con lo cual lo podemos organizar como el determinante de la matriz

~c = ~a×~b =

∣∣∣∣∣∣ı kax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣con lo cual

|~c| =√

(aybz − azby)2

+ (azbx − axbz)2+ (axby − aybx)

2=(√

a2x + a2

y + a2z

)(√b2x + b2y + b2z

)sen θ~a~b

1.6.5. Triple producto mixto


V = ~c ·(~a×~b

)= ‖~c‖

∥∥∥(~a×~b)∥∥∥ cos θ〈~c,~a×~b〉 =

∣∣∣∣∣∣cx cy czax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣representa del volumen del paralelepıpedo cuyos lados quedan definidos por ~a,~b y ~c.



1.7. Algebra vectorial con ındices

1.7.1. Convencion de Einstein

Antes de comenzar con la presentacion de este esquema de calculo. cabe aclarar algunas costumbres yconvenciones con la notacion de ındices

1. Los ındices repetidos (arriba y abajo) indicaran suma por los valores que tomen los ındices. Las com-ponentes de los vectores tendran ındices arriba y los vectores base abajo

~a = axı + ay + azk = ⇔ ~a = a1e1 + a2e2 + a3e3 =

3∑m=1

amem ⇔ ~a = amem

hemos identificado e1 = ı; e2 = y e3 = k

2. Los ındices repetidos son mudos (no importa la letra que lo etiquete) y representan suma. Ası

KjAj = KmAm = K1A1 + K2A2 + K3A3 = B

En este punto del discurso, la posicion de los ındices (arriba y abajo) solo tiene sentido estetico y soloası indican suma. En el Capıtulo 3.1 veremos que representan cantidades distintas.

3. Llamaremos contraccion cuando sumamos respecto a un par de ındices, vale decir∑i

Aii = A11 + A2

2 + A33 =⇒ Aii = A1

1 + A22 + A3

3

Las cantidades con dos o mas ındices las llamaremos componentes de tensores, el nombre no importa,son arreglos bidimensionales (tridimensionales, tetradimensionales, segun el numero de ındices) y seranconsiderados en detalle en el Capıtulo 3.1. Por ahora contentemonos con saber que son cantidades condos ındices. Es claro que la contraccion de ındices convierte un conjunto de numeros (i× j)→ 1, a unsolo numero.

4. Los ındices libres (aquellos que no estan sumados) indican el numero de objetos disponibles y debenmantenerse. Ası

Kki Ak = Bi ⇔

K1

1A1 + K21A2 + K3

1A3 = B1

K12A1 + K2

2A2 + K32A3 = B2

K11A1 + K2

1A2 + K31A3 = B1

con lo cual Kki Ak = Bi representan 3 ecuaciones y Kki Akj = Bij representara 9

5. La delta de Kronecker1 δki lleva un ındice arriba y uno abajo. Representa δki = 1 si i = k y es nula enlos otros casos. Con esto

Kkij δik = K1

1j δ11︸︷︷︸

=1

+ K12j

=0︷︸︸︷δ21 + K1

3j

=0︷︸︸︷δ31 + K2

1j

=0︷︸︸︷δ12 + K2

2j δ22︸︷︷︸

=1

+ K23j

=0︷︸︸︷δ32 + K3

1j

=0︷︸︸︷δ13 + K3

2j

=0︷︸︸︷δ23 + K3

3j δ33︸︷︷︸

=1

es decirKkij δ

ik = Kkkj = Kiij = K1

1j + K22j + K3

3j

1Leopold Kronecker (7 diciembre 1823 Legnica, Polonia; 29 diciembre 1891, Berlin, Alemania) Matematico polaco conimportantes contribuciones en teorıa de numeros, funciones elıpticas y algebra, ası como la interrelacion estre estas disciplinas.Mas detalles http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Kronecker.html


http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Kronecker.html


6. Ademas de la delta de Kronecker introduciremos el sımbolo de permutacion de Levi-Civita2 εijk parael caso de tres dimensiones, vale decir i, j, k = 1, 2, 3

εijk = εijk =

+1 cuando (1, 2, 3) ; (3, 1, 2) ; (2, 3, 1) permutacion cıclica−1 cuando (1, 3, 2) ; (3, 2, 1) ; (2, 1, 3) permutacion impar o anticıclica0 cuando i = j; i = k ∧ j = k

y quiere decir que es distinto de cero cuando todos los ındices son diferentes; 1 si la permutacion deındices es cıclicas (o par) y −1 si la permutacion es anticıclica (o impar). Con ello

εijkajbk =

ε111a1b1 + ε112a1b2 + ε113a1b3 + ε121a2b1 + ε122a2b2 + ε123a2b3 + ε131a3b1 + ε132a3b2 + ε133a3b3



con lo cual

ci = εijkajbk ⇒

c1 = ε123a2b3 + ε132a3b2 = a2b3 − a3b2

c2 = ε231a3b1 + ε213a1b3 = a3b1 − a1b3

c3 = ε312a1b2 + ε321a2b1 = a1b2 − a2b1

7. A continuacion enumeramos algunas propiedades de las deltas de Kronecker y de los sımbolos depermutacion de Levi-Civita las cuales le dejamos al lector su demostracion. Ellas son

δjj = 3

εjkmεilm = δijδ

lk − δikδlj = δijδ

lk − δljδik

εjmnεimn = 2δij ,

εijkεijk = 6.

1.7.2. Los vectores y los ındices

Sumas de vectores

De ese modo la suma de vectores sera expresada de la siguiente manera

~a+~b = aiei + biei =(ai + bi

)ei = ciei ⇒ ci = ai + bi con i, j = 1, 2, 3

Producto escalar

A partir da ahora y de forma equivalentemente, expresaremos el producto escalar en termino de losındices. De forma y manera que

~a ·~b = ‖~a‖∥∥∥~b∥∥∥ cos θ~a~b = aibi = bjaj con i, j = 1, 2, 3

2Tullio Levi-Civita (1873 Padova, Veneto, 1941 Roma, Italia) Geometra italiano uno de los desarrolladores del CalculoTensorial que mas tarde serıa utilizado, por Einstein y Weyl como el lenguaje de la Relatividad General



Producto vectorial

En terminos de ındices, el producto vectorial se puede expresar como(~a×~b

)i= εijkajbk con i, j = 1, 2, 3

todas las particularidades de producto vectorial ahora descansan en las propiedades del sımbolo de LevyCivita.

Triple producto mixto


V = ~c ·(~a×~b

)= ‖~c‖

∥∥∥(~a×~b)∥∥∥ cos θ〈~c,~a×~b〉 = ci εijk ajbk =

∣∣∣∣∣∣cx cy czax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣1.7.3. Un par de calculos ilustrativos

Mostremos tres casos de identidades vectoriales que pueden ser demostradas mediante la utilizacion deındices.

1. ~a×(~b× ~c

)= (~c · ~a)~b−

(~a ·~b

)~c

El resultado sera un vector, por lo tanto(~a×

(~b× ~c

))i= εijkaj

(~b× ~c

)k

= εijkajεkmnbmcn = εijkεkmnajb

mcn = εijkεmnkajbmcn

=(δimδ

jn − δjmδin

)ajb

mcn = δimδjnajb

mcn − δjmδinajbmcn

= δimbmδjnajc

n − δincnδjmajbm = biancn︸︷︷︸

(~c·~a)

− ciajbj︸︷︷︸(~a·~b)(

~a×(~b× ~c

))i= bi (~c · ~a)− ci

(~a ·~b

)2.(~a×~b

)·(~c× ~d

)= (~a · ~c)

(~b · ~d

)−(~a · ~d

)(~b · ~c

)El lado derecho es un escalar, por lo tanto(

~a×~b)·(~c× ~d

)=(~a×~b

)l (~c× ~d

)l

= εljkajbk εlmncmdn = εljkεlmn ajbkc

mdn

= εjklεmnl ajbkcmdn =

(δjmδ

kn − δkmδjn

)ajbkc

mdn

= δjmδknajbkc

mdn − δkmδjnajbkcmdn

= δjmajcm︸︷︷︸

(~a·~c)

δknbkdn︸︷︷︸

(~b·~d)

− δkmbkcm︸︷︷︸(~b·~c)

δjnajdn︸︷︷︸

(~a·~d)

= (~a · ~c)(~b · ~d

)−(~a · ~d

)(~b · ~c

)



1.7.4. El escalares, pseudoescalares, vectores y pseudovectores

La diferencia entre vectores polares y axiales proviene del siguiente comportamiento bajo transformacionesde coordenadas y base. Un vector polar (normal, comun y corriente) queda invariante bajo la siguientetransformacion

ei → −eiai → −ai

=⇒ ~a = aiei →

(−aj

)(−ej) = aiei = ~a

mientras que un pseudovector o vector axial cambia de signo cuando las componentes de los vectores que lageneran y sus vectores base

ei → −eiai → −aibi → −bi

=⇒ ~c = ~a×~b→(εijk (−aj) (−bk)

)(−ei) = −ciei = −~c

es decir

~a×~b = (aybz − azby) ı+ (azbx − axbz) + (axby − aybx) k

↓

= ((−ay) (−bz)− (−az) (−by)) (−ı) + ((−az) (−bx)− (−ax) (−bz)) (−) + ((−ax) (−by)− (−ay) (−bx))(−k)

↓

−(~a×~b

)= −

((aybz − azby) ı− (azbx − axbz) + (axby − aybx) k

)Existen varias e importantes cantidades fısicas que vienen representadas por pseudovectores, entre ellasmencionamos

Velocidad Angular ~v = ~ω × ~rCantidad de Movimiento Angular ~L = ~r × ~pTorque ~τ = ~r × ~F

Campo de Induccion Magnetica ∂ ~B∂t = −~∇× ~E

Adicionalmente el volumen, V = ~c ·(~a×~b

), como era de esperarse, no es invariante bajo cambio del

espacio

ci → −ciai → −aibi → −bi

=⇒ V = ~c ·(~a×~b

)= ciε

ijk ajbk → (−ci)(εijk (−aj) (−bk)

)= −V

El volumen es un pseudoescalar mientras que los escalares son invariantes bajo esta transformacion

ai → −aibi → −bi

=⇒ w = ~a ·~b = aibi →

(−ai

)(−bi) = w

en general tambien tendremos multiplicacion entre algunos de estos objetos, con lo cual construiremos otrosobjetos. Dejamos al lector demostrar la siguiente tabla de relaciones

vector · vector = escalarvector · pseudovector = pseudoescalar

pseudovector · pseudovector = escalarvector × vector = pseudovectorvector × pseudovector = vector

pseudovector × pseudovector = pseudovector



Figura 1.5: Geometrıa analıtica y vectores cartesianos

1.8. Aplicaciones del algebra vectorial

Uno de los terrenos mas exitosos de las aplicaciones del algebra vectorial es la geometrıa analıtica en elplano. Esto se realiza en base a la definicion que hicieramos de radio vector, en la cual a cada punto, P, delespacio le asociabamos un radiovector posicion tal y como lo mostramos en el cuadrante IV de la Figura 1.4.

P ←→ (x, y, z) ≡(x1, x2, x3

)⇒ ~r (P ) = x ı + y + z k = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xmem

A partir de esta definicion todas las propiedades geometricas del espacio las podemos construir con vectores.

1.8.1. Rectas y vectores

La ecuacion de la recta en termino de vectores la definiremos fijando uno de sus puntos, digamos

~r (P1) ≡ ~X (P1) = ~X1 = x1 ı + y1 + z1k = x11e1 + x2

1e2 + x31e3 ←→ (x1, y1, z1)

sus puntos y un vector que indique su direccion, digamos ~A = Ax ı + Ay + Az k (ver cuadrante IV de laFigura 1.5) con lo cual la ecuacion de una recta en lenguaje vectorial sera

~X = ~X1 + λ ~A ⇒ x ı + y + z k = x1 ı + y1 + z1 k+λ(Ax ı +Ay +Az k

)⇒

x = x1 + λAx

y = y1 + λAy

z = z1 + λAz

donde ~X = x ı + y + z k el conjunto de puntos genericos que cumple con la ecuacion de la recta en 3D. Silo colocamos en funcion de la notacion de ındices, las ecuaciones anteriores son mas evidentes

~X = ~X1 + λ ~A ⇒ xmem = xm1 em + λAmem ⇒ xm = xm1 + λAm para m = 1, 2, 3



Notese que efectivamente se cumplen tres ecuaciones escalares y cada una de ellas tiene la forma de unarecta. Ademas, tal y como muestra la Figura 1.5 el punto generico (x, y, z) lo describe (sobre la recta) la

variacion del modulo de∣∣∣ ~A∣∣∣ mediante la constante de proporcionalidad λ. Si se requiere describir una recta

que pase por dos puntos, digamos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) entonces una vez seleccionado uno de los puntos

(digamos (x1, y1, z1)) seleccionamos el vector ~A = ~r (P2)−~r (P1) como la resta de los dos radiovectores a lospuntos P2 y P1 . Esto es

~X = ~X1 + λ(~X2 − ~X1

)⇒ ~X =

~X1 + δ ~X2

1− δcon δ =

~X1 − ~X

~X2 − ~X.

La division entre vectores δ tiene sentido porque no es una division entre vectores genericos es una divisionentre vectores que tienen la misma direccion Notese ademas que, lo mismo ocurre cuando “despejamos” λde la ecuacion de la recta

λ =~X − ~X1

~A⇒ xm = xm1 + λAm ⇒ λ =

xm − xm1Am

=x− x1

Ax=y − y1

Ay=z − z1

Az

y equivalentemente ocurre cuando “despejamos” λde la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos.

λ =~X − ~X1

~X2 − ~X1

⇒ xm = xm1 + λ (xm2 − xm1 ) ⇒ λ =xm − xm1xm2 − xm1

=x− x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1=

z − z1

z2 − z1

1.8.2. Planos y vectores

Ocurre exactamente lo mismo cuando construimos la ecuacion vectorial para un plano. En general unasuperficie la define su vector normal (perpendicular). En el caso de una superficie plana (un plano) tendra unaunica normal que lo define. Por lo tanto, un plano vendra definido su vector perpendicular un punto, digamos

P1 ←→ (x1, y1, z1) . La ecuacion vectorial del plano vendra definida por todos los vectores−−→PQ tales que sean

perpendiculares a un determinado vector ~A (ver cuadrante IV de la Figura 1.5). Donde el punto P es unpunto generico (x, y, z) que define un radiovector. La ecuacion vectorial del plano sera simplemente

~A ·

~r (P )− ~r (P1)︸︷︷︸~B

= 0 ⇔ ~A · (~r − ~r1) = 0 ⇔ ~A · ~r = ~A · ~r1︸︷︷︸b

Esto es se tiene que cumplir la condicion(Ax ı +Ay +Az k

)·((x ı + y + z k

)−(x1 ı + y1 + z1 k

))= 0

(Ax ı +Ay +Az k

)·(

(x− x1) ı + (y − y1) + (z − z1) k)

= 0

Ax (x− x1) +Ay (y − y1) +Az (z − z1) = 0

con lo cual la ecuacion del plano queda como siempre ha sido

Axx+Ayy +Azz −Axx1 −Ayy1 −Azz1 = 0 ⇒ Axx+Ayy +Azz = b = Axx1 +Ayy1 +Azz1



Figura 1.6: Vectores variables

es decir, de manera mas compacta

Amxm −Ajxj1 = 0 ⇒ Akxk = b = Alx

l1

Es claro que ~A ·~r1 = b es la proyeccion del radiovector ~r (P1) sobre la perpendicular que define al plano. Porlo tanto sera la distancia entre el plano y el origen de coordenadas. Si b = 0 el plano pasa por el origen decoordenadas.

Consideremos ahora el cuadrante IV de la Figura 1.5. Allı estan especificados tres puntos en el espaciocaracterizados por sus correspondientes radiovectores posicion, ~r (P1) = ~r1, ~r (P2) = ~r2 y ~r (P3) = ~r3. Estostres puntos seran coplanares si

(~r1 − ~r2) · ((~r2 − ~r3)× (~r3 − ~r1)) = 0 ⇔ εmnl (xm1 − xm2 ) (xn2 − xn3 )

(xl3 − xl1

)= 0

y la ecuacion del plano vendra dada por

(~r − ~r1) · ((~r2 − ~r1)× (~r3 − ~r1)) = 0 ⇔ = 0

1.9. Un comienzo a la derivacion e integracion de vectores

1.9.1. Vectores variables,

Los vectores podran ser constantes o variables. Ahora bien esa caracterıstica se verificara tanto en lascomponentes como en la base. Esto quiere decir que cuando un vector es variable podran variar su modulo, sudireccion, su sentido o todo junto o separado. Obviamente esta variabilidad del vector dependera de la baseen la cual se exprese, por lo cual un vector podra tener una componente constante en una base y constanteen otra.

~a (t) = ak (t) ek (t) = amem (t) = aj (t) ej (t)



Notese que hemos utilizado una base ek (t) de vectores variables a diferencia de la tradicional base devectores cartesianos, los cuales son constantes en modulo direccion y sentido (ver los cuadrantes I y IIde la Figura 1.6). Mas aun, tal y como se muestra en cuadrante IIc de la Figura 1.6 todo vector variablepodra ser expresado como la suma de uno variable, ~a (t) , mas otro constante ~c

~A (t) = ~a (t) + ~c

1.9.2. Derivacion

De esta manera, cuando uno piensa en un vector variable ~a (t) ⇐⇒ ~a (t) uno rapidamente piensa enestablecer un cociente incremental tal y como se muestra en

lım∆t→0

~a (t+ ∆t)− ~a (t)

∆t= lım

∆t→0

∆~a (t)

∆t=

d~a (t)

dt

el cuadrante IV de la Figura 1.6 ilustra graficamente este cociente incremental. Como siempre, las propiedadesde esta operacion derivacion seran

d(~a (t) +~b (t)

)dt

=d (~a (t))

dt+

d(~b (t)

)dt

d (α (t)~a (t))

dt=

d (α (t))

dt~a (t) + α (t)

d (~a (t))

dt

d(~a (t) ·~b (t)

)dt

=

(d (~a (t))

dt

)·~b (t) + ~a (t) ·

d(~b (t)

)dt

d(~a (t)×~b (t)

)dt

=d (~a (t))

dt×~b (t) + ~a (t)×

d(~b (t)

)dt

Ahora bien, esto implica que

~a (t) = ak (t) ek (t) =⇒ d (~a (t))

dt=

d(ak (t) ek (t)

)dt

=d ak (t)

dtek (t) + ak (t)

d (ek (t))

dt

con lo cual hay que tener cuidado al derivar vectores y cerciorarse de la dependencia funcional de base ycomponentes. Habra sistemas de coordenadas (bases de vectores) que seran constantes y otros en los cualessus vectores bases cambiaran en su direccion. El primer termino representa la variacion del modulo y elsegundo muestra la contribucion de los cambios en direccion del vector. Mas aun, mostraremos apoyandonosen la ilustracion del cuadrante el cuadrante III de la Figura 1.6 que, independientemente del sistema decoordenada el cambio en el modulo apunta en la direccion del vector, mientras que las contribuciones endireccion apuntan en la direccion perpendicular al vector. Esto es

d (~a (t))

dt=

d (|~a (t)|)dt

ua‖ + |~a (t)| ua⊥ con ua‖ · ua⊥ = 0

Es facil convencernos de la forma del primer termino. Siempre podemos representar un vector como sumodulo y un vector unitario en la direccion apropiada. Esto es

~a (t) = |~a (t)| ua =⇒ d (~a (t))

dt=

d (|~a (t)| ua (t))

dt=

d |~a (t)|dt

ua (t) + |~a (t)| d (ua (t))

dt



adicionalmente

|~a (t)|2 = ~a (t) · ~a (t) =⇒d(|~a (t)|2

)dt

≡ d (~a (t) · ~a (t))

dt= 2 |~a (t)| d (|~a (t)|)

dt≡ 2~a (t) · d (~a (t))

dt

con lo cuald (|~a (t)|)

dt≡ 2

~a (t)

2 |~a (t)|︸︷︷︸ua(t)

· d (~a (t))

dt=⇒ d (|~a (t)|)

dt= ua (t) · d (~a (t))

dt

para que finalmente

ua (t) · d (~a (t))

dt= ua (t) ·

(d |~a (t)|

dtua (t) + |~a (t)| d (ua (t))

dt

)=⇒

ua (t) · d (~a (t))

dt=

d |~a (t)|dt

ua (t) · d (ua (t))

dt= 0

Es decir que el cambio en el modulo de un vector se manifiesta en la direccion del mismo vector, tal ycomo era intuitivo suponer. Adicionalmente vemos que el vector siempre sera perpendicular a su derivada.Graficamente podemos apreciarlo en el cuadrante IV de la Figura 1.6 , pero tambien surge analıticamentede si derivamos el vector unitario en la direccion de ~a (t)

d (ua (t) · ua (t))

dt≡

d(|ua (t)|2

)dt

=d (1)

dt≡ 0 = ua (t) · d (ua (t))

dt=⇒ ua (t) ⊥ d (ua (t))

dt

es decir

d (~a (t))

dt=

d (|~a (t)| ua (t))

dt=

d |~a (t)|dt

ua (t) + |~a (t)| d (ua (t))

dt=

d (|~a (t)|)dt

ua‖ + |~a (t)| ua⊥

Supongamos que definimos un vector

∆ ~θ = ∆θ un con

un ⊥ ua‖

un ⊥ ua⊥

=⇒

un × ua‖ = ua⊥

ua⊥ × un = ua‖

ua‖ × ua⊥ = un

donde es el angulo de rotacion del vector ~a (t) (ver cuadrante V de la Figura 1.6) Claramente

∆~a⊥ = a (t+ ∆t) sen (∆θ) ua⊥ ≈ a (t+ ∆t) ∆θ ua⊥ =⇒ ∆~a⊥ = ∆ ~θ × ~a (t) =⇒

∆~a⊥∆t

≡(

∆~a

∆t· ~a⊥

)~a⊥ =

∆ ~θ

∆t× ~a (t) =⇒

(d (~a (t))

dt· ua⊥

)ua⊥ =

d (θ (t))

dtun × ~a (t) = ~ω × ~a (t)

donde hemos identificado ~ω = d(θ(t))dt un Entonces podemos ir mas alla. Observando el cuadrante V de la

Figura 1.6 vemos que si suponemos que el modulo del vector es constante, entonces

d |~a (t)|dt

= 0 =⇒ d (~a (t))

dt= |~a (t)| ua⊥ =⇒

(d (~a (t))

dt· ua⊥

)ua⊥ = ~ω × ~a (t)



1.9.3. Velocidades y aceleraciones

Ası, el radio vector posicion de una partıcula genera los vectores velocidad y aceleracion.

~r = ~r (t) =⇒ ~v (t) =d (~r (t))

dt=⇒ ~a (t) =

d (~v (t))

dt=

d2 (~r (t))

dt2

ahora bien~r = r (t)P ur = xP ı + yP + zP k con ur = cos θ ı + sen θ

si suponemos que la partıcula describe un movimiento entonces

rP = rP (t)

θ = θ (t)

⇐⇒

x = x (t)y = y (t)z = z (t)

; ur = ur (t) ;

ı = const = const

k = const

con lo cual

d (ur)

dt=

d (cos θ (t) ı + sen θ (t) )

dt= − (sen θ (t))

dθ (t)

dtı + cos θ (t)

dθ (t)

dt

d (ur)

dt=

dθ (t)

dt[− (sen θ (t)) ı + cos θ (t) ]︸︷︷︸

uθ

=dθ (t)

dtuθ

ya que

‖ur‖ =√ur · ur =

√[cos θ (t) ı + sen θ (t) ] [cos θ (t) ı + sen θ (t) ] = 1

‖uθ‖ =√uθ · uθ =

√[− (sen θ (t)) ı + cos θ (t) ] [− (sen θ (t)) ı + cos θ (t) ] = 1

yuθ · ur = ur · uθ = [− (sen θ (t)) ı + cos θ (t) ] [cos θ (t) ı + sen θ (t) ] = 0

Mas aund (uθ)

dt=

d (− (sen θ (t)) ı + cos θ (t) )

dt= − (cos θ (t) ı + sen θ (t) ) = −dθ (t)

dtur

Con lo cual, una partıcula que describe un movimiento generico vendra descrita en coordenadas cartesianaspor

~r = xP (t) ı + yP (t) + zP (t) k

y su velocidad sera

~v (t) =d~r (t)

dt=

d(xP (t) ı + yP (t) + zP (t) k

)dt

=d (xP (t))

dtı +

d (yP (t))

dt +

d (zP (t))

dtk

= vxP (t) ı + vyP (t) + vzP (t) k

y la aceleracion

~a (t) =d (vxP (t))

dtı +

d (vyP (t))

dt +

d (vzP (t))

dtk = axP (t) ı + ayP (t) + azP (t) k



Mientras que en coordenadas polares sera

~r (t) = rP (t) ur (t) =⇒ ~v (t) =d (r (t)P ur (t))

dt=

d (r (t)P )

dtur (t) + r (t)P

d (ur (t))

dt

con lo cual la velocidad

~v (t) = vr (t)P ur (t) + r (t)Pdθ (t)

dtuθ (t)

y la aceleracion

~a (t) =d (~v (t))

dt=

d

(dr (t)P

dtur (t) + r (t)P

dθ (t)

dtuθ (t)

)dt

=d (vr (t)P ur (t))

dt+

d

(r (t)P

dθ (t)

dtuθ (t)

)dt

~a (t) =

d

(dr (t)P

dt

)dt

ur (t) +dr (t)P

dt

d (ur (t))

dt

+dr (t)P

dt

dθ (t)

dtuθ (t) + r (t)P

d2θ (t)

dt2uθ (t) + r (t)P

dθ (t)

dt

d (uθ (t))

dt

~a (t) =

d

(dr (t)P

dt

)dt

− r (t)P

(dθ (t)

dt

)2

ur (t) +

2

dr (t)Pdt

dθ (t)

dt+ r (t)P

d2θ (t)

dt2

uθ (t)

Claramente para el caso de un movimiento circular

r = R = const =⇒ dR

dt= 0 =⇒

~r (t) = Rur(t)

~v (t) = Rdθ (t)

dtuθ

~a (t) = −R(

dθ (t)

dt

)2

ur (t) +Rd2θ (t)

dt2uθ (t)

De aquı podemos ver claramente que velocidad ~v (t) y posicion ~r (t) son ortogonales. La velocidad, ~v (t) ,siempre es tangente a la trayectoria ~r (t) y en este caso la trayectoria es una circunferencia. En general elvector

~rmed =∑i

∆ ~r (ti) =∑i

(~r (ti + ∆ti)− ~r (ti)) =⇒ lım∆t→0

∑i

∆ ~r (ti) =

∫d~r (t) = ~r (t)

es decir d~r (t) = lım∆t→0

∑i ∆ ~r (ti) es tangente a la trayectoria. Es claro que

d~r (t) = d[xP (t) ı + yP (t) + zP (t) k

]≡ ∂xP (t)

∂tı +

∂yP (t)

∂t +

∂zP (t)

∂tk

Tal y como mencionamos arriba, para el sistema de coordenadas cartesiano podemos definir un vector



(en este caso) velocidad angular

~ω 3

~ω

|~ω|× u~r = u~v

u~v ×~ω

|~ω|= u~r

u~r × u~v =~ω

|~ω|

=⇒ ~v (t) = ~ω × ~r (t)

Supongamos por que, simplicidad, elegimos el sistema de coordenadas cartesiano tal que ~r este el plano x, y.En este caso es inmediato comprobar que vi = εijkωjxk y dado que ~r y ~v tienen ’unicamente componentes1, 2 entonces, necesariamente ~ω tiene componente 3. Es decir

~r = riei

~v = viei

=⇒

v1 = ε1j2ωjx2

v2 = ε2j1ωjx1

=⇒ ~ω = ω3 ı3 ≡ |~ω| e3 ≡ |~ω| k

como

~r = xP (t) ı + yP (t)

⇓

~v (t) =d (~r (t))

dt= vxP (t) ı + vyP (t) = ~ω × ~r (t) =

d (θ (t))

dtk× (xP (t) ı + yP (t) )

como se ve mas claro es en coordenadas polares, esto es

~v (t) =d (~r (t))

dt= r (t)P

dθ (t)

dtuθ (t) = (|~ω| un (t))× (r (t)P ur (t))

⇓ |~r (t)| = const

r (t)Pdθ (t)

dt︸︷︷︸~v⊥(t)

uθ (t) = |~ω| r (t) uθ (t) =⇒ dθ (t)

dt≡ |~ω|

1.9.4. Vectores y funciones

Antes de continuar con la integracion repensemos algunas funciones de tipo φ (x, y, z) y ~V (x, y, z) . Son,sin duda funciones de varias variables

φ = φ (x, y, z)

~V = ~V (x, y, z) = ıVx (x, y, z) + Vy (x, y, z) + kVz (x, y, z)

un par de reflexiones se pueden hacer en este punto. Primeramente, dado que hemos relacionado un puntodel espacio con un radio vector posicion, entonces

P(x,y,z) ↔ (x, y, z)↔ ~r = xP ı + yP + zP k ⇒

φ = φ (x, y, z) ≡ φ (~r)

~V = ~V (x, y, z) ≡ ~V (~r)



La primera funcion, φ (~r) sera una funcion escalar de argumento vectorial o, simplemente un campo escalary la segunda se conoce como una funcion vectorial de argumento vectorial o campo vectorial. Como hemosdicho este tipo de funciones y las operaciones que pueden ser realizadas con ellas, ası como tambien susignificado, sera analizada en detalle mas adelante en este mismo curso.

En segundo lugar, siempre podremos parametrizar las coordenadas y tendremos

φ = φ (t) = φ (x (t) , y (t) , z (t))

~V = ~V (t) = ~V (x (t) , (t) y, z (t)) ⇒

~V = ıVx (x (t) , y (t) , z (t)) + Vy (x (t) , y (t) , z (t)) + kVz (x (t) , y (t) , z (t))

Este caso lo hemos encontrado en montones de situaciones. El movimiento parabolico viene descrito por unvectores velocidad y posicion

~v = −kgt + ~v0 = −kgt +(

ıv0x + v0y + kv0z

)⇒

vx = v0x

vy = v0x

vz = v0z − gt

~r = −kg

2t2 + ~v0t = −kg

t2

2t+(

ıv0x + v0y + kv0z

)t ⇒

x = v0xty = v0xt

z = v0zt− gt2

2

Derivada de funciones φ (~r (t))

Al derivar una funcion de argumento vectorial tambien aplica la “regla de la cadena”. Esto es

z = φ (~r (t)) = g (x (t) , y (t) , z (t)) ⇒

d φ (~r (t))

d t=∂ φ (x (t) , y (t) , z (t))

∂x

d x (t)

d t+∂ φ (x (t) , y (t) , z (t))

∂y

d y (t)

d t+∂ φ (x (t) , y (t) , z (t))

∂z

d z (t)

d t

d φ (~r (t))

d t=

(∂ φ (x, y, z)

∂xı +

∂ φ (x, y, z)

∂y+∂ φ (x, y, z)

∂zk

)(d x (t)

d tı +

d y (t)

d t +

d z (t)

d tk

)

d φ (~r (t))

d t= ~∇φ (x (t) , y (t) , z (t)) · d ~r (t)

d t

donde hemos representado

~∇φ (~r (t)) =∂ φ (x, y, z)

∂xı +

∂ φ (x, y, z)

∂y+∂ φ (x, y, z)

∂zk = ∂mφ (x, y, z) em = φ,m (x, y, z) ım

y lo llamaremos el gradiente de la funcion. El gradiente de un campo escalar es uno de los objetos mas utiles,el cual lo utilizaremos, por ahora de manera operacional y recordaremos que emerge como consecuencia deuna derivacion contra un parametro. El gradiente mide el cambio del la funcion φ (x, y, z).



La idea de gradiente nos lleva a considerar al ~∇ como un operador vectorial que actua sobre la funcionescalar de variable vectorial φ (~r (t)) . Es decir con un poquito de imaginacion

~∇φ (~r (t)) ≡(∂

∂xı +

∂

∂y+

∂

∂zk

)φ (x, y, z) = (em∂

m)φ (x, y, z)

⇓

~∇ () =

(∂ ()∂x

ı +∂ ()∂y

+∂ ()∂z

k

)= em∂

m ()

Derivada de funciones ~c (~r (t))

De modo que inspirados en la regla de la cadena de una funcion escalar de variable vectorial comprobamosque

d ~c

dt=

d cx (x, y, z)

dtı +

d cy (x, y, z)

dt+

d cz (x, y, z)

dtk =

d cm (x, y, z)

dtem

por consiguiente, si ~c, tiene por componentes cartesianas (cx, cy, cz) las componentes del vector derivado

seran(

d cxdt ,

d cydt ,

d czdt

). Con lo cual cada componente

d cm (x (t) , y (t) , z (t))

dt=

d cm (xn (t))

dt=∂cm (xn)

∂xld xl (t)

dt=

(d ~r (t)

d t· ~∇)cm (x, y, z)

es decir, en terminos vectoriales

d ~c

dt=

(d ~r (t)

d t· ~∇)~c ≡

(~v · ~∇

)~c ⇒ d ()

dt=(~v · ~∇

)() ≡ vi∂i ()

con ~v la derivada del radiovector posicion ~r (t), es decir, la velocidad. Es decir, estamos viendo el cambio delvector ~c respecto al tiempo es el cambio de sus componentes en la direccion de la velocidad.

Si se nos ocurre calcular la derivada del vector velocidad para encontrar la aceleracion tendremos quenos queda expresada como

~a =d ~v

dt=(~v · ~∇

)~v ⇒ ai =

(~v · ~∇

)vi

donde las componentes cartesianas de los vectores velocidad y aceleracion son vi = vi (x (t) , y (t) , z (t))y ai = ai (x (t) , y (t) , z (t)) , respectivamente.

1.9.5. El vector gradiente

El operador vectorial ~∇ () merece un poco de atencion en este nivel. Tal y como hemos visto

~∇φ (x, y, z) =

(ı∂φ (x, y, z)

∂x+

∂φ (x, y, z)

∂y+ k

∂φ (x, y, z)

∂z

)

~∇φ (x, y, z) = e1∂1φ (x, y, z) + e2∂

2φ (x, y, z) + e3∂3φ (x, y, z)



Con el operador nabla ~∇ () realizaremos operaciones igual como un vector comun y corriente. Ası en el caso~∇× ~E se denomina rotor de ~E viene definido por

~∇× ~E =

(ı∂

∂x+

∂

∂y+ k

∂

∂z

)×(Exı + Ey + Ezk

)=

~∇× ~E =

(∂Ez∂y− ∂Ey

∂z

)ı+

(∂Ex∂z− ∂Ez

∂x

)+

(∂Ey∂x− ∂Ez

∂y

)k

~∇× ~E = eiεijk∂jEk

Tambien tendremos el “producto escalar” de nabla por un vector. Esta operacion la llamaremos divergencia

∇ · ~a =∂ai

(xj)

∂ xi≡ ∂iai

(xj)≡ ∂ax (x, y, z)

∂ x+∂ay (x, y, z)

∂ y+∂az (x, y, z)

∂ z

pero por ahora consideremos nabla ~∇ como un vector. De este modo habra cantidad de relaciones vectorialesque involucren a ~∇ las cuales se podran demostrar. Veamos

1. ~∇(~a ·~b

)=(~a · ~∇

)~b+

(~b · ~∇

)~a+ ~a×

(~∇×~b

)+~b×

(~∇× ~a

)El resultado es un gradiente, es decir un vector. El lado izquierdo sera(

~∇(~a ·~b

))i= ∂i

(~a ·~b

)= ∂i

(ajb

j)

=(∂iaj

)bj +

(∂ibj

)aj

mientras que el lado derecho(~∇(~a ·~b

))i=(aj∂

j)bi +

(bj∂

j)ai + εijkaj

(~∇×~b

)k

+ εijkbj

(~∇× ~a

)k

=(aj∂

j)bi +

(bj∂

j)ai + εijkajεkmn∂

mbn + εijkbjεkmn∂man

=(aj∂

j)bi +

(bj∂

j)ai + εijkεmnkaj∂

mbn + εijkεmnkbj∂man

=(aj∂

j)bi +

(bj∂

j)ai +

(δimδ

jn − δjmδin

)aj∂

mbn+

+(δimδ

jn − δjmδin

)bj∂

man

= aj∂jbi + bj∂

jai + δimδjnaj∂

mbn − δjmδinaj∂mbn+

+ δimδjnbj∂

man − δjmδinbj∂man

= aj∂jbi + bj∂

jai + an∂ibn − am∂mbi + bn∂

ian − bm∂mai

= aj∂jbi − am∂mbi︸︷︷︸

=0

+ bj∂jai − bm∂mai︸︷︷︸

=0

+ an∂ibn + bn∂

ian

= an∂ibn + bn∂

ian = ∂i(ajb

j)

= ∂i(~a ·~b

)2. ~∇×

(~a · ~∇

)~a =

(~∇ · ~a

)(~∇× ~a

)−[~∇ ·(~∇× ~a

)]~a+

(~a · ~∇

)(~∇× ~a

)−[(~∇× ~a

)· ~∇]~a

Iniciamos la traduccion a ındices por el lado izquierdo de la ecuacion ası

~∇×(~a · ~∇

)~a = εijk∂j (am∂

m) ak = εijk (∂jam) ∂mak + εijkam∂j∂mak

= εijk (∂jam) ∂mak + am∂m(εijk∂jak

)Hernandez & Nunez Universidad Industrial de Santander 35


el lado derecho lo traduciremos termino por termino(~∇ · ~a

)(~∇× ~a

)= (∂mam)

(εijk∂jak

)−[~∇ ·(~∇× ~a

)]~a = −

[∂mε

mjk∂jak]ai = −

[εmjk∂m∂jak

]ai = 0(

~a · ~∇)(

~∇× ~a)

= am∂m(εijk∂jak

)−[(~∇× ~a

)· ~∇]~a = −

[(εmjk∂jak

)∂m]ai

el segundo termino se anula por cuanto εmjk es antisimetrico respecto a los ındices mj mientras que∂m∂j es simetrico. El tercer termino del desarrollo del lado derecho corresponde con el segundo deldesarrollo del lado izquierdo. Por cual llegamos a la siguiente igualdad

εijk (∂jam) ∂mak = (∂mam)(εijk∂jak

)−[(εmjk∂jak

)∂m]ai

Para verificar la igualdad tendremos que evaluar componente a componente. Esto es para el ladoizquierdo

ε1jk (∂jam) ∂mak = ε123 (∂2am) ∂ma3 + ε132 (∂3am) ∂ma2

= (∂2am) ∂ma3 − (∂3am) ∂ma2

= (∂2a1) ∂1a3 + (∂2a2) ∂2a3 + (∂2a3) ∂3a3

− (∂3a1) ∂1a2 − (∂3a2) ∂2a2 − (∂3a3) ∂3a2

mientras que para el primer termino del lado derecho

(∂mam)(ε1jk∂jak

)= (∂mam)

(ε123∂2a3

)+ (∂mam)

(ε132∂3a2

)= ∂2a3∂

1a1︸︷︷︸α

+ ∂2a3∂2a2 + ∂2a3∂

3a3

−∂3a2∂1a1︸︷︷︸

β

− ∂3a2∂2a2 − ∂2a2∂

3a3

y el segundo termino se escribe como

−[(εmjk∂jak

)∂m]ai = −

(ε1jk∂jak

)∂1a

1 −(ε2jk∂jak

)∂2a

1 −(ε3jk∂jak

)∂3a

1

= − (∂2a3 − ∂3a2) ∂1a1 − (∂3a1 − ∂1a3) ∂2a

1−− (∂1a2 − ∂2a1) ∂3a

1

= ∂3a2∂1a1︸︷︷︸

β

−∂2a3∂1a1︸︷︷︸

α

+ ∂1a3∂2a1−∂3a1∂2a

1︸︷︷︸γ

+∂2a1∂3a1︸︷︷︸

γ

− ∂1a2∂3a1

al sumar ambos terminos se eliminan los sumandos indicados con letras griegas, y queda como

(∂mam)(ε1jk∂jak

)−[(εmjk∂jak

)∂m]ai = ∂2a3∂2a2

Ξ+ ∂2a3∂3a3

Υ

−∂3a2∂2a2Ω

−∂2a2∂3a3Ψ

+ ∂1a3∂2a1Λ

−∂1a2∂3a1Σ



y al compararlo con el desarrollo del lado derecho e identificar termino a termino queda demostrado

ε1jk (∂jam) ∂mak = (∂2a1) ∂1a3Λ

+ (∂2a2) ∂2a3Ξ

+ (∂2a3) ∂3a3Υ

− (∂3a1) ∂1a2Σ

− (∂3a2) ∂2a2Ω

− (∂3a3) ∂3a2Ψ

De igual manera se procede con i = 2 e i = 3

1.9.6. Integracion

Despues de haber diferenciado campos escalares y vectoriales, el siguiente paso es integrarlos. Encontra-remos varios objetos vectoriales a integrar seran:∫

~V (u) d u integracion de un vector por un escalar

∫c

φ (x, y, z) d ~r integracion de un escalar a lo largo de un vector

∫c

~V (x, y, z) · d ~r integracion de un vector a lo largo de otro vector

∫c

~V (x, y, z)× d ~r integracion de un vector por otro vector

el primero de casos es el tipo de integral que siempre hemos utilizado para encontrar la posicion a partirde la velocidad. Los siguientes tres casos se conocen con el nombre de integrales de lınea por cuanto esimportante la “ruta” o trayectoria que sigamos al integrar. Esto aparece indicado por la letra C en laintegral y sera evidente mas adelante. En general la integral de lınea dependera de la trayectoria.

Un vector por un escalar

El primer caso de este tipo integrales es el trivial que siempre hemos utilizado:∫~V (u) d u = ı

∫Vx (u) d u+

∫Vy (u) d u+ k

∫Vz (u) d u =

(∫V i (u) d u

)ei

La integral de un vector (en un sistema de coordenadas cartesianas) por un escalar se convierte en una sumade tres integrales de siempre, cada una a lo largo de las componentes cartesianas del vector.

Ası integramos la aceleracion de un movimiento parabolico

d ~v

dt= ~a = −gk =⇒ ~v =

∫~a dt = k

∫−g dt = −kgt + ~v0 = −kgt + ıv0x + v0y + kv0z

Ahora bien, existen sutilezas en este caso que debemos tener en cuenta. Por ejemplo considere la integral∫dt

(~a× d2 ~a

dt2

)=

∫dt

(d

dt

(~a× d ~a

dt

)− d ~a

dt× d ~a

dt

)=

∫dt

d

dt

(~a× d ~a

dt

)= ~a× d ~a

dt+ ~c



Pero en general los casos quedan resueltos integrando componente a componente con la ayuda de la notacionde ındices ∫

dt(~a×~b

)=

[∫dt(εijkajbk

)]|ei〉

Quiza uno de los problemas que ilustra mejor esta situacion es el movimiento bajo fuerzas centrales. La Leyde Gravitacion de Newton nos dice que∑

F = m ~a = md ~v

dt= m G

M

r2mM

ur =⇒ d ~v

dt= G

M

r2mM

ur

Es costumbre definir la velocidad aerolar, ~vA, como el area barrida por el radio vector posicion, ~r (t) quedescribe la trayectoria de la partıcula

2~vA = ~r × d ~r

dt= r ur ×

d (r ur)

dt= r ur ×

(d r

dtur + r

d urdt

)= r ur × r

d urdt

= r2ur ×d urdt

Notese que si ~c es un vector constante

d

dt

(ur ×

d urdt

)= 0 =⇒ ur ×

d urdt

= ~c =⇒ 2~vA = r2ur ×d urdt

= const

con lo cual

d

dt(~v × ~vA) =

d ~v

dt× ~vA = G

M

r2mM

ur × ~vA =MG

2

ur ×

(ur ×

d urdt

)

d

dt(~v × ~vA) =

MG

2

(ur ·

d urdt

)ur − (ur · ur)

d urdt

=MG

2

d urdt

integrando

~v × ~vA =MG

2ur + ~p

donde ~p es un vector arbitrario de constante de integracion. Finalmente nos damos cuenta que

~r · (~v × ~vA) = r ur ·(MG

2ur + ~p

)=MG

2r + rp cos θ

~r · (~v × ~vA) = εijkrivjvAk ≡ ~vA · (~r × ~v) = ~vA · ~vA = v2A

y entonces

v2A =

MG

2r + rp cos θ =⇒ r =

v2A

MG2 + p cos θ

≡2v2A

MG

1 + 2pMG cos θ

que constituye la ecuacion de una conica.

Un escalar a lo largo de un vector∫cφ (~r) d~r

El segundo objeto que “tropezaremos” es la integracion de funciones de varias a lo largo de una curvadeterminada. Esto es∫c

φ (x, y, z) d~r =

∫c

φ (x, y, z)(

dx ı + dy + dz k)

= ı

∫c

φ (x, y, z) d x+

∫c

φ (x, y, z) d y+k

∫c

φ (x, y, z) d z



la integral se nos ha convertido en tres integrales, las cuales son ahora componentes de un vector. Esto

es posible dado que la base(

ı, , k)

es una base constante. Ahora bien, cada una de estas integrales son

interdependientes, dado que hay que seguir la misma curva c. Consideremos el caso bidimensional que esmas simple y contiene toda la riqueza conceptual del tridimensional. Ası

φ (x, y) = 3x2 + 2y =⇒∫ (1,2)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d~r = ı

∫ (1,2)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d x+

∫ (1,2)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d y

Se requiere especificar la curva c a lo largo de la cual integraremos desde el punto P1 → (0, 0) al puntoP2 → (1, 2) . Si recorremos la ruta (0, 0)→ (1, 0)→ (1, 2) tendremos que

(0, 0)→ (1, 0) =⇒ y = cte = 0 =⇒∫ (1,0)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d~r = ı

∫ (1,0)

(0,0)

(3x2 + 2y

)dx = ı

∫ 1

0

(3x2)

dx = ı

(1, 0)→ (1, 2) =⇒ x = cte = 1 =⇒∫ (1,0)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d~r =

∫ (1,2)

(0,0)

(3x2 + 2y

)dy =

∫ 2

0

(3 + 2y) dy = 10

con lo cual

c1 ←→ (0, 0)→−−−−−→

cA1

(1, 0)→ (1, 2)−−−−−→

cB1

=⇒∫ (1,2)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d~r = ı + 10

si hubieramos seleccionado la recta que une a estos dos puntos como la curva c2 entonces

c2 ←→ y = 2x =⇒ d y = 2d x

⇓∫ (1,2)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d~r = ı

∫ (1,2)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d x+

∫ (1,2)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d y

⇓∫ (1,2)

(0,0)

(3x2 + 2y

)d~r = ı

∫ 1

0

(3x2 + 2 (2x)

)d x+

∫ 1

0

(3x2 + 2 (2x)

)2dx = 3ı+6

En general la curva c se parametrizara y las integrales en varias variables se convertiran en integrales a lolargo del parametro que caracteriza la curva

c←→

x = x (τ)y = y (τ)z = z (τ)

⇓∫

c

φ (x, y, z) d~r =

∫c

φ (x (τ) , y (τ) , z (τ))

(∂x (τ)

∂τdτ ı +

∂y (τ)

∂τdτ +

∂z (τ)

∂τdτ k

)⇓∫

c

φ (x, y, z) d~r = ı

∫c

φ (x (τ) , y (τ) , z (τ))∂x (τ)

∂τdτ +

∫c

φ (x (τ) , y (τ) , z (τ))∂y (τ)

∂τdτ

+ k

∫c

φ (x (τ) , y (τ) , z (τ))∂z (τ)

∂τdτ



las parametrizaciones para las curvas anteriores son muy simples

cA1 =

x = τ

y = 0; cB1 =

x = 2

y = τ; c2 =

x = τ

y = 2τ

Un vector a lo largo de otro vector∫c~F (~r) d~r

Quiza la integral de lınea mas conocida sea una del tipo∫c~F (~r) d~r por cuanto nos la hemos “tropezado”

en el calculo del trabajo de que realiza una fuerza. Todo lo que hemos considerado al parametrizar la curvaen el caso anterior, sigue siendo valido.∫

c

~F (~r) d~r =

∫c

Fx (x, y, z) dx+

∫c

Fy (x, y, z) dy +

∫c

Fz (x, y, z) dz =

∫c

F i(xj)

dxi

Por lo cual, si consideramos

~F (~r) =(3x2 + 2xy3

)ı+6xy

⇓∫ (1, 34√

2)

(0,0)

~F (~r) d~r =

∫ (1, 34√

2)

(0,0)

((3x2 + 2xy3

)ı+6xy

)(dx ı + dy )

⇓∫ (1, 34√

2)

(0,0)

~F (~r) d~r =

∫ (1, 34√

2)

(0,0)

(3x2 + 2xy3

)dx+

∫ (1, 34√

2)

(0,0)

6xy dy

y si la curva que une esos puntos viene parametrizada por

x = 2τ2

y = τ3 + τ

=⇒

∂x(τ)∂τ = 4τ

∂y(τ)∂τ = 3τ2 + 1

=⇒

entonces la primera de las integrales resulta∫ (1, 34√

2)

(0,0)

(3x2 + 2xy3

)dx =

∫ (3(2τ2)2

+ 2(2τ2) (τ3 + τ

)3)(4τ) dτ

∫ (1, 34√

2)

(0,0)

(3x2 + 2xy3

)dx =

∫ √2

2

0

(12τ5 + 4τ12 + 12τ10 + 12τ8 + 4τ6

)dτ =

1

4+

9305

96 096

√2

y la segunda ∫ (1, 34√

2)

(0,0)

6xy dy =

∫ √2

2

0

6(2τ2) (τ3 + τ

) (3τ2 + 1

)dτ =

65

32

con lo cual∫ (1, 34√

2)

(0,0)

~F (~r) d~r =

∫ (1, 34√

2)

(0,0)

(3x2 + 2xy3

)dx+

∫ (1, 34√

2)

(0,0)

6xy dy =73

32+

9305

96 096

√2



1.10. Vectores y numeros complejos

Desde la mas tierna infancia matematica nos hemos tropezado con las llamadas raıces imaginarias ocomplejas de polinomios. De este modo la solucion a un polinomio cubico

x3 − 3x2 + 4x− 12 = 0 =⇒

x = 2ix = −2ix = 3

=⇒ (x+ 2i) (x− 2i) (x− 3) = 0

o cuadratico

x2 + 4 = 0 =⇒

x = 2ix = −2i

=⇒ (x+ 2i) (x− 2i)

nos lleva a definir un numero i2 = 1 ⇔ i =√−1 como vimos arriba al multiplicar el numero imaginario i

por cualquier numero real obtendremos el numero imaginario puro bi, con b ∈ <. La nomenclatura numerosimaginarios surgio de la idea de que estas cantidades no representan mediciones fısicas. Esa idea ha sidoabandonada pero el nombre quedo.

1.10.1. Los numeros complejos y su algebra

Un numero complejo, z, es la generalizacion de los numeros imaginarios (puros), ib. Esto es

z = a+ ib con a, b ∈ < =⇒

a→ parte real

b→ parte imaginaria

Obviamente los numeros reales seran a + i0 numeros complejos con su parte imaginaria nula. Los numerosimaginarios puros seran numeros complejos con su parte real nula, esto es 0 + ib. Por ello en general diremosque

z = a+ ib =⇒ a = Re (z) ∧ b = Im (z)

es decir, a corresponde a la parte real de z y b a su parte imaginaria.Cada numero complejo, z, tendra un numero complejo conjugado, z∗ tal que

z = a+ ib z∗ = a− ib⇓

(z∗)∗

= z ∧ z · z∗ = a2 + b2

claramentez · z∗ ≥ 0 =⇒ |z|2 = |z∗|2 = z · z∗

Es importante senalar que, en general, no existe relacion de orden entre los numeros complejos. Valedecir, que no sabremos si un numero complejo es mayor que otro. No esta definida esta operacion.

z1 ≯ z2 ∨ z1 ≮ z2

las relaciones de orden solo se podran establecer entre modulos de numeros complejos y no numeros complejosen general.

Rapidamente recordamos el algebra de los numeros complejos:

dos numeros complejos seran iguales si sus partes reales e imaginarios lo son

z1 = z2 =⇒ (a1 + ib1) = (a2 + ib2) =⇒ a1 = a2 ∧ b1 = b2



se suman dos numeros complejos sumando sus partes reales y sus partes imaginarias.

z3 = z1 + z2 =⇒ (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2)︸︷︷︸a3

+ i(b1 + b2)︸︷︷︸b3

= a3 + ib3

claramente z + z∗ = 2 Re z tambien z − z∗ = 2 Im z. Igualmente es inmediato comprobar que

(z1 + z2)∗

= z∗1 + z∗2

se multiplican numeros complejos por escalares multiplicando el escalar por sus partes reales e imagi-narias

z3 = αz1 =⇒ α (a1 + ib1) = (αa1) + i (αb1)

se multiplican numeros complejos entre si, multiplicando los dos binomios y teniendo cuidad quei2 = −1.

z3 = z1z2 =⇒ (a1 + ib1) · (a2 + ib2) = (a1a2 − b1b2) + i (a1b2 + b1a2)

tambien es inmediato comprobar que (z1z2)∗

= z∗1z∗2

se dividen numeros complejos siguiendo la estrategia de racionalizacion de fracciones irracionales. Estoes

z3 =z1

z2=⇒ (a1 + ib1)

(a2 + ib2)=

(a1 + ib1)

(a2 + ib2)

(a2 − ib2)

(a2 − ib2)=a1a2 + b1b2(a2

2 + b22)+ i

b1a2 − a1b2(a2

2 + b22)

es claro que el divisor sera cualquier numero complejo excepto el cero complejo, 0 + i0

1.10.2. Vectores y el plano complejo

Mirando con cuidado el algebra de numeros complejos nos damos cuenta que un numero complejo puedeser representado por una dupla de numeros complejos es decir,

z = (a+ ib) z = (a, b)

las propiedades entre numeros complejos de igualdad, suma y multiplicacion por un escalar arriba expuestas secumplen de forma inmediata con esta nueva representacion. Hay que definir las operaciones de multiplicaciony division entre numeros complejos de forma que

(a1, b1) (a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1b2 + b1a2) ∧ (a1, b1)

(a2, b2)=

(a1a2 + b1b2(a2

2 + b22),b1a2 − a1b2(a2

2 + b22)

)Esta asociacion de un numero complejo con una pareja de numeros inmediatamente nos lleva a imaginarun punto en un plano (complejo) en el cual la primera componente (horizontal) representa la parte realy la segunda componente (vertical) representa la parte imaginaria. De esta forma asociamos a un numerocomplejo a un vector que une a ese punto (a, b) con el origen del plano complejo. Esta representacion denumeros complejos como vectores un el plano (complejo) de conoce con el nombre de Diagrama de Argand3

a pesar que no fue Jean Argand, sino Caspar Wessel4 el primero en proponerlo. Por cierto esta interpretacion

3En honor a Jean Robert Argand, (Ginebra, Suiza, 18 Julio 1768; Paris, Francia 13 agosto 1822) Contador pero matematicoaficionado. Propuso esta interpretacion de numeros complejos como vectors en un plano complejo en un libro autoeditado consus reflexiones que se perdio y fue rescatado 7 anos despues, fecha a partir de la cual Argand comenzo a publicar en Matematicas.M’as detalles en http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\char126\relaxhistory/Mathematicians/Argand.html

4Caspar Wessel (Vestby, Noruega 8 junio 1745; 25 marzo 1818, Copenhagen, Dinamarca) Matematico noruego que sededico principalemente al levantamiento topografico de Noruega. Su trabajo sobre la interpretacion de numeros comple-jos permanecio desconocido por casi 100 anos. Mas detalles http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\char126\relaxhistory/

Mathematicians/Wessel.html


http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\char 126\relax history/Mathematicians/Argand.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\char 126\relax history/Mathematicians/Wessel.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\char 126\relax history/Mathematicians/Wessel.html


fue tres veces redescubierta primero por Caspar Wessel en 1799, luego por Jean Argand en 1806 y finalmentepor Gauss5 en 1831.

De esta manera como un recordatorio al plano real

z = x+ iy z = r (cos θ + i sen θ) con

r =√zz∗ = |z| =

√x2 + y2

tan θ =y

xdonde − π ≤ θ ≤ π

La interpretacion vectorial de numeros complejos permite que la suma de numeros complejos sea representadapor la “regla del paralelogramo”. Mientras que los productos escalar y vectorial nos llevan a

z1 · z2 = Re (z1z∗2) = Re (z∗1z2) ∧ z1 × z2 = Im (z∗1z2) = −Im (z1z

∗2)

Con esta interpretacion tendremos

x = Rez componente real del vector z o parte real de zy = Imz componente imaginaria del vector z o parte real de z

r =√zz∗ = |z| modulo, magnitud o valor absoluto de z

θ angulo polar o de fase del numero complejo z

1.10.3. Formulas de Euler y De Moivre

Nos hemos tropezado con la expansion en Taylor6 esta serie permite expresar cualquier funcion infini-tamente diferenciable alrededor de un punto x0 como una serie infinita de potencias del argumento de lafuncion. Esto es

f (x) = 1 +d f (x)

d x

∣∣∣∣x=x0

(x− x0) +1

2

d2 f (x)

d x2

∣∣∣∣x=x0

(x− x0)2

+1

3!

d3 f (x)

d x3

∣∣∣∣x=x0

(x− x0)3

+ · · · · · ·

f (x) = Cn (x− x0)n

con Cn =1

n!

dn f (x)

d xn

∣∣∣∣x=x0

donde n = 0, 1, 2, 3, 4 · · ·

con lo cual si consideramos x0 = 0 entonces

ex = 1 + x+1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4 +

1

120x5 +

1

720x6 +

1

5040x7 + · · · · · ·

cosx = 1− 1

2x2 +

1

24x4 − 1

720x6 + · · · · · ·

senx = x− 1

6x3 +

1

120x5 − 1

5040x7 + · · · · · ·

5 Johann Carl Friedrich Gauss (30 abril 1777, Brunswick, Alemania; 23 febrero 1855, Gottingen, Alemania). Uno de losmatematicos mas geniales y precoces de la Historia. Desde los 7 anos comenzo a mostrar sus condiciones de genialidad. Suscontribuciones en Astronomıa y Matematicas son multiples y diversas. Mas detalles http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/

\char126\relaxhistory/Mathematicians/Gauss.html6Brook Taylor (18 agosto 1685, Edmonton, Inglaterra; 29 diciembre 1731, Londres, Inglaterra) Fısico y Matematico Ingles

contemporaneo de Newton y Leibniz y con ellos participo profundamente en el desarrollo del Calculo diferencial e integral.Ademas de sus aportes magnetismo, capilaridad y termometrıa, desarrollo el area de diferencias finitas que hasta hoy utilizamospara calculos en computacion. Invento la integracion por partes y descubrio la serie que lleva su nombre. Mas detalles http:

//www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Taylor.html


http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\char 126\relax history/Mathematicians/Gauss.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\char 126\relax history/Mathematicians/Gauss.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Taylor.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Taylor.html


Es facil convercerse que

eiθ = 1 + iθ − 1

2θ2 +

(−1

6i

)θ3 +

1

24θ4 +

1

120iθ5 − 1

720θ6 +

(− 1

5040i

)θ7 + · · · · · ·

puede rearreglarse como

eiθ =

(1− 1

2θ2 +

1

24θ4 − 1

720θ6 + · · · · · ·

)︸︷︷︸

cos θ

+ i

(θ − 1

6θ3 +

1

120θ5 − 1

5040θ7 + · · · · · ·

)︸︷︷︸

sen θ

eiθ = cos θ + i sen θ

esta relacion se conoce como la relacion de Euler 7. Con lo cual ahora tenemos tres formas de representarun numero complejo

z = x+ iy z = r (cos θ + i sen θ) z = reiθ

La expresion z = x + iy se conoce como forma cartesiana de representacion de un numero complejo, laforma z = r (cos θ + i sen θ) sera la forma trigonometrica o polar y la expresion z = eiθ sera la forma de Euler.Es importante notar una sutileza implıcita en esta notacion. La forma cartesiana representa unıvocamentea un numero complejo, mientras que la forma polar (y la de Euler), es ambigua

z = r (cos θ + i sen θ) = r (cos(θ + 2nπ) + i sen(θ + 2nπ)) (1.1)

es decir, existen varios valores del argumento que definen el mismo numero complejo. Esto se considerara masadelante cuando tratemos las funciones de numero complejos.

Las sumas de numeros complejos son mas facilmente planteables en su forma cartesiana. Mientras lasmultiplicacion y division seran directas en la forma de Euler

z1 = r1eiθ1

z2 = r2eiθ2

=⇒ z1z2 = eiθ1eiθ2 = ei(θ1+θ2) = r1r2 (cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2))

Mas aun, siz = x+ iy =⇒ ez = e(x+iy) = exeiy = ex (cos y + i sen y)

y a partir de la relacion o formula de Euler se puede demostrar la De Moivre 8(eiθ)n

= einθ (cos θ + i sen θ)n

= cos (nθ) + i sen (nθ) con n entero

1.10.4. Algunas Aplicaciones Inmediatas

Presentaremos algunas aplicaciones inmeditas la formula de De Moivre en varios ambitos

7Leonhard Euler (15 abril 1707, Basilea, Suiza; 18 septiembre 1783, San Petersburgo, Rusia). Uno de los matematicos masprolıficos de todos los tiempos. Desarrollo inmensamente campos como la geometrıa analıtica y trigonometrıa, siendo el primeroque considero el coseno y el seno como funciones. Hizo aportes significativos en el desarrollo del calculo diferencial e integralası como tambien, astronomıa, elasticidad y mecanica de medios contınuos. Mas detalles http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Euler.html

8Abraham de Moivre (26 mayo 1667 in Vitry-le-Francois, Francia; 27 noviembre 1754, Londres Inglaterra) Matematicofrances que tuvo que emigrar a Inglaterra por razones religiosas. Contemporaneo de Newton, Liebniz, Halley, fue pionero consus contribuciones en Geometrıa Analıtica y Teorıa de Probabilides.


http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Euler.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Euler.html


Identidades trigonometricas

La primera de las aplicaciones de la formula de De Moivre es para construir identidades trigonometricasen las cuales se expresa el coseno o el seno de factores de un angulo. Esto las siguientes (nada triviales)identidades trigonometricas

cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ o sen 3θ = 3 sen θ − 43

sen θ

para demostrar estas (y otras) identidades utilizamos la formula de De Moivre, es decir

cos 3θ + i sen 3θ = (cos θ + i sen θ)3

= cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ + i(3 cos2 θ sen θ − sen3 θ

)igualando ahora parte real e imaginaria tendremos

cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ

= cos3 θ − 3 cos θ(1− cos2 θ

)= 4 cos3 θ − 3 cos θ

sen 3θ = 3 cos2 θ sen θ − sen3 θ

= 3(1− sen2 θ

)sen θ − sen3 θ = 3 sen θ − 4

3sen θ

El metodo puede extenderse a expresiones de senos y cosenos de nθIgualmente podemos desarrollar un metodo para encontrar expresiones de potencias de funciones tri-

gonometricas en termino de funciones de factores de ’angulo del tipo (cos θ)n

= F (cosnθ, sennθ) . Paraempezar, supongamos que tenemos un numero complejo de modulo 1, de tal forma que

z = eiθ = cos θ + i sen θ ⇒

zn +

1

zn= 2 cosnθ

zn − 1

zn= 2 sennθ

. Estas identidades surgen de manera inmediata de

zn +1

zn= (cos θ + i sen θ)

n+ (cos θ + i sen θ)

−n= (cosnθ + i sennθ) + (cos (−nθ) + i sen (−nθ))

= cosnθ + i sennθ + cosnθ − i sennθ

zn +1

zn= 2 cosnθ

igualmente puede demostrarse la segunda de las afirmaciones anteriores. Ahora bien, supongamos ademasque n = 1, con lo cual se cumple que

z +1

z= eiθ + e−iθ = 2 cos θ y z − 1

z= eiθ − e−iθ = 2 sen θ

que tambien lo sabıamos desde la mas temprana edad de nuestros bachilleratos. Ahora bien, lo que quiza nosabıamos en esos entonces (y quiza ahora tampoco) es que a partir de aquı podemos construir

cos5 θ =1

25

(z +

1

z

)5

=1

25

[(z5 +

1

z5

)+

(5z3 +

5

z3

)+

(10z +

10

z

)]es decir

cos5 θ =1

25[2 cos 5θ + 10 cos 3θ + 20 cos θ]

de la misma manera se puede proceder con otras potencias y con potencias de la funcion seno.



Raıces de polinomios

La formula de De Moivre nos puede ayudar para la encontrar raıces de polinomios. Supongamos, paraempezar que queremos encontrar las n raıces de la ecuacion zn = 1. Para ello procedemos con el siguienteartificio

zn = 1 = cos (k2π) + i sen (k2π) = ei(k2π) con k = 0, 1, 2, ....

con lo cual las n raıces de la ecuacion zn = 1 seran

zn = 1 ⇒ z = ei(k2πn )

⇓

z

︷︸︸︷0 = 1; z1 = e2πi( 1

n ); z2 = e2πi( 2n ); z3 = e2πi( 3

n ); · · · zn−2 = e2πi(n−2n ); zn−1 = e2πi(n−1

n )

es decir n raıces corresponderan a los n valores de k = 0, 1, 2, · · ·n− 2, n− 1. Mayores valore de k no proveennuevas raıces.

Estas propiedades pueden extenderse a raıces de polinomios. Supongamos la siguiente ecuacion polinomicacon sus raıces:

z5 − z4 + 2z − 2 = 0 ⇒(z4 + 2

)(z − 1) = 0 ⇒

z4 + 2 = 0 ⇒ z4 = −2

z − 1 = 0 ⇒ z = 1

una vez mas

z4 = −2 ⇒ z4 = −2ei(k2π) ⇒ z = i4√

2ei(k2π

4 )

z0 = i4√

2; z1 = i4√

2eiπ2 = − 4

√2; z2 = i

4√

2eiπ = −i 4√

2; z3 = i4√

2ei3π2 =

4√

2

por lo tanto la ecuacion z5 − z4 + 2z − 2 = 0 tendra tres raıces reales y dos complejas

z5 − z4 + 2z − 2 = 0 ⇒ z0 = i4√

2; z1 = − 4√

2; z2 = −i 4√

2; z3 =4√

2; z4 = 1

Una afirmacion que nos han dicho y que quiza no sepamos de donde viene es que si un polinomiocon coeficientes reales tiene raıces complejas, ellas seran complejas conjugadas unas de otras. Vale decir siz5 − z4 + 2z − 2 = 0 tiene como raız z0 = i 4

√2 tambien tendra como raız z2 = −i 4

√2 y z0 = z∗2 . Esta

afirmacion se prueba de forma general si suponemos que tenemos una ecuacion

ai zi = 0 con i = 0, 1, 2, · · ·n− 1, n ⇒ a0 + a1 z + a2 z

2 · · ·+ an−1 zn−1 + an z

n = 0

donde los coeficientes a0, a, a2, · · · , an−1, an los suponemos reales, esto es ai = a∗i para todos los valores delındice i. Al tomar complejo conjugado a la ecuacion nos queda

a0 +a1 z+a2 z2 · · ·+an−1 z

n−1 +an zn = 0 ⇐⇒ a∗0 +a∗1 z

∗+a∗2 (z∗)2 · · ·+a∗n−1 (z∗)

n−1+a∗n (z∗)

n= 0

como los coeficientes son reales tenemos que

a0 +a1 z+a2 z2 · · ·+an−1 z

n−1 +an zn = 0 ⇐⇒ a0 +a1 z

∗+a2 (z∗)2 · · ·+an−1 (z∗)

n−1+an (z∗)

n= 0

que no dice otra cosa que si z es solucion tambien lo sera z∗ ya que la ecuacion es la misma por tener losmismos coeficientes (reales).



Ahora consideremos el siguiente polinomio complejo P (z) = z6 − z5 + 4z4 − 6z3 + 2z2 − 8z + 8 = 0. Sipor algun metodo comprobamos que (z3 − 2) es uno de sus factores, entonces podremos encontrar las raıcesdel polinomio P (z). Veamos:

Claramente si (z3 − 2) es un factor podemos expresar

P (z) = z6 − z5 + 4z4 − 6z3 + 2z2 − 8z + 8 = (z3 − 2)(z3 − z2 + 4z − 4) = (z3 − 2)(z − 1)(z2 + 4)

con lo cual, como z es complejo, hay que tener cuidado de las raıces encubiertas

z3 = 2 ⇒ (a+ ib)3 = 2 ⇒ a3 − 3ab2 + i(3a2b− b3) = 2 ⇒

a(a2 − 3b2) = 2

b(b2 − 3a2) = 0

⇔

a = − 13√4

b = ±√

33√4

es decir, las 6 raıces seran

z3 = 2 ⇒

z = 2

z = − 13√4

(1± i

√3) z = 1, z = ±2i

Logaritmos y potencias de numeros complejos

Definamos las siguiente funcionz = eiθ ⇐⇒ Ln z = iθ

donde Ln representara el logaritmo natural del numero complejo z. Notese que hemos utilizado Ln en lugarde tradicional ln y la razon es la ambiguedad implıcita en la notacion de Euler, vale decir

z = reiθ ⇐⇒ Ln z = ln r + i (θ + 2nπ) = ln r + iθ

en otras palabras, Ln z no es funcion por ser multivaluada. Se supera esta dificultad cuando se restringe elargumento −π < θ ≤ π y esta se conoce como el valor principal de la funcion Ln z = ln z.

Por ejemplo, al evaluar el

Ln (−3i) = Ln[3ei(

−π2 +2nπ)

]= ln 3 + i

(−π2

+ 2nπ

)con n = 0, 1, 2, · · ·

por lo tanto el valor principal del Ln (−3i) sera ln (−3i) = ln 3− iπ2 .Con la misma intuicion se procede con las potencias de numeros complejos. Si queremos evaluar z = i−5i

tendremos que proceder como sigue

z = i−5i ⇒ Ln (z) = Ln(i−5i

)= −5iLn (i) = −5iLn

[ei(

π2 +2nπ)

]=

con lo cual z = i−5i = e5(π2 +2nπ) ¡ es un numero real !

Para finalizar consideremos otro par de casos de potencias y logaritmos ii y ln(√

3 + i3)

. Entonces

ii =(

exp i(π

2+ 2nπ

))i= exp i2

(π2

+ 2nπ)

= exp(−π

2− 2nπ

)y para

ln

(√3 + i

3)

= 3 ln

(2 exp i

[arctan

1√3

])= 3

(ln 2 + i

[arctan

1√3

])= ln 8 + i

(π2

+ 6nπ)



1.11. Algunos ejemplos resueltos

1. Hemos definido como la posicion, ~R, del centro de masa para un sistema de N partıculas como

~R =ΣNi=1mi~riΣNj=1mj

donde ~ri corresponde con la posicion de la i−esima partıcula

Determine la posicion del centro de masa para un sistema de tres masas, mi = 1,2,3, colocadas en losvertices de un triangulo equilatero de lado l = 2

Solucion: Al colocar el origen de coordenadas en uno de los vertices y uno de los ejes de coordenadas sobre unode los lados. Entonces,

~R =Σ3i=1mi~ri

Σ3j=1mj

=m1~r1 +m1~r1

MT=

1 · 2ı + 3 ·(ı +√

3)

6=

5

6ı +

√3

2

2. Dada una base ortonormal ı, , k y los siguientes vectores

~a = 3ı + 2 + k ~b = 3ı− 2 + k ~c = ı− k

a) Comprobar si ~a,~b,~c forman base

Solucion: Para que los vectores formen base tienen que ser linealmente independientes. Esto es α~a+β~b+γ~c =0⇒ α = β = γ = 0 con lo cual

α(

3ı + 2 + k)

+ β(

3ı− 2 + k)

+ γ(

ı− k)

= 0⇒

3α+ 3β + γ = 02α− 2β = 0α+ β − γ = 0

y al resolver esl sistema se obtiene α = β = γ = 0 con lo cual se demuestra que son linealmenteindependientes

Otra manera de resolverlo es mostrar que ~c ·(~a×~b

)6= 0 y efectivamente

~c ·(~a×~b

)=

∣∣∣∣∣∣1 0 −13 2 13 −2 1

∣∣∣∣∣∣ = 4 6= 0

b) Si ~a,~b,~c forma base, exprese ~d = ı + 2 ~e = 3ı− 2 ~f = ~a×~b en termino de esa base ~a,~b,~c.De lo contrario, construya una base como ~a,~b,~a×~b y exprese los vectores ~d,~e, ~f en terminode esa nueva base

Solucion: Como forman base expresamos los vectores en termino esos terminos. Esto es

ı + 2 = α(

3ı + 2 + k)

+ β(

3ı− 2 + k)

+ γ(

ı− k)⇒

3α+ 3β + γ = 12α− 2β = 2α+ β − γ = 0

resolviendo tendremos que ~d = 58~a−

38~b+ 1

4~c. Seguidamente

3ı− 2 = α(

3ı + 2 + k)

+ β(

3ı− 2 + k)

+ γ(

ı− k)⇒

3α+ 3β + γ = 32α− 2β = −2α+ β − γ = 0



resolviendo tendremos que ~e = − 18~a+ 7

8~b+ 3

4~c

Ahora bien

~a×~b ≡(

3ı + 2 + k)×(

3ı− 2 + k)≡

∣∣∣∣∣∣ı k3 2 13 −2 1

∣∣∣∣∣∣ = 4ı− 12k

con lo cual

4ı− 12k = α(

3ı + 2 + k)

+ β(

3ı− 2 + k)

+ γ(

ı− k)⇒

3α+ 3β + γ = 42α− 2β = 0α+ β − γ = −12

y finalmente ~f = ~a×~b = −~a−~b+ 10~c

3. Utilizando la notacion de ındices demostrar que para cualquier trıo de vectores ~a,~b,~c se cumple que

~a× (~b× ~c) +~b× (~c× ~a) + ~c× (~a×~b) = 0

Solucion: En notacion de ındices

~a× (~b× ~c) +~b× (~c× ~a) + ~c× (~a×~b) = εlmiamεijkbjck + εlmibmεijkc

jak + εlmicmεijkajbk

con lo cual arreglando

εlmiεijkambjck + εlmiεijkbmc

jak + εlmiεijkcmajbk =(

δljδmk − δmj δlk

)amb

jck +(δljδ

mk − δmj δlk

)bmc

jak +(δljδ

mk − δmj δlk

)cma

jbk =

y ahora desarrollando los productos de δs, nos quedaakblck︸︷︷︸I

−akbkcl︸︷︷︸II

+

bkclak︸︷︷︸II

−bkckal︸︷︷︸III

+

ckalbk︸︷︷︸III

−ckakbl︸︷︷︸I

= 0

e indentificando termino a termino, notamos que se anula.

4. Una partıcula se mueve a lo largo de una curva descrita por

x(t) = 3t2 y(t) = 4t3 − t z(t) = t

a) Encuentre las expresiones para los vectores: posicion, velocidad y aceleracion de esa partıcula

Solucion:~r(t) = 3t2 ı + (4t3 − t) + tk ~v = 6tı + (12t2 − 1) + k ~a = 6ı + 24t

b) Encuentre las expresiones, mas generales, de los vectores tangentes y perpendiculares a todo apunto de la trayectoria de la partıcula

Solucion: Vector tangente a todo punto de la trayectoria es el vector velocidad

~v = 6tı + (12t2 − 1) + k

El perpendicular a todo punto, sera un vector ~b = bx ı + by + bz k, tal que

(6tı + (12t2 − 1) + k) · (bx ı + by + bz k) = 6tbx + (12t2 − 1)by + bz = 0

con lo cual~b = bx ı + by − (6tbx + (12t2 − 1)by)k



5. El campo de fuerzas del oscilador anarmonico anisotropo bidimensional se escribe como

~F = −k1x2 ı + k2y (1.2)

Encuentre el trabajo realizado,∫ (x2,y2)

(x1,y1)d~r · ~F a lo largo de las siguientes trayectorias

a) (1, 1)→ (4, 1)→ (4, 4)

Solucion: ∫ (4,1)

(1,1)

(ıdx) · (−k1x2 ı + k2 ) +

∫ (4,4)

(4,1)

(dy) · (−k116ı + k2y) = −21k1 +15k2

2

b) (1, 1)→ (1, 4)→ (4, 4)

Solucion: ∫ (1,4)

(1,1)

(dy) · (−k1ı + k2y) +

∫ (4,4)

(1,4)

(ıdx) · (−k1x2 ı + k24) = −21k1 +

15k2

2

c) (1, 1)→ (4, 4) para x = y

Solucion: ∫ (4,4)

(1,1)

(ıdx+ dx) · (−k1x2 ı + k2x) =

∫ (4,4)

(1,1)

(−k1x2 + k2x)dx = −21k1 +

15k2

2

6. Dados los siguientes puntos en el espacio (1, 0, 3); (2,−1, 0); (0,−1, 1); (−1, 0, 1).

a) Considere los tres primeros puntos. ¿ Estos tres puntos son coplanares ? ¿ por que ? De sercoplanares,

Solucion: Tres puntos en el espacio definen un plano, por lo tanto siempre seran coplanares

1) Encuentre el area del triangulo que tiene por vertices esos tres puntos

Solucion: Para ello seleccionamos uno de los puntos como un vertice privilegiado (digamos (2,−1, 0))respecto al cual construiremos dos vectores que representan dos de los lados del triangulo.Esto es

~a = (1, 0, 3)− (2,−1, 0)↔ ~a = −1ı + + 3k

y~b = (0,−1, 1)− (2,−1, 0)↔ ~b = −2ı + k

con lo cual, el area del vertice sera la mitad del area del paralelogramo que tiene por ladosestos dos vectores. Es decir

A =1

2‖~a×~b‖ ⇒ ~a×~b =

∣∣∣∣∣∣ı k−1 1 3−2 0 1

∣∣∣∣∣∣ = ı− 5 + 2k⇒ A =1

2‖ı− 5 + 2k‖ =

√30

2

2) Encuentre la ecuacion del plano que los contiene

Solucion: La ecuacion del plano vendra dada por

(~r − ~r1) · ((~r2 − ~r1)× (~r3 − ~r1)) = 0

donde~r = xı + y + zk, ~r1 = ı + 3k, ~r2 = 2ı− , ~r3 = − + k,



con lo cual la ecuacion del plano queda como∣∣∣∣∣∣(x− 1) y (z − 3)

1 −1 −3−1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ −(x− 1) + 5y − 2(z − 3) = 0 ⇒ x− 5y + 2z = 7

b) Considere los cuatro puntos ¿ Estos cuatro puntos son coplanares ? ¿ por que ? De NO sercoplanares, encuentre la distancia del cuarto punto al posible plano que contiene a los otros tres.

Solucion: Para verificar si el cuarto punto esta en el plano, verificamos si cumple la ecuacion que lo define

(−1)− 5(0) + 2(1) 6= 7

los cuatro puntos no son coplanares. Para calcular la distancia del cuarto punto al plano construyoel vector unitario normal al plano

~nP =~a×~b‖~a×~b‖

=1√30

(ı− 5 + 2k

)d = ~nP · ~c =

1√30

(ı− 5 + 2k

)·(−3ı + + k

)con lo cual la distancia al cuarto punto sera

d = ~nP · ~c =1√30

(ı− 5 + 2k

)·(−3ı + + k

)= − 6√

30

7. Considere los siguientes tres vectores

~w1 = ı + 3k ~w2 = 2ı− 3 ~w3 = − + k

a) ¿ Forman una base para R3? Explique detalladamente

Solucion: Son linealmente independientes, estos es

α~w1 + β ~w2 + γ ~w3 = 0 ⇒ α = β = γ = 0

que se comprueba directamente al resolver

α +2β = 0−3β −γ = 0

3α +γ = 0

b) Si es que forman base, exprese el vector ~a = ı− 3 + 3k en la posible base ~w1, ~w2, ~w3Solucion: Como son linealmente independientes, forman base, con lo cual cualquier vector puede ser expre-

sado como combinacion lineal de estos tres. Eso es:

~a = α~w1 + β ~w2 + γ ~w3 ⇒

α +2β = 1−3β −γ = −3

3α +γ = 3

⇒

α = 1

3

β = 13

γ = 2

8. Utilizando la notacion de ındices muestre si se cumple la siguiente identidad

~∇×(~a×~b

)= ~a

(~∇ ·~b

)−~b

(~∇ · ~a

)+(~b · ~∇

)~a−

(~a · ~∇

)~b



Solucion:~∇×

(~a×~b

)= εijk∂j(εklma

lbm) = (δilδjm − δimδ

jl )∂j(a

lbm) = ∂m(aibm)− ∂l(albi)

expandiendo la derivada

~∇× (~a×~b) = bm∂m(ai) + ai∂m(bm)− bi∂l(al)− al∂l(bi) ≡ (~b · ~∇)~a+ (~∇ ·~b)~a− (~∇ · ~a)~b− (~a · ~∇)~b

9. La trayectoria de un punto en el plano vista por un observador 1 es

~r1(t) = 5 cos 3t2 ı + 5 sen 3t2

a) Exprese las aceleraciones radiales y tangenciales de esta partıcula

Solucion: Es claro que la partıcula describe un movimiento circular donde θ(t) = 3t2

~r(t) = 5ur ⇒ ~v(t) =d~r(t)

dt= 5

dθ(t)

dtuθ = 30t uθ ⇒ ~a(t) =

d~a(t)

dt= 30 uθ − 30t ur

b) Considere ahora un segundo observador, el cual describe una trayectoria respecto al primerorepresentada por

~r21(t) = (t3 − 4t)ı + (t2 + 4t)

Encuentre las expresiones para los vectores posicion, velocidad y aceleracion de la partıcula me-didos respecto al segundo observador

Solucion: La trayectoria de la partıcula respecto al segundo observador sera

~r2(t) = ~r1(t)− ~r21(t) = 5 cos 3t2 ı + 5 sen 3t2 − ((t3 − 4t)ı + (t2 + 4t) )

con lo cual~r2(t) = (5 cos 3t2 − (t3 − 4t))ı + (5 sen 3t2 − (t2 + 4t))

entonces

~v2(t) =d~r2(t)

dt= (30t cos 3t2 − (3t2 − 4))ı + (30t sen 3t2 − (2t+ 4))

y

~a2(t) =d~v2(t)

dt= (30 cos 3t2 − 180tt sen 3t2 − 6t)ı + (30 sen 3t2 − 180t2 cos 3t2 − 2)

10. El campo de fuerzas del oscilador armonico anisotropo bidimensional se escribe como

~F = −k1xi+ k2yj

Encuentre el trabajo realizado,∫ (x2,y2)

(x1,y1)d~r · ~F a lo largo de las siguientes trayectorias

Solucion: En general∫ (4,4)

(1,1)

d~r · ~F =

∫ (4,4)

(1,1)

(dx ı + dy ) ·(−k1xi+ k2yj

)= −

∫ (4,4)

(1,1)

dx k1x+

∫ (4,4)

(1,1)

dy k2y

a) (1, 1)→ (4, 1)→ (4, 4)∫ (4,4)

(1,1)

d~r · ~F = −∫ (4,1)

(1,1)

dx k1x+

∫ (4,4)

(4,1)

dy k2y = − 1

2k1x

2

∣∣∣∣41

+1

2k2y

2

∣∣∣∣41

=15

2(k2 − k1)



b) (1, 1)→ (1, 4)→ (4, 4)∫ (4,4)

(1,1)

d~r · ~F =

∫ (1,4)

(1,1)

dy k2y −∫ (4,4)

(1,4)

dx k1x =1

2k2y

2

∣∣∣∣41

− 1

2k1x

2

∣∣∣∣41

=15

2(k2 − k1)

c) (1, 1)→ (4, 4) para x = y∫ (4,4)

(1,1)

d~r · ~F =

∫ 4

1

dx (k2 − k1)x =1

2(k2 − k1)x2

∣∣∣∣41

=15

2(k2 − k1)



Figura 1.7: Las 5 redes de Bravais bidimensionales fundamentales: 1 Oblicuas, 2 rectangular, 3 rectangu-lar centrada (rombica), 4 hexagonal, y 5 cuadrada. Figura tomada de http://en.wikipedia.org/wiki/

Bravais_lattice

1.12. Algunos ejercicios propuestos

1. Auguste Bravais9 se dio cuenta que replicando un arreglo geometrico muy simple, se puede describiruna estructura cristalina. Dicho de otro modo, que conociendo una celda simple, podemos conocer laestructura cristalina. Esto es que las posiciones de los atomos en una red cristalina puede ser descritapor un vector ~R = a + b + c = n1a1 + n2a2 + n3a3 = niai donde los ai son vectores no copleares(vectores primitivos o, simplemente en nuestro lenguaje, vectores base). Estos vectores Los ni sonnumeros enteros (negativos, cero o positivos). La posicion de cada atomo de un cristal puede serdescrita como reescalamiento (discretos) de este vector generico, o mas preciso la traslacion del origende coordenadas por un vector. Ese concepto se conoce como redes de Bravais10. En cada red puedehaber varios vectores primitivos11. Se puede definir la celda primitiva como la estructura mınima quereplicada reproduce todo el cristal. Vale decir la estructura cristalina es invariante bajo traslacionesespaciales del tipo ~R′ = ~R+ ~T con ~T = miai

a) Redes de Bravais bidimensionales. Tal y como muestra la Figura 1.7 existen 5 tipos distintosde redes de Bravais bidimensionales.

1) Dada la red bidimensional de la Figura 1.8 encuentre todos los posibles vectores primitivos yceldas primitivas asociadas.

2) La humanidad ha estado seducida por la geometrıa desde que empezo a representar figuras.A partir de las cuatro imagenes que se ilustran en la Figura 1.9, encuentre todos los posiblesvectores y celdas primitivas asociadas.

3) Maurits Cornelis Escher12 es un fenomenal dibujante holandes, quien se interes por las si-

9http://en.wikipedia.org/wiki/Auguste_Bravais10http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice11http://www.engr.sjsu.edu/rkwok/Phys175A/Chapter%201.pdf12http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher


http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice


http://en.wikipedia.org/wiki/Auguste_Bravais


http://www.engr.sjsu.edu/rkwok/Phys175A/Chapter%201.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher


Figura 1.8: Red cristalina bidimensional. Encuentre todos los posibles vectores y celdas primitivas asociadas

Figura 1.9: Cuatro detalles geometricos. Cuadrante I: Mural egipcio. Cuadrante II: Mural Mural Asirio.Cuadrante III: Tejido Tahitı. Cuadrante IV: Ilustracion en pieza de porcelana china. Tomado de http:

//en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group


http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group

http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group


Figura 1.10: Teselados de M.C. Escher, tomados de http://www.wikipaintings.org/en/

paintings-by-genre/tessellation?firstArtist=m-c-escher#artist-m-c-escher

metrıas de los grupos de imagenes de papel tapiz. Berend, hermano de Maurits, era cris-talografo y le mostro la belleza de las simetrıas de la naturaleza. En las cuatro obras delgenero de Teselado13 de M.C. Escher, presentadas en la Fig 1.10 encuentre todos los posiblesvectores y celdas primitivas asociadas.

b) Redes de Bravais Tridimensionales. Este tipo de redes complica un poco mas el escenario.Se puede demostrar que existen 14 de estas redes, tal y como se muestran en la Figura 1.11

Muestre que los volumenes de ocupacion atomica, para los sistemas Monoclınico, Triclınico,Ortorombico, Tetragonal, Romboedrico, exagonal y cubico, corresponden a las expresionesque se muestran en la Figura 1.11.

El sistema cubico es el mas simple corresponde a un sistema con un unico parametro de reda = |a|, ya que a = b = c. Ademas, una posible descripcion, para el caso mas simple, es

a = i; b = j; c = h, los tres vectores cartesianos ortogonales. Existen otros sistemas quetambien estan asociados al cubico. Estos son el sistema cubico cara centrada (fcc por sussiglas en ingles) y cubico cuerpo centrado (bcc). En el primero existen atomos en el centro decada una de las caras del cubo definido por la trıada, a = b = c. En el sistema fcc se anadeun atomo la centro del cubo simple.

1) Muestre que un sistema bcc tambien puede ser descrito por los vectores primitivos: a = ai,

b = aj y c = a(i+ j + k)/2. Dibuje la celda primitiva y calcule su volumen.

2) Muestre que un sistema bcc tambien puede ser descrito por los vectores primitivos: a =

13http://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation


http://www.wikipaintings.org/en/paintings-by-genre/tessellation?firstArtist=m-c-escher#artist-m-c-escher

http://www.wikipaintings.org/en/paintings-by-genre/tessellation?firstArtist=m-c-escher#artist-m-c-escher

http://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation


Figura 1.11: Las 14 Redes de Bravais Tridimensionales y las estructuras cristalinas asociadas. Tomado dehttp://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice

a(j+ k− i)/2, b = a(k+ x− j)/2 y c = a(i+ j− k)/2. Dibuje la celda primitiva y calculesu volumen.

3) Muestre que un sistema fcc tambien puede ser descrito por los vectores primitivos: a =

a(j + k)/2, b = a(i+ k)/2 y c = a(i+ j)/2. Otra vez, dibuje la celda primitiva y calculesu volumen.

Se puede definir la red recıproca como

a′ =b× c

a · (b× c); b′ =

c× a

a · (b× c); y c′ =

a× b

a · (b× c);

De esta manera es claro que, por construccion, a′ · b = a′ · c = 0 y ademas a′ · a = 1 Conlo cual podemos generalizarlo como e’i · ej = δij . Exprese los vectores y las celdas recıprocaspara los sistemas cubico simple, y los distintos bcc y fcc. Calcule ademas el volumen de cadacelda recıproca.

2. Considerando que

~r = x i + y j + z k = xmem,

~A = ~A(~r) = ~A(x, y, z) = Al(x, y, z)el y ~B = ~B(~r) = ~B(x, y, z) = Bi(x, y, z)ei

φ = φ(~r) = φ(x, y, z) y ψ = ψ(~r) = ψ(x, y, z)

usando la notacion de ındices e inspirandose en las secciones 1.7.3, 1.9.5 y 1.11, muestre las siguientesidentidades vectoriales

a) ~∇(φψ) = φ~∇ψ + ψ~∇φb) ~∇ · (φ ~A) = φ~∇ · ~A+ (~∇φ) · ~A




c) ~∇× ~∇φ = 0 y tambien ~∇ · (~∇× ~A) y ¿ que puede decir de ~∇× (~∇ · ~A) ?

d) ~∇ · ( ~A× ~B) = (~∇× ~A) · ~B + ~A× (~∇× ~B)

e) ~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)− ~∇2 ~A

3. Una partıcula se mueve bajo la ley ~r(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k con

x(t) = 2t2; y(t) = t2 − 4t; z(t) = 3t− 5.

El parametro t representa el tiempo. Encuentre las expresiones para la aceleracion y la velocidad de lapartıcula, para t = 1 y en la direccion del vector i− 3j + 2k

4. Suponga ahora el caso general de una partıcula que se mueve en una curva descrita por ~r(t) = x(t)i+

y(t)j + z(t)k. Muestre que el vector velocidad es tangente a la trayectoria descrita

5. Encuentre la ecuacion vectorial para una trayectoria recta que pasa por los puntos P → (1, 2, 3) yQ→ (1, 1, 1)

6. Encuentre el angulo entre los siguientes planos x+ y + z = 9 y x+ y − z = 3.

7. Un fluido se considera irrotacional si su campo de velocidades ~v = ~v(~r) = ~v(x, y, t) cumple con la

ecuacion ~∇× ~v = 0. Suponga, ahora que ~v = (x+ 2y + az)i+ (bx− 3y − z)j + (4x+ cy + 2z)k

a) Encuentre el valor de a, b y c para que este campo de velocidades sea irrotacional

b) Es intuitivo convencerse que si ~∇ × ~v = 0 ⇒ ~v = ~∇ψ. Encuentre expresion para la funcionpotencial ψ = ψ(~r) = ψ(x, y, z)

c) Considere la siguiente integral I =∫C d~r · ~v. Donde C es el circuito a recorrer.

1) Calcule el valor de la integral I a lo largo del siguiente trayecto de (0, 0, 0)→ (1, 1, 0) medianteuna segmento de recta. Luego, de (1, 1, 0) → (2, 0, 0) a lo largo de otro segmento de recta.Finalmente regresando (2, 0, 0)→ (0, 0, 0) tambien siguiendo una recta.

2) Ahora calcule el valor de la integral I de (0, 0, 0)→ (2, 0, 0) a lo largo de un arco de circunfe-rencia que cumple con la ecuacion (x−1)2 +y2 = 1 regresando de (2, 0, 0)→ (0, 0, 0) tambiena traves de una recta.

3) ¿ que puede concluir del campo ~v

8. Dos funciones complejas Z1(t) y Z2(t) cumplen con las siguientes ecuaciones

dZ∗1dt

==−i

Z1 − Z2y

dZ∗2dt

==−i

Z2 − Z1

Muestre que las siguientes cantidades son constantes.

Z1 + Z2

|Z1 − Z2||Z1|2 + |Z2|2

9. Considere la siguiente ecuacion

z7 − 4z6 + 6z5 − 6z4 + 6z3 − 12z2 + 8z + 4 = 0

Encuentre sus raıces sabiendo que z3 = 2.



10. Muestre que la expansion binomial puede ser escrita como

(1 + x)n =

n∑m=0

Am(n) xm con Am(n) =n!

m!(n−m)!

Si esta convencido de la expansion anterior, considere ahora una parecida:(1 + eiθ

)ny muestre que

n∑m=0

Am(n) cos(nθ) = 2n cosn(θ

2

)cos

(nθ

2

)y

n∑m=0

Am(n) sen(nθ) = 2n cosn(θ

2

)sen

(nθ

2

)11. Las funciones hiperbolicas se definen como

cosh(x) =ex + ex

2y senh(x) =

ex + ex

2

y de manera analoga a las funciones trigonometricas tendremos el resto de funciones

tanh(x) =senh(x)

cosh(x); sech(x) =

1

cosh(x); csech(x) =

1

senh(x); ctanh(x) =

1

tanh(x);

a) Muestre las siguientes equivalencias

cosh(x) = cos(ix), i senh(x) = sen(ix), cos(x) = cosh(ix) y i sen(x) = senh(x)

b) Muestre las siguientes identidades

cosh2(x)− senh2(x) = 1; sech2(x) = 1− tanh2(x); cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x)

c) Resuelva las siguientes ecuaciones hiperbolicas

cosh(x)− 5senh(x)− 5 = 0, 2 cosh(4x)− 8 cosh(2x) + 5 = 0 y cosh(x) = senh(x) + 2sech(x)

d) La posicion de una partıcula vista desde dos observadores relativistas O y O puede expresarse entermino de funciones hiperbolicas como

xµ = Lµν xν con µ, ν = 0, 1 y Lµν =

(cosh(φ) −senh(φ)senh(φ) cosh(φ)

)Encuentre la matriz Lµν tal que xν = Lνµ x

µ

Muestre que ds2 = (x0)2 − (x1)2 = (x0)2 − (x1)2



1.13. Vectores y MAPLE


Bibliografıa

[1] Arfken, G. B.,Weber, H., Weber, H.J. (2000) Mathematical Methods for Physicists 5ta Edicion(Academic Press, Nueva York)

[2] Borisenko, A.I, y Tarapov I.E. (1968) Vector and Tensor Analisys (Dover Publications Inc, NuevaYork)

[3] Dennery, P. y Krzywicki, A. (1995) Mathematics for Physicists (Dover Publications Inc, Nueva York)

[4] Harper, C. (1971) Introduction to Mathematical Physics (Prentice Hall, Englewood Cliff, N.J:)

[5] Hassani, S. (1991) Foundations of Mathematical Physics (Prentice Hall, International Edition,London:

[6] Hauser, W (1971) Introduction to Principles of Electromagnetism (Addison-Wesley Pub CoReading)

[7] Riley, K.F., Hobson, M.P. y Bence, S.J. (2002) Mathematical Methods for Physics and Enginee-ring (Cambridge University Press)

[8] Santalo, L.A (1969) Vectores y Tensores (Editorial Universitaria, Buenos Aires)

[9] Schutz, B. (1980) Geometrical Methods in Mathematical Physics (Cambridge University Press,Londres)

[10] Spiegel, M. (1959) Vector Analysis (Schaums Outline Series, McGraw Hill New York)

64

Capıtulo 2

Espacios Vectoriales Lineales

65


2.1. Grupos, Campos y Espacios Vectoriales

2.1.1. Grupos

Considere el siguiente conjunto G = g1, g2, g3, · · · , gn, · · · y la operacion entonces estos elementosforman un grupo abeliano1 respecto a la operacion si ∀gi ∈ G

1. Cerrada respecto a la operacion : gi,∈ G, gj ∈ G ⇒ ∃gk = gi gj ∈ G

2. Asociativa respecto a la operacion : gk (gi gj) = (gk gi) gj

3. Existencia de un elemento neutro: ∃1 ∈ G 3 gi 1 = gi = 1 gi

4. Existencia de un elemento inverso: gi,∈ G⇒ ∃g−1i ∈ G 3 gi g−1

i = g−1i gi = 1

5. Conmutativa respecto a la operacion : gi gj ≡ gj gi

Si solo se cumplen las cuatro primeras, entonces se dice que simplemente forman grupo respecto a laoperacion . Se pueden definir subgrupos

Ejemplos: Seran grupo:

Los enteros Z = · · · − 3− 2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · respecto a la suma pero no respecto a la multiplicacion(excluyendo el cero) por cuanto no existe inverso.

Los racionales respecto a la suma y a la multiplicacion

Las rotaciones en 2 Dimensiones (2D), sin embargo las rotaciones en 3D forman grupo no-abeliano.

Dado un grupo de tres elementos, G = 1, a, b y la operacion , por construccion si queremosque la operacion de dos de los elementos provea un tercero distinto, entonces la uNICA “tabla demultiplicacion” posible sera: 1 a b1 1 a ba a b 1b b 1 a

Ejercicio

1. Sea S el conjunto de todos los numeros reales excluyendo −1 y defina la operacion

a b = a+ b+ ab

donde + es la suma estandar entre numeros reales.

a) Muestre que [S,] forman grupo

b) Encuentre la solucion en S para la ecuacion 2 x 3 = 7

1NIELS HENRIK ABEL, (1802-1829 Noruega) Pionero en el desarrollo de diferentes ramas de la matematica moderna, Abelmostro desde su infancia un notable talento para el estudio de las ciencias exactas. Tal predisposicion se verıa muy prontoconfirmada por sus precoces investigaciones sobre cuestiones de algebra y calculo integral, en particular sobre la teorıa de lasintegrales de funciones algebraicas (a las que se denominarıa abelianas en honor de su formulador) que no habrıa de publicarsehasta 1841, doce anos despues de su fallecimiento. En 2002 el gobierno noruego lanzo el premio Abel que llenara el vacıo queexiste en la premiacion Nobel del gobierno sueco, en el cual no existe premiacion para la comunidad matematica.

Mas detalles http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians


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2.1.2. Campo

Definiremos como un campo como el conjunto F = f1, f2, f3, · · · , fn, · · · sobre el cual estan definidasdos operaciones suma, +, y multiplicacion, ·, y que satisfacen las siguientes propiedades

1. Forman un grupo abeliano respecto a la suma, +,con el elemento neutro representado por el cero, 0.

2. Forman un grupo abeliano respecto a la multiplicacion, ·. Se excluye el cero, 0 y se denota el elementoneutro de la multiplicacion como 1.

3. Es distributiva respecto a la suma, + : Dados fi, fj y fk se tiene quefi · (fj + fk) = fi · fj + fi · fk

Ejemplos tıpicos de campos lo constituyen los racionales Q, los numeros reales R y los numeros complejosC. Normalmente se refiere estos campos como Campos Escalares

2.1.3. Espacios Vectoriales Lineales

Sea el conjunto de objetos V = |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · |vi〉 · · · se denominara V un espacio vectoriallineal y sus elementos |vi〉 vectores, si existe definida una operacion suma, , respecto a la cual los elementos|vi〉 ∈ V de forman un grupo abeliano y una operacion multiplicacion por un numero escalar de un campo,K = α, β, γ · · · tal que:

1. La operacion suma es cerrada en V : ∀ |vi〉 , |vj〉 ∈ V⇒|vk〉 = |vi〉 |vj〉 ∈ V

2. La operacion suma es conmutativa y asociativa

a) ∀ |vi〉 , |vj〉 ∈ V⇒|vi〉 |vj〉 = |vj〉 |vi〉b) ∀ |vi〉 , |vj〉 , |vk〉 ∈ V⇒ (|vi〉 |vj〉) |vk〉 = |vj〉 (|vi〉 |vk〉)

3. Existe un unico elemento neutro: ∃! |0〉 3 |0〉 |vj〉 = |vj〉 |0〉 = |vj〉 ∀ |vj〉 ∈ V

4. Existe un elemento simetrico para cada elemento de V :∀ |vj〉 ∈ V ∃ |−vj〉 3 |vj〉 |−vj〉 = |0〉

5. α (β |vi〉) = (αβ) |vi〉

6. (α+ β) |vi〉 = α |vi〉+ β |vi〉

7. α (|vi〉 |vj〉) = α |vi〉 α |vj〉

8. 1 |vi〉 = |vi〉

Es inmediato notar que podemos definir subespacios vectoriales dentro de los espacios vectoriales. Ellosseran aquellos conjuntos de vectores que cumplan con los requisitos anteriores pero ademas sean cerradodentro de los esos mismos conjuntos de vectores.



Ejemplos

Seran ejemplos de espacios vectoriales

1. Los numeros reales y complejos con el campo de reales o complejos y definidas las operaciones ordinariasde suma y multiplicacion. V ≡ R; ⇒ +; |v〉 ≡ x; K ≡ R.V ≡ C; ≡ +; |vi〉 ≡ x+ iy; K ≡ R.Si el campo K es el conjunto de los numeros reales se dira que es un espacio vectorial real de numerosreales si V ≡ R y si V ≡ C se dira un espacio vectorial real de numeros complejos. Por su parte siK ≡ C diremos que es un espacio vectorial complejo de numeros reales ( si V ≡ R) o complejos (V ≡ C ). Siempre se asociara el campo de escalares al espacio vectorial. Se dira que es un espaciovectorial sobre el campo de los escales. Si el campo es real (complejo) se dira que el espacio vectoriales real (complejo).

2. El espacio V ≡ Rn = R × R × · · · × R, vale decir el producto cartesiano de R, cuyos elementos sonn−uplas de numeros, con la operacion suma ordinaria de vectores en n-dimensionales y la multiplicacionpor escalares.

|x〉 = (x1, x2, x3, · · ·xn) ∧ |y〉 = (y1, y2, y3, · · · , yn)

|x〉 |y〉 ≡ (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, · · ·xn + yn)

α |x〉 = (αx1, αx2, αx3, · · ·αxn)

Este espacio vectorial es de dimension finita. Igualmente, sera espacio vectorial Cn = C×C× · · · ×Cpara el cual los elementos xi ∈ C. Si para este caso el campo sobre el cual se define el espacio vectorialCn es real, tendremos un espacio vectorial real de numeros complejos. Es obvio que el caso V ≡ R parael cual |x〉1 = (x1, 0, 0, · · · , 0) y |y〉1 = (y1, 0, 0, · · · , 0) o cualquier espacio de vectores formados porlas componentes, i.e. |x〉i = (0, 0, 0, · · · , xi, · · · 0) y |y〉i = (0, 0, 0, · · · , yi, · · · 0) formaran subespaciosvectoriales dentro de Rn

3. El espacio E∞ constituido por vectores |x〉 = (x1, x2, x3, · · ·xn, · · · ) contables pero con infinitas com-ponentes.

|x〉 = (x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ) ∧ |y〉 = (y1, y2, y3, · · · , yn, · · · )|x〉 |y〉 ≡ (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, · · · , xn + yn, · · · )

α |x〉 = (αx1, αx2, αx3, · · · , αxn, · · · )

con la restriccion que

lımn→∞

n∑k=1

xi = L con L finito

4. Para el conjunto de la matrices n× n reales o complejas con el campo K real o complejo.

|x〉 = Mab ∧ |y〉 = Nab

|x〉 |y〉 ≡Mab +Nab = (M +N)abα |x〉 = αMab = (αM)ab

Es tambien obvio que se podran formar subespacios vectoriales cuyos elementos sean matrices dedimension menor a n× n



5. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales P =ao, a1x, a2x

2, · · · , anxn, · · ·

con la suma ordinaria entre polinomios y la multiplicacion ordinaria de polinomios con escalares

6. Espacios Funcionales (de los cuales lo polinomios son un caso particular) En estos espacios los vectoresseran funciones, la suma sera la suma ordinaria entre funciones y la multiplicacion por un escalartambien sera la multiplicacion ordinaria de una funcion por un elemento de un campo

|f〉 = f (x) ∧ |g〉 = g (x)

|f〉 |g〉 ≡ f (x) + g (x) ≡ (f + g) (x)

α |f〉 = (αf) (x) ≡ αf (x)

Con este esquema vemos otros ejemplos

a) El conjunto de todas las funciones continuas e infinitamente diferenciables, definidas en el intervalo[a, b] : C∞[a,b]

b) El conjunto de todas las funciones complejas de variable real, ψ (x) , definidas en [a, b] , de cua-

drado integrable (es decir para las cuales∫

[a,b]dx ‖ψ (x)‖2 sea finita). Este espacio se denomina

comunmente L2 y pueden ser definidas en un rango [a, b] finito o infinito y para mas de unavariable.

Ejercicios

Muestre que tambien seran espacios vectoriales

1. El conjunto de todas las funciones f = f (x) definidas en x = 1 con f (1) = 0. Si f (1) = c, ¿ tendremosigual un espacio vectorial ? ¿ por que ?

2. Los vectores (x, y, z) ∈ V3 tal que sus componentes satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones alge-braico

a11x+ a12y + a13z = 0

a21x+ a22y + a23z = 0

a31x+ a32y + a33z = 0

La importancia de la conceptualizacion y la notacion

En los ejemplos antes mencionados hemos utilizado para representar un vector abstracto la notacion de|v1〉 y con ellos construimos un espacio vectorial abstracto V = |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 , · · · , |vn〉 . Un espaciovectorial abstracto sera un conjunto de elementos genericos que satisfacen ciertos axiomas. Dependiendo delconjunto de axiomas tendremos distintos tipos de espacios abstractos. En matematica el concepto de espaciosabstracto es reciente (1928) y, aparentemente, se le debe a Maurice Frechet2. La teorıa resulta de desarrollarlas consecuencias logicas que resultan de esos axiomas. Los elementos de esos espacios se dejan sin especificara proposito. Ese vector abstracto puede representar, vectores en Rn, matrices n×n o funciones continuas. Lanotacion |v1〉, que se denomina un ket y al cual corresponde un bra 〈v2| proviene del vocablo ingles braketque significa corchete y sera evidente mas adelante cuando construyamos escalares braket 〈v2| |v1〉 . Esta utilnotacion la ideo Paul Dirac3, uno de los fısicos mas influyentes en el desarrollo de la fısica del siglo pasado

2MAURICE FReCHET (1878 Maligny, Yonne, Bourgogne-1973 Parıs, Francia). Versatil Matematico Frances, con importan-tes contribuciones en Espacios Metricos, Topologıa y creador del concepto de espacios abstractos.

Mas detalles http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/3PAUL ADRIEN MAURICE DIRAC (1902 Bristol, Inglaterra 1984-Tallahassee, EE.UU) Ademas de contribuir de manera

determinante en la comprension de la Mecanica Cuantica, es uno de los creadores de la Mecanica Cuantica Relativista la cual


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2.2. Metricas y Espacios Metricos

El siguiente paso en la dotacion de propiedades de los espacios lineales lo constituye la idea de metrica odistancia entre sus elementos. El concepto de metrica surge de la generalizacion de la idea de distancia entredos puntos de la recta real.

Un Espacio vectorial sera metrico si podemos definir una funciond : V ×V→ R 3 ∀ |x〉 , |y〉 , |z〉 ∈ V se cumple que

1. d (|x〉 , |y〉) ≥ 0 si d (|x〉 , |y〉) = 0⇒ |x〉 ≡ |y〉

2. d (|x〉 , |y〉) ≡ d (|y〉 , |x〉)

3. d (|x〉 , |y〉) ≤ d (|x〉 , |z〉) + d (|y〉 , |z〉) La desigualdad Triangular

Ası, diremos que (V,K,; d) es un espacio vectorial, lineal, metrico.

Ejemplos

1. Espacios Euclidianos reales Rn

a) Para R, es decir la recta real, la definicion de metrica es d (|x〉 , |y〉) ≡ |x− y|b) Para R2, es decir el plano, una definicion de metrica es

d (|x〉 , |y〉) ≡√

(x1 − y1)2

+ (x2 − y2)2. Tambien podemos construir otra definicion de metrica

como d1 (|x〉 , |y〉) ≡ |x1 − y1|+ |x2 − y2| . Es claro como el mismo espacio vectorial genera variosespacios metricos, dependiendo de la definicion de metrica

c) En general para Espacios Euclidianos reales Rn una posible definicion de metrica sera d (|x〉 , |y〉) ≡√(x1 − y1)

2+ (x2 − y2)

2+ (x3 − y3)

2+ · · ·+ (xn − yn)

2

2. Espacios Unitarios n−dimensionales, o Espacios Euclidianos complejos, Cn, la definicion de distanciapuede construirse como

d (|x〉 , |y〉) ≡√|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2 + |x3 − y3|2 + · · ·+ |xn − yn|2 y es claro que se recobra la idea

de distancia en el plano complejo: d (|x〉 , |y〉) ≡ |x− y|

3. Para los Espacios Funcionales C∞[a,b] una posible definicion de distancia seria

d (|f〉 , |g〉) ≡ maxt∈[a,b] |f (t)− g (t)|

Es importante destacar que las definiciones de distancia arriba propuesta son invariante con traslacionesde vectores. Esto es: |x〉 = |x〉+ |a〉 ∧ |y〉 = |y〉+ |a〉, entoncesd (|x〉 , |y〉) ≡ d (|x〉 , |y〉) .

2.3. Normas y Espacios Normados

La idea de distancia, de metrica, es el equipamiento mas elemental que uno le puede exigir a un espaciovectorial. Mucho mas interesante aun son aquellos espacios vectoriales que estan equipados con la idea denorma y a partir de allı se define la idea de distancia. La norma tiene que ver con el “tamano” del vector y

ayudo a comprender el papel que juega el espın en las partıculas subatomicas. Por sus importantes trabajos compartio conErwin Schrodinger el Premio Nobel de fısica en 1933.

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la metrica tiene que ver con la distancia entre vectores. Cuando definimos la metrica a partir de la norma,vinculamos las propiedades algebraicas del espacio con sus propiedades geometricas.

La norma, ‖|vi〉‖ ≡ n (|vi〉) de un espacio vectorial V = |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · |vn〉 sera una funcionn: V→ R3 ∀ |vi〉 ∈ V se cumple que

1. n (|vi〉) ≡ ‖|vi〉‖ ≥ 0 si ‖|vi〉‖ = 0⇒ |vi〉 ≡ |0〉

2. n (α |vi〉) ≡ ‖α |vi〉‖ = |α| ‖|vi〉‖

3. ‖|x〉+ |y〉‖ ≤ ‖|x〉‖+ ‖|y〉‖ Desigualdad Triangular.

La definicion de norma induce una metrica de la forma d (|x〉 , |y〉) ≡ ‖|x〉 − |y〉‖ . Se denota en este casoun espacio vectorial normado como (V,K,; ‖·‖) y tambien se le conoce como un Espacio de Banach. Elconcepto de espacio vectorial normado fue formulado en 1922 de manera independiente por S. Banach4, H.Hahn y N Wiener

Ejemplos

1. Espacios Euclidianos reales, Rn y Espacios Euclidianos Complejos CnPara estos espacios de Banach, la norma se define como

‖|x〉‖ =

√|x1|2 + |x2|2 + |x3|2 + · · ·+ |xn|2 =

(n∑i=1

|xi|2) 1

2

es claro que para un espacio Euclidiano R3se cumple que ‖|x〉‖ =√x2

1 + x22 + x2

3 por lo tanto la idea denorma generaliza la nocion de “tamano” del vector |x〉 . Tambien es claro que la definicion de distanciase construye a partir de la norma de la forma

d (|x〉 , |y〉) ≡ ‖|x〉 − |y〉‖ =

√|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2 + |x3 − y3|2 + · · ·+ |xn − yn|2

2. Para el Espacio Lineal de matrices n × n reales o complejas con el campo K real o complejo, unadefinicion de norma es

‖M‖ =

m∑a=1

n∑b=1

|Mab|

y la correspondiente definicion de distancia

d (|x〉 , |y〉) ≡ ‖M −N‖ =

m∑a=1

n∑b=1

|Mab −Nab|

3. Para los Espacios Funcionales C∞[a,b] una posible definicion de norma serıa:

‖|f〉‖ = maxt∈[a,b]

|f (t)|

otra posible definicion serıa

‖|f〉‖ =

(∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2) 1

2

4Stefan Banach (1892 Kracovia, Polonia-1945 Lvov,Ucrania) Matematico polaco, uno de los fundadores del Analisis Fun-cional Moderno, con sus mayores contribuciones a la teorıa de espacios topologicos. Hizo tambien importantes aportes a lateorıa de la Medida, Integracion y Teorıa de conjuntos y Series Ortogonales.





2.4. Producto Interno y Espacios de Hilbert

El siguiente paso en la construccion de espacios vectoriales mas ricos es equiparlo con la definicion deproducto interno y a partir de esta definicion construir el concepto de norma y con este el de distancia. Laidea de producto interno generaliza el concepto de producto escalar de vectores en R3 en incorpora a losespacios vectoriales abstractos el concepto de ortogonalidad y descomposicion ortogonal. Historicamente, lateorıa de espacios vectoriales con producto interno es anterior a la teorıa de espacios metricos y espaciosde Banach y se le debe a D. Hilbert5. En su honor, los espacios vectoriales abstractos dotados de productointerno se denominan espacios de Hilbert. Adicionalmente, la semejanza entre la geometrıa euclidiana y lageometrica de Rn ha hecho que espacios en los cuales de puedan definir, distancia, angulos, a partir de unadefinicion de producto interno, de denominen tambien espacio Euclidianos.

2.4.1. Producto Interno

En un espacio vectorial abstracto V = |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · |vn〉 la definicion del producto interno dedos vectores se denota como 〈vi| vj〉 y es una funcion deV ×V→ C 3 ∀ |x〉 , |y〉 , |z〉 ∈ V, es decir asocia a ese par de vectores con un elemento del campoescalar. Las propiedades que definen el producto interno son

1. 〈x| x〉 ∈R ∧ 〈x| x〉 ≥ 0 ∀ |x〉 ∈ V si 〈x| x〉 = 0⇒ |x〉 ≡ |0〉

2. 〈x| y〉 = 〈y| x〉∗ ∀ |x〉 , |y〉 ∈ V

3. 〈x| y + z〉 = 〈x| y〉+ 〈x| z〉 ∧ 〈x + z| y〉 = 〈x| y〉+ 〈z| y〉 ∀ |x〉 , |y〉 , |z〉 ∈ V

4. 〈x| αy〉 = α 〈x| y〉 ∧ 〈αx| y〉 = α∗ 〈x| y〉 ∀ |x〉 , |y〉 ∈ V ∧ α ∈ K

5. 〈x| 0〉 = 〈0| x〉 = 0

A partir de la definicion de producto interno se construyen los conceptos de norma y distancia

‖|x〉‖ =√〈x| x〉 y d (|x〉 , |y〉) ≡ ‖|x〉 − |y〉‖ =

√〈x− y| x− y〉

2.4.2. La desigualdad de Cauchy Schwarz

Todo producto interno 〈x| y〉 definido en un espacio vectorial abstracto V = |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · |vn〉cumple con la desigualdad de Cauchy-Schwarz

|〈x| y〉|2 ≤ 〈x| x〉〈y| y〉 ⇐⇒ |〈x| y〉| ≤ ‖|x〉‖ ‖|y〉‖

Es claro que |x〉 = |0〉 ∧ |y〉 = |0〉 se cumple la igualdad y es trivial la afirmacion. Para |x〉 ∧ |y〉cualesquiera procedemos construyendo |z〉 = α |x〉 + β |y〉 con |x〉 ∧ |y〉 arbitrarios pero α y β tendranvalores particulares, por lo tanto

〈z| z〉 ≡ 〈αx + βy| αx + βy〉 ≥ 0

〈αx + βy| αx + βy〉 = 〈αx| αx〉+ 〈αx| βy〉+ 〈βy| αx〉+ 〈βy| βy〉 ≥ 0

〈αx + βy| αx + βy〉 = |α|2 〈x| x〉+ α∗β 〈x| y〉+ β∗α 〈y| x〉+ |β|2 〈y| y〉 ≥ 0

5David Hilbert (1862 Kaliningrad, Rusia-1943 Gottingen, Alemania) Matematico aleman defensor de la axiomatica comoenfoque primordial de los problemas cientıficos. Hizo importantes contribuciones en distintas areas de la matematica, comoinvariantes, campos de numeros algebraicos, analisi funcional, ecuaciones integrales, fısica matematicam y calculo en variaciones.





si α = 〈y| y〉 se tiene que

〈y| y〉〈x| x〉+ β 〈x| y〉+ β∗ 〈y| x〉+ |β|2 ≥ 0

seguidamente seleccionamos β = −〈x| y〉 y por lo tanto β∗ = −〈y| x〉 y consecuentemente

〈y| y〉〈x| x〉 ≥ 〈x| y〉〈y| x〉 = |〈x| y〉|2

De la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la definicion de norma se desprende que

|〈x| y〉|2

‖|x〉‖2 ‖|y〉‖2≤ 1 ⇒ −1 ≤ |〈x| y〉|

‖|x〉‖ ‖|y〉‖≤ 1

por lo tanto podemos definir el “angulo” entre los vectores abstractos |x〉 ∧ |y〉 como

cos Θ =|〈x| y〉|‖|x〉‖ ‖|y〉‖

Mas aun, a partir de la definicion de norma se obtiene

‖|x〉+ |y〉‖2 = 〈x + y| x + y〉 = 〈x| x〉+ 〈x| y〉+ 〈x| y〉∗ + 〈y| y〉 = 〈x| x〉+ 2 Re (〈x| y〉) + 〈y| y〉

con lo cual hemos generalizado para un espacio vectorial abstracto el teorema del coseno

‖|x〉+ |y〉‖2 = ‖|x〉‖2 + ‖|y〉‖2 + 2 ‖|x〉‖ ‖|y〉‖ cos Θ

y para el caso que los vectores |x〉 ∧ |y〉 sean ortogonales, esto es 〈x| y〉 = 0, tendremos el teorema dePitagoras generalizado

‖|x〉+ |y〉‖2 = ‖|x〉‖2 + ‖|y〉‖2

Ejemplos

1. Espacios Euclidianos reales, Rn y Espacios Euclidianos Complejos Cn. Los vectores de estos espaciospueden ser representados por |x〉 = (x1, x2, · · ·xn) ∧ |y〉 = (y1, y2, · · · , yn) y el producto internoqueda definido por

〈x| y〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3, · · ·xnyn =

n∑i=1

xiyi

es claro que esta definicion de producto interno coincide, para R2 y R3 con la idea de producto escalarconvencional, vale decir∣∣∣∣∣∣

ax ı+ ay + az k

bx ı+ by + bz k

⇒ ~a ·~b = axbx + ayby + azbz

ahora bien, el lector puede comprobar que para vectores en R2 tambien se puede proveer una definicionde producto interno

~a~~b = 2axbx + axby + aybx + ayby

igualmente valida, con lo cual es claro que en un mismo espacio vectorial pueden coexistir. Por su partela norma

‖|x〉‖ =√〈x| x〉 =

√x2

1 + x22 + x2

3, · · ·+ x2n =

√√√√ n∑i=1

x2i



La distancia tambien recupera la idea intuitiva de distancia euclidiana

d (|x〉 , |y〉) ≡ ‖|x〉 − |y〉‖ =√〈x− y| x− y〉

d (|x〉 , |y〉) =

√(x1 − y1)

2+ (x2 − y2)

2+ (x3 − y3)

2+ · · ·+ (xn − yn)

2

El teorema del coseno queda como

n∑i=1

(xi + yi)2

=

n∑i=1

x2i +

n∑i=1

y2i + 2

√√√√ n∑i=1

x2i

√√√√ n∑i=1

y2i

cos Θ

mientras que Pitagoras, queda como

n∑i=1

(xi + yi)2

=

n∑i=1

x2i +

n∑i=1

y2i

obvio que para R2 tanto el teorema del coseno como el teorema de Pitagoras retoman su forma tradi-cional. Finalmente la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa

|〈x| y〉| ≤ ‖|x〉‖ ‖|y〉‖ ⇒

∣∣∣∣∣n∑i=1

xiyi

∣∣∣∣∣2

≤

(n∑i=1

x2i

)(n∑i=1

y2i

)

2. Para los Espacios de Funciones continuas C∞[a,b] una posible definicion de producto interno serıa

〈f | g〉 =

∫t∈[a,b]

dx f∗ (x) g (x)

de la cual se deriva la expresion para la norma

‖|f〉‖2 = 〈f | f〉 =

∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2

la distancia entre funciones quedara definida como

d (|f〉 , |g〉) ≡ ‖|f〉 − |g〉‖ ≡√〈f − g| f − g〉 =

√〈f | f〉 − 〈f | g〉 − 〈f | g〉∗ + 〈g| g〉

d (|f〉 , |g〉) =

√∫t∈[a,b]

dx |f (x)− g (x)|2 ⇒

d (|f〉 , |g〉) =

√√√√∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2 − 2 Re

(∫t∈[a,b]

dx f∗ (x) g (x)

)+

∫t∈[a,b]

dx |g (x)|2

Los teoremas del coseno puede ser escrito como∫t∈[a,b]

dx |f (x) + g (x)|2 =

∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2 +

∫t∈[a,b]

dx |g (x)|2

+ 2

(∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2) 1

2(∫

t∈[a,b]

dx |g (x)|2) 1

2

cos Θ



donde

cos Θ =

∫t∈[a,b]

dx f∗ (x) g (x)(∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2) 1

2(∫

t∈[a,b]dx |g (x)|2

) 12

y como era de esperarse el teorema de Pitagoras queda∫t∈[a,b]

dx |f (x) + g (x)|2 =

∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2 +

∫t∈[a,b]

dx |g (x)|2

para funciones f (x) y g (x) ortogonales, mientras que para este caso, la desigualdad de Cauchy-Schwarzse expresa ∣∣∣∣∣

∫t∈[a,b]

dx f∗ (x) g (x)

∣∣∣∣∣2

≤

(∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2)(∫

t∈[a,b]

dx |g (x)|2)

2.5. Variedades Lineales

2.5.1. Dependencia, independencia lineal

Siguiendo la misma lınea de razonamiento generalizamos el concepto de dependencia e independencialineal de R2 y R3. Ası

|0〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn |vn〉 =

n∑i=1

Ci |vi〉 ,

Podemos afirmar que

Si esta ecuacion se cumple para algun conjunto de Ci no nulos, se dira que el conjunto de vectorescorrespondiente |vi〉 son linealmente dependientes.

por el contrario, si esta ecuacion solo puede ser satisfecha para todos los Ci = 0, entonces se dira queel conjunto de vectores correspondiente |vi〉 son linealmente independientes.

Por ejemplo, dados tres vectores en R4

|v1〉 =

13−1

2

; |v2〉 =

2013

; |v3〉 =

−1

100

.

El criterio de independencia lineal se cumple si |0〉 = C1 |v1〉+C2 |v2〉+C3 |v3〉 y todos los Ci son nulos.Esto es

C1 +2C2 −C3 = 03C1 +C3 = 0−C1 +C2 = 02C1 +3C2 = 0

de donde es claro ver que la unica solucion posible implica C1 = C2 = C3 = 0.



Ejemplos Si consideramos el espacio vectorial V = |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 , · · · , |vn〉 seran ejemplos de inde-pendencia lineal:

|vk〉 ≡ f (t) = tk para k = 1, 2, 3, · · · es claro que un polinomio de grado n+ 1, no podra ser expresadoen terminos un polinomio de grado n. en otras palabras, tn+1 6=

∑ni=0 Ci t

i

|vk〉 ≡ f (t) = eakt con a1, a2, a3, · · · coeficientes constantes. Tambien salta a la vista que no podremosexpresar una de esas funciones exponenciales como combinacion lineal

Si consideramos |v1〉 ≡ f (t) = cos2 t, |v2〉 = sen2 t y |v3〉 = 1 es claro que |v1〉 , |v2〉 , y |v3〉 sonlinealmente dependientes por cuanto |v1〉+ |v2〉 = |v3〉 . Notese que si

|v1〉 = cos t, |v2〉 = sen t y |v3〉 = 1,

entonces |v1〉 , |v2〉 , y |v3〉 seran vectores linealmente independientes.Consideremos ahora otros ejemplos y determinemos ¿ cual o cuales de los siguientes conjuntos de vectores

en P3 son linealmente independientes ?

1. |x1〉 = 1; |x2〉 = x− 1; |x3〉 = x2; |x4〉 = x2 + 2x+ 1;Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4〉 = 3|x1〉+ 2|x2〉+ |x3〉

2. |x1〉 = 2x; |x2〉 = x2 + 1; |x3〉 = x+ 1; |x4〉 = x2 − 1;Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4〉 = |x1〉+ |x2〉 − 2|x3〉

3. |x1〉 = x(x− 1); |x2〉 = x; |x3〉 = x3; |x4〉 = 2x3 − x2;Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4〉 = −|x1〉+ |x2〉+ 2|x3〉

2.5.2. Bases de un Espacio Vectorial

Ahora bien, dado un espacio vectorial V = |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn〉, encontramos que el conjunto de|vn〉 es linealmente dependiente, entonces siempre es posible despejar uno de los vectores en terminos delos demas, vale decir

|vn〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn−1 |vn−1〉 =

n−1∑i=1

Ci |vi〉 ,

seguidamente se procede a comprobar si |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn−1〉 son linealmente independientes, esdecir si C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−1 = 0. En caso de no serlo se procede otra vez a despejar uno de losvectores en terminos de los anteriores y a aplicar el criterio de independencia lineal,

|vn−1〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn−2 |vn−2〉 =

n−2∑i=1

Ci |vi〉 ,

¿C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−1 = 0.?

se repite este procedimiento hasta encontrar un conjunto |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn−j〉 de vectores lineal-

mente independientes. Esto es ¡C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−j = 0.! y por lo tanto

|vn−j+1〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn−j |vn−i〉 =

n−j∑i=1

Ci |vi〉 ,

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−j = 0.?



¡C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−j = 0.! y por lo tanto

|0〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn−j |vn−j〉 =

n−j∑i=1

Ci |vi〉 ,

En este caso diremos que |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn−j〉 es una base para V. La dimension de V sera elconjunto de vectores linealmente independientes, que para este caso es n − j. Ası se puede comprobar que,dado |x〉 ∈ V entonces

|x〉 =

n−j∑i=1

Ci |vi〉 , ∀ |x〉 ∈ V

y el conjunto C1, C2, C3, · · ·Cn−j es unico. Diremos que el numero mınimo de vectores,

|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn−j〉

que expanden V conforman una base de ese espacio vectorial, y que el numero finito de escalares C1, C2, C3, · · ·Cn−jconstituyen las componentes de |x〉 relativas a la base |v1〉 , |v2〉 , · · · , |vn−j〉 . Del ejemplo anterior se puedeconcretar la siguiente definicion

A un conjunto finito de vectores de un espacio vectorial,

B = |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn〉 ∈ V,

se les denominara base de ese espacio V si los |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn〉 son linealmente independientes yexpanden V. El espacio vectorial se denominara de dimension finita sı la base es finita y de dimension infinitası, por el contrario su base es infinita.

Es facil darse cuenta que si V lo expanden n vectores linealmente independientes, cualquier otro vector|x〉 ∈ V sera linealmente dependiente. Igualmente facilmente demostrable que todas las bases de un espaciovectorial V,de dimension finita, tendran el mismo numero de elementos y ese numero de elemento sera ladimension del espacio.

Adicionalmente, puede ser que dentro de un espacio vectorial V se puedan encontrar subespacios y dentrode esos subespacios un conjunto de vectores base. Vale decir ∀ |x〉 ∈ V :

|x〉 = C1 |v1〉 · · ·+ Cn−j |vn−j〉︸︷︷︸S1

+ Cn−j+1 |vn−j+1〉 · · ·Cn−k |vn−k〉︸︷︷︸S2

+ Cn−k+1 |vn−k+1〉 · · ·Cn |vn〉︸︷︷︸S3

Entonces |x〉 = |x1〉+ |x2〉+ |x3〉 con |x1〉 ∈ S1; |x2〉 ∈ S2; |x3〉 ∈ S3, entonces diremos que V es la sumadirecta de S1,S2 y S3 y lo denotaremos como V = S1 ⊕ S2 ⊕ S3

2.5.3. El determinante de Gram

Existe una forma directa de comprobar la independencia lineal de una conjunto de vectores |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn〉 ∈V,y es como sigue: dado |x〉 ∈ V entonces

|x〉 =

n∑i=1

Ci |vi〉 ,⇒

C1 〈v1 |v1〉+ C2 〈v1 |v2〉+ C3 〈v1 |v3〉+ · · ·+ Cn 〈v1 |vn〉 = 〈v1 |x〉C1 〈v2 |v1〉+ C2 〈v2 |v2〉+ C3 〈v2 |v3〉+ · · ·+ Cn 〈v2 |vn〉 = 〈v2 |x〉...

...C1 〈vn |v1〉+ C2 〈vn |v2〉+ C3 〈vn |v3〉+ · · ·+ Cn 〈vn |vn〉 = 〈vn |x〉



donde las C1, C2, C3, · · ·Cn son las incognitas, por lo cual para que este sistema tenga solucion se imponeque ∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈v1 |v1〉〈v1 |v2〉〈v1 |v3〉 · · · 〈v1 |vn〉〈v2 |v1〉〈v2 |v2〉〈v2 |v3〉 · · · 〈v2 |vn〉

.... . .

...〈vn |v1〉〈vn |v2〉〈vn |v3〉 · · · 〈vn |vn〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0

Esto es que el determinante de Gram6 distinto de cero implica que el conjunto|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn〉 ∈ V es linealmente independiente. La inversa tambien es cierta.

Ejemplos

Vn tendra dimension n y una de las posibles bases |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn〉 sera|v1〉 = (1, 0, 0, · · · , 0)|v2〉 = (0, 1, 0, · · · , 0)|v3〉 = (0, 0, 1, · · · , 0)...

...|vn−j〉 = (0, 0, 0, · · · , 1)

Esta base se conoce con el nombre de base canonica.

El espacio de polinomios, Pn, de grado g ≤ n tendra como una de las posibles bases al conjunto1, t, t2, t3, · · · , tn

, por que cualquier polinomio de grado ≤ n podra ser expresado como combinacion

lineal de estos n+1 vectores. Mas aun, el espacio de todos los polinomios, P∞, tendra como una posiblebase al conjunto de funciones

1, t, t2, t3, · · · , tn · · ·

. En este caso P∞ sera infinito dimensional.

2.5.4. Ortogonalidad y Bases Ortogonales

En una espacio con vectorial con producto interno, dos vectores |u1〉∧|u2〉 seran ortogonales si su productointerno se anula

|u1〉 ⊥ |u2〉 ⇔ 〈u2 |u1〉 = 0

Se denomina un conjunto ortogonal de vectores |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉 si

〈ui |uj〉 = δij ‖|uj〉‖2 i, j = 1, 2, 3, · · · , n y con

δij = 0 si i 6= jδij = 1 si i = j

y se denominara conjunto ortonormal si ‖|uj〉‖2 = 1.Un conjunto ortogonal de vectores |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉 ∈ V es linealmente independiente, mas

aun, para el caso particular de un espacio euclidiano, |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉 conforman una base orto-gonal para V. La demostracion es sencilla. Para un determinado espacio vectorial una combinacion lineal de

6Jorgen Pedersen Gram (1850-1916 Dinamarca) Matematico Danes, que alternaba su actividad de gerente de una im-portante companıa de seguros con las matematicas (Probabilidad, Analisis Numerico y Teorıa de Numeros). Es conocidomayormente por el metodo de ortogonalizacion, pero se presume que no fue el quien primero lo utilizo. Aparentemente fueideado por Laplace y utilizado tambien por Cauchy en 1836. Gram murio arrollado por una bicicleta a la edad de 61 anos.





los |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉 se anula.

n∑i=1

Ci |ui〉 = |0〉 ⇒

〈u1| [∑ni=1 Ci |ui〉] = 0 ⇒

∑ni=1 Ci δ1i = 0 ⇒ C1 = 0

〈u2| [∑ni=1 Ci |ui〉] = 0 ⇒

∑ni=1 Ci δ2i = 0 ⇒ C2 = 0

〈u3| [∑ni=1 Ci |ui〉] = 0 ⇒

∑ni=1 Ci δ3i = 0 ⇒ C3 = 0

.... . .

......

〈un| [∑ni=1 Ci |ui〉] = 0 ⇒

∑ni=1 Ci δni = 0 ⇒ Cn = 0

con lo cual es claro que |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉 son linealmente independientes. Si la dimension de V, esn, dim V = n y tenemos n vectores linealmente independientes, entonces esos n vectores |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉forman una base ortogonal para V,y por lo tanto las componentes de un vector en esa base se pueden expresarde manera simple.

∀ |x〉 ∈ V |x〉 =

n∑i=1

Ci |ui〉 ⇒ 〈uj |x〉 = 〈uj |

[n∑i=1

Ci |ui〉

]⇒ Cj =

〈uj |x〉〈uj |uj〉

En el caso de un conjunto ortonormal de vectores |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 · · · , |en〉 ∈ Vn con ‖|ej〉‖2 = 1, lascomponentes de cualquier vector quedan determinadas de una forma todavıa mas simple y con consecuenciasmucho mas impactantes

‖|ej〉‖2 = 1 ⇒ Cj = 〈ej |x〉 ⇒ |x〉 =

n∑i=1

Ci |ei〉 =

n∑i=1

〈ei |x〉 |ei〉 ≡

(n∑i=1

|ei〉〈ei|

)︸︷︷︸

1

|x〉

por lo tanto es bueno recalcar la relacion de cierre

n∑i=1

|ei〉〈ei| = 1

con lo cual es trivial demostrar la formula de Parseval.

∀ |x〉 |y〉 ∈ V 〈y |x〉 ≡ 〈y|

(n∑i=1

|ei〉〈ei|

)|x〉 =

n∑i=1

〈y| |ei〉〈ei| |x〉 =

n∑i=1

〈y| |ei〉〈x| |ei〉∗

la cual se concreta para el caso de |x〉 ≡ |y〉 en la generalizacion del Teorema de Pitagoras

〈x |x〉 ≡ ‖|x〉‖2 =

n∑i=1

|〈x| |ei〉|2

Ejemplos

Funciones Trigonometricas: Uno de los ejemplos mas emblematicos es el caso de las funciones continuas,reales de variable real y definidas en [0, 2π], C∞[0,2π], con lo cual el producto interno viene definido por

〈f | g〉 =∫ 2π

0dx f (x) g (x) esto es el conjunto de funciones |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 , · · · , |un〉 · · · represen-

tadas por

|u0〉 = 1, |u2n−1〉 = cosnx y |u2n〉 = sennx, con n = 1, 2, 3, · · ·



Es claro que |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉 , · · · es un conjunto de funciones ortogonales por cuanto

〈un |um〉 = δnm ‖|un〉‖2 ⇒

0 si n 6= m

∫ 2π

0dx sennx senmx = 0∫ 2π

0dx cosnx senmx = 0∫ 2π

0dx cosnx cosmx = 0

‖|un〉‖2 si n = m

∫ 2π

0dx = 2π si n = m = 0∫ 2π

0dx cos2 nx = π si i = j = 2l − 1∫ 2π

0dx sen2 nx = π si i = j = 2l

con l = 1, 2, 3, · · · tambien. Por lo tanto, podremos construir una base ortonormal de funciones|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · , |en〉 , · · · de la forma

|e0〉 =1√2π, |e2n−1〉 =

1√π

cosnx y |e2n〉 =1√π

sennx.

Por lo tanto cualquier funcion definida en el intervalo [0, 2π] puede expresarse en terminos de esta basecomo

|f〉 =

∞∑i=1

Ci |ei〉 ⇒ Ci = 〈ei |f〉 =

∫ 2π

0dx 1√

2πf (x) = a0 si i = 0

∫ 2π

0dx f (x) cosnx = a2n−1 si i = 2n− 1∫ 2π

0dx f (x) sennx = a2n si i = 2n

donde los Ci son los coeficientes de Fourier

Otro de los ejemplos tıpicos lo constituye los llamados polinomios de Legendre. Polinomios Pn(x)definidos en el intervalo [−1, 1] y generados a partir de la Formula de Rodrigues7

Pn(x) =1

n!2ndn

dxn(x2 − 1)n, n = 0, 1, 2, .....

con P0(x) = 1. Los polinomios de Legendre son solucion de la ecuacion diferencial

(1− x2) y′′ − 2x y′ + λ(λ+ 1) y = 0

λ Ecuacion de Legendre Solucion

0 (1− x2) y′′ − 2x y′ = 0 y0(x) = 11 (1− x2) y′′ − 2x y′ + 2 y = 0 y1(x) = x2 (1− x2) y′′ − 2x y′ + 6 y = 0 y0(x) = 1− 3x2

3 (1− x2) y′′ − 2x y′ + 12 y = 0 y1(x) = x− 53x

3

4 (1− x2) y′′ − 2x y′ + 20 y = 0 y0(x) = 1− 10x2 + 353 x

4

Es facil comprobar que los polinomios de Legendre |Pα〉 = Pα(x) son mutuamente ortogonales con un

7Benjamin Olinde Rodrigues (1794 Burdeos, Francia - 1851, Parıs Francia) Banquero, Matematico y activista polıticosolcialista Frances durante la Revolucion Francesa. De origen judıo, y cuyas contribuciones fundamentales como la formula parala generacion de Polinomios de Legendre, permanecieron olvidadas por mucho tiempo.





producto interno definido como

〈Pn|Pm〉 =

∫ 1

−1

Pn(x)Pm(x)dx =2

2n+ 1δnm

con norma definida por

‖Pn‖2 = 〈Pn|Pn〉 =

∫ 1

−1

P 2n(x)dx=

2

2n+ 1

Cualquier funcion en el intervalo [−1, 1] puede ser expresada en esa base.

f(x) = |F〉 =

∞∑k=0

ak |Pk〉 =

∞∑k=0

〈Pk|F〉〈Pk|Pk〉

|Pk〉

Varios ejemplos ilustraran esta aplicacion. Si f(x) es un polinomio

f(x) =

m∑n=0

bnxn =

∞∑k=0

ak |Pk〉 =

∞∑n=0

anPn(x)

no se requiere hacer ninguna integral por cuanto los coeficientes an se determinan a traves de unsistema de ecuaciones algebraicas. Para el caso de f(x) = x2 tendremos

f(x) = x2 = a0P0(x) + a1P1(x) + a2P2(x)

f(x) = x2 = a0 + a1x+1

2a2(3x2 − 1)

f(x) = x2 =1

3P0(x) +

2

3P2(x)

Quedara como ejercicio demostrar que para el caso de

f(x) =

√1− x

2=

∞∑k=0

〈Pk|F〉〈Pk|Pk〉

|Pk〉 =2

3P0(x)− 2

∞∑n=1

Pn(x)

(2n− 1) (2n+ 3)

con

〈Pk|F〉 =

∫ 1

−1

f(x)Pk(x)dx =

∫ 1

−1

√1− x

2Pk(x)dx

2.5.5. Ortogonalizacion

Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales forman base para un espacio vectorial. Ahorabien, siempre es posible construir un conjunto de vectores ortogonales a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes. Es metodo de “ortogonalizacion” se conoce como el metodo de Gram-Schmidt8,en honor de estos dos matematicos alemanes que NO inventaron el metodo, el cual al parecer se le debe almatematico frances P.S. Laplace.

Dado un conjunto de vectores linealmente independientes, |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 , · · · , |vn〉 que expanden unespacio Euclidiano de dimension finita, En. Entonces siempre se puede construir un conjunto ortogonal devectores, |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 , · · · , |un〉 que tambien expandan En de la siguiente forma:

8Erhard Schmidt (1876, Estonia-1959 Alemania). MatematicoAleman fundador del primer instituto de matematicas apli-cadas de Berlın. Alumno de Hilbert, Schmidt hizo sus mayores contribuciones en Ecuaciones Integrales y Teorıa de Funcionesen el Espacio de Hilbert.





|u1〉 ≡ |v1〉

|u2〉 ≡ |v2〉 − 〈v2 |u1〉〈u1 |u1〉 |u1〉 3 〈u2 |u1〉 = 0

|u3〉 ≡ |v3〉 − 〈v3 |u2〉〈u2 |u2〉 |u2〉 − 〈v3 |u1〉

〈u1 |u1〉 |u1〉 3〈u3 |u1〉 = 0〈u3 |u2〉 = 0

|u4〉 ≡ |v4〉 − 〈v4 |u3〉〈u3 |u3〉 |u3〉 − 〈v4 |u2〉

〈u2 |u2〉 |u2〉 − 〈v4 |u1〉〈u1 |u1〉 |u1〉 3

〈u4 |u1〉 = 0〈u4 |u2〉 = 0〈u4 |u3〉 = 0

......

|un〉 ≡ |vn〉 −∑n−1i=1

〈vn |ui〉〈ui |ui〉 |ui〉 3

〈u4 |u1〉 = 0〈u4 |u2〉 = 0〈u4 |u3〉 = 0

...〈u4 |un−1〉 = 0

Ası siempre es posible construir una base ortonormal a partir de un conjunto de vectores linealmenteindependientes. Esta base ortogonal sera unica en En, si existe otra sus vectores seran proporcionales, Masaun, cada espacio vectorial Vn de dimension finita tendra una base ortogonal asociada.

Ejemplos

El subespacio de V4 expandido por los siguientes vectores

|v1〉 =

13−1

2

; |v2〉 =

2013

; |v3〉 =

−1

100

.



Tendra una base ortogonal asociada dada por

|u1〉 ≡ |v3〉 =

−1

100

;

|u2〉 ≡ |v2〉 −〈v2 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 =

2013

− (−1)

−1

100

=

1113

|u3〉 ≡ |v1〉 −〈v1 |u2〉〈u2 |u2〉

|u2〉 −〈v1 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 =

|u3〉 ≡

13−1

2

− ( 9

12

)1113

− (1)

−1

100

=

54

54

− 74

− 14

;

y la base ortonormal asociada sera

|e1〉 =|u1〉√〈u1 |u1〉

=

(√2

2

)−1

100

.; |e2〉 =|u2〉√〈u2 |u2〉

=

(√12

12

)1113

;

|e3〉 =|u3〉〈u3 |u3〉

=

(2√

3

9

)

54

54

− 74

− 14

Para el caso de R2 es muy claro. Si tenemos dos vectores |v1〉 y |v2〉 linealmente independientes,

|v1〉 =

(11

); |v2〉 =

(01

);

elegimos |u1〉 ≡ |v2〉 entonces, |u2〉 vendra dado por

|u2〉 ≡ |v1〉 −〈v1 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 ⇒ |u2〉 ≡(

11

)−(

01

)=

(10

)tal y como se esperaba, el otro vector ortogonal es el canonico.



Si consideramos el espacio de polinomios, Pn, de grado g ≤ n definidos en el intervalo [−1, 1] Esteespacio vectorial tendra como una de las posibles bases al conjunto

1, t, t2, t3, · · · , tn

con el producto

interno viene definido por 〈f | g〉 =∫ 1

−1dx f (x) g (x) . Por lo tanto, se procede a construir una base

ortogonal de la forma|u0〉 ≡ |v0〉 = 1

|u1〉 ≡ |v1〉 −〈v1 |u0〉〈u0 |u0〉

|u0〉 = t

〈v1 |u0〉 =∫ 1

−1dx t = 0; 〈u0 |u0〉 =

∫ 1

−1dx = 2

|u2〉 ≡ |v2〉 −〈v2 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 −〈v2 |u0〉〈u0 |u0〉

|u0〉 = t2 − 13

〈v2 |u0〉 =∫ 1

−1dx t2 = 2

3 ; 〈v2 |u1〉 =∫ 1

−1dx t3 = 0;

〈u1 |u1〉 =∫ 1

−1dx t2 = 2

3

|u3〉 ≡ |v3〉 −〈v3 |u2〉〈u2 |u2〉

|u2〉 −〈v3 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 −〈v3 |u0〉〈u0 |u0〉

|u0〉 = t3 − 35 t

〈v3 |u0〉 =∫ 1

−1dx t3 = 0; 〈v3 |u1〉 =

∫ 1

−1dx t4 = 2

5

〈v3 |u2〉 =∫ 1

−1dx t3

(t2 − 1

3

)= 0; 〈u2 |u2〉 =

∫ 1

−1dx

(t2 − 1

3

)2= 8

45...

Podemos resumir

|v1〉 |u1〉 |e1〉1 1

√12

t t√

32 t

t2(t2 − 1

3

)12

√52

(3t2 − 1

)t3

(t3 − 3

5 t)

12

√72

(5t3 − 3t

)t4

(t4 − 6

7 t2 + 3

35

)18

√92

(35t4 − 30t2 + 3

)...

......

2.5.6. Complementos Ortogonales.

Sea un subespacio S ⊂ V un elemento |vi〉 ∈ V se dice ortogonal a S si 〈sk |vi〉 = 0 ∀ |sk〉 ∈ S, |vi〉es decir, es ortogonal a todos los elementos de S . El conjunto |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 , · · · , |vm〉 de todos loselementos ortogonales a S,se denomina S−perpendicular y se denota como S⊥. Es facil demostrar que S⊥

es un subespacio, aun si S no lo es.



2.5.7. Descomposicion ortogonal

Dado |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 , · · · , |vn〉 , · · · un Espacio Euclidiano V y un subespacio de V con dimensionfinita, S ⊂ V y dim V = m. Entonces ∀ |vk〉 ∈ V se puede expresar como suma de dos vectores |sk〉 ∈S ∧ |sk〉⊥ ∈ S⊥. Esto es

|vk〉 = |sk〉+ |sk〉⊥ |sk〉 ∈ S ∧ |sk〉⊥ ∈ S⊥

Mas aun, la norma de |vk〉 se calcula a traves del teorema de Pitagoras generalizado

‖|vk〉‖2 = ‖|sk〉‖2 +∥∥∥|sk〉⊥∥∥∥2

La demostracion es sencilla. Primero se prueba que la descomposicion ortogonal |vk〉 = |sk〉 + |sk〉⊥es siempre posible. Para ello recordamos que S ⊂ V es de dimension finita, por lo tanto existe una baseortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 · · · |em〉 para S. Esto es, dado un |vk〉 definimos los elementos |sk〉 y |sk〉⊥como siguen

|sk〉 =

m∑i=1

〈vk |ei〉 |ei〉 ∧ |sk〉⊥ = |vk〉 − |sk〉

Notese que 〈vk |ei〉 |ei〉 es la proyeccion de |vk〉 a lo largo de |ei〉 y |sk〉 se expresa combinacion lineal de labase de S. Por lo tanto esta en S. Por otro lado,

⊥ 〈sk |ei〉 = 〈vk−sk |ei〉 = 〈vk |ei〉 − 〈sk |ei〉 = 〈vk |ei〉 −

m∑j=1

〈vk |ej〉〈ej

|ei〉 = 0⇒ |sk〉⊥ ⊥ |ej〉

lo cual indica que |sk〉⊥ ∈ S⊥.

Pero, podemos ir un poco mas alla. La descomposicion |vk〉 = |sk〉 + |sk〉⊥ es unica en V. Para ellosuponemos que existen dos posibles descomposiciones, vale decir

|vk〉 = |sk〉+ |sk〉⊥ ∧ |vk〉 = |tk〉+ |tk〉⊥ con |sk〉 ∧ |tk〉 ∈ S ∧ |sk〉⊥ ∧ |tk〉⊥ ∈ S⊥

Por lo tanto

|vk〉 − |vk〉 =(|sk〉+ |sk〉⊥

)−(|tk〉+ |tk〉⊥

)= 0 ⇒ |sk〉 − |tk〉 = |tk〉⊥ − |sk〉⊥

Pero |sk〉−|tk〉 ∈ S,por lo tanto ortogonal a todos los elementos de S⊥ y |sk〉−|tk〉 = |tk〉⊥−|sk〉⊥ con lo cual|sk〉 − |tk〉 ≡ |0〉 que es el unico elemento que es ortogonal a el mismo y en consecuencia la descomposicion

|vk〉 = |sk〉+ |sk〉⊥ es unica. Finalmente, con la definicion de norma

‖|vk〉‖2 =∥∥∥|sk〉+ |sk〉⊥

∥∥∥2

=(〈sk|+ 〈sk|⊥

)(|sk〉+ |sk〉⊥

)= 〈sk |sk〉+⊥ 〈sk |sk〉⊥ ‖|sk〉‖2 +

∥∥∥|sk〉⊥∥∥∥2

Ası, dado Sm un subespacio de V de dimension finita y dado un |vk〉 ∈ V el elemento

|sk〉 ∈ S 3 |sk〉 =

m∑i=1

〈vk |ei〉 |ei〉

sera la proyeccion de |vk〉 en S.Dado un vector |x〉 ∈ V y un subespacio de V con dimension finita, Sm ⊂ V y dim V = m, entonces la

distancia de |x〉 a Sm es la norma de la componente de |x〉 , perpendicular a Sm.



2.6. Temas Avanzados

2.6.1. Aproximacion de Funciones

Sea |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 , · · · , |vn〉 , · · · un Espacio Euclidiano V y un subespacio de V con dimensionfinita, Sm ⊂ V y dim V = m,y sea un elemento |vi〉 ∈ V. La proyeccion de |vi〉 en Sm, |si〉 , sera el elementode Sm mas proximo a |vk〉. En otras palabras

‖|vi〉 − |si〉‖ ≤ ‖|vi〉 − |ti〉‖ ∀ |ti〉 ∈ S

La demostracion se sigue ası

|vi〉 − |ti〉 = (|vi〉 − |si〉)− (|si〉 − |ti〉) ⇒ ‖|vi〉 − |ti〉‖2 = ‖|vi〉 − |si〉‖2 + ‖|si〉 − |ti〉‖2

ya que |vi〉 − |si〉 = |sk〉⊥ ∈ S⊥ ∧ |si〉 − |ti〉 ∈ S.y vale el teorema de Pitagoras generalizado Ahora bien,como

‖|si〉 − |ti〉‖2 ≥ 0 ⇒ ‖|vi〉 − |ti〉‖2 ≥ ‖|vi〉 − |si〉‖2 ⇒ ‖|vi〉 − |ti〉‖ ≥ ‖|vi〉 − |si〉‖

Ejemplos

Desarrollemos la aproximacion de funciones continuas, reales de variable real y definidas en [0, 2π],

C∞[0,2π], mediante funciones Trigonometricas y con el producto interno definido por 〈f | g〉 =∫ 2π

0dx f (x) g (x) .

Hemos visto que para este espacio vectorial tenemos una base ortonormal definida por

|e0〉 = ϕ0 (x) =1√2π, |e2n−1〉 = ϕ2n−1 (x) =

1√π

cosnx y

|e2n〉 = ϕ2n (x) =1√π

sennx.

Por lo tanto cualquier funcion definida en el intervalo [0, 2π] puede expresarse en terminos de esta basecomo

|f〉 =

∞∑i=1

Ci |ei〉 con

Ci = 〈ei |f〉 =

∫ 2π

0

dx f (x) ϕi (x) =

∫ 2π

0dx f (x) = a0 si i = 0∫ 2π

0dx f (x) cosnx = a2n−1 si i = 2n− 1∫ 2π

0dx sennx f (x) = a2n si i = 2n

donde los Ci son los coeficientes de Fourier. Es decir, cualquier funcion puede ser expresada como unaserie de Fourier de la forma

f (x) =1

2a0 +

n∑k=1

(ak cos kx+ bk sen kx)

con

ak =1

π

∫ 2π

0

dx f (x) cos kx ∧ bk =

∫ 2π

0

dx f (x) sen kx f (x)



Es claro que para la aproximacion de funciones por funciones Trigonometricas cuyos coeficientes sonlos coeficientes de Fourier constituyen la mejor aproximacion. Por lo tanto, de todas las funcionesP (x) ∈ C∞[0,2π] las funciones trigonometricas, T (x) minimizan la desviacion cuadratica media∫ 2π

0

dx (f (x)− P (x))2 ≥

∫ 2π

0

dx (f (x)− T (x))2

2.6.2. El Metodo de Mınimos Cuadrados

Una de las aplicaciones mas importantes en la aproximacion de funciones es el metodo de mınimoscuadrados. La idea es determinar el valor mas aproximado de una cantidad fısica, c a partir de un conjuntode medidas experimentales: x1, x2, x3, · · ·xn . La intencion es encontrar en el mejor valor de c a partir deese conjunto de datos experimentales.

Para ello asociamos el conjunto de medidas x1, x2, x3, · · ·xn con las componentes de un vector |x〉 enRn. Ası

|x〉 = (x1, x2, x3, · · ·xn) ∧ c |y〉 = (c,c,c, · · ·c)

Por lo tanto si la mejor aproximacion de c|y〉 ,que llamaremos c’|y〉 ,sera la proyeccion perpendicular de |x〉(las medidas) sobre el subespacio generado por |y〉 . Esto es

c′ =〈x |y〉〈y |y〉

=x1 + x2 + x3, · · ·+ xn

n

que no es otra cosa que el promedio aritmetico de las medidas. Es claro que la proyeccion perpendicular de|x〉 sobre |y〉 hace mınimo la distancia entre el subespacio perpendicular generado por |y〉 y el vector |x〉 .Esdecir hace mınimo el cuadrado de esa distancia

[d (|x〉 ,c′ |y〉)]2 = 〈x−c′y |x−c′y〉 =

n∑i=1

(xi − c′)2

Es claro que este problema se puede generalizar si se desea medir dos (o n) cantidades. Para el caso de doscantidades extendemos la dimension del espacio. Por lo tanto, los resultados experimentales se acumularanen un vector de 2n dimensiones

|x〉 = (x11, x12, x13, · · ·x1n, x21, x22, x23, · · ·x2n)

mientras que los vectores que representan las cantidades mas aproximadas seran

c′1 |y1〉 =

c′1,c′1,c′1, · · ·c′1︸︷︷︸,n

0, 0, 0, · · · 0︸︷︷︸n

∧ c′2 |y2〉 = (0, 0, 0, · · · 0,c′2,c′2,c′2, · · ·c′2)

Ahora |y1〉 , |y2〉 expanden un subespacio vectorial sobre el cual |x〉 tiene como proyeccion ortogonalc′1 |y1〉+c′2 |y2〉 y consecuentemente |x−c′1y1−c′2y2〉 sera perpendicular a |y1〉 , |y2〉 , por lo tanto

c′1 =〈x |y1〉〈y1 |y1〉

=x11 + x12 + x13, · · ·+ x1n

n∧ c′2 =

〈x |y2〉〈y2 |y2〉

=x21 + x22 + x23, · · ·+ x2n

n

La consecuencia mas conocida de esta aproximacion de funciones es el “ajuste” de un conjunto de datosexperimentales (x1, y1) , (x2, y2) , (x3, y3) , · · · , (xn, yn) a la ecuacion de una recta y =cx. En este caso, elplanteamiento del problema se reduce a encontrar el vector c′ |x〉 en el subespacio S (|x〉) este lo mas cercano

posible al vector |y〉 = c |x〉 . Por lo tanto ‖|c′x− y〉‖2 sera lo menor posible y |c′x− y〉 ser[ perpendiculara S (|x〉) ,por lo tanto

〈x |c′x− y〉 = 0 ⇒ c′ =〈x |y〉〈x |x〉

=x1y1 + x2y2 + x3y3 · · ·+ xnyn

x21 + x2

2 + x23, · · ·+ x2

n



Ejemplo Si el conjunto de datos experimentales es (1, 2) , (3, 2) , (4, 5) , (6, 6) ¿ cual es la recta que ajustamas acertadamente a estos puntos ? La ecuacion queda como

|y〉 = c |x〉 ⇒

2256

= c

1346

⇒ c′ =〈x |y〉〈x |x〉

=2 + 6 + 20 + 36

1 + 9 + 16 + 36=

32

31

Ahora bien, se puede generalizar esta procedimiento cuando se tiene que una cantidad y que es unacombinacion lineal desconocida de un conjunto de cantidades

y = c1x1 + c2x2 + c3x3 + · · ·+ cmxm

En este caso se ejecutaran n experimentos con n > m y el conjunto de medidas experimentales seran

(y1, x11, x12, x13, · · ·x1m; y2, x21, x22, x23, · · ·x2m; y3, x31, x32, x33, · · ·x3m; · · · yn, xn1, xn2, xn3, · · ·xnm)

y a partir de ellas generamos el siguiente sistema de ecuaciones

y1 = c′1x11 + c′2x12 + c′3x13, · · ·+ c′mx1m

y2 = c′1x21 + c′2x22 + c′3x23, · · ·+ c′mx2m

y3 = c′1x31 + c′2x32 + c′3x43, · · ·+ c′mx4m

...

yn = c′1xn1 + c′2xn2 + c′3xn3, · · ·+ c′mxnm

en el cual las incognitas c′1,c′2,c′3, · · ·c′m hacen que el lado derecho de las ecuaciones antes mencionadassean los mas proximas a las y1, y2, y3, · · · yn por lo tanto si consideramos los vectores

|x1〉 = (x11, · · ·x1n) ; |x2〉 = (x21, · · ·x2n) ; · · · |xm〉 = (xm1, · · ·xmn) ; |y〉 = (ym1, · · · yn)

por lo tanto los |x1〉 , |x2〉 , · · · |xm〉 expanden el subespacio S (|x1〉 , |x2〉 , · · · |xm〉) donde esta la aproxima-cion de |y〉 . Por lo tanto la distancia de este subespacio al vector |y〉, sera mınimo. Esto es

[d (S (c′i |xi〉) , |y〉)]2

= 〈S (c′i |xi〉)−y |S (c′i |xi〉)−y〉

y por lo tanto |S (c′i |x〉)−y〉 sera ortogonal a

〈xj |S (c′i |x〉)−y〉 ≡ 〈xi

∣∣∣∣∣m∑i=1

c′i |x〉−y

⟩= 0 ∀ i, j = 1, 2, 3, · · ·m

por lo tanto podemos construir el sistema de ecuaciones normales para la aproximacion que hemos conside-rado:

c′1 〈x1 |x1〉+ c′2 〈x1 |x2〉+ c′3 〈x1 |x3〉+ · · ·+ c′m 〈x1 |xm〉 = 〈x1 |y〉c′1 〈x2 |x1〉+ c′2 〈x2 |x2〉+ c′3 〈x2 |x3〉+ · · ·+ c′m 〈x2 |xm〉 = 〈x2 |y〉...

...c′1 〈xm |x1〉+ c′2 〈xm |x2〉+ c′3 〈xn |x3〉+ · · ·+ c′m 〈xm |xm〉 = 〈xn |y〉

donde, tal y como se ha senalado, las incognitas son las c′1,c′2,c′3, · · ·c′m



Ejemplos

Se sospecha que una determinada propiedad de un material cumple con la ecuacion y = ax1 + bx2. Sial realizar un conjunto de medidas experimentales obtenemos y1

x11

x12

=

1512

;

y2

x21

x22

=

1221

;

y3

x31

x32

=

1011

;

y4

x41

x42

=

01−1

Es claro que tenemos un subespacio de m = 2 dimensiones y hemos hecho n = 4 veces el experimento.Por lo tanto los vectores considerados arriba seran

|x1〉 = (1, 2, 1, 1) ; |x2〉 = (2, 1, 1,−1) ; |y〉 = (15, 12, 10, 0)

por lo tanto

7a +4b = 494a +7b = 52

⇒

a = 4511

b = 5611

⇒ 11y = 45x1 + 56x2

Se puede extender el razonamiento anterior y generar un ajuste linear cuadratico. Esto es, el ajustelineal es en los coeficiente, pero la funcionalidad de la ley a la cual queremos ajustar los datos puedeser un polinomio de cualquier orden. Ese es el caso de una parabola que ajusta al siguiente conjuntode puntos

(0, 1) , (1, 3) , (2, 7) , (3, 15) ⇔ y = ax2 + bx+ c

Las ecuaciones toman la forma de1 = 0 +0 +c3 = a +b +c7 = 4a +2b +c

15 = 9a +3b +c

y los vectores construidos a partir de los datos experimentales seran

|x1〉 = (0, 1, 4, 9) ; |x2〉 = (0, 1, 2, 3) ; |x3〉 = (1, 1, 1, 1) ; |y〉 = (1, 3, 7, 15)

las ecuaciones normales para este sistema son

136 = 98a +36b +14c62 = 36a +14b +6c26 = 14a +6b +4c

⇒

a = −6

b = 1135

c = − 325

⇒ y = −6x2 +113

5x− 32

5

Ejercicios Al medir la temperatura a lo largo de una barra material obtenemos los siguientes valores

xi (cm) 1, 0 2, 0 3, 0 4, 0 5, 0 6, 0 7, 0 8, 0 9, 0Ti (C) 14, 6 18, 5 36, 6 30, 8 59, 2 60, 1 62, 2 79, 4 99, 9

Encuentre, mediante el metodo de los mınimos cuadrados los coeficientes que mejor ajustan a una rectaT = ax+ b




1. Consideramos el espacio vectorial de polinomios, , de grado g ≤ n definidos en el intervalo [0, 1] o enel intervalo [−1, 1] segun el caso

a) Consideramos el espacio vectorial de polinomios, , de grado g ≤ n definidos en el intervalo [0, 1] oen el intervalo [−1, 1] segun el caso ¿ Cual o cuales de los siguientes conjuntos de vectores en P3

son linealmente independientes ? Explique por queNinguno, todos son linealmente dependientes

1) |x1〉 = 1; |x2〉 = x− 1; |x3〉 = x2; |x4〉 = x2 + 2x+ 1;Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4〉 = 3|x1〉+ 2|x2〉+ |x3〉

2) |x1〉 = 2x; |x2〉 = x2 + 1; |x3〉 = x+ 1; |x4〉 = x2 − 1;Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4〉 = |x1〉+ |x2〉 − 2|x3〉

3) |x1〉 = x(x− 1); |x2〉 = x; |x3〉 = x3; |x4〉 = 2x3 − x2;Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4〉 = −|x1〉+ |x2〉+ 2|x3〉

b) Considerando las siguientes definiciones de producto interior en Pn:definidos en el intervalo [0, 1]o en el intervalo [−1, 1] segun el caso

〈qn|pn〉 =

∫ 1

−1

p(x)q(x)dx y 〈qn|pn〉 =

∫ 1

0

p(x)q(x)dx

En P3 encontrar la distancia y el angulo entre los vectores

|x1〉 = x(x− 1); |x2〉 = x;

En general la definicion de distancia es

d (|x1〉, |x2〉) =√〈x2− x1 |x2− x1〉

por lo tanto para 〈qn|pn〉 =∫ 1

−1p(x)q(x)dx la distancia sera

√〈x2− x1 |x2− x1〉 =

√∫ 1

−1

(x(x− 1)− x)2

dx =1

15

√690

y para 〈qn|pn〉 =∫ 1

0p(x)q(x)dx ser’a

√〈x2− x1 |x2− x1〉 =

√∫ 1

0

(x(x− 1)− x)2

dx =2

15

√30

los angulos seran

θ = arc cos

(〈x1 |x2〉√

〈x1 |x1〉√〈x2 |x2〉

)



para 〈qn|pn〉 =∫ 1

−1p(x)q(x)dx

θ = arc cos

(〈x1 |x2〉√

〈x1 |x1〉√〈x2 |x2〉

)= arc cos

∫ 1

−1(x(x− 1)) (x) dx√∫ 1

−1(x(x− 1))

2dx√∫ 1

−1(x)

2dx

θ = arc cos

(− 1

12

√15√

6

)= 2,4825 rad

para 〈qn|pn〉 =∫ 1

0p(x)q(x)dx

θ = arc cos

(〈x1 |x2〉√

〈x1 |x1〉√〈x2 |x2〉

)= arc cos

∫ 1

0(x(x− 1)) (x) dx√∫ 1

0(x(x− 1))

2dx√∫ 1

0(x)

2dx

θ = arc cos

(− 1

12

√15√

2

)= 2,4825 rad

¡ el mismo angulo !

c) Una de las posibles bases de Pn sera el conjunto

1, x, x2, x3, · · · , xn

con el producto interno

viene definido por 〈f | g〉 =∫ 1

0dx f (x) g (x) .

1) Encuentre la base ortonormal que expande el subespacio S3 de los polinomios, Pn, de gradog ≤ 3.S3 tendra como vectores linealmente independientes

1, x, x2, x3

para encontrar la base or-

tonormal utilizamos el metodo de Gram Smith con lo cual tendremos que

|un〉 ≡ |vn〉 −n−1∑i=1

〈vn |ui〉〈ui |ui〉

|ui〉

esto es

|u1〉 =|v1〉√〈u1 |u1〉

=1√∫ 1

0dx

= 1

|u2〉 =|v2〉 − 〈v2 |u1〉

〈u1 |u1〉 |u1〉√〈u2 |u2〉

=x−

∫ 10xdx∫ 1

0dx√

〈u2 |u2〉=

x− 12√∫ 1

0

(x− 1

2

)2dx

= 2

(x− 1

2

)√3

|u3〉 =|v3〉 − 〈v3 |u1〉

〈u1 |u1〉 |u1〉 − 〈v3 |u2〉〈u2 |u2〉 |u2〉√

〈u3 |u3〉=

x2 −∫ 10x2dx∫ 1

0dx−∫ 10x2(2(x− 1

2 )√

3)dx∫ 10 (2(x− 1

2 )√

3)2dx

(2(x− 1

2

)√3)

√〈u3 |u3〉

|u3〉 =x2 + 1

6 − x√∫ 1

0

(x2 + 1

6 − x)2

dx= 6

(x2 +

1

6− x)√

5



|u4〉 =|v4〉 − 〈v4 |u1〉

〈u1 |u1〉 |u1〉 − 〈v4 |u2〉〈u2 |u2〉 |u2〉 − 〈v4 |u3〉

〈u3 |u3〉 |u2〉√〈u4 |u4〉

=

|u4〉 =x3 −

∫ 1

0x3dx−

(∫ 1

0x3(2(x− 1

2

)√3)

dx) ((

2(x− 1

2

)√3))√

〈u4 |u4〉

−

(∫ 1

0x3(6(x2 + 1

6 − x)√

5)

dx) (

6(x2 + 1

6 − x)√

5)√

〈u4 |u4〉

|u4〉 =

(x3 − 1

20 + 35x−

32x

2)√∫ 1

0

(x3 − 1

20 + 35x−

32x

2)2

dx= 20

(x3 − 1

20+

3

5x− 3

2x2

)√7

2) Encuentre las componentes del polinomio g (x) = 5 + 3x2−x3 +x5 proyectado sobre esa baseortonormal que expande a S3

Las componentes de la proyeccion de g (x) en S3 serıan

c1 = 〈g |u1〉 =

∫ 1

0

u1 (x) g (x) dx =

∫ 1

0

(1)(5 + 3x2 − x3 + x5

)dx =

71

12

c2 = 〈g |u2〉 =

∫ 1

0

u2 (x) g (x) dx =

∫ 1

0

(2

(x− 1

2

)√3

) (5 + 3x2 − x3 + x5

)dx =

197

420

√3

c3 = 〈g |u3〉 =

∫ 1

0

u3 (x) g (x) dx =

∫ 1

0

(6

(x2 +

1

6− x)√

5

) (5 + 3x2 − x3 + x5

)dx

=23

210

√5

c4 = 〈g |u4〉 =

∫ 1

0

u4 (x) g (x) dx

=

∫ 1

0

(20

(x3 − 1

20+

3

5x− 3

2x2

)√7

) (5 + 3x2 − x3 + x5

)dx =

4

315

√7

con lo cual

|g〉S3 =71

12|u1〉+

197

420

√3 |u2〉+

23

210

√5 |u3〉+

4

315

√7 |u4〉

y la norma sera

‖|g〉S3‖2 =

(71

12

)2

+

(197

420

√3

)2

+

(23

210

√5

)2

+

(4

315

√7

)2

=1,418,047

39,690∼= 35,728

para que, finalmente la proyeccion del polinomio en S3 sera

gS3 (x) =71

12+

197

420

√3

(2

(x− 1

2

)√3

)+

23

210

√5

(6

(x2 +

1

6− x)√

5

)+

(20

(x3 − 1

20+

3

5x− 3

2x2

)√7

)gS3 (x) =

71

12+

197

70

(x− 1

2

)+

23

42

(x2 +

1

6− x)

+ 20√

7

(x3 − 1

20+

3

5x− 3

2x2

)es decir

gS3 (x) =5797

1260−√

7 +

(34

15+ 12√

7

)x+

(23

42− 30

√7

)x2 + 20

√7x3



3) Encuentre la mınima distancia desde el subespacio S3 al polinomio g (x)La distancia mınima sera la norma del vector ortogonal a S3tal que

|g〉 = |g〉S3 + |g〉⊥S3 donde |g〉S3 ∈ S3

y |g〉⊥S3 es un vector de su complemento ortogonal. Por lo tanto el Teorema de Pitagoras nosdice que

‖|g〉‖2 = ‖|g〉S3‖2 + ‖|g〉⊥S3‖2

con lo cual tendremos que la mınima distancia sera

‖|g〉⊥S3‖ =

√‖|g〉‖2 − ‖|g〉S3‖2

‖|g〉‖2 =

∫ 1

0

(5 + 3x2 − x3 + x5

)2dx =

495193

13860

‖|g〉S3‖2 =1418047

39690

con lo cual

‖|g〉⊥S3‖ =

√495193

13860− 1418047

39690≈ 1,196 5× 10−2

d) Sea f (x) = e2x una funcion perteneciente al espacio lineal de funciones continua y continuamente

diferenciables, C∞[−1,1], en el cual el producto interno viene definido por 〈q|p〉 =∫ 1

−1p(x)q(x) dx.

Encuentre el polinomio lineal mas cercano a la funcion f (x) .

En el subespacio S1 de polinomios lineales, los vectores base son 1, x Es una base ortogonalpero no es normal, con lo cual la normalizamos

|u1〉 =|v1〉√〈u1 |u1〉

=1√∫ 1

−1dx

=1

2

√2

|u2〉 =|v2〉 − 〈v2 |u1〉

〈u1 |u1〉 |u1〉√〈u2 |u2〉

=x−

∫ 1−1

xdx∫ 1−1

dx√〈u2 |u2〉

=x√∫ 1

−1x2dx

=

√6

2x

y la proyeccion ortogonal de esta funcion sera

c0 =

∫ 1

−1

e2x

(1

2

√2

)dx = −

√2

4

(−e2 + e−2

)y c1 =

∫ 1

−1

(√6

2x

)e2xdx =

√6

8

(e2 + 3e−2

)con lo cual la funcion lineal sera

Pn =

(√6

8

(e2 + 3e−2

))x−√

2

4

(−e2 + e−2

)




1. Sea S el conjunto de todos los numeros reales excluyendo −1 y defina la operacion

a b = a+ b+ ab

donde + es la suma estandar entre numeros reales.

a) Muestre que [S,] forman grupo

b) Encuentre la solucion en S para la ecuacion 2 x 3 = 7

2. Considere un triangulo equilatero. Uno puede identificar operaciones de rotacion alrededor de un ejeperpendicular a la figura y reflexiones respecto a planos que dejan invariante la figura del triangulo.

a) Muestre que el conjunto de estas operaciones forma un grupo G4 =I,R, R,X1, X2, X3

. con

I la operacion identidad; R y R las rotaciones y X1, X2 y X3 las reflexiones. Muestre ademas,que las rotaciones forman un subgrupo cıclico de orden 3, mientras que las reflexiones forman unsubgrupo cıclico de orden 2

b) Construya la tabla de multiplicacion para G4

c) Considere las siguientes matrices

I =

(1 00 1

); A =

− 12

√3

2

−√

32 − 1

2

B =

− 12 −

√3

2

√3

2 − 12

C =

(−1 00 1

); D =

12 −

√3

2

−√

32 − 1

2

E =

12

√3

2

√3

212

Muestre que forman grupo bajo la multiplicacion de matrices y que ese grupo es isomorfo a G4

d) Considere las siguientes funciones

f1(x) = x; f2(x) =1

x; f3(x) =

1

1− x; f4(x) =

x− 1

x; f5(x) = 1− x; f6(x) =

x

x− 1;

Muestre que forman grupo bajo la operacion fi(x)fj(x) = fi(fj(x)) y que ese grupo es isomorfoa G4

.

3. Definamos una operacion binaria como

x y = x+ y + αxy

con x, y, α ∈ R y ademas α 6= 0.

a) Demuestre que es asociativa

b) Muestre que genera un grupo enR−

(−1α

). Es decir, ∀x, y ∈ R ∧ x 6= −1

α , y 6=−1α entonces

x y forma un grupo



4. Muestre que el siguiente conjunto de transformaciones en el plano xy forman un grupo y construya sutabla de multiplicacion

a) 1 =

x→ x

y → y

b) I =

x→ −x

y → −y

c) Ix =

x→ −x

y → y

d) Iy =

x→ x

y → −y

5. Muestre que tambien seran espacios vectoriales

a) El conjunto de todas las funciones f = f (x) definidas en x = 1 con f (1) = 0. Si f (1) = c, ¿tendremos igual un espacio vectorial ? ¿ por que ?

b) Los vectores (x, y, z) ∈ V3 tal que sus componentes satisfacen el siguiente sistema de ecuacionesalgebraico

a11x+ a12y + a13z = 0

a21x+ a22y + a23z = 0

a31x+ a32y + a33z = 0

6. Sea Pn el conjunto de todos los polinomios de grado n, en x, con coeficientes reales:

|pn〉 p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ an−1x

n−1 =

n−1∑i=0

aixi

a) Demostrar que Pn es un espacio vectorial respecto a la suma de polinomios y a la multiplicacionde polinomios por un escalar (numero real).

b) Si los coeficientes ai son enteros, ¿ Pn sera un espacio vectorial ?¿ Porque ?

c) ¿ Cual de los siguientes subconjuntos de Pn es un subespacio vectorial ?

1) El polinomio cero y todos los polinomios de grado n− 1.

2) El polinomio cero y todos los polinomios de grado par.

3) Todos los polinomios que tienen a x como un factor (grado n > 1).

4) Todos los polinomios que tienen a x− 1 como un factor.

d) ¿ Cual de los siguientes polinomios pertenece al subespacio de P generado por: |x1〉 = x3 + 2x+1; |x2〉 = x2 − 2; |x3〉 = x3 + x;

1) x2 − 2x+ 1;

2) x4 + 1;



3) − 12x

3 + 52x

2 − x− 1;

4) x− 5;

e) Probar que los polinomios

|x1〉 = 1; |x2〉 = x; |x3〉 =3

2x2 − 1

2; |x4〉 =

5

2x3 − 3

2x;

Forman una base en P4. Expresar |p〉 = x2; |q〉 = x3 en funcion de esa base.

f ) Sean |pn〉 = p(x)=∑n−1i=0 aix

i, |qn〉 = q(x) =∑n−1i=0 bix

i ∈ Pn. Considerese la siguiente definicion:

〈qn|pn〉 a0b0 + a1b1 + a2b2 + ...+ an−1bn−1 =

n−1∑i=0

aibi

1) Muestre que esta es una buena definicion de producto interno.

2) Con esta definicion de producto interior ¿ se puede considerar Pn un subespacio de C[a,b] ? ¿Por que ?

g) Considerando estas definiciones de producto interior en Pn

1) 〈qn|pn〉 =∫ 1

−1p(x)q(x)dx

2) 〈qn|pn〉 =∫ 1

0p(x)q(x)dx

Encontrar la distancia y el angulo entre los siguientes pares de vectores en P3

1) |x1〉 = 1; |x2〉 = x;

2) |x1〉 = 2x; |x2〉 = x2;

h) Encontrar la proyeccion perpendicular de los siguientes vectores en C[−1,1] (espacio de funcionescontinuas en el intervalo [-1,1]) al subespacio generado por los polinomios 1, x, x2 − 1. Calcularla distancia de cada una de estas funciones al subespacio mencionado.

1) f(x) = xn; n entero

2) f(x) = senx;

3) f(x) = 3x2;

7. Los vectores en R3 en coordenada cartesianas los definimos como ~a = ax ı+ ay + ayk y definimos una“tabla de multiplicacion” entre ellos de la forma

⟨ei |ej〉 = δij con i, j = 1, 2, 3, esto es:⟨

ei |ej〉 ı k

ı 1 0 0 0 1 0k 0 0 1

con i, j = 1, 2, 3

Un cuaternion cartesiano puede escribirse de manera analoga a los vectores cartesianos, vale decir:

|a〉 = aα |qα〉 = a0 + ai |qi〉 = a0 + ax ı+ ay + ayk

con α = 0, 1, 2, 3 y donde las aicon i = 1, 2, 3 son numeros reales que representan las componentes vec-toriales en coordenadas cartesianas de los cuaterniones, mientras que la a0, tambien numeros reales, se



le llama componente escalar9. Los cuaterniones fueron inventados por el matematico irlandes WilliamRowan Hamilton10 a mediados del siglo XIX. Por decirlo de alguna manera, son hıbridos. o generali-zaciones a un plano hipercomplejo. Un vector cartesiano es un cuaternion con la componente escalarnula. Basandonos en este esquema podemos definir la “tabla de multiplicacion” para los cuaternionescartesianos como

|q′i〉 |qj〉 1 |q1〉 |q2〉 |q3〉1 1 |q1〉 |q2〉 |q3〉|q′1〉 |q1〉 −1 |q3〉 − |q2〉|q′2〉 |q2〉 − |q3〉 −1 |q1〉|q′3〉 |q3〉 |q2〉 − |q1〉 −1

Notese que por el hecho que |qj〉 |qj〉 = −1⇒ |q1〉 |q1〉 = |q2〉 |q2〉 = |q3〉 |q3〉 = −1, se puedepensar que un cuaternion es la generalizacion de los numeros complejos a mas de una dimension (unnumero hipercomplejo) donde la parte imaginaria tendrıa tres dimensiones y no una como es costumbre.Esto es

|a〉 = aα |qα〉 = a0 |q0〉︸︷︷︸1

+ aj |qj〉 = a0 + a1 |q1〉+ a2 |q2〉+ a3 |q3〉︸︷︷︸“parte compleja”

Siendo consistente con esa vision de generalizacion de un numero complejo, definiremos el conjugadode un cuaternion como |b〉z = b0 |q0〉 − bj |qj〉 con j = 1, 2, 3. Es decir, en analogıa con los numeroscomplejos el conjugado de un cuaternion cambia el signo de su “parte compleja vectorial”. Igualmente,definiremos la suma entre cuaterniones como

|a〉 = aα |qα〉

|b〉 = bα |qα〉

⇒ |c〉 = cα |qα〉 = |a〉+ |b〉 = (aα + bα) |qα〉 ⇒ cα = (aα + bα)

Esto quiere decir que los vectores se suman componente a componente. Mientras que la multiplicacionpor un escalar queda definida por α |c〉 = αcα |qα〉 es decir se multiplica el escalar por cada componente.

a) Compruebe si los Cuaterniones, |a〉 , forman un espacio vectorial respecto a una operacion esa sumay esa multiplicacion por escalares, analoga a la de los vectores en R3 en coordenada cartesianas.¿ Cuaterniones |a〉 son vectores, pseudovectores o ninguna de las anteriores ? Explique por que.

b) Dados dos cuaterniones |b〉 ≡(b0,~b

)y |r〉 ≡

(r0, ~r

)entonces, el producto entre cuaterniones

|d〉 = |b〉 |r〉 podra representarse como

|d〉 = |b〉 |r〉 ←→(d0, ~d

)=(b0d0 −~b · ~r, d0~b+ b0~r +~b× ~r

)donde · y × corresponden con los productos escalares y vectoriales tridimensionales. de siempre,respectivamente.Mas aun, ahora con ındices, dados |b〉 = bα |qα〉 y |r〉 = rα |qα〉 , compruebe si su producto de|d〉 = |b〉 |r〉 puede ser siempre escrito de la forma

|d〉 = |b〉 |r〉 = a |q0〉+ Sijδ0i |qj〉+A[jk]ibjrk |qi〉

9Recuerde que estamos utilizando la convencion de Einstein en la cual cα |qα〉 ≡ c0 +∑3j=1 c

j |qj〉 . Es decir hemos supuesto

que |q0〉 ≡ 1, la unidad en los numeros reales. Adicionalmente, notese que los ındices griegos α, β, · · · toman los valores 0, 1, 2, 3,mientras que los latinos que acompanan a los vectores cartesianos toman los siguiente valores j, k, l = 1, 2, 3.

10Para mas detalles y de los cuaterniones pueden consultar http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html


http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html


donde a representa un escalar; S(ij)δ0i tres cantidades (recuerde que los ındices latinos toman los

siguiente valores j, k, l = 1, 2, 3.) y donde S(ij) indica Sji = Sij que la cantidad Sij es simetrica ypor lo tanto

(Sijδ0

i + Sjiδ0i

)|qj〉 Mientras A[jk]i representa un conjunto de objetos antisimetricos

en j y k : A[jk]i → Ajki = −Akji →(Ajkibjck −Akjibjck

)|qi〉 . Identifique las cantidades a, S(ij)

y A[jk]i en termino de las componentes de los cuaterniones¿ el producto de cuaterniones |d〉 = |a〉 |r〉 sera un vector, pseudovector o ninguna de lasanteriores ?. Explique por que.

c) Muestre que los cuaterniones pueden ser representados por matrices complejas 2× 2 del tipo

|b〉 ←→(

z w−w z

)donde z, w son numeros complejos y w y z sus complejos conjugados

d) Muestre que una representacion posible para la base de cuaterniones es, la matriz unitaria 4x4 y

|q1〉 =

0 1 0 0−1 0 0 00 0 0 10 0 −1 0

; |q2〉 =

0 0 0 −10 0 −1 00 1 0 01 0 0 0

; |q3〉 =

0 0 −1 00 0 0 11 0 0 00 −1 0 0

e) Compruebe si la siguiente es una buena definicion de producto interno:

〈a |b〉 = |a〉z |b〉

f ) Modifique un poco la definicion anterior de tal forma que se tenga la

(a |b) =1

2[〈a |b〉 − |q1〉〈a |b〉 |q1〉]

y compruebe si esta definicion compleja del producto interno cumple con todas las propiedades.Notese que un cuaternion de la forma |f〉 = f0 + f1 |q1〉 es un numero complejo convencional.

g) Compruebe si la siguiente es una buena definicion de norma para los cuaterniones

n(|b〉) = ‖|a〉‖ =√〈a |a〉 =

√|a〉z |a〉

h) Comprebe si un cuaternion definido por

|a〉 =|a〉z

‖|a〉‖2

puede ser considerado como el inverso o elemento simetrico de |a〉 respecto a la multiplicacion i) Compruebe si los Cuaterniones |a〉 forman un grupo respecto a una operacion multiplicacion .

j ) Los vectores en <3 en coordenada cartesianas, |v〉 , pueden ser representados como cuaternionesdonde la parte escalar es nula v0 = 0→ |v〉 = vj |qj〉 .Compruebe si el siguiente producto conservala norma

|v ′〉 = |a〉 |v〉 |a〉

Estos es ‖|v ′〉‖2 =(v1′)2 +

(v2′)2 +

(v3′)2 ≡ (v1

)2+(v2)2

+(v3)2

= ‖|v〉‖2


Bibliografıa

[1] Apostol, T. M. (1972) Calculus Vol 2 (Reverte Madrid) QA300 A66C3 1972


[3] Cohen-Tannoudji, C., Diu B. y Laloe (1977) Quantum Mechanics Vol 1 (John Wiley Interscience,Nueva York)

[4] Gelfand, I.M. (1961) Lectures on Linear .Algebra (John Wiley & Sons Interscience, Nueva York).

[5] Jordan, T.F. (1969) Linear Operator for Quantum Mechanics (John Wiley & Sons Interscience,Nueva York).


99

Capıtulo 3

Vectores Duales y Tensores

100


3.1. Funcionales Lineales

Definiremos funcionales lineales aquella operacion que asocia un numero complejo (o real) a un vector |v〉 ∈V y cumple con la linealidad. Esto es

∀ |v〉 ∈ V → F [|v〉] ∈ C

F [α |v1〉+ β |v2〉] ≡ α F [|v1〉] + β F [|v2〉] ∀ |v〉 , |v1〉 , |v2〉 ∈ V

El conjunto de funcionales lineales F1,F2,F3,F4, · · · ,Fn, · · · constituyen a su vez un espacio vectorial,que se denomina espacio vectorial dual de V y se denotara como V∗. Este espacio lineal tambien se denominaespacio de formas lineales y los funcionales son esas 1−forma. Esto es, dados F1,F2 ∈ V∗ se tiene

(F1 + F2) [|v〉] = F1 [|v〉] + F2 [|v〉]

(α F) [|v〉] = α∗ F [|v〉]

∀ |v〉 ∈ V

En aquellos espacios lineales con producto interno definido (Espacios de Hilbert), el mismo producto internoconstituye la expresion natural del funcional. Ası para tendremos

(Fa) [|v〉] ≡ 〈a |v〉 ∀ |v〉 ∈ V ∧ ∀ 〈a| ∈ V∗

Es claro comprobar que el producto interno garantiza que los Fa,Fb, · · · forman un espacio vectorial.

(Fa + Fb) [|v〉] = Fa [|v〉] + Fb [|v〉] = 〈a |v〉+ 〈b |v〉

(α Fa) [|v〉] = 〈αa |v〉 = α∗ 〈a |v〉 = α∗ Fa [|v〉]

∀ |v〉 ∈ V

Esta ultima propiedad se conoce como antilinealidad. Con lo cual se establece una correspondencia 1 − 1entre kets y bras, entre vectores y formas diferenciales.

λ1 |v1〉+ λ2 |v2〉 λ∗1 〈v1|+ λ∗2 〈v2|

Con lo cual podemos puntualizar esta correspondencia como

〈a |v〉 = 〈v |a〉∗

〈a |λ1v1 + λ2v2〉 = λ1 〈a |v1〉+ λ2 〈a |v2〉〈λ1a1+λ2a2 |v〉 = λ∗1 〈a1 |v〉+ λ∗2 〈a2 |v〉

Mas aun, dada una base ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 · · · |em〉 para V siempre es posible asociar una basepara V∗ de tal manera que

|v〉 = λi |ei〉〈v| = λ∗i⟨ei∣∣ con λi =

⟨ei |v〉 ∧ λ∗i = 〈v |ei〉 con i = 1, 2, · · · , n

En un lenguaje arcaico (y muchos textos de Mecanica todavıa lo reproducen) denominan a la base del espaciodual

⟨ei∣∣ la base recıproca de |ei〉

Notese estamos utilizando la notacion de Einstein en la cual ındices repetidos indican suma y que lasbases del espacio dual de formas diferenciales

⟨ek∣∣ llevan los ındices arriba. Los ındices arriba se llamaran

contravariantes y los ındices abajo covariantes. Las componentes de las formas diferenciales en una base dada,llevan ındices abajo 〈a| = ai

⟨ei∣∣ mientras que las componentes de los vectores los llevan abajo |a〉 = aj |ej〉



3.2. Bases Discretas

Para fijar conceptos y extender algunos de los razonamientos que hemos desarrollado hasta aquı. Tal ycomo vimos arriba, la representacion de un vector |F〉 en un espacio vectorial abstracto V puede darse entermino de una base ortonormal de vectores (discreta y finita BDF = |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 , · · · |un〉 o discretae infinita BDI = |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · |un〉 · · · ) de la forma:

|F〉 =

ci |ui〉 =⟨ui∣∣ F〉 |ui〉 ⇐ BDF = |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · |un〉

ci |ui〉 =⟨ui∣∣ F〉 |ui〉 ⇐ BDI = |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · |un〉 · · ·

con i = 1, 2, · · · , n

donde en ambos casos:ci =

⟨ui∣∣ F〉 = cj

⟨ui |uj〉 = cj δij

Donde la delta de Kronecker δki lleva un ındice arriba y uno abajo y representa δki = 1 si i = k y es nula enlos otros casos. Supondremos, de ahora en adelante un espacio de dimension finita y en este consideraremosdos bases ortogonales, BDF = |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 · · · |en〉 y BDF = |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 · · · |en〉 , de dimensionfinita. Como ambas son bases ortogonales todo vector de V puede expresarse en termino de esas bases, enparticular cada vector base se puede expresar en terminos de la otra base como

|e1〉 = c1 |e1〉+ c2 |e2〉 · · ·+ cn |en〉 = cj |ej〉|e2〉 = c1 |e1〉+ c2 |e2〉 · · ·+ cn |en〉 = cj |ej〉

...

|en〉 = c1 |e1〉+ c2 |e2〉 · · ·+ cn |en〉 = cj |ej〉

Este sistema de ecuaciones se puede resumir aun mas como

|ei〉 = Cji |ej〉 = Cji |ej〉

Los Cji son constantes que han renombrado las distintas formas de las constantes cj , cj · · · cj que expresamosarriba. Igualmente, podemos expresar los vectores de la segunda base en terminos de la primera como

|ei〉 = Aji |ej〉 =⇒⟨ek |ei〉 = δki = Aji

⟨ek |ej〉 = AjiC

kj

ya que|em〉 = Cjm |ej〉 =⇒

⟨ek |em〉 = Cjm

⟨ek |ej〉 = Cjmδ

kj = Ckm

Adicionalmente, hay varias costumbres a aclarar con la notacion de ındices.Al asociar los Ckm con elementos de matriz los ındices contravariantes (arriba) indicaran filas y los cova-

riantes (abajo) las columnas. Esas matrices seran no singulares para garantizar la independencia lineal delos vectores base. De este modo para el caso i, k = 1, 2, 3 tendremos

δki = AjiCkj =⇒ δki = Aji C

kj = Ckj A

ji

representa 1 0 00 1 00 0 1

=

C1j A

j1 C1

j Aj2 C1

j Aj3

C2j A

j1 C2

j Aj2 C2

j Aj3

C3j A

j1 C3

j Aj2 C3

j Aj3



1 0 00 1 00 0 1

=

C11 A

11 + C1

2 A21 + C1

3 A31 · · · C1

1 A13 + C1

2 A23 + C1

3 A33

C21 A

11 + C2

2 A21 + C2

3 A31

. . . C21 A

13 + C2

2 A23 + C2

3 A33

C31 A

11 + C3

2 A21 + C3

3 A31 · · · C3

1 A13 + C3

2 A23 + C3

3 A33

Es claro que Cij y Aji son inversas una de la otra, por cuanto su multiplicacion nos da la matriz identidad.

Por lo tanto si |ei〉 = Cji |ej〉 se considera la transformacion directa, mientras que |ei〉 = Aji |ej〉 sera latransformacion inversa. El caso mas emblematico lo constituyen las transformaciones entre la base ortonormalcartesiana |ı〉 , |〉 y la base ortonormal de vectores en coordenadas polares |ur〉 , |uθ〉 .

Siguiendo con el esquema propuesto expresamos los vectores cartesianos en la base de vectores polares

|ı〉 = cos θ |ur〉 − sen θ |uθ〉

|〉 = sen θ |ur〉+ cos θ |uθ〉

=⇒ |ei〉 = Cji |uj〉 =⇒ Cji =⟨uj |ei〉

con ⟨|e1〉 |ı〉|e2〉 |〉

⟩;

⟨|u1〉 |ur〉|u2〉 |uθ〉

⟩y

⟨ ⟨ei |ej〉 = δij⟨uk |ul〉 = δkl

⟩con lo cual

Cji =

( ⟨u1 |e1〉

⟨u1 |e2〉⟨

u2 |e1〉⟨u2 |e2〉

)=

(Cri CrjCθi Cθj

)=

(cos θ sen θ− sen θ cos θ

)Mas adelante veremos que esta es la matriz de rotaciones.

3.3. Parentesis Tensorial

3.3.1. Tensores una definicion funcional

La extension natural al concepto de funcional lineal es el concepto de tensor. Definiremos como un tensora un funcional lineal que asocia un numero complejo (o real) a un vector |v〉 ∈ V, a una forma 〈u| ∈ V∗, oambas y cumple con la linealidad. Esto es

∀ |v〉 ∈ V ∧ 〈u| ∈ V∗ → T [〈u| ; |v〉] ∈ C

T [ 〈u| ;α |v1〉+ β |v2〉] ≡ α T [〈u| ; |v1〉] + β T [〈u| ; |v2〉] ∀ |v1〉 , |v2〉 ∈ V ∧ 〈u| ∈ V∗

T [ζ 〈u1|+ ξ 〈u2| ; |v〉] ≡ αζ T [〈u1| ; |v〉] + ξ T [〈u2| ; |v〉] ∀ |v〉 ,∈ V ∧ 〈u1| , 〈u2| ∈ V∗

Es decir, un tensor es un funcional generalizado cuyos argumentos son vectores, formas o ambas. Esto esT [•; •] una cantidad con dos “puestos” y una vez cubiertos se convierte en un escalar (complejo o real). Aligual que las funciones de varias variables (f (x, y) = 3x+ 4y2) la posicion es importante

T

|v〉↓ ;

〈u|↓•

∈ C

Un tensor con dos argumentos correspondientes a formas y uno a un vector

T [, ; ·]⇒ T

|v1〉↓ ,|v2〉↓ ;

〈u|↓•

∈ C⇒ tensor de tipo

(12

);



y el caso contrario

T [; ·, ·]⇒ T

|v〉↓ ;

〈u1|↓• ,〈u2|↓•

∈ C⇒ tensor de tipo

(21

)En general

T [; ·, ·]⇒ T

|v1〉↓ ,|v2〉↓ , · · · ,

|vn〉↓ ;

〈u1|↓• ,〈u2|↓• · · · ,

〈um|↓•

⇒ tensor de tipo

(mn

)En esta notacion el punto y coma ;separa las “entradas” para las formas de las de los vectores. Es importanterecalcar que el orden si importa, no solo para las cantidades separadas por el punto y como sino el ordende los puestos de los vectores y formas separados por coma. Ese ultimo orden repercutira en las propiedadesde los tensores. Seran tensores simetricos si al permutar dos de los puestos de vectores (o formas) cambia designo el orden no importa; antisimetricos si el orden importa y un tensor generico si el orden importa perono se comporta como los casos resenados anteriormente. De todos modos esto sera tratado con detalle masadelante.

Obviamente las formas pueden ser representadas por tensores ya que son funcionales lineales de vectores,es decir,

un vector es tensor de tipo

(10

)⇒ T

〈a|↓ ∈ C.

Por su parte, los vectores constituyen un caso especial de tensores

una forma es tensor de tipo

(01

)⇒ T

|a〉↓• ∈ C.

porque son funcionales lineales para las formas diferenciales

3.3.2. Producto Tensorial: Definicion y propiedades

Como sera evidente mas adelante, unos tensores (simples) pueden provenir del producto tensorial (exterioro directo) de espacios vectoriales. Esto es que, dados E1 y E2 dos espacios vectoriales con dimensiones N1 y N2,respectivamente y vectores genericos, |ϕ(1)〉 y |χ(2)〉 pertenecientes a estos espacios vectoriales, |ϕ(1)〉 ∈ E1y |χ(2)〉 ∈ E2. Definiremos el producto tensorial (exterior o directo) de espacios vectoriales, E = E1 ⊗ E2, si

a cada par de vectores |ϕ(1)〉 ∈ E1 y |χ(2)〉 ∈ E2 le asociamos un tensor tipo

(20

)si se cumple que

|ϕ(1)χ(2)〉 = |ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉 = T

〈ζ(1)|↓• ,

〈ξ(2)|↓•

= 〈ζ(1) |ϕ(1)〉〈ξ(2) |χ(2)〉 ∈ C

y cumplen con las siguientes propiedades:

1. La suma entre tensores de E viene definida como

|ϕ(1)χ(2)〉+ |ζ(1)ξ(2)〉 = |ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉+ |ζ(1)〉 ⊗ |ξ(2)〉= |ϕ(1) + ζ(1)〉 ⊗ |χ(2) + ξ(2)〉



2. El producto tensorial es lineal respecto a la multiplicacion con numeros reales λ y µ

[|λϕ(1)〉]⊗ |χ(2)〉 = [λ |ϕ(1)〉]⊗ |χ(2)〉 = λ [|ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉] = λ |ϕ(1)χ(2)〉|ϕ(1)〉 ⊗ [|µχ(2)〉] = |ϕ(1)〉 ⊗ [µ |χ(2)〉] = µ [|ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉] = µ |ϕ(1)χ(2)〉

3. El producto tensorial es distributivo respecto a la suma:

|ϕ(1)〉 ⊗ [|χ1(2)〉+ |χ2(2)〉] = |ϕ(1)〉 ⊗ |χ1(2)〉+ |ϕ(1)〉 ⊗ |χ2(2)〉[|ϕ1(1)〉+ |ϕ2(1)〉]⊗ |χ(2)〉 = |ϕ1(1)〉 ⊗ |χ(2)〉+ |ϕ2(1)〉 ⊗ |χ(2)〉

Notese que los ındices (1) y (2) denotan la pertenencia al espacio respectivo.

Es facil convencerse que los tensores |ϕ(1)χ(2)〉 ∈ E = E1⊗E2 forman un espacio vectorial La demostracionse basa en comprobar los axiomas o propiedades de los espacios vectoriales. Es decir:

1. La operacion suma es cerrada en V : ∀ |vi〉 , |vj〉 ∈ V⇒|vk〉 = |vi〉 |vj〉 ∈ VEsto se traduce en demostrar que sumados dos tensores |ϕ(1)χ(2)〉 , y |ζ(1)ξ(2)〉 ∈ E el tensor sumatambien pertenece a E ,con a y b pertenecientes al campo del espacio vectorial

a |ϕ(1)χ(2)〉+ b |ζ(1)ξ(2)〉 = |aϕ(1) + ζ(1)〉 ⊗ |χ(2) + bξ(2)〉

y esto se cumple siempre ya que, el producto tensorial es lineal respecto a la multiplicacion con numerosreales y por ser E1 y E2 espacios vectoriales se cumple

|aϕ(1) + ζ(1)〉 = a |ϕ(1)〉+ |ζ(1)〉 ∈ E1

|ϕ(2) + bζ(2)〉 = |ϕ(2)〉+ b |ζ(2)〉 ∈ E2

=⇒ |ϕ(1) + ζ(1)〉 ⊗ |χ(2) + ξ(2)〉 ∈ E2

2. La operacion suma es conmutativa y asociativaConmutativa ∀ |vi〉 , |vj〉 ∈ V⇒|vi〉 |vj〉 = |vj〉 |vi〉Esta primera es clara de la definicion de suma

|ϕ(1)χ(2)〉+ |ζ(1)ξ(2)〉 = |ϕ(1) + ζ(1)〉 ⊗ |χ(2) + ξ(2)〉

|ζ(1)ξ(2)〉+ |ϕ(1)χ(2)〉 = |ζ(1) + ϕ(1)〉 ⊗ |ξ(2) + χ(2)〉

por ser E1 y E2 dos espacios vectoriales∀ |vi〉 , |vj〉 , |vk〉 ∈ V ⇒ (|vi〉 |vj〉) |vk〉 = |vj〉 (|vi〉 |vk〉)una vez mas, esto se traduce en:

(|ϕ(1)χ(2)〉+ |ζ(1)ξ(2)〉) + |κ(1)κ(2)〉 = |ϕ(1)χ(2)〉+ (|ζ(1)ξ(2)〉+ |κ(1)κ(2)〉)

con lo cual, por la definicion de suma la expresion anterior queda como

(|ϕ(1) + ζ(1)〉 ⊗ |ξ(2) + χ(2)〉) + |κ(1)κ(2)〉 = |ϕ(1)χ(2)〉+ (|ζ(1) + κ(1)〉 ⊗ |ξ(2) + κ(2)〉)

|(ϕ(1) + ζ(1)) + κ(1)〉 ⊗ |(ξ(2) + χ(2)) + κ(2)〉 = |ϕ(1) + (ζ(1) + κ(1))〉 ⊗ |ξ(2) + (χ(2) + κ(2))〉

3. Existe un unico elemento neutro: ∃! |0〉 3 |0〉 |vj〉 = |vj〉 |0〉 = |vj〉 ∀ |vj〉 ∈ VEs decir,

|ϕ(1)χ(2)〉+ |0(1)0(2)〉 = |ϕ(1) + 0(1)〉 ⊗ |χ(2) + 0(2)〉 = |ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉 = |ϕ(1)χ(2)〉



4. Existe un elemento simetrico para cada elemento de V :∀ |vj〉 ∈ V ∃ |−vj〉 3 |vj〉 |−vj〉 = |0〉 ⇒

|ϕ(1)χ(2)〉 − |ϕ(1)χ(2)〉 = |ϕ(1)− ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)− χ(2)〉 = |0(1)〉 ⊗ |0(2)〉 = |0(1)0(2)〉

5. α (β |vi〉) = (αβ) |vi〉 ⇒

α (β |ϕ(1)χ(2)〉) = α (|βχ(2)〉 ⊗ |ϕ(1)〉) = |αβχ(2)〉 ⊗ |ϕ(1)〉= (αβ) |χ(2)〉 ⊗ |ϕ(1)〉 = (αβ) |ϕ(1)χ(2)〉

6. (α+ β) |vi〉 = α |vi〉+ β |vi〉 ⇒

(α+ β) |ϕ(1)χ(2)〉 = |ϕ(1)〉 ⊗ |(α+ β)χ(2)〉 = |ϕ(1)〉 ⊗ |αχ(2) + βχ(2)〉= |ϕ(1)〉 ⊗ [(α |χ(2)〉+ β |χ(2)〉)]= α |ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉+ β |ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉

7. α (|vi〉 |vj〉) = α |vi〉 α |vj〉 ⇒

α (|ϕ(1)χ(2)〉+ |ζ(1)ξ(2)〉) = α (|ϕ(1) + ζ(1)〉 ⊗ |ξ(2) + χ(2)〉)= |α (ϕ(1) + ζ(1))〉 ⊗ |ξ(2) + χ(2)〉= |αϕ(1) + αζ(1)〉 ⊗ |ξ(2) + χ(2)〉= (|αϕ(1)χ(2)〉+ |αζ(1)ξ(2)〉)= α |ϕ(1)χ(2)〉+ α |ζ(1)ξ(2)〉

Equivalentemente, podemos construir un producto tensorial entre espacios de formas diferenciales. Si E∗1 yE∗2 son dos espacios vectoriales duales a E1 y E2, con dimensiones N1 y N2, respectivamente. A estos espaciospertenecen las formas diferenciales genericas 〈ζ(1)| ∈ E∗1 y 〈ξ(2)| ∈ E∗2 . Definiremos el producto tensorial deespacios vectoriales duales, E∗= E∗1 ⊗ E∗2 , si a cada par de formas diferenciales 〈ζ(1)| ∈ E∗1 y 〈ξ(2)| ∈ E∗2 le

asociamos un tensor tipo

(02

). Esto es

〈ζ(1)ξ(2)| = 〈ζ(1)| ⊗ 〈ξ(2)|

3.3.3. La tentacion del producto interno

Uno puede verse tentado a definir un producto interno de la forma

〈ϕ(1)χ(2) |ϕ(1)χ(2)〉 = 〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 · 〈χ(2) |χ(2)〉

A partir de las definiciones de productos internos en E1 y E2 mostraremos, sin embargo que NO es unabuena definicion de producto interno. Para ello supondremos que · representa la multiplicacion estandarentre numeros reales. Para comprobar queDebemos demostrar los axiomas o propiedades de los productos internos. Las propiedades que definen elproducto interno son:

1. 〈x| x〉 ∈< ∧ 〈x| x〉 ≥ 0 ∀ |x〉 ∈ V si 〈x| x〉 = 0⇒ |x〉 ≡ |0〉Esto es:

〈ϕ(1)χ(2) |ϕ(1)χ(2)〉 = 〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 · 〈χ(2) |χ(2)〉



como 〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 y 〈χ(2) |χ(2)〉 son buenas definiciones de producto interno tendremos que

〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 ≥ 0

〈χ(2) |χ(2)〉 ≥ 0

⇒ 〈ϕ(1)χ(2) |ϕ(1)χ(2)〉 ≥ 0

Aquı vale la pena mencionar algunos puntos sutiles sobre la segunda parte de la propiedad a demostrar:si 〈x| x〉 = 0⇒ |x〉 ≡ |0〉 lo cual para este caso se traducen en

〈ϕ(1)χ(2) |ϕ(1)χ(2)〉 = 〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 · 〈χ(2) |χ(2)〉 = 0

〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 · 〈χ(2) |χ(2)〉 = 0⇒

〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 = 0

〈χ(2) |χ(2)〉 6= 0

⇒ |ϕ(1)〉 = |0(1)〉

〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 6= 0

〈χ(2) |χ(2)〉 = 0

⇒ |χ(1)〉 = |0(1)〉

〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 = 0

〈χ(2) |χ(2)〉 = 0

⇒ |ϕ(1)〉 = |0(1)〉

|χ(1)〉 = |0(1)〉

definitivamente, habrıa que restringir los posibles vectores que intervienen en el producto tensorial, demodo que no fuera posible vectores del tipo

|ϕ(1)0(2)〉 = |ϕ(1)〉 ⊗ |0(2)〉 o |ϕ(1)χ(2)〉 = |0(1)〉 ⊗ |χ(2)〉

solo ası se cumple la propiedad mencionada.

2. 〈x| y〉 = 〈y| x〉∗ ∀ |x〉 , |y〉 ∈ VEsto puede ser demostrado facilmente como sigue

〈ϕ(1)χ(2) |ϕ(1)χ(2)〉 = 〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 · 〈χ(2) |χ(2)〉= 〈ϕ(1) |ϕ(1)〉∗ · 〈χ(2) |χ(2)〉∗

= (〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 · 〈χ(2) |χ(2)〉)∗

= 〈ϕ(1)χ(2) |ϕ(1)χ(2)〉∗

3. 〈x| y + z〉 = 〈x| y〉+ 〈x| z〉 ∧ 〈x + z| y〉 = 〈x| y〉+ 〈z| y〉 ∀ |x〉 , |y〉 , |z〉 ∈ VPartimos del lado derecho de la primera de las igualdades anteriores:

〈ϕ(1)χ(2)| [|ϕ(1)χ(2)〉+ |ζ(1)ξ(2)〉] = 〈ϕ(1)χ(2)| [|ϕ(1) + ζ(1)〉 ⊗ |ξ(2) + χ(2)〉]= 〈ϕ(1) |ϕ(1) + ζ(1)〉 · 〈χ(2) |ξ(2) + χ(2)〉

y otra vez, como 〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 y 〈χ(2) |χ(2)〉 son buenas definiciones de producto interno tendremosque:

〈ϕ(1) |ϕ(1) + ζ(1)〉 = 〈ϕ(1) |ϕ(1)〉+ 〈ϕ(1) |ζ(1)〉〈χ(2) |ξ(2) + χ(2)〉 = 〈χ(2) |ξ(2)〉+ 〈χ(2) |χ(2)〉



y al multiplicar 〈χ(2) |ξ(2) + χ(2)〉 por 〈ϕ(1) |ϕ(1) + ζ(1)〉 surgiran cuatro sumandos

〈ϕ(1) |ϕ(1)〉〈χ(2) |ξ(2)〉+〈ϕ(1) |ϕ(1)〉〈χ(2) |χ(2)〉+〈ϕ(1) |ζ(1)〉〈χ(2) |ξ(2)〉+〈ϕ(1) |ζ(1)〉〈χ(2) |χ(2)〉

lo cual contrasta con el lado izquierdo al utilizar la definicion dos veces que tienen dos sumandos

〈ϕ(1)χ(2) |ϕ(1)χ(2)〉+ 〈ϕ(1)χ(2) |ζ(1)ξ(2)〉 = 〈ϕ(1) |ϕ(1)〉 · 〈χ(2) |χ(2)〉+ 〈ϕ(1) |ζ(1)〉 · 〈χ(2) |ξ(2)〉

por lo cual NO se cumple esta propiedad y no hay forma de enmendarla. Solo por razones decompletitud.

3.3.4. Bases para un producto tensorial

Si |ui(1)〉 y |vi(2)〉 son bases discretas para E1 y E2, respectivamente, entonces podremos construirel tensor

|ui(1)vj(2)〉 = |ui(1)〉 ⊗ |vj(2)〉 ∈ Eel cual funcionara como una base para E . Por lo tanto, un tensor generico de E , construido a partir

|ϕ(1)χ(2)〉 = |ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉 = ϕiχj |ui(1)vj(2)〉

donde ϕi y χj son las componentes de |ϕ(1)〉 y |χ(2)〉 en sus respectivas bases. En otras palabras lascomponentes de un tensor en E corresponden a la multiplicacion de las componentes de los vectores en E1y E2 Recuerde que estamos utilizando la convencion de Einstein de suma tacita en ındices covariantes ycontravariantes, en la cual ck |vk〉 ≡

∑nk=1 c

k |vk〉 .Es importante senalar que si bien un tensor generico |Ψ〉 ∈ E siempre se puede expandir en la base

|ui(1)vj(2)〉 no es cierto que todo tensor de E provenga del producto tensorial de E1 y E2. Es decir, E tienemas tensores que los que provienen el producto tensorial. Esta afirmacion puede verse del hecho que si|Ψ〉 ∈ E entonces

|Ψ〉 = ci,j |ui(1)vj(2)〉por ser |ui(1)vj(2)〉 base para E . Es claro que dados dos numeros n1 y n2 habra ci,j que no provienen dela multiplicacion de n1n2.

3.3.5. Tensores, sus componentes y sus contracciones

Componentes de un tensor

Denominaremos componentes de un tensor, aquellos numeros que surgen de incorporar bases de formasdiferenciales y vectores. Ası si |ui(1)〉 , |vj(2)〉 , |tk(3)〉 y 〈xm(1)| , 〈yn(2)| son bases para los vectores y las

formas, respectivamente. Las componentes de un tensor

(23

)seran

Smnijk = S

|ui(1)〉↓ ,

|vj(2)〉↓ ,

|tk(3)〉↓ ;

〈xm(1)|↓• ,

〈yn(2)|↓•

claramente, esta definicion de componente contiene a las componentes ci,j de aquellos espacios tensorialesgenerados por el producto tensorial. Ya si consideramos un tensor como resultado de un producto tensorialy consideramos que las base |ui(1)〉 , 〈xm(1)| su componentes se pueden expresar ϕm(1)χi(1), vale decir,(

11

)⇐⇒ |ϕ(1)〉 ⊗ 〈∆(1)| =⇒ 〈xm(1) |ϕ(1)〉 ⊗ 〈∆(1)| ui(1)〉 ⇐⇒ ϕm(1)δi(1)



Combinaciones lineales de Tensores

Es claro que podremos sumar (componentes) de tensores como lo hemos hecho con la suma de (compo-nentes) de vectores

~a+~b = (ax + bx) ı+ (ay + by) + (az + bz) k =(a1 + b1

)ı+(a2 + b2

)+

(a3 + b3

)k =

(ai + bi

)|ei〉

Rijkl =(αQijkl + βP ijkl

)Producto Tensorial de Tensores

Podemos extender aun mas la idea del producto directo y ahora realizarla entre tensores. Ası dos tensores

tipo

(20

)y

(21

)si se cumple que

|ϕ(1)χ(2)〉 = |ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉 = T

〈ζ(1)|↓• ,

〈ξ(2)|↓•

|µ(1)κ(2)Θ(1)〉 = |µ(1)〉 ⊗ |κ(2)〉 ⊗ 〈Θ (1)| = P

|ui(1)〉↓ ;

〈ε(1)|↓• ,

〈φ(2)|↓•

=⇒

|ϕ(1)χ(2)〉 ⊗ |µ(1)κ(2)Θ(1)〉 = |ϕ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉 ⊗ |µ(1)〉 ⊗ |κ(2)〉 ⊗ 〈Θ (1)|

= T

〈ζ(1)|↓• ,

〈ξ(2)|↓•

⊗ P|ui(1)〉

↓ ;

〈ε(1)|↓• ,

〈φ(2)|↓•

= R

|ui(1)〉↓ ;

〈ε(1)|↓• ,

〈φ(2)|↓• ,

〈ζ(3)|↓• ,

〈ξ(4)|↓•

Contraccion de un Tensor

Denominaremos una contraccion cuando sumamos las componentes covariantes y contravariantes, estoes ϕi(1)χi(1) lo cual genera un escalar independiente de la base. Esta situacion sera mas evidente cuandodefinamos metricas y contraccion de tensores. Por analogıa y considerando un caso mas general, dada una

componente Smnijk correspondiente a un tensor

(23

)podremos construir un nuevo tensor

(12

)a partir

de una contraccion. Las componentes de este nuevo tensor seran Sinijk ≡ Snjk. Del mismo modo, dadas las

componentes de dos tensores, P lm y Qijzk generaran componentes de nuevos tensores Rlijk = P lmQijmk. Ası(20

)=⇒ P lm(

22

)=⇒ Qijzk

=⇒(

31

)=⇒ Rlijk = P lmQijmk



Es claro que si dos tensores derivan de productos tensoriales y si |ui(1)〉 , 〈um(1)| y |vi(2)〉 son basesortonormales para E1 E∗1 y E2, entonces sus productos podran ser expresados como

|γ(1)δ(2)〉 =(γi(1)δj(2)

)︸︷︷︸P ij

|ui(1)〉 ⊗ |vj(2)〉

|α(1)β(1)〉 =(αl(1)βm(2)

)︸︷︷︸Qlm

|ul(1)〉 ⊗ 〈um(1)|

=⇒

[(αl(1)βm(2)

)|ul(1)〉 ⊗ 〈um(1)|

] [(γi(1)δj(2)

)|ui(1)〉 ⊗ |vj(2)〉

]=⇒

αl(1)βm(2)(γi(1)δj(2)

)〈um(1) |ui(1)〉︸︷︷︸

δmi

|vj(2)〉 ⊗ |ul(1)〉 =⇒

αl(1)βk(2)(γk(1)δj(2)

)|vj(2)〉 ⊗ |ul(1)〉 = P ijQli |vj(2)ul(1)〉 = Rjl |vj(2)ul(1)〉

Pero mas aun si |ui(1)vj(2)〉 = |ui(1)〉 ⊗ |vj(2)〉 ∈ E es base de E entonces se puede demostrar lo anteriorsin circunscribirnos a tensores cuyas componentes provengan de multiplicacion de las componentes en cadaespacio vectorial.

Simetrizacion de Tensores

Un tensor (las componentes) sera simetrico respecto a dos de sus ındices si su permutacion no cambia suvalor:

Sij = Sji; Sij = Sji; Sij···kl···mn = Sij···lk···mn Sij···kl···mn = Sij···lk···mn

y sera antisimetrico si

Aij = −Aji; Aij = −Aji Aij···kl···mn = −Aij···lk···mn Aij···kl···mn = −Aij···lk···mn

Un tensor de rango 2, viene representado por una matriz. La matriz que representa un tensor de rango 2,tendra como maximo 6 componentes distintas sera

Sij = Sji =

S11 S1

2 S13

S21 S2

2 S23

S31 S3

2 S33

=

S11 S1

2 S13

S12 S2

2 S23

S13 S2

3 S33

mientras que un tensor antisimetrico de segundo orden tendra, cuando maximo, tres componentes con valorabsoluto distintos de cero

Aij = −Aji =

0 A12 A1

3

−A21 0 A2

3

−A31 −A3

2 0

Siempre es posible construir tensores simetricos y antisimetricos a partir de un tensor generico. Esto es:

Sij =1

2(Tij + Tji) ≡ T(ij) ⇐⇒ Sij···kl···mn =

1

2(Tij···kl···mn + Tij···lk···mn) = Tij···(kl)···mn

Aij =1

2(Tij − Tji) ≡ T[ij] ⇐⇒ Aij···kl···mn =

1

2(Tij···kl···mn − Tij···lk···mn) = Tij···[kl]···mn



Mas aun, es evidente que las componentes de un tensor generico Tij , pueden expresarse como una combinacionde su parte simetrica y antisimetrica

Tij = Sij +Aij

Obviamente que algo equivalente se puede realizar para componentes contravariantes de tensores.

3.3.6. Tensor Metrico, Indices y Componentes

Para una base generica, |xj〉 , no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial con producto interno,

podemos definir la expresion de un tensor simetrico

(02

)que hemos denominado tensor metrico como

g

|xi〉↓ , |xj〉↓, = gij ≡ gji =⇒ gij ≡ gji = g [|xi〉 , |xj〉]

g

〈xi|↓• ,〈xj|↓•

= gij ≡ gij =⇒ gij ≡ gij = (gij)−1

Notese que las gij ≡ gji son las componentes del tensor g

|xi〉↓ , |xj〉↓, una vez que la base |xj〉 ha actuado.

La denominacion de tensor metrico, no es gratuita, g

|xi〉↓ , |xj〉↓, cumple con todas las propiedades de la

metrica definida para un espacio vectorial euclidiano. Vale decir

1. g

|xi〉↓ , |xj〉↓, = g [|xi〉 , |xj〉] = gij ≡ gji ≥ 0 ∀ |xj〉 y si g [|xi〉 , |xj〉] = 0⇒ i = j

2. g [|xi〉 , |xj〉] = g [|xj〉 , |xi〉]⇒ gij ≡ gji

3. g [|xi〉 , |xj〉] ≤ g [|xi〉 , |zk〉] + g [|zk〉 , |xj〉] La desigualdad Triangular

Si la base generica, |xj〉 , es ortonormal entonces estas propiedades emergen de manera natural y esclaro que

g

|ei〉↓ , |ej〉↓, =⇒ g [, ] ≡ gij

⟨ei∣∣⊗ ⟨ej∣∣ ≡ gji ⟨ej∣∣⊗ ⟨ei∣∣ y g [•, •] ≡ gij |ei〉 ⊗ |ej〉 ≡ gji |ej〉 ⊗ |ei〉

con lo cual sus componentes seran matrices simetricas gij = gji y igualmente gij = gji. En general impon-dremos que(

gij⟨ei∣∣⊗ ⟨ej∣∣) (gkm |ek〉 ⊗ |em〉) = gijg

km⟨ei |ek〉

⟨ej |em〉 = gijg

kmδikδjm = gijg

ji = δii = n

ya que i, j = 1, 2, 3, · · · , n. Con lo cual gij es la matriz inversa de gij . Es decir, claramente, hemos definido

las componentes contravariantes del tensor de modo que cumplan con gikgkj = δji



Adicionalmente, es tambien es claro que(gij⟨ei∣∣⊗ ⟨ej∣∣) |a〉 = ak

(gij⟨ei∣∣⊗ ⟨ej∣∣) |ek〉 = akgij

⟨ej |ek〉

⟨ei∣∣ = akgijδ

jk

⟨ei∣∣ = akgik

⟨ei∣∣ ≡ ai ⟨ei∣∣

con lo cual ai = akgik. De esta manera, el tensor metrico nos permite asociar componentes covariantes acomponentes contravariantes. Dicho rapido y mal pero muy frecuente, el tensor metrico nos permite subir ybajar ındices. De la misma forma

〈a|(gij |ei〉 ⊗ |ej〉

)= 〈a|

(gij |ei〉 ⊗ |ej〉

)= gij 〈a |ei〉 ⊗ |ej〉 = akg

ij⟨ek |ei〉 |ej〉 = akg

kj |ej〉 ≡ aj |ej〉

otra vez aj = akgkj , y subimos el ındice correspondiente. La importancia de esta

Otra forma de verlo es combinando las propiedades del producto directo de tensores y contraccion deındices

gij |ei〉 ⊗ |ej〉 ⊗ P lmnk |el〉 ⊗ |em〉 ⊗ |en〉 ⊗⟨ek∣∣ =⇒

gijP lmnk |ej〉 ⊗ P lmnk |el〉 ⊗ |em〉 ⊗ |en〉 ⊗⟨ek∣∣ ei〉 =

gijP lmnk |ej〉 ⊗ |el〉 ⊗ |em〉 ⊗ |en〉 ·⟨ek∣∣ ei〉︸︷︷︸δki

= P jlmn |ej〉 ⊗ |el〉 ⊗ |em〉 ⊗ |en〉

gijP lmni ≡ P jlmn

Adicionalmente, el tensor metrico permite la contraccion de ındices. Ası, dado un producto tensorial dedos vectores que se pueden expresar en una base ortonormal

|a, b〉 = |a〉 ⊗ |b〉 = akbm |ek〉 ⊗ |em〉⇓(

gij⟨ei∣∣⊗ ⟨ej∣∣) (ak |ek〉 ⊗ bm |em〉) = akbmgijδ

ikδjm = akbmgkm = akbk = 〈b |a〉 = 〈a |b〉

Con lo cual, el producto interno de dos vectores involucra, de manera natural, la metrica del espacio. Estoes

〈b |a〉 = 〈a |b〉 = akbk = akbk = akbmgkm = akbmg

km

Obviamente la norma de un vector, tambien incluira al tensor metrico:

‖|a〉‖2 = 〈a |a〉 = aiaj⟨ei |ej〉 = aia

i = aiaj gij = aiaj gij

El caso mas emblematico lo constituye la norma de un desplazamiento infinitesimal. Para una base generica,|ej〉 no necesariamente ortogonal de un espacio vectorial con producto interno, el desplazamiento infinite-simal puede expresarse como

(ds)2 ≡ 〈dr |dr〉 =

(d xk

⟨ek∣∣) (d xm |em〉) =

⟨ek |em〉 d xk d xm = d xm d xm = gkm d xkd xm

Si la base |ej〉 es ortogonal (cosa mas o menos comun pero no necesariamente cierta siempre) las matricesgij y gij son diagonales cumplen con

gii =1

gii=⇒ (ds)

2=(h1 dx1

)2+(h2 dx2

)2+(h3 dx3

)2donde hi =

√gii con i, j = 1, 2, 3.



3.4. Un par de tensores

3.4.1. El tensor de esfuerzos (stress)

Figura 3.1: Tensor de Esfuerzos (stress) en 2 dimensiones

El caso 2D

Supongamos un cuerpo que se encuentra en equilibrio y esta sometido a un conjunto de fuerzas externas.Para facilitar las cosas consideremos el efecto de esas fuerzas sobre un plano que contiene a un determinadopunto P (ver figura 3.1 cuadrante Ia) Es decir, vamos a considerar los efectos de las componentes de todaslas fuerzas sobre ese plano y obviaremos efecto del resto de las componentes. Como observamos en la figura3.1 Ib y Ic, si cortamos la superficie en dos lıneas (AB y A′B′), observaremos que el efecto del conjunto defuerzas externas es distinto sobre P en la direccion perpendicular a cada una de esas lıneas. De hecho al“cortar” la superficie las fuerzas que aparecen sobre las lıneas AB (y A′B′) antes eran fuerzas internas yahora los son externas al nuevo cuerpo “cortado”. Ası, estas fuerzas por unidad de longitud1 sobre el puntoP existen un conjunto de fuerzas que generan esfuerzos (stress). Por lo tanto es claro que los esfuerzos sobreun punto dependen del punto, de las fuerzas externas y de la direccion del efecto.

Para irnos aclarando consideremos un elemento de area infinitesimal ds sobre la cual actuan un conjuntode fuerzas externas, las cuales las podemos descomponer como normales y tangenciales a la lınea sobre lacual estan aplicadas (ver figura 3.1 cuadrante II). Es costumbre denotar los esfuerzos normales y tangenciales

dA = dxdy ⇒

↑ Y2 = σ2dx −→ X2 = τ2dx

Y3 = τ3dy ↑X3 = σ3dy →

dxdy ds dy

dx

↑ Y1 = τ1dy→ X1 = σ1dy

↑ Y4 = σ4dx → X4 = τ4dx

1En el caso tridimensional, las fuerzas que generan los esfuerzos seran definidas como fuerzas por unidad de area. Ese casolo veremos en la proxima seccion.



La segunda ley de Newton nos lleva a

∑~F exti = dm ~a = 0 ⇒

τ1dy + σ2dx+ τ3dy + σ4dx = 0 = (σ2 + σ4) dx+ (τ1 + τ3) dy

σ1dy + τ2dx+ σ3dy + τ4dx = 0 = (τ2 + τ4) dx+ (σ1 + σ3) dy

con lo cualσ2 = −σ4; τ1 = −τ3

τ2 = −τ4 σ1 = −σ3

pero mas aun, como esta en equilibrio, tambien la sumatoria de torques se tendra que anular. Esto es

(τ1dy) dx2 − (τ2dx) dy

2 = 0

(τ3dy) dx2 − (τ4dx) dy

2 = 0

⇒ τ1 = τ2 = τ3 = τ4

con lo cual, nos damos cuenta que existen solo tres cantidades independientes: dos esfuerzos normales σ1 yσ2; y un esfuerzo tangencial τ1. Adicionalmente notamos que los esfuerzos tienen que ver, con la direccionde la fuerza y la superficie sobre la cual va aplicada. Con ello podemos disenar la siguiente notacion paralos esfuerzos: σij . El primer ındice indica la direccion de la fuerza y el segundo direccion de la normal de lasuperficie donde esta aplicada. Ası, tal y como muestra la figura (ver figura 3.1 cuadrante II)

σ1 ≡ σxx; −σ4 ≡ σyy; τ2 ≡ σxy ≡ σyx

El cambio de signo se debe a lo incomodo de la notacion σ4 ≡ σy−y ya que la normal de lado 4 apunta en ladireccion −y. Es importante tambien senalar que los esfuerzos en cualquier punto contenido en el diferencialde area dA = dxdy deben ser considerado constantes. O, lo que es lo mismo, que podemos hacer tender acero el area del diferencial y con ello asociar los esfuerzos σij a un punto P contenido en dA sobre la cualhemos calculado los esfuerzos.

En esta misma lınea de razonamiento, nos podemos preguntar cual es la expresion de los esfuerzos cuandose miden respecto a una superficie generica, definida por un vector normal ~n (ver figura 3.1 cuadrante III).Es decir, queremos conocer los esfuerzos medidos en el punto P en la direccion ~n, es decir σnn. Tendremosque en

x→ σxxdy + σxydx = σnnds cosφ+ σsnds senφ; y → σyydx+ σyxdy = σnnds senφ− σsnds cosφ

Ahora bien, dado que dy = ds cosφ y dx = ds senφ, entonces podemos expresar

σnn = σxx cos2 φ+ σxy senφ cosφ+ σyx senφ cosφ+ σyy sen2 φ

σsn = σxx senφ cosφ+ σxy sen2 φ− σyx cos2 φ− σyy senφ cosφ

y si ahora nos damos cuenta que si construimos una matriz

Aij =

(Axn = cosφ Axs = senφAyn = senφ Ays = − cosφ

)entonces podemos expresar

σnn = AxnAxnσxx +AxnA

ynσxy +AynA

xnσyx +AynA

ynσyy → σnn = AinA

jnσij con i, j = n, s

σsn = AxsAxnσxx +AxsA

ynσxy +AysA

xnσyx +AysA

ynσyy → σsn = AinA

jnσij con i, j = n, s



Figura 3.2: Tensor de Esfuerzos en 3 dimensiones

es decir σkl = AikAjlσij con i, j, k, l = n, s.

Como veremos mas adelante, cualquier objeto que transforme como σkl = AikAjlσij lo llamaremos tensor

de segundo orden.

El caso 3D

Analicemos ahora el caso tridimensional. En este caso tambien procedemos como en el caso anteriorestableciendo las condiciones de equilibrio∑

~F exti = 0 y∑

~τexti = 0

con ello construimos un volumen (cubico) diferencial y construimos los esfuerzos normales y tangenciales,los cuales seran

σxxdydz; σyydxdz; σzzdxdy; σxzdxdy; σyzdxdy; σxydxdz;

Siguiendo el mismo proceso que involucra imponer el equilibrio es facil demostrar que al igual que el casoanterior, el tensor de esfuerzos σij cumple con:

σxz = σzx; σyz = σzy; σxy = σyx

y por lo tanto tendremos 6 componentes (tres normales y tres tangenciales) independientes. Es decir, si bienel tensor de esfuerzos σij viene representado por una matriz 3×3 y por lo tanto tiene 9 elementos, solo 6 sonindependientes. Construyamos ahora el caso general para un tensor de esfuerzos en un medio elastico. Paraello construimos un tetraedro regular tal y como muestra la figura 3.2, y sobre su cara generica asociada aun vector normal ~n una fuerza

~F =∣∣∣~F ∣∣∣ un = F iii = Fxı + Fy + Fzk →

Fx = σxndSn

Fy = σyndSn

Fz = σzndSn

→ F i = σijnjdS → ~F = σ · d~S



se especifica como la fuerza que actua sobre un determinado elemento de superficie. Es claro que la condicionde equilibrio se traduce en∑

Fxi = 0 → σxndSn −1

2σxxdy dz − 1

2σxydx dz − 1

2σxzdx dy = 0

∑Fyi = 0 → σyndSn −

1

2σyxdy dz − 1

2σyydx dz − 1

2σyzdx dy = 0

∑Fzi = 0 → σzndSn −

1

2σzxdy dz − 1

2σzydx dz − 1

2σzzdx dy = 0

Si consideramos que la proyeccion de dSn sobre cada uno de los planos del sistema cartesiano tendremos que

dSn cos (ı;~n) = 12dy dz = dSn Axn

dSn cos (;~n) = 12dx dz = dSn Ayn

dSn cos (k;~n) = 12dx dy = dSn Azn

→ σxn = σxxAxn + σxyA

yn + σxzA

zn

y equivalentemente

σyn = σyxAxn + σyyA

yn + σyzA

zn; y σzn = σzxA

xn + σzyA

yn + σzzA

zn

las cuales se conocen como las relaciones de Cauchy y representan los esfuerzos sobre la superficie con normal~n. Ahora bien, dado que ~F = σ · d~S es una relacion vectorial podemos proyectar en la direccion um

um · ~F = um · σ · d~S → Fm = σmn dSn =(σmi A

in

)dSn =

(σmi A

in

)dSn

σmndSn =(σmiA

in

)dSn → σmndSn =

(σkiA

kmA

in

)dSn con i, j = x, y, z

Una vez mas vemos que transforma como un tensor.

3.4.2. El Tensor de Inercia

Consideremos el caso de un sistema de n partıculas. La cantidad de movimiento angular para este sistemavendra dada por

~L =∑i

m(i)

(~r(i) × ~v(i)

)donde hemos indicado que la i−esima partıcula que esta en la posicion ~r(i) tiene una velocidad ~v(i). Silas distancias entre las partıculas y entre las partıculas y el origen de coordenadas es constante podremosexpresar la velocidad de cada una de ellas como

~v(i) = ~ω × ~r(i)

(¿ por que ?). Donde ~ω es la velocidad angular instantanea del sistema. Entonces tendremos que

~L =∑i

m(i)

(~r(i) ×

(~ω × ~r(i)

))=∑i

m(i)

(~ω(~r(i) · ~r(i)

)− ~r(i)

(~ω · ~r(i)

))



y para cada partıcula se cumple que, las componentes de la cantidad de movimiento angular seran

Lk =∑i

m(i)

(ωk(rm(i)r(i)m

)− rk(i)

(ωmr(i)m

))Si vemos que ωk(i) = δkl ω

l(i) entonces

Lk =

(∑i

m(i)

(δkl ω

l(rm(i)r(i)m

)− rk(i)

(ωmr(i)m

)))= ωl(i)

(∑i

m(i)

(δkl

(rm(i)r(i)m

)− rk(i)

(r(i)l

)))︸︷︷︸

Ikl

es decirLk = ωl(i)I

kl donde Ikl =

∑i

m(i)

(δkl

(rm(i)r(i)m

)− rk(i)

(r(i)l

))el objeto Ikl se conoce como el tensor de inercia y corresponde a 9 cantidades (a pesar que solo 6 sonindependientes porque es un tensor simetrico)

Ikl =

Ixx =∑im(i)

(y2

(i) + z2(i)

)Ixy = −

∑im(i)

(x(i)y(i)

)Ixz = −

∑im(i)

(x(i)z(i)

)Iyx =

∑im(i)

(x(i)y(i)

)Iyy =

∑im(i)

(x2

(i) + z2(i)

)Iyz = −

∑im(i)

(y(i)z(i)

)Izx =

∑im(i)

(x(i)z(i)

)Izy =

∑im(i)

(y(i)z(i)

)Izz =

∑im(i)

(z2

(i) + y2(i)

)

nos contentaremos por ahora, suponer que esta construccion es un tensor y lo demostraremos mas adelante.

La ilustracion mas sencilla de que la masa en rotacion se comporta como un tensor y no como un escalarlo vemos en la rotacion de dos masas, m1,m2 iguales (con lo cual m1 = m2 = m) unidas por una varillasin masa de longitud l. Si el sistema (masas + varillas) se encuentra girando alrededor su centro de masa yambas masas se encuentran sobre el plano x, y, vale decir que la barra sin masa forma un angulo de α = π

2con el eje z. Entoces tendremos que

~r =l

2cos θ ı+

l

2sen θ ~j ⇒ ~v =

d~r

dt= − l

2

dθ

dtsen θ ı+

l

2

dθ

dtcos θ ~j

con lo cual

~L = m1 (~r1 × ~v1) +m2 (~r2 × ~v2) = m (~r1 × ~v1) +m ((−~r1)× (−~v1)) = 2m (~r1 × ~v1) =

(l

2

)2dθ

dtk

ya quem1 = m2 = m; ~r2 = −~r1 y ~v2 = −~v1

3.5. Repensando los vectores, otra vez

3.5.1. Vectores, Covectores y Leyes de Transformacion

Hemos visto que un determinado vector |a〉 ∈ V puede expresarse en una base ortogonal |ej〉 comoaj |ej〉 donde las aj son las componentes del vector contravariantes en la base que se ha indicado. En general,como es muy largo decir “componentes del vector contravariante” uno se refiere (y nos referiremos de ahora



en adelante) al conjuntoaj

como un vector contravariante obviando la precision de componente, perorealmente las aj son las componentes del vector.

Adicionalmente, en esta etapa pensaremos a las bases como distintos observadores o sistemas de refe-rencias. Con ello tendremos (algo que ya sabıamos) que un vector se puede expresar en distintas bases ytendra distintas componentes referidas a esa base

|a〉 = aj |ej〉 = aj |ej〉

Ası una misma cantidad fısica vectorial “se vera” distinta (tendra distintas componentes) desde diferentessistemas de coordenadas. Las distintas “visiones” estan conectadas mediante un transformacion de sistemade referencia

que veremos mas adelante.Igualmente hemos dicho que una forma diferencial 〈b| ∈ V ∗ es susceptible de expresarse en una base⟨

ei∣∣ del espacio dual V ∗ como bi

⟨ei∣∣ y, como el espacio esta equipado con un producto interno entonces

〈a |b〉 = 〈b |a〉 =(bi⟨ei∣∣) · (aj |ej〉) = bia

jδij = aibi

Con lo cual avanzamos otra vez en la interpretacion de cantidades fısicas: una cantidad fısica escalar “severa” igual (sera invariante) desde distintos sistemas de referencia.

Ademas sabemos que unas y otras componentes se relacionan como⟨ei |a〉 = aj

⟨ei |ej〉 = ajδij = aj

⟨ei |ej〉⟨

ei |a〉 = aj⟨ei |ej〉 = ajδij = aj

⟨ei |ej〉

=⇒

ai = Aij a

j

ai = Aijaj

donde claramente⟨ei |ej〉 = Aij ;

⟨ei |ej〉 = Aij y AikA

kj = δij ⇐⇒ Aij =

(Aij)−1

Diremos entonces que aquellos objetos cuyas componentes transforman como ai = Aij aj o equivalentemente

ai = Aijaj seran vectores o en un lenguaje un poco mas antiguo, vectores contravariantes. Tradicionalmente,

e inspirados en la ley de transformacion, la representacion matricial de las componentes contravariantes deun vector,

⟨ei |a〉 = aj , para una base determinada |ej〉 se estructuran en una columna

|a〉 =⇒⟨ei |a〉 con i = 1, 2, 3, · · · , n ⇐⇒

a1

a2

...an

De la misma manera, en el espacio dual, V ∗, las formas diferenciales se podran expresar en termino de

una base de ese espacio vectorial como 〈b| = bi⟨ei∣∣ = bi

⟨ei∣∣ Las bi seran las componentes de las formas

diferenciales o las componentes covariantes de un vector |b〉 o dicho rapidamente un vector covariante ocovector. Al igual que en el caso de las componentes contravariantes las componentes covariantes transformande un sistema de referencia a otro mediante la siguiente “ley de transformacion”:

〈b |ej〉 = bi⟨ei |ej〉 = biδ

ij = bi

⟨ei |ej〉

〈b |ej〉 = bi⟨ei |ej〉 = biδ

ij = bi

⟨ei |ej〉

=⇒

bi = biA

ij

bi = biAij

Otra vez, objetos cuyas componentes transformen como bi = biAij los denominaremos formas diferenciales o

vectores covariantes o covectores y seran representados matricialmente como un arreglo tipo fila

〈b| =⇒ 〈b |ej〉 con i = 1, 2, 3, · · · , n ⇐⇒(b1 b2 · · · bn



3.5.2. Cartesianas y Polares, otra vez

El ejemplo mas simple, y por ello, clasico y emblematico de lo anterior lo constituye las expresiones deun mismo vector en dos sistemas de coordenadas en el plano: Cartesianas |i〉 , |j〉 y |ur〉 , |uθ〉 . Esto es

|a〉 = ax |i〉+ ax |j〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉 y |a〉 = ar |ur〉+ aθ |uθ〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉

Al expresar una base en terminos de la otra obtenemos

|ur〉 = cos θ |i〉+ sen θ |j〉 y |uθ〉 = − sen θ |i〉+ cos θ |j〉

con lo cual ⟨ei |ej〉 = Aij ⇐⇒ Aij =

(〈i |ur〉〈i |uθ〉〈j |ur〉〈j |uθ〉

)≡(

cos θ − sen θsen θ cos θ

)y⟨

ei |ej〉 = Aij ⇐⇒ Aij =

(〈ur |i〉〈ur |j〉〈uθ |i〉〈uθ |j〉

)≡(

cos θ sen θ− sen θ cos θ

)cumpliendo ademas(

cos θ − sen θsen θ cos θ

)(cos θ sen θ− sen θ cos θ

)=

(1 00 1

)⇐⇒ AikA

kj = δij

De este modo si

|a〉 = ar |ur〉+ aθ |uθ〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉 = ax |i〉+ ax |j〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉

tendremos que

ai = Aijaj ⇐⇒

(cos θ sen θ− sen θ cos θ

)(axay

)=

(araθ

)=

(ax cos θ + ay sen θ−ax sen θ + ay cos θ

)con lo cual

ar = ax cos θ + ay sen θ y aθ = −ax sen θ + ay cos θ

del mismo modo

ai = Aij aj ⇐⇒

(cos θ − sen θsen θ cos θ

)(araθ

)=

(axay

)=

(ar cos θ − aθ sen θar sen θ + aθ cos θ

)y

ax = ar cos θ − aθ sen θ y ay = ar sen θ + aθ cos θ

3.5.3. Repensando las componentes

En general podemos pensar que las componentes de los vectores pueden ser funciones de las otras.Consideremos el ejemplo anterior con esta vision. Tendremos que un punto en el plano viene representadoen coordenadas cartesianas por dos numeros (x, y) y en coordenadas polares por otros dos numeros (r, θ) .Siguiendo el ejemplo anterior un punto P, en el plano lo describimos como

|P 〉 = rP |ur〉 = xP |i〉+ yP |j〉



Veamos como estan relacionadas estas dos descripciones. Para este caso las ecuaciones de transformacion son

xP = xP (r, θ) = x1 = x1(x1, x2

)yP = yP (r, θ) = x2 = x2

(x1, x2

) ⇐⇒rP = rP (x, y) = x1 = x1

(x1, x2

)θ = θP (x, y) = x2 = x2

(x1, x2

)y explıcitamente

xP = rP cos θP =⇒ x1 = x1 cos x2

yP = rP sen θP =⇒ x2 = x1 sen x2

y

rP =√x2P + y2

P =⇒ x1 =

√(x1)

2+ (x2)

2

θP = arctan(yPxP

)=⇒ x2 = arctan

(x2

x1

)Es claro que ambas coordenadas estan relacionadas y que se puede invertir la relacion

x1 = x1(x1, x2

)x2 = x2

(x1, x2

) ⇐⇒x1 = x1

(x1, x2

)x2 = x2

(x1, x2

)si se piden cosas razonables:

que las funciones xi = xi (xm) y xj = xj (xm) sean al menos C2 (funcion y derivada continua)

que el determinante de la matriz Jacobiana sean finito y distinto de cero det

(∂ xi(x1,x2)

∂ xl

)6= 0.

Mas aun, si

xi = xi(xj (xm)

)=⇒ ∂xi

∂xl=∂ xi

∂ xk∂ xk

∂ xl= δil =⇒ d xi =

∂ xi

∂ xkd xk

con lo cual intuımos dos cosas:

1. que las componentes de un vector, deben transformar bajo un cambio de coordenadas como xi =∂ xi(x1,x2)

∂ xlxl.

2. Las matrices Jacobianas ∂ xi

∂ xky ∂ xi

∂ xkson una la inversa de la otra.

Veamos si es cierto para el caso de vectores en el plano. Para ello calculamos la matriz Jacobiana (matrizde derivadas) la cual sera(

∂ xi(x1, x2

)∂ xl

)=

∂ x1(x1,x2)∂ x1

∂ x1(x1,x2)∂ x2

∂ x2(x1,x2)∂ x1

∂ x2(x1,x2)∂ x2

=

(cos x2 −x1 sen x2

sen x2 x1 cos x2

)y seguidamente, identificando

xi =∂ xi

(x1, x2

)∂ xl

xl =⇒(x1

x2

)=

(cos x2 −x1 sen x2

sen x2 x1 cos x2

)(x1

0

)Igualmente, si calculamos la inversa de la matriz Jacobiana(

∂ xi(x1, x2

)∂ xl

)−1

=

(cos x2 sen x2

− sen x2

x1cos x2

x1

)=

x1√(x1)2+(x2)2

x2√(x1)2+(x2)2

−x2

(x1)2+(x2)2x1

(x1)2+(x2)2



tendremos (x1

0

)=

x1√(x1)2+(x2)2

x2√(x1)2+(x2)2

−x2

(x1)2+(x2)2x1

(x1)2+(x2)2

( x1

x2

)=⇒ xi =

∂ xi(x1, x2

)∂ xl

xl

Es decir

x1 =

√(x1)

2+ (x2)

2=⇒ r =

√x2 + y2 y 0 = 0

Supongamos ahora que tenemos el caso tridimensional en esos mismos dos sistemas de coordenadas:uno cartesiano

(x1 = x, x2 = y, x3 = z

)y otro esferico

(x1 = r, x2 = θ, x3 = φ

), tal y como hemos

supuesto anteriormente el punto P vendra descrito por

|P 〉 = rP |ur〉 = xP |i〉+ yP |j〉+ zP |k〉

otra vez

x = x (r, θ, φ) = x1 = x1(x1, x2, x3

)y = y (r, θ, φ) = x2 = x2

(x1, x2, x3

)z = z (r, θ, φ) = x3 = x3

(x1, x2, x3

) ⇐⇒

r = r (x, y, z) = x1 = x1(x1, x2, x3

)θ = θ (x, y, z) = x2 = x2

(x1, x2, x3

)φ = φ (x, y, z) = x3 = x3

(x1, x2, x3

)Las ecuaciones de transformacion seran

xP = rP sen θP cosφP =⇒ x1 = x1 sen x2 cos x3

yP = rP sen θP senφP =⇒ x2 = x1 sen x2 sen x3

zP = rP cos θP =⇒ x3 = x1 cos x2

y

rP =√x2P + y2

P + z2P =⇒ x1 =

√(x1)

2+ (x2)

2+ (x3)

2

φP = arctan(yPxP

)=⇒ x2 = arctan

(x2

x1

)θP = arctan

(√x2P+y2

P

zP

)=⇒ x3 = arctan

(√(x1)2+(x2)2

x3

)con lo cual la matriz de las derivadas sera para esta transformacion en particular sera

∂ xi(x1, x2, x3

)∂ xl

=

sen (θ) cos (φ) −r sen (θ) sen (φ) r cos (θ) cos (φ)sen (θ) sen (φ) r sen (θ) cos (φ) r cos (θ) sen (φ)

cos (θ) 0 −r sen (θ)

es decir

∂ xi(x1, x2, x3

)∂ xl

=

sen(x2)

cos(x3)−x1 sen

(x2)

sen(x3)

x1 cos(x2)

cos(x3)

sen(x2)

sen(x3)

x1 sen(x2)

cos(x3)

x1 cos(x2)

sen(x3)

cos(x2)

0 −x1 sen(x2)

y su inversa

∂ xi(x1, x2, x3

)∂ xl

=

sen (θ) cos (φ) sen (θ) sen (φ) cos (θ)

− sen(φ)r sen(θ)

cos(φ)r sen(θ) 0

cos(θ) cos(φ)r

cos(θ) sen(φ)r − sen(θ)

r



∂ xi(x1, x2, x3

)∂ xl

=

x√

x2+y2+z2

y√x2+y2+z2

z√x2+y2+z2

−yx2+y2

xx2+y2 0

xz

(x2+y2+z2)√x2+y2

yz

(x2+y2+z2)√x2+y2

−√x2+y2

(x2+y2+z2)

dejaremos al lector comprobar que, efectivamente,

xi =∂ xi

(x1, x2, x3

)∂ xl

xl ⇐⇒ xi =∂ xi

(x1, x2, x3

)∂ xl

xl

3.6. Transformaciones, vectores y tensores

En general las afirmaciones anteriores se pueden generalizar considerando que las coordenadas que definenun determinado punto, P, expresado en un sistema de coordenadas particular, son

(x1, x2, · · · , xn

)y las

coordenadas de ese mismo punto P, expresado en otro sistema de coordenadas es(x1, x2, · · · , xn

)ambas

coordenadas estaran relacionadas por

x1 = x1(x1, x2, · · · , xn

)x2 = x2

(x1, x2, · · · , xn

)...

xn = xn(x1, x2, · · · , xn

) ⇐⇒

x1 = x1

(x1, x2, · · · , xn

)x2 = x2

(x1, x2, · · · , xn

)...

xn = xn(x1, x2, · · · , xn

)es decir xi = xi

(xj)⇐⇒ xi = xi

(xj)

con i, j = 1, 2, 3, · · · , n. Otra vez, solo exigiremos (y es bastante)que:

1. las funciones xi = xi (xm) y xj = xj (xm) sean al menos C2 (funcion y derivada continua)

2. que el determinante de la matriz Jacobiana sean finito y distinto de cero det

(∂ xi(x1,x2)

∂ xl

)6= 0. Esto

es ∣∣∣∣∣∣∣∣∂ x1

∂ x1∂ x1

∂ x2∂ x1

∂ xn∂ x1

∂ x2∂ x2

∂ x2

∂ xn

∂ x1∂ xn

∂ x2∂ xn

∂ xn

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ xi = xi (xm) ⇐⇒ xj = xj (xm)

Ahora bien, una vez mas, derivando y utilizando la regla de la cadena

xi = xi(xj (xm)

)=⇒ ∂xi

∂xl=∂ xi

∂ xk∂ xk

∂ xl= δil =⇒ d xi =

∂ xi

∂ xkd xk

y como hemos comprobado para dos casos particulares, de ahora en adelante tendremos que:

ReDefinicion Tal y como hemos visto, un conjunto de cantidadesa1, a2, · · · , an

se denominaran componentes

contravariantes de un vector |a〉 ∈ V en un punto P de coordenadas(x1, x2, · · · , xn

)si

1. dada dos base ortonormales de vectores coordenados. |e1〉 , |e2〉 , · · · |en〉 y |e1〉 , |e2〉 , · · · |en〉se cumple que

|a〉 = aj |ej〉 = ai |ei〉 =⇒ ⟨

ei∣∣ a〉 = ai⟨

ei∣∣ a〉 = ai

=⇒ ai = aj

⟨ei |ej〉



2. o equivalentemente, bajo una transformacion de coordenadas xi = xi(xj)

con i, j = 1, 2, 3, · · · , n.,estas cantidades transforman como

ai =∂ xi

∂ xkak ⇐⇒ ai =

∂ xi

∂ xkak con

∂ xi

∂ xk∂ xk

∂ xl= δil

y donde las cantidades ∂ xi

∂ xky ∂ xi

∂ xkdeberan ser evaluadas en el punto P .

ReDefinicion Un conjunto de cantidades b1, b2, · · · , bn se denominaran componentes covariantes de un vector〈b| ∈ V ∗ en un punto P de coordenadas

(x1, x2, · · · , xn

)si

1. dada dos base de formas⟨

e1∣∣ , ⟨e2

∣∣ , · · · 〈en| y⟨

e1∣∣ , ⟨e2

∣∣ , · · · 〈en| se cumple que

〈b| = bj⟨ej∣∣ = bi

⟨ei∣∣ =⇒

〈b| ei

⟩= bi

〈b| ei⟩

= bi

=⇒ bi = bj 〈ej

∣∣ei⟩2. o equivalentemente, bajo una transformacion de coordenadas xi = xi

(xj)

con i, j = 1, 2, 3, · · · , n.,estas cantidades transforman como

bk =∂ xi

∂ xkbi ⇐⇒ bk =

∂ xi

∂ xkbi con

∂ xi

∂ xk∂ xk

∂ xl= δil

y donde las cantidades ∂ xi

∂ xky ∂ xi


ReDefinicion Generalizamos los conceptos anteriores de la siguiente manera. Dado un conjunto bases para de formasdiferenciales 〈xm(1)| , 〈yn(2)| hemos definido las componentes contravariantes de un tensor

T ij = T

〈xi(1)|↓• ,

〈yj(2)|↓•

∈ V ⇐⇒T ij≡T 11, T 12, · · · , T 1n, T 21, T 22, · · · , T 2n, · · · , Tnn

ahora, en esta vision, las componentes contravariantes en un punto P de coordenadas

(x1, x2, · · · , xn

),seran

aquella que bajo una transformacion de coordenadas xi = xi(xj)

con i, j = 1, 2, 3, · · · , n., estas canti-dades transforman como

T ij =∂ xi

∂ xk∂ xj

∂ xmT km ⇐⇒ T ij =

∂ xi

∂ xk∂ xj

∂ xmT km con

∂ xi

∂ xk∂ xk

∂ xl= δil

y donde ∂ xi

∂ xky ∂ xi

∂ xkdeberan ser evaluadas en el punto P . Esta generalizacion nos permite construir

el caso mas general.

ReDefinicion Si |ti(1)〉 , |uj(2)〉 , · · · , |vk(m)〉 y〈xe(1)| ,

⟨yf (2)

∣∣ , · · · , 〈zg(n)|

son bases para los vectores y lasformas, respectivamente. Las componentes de un tensor seran

Tmnijk = T

|ti(1)〉↓ ,

|uj(2)〉↓, , · · · ,

|vk(m)〉↓ ;

〈xe(1)|↓• ,

〈yf (2)|↓• , · · · ,

〈zg(n)|↓•



un conjunto de cantidadesT 1···1

1···1 , T2···11···1 , · · · , T ···11···1, T

n···11···1 , T

n···12···1 , · · · , T 1···1

m···1, · · · , T n···nm···m

se denomi-naran componentes contravariantes y covariantes, respectivamente, de un tensor mixto en un pun-to P de coordenadas

(x1, x2, · · · , xn

)si bajo una transformacion de coordenadas xi = xi

(xj)

coni, j = 1, 2, 3, · · · , n., estas cantidades transforman como

T i···ke···g =∂ xi

∂ xp· · · ∂ x

j

∂ xq∂ xa

∂ xe· · · ∂ x

d

∂ xgT p···qa···d ⇐⇒ T i···ke···g =

∂ xi

∂ xp· · · ∂ x

j

∂ xq∂ xa

∂ xe· · · ∂ x

d

∂ xgT p···qa···d

con ∂ xi

∂ xk∂ xk

∂ xl= δil y donde las cantidades ∂ xi

∂ xky ∂ xi


3.7. Teorema del Cociente

Al igual que existe el producto directo entre tenores, cabe preguntarse si es posible multiplicar unacomponente de un tensor por otra de otro tensor y el producto ¿ sera un tensor ? Existe importantessituaciones fısicas en las cuales es aplicable esta pregunta. Si Tij son las componentes de un tensor de rango2 y V i ¿ el producto TijV

i = Bj seran componentes de un vector ? La respuesta no es siempre afirmativa, ypuede ser utilizado como un criterio de cuando una componente es un tensor. Este criterio que se denominael Teorema del Cociente.

La respuesta a esta pregunta surge de una respuesta a una pregunta distinta pero equivalente. Dados n2

numeros aij y un (una componente de un) vector generico V i, entonces la cantidad si aijViV j es un escalar

entonces la parte simetrica a(ij) = 12 (aij + aji) sera un (una componente de) tensor

(02

). La demostracion

involucra algunos de los conceptos antes expuesto y la haremos para fijar conceptos.Dados dos sistemas de coordenadas xi = xi (xm) y xj = xj (xm) con i, j = 1, 2, 3, · · · , n se cumple que

aij xixj = ψ = ψ = aij x

ixj donde ψ = ψ constituye un escalar

y por lo tanto derivando y utilizando la regla de la cadena

xi = xi(xj (xm)

)=⇒ ∂xi

∂xl=∂ xi

∂ xk∂ xk

∂ xl= δil =⇒(

aij xixj − aij xixj

)≡(aij − akl

∂ xk

∂ xi∂ xl

∂ xj

)xixj = 0

como hay una suma en ij no se puede afirmar la cantidad del parentesis se anula. Como esta afirmacion valepara cualquier sistema de coordenadas Seleccionaremos las componentes coordenadas en la base canonica.

x1 = (1, 0, 0, · · · , 0) ; x2 = (0, 1, 0, · · · , 0) ; · · · · · ·xn = (0, 0, 0, · · · , 1)

con lo cual

a11 − akl∂ xk

∂ x1

∂ xl

∂ x1= 0; a22 − akl

∂ xk

∂ x2

∂ xl

∂ x2= 0; · · · · · · ann − akl

∂ xk

∂ xn∂ xl

∂ xn= 0

como siempre podemos hacer a(kl) = 12 (akl + alk) y a[kl] = 1

2 (akl − alk) y separar el tensor

akl = a(kl) + a[kl] =⇒ a(hh) −(a(kl) + a[kl]

) ∂ xk

∂ xh∂ xl

∂ xh= 0 =⇒

a(hh) − a(kl)∂ xk

∂ xh∂ xl

∂ xh= 0

con lo cual se garantiza que la parte simetrica de un tensor transforma como un verdadero tensor una vezque se contrae con un par de vectores.



3.8. Vectores, Tensores y Espacios Pseudo-Euclideanos

Hasta este punto ha sido casi est’etica la descripcion de formas representadas por bra 〈a| ≡ ak⟨ek∣∣, en las

cuales sus componentes tienen sub’indices, mientras que los vectores bases,⟨ek∣∣, deben tener superındices.

Quiz’a el ejemplo mas emblematico y simple donde se observa la diferencia entre formas (bras) y vectores(kets) es el caso de los espacios Minkowskianos. Estos espacios, tambien llamados pseudoeuclideanos presen-tan una variante en la definicion de producto interno, de tal forma que: 〈x| x〉 no necesariamente es positivoy que si 〈x| x〉 = 0 no necesariamente implica que |x〉 ≡ |0〉.

La consecuencia inmediata es que la definicion de norma n (|vi〉) ≡ ‖|vi〉‖, que vimos en 2.3, otra vez, nonecesariamente es positiva. Vale decir que tendremos vectores con norma positiva, ‖|vi〉‖ > 0, pero tambienvectores con norma negativa o cero: ‖|vi〉‖ ≤ 0. Con lo cual la definicion de distancia, entendida como lanorma de la resta de vectores, d (|x〉 , |y〉) ≡ ‖|x〉 − |y〉‖ . tampoco sera necesariamente es positiva. Esto es quelas distancias ser’an negativas, positivas o nulas, vale decir: d (|x〉 , |y〉) < 0, d (|x〉 , |y〉) = 0 y d (|x〉 , |y〉) > 0.

Si extendemos la nocion de distancia para que albergue las posibilidades de distancias nula y negativas,entonces la definicion del tensor metrico para espacios pseudo-euclideanos debe cambiar tambien.

g

|xi〉↓ , |xj〉↓, = g [|xi〉 , |xj〉] = gij ≡ gji

< 0= 0> 0

En resumen

〈x| x〉 =

< 0= 0> 0

⇒ d (|x〉 , |y〉) =

< 0= 0> 0

⇒ g

|xi〉↓ , |xj〉↓, = g [|xi〉 , |xj〉] =

< 0= 0> 0

Otra vez, este tipo de espacios, luce como un excentricidad mas de los matematicos. Una curiosidad deestudio de ver como organizar los conceptos que aprendimos de los espacios euclidianos y extenderlos a otrosespacios. Quiza se hubiera quedado ası, como una curiosidad matematica si la Fısica no hubiera sacadopartido de estas particularidades para describir el comportamiento de la naturaleza. En el proxima seccionanalizaremos el caso de M4.

3.8.1. Espacios Minkowskianos

Consideremos un espacio tetradimensional expandido por una base ortonormal |e0〉 , |e1〉 , |e2〉 , |e3〉.Los vectores |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 corresponden con la base can’onica de R3. Este espacio vectorialM4 tendra aso-ciado un espacio dual

⟨e0∣∣ , ⟨e1

∣∣ , ⟨e2∣∣ , ⟨e3

∣∣ a trav’es de una m’etrica

η

|eα〉↓ , |eβ〉↓,⇒ η [, ] ≡ ηαβ 〈ηα| ⊗

⟨eβ∣∣ ≡ ηβα ⟨eβ∣∣⊗ 〈eα| y η [•, •] ≡ ηαβ |eα〉 ⊗ |eβ〉 ≡ ηβα |eβ〉 ⊗ |eα〉

con α, β = 0, 1, 2, 3 y donde η00 = −1, η11 = 1, η22 = 1, η33 = 1, y ηαβ = 0 para α 6= β. con lo cual se diceque η tiene signo +22

Tal y como presentamos en 3.3.6 podemos asociar componentes covariantes y contravariantes a trav’esde la m’etrica de la forma(ηαβ 〈eα| ⊗

⟨eβ∣∣) |a〉 = aσ

(ηαβ 〈eα| ⊗

⟨eβ∣∣) |eσ〉 = aσηαβ

⟨eβ |eσ〉〈eα| = aσηαβδ

βσ 〈eα| = aσηασ 〈eα| ≡ aα 〈eα|

2Realmente el signo +2 es una convenci’on. Se puede tambien considerar η de signo −2, con η00 = 1, η11 = −1, η22 = −1,η33 = −1



Lo intereante del caso es que

aσησα = aα ⇒ a0 = −a0, a1 = a1, a2 = a2, a3 = a3.

Es decir, en este caso, porque la metrica tiene signo +2, entonces bajar el ’indice 0 le cambia de signo a lacomponente. Dicho con mas propiedad, la componente 0 contravariante tiene signo contrario a las componente0 covariante.

De la misma manera que se expuso anteriormente en 3.3.6

〈a|(ηαj |eα〉 ⊗ |eβ〉

)= 〈a|

(ηαβ |eα〉 ⊗ |eβ〉

)= ηαβ 〈a |eα〉⊗|ej〉 = aση

αj 〈eσ |eα〉 |eβ〉 = aσησβ |eβ〉 ≡ aβ |eβ〉

y otra vez, aσ = ησαaα, y habrıa cambio de signo cuando se baja el ’indice 0 para la m’etrica con signo +2que hemos considerado anteriormente. Del mismo modo se “suben” y se “bajan” ’indices para componentesde tensores

ηαβP γσεα ≡ P βγσε

Por su parte el producto interno de dos vectores en un espacio de Minkowsky involucra, de maneranatural, la metrica del espacio. Esto es

〈x |y〉 = 〈x |y〉 = xαyα = xαyα = xαyβηαβ = xαyβη

αβ

Una vez mas, la norma de un vector, tambien incluira al tensor metrico:

‖|x〉‖2 = 〈x |x〉 = xαxβ 〈eα |eβ〉 = xαx

α = xαxβ ηαβ = xαxβ ηαβ

El caso mas emblematico lo constituye la norma de un desplazamiento infinitesimal, en un espacio tetradi-mensional. Para una base generica, |ej〉 no necesariamente ortogonal de un espacio vectorial con productointerno, el desplazamiento infinitesimal puede expresarse como

(ds)2 ≡ 〈dr |dr〉 =

(d xk

⟨ek∣∣) (d xm |em〉) =


3.8.2. Un Toque de Relatividad Especial

3.9. Temas avanzados

3.9.1. Bases Discretas y Continuas

Haremos una disgresion para fijar conceptos y extender algunos de los razonamientos que hemos desa-rrollado hasta aquı. Tal y como vimos arriba, la representacion de un vector |F〉 en un espacio vecto-rial abstracto V puede darse en termino de una base ortonormal de vectores (discreta y finita BDF =|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 , · · · |un〉 o discreta e infinita BDI = |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · |un〉 · · · ) de la forma:

|F〉 =

ci |ui〉 =⟨ui∣∣ F〉 |ui〉 ⇐ BDF = |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · |un〉

ci |vi〉 =⟨ui∣∣ F〉 |ui〉 ⇐ BDI = |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · |un〉 · · ·

donde en ambos casos:ci =

⟨ui∣∣ F〉 = cj

⟨ui |uj〉 = cj δij

Ahora bien, si estamos tratando el espacio vectorial de funciones de cuadrado integrable L2,definidas en <3

tendremos que

|F〉 = ci |ui〉 ≡⟨ui∣∣ F〉 |ui〉 =

∞∑i=0

(∫ ∞−∞

d3r′ u∗i (r′) f (r′)

)|ui〉



que se reescribe en terminos de funciones como

f (r) =

∞∑i=0

(∫ ∞−∞

d3r′ u∗i (r′) f (r′)

)ui (r)

Es claro que se pueden intercambiar los sımbolos de∫

y∑

, por lo cual

f (r) =

∫ ∞−∞

d3r′ f (r′)

[ ∞∑i=0

u∗i (r′) ui (r)

]︸︷︷︸

G(r′,r)

la funcion G(r′, r) que depende de los argumentos, r′ y r, vive dentro de las integrales y convierte

f (r) =

∫ ∞−∞

d3r′ f (r′) G(r′, r)

Este tipo de funciones que aparecio en el capıtulo de transformadas integrales se conoce como la funciondistribucion delta de Dirac

f (r) =

∫ ∞−∞

d3r′ f (r′) δ(r′ − r)

Esto sugiere la generalizacion de bases discretas a continua |wα〉 de tal forma que transformamos el ındicede la sumatoria en la variable de una integral

|Ψ〉 =

∫dα c (α) |wα〉

donde

c (β) = 〈wβ |Ψ〉 =

∫dα c (α) 〈wβ |wα〉 =

∫dα c (α) δ (α− β)

con en la cual δ (α− β) es una Delta de Dirac. Ası, los dos conceptos expresados hasta ahora tienen unaexpresion:

Propiedad\Base Discreta Continua

Ortogonalidad⟨vi |vj〉 = δij 〈wβ |wα〉 = δ (α− β)

Cierre 1 =∑∞j=0 |vj〉

⟨vj∣∣ 1 =

∫dα |wα〉〈wα|

Expansion |F〉 =∑∞i=0 c

i |ui〉 |Ψ〉 =∫

dα c (α) |wα〉Componentes ci =

⟨ui∣∣ F〉 c (β) = 〈wβ |Ψ〉

Producto Interno 〈G| F〉 =∑∞i=0 gi∗ fi 〈G| F〉 =

∫dα g∗ (α) f (α)

Norma 〈F| F〉 =∑∞i=0 |fi|

2 〈F| F〉 =∫

dα |f (α)|2

3.9.2. Bases de Ondas Planas

Como un ejemplo de lo anterior consideraremos la base de las ondas planas. En el capıtulo de transfor-madas integrales consideramos un caso particular de las transformada de Fourier compleja para una funcion,vale decir

F (s) =

∫ ∞−∞

dt ei st f(t) f(t) =

∫ ∞−∞

ds e−i st F (s)



las cuales re-escribiremos en terminos mas familiares a la comunidad de fısicos como

ψ (x) =1√2π~

∫ ∞−∞

dp ei px/~ ψ (p) ψ (p) =1√2π~

∫ ∞−∞

dx e−i px/~ ψ (x)

Hemos tenido cuidado de incluir los factores de normalizacion adecuados para el caso de las descripcionesen mecanica Cuantica. Estas formulas pueden ser re-interpretadas en funcion de los conceptos anteriormenteexpuestos y podemos definir una base continua de la forma

ψ (x) =1√2π~

∫ ∞−∞

dp

(1√2π~

ei px/~)

︸︷︷︸vp(x)

ψ (p) ψ (p) =1√2π~

∫ ∞−∞

dx

(1√2π~

e−i px/~)

︸︷︷︸vxp (x)

ψ (x)

por lo cual

ψ (x) =

∫ ∞−∞

dp vp (x) ψ (p) ψ (p) =

∫ ∞−∞

dx v∗p (x) ψ (x)

Diremos que la funcion ψ (x) esta expresada en la base de ondas planas vp (x) = 1√2π~e

i px/~

Notese

El ındice p de vp (x) varıa de forma continua entre −∞ e ∞.

Que vp (x) = 1√2π~e

i px/~ /∈ L2 es decir no pertenece al espacio vectorial de funciones de cuadrado

integrable ya que su norma diverge

〈vp| vp〉 =

∫ ∞−∞

dx |vp (x)|2 =

∫ ∞−∞

dx1

2π~→∞

Que las proyecciones de ψ (x) sobre la base de ondas planas es ψ (p) = 〈vp| ψ〉

La relacion de cierre para esta base se expresa como

1=

∫dα |vα〉〈vα|

∫ ∞−∞

dp v∗p (x′) vp (x) =

∫ ∞−∞

dp1

2π~ei p(x

′−x)/~ = δ (x′ − x)

mientras que de la definicion de producto interno, uno obtiene

〈vp′ | vp〉 =

∫ ∞−∞

dx v∗p′ (x) vp (x) =

∫ ∞−∞

dp1

2π~ei x(p

′−p)/~ = δ (p′ − p)

En este mismo orden de ideas podemos construir otra base continua ξr0(r) a partir de la utilizacion de

las propiedades de la delta de Dirac. Esto es

ψ (r) =

∫ ∞−∞

d3r0 ψ (r0) δ(r0 − r)︸︷︷︸ξr0 (r)

ψ (r0) =

∫ ∞−∞

d3r ψ (r) δ (r− r0)

por lo cual la re-interpretacion es inmediata

ψ (r) =

∫ ∞−∞

d3r0 ψ (r0) ξr0 (r) con ψ (r0) = 〈ξr0 | ψ〉 =

∫ ∞−∞

d3r ξ∗r0(r) ψ (r)



mas aun la ortogonalidad queda garantizada por la relacion de cierre

〈ξr0| ξr0〉 =

∫ ∞−∞

d3r0 ξ∗r0

(r) ξr0(r′) =

∫ ∞−∞

d3r0 δ (r− r0) δ (r′ − r0) = δ (r′ − r)

al igual que

〈ξr0| ξr′0

⟩=

∫ ∞−∞

d3r ξ∗r0(r) ξr′0 (r) =

∫ ∞−∞

d3r δ (r− r0) δ (r− r′0) = δ (r′0 − r0)

3.9.3. Las Representaciones |r〉 y |p〉A partir de las bases de ondas planas vp0 (x) ,y de distribuciones, ξr0 (r) , construimos las llamadas

representaciones |r〉 y |p〉 de la forma siguiente. Asociamos

ξr0(r) |r0〉

vp0 (x) |p0〉

De esta forma dada las bases ξr0 (r) y vp0 (x) para el espacio vectorial V definiremos dos “representa-ciones”, la representacion de coordenadas, |r0〉 , y la representacion de momentos |p0〉 de V,respectivamente.De tal modo que

〈r0| r′0〉 =

∫ ∞−∞

d3r ξ∗r0(r) ξr′0 (r) = δ (r′0 − r0)

1 =

∫d3r0 |r0〉〈r0|

〈p0| p′0〉 =

∫ ∞−∞

d3r v∗p′0 (r) vp0(r) =

∫ ∞−∞

d3r1

2π~e−i r0·p0/~ = δ (p′0 − p0)

1 =

∫d3p0 |p0〉〈p0|

Podemos, entonces expresar el producto interno para la representacion de coordenadas como

〈Φ |Ψ〉 = 〈Φ|(∫

d3r0 |r0〉〈r0|)

︸︷︷︸1

|Ψ〉 =

∫d3r0 φ

∗(~r0)ψ(~r0)

y equivalentemente para la representacion de momentos

〈Φ |Ψ〉 = 〈Φ|(∫

d3p0 |p0〉〈p0|)

︸︷︷︸1

|Ψ〉 =

∫d3p0 φ

∗(~p0)ψ(~p0)

por lo cual hemos encontrado que

|Ψ〉 =

∫d3r0 |r0〉〈r0| Ψ〉 =

∫d3p0 |p0〉〈p0| Ψ〉

ψ(~r0) = 〈r0 |Ψ〉 y ψ(~p0) = 〈p0 |Ψ〉



que es la representacion de |Ψ〉 en coordenadas, ψ(r0), y en momentos, ψ(p0). Adicionalmente cuando|Ψ〉 = |p〉 tendremos que

〈r0 |p0〉 = 〈r0|(∫

d3r′0 |r′0〉〈r′0|)

︸︷︷︸1

|p0〉 = (2π~)−3/2∫

d3r′0 δ (~r′0 − ~r0) ei~ ~p0·~r0

〈r0 |p0〉 = (2π~)−3/2ei~ ~p0·~r0

con lo cual ψ(p0) puede considerarse la transformada de Fourier de ψ(r0), y denotaremos de ahora en ade-lante las bases |r0〉 ≡ |r〉 y |p0〉 ≡ |p〉 . Estos ındices continuos, r0 y p0,representan tres ındices continuosr (x, y, z) y p (px, py, pz) . La proyeccion de un vector abstracto |Ψ〉 en la representacion |r〉 sera con-siderada como su expresion en el espacio de coordenadas, igualmente su proyeccion 〈p |Ψ〉 sera su expresionen el espacio de los momentos. Eso nos permitira hacer corresponder los elementos de espacios vectoria-les abstractos con, con elementos de un espacio vectorial de funciones. Por lo tanto todas las formulas deproyeccion quedan como

〈r |Ψ〉 = ψ(r) y 〈p |Ψ〉 = ψ(p)

mientras que las relaciones de cierre y ortonormalizacion

〈r| r′〉 = δ (r′ − r) y 1 =

∫d3r |r〉〈r|

〈p| p〉 = δ (p′ − p) y 1 =

∫d3p |p〉〈p|

por su parte, la relacion de cierre hara corresponder a la expresion del el producto interno de dos vectores,tanto en la representacion de las coordenadas como en la representacion de momentos de la forma

〈Φ|(∫

d3r |r〉〈r|)|Ψ〉 =

∫d3r φ∗(r) ψ(r)

m〈Φ |Ψ〉m

〈Φ|(∫

d3p |p〉〈p|)|Ψ〉 =

∫d3p φ∗(p) ψ(p)

donde φ∗(p) y ψ(p) son las transformadas de Fourier de φ∗(r) y ψ(r), respectivamente. La afirmacion anteriorqueda evidentemente demostrada del cambio entre las bases |r〉 y |p〉 . Esto es

〈r |p〉 = 〈p |r〉∗ = (2π~)−3/2ei~p·r

por lo cual

ψ(r) = 〈r |Ψ〉 = 〈r|(∫

d3p |p〉〈p|)|Ψ〉 =

∫d3p 〈r |p〉〈p| Ψ〉 = (2π~)−3/2

∫d3p e

i~p·r ψ(p)

e inversamente

ψ(p) = 〈p |Ψ〉 = 〈p|(∫

d3r |r〉〈r|)|Ψ〉 =

∫d3r 〈p |r〉〈r| Ψ〉 = (2π~)−3/2

∫d3r e

−i~ p·rψ(r)




Ilustremos ahora las transformaciones de tensores bajo cambios de la base del espacio vectorial. Una vezmas consideremos dos bases de vectores coordenados |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 y |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 para el espaciovectorial <3 La expresion de un determinado tensor en la base |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 sera

|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 =⇒ T ij =

2 1 32 3 41 2 2

Si consideramos una nueva base

|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ⇒

|e1〉 = |i〉

|e2〉 = |i〉+ |j〉

|e3〉 = |i〉+ |j〉+ |k〉

⇐⇒

⟨e1 |e1〉 = 1

⟨e1 |e2〉 = 1

⟨e1 |e3〉 = 1⟨

e2 |e1〉 = 1⟨e2 |e2〉 = 2

⟨e2 |e3〉 = 2⟨

e3 |e1〉 = 1⟨e3 |e2〉 = 2

⟨e3 |e3〉 = 3

para ese mismo espacio <3 encontraremos la expresion que toma T ij en esa base. Igualmente encontraremos las

expresiones para los siguientes tensores: T ji , Tij , Tij . Notese que esta nueva base no es ortogonal ,

⟨ek |ei〉 6=

δki , con lo cual no se cumplen muchas cosas entre ellas |ek〉⟨ek∣∣ 6= 1

Para encontrar la expresion T ij lo haremos expresando los vectores base |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉en termino de la base |e1〉 , |e2〉 , |e3〉

|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 =⇒

|e1〉 = |i〉 = |e1〉

|e2〉 = |j〉 = |e2〉 − |e1〉

|e3〉 = |k〉 = |e3〉 − |e2〉

recordamos que un vector generico

|a〉 = aj |ej〉 = aj |ej〉 =⇒

|a〉 = aj |ej〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉 = a1 |e1〉+ a2 (|e1〉+ |e2〉) + a3 (|e1〉+ |e2〉+ |e3〉)

con lo cuala1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉 =

(a1 + a2 + a3

)|e1〉+

(a2 + a3

)|e2〉+ a3 |e3〉

y como

a1 = a1 + a2 + a3

a2 = a2 + a3

a3 = a3

=⇒ ai =∂ xi

∂ xkak =⇒

∂ x1

∂ x1 = 1; ∂ x1

∂ x2 = 1; ∂ x1

∂ x3 = 1;

∂ x2

∂ x1 = 0; ∂ x2

∂ x2 = 1; ∂ x2

∂ x3 = 1;

∂ x3

∂ x1 = 0; ∂ x3

∂ x2 = 0; ∂ x3

∂ x3 = 1;

Es de hacer notar que dado que la base ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 se tiene que

|a〉 = aj |ej〉 = ai |ei〉 =⇒⟨ei∣∣ a〉 = aj

⟨ei |ej〉 = ajδij = ai = ak

⟨ei |ek〉 =⇒ ∂ xi

∂ xk=⟨ei |ek〉



El mismo procedimiento se puede aplicar para expresar el vector |a〉 como combinacion lineal de los vectores|ej〉

|a〉 = aj |ej〉 = aj |ej〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉 = a1 |e1〉+ a2 (|e2〉 − |e1〉) + a3 (|e3〉 − |e2〉)

a1 = a1 − a2

a2 = a2 − a3

a3 = a3

=⇒ ak = ai∂ xk

∂ xi=⇒

∂ x1

∂ x1 = 1; ∂ x1

∂ x2 = −1; ∂ x1

∂ x3 = 0;

∂ x2

∂ x1 = 0; ∂ x2

∂ x2 = 1; ∂ x2

∂ x3 = −1;

∂ x3

∂ x1 = 0; ∂ x3

∂ x2 = 0; ∂ x3

∂ x3 = 1;

Notese que, como era de esperarse,

∂ xi

∂ xk∂ xk

∂ xj= δij =⇒

1 1 10 1 10 0 1

1 −1 00 1 −10 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

Con las expresiones matriciales para las transformaciones ,estamos en capacidad de calcular, componente acomponente, las representacion del tensor en la nueva base con lo cual

T km =∂ xk

∂ xi∂ xj

∂ xmT ij =⇒

T 11 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x1 Tij = ∂ x1

∂ x1

(∂ x1

∂ x1 T11 + ∂ x2

∂ x1 T12 + ∂ x3

∂ x1 T13

)+∂ x1

∂ x2

(∂ x1

∂ x1 T21 + ∂ x2

∂ x1 T22 + ∂ x3

∂ x1 T23

)+∂ x1

∂ x3

(∂ x1

∂ x1 T31 + ∂ x2

∂ x1 T32 + ∂ x3

∂ x1 T33

)es decir

T 11 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x1 Tij = 1 ·

(1 T 1

1 + 0 T 12 + 0 T 1

3

)−1 ·

(1 T 2

1 + 0 T 22 + 0 T 2

3

)+0(1 T 3

1 + 0 T 32 + 0 T 3

3

)T 1

1 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x1 Tij = T 1

1 − T 21 = 2− 2 = 0

del mismo modo

T 12 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x2 Tij = ∂ x1

∂ x1

(∂ x1

∂ x2 T11 + ∂ x2

∂ x2 T12 + ∂ x3

∂ x2 T13

)+∂ x1

∂ x2

(∂ x1

∂ x2 T21 + ∂ x2

∂ x2 T22 + ∂ x3

∂ x2 T23

)+∂ x1

∂ x3

(∂ x1

∂ x2 T31 + ∂ x2

∂ x2 T32 + ∂ x3

∂ x2 T33

)es decir

T 12 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x2 Tij = 1 ·

(1 T 1

1 + 1 T 12 + 0 T 1

3

)−1 ·

(1 T 2

1 + 1 T 22 + 0 T 2

3

)+0(1 T 3

1 + 1 T 32 + 0 T 1

3

)T 1

2 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x1 Tij =

(T 1

1 + T 12

)−(T 2

1 + T 22

)= (2 + 1)− (2 + 3) = −2



se puede continuar termino a termino o realizar la multiplicacion de las matrices ∂ xk

∂ xi , Tij y ∂ xj

∂ xm provenientesde la transformacion de componentes de tensores. Vale decir

T km =∂ xk

∂ xiT ij

∂ xj

∂ xm⇔

1 −1 00 1 −10 0 1

2 1 32 3 41 2 2

1 1 10 1 10 0 1

=

0 −2 −31 2 41 3 5

hay que resaltar un especial cuidado que se tuvo en la colocacion de la matrices para su multiplicacion. Si

bien en la expresion T km = ∂ xk

∂ xi∂ xj

∂ xm T ij las cantidades ∂ xk

∂ xi son numeros y no importa el orden con el cualse multipliquen, cuando se colocan como matrices debe respetarse la “concatenacion interna de ındices”.Esto es cuando queramos expresar T km como una matriz, donde el ındice contravariante k indica filas y elındice covariante m las columnas, fijamos primero estos ındices y luego respetamos la “concatenacion ındices”covariantes con los contravariantes. Esta es la convencion para expresar la multiplicacion de matrices en lanotacion de ındices3. Esto es

T km =∂ xk

∂ xi∂ xj

∂ xmT ij =⇒ T km =

∂ xk

∂ xiT ij

∂ xj

∂ xm

Ahora los objetos ∂ xk


∂ xm pueden ser sustituidos (en sus puestos correspondientes) por su represen-tacion matricial.

Con lo cual hemos encontrado la representacion matricial T km de las componentes del tensor T en la base|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 T 1

1 = 0 T 12 = −2 T 1

2 = −3

T 21 = 1 T 2

2 = 2 T 23 = 4

T 31 = 1 T 3

2 = 3 T 33 = 5

Para encontrar la expresion para Tkm recordamos que Tkm = gknT

nm es decir, requerimos las componentes

covariantes y contravariantes del tensor metrico gkn que genera esta base. Para ello recordamos que para unabase generica, |ej〉 , no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial con producto interno, podemos

definir la expresion de un tensor

(02

)que denominaremos tensor metrico como

g

|ei〉↓ , |ej〉↓, = gij ≡ gji =⇒ gij ≡ gji = g [|ei〉 , |ej〉] ≡ 〈ei |ej〉 ≡ 〈ej |ei〉

g

〈ei|↓• ,〈ej|↓•


Es de hacer notar que la representacion matricial para la metrica covariante gij de una base ortonormal|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 es siempre diagonal. Esto es

g11 = 〈e1 |e1〉 = 〈i |i〉 = 1; g12 = 〈e1 |e2〉 = 〈i |j〉 = 0; g13 = 〈e1 |e2〉 = 〈i |j〉 = 0;

g21 = 〈e2 |e1〉 = 〈j |i〉 = 0; g22 = 〈e2 |e2〉 = 〈j |j〉 = 1n; g23 = 〈e2 |e3〉 = 〈j |k〉 = 0;

g31 = 〈e3 |e1〉 = 〈k |i〉 = 0; g32 = 〈e3 |e2〉 = 〈k |j〉 = 0; g33 = 〈e3 |e3〉 = 〈k |k〉 = 1;

3Quiza una forma de comprobar si los ındices esta bien concatenados se observa si se “bajan” los ındices contravariantespero se colcan de antes que los covariantes. Esto es T ij → Tij Ası la multiplicacion de matrices queda representada por

Cij = AikBkj → Cij = AikBkj y aquı es claro que ınidices consecutivos estan “concatenados” e indican multiplicacion



con lo cual〈Tnm〉

〈Tkm〉 ≡ 〈gknTnm〉

〈Tnm〉 ≡⟨gnkTmk

⟩

=⇒

0 −2 −31 2 41 3 5

donde hemos denotado 〈•〉 como la representacion matricial del objeto

Para el caso de la base generica no ortonormal |ej〉 tenemos dos formas de calcular el tensor (lascomponentes covariantes y contravariantes) del tensor metrico. La primera es la forma directa

g11 = 〈e1 |e1〉 = 〈i |i〉 = 1; g12 = 〈e1 |e2〉 = 〈i| (|i〉+ |j〉) = 1;

g21 = 〈e2 |e1〉 = (〈i|+ 〈j|) |i〉 = 1; g22 = 〈e2 |e2〉 = (〈i|+ 〈j|) (|i〉+ |j〉) = 2

g31 = 〈e3 |e1〉 = (〈i|+ 〈j|+ 〈k|) |i〉 = 1; g32 = 〈e3 |e2〉 = (〈i|+ 〈j|+ 〈k|) (|i〉+ |j〉) = 2;

yg13 = 〈e1 |e3〉 = 〈i| (|i〉+ |j〉+ |k〉) = 1;

g23 = 〈e2 |e3〉 = (〈i|+ 〈j|) (|i〉+ |j〉+ |k〉) = 2

g33 = 〈e3 |e3〉 = (〈i|+ 〈j|+ 〈k|) (|i〉+ |j〉+ |k〉) = 3

consecuentemente

gij ≡ gji ⇐⇒

1 1 11 2 21 2 3

=⇒ gij ≡ gij = (gij)−1 ⇐⇒

2 −1 0−1 2 −10 −1 1

La otra forma de calcular la metrica correspondiente la base ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 ytransformarla a la base no ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |i〉+ |j〉 , |i〉+ |j〉+ |k〉 esto es

gkm =∂ xi

∂ xk∂ xj

∂ xmgij =⇒ gkm =

∂ xi

∂ xkgij

∂ xj

∂ xm

La metrica para el la base ortonormal sera diagonal y ademas gii = 1gii , con lo cual

gij ⇐⇒

1 0 00 1 00 0 1

; gij ⇐⇒

1 0 00 1 00 0 1

; gij ⇐⇒

1 0 00 1 00 0 1

;

y

gkm =∂ xi

∂ xkgij

∂ xj

∂ xm;

1 0 01 1 01 1 1

1 0 00 1 00 0 1

1 1 10 1 10 0 1

=

1 1 11 2 21 2 3

notese para conservar la convencion de ındices y matrices hemos representado que hemos traspuesto la matriz

correspondiente a ∂ xi

∂ xk. La razon, como dijimos arriba es

gkm =∂ xi

∂ xkgij

∂ xj

∂ xm−→ gkm = Πik gij Πjm −→ gkm = Πki gij Πjm



Para poder representar multiplicacion de matrices los ındices deben estar consecutivos, por tanto hay quetrasponer la representacion matricial para poder multiplicarla.

Ya estamos en capacidad de obtener las representaciones matriciales para los tensores: T ji , Tij , Tij .

⟨T ji

⟩=⟨T ij

⟩T

−→

0 −2 −31 2 41 3 5

T

=

0 1 1−2 2 3−3 4 5

−→ ⟨T ji

⟩

⟨Tkm

⟩=⟨gknT

nm

⟩−→

1 1 11 2 21 2 3

0 −2 −31 2 41 3 5

=

2 3 64 8 155 11 20

−→ ⟨Tkm

⟩

⟨T kn

⟩=⟨Tnmg

mk⟩→

0 −2 −31 2 41 3 5

1 1 11 2 21 2 3

=

−5 −10 −137 13 179 17 22

→ ⟨T km

⟩




1. Dado Fijk un tensor totalmente antisimetrico respecto a sus ındices ijk muestre que

rot [Fijk] = ∂mFijk − ∂iFjkm + ∂jFkmi − ∂kFmij ≡∂Fijk∂xm

− ∂Fjkm∂xi

+∂jFkmi∂xj

− ∂kFmij∂xk

rot [Fijk] = Fijk,m − Fjkm,i + Fkmi,j − Fmij,k ≡ ∂mFijk − ∂iFjkm + ∂jFkmi − ∂kFmij

2. El momento de inercia se define como

Iij =

∫V

dvρ (~r)(δij(xkxk

)− xixj

)con xi = x, y, z y dv = dx dy dz

a) Muestre que Iij es un tensor

b) Encuentre la representacion matricial para Iij

c) Considere un cubo de lado l y masa total M tal que tres de sus aristas coinciden con un sistemade coordenadas cartesiano. Ecuentre el Tensor momento de Inercia, Iij .

3. Para un sistema de n partıculas rıgidamente unidas, la cantidad de movimiento ~p y cantidad de movi-miento angular ~L vienen definidas por

(~p)α = mα (~v)α = mα (~ω × (~r)α) ≡ εijkωjxk |ei〉

~L =∑α

(~r × ~p)α ≡ εijkxkpk |ei〉 ;

con α = 1, 2, · · · , n, |ei〉 =ı, , k

y xi = x, y, z

Muestre que:

a) ~L =∑αmα [(~r · ~r)α ~ω − (~r)α ((~r)α · ~ω)]

b) Li = Iijωj donde Iij =

∑αmα

(δij(xkxk

)− xixj

)es el tensor momento de inercia para un sistema

de n partıculas rıgidamente unidas

4. Dado un tensor generico de segundo orden Tij Demostar

a) El determinante , det [T] ≡ det[T ij]

= T y la traza, tr[T ij]

= T ii de los tensores son un invariantes,

en otras palabras det[T ij]

y tr[T ij]

son escalares respecto a transformaciones de coordenadas.

b) Si definimos la matriz adjunta, adj [A], como la traspuesta de la matriz de cofactores

adj [A] = (Ac)T

=⇒ adj[Aij]

=(

(Ac)ij

)T= (Ac)

ji

donde la matriz de cofactores (Ac)ij viene dada por

Aij =

a11 a1

2 a13

a21 a2

2 a23

a31 a3

2 a33

=⇒ (Ac)ij =

(Ac)11 (Ac)

12 (Ac)

13

(Ac)21 (Ac)

22 (Ac)

23

(Ac)31 (Ac)

32 (Ac)

33



y los cofactores son

(Ac)11 = (−1)

1+1

∣∣∣∣ a22 a2

3

a32 a3

3

∣∣∣∣ (Ac)12 = (−1)

1+2

∣∣∣∣ a21 a2

3

a31 a3

3

∣∣∣∣ (Ac)13 = (−1)

1+3

∣∣∣∣ a22 a2

3

a32 a3

3

∣∣∣∣(Ac)

21 = (−1)

2+1

∣∣∣∣ a12 a1

3

a32 a3

3

∣∣∣∣ (Ac)22 = (−1)

2+2

∣∣∣∣ a11 a1

3

a31 a3

3

∣∣∣∣ (Ac)23 = (−1)

2+3

∣∣∣∣ a11 a1

2

a31 a3

2

∣∣∣∣(Ac)

31 = (−1)

3+1

∣∣∣∣ a12 a1

3

a22 a2

3

∣∣∣∣ (Ac)32 = (−1)

3+2

∣∣∣∣ a11 a1

3

a21 a2

3

∣∣∣∣ (Ac)33 = (−1)

3+3

∣∣∣∣ a11 a1

2

a21 a2

2

∣∣∣∣Para la transformacion xi = a xi con a un escalar constante, muestre que

1) τ ij =adj[T ij ]T es un tensor

2) Su determinante, det[τ ij]

= τ y su traza, tr[τ ij]

= τ ii tambien seran invariantes.

3) T ij =adj[τ ij ]τ

4) τT = 1

5. Dados dos sistemas de coordenadas ortogonales O (x, y, z) y O (x, y, z) ,donde el sistema decoordenas O se obtiene a rotando O, π

6 alrededor del eje z, para rotarlo π2 alrededor del eje x con lo

cual los ejes y y z coinciden.

a) Si tenemos los vectores~A = ı+ 2+ 3k ~B = ı+ 2+ 3k

Expreselos en el sistema de coordenadas O (x, y, z)

b) El tensor de esfuerzos (tensiones normales y tangenciales a una determinada superficie) se expresaen el sistema O (x, y, z) como

P ij =

P1 0 P4

0 P2 00 P6 P3

¿cual sera su expresion en el sistema de coordenadas O (x, y, z)?

6. Suponga un sistema de coordenadas ortogonales generalizadas(q1, q2, q3

)las cuales tienen las siguiente

relacion funcional con las coordenadas cartesianas

q1 = x+ y; q2 = x− y; q3 = 2z;

a) Compruebe que el sistema(q1, q2, q3

)conforma un sistema de coordenadas ortogonales

b) Encuentre los vectores base para este sistema de coordenadas

c) Encuentre el tensor metrico y el elemento de volumen en estas coordenada.

d) Encuentre las expresiones en el sistema(q1, q2, q3

)para los vectores

~A = 2; ~B = ı+ 2; ~C = ı+ 7+ 3k



e) Encuentre en el sistema(q1, q2, q3

)la expresion para las siguienentes realciones vectoriales

~A× ~B; ~A · ~C;(~A× ~B

)· ~C

¿ que puede decir si compara esas expresiones en ambos sistemas de coordenadas ?

7. La relacion entre las coordenadas cartesianas (x, y) y las coordenadas bipolares (ξ, ζ) viene dada por

x =a sinh ξ

cosh ξ + cos ζ; y =

a sin ζ

cosh ξ + cos ζ; con a = const

a) Compruebe si los vectores base para las coordenadas bipolares son ortogonales

b) Encuentre el tensor metrico para las coordenadas bipolares

c) Escriba las componentes covariantes y contravariantes para los vectores ı, y ı+ 2.


Bibliografıa





[5] Gel´fand, I.M. (1961) Lectures on Linear .Algebra (John Wiley & Sons Interscience, Nueva York).

[6] Lovelock, D, y Rund, H. (1975) Tensors, Differential Forms & Variational Principles (John WileyInterscience, Nueva York).



139

Capıtulo 4

Matrices, Determinantes yAutovectores

140


4.1. Operadores Lineales

Definiremos como operador lineal (o transformaciones lineales) a una operacion que asocia un vector|v〉 ∈ V1 un vector |v′〉 ∈ V2 y que respeta la linealidad, es decir esta funcion de V1→V2 cumple con

|v′〉 = A |v〉 3 A [α |v1〉+ β |v2〉] = α A |v1〉+ β A |v2〉 ∀ |v〉 , |v1〉 y |v2〉 ∈ V1

Sencillamente algo que actue sobre una suma de vectores y que sea equivalente a la suma de sus actuacionessobre los vectores suma.

Ejemplos

Las siguientes transformaciones

|x′〉 = T |x〉→ (x′, y′, z′) = T (x, y, z)

claramente son lineales

• T (x, y, z) = (x, 2y, 3z)→

T a (x, y, z) + b (m,n, l) = aT (x, y, z)+ bT (m,n, l)T (ax+ bm, ay + bn, az + bl) = a (x, 2y, 3z) + b (m, 2n, 3l)

(ax+ bm, 2 [ay + bn] , 3 [az + bl]) = (ax+ bm, 2 [ay + bn] , 3 [az + bl])

• T (x, y, z) = (z, y, x)→

T a (x, y, z) + b (m,n, l) = aT (x, y, z)+ bT (m,n, l)T (ax+ bm, ay + bn, az + bl) = a (z, y, x) + b (l, n,m)

(az + bl, ay + bn, ax+ bm) = (az + bl, ay + bn, ax+ bm)

Cosas tan sencillas como multiplicacion por un escalar es una transformacion (u operador) linealT : V→V tal que

T |v〉 = |v′〉 = α |v〉

Claramente,T [a |v〉+ b |w〉] = aT |v〉+ bT |w〉 = aα |v〉+ bα |w〉

Obviamente, si α = 1 tenemos la transformacion identidad que transforma todo vector en sı mismo; siα = 0 tendremos la transformacion cero, vale decir que lleva a todo |v〉 ∈ V a al elemento cero |0〉

La definicion de producto interno tambien puede ser vista como una transformacion (operador) linealT : V→ R

T |v〉 = α 〈a |v〉 ≡ α

Otra vez:T [a |v〉+ b |w〉] = 〈a| [a |v〉+ b |w〉] = a 〈a |v〉+ b 〈a |w〉

por lo tanto es lineal. Esto implica que tambien la proyeccion de un determinado |v〉 ∈ V sobre unsubespacio S es un operador lineal, y lo denotaremos como

[|s〉〈s|] |v〉 = 〈s |v〉 |s〉 = |vs〉 con |s〉 y |vs〉 ∈ S



esta idea se extiende facil si para un proyector T : Vm→ Sn con m > n de tal modo que para un vector|v〉 ∈ Vm

Pm |v〉 ≡(|ui〉

⟨ui∣∣m

)|v〉 =

⟨ui |v〉m |ui〉 = |vm〉

con 〈ui| base de Sn.Es claro que estamos utilizando la convencion de Einstein para la suma deınidices

Las ecuaciones lineales tambien pueden verse como transformaciones lineales. Esto es, considere unatransformacion lineal T : Vn→ Vm Por lo tanto asociaremos

|y〉 = T |x〉→(y1, y2, y3, · · · , ym

)= T

(x1, x2, x3, · · · , xn

)a traves de n×m numeros, aij , organizados de la siguiente forma

yi = aij xj con

i = 1, 2, · · · ,mj = 1, 2, · · · , n

una vez mas,

T [α |v〉+ β |w〉] = Tα(v1, v2, v3, · · · , vn

)+ β

(w1, w2, w3, · · · , wn

)= αaij v

j + βaij wj

= T(αv1 + βw1, αv2 + βw2, αv3 + βw3, · · · , αvn + βwn

)= aij (αv + βw)

j= αaij v

j + βaij wj = aij

(αvj + βwj

)Como siempre estamos utilzando la convencion de suma de Einstein

La derivada es un operador lineal. Ası podemos representar el operador lineal diferenciacion como

|v′〉 = T |v〉→ |y′〉 = D |y〉→ D [y (x)] ≡ d

dx[y (x)] ≡ dy (x)

dx≡ y′ (x)

es claro queD [αf (x) + βg (x)] = αDf (x) + βDg (x) ≡ αf ′ (x) + βg′ (x)

igualmente podemos asociar un operador diferencial de cualquier orden a una derivada del mismoorden, esto es

|y′′〉 = D2 |y〉 → D2 [y (x)] ≡ d2

dx2[y (x)] ≡ d2y (x)

dx2≡ y′′ (x)

|y′′′〉 = D3 |y〉 → D3 [y (x)] ≡ d3

dx3[y (x)] ≡ d3y (x)

dx3≡ y′′′ (x)

...∣∣∣y(n)⟩

= Dn |y〉 → Dn [y (x)] ≡ dn

dxn[y (x)] ≡ dny (x)

dxn≡ y(n) (x)

Igualmente, cualquier ecuacion diferencial lineal es un ejemplo de operador lineal, recordamos el ejemplodel tema de transformadas integrales. Esto es

y′′ − 3 y′ + 2 y =(D2 − 3D + 2

)y (x)

es claro que si y (x) = αf (x) + g (x) la linealidad es evidente

(αf (x) + g (x))′′ − 3 (αf (x) + g (x))

′+ 2 (αf (x) + g (x)) = α (f ′′ − 3 f ′ + 2 f) + g′′ − 3 g′ + 2 g

↑↓(D2 − 3D + 2

)(αf (x) + g (x)) =

(D2 − 3D + 2

)αf (x) +

(D2 − 3D + 2

)g (x)



La integral tambien es un operador lineal

g (x) =

∫ x

a

f(t)dt T f(t)

Otro ejemplo tıpico son los operadores de transformaciones integrales

F (s) =

∫ b

a

K (s, t) f(t)dt T f(t)

donde K (s, t) es una funcion conocida de s y t, denominada el nucleo de la transformacion. Si a y bson finitos la transformacion se dira finita, de lo contrario infinita.Ası si f(t) = αf1(t) + f2(t) con f1(t) y f2(t) ∈ C∞[a,b] es obvio que

F (s) =

∫ b

a

K (s, t) [αf1(t) + f2(t)] dt T [αf1(t) + f2(t)]

F (s) = α

∫ b

a

K (s, t) f1(t)dt+

∫ b

a

K (s, t) f2(t)dt

⇓F (s) = αF (s1) + F (s2) T [αf1(t) + f2(t)] = αT f1(t)+ T f2(t)

Dependiendo de la seleccion del nucleo y los limites tendremos distintas transformaciones integrales.En Fısica las mas comunes son:

Nombre F (s) = T f(t) f(t) = T−1 F (s)

Laplace F (s) =∫∞

0e−stf(t)dt f(t) = 1

2πi

∫ γ+i∞γ−i∞ estF (s)ds

Fourier de senos y cosenos F (s) =

∫ ∞0

sen(st)cos(st)

f(t)dt f(t) = 2π

∫ ∞0

sen(ts)cos(ts)

F (s)ds

Fourier compleja F (s) =

∫ ∞−∞

ei stf(t)dt f(t) = 2π

∫ ∞−∞

e−i stF (s)ds

Hankel F (s) =

∫ ∞0

tJn(st)f(t)dt f(t) =

∫ ∞0

sJn(ts)F (s)ds

Mellin F (s) =

∫ ∞0

ts−1 f(t)dt f(t) = 12πi

∫ γ+i∞γ−i∞ s−t F (s)ds

4.1.1. Espacio Vectorial de Operadores Lineales

Un conjunto de operadores lineales A,B,C · · · : V1→V2 puede constituir un espacio vectorial linealsi se dispone entre ellos de la operacion suma y la multiplicacion por un escalar. Ası, claramente, dadoA,B,C · · · ,y definida

(χA + B) |v〉 ≡ χA |v〉+ B |v〉 3

A [α |v1〉+ β |v2〉] = α A |v1〉+ β A |v2〉

B [α |v1〉+ β |v2〉] = α B |v1〉+ β B |v2〉



es directo comprobar que

(χA + B) [α |v1〉+ β |v2〉] = χA [α |v1〉+ β |v2〉] + B [α |v1〉+ β |v2〉]= χ (α A |v1〉+ β A |v2〉) +α B |v1〉+ β B |v2〉= χ (α A |v1〉+α B |v1〉) + β A |v2〉+ β B |v2〉⇓

(χA + B) [α |v1〉+ β |v2〉] = χA [α |v1〉+ β |v2〉] + B [α |v1〉+ β |v2〉]

Igualmente, se cumple que[(A + B) + C] = [A+ (B + C)]

con A + B + C lineales en V

[(A + B) + C] |v〉 = (A + B) |v〉+ C |v〉 ∀ |v〉 ∈ V1

= A |v〉+ B |v〉+ C |v〉= A |v〉+ (B + C) |v〉= [A+ (B + C)] |v〉

del mismo modo se puede comprobar facilmente

A + B = B + A

Ahora bien, si definimos la transformacion cero de V1→V2 tal que

|0〉 = 0 |v〉 ∀ |v〉 ∈ V1

se le asigna a el vector |0〉 ∈ V2 ∀ |v〉 ∈ V1, entonces el operador lineal 0 sera el elemento neutro respectoa la suma de operadores. Finalmente, el elemento simetrico queda definido por

(−A) |v〉 = −A |v〉 =⇒ (A−A) |v〉 = 0 |v〉 = |0〉

Con ello queda demostrado que los operadores lineales forman un espacio vectorial el cual de ahora enadelante denominaremos L (V1,V2) .

4.1.2. Composicion de Operadores Lineales

El producto o composicion de dos operadores lineales, A y B se denotara AB y significara que primerose aplica B y al resultado se aplica A. Esto es

AB |v〉 = A (B |v〉) = A |v〉 = |v′〉

La composicion de funciones cumple con las siguientes propiedades

(AB) C = A (BC) ; α (AB) = (αA) B = A (αB) ;

(A1+A2) B = A1B + A2B; A (B1+B2) = AB1+AB2

Es decir, que la composicion de operadores es asociativa y distributiva a la suma y que conmuta respecto ala multiplicacion por escalares.

Por otro lado si 1 es el operador Identidad

1 |v〉 = |v〉 =⇒ A1 = 1A = A;



En general AB 6= BA,por lo tanto podemos construir el conmutador de estos operadores como

[A,B] = AB−BA 3 [AB−BA] |v〉 = AB |v〉 −BA |v〉

Es inmediato comprobar algunas de las propiedades mas utiles de los conmutadores:

[A,B] = − [B,A]

[A, (B + C)] = [A,B] + [A,C]

[A,BC] = [A,B] C + B [A,C]

0 = [A, [B,C]] + [B, [C,A]] + [C, [A,B]]

Dados dos vectores |v1〉 y |v2〉 definiremos como el elemento de matriz del operador A al producto internode dos vectores

〈v2| (A |v1〉) ≡ A(|v1〉,|v2〉)

es claro que A(|v1〉,|v2〉) sera en general un numero complejo, pero esto lo veremos detalladamente en laseccion 4.2, mas adelante.

Ejemplos

Potencias de Operadores: Uno de los ejemplos mas utiles en la composicion de operadores loconstituyen las potencias de los operadores, las cuales provienen de la aplicacion consecutiva de unmismo operador,

A0 = 1; A1 = A; A2 = AA; A3 = A2A = AAA; · · ·

Es claro que las potencias de operadores cumplen las propiedades estandares de las potencias denumeros

An+m = AnAm; (An)m

= Anm

Llamaremos operadores nilpotentes de grado n a los operadores An 6= 0, del tipoAn |v〉 = |0〉 ∀ |v〉 ∈ V1 al vector nulo, |0〉 ∈ V2. Es decir un operador que lleva cualquier vector |v〉al elemento neutro de V2. El ejemplo mas emblematico es el operador diferencial

Dn∣∣Pn−1

⟩= |0〉

dn

dxnPn−1(x) =

dn

dxn[aix

i]

= 0

con∣∣Pn−1

⟩perteneciente al espacio de polinomios de grado n− 1

Operador Ecuaciones Diferenciales. Si consideramos el espacio de funcionesf(x) ∈ C∞[a,b] podemos construir un operador diferencial

[a01 + a1D + a2D

2 + · · ·+ anDn]|f〉

(a0 + a1

d

dx+ a2

d2

dx2+ · · ·+ an

dn

dxn

)f(x)

con a0, a1, a2, · · · an coeficientes constantes. De este modo

(D2 − 3D + 2

)y = (D− 1) (D− 2) y =⇒

(d2

dx2− 3

d

dx+ 2

)y (x) = y′′ − 3 y′ + 2 y

con r = 1 y r = 2 las raıces del polinomio caracterıstico



Funciones de Operadores: Basandonos en el primero de los ejemplos se puede construir un “poli-nomio” en potencias de los operadores:

Pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n = aixi =⇒

Pn(A) |v〉 =[a01 + a1A + a2

2A + · · ·+ annAn]|v〉 =

[aiA

i]|v〉 ∀ |v〉 ∈ V1

Mas aun, lo anterior nos permite extender la idea operadores a funciones de operadores, es decir si nossaltamos todos los detalles de convergencia de la serie anterior, los cuales dependeran de los autovaloresde A y de su radio de convergencia, de esta manera, al igual que podemos expresar cualquier funcionF (z) como una serie de potencias de z en un cierto dominio, podremos expresar la funcion de unoperador, F (A) , como una serie de potencias del operador A esto es

F (z) = aixi F (A) |v〉 =

[aiA

i]|v〉

Ası, por ejemplo, podemos expresar

eA |v〉 =

[ ∞∑n=0

An

n!

]|v〉 =

[1 + A +

A

2!+ · · ·+ An

n!· · ·]|v〉

En este caso hay que hacer una acotacion, dado que, en general, [A,B] 6= 0 =⇒ eAeB 6= eBeA 6= eA+B

esta afirmacion se corrobora de manera inmediata al desarrollar las exponenciales

eAeB |v〉 =

[ ∞∑n=0

An

n!

][ ∞∑m=0

Bm

m!

]|v〉 =

[ ∞∑n=0

∞∑m=0

An

n!

Bm

m!

]|v〉

eBeA |v〉 =

[ ∞∑n=0

Bn

n!

][ ∞∑m=0

Am

m!

]|v〉 =

[ ∞∑n=0

∞∑m=0

Bn

n!

Am

m!

]|v〉

eA+B |v〉 =

[ ∞∑n=0

(A + B)n

n!

]|v〉

solo en el caso que [A,B] = 0 =⇒ eAeB = eBeA = eA+B, la demostracion es inmediata pero requiereexpandir y rearreglar las sumatorias arriba expuestas. En general mas adelante demostraremos larelacion de Glauber

eAeB = eA+Be12 [A,B]

4.1.3. Proyectores

La notacion de Dirac se hace particularmente conveniente para representar proyectores. Hasta ahora,hemos relacionado un funcional lineal, un bra 〈w| del espacio dual V∗, con un vector ket |v〉 del espaciovectorial V a traves de su producto interno 〈w| v〉 ∈ C el cual es, en general, un numero complejo. Si ahoraescribimos esta relacion entre vectores y formas diferenciales de una manera diferente. Ası, la relacion entre〈w|, y |v〉 un ket |Ψ〉 o un bra 〈Φ| arbitrarios seran

|v〉〈w| =⇒

|v〉〈w| Ψ〉〈Φ |v〉〈w|



La primera sera la multiplicacion del vector |v〉 por el numero complejo 〈w| Ψ〉 ,mientras que la segundarelacion sera la multiplicacion de la forma 〈w| por el complejo 〈Φ |v〉 . Es imperioso senalar que el orden enla escritura de los vectores y formas es crıtico, solo los numeros complejos λ se pueden mover con impunidada traves de estas relaciones

λ |v〉 = |λv〉 = |v〉λ, λ 〈w| = 〈λw| = 〈w|λ〈w|λ |v〉 = λ 〈w| v〉 = 〈w| v〉λ y A |λv〉 = Aλ |v〉 = λA |v〉

Por lo tanto, dado un vector |v〉 , podemos construir un proyector P|v〉 a lo largo del vector |v〉

P|v〉 ≡ |v〉〈v| con 〈v| v〉 = 1

siempre y cuando este operador lineal cumpla

P|v〉 [α |z1〉+ β |z2〉] = α P|v〉 |z1〉+ β P|v〉 |z2〉 =⇒|v〉〈v| [α |z1〉+ β |z2〉] = |v〉〈v|α |z1〉+ |v〉〈v|β |z2〉 = α |v〉〈v |z1〉+ β |v〉〈v |z2〉

P2|v〉 = P|v〉 ⇐⇒ (|v〉〈v|) (|v〉〈v|) = |v〉〈v| =⇒

P|v〉 P|v〉 |z〉 = (|v〉〈v|) (|v〉〈v|) |z〉 = |v〉〈v |v〉︸︷︷︸1

〈v |z〉 = |v〉〈v |z〉 = P|v〉 |z〉

Ası el operador P|v〉 actuando sobre el vector |Ψ〉 representara la proyeccion de |Ψ〉 a lo largo de |v〉

P|v〉 |Ψ〉 = |v〉〈v| Ψ〉 ≡ 〈v| Ψ〉 |v〉

Es inmediato construir un proyector de un vector sobre un subespacio Sq.Sea |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · , |eq〉 un conjunto ortonormal de vectores que expande Sq. Por lo tanto definiremosel proyector Pq al proyector sobre el subespacio Sq de la forma

Pq = |ei〉⟨ei∣∣q

es claro que P2q = Pq

P2q |v〉 = PqPq |v〉 =⇒ P2

q |v〉 =(|ei〉

⟨ei∣∣q

)(|ej〉

⟨ej∣∣q

)|v〉 = |ei〉

⟨ei |ej〉︸︷︷︸δij

⟨ej |v〉

P2q |v〉 = |ej〉

⟨ej |v〉 ≡ Pq |v〉 ∀ |v〉 ∈ V

4.1.4. Espacio Nulo e Imagen

El conjunto de todos los |v〉 ∈ V1 3 A |v〉 = |0〉 , se denomina espacio nulo, nucleo o kernel (nucleo enaleman) de la transformacion A y lo denotaremos como ℵ (A), en sımbolos diremos que

ℵ (A) = |v〉 | |v〉 ∈ V1 ∧ A |v〉 = |0〉

Adicionalmente, ℵ (A) ⊂ V1 sera un subespacio de V1. La prueba de esta afirmacion es inmediata. Dados|v1〉 , |v2〉 ∈ ℵ (A) ,con A un operador lineal, es claro que

A |v1〉 = |0〉

A |v2〉 = |0〉

=⇒ α1 A |v1〉+ α2 A |v2〉 = |0〉 = A (α1 |v1〉+ α2 |v2〉)



por la misma razon se tiene que el elemento neutro contenido en ℵ (A) ,esto es

A |α v〉 = |0〉 ∀ |v〉 ∈ V1 ∧ ∀α ∴ A |0〉 = |0〉 si α = 0

por lo tanto, queda demostrado que ℵ (A) es un subespacio de V1 .Definiremos imagen (rango o recorrido) de A,y la denotaremos como

= (A) = |v′〉 | |v′〉 ∈ V2 ∧ A |v〉 = |v′〉

igualmente = (A) ⊂ V2 tambien sera un subespacio de V2 ya que si |v〉 = α1 |v1〉+ α2 |v2〉 y dado que Aes un operador lineal, se cumple que

A

α1 |v1〉+ α2 |v2〉︸︷︷︸|v〉

= α1 A |v1〉︸︷︷︸|v′1〉

+ α2 A |v2〉︸︷︷︸|v′2〉

= α1 |v′1〉+ α2 |v′2〉︸︷︷︸|v′〉

Es claro que si V de dimension finita, A V = n tambien sera de dimension finita n y tendremos que

dim [ℵ (A)] + dim [= (A)] = dim [V]

vale decir que la dimension del nucleo mas la dimension del recorrido o imagen de una transformacion lineales igual a la dimension del dominio.

Para demostrar esta afirmacion supongamos que dim [V] = n y que|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 · · · |ek〉 ∈ V es una base de ℵ (A) , donde k = dim [ℵ (A)] ≤ n.Como |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 · · · |ek〉 ∈ V estos elementos forman base y por lo tanto son linealmente indepen-dientes, necesariamente ellos formaran parte de una base mayor de V.Esto es |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · , |ek〉 , |ek+1〉 , · · · , |ek+r−1〉 , |ek+r〉 ∈ V sera una base de V donde k + r = n

Es esquema de la demostracion sera:

primero probaremos que A |ek+1〉 ,A |ek+2〉 , · · · ,A |ek+r−1〉 ,A |ek+r〉 forman una base pa-ra A V

luego demostraremos que dim [A V] = r y como hemos supuesto que k+r = n habremos demostradola afirmacion anterior.

Si los r elementos A |ek+1〉 ,A |ek+2〉 , · · · ,A |ek+r−1〉 ,A |ek+r〉 expanden A V entoncescualquier elemento

|w〉 ∈ A V 3 |w〉 = A |v〉 = Ci |Aei〉 con |Aei〉 = A |ei〉

Ahora bien, analicemos con cuidado los lımites de la suma implıcita del ındice i = 1, 2, · · · , k + r

|w〉 = Ci |Aei〉 = C1 |Ae1〉+ C2 |Ae2〉+ · · ·+ Ck |Aek〉︸︷︷︸=|0〉 ya que A|e1〉=A|e2〉=A|e3〉···=A|ek〉=|0〉

+ Ck+1 |Aek+1〉+ · · ·+ Ck+r |Aek+r〉

Por lo tanto A |ek+1〉 ,A |ek+2〉 , · · · ,A |ek+r−1〉 ,A |ek+r〉 expanden A V . Ahora bien, parademostrar que son base, demostraremos que son linealmente independientes, para ello supondremos que

∃Ck+1, Ck+2, · · · , Ck+r

3 Ci |Aei〉 = 0 con i = k + 1, k + 2, · · · , k + r



y ttenemos que demostrar que Ck+1 = Ck+2 = · · · = Ck+r = 0. Entonces

Ci |Aei〉 = CiA |ei〉 = A(Ci |ei〉

)= 0 con i = k + 1, k + 2, · · · , k + r

por lo tanto el elemento |v〉 = Ci |ei〉 ∈ ℵ (A) con i = k + 1, k + 2, · · · , k + r. Con lo cual dado que∀ |v〉 ∈ ℵ (A) , |v〉 = Ci |ei〉 con i = 1, 2, · · · , r, entonces se puede hacer la siguiente resta

|v〉 − |v〉 =

k∑i=1

Ci |ei〉 −k+r∑i=k+1

Ci |ei〉

y como los |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · , |ek〉 , |ek+1〉 , · · · , |ek+r−1〉 , |ek+r〉 son una base de V entonces las Ck+1 =Ck+2 = · · · = Ck+r = 0

Ejemplos

Transformaciones Identidad: Sea 1 : V1→V2 , la transformacion identidad,

∀ |v〉 ∈ V1 3 1 |v〉 = |v〉 . ⇒ ℵ (1) = |0〉 ⊂ V1 ∧ = (1) ≡ V1

Sistemas de lineales de Ecuaciones. En Vn los sistemas de ecuaciones lineales representan elespacio nulo,ℵ (A) , para vectores de Vn

A |x〉 = |0〉

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · ·...

. . .

An1 An2 Ann

x1

x2

...xn

=

00...0

Aijxi = 0

son j ecuaciones con j = 1, 2, · · · , n. Recordemos que estamos utilizando la convencion de Einsteinpara suma de ındices. Esto es

∑ni=1A

ijxi = 0

Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sea C2[−∞,∞] el espacio vectorial de todas las funciones con-

tinuas doblemente diferenciables. Definimos A :C2[−∞,∞] −→ C[−∞,∞] como la transformacion lineal(

D2 − 1)

tal que para todas las y(x) ∈ C2[−∞,∞] se cumple

A |x〉 = |0〉 (D2 − 1

)y(x) = 0

(d2

dx2− 1

)y (x) = y′′ − y = 0

por lo tanto el nucleo o espacio nulo de A,ℵ (A) lo constituyen el conjunto de soluciones para lamencionada ecuacion diferencial. Por lo tanto el problema de encontrar las soluciones de la ecuaciondiferencial es equivalente a encontrar los elementos del nucleo de A.

4.1.5. Operadores Biyectivos e Inversos

Se dice que A : V1→V2 es biyectivo (uno a uno o biunıvoco) si dados |v1〉 , |v2〉 ∈ V1, ∧ |v′〉 ∈ V2,se tiene que

A |v1〉 = |v′〉 ∧ A |v2〉 = |v′〉 =⇒ |v1〉 = |v2〉

es decir sera biyectiva si A transforma vectores distintos de V1 en vectores distintos de V2. Mas aun, sepuede afirmar que una transformacion lineal A, sera biyectiva si y solo si ℵ (A) = |0〉 . Vale decir, si el



subespacio nulo esta constituido, unicamente por el elemento neutro del espacio vectorial. La demostraciones sencilla. Supongamos que A es biyectiva y que A |v〉 = |0〉 ,entonces |v〉 = |0〉 ,es decir, A |0〉 = |0〉 , porconsiguiente ℵ (A) = |0〉 . Recıprocamente, si

ℵ (A) = |0〉∧

A |v1〉 = A |v2〉

=⇒ A |v1〉 −A |v2〉 = |0〉 = A

|v1〉 − |v2〉︸︷︷︸|v1〉−|v2〉=0

=⇒ |v1〉 = |v2〉

La importancia de las transformaciones lineales uno a uno o biyectiva reside en la posibilidad de definirinversa, debido a que siempre existe en V2 un vector |v′〉 asociado a traves de A con un vector |v〉 ∈ V1.Diremos que A−1: V2→V1 es el inverso de A, si A−1A = 1 = AA−1.

Podemos afirmar que un operador lineal A tendra inverso A−1 si a cada vector |v′〉 ∈ V2

Habrıa que hacer un par de comentarios al respecto. El primero es que, tal y como hemos enfatizadoarriba, en general, los operadores no conmutan entre si, y los inversos no son una excepcion. Es decir, debieranexistir (y de hecho existen) inversas por la izquierda A−1A e inversas por la derecha AA−1. Por simplicidade importancia en Fısica obviaremos esta dicotomıa y supondremos que A−1A = 1 = AA−1. El segundocomentario tiene que ver con la existencia y unicidad del inverso de un operador lineal. Algunos operadorestienen inverso, otros no, pero aquellos quienes tienen inverso, ese inverso es unico. Veamos, supongamos que

A−11 A |v〉 = |v〉

∧A−1

2 A |v〉 = |v〉

=⇒ A−11 A |v〉 −A−1

2 A |v〉 = |0〉 =(A−1

1 −A−12

)︸︷︷︸A−1

1 =A−12

A |v〉 =⇒ A−11 = A−1

2

Ahora bien, un operador lineal A tendra inverso sı y solo sı para cada vector |v′〉 ∈ V2 ∃! |v〉 ∈V1 3 A |v〉 = |v′〉 . Es decir cada vector |v′〉 esta asociado con uno y solo un vector |v〉 a traves de latransformacion lineal A. Dejaremos sin demostracion esta afirmacion pero lo importante es recalcar quepara que exista inverso la transformacion lineal A,tiene que ser biyectiva y esto implica que se asocia uno ysolo un vector de V1 con otro de V2.

Todavıa podemos anadir algunas demostraciones consecuencias de las afirmaciones anteriores. Sea latransformacion lineal T : V1→ V2 supongamos ademas que T ∈ L (V1,V2) Entonces las siguientes afirma-ciones son validas y equivalentes

1. T es Biyectiva en V1

2. T es invertible y su inversa T−1 : T V1 → V1 es lineal

3. ∀ |v〉 ∈ V1,T |v〉 = |0〉 =⇒ |v〉 = |0〉 esto es, el espacio nulo ℵ (T) unicamente contiene al elementoneutro de V1.

Si ahora suponemos que V1 tiene dimension finita, digamos dim [V1] = n, las siguientes afirmacionesseran validas y equivalentes

1. T es Biyectiva en V1

2. Si |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 , · · · |un〉 ∈ V1 son linealmente independientes entonces, T |u1〉 , T |u2〉 , T |u3〉 , · · ·T |un〉 ∈T V1 tambien seran linealmente independientes.

3. dim [T V1] = n

4. Si |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 · · · |en〉 ∈ V1 es una base de V1, entonces T |e1〉 , T |e2〉 , T |e3〉 · · ·T |en〉 ∈T V1 es una base de T V1



4.1.6. Operadores Hermıticos Conjugados

Definiremos la accion de un operador A sobre un bra de la forma siguiente

(〈w|A)︸︷︷︸〈w′|

|v〉 = 〈w| (A |v〉)︸︷︷︸|v′〉

por lo cual lo que estamos diciendo es que el elemento de matriz para el operador, A, es el mismo, y noimporta donde opere A.De esta manera, dado cada vector en V, tiene asociado un vector en V∗ podemosdemostrar que A operando sobre los bra es lineal. Esto es dado

〈w| = λ1 〈z1|+ λ2 〈z2| =⇒(〈w|A) |v〉 ≡ (λ1 〈z1|+ λ2 〈z2|A) |v〉 = (λ1 〈z1|+ λ2 〈z2|) (A |v〉) = λ1 〈z1| (A |v〉) + λ2 〈z2| (A |v〉)

= λ1 (〈z1|A) |v〉+ λ2 (〈z2|A) |v〉

Siguiendo con esta logica podemos construir la accion del operador hermıtico conjugado, A†. Para ellorecordamos que igual que a cada vector (ket) |v〉 le esta asociado una forma lineal (bra) 〈v| ,a cada kettransformado A |v〉 = |v′〉 le correspondera un bra transformado 〈v′| = 〈v|A†. Por lo tanto

|v〉 ⇐⇒ 〈v||v′〉 = A |v〉 ⇐⇒ 〈v′| = 〈v|A†

ahora bien,si A es lineal, A† tambien lo sera. Dado que a un vector |w〉 = λ1 |z1〉+ λ2 |z2〉 le correspondeun bra 〈w| = λ∗1 〈z1| + λ∗2 〈z2| (la correspondencia es antilineal). Por lo tanto, |w′〉 = A |w〉 = λ1 A |z1〉 +λ2 A |z2〉 , por ser A lineal, entonces

|w′〉 ⇐⇒ 〈w′| ≡ 〈w|A† = (λ∗1 〈z1|+ λ∗2 〈z2|) A† ≡ λ∗1 〈z′1|+ λ∗2 〈z′2| = λ∗1 〈z1|A† + λ∗2 〈z2|A†

Es claro que de la definicion de producto interno en la notacion de Dirac, se desprende

〈x′| y〉 = 〈y| x′〉∗ ∀ |x′〉 = A |x〉 , |y〉 ∈ V =⇒ 〈x|A† |y〉 = 〈y|A |x〉∗ ∀ |x〉 , |y〉 ∈ V

Igualmente se pueden deducir las propiedades de los operadores hermıticos conjugados(A†)†

= A; (λA)†

= λ∗A†; (A + B)†

= A† + B†; (AB)†

= B†A†

Esta ultima propiedad es facilmente demostrable y es educativa su demostracion. Dado |v′〉 = AB |v〉,ademas se tiene que

|v〉 = B |v〉

|v′〉 = A |v〉

=⇒ 〈v′| = 〈v|A† = 〈v|B†A† = 〈v| (AB)†

A partir de propiedades anteriores se deriva una mas util relacionada con el conmutador de dos operadoreshermıticos

[A,B]†

= −[A†,B

†]=[B†,A†

]La conclusiones a las que llegamos sonPara obtener el hermıtico conjugado de una expresion proceda de la siguiente manera:

Cambie constantes por sus complejas conjugadas λ λ∗



Cambie los kets por sus bras asociados y viceversa (bras por kets): |v〉〈v|

Cambie operadores lineales por sus hermıticos conjugados A† A;

Invierta el orden de los factores

De este modo(|v〉〈w|)† = |w〉〈v|

que se deduce facilmente de la consecuencia de la definicion de producto interno

〈x|(|v〉〈w|

)†|y〉 = 〈y| (|v〉〈w|) |x〉∗ = 〈y| |v〉∗ 〈w| |x〉∗ = 〈x| |w〉〈v| |y〉

Existe un conjunto de operadores que se denominan Hermıticos a secas o autoadjunto. Un operadorHermıtico (o autoadjunto) sera aquel para el cual A† = A. Con esto

〈x|A† |y〉 = 〈x|A |y〉 = 〈y|A |x〉∗

Claramente los proyectores son autoadjuntos por construccion

P†|v〉 ≡ (|v〉〈v|)† = |v〉〈v|

4.1.7. Operadores Unitarios

Por definicion un operador sera unitario si su inversa es igual a su adjunto. Esto es

U−1= U† =⇒ U†U = UU† = 1

De estos operadores podemos decir varias cosas

Las transformaciones unitarias dejan invariantes al producto interno y consecuentemente la norma devectores. Esto se demuestra facilmente. Dados dos vectores |x〉 , |y〉 sobre los cuales actua un operadoreunitario

|x〉 = U |x〉

|y〉 = U |y〉

=⇒ 〈y |x〉 = 〈y|U†U |x〉 = 〈y |x〉

Es claro que si Aes hermıtico, A† = A, el operador T = eiA es unitario.

T = eiA =⇒ T† = e−iA†

= e−iA =⇒ TT† = eiA

e−iA = 1 = T†T = e−iA

eiA

El producto de dos operadores unitarios tambien es unitario. Esto es si U y V son unitarios entonces

(UV) † (UV) = V†U†U︸︷︷︸1

V = V†V = 1

(UV) (UV) † = UVV†︸︷︷︸1

U† = UU† = 1



4.2. Representacion Matricial de Operadores

Supongamos un operador lineal A en el espacio vectorial de transformaciones lineales L (V,W ) dondedim (V ) = n y dim (W ) = m y sean |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 y |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |em〉 las bases paraV y W respectivamente. Entonces A |ej〉 ∈W

A |ei〉 = Aαi |eα〉 con i = 1, 2, .., n y α = 1, 2, ..,m

las Aαi son las componentes de la expansion de A |ei〉 en la base |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |em〉 . Para un vectorgenerico |x〉 tendremos que

|x〉 = A |x〉 = xα |eα〉 pero, a su vez |x〉 = xi |ei〉

con lo cual

|x〉 = A |x〉 = xα |eα〉 = A(xi |ei〉

)= xiA |ei〉 = xiAαi |eα〉 =⇒

(xα − xiAαi

)|ei〉 = 0

para finalmente concluir quexα = Aαi x

i

Varias cosas se pueden concluir hasta este punto

1. Si acordamos que los ındices de arriba indican filas podemos representar los vectores como un arreglovertical de sus componentes

|x〉 →

x1

x2

...xn

y las cantidades

Aαi →

A11 A1

2 · · · A1j · · · A1

n

A21 A2

2 A2j A2

n...

. . ....

Aα1 Aα2 Aαj Aαn...

.... . .

Am1 Am2 Amj Amn

de tal modo que se cumpla

|x〉 →

x1

x2

...xα

xm

=

A11 A1

2 · · · A1j · · · A1

n

A21 A2

2 A2j A2

n...

. . ....


.... . .

Am1 Am2 Amj Amn

x1

x2

...xj

xn

Notese que los ındices arriba indican fila y los de abajo columnas. Las cantidades Aαj es la represen-tacion del operador A en las bases |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 y |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |em〉 de V y W



respectivamente. Es decir una matriz Aij es un arreglo de numeros

Aij =

A1

1 A12 · · · A1

n

A21 A2

2 A2n

.... . .

An1 An2 Ann

donde el superındice, i, indica fila

A11

A21

...An1

y el subındice j columna (

A11 A1

2 · · · A1n

)2. Diremos que las componentes de los vectores transforman como

xα = Aαi xi

3. Si suponemos |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 y |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |em〉 bases ortonormales

xα = 〈eα |x〉 = 〈eα|A |x〉 = 〈eα|A(xi |ei〉

)=xi 〈eα|A |ei〉

queda claro que Aαi ≡ 〈eα|A |ei〉 sera la representacion matricial

4. Los vectores |ek〉 transforman de la siguiente manera

A |ei〉 = |wi〉 = Aji |ej〉 =⇒

donde |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 y |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 son las bases para V y W respectiva-mente.

Definitivamente, las matrices son uno de los objetos mas utiles de las Matematicas. Ellas permiten aterri-zar conceptos y calcular cantidades. La palabra matriz fue introducida en 1850 por James Joseph Sylvester1

y su teorıa desarrollada por Hamilton2 y Cayley3 . Si bien los fısicos las consideramos indispensables, nofueron utilizadas de manera intensiva hasta el aparicion de la Mecanica Cuantica alrededor de 1925.

1James Joseph Sylvester (1814-1897 Londres, Inglaterra). Ademas de sus aportes con Cayley a la Teorıa de las Matricesdescubrio la solucion a la ecuacion cubica y fue el primero en utilizar el termino discriminante para categorizar cada una delas raıces de la ecuacion. Para vivir tuvo que ejercer de abogado durante una decada. Por fortuna otro matematico de la epoca(Arthur Cayley) frecuentaba los mismos juzgados y tribunales y pudieron interactuar. Por ser judıo tuvo cantidad de dificultadespara conseguir trabajo en la Academia.

2Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865, Dublin, Irlanda) Sus contribuciones en el campo de la Optica, Dinamica delcuerpo Rıgido, Teorıa de ecuaciones algebraicas y Teorıa de Operadores Lineales.

3Arthur Cayley (1821, Richmond, 1895, Cambridge, Inglaterra) En sus cerca de 900 trabajos cubrio cası la totalidad delas areas de las Matematicas de aquel entonces. Sus mayores cotribuciones se centran el la Teorıa de Matrices y la Gemetrıa noeuclideana. No consiguio empleo como Matemetico y tuvo que graduarse de abogado y ejercer durante mas de 15 anos, durantelos cuales publico mas de 250 trabajos en Matematicas



4.2.1. Bases y Representacion Matricial de Operadores

Es importante recalcar que la representacion matricial de un operador depende de las bases |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉y |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |em〉 de de V y W respectivamente. Si tenemos otras bases ortonormal para V y Wvale decir, |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 y |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |em〉 su representacion sera distinta. Esto es

〈eα|A |ej〉 = Aαj =⇒

A11 A1

2 · · · A1j · · · A1

n

A21 A2

2 A2j A2

n...

. . ....


.... . .

Am1 Am2 Amj Amn

Mas aun cambiando el orden en el cual se presenta una base, cambia la representacion matricial del operador.Los siguientes ejemplos trataran de ilustrar estas situaciones

Si tenemos un matriz 2× 3, B de la forma

B =

(3 1 −21 0 4

)y supongamos las bases canonicas para V 3y V 2 : |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 y |e1〉 , |e2〉 . Entonces la matriz Brepresentan la transformacion B :V 3 → V 2 que lleva un vector generico |x〉 = (x1, x2, x3) en un vectorgenerico |y〉 = (y1, y2) tal que

B =

(3 1 −21 0 4

)=⇒ B |x〉 = |y〉 =⇒

(3 1 −21 0 4

) x1

x2

x3

=

(y1

y2

)

y esto es

y1 = 3x1 + x2 − 2x3

y2 = x1 + 0x2 + 4x3

La representacion matricial, dependera de la base en la cual se exprese. Si suponemos el operador dife-

rencial D (·) = d(·)dx y consideramos el dominio un espacio vectorial de los polinomios de grado ≤ 3, por lo

tanto D (·) : P 3 → P 2, si consideramos las bases

1, x, x2, x3

y

1, x, x2

de P 3 y P 2 respectivamente. Siel producto interno esta definido como

⟨P i |Pj〉 →

∫ 1

−1

dx Pi (x)Pj (x)

La representacion matricial el operador diferencial sera

⟨P i∣∣∣D |Pj〉 =

⟨P i∣∣∣Pj⟩ =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

como siempre i indica las filas y j las columnas.



Otra manera de verlo es operar (diferenciar) sobre el |Pj〉 ∈ P 3 y expresar ese resultado en la base de P 2

D |Pj〉 =⇒

d(1)dx = 0 = 0 · 1 + 0 · x+ 0 · x2

d(x)dx = 1 = 1 · 1 + 0 · x+ 0 · x2

d(x2)dx = 2x = 0 · 1 + 2 · x+ 0 · x2

d(x3)dx = 3x2 = 0 · 1 + 0 · x+ 3 · x2

y los coeficientes de esa expansion seran las columnas de la matriz que los representa.Para enfatizar que los elementos de matrız, no solo dependen de la base sino del orden en el cual la base

se presente. Consideremos que la base de P 2 viene representadas porx2, x, 1

. La representacion matricial

del operador D (·) = d(·)dx sera

⟨P i∣∣D |Pj〉 =

⟨P i∣∣∣Pj⟩ =

0 0 0 30 0 2 00 1 0 0

aunque 0 1 0 0

0 0 2 00 0 0 3

1111

=

123

=⇒1 + 2x+ 3x2

equivalentemente 0 0 0 30 0 2 00 1 0 0

1111

=

321

=⇒1 + 2x+ 3x2

¡Es el mismo polinomio!Recuerde que las componentes del vector multiplican a los vectores bases en el mismo orden.

Si ahora construimos la respresentacion para el mismo operador D (·) = d(·)dx en la siguiente base

1, 1 + x, 1 + x+ x2, 1 + x+ x2 + x3

y

1, x, x2

de P 3 y P 2, respectivamente.

D |Pj〉 =∣∣∣Pj⟩ =⇒

d(1)dx = 0 = 0 · 1 + 0 · x+ 0 · x2

d(1+x)dx = 1 = 1 · 1 + 0 · x+ 0 · x2

d(1+x+x2)dx = 1 + 2x = 1 · 1 + 2 · x+ 0 · x2

d(1+x+x2+x3)dx = 1 + 2x+ 3x2 = 1 · 1 + 2 · x+ 3 · x2

con lo cual ⟨P i∣∣D |Pj〉 =

⟨P i∣∣∣Pj⟩ =

0 1 1 10 0 2 20 0 0 3

4.2.2. Algebra de Matrices

Por comodidad supongamos que dim (V ) = dim (W ) = n y consideremos la base ortogonal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 .Deeste modo es claro, que se reobtienen las conocidas relaciones para matrices cuadradas⟨

ei∣∣A + B |ej〉 =

⟨ei∣∣A+B |ej〉 =

⟨ei∣∣A |ej〉+

⟨ei∣∣B |ej〉 = Aij +Bij



con lo cual tenemos la suma de matrices. Esto esA1

1 A12 · · · A1

n

A21 A2

2 A2n

.... . .

An1 An2 Ann

+

B1

1 B12 · · · B1

n

B21 B2

2 B2n

......

Bn1 Bn2 Ann

⇓

A11 +B1

1 A12 +B1

2 · · · A1n +B1

n

A21 +B2

1 A22 +B2

2 A2n +B2

n...

.... . .

An1 +Bn1 Ann +Bnn

en forma compacta puede demostrarse Aij + Bij = (A+B)

ijcon lo cual es directo la demostrar la igualdad

de matrices A1

1 +B11 A1

2 +B12 · · · A1

n +B1n

A21 +B2

1 A22 +B2

2 A2n +B2

n...

.... . .

An1 +Bn1 Ann +Bnn

= 0

⇓A1

1 A12 · · · A1

n

A21 A2

2 A2n

.... . .

An1 An2 Ann

=

B1

1 B12 · · · B1

n

B21 B2

2 B2n

......

Bn1 Bn2 Ann

de donde Aij = Bij

De igual modo para la representacion de composicion de operadores⟨ei∣∣AB |ej〉 =

⟨ei∣∣A1B |ej〉 =

⟨ei∣∣A (|ek〉

⟨ek∣∣)B |ej〉 =

⟨ei∣∣A |ek〉 ⟨ek∣∣B |ej〉 = AikB

kj

para multiplicacion de matrices. Esto esA1

1 A12 · · · A1

n

A21 A2

2 A2n

.... . .

An1 An2 Ann

×

B11 B1

2 · · · B1n

B21 B2

2 B2n

......

Bn1 Bn2 Ann

⇓

A1kB

k1 A1

kBk2 · · · A1

kBkn

A2kB

k1 A2

kBk2 A2

kBkn

......

. . .

AnkBk1 AnkB

kn

como ya sabıamos AB 6= BA→AikBkj 6=BikAkj

De la misma manera la multiplicacion de un numero por una matriz es la multiplicacion de todos suselementos por ese numero ⟨

ei∣∣αA |ej〉 = α

⟨ei∣∣A |ej〉 = αAij



4.2.3. Representacion Diagonal

Finalmente mostraremos que dado un operador lineal A ∈L (V,W ) donde dim (V ) = dim (W ) = n y sea|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 , · · · |un〉 una base ortonormal para V y W . Si adicionalmente se da el caso que

A |ui〉 = |ui〉

la representacion matricial es diagonal⟨uj∣∣A |ui〉 = Aji =

⟨uj |ui〉 = δji

Esta afirmacion tambien es valida para dim (V ) 6= dim (W ) pero por simplicidad seguimos trabajando conmatrices cuadradas.

En leguaje de ındices estaremos diciendo que

Dij = Dk δ

kl δljδik =

D1 0 0 00 D2 0 00 0 D3 00 0 0 D4

4.2.4. Sistemas de Ecuaciones lineales

Una de las aplicaciones mas utiles del algebra de matrices es la resolucion de los sitemas de ecuacioneslineales. El cual puede ser expresado de la siguiente forma

Aαi xi = cα con i = 1, 2, .., n y α = 1, 2, ..,m

por lo tanto tendremos m ecuaciones lineales para n incognitas(x1, x2, · · ·xn

). Las Aαi es la matriz de

los coeficientes. Por lo tanto este problema puede ser pensado como un problema de un operador A en elespacio vectorial de transformaciones lineales L (V,W ) donde dim (V ) = n y dim (W ) = m, con las cα lascomponentes del vector transformado

|c〉 = A |x〉 → cα = Aαi xi

Concretemos en un ejemplo

2x+ 3y − z = 54x+ 4y − 3z = 3−2x+ 3y − z = 10

=⇒

2 3 −14 4 −3−2 3 −1

xyz

=

531

el metodo mas utilizado es la eliminacion de Gauss Jordan el cual se basa en el intercambio de ecuacionesy la multiplicacion apropiada e inteligente por constantes y resta de ecuaciones. La idea es construir unamatriz triangular superior para poder luego despejar desde abajo. Veamos:

abc

2 3 −14 4 −3−2 3 −1

∣∣∣∣∣∣531

entonces para eliminar x de lala fila c (o la ecuacion c) sumamos la fila a con la c, a+ c y esta nueva ecuacionsera la nueva c

abc′

2 3 −14 4 −30 6 −2

∣∣∣∣∣∣536



ahora −2a+ b sera la nueva bab′

c′

2 3 −10 −2 −10 6 −2

∣∣∣∣∣∣5−76

finalmente 3b′ + c′

ab′

c′′

2 3 −10 −2 −10 0 −5

∣∣∣∣∣∣5−7−15

Este sistema es equivalente al primer sistema de ecuaciones. La solucion emerge rapidamente:

−5z = −15→ z = 3 − 2y − z = −7→ −2y − 3 = −7→ y = 2 2x+ 3 (2)− 3 = 5→ x = 1

Es bueno recalcar que los sistemas de ecuaciones lineales no necesariamente tienen solucion y a veces tienenmas de una solucion.

4.2.5. Operadores Hermıticos

La representacion matricial de un operador hermıtico,(A†)ij

=⟨ei∣∣A† |ej〉 =

⟨ej∣∣A |ei〉∗ =

(Aji

)∗vale decir: el hermıtico conjugado de una matriz, es su traspuesta conjugada. Si la matriz es Hermıtica, i.e.

A† = A =⇒(A†)ij

= Aij

por lo tanto, las matrices hermıticas son simetricas respecto a la diagonal y los elementos de la diagonal sonnumeros reales. Un operador hermıtico estara representado por una matriz hermıtica.

Aquı vale la pena probar algunas de las propiedades que arriba expresamos para operadores hermıticosconjugados, vale decir(

A†)†

= A; (λA)†

= λ∗A†; (A + B)†

= A† + B†; (AB)†

= B†A†

Es claro que (A†)† → (⟨

ei∣∣A† |ej〉)† =

((A†)ij

)†=((Aji

)∗)†= Aij

y(λA)

† →⟨ei∣∣λA† |ej〉 =

⟨ej∣∣λA |ei〉∗ = λ∗

⟨ej∣∣A |ei〉∗ = λ∗

⟨ei∣∣A† |ej〉 = λ∗A†

pero mas interesante es

(AB)† →

⟨ei∣∣ (AB)

† |ej〉 =(AikB

kj

)†= Aj∗k B

k∗i = Ak∗j B

i∗k = Bi∗k A

k∗j → B†A

†

4.2.6. Inversa de una matriz

Hemos visto que dada una transformacion lineal biyectiva, podemos definir una inversa para esa trans-formacion lineal. Esa transformacion lineal tendra como representacion un matriz. Por lo tanto dado unoperador lineal A diremos que otro operador lineal B sera su inverso (por la derecha) si

AB = 1→⟨ei∣∣AB |ej〉 = δij → AikB

kj = δij



ahora bien, como conocemso la matriz Aik y las suponemos no singular (esto es: det(Aik)6= 0) y si tomamos

un j fijo tendremos un sistema de n ecuaciones lineales inhomogeneo con n incognitas B1j , B

2j , B

3j , · · ·Bnj .

Al resolver el sistema tendremos la solucion. El procedimiento para encontrar la inversa es equivalente almetodo de eliminacion de Gauss Jordan, veamos como funciona. Supongamos una matriz 3× 3 A1

1 A12 A1

3

A21 A2

2 A23

A31 A3

2 A33

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

Gauss Jordan→

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣B1

1 B12 B1

3

B21 B2

2 B23

B31 B3

2 B33

Como un ejemplo 2 3 4

2 1 1−1 1 2

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

→ 2 3 4

0 2 3−1 1 2

∣∣∣∣∣∣1 0 01 −1 00 0 1

→ 2 3 4

0 2 30 5 8

∣∣∣∣∣∣1 0 01 −1 01 0 2

→4.2.7. Cambio de Bases para vectores

Dada una representacion (una base) particular un bra, un ket o un operador queda representado por unamatriz. Si cambiamos la representacion, ese mismo bra, ket u operador tendra otra matriz como representa-cion. Mostraremos como estan relacionadas esas matrices.

Dadas dos base discretas ortonormales |ui〉 y |ti〉, entonces un vector cualquiera

|Ψ〉 =(∣∣uk

⟩〈uk|

)|Ψ〉 =

⟨uk∣∣ Ψ〉︸︷︷︸ck

|uk〉

|Ψ〉 = (|tm〉〈tm|) |Ψ〉 = 〈tm| Ψ〉︸︷︷︸cm

|tm〉

=⇒

〈tm |Ψ〉 =⟨uk∣∣ Ψ〉〈tm |uk〉︸︷︷︸

Smk⟨uk |Ψ〉 = 〈tm| Ψ〉

⟨uk |tm〉︸︷︷︸Skm

con lo cual, una vez mas, tendremos que la expresion de transformacion de componentes de un vector

cm = Smk ck ⇐⇒ ck = Skmc

m

y Smk (o Skm) sera la matriz de transformacion, cambio de base o cambio de representacion. Ahora bien, pordefinicion de producto interno

〈tm |uk〉 =⟨uk |tm〉∗ =⇒ Smk = Sk∗m ≡ S

m†k

por lo tanto, la matriz de transformacion entre bases es hermıtica o autoadjunta y la relacion anterior quedaescrita como

cm = Smk ck =⇒ 〈tm| Ψ〉 = Smk⟨uk∣∣ Ψ〉

ck = Sk†m cm =⇒

⟨uk |Ψ〉 = Sk†m 〈tm| Ψ〉



Igualmente la regla de transformacion de las representaciones matriciales de operadores quedan expresadascomo ⟨

ti∣∣A |tj〉 =

⟨ti∣∣ (|uk〉

⟨uk∣∣)A (|um〉〈um|) |tj〉 =

⟨ti |uk〉︸︷︷︸Sik

⟨uk∣∣A |um〉〈um |tj〉︸︷︷︸

Sm†j

por lo tanto,Aij = Sik A

km Sm†j

donde Aij es la representacion del operador A respecto a la base |tj〉 y Akm su representacion en la base|um〉

4.3. Traza de Operadores

La traza, Tr (A) , de un operador A es la suma de los elementos diagonales de su representacion matricial.Esto es dado un operador A y una base ortogonal |ui〉 para V n

Tr (A) =⟨uk∣∣A |uk〉 = Aii

Ası

Aij =

1 2 34 5 67 8 9

=⇒ Tr (A) = Aii = 15

4.3.1. Invariancia de la Traza

La traza de una matriz no depende de la base que seleccionemos. Es un invariante que caracterizaal operador independientemente de la base en la cual se represente. Entonces Dadas dos base discretasortonormales |ui〉 y |ti〉,

Akk =⟨uk∣∣A |uk〉 =

⟨uk |tm〉〈tm|A |uk〉 = 〈tm|A|uk〉

⟨uk︸︷︷︸

1

|tm〉 = 〈tm|A |tm〉 = Amm

Donde una vez mas hemos utilizado las dos relaciones de cierre |tm〉〈tm| = 1 y∣∣uk⟩ 〈uk| = 1. Es claro que

el numero que representa esta suma sera el mismo independientemente de su representacion matricial.

4.3.2. Propiedades de la Traza

Claramente la traza es linealTr (A+λB) = Tr (A) + λTr (B)

ya queTr (A + λB) =

⟨uk∣∣A + λB |uk〉 =

⟨uk∣∣A |uk〉+ λ

⟨uk∣∣B |uk〉 = Tr (A) + λTr (B)

La traza de un producto conmuta esto es

Tr (AB) = Tr (BA)

y es facilmente demostrable

Tr (AB) =⟨uk∣∣AB |uk〉 =

⟨uk∣∣A|um〉〈um|︸︷︷︸

1

B |uk〉 =⟨uk∣∣B|um〉〈um|︸︷︷︸

1

A |uk〉 = Tr (BA)



Recuerde que⟨uk∣∣B |um〉 y

⟨uk∣∣A |uk〉 son numeros que pueden ser reordenados.

Del mismo modo es facil demostrar que la traza de un triple producto de matrices respeta la ciclicidaddel orden de la matrices en el producto

Tr (ABC) = Tr (BCA) = Tr (CAB)

4.3.3. Diferenciacion de Operadores

Dado un operador A (t) el cual supondremos dependiente de una variable arbitraria t podremos definirla derivada como

dA (t)

dt= lım

∆t→0

A (t+ ∆t)−A (t)

∆t

por lo tanto si⟨uk∣∣A |ui〉 = Aki entonces

⟨uk∣∣ dA (t)

dt|ui〉 =

(dA (t)

dt

)ki

=d

dt

⟨uk∣∣A (t) |ui〉 =

dAkidt

=

dA1

1

dtdA1

2

dt · · · dA1n

dtdA2

1

dtdA2

2

dtdA2

n

dt...

. . .dAn1dt

dAn2dt

dAnndt

con lo cual la regla es simple, la representacion matricial de la derivada de un operador sera la derivada decada uno de sus elementos. Con ello

d

dx

x x2 21 e−x 5x

3x3 3 cosx

=

1 2x 00 −e−x 5

9x2 0 − senx

4.3.4. Reglas de Diferenciacion de Operadores Lineales

Las reglas usuales de la diferenciacion se cumpliran con la diferenciacion de operadores. Esto se demuestracon la representacion matricial

d (A (t) + B (t))

dt=

d (A (t))

dt+

d (B (t))

dt

⟨uk∣∣ d (A (t) + B (t))

dt|ui〉 =

d

dt

⟨uk∣∣ (A (t) + B (t)) |ui〉

=d

dt

(⟨uk∣∣A (t) |ui〉+

⟨uk∣∣B (t) |ui〉

)=

d

dt

⟨uk∣∣A (t) |ui〉+

d

dt

⟨uk∣∣B (t) |ui〉

=⟨uk∣∣ dA (t)

dt|ui〉+

⟨uk∣∣ dB (t)

dt|ui〉 =

d (A (t))

dt+

d (B (t))

dt

Del mismo modo se cumplira que

d (A (t) B (t))

dt=

dA (t)

dtB (t) + A (t)

dB (t)

dt



con la precaucion que no se puede modificar el orden de aparicion de los operadores. Es facil ver que⟨uk∣∣ d (A (t) B (t))

dt|ui〉 =

d

dt

⟨uk∣∣A (t) B (t) |ui〉 =

d

dt

⟨uk∣∣A (t) 1B (t) |ui〉

=(⟨uk∣∣A (t) |um〉〈um|B (t) |ui〉

)=

d⟨uk∣∣A (t) |um〉

dt〈um|B (t) |ui〉+

⟨uk∣∣A (t) |um〉

d 〈um|B (t) |ui〉dt

=⟨uk∣∣ dA (t)

dt|um〉〈um|B (t) |ui〉+

⟨uk∣∣A (t) |um〉〈um|

dB (t)

dt|ui〉

Otras propiedades de la derivacion de operadores se demuestran a partir de la expansion en series de los

operadores. Por ejemplo si queremos conocer la expresion para deAt

dt , con A 6= A (t)si recordamos que

eAt |v〉 =

[ ∞∑n=0

(At)n

n!

]|v〉 =

[1 + At+

(At)2

2!+ · · ·+ (At)

n

n!· · ·

]|v〉

tendremos que

deAt

dt|v〉 =

d

dt

[ ∞∑n=0

(At)n

n!

]|v〉 =

[ ∞∑n=0

d

dt

((At)

n

n!

)]|v〉

=

[ ∞∑n=0

ntn−1An

n!

]|v〉 =

[ ∞∑n=0

tn−1An−1

(n− 1)!

]︸︷︷︸

eAt

A |v〉

Notese que la suma es hasta infinito, por lo tanto al cambiar de ındice p = n − 1, p sigue variando hastainfinito y la serie es la misma que la anterior. Entonces

deAt

dt|v〉 = eAtA |v〉 ≡ AeAt |v〉

tambien fıjese que si un solo operador esta siendo derivado el orden de presentacion de los operadores esindiferente. Ahora bien, cuando se presenta la siguiente situacion

d(eAteBt

)dt

|v〉 =deAt

dteBt |v〉+ eAt

deBt

dt|v〉 = AeAteBt |v〉+ eAtBeBt |v〉

= eAtAeBt |v〉+ eAteBtB |v〉

con A 6= A (t) y B 6= B (t) y siempre[eBt,B

]= 0. Con lo cual, solo para el caso en el cual [A,B] = 0

podremos factorizar eAteBt yd(eAteBt

)dt

|v〉 = (A + B) eAteBt |v〉

Si [A,B] 6= 0 el orden de aparicion de los operadores es MUY importante.

Para el caso en el cual A = A (t) no necesariamente[A (t) , e

dA(t)dt

]= 0. Veamos:

deA(t)

dt|v〉 =

d

dt

[ ∞∑n=0

(A (t))n

n!

]|v〉 =

[ ∞∑n=0

(1

n!

d (A (t))n

dt

)]|v〉

=

[ ∞∑n=0

(1

n!

d (A (t))

dtA (t)

n−1+ A (t)

d (A (t))

dtA (t)

n−2 · · ·A (t)n−1 d (A (t))

dt

)]|v〉



Adicionalmente

si [A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0 =⇒ [A,F (B)] = [A,B]dF (B)

dB

Esta relacion es facilmente demostrable para el caso en el cual [A,B] = 1 el operador identidad, en ese casotenıamos que ABn −BnA = nBn−1

ABn −BnA = ABB · · ·B︸︷︷︸n

−BB · · ·B︸︷︷︸n

A

= (1 + BA) BB · · ·B︸︷︷︸n−1

−BB · · ·B︸︷︷︸n

A

= 1Bn−1 + B (1 + BA)BB · · ·B︸︷︷︸n−2

−BB · · ·B︸︷︷︸n

A

= 2Bn−1 + B2(1 + BA)BB · · ·B︸︷︷︸n−3

−BB · · ·B︸︷︷︸n

A

...

= nBn−1

Obviamente, para este caso, se cumple que

[A,B] = 1 =⇒ [A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0

para demostrar esta relacion “desarrollemos en Serie de Taylor” la funcion F (B) . Esto es

[A,F (B)] =

[A,

∞∑n=0

fnBn

n!

]=

∞∑n=0

fn[A,Bn]

n!= [A,B]

∞∑n=0

fnnBn−1

n!= [A,B]

∞∑n=0

fnBn−1

(n− 1)!

= [A,B]dF (B)

dB

Para el caso mas general se procede del mismo modo

si [A,C] = [B,C] = 0 con C = [A,B] =⇒ [A,F (B)]?= [A,B]

dF (B)

dB

Probaremos primero que

si [A,C] = [B,C] = 0 con C = [A,B] =⇒ [A,Bn] = ABn −BnA = n [A,B] Bn−1

Tendremos que

ABn −BnA = ABB · · ·B︸︷︷︸n

−BB · · ·B︸︷︷︸n

A

= (C + BA) BB · · ·B︸︷︷︸n−1

−BB · · ·B︸︷︷︸n

A

= CBn−1 + B (C + BA)BB · · ·B︸︷︷︸n−2

−BB · · ·B︸︷︷︸n

A

= 2CBn−1 + B2(C + BA)BB · · ·B︸︷︷︸n−3

−BB · · ·B︸︷︷︸n

A

...

= nCBn−1 = n [A,B] Bn−1



con lo cual es inmediato demostrar que

[A,F (B)] =

[A,

∞∑n=0

fnBn

n!

]=

∞∑n=0

fn[A,Bn]

n!= [A,B]

∞∑n=0

fnnBn−1

n!= [A,B]

∞∑n=0

fnBn−1

(n− 1)!

= [A,B]dF (B)

dB

4.3.5. La Formula de Glauber

Ahora estamos en capacidad de demostrar limpiamente la formula de Glauber. Esta es


Para demostrarla, procedemos a considerar un operador F (t) = eAteBt, por lo tanto

dF (t)

dt|v〉 =

deAteBt

dt|v〉 = AeAt eBt |v〉+ eAt BeBt |v〉 =

(A + eAt Be−At

)eAteBt |v〉

=(A + eAtBe−At

)F (t) |v〉

Ahora bien, dado que

si [A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0 =⇒ [A,F (B)] = [A,B]dF (B)

dB

entonces [eAt,B

]= t [A,B] eAt =⇒ eAtB = BeAt + t [A,B] eAt

por lo cualdF (t)

dt|v〉 =

(A + eAtBe−At

)F (t) |v〉 = (A + B + t [A,B]) F (t) |v〉

por tanteo uno puede darse cuenta que

F (t) = e

(A+B)t+ t2

2 [A,B]

cumple con la ecuacion anterior, por lo tanto absorbiendo t en los operadores correspondientes llegamos a laformula de Glauber


4.4. Un Zoologico de Matrices Cuadradas

A continuacion presentaremos un conjunto de matrices que seran de utilidad mas adelante

4.4.1. La matriz nula

es

Aij = 0 ∀i, j =⇒ Aij =

0 0 · · · 00 0 0...

. . .

0 0 0



4.4.2. Diagonal a Bloques

Podremos tener matrices diagonales a bloques, vale decir

Dij =

D1

1 D12 0 0

D21 D2

2 0 00 0 D3

3 D34

0 0 D43 D4

4

4.4.3. Triangular superior e inferior

Dij =

D1

1 D12 D1

3 D14

0 D22 D2

3 D24

0 0 D33 D3

4

0 0 0 D44

y Dij =

D1

1 0 0 0

D21 D2

2 0 0

D31 D3

2 D33 0

D41 D4

2 D43 D4

4

4.4.4. Matriz singular

A es singular =⇒ det A = 0

4.4.5. Matriz de cofactores

Aij =

a11 a1

2 a13

a21 a2

2 a23

a31 a3

2 a33

y (Ac)ij =

(Ac)11 (Ac)

12 (Ac)

13

(Ac)21 (Ac)

22 (Ac)

23

(Ac)31 (Ac)

32 (Ac)

33

donde los (Ac)

ij es la matriz de cofactores, y los cofactores son

(Ac)11 = (−1)

1+1

∣∣∣∣ a22 a2

3

a32 a3

3

∣∣∣∣ (Ac)12 = (−1)

1+2

∣∣∣∣ a21 a2

3

a31 a3

3

∣∣∣∣ (Ac)13 = (−1)

1+3

∣∣∣∣ a21 a2

2

a31 a3

2

∣∣∣∣(Ac)

21 = (−1)

2+1

∣∣∣∣ a12 a1

3

a32 a3

3

∣∣∣∣ (Ac)22 = (−1)

2+2

∣∣∣∣ a11 a1

3

a31 a3

3

∣∣∣∣ (Ac)23 = (−1)

2+3

∣∣∣∣ a11 a1

2

a31 a3

2

∣∣∣∣(Ac)

31 = (−1)

3+1

∣∣∣∣ a12 a1

3

a22 a2

3

∣∣∣∣ (Ac)32 = (−1)

3+2

∣∣∣∣ a11 a1

3

a21 a2

3

∣∣∣∣ (Ac)33 = (−1)

3+3

∣∣∣∣ a11 a1

2

a21 a2

2

∣∣∣∣4.4.6. Matriz Adjunta

Llamaremos matriz adjunta, adj [A], a la traspuesta de la matriz de cofactores de una determinada matriz.Esto es

adj [A] = (Ac)T

=⇒ adj[Aij]

=(

(Ac)ij

)T= (Ac)

ji

Esto es

Aij =

1 2 34 5 67 8 9

=⇒ adj[Aij]

=

−3 6 −36 −12 6−3 6 −3



Una matriz sera autoadjunta si adj [A] = A

4.5. Un Parentesis Determinante

4.5.1. Definicion

Antes de continuar es imperioso que refresquemos algunas propiedades del determinante de una matriz.Ya hemos visto que el det A : Mn×n → <. Es decir, asocia un numero real con cada matriz del espaciovectorial Mn×n de matrices n× n

Ası, dada una matriz

Aij =

A1

1 A12 · · · A1

n

A21 A2

2 A2n

.... . .

An1 An2 Ann

=⇒ det A = εijk···A1iA

2jA

3k · · · =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 · · · A1

n

A21 A2

2 A2n

.... . .

An1 An2 Ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Hemos generalizado el ındice de Levi Civita de tal forma que

εijk··· = εijk··· =

0, si cualesquiera dos ındices son iguales1, si los ındices i, j, k · · · constituyen una permutacion cıclica de 1, 2, 3 · · ·n−1 si los ındices i, j, k · · · constituyen una permutacion anticıclica de 1, 2, 3 · · ·n

Esta situacion es clara para el caso de matrices 3× 3, veamos.Dada una matriz 3× 3

Aij =

A11 A1

2 A13

A21 A2

2 A23

A31 A3

2 A33

=⇒ det A = εijkA1iA

2jA

3k =

∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 A1

3

A21 A2

2 A23

A31 A3

2 A33

∣∣∣∣∣∣con lo cual

det A = ε123A11A

22A

33 + ε312A1

3A21A

32 + ε231A1

2A23A

31 + ε132A1

1A23A

32 + ε321A1

3A22A

31 + ε213A1

2A21A

33

= A11A

22A

33 +A1

3A21A

32 +A1

2A23A

31 −A1

1A23A

32 −A1

3A22A

31 −A1

2A21A

33

4.5.2. Propiedades Determinantes

1. det A = det AT donde AT es la traspuesta de AEsta propiedad proviene de la definicion del ındice de Levi Civita

det A = εijk···A1iA

2jA

3k · · · = εijk···A

i1A

j2A

k3 · · · = det AT

que se traduce que se intercambian filas por columnas el determinante no se altera∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 A1

3

A21 A2

2 A23

A31 A3

2 A33

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣A1

1 A21 A3

1

A12 A2

2 A32

A13 A2

3 A33

∣∣∣∣∣∣2. Si dos filas o dos columnas son identicas el determinante se anula

εiik···A1iA

2iA

3k · · · = εiik···A

i1A

i2A

k3 · · · = 0



por definicion del ındice de Levi Civita∣∣∣∣∣∣A1

1 A11 A1

3

A21 A2

1 A23

A31 A3

1 A33

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 A1

3

A11 A1

2 A13

A31 A3

2 A33

∣∣∣∣∣∣ = 0

3. Si multiplicamos una fila o una columna por un numero, el determinante queda multiplicado por elnumero

εijk···A1i

(λA2

j

)A3k · · · = λεijk···A1

iA2jA

3k · · · = λ det A

εijk···Ai1A

j2

(λAk3

)· · · = λεijk···A

i1A

j2A

k3 · · · = λ det A

de aquı claramente se desprende que si una fila o una columna es cero (λ = 0) el determinante seanula. Mas aun, si dos filas o dos columnas son proporcionales A1

i = λA2j el determinante se anula, por

cuanto se cumple la propiedad anterior∣∣∣∣∣∣A1

1 λA12 A1

3

A21 λA2

2 A23

A31 λA3

2 A33

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 A1

3

A21 A2

2 A23

λA31 λA3

2 λA33

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 A1

3

A21 A2

2 A23

A31 A3

2 A33

∣∣∣∣∣∣Obvio que ∣∣∣∣∣∣

A11 0 A1

3

A21 0 A2

3

A31 0 A3

3

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 A1

3

A21 A2

2 A23

0 0 0

∣∣∣∣∣∣ = 0

al igual que∣∣∣∣∣∣A1

1 λA11 A1

3

A21 λA2

1 A23

A31 λA3

1 A33

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 A1

3

λA11 λA1

2 λA13

A31 A3

2 A33

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣A1

1 A11 A1

3

A21 A2

1 A23

A31 A3

1 A33

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 A1

3

A11 A1

2 A13

A31 A3

2 A33

∣∣∣∣∣∣ = 0

4. Si se intercambian dos filas o dos columnas cambia de signo el determinante.

det A = εijk···A1iA

2jA

3k · · · =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A1

1 A12 · · · A1

n

A21 A2

2 A2n

.... . .

An1 An2 Ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =⇒ εijk···A1jA

2iA

3k · · · = det A

donde en la matriz A se han intercambiando un par de columnas. Claramente las propiedades delındice de Levi Civita, obliga al cambio de signo

det A = −det A

Notese que una sıntesis de las propiedades anteriores nos lleva a reescribir el determinante de unamatriz de la forma

det A = εαβγ··· det A = εijk···AiαA

jβA

kγ · · · ⇐⇒ det A = εαβγ··· det A = εijk···Aαi A

βjA

γk · · ·

claramente, si αβγ · · · ⇐⇒ 123 · · · reobtenemos la definicion anterior. Si se intercambian dos filas o doscolumnas, el determinante cambia de signo debido al intercambio de dos ındices griegos. Si dos filaso dos columnas son iguales el determinante se anula debido a la propiedad de sımbolo de Levi Civitacon ındices griegos.



5. El determinante de un producto es el producto de los determinantes

det (AB) = det (A) det (B)

Antes de proceder a la demostracion de este importante propiedad jugaremos un poco mas con laspropiedades de las matrices. Queremos senalar que si A es una matriz m× n y B es una matriz n× p,entonces tendremos que

(AB)α

= AαB

esto es que la α − esima fila es igual a la multiplicacion de la α − esima fila, Aα,por toda la matrizB. Veamos

Cij = (AB)ij = AilB

lj

por lo tanto la α− esima fila

Cαj = Aαl Blj =⇒ Cαj = (Aα1 , A

α2 , A

α3 , · · ·Aαn, )

B1

1 B12 · · · B1

n

B21 B2

2 B2n

.... . .

Bn1 Bn2 Bnn

det (A) det (B) = det (A)

(εijk···B

i1B

j2B

k3 · · ·

)=(εijk···A

iαA

jβA

kγ · · ·

) (εabc···B

a1B

b2B

c3 · · ·

)que siempre puede ser rearreglado a(

εijk···Aαi AβjA

γk · · ·

)(εijk···B

i1B

j2B

k3 · · ·

)= Aαi B

i1A

βjB

j2A

γkB

k3 · · · = det (AB)

veamos este desarrollo en el caso de 3× 3(ε123A1

1A22A

33 + ε312A1

3A21A

32 + ε231A1

2A23A

31 + ε132A1

1A23A

32 + ε321A1

3A22A

31 + ε213A1

2A21A

33

)×(ε123B1

1B22B

33 + ε312B1

3B21B

32 + ε231B1

2B23B

31 + ε132B1

1B23B

32 + ε321B1

3B22B

31 + ε213B1

2B21B

33

)con lo cual

= A11A

22A

33

(B1

1B22B

33 +B1

3B21B

32 +B1

2B23B

31 −B1

1B23B

32 −B1

3B22B

31 −B1

2B21B

33

)+A1

3A21A

32

(B1

1B22B

33 +B1

3B21B

32 +B1

2B23B

31 +B1

1B23B

32 +B1

3B22B

31 +B1

2B21B

33

)+A1

2A23A

31

(B1

1B22B

33 +B1

3B21B

32 +B1

2B23B

31 +B1

1B23B

32 +B1

3B22B

31 +B1

2B21B

33

)−A1

1A23A

32

(B1

1B22B

33 +B1

3B21B

32 +B1

2B23B

31 +B1

1B23B

32 +B1

3B22B

31 +B1

2B21B

33

)−A1

3A22A

31

(B1

1B22B

33 +B1

3B21B

32 +B1

2B23B

31 +B1

1B23B

32 +B1

3B22B

31 +B1

2B21B

33

)−A1

2A21A

33

(B1

1B22B

33 +B1

3B21B

32 +B1

2B23B

31 +B1

1B23B

32 +B1

3B22B

31 +B1

2B21B

33

)como son numeros los rearreglo

= A11A

22A

33

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)+A1

3A21A

32

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)+A1

2A23A

31

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)−A1

1A23A

32

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)−A1

3A22A

31

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)−A1

2A21A

33

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33



= A11A

22A

33

(+B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)+A1

3A21A

32

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)+A1

2A23A

31

(B1

1B22B

33 + +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)−A1

1A23A

32

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)−A1

3A22A

31

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)−A1

2A21A

33

(B1

1B22B

33 +B2

1B32B

13 +B3

1B12B

23 −B1

1B32B

23 −B3

1B22B

13 −B2

1B12B

33

)A1

1B11A

22A

33B

22B

33 +A1

2B21A

23A

31B

32B

13

εijk···AiαB

α1 A

jλB

λ2A

kµB

µ2 · · ·

4.6. Autovectores y Autovalores

4.6.1. Definiciones y Teoremas Preliminares

Llamaremos a |ψ〉 un autovector del operador A si se cumple que

A |ψ〉 = λ |ψ〉

en este caso λ (que, en general sera un numero complejo) se denomina el autovalor correspondiente alautovector |ψ〉 . La ecuacion A |ψ〉 = λ |ψ〉 en conocida en la literatura como la ecuacion de autovalores y secumple para algunos valores particulares de los autovalores λ. El conjunto de los autovalores se denomina elespectro del operador A.

Supongamos que A : V → V y que dimV = n, supongamos ademas que una base ortogonal para V es|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 . Por lo tanto la repercusion de esta ecuacion sobre la representacion matricial esla siguiente ⟨

ei∣∣A |ej〉 ⟨ej∣∣ |ψ〉 =

⟨ei∣∣λ |ψ〉 = λ

⟨ei |ψ〉 =⇒ Aij c

j = λci

claramente, si |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 genera una representacion diagonal de A entonces

Aij ∝ δij =⇒ Aij cj ∝ δij cj = λci =⇒ Aij ∝ λδij

Esto lo podemos resumir en el siguiente teorema que presentaremos sin demostracion.

Teorema Dado un operador lineal A :V n → V n si la representacion matricial de A es diagonal,⟨ei∣∣A |ej〉 =

Aij ∝ δij entonces existe una base ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉4 y un conjunto de cantidadesλ1, λn, · · · , λn tales que se cumple

A |ei〉 = λi |ei〉 con i = 1, 2, · · ·n

igualmente se cumple que si existe una base ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉y un conjunto decantidades λ1, λn, · · · , λn tales satisfagan

A |ei〉 = λi |ei〉 con i = 1, 2, · · ·n

Entonces se cumple la representacion matricial de A es diagonal,⟨ei∣∣A |ej〉 = Aij = diag (λ1, λn, · · · , λn)

4Realmente un conjunto de vectores linealmente independientes, pero como siempre puedo ortoganalizarlos mediante elmetodo de Gram Smith, consideraremos que es una base ortogonal de entrada



4.6.2. Algunos comentarios

1. Notese que si |ψ〉 es autovector de A para un determinado autovalor λ entonces∣∣∣ψ⟩ = α |ψ〉 (un vector

proporcional a |ψ〉 ,con α un numero complejo) tambien es un autovector para el mismo autovalor.Esto representa una incomoda ambiguedad: dos autovectores que corresponden al mismo autovalor.Un intento de eliminarla es siempre considerar vectores |ψ〉 normalizados, i.e. 〈ψ |ψ〉 = 1. Sin embargono deja de ser un intento que no elimina la ambiguedad del todo porque siempre queda angulo de fasearbitrario. Esto es el vector eiθ |ψ〉 ,con θ un numero real arbitrario, tiene la misma norma del vector|ψ〉 . Sin embargo esta arbitrariedad es inofensiva. En Mecanica Cuantica las predicciones obtenidascon |ψ〉 son las mismas que con eiθ |ψ〉

2. Un autovalor λ sera no degenerado o simple si esta asociado a un unico autovector |ψ〉5 de lo contrariosi denominara degenerado si existen dos o mas autovectores de A, linealmente independientes asociadosal mismo autovalor λ. El grado (o el orden) de la degeneracion es el numero de vectores linealmenteindependientes que esten asociados al mencionado autovalor λ.

3. El orden de degeneracion de un autovalor λ expande un espacio vectorial S (λ) ⊂ Vn (denominadoautoespacio) cuya dimension es el orden de la degeneracion. Esto es si λ es g−degenerado, entoncesexisten

|ψ1〉 , |ψ2〉 , |ψ3〉 , · · · |ψg〉 =⇒ A |ψi〉 = λ |ψi〉

adicionalmente un autovector correspondiente al autovalor λ puede ser expresado como

|ψ〉 = ci |ψi〉 con i = 1, 2, · · · , g

con lo cualA |ψ〉 = ciA |ψi〉 = λ ci |ψi〉 = λ |ψ〉

4.6.3. Algunos Ejemplos

1. Reflexion respecto al plano xy : Si R :V 3 → V 3 es tal que R |ψ〉 =∣∣∣ψ⟩ donde se ha realizado una

reflexion en el plano xy. Esto es

R |i〉 = |i〉 ; R |j〉 = |j〉 ; R |k〉 = − |k〉

con |i〉 , |j〉 , |k〉 vectores unitarios cartesianos. Es claro que cualquier vector en el plano xy sera auto-vector de R con un autovalor λ = 1 mientras que cualquier otro vector |ψ〉 ∈ V3 y que no este enel mencionado plano cumple con |ψ〉 = c |k〉 y tambien sera autovector de R pero esta vez con unautovalor λ = −1.

2. Dos visiones de Rotaciones de angulo fijo θ : La rotaciones de un vector en el plano pueden versede dos maneras.

a) Se considera el plano como un espacio vectorial real V2 con una base cartesiana canonica: |i〉 =(1, 0) , y |j〉 = (0, 1) , esto es si

R |a〉 = λ |a〉 =⇒ el angulo de rotacion = nπ con n entero

5Con la arbitrariedad del calibre antes mencionado



b) Igualmente si consideramos el plano complejo unidimensional, expresemos cualquier vector en elplano en su forma polar |z〉 = reiθ por lo cual

R |z〉 = rei(θ+α) = eiα |z〉

si queremos λ = eiα reales necesariamente α = nπ con n entero

3. Autovalores y Autovectores de Proyectores. Es interesante plantearse la ecuacion de autovalorescon la definicion del proyector para un determinado autoespacio. Esto es dado Pψ = |ψ〉〈ψ| si esteproyector cumple con una ecuacion de autovalores para un |ϕ〉 supuestamente arbitrario

Pψ |ϕ〉 = λ |ϕ〉 =⇒ Pψ |ϕ〉 = (|ψ〉〈ψ|) |ϕ〉 =⇒ |ϕ〉 ∝ |ψ〉

es decir necesariamente |ϕ〉 es colineal con |ψ〉 . Mas aun si ahora el |ϕ〉 no es tan arbitrario sino quees ortogonal a |ψ〉 , 〈ψ |ϕ〉 = 0 =⇒ λ = 0. Esto nos lleva a concluir que el espectro del operadorPψ = |ψ〉〈ψ| es 0 y 1,el primer de los cuales es infinitamente degenerado y el segundo es simple. Estonos lleva a reflexionar que si existe un autovector de un determinado operador, entonces su autovalores distinto de cero, pero pueden existir autovalores nulos que generan un autoespacio infinitamentedegenerado.

4. El operador diferenciacion D |f〉 → D (f) = f ′ : Los autovectores del operador diferenciacionnecesariamente deben satisfacer la ecuacion

D |f〉 = λ |f〉 → D (f) (x) = f ′ (x) = λf (x)

la solucion a esta ecuacion sera una exponencial. Esto es

|f〉 → f (x) = ceλx con c 6= 0

las f (x) se denominaran autofunciones del operador

4.6.4. Autovalores, autovectores e independencia lineal

Uno de los teoremas mas utiles e importantes tiene que ver con la independencia lineal de los autovectorescorrespondientes a distintos autovalores de un determinado operador lineal. Este importante teorema se puedeconcretar en.

Teorema Sean |ψ1〉 , |ψ2〉 , |ψ3〉 , · · · |ψk〉 autovectores del operador A :V m → V n y suponemos que existen kautovalores, λ1, λ2, · · · , λk , distintos correspondientes a cada uno de los autovectores |ψj〉 . Entonceslos |ψ1〉 , |ψ2〉 , |ψ3〉 , · · · , |ψk〉 son linealmente independientes.

Demostracion La demostracion de este teorema es por induccion y resulta elegante y sencilla.

Primeramente demostramos que vale j = 1.Obvio que el resultado se cumple y es trivial para el caso k = 1(un autovector |ψ1〉 que corresponde aun autovalor λ1 es obvia y trivialmente linealmente independiente).

Seguidamente supondremos que se cumple para j = k − 1.Esto es que si existen |ψ1〉 , |ψ2〉 , |ψ3〉 , · · · |ψk−1〉 autovectores de A correspondientes a λ1, λ2, · · · , λk−1entonces los |ψ1〉 , |ψ2〉 , |ψ3〉 , · · · |ψk−1〉 son linealmente independientes.



Ahora lo probaremos para j = k.Por lo cual si tenemos k autovectores |ψ1〉 , |ψ2〉 , |ψ3〉 , · · · |ψk〉, podremos construir una combinacionlineal con ellos y si esa combinacion lineal se anula seran linealmente independientes

cj |ψj〉 = 0 con j = 1, 2, · · · , k

al aplicar el operador A a esa combinacion lineal, obtenemos

cjA |ψj〉 = 0 =⇒ cjλj |ψj〉 = 0

multiplicando por λk y restando miembro a miembro obtenemos

cj (λj − λk) |ψj〉 = 0 con j = 1, 2, · · · , k − 1

(notese que el ultimo ındice es k−1) pero, dado que los k−1 vectores |ψj〉 son linealmente independiente,entonces tendremos k − 1 ecuaciones cj (λj − λk) = 0 una para cada j = 1, 2, · · · , k − 1. Dado queλj 6= λk necesariamente llegamos a que cj = 0 para j = 1, 2, · · · , k − 1 y dado que

cj |ψj〉 = 0 con j = 1, 2, · · · , k =⇒ cj 6= 0

con lo cual sicj |ψj〉 = 0 =⇒ cj = 0 con j = 1, 2, · · · , k

y los |ψ1〉 , |ψ2〉 , |ψ3〉 , · · · |ψk〉 son linealmente independientes. Con lo cual queda demostrado elteorema

Es importante acotar que el inverso de este teorema NO se cumple.Esto es, si A :V m → V n tiene |ψ1〉 , |ψ2〉 , |ψ3〉 , · · · , |ψn〉 autovectores linealmente independientes. NOse puede concluir que existan n autovalores, λ1, λ2, · · · , λn , distintos correspondientes a cada uno de losautovectores |ψj〉 .

El teorema anterior lo complementa el siguiente que lo presentaremos sin demostracion. Este teoremasera de gran utilidad en lo que sigue.

Teorema Si la dim (V n) = n cualquier operador lineal A :V n → V n tendra un maximo de n autovalores distintos.Adicionalmente, si A tiene precisamente n autovalores, λ1, λ2, · · · , λn , entonces los correspondientesn autovectores, |ψ1〉 , |ψ2〉 , |ψ3〉 , · · · , |ψn〉 , forman una base para V n y la representacion matricial,en esa base, del operador sera diagonal⟨

ψi∣∣A |ψj〉 = Aij = diag (λ1, λ2, · · · , λn)

4.7. Autovalores y Autovectores de un operador

Una vez mas supongamos que A : V → V y que dimV = n, supongamos ademas que |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉es una base ortogonal para V. Por lo tanto la representacion matricial de la ecuacion de autovalores es lasiguiente ⟨

ei∣∣A |ej〉 ⟨ej∣∣ |ψ〉 = λ

⟨ei |ψ〉 =⇒ Aij c

j = λci =⇒(Aij − λδij

)cj = 0

para con j = 1, 2, · · · , n El conjunto de ecuaciones(Aij − λδij

)cj = 0 puede ser considerado un sistema (lineal

y homogeneo) de ecuaciones con n incognitas cj .



4.7.1. El polinomio caracterıstico.

Dado que un sistema lineal y homogeneo de ecuaciones con n incognitas tiene solucion si el determinantede los coeficientes se anula tendremos que(

Aij − λδij)cj = 0 =⇒ det [A−λ1] = 0 ⇐⇒ P (λ) = det

[Aij − λδij

]= 0

Esta ecuacion se denomina ecuacion caracterıstica (o secular) y a partir de ella emergen todos los autovalores(el espectro) del operador A. Claramente esta ecuacion implica que∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A11 − λ A1

2 · · · A1n

A21 A2

2 − λ A2n

.... . .

An1 An2 Ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇐⇒ det[Aij − λδij

]= 0

y tendra como resultado un polinomio de grado n (el polinomio caracterıstico). Las raıces de este polinomioseran los autovalores que estamos buscando. Es claro que estas raıces podran ser reales y distintas, algunasreales e iguales y otras imaginarias.

Es importante senalar que el polinomio caracterıstico sera independiente de la base a la cual este referidala representacion matricial

⟨wi∣∣A |wj〉 del operador A.

4.7.2. Primero los autovalores, luego los autovectores

El procedimiento es el siguiente. Una vez obtenidos (los autovalores) las raıces del polinomio carac-terıstico, se procede a determinar el autovector, |ψj〉 , correspondiente a ese autovalor. Distinguiremos enesta determinacion casos particulares dependiendo del tipo de raız del polinomio caracterıstico. Ilustraremosestos casos con ejemplos especıficos para el caso especıfico de matrices 3× 3 a saber:

1. Una matriz 3× 3 con 3 autovalores reales distintos

⟨ei∣∣A |ej〉 =

2 1 31 2 33 3 20

=⇒ det[Aij − λδij

]=

∣∣∣∣∣∣2− λ 1 3

1 2− λ 33 3 20− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

con lo cual el polinomio caracterıstico queda expresado como

λ3 − 24λ2 + 65λ− 42 = (λ− 1) (λ− 2) (λ− 21) = 0

y es claro que tiene 3 raıces distintas. Para proceder a calcular los autovectores correspondientes a cadaautovalor resolvemos la ecuacion de autovalores para cada autovalor. Esto es

a) λ1 = 1 2 1 31 2 33 3 20

x1

x2

x3

=

x1

x2

x3

⇐⇒ 2x1 + x2 + 3x3 = x1

x1 + 2x2 + 3x3 = x2

3x1 + 3x2 + 20x3 = x3

que constituye un sistema de ecuaciones algebraicas de 3 ecuaciones con 3 incognitas. Resolviendoel sistema tendremos que

λ1 = 1⇐⇒

x1

x2

x3

λ1=1

= α

−110

con α un escalar distinto de cero



b) λ2 = 2 2 1 31 2 33 3 20

x1

x2

x3

= 2

x1

x2

x3

⇐⇒ 2x1 + x2 + 3x3 = 2x1

x1 + 2x2 + 3x3 = 2x2

3x1 + 3x2 + 20x3 = 2x3

Resolviendo el sistema tendremos que

λ2 = 2⇐⇒

x1

x2

x3

λ2=2

= α

−3−3

1

c) λ3 = 21 2 1 3

1 2 33 3 20

x1

x2

x3

= 21

x1

x2

x3

⇐⇒ 2x1 + x2 + 3x3 = 21x1

x1 + 2x2 + 3x3 = 21x2

3x1 + 3x2 + 20x3 = 21x3


λ3 = 21⇐⇒

x1

x2

x3

λ3=21

= α

116

2. Una matriz 3× 3 con 2 autovalores reales distintos, es decir una matriz con autovalores repetidos

⟨ei∣∣A |ej〉 =

4 −3 14 −1 01 7 −4


]=

∣∣∣∣∣∣4− λ −3 1

4 −1− λ 01 7 −4− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0


λ3 + λ2 − 5λ− 3 = (λ+ 3) (λ− 1)2

= 0

y es claro que tiene 2 raıces iguales y una distinta. En este caso λ = 1 es un autovalor degeneradode orden 2. Para proceder a calcular los autovectores correspondientes a cada autovalor resolvemos laecuacion de autovalores para cada autovalor. Esto es:

a) λ1 = −3 4 −3 14 −1 01 7 −4

x1

x2

x3

= −3

x1

x2

x3

⇐⇒ 4x1 − 3x2 + x3 = −3x1

4x1 − x2 = −3x2

x1 + 7x2 − 4x3 = −3x3


λ1 = −3⇐⇒

x1

x2

x3

λ1=−3

= α

−12

13



b) λ2 = 1 (autovalor degenerado de orden 2) 4 −3 14 −1 01 7 −4

x1

x2

x3

=

x1

x2

x3

⇐⇒ 4x1 − 3x2 + x3 = x1

4x1 − x2 = x2

x1 + 7x2 − 4x3 = x3


λ2 = 1⇐⇒

x1

x2

x3

λ2=1

= α

123

3. Otra matriz 3× 3 con 2 autovalores reales distintos, es decir otra matriz con autovalores repetidos

⟨ei∣∣A |ej〉 =

2 1 12 3 23 3 4


]=

∣∣∣∣∣∣2− λ 1 1

2 3− λ 23 3 4− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

con lo cual el polinomio caracterıstico ahora queda expresado como

λ3 + λ2 − 5λ− 3 = (λ− 7) (λ− 1)2

= 0

y es claro que tiene 2 raıces iguales y una distinta. En este caso λ = 1 vuelve a ser un autovalordegenerado de orden 2. Para proceder a calcular los autovectores correspondientes a cada autovalorresolvemos la ecuacion de autovalores para cada autovalor. Esto es:

a) λ1 = 7 2 1 12 3 23 3 4

x1

x2

x3

= 7

x1

x2

x3

⇐⇒ 2x1 + x2 + x3 = 7x1

2x1 + 3x2 + 3x3 = 7x2

3x1 + 3x2 + 4x3 = 7x3


λ1 = 7⇐⇒

x1

x2

x3

λ1=7

= α

123

b) λ2 = 1, el autovalor degenerado de orden 2 presenta una pequena patologıa. Veamos 2 1 1

2 3 23 3 4

x1

x2

x3

=

x1

x2

x3

⇐⇒ 2x1 + x2 + x3 = x1

2x1 + 3x2 + 3x3 = x2

3x1 + 3x2 + 4x3 = x3


λ2 = 1⇐⇒

x1

x2

x3

λ2=1

= α

10−1

x1

x2

x3

λ2=1

= β

01−1



con lo cual el autovector |ψ2〉 correspondiente al autovalor λ2 = 1 se podra escribir como

|ψ2〉 = α |φ21〉+ β |φ22〉 ⇐⇒

x1

x2

x3

λ2=1

= α

10−1

+ β

01−1

4. Una matriz 3× 3 con 1 autovalor real y dos autovalores complejos

⟨ei∣∣A |ej〉 =

1 2 33 1 22 3 1


]=

∣∣∣∣∣∣1− λ 2 3

3 1− λ 22 3 1− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0


λ3 − 3λ2 − 15λ− 18 = (λ− 6)(λ2 + 3λ+ 3

)= 0

y es claro que tiene 2 raıces iguales y una distinta. En este caso λ = 6 es un autovalor real. Adicio-nalmente existen dos autovalores complejos, uno el complejo conjugado del otro: λ∗ = − 1

2

(3 + i

√3)

y λ∗ = − 12

(3− i

√3). Para proceder a calcular los autovectores correspondientes a cada autovalor re-

solvemos la ecuacion de autovalores para cada autovalor real. En este caso existe un unico autovalorreal λ = 6. 1 2 3

3 1 22 3 1

x1

x2

x3

= 6

x1

x2

x3

⇐⇒ 4x1 − 3x2 + x3 = 6x1

4x1 − x2 = 6x2

x1 + 7x2 − 4x3 = 6x3


λ = 6⇐⇒

x1

x2

x3

λ=6

= α

111

4.8. Autovalores y Autovectores de Matrices Importantes

En esta seccion presentaremos autovalores y autovectores de matrices importantes en Fısica

4.8.1. Autovalores y Autovectores de Matrices Similares

Supongamos la representacion matricial de un determinado operador lineal A : V → V y que dimV = n,supongamos ademas que |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 y |w1〉 , |w2〉 , |w3〉 , · · · |wn〉 son dos bases ortogonalespara V. Entonces

A |ej〉 = Alj |el〉 con Aij =⟨ei∣∣A |ej〉

y

A |wj〉 = Alj |wl〉 con Aij =⟨wi∣∣A |wj〉

ahora bien, cada uno de los vectores base |ej〉 y |wj〉 puede ser expresado en las otras bases |w1〉 , |w2〉 , |w3〉 , · · · |wn〉y |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 , respectivamente como

|wj〉 = clj |el〉

|el〉 = cml |wm〉

=⇒ |wj〉 = clj cml |wm〉 =⇒ clj c

ml = cml c

lj = δmj =⇒ cml = (cml )

−1



Las cantidades clj son escalares que pueden ser “arreglados” como una matriz. Esa matriz, adicionalmente es

no singular6 por ser una la representacion de una transformacion lineal que aplica una base en otra. Entoncesademas

|wj〉 = clj |el〉 =⇒ A |wj〉 = cljA |el〉 =⇒ Alj |wl〉 = cmj Akm |ek〉 = cmj A

kmc

hk︸︷︷︸

δhj

|wh〉

con lo cualAlj = cmj A

kmc

lk =⇒ Alj = clkA

kmc

mj =⇒ Alj =

(clk)−1

Akmcmj

que puede ser expresada en el lenguaje de operadores, finalmente como

A = C−1

AC ⇐⇒⟨wi∣∣A |wj〉 =

(cik)−1 ⟨

ek∣∣A |em〉 cmj

De esta manera hemos demostrado el siguiente teorema.

Teorema Dadas dos matrices, n×n, Alj y Aij las cuales corresponden a la representacion matricial de un operadorA en las bases ortogonales |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 y|w1〉 , |w2〉 , |w3〉 , · · · |wn〉 , respectivamente. Entonces existe una matriz clj , no singular, tal que

A = C−1

AC ⇐⇒⟨wi∣∣A |wj〉 =

(cik)−1 ⟨


El inverso de este teorema tambien se cumple. Vale decir

Teorema Si dos matrices n× n, Alj y Aij , estan relacionadas por la ecuacion

A = C−1

AC⇐⇒⟨wi∣∣ A |wj〉 =

(cik)−1 ⟨

wk∣∣A |wm〉 cmj

donde C es una matriz no singular, entonces A y A representan el mismo operador lineal.

Demostracion Para proceder a demostrarlo supondremos A : V → V y que dimV = n, supongamos ademas que|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 y |w1〉 , |w2〉 , |w3〉 , · · · |wn〉 son bases de V de tal forma

|wj〉 = clj |el〉

|el〉 = cml |wm〉

=⇒ |wj〉 = clj cml |wm〉 =⇒ clj c

ml = cml c

lj = δmj =⇒ cml = (cml )

−1

dondeclj =

⟨el |wj〉 y cml = (cml )

−1= 〈wm |el〉

Supongamos que

A |ej〉 = Alj |el〉 con Aij =⟨ei∣∣A |ej〉

y

A |wj〉 = Alj |wl〉 con Aij =⟨wi∣∣ A |wj〉

al actuar A sobre |wj〉 tendremos

A |wj〉 = cljA |el〉 = clj Akl |ek〉 = clj A

kl cmk |wm〉 = cmk Akl c

lj |wm〉 = (cmk )

−1Akl c

lj︸︷︷︸

〈wi|A|wj〉

|wm〉

que es exactamente la representacion matricial de A. Con lo cual A ≡ A y queda demostrado elteorema.

6det(cij

)6= 0



Definicion Dos matrices, Akl y Aij , n× n, se denominara similares si existe una matriz no singular cik tal que

A = C−1

AC ⇐⇒⟨wi∣∣ A |wj〉 =

(cik)−1 ⟨

wk∣∣A |wm〉 cmj

Podemos juntar los dos teoremas anteriores y afirmar que

Teorema Dos matrices, Akl y Aij , n× n, similares representan la misma transformacion lineal.

Teorema Dos matrices, Akl y Aij , n× n, similares tienen el mismo determinante.

Demostracion La demostracion es inmediata y proviene de las propiedades del determinante de un producto:

det(A)

= det(C−1AC

)= det

(C−1

)det (A) det (C) = det (A)

Con lo cual es inmediato el siguiente Teorema

Teorema Dos matrices, Akl y Aij , n× n, similares tienen el mismo polinomio caracterıstico y con ello el mismoconjunto de autovalores

Demostracion Es inmediato verificar que

A− λ1 = C−1

AC− λ1 = C−1 (A−λ1) C

y dado que

det(A− λ1

)= det

(C−1(A−λ1) C

)= det

(C−1

)det (A−λ1) det (C) = det (A−λ1)

ambas matrices, A y A, tendran el mismo polinomio caracterıstico y con ello el mismo conjunto deautovalores.

Todos los teoremas de esta seccion pueden ser resumidos en el siguiente teorema

Teorema Sea un operador lineal A : V → V y que dimV = n, supongamos ademas que el polinomio caracterısticotiene n raıces distintas, λ1, λ2, . . . , λn . Entonces tendremos que

Los autovectores |u1〉 , |u2〉 , · · · , |un〉 correspondientes a los a λ1, λ2, . . . , λn , forman una basepara V.

La representacion matricial del operador⟨uk∣∣A |um〉 en la base de autovectores

|u1〉 , |u2〉 , · · · , |un〉, sera diagonal

Akm = Λkm =⟨uk∣∣A |um〉 = diag (λ1, λ2, . . . , λn)

Cualquier otra representacion matricial,⟨ek∣∣A |em〉 , del operador A en otra base de V, estara relacio-

nada con la representacion diagonal mediante una transformacion de similaridad

Λ = C−1AC ⇐⇒ diag (λ1, λ2, . . . , λn) =(cik)−1 ⟨


donde cmj es la matriz, no singular y por lo tanto invertible, de cantidades que relacionan ambas bases

|uj〉 = clj |el〉

|el〉 = cml |um〉

⇐⇒ cml = (cml )−1

=⇒ cml clj = δmj

Demostracion La demostracion, en terminos de los teoremas anteriores es inmediata y se la dejamos como ejercicioal lector.



4.8.2. Autovalores y Autovectores de Matrices Hermıticas

Tal y como mencionamos con anterioridad un operador Hermıtico cumple con

A† = A =⇒(A†)ij

=⟨ei∣∣A† |ej〉 =

⟨ej∣∣A |ei〉∗ =

(Aji

)∗Esto es: el hermıtico conjugado de una matriz, es su traspuesta conjugada. Por lo tanto las matrices Hermıti-cas son simetricas respecto a la diagonal y los elementos de la diagonal son numeros reales.

Por su parte, llamaremos antihermıtico a un operador que cumpla con

A† = −A =⇒(A†)ij

=⟨ei∣∣A† |ej〉 = −

⟨ej∣∣A |ei〉∗ = −

(Aji

)∗Teorema Suponga un operador Hermıtico A = A† tiene por autovalores λ1, λ2, . . . , λn . Entonces:

Los autovalores λ1, λ2, . . . , λn son reales.

Los autovectores |u1〉 , |u2〉 , · · · , |un〉 , correspondientes a cada uno de los autovalores, seran orto-gonales.

Demostracion:

Para demostrar que los autovalores λ1, λ2, . . . , λn son reales, proyectamos la ecuacion de autovaloresen cada uno de los autovectores:

A |ψ〉 = λ |ψ〉 =⇒ 〈ψ|A |ψ〉 = λ 〈ψ |ψ〉

Ahora bien, dado que 〈ψ |ψ〉 es real, si demostramos que 〈ψ|A |ψ〉 estara demostrado que λ lo sera tam-bien. Pero como A es Hermıtico

〈ψ|A |ψ〉∗ = 〈ψ|A† |ψ〉 = 〈ψ|A |ψ〉 =⇒〈ψ|A |ψ〉 ∈ <

y por consiguiente los autovalores λ1, λ2, . . . , λn son reales. Mas aun, si A es Hermıtico, y como susautovalores son reales entonces

〈ψ|A† = λ∗ 〈ψ| = λ 〈ψ| =⇒ 〈ψ|A |φ〉 = λ 〈ψ |φ〉

Para demostrar que los autovectores |u1〉 , |u2〉 , · · · , |un〉 son ortogonales, consideremos dos auto-vectores con sus correspondientes autovalores de tal forma que se cumplen las siguientes ecuaciones

A |ψ〉 = λ |ψ〉 y A |ϕ〉 = µ |ϕ〉

pero como A es Hermıtico entonces se cumple que 〈ϕ|A = µ 〈ϕ| entonces multiplicando a la izquierdapor |ψ〉 y a 〈ψ|A = λ 〈ψ| por 〈ϕ| la derecha.

(〈ϕ|A = µ 〈ϕ|) |ψ〉

〈ϕ| (A |ψ〉 = λ |ψ〉)

=⇒

〈ϕ|A |ψ〉 = µ 〈ϕ |ψ〉

〈ϕ|A |ψ〉 = 〈ϕ |ψ〉

=⇒ (λ− µ) 〈ϕ |ψ〉 = 0

y como hemos supuesto que λ 6= µ con lo cual 〈ϕ |ψ〉 = 0 los autovectores correspondientes a dosautovalores son ortogonales.



Existen situaciones en las cuales un determinado autovalor λ = λ0 es degenerado. Consideremos unamatriz n × n, Aij , por lo cual el polinomio caracterıstico P (λ) = det

[Aij − λδij

]= 0 tendra una raız

degenerada de orden k ≤ n. Entonces el siguiente teorema garantiza la existencia de, al menos un subespacioS (λ0) ⊂ V n

Teorema Sea un operador lineal A : V n → V n con una representacion matricial n × n tal que su polinomioP (λ) = det

[Aij − λδij

]= 0 tiene al menos una raız degenerada λ = λ0, de orden k ≤ n. Entonces

existen k autovectores, no triviales, que cumplen con

A |ψj〉 = λ0 |ψj〉 con j = 1, 2, · · · , k

Demostracion La demostracion tambien emerge de una variante del Metodo de Induccion Completa.Para ello, probamos que se cumple para j = 1. Esta afirmacion es obvia. Si existe un λ = λ0 existeun λ0 existe un |ψj〉, tal que cumple con la ecuacion anterior el es linealmente independiente con elmismo.Suponemos que se cumple para 1 ≤ j = m ≤ k. Es decir existen m autovectores |ψj〉 de A para elautovalor λ0. Definamos un subespacio Sλ0

= S (λ0) ⊂ V n donde

|ψj〉 ∈ Sλ03 A |ψj〉 = λ0 |ψj〉 =⇒ A |ψj〉 ∈ Sλ0

con j = 1, 2, · · · ,m

por lo tanto podremos separar V n como una suma directa entre el subespacio Sλ0y, N su complemento

ortogonalV n = Sλ0 ⊕N 3 A |ψj〉 = λ0 |ψj〉 ∧ |φ〉 ∈ N =⇒ 〈φ |ψj〉 = 0

claramente Sλ0es un subespacio invariante de A por cuanto su accion se circunscribe dentro del mismo

subespacio Sλ0. Mostraremos que se cumple para operadores Hermıticos, por cuanto no es verdad en

general. Entonces

〈φ |ψj〉 = 0∧

A |ψj〉 = λ0 |ψj〉

=⇒ 〈ψj |φ〉 = 0 = 〈ψj |A† |φ〉 = 〈ψj |A |φ〉

de donde se concluye que el vector es ortogonal a Sλ0y por lo tanto esta en el complemento ortogonal,

A |φ〉 ∈ N como, por hipotesis |φ〉 ∈ N . Esto implica que N tambien es un espacio invariante deloperador Hermıtico A. Entonces el espacio V n puede expresarse como una suma directa de los dossubespacios invariantes respecto al operador lineal A V n = Sλ0 ⊕N y su representacion matricial enla base de autovectores tendra la forma de una matriz diagonal a bloques:con lo cual

⟨uj∣∣A |ui〉 = Aji →

Q11 · · · Q1

m 0 · · · 0...

. . ....

. . ....

Qm1 Qmm 0 · · · 00 · · · 0 1 0 0...

. . ....

.... . .

...0 · · · 0 0 · · · 1

1 · · · 0 0 · · · 0...

. . ....

.... . . 0

0 · · · 1 0 · · · 00 · · · 0 Rm+1

m+1 · · · Rm+1n

.... . .

......

. . ....

0 · · · 0 Rnm+1 · · · Rnn

donde Qαβ y Rµυ son matrices m ×m y (n−m) × (n−m) , respectivamente. La matriz Qαβ opera enSλ0

mientras que Rµυ actua sobre el complemento ortogonal N . El polinomio caracterıstico de A puedeexpresarse como

P (λ) = det[Aij − λδij

]= 0 =⇒ P (λ) = det

[Qij − λδij

]det[Rij − λδij

]= 0



y como λ = λ0 es la raız multiple del polinomio caracterıstico y que anula el det[Qij − λδij

]tendremos

quedet[Qij − λ0δ

ij

]= 0 =⇒ P (λ) = (λ− λ0)

m F (λ) con F (λ0) 6= 0

donde λ0 no es raız del polinomio F (λ) . Ahora bien, para que se cumpla para j = k el polinomiocaracterıstico es

j = k =⇒ P (λ) = (λ− λ0)kR (λ) =⇒ (λ− λ0)

m F (λ) = (λ− λ0)kR (λ)

otra vez λ0 no es raız del polinomio R (λ) . La ecuacion anterior se cumple para todo λ en particularpara λ = λ0. Por lo tanto

1 = (λ− λ0)k−m R (λ)

F (λ)

Es claro que λ = λ0 obliga a k = m

4.8.3. Autovalores y Autovectores de Matrices Unitarias

Tal y como mencionamos anteriormente, un operador sera unitario si su inversa es igual a su adjunto.Esto es

U−1= U† =⇒ U†U = UU† = 1

dado que los operadores unitarios conservan la norma de los vectores sobre los cuales ellos actuan, i.e.

|x〉 = U |x〉

|y〉 = U |y〉

=⇒ 〈y |x〉 = 〈y|U†U |x〉 = 〈y |x〉

son naturales para representar cambios de base dentro de un espacio vectorial. De lo anterior se deduce quesi |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉es una base ortonormal, el conjunto de vectores transformados, |wj〉 = U |ej〉 ,tambien son ortonormales:

|wj〉 = U |ej〉 =⇒⟨wi |wj〉 =

⟨wi∣∣U |ej〉 =

⟨ei∣∣U†U |ej〉 = δij

Bases y operadores unitariosLos operadores unitarios aplican vectores base de un espacio vectorial en otra. El siguiente Teorema lo

ilustra

Teorema La condicion necesaria y suficiente para que un operador U : V n → V n sea unitario es que apliquevectores de una base ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · |en〉 en otra de |w1〉 , |w2〉 , |w3〉 , · · · |wn〉tambien ortonormal.

Demostracion Demostremos primero la condicion necesaria: Si es unitario aplica una base en otra. Esto es, supongamosque los vectores |ej〉 forman una base ortonormal para V n. Sean |ψ〉 , y U† |ψ〉 ∈ V n. Estos vectorespueden ser expresados en terminos de la base |ej〉 de V n. Por lo tanto, si seleccionamos U† |ψ〉 secumple que

U† |ψ〉 = cj |ej〉 =⇒ UU† |ψ〉 = cjU |ej〉 = cj |wj〉 =⇒ |ψ〉 = cj |wj〉

donde hemos aplicado el operador U a la ecuacion U† |ψ〉 = cj |ej〉 y el resultado es que el otro vector,|ψ〉, tambien se pudo expresar como combinacion lineal de los vectores transformados |wj〉 de labase |ej〉 . Y por lo tanto los |wj〉 tambien constituyen una base. Es decir, los operadores unitarios



aplican una base ortonormal en otra

La condicion de suficiencia (Si aplica una base en otra es unitario) se puede demostrar como sigue. Si|ej〉 y |wj〉 son bases ortonormales de V n y una es la transformada de la otra implica que

|wj〉 = U |ej〉 ; y 〈wj | = 〈ej |U†

con ⟨ei |ej〉 = δij ; |ej〉

⟨ej∣∣ = 1

⟨wi |wj〉 = δij ; |wj〉

⟨wj∣∣ = 1

Por lo tanto,

U†U |ej〉 = U† |wj〉 = |ek〉⟨ek∣∣U† |wj〉 = |ek〉

⟨wk |wj〉 = |ek〉 δkj = |ej〉

Esto significa que U†U = 1. De un modo equivalente, se puede demostrar que UU† = 1. Veamos:

U† |ej〉 = |ek〉⟨ek∣∣U† |ej〉 = |ek〉

⟨wk |ej〉

y ahora, aplicando el operador U a esta ecuacion, tenemos

UU† |ej〉 = U |ek〉⟨wk |ej〉 = |wk〉

⟨wk |ej〉 = |ej〉

Esto significa que esta demostrado que U es unitario: U†U = UU† = 1.

Matrices unitariasLa representacion de una matriz unitaria en una base |ej〉 implica

Ukj =⟨ek∣∣U |ej〉 ; 〈em|U† |ej〉 =

⟨ej∣∣U |em〉∗ =

(U jm)∗

δkj =⟨ek |ej〉 =

⟨ek∣∣1 |ej〉 =

⟨ek∣∣UU† |ej〉 =

⟨ek∣∣U |em〉〈em|U† |ej〉 =

∑m

Ukm(U jm)∗

δkj =⟨ek |ej〉 =

⟨ek∣∣1 |ej〉 =

⟨ek∣∣U†U |ej〉 =

⟨ek∣∣U†|em〉〈em|U |ej〉 =

∑m

(Umk )∗Umj

Una vez mas, dado un operador lineal A, la representacion matricial del Hermıtico conjugado de ese operadorA† es la traspuesta conjugada de la matriz que representa al operador A. En el caso de operadores unitarios.

Con lo cual es facilmente verificable que una matriz sea unitaria. Basta comprobar que la suma de losproductos de los elementos de una columna (fila) de la matriz con los complejos conjugados de otra columna(fila). Esa suma de productos sera

1. cero si las columnas (filas) son distintas

2. uno si las columnas (filas) son iguales

Ejemplos de matrices unitarias son las llamadas matrices de rotacion. Alrededor del eje z tendremos que

R (θ) =

cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0

0 0 1

y tambien la matriz de rotacion de una partıcula de espın 1

2 en el espacio de estados

R(1/2) (α, β, γ) =

(e−

i2 (α+γ) cosβ −e i2 (α−γ) senβ

e−i2 (α−γ) senβ e

i2 (α+γ) cosβ

)claramente se cumple la regla expuesta arriba.



Autovalores y Autovectores de Matrices UnitariasSi |ψu〉 es un autovector, normalizado del operador U correspondiente a un autovalor u tendremos que

norma al cuadrado sera igual a

U |ψu〉 = u |ψu〉 =⇒ 〈ψu|U†U |ψu〉 = 1 = u∗u 〈ψu |ψu〉 = u∗u =⇒ u = eiϕu

con ϕu una funcion real. Por lo cual podemos concluir que, necesariamente, los autovalores de los operadoresunitarios seran numeros complejos de modulo 1. Cuando los autovalores son diferentes, digamos u′ 6= u,

entonces⟨ψu′ |ψu〉 = 0. Con lo cual los autovectores de un operador unitarios son ortogonales.

Transformacion unitaria de Operadores Hemos visto como las transformaciones unitarias permitenconstruir bases ortogonales |em〉 para el espacio vectorial V n partiendo de otra base |em〉 tambienortogonal. En esta subseccion mostraremos como transforman los operadores lineales bajo transformacionesunitarias.

Definicion Dadas dos bases ortonormales |ej〉 y |wk〉 en V n con |wj〉 = U |ej〉, un operador lineal unitario

U : V n → V n.y un operador lineal A : V n → V n. Definiremos al operador transformado A : V n →V n como aquel cuya representacion matricial en la base |wk〉 es la misma que en la base |ej〉:⟨wj∣∣ A |wi〉 =

⟨ej∣∣A |ei〉

A partir de esta definicion es facil concluir que⟨wj∣∣ A |wi〉 =

⟨ej∣∣U†AU |ei〉 =

⟨ej∣∣A |ei〉 =⇒ U†AU = A ⇐⇒ A = UAU

†

Por lo tanto la ecuacion A = UAU†

corresponde a la definicion de la transformacion de un operador Amediante un operador unitario U†. Es facil identificar las propiedades de estos operadores transformados.Veamos

Hermıtico conjugado y Funciones de un Operador transformado:(A)†

=(UAU†

)†= U†A†U =(A†)

en particular se sigue de esta propiedad que si A = A†, es Hermıtico tambien lo sera A

A = A† ⇐⇒ A =(A)†

Del mismo modo (A)2

=(UAU†

)(UAU†

)= UA2U†=(A2)

con lo cual (A)n

=(UAU†

)n−2· · ·

(UAU†

)= UAnU†=(An) =⇒ F (A) = F

(A)

donde F (A) es una funcion del operador A.



Autovalores y autovectores de un operador transformado Sera un autovector |φχ〉 de A corres-

pondiente a un autovalor χ, y sea∣∣∣φχ⟩ el transformado de |φχ〉 mediante el operador unitario U. Entonces

A |φχ〉 = χ |φχ〉 =⇒ A∣∣∣φχ⟩ =

(UAU†

)U |φχ〉 = UA |φχ〉 = χU |φχ〉 = χ

∣∣∣φχ⟩con lo cual es claro que

∣∣∣φχ⟩ es un autovector de A con el mismo autovalor χ :∣∣∣φχ⟩ = χ

∣∣∣φχ⟩ . Equi-

valentemente podemos afirmar que los autovectores transformados de A, seran autovectores del operadortransformado, A.

4.9. Conjunto Completo de Observables que conmutan

Definicion Diremos que un operador A : V n → V n es un observable si el conjunto de autovectores∣∣u i|µ

⟩de

un operador Hermıtico A, forman una base de V n.

A∣∣ui (µ)

⟩= ai

∣∣ui (µ)

⟩=⇒

∣∣ui (µ)

⟩ ⟨ui (µ)

∣∣∣ = 1 ⇐⇒⟨ui (µ)

∣∣∣ uj (ν)

⟩= δijδ

µν

donde el ındice µ indica el grado de degeneracion del autovalor ai.

Un ejemplo trivial de un observable lo constituyen los proyectores, P|ψ〉 = |ψ〉〈ψ| con 〈ψ| ψ〉 = 1.Claramente, la ecuacion de autovalores para un proyector obliga a que tenga dos autovalores 0 y 1. Elautovalor nulo es infinitamente degenerado y esta asociado a todos los vectores ortogonales a |ψ〉, mientrasque el autovalor 1 corresponde a un autovalor simple y esta asociado a todos los vectores colineales al mismovector |ψ〉. Esto es

P|ψ〉 |ψ〉 = |ψ〉 y P|ψ〉 |φ〉 = 0 si 〈ψ| φ〉 = 0

Mas aun, sea un vector arbitrario |ϕ〉 ∈ V n. Siempre se podra expresar como

|ϕ〉 = P|ψ〉 |ϕ〉+(1−P|ψ〉

)|ϕ〉 =⇒ P|ψ〉

(|ϕ〉 = P|ψ〉 |ϕ〉+

(1−P|ψ〉

)|ϕ〉)

=⇒

P|ψ〉 |ϕ〉 = P|ψ〉(P|ψ〉 |ϕ〉

)+(P|ψ〉 −P2

|ψ〉

)|ϕ〉 = P|ψ〉 |ϕ〉 =⇒ P|ψ〉

(P|ψ〉 |ϕ〉

)= P|ψ〉 |ϕ〉

ya que P2|ψ〉 = P|ψ〉, por definicion de proyector. Entonces, se deduce que P|ψ〉 |ϕ〉 es un autovector de P|ψ〉

con autovalor 1. Igualmente(1−P|ψ〉

)|ϕ〉 es un autovector de P|ψ〉 con autovalor 0, y la demostracion es

inmediataP|ψ〉

(1−P|ψ〉

)|ϕ〉 =

(P|ψ〉 −P2

|ψ〉

)|ϕ〉 = 0

Para el caso de autoespacios correspondientes a autovalores degenerados se puede definir un observable Ade la forma

A =∑i

aiPi con Pi =(∣∣ψ· (µ)

⟩ ⟨ψ· (µ)

∣∣∣)i

y µ = 1, 2, · · · , k

Observables que Conmutan

Teorema Si dos operadores lineales A y B, operadores Hermıticos, conmutan, [A,B] = 0,y |ψ〉 es autovector deA con autovalor a, entonces B |ψ〉 tambien sera autovector de A con el mismo autovalor a.

Demostracion La demostracion es sencilla

A |ψ〉 = a |ψ〉 =⇒ B (A |ψ〉 = a |ψ〉) =⇒ BA |ψ〉 = A (B |ψ〉) = a (B |ψ〉)



Ahora bien, de esta situacion se pueden distinguir un par de casos:

si el autovalor a es no degenerado los autovectores asociados con este autovalor son, por definicion,colineales con |ψ〉 . Por lo tanto B |ψ〉 , sera necesariamente colineal con |ψ〉 . La conclusion a estaafirmacion es que NECESARIAMENTE |ψ〉 es autovector de B

si el autovalor a se degenerado, B |ψ〉 ∈ Sa, es decir B |ψ〉 esta en el autoespacio Sa con lo cual Sa esglobalmente invariante bajo la accion de B.

Teorema Si dos observables A y B conmutan, [A,B] = 0, y si |ψ1〉 y |ψ2〉 son autovectores de A para autovaloresdistintos, entonces el elemento de matriz

⟨ψ1∣∣B |ψ2〉 = 0

Demostracion Si A |ψ1〉 = a1 |ψ1〉 y A |ψ2〉 = a2 |ψ2〉 entonces

0 =⟨ψ1∣∣ [A,B] |ψ2〉 =

⟨ψ1∣∣AB−BA |ψ2〉 =

(⟨ψ1∣∣A)B |ψ2〉 −

⟨ψ1∣∣B (A |ψ2〉)

= a1

⟨ψ1∣∣B |ψ2〉 − a2

⟨ψ1∣∣B |ψ2〉 = (a1 − a2)

⟨ψ1∣∣B |ψ2〉 =⇒

⟨ψ1∣∣B |ψ2〉 = 0

Teorema Si dos observables A y B, operadores Hermıticos, conmutan, [A,B] = 0, los autovectores |ψi〉comunes a A y B constituyen una base ortonormal para V n.

Demostracion Denotemos los autovectores de A como∣∣ψi (µ)

⟩, de tal modo

A∣∣ψi (µ)

⟩= ai

∣∣ψi (µ)

⟩donde i = 1, 2, .., n− kn + 1 y µ = 1, 2, .., kn

kn indica el orden de la degeneracion de un determinado autovalor an. Dado que A es un observablelos∣∣ψi (µ)

⟩forman base los Claramente,⟨

ψi (µ)∣∣ψj (ν)

⟩= δijδ

µν

y dado que los elementos de matriz⟨ψi (ν)

∣∣B ∣∣ψj (ν)

⟩= δij esto quiere decir que los elementos⟨

ψi (µ)∣∣B ∣∣ψj (ν)

⟩= B

i (µ)j (ν) seran nulos para i 6= j pero no podemos decir nada a priori para el

caso µ 6= υ y i = j. Entonces, al ordenar la base, en general∣∣ψ1 (1)

⟩,∣∣ψ1 (2)

⟩, · · ·

∣∣ψ1 (k1)

⟩,∣∣ψ2 (1)

⟩,∣∣ψ2 (2)

⟩, · · · ,

∣∣ψ2 (k2)

⟩, · · · ,

∣∣ψ3 (1)

⟩, · · ·

∣∣ψn−kn (1)

⟩para el caso que consideraremos sera∣∣ψ1 (1)

⟩,∣∣ψ1 (2)

⟩,∣∣ψ1 (3)

⟩,∣∣ψ2 (1)

⟩,∣∣ψ2 (2)

⟩,∣∣ψ3 (1)

⟩,∣∣ψ4 (1)

⟩,∣∣ψ4 (2)

⟩,∣∣ψ5 (1)

⟩y la representacion matricial de B en esa base,

⟨ψi (µ)

∣∣B ∣∣ψj (ν)

⟩, tendra la forma de una matriz

diagonal a bloques

B1 (1)1 (1) B

1 (1)1 (2) B

1 (1)1 (3) 0 0 0 0 0 0

B1 (2)1 (1) B

1 (2)1 (2) B

1 (2)1 (3) 0 0 0 0 0 0

B1 (3)1 (1) B

1 (3)1 (2) B

1 (3)1 (3) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 B2 (1)2 (1) B

2 (1)2 (2) 0 0 0 0

0 0 0 B2 (2)2 (1) B

2 (2)2 (2) 0 0 0 0

0 0 0 0 0 B3 (1)3 (1) 0 0 0

0 0 0 0 0 0 B4 (1)4 (1) B

4 (1)4 (2) 0

0 0 0 0 0 0 B4 (2)4 (1) B

4 (2)4 (2) 0

0 0 0 0 0 0 0 0 B5 (1)5 (1)



Tal y como hemos mencionado los subespacios: E1, E2, y E4 corresponden a los autovalores degeneradosa1, a2, y a4 (de orden 3, 2 y 2 respectivamente).Una vez mas surgen dos casos a analizar

Si an es un autovalor no degenerado, entonces existe un unico autovector asociado a este autovalor (ladimension del autoespacio es 1 esto es kj = 1 y no hace falta). Esto corresponde al ejemplo hipoteticode arriba para los autovalores simples a3, y a5

Si an es un autovalor degenerado, entonces existe un conjunto de autovectores asociados a este autovaloran (en este caso la dimension del autoespacio es kn). Como los

∣∣ψj (µ)

⟩son autovectores de A su

representacion matricial sere diagonal a bloques. Ahora bien, como el autoespacio Sa es globalmente

invariante bajo la accion de B y Bi (µ)j (µ) =

⟨ψi (µ)

∣∣B ∣∣ψj (µ)

⟩es Hermıtico, por ser B Hermıtico entonces

B es diagonalizable dentro del bloque que la define. Es decir, se podra conseguir una base∣∣χj (µ)

⟩tal

que la representacion matricial de B en esa base es diagonal

Bi (µ)j =

⟨ψi (µ)

∣∣∣B ∣∣ψj (µ)

⟩=⇒

⟨χi (µ)

∣∣∣B ∣∣χj (µ)

⟩= B

i (µ)j (µ) = bj (µ)δ

ij

que no es otra cosa que los vectores∣∣χj (µ)

⟩seran autovectores de B

B∣∣χj (µ)

⟩= bj (µ)

∣∣χj (µ)

⟩Es importante recalcar que los autovectores

∣∣ψj (µ)

⟩de A asociados con un autovalor degenerado NO

son necesariamente autovectores de B. Solo que como B es Hermıtico puede ser diagonalizado dentrodel autoespacio.

De ahora en adelante denotaremos los autovectores comunes a dos operadores A y B con distintosautovalores como

∣∣u i|j (µ)

⟩tal que

A∣∣un|m (µ)

⟩= an

∣∣un|m (µ)

⟩y B

∣∣un|m (µ)

⟩= bm

∣∣un|m (µ)

⟩donde hemos dejado “espacio” para permitir la degeneracion la cual sera indicada por el ındice µ

La prueba del inverso del teorema anterior es bien simple

Teorema Si existe una base de autovectores∣∣uj (µ)

⟩comunes a A y B, entonces A y B conmutan, [A,B] = 0

Demostracion Es claro que

AB∣∣un|m (µ)

⟩= bmA

∣∣un|m (µ)

⟩= bman

∣∣un|m (µ)

⟩BA

∣∣un|m (µ)

⟩= anB

∣∣un|m (µ)

⟩= anbm

∣∣un|m (µ)

⟩restando miembro a miembro obtenemos de manera inmedita

(AB−BA)∣∣un|m (µ)

⟩= [A,B]

∣∣un|m (µ)

⟩= (bman − anbm)

∣∣un|m (µ)

⟩= 0

Definicion Diremos que A,B,C,D · · · constituye un conjunto completo de observables que conmuntan si

1. Obviamente los operadores del conjunto conmuntan entre ellos:[A,B] = [A,C] = [A,D] = [B,C] = [B,D] = [C,D] = · · · = 0



2. Al especificar el conjunto de autovalores para los operadoresan, bm, ck, dl, · · · se especifica de manera unıvoca un unico autovetor comun a todos estosoperadores

an, bm, ck, dl, · · · =⇒∣∣un|m|k|l··· (µ)

⟩Analicemos los siguientes ejemplos. Considere, que el espacio de estados para un determinado sistema

fısico viene expandido por una base ortonormal |u1〉 , |u2〉 , |u3〉. Definimos dos operadores Lz y S de lasiguiente manera

Lz |u1〉 = |u1〉 ; Lz |u2〉 = 0; Lz |u3〉 = − |u3〉S |u1〉 = |u3〉 ; S |u2〉 = |u2〉 ; S |u3〉 = |u1〉

En la base ortonormal |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 las representaciones matriciales para Lz,L2z,S y S2 seran las siguien-

tes

⟨ui∣∣Lz |uj〉 =

1 0 00 0 00 0 −1

,⟨ui∣∣L2

z |uj〉 =

1 0 00 0 00 0 1

⟨ui∣∣S |uj〉 =

0 0 10 1 01 0 0

,⟨ui∣∣S2 |uj〉 =

1 0 00 1 00 0 1

Es claro que estas matrices son reales y simetricas y, por lo tanto, son Hermıticas y, al ser el espacio dedimension finita, deben ser diagonalizables y sus autovectores formaran base para ese espacio. Por lo tanto,Lz,L

2z,S y S2 son observables.

¿ Cual sera la forma mas general de una representacion matricial de un operador que conmunte con Lz ?Notamos que los vectores de la base ortonormal |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 son autovectores para Lz con autovalores

1, 0,−1 con lo cual su representacion matricial tiene que ser diagonal. Recuerde que si dos observables Ay B conmutan, [A,B] = 0, y si |ψ1〉 y |ψ2〉 son autovectores de A para autovalores distintos, entonces elelemento de matriz

⟨ψ1∣∣B |ψ2〉 = 0, con lo cual

[M,Lz] = 0 ⇔⟨ui∣∣M |uj〉 =

M11 0 0

0 M22 0

0 0 M33

,

Esto se desprende de manera directa de

0 =⟨ui∣∣ [M,Lz] |uj〉 =

⟨ui∣∣MLz − LzM |uj〉 = (λj − λi)

⟨ui∣∣M |uj〉 con (λj − λi) 6= 0 para i 6= j

Si nos planteamos la misma pregunta para L2z, vemos que sus autovalores son 1, 0. Esto es

L2z |u1〉 = |u1〉 ; L2

z |u2〉 = 0; L2z |u3〉 = |u3〉 ;

con lo cual tendremos que la representaci’on matricial para ese operador que conmute con L2z, no es diagonal.

Esto es

[N,L2z] = 0 ⇔

⟨ui∣∣N |uj〉 =

N11 0 N1

3

0 N22 0

N31 0 N3

3

,



ya que0 =

⟨u1∣∣ [N,L2

z] |u3〉 ⇒⟨u1∣∣N |u3〉 =

⟨u1∣∣N |u3〉

y vale para cualquier elemento N13 (y equivalentemente para N3

1 ). Adicionalmente, si ordenamos la base deautovectores de Lz, como |u1〉 , |u3〉 , |u2〉 tendremos como representaci’on matricial diagonal a bloques,correspondiente a un autorvalor degenerado 1,

⟨ui∣∣ N |uj〉 =

N11 N1

3 0N3

1 N22 0

0 0 N33

,

Finalmente, la representaci’on matricial, m’as general, de un operador que conmute con S2 es

[P,S2] = 0 ⇔⟨ui∣∣P |uj〉 =

P 11 P 1

2 P 13

P 21 P 2

2 P 23

N31 P 3

2 P 33

,

Ahora intentaremos construir una base com’un de autovectores para L2z y S. Para ello notamos que |u2〉

es un autovector com’un a L2z y S, por lo tanto existir’a un subespacio expandido por |u1〉 , |u3〉. En ese

subespacio las respresentaciones matriciales para L2z y S, ser’an⟨

ui∣∣L2

z |uj〉S13=

(1 00 1

) ⟨ui∣∣S |uj〉S13

=

(0 11 0

)Acto seguido planteamos el problema de autovalores para S, esto es

S |qj〉 = λj |uj〉 ⇒(

0 11 0

)(q1

q2

)= λ

(q1

q2

)⇒

|q2〉 = 1√

2(|u1〉+ |u3〉)

|q3〉 = 1√2

(|u1〉 − |u3〉)

con lo cual tendremos

Autovectores Autovalor L2z Autovalor S

|q1〉 = |u2〉 0 1|q2〉 = 1√

2(|u1〉+ |u3〉) 1 1

|q3〉 = 1√2

(|u1〉 − |u3〉) 1 -1

Cuadro 4.1: Dado que no hay l’ineas repetidas L2z y S forman un CCOC

Figura 4.1: Osciladores armonicos acoplados

Consideremos otro ejemplo proveniente de la Mecanica Clasica. Se trata de dos osciladores armonicos,de igual masa, acoplados con resortes con la misma constante elastica k7. La ecuaciones de movimiento para

7Pueden consultar una animacion bien interesante y simular en http://qbx6.ltu.edu/s_schneider/physlets/main/

coupledosc.shtml


http://qbx6.ltu.edu/s_schneider/physlets/main/coupledosc.shtml

http://qbx6.ltu.edu/s_schneider/physlets/main/coupledosc.shtml


este sistema sonmx1 + kx1 − k(x2 − x1) = 0 y mx2 + kx2 + k(x2 − x1) = 0

con lo cual podremos expresar esta ecuacion en forma de operadores

D |x〉 = 0 ⇔

(m d2

dt2 + 2k −k−k m d2

dt2 + 2k

)(x1

x2

)= 0

Si pensamos esta ecuacion como una ecuacion de autovalores, el autovalor es claramente λ = 0 y como lasmasas y las constantes elasticas son iguales podemos intercambiar las partıculas y la fısica (las ecuacionesde movimiento) no cambian. Esto se puede expresar matematicamente como el operador permutacion de laspartıculas

P =

(0 11 0

)⇒(

0 11 0

)(x1

x2

)=

(x2

x1

)Es inmediato comprobar que [D,P] = 0 con lo cual existira una combinacion lineal de autovectores de D(asociados con el autovalor λ = 0 ) los cuales tambien seran autovectores de P. Para ello procedamos acalcular los autovalores y autovectores de P

P |x〉 = λ |x〉 ⇒∣∣∣∣ −λ 1

1 −λ

∣∣∣∣ = 0 ⇒ λ± 1 ⇔ |u1〉 =1√2

(11

); |u2〉 =

1√2

(1−1

).

facilmente podemos expresar el vector posicion como una combinacion lineal de estos dos autovectores de P.Esto es (

x1

x2

)=

ξ1√2

(11

)+

ξ2√2

(1−1

)⇒

ξ1 = 1√

2(x1 + x2)

ξ2 = 1√2

(x1 − x2)

Es claro que

|u1〉 =1√2

(x1 + x2)

(11

); y |u2〉 =

1√2

(x1 − x2)

(1−1

).

son autovectores de P y D


Bibliografıa


[2] Arfken, G. B. y Weber, H. (2000) Mathematical Methods for Physicists 5ta Edicion (AcademicPress, Nueva York)

[3] Cohen-Tannoudji, C., Diu B. y Laloe (1977) Quantum Mechanics Vol 1 (John Wiley Interscience,Nueva York)

[4] Gelfand, I.M. (1961) Lectures on Linear .Algebra (John Wiley & Sons Interscience, Nueva York).

[5] Jordan, T.F. (1969) Linear Operator for Quantum Mechanics (John Wiley & Sons Interscience,Nueva York).


191


4.10. Algunos ejercicios resueltos

1. Dos operadores lineales cumplen con

AB+ BA = 0; A2 = B2 = I [A,B] = 2iC

a) Muestre que [C,B] = −2iA y C2 = ISolucion: C2 = I

[A,B][A,B] = −4C2 ⇒ (AB− BA) (AB− BA) = −4C2 ⇒ − (2BA) (2AB) = −4C2 ⇒ C2 = I

ya que AB = −BA y A2 = B2 = ISolucion: [C,B] = −2iA

[C,B] =1

2i[[A,B], B] =

1

2i(AB− BA)B− B (AB− BA) =

1

2i2A− 2BAB = −2iA

ya que AB = −BA y A2 = B2 = Ib) Evalue [[[A,B], [B,C]], [A,B]]

Solucion:[[[A,B], [B,C]], [A,B]] = [[2iC, 2iA], 2iC] = −8i[[C,A],C] = −8i[−2iB,C] = 32iA

a) Sean A y B dos operadores hermıticos, con autovalores no degenerados y un operador unitariodefinido como: U = A+ iB. Muestre que

1) [A,B] = 0 y A2 + B2 = 1

Solucion: Como

UU† = U†U = (A+ iB) (A+ iB)†

= (A+ iB)†

(A+ iB)⇒ (A+ iB) (A− iB) = (A− iB) (A+ iB)⇒

BA− AB = −BA+ AB⇒ [B,A] = −[B,A]⇒ [B,A] = 0

La segunda de las afirmaciones se puede demostrar, a partir de

UU† = I⇒ (A+ iB) (A+ iB)†

= (A+ iB) (A− iB) =(A2 + B2 + i (BA− AB)

)⇒ I = A2+B2

2) Los autovectores de A tambien lo son de BSolucion: Si |ui〉 son autovectores de A entonces

A |ui〉 = λi |ui〉 ⇒ BA |ui〉 = λiB |ui〉 como [B,A] = 0 entonces AB |ui〉 = λiB |ui〉

por lo tanto B |ui〉 es un autovector de A. Pero la solucion para la ecuacion de autovectores(A− λiI) |ui〉 = 0 es unica, por lo cual todos los autovectores de A son proporcionales. Estoes B |uj〉 = µj |uj〉, con lo cual que damostrado que los autovectores de A son autovalores deB

3) Si U |vi〉 = νi |vi〉 entonces |µi| = 1

Solucion: Es claro que⟨vj∣∣U†U |vi〉 =

⟨vj∣∣ I |vi〉 ⇒ µ∗jµi

⟨vj |vi〉 =

⟨vj∣∣ I |vi〉 ⇒ µ2

i = 1



b) Dada una matriz de la forma

A =

1 α 0β 1 00 0 1

y A |vi〉 = λi |vi〉

con α y β numeros complejos distintos de cero, encuentre

1) las relaciones que deben cumplir α y β para que λi sea real.

Solucion: El Polinomio caracterıstico y la condicion para que λ sea real sera:

(1− λ)(1− 2λ+ λ2 − αβ) = 0 ⇒ λ = 1±√αβ ⇒ αβ > 0 ∧ αβ ∈ R

2) las relaciones que deben cumplir α y β para que⟨vj |vi〉 = δji

Solucion: Los autovalores y autovectores para esta matriz sera

λ1 = 1⇒ |v1〉 =

001

; λ2 = 1+√αβ ⇒ |v2〉 =

β√αβ

10

; λ3 = 1+√αβ ⇒ |v3〉 =

−β√αβ

10

.

con lo cual ⟨v2 |v3〉 = 0 ⇒ β2

αβ= 1 ⇒ |α| = |β|

3) Suponga que A es hermıtica, encuentre las relaciones que deben cumplir α y β

Solucion: Si A es hermıtica, entonces α∗ = β, con lo cual se cumplen automaticamente ambas asevera-ciones.

c) Data las siguientes matrices determine cuales conmutan entre ellas y encuentre la base de auto-vectores comunes (5)

A =

(6 −2−2 9

)B =

(1 88 −11

)C =

(−9 −10−10 5

)D =

(14 22 11

)Solucion: Notamos que [A,B] = [A,D] = [D,B] = 0 y

[A,C] =

(0 2−2 0

)[B,C] =

(0 −88 0

)[D,C] =

(0 −22 0

)y los autovectores comunes a A,B,D, seran

|u1〉 =

(− 1

21

)|u2〉 =

(21

)a) Dados dos operadores lineales tales que:

AB = −BA; A2 = 1; B2 = 1; y [A,B] = 2iC

1) Muestre que C2 = 1 y que [B,C] = 2iA



Solucion:

[A,B] = AB−BA = 2iC⇒ 2AB = 2iC⇒ ABAB = −C2 ⇒ −AABB = −C2 ⇒ 1 = C2

[B,C] = −i (BAB−ABB) = 2iA⇒ −i (BAB−A) = 2iA⇒ −i (−BBA−A) = 2iA

2) Evalue [[[A,B] , [B,C]] , [A,B]]

Solucion:

[[[A,B] , [B,C]] , [A,B]] = [[2iC, 2iA] , 2iC] = 8 [[AB, iA] ,AB] = 8i [(ABA−AAB) ,AB]

[[[A,B] , [B,C]] , [A,B]] = 8i [−2B,AB] = 16i (BAB−ABB) = 32iA

b) Dada la representacion matricial de dos operadores

A =

0 0 10 1 01 0 0

y B =

0 1 11 0 11 1 0

1) Eval’ue [A,B]

Solucion:

AB =

0 0 01 0 00 0 0

= BA ⇒ [A,B] = 0

2) Muestre que A tiene por autovalores λ1 = 1 y λ2 = −1 con λ1 un autovalor degenerado.Construya la base de autovectores para A

Solucion: 0 0 10 1 01 0 0

xyz

= λ

xyz

⇒ −λ 0 1

0 1− λ 01 0 −λ

xyz

Entonces para∣∣∣∣∣∣

−λ 0 10 1− λ 01 0 −λ

∣∣∣∣∣∣ = λ(1− λ)λ− (1− λ) =(λ2 − 1

)(1− λ) = 0

con lo cual tiene dos autovalores λ = 1 y λ = −1. Para el caso de λ = −1 se cumple que 0 0 10 1 01 0 0

xyz

= −

xyz

⇒ z = −xy = −yx = −z

con lo cual el autovector asociado con el autovalor λ = −1 tendra la forma de

|u〉−1 = α

10−1

Para λ = 1 se cumple 0 0 1

0 1 01 0 0

xyz

=

xyz

⇒ z = xy = yx = z



con lo cual hay dos vectores linealmente independientes asociados con λ = 1, a saber

|u〉1a = β

101

y |u〉1b =

0y0

con y arbitrario

Notese que estos tres autovectores |u〉1a , |u〉1b , |u〉−1 son ortogonales entre si

3) ¿ cual es la representacion matricial de A en la base de autovectores ?

Solucion: Diagonal de la forma

Aij =

⟨u1∣∣A |u1〉

⟨u1∣∣A |u2〉

⟨u1∣∣A |u3〉⟨

u2∣∣A |u1〉

⟨u2∣∣A |u2〉

⟨u2∣∣A |u3〉⟨

u3∣∣A |u1〉

⟨u3∣∣A |u2〉

⟨u3∣∣A |u3〉

=

1 0 00 1 00 0 −1

ya que los autovectores forman una base ortogonal. Obviamente se cumple que

det[A] = det[A] = −1 y Tr[A] = Tr[A] = 1

4) A partir de los autovectores de A encuentre los autovalores y autovectores de B

Solucion: Claramente B |u−1〉 = − |u−1〉 con lo cual tenemos el primer autovector de B asociado alautovalor λ = −1. Para encontrar los otros autovectores tendremos −λ 1 1

1 −λ 11 1 −λ

1y1

=

000

2. En mecanica clasica la cantidad de movimiento angular viene definida como ~L = ~r × ~p. Para pasar a

mecanica cuantica se asocia ~r y ~p con los operadores posicion y cantidad de movimiento los cuales, aloperar sobre la funcion de onda nos proveen

〈r|X |ψ〉 = x 〈r |ψ〉 = x ψ (~r) 〈r|Px |ψ〉 =

(−i~ ∂

∂x

)〈r |ψ〉 = −i~ ∂

∂xψ (~r)

〈r|Y |ψ〉 = y 〈r |ψ〉 = y ψ (~r) 〈r|Py |ψ〉 =

(−i~ ∂

∂y

)〈r |ψ〉 = −i~ ∂

∂yψ (~r)

〈r|Z |ψ〉 = z 〈r |ψ〉 = z ψ (~r) 〈r|Pz |ψ〉 =

(−i~ ∂

∂z

)〈r |ψ〉 = −i~ ∂

∂zψ (~r)

En definitiva, en coordenadas cartesianas en la representacion de coordenadas |r〉 tendremos que

〈r|R |ψ〉 = ~r ψ (~r) y 〈r|Px |ψ〉 = −i~ ~∇ ψ (~r)

De forma que en Mecanica cuantica las componentes cartesianas del operador cantidad de movimientoangular son

〈r| L |ψ〉 = −i~(r×~∇

)ψ (~r)

〈r| L |ψ〉 = −i~(y∂

∂z− z ∂

∂y

)ψ (~r) ı+− i~

(z∂

∂x− x ∂

∂z

)ψ (~r) +− i~

(x∂

∂y− y ∂

∂x

)ψ (~r) k



a) Utilizando las definiciones anteriores muestre que el conmutador de las componentes cartesianasde la cantindad de movimiento angular cumple con

[Lx,Ly] |ψ〉 = i~Lz |ψ〉

con L1 = L1 = Lx; L2 = L2 = Ly; L3 = L3 = Lz En general [Ll,Lm] = i~εlmnLn

SolucionDado que

[L1,L2] |ψ〉 = [Lx,Ly] |ψ〉 = (LxLy − LyLx) |ψ〉

= −i~((

y∂

∂z− z ∂

∂y

)(z∂

∂x− x ∂

∂z

)−(z∂

∂x− x ∂

∂z

)(y∂

∂z− z ∂

∂y

))ψ (~r)

con lo cual

=

[(y∂

∂z

(z∂

∂x− x ∂

∂z

)− z ∂

∂y

(z∂

∂x− x ∂

∂z

))−(z∂

∂x

(y∂

∂z− z ∂

∂y

)− x ∂

∂z

(y∂

∂z− z ∂

∂y

))]ψ (~r)

=

[(((yz

∂

∂z∂x+ y

∂

∂x

)− xy ∂

2

∂z2

)−(z2 ∂

∂y∂x− zx ∂

∂y∂z

))−

−((

zy∂

∂x∂z− z2 ∂

∂y∂x

)−(yx

∂

∂z2− zx ∂

∂z∂y− x ∂

∂y

))]ψ (~r)

=

(y∂

∂x− x ∂

∂y

)ψ (~r)

b) Dados dos Operadores Vectoriales A y B que conmutan entre ellos y con L tales que[A, B

]=[A, L

]=[L, B

]= 0

con Demuestre entonces que [A · L, B · L

]= i~

(A× B

)· L

Solucion:

[A · L, B · L

]== i~εklmAlBmLk = AlBmi~εklmLk = AlBm [Ll,Lm] = AlBmLlLm −AlBmLmb

mLl

= AlLlBmLm −BmLmAlLl

3. Considere, que el espacio de estados para un determinado sistema fısico viene expandido por la baseortonormal |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 . Definimos dos operadores Lzy S de la siguiente manera

Lz |u1〉 = |u1〉 ; Lz |u2〉 = 0; Lz |u3〉 = − |u3〉S |u1〉 = |u3〉 ; S |u2〉 = |u2〉 ; S |u3〉 = |u1〉



a) Encuentre la representacion matricial en la base |u1〉 , |u2〉 , |u3〉 del operador: [Lz,S]Solucion La matriz sera

⟨u1∣∣LzS− SLz |u1〉


⟨u1∣∣LzS− SLz |u3〉⟨

u2∣∣LzS− SLz |u1〉


⟨u2∣∣LzS− SLz |u3〉⟨

u3∣∣LzS− SLz |u1〉



con lo cual⟨u1∣∣LzS |u1〉 −

⟨u1∣∣SLz |u1〉

⟨u1∣∣LzS |u2〉 −

⟨u1∣∣SLz |u2〉

⟨u1∣∣LzS |u3〉 −

⟨u1∣∣SLz |u3〉⟨

u2∣∣LzS |u1〉 −

⟨u2∣∣SLz |u1〉

⟨u2∣∣LzS |u2〉 −

⟨u2∣∣SLz |u2〉

⟨u2∣∣LzS |u3〉 −

⟨u2∣∣SLz |u3〉⟨

u3∣∣LzS |u1〉 −

⟨u3∣∣SLz |u1〉

⟨u3∣∣LzS |u2〉 −

⟨u3∣∣SLz |u2〉

⟨u3∣∣LzS |u3〉 −

⟨u3∣∣SLz |u3〉

de donde

⟨ui∣∣ [Lz,S] |uj〉 =

0− 0 0− 0 1− (−1)

0− 0 0− 0 0− 0

(−1)− 1 0− 0 0− 0

=

0 0 2

0 0 0

−2 0 0

b) Lz,S y [Lz,S] seran biyectivas

SolucionPor definicion S es biyectivas ya que cada vector tiene su imagen, Lz no lo es por cuanto el vector|u2〉 no tiene imagen y, finalmente [Lz,S] tampoco sera biyectiva dado que

⟨ui∣∣ [Lz,S] |uj〉 no

tiene inversa ya que del det[⟨ui∣∣ [Lz,S] |uj〉

]= 0

c) Encuentre la dimension del Dominio, del Rango y del nucleo de la transformaciones Lz,S y [Lz,S]Solucion

Dominio Rango NucleoLz 3 2 1S 3 3 0[Lz,S] 3 2 2

dado que [Lz,S] |u2〉 = 0

4. Encuentre la expresion matricial para los operadores lineales de Pauli <2 7−→ <2 dado que actuancomo

σz |+〉 = |+〉 , σz |−〉 = − |−〉σx |+〉x = |+〉x , σx |−〉x = − |−〉xσy |+〉y = |+〉y , σy |−〉y = − |−〉y



con

|+〉(

10

), |−〉

(01

)|+〉x =

1√2

[|+〉+ |−〉] , |−〉x =1√2

[|+〉 − |−〉]

|+〉y =1√2

[|+〉+ i |−〉] , |−〉y =1√2

[|+〉 − i |−〉]

ahora bienx 〈+ |+〉x = 1 x 〈+ |−〉x =x 〈− |+〉x = 0 x 〈− |−〉x = 1

y 〈+ |+〉y = 1 y 〈+ |−〉y =y 〈− |+〉y = 0 y 〈− |−〉y = 1

Es decir las los vectores |+〉x , |−〉x y|+〉y , |−〉y

forman bases ortonormales, por lo que los vectores

|+〉 , |−〉 se pueden expresar en termino de esas bases como

|+〉 =1√2

[|+〉x + |−〉x] |−〉 =1√2

[|+〉x − |−〉x]

|+〉 =1√2

[|+〉y + |−〉y

]|−〉 =

−i√2

[|+〉y − |−〉y

]Ası las expresiones matriciales seran

(σz)ij =

〈+|σz |+〉〈+|σz |−〉

〈−|σz |+〉〈−|σz |−〉

=

1 0

0 −1

y

(σx)ij =

〈+|σx |+〉〈+|σx |−〉

〈−|σx |+〉〈−|σx |−〉

=

1

2[x 〈+|+x 〈−|]σx [|+〉x + |−〉x]

1

2[x 〈+|+x 〈−|]σx [|+〉x − |−〉x]

1

2[x 〈+| −x 〈−|]σx [|+〉x + |−〉x]

1

2[x 〈+| −x 〈−|]σx [|+〉x − |−〉x]

=

1

2[x 〈+|+x 〈−|] [|+〉x − |−〉x]

1

2[x 〈+|+x 〈−|] [|+〉x + |−〉x]

1

2[x 〈+| −x 〈−|] [|+〉x − |−〉x]

1

2[x 〈+| −x 〈−|] [|+〉x + |−〉x]

(σx)ij =

0 1

1 0



(σy)ij =

〈+|σy |+〉〈+|σy |−〉

〈−|σy |+〉〈−|σy |−〉

=

1

2[y 〈+|+y 〈−|]σy

[|+〉y + |−〉y

] −i2

[y 〈+|+y 〈−|]σy[|+〉y − |−〉y

]i

2[y 〈+| −y 〈−|]σy

[|+〉y + |−〉y

] 1

2[y 〈+| −y 〈−|]σy

[|+〉y − |−〉y

]

=

1

2[y 〈+|+y 〈−|]

[|+〉y − |−〉y

] −i2

[y 〈+|+y 〈−|][|+〉y + |−〉y

]i

2[y 〈+| −y 〈−|]

[|+〉y − |−〉y

] −1

2[y 〈+| −y 〈−|]

[|+〉y + |−〉y

]

(σy)ij =

0 −i

i 0

5. Un operador Cantidad de Movimiento Generalizado se define como aquel conjunto de operadores

hermıticos que cumplen con

[Jx,Jy] = i~Jz [Jy,Jz] = i~Jx [Jz,Jx] = i~Jy es decir [Ji,Jj ] = i~εijkJk

con εijk el sımbolo de Levy Civita y los ’indices repetidos NO indican suma. Adicionalmente, definimoslos siguientes operadores

J2 = J2x + J2

y + J2z; J+ = Jx + iJy J− = Jx − iJy

a) Muestre que [J2,J+

]=[J2,J−

]=[J2,Jz

]= 0

Solucion: Para probar esta propiedad se puede demostrar de forma generica que[J2k,Jm

]= 0

con k,m = 1, 2, 3 ≡ x, y, z esto es[J2k,Jm

]= [JkJk,Jm] = JkJkJm − JmJkJk = JkJkJm − (i~εmklJl + JkJm) Jk

con lo cual [J2k,Jm

]= JkJkJm − i~εmklJlJk − Jk (i~εmknJn + JkJm)

y claramente se anula por cuanto los ’indices no suman pero si son mudos, y εmkl = −εmlk[J2k,Jm

]= JkJkJm − i~εmklJlJk − i~εmknJkJn − JkJkJm

al conmutar los cuadrados de las componentes con cualquiera de las componentes, y dado que loscomutadores son lineales entonces queda demostrado que[

J2,J±]

=[J2x + J2

y + J2z,Jx ± iJy

]=[J2y,Jx

]+[J2z,Jx

]± i[J2x,Jy

]± i[J2z,Jy

]= 0



b) Si definimos los autovectores comunes a J2 y Jz como |j,m〉 como

J2 |j,m〉 = j (j + 1) ~2 |j,m〉 Jz |j,m〉 = m~ |j,m〉 con 〈j,m |j′,m′〉 = δjj′δmm′

adicionalmente tenemos que

J− |j,m〉 = ~√j(j + 1)−m(m− 1) |j,m− 1〉 J+ |j,m〉 = ~

√j(j + 1)−m(m+ 1) |j,m+ 1〉

y si suponen (es facil demostrarlo) que −j ≤ m ≤ j esto quiere decir que dado el valor un j, mvarıa entre −j y j de uno en uno, esto es m = −j,−j + 1,−j + 2, · · · , j − 2, j − 1, j. Supongaahora que j = 1

2 Encuentre

1) la representacion matricial para Jz,J−,J+,J2 en la base de autovectores de Jz,J

2

Solucion: Si |j,m〉 son autovectores de J2 y Jz su representaci’on matricial ser’a diago-nal y como m var’ia entre −j y j con incrementos de 1 tendremos que ser’an matrices 2× 2.La base ortogonal de autovectores ser’a

∣∣ 12 ,−

12

⟩,∣∣ 1

2 ,12

⟩ ⟨

12 ,

12

∣∣Jz ∣∣ 12 , 12

⟩ ⟨12 ,

12

∣∣Jz ∣∣ 12 ,− 12

⟩⟨

12 ,−

12

∣∣Jz ∣∣ 12 , 12

⟩ ⟨12 ,−

12

∣∣Jz ∣∣ 12 ,− 12

⟩ ≡ ~

2

1 0

0 −1

⟨

12 ,

12

∣∣J2∣∣ 1

2 ,12

⟩ ⟨12 ,

12

∣∣J2∣∣ 1

2 ,−12

⟩⟨

12 ,−

12

∣∣J2∣∣ 1

2 ,12

⟩ ⟨12 ,−

12

∣∣J2∣∣ 1

2 ,−12

⟩ ≡ 3

4~2

1 0

0 1

La representaci’on matricial para J−,J+ obviamente no ser’a diagonal ⟨

12 ,

12

∣∣J+

∣∣ 12 ,

12

⟩ ⟨12 ,

12

∣∣J+

∣∣ 12 ,−

12

⟩⟨

12 ,−

12

∣∣J+

∣∣ 12 ,

12

⟩ ⟨12 ,−

12

∣∣J+

∣∣ 12 ,−

12

⟩ ≡ ~

0 1

0 0

⟨

12 ,

12

∣∣J− ∣∣ 12 , 12

⟩ ⟨12 ,

12

∣∣J− ∣∣ 12 ,− 12

⟩⟨

12 ,−

12

∣∣J− ∣∣ 12 , 12

⟩ ⟨12 ,−

12

∣∣J− ∣∣ 12 ,− 12

⟩ ≡ ~

0 0

1 0

2) Encuentre los autovalores y autovalores para Jz,J−,J+,J

2 .

Solucion: Otra vez, ∣∣ 1

2 ,−12

⟩,∣∣ 1

2 ,12

⟩ son autovectores de J2 y Jz. En el caso de J2 con

un autovalor de3

4~2 para ambos autovectores y en el caso de Jz los autovalores ser’an ±~

2respectivamente. Para J−,J+ no tendr’an autovalor distinto de cero en esta base.





Capıtulo 5

Coordenadas Curvilineas

202


5.1. Disgrecion Derivativa

Los vectores podran ser constantes o variables. Ahora bien esa caracterıstica se verificara tanto en lascomponentes como en la base. Esto quiere decir que cuando un vector es variable podran variar su modulo, sudireccion, su sentido o todo junto o separado. Obviamente esta variabilidad del vector dependera de la baseen la cual se exprese, por lo cual un vector podra tener una componente constante en una base y constanteen otra.

|a〉(t) = ak (t) |ek〉(t) = ak |ek〉(t) = ak (t) |ek〉

De esta manera, cuando uno piensa en un vector variable |a〉(t) ⇐⇒ ~a (t) uno rapidamente piensa en establecerun cociente incremental

lım∆t→0

|a〉(t+∆t) − |a〉(t)∆t

= lım∆t→0

∆ |a〉(t)∆t

=d(|a〉(t)

)dt

m

lım∆t→0

~a (t+ ∆t)− ~a (t)

∆t= lım

∆t→0

∆~a (t)

∆t=

d~a (t)

dt

La misma propuesta se cumplira para las formas diferenciales (t) 〈a| . Como siempre, las propiedades de estaoperacion seran

d(|a〉(t) + |b〉(t)

)dt

=d(|a〉(t)

)dt

+d(|b〉(t)

)dt

d(α (t) |a〉(t)

)dt

=d (α (t))

dt|a〉(t) + α (t)

d(|a〉(t)

)dt

d(

(t) 〈a |b〉(t))

dt=

(d(

(t) 〈a|)

dt

)|b〉(t) + 〈a|(t)

d(|b〉(t)

)dt

Ahora bien, esto implica que

|a〉(t) = ak (t) |ek〉(t) =⇒d(|a〉(t)

)dt

=d(ak (t) |ek〉(t)

)dt

=d ak (t)

dt|ek〉(t) + ak (t)

d(|ek〉(t)

)dt

con lo cual hay que tener cuidado al derivar vectores y cerciorarse de la dependencia funcional de base ycomponentes. Habra sistemas de coordenadas (bases de vectores) que sean constantes y otros con basesvariables. Ası, el radio vector posicion de una partıcula genera los vectores velocidad y aceleracion.

~r = ~r (t) =⇒ ~v (t) =d (~r (t))

dt=⇒ ~a (t) =

d (~v (t))

dt=

d2 (~r (t))

dt2

ahora bien

~r ≡ |r〉 = rP |ur〉 = xP |i〉+ yP |j〉+ zP |k〉 con |ur〉 = cos θ |i〉+ sen θ |j〉



si suponemos que la partıcula describe un movimiento entonces

rP = rP (t)

θ = θ (t)

⇐⇒

x = x (t)y = y (t)z = z (t)

; |ur〉 = |ur〉(t) ;|i〉 = const|j〉 = const|k〉 = const

con lo cual

d (|ur〉)dt

=d (cos θ (t) |i〉+ sen θ (t) |j〉)

dt= − (sen θ (t))

dθ (t)

dt|i〉+ cos θ (t)

dθ (t)

dt|j〉

d (|ur〉)dt

=dθ (t)

dt[− (sen θ (t)) |i〉+ cos θ (t) |j〉]︸︷︷︸

|uθ〉

=dθ (t)

dt|uθ〉

ya que

‖|ur〉‖ =√〈ur |ur〉 =

√[cos θ (t) 〈i|+ sen θ (t) 〈j|] [cos θ (t) |i〉+ sen θ (t) |j〉] = 1

‖|uθ〉‖ =√〈uθ |uθ〉 =

√[− (sen θ (t)) 〈i|+ cos θ (t) 〈j|] [− (sen θ (t)) |i〉+ cos θ (t) |j〉] = 1

y〈ur |uθ〉 = 〈uθ |ur〉 = [− (sen θ (t)) 〈i|+ cos θ (t) 〈j|] [cos θ (t) 〈i|+ sen θ (t) |j〉] = 0

Mas aun

d (|uθ〉)dt

=d (− (sen θ (t)) |i〉+ cos θ (t) |j〉)

dt= − (cos θ (t) |i〉+ sen θ (t) |j〉) = −dθ (t)

dt|ur〉

Con lo cual, una partıcula que describe un movimiento generico vendra descrita en coordenadas cartesianaspor

~r ≡ |r〉 = xP (t) |i〉+ yP (t) |j〉+ zP (t) |k〉

y su velocidad sera

~v (t) =d~r (t)

dt=

d (|r〉)dt

=d (xP (t) |i〉+ yP (t) |j〉+ zP (t) |k〉)

dt

=d (xP (t))

dt|i〉+

d (yP (t))

dt|j〉+

d (zP (t))

dt|k〉 = vxP (t) |i〉+ vyP (t) |j〉+ vzP (t) |k〉

y la aceleracion

~a (t) =d (vxP (t))

dt|i〉+

d (vyP (t))

dt|j〉+

d (vzP (t))

dt|k〉 = axP (t) |i〉+ ayP (t) |j〉+ azP (t) |k〉

Mientras que en coordenadas polares sera

~r ≡ |r〉 = rP (t) |ur〉(t) =⇒ ~v (t) =d(r (t)P |ur〉(t)

)dt

=d (r (t)P )

dt|ur〉(t) + r (t)P

d(|ur〉(t)

)dt

con lo cual la velocidad

~v (t) = vr (t)P |ur〉(t) + r (t)Pdθ (t)

dt|uθ〉



y la aceleracion

~a (t) =d (~v (t))

dt=

d(

dr(t)Pdt |ur〉(t) + r (t)P

dθ(t)dt |uθ〉

)dt

=d(vr (t)P |ur〉(t)

)dt

+d(r (t)P

dθ(t)dt |uθ〉

)dt

~a (t) =d(

dr(t)Pdt

)dt

|ur〉(t) +dr (t)P

dt

d(|ur〉(t)

)dt

+dr (t)P

dt

dθ (t)

dt|uθ〉(t) + r (t)P

d2θ (t)

dt2|uθ〉(t) + r (t)P

dθ (t)

dt

d(|uθ〉(t)

)dt

~a (t) =

d(

dr(t)Pdt

)dt

− r (t)P

(dθ (t)

dt

)2 |ur〉(t) +

2

dr (t)Pdt

dθ (t)

dt+ r (t)P

d2θ (t)

dt2

|uθ〉(t)

Claramente para el caso de un movimiento circular

r = R = const =⇒ dR

dt= 0 =⇒

~r (t) = R |ur〉(t)

~v (t) = Rdθ(t)dt |uθ〉

~a (t) = −R(

dθ(t)dt

)2

|ur〉(t) +Rd2θ(t)dt2 |uθ〉(t)

De aquı podemos ver claramente que velocidad ~v (t) y posicion ~r (t) son ortogonales. La velocidad, ~v (t) ,siempre es tangente a la trayectoria ~r (t) y en este caso la trayectoria es una circunsferencia. En general elvector

~rmed =∑i

∆ ~r (ti) =∑i

(~r (ti + ∆ti)− ~r (ti)) =⇒ lım∆t→0

∑i

∆ ~r (ti) =

∫d~r (t) = ~r (t)

es decir d~r (t) = lım∆t→0

∑i ∆ ~r (ti) es tangente a la trayectoria. Es claro que

d~r (t) = d [xP (t) |i〉+ yP (t) |j〉+ zP (t) |k〉] ≡(∂xP (t)

∂t|i〉+

∂yP (t)

∂t|j〉+

∂zP (t)

∂t|k〉)

dt

5.2. Curvas y parametros

Podemos generalizar esta afirmacion y considerar un parametro generico λ, en este caso

~r = ~r (xP (λ) , yP (λ) , zP (λ)) =⇒

d~r (xP (λ) , yP (λ) , zP (λ)) =

(∂~r

∂xP (λ)

∂xP (λ)

∂λ+

∂~r

∂yP (λ)

∂yP (λ)

∂λ+

∂~r

∂zP (λ)

∂zP (λ)

∂λ

)dλ

=

(∂xP (λ)

∂λ

∂~r

∂xP (λ)+∂yP (λ)

∂λ

∂~r

∂yP (λ)+∂zP (λ)

∂λ

∂~r

∂zP (λ)

)dλ



con lo cuald (•)dλ

=∂xP (λ)

∂λ

∂ (•)∂xP (λ)

+∂yP (λ)

∂λ

∂ (•)∂yP (λ)

+∂zP (λ)

∂λ

∂ (•)∂zP (λ)

con lo cual podemos considerar las cantidades(∂xP (λ)∂λ , ∂yP (λ)

∂λ , ∂zP (λ)∂λ

)como las componentes del vector,

d~r (λ) , (y en general del operador d(•)dλ ) tangente a la trayectoria parametrizada con λ.

Mas aun las cantidades(

∂(•)∂xP (λ) ,

∂(•)∂xP (λ) ,

∂(•)∂zP (λ)

)seran los vectores base en esas coordenadas.

Ası al considerar coordenadas generalizadas(q1 (λ) , q2 (λ) , q3 (λ)

)|r〉 = r = r

(q1 (λ) , q2 (λ) , q3 (λ)

)⇓

d~r(q1 (λ) , q2 (λ) , q3 (λ)

)=∂q1 (λ)

∂λdλ

∂~r

∂q1 (λ)+∂q2 (λ)

∂λdλ

∂~r

∂q2 (λ)+∂q3 (λ)

∂λdλ

∂~r

∂q3 (λ)

mdr

dλ=∂q1 (λ)

∂λ

∂~r

∂q1 (λ)︸︷︷︸|q1〉

+∂q2 (λ)

∂λ

∂~r

∂q2 (λ)︸︷︷︸|q2〉

+∂q3 (λ)

∂λ

∂~r

∂q3 (λ)︸︷︷︸|q3〉

donde∣∣q1

⟩= ∂~r

∂q1(λ) ,∣∣q2⟩

= ∂~r∂q2(λ) ,

∣∣q3⟩

= ∂~r∂q3(λ) ,

son la base de vectores.

Por otro lado el modulo del vector ‖d~r (λ)‖ representara la longitud de arco ds para esa curva. Porconsiguiente

ds2 = 〈dr(λ) |dr(λ)〉 =d 〈dr(λ)|

dλ

d |dr(λ)〉dλ

(dλ)2 =∂qi

∂λ

∂ 〈dr(λ)|∂qi

∂qj

∂λ

∂ |dr(λ)〉∂qj

(dλ)2

=∂ 〈dr(λ)|∂qi

∂ |dr(λ)〉∂qj

∂qi

∂λdλ︸︷︷︸

dqi

∂qj

∂λdλ︸︷︷︸

dqj

=∂ 〈dr(λ)|∂qi

∂ |dr(λ)〉∂qj

dqidqj

donde d~r(λ)dλ es el vector tangente a la curva. Dado que

(ds)2

= gij dxi dxj = gij dxi dxj = gij dqi dqj =∂ 〈dr(λ)|∂qi

∂ |dr(λ)〉∂qj︸︷︷︸

gij

dqidqj

identificamos claramente∂ 〈dr(λ)|∂qi

∂ |dr(λ)〉∂qj

≡ gij



Figura 5.1: Coordenadas Curvilıneas en 2D.Cuadrante I, coordenadas cilındricas x = ρ cosϕ; y = ρ senϕ; z = zCuadrante II, coordenadas cilındricas elıpticas x = a coshu cos v; y = a senhu sen v; z = zCuadrante III coordenadas cilındricas parabolicas x = 1

2

(u− v2

); y = uv; z = z

Cuadrante IV coordenadas cilındricas bipolares x2 + (y − a cotu)2

= a2 csc2 u;(x− a senh v

cosh v

)2+

y2 = a2

senh2 v; z = z

5.3. Coordenadas Curvilıneas Generalizadas

Como hemos visto siempre se podra definir un sistema de coordenadas generalizadas(q1, q2, q3

)tales que

|r〉 = r = r(q1, q2, q3

)=⇒ dr =

∂ r

∂ q1dq1 +

∂ r

∂ q2dq2 +

∂ r

∂ q3dq3 =⇒

(ds)2

= gij dxi dxj ≡ dr·dr =∂ r

∂ qi∂ r

∂ qjdqidqj =⇒

gij=

∂ r∂ qi

∂ r∂ qj

|ej〉 = 1∥∥∥ ∂ |r〉∂ qj

∥∥∥ ∂ |r〉∂ qj

genere una trıada de vectors base |ej〉 ortonormales de vectores unitarios tales que

|e1〉 =1∥∥∥∂ |r〉∂ q1

∥∥∥ ∂ |r〉∂ q1; |e2〉 =

1∥∥∥∂ |r〉∂ q2

∥∥∥ ∂ |r〉∂ q2; |e3〉 =

1∥∥∥∂ |r〉∂ q3

∥∥∥ ∂ |r〉∂ q3;

los cuales son vectores tangentes a las curvas que define el radio vector |r〉. Claramente si el sistema esortogonal los factores de escala son importantes para su categorizacion

h1 =

∥∥∥∥∂ |r〉∂ q1

∥∥∥∥ ; h2 =

∥∥∥∥∂ |r〉∂ q2

∥∥∥∥ ; y h3 =

∥∥∥∥∂ |r〉∂ q3

∥∥∥∥ ;



con lo cual podemos definir el elemento de lınea como

ds2 =(h1 dq1

)2+(h2 dq2

)2+(h3 dq3

)2=∂ 〈dr(λ)|∂qi

∂ |dr(λ)〉∂qj

dqi dqj = gij dqi dqj

Es decir que identificamos la metrica como

h1 =∂x

∂q1=∂x1

∂q1=√g11; h2 =

∂y

∂q2=∂x2

∂q2=√g22; h3 =

∂z

∂q3=∂x3

∂q3=√g33.

De tal forma que los casos particulares se recuperan facilmente.

5.3.1. Coordenadas generalizadas, vectores y formas

Recordando como construimos el desplazamiento para una base generica ortogonal, |ej〉 de un espaciovectorial con producto interno, el desplazamiento infinitesimal puede expresarse como

ds2 ≡ 〈dr |dr〉 =(d xk

⟨ek∣∣) (d xm |em〉) =


Donde hemos utilizado el hecho que la metrica nos permite asociar componentes contravariantes a covariantesy viceversa, es decir establece una relacion entre formas y vectores.

Si las bases de formas y vectores son ortogonales la metrica sera diagonal y como en general∥∥∥∂|dr(λ)〉

∂qj

∥∥∥ 6= 1,

entoces surgen los llamados factores de escala hi = giiEntonces, una vez mas, una forma 〈b| o, un vector |a〉 cualquiera puede expresarse como una combinacion

lineal de formas o vectores base

|a〉 = aj |ej〉 = aj |ej〉 ↔ 〈b| = bj⟨ej∣∣ = bj

⟨ej∣∣

conaj =

⟨ej |a〉 ; aj =

⟨ej |a〉 ; bj = 〈b |ej〉 ; y bj = 〈b |ej〉

De esta manera las componentes covariantes y contravariantes estaran relacionadas como

aj = gjkak ⇒ ai = h[i]a

[i]

donde h[i]a[i] NO indica suma. En otras palabras, en aquellos sistemas de coordenadas en los cuales la metrica

es diagonal pero no viene representada por la matriz unidad, subir y bajar indices puede incluir los camibosde escala.

5.3.2. Velocidades y Aceleraciones

Antes de pasar a analizar los casos particulares haremos un alto para expresar las expresiones de lasvelocidades y las aceleraciones en coordenadas generalizadas. Para ello recordamos que los vectores velocidady aceleracion se representan como

|V 〉 = V j |ej〉 = xj |ej〉 = V j |ej〉 = ˙xj |ej〉 y |a〉 = aj |ej〉 = xj |ej〉 = aj |ej〉 = ¨xj |ej〉

respectivamente. Para determinar las expresiones de estos vectores en cualquier sistema de coordenadas, essuficiente con encontrar las expresiones de sus componentes contravariantes o contravariantes. Como sabemos,podremos encontrar una a partir de las otras con la ayuda de la metrica del sistema de coordenadas.



Entonces, el vector velocidad en la base cartesiana se puede expresar como

|V 〉 = Vx |ı〉+Vy |〉+Vz∣∣∣k⟩ = x |ı〉+y |〉+z

∣∣∣k⟩ = xj |ej〉 = qj |ej〉 con |e1〉 = |ı〉 ; |e2〉 = |〉 ; y |e3〉 =∣∣∣k⟩ ,

claramente las componentes contravariantes del vector velocidad en un sistema de coordenadas generalizadoson V j = qj

Para encontrar las componentes covariantes recordamos que para cualquier base generalizada de vectoreso formas se expresan en termino de la base cartesiana (de vectores o formas) como

|ej〉 =∂xi

∂qj|ei〉 y

⟨ei∣∣ =

∂qi

∂xj⟨ej∣∣

Entoces las componentes covariantes del vector velocidad en una base generalizada sera

Vj = 〈V |ej〉 = (xm 〈em|)(∂xi

∂qj|ei〉)

= xm∂xm

∂qj= xm

∂xm

∂t∂qj

∂t

= xm∂xm

∂qj=∂(VmV

m

2

)∂qj

Con lo cual resulta facil expresar las componentes covariantes una vez que conocemos el modulo del vectorexpresado en ese sistema de coordenadas. El cual siempre viene expresado a partir del diferencial

d |r〉 ⇒ d |r〉dt

Para encontrar la expresion para la aceleracion se procede de manera analoga.

aj = 〈a |ej〉 = (xm 〈em|)(∂xi

∂qj|ei〉)

= xm∂xm

∂qj≡ d

dt

(xm

∂xm

∂qj

)− xm

∂xm

∂qj

y otra vez

∂xm

∂qj=∂xm

∂qj⇒ aj =

d

dt

(xm

∂xm

∂qj

)− xm

∂xm

∂qj=

d

dt

(∂

∂qj

(xmx

m

2

))− ∂

∂qj

(xmx

m

2

)y finalmente

aj =d

dt

(∂

∂qj

(VmV

m

2

))− ∂

∂qj

(VmV

m

2

)

5.3.3. Coordenadas Cartesianas

El primer caso, el mas trivial, lo constituyen las coordenadas cartesianas. Vale decir(q1, q2, q3

)⇐⇒ (x, y, z)

|r〉 = x |i〉+ y |j〉+ z |k〉 = r = xı+ y+ zk

r = r (x, y, z) =⇒ dr =

(∂ r

∂ x

)dx+

(∂ r

∂ y

)dy +

(∂ r

∂ z

)dz = dx |i〉+ dy |j〉+ dz |k〉



cosecuentemente

hx =∥∥∥∂ |r〉∂ x

∥∥∥ = 1

hy =∥∥∥∂ |r〉∂ y

∥∥∥ = 1

hz =∥∥∥∂ |r〉∂ z

∥∥∥ = 1

y

|ex〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ x ‖∂ |r〉∂ x = |i〉

|ey〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂y ‖∂ |r〉∂ x = |j〉

|ez〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ z ‖∂ |r〉∂ z = |k〉

;

El elemento de lınea viene definido como

(ds)2

=(h1 dx1

)2+(h2 dx2

)2+(h3 dx3

)2 ⇐⇒ ds2 = dx2 + dy2 + dz2

y el tensor metrico serag11 = gxx = 1; g22 = gyy = 1; g22 = gzz = 1.

El hecho que para el caso de las coordenadas cartesianas hx = hy = hz = 1 significara que las tomaremoscomo coordenadas base respecto a las cuales expresaremos las demas.

5.3.4. Coordenadas Cilındricas

Las coordenadas cilındricas se expresan como(q1, q2, q3

)⇐⇒ (ρ, ϕ, z)

|r〉 = x (ρ, ϕ) |i〉+ y (ρ, ϕ) |j〉+ z |k〉 ⇐⇒ r = x (ρ, ϕ) ı+ y (ρ, ϕ) + zk

r = r (ρ, ϕ, z) =⇒ dr =

(∂ r

∂ ρ

)dρ+

(∂ r

∂ ϕ

)dϕ+

(∂ r

∂ z

)dz

y estas cantidades pueden ser identificadas de las leyes de transformacion respecto a las coordendas carte-sianas

x = x (ρ, ϕ) = ρ cosϕ

y = y (ρ, ϕ) = ρ senϕ

z = z

=⇒

dx = cosϕdρ− ρ senϕdϕ

dy = senϕdρ+ ρ cosϕdϕ

dz = dz

con lo cual es facil identificar∂ x(ρ,ϕ)∂ ρ = cosϕ

∂ y(ρ,ϕ)∂ ρ = senϕ

∂ z∂ ρ = 0

;

∂ x(ρ,ϕ)∂ ϕ = −ρ senϕ

∂ y(ρ,ϕ)∂ ϕ = ρ cosϕ

∂ z∂ ϕ = 0

; y

∂ x(ρ,ϕ)∂ z = 0

∂ y(ρ,ϕ)∂ z = 0

∂ z∂ z = 1

y de allı

hρ =

∥∥∥∥∂ |r〉∂ ρ

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥∂(x (ρ, ϕ) ı+ y (ρ, ϕ) + zk

)∂ ρ

∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∂ x (ρ, ϕ)

∂ ρı+∂ y (ρ, ϕ)

∂ ρ

∥∥∥∥hρ = ‖cosϕ ı+ senϕ ‖ = 1



y del mismo modo

hϕ =

∥∥∥∥∂ (x (ρ, ϕ) ı+ y (ρ, ϕ) )

∂ ϕ

∥∥∥∥ = r; hz =

∥∥∥∥∂ (z)

∂ zk

∥∥∥∥ = 1.

mientras que los vectores unitarios seran

|eρ〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ ρ ‖∂ |r〉∂ ρ = ∂ x(ρ,ϕ)

∂ ρ ı+ ∂ y(ρ,ϕ)∂ ρ = cosϕ ı+ senϕ

|eϕ〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ ϕ ‖∂ |r〉∂ ϕ = 1

ρ

(∂ x(ρ,ϕ)∂ ϕ ı+ ∂ y(ρ,ϕ)

∂ ϕ )

= − senϕ ı+ cosϕ

|ez〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ z ‖∂ |r〉∂ z =

∂ (x(ρ,ϕ)ı+y(ρ,ϕ)+zk)∂ z = k

;


(ds)2

=(h1 dx1

)2+(h2 dx2

)2+(h3 dx3

)2 ⇐⇒ ds2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz2

y el tensor metrico serag11 = gρρ = 1; g22 = gϕϕ = ρ2; g33 = gzz = 1.

5.3.5. Coordenadas Esfericas

Para construir el sistema de coordenadas esfericas(q1, q2, q3

)⇐⇒ (r, ϕ, θ)

|r〉 = x (r, ϕ, θ) |i〉+ y (r, ϕ, θ) |j〉+ z (r, ϕ, θ) |k〉 = x (r, ϕ, θ) ı+ y (r, ϕ, θ) + z (r, ϕ, θ) k

~r = ~r (r, ϕ, θ) =⇒ d~r=

(∂ ~r

∂ r

)dr +

(∂ ~r

∂ ϕ

)dϕ+

(∂ ~r

∂ θ

)dθ

y estas cantidades pueden ser identificadas de las leyes de transformacion respecto a las coordendas carte-sianas

x = x (r, ϕ, θ) = r cosϕ sen θ

y = y (r, ϕ, θ) = r senϕ sen θ

z (r, ϕ, θ) = r cos θ

=⇒

dx = cosϕ sen θdr − r senϕ sen θdϕ+ r cosϕ cos θdθ

dy = senϕ sen θdr + r cosϕ sen θdϕ+ r senϕ cos θdθ

dz = cos θdr − r sen θdθ

con lo cual es facil identificar∂ x(r,ϕ,θ)

∂ r = cosϕ sen θ

∂ y(r,ϕ,θ)∂ r = senϕ sen θ

∂ z(r,ϕ,θ)∂ r = cos θ

;

∂ x(r,ϕ,θ)

∂ ϕ = −r senϕ sen θ

∂ y(r,ϕ,θ)∂ ϕ = r cosϕ sen θ

∂ z(r,ϕ,θ)∂ ϕ = 0

;

∂ x(r,ϕ,θ)

∂ θ = r cosϕ cos θ

∂ y(r,ϕ,θ)∂ θ = r senϕ cos θ

∂ z(r,ϕ,θ)∂ θ = −r sen θ



y de allı

hr =

∥∥∥∥∂ |r〉∂ r

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥∂(x (r, ϕ, θ) ı+ y (r, ϕ, θ) + z (r, ϕ, θ) k

)∂ r

∥∥∥∥∥∥hr =

∥∥∥∥∂ x (r, ϕ, θ)

∂ rı+∂ y (r, ϕ, θ)

∂ r+∂ z (r, ϕ, θ)

∂ rk

∥∥∥∥hr =

∥∥∥cosϕ sen θ ı+ senϕ sen θ + cos θ k∥∥∥ =

√cos2 ϕ sen2 θ + sen2 ϕ sen2 θ + cos2 θ = 1

y del mismo modo

hϕ =

∥∥∥∥∥∥∂(x (r, ϕ, θ) ı+ y (r, ϕ, θ) + z (r, ϕ, θ) k

)∂ ϕ

∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∂ x (r, ϕ, θ)

∂ ϕı+∂ y (r, ϕ, θ)

∂ ϕ

∥∥∥∥hϕ = ‖−r senϕ sen θ ı+r cosϕ sen θ ‖ =

√(r senϕ sen θ)

2+ (r cosϕ sen θ)

2= r sen θ

Finalmente,

hθ =

∥∥∥∥∥∥∂(x (r, ϕ, θ) ı+ y (r, ϕ, θ) + z (r, ϕ, θ) k

)∂ θ

∥∥∥∥∥∥hθ =

∥∥∥∥∂ x (r, ϕ, θ)

∂ θı+∂ y (r, ϕ, θ)

∂ θ+∂ z (r, ϕ, θ)

∂ θk

∥∥∥∥hθ =

∥∥∥r cosϕ cos θ ı+r senϕ cos θ − sen θ k∥∥∥

hθ =

√(r cosϕ cos θ)

2+ (r senϕ cos θ)

2+ (r sen θ)

2= r

mientras que los vectores unitarios seran

|er〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ r ‖∂ |r〉∂ r = cosϕ sen θ ı+ senϕ sen θ + cos θ k

|eϕ〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ ϕ ‖∂ |r〉∂ ϕ = 1

r sen θ (−r senϕ sen θ ı+r cosϕ sen θ )

|eθ〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ θ ‖∂ |r〉∂ θ = 1

r

(r cosϕ cos θ ı+r senϕ cos θ − sen θ k

) ;


(ds)2

=(h1 dx1

)2+(h2 dx2

)2+(h3 dx3

)2 ⇐⇒ ds2 = dr2 + r2 sen2 θ dϕ2 + r2dθ2



El tensor metrico sera

g11 = grr = 1; g22 = gϕϕ = r2 sen2 θ ; g33 = gθθ = r2.

Por completidud, enumeraremos algunos otros sistemas de coordenadas y dejaremos al lector la labor decalcular los vectores unitarios y la metrica del espacio expresada en estas coordenadas.

5.3.6. Otros Sistemas Coordenados

Coordenadas Toroidales

(q1, q2, q3

)⇐⇒ (λ, µ, α) ; |r〉 = x (λ, µ, α) ı+ y (λ, µ, α) + z (λ, µ, α) k

con

x = x (λ, µ, α) = r cosα; con r =senhλ

coshλ+ cosµ

y = y (λ, µ, α) = r senα

z = z (λ, µ, α) = rsenµ

coshλ+ cosµ

con lo cual los vectores unitarios seran

|eλ〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ λ ‖∂ |r〉∂ λ = 1∥∥∥∥ ∂ (x(λ,µ,α)ı+y(λ,µ,α)+z(λ,µ,α)k)

∂ λ

∥∥∥∥∂ (x(λ,µ,α)ı+y(λ,µ,α)+z(λ,µ,α)k)

∂ λ

|eµ〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ µ ‖∂ |r〉∂ µ =

|eα〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ α ‖∂ |r〉∂ α =

;



∂ |r〉∂ λ

=∂((

senhλcoshλ+cosµ

)cosα

)∂ λ

ı+∂((

senhλcoshλ+cosµ

)senα

)∂ λ

+∂((

senhλcoshλ+cosµ

)senµ

coshλ+cosµ

)∂ λ

k

∂ |r〉∂ λ

=

(coshλ cosµ+ 1

cosh2 λ+ 2 coshλ cosµ+ cos2 µ

)(cosαı+ senα)−

senµ(cosh2 λ− coshλ cosµ− 2

)cosh3 λ+ 3 cosh2 λ cosµ+ 3 coshλ cos2 µ+ cos3 µ

la metrica queda como

ds2 = r2

(dλ2 + dµ2

senh2 λ

)Las superficies λ = const representan toros alrededor del eje z; las superficies µ = const son esferas concentro sobre el eje z;y finalmente las superficies α = const son planos que contiene al eje z

Coordenadas Elipsoidales

Dados tres numeros a, b y c; con a > b > c > 0, la ecuacion

x2

a2 + α+

y2

b2 + α+

z2

c2 + α= 1

representa las superficies cuadricas1 homofocales (es decir, con el mismo foco u origen en (x = 0, y = 0, z = 0)).Dependiendo del valor del parametro α, estas ecuaciones representaran superficies

Elipsoides si α > −c2Hiperboloides de una hoja si −c2 > α > −b2Hiperboloides de dos hojas si −b2 > α > −c2

Esto quiere decir que por cada punto (x, y, z) del espacio, pasan tres superficies cuadricas (dependiendo delvalor de α). Conocidos a, b y c y el punto, (x = x0, y = y0, z = z0) , los valores de α vienen dados por lasraıces de la ecuacion cubica

x2

a2 + α+

y2

b2 + α+

z2

c2 + α= 1 =⇒ α3 + ∆ α2 + Φ α+ Ω = 0

con

∆ = x20 + y2

0 + z20 − a2 − b2 − c2

Φ =(b2 + c2

)x2

0 +(a2 + c2

)y2

0 +(a2 + b2

)z2

0 − a2b2 −(a2 + b2

)c2

Ω = x20b

2c2 + y20a

2c2 + z20a

2b2 − a2b2c2

Las raıces de esta ecuacion (α1 = λ;α2 = µ;α3 = ν) definen las coordenadas elipsoidales del punto (x, y, z) =(x (λ, µ, ν) , y (λ, µ, ν) , z (λ, µ, ν))(

q1, q2, q3)⇐⇒ (λ, µ, ν) ; |r〉 = x (λ, µ, ν) ı+ y (λ, µ, ν) + z (λ, µ, ν) k

1Notese que la proyeccion de estas superficies en el plano (x, y) representan curvas conicas homofocales



y la ley de transformacion queda como

x = x (λ, µ, ν) =

√(a2 + λ) (a2 + µ) (a2 + ν)

(a2 − b2) (a2 − c2)

y = y (λ, µ, ν) =

√(b2 + λ) (b2 + µ) (b2 + ν)

(b2 − a2) (b2 − c2)

z = z (λ, µ, ν) =

√(c2 + λ) (c2 + µ) (c2 + ν)

(c2 − b2) (c2 − a2)

por cual la metrica sera

ds2 =(λ− µ) (λ− ν)

4 (a2 + λ) (b2 + λ) (c2 + λ)dλ2 +

(µ− λ) (µ− ν)

4 (a2 + µ) (b2 + µ) (c2 + µ)dµ2

+(ν − µ) (ν − λ)

4 (a2 + ν) (b2 + ν) (c2 + ν)dν2

5.4. Vectores, Tensores, Metrica y Transformaciones

Nos toca ahora construir expresiones de vectores y tensores a partir de sus leyes de transformacion, hemosdicho que los vectores y los tensores son independiente del sistema de coordenadas (la base) en la cual seexprese.

5.4.1. Transformando Vectores

Ası si dada dos bases de vectores coordenados |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 y |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 para el espacio vectorial<3 Entonces, se cumple que:

|a〉 = aj |ej〉 = ai |ei〉 =⇒ ⟨

ei∣∣ a〉 = ai⟨

ei∣∣ a〉 = ai

=⇒ ai = aj

⟨ei |ej〉 ⇐⇒ ai =

∂ xi

∂ xj︸︷︷︸〈ei |ej〉

aj

con ello de cartesianas a cilındricas

x = x (r, ϕ) = ρ cosϕ; y = y (r, ϕ) = ρ senϕ; z = z

de lo cual se deriva∂ x(ρ,ϕ)∂ ρ = cosϕ

∂ y(ρ,ϕ)∂ ρ = senϕ

∂ z∂ ρ = 0

;

∂ x(ρ,ϕ)∂ ϕ = −ρ senϕ

∂ y(ρ,ϕ)∂ ϕ = ρ cosϕ

∂ z∂ ϕ = 0

; y

∂ x(ρ,ϕ)∂ z = 0

∂ y(ρ,ϕ)∂ z = 0

∂ z∂ z = 1



Entonces dados

|a〉 = aj |ej〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉 = ax |i〉+ ay |j〉+ az |k〉

|a〉 = ai |ei〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉 = ar |er〉+ aϕ |eϕ〉+ az |ez〉

con|eρ〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ ρ ‖∂ |r〉∂ ρ = ∂ x(ρ,ϕ)

∂ ρ ı+ ∂ y(ρ,ϕ)∂ ρ = cosϕ ı+ senϕ

|eϕ〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ ϕ ‖∂ |r〉∂ ϕ = 1

ρ

(∂ x(ρ,ϕ)∂ ϕ ı+ ∂ y(ρ,ϕ)

∂ ϕ )

= − senϕ ı+ cosϕ

|ez〉 = 1

‖ ∂ |r〉∂ z ‖∂ |r〉∂ z =

∂ (x(ρ,ϕ)ı+y(ρ,ϕ)+zk)∂ z = k

;

Si tenemos en concreto un vector |a〉 = 5 |i〉+ 4 |j〉+ 3 |k〉 quisieramos conocer su expresion en coordenadascilındricas. Hay que hacer la acotacion que existe una familia de sistemas de coordenados cilındricos para-metrizados por el angulo ϕ y NO un unico sistema coordenado. Obviamente se puede especificar el sistemacoordenado y entonces tendremos un conjunto de componentes definito. Ası la familia de componentes encilındricas del vector |a〉 seran

aj =⟨ej |a〉 =

⟨ej∣∣ (a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉

)=⟨ej∣∣ (a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉

)con lo cual al expresar los vectores base

a1 = aρ = 〈eρ| (5 |i〉+ 4 |j〉+ 3 |k〉) = (cosϕ ı+ senϕ ) ·(

5ı+ 4+ 3k)

= 5 cosϕ+ 4 senϕ

a2 = aϕ = 〈eϕ| (5 |i〉+ 4 |j〉+ 3 |k〉) = (− senϕ ı+ cosϕ ) ·(

5ı+ 4+ 3k)

= −5 senϕ+ 4 cosϕ

a3 = az = 〈ez| (5 |i〉+ 4 |j〉+ 3 |k〉) = 〈k| (5 |i〉+ 4 |j〉+ 3 |k〉) = 3

con lo cual

|a〉 = 5 |i〉+ 4 |j〉+ 3 |k〉 = (5 cosϕ+ 4 senϕ) |eρ〉+ (−5 senϕ+ 4 cosϕ) |eϕ〉+ 3 |ez〉

donde es claro que existen infinitos sistemas cilindricos parametrizados por el angulo ϕ , digamos

ϕ = arctan

(4

5

)⇒

aρ = 5 cos

(arctan

(45

))+ 4 sen

(arctan

(45

))= 25

41

√41 + 16

41

√41 =

√41

aϕ = −5 sen(arctan

(45

))+ 4 cos

(arctan

(45

))= −

(2041

√41)

+(

2041

√41)

= 0

az = 3

con lo cual hemos alineado el eje |eρ〉 a lo largo del vector |a〉 . Ese es un sistema de coordenadas cilindricomuy particular.



5.4.2. Transformando Tensores

Ilustremos ahora las transformaciones de tensores bajo cambios de la base del espacio vectorial.Consideremos el siguiente tensor

|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 =⇒ T ij =

2 1 32 3 41 2 2

Es decir es un tensor que hemos expresado en coordenadas cartesianas y queremos pasarlo a cilindricas. Paraello recordamos que

T km =∂ xk

∂ xi∂ xj

∂ xmT ij donde

x1 = x = x (ρ, ϕ) = ρ cosϕ

x2 = y = y (ρ, ϕ) = ρ senϕ

x3 = z = zx1 = ρ = ρ (x, y) =

√x2 + y2

x2 = ϕ = ϕ (x, y) = arctan(yx

)x3 = z = z

con lo cual

∂ xk

∂ xi=

∂ x1

∂ x1 = ∂ ρ∂ x = x√

x2+y2

∂ x1

∂ x2 = ∂ ρ∂ y = y√

x2+y2

∂ x1

∂ x3 = ∂ ρ∂ z = 0

∂ x2

∂ x1 = ∂ ϕ∂ x = −y

x2+y2∂ x2

∂ x2 = ∂ ϕ∂ y = x

x2+y2∂ x2

∂ x3 = ∂ ϕ∂ z = 0

∂ x3

∂ x1 = ∂ z∂ x = 0 ∂ x3

∂ x2 = ∂ z∂ y = 0 ∂ x3

∂ x3 = ∂ z∂ z = 1

es decir

∂ xk

∂ xi=

cosϕ senϕ 0

− senϕρ

cosϕρ 0

0 0 1

mientras que

∂ xj

∂ xm=

∂ x1

∂ x1 = ∂ x∂ ρ = cosϕ ∂ x1

∂ x2 = ∂ x∂ ϕ = −ρ senϕ ∂ x1

∂ x3 = ∂ x∂ z = 0

∂ x2

∂ x1 = ∂ y∂ ρ = senϕ ∂ x2

∂ x2 = ∂ y∂ ϕ = ρ cosϕ ∂ x2

∂ x3 = ∂ y∂ z = 0

∂ x3

∂ x1 = ∂ z∂ ρ = 0 ∂ x3

∂ x2 = ∂ z∂ ϕ = 0 ∂ x3

∂ x3 = ∂ z∂ z = 1

con lo cual

∂ xj

∂ xm=

cosϕ −ρ senϕ 0

senϕ ρ cosϕ 0

0 0 1



Por lo tanto

T km =∂ xk

∂ xiT ij

∂ xj

∂ xm⇒ T km =

cosϕ senϕ 0

− senϕρ

cosϕρ 0

0 0 1

T ij

cosϕ −ρ senϕ 0

senϕ ρ cosϕ 0

0 0 1

es decir

T km =

cosϕ senϕ 0− senϕ

ρcosϕρ 0

0 0 1

2 1 32 3 41 2 2

cosϕ −ρ senϕ 0senϕ ρ cosϕ 0

0 0 1

T km =

− cos2 ϕ+ 3 cosϕ senϕ+ 3 ρ senϕ cosϕ− 2ρ+ 3ρ cos2 ϕ 3 cosϕ+ 4 senϕcosϕ senϕ+3 cos2 ϕ−1

ρ −3 cosϕ senϕ+ cos2 ϕ+ 2 −3 senϕρ + 4 cosϕ

ρ

cosϕ+ 2 senϕ −ρ senϕ+ 2ρ cosϕ 2

Si suponemos que el origen del sistema de coordenadas cilindrico esta en el vector anterior. Esto es

|a〉 = 5 |i〉+ 4 |j〉+ 3 |k〉 ⇒

ρ =√x2 + y2 ⇒ ρ =

√52 + 42 =

√41

ϕ = arctan(yx

)⇒ ϕ = arctan

(45

)= 0,67474 rad

y entonces

T km =

3,8537 2,030 3 4,841 40,20569 1. 146 3 0,195 122,030 3 6,0 2

Si consideramos una nueva base

|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ⇒

|e1〉 = |i〉

|e2〉 = |i〉+ |j〉

|e3〉 = |i〉+ |j〉+ |k〉

⇐⇒

⟨e1 |e1〉 = 1

⟨e1 |e2〉 = 1

⟨e1 |e3〉 = 1⟨

e2 |e1〉 = 1⟨e2 |e2〉 = 2

⟨e2 |e3〉 = 2⟨

e3 |e1〉 = 1⟨e3 |e2〉 = 2

⟨e3 |e3〉 = 3

para ese mismo espacio <3 encontraremos una nueva expresion que toma T ij en esa base. Igualmente encontra-

remos las expresiones para los siguientes tensores: T ji , Tij , Tij . Notese que esta nueva base no es ortogonal

,⟨ek |ei〉 6= δki , con lo cual no se cumplen muchas cosas entre ellas |ek〉

⟨ek∣∣ 6= 1

Para encontrar la expersion T ij expresamos los vectores base |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 en terminode la base |e1〉 , |e2〉 , |e3〉

|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 =⇒

|e1〉 = |i〉 = |e1〉

|e2〉 = |j〉 = |e2〉 − |e1〉

|e3〉 = |k〉 = |e3〉 − |e2〉

recordamos que un vector generico

|a〉 = aj |ej〉 = aj |ej〉 =⇒

|a〉 = aj |ej〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉 = a1 |e1〉+ a2 (|e1〉+ |e2〉) + a3 (|e1〉+ |e2〉+ |e3〉)



con lo cuala1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉 =

(a1 + a2 + a3

)|e1〉+

(a2 + a3

)|e2〉+ a3 |e3〉

y como

a1 = a1 + a2 + a3

a2 = a2 + a3

a3 = a3

=⇒ ai =∂ xi

∂ xkak =⇒

∂ x1

∂ x1 = 1; ∂ x1

∂ x2 = 1; ∂ x1

∂ x3 = 1;

∂ x2

∂ x1 = 0; ∂ x2

∂ x2 = 1; ∂ x2

∂ x3 = 1;

∂ x3

∂ x1 = 0; ∂ x3

∂ x2 = 0; ∂ x3

∂ x3 = 1;

Es de hacer notar que dado que la base ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 se tiene que

|a〉 = aj |ej〉 = ai |ei〉 =⇒⟨ei∣∣ a〉 = aj

⟨ei |ej〉 = ajδij = ai = ak

⟨ei |ek〉 =⇒ ∂ xi

∂ xk=⟨ei |ek〉

El mismo procedimiento se puede aplicar para expresar el vector |a〉 como combinacion lineal de los vectores|ej〉

|a〉 = aj |ej〉 = aj |ej〉 = a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a3 |e3〉 = a1 |e1〉+ a2 (|e2〉 − |e1〉) + a3 (|e3〉 − |e2〉)

a1 = a1 − a2

a2 = a2 − a3

a3 = a3

=⇒ ak = ai∂ xk

∂ xi=⇒

∂ x1

∂ x1 = 1; ∂ x1

∂ x2 = −1; ∂ x1

∂ x3 = 0;

∂ x2

∂ x1 = 0; ∂ x2

∂ x2 = 1; ∂ x2

∂ x3 = −1;

∂ x3

∂ x1 = 0; ∂ x3

∂ x2 = 0; ∂ x3

∂ x3 = 1;

Notese que, como era de esperarse,

∂ xi

∂ xk∂ xk

∂ xj= δij =⇒

1 1 10 1 10 0 1

1 −1 00 1 −10 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

Con las expresiones matriciales para las transformaciones ,estamos en capacidad de calcular, componente acomponente, las representacion del tensor en la nueva base con lo cual

T km =∂ xk

∂ xi∂ xj

∂ xmT ij =⇒

T 11 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x1 Tij = ∂ x1

∂ x1

(∂ x1

∂ x1 T11 + ∂ x2

∂ x1 T12 + ∂ x3

∂ x1 T13

)+∂ x1

∂ x2

(∂ x1

∂ x1 T21 + ∂ x2

∂ x1 T22 + ∂ x3

∂ x1 T23

)+∂ x1

∂ x3

(∂ x1

∂ x1 T31 + ∂ x2

∂ x1 T32 + ∂ x3

∂ x1 T33

)es decir

T 11 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x1 Tij = 1 ·

(1 T 1

1 + 0 T 12 + 0 T 1

3

)−1 ·

(1 T 2

1 + 0 T 22 + 0 T 2

3

)+0(1 T 3

1 + 0 T 32 + 0 T 3

3

)T 1

1 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x1 Tij = T 1

1 − T 21 = 2− 2 = 0



del mismo modo

T 12 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x2 Tij = ∂ x1

∂ x1

(∂ x1

∂ x2 T11 + ∂ x2

∂ x2 T12 + ∂ x3

∂ x2 T13

)+∂ x1

∂ x2

(∂ x1

∂ x2 T21 + ∂ x2

∂ x2 T22 + ∂ x3

∂ x2 T23

)+∂ x1

∂ x3

(∂ x1

∂ x2 T31 + ∂ x2

∂ x2 T32 + ∂ x3

∂ x2 T33

)es decir

T 12 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x2 Tij = 1 ·

(1 T 1

1 + 1 T 12 + 0 T 1

3

)−1 ·

(1 T 2

1 + 1 T 22 + 0 T 2

3

)+0(1 T 3

1 + 1 T 32 + 0 T 1

3

)T 1

2 = ∂ x1

∂ xi∂ xj

∂ x1 Tij =

(T 1

1 + T 12

)−(T 2

1 + T 22

)= (2 + 1)− (2 + 3) = −2

se puede continuar termino a termino o realizar la multiplicacion de las matrices ∂ xk


∂ xm provenientesde la transformacion de componentes de tensores. Vale decir

T km =∂ xk

∂ xiT ij

∂ xj

∂ xm⇔

1 −1 00 1 −10 0 1

2 1 32 3 41 2 2

1 1 10 1 10 0 1

=

0 −2 −31 2 41 3 5

hay que resaltar un especial cuidado que se tuvo en la colocacıon de la matrices para su multiplicacion. Si

bien en la expresion T km = ∂ xk

∂ xi∂ xj

∂ xm T ij las cantidades ∂ xk

∂ xi son numeros y no importa el orden con el cualse multipliquen, cuando se colocan como matrices debe respetarse la “concatenacion interna de ındices”.Esto es cuando querramos expresar T km como una matriz, donde el ındice contravariante k indica filas y elındice covariante m las columnas, fijamos primero estos ındices y luego respetamos la “concatenacion ındices”covariantes con los contravariantes. Esta es la convencion para expresar la multiplicacion de matrices en lanotacion de ındices2. Esto es

T km =∂ xk

∂ xi∂ xj

∂ xmT ij =⇒ T km =

∂ xk

∂ xiT ij

∂ xj

∂ xm

Ahora los objetos ∂ xk


∂ xm pueden ser sustitidos (en sus puestos correspondientes) por su represen-tacion matricial.

Con lo cual hemos encontrado la respresentacion matricial T km de las componentes del tensor T en labase |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 T 1

1 = 0 T 12 = −2 T 1

2 = −3

T 21 = 1 T 2

2 = 2 T 23 = 4

T 31 = 1 T 3

2 = 3 T 33 = 5

Para encontrar la expresion para Tkm recordamos que Tkm = gknT

nm es decir, requerimos las componentes

covariantes y contravariantes del tensor metrico gkn que genera esta base. Para ello recordamos que parapara una base generica, |ej〉 , no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial con producto interno,

2Quiza una forma de comprobar si los ındices esta bien concatenados se observa si se “bajan” los ındices contravariantespero se colcan de antes que los covariantes. Esto es T ij → Tij Ası la multiplicacion de matrices queda representada por

Cij = AikBkj → Cij = AikBkj y aquı es claro que ınidices consecutivos estan “concatenados” e indican multiplicacion



podemos definir la expresion de un tensor

(02

)que denominaremos tensor metrico como

g

|ei〉↓ , |ej〉↓, = gij ≡ gji =⇒ gij ≡ gji = g [|ei〉 , |ej〉] ≡ 〈ei |ej〉 ≡ 〈ej |ei〉

g

〈ei|↓• ,〈ej|↓•


Es de hacer notar que la representacion matricial para la metrica covariante gij de una base ortonormal|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 es siempre diagonalEsto es

g11 = 〈e1 |e1〉 = 〈i |i〉 = 1; g12 = 〈e1 |e2〉 = 〈i |j〉 = 0; g13 = 〈e1 |e2〉 = 〈i |j〉 = 0;

g21 = 〈e2 |e1〉 = 〈j |i〉 = 0; g22 = 〈e2 |e2〉 = 〈j |j〉 = 1n; g23 = 〈e2 |e3〉 = 〈j |k〉 = 0;

g31 = 〈e3 |e1〉 = 〈k |i〉 = 0; g32 = 〈e3 |e2〉 = 〈k |j〉 = 0; g33 = 〈e3 |e3〉 = 〈k |k〉 = 1;

con lo cual〈Tnm〉

〈Tkm〉 ≡ 〈gknTnm〉

〈Tnm〉 ≡⟨gnkTmk

⟩

=⇒

0 −2 −31 2 41 3 5

donde hemos denotado 〈•〉 como la representacion matricial del objeto

Para el caso de la base generica no ortonormal |ej〉 tenemos dos formas de calcular el tensor (lascomponentes covariantes y contravariantes) del tensor metrico. La primera es la forma directa

g11 = 〈e1 |e1〉 = 〈i |i〉 = 1; g12 = 〈e1 |e2〉 = 〈i| (|i〉+ |j〉) = 1;

g21 = 〈e2 |e1〉 = (〈i|+ 〈j|) |i〉 = 1; g22 = 〈e2 |e2〉 = (〈i|+ 〈j|) (|i〉+ |j〉) = 2

g31 = 〈e3 |e1〉 = (〈i|+ 〈j|+ 〈k|) |i〉 = 1; g32 = 〈e3 |e2〉 = (〈i|+ 〈j|+ 〈k|) (|i〉+ |j〉) = 2;

yg13 = 〈e1 |e3〉 = 〈i| (|i〉+ |j〉+ |k〉) = 1;

g23 = 〈e2 |e3〉 = (〈i|+ 〈j|) (|i〉+ |j〉+ |k〉) = 2

g33 = 〈e3 |e3〉 = (〈i|+ 〈j|+ 〈k|) (|i〉+ |j〉+ |k〉) = 3

consecuentemente

gij ≡ gji ⇐⇒

1 1 11 2 21 2 3

=⇒ gij ≡ gij = (gij)−1 ⇐⇒

2 −1 0−1 2 −10 −1 1



La otra forma de calcular la metrica correspondiente la base ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 ytransformarla a la base no ortonormal |e1〉 , |e2〉 , |e3〉 ≡ |i〉 , |i〉+ |j〉 , |i〉+ |j〉+ |k〉 esto es

gkm =∂ xi

∂ xk∂ xj

∂ xmgij =⇒ gkm =

∂ xi

∂ xkgij

∂ xj

∂ xm

La metrica para el la base ortonormal sera diagonal y ademas gii = 1gii , con lo cual

gij ⇐⇒

1 0 00 1 00 0 1

; gij ⇐⇒

1 0 00 1 00 0 1

; gij ⇐⇒

1 0 00 1 00 0 1

;

y

gkm =∂ xi

∂ xkgij

∂ xj

∂ xm;

1 0 01 1 01 1 1

1 0 00 1 00 0 1

1 1 10 1 10 0 1

=

1 1 11 2 21 2 3

notese para conservar la convencion de ındices y matrices hemos representado que hemos traspuesto la matriz

correspondiente a ∂ xi

∂ xk. La razon, como dijimos arriba es

gkm =∂ xi

∂ xkgij

∂ xj

∂ xm−→ gkm = Πik gij Πjm −→ gkm = Πki gij Πjm

Para poder representar multipicacion de matrices los ındices deben estar consecutivos, por tanto hay quetrasponer la represetacion matricial para poder multiplicarlar.

Ya estamos en capacidad de obtener las representacines matriciales para los tensores: T ji , Tij , Tij .

⟨T ji

⟩=⟨T ij

⟩T

−→

0 −2 −31 2 41 3 5

T

=

0 1 1−2 2 3−3 4 5

−→ ⟨T ji

⟩

⟨Tkm

⟩=⟨gknT

nm

⟩−→

1 1 11 2 21 2 3

0 −2 −31 2 41 3 5

=

2 3 64 8 155 11 20

−→ ⟨Tkm

⟩

⟨T kn

⟩=⟨Tnmg

mk⟩→

0 −2 −31 2 41 3 5

1 1 11 2 21 2 3

=

−5 −10 −137 13 179 17 22

→ ⟨T km

⟩


Bibliografıa









223

Capıtulo 6

Campos y Operadores Diferenciales

224


Figura 6.1: Radio vector posicion ~r (t) en <2 que describe parametricamente una curva.

6.1. Campos Tensoriales y el Concepto de Campo

Cuando avanzamos en la derivacion de vectores vimos vectores que dependıan del tiempo. Luego cuandoconstruimos sistemas de coordenadas ortogonales vimos tambien vectores que variaban en modulo direcciony sentido.

|a〉(t) = ak (t) |ek〉(t) = ak |ek〉(t) = ak (t) |ek〉

Ahora podemos generalizar este concepto a tensores que dependen de una variable escalar

T [, , · · · , ; •, •, · · · , •](t)⇓

T

|ti(1)〉↓ ,

|uj(2)〉↓, , · · · ,

|vk(m)〉↓ ;

〈xm(1)|↓• ,

〈yn(2)|↓• , · · · ,

〈zl(n)|↓•

(t)

= Tmn···lij···k (t)

Tmn···lij···k (t)⟨ti(1)

∣∣⊗ ⟨uj(2)∣∣⊗ · · · ⊗ ⟨vk(m)

∣∣⊗ |xm(1)〉 ⊗ |yn(2)〉 ⊗ · · · ⊗ |zl(n)〉

Tmn···lij···k⟨ti(1)

∣∣(t)⊗⟨uj(2)

∣∣(t)⊗ · · · ⊗

⟨vk(m)

∣∣(t)⊗ |xm(1)〉(t) ⊗ |yn(2)〉(t) ⊗ · · · ⊗ |zl(n)〉(t)

Tmn···lij···k (t)⟨ti(1)

∣∣(t)⊗⟨uj(2)

∣∣(t)⊗ · · · ⊗

⟨vk(m)

∣∣(t)⊗ |xm(1)〉(t) ⊗ |yn(2)〉(t) ⊗ · · · ⊗ |zl(n)〉(t)

al igual que los vectores, la dependencia funcional de los tensores variara con la base en la cual se exprese.Ası tendremos tensores cuyas componentes, en una determinada base, seran variables y en otra no. Mientrasque una de las bases sera variable y otra no.



Figura 6.2: Campo Vectorial en <3

Igualmente saltamos al cociente incremental para conocer la velocidad de variacion

lım∆t→0

T [, , · · · , ; •, •, · · · , •](t+∆t) − T [, , · · · , ; •, •, · · · , •](t)∆t

m

lım∆t→0

∆T [, , · · · , ; •, •, · · · , •](t)∆t

m

d(T [, , · · · , ; •, •, · · · , •](t)

)dt

si la base es constante, entonces podemos, como en el caso de los vectores, la dependencia funcional y suvariacion (su derivada) recae sobre sus componentes. Ası podemos construir la derivada de las componentescomo

lım∆t→0

Tmn···lij···k (t+ ∆t)− Tmn···lij···k (t)

∆t= lım

∆t→0

∆Tmn···lij···k (t)

∆t=

d(Tmn···lij···k (t)

)dt

Siguiendo con el proceso de generalizacion podemos pensar en una dependencia funcional multilineal.Esto es que el argumento de la “funcion” tensorial otro tensor,

T [, , · · · , ; •, •, · · · , •] = T [, , · · · , ; •, •, · · · , •]G[,,··· ,;•,•,··· ,•]

A ese objeto se le llama Campo Tensorial, pero vamos con calma. Analicemos lo casos mas simples los cualesson los verdaderamente utiles. Como era de esperarse, tendremos varios casos que se pueden construir a



partir de esta idea hemos visto funciones que ahora llamaremos campos homogeneos

ϕ = ϕ (t) funcion

|r〉(t) ⇐⇒ ~r = ~r (t) rk (t) vector

T = T [, , · · · , ; •, •, · · · , •](t) Tmn···lij···k (t) tensor

y veremos campos constantes o estacionarios ~r 6= ~r (t)

ϕ = ϕ (~r) Campo Escalar

|a〉(|r〉) ⇐⇒ ~a = ~a (~r) ak (~r) Campo Vectorial

T = T [, , · · · , ; •, •, · · · , •](|r〉) Tmn···lij···k (~r) Campo Tensorial...

...

campos variables o no estacionarios

ϕ = ϕ (~r (t) , t) Campo Escalar Variable

|a〉(|r〉) ⇐⇒ ~a = ~a (~r (t) , t) ak (~r (t) , t) Campo Vectorial

T = T [, , · · · , ; •, •, · · · , •](|r〉) Tmn···lij···k (~r (t) , t) Campo Tensorial...

...

en ambos casos hemos supuesto que la base en la cual se expresan vectores y tensores es constante.La idea de los campos escalares, vectoriales, tensoriales, con argumento vectorial, es asociar un valor de la

componente (escalar, vectorial o tensorial) a cada punto del espacio (si el vector esta en <3). Obviamente loscampos escalares asocian un numero a cada posicion y los campos vectoriales, ademas del numero (modulo)asocian una direccion y un sentido.

Los campos escalares seran las distribuciones de densidad ρ (~r (t)) , presion P (~r (t)) y temperaturaT (~r (t)) de la atmosfera terrestre o la distribucion de intensidades del campo electrico en una superficie.Ası al considerar el potencial electrico

φ (~r) = φ (x, y) = ln

(√(x+ 1)

2+ y2

)− ln

(√(x− 1)

2+ y2

)La representacion del campo escalar sera



Campo Escalar φ (~r) = φ (x, y) = ln

(√(x+ 1)

2+ y2

)− ln

(√(x− 1)

2+ y2

)y la representacion de un campo vectorial sera

Campo vectorial

6.2. Campos escalares y superficies

Campo escalar sera aquella funcion escalar de argumento vectorial. Con ello a cada punto del espacio sele asocia un numero. Esto es

φ : <n → < φ = φ (~r) ⇒ φ = φ(xi)

= φ(xi)⇔ φ = φ (x, y, z) = φ (x, y, z)

Estamos enfatizando el hecho que un campo escalar no variara bajo cambios de las coordenadas en suargumento. Adicionalmente recalcamos que es indistinto hablar de vectores o sus coordenadas φ = φ (~r) ⇔φ = φ

(xi). La Figura 6.3 ilustra un campo de temperaturas

T = T (x, y) = 70 + 180e−(x−3)2/10−(y−2)2/10

Si unimos los puntos con iguales temperaturas tendremos curvas isotermas tal y como se observan en laFigura 6.2



Figura 6.3: Ejemplo de Campo Escalar. Campo de Temperaturas T = T (x, y)

Curvas Isotermas. T = T (x, y) = cte

Un campo escalar φ = φ(x1, x2

)definira superficies si la representamos en <3 como x3 = φ

(x1, x2

)curvas de nivel o isocurvas las cuales corresponden a soluciones φ = φ

(xi)

= cte. Tal y como se ilustra en lafigura (6.4) los planos z = k = cte cortan la superficie y definen la curva g (x, y) = z = k.

En la proxima seccion describiremos una fauna de operadores vectoriales, su utilidad y significado fısico.

6.3. Campos vectoriales y lıneas de flujo

Consideremos ahora un campo vectorial ~a (~r) y estudiemos su representacion y lo que es mas importante,su variacion. Tal y como hemos dicho y volvemos a representar en la figura (6.5) los campos vectorialesasocian un vector (con su modulo direccion y sentido) a cada punto del espacio. Comunmente, nos referimosa campos vectoriales segun el caso. Ası consideraremos campos de fuerza (es decir el vector del campo es unafuerza), campo de velocidades ( el vector del campo es una velocidad). Del mismo modo a aquellas lıneas a lascuales los vectores son tangentes se les dominan lıneas de campo, curvas integrales o simplemente lıneas deflujo o de corriente. A las trayectorias ortogonales a estas lıneas, vale decir a aquellas lıneas cuyos vectorestangentes sean ortogonales al campo, se les denominaran lıneas equipotenciales. El ejemplo mas emblematicolo constituye el gradiente de un campo escalar ~∇φ (x, y). Las lıneas equipotenciales las define el campo escalar



Figura 6.4: Curvas de Nivel para una funcion z = g (x, y) = cte

mismo, φ (x, y) = z = cte (curva de nivel) y construimos un campo vectorial con su gradiente, ~∇φ (x, y) .Como el gradiente es perpendicular a la curva de nivel tendremos que las curvas integrales, ( lıneas de flujo o

lıneas de corriente) del campo vectorial ~∇φ (x, y) seran trayectorias ortogonales a las curvas equipotenciales.

6.3.1. Lıneas de flujo o curvas integrales

Supongamos el caso bidimensional1 en coordenadas cartesianas, y consideremos un desplazamiento dife-rencial d~r en la direccion del campo vectorial, es facil convencerse que

d~r ∝ ~a (x, y) = ax (x, y) ı+ ay (x, y) ⇒ dx

ax (x, y)=

dy

ay (x, y)

con lo cual encontramos las lıneas de flujo o curvas integrales y (x) del campo ~a (x, y)

dy

dx=ay (x, y)

ax (x, y)⇒ y (x) =

∫ay (x, y)

ax (x, y)dx

ası dado un campo vectorial

~a = −xı+ y ⇒ dy

dx=

y

−x⇒

∫dy

y=

∫dx

−x+ C ⇒ y (x) =

1

xC1

o lo que son lo mismo hiperbolas yx = C.Otra forma, equivalente de verlo es que

d~r ∝ ~a (x (t) , y (t) , z (t) , t) ⇒d~r × ~a (x (t) , y (t) , z (t) , t) = 0 ⇒

0 =

∥∥∥∥∥∥ı k

dx dy dzax (x (t) , y (t) , z (t) , t) ay (x (t) , y (t) , z (t) , t) az (x (t) , y (t) , z (t) , t)

∥∥∥∥∥∥1El caso tridimensional solo anade complicaciones tecnicas y no riqueza conceptual



Figura 6.5: Capt6AnalisiVectorial/Campos vectoriales

por lo cual

(az (x (t) , y (t) , z (t) , t) dy − ay (x (t) , y (t) , z (t) , t) dz) ı+

+ (ax (x (t) , y (t) , z (t) , t) dz − az (x (t) , y (t) , z (t) , t) dx) +

+ (ay (x (t) , y (t) , z (t) , t) dx− ax (x (t) , y (t) , z (t) , t) dy) k = 0

y finalmente

dx

ax (x (t) , y (t) , z (t) , t)=

dy

ay (x (t) , y (t) , z (t) , t)=

dz

az (x (t) , y (t) , z (t) , t)

la integral de estas ecuaciones construira las lıneas de flujo o curvas integrales.

6.3.2. Trayectorias ortogonales a las lıneas de flujo

Para encontrar las trayectorias ortogonales al campo vectorial o las lıneas equipotenciales construimosun campo vectorial ~a⊥ (x, y) que sea ortogonal en todo punto a ~a (x, y)

~a⊥ (x, y) · ~a (x, y) = 0 ⇒ax (x, y) a⊥x (x, y) + ay (x, y) a⊥y (x, y) = 0 ⇒ax (x, y)

ay (x, y)= −

a⊥y (x, y)

a⊥x (x, y)

⇒ ~a⊥ (x, y) = a⊥x (x, y) ı− a⊥y (x, y)

y ahora procedemos del mismo modo pero con el campo vectorial ~a⊥ (x, y, z)

dy

dx=−a⊥y (x, )

a⊥x (x, y)⇒ y (x) =

∫ −a⊥y (x, y)

a⊥x (x, y)dx

con lo cual las trayectorias ortogonales al campo

~a = −xı+ y ⇒ ~a⊥ = yı+ x ⇒ dy

dx=x

y⇒ y (x) =

√C2 + x2

seran curvas.



6.4. Flujo de Campos Vectoriales

Podemos tambien imaginar flujo de campos vectoriales. Para ello, consideramos una superficie infinitesi-

mal d~S =∥∥∥d~S

∥∥∥ ns, con ns el vector unitario normal esa superficie S. Entonces, la cantidad

df = ~a · d~S = ~a · ns dS ⇒ f =

∫∫s

~a · d~S =

∫∫s

~a · ns dS =

∫∫s

an dS

representara el flujo del campo vectorial a traves de la superficie d~S. Hemos denotado an como la componentede ~a a lo largo de ns . Hay que hacer notar que f =

∫∫s~a · d~S es independiente del sistema de coordenadas

y en cartesianas puede expresar como

df = ~a · ns dS = a1 cos(ns a1

)+ a2 cos

(ns a2

)+ a3 cos

(ns a3

)donde

a1, a2, a3

son las componentes cartesianas del vector ~a. La idea que esta cantidad representa flujo

puede tenerse si pensamos en un fluido incompresible que fluye con un campo de velocidades ~v = ~v (~r) . Elvolumen que atraviesa una determinada superficie en un intervalo de tiempo dt. Ası, dS definira la base de un

tubo de fluido y tendra como “altura” la ‖~v‖ cos( ns ~v) dt ya que la altura no tiene por que ser perpendicular

a la base2. Por lo tanto la cantidad de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo viene dada por

df =(‖~v‖ cos

( ns ~v)) dS = (~v · ns dS) =(~v · d~S

)⇒f =

∫∫s

~v · d~S =

∫∫s

~v · ns dS =

∫∫s

vn dS

6.5. La fauna de los operadores vectoriales

A partir del concepto de campo escalar, presentaremos la fauna de objetos diferenciales en el espaciotridimensional. Salvo que se diga lo contrario, utilizaremos el sistema de coordenadas cartesianas, vale decir(

q1, q2, q3)⇐⇒ (x, y, z)

|r〉 = x |i〉+ y |j〉+ z |k〉 = r = xı+ y+ zk

hx =

∥∥∥∥∂ |r〉∂ x

∥∥∥∥ = 1; hy =

∥∥∥∥∂ |r〉∂ y

∥∥∥∥ = 1;hz =

∥∥∥∥∂ |r〉∂ z

∥∥∥∥ = 1

r = r (x, y, z) =⇒ dr =

(∂ r

∂ x

)dx+

(∂ r

∂ y

)dy +

(∂ r

∂ z

)dz = dx |i〉+ dy |j〉+ dz |k〉

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 ⇐⇒ g11 = gxx = 1; g22 = gyy = 1; g22 = gzz = 1

2Si lo es cos(n ~v) = 1 porque la velocidad es paralela a la normal



6.5.1. Derivada direccional, diferencial total y gradiente

Derivada direccional de Campos escalares

Para analizar los cambios en los campos escalares requerimos comparar dos “instantes de tiempo” paraello, parametrizamos las componentes del vector tendremos que

z = φ (~r (t)) = g (x (t) , y (t)) ⇒

d φ (x (t) , y (t))

d t=∂ φ (x (t) , y (t))

∂x

d x (t)

d t+∂ φ (x (t) , y (t))

∂y

d y (t)

d t= ~∇φ (x (t) , y (t)) · d ~r (t)

d t

donde hemos representado

~∇φ (x (t) , y (t)) =∂ φ (x, y)

∂xı+

∂ φ (x, y)

∂y = φx (x, y) ı+ φy (x, y) = ∂iφ (x, y) |ei〉 = φ,i (x, y) |ei〉

y lo llamaremos el gradiente de la funcion. El gradiente de un campo escalar es uno de los objetos masutiles, el cual lo hemos utilizado de manera operacional y no nos hemos detenido a reflexionar sobre suspropiedades.

Es claro que para una curva de nivel

g (x, y) = z = φ (~r (t)) = k = cte ⇒ d φ (x (t) , y (t))

d t=

d k

d t= 0 ⇒

d φ (x (t) , y (t))

d t= 0 = ~∇φ (x (t) , y (t)) · d ~r (t)

d t

con lo cual dado que d ~r(t)d t es la tangente a la curva, el gradiente es perpendicular a la curva tal y como

muestra la figura (6.5.1).La derivada direccional indicara la tasa de cambio del campo escalar en la direccion que apuntemos.

Derivada Direccional

En una generalizacion de la idea que surge de parametizacion de la curva o de la derivada total respectoal tiempo

d φ

d t= ~∇φ (x (t) , y (t)) · d ~r (t)

d t



Ası es claro que, dados dos puntos M y M ′ en el campo se puedes relacionar sera. Definiremos, entonces la

derivada en la direccion de un vector unitario |u〉 ↔−−−→M ′M como

D|u〉φ = ~∇φ (x, y) · u =d φ

d λ= lımM ′→M

φ (M ′)− φ (M)[−−−→M ′M

]Tal y como se puede apreciar en la figura (??) la derivada direccional representa la pendiente de la rectatangente a la curva que surge como interseccion entre la superficie φ (x, y) = z = k = cte y el plano verticalformado por el eje z y el vector unitario u.Si se da el caso que la funcion φ de penda de manera explıcita delparametro tendremos que

φ = φ (x (t) , y (t) , t) ⇒ d φ

d t=∂φ (x (t) , y (t) , t)

∂t+ ~∇φ (x (t) , y (t) , t) · d ~r (t)

d t

Direccion de maxima variacion en una funcion

En este punto, varias conclusiones se pueden derivar del concepto de derivada total. La primera es quedado que, la norma de la derivada direccional a lo largo de |u〉 es

∥∥D|u〉φ∥∥ =∥∥∥~∇φ (x, y) · u

∥∥∥ =∣∣∣~∇φ (x, y)

∣∣∣ cos(

~∇φ (x, y) , u)

(donde hemos denotado por~∇φ (x, y) u como el angulo que forman los vectores ~∇φ (x, y) y u), el valor

maximo del la norma de la derivada direccional sera

∥∥D|u〉φ∥∥max=∣∣∣~∇φ (x, y)

∣∣∣ =√∂iφ∂iφ ≡

√∂φ

∂xi

∂φ

∂xi≡

√(∂φ

∂x1

)2

+

(∂φ

∂x2

)2

+

(∂φ

∂x3

)2

es decir, cuando u apunta en la direccion del gradiente, o lo que es lo mismo, direccion de la mayor tasade cambio la indica la direccion del gradiente. O dicho de otro modo, en un determinado punto M de lassuperficie φ (x, y) = z el vector ~∇φ apunta en la direccion de la maxima tasa de cambio, tal y como podemosapreciar en la figura (6.5.1).



Gradiente y Tangente de una funcion

La segunda conclusion es dado que el gradiente es ortogonal a la superficie, los vectores perpendicularesa el conformaran el planto tangente a la superficie en un determinado punto.

Gradiente y flujo de un campo vectorial

Podemos utilizar la idea de flujo de un campo vectorial y generalizar la definicion de gradiente para quesea independiente de coordenadas.

∇φ = gradφ = lımV→0

1

V

∫∫s

φ (x, y, z) d~S = lımV→0

1

V

∫∫s

φ (x, y, z) ns dS

Esto es, supongamos que construimos un campo vectorial de la forma siguiente

~a (x, y, z) = ~c φ (x, y, z) con ~c = cte

con lo cual

f =

∫∫s

~c φ (x, y, z) · d~S =

∫∫s

~c φ (x, y, z) · ns dS

Es claro que esta expresion vale para todos los sistemas de coordenadas. En particular, para un sistema decoordenadas cartesianas construimos un cubo diferencial con aristas que coincidan con los ejes coordenados.Entonces se tiene que las caras del cubo seran con

d~Sx+ = (dy dz)dx ı; d~Sx− = − (dy dz) ı

d~Sy+ = (dx dz)dy ; d~Sy− = − (dx dz)dy

d~Sz+ = (dx dy)dy k; d~Sz− = − (dx dy)dy k



con lo cual el flujo por las seis caras sera

df = ~c φ (x, y, z) · d~Sx+ + ~c φ (x, y, z) · d~Sx− + ~c φ (x, y, z) · d~Sy+

+ ~c φ (x, y, z) · d~Sy− + ~c φ (x, y, z) · d~Sz+ + ~c φ (x, y, z) · d~Sz−

= ~c (φ (x+ dx, y, z) dy dz − φ (x, y, z) dy dz + φ (x, y + dy, z) dx dz − φ (x, y, z) dx dz

+φ (x, y, z + dz) dx dy − φ (x, y, z) dx dy)

= ~c ((φ (x+ dx, y, z)− φ (x, y, z)) dy dz + (φ (x, y + dy, z)− φ (x, y, z)) dx dz+

+ (φ (x, y, z + dz)− φ (x, y, z)) dx dy)

Desarrollando por Taylor hasta primer orden porque estamos considerando un “cubo diferencial” tendremosque

φ (x+ dx, y, z) ≈ φ (x, y, z) +∂ φ (x, y, z)

∂xdx

φ (x, y + dy, z) ≈ φ (x, y, z) +∂ φ (x, y, z)

∂ydy

φ (x, y, z + dz) ≈ φ (x, y, z) +∂ φ (x, y, z)

∂zdz

con lo cual

df =∂ φ (x, y, z)

∂xdx dy dz +

∂ φ (x, y, z)

∂ydy dx dz +

∂ φ (x, y, z)

∂zdz dx dy

df =

(∂ φ (x, y, z)

∂x+∂ φ (x, y, z)

∂y+∂ φ (x, y, z)

∂z

)dV → df =

(∇φ)

dV

∇φ =df

dV= lım

∆V→0

f2 − f1

V2 − V1= lımV→0

1

V

∫∫s


1

V

∫∫s

φ (x, y, z) n dS

notese que hemos supuesto que ∆V ≡ V2 ≡ V y que f2 =∫∫sφ (x, y, z) d~S Que quiere decir que tanto V1 ∼ 0

y con lo cual el flujo a traves de un punto se anula, f1 ∼ 0.

Gradiente y coordenadas curvilıneas

La generalizacion de la expresion del gradiente en coordenadas curvilıneas es inmediata a partir dediferencial total de una funcion φ

(q1, q2, q3

). Esto es

φ(q1, q2, q3

)= φ

(qj)⇒ d φ =

∂ φ (x, y, z)

∂ qjd qj = ~∇φ

(q1, q2, q3

)· d ~r



con

~∇φ(q1, q2, q3

)=

1∥∥∥∂ |r〉∂ q1

∥∥∥ ∂ φ∂ q1〈e1|+

1∥∥∥∂ |r〉∂ q2

∥∥∥ ∂ φ∂ q2〈e2|+

1∥∥∥∂ |r〉∂ q3

∥∥∥ ∂ φ∂ q3〈e3|

y

d ~r =

(∂ r

∂ q1dq1 +

∂ r

∂ q2dq2 +

∂ r

∂ q3dq3

)⇒

d ~r =

(∥∥∥∥∂ |r〉∂ q1

∥∥∥∥ |e1〉 dq1 +

∥∥∥∥∂ |r〉∂ q2

∥∥∥∥ |e2〉 dq2 +

∥∥∥∥∂ |r〉∂ q3

∥∥∥∥ |e3〉 dq3

)ya que

|e1〉 =1∥∥∥∂ |r〉∂ q1

∥∥∥ ∂ |r〉∂ q1; |e2〉 =

1∥∥∥∂ |r〉∂ q2

∥∥∥ ∂ |r〉∂ q2; |e3〉 =

1∥∥∥∂ |r〉∂ q3

∥∥∥ ∂ |r〉∂ q3;

Es decir la forma general del gradiente para un sistema de coordenadas curvilıneas es

∇φ = gradφ =1

h1

∂ φ

∂ x1|e1〉+

1

h2

∂ φ

∂ x2|e2〉+

1

h3

∂ φ

∂ x3|e3〉

Donde denotamos hi =∥∥∥∂ |r〉∂ qi

∥∥∥ =√gii el factor de escala que acompana a la base |ei〉

6.5.2. Divergencia y flujo en campos vectoriales

Viendo con un poco mas de cuidado la expresion para el gradiente tenemos

∇ (φ) = grad (φ) =

(|e1〉h1

∂

∂ x1+|e2〉h2

∂

∂ x2|e2〉+

|e3〉h3

∂

∂ x3

)φ =

|ei〉(h)i

∂

∂ xiφ

Donde hemos indicado por (h)i al factor de escala y no implica suma. La suma esta indicada entre lascomponentes ∂

∂ xi ≡ ∂i y los elementos de la base |ei〉 . Con esta inspiracion podemos construir un operadorvectorial

∇ ≡(

〈e1|H (h1, h2, h3)

∂

∂ x1+

〈e2|F (h1, h2, h3)

∂

∂ x2+

〈e3|G (h1, h2, h3)

∂

∂ x3

)con lo cual, si cuidamos el orden de operacion, podremos realizar un “producto escalar entre dos vectores”

∇ · a ≡(〈e1|

H (h1, h2, h3)

∂

∂ x1+

〈e2|F (h1, h2, h3)

∂

∂ x2+

〈e3|G (h1, h2, h3)

∂

∂ x3

)(a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a2 |e3〉

)

∇ · a ≡ 〈e1|H (h1, h2, h3)

∂(a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a2 |e3〉

)∂ x1

+

+〈e2|

F (h1, h2, h3)

∂(a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a2 |e3〉

)∂ x2

+〈e3|

G (h1, h2, h3)

∂(a1 |e1〉+ a2 |e2〉+ a2 |e3〉

)∂ x3



y hay que tener cuidado con la posible variacion de los vectores base. Consideremos en caso de coordenadascartesianas,

(x1, x2, x3

)→ (x, y, z) , donde la base |ei〉 ≡ |i〉 , |j〉 , |k〉 es constante. Entonces tendremos

de forma inmediata

∇ · ~a =∂ai

(xj)

∂ xi≡∂iai

(xj)≡∂ax (x, y, z)

∂ x+∂ay (x, y, z)

∂ y+∂az (x, y, z)

∂ z

Divergencia como medida de flujo

El significado fısico de la divergencia puede comprenderse si consideramos la definicion, independientedel sistema de coordenada

div [~a]≡ ∇ · ~a =df

dV= lımV→0

1

V

∫∫s

~a · d~S ≡ lımV→0

1

V

∫∫s

~a · ns dS = lımV→0

1

V

∫∫s

an dS

Es decir el flujo por unidad de volumen. Otra vez, para un sistema de coordenadas cartesianas construimosun cubo diferencial con aristas que coincidan con los ejes coordenados. Entonces se tiene que las caras delcubo seran con

d~Sx+ = (dy dz)dx ı; d~Sx− = − (dy dz) ı

d~Sy+ = (dx dz)dy ; d~Sy− = − (dx dz)

d~Sz+ = (dx dy)dy k; d~Sz− = − (dx dy) k

el flujo por las seis caras sera

df = ~a · d~Sx+ + ~a · d~Sx− + ~a · d~Sy+ + ~a · d~Sy− + ~a · d~Sz+ + ~a · d~Sz−

con lo cual

df = ax (x+ dx, y, z) dy dz − ax (x, y, z) dy dz+

+ ay (x, y + dy, z) dx dz − ay (x, y, z) dx dz+

+ az (x, y, z + dz) dx dy − az (x, y, z) dx dy

df = (ax (x+ dx, y, z)− ax (x, y, z)) dy dz + (ay (x, y + dy, z)− ay (x, y, z)) dx dz+

+ (az (x, y, z + dz)− az (x, y, z)) dx dy

desarrollando por Taylor otra vez, tendremos

ax (x+ dx, y, z) ≈ ax (x, y, z) +∂ ax (x, y, z)

∂xdx

ay (x, y + dy, z) ≈ ay (x, y, z) +∂ ay (x, y, z)

∂ydy

az (x, y, z + dz) ≈ az (x, y, z) +∂ az (x, y, z)

∂zdz



obtendremos

df =∂ ax (x, y, z)

∂xdx dy dz +

∂ ay (x, y, z)

∂ydy dx dz +

∂ az (x, y, z)

∂zdz dx dy

df = ~a · d~S =

(∂ ax (x, y, z)

∂x+∂ ay (x, y, z)

∂y+∂ az (x, y, z)

∂z

)dV

Consecuentemente

f =

∫∫S

~a · d~S =

∫∫∫V

(∂ ax (x, y, z)

∂x+∂ ay (x, y, z)

∂y+∂ az (x, y, z)

∂z

)dV ≡

∫∫∫V

(∇ · ~a

)dV

La primera conclusion es que podemos convertir una integral de superficie cerrada de un campo vectorial,en una integral de volumen encerrada por esa misma superficie. Lo hemos demostrado para el caso decoordenadas cartesianas, pero como el flujo f =

∫∫S~a ·d~S es un escalar, esta afirmacion vale para cualquier

sistema de coordenadas. Esto se conoce como el Teorema de la Divergencia el cual veremos mas adelante(ver seccion 6.7.1 en la pagina 254). A partir de este teorema tenemos que si la divergencia de un campovectorial en positiva lo interpretaremos como flujo hacia afuera (saliente) del volumen V encerrado por lasuperficie, S, y si la divergencia del campo es negativa esa tendremos flujo entrante. Como ilustracion puedever el ejemplo de la pagina 241.

Divergencia y coordenadas curvilıneas

Para encontrar la expresion para la divergencia en coordenadas curvilıneas generalizadas partimos de ladefinicion invariante de sistema de coordenadas

div [~a]≡ ∇ · ~a = lımV→0

1

V

∫∫s


1

V

∫∫s


1

V

∫∫s

an dS

y al igual que procedimos en coordenadas cartesianas, ahora consideraremos un “paralelepıpedo curvilıneo”con tres de sus aristas alineadas con el sistema ortogonal curvilıneo. Las caras de este “paralelepıpedocurvilıneo podran ser representadas como Entonces se tiene que las caras del cubo seran con

d~Sq1+ =(ds→q2 ds→q3

)dq1 |e1〉 ; d~Sq1− = −

(ds→q2 ds→q3

)|e1〉


)dq2 |e2〉 ; d~Sq2− = −

(ds→q3 ds→q1

)|e2〉


)dq3 |e3〉 ; d~Sq3− = −

(ds→q1 ds→q2

)|e3〉 ;

donde denotamos ds→i el arco de curva a lo largo de la coordenadas curvilıneas generalizada qi. Los parentesis(·)dqi indican que esta superficie es evaluada en qi + dqi Adicionalmente, es de hacer notar que

(ds→i) =√giidq

i = hidqi donde los ındices repetidos NO indican suma

Ahora bien, dado que |a〉 ≡ ~a = aj |ej〉 el flujo por las seis caras sera

df = ~a · d~Sq1+ + ~a · d~Sq1− + ~a · d~Sq2+ + ~a · d~Sq2− + ~a · d~Sq3+ + ~a · d~Sq3−



continuando el paralelo, pero con mucho mas cuidado. Para comenzar vemos que ES el flujo del campovectorial lo que esta siendo evaluado en dos puntos distintos. A lo largo de q1 vemos que

~a · d~Sq1− =(a1(q1, q2, q3

)h2h3

)dq2dq3

~a · d~Sq2− =(a2(q1, q2, q3

)h3h1

)dq3dq1

~a · d~Sq3− =(a3(q1, q2, q3

)h1h2

)dq1dq2

con lo cual es el flujo lo que debemos desarrollar por Taylor.

a1(q1 + dq1, q2, q3

)h2h3 =

(a1(q1, q2, q3

)h2h3 +

∂(a1(q1, q2, q3

)h2h3

)∂q1

dq1

)

a2(q1, q2 + dq2, q3

)h3h1 =

(a2(q1, q2, q3

)h3h1 +

∂(a2(q1, q2, q3

)h3h1

)∂q2

dq2

)

a3(q1 + dq1, q2, q3

)h1h2 =

(a3(q1, q2, q3

)h1h2 +

∂(a3(q1, q2, q3

)h1h2

)∂q3

dq3

)

Notese que el caso cartesiano no se hizo explıcito este echo por cuanto h3 = h2 = h1 = cte = 1. Entonces elflujo por las el caso de coordenadas curvilıneas sera

df =∂(a1(q1, q2, q3

)h2h3

)∂q1

dq1dq2dq3 +∂(a2(q1, q2, q3

)h3h1

)∂q2

dq2dq3dq1+

+∂(a3(q1, q2, q3

)h1h2

)∂q3

dq3dq1dq2

si recordamos que

dV = (ds→1) (ds→2) (ds→3) =√g11 dq1

√g22 dq2

√g33 dq3 = h1h2h3 dq1dq2dq3

donde denotamos ds→i el arco de curva a lo largo de la coordenadas curvilıneas generalizada qi. Tendremosque

df

dV=

1

h1h2h3

(∂(a1(q1, q2, q3

)h2h3

)∂q1

+∂(a2(q1, q2, q3

)h3h1

)∂q2

+∂(a3(q1, q2, q3

)h1h2

)∂q3

)

con lo cual identificamos la forma generica de la divergencia en coordenadas curvilıneas

div [~a]≡ ∇ · ~a =1

h1h2h3

(∂(a1(q1, q2, q3

)h2h3

)∂q1

+∂(a2(q1, q2, q3

)h3h1

)∂q2

+∂(a3(q1, q2, q3

)h1h2

)∂q3

)



Un par de ejemplos

La ecuacion de continuidad El primero de los ejemplos que consideraremos es la ecuacion de continuidad.Consideremos una superficie cerrada S que encierra un volumen V. Esta superficie esta inmersa en un fluido,de densidad ρ (~r, t) que fluye con un campo de velocidades ~v (~r, t) . Supondremos ademas que el volumen Vque encierra la superficie S no cambia de posicion, con lo cual, la variacion de masa del fluido contenido eneste volumen es

∂

∂t

(∫∫∫V

ρ (~r, t) dV

)=

∫∫∫V

∂ρ (~r, t)

∂tdV

Entonces la variacion de la cantidad de fluido encerrada por la superficie S sera igual a la cantidad de fluidoque escapa (o ingresa) a traves de esa superficie. Esto es∫∫∫

V

∂ρ (~r, t)

∂tdV = −

∫∫s

ρ (~r, t) ~v (~r, t) · ns dS = −∫∫∫

V

~∇ · (~v (~r, t) ρ (~r, t)) dV

con lo cual∫∫∫V

(∂ρ (~r, t)

∂t+ ~∇ · (~v (~r, t) ρ (~r, t))

)dV = 0 ⇔ ∂ρ (~r, t)

∂t+ ~∇ · (~v (~r, t) ρ (~r, t)) = 0

y esta ultima representa la ecuacion de continuidad en dinamica de fluidos.

Fuentes y sumideros El segundo ejemplo es un calculo explıcito el cual ilustra la interpretacion de ladivergencia como medida de flujo de un campo vectorial. Consideremos un campo vectorial de la forma

~a (~r) = q~r

r3≡ q

r2ur ⇒

~∇ · ~a =1

hrhθhϕ

(∂ (ar (r, θ, ϕ)hθhϕ)

∂r+∂ (aθ (r, θ, ϕ)hϕhr)

∂θ+∂ (aϕ (r, θ, ϕ)hrhθ)

∂ϕ

)

~∇ · ~a =1

r2 sen θ

(∂(qr2 r

2 sen θ)

∂r

)= 0

ya que en coordenadas esfericas, hr = 1, hθ = r, hϕ = r sen θ.Notese que el origen del sistema coordenado (el punto r = 0) no esta definido porque no lo estaba en

el campo vectorial original ~a (~r) = qr2 ur. Con lo cual, se tiene que si la superficie S no encierra a r = 0,

entonces el flujo a traves de esa superficie sera nulo

f =

∫∫S

~a · d~S =

∫∫∫V

(∇ · ~a

)dV = 0

Es decir, todo lo que entra sale. Sin embargo, si el volumen contiene al origen de coordenadas no podemosdecir nada por cuanto hay una indeterminacion en la expresion de la divergencia.

Consideremos con mas cuidado este caso de la aplicacion del Teorema de la Divergencia, en el cual lasuperficie S contenga el origen de coordenadas. Es claro que el volumen contenido entre dos esferas dedistintos radio r < r, centradas en el origen y con superficies S y S respectivamente no contiene al origen ypor lo tanto el flujo sera nulo

f =

∫∫∫V

(∇ · ~a

)dV = 0 =

∫∫s

~a · ns dS +

∫∫s

~a · ns dS



Pero el campo vectorial sobre la superficie S de la esfera de radio r es

~a =q

r2ur, y ns ≡ −ur, con lo cual

∫∫s

~a · ns dS =

∫∫s

q

r2ur · (−ur) dS = −

∫∫s

q

r2ds→θ ds→ϕ

es decir, ∫∫s

~a · ns dS =

∫∫s

q

r2ds→θ ds→ϕ =

∫∫s

q

r2r2 sen θ dθ dϕ = q

∫ π

0

sen θ dθ

∫ 2π

0

dϕ = 4πq

ya que dS = hθdθ hϕdϕ ≡ rdθ r sen θdϕ. Con lo cual, tenemos que el flujo de un campo singular en unpunto (el origen de coordenadas), ~a (~r) = q

r2 ur, a traves de una superficie de que encierra ese punto singular,no es nulo y es igual a 4πq. El campo vectorial ~a (~r) , se denominara campo de una partıcula fuente si q > 0y campo de un sumidero si q < 0

6.5.3. Rotores, lıneas de torbellino y Circulacion

Del mismo modo como hemos venido procediendo, haremos otra operacion vectorial con el operadornabla ∇ Tendremos entonces el rotor o rotacional actuando u operando sobre un campo vectorial ∇×~a. Encoordenadas cartesianas podremos expresar esta operacion como

∇×~a = εijk∂jak |ei〉 ≡ εijk∂ak∂xj|ei〉 = (∂2a3 − ∂3a2) |e1〉+ (∂3a1 − ∂1a3) |e2〉+ (∂1a2 − ∂2a1) |e3〉

∇×~a = (∂yaz − ∂zay) ı+ (∂zax − ∂xaz) + (∂xay − ∂yax) k ≡

∣∣∣∣∣∣ı k∂x ∂y ∂zax ay az

∣∣∣∣∣∣El rotor de un campo vectorial genera otro campo (pseudo)vectorial llamado campo rotor del campo vectorial.Por razones que seran evidentes enseguida, las curvas integrales de este campo rotor se denominan lıneas detorbellino.

Lıneas de torbellino

Consideremos el siguiente campo vectorial en coordenadas cilındricas para z ≥ 0

~a = z uϕ = z (− senϕ ı+ cosϕ ) =−z y√x2 + y2

ı+z x√x2 + y2

con lo cual el campo rotor del campo vectorial ~a sera

~b = ∇ × ~a (x, y, z) = ∇×

(−z y√x2 + y2

ı+z x√x2 + y2

)=

∣∣∣∣∣∣∣ı k∂x ∂y ∂z−z y√x2+y2

z x√x2+y2

0

∣∣∣∣∣∣∣ ⇒

~b = ∇ × ~a (x, y, z) =−x√x2 + y2

ı− y√x2 + y2

+z√

x2 + y2k



Figura 6.6: Rotores de un campo vectorial, lıneas de torbellino

es claro que el campo vectorial y su campo rotor son ortogonales(−z y√x2 + y2

ı+z x√x2 + y2

)·

(−x√x2 + y2

ı− y√x2 + y2

+z√

x2 + y2k

)= 0

Tal y como se detallo en la Seccion 6.3 de la pagina 229 las lıneas de flujo se construyen a partir de unvector diferencial paralelo a campo vectorial en cada punto. Esto es si

~b = ~∇× ~a (x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣ı k∂x ∂y ∂zax ay az

∣∣∣∣∣∣ = (∂yaz − ∂zay) ı+ (∂zax − ∂xaz) + (∂xay − ∂yax) k

tendremos que

d~r ∝ ~b = ~∇× ~a (x, y, z)

⇓dx

bx (x, y, z)=

dy

by (x, y.z)=

dz

bz (x, y.z)= dλ

⇓dx

(∂yaz − ∂zay)=

dy

(∂zax − ∂xaz)=

dz

(∂xay − ∂yax)= dλ

donde hemos parametrizado la curva con λ.por lo tanto

dx

(∂yaz − ∂zay)=

dy

(∂zax − ∂xaz)=

dz

(∂xay − ∂yax)= dλ

√x2 + y2dx

−x=

√x2 + y2dy

−y=

√x2 + y2dz

z= dλ



las dos primeras ecuaciones proveen

dy

dx=y

x⇒ y (x) = xC1 ⇒

dxdλ = −x√

x2+y2= C1 ⇒ x (λ) = λC1

dydλ = −y√

x2+y2= C2 ⇒ y (λ) = λC2

con

C1 = cte; C1 = − 1√1 + (C1)

2= cte; C2 = − C1√

1 + (C1)2

= C1C1 = cte

finalmente √x2 + y2dz

z= dλ ⇒ dz

dλ=

z√x2 + y2

=z

x

√1 + (C1)

2=

z

λC1

√1 + (C1)

2=

z

−λ

con lo cualdz

dλ=

z

−λ⇒ z (λ) =

1

λC3

Lıneas de campo ortogonales a superficies

Hemos visto como la condicion d~r ∝ ~b = ~∇× ~a (x, y, z) encuentra lıneas (de torbellino) perpendicularesal campo ~a (x, y, z) . Uno tambien puede plantearse encontrar el conjunto de superficies para las cuales laslıneas de flujo del campo vectorial, ~a (x, y, z) , sean perpendiculares. Para ello suponemos que existen estassuperficies y que se representan, matematicamente, como un funcion ϕ = ϕ (x, y, z) . Por lo tanto

~∇ϕ ∝ ~a (x, y, z)⇒ ~∇× (γ (x, y, z)~a (x, y, z)) = ~∇γ (x, y, z)× ~a (x, y, z) + γ (x, y, z) ~∇× ~a (x, y, z) = 0

es decir ~∇ϕ es proporcional al campo ~a (x, y, z) y al aplicar el rotor a ambos miembros se anula. Mas aun,al proyectar sobre el mismo vector ~a la ecuacion de la derecha nos queda

~a (x, y, z) ·[~∇γ (x, y, z)× ~a (x, y, z)

]+ ~a (x, y, z) ·

[γ (x, y, z) ~∇× ~a (x, y, z)

]= 0

ambos sumandos se anula por definicion de producto vectorial, pero el segundo sumando

~a (x, y, z) ·[~∇× ~a (x, y, z)

]= 0

impone una condicion sobre el campo independiente de la funcion de proporcionalidad.Por lo tanto, la condicion necesaria y suficiente para que las lıneas de flujo de un campo vectorial ~a (x, y, z)

sean perpendiculares a un conjunto de superficies ϕ = ϕ (x, y, z) es

~a (x, y, z) ·[~∇× ~a (x, y, z)

]= 0

Circulacion de un campo vectorial

La idea (y el nombre de rotor) surge de la idea de rotacion (¿ circulacion ? ) que este operador descubreal ser “aplicado” a un campo vectorial. Como se muestra en la Figura 6.7, la idea intuitiva es colocar un“detector” de rotacion inmerso en el campo. En este caso es un par de aspas e imaginamos que el campovectorial representa un campo de velocidades de un fluido. Si el fluido hace girar las aspas en sentido horario



Figura 6.7: Idea sobre el significado fısico del rotor

(tirabuzon o sacacorchos derecho hacia arriba) diremos que el campo tiene una “circulacion” positiva y el rotordel campo siempre sera positivo en esa region. Si es inversa, diremos que el campo tiene una “circulacion”negativa y el rotor tambien lo sera en esa region. Finalmente, si el par de aspas no rota, el campo tendra unacirculacion nula o no tendra circulacion y su rotor sera tambien nulo en esa region.

Para concretar esta intuicion de forma matematica, procedemos de la siguiente forma. Suponga unacircunferencia con radio r = 2, la cual viene descrita parametricamente por el radio vector

~r (t) = 2 cos t ı+ 2 sin t ⇒ d ~r = 2 (− senϕ ı+ cosϕ ) dϕ

y nos planteamos “hacer circular el campo” a lo largo de la esa trayectoria. Esto es realizar la siguienteintegral

Γ =

∮~a · d ~r =

∫ 2π

0

z (− senϕ ı+ cosϕ ) · 2 (− senϕ ı+ cosϕ ) dϕ = 4πz

El campo vectorial ~a = z (− senϕ ı+ cosϕ ) esta representado en la Figura 6.6. Hemos utilizado el sımbolo∮para denotar la integral de lınea en un circuito cerrado. Es la primera idea de integrales de campos

vectoriales que veremos con mas detalles en las seccion 6.6.1. Uno hace el producto escalar ~a · d ~r y luegointegra.

Es interesante comparar este resultado con el flujo del campo de rotores a traves de la superficie quedelimita la circunferencia de radio r = 2. Vale decir∫∫ (

~∇× ~a)· ns dS =

∫∫ (−x√x2 + y2

ı− y√x2 + y2

+z√

x2 + y2k

)· k dx dy ⇒

∫∫ (~∇× ~a

)· ns dS = z

∫∫dx dy√x2 + y2

= z

∫∫dr rdθ

r= z

∫ 2

0

dr

∫ 2π

0

dθ = 4zπ

Esta “coincidencia” no es tal, corresponde a otro Teorema Integral para campos vectoriales, el Teorema deStokes (ver seccion 6.7.2 en la pagina 260) mediante el cual se convierte una integral cerrada de lınea de uncampo vectorial en el flujo del campo de rotores. Este teorema lo estudiaremos con detalle en la seccion 6.7.2



La idea de circulacion se puede generalizar a un campo vectorial generico,

~a = ax (x, y, z) ı+ay (x, y, z) +ax (x, y, z) k

con lo cual la integral de lınea cerrada, a lo largo de una circunferencia de radio, r, en el plano x, y sera

Γ =

∮~a · d ~r =

∫ 2π

0

ax (x, y, z) ı+ay (x, y, z) +ax (x, y, z) k

· (−r senϕ ı+ r cosϕ ) dϕ

y suponiendo r 1 podemos desarrollar por Taylor las componentes del campo vectorial en al plano x, yalrededor del origen de coordenadas rx,y ∼ 0. Esto es

ax (x, y, 0) = ax|r=0 + x ∂ax∂x

∣∣r=0

+ y ∂ax∂y

∣∣∣r=0

+ · · · = ax|r=0 + r cosϕ ∂ax∂x

∣∣r=0

+ r senϕ ∂ax∂y

∣∣∣r=0

+ · · ·

ay (x, y, 0) = ay|r=0 + x∂ay∂x

∣∣∣r=0

+ y∂ay∂y

∣∣∣r=0

+ · · · = ay|r=0 + r cosϕ∂ay∂x

∣∣∣r=0

+ r senϕ∂ay∂y

∣∣∣r=0

+ · · ·

Por lo tanto, la integral de lınea nos queda como

Γ =

∮~a · d ~r =

∫ 2π

0

−[ax|r=0 + r cosϕ

∂ax∂x

∣∣∣∣r=0

+ r sinϕ∂ax∂y

∣∣∣∣r=0

]r sinϕ dϕ+

+

∫ 2π

0

[ay|r=0 + r cosϕ

∂ay∂x

∣∣∣∣r=0

+ r sinϕ∂ay∂y

∣∣∣∣r=0

]r cosϕ dϕ

con los cual

Γ =

∮~a · d ~r = πr2

∂ay∂x

∣∣∣∣r=0

− ∂ax∂y

∣∣∣∣r=0

+O

(r3)

Finalmente vemos que la componente del rotor en el origen del plano x, y es igual al lımite de la circulaciona lo largo de una curva cerrada, dividida entre el area de la superficie que encierra la curva cerrada.

∂ay∂x

∣∣∣∣r=0

− ∂ax∂y

∣∣∣∣r=0

= lımr→0

Γ

πr2

Rotores y velocidades angulares

Considere un cuerpo rıgido que gira alrededor de un eje con velocidad angular ~ω. Entonces la velocidadtangencial de un punto P, con una posicion ~r medida a un origen O situado en ese eje, siempre es

~v = ~ω × ~r = ı (ωyz − ωzy) + (ωzx− ωxz) + k (ωxy − ωyx)

y su rotor sera

~∇× ~v = (∂yvz − ∂zvy) ı+ (∂zvx − ∂xvz) + (∂xvy − ∂yvx) k ≡

∣∣∣∣∣∣ı k∂x ∂y ∂zvx vy vz

∣∣∣∣∣∣es decir, por ser un cuerpo rıgido la velocidad angular ~ω es independiente de ~r; o lo que es lo mismo, todoel cuerpo rıgido tiene la misma velocidad angular. Con ello tendremos que

∇ × ~v = εijk∂jvk |ei〉 = εijk∂jεklmωlrm |ei〉 =

(δilδ

jm − δimδ

jl

)∂j(ωlrm

)|ei〉

∇ × ~v =(δilδ

jm − δimδ

jl

)ωlδmj |ei〉 =

(3ωi − ωi

)|ei〉 = 2ωi |ei〉 = 2~ω



sin ındices hubiera sido(~∇× ~v

)x

= (∂yvz − ∂zvy) = ∂y (ωxy − ωyx)− ∂z (ωzx− ωxz) = 2ωx

(~∇× ~v

)y

= (∂zvx − ∂xvz) = ∂z (ωyz − ωzy)− ∂x (ωxy − ωyx) = 2ωy

(~∇× ~v

)z

= (∂xvy − ∂yvx) = ∂x (ωzx− ωxz)− ∂y (ωyz − ωzy) = 2ωz

Otra vez, el rotor de una campo de velocidades de un cuerpo (que rota) “detecta” su velocidad angular.

Rotores y coordenadas curvilıneas

Una vez mas recurrimos a una definicion para el rotor independiente del sistemas de coordenada

~∇× ~a = rot [~a] = lımV→0

1

V

∫∫d~S × ~a = lım

V→0

1

V

∫∫ns × ~a dS

y del mismo modo que calculamos el flujo a traves de las distintas capas de un volumen podremos (no loharemos y se lo dejaremos al lector) demostrar que

~∇× ~a = rot [~a] =1

hjhk

[εijk

∂(hkak

)∂ qj

|ei〉

]=

1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1 |e1〉 h2 |e2〉 h3 |e3〉∂∂ q1

∂∂ q2

∂∂ q3

h1a1 h2a2 h3a3

∣∣∣∣∣∣donde los ındices repetidos i, j, k indican suma; j y k no indican suma sino que replican los valores de losındices j, k.

Explıcitamente

~∇× ~a = rot [~a] =|e1〉h2h3

[∂ (h3a3)

∂ q2− ∂ (h2a2)

∂ q3

]+|e2〉h1h3

[∂ (h1a1)

∂ q3− ∂ (h3a3)

∂ q1

]+

+|e3〉h1h2

[∂ (h2a2)

∂ q1− ∂ (h1a1)

∂ q2

]

6.5.4. Formulario del Operador nabla, ~∇El operador nabla, ~∇, en las formulas anteriores actua como un operador lineal. Esto es, dadas ϕ (~r) , χ (~r) , ψ (~r)

funciones escalares de variable vectorial y ~a y ~b dos campos vectoriales cuales quiera, se puede generar elsiguiente formulario, el cual debera ser demostrado por el lector

~∇ (ϕ+ χψ) = ~∇ϕ+ ~∇ (χψ) = ~∇ϕ+ ψ~∇χ+ χ~∇ψ

~∇ ·(~a+ ϕ~b

)= ~∇ · ~a+ ϕ~∇ ·~b+ ~∇ϕ ·~b

~∇×(~a+ ϕ~b

)= ~∇× ~a+ ~∇×

(ϕ~b)

= ~∇× ~a+ ~∇ϕ×~b+ ϕ~∇×~b



y tambien si consideramos las cantidades ~a ·~b y ~a×~b tendremos

~∇(~a ·~b

)=[∂i(ajbj

)]|ei〉 =

(~∇ · ~a

)~b+

(~∇ ·~b

)~a

~∇ ·(~a×~b

)= ∂i

(εijk a

jbk)

=(εijk∂

iaj)bk +

(εijk∂

ibk)aj =

(~∇× ~a

)·~b− ~a ·

(~∇×~b

)~∇×

(~a×~b

)=(~b · ~∇

)~a−~b

(~∇ · ~a

)+ ~a

(~∇ ·~b

)−(~a · ~∇

)~b

es claro que

~a(~∇ ·~b

)6=(~b · ~∇

)~a ⇐⇒ aj

(∂ibi

)6= bi∂

iaj

por cuanto en las partes izquierda las derivadas actuan sobre las componentes de ~b, mientras que en laspartes derechas es sobre las componentes de ~a.

Otros casos importantes se presentan cuando los campos escalares y/o vectoriales son a su vez funcionesde un campo escalar. Es decir, funciones compuestas. Esto es

ψ = ψ (χ (~r)) y ~a = ~a (χ (~r)) .

En este caso, tendremos

~∇ψ (χ (~r)) =dψ

dχ~∇χ; ~∇ · ~a (χ (~r)) = ~∇χ · d ~a

dχ; ~∇× ~a (χ (~r)) =

(~∇χ)× d ~a

dχ

Para demostrar, por ejemplo, ~∇ ·~a (χ (~r)) = ~∇χ · d ~adχ , utilizamos la estrategia de Taylor y expandimos el

campo vectorial alrededor de un determinado punto, digamos ~r = ~r0 arbitrario. Esto es

~a = ~a (~r0) +d ~a

dχ

∣∣∣∣~r0

(χ (~r)− χ (~r0)) +1

2

d2 ~a

dχ2

∣∣∣∣M

(χ (~r)− χ (~r0))2

+ · · ·

aplicando la divergencia a ambos miembros queda como

~∇ · ~a = ~∇ · [~a (~r0)] + ~∇ ·

[d ~a

dχ

∣∣∣∣~r0

(χ (~r)− χ (~r0))

]+

1

2~∇ ·[

d2 ~a

dχ2

∣∣∣∣M

(χ (~r)− χ (~r0))2

]+ · · ·

con lo cual

~∇ · ~a =d ~a

dχ

∣∣∣∣~r0

· ~∇χ (~r) + (χ (~r)− χ (~r0))d2 ~a

dχ2

∣∣∣∣~r0

· ~∇χ (~r) +1

2(χ (~r)− χ (~r0))

2 d3 ~a

dχ3

∣∣∣∣~r0

· ~∇χ (~r) + · · ·

esta relacion vale para todo ~r, en particular para ~r = ~r0. Con lo cual

~∇ · ~a∣∣∣~r0

=d ~a

dχ

∣∣∣∣~r0

· ~∇χ (~r0) =⇒ ~∇ · ~a =d ~a

dχ· ~∇χ (~r)

ya que ~r0 es arbitrario, con lo cual queda demostrado.



6.5.5. Nabla dos veces y el Laplaciano

Formulario de Nabla dos veces

Considerando a Nabla, ~∇, como un operador surge la pregunta de su aplicacion repetida sobre distintosobjetos. Consideremos primero las siguientes expresiones en coordenadas cartesianas. Esto es

~∇ · ~∇φ = ~∇2φ = ∆φ = ∂i∂iφ

~∇× ~∇φ = εijk∂j∂kφ |ei〉 = 0

~∇(~∇ · ~a

)= ∂i

(∂jaj

)|ei〉 = ∂j∂iaj |ei〉

~∇×(~∇ · ~a

)= ~∇ ·

(~∇× ~a

)= 0

~∇×(~∇× ~a

)= εijk∂jεklm∂

lam |ei〉 =(δilδ

jm − δimδ

jl

)∂j∂

lam |ei〉 = ∂i∂jaj |ei〉 − ∂j∂jai |ei〉

~∇×(~∇× ~a

)= ~∇

(~∇ · ~a

)−∆~a

Laplaciano y campos escalares

Mas alla de la gimnasia de ındices para determinar la expresion de la relacion vectorial, quiza la masimportante de las aplicaciones es el Laplaciano, el cual en <3y en coordenadas cartesianas puede expresarsecomo:

~∇ · ~∇φ = ~∇2φ = ∆φ = ∂i∂iφ = ∂xxφ+ ∂yyφ+ ∂zzφ

La importancia el Laplaciano reside en que la mayor parte (casi todas) las ecuaciones de la fısica matematicason ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales) de segundo orden y el Laplaciano las genera en el espacio.Adicionalmente la solucion a la ecuacion armonica

∆φ = ∂i∂iφ = ∂xxφ+ ∂yyφ+ ∂zzφ = 0

es de importancias en varias areas de la fısica.Se puede demostrar facilmente que el Laplaciano cumple con

∆ (φ+ Cψ) = ∆φ+ C∆ψ; ∆ (φψ) = φ∆ψ + ψ∆φ+ 2~∇ψ · ~∇φ

considerando las expresiones para el gradiente y la divergencia en coordenadas curvilıneas

∇φ =1

h1

∂ φ

∂ q1|e1〉+

1

h2

∂ φ

∂ q2|e2〉+

1

h3

∂ φ

∂ q3|e3〉

y

∇ · ~a =1

h1h2h3

(∂(a1(q1, q2, q3

)h2h3

)∂q1

+∂(a2(q1, q2, q3

)h3h1

)∂q2

+∂(a3(q1, q2, q3

)h1h2

)∂q3

)respectivamente, es facil llegar a la expresion para el Laplaciano en coordenadas curvilıneas

∇2φ ≡ ∆φ =1

h1h2h3

∂

∂ q1

(h2h3

h1

∂ φ

∂ q1

)+

∂

∂ q2

(h1h3

h2

∂ φ

∂ q2

)+

∂

∂ q3

(h2h1

h3

∂ φ

∂ q3

)



Laplaciano y campos vectoriales

Inspirado en la forma que toma un campo vectorial en coordenadas cartesianas, definiremos el Laplacianode un campo vectorial como la relacion

∆ ~a = ∇(∇ · ~a

)− ∇×

(∇×~a

)Desarrollando esta expresion en coordenadas cartesianas tendremos que

∆ ~a =[∂i(∂jaj

)−(∂i∂ja

j − ∂j∂jai)]|ei〉 =⇒ ∆ ~a =

(∂j∂

jai)|ei〉 ≡

(∆ai

)|ei〉

Es decir, que el Laplaciano de un campo vectorial, expresado en coordenadas cartesianas, es igual alvector cuyas componentes son los Laplacianos de las componentes del campo original. Es importante resaltarque la expresion ∆ ~a =

(∆ai

)|ei〉 se cumple unicamente en coordenadas cartesianas pero la definicion que

hemos propuesto, ∆ ~a = ∇(∇ · ~a

)− ∇×

(∇×~a

), es una ecuacion vectorial y es, por lo tanto, valida en

cualquier sistema de coordenadas.El Laplaciano de campos vectoriales no lleva construir un formulario de relaciones facilmente demostrables

∆(∇φ)

= ∇ (∆φ) ; ∇ · (∆ ~a) = ∆(∇ · ~a

); ∇× (∆ ~a) = ∆

(∇×~a

)6.5.6. Derivadas Direccionales de Campos Vectoriales

El concepto

Formalmente y como siempre la misma idea de derivada como cociente incremental. Dados dos puntosP1 y P2 y un vector u que los une (va de P1 → P2), entonces por definicion

D|u〉 |a〉 ≡d ~a

du= lımP2→P1

~a (P2)− ~a (P1)

P2 − P1=⇒

(d ~a

du

)i=

(d ai

du

)= lımP2→P1

ai (P2)− ai (P1)

P2 − P1

por consiguiente, si ~a,tiene por componentes cartesianas (en general cualquier sistema de coordenadas orto-

gonales) (ax, ay, az) las componentes del vector derivado seran(

d axdu ,

d aydu , d az

du

). De modo que inspirados

en la derivada direccional de un campo escalar que presentamos en la seccion 6.5.1, podemos construir laexpresion para la derivada direccional de cada una de las componentes del vector d ~a

du . Esto es

d ϕ

du= D|u〉φ = ~∇φ · u = ui∂iϕ =⇒ d ai

du= u · ~∇ai = uj∂ja

i =⇒ D|u〉 |a〉 ≡d ~a

du=(u · ~∇

)~a

Otra vez, en coordenadas cartesianas se tiene que

D|u〉~a =(u · ~∇

)~a =

(ui∂ia

j)|ej〉 =⇒ D|u〉 () ≡

d ()du

=(u · ~∇

)() ≡ ui∂i ()

Un ejemplo: el campo de aceleraciones de un fluido

El ejemplo mas estandar es la descripcion del campo de aceleraciones de un fluido en movimiento. Elcampo de aceleraciones de un fluido, como de costumbre, es la variacion del campo de velocidades respectoal tiempo. Esto es ~a = d ~v

dt . Para escribir la expresion de este campo de aceleraciones, supongamos que unfluido se mueve y registra un campo de velocidades ~v = ~v (~r, t) el cual, en general, sera inhomogeneo y noestacionario. Identificamos una porcion del fluido (partıcula) cualquiera y observamos que en un intervalo



Figura 6.8: Contribuciones a la variacion de la velocidad en un fluido

de tiempo dt esa porcion identificada se mueve de P1 → P2 y registra un incremento en su velocidad de ~ven P1 a ~v + d~v en P2 :

~v (P1) ≡ ~v (~r, t) y ~v (P2) ≡ ~v (~r + d~r, t+ dt)

Tal y como ejemplificamos en la Figura 6.8, este incremento proviene de dos contribuciones. Una, llamadalocal, debido a el cambio en la variable temporal y otra, por la comparacion del vector velocidad, ~v, en dosposiciones (traslacion espacial o contribucion convectiva).

d ~vt =∂~v

∂tdt y d ~v~u =

d ~v

dudu

Visto de otro modo un poco mas informal, dado que el campo es funcion de dos variables y una de ellasvectorial

~v = ~v (~r, t) ⇒ ~a =d ~v

dt=

d ~v

dr+∂~v

∂t

De la discusion anterior es claro que d ~vdu es la derivada direccional del campo de velocidades a lo largo

del vector unitario u que apunta P1 → P2 Ahora bien, para este caso tenemos que:

du = ‖d ~r‖ , du = ‖~v‖ dt y u =~v

‖~v‖

con lo cual la derivada direccional nos queda como

d ~v

du=

1

‖~v‖

(~v · ~∇

)~v

finalmente la aceleracion nos queda expresada como

~a =d ~v

dt=

1

‖~v‖

(~v · ~∇

)~v +

∂~v

∂t⇒ ai =

1

‖~v‖

(~v · ~∇

)vi +

∂vi

∂t

donde hemos representado las componentes cartesianas de los vectores velocidad y aceleracion como vi y ai,respectivamente.

Es importante hacer una reflexion un poco mas fısica de las contribuciones. La contribucion local provienede la variacion del vector (por la dependencia temporal) alrededor del punto, sin importar la direccion quesigue al partıcula y la contribucion convectiva proviene de la inhomogeneidad del campo de velocidades. Estoes de la variacion del campo de velocidades segun la direccion que siga la partıcula.



6.6. Integrales y Campos Vectoriales

6.6.1. Resumiendo lo visto

Integrales de Campos

Despues de haber diferenciado campos escalares y vectoriales, el siguiente paso es integrarlos. El primercaso de este tipo integrales es el trivial que siempre hemos utilizado:∫

~V (u) d u = ı

∫Vx (u) d u+

∫Vy (u) d u+ k

∫Vz (u) d u =

(∫V i (u) d u

)|ei〉

Ası integramos la aceleracion de un movimiento parabolico

d ~v

dt= ~a = −gk =⇒ ~v =

∫~a dt = k

∫−g dt = −kgt + ~v0 = −kgt + ıv0x + v0y + kv0z

Ahora bien, existen sutilezas en este caso que debemos tener en cuenta. Por ejemplo considere la integral∫dt

(~a× d2 ~a

dt2

)=

∫dt

(d

dt

(~a× d ~a

dt

)− d ~a

dt× d ~a

dt

)=

∫dt

d

dt

(~a× d ~a

dt

)= ~a× d ~a

dt+ ~c

Pero en general los casos quedan resueltos integrando componente a componente con la ayuda de la notacionde ındices ∫

dt(~a×~b

)=

[∫dt(εijkajbk

)]|ei〉

Quiza uno de los problemas que ilustra mejor esta situacion es el movimiento bajo fuerzas centrales. La Leyde Gravitacion de Newton nos dice que∑

F = m ~a = md ~v

dt= m G

M

r2mM

ur =⇒ d ~v

dt= G

M

r2mM

ur

Es costumbre definir la velocidad aerolar, ~vA, como el area barrida por el radio vector posicion, ~r (t) quedescribe la trayectoria de la partıcula

2~vA = ~r × d ~r

dt= r ur ×

d (r ur)

dt= r ur ×

(d r

dtur + r

d urdt

)= r ur × r

d urdt

= r2ur ×d urdt

Notese que si ~c es un vector constante

d

dt

(ur ×

d urdt

)= 0 =⇒ ur ×

d urdt

= ~c =⇒ 2~vA = r2ur ×d urdt

= const

con lo cual

d

dt(~v × ~vA) =

d ~v

dt× ~vA = G

M

r2mM

ur × ~vA =MG

2

ur ×

(ur ×

d urdt

)

d

dt(~v × ~vA) =

MG

2

(ur ·

d urdt

)ur − (ur · ur)

d urdt

=MG

2

d urdt

integrando

~v × ~vA =MG

2ur + ~p



Figura 6.9: Trayectorias de integracion y campos vectoriales

donde ~p es un vector arbitrario de constante de integracion. Finalmente nos damos cuenta que

~r · (~v × ~vA) = r ur ·(MG

2ur + ~p

)=MG

2r + rp cos θ

~r · (~v × ~vA) = εijkrivjvAk ≡ ~vA · (~r × ~v) = ~vA · ~vA = v2A

y entonces

v2A =

MG

2r + rp cos θ =⇒ r =

v2A

MG2 + p cos θ

≡2v2A

MG

1 + 2pMG cos θ

que constituye la ecuacion de una conica.

Integrales de lınea

Ahora nos detendremos con mas cuidado en integrales que tambien ya hemos utilizado, pero muy rapi-damente. Ası tendremos por delante algunos objetos del siguiente tenor:∫

C

φ d ~r,

∫C

~V · d ~r y

∫C

~V × d ~r

Este tipo de objetos se conoce como integrales de lınea y requieren la especificacion de la curva, C, (latrayectoria) a lo largo de la cual se lleva la integracion. Es clara la importancia de esa trayectoria para laintegracion de los campos por cuanto encontraran expresiones del campo vectorial que puebla la region atraves de la cual se integra. Esas trayectorias seran abiertas o cerradas dependiendo de la curva que se sigaen el proceso de integracion.

Ası para integrar un campo escalar φ = φ (~r) en coordenadas cartesianas, tendremos que∫C

φ (x, y, z) d ~r =

∫C

φ (x, y, z)(

d x ı+d y +d z k)

= ı

∫C

φ (x, y (x) , z (x)) d x+

∫C

φ (x (y) , y, z (y)) d y + k

∫C

φ (x (z) , y (z) , z) d z



tal y como indicamos arriba, las tres integrales se podran realizar si conocemos, en cada caso, la expresiondel integrando en termino de la variable de integracion. Esa es la razon por la cual hay que especificar lacurva C que define la trayectoria de integracion. Esta define esa funcionalidad.

Integrales de Superficie

Otros objetos que ya nos hemos encontrado son las integrales de superficie y las hemos encontrado cuandoevaluamos el flujo de un campo vectorial y lo relacionamos con la divergencia. Ası interpretamos que objetos∫∫

s

~a · d~S ≡∫∫

s

~a · ns dS =

∫∫s

an dS

representaban el flujo de las lıneas de campo a traves del diferencial de superficie d~S. Es costumbre quese separen el modulo, dS, de la direccion y el sentido, ns el cual es el vector normal (sentido positivo) ala superficie. Otra vez, las superficies podran ser abiertas (cuando disponen de una curva que limita susfronteras) y cerradas cuando no. Un cırculo sera una superficie abierta y una esfera cerrada. Por convencionsupondremos que el vector normal a una superficie cerrada tendra sentido positivo saliendo.

La utilizacion de integrales de superficie nos ha permitido definir, de manera invariante (independientedel sistema de coordenadas) las expresiones para los operadores diferenciales. Ası hemos podido definir:

∇φ ≡ gradφ = lımV→0

1

V

∫∫s


1

V

∫∫s

φ (x, y, z) ns dS

∇ · ~a ≡ div [~a] = lımV→0

1

V

∫∫s


1

V

∫∫s


1

V

∫∫s

an dS

~∇× ~a ≡ rot [~a] = lımV→0

1

V

∫∫d~S × ~a = lım

V→0

1

V

∫∫ns × ~a dS

6.7. Campos Vectoriales y Teoremas integrales

En esta seccion presentaremos un conjunto de teoremas que relacionan las variaciones de un campovectorial con las fuentes que lo producen. En terminos tecnicos (matematicos) resultan fundamentales cuandoqueremos convertir un tipo de integral (lınea, superficie o volumen) en otra.

El primer teorema, el Teorema de Gauss permite expresar el valor de una integral de volumen, V, en-cerrado por una determinada superficie, S, (cerrada) en terminos de una integral sobre esa superficie, S.El otro teorema importante es el Teorema de Stokes, el cual permite relacionar el valor de una integral desuperficie con la integral de lınea sobre la curva que delimita esa superficie.

6.7.1. Teorema de Gauss

Presentacion y demostracion

La primera relacion que presentaremos entre una integral de superficie de un campo vectorial, ~a,y unade superficie de su derivada es el Teorema de Gauss el cual se expresa de forma vectorial como∫∫

s

~a · d ~S ≡∫∫

s

~a · ns dS =

∫V

∇ · ~a d V



Figura 6.10: Teoremas de Gauss

donde ~a = ~a (x, y, z) es el campo vectorial d ~S ≡ ns dS es el diferencial de area y d V el diferencial devolumen.

Tal y como vimos en su oportunidad el termino ∇·~a es interpretado como el flujo del campo ~a por unidadde volumen, por lo tanto el lado derecho de la ecuacion es la tasa de flujo neto que sale del volumen sobreel cual estamos integrando.

La demostracion del Teorema de Gauss es como sigue. supongamos un volumen encerrado por unasuperficie convexa, S, como se muestra en la Figura 6.10 en los cuadrantes I, II y III. Supongamos ademasque orientamos el sistema de coordenada de tal forma que una lınea paralela a uno de los ejes toca la superficieen dos puntos (Figura 6.10, cuadrante I). De este modo podemos trazar una superficie (perpendicular a esalınea) tal que divida la superficie, S, en dos superficies, S1,y S2, cada una de las cuales esta bordeada por lacurva, C, (Figura 6.10, cuadrante II).

Al evaluar la integral∫S

ax ı · d ~S =

∫S1

ax ı · d ~S +

∫S2

ax ı · d ~S =

∫∫s′

[ax (x2, y, z)− ax (x1, y, z)] d S′

ya que las componentes x de los vectores normales a las dos superficies que contribuyen (Figura 6.10,cuadrante III) tienen signos opuestos

d S2x = ı · d ~S2 = −ı · d ~S1 = −d S1x = d y d z = d S′

Ahora bien, dado que

∂ax∂x

= lımx2→x1

ax (x2, y, z)− ax (x1, y, z)

x2 − x1⇒ ax (x2, y, z)− ax (x1, y, z) =

∫ x2

x1

∂ax∂x

dx

con lo cual ∫S

ax ı · d ~S =

∫∫s′

[∫ x2

x1

∂ax∂x

dx

]d y d z =

∫V

∂ax∂x

dV



y equivalentemente al hacerlo en las direcciones y k, obtendremos∫S

ay · d ~S =

∫V

∂ay∂y

dV y

∫S

azk · d ~S =

∫V

∂az∂z

dV

y finalmente hemos demostrado el Teorema de la divergencia o Teorema de Gauss∫∫s

~a · d ~S ≡∫∫

s

~a · ns dS =

∫V

(∂ax∂x

+∂ay∂y

+∂az∂z

)d V =

∫V

(∂i a

i)

d V =

∫V

∇ · ~a d V

Expresiones equivalentes para el Teorema de Gauss

Si bien la expresion estandar es la que hemos presentado, existen algunas variantes que se derivan de ella.Por ejemplo si consideramos un campo escalar, φ (x, y, z) , el teorema de Gauss nos conduce a∫∫

s

φ (x, y, z) d ~S =

∫∫∫V

~∇φ (x, y, z) d V y

∫∫s

d ~S × ~B (x, y, z) =

∫∫∫V

~∇× ~B (x, y, z) d V

donde ~B (x, y, z) es un campo vectorial.Para comprobar la primera de estas dos relaciones consideramos un vector ~c constante y construimos un

campo vectorial

~a (x, y, z) = ~cφ (x, y, z) ⇒

∫∫s

~a · d ~S =

∫∫∫V

∇ · ~a d V ⇒ ~c ·∫∫

s

φ (x, y, z) d ~S = ~c ·∫∫∫

V

∇φ (x, y, z) d V

0 = ~c ·[∫∫

s

φ (x, y, z) d ~S −∫∫∫

V

∇φ (x, y, z) d V

]es decir, para todo vector ~c siempre se cumple que∫∫

s

φ (x, y, z) d ~S =

∫∫∫V

∇φ (x, y, z) d V

Esa misma metodologıa se puede aplicar para demostrar la segunda relacion si consideramos un campovectorial ~a (x, y, z) = ~c× ~B (x, y, z), con ~c vector constante y se procede de una manera similar.

Ley de Gauss y Campo Electrico

La aplicacion mas emblematica del Teorema de Gauss lo constituyen el calculo de la divergencia delcampo electrico ~E y su relacion con las distribuciones de cargas existentes. Desde siempre sabemos que elcampo electrico producido por una carga Qi viene dado por

~Ei (~r) =1

4πε0

Qir2i

uri ; ⇒∫∫

Si

~Ei · d ~Si =Qiε0

⇔ ∇ · ~E =ρ (~r)

ε0

En definitiva la “deduccion” de una de las ecuaciones de Maxwell. Si calculamos el flujo del campo electricoen una region sin cargas todas las lıneas del campo ~E (~r) atraviesan el volumen: todas entran y todas salen.Sin embargo si tenemos un conjunto de cargas discretas distribuidas dentro de la region encerrada por la



superficie, S, (ver Figura 6.10, cuadrante IVa) podemos encerrar cada una de las cargas con superficiesesfericas Si. Por lo tanto∫∫

S

~E · d ~S +∑i

∫∫Si

~E · d ~Si =

∫V

∇ · ~E d V = 0 ⇒∫∫

S

~E · d ~S = −∑i

∫∫Si

~E · d ~Si

Con lo cual hemos definido una superficie con “huecos” alrededor de cada una de las cargas y llegamos a laconclusion que lo que entra sale. Por su parte, el campo electrico medido cada superficie esferica interior, Sisera

~E∣∣∣Si

=1

4πε0

Qir2i

uri + ~E′

donde ~E′ es el campo de todas las otras cargas presentes en e volumen encerrado por S. Es claro que estecampo ~E′ tiene flujo cero neto sobre cada esfera de superficie Si. Por lo tanto∫∫

S

~E · d ~S = −∑i

∫∫Si

(1

4πε0

Qir2i

uri + ~E′)· nSi dSi =

∑i

1

4πε0

Qir2i

∫∫Si

dSi =

∑iQiε0

=Q

ε0

donde hemos utilizado que∫Vi

∇ · ~E′ d Vi = 0 =∑i

∫∫Si

~E′ · nSi dSi; uri · nSi = −1; y

∫∫Si

dSi = Si = 4πr2i

Finalmente encontramos una de las Leyes de Maxwell si reescribimos la integral de superficie utilizando laLey de Gauss∫∫

S

~E · d ~S =Q

ε0=

1

ε0

∫V

ρ (~r) d V ⇒∫∫

S

~E · d ~S =

∫V

∇ · ~E d V =1

ε0

∫V

ρ (~r) d V

con lo cual ∫V

(~∇ · ~E − ρ (~r)

ε0

)d V ⇒ ~∇ · ~E =

ρ (~r)

ε0

Discontinuidades y densidades superficiales de carga

Normalmente, siempre consideramos que los campos vectoriales ~a = ~a (x, y, z) son campos continuos (y,mas aun, con todas sus derivadas continuas). Sin embargo, encontramos en la naturaleza situaciones enla cuales el campo varıa mucho en una distancia muy corta (infinitesimal). En estas situaciones podemossimular esta rapida variacion como una discontinuidad en el campo. Existe formas de aplicar el Teorema deGauss para algunas situaciones en las cuales tratamos con campos discontinuos. La manera apropiada detratar (derivadas e integrales de) funciones discontinuas es considerandolas no funciones sino distribuciones.Este tipo de tratamiento esta fuera del alcance de este formulario y sera considerado en otros cursos.

Supongamos el caso que ilustra la Figura 6.10, cuadrante IVb. Una regionR delimitada por una superficieS, dentro de la cual, una superficie de discontinuidad, S, separa dos subregiones R

1y R2 a traves de la

cual un campo vectorial, ~a = ~a (x, y, z) , es discontinuo. Ahora bien, el campo vectorial es continuo en lassubregiones, por lo cual el flujo del campo atraviesa las superficies S1 y S que delimitan el volumen V1 de laregion R1. Entonces el Teorema de Gauss para cada region queda expresado como∫

V1

∇ · ~a d V =

∫∫S1

~a · d ~S +

∫∫S

~a+ · nS dS y

∫V2

∇ · ~a d V =

∫∫S2

~a · d ~S −∫∫

S

~a− · nS dS



Figura 6.11: Discontinuidad del Vector Desplazamiento

donde nS es el vector normal a al superficie, S,de separacion de las dos regiones. Adicionalmente hemosdenotado, ~a+ y ~a− el campo ~a evaluado del lado de R1 y R2, respectivamente. Si ahora consideramos elteorema de Gauss en toda la region∫

V1+V2

∇ · ~a d V ≡∫V1

∇ · ~a d V +

∫V2

∇ · ~a d V

Claramente si el campo es continuo dentro de la region R entonces nos queda la formulacion estandar delTeorema de Gauss, ∫

V1+V2

∇ · ~a d V =

∫∫S

~a · d ~S

por el contrario si el campo es discontinuo, entonces debe tomarse en cuenta la discontinuidad del campo yla relacion que surge de sumar el flujo a traves de las dos regiones es∫

V1+V2

∇ · ~a d V =

∫∫S

~a · d ~S −∫∫

S

(~a2 − ~a1) · nS dS

con nS el vector unitario, normal a la superficie S y que apunta de R1→ R2. Es claro que la discontinuidad

que cuenta es la de la componente del campo perpendicular a la superficie (ver Figura 6.11).Este tipo de discontinuidad en campos irrotacionales es generada por la presencia de fuentes las cuales,

en este caso son densidades superficiales de carga. Quiza el ejemplo tıpico para la aplicacion de las anterioresconsideraciones es la aplicacion de las ecuaciones de Maxwell en el caso del vector desplazamiento electrico~D,a traves de una superficie, S, que separa dos medios. Este caso se ilustra en la Figura 6.10, cuadranteIVc y en la Figura 6.11, solo que en este ultimo caso el vector normal esta definido a la inversa: la region 2corresponde a la region 1 de la Figura 6.10, cuadrante IVc. La ecuacion de Maxwell correspondiente sera

∇ · ~E =ρ (~r)

ε0⇒ ∇ · ~D = ρ (~r) ⇒

(~D2 − ~D1

)· nS = σ con ~D = ε0 ~E

donde nS es el vector normal a la superficie (ver Figura 6.10, cuadrante IVc) y σ es la densidad superficial decarga en la superficie, S. Para comprobar esta relacion construimos un volumen cilındrico infinitesimal queencierra la superficie de discontinuidad, de tal forma que ∆S2 corresponde con la “tapa” del cilindro y ∆S1

con su “base” (Figura 6.10 cuadrante IVc). Adicionalmente, como ∆l ∼ 0 no solo podremos trabajar sin las



integrales, el flujo a traves de las “paredes” del cilindro sera despreciable y ∆S2 ≈ ∆S1, sino que ademas, alencerrar la discontinuidad no tomamos en cuenta la contribucion de la superficie ∆S3 (o S, en el cuadranteIVb de la Figura 6.10). Ası

∇ · ~D d V = ~D2 ·∆~S2 − ~D1 ·∆~S1 ⇒ ρ (~r) (∆S2∆l) =(~D2 − ~D1

)· nS2

∆S2

con lo cualρ (~r) ∆l ≡ σ =

(~D2 − ~D1

)· nS2

Teoremas de Green

Cuando consideramos campos vectoriales muy particulares el Teorema de Gauss nos lleva a un par deidentidades vectoriales conocidas como las Identidades o Teoremas de Green

Supongamos que tenemos dos campos escalares: ζ (x, y, z) y ξ (x, y, z) entonces y con ellos construimosun campo vectorial

~a (x, y, z) = ζ (x, y, z) ∇ξ (x, y, z) ⇒∫∫

s

~a · d ~S =

∫∫∫V

∇ · ~a d V ⇒

⇒∫∫

s

(ζ (x, y, z) ∇ξ (x, y, z)

)· d ~S =

∫∫∫V

∇ ·(ζ (x, y, z) ∇ξ (x, y, z)

)d V

con lo cual arribamos a primera identidad de Green, Primer Teorema de Green o, Teorema escalar de Green:∫∫s

(ζ (x, y, z) ∇ξ (x, y, z)

)· d ~S =

∫∫∫V

[ζ (x, y, z)

(∇ · ∇ξ (x, y, z)

)+ ∇ζ (x, y, z) · ∇ξ (x, y, z)

]d V

Si ahora, consideramos los siguientes campos vectoriales

∇ ·(ζ (x, y, z) ∇ξ (x, y, z)

)= ∇ζ (x, y, z) · ∇ξ (x, y, z) + ζ (x, y, z) ∇ · ∇ξ (x, y, z)

y

∇ ·(ξ (x, y, z) ∇ζ (x, y, z)

)= ∇ξ (x, y, z) · ∇ζ (x, y, z) + ξ (x, y, z) ∇ · ∇ζ (x, y, z)

restando ambas expresiones tendremos que

∇ ·ζ (x, y, z) ∇ξ (x, y, z)− ξ (x, y, z) ∇ζ (x, y, z)

=

ζ (x, y, z) ∇ · ∇ξ (x, y, z)− ξ (x, y, z) ∇ · ∇ζ (x, y, z)

y al integrar sobre un volumen V tendremos la formulacion del Teorema de simetrico de Green, la segundaidentidad (o teorema) de Green o el Teorema∫∫∫

V

ζ (x, y, z) ∇ · ∇ξ (x, y, z)− ξ (x, y, z) ∇ · ∇ζ (x, y, z)

d V =∫∫

s

ζ (x, y, z) ∇ξ (x, y, z)− ξ (x, y, z) ∇ζ (x, y, z)

· d ~S

La utilidad de estas relaciones las veremos en el desarrollo de la Teorıa de Potencial en la seccion 6.8.1en la pagina 263



Figura 6.12: Teorema de Stokes

6.7.2. Teorema de Stokes

Presentacion y demostracion

El teorema de Stokes relaciona una integral de lınea escalar de un campo vectorial, ~a = ~a (x, y, z) , alo largo de una curva cerrada, C, con una integral del rotor del campo sobre la superficie encerrada por lacurva, C. Es decir ∮

~a · d ~r =

∫∫S

(~∇× ~a

)· d ~S ≡

∫∫S

(~∇× ~a

)· nS dS

Tal y como hemos mencionado antes la superficie la define su vector normal, y este lo define el “sentido” decirculacion de la curva que bordea la superficie (ver Figura 6.12 cuadrantes I y III).

No haremos una demostracion formal del Teorema de Stokes como lo hicimos para el Gauss. Nos con-venceremos de que es correcta la relacion a partir de algunas situaciones sencillas. Cualquier superficie lapodremos dividir en pequenas cuadrıculas diferenciales, las cuales sumadas constituyen la superficie (verFigura 6.12 cuadrante II). Es facil convencerse que la circulacion3 por le borde de una cuadrıcula diferencial(por ejemplo en el plano x, y) nos lleva a

Γ1234 =

∮1234

~a · d ~r =

∫1

ax (x, y) d x+

∫2

ay (x, y) d y +

∫3

ax (x, y) (−d x) +

∫4

ay (x, y) (−d y)

donde hemos denotado la trayectoria a lo largo del perımetro de la cuadrıcula por 1234 De la Figura 6.13podemos intuir

Γ1234 =

∫ax (x0, y0) d x+

∫ay (x0 + d x, y0) d y +

∫ax (x0, y0 + d y) (−d x) +

∫ay (x0, y0) (−d y)

3Pueden consultar otro ejemplo de circulacion en la seccion 6.5.3



Figura 6.13: Circulacion en una cuadrıcula del plano x, y

y de allı el desarrollo por Taylor que nos conduce a

Γ1234 =

∫ax (x0, y0) d x+

∫ [ay (x0, y0) +

∂ay∂x

∣∣∣∣x=x0

d x

]d y −

∫ [ax (x0, y0) +

∂ax∂y

∣∣∣∣y=y0

d y

]d x

+

∫ay (x0, y0) d y

Γ1234 =

∫ (∂ay∂x

∣∣∣∣x=x0

− ∂ax∂y

∣∣∣∣y=y0

)d xd y =

∫∫S

~∇× ~a∣∣∣z

d Sz ≡∫∫

S

(~∇× ~a

)· d ~S

pero esto vale para todos los puntos (x0, y0) y se puede aplicar para las otras superficies con lo cual es facilconvercerse que esta tecnica se puede utilizar para cada cuadrıcula en las cuales hemos dividido la superficie(ver Figura 6.12 cuadrante II). Mas aun las circulaciones a lo largo de los perımetros de las cuadrıculasinteriores se anulan (ver Figura 6.12 cuadrante III) y solo sobrevive la circulacion a lo largo del perımetroexterior de la superficie. Con ello∑

cuadricula

~a · d ~r ≡∑(

~∇× ~a)· d ~S ⇒

∮~a · d ~r =

∫∫S

(~∇× ~a

)· d ~S

Expresiones equivalentes para el Teorema de Stokes

Del mismo modo que hicimos en la seccion 6.7.1 con el Teorema de Gauss, podemos hacerlo para elTeorema de Stokes y tendremos∮

φ (x, y, z) d ~r =

∫∫S

d ~S × ~∇φ (x, y, z) y

∮d ~r × ~B (x, y, z) =

∫∫S

(d ~S × ~∇

)× ~B (x, y, z)

donde φ (x, y, z) es un campo escalar y ~B (x, y, z) un campo vectorial. Otra vez, la metodologıa para proceder ala demostracion se fundamenta en considerar un par de campos vectoriales de la forma ~a (x, y, z) = φ (x, y, z)~c

y ~b (x, y, z) = ~c× ~B (x, y, z) y desarrollar un algebra vectorial mınima.



Teorema de Stokes y Fuerzas Conservativas

El teorema de Stokes nos permite identificas que campos vectoriales irrotacionales generan integrales delınea las cuales son independientes de la trayectoria. Esto es

~∇× ~F (x, y, z) = 0 ⇒∫∫

S

(~∇× ~a

)· d ~S =

∮~a · d ~r = 0

con lo cual, lo que se esta implicando es que toda trayectoria cerrada de puede fraccionar en dos trayectoriasabiertas que se unen en los extremos, entonces∮

~a · d ~r = 0 =

∫C1

~a · d ~r +

∫C2

~a · d ~r ⇒∫ P2

P1

curva C1

~a · d ~r ≡∫ P2

P1

curva C2

~a · d ~r

y lo que nos dice es que vamos de un punto (de corte de la curva cerrada) P1 a otro punto P2 por dostrayectorias distintas y la integral de lınea es la misma. Mas adelante veremos que a los campos vectorialesirrotacionales les esta asociado un potencial tal que

~∇× ~F (x, y, z) = 0 ⇒ ~F (x, y, z) ∝ ~∇φ (x, y, z)

Teorema de Stokes y discontinuidades del campo vectorial

Al igual que el Teorema de Gauss puede ser considerado para manejar funciones discontinuas, el Teoremade Stokes tambien tiene una expresion cuando se consideran campos discontinuos (continuo a trozos ocontinuos por segmentos)

Al igual que en el caso de Teorema de Gauss, consideremos el caso mas simple el de un campo vectorial~a (x, y, z) que es discontinuo sobre una superficie, S ,que divide R en dos subregiones R

1y R2 (ver otra vez

6.10, cuadrante IVb). En este caso la superficie S, sera abierta y estara delimitada por una curva C2. Lainterseccion de las superficies S y S sera una curva C,la cual dividira a S en dos superficies S1 y S2 (verFigura 6.12 cuadrante IV). Entonces, aplicando el Teorema de Stokes a la curva cerrada. Entonces∮

C1+C

~a · d ~r =

∫ P2

P1

curva C1

~a · d ~r +

∫ P1

P2

curva C

~a · d ~r =

∫∫S1

(~∇× ~a

)· d ~S

y∮C2+C

~a · d ~r =

∫ P1

P2

curva C2

~a · d ~r +

∫ P2

P1

curva C

~a · d ~r =

∫∫S2

(~∇× ~a

)· d ~S

Ahora bien si las sumamos obtendremos∫∫S1

(~∇× ~a

)· d ~S +

∫∫S2

(~∇× ~a

)· d ~S =

∮C

~a · d ~r +

∫ P1

P2

curva C en S1

~a · d ~r +

∫ P2

P1

curva C en S2

~a · d ~r

la cual puede ser reescrita como∮C

~a · d ~r =

∫∫S

(~∇× ~a

)· d ~S −

∫ P2

P1

curva C

(~a|S2

− ~a|S1

)· d ~r

donde hemos denotado ~a|S2como el campo vectorial evaluado sobre la curva C “del lado” de las superficie

S2. Es importante senalar que el termino que incorpora la contribucion de la discontinuidad del camposolo encierra componentes tangenciales a la superficie. Esto es claro del producto escalar con el vector, d ~r,tangente a la curva C (y tambien a la superficie S).



6.8. Teorıa de Potencial

6.8.1. Potenciales escalares

Si un campo vectorial ~F (x, y, z) en una determinada region R puede asociarse con un gradiente de unpotencial tendremos que

~F (x, y, z) = −~∇φ (x, y, z) ⇔ ~∇× ~F (x, y, z) = 0 ⇔∮

~F (x, y, z) · d ~r = 0

La ventaja que un campo derive de un potencial es, por un la lado la simplicidad y la cantidad de informacionque sobre el campo teneos: describimos la interaccion por una funcion y no con tres (las componentes delcampo) y sabremos que el campo es irrotacional y conservativo. Pero ademas la funcion que describe elcampo es escalar, con lo cual es independiente del sistema de coordenadas.

Cualquiera de las afirmaciones implica las otras dos, con o cual podremos elegir cualquier de ellas parademostrar las otras dos. Veamos:

un campo que derive de un potencial es conservativo e irrotacional

~F = −~∇φ (x, y, z)⇒

−~∇×

(~∇φ (x, y, z)

)= 0

−∮~∇φ (x, y, z) · d ~r = −

∮dφ = φ (x0, y0, z0)− φ (x0, y0, z0) = 0

donde hemos utilizado la definicion de diferencial total

dφ =∂φ (x, y, z)

∂xdx+

∂φ (x, y, z)

∂ydy +

∂φ (x, y, z)

∂zdz = ~∇φ (x, y, z) · d ~r

un campo conservativo es irrotacional y deriva de un potencial.

Un campo conservativo implica que el trabajo (∫ P2

P1

~F (x, y, z) · d ~r) es independiente de la trayectoriaentre P1 y P2. Por eso llamamos a la fuerza conservativa por cuanto se conserva la energıa y por lotanto, esta depende unicamente de la posicion∮

~F (x, y, z) · d ~r = 0 ⇒∫ P2

P1

~F (x, y, z) · d ~r = φ (x2, y2, z2)− φ (x1, y1, z1)

⇓~F (x, y, z) · d ~r = dφ = −~∇φ (x, y, z) · d ~r ⇒ ~F (x, y, z) = −~∇φ (x, y, z)

con lo cual hemos demostrado que el campo vectorial deriva de un potencial. El signo menos (−) es unaconvencion tradicional del oficio de Fısico y proviene de nuestra intuicion de flujo de los acontecimientos:“El agua siempre fluye hacia abajo”.Ahora bien, utilizando el Teorema de Stokes tendremos:

~F (x, y, z) = −~∇φ (x, y, z) ⇒∮

~F · d ~r =

∫∫S2

(~∇× ~F

)· d ~S = 0 ⇒ ~∇× ~F (x, y, z) = 0

es facil demostrar que el campo tambien es irrotacional.

un campo de fuerzas irrotacional implica que el campo deriva de un potencial y que el campo esconservativo.Otra vez, por el Teorema de Stokes si es irrotacional es conservativo,

~∇× ~F (x, y, z) = 0 ⇒∫∫

S2

(~∇× ~F

)· d ~S =

∮~F · d ~r = 0



y si es conservativo deriva de un potencial

~F (x, y, z) · d ~r = dφ = −~∇φ (x, y, z) · d ~r ⇒ ~F (x, y, z) = −~∇φ (x, y, z)

En definitiva, si cualquiera de las condiciones se cumple: conservativo, irrotacional o potencial, las otrastambien se cumpliran.

6.8.2. Potenciales vectoriales y calibres

Al igual que derivamos un campo vectorial ~F a partir de un potencial escalar φ (x, y, z) y asociamos

su existencia a su condicion de irrotacionalidad, ~∇ × ~F (x, y, z) = 0, podemos pensar que un campo sindivergencia (solenoidal o transverso) conlleva a la existencia de un potencial vectorial. Esto es

~∇ · ~F (x, y, z) = 0 ⇒ ~F (x, y, z) = ~∇× ~A (x, y, z)

Claramente~∇ · ~F (x, y, z) = ∂iF

i = ∂i(εijk∂jAk

)= 0

El campo vectorial ~A = ~A (x, y, z) se conoce con el nombre de potencial vectorial del campo ~F . Ahora bien,

el campo solenoidal, ~F , no queda unıvocamente determinado a partir de su potencial vectorial. Existe unaarbitrariedad de un campo escalar, llamado de calibre, χ = χ (x, y, z) (gauge en ingles) de forma tal que

~A′ = ~A+ ~∇χ (x, y, z) ⇒ ~F = ~∇× ~A′ = ~∇×(~A+ ~∇χ

)= ~∇× ~A+ ~∇×

(~∇χ)

= ~∇× ~A

de forma que varios potenciales vectoriales ~A′ y ~A generan el mismo campo vectorial ~F . Esta arbitrariedadnos permite particularizar el calibre segun nos convenga. Existen varios calibres en el mercado, los cualesson utilizados segun el problema fısico al cual tratemos. Entre ellos podemos mencionar un par de ellos:

El calibre de Lorentz :Esta seleccion proviene de requerir que el campo de calibre satisfaga la ecuacion una ecuacion de onda

~∇2χ (x, y, z, t)− a∂2χ (x, y, z, t)

∂t2= 0

donde a es una constante. Notese que hemos supuesto que el campo de calibre puede depender deltiempo. El calibre del Lorentz se escoje porque (entre otras cosas) permite que la solucion a la ecuacionde onda para el potencial vectorial

~∇2 ~A (x, y, z, t)− a∂2 ~A (x, y, z, t)

∂t2= 0

quede unıvocamente determinada

El calibre de Coulomb, de radiacion o transverso:La seleccion de este calibre impone que el potencial vectorial ~A (x, y, z, t) satisfaga la ecuacion

~∇ · ~A = 0 ⇒ ~∇ · ~A′ (x, y, z, t) = ~∇ ·(~A (x, y, z, t) + ~∇χ (x, y, z, t)

)= 0 ⇒ ~∇2χ (x, y, z, t) = 0

El nombre de calibre de Coulomb, de radiacion o transverso proviene de las consecuencias de suutilizacion en las ecuaciones de Maxwell.

Notese que si el campo (y el calibre) es independiente del tiempo ~A = ~A (x, y, z) ambos calibres coinciden.



6.8.3. Teorema de Green y Potenciales

Si el rotor y la divergencia de un campo vectorial, ~F , decente (continuo y continuamente diferenciable)estan especificados en una region del espacio delimitada por una superficie cerrada, S, y las componentes delcampo normales a esa superficie, nS · ~F , tambien se conocen, entonces el Teorema de Green nos garantizaque ese campo, ~F , que cumple con esas condiciones es unico.

Esa demostracion procede ası. Supongamos que existe otro campo vectorial que cumple con las mismascondiciones que el campo ~F . Esto es

~∇ · ~F = ~∇ · ~G

~∇× ~F = ~∇× ~G

nS · ~F = nS · ~G

⇒ ~H = ~F − ~G ⇒

~∇ · ~H = 0

~∇× ~H = 0

nS · ~H = 0

como ~H es irrotacional entonces

~∇× ~H = 0 ⇒ ~H = ~∇φ (x, y, z) ⇒ ~∇ · ~H = ~∇ · ~∇φ (x, y, z) = 0

, y el Teorema de Green nos garantiza que∮φ~∇φ · d ~S =

∫∫S

φ(~∇φ · nS

)dS =

∫∫∫V

[φ(∇ · ∇φ

)+ ∇φ · ∇φ

]d V

con lo cual ∫∫S

φ(~∇φ · nS

)dS =

∫∫S

φ(~H · nS

)dS =

∫∫∫V

[~H · ~H

]d V ⇒ ~H = 0

de donde se deduce que ~F = ~G es decir, que el campo, ~F , es unico.

6.8.4. Teorema de Helmholtz

El teorema de Helmholtz afirma que todo campo vectorial, ~F , continuo, y continuamente diferenciable(al menos a trozos) y, regular en infinito se puede expresar como una suma de dos “componentes”, una

longitudinal o irrotacional, ~Fl, y otra transversa o solenoidal, ~Ft. Esto es

~F = ~Fl + ~Ft con

~∇× ~Fl = 0

~∇ · ~Ft = 0

En general dado que el campo, ~F , puede ser discontinuo, tendremos que suponer que

~∇ · ~F = ρ (~r)

~∇× ~F = ~J (~r)

y como ~F = ~Fl + ~Ft ⇒

~∇ · ~F = ~∇ ·

(~Fl + ~Ft

)= ~∇ · ~Fl = ρ (~r)

~∇× ~F = ~∇×(~Fl + ~Ft

)= ~∇× ~Ft = ~J (~r)

dado que ~∇ · () y ~∇× () son lineales. Esta separacion del campo vectorial ~F = ~Fl + ~Ft es completamentegeneral y siempre puede hacerse para cualquier campo vectorial.



Supondremos ademas, que la solucion a la ecuacion de Poisson ~∇2φ (x, y, z) = −ρ (x, y, z) existe y esunica4.

Tendremos que

~∇× ~Fl = 0 ⇒ ~Fl = −~∇φ (x, y, z) ⇒ ~∇ · ~F = ~∇ · ~Fl = −~∇2φ (x, y, z) = ρ (~r)

y la solucion existe y es unica. Es decir, podemos expresar de manera unıvoca al campo vectorial, ~F , (a traves

de su “componente” longitudinal ~Fl) en terminos de un campo escalar (a funcion potencial) φ (x, y, z) . Porotra parte

~∇ · ~Ft = 0 ⇒ ~Ft = ~∇× ~A ⇒ ~∇× ~F = ~∇× ~Ft = ~∇×(~∇× ~A

)= ~∇

(~∇ · ~A

)− ~∇2 ~A = ~J (~r)

La cual al seleccionar el calibre de Coulomb ~∇ · ~A = 0 se convierte en Es importante senalar que el campo,~A = ~A (x, y, z) , solucion a la ecuacion

~∇×(~∇× ~A

)= ~∇2 ~A = ∂i∂i ~A = − ~J (~r) ⇒ ∂i∂i A

k = −Jk (~r)⇔

~∇2Ax = −Jx (~r)

~∇2Ay = −Jy (~r)

~∇2Az = −Jz (~r)

Una vez mas nos topamos con la solucion a la ecuacion de Poisson, esta vez para cada componente. Esto secumple siempre, porque hemos supuesto que la solucion para la ecuacion de Poisson existe y es unica.

Un corolario del Teorema de Helmholtz que un campo vectorial queda unıvocamente determinado siconocemos su rotor y su divergencia.

4Esta suposicion es indispensable pero es muy fuerte. Las condiciones sobre el potencial φ (x, y, z) que la implican seranconsideradas en otros cursos de Metodos Matematicos. En este curso, supondremos que existe y es unica


Bibliografıa






[6] Knisley, J. (2001) http://math.etsu.edu/MultiCalc/




267

http://math.etsu.edu/MultiCalc/

Capıtulo 7

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

268


7.1. Motivacion y Origen

En Ciencias, una de las formas de modelar fenomenos fısicos es mediante su caracterizacion a traves deuna funcion matematica, digamos G = G (x, y, z; t). Desde los albores de la actividad cientıfica contemporaneaes imperioso describir los fenomenos fısicos en el lenguaje de las matematicas. Una las formas (la ideal) paramodelar los cambios de esta funcion, G (x, y, z; t) , que depende de la posicion y del tiempo, es a travesde una ecuacion en la cual estan involucradas la funcion, G (x, y, z; t) y sus derivadas. A esa ecuacion lallamaremos Ecuacion Diferencial. Existe toda una “fauna” de ecuaciones diferenciales y hoy disponemos deun importante arsenal de tecnicas, metodos y herramientas para encontrar la funcion G (x, y, z; t) , la cualsera nuestra funcion incognita. Este curso trata, parcialmente, de mostrar parte de esta fauna y de indicarlesmetodos para resolver un tipo particular de ecuaciones diferenciales: las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Empecemos por recordar que desde siempre hemos tratado, la mayor de las veces sin saberlo o sinexplicitarlo, con este tipo de ecuaciones en donde la incognita no es un numero sino un conjunto de numeros:una funcion.

El caso mas emblematico lo constituye el conjunto de “formulas” que aprendimos en nuestra mas tiernainfancia intelectual cuando estudiabamos bachillerato o, mas recientemente, en los primeros cursos de FısicaGeneral de la Universidad. En aquellos entonces describıamos el movimiento de partıculas en una dimension,a traves de dos ecuaciones:

Vf = V0 + at y d = V0t+ at2

2(7.1)

de memoria repetıamos que Vf representaba la velocidad final, V0 la velocidad inicial, a la aceleracion, tel tiempo transcurrido y d la distancia recorrida en ese tiempo. El problema consistıa en encontrar, paraun sinfın de situaciones fısicas, primeramente el valor de la aceleracion del movil y a partir de las Leyes deNewton, luego conociendo la velocidad y la posicion inicial, encontrabamos la posicion, d, y la velocidad, Vfen todo instante de tiempo. Ası, mediante diagramas de cuerpo libre y la utilizacion de las leyes de Newton,encontrabamos el valor de la aceleracion y las “formulitas” (7.1) resolvıamos el problema.

∑Fext = m a ⇒ a =

∑Fextm

⇒

Vf = V0 + at

d = V0t+ at2

2

(7.2)

Lo mas probable es que nuestros profesores nos repitieran hasta el cansancio que la sumatoria de fuerzasexternas

∑Fext era constante, y lo mas seguro que nosotros en aquellos momentos no comprendieramos

la trascendencia de esa suposicion. El caso mas representativo era el del movimiento de un cuerpo bajo laaccion de un campo gravitatorio, mas aun: caıda libre.

−mg = m a ⇒ a = −g ⇒

Vf = V0 − gt

d = V0t− gt2

2

(7.3)

Lo que esta detras de este “cuento” que nos inicio en el estudio de la Fısica y a muchos de nosotros nos sedujopara seguir estudiando y aprendiendo a tratar de describir la naturaleza, es, efectivamente, la utilizacion delas Leyes de Newton para modelar el fenomeno del movimiento. De este modo

∑Fext = m a = m

d2x(t)

dt2= m

dV (t)

dt⇒

V (t) =

dx(t)

dt= V0 + at

x(t) = V0t+ at2

2

(7.4)



Sı la sumatoria de fuerzas externas es una contante tendremos que

dV (t)

dt= a =

∑Fextm

= constante ⇒

V (t) =

∫dt a = t a+ C2

x(t) =∫

dt (t a+ C2) =t2

2a+ C2t+ C1

(7.5)

Claramente al identificar

C2 = V (t = 0) = V0 y C1 = x(t = 0) = x0 = 0 (7.6)

reobtenemos nuestras “formulitas” ancestrales. Es importante senalar que

dV (t)

dt= a y

dx(t)

dt= t a+ C2 (7.7)

constituyen ecuaciones diferenciales donde las funciones incognitas son la velocidad, V (t), y la posicion, x(t),respectivamente. Ambas funciones se encontraban dentro de un signo de derivada y fueron “despejadas”mediante un proceso de integracion.

La descripcion del movimiento de partıculas es mas rica y compleja. El movimiento de una gran cantidadde partıculas puede ser simulado a traves de una ecuacion diferencial del tipo

∑~Fext

(~r (t) , ~V (t) =

d~r(t)

dt; t

)= m ~a = m

d2~r(t)

dt2= m

d~V (t)

dt(7.8)

El caracter vectorial implica tres ecuaciones diferenciales, una por cada dimension del movimiento, vale decir:

∑~Fext

(~r (t) ,

d~r(t)

dt; t

)= m ~a⇒

∑F xext

(~r (t) ,

d~r(t)

dt; t

)= m ax = m

d2x(t)

dt2= m

dVx(t)

dt

∑F yext

(~r (t) ,

d~r(t)

dt; t

)= m ay = m

d2y(t)

dt2= m

dVy(t)

dt

∑F zext

(~r (t) ,

d~r(t)

dt; t

)= m az = m

d2z(t)

dt2= m

dVz(t)

dt

Ademas del caracter vectorial de la ecuacion, las componentes de la fuerza pueden dejar de ser constantes ydepender de no solo del tiempo, sino del vector posicion, del vector velocidad o, de ambas simultaneamente. Eneste caso nuestras “formulitas” dejan de ser validas en general y debemos integrar las ecuaciones diferencialespara obtener la trayectoria de la partıcula ~r (t), conocidas: la masa, m, la expresion de la sumatoria de

fuerzas externas∑ ~Fext, la posicion y la velocidad inicial (~r (t0) = ~r0 y ~V (t0) = ~V0). Este problema se conoce

como el problema de condiciones iniciales y es, como hemos dicho antes, la razon de este curso. Antes,intentare mostrar como ese conocimiento del movimiento bajo accion de una resultante de fuerzas constante,es decir el movimiento de una partıcula con aceleracion constante puede resultar muy util para resolver, de

forma aproximada, el caso mas general que hemos mencionado: ~Ftotal =∑ ~Fext

(~r (t) ,

d~r(t)

dt; t

). Veamos

con detenimiento que significan estas afirmaciones.Es claro el tiempo de evolucion esta comprendido entre el tiempo inicial y el tiempo final, t0 ≤ t ≤ tfinal.

Supongamos que dividimos ese intervalo de tiempo en N subintervalos

[t0, tfinal] = [t0, t1] ∪ [t1, t2] ∪ [t2, t3] ∪ · · · ∪ [ti, ti+1] ∪ · · · ∪ [tN−2, tN−1] ∪ [tN−1, tN = tfinal] (7.9)



Figura 7.1: Diagrama de Cuerpo Libre de una esfera de corcho que emerge desde el fondo de un tanque deagua.

de tal modo que en cada uno de esos N subintervalos la aceleracion es constante. En estas situacion, nuestras



“formulitas” son validas. Esto es

[t0, t1]⇓

V (t0) = V0

d (t0) = d0

⇒

V (t1) = V1 = V0 +

∑Fext (d0, V0; t0)

m[t1 − t0]

d (t1) = d1 = V0 [t1 − t0] +

∑Fext (d0, V0; t0)

m

[t1 − t0]2

2

(7.10)

[t1, t2]⇓

V (t1) = V1

d (t1) = d1

⇒

V2 = V1 +

∑Fext (d1, V1; t1)

m[t2 − t1]

d2 = d1 + V1 [t2 − t1] +

∑Fext (d1, V1; t1)

m

[t2 − t1]2

2

(7.11)

...

[ti, ti+1]⇓

V (ti) = Vi

d (ti) = di

⇒

Vi+1 = Vi +

∑Fext (di, Vi; ti)

m[ti+1 − ti]

di+1 = di + Vi [ti+1 − ti] +

∑Fext (di, Vi; ti)

m

[ti+1 − ti]2

2

(7.12)

...

[tN−1, tN ]⇓

V (tN−1) = VN−1

d (tN−1) = dN−1

⇒

VN = VN−1 +

∑Fext (dN−1, VN−1; tN−1)

m[tN − tN−1]

dN = dN−1 + VN−1 [tN − tN−1] +

∑Fext (dN−1, VN−1; tN−1)

m

[tN − tN−1]2

2(7.13)

Notese que las posiciones y velocidades finales para cada intervalo, son las posiciones y velocidades inicialespara el intervalo siguiente y que el valor de la aceleracion, que es variable, se toma como constante e igualal valor que tiene en el comienzo del intervalo.

Para analizar este caso consideremos el caso de una esfera de corcho, con Radio R y masa M que sesuelta desde el fondo de un tanque de agua de profundidad h. Queremos conocer con que velocidad llega laesfera a la superficie.

El diagrama de cuerpo libre se puede observar en la figura 7.1 y la ecuacion de Newton para este caso seexpresa como ∑

~Fext

(~r (t) ,

d~r(t)

dt; t

)= ma⇒ −mg −KηV (t) +mfg = m

dV (t)

dt(7.14)

En la cual hemos identificadopeso ⇒ −mg

Friccion ⇒ −KηV (t)

Empuje ⇒ mfg

(7.15)



Como aprendimos tambien hace algun tiempo el empuje o fuerza de Arquımides es igual al peso del fluidodesalojado por el cuerpo. Por ello aparece mf que representa la masa del fluido. Para el caso en el cual elfluido no es viscoso, es decir, no hay friccion con el fluido, la ecuacion se reduce a∑

~Fext

(~r (t) ,

d~r(t)

dt; t

)= ma⇒ −mg +mfg = ma (7.16)

en la cual claramente la aceleracion es constante e igual a

a = g(mf

m− 1)≡ g

(ρfρc− 1

)= cte (7.17)

donde hemos indentificado ρf la densidad del fluido y ρc la densidad del cuerpo.Para encontrar la velocidad con la cual llega a la superficie, encontramos primero el tiempo que tarda en

subir y luego evaluamos la velocidad en ese tiempo. Esto es

h = g

(ρfρc− 1

)t2

2⇒ t = 2

√hρc

2g (ρf − ρc)(7.18)

(7.19)

Vfinal = g

(ρfρc− 1

)2

√hρc

2g (ρf − ρc)(7.20)

En el caso general, descrito por la ecuacion (7.14), procedemos del mismo modo: encontramos el tiempoen el cual llega la superficie y luego evaluamos la expresion para la velocidad para ese tiempo. Fıjenseque la estrategia para resolver el problema fısico es la misma, solo que tendremos que disponer de unarsenal adicional de herramientas y tecnicas para “despejar” la funcion velocidad. Aprenderemos a resolverecuaciones diferenciales de la misma manera que antes resolvıamos ecuaciones algebraicas. En este caso lasolucion exacta para la expresion de la velocidad es

−mg −KηV (t) +mfg = mdV (t)

dt⇒ V (t) =

g (m−mf )

Kη

e− tKηm − 1

(7.21)

Con lo cual

dy(t)

dt= V (t) =

g (m−mf )

Kη

e− tKηm − 1

(7.22)

y la funcion posicion surge de integrar la ecuacion diferencial

Y (t) = −g(m−mf )

K2η2

me− tKηm + tKη −m

(7.23)

desafortunadamente la no se puede despejar el tiempo de manera exacta por cuanto la ecuacion

gm (m−mf )

K2η2

e−Kη tm − 1 +Kη t

m

= h (7.24)



es una ecuacion trascendente y debe ser resuelta numericamente. Haciendo algunas sustituciones simplifica-doras

mf =4

3π ξ ρR3; m =

4

3π φ ρR3 ρf = ξρ ρc = φρ y K = 6π R (7.25)

Donde ξ y φ representan las densidades relativas del fluido y del cuerpo respecto al agua (de densidad ρ ),respectivamente. Seguidamente sustituimos los valores numericos

g = 9,8; R = 0,02; ρ = 103; ξ = 1; φ = 0,8; V0 = 0; η = 1,002× 10−3 (7.26)

la ecuacion (7.24) nos queda para h = 10,mts

10 = 12339,72755 (1− exp(−0,01409062500t))− 173,8744736t (7.27)

y se obtiene tfinal = 2,876443096 sg. con el cual se evalua la ecuacion para la velocidad

V (t) = 173,8744730 (1− exp(−0,01409062500t))⇒ Vfinal = 6,9063798 m/s (7.28)

En la siguiente tabla se implementan las ecuaciones (7.10) a (7.13) habida cuenta de las simplificaciones(7.25) y los valores numericos (7.26) para h = 1/10 ∼ [ti+1 − ti]

ti (s) Vi (m/s) di (m) V (t) (m/s) d (t) (m)0.100 0.2449999997 0.01224999998 0.2448275 0.012250.200 0.4896547791 0.04898273892 0.4893102 0.048950.300 0.7339648246 0.11016371910 0.7334487 0.110090.400 0.9779306220 0.19575849150 0.9772434 0.195630.500 1.221552656 0.30573265540 1.2206949 0.305530.600 1.464831412 0.44005185880 1.4638035 0.439760.700 1.707767373 0.59868179800 1.7065698 0.598280.800 1.950361022 0.7815882177 1.9489943 0.781060.900 2.192612841 0.9887369109 2.1910775 0.988071.000 2.434523312 1.220093719 2.4328198 1.219261.100 2.676092916 1.475624530 2.6742217 1.474621.200 2.917322134 1.755295283 2.9152836 1.754101.300 3.158211444 2.059071962 3.1560062 2.057671.400 3.398761326 2.386920600 3.3963898 2.38529

Vi y di representan la velocidad y la posicion aproximada, tal y como se expresan en las ecuaciones (7.10)a (7.13). Mientras que V (t) y d (t) ilustran los valores de la velocidad y la posicion exactas, calculadas apartir de las ecuaciones (7.22) y (7.23). Es clara que la aproximacion es buena hasta la primera cifra decimal.

7.2. Empezando por el principio

7.2.1. Ejemplos de Algunas ecuaciones diferenciales

Thomas Robert Malthus1 fue uno de los primeros en darse cuenta queN la poblacion crece como una razongeometrica mientras que los medios de subsistencias crecen de manera aritmetica. Esta afirmacion plasmadaen su Ensayo sobre el Principio de Poblaciones, el cual inspiro a Darwin en la formulacion de principiode seleccion natural. Malthus, muy religioso y creyente pensaba que esa diferencia en el crecimiento de la

1En honor al economista polıtico ingles Thomas Robert Malthus (1766-1834).



poblacion y las necesidades que ellas generaban, eran de procedencia divina y que forzarıa a la humanidad aser mas laboriosa e ingeniosa para lograr los medios de subsistencia. Darwin, no tan religioso, lo formulo comouna situacion natural presente en todas las especies.

Ley de Malthus/Decaimiento Radioactivod

dxy(x) = k y(x) ← y(t) = y0 e

k t con y(0) = y0 (7.29)

Para k > 0 la poblacion crece y para k < 0 tenemos una situacion de decaimiento: la poblacion decrece conel tiempo. Este concepto se utiliza los procesos de decaimiento radiactivo.

La ecuacion logıstica o Ley de Verhulst2 se utiliza para describir el crecimiento de la poblacion de unamanera mas precisa que la Ley de Malthus. Esta ecuacion toma en cuenta le decrecimiento de la poblacioncon el termino −y2

y′ = (k − ay) y = ky − ay2 ← y(t) =k y0

a y0 + (k − a y0) e−k t

La Ley de Enfriamiento de Newton que expresa que la tasa de cambio de la temperatura respecto altiempo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio ambiente.

dT

dt= k(T − Tm) ← T = (T0 − Tm) ek t + Tm con T (0) = T0

La Ley de Torricelli la cual establece que (para un tanque cilındrico) la tasa de cambio respecto al tiempodel la profundidad del agua en un tanque es proporcional a su raız cuadrada

dy

dt=k

A

√y ← y(t) =

(1

2t+ y(0)2

)7.2.2. De Ecuaciones y Ecuaciones Diferenciales

Al igual que desde nuestra mas tierna infancia consideramos una ecuacion algebraica como aquella quese cumplıa para ciertos valores de x = x0, llamaremos ahora una ecuacion diferencial aquella que se cumplepara ciertas funciones i.e.

x2 − 4x+ 4 = 0 ⇐ x0 = 2 ↔ df(x)

dx− f(x) = 0⇐ f(x) = ex

Es decir si f(x) es una funcion contınua en un intervalo a ≤ x ≤ b, llamaremos una ecuacion diferencialordinaria a una expresion que involucre x, f(x) y derivadas de f(x). Utilizaremos para tal efectos variasnotaciones, equivalentes que se justifican por la larga tradicion en esto

d2f(x)

dx2+g(x)

df(x)

dx−af2(x) = k(x)↔ f ′′(x)+g(x)f ′(x)−af2(x) = k(x)↔ fxx(x)+g(x)fx(x)−af2(x) = k(x)

Se llaman ordinarias porque involucran funciones de una sola variable y derivadas respecto a ella. Otrasecuaciones diferenciales del tipo

∂2φ(x, y)

∂x∂y+ g(x)

∂φ(x, y)

∂x− aφ2(x.y) = p(y) ↔ φxy(x) + g(x)φxy(x)− aφ2(xy) = p(y)

Las llamaremos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales o, simplemente ecuaciones diferenciales par-ciales, porque contienen funciones (y derivadas) de varias variables.

2Pierre Francois Verhulst 1804 - 1849 Matematico Belga con sus mas importantes comtribuciones en estadıstica de-mografica



7.2.3. Fauna y Nomenclatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Orden y linealidad

Una ecuacion diferencial F [x, y(x), y′(x), y′′(x), y′′(x), · · · , y(n)(x)] = 0 sera lineal si solo parecen funcio-nes lineales de y(x) y sus derivadas.

df(x)

dx

d2f(x)

dx2+ f(x)

df(x)

dx− af2(x) = k(x) no lineal o alineal

f ′′(x) + g(x)f ′(x)− af(x) = k(x) lineal

El orden de la derivada mayor define el orden de la ecuacion diferencial del tipo

F [x, y(x), y′(x), y′′(x), y′′(x), · · · , y(n)(x)] = 0

⇓

an(x)dnf(x)

dxn· · ·+ a2(x)

d2f(x)

dx2+ a1(x)

df(x)

dx+ a0(x)f(x) = g(x)↔

∑nk=0 ak(x)

dkf(x)

dxk= g(x)

sera de orden nUna ecuacion diferencial F (x, y(x), y′(x), y′′(x), y′′(x), · · · , y(n)(x), ) = 0 sera homogenea (inhomogenea)

si NO contiene terminos independientes en f(x)

d2f(x)

dx2+ g(x)

df(x)

dx− af(x) = k(x) lineal inhomogenea

f ′′(x) + g(x)f ′(x)− af(x) = 0 lineal homogenea

Soluciones Explıcitas e Implıcitas

Hay de todo en la vina de las soluciones. Las soluciones heredan su nombre del tipo de funcion que lasrepresenta, ası tendremos soluciones explıcitas cuando las funciones sean soluciones y sean explıcitas. Estoes

d2y(t)

dt2= y(t) + 4 et ← y(t) = etC2 + e−tC1 + 2 tet

y tambien

y′ = (x+ y)2 ← y(t) = tan(t− C1)− t con t− C1 6=π

2

Las soluciones seran implıcitas si son representadas por funciones de esa estirpe

y y′ + x = 0 ← f(x, y) = x2 + y(x)2 − 25 = 0⇒y =

√25− x2

y = −√

25− x2con − 5 < x < 5

Se tiene que seleccionar una rama de la funcion raız. Igualmente sera solucion implıcita

(y2(x)− x) y′(x)− y(x) + x2 = 0 ← f(x, y) = x3 + y3(x)− 3xy(x) = 0

y esta segunda no es tan facil de descubrir como solucion. Para comprobarla derivamos la solucion

d(f(x, y))

dx=

d(x3 + y3(x)− 3xy(x)

)dx

= 0⇒ 3x2 + 3y2(x)dy(x)

dx− 3y(x)− 3x

dy(x)

dx= 0



Figura 7.2: Grafica de la funcion implıcita f(x, y) = x3 + y3(x)− 3xy(x) = 0

simplificando y agrupando tendremos la solucion. Otra vez, la funcion la funcion no es univaluada. Algraficarla (ver Figura 7.2) nos damos cuenta que tenemos tres varias soluciones de funciones univaluadas

unas contınuas y otras no. La funcion es univaluada fuera del lobulo. Esto es para x ≤ 0 ∧ x > 223 . Con lo

cual tendremos que seleccionar, dentro del lobulo, cual de las partes univaluada corresponde la solucion.

Soluciones Generales y Particulares

Veamos las siguientes ecuaciones y soluciones

y′ = ex ← y(x) = ex + C1

y′′ = ex ← y(x) = ex + C2x+ C1

y′′′ = ex ← y(x) = ex + C3x2 + C2x+ C1

Cada una de las soluciones representan familias de soluciones, una para cada constante. Este tipo de solucioneslas denominaremos soluciones generales. Es decir, llamaremos solucion general de una ecuacion diferencialaquella que queda indeterminada por un conjunto de constantes C1 + C2 + C3 + · · ·Cn. En contraste,cuando particularizamos los valores de las constantes C3, C2, C1 tendremos una solucion particular par cadauna de las ecuaciones. Adicionalmente, cuando nos referimos las ecuaciones no lineales el concepto de solucionparticular varıa. Soluciones particulares en este tipo de ecuaciones seran aquellas que se cumplen para rangos(o puntos) muy particulares. Vale decir

(y′)2 + y2 = 0(y′′)2 + y2 = 0

← y = 0 unica solucion

Tamibien en este caso llamaremos a este tipo de soluciones, particulares. De igual modo puede darse casospara los cuales no exista solucion en un determinado intervalo.

|y′|2 + 1 = 0|y′′|2 + 1 = 0

no tienen solucion



Ecuaciones de la forma

xy′ = 1 para − 1 < x < 0 ∧ 0 < x < 1 ⇒ y(x) = ln |x|+ C ⇒

y(x) = ln(x) + C1 para x > 0

y(x) = ln(−x) + C1 para x < 0

Tienen soluciones particulares para intervalos de la variables x. Del mismo modo

(y′ − y)(y′ − 2y) = 0 ⇒ (y(x)− C1ex)(y(x)− C2e

2x)

= 0

tendra dos soluciones particulares.

Familia de soluciones n−parametricas

Si y(x) = f(x,C1, C2, · · ·Cn) es solucion de una ecuacion diferencial

F [x, y(x), y′(x), y′′(x), · · · , y(n)(x)] = 0 ⇒ y(x) = f(x,C1, C2, · · ·Cn)

para n constantes C1, C2, C3, · · ·Cn arbitrarias. Entonces diremos que

y(x) = f(x,C1, C2, · · ·Cn) es una familia n parametrica de soluciones

Existe una diferencia entre una solucion general de una ecuacion y una solucion n−parametrica. La solu-cion general tiene que contener todas las soluciones una ecuacion diferencial determinada. Una solucionn−parametrica no necesariamente. Veamos

y = xy′ + (y′)2 ⇒

y(x) = Cx+ C2

y(x) =−x2

4

Uno llega a estar tentado de llamar solucion general a la solucion 1−parametrica y(x) = Cx + C2. Sinembargo, deja por fuera otra solucion que no tiene que ver con un valor particular de las constantes C.

Otro ejemplo, lo constituye

y′ = −2y32 ⇒ y(x) =

C2

(Cx+ 1)2 ∀ x. Pero tambien y(x) =

1(x+ C

)2 es solucion, pero y(x) 6= 0

Una solucion n−parametrica se denominara solucion general si contiene todas las soluciones de una de-terminada ecuacion diferencial.En el caso de ecuaciones diferenciales lineales, las soluciones n−parametricascontituyen las soliciones generales a las ecuaciones diferenciales.

Solucion particular, valores iniciales vs valores de contorno

Dependiendo de la situacion fısica que estemos modelando quiza podamos determinar las constantesarbitrarias de una familia n−parametrica con informacion para un unico punto x = x0. Esto es

F [x, y(x), y′(x), y′′(x), · · · , y(n)(x)] = 0 ⇒ y(x) = f(x,C1, C2, · · ·Cn)⇓︷︸︸︷

y(x0)⇒ C1 = c1 y′(x0)⇒ C2 = c2 · · · yn−1(x0)⇒ Cn = cn︸︷︷︸⇓

y(x) = f(x, c1, c2, · · · cn)



En este caso diremos que tendremos problema de valores iniciales, ya que determinamos las constantesarbitrarias a partir de la informacion de la funcion y sus derivadas en un solo punto. Si consideramos

y′′ + ω2y = 0 con

y(0) = 0y′(0) = 1

⇒ y(x) =

1

ωsenωx

Si por el contrario, para determinar el valor de las constantes arbitrarias disponemos de informacion dela funcion y sus derivadas en dos o mas puntos, diremos que tendremos un problema de contorno. Esto es

y′′ + ω2y = 0 con y(0) = y(1) = 0 ⇒ y(x) = sennπωx

Notese que tambien pudimos haber tenido informacion del tipo y(0) = y0, y′(1) = y′1; y′(0) = y′0, y

′(1) = y′1o y′(0) = y0, y(1) = y′1 y para cada uno de estos caso tendremos una solucion distinta.

Demostraremos que los problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales lineales siempre tienensolucion particular (siempre se pueden determinar las constantes a partir de la informacion de la funcion ylas derivadas en UN punto). No ası los problemas de valores de contorno.

7.2.4. Metodos elementales de integracion

Para comenzar expondremos unos metodos de integracion, los cuales si bien son elementales y casi trivialespara este caso, seran utilizados en lo que sigue, con bastante frecuencia.

Integracion directa

La integracion directa tiene varias variantes las cuales nos hemos tropezado en varias situaciones demodelaje y que nos han permitido integrar (intuitivamente) ecuaciones diferenciales. La mas directa detodas ha sido

dy(x)

dx= f(x)⇒

∫dy(x) =

∫dx f(x)⇒ y(x) =

∫dx f(x) + C

por lo cual, al integrar (analıtica o numericamente) tendremos la expresion para la funcion y(x).La integracion directa fue la estrategia que utilizamos arriba para encontrar las formulitas que nos

aprendimos en bachillerato. Esto es

∑Fextm

=dV (t)

dt= a = constante ⇒

V (t) =

∫dt a = t a+ C2

x(t) =∫

dt (t a+ C2) =t2

2a+ C2t+ C1

en la cual al recordar las condiciones iniciales

V (0) = V0 ≡ C2 ⇒ V (t) = V0 + at

x(0) = x0 ≡ C1 ⇒ x(t) = x0 + V0t+ at2

2

La primera variante en la estrategia de integracion directa es

dy(x)

dx= f(y)⇒

∫dy

f(y)=

∫dx⇒ F [y(x)] = x+ C



Figura 7.3: Familia de soluciones 1−parametrica para a = 13 . En particular han sido tomados los valores

C = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

donde F [y(x)] sera un funcional, desde el cual quiza se pueda despejar y(x). Esta estrategia se ilustra maso menos ası

dy(x)

dx= −ay (x) con y(0) = 2 entonces ⇒

∫dy

y= −a

∫dx⇒ yg(x) = Ce−ax ⇒ yp(x) = 2e−ax

la Figura 7.3 muestra varias soluciones particulares pertenecientes a esta familia, para a = 13 .

Otro ejemplo de integracion directa surge de

yy′ = (y + 1)2 ⇒ yy′

(y + 1)2= 1⇒

∫ydy

(y + 1)2=

∫dx para y 6= −1 ⇒ 1

y + 1+ ln |y + 1| = x+ C

que no es otra cosa que una familia de soluciones implıcitas, uniparametrica. Para una condicion inicialy(2) = 0 entonces

y(2) = 0⇒ C = −1 ⇒ 1

y + 1+ ln |y + 1| = x− 1 para y 6= −1

una vez mas esta familia de solucines 1−parametrica no constituye la solucion general de es ecuacion diferen-cial ya que no contiene todas las solucines. En este caso y(x) = −1 tambien es solucion y no esta contenida.

Mi primera ecuacion separable

Los casos anteriores de integracion directa son generalizados por una ecuacion que llamaremos separable.Esto es la funcion (funcional) de dos variables del lado derecho se supone que es el resultado del productode dos funciones de una variable, con lo cual las variables dependientes e independientes se agrupan a lados



distintos de la igualdad.

dy(x)

dx= H[y(x), x] ⇐ dy(x)

dx= Y (y(x))X(x) ⇒ dy

Y (y)= X(x) dx⇔

∫dy

Y (y)=

∫X(x) dx

Figura 7.4: Mapa de las Ecuaciones diferenciales explıcitas

Este es el caso con

dy(x)

dx= x+ xy ⇒

∫dy

1 + y=

∫x dx ⇒ ln(1 + y) =

x2

2+ C ⇒ y(x) = Ae

x2

2

con C y A constantes arbitrarias a ser determinadas por las condiciones iniciales.

Mi primera ecuacion diferencial exacta y el factor integrador

La mayor de las veces tendremos que idearnos un factor, µ(x), con el cual multipliquemos la ecuacion di-ferencial y la convirtamos en una ecuacion diferencial exacta. Lo mostraremos con un ejemplo. Consideremosla ecuacion diferencial

dy(x)

dx= e−x − ay(x) con y(0) = 2 entonces

dy(x)

dx+ ay(x) = e−x ⇒ µ(x)

(dy(x)

dx+ ay(x)

)?≡ d[µ(x)y(x)]

dx

y, efectivamente, para este caso

µ(x) = eax ⇒ eaxdy(x)

dx+ ay(x)eax = e−xeax ⇒ d(eaxy(x))

dx= eaxe−x ⇒

∫d(eaxy(x)) =

∫dx e(a−1)x

de forma y manera que

eaxy(x) =1

a− 1e(a−1)x + C ⇒ y(0) = 2⇒ C = 2− 1

a− 1=

2a− 3

a− 1⇒ yp(x) =

1

a− 1

(e−x + (2a− 3)e−ax

)Un par comentarios son pertinentes:



Llamaremos al termino µ(x) factor integrador de la ecuacion diferencial. Esta relacionado con propie-dades de simetrıa de la ecuacion, pero en este nivel lo buscaremos tanteando.

La solucion general de esa ecuacion diferencial toma la forma de yg(x) = (e−x + Ce−ax) donde elsegundo de los terminos yg h(x) = Ce−ax corresponde a la solucion general para la ecuacion homogenea

asociada a esa ecuacion diferencial: dy(x)dx + ay(x) = 0. El otro termino yinh(x) = e−x corresponde

a la solucion particular de la inhomogenea: dy(x)dx + ay(x) = e−x. Esta sera una propiedad general

para ecuaciones diferenciales lineales de cualquier orden. Resolveremos la ecuacion homogenea y luegoencontraremos la solucion de la inhomogenea. La solucion general sera una suma de ambas soluciones

Figura 7.5: Isoclinas para cuatro ecuaciones diferenciales. Cuadrante I muestra la ecuacion dy(x)dx = e−x −

13y(x) y se muestran las soluciones particulares para las condiciones iniciales y(0) = 0,75, y(0) = 0,50, y(0) =0, y(0) = −0,50, y(0) = −0,75. El Cuadrante II corresponde a las tangentes generadas a partir de la ecuaciondy(x)

dx = y(x)x . Notese son curvas integrales radiales que para el punto x = 0 no esta definida la curva integral.

En el Cuadrante III represente las tangentes de la ecuacion dy(x)dx = − x

y(x) . Finalmente el Cuadrante IV

contiene las tangentes a la ecuacion dy(x)dx = 1 + x y(x) en ella se han indicado las curvas integrales para

las soluciones particulares correspondientes a las condiciones iniciales y(0) = 0,75, y(0) = 0,50, y(0) =0, y(0) = −0,50, y(0) = −0,75.

En general

y′ + ay = g(x) ⇒ µ(x) = eax ⇒ yg(x) = e−ax∫ x

x0

dt g(t)eat︸︷︷︸solucion de la inhomogenea

+ Ce−ax︸︷︷︸solucion de la homogenea

la demostracion la dejamos como ejercicio para el lector.Para finalizar la figura 7.4 muestra el mapa de ruta para la resolucion de las ecuaciones diferenciales

ordinarias, lineales.



Metodo de las Isoclinas

Este metodo se basa en la idea de campo y curvas integrales que vimos cuando estudiamos camposvectoriales. La idea es bien simple. En general una ecuacion diferencial de primer orden (explıcita respecto ala derivada) se podra representar como y′ = f(y, x). Ahora bien, el lado derecho de esa igualdad lo representauna funcion de dos variables, la cual tendra un valor en cada punto (x, y). Ese valor (por la igualdad querepresenta la ecuacion diferencial) sera el valor de la derivada en ese punto y el valor de la derivada en unpunto, no es otra cosa que la pendiente de la recta tangente a ese punto. Con eso, al construir una graficarecordamos las curvas integrales de los campos vectoriales y reconstruimos las curvas solucion a partir de sustangentes. La Figura 7.5 contiene cuatro ejemplos de estas construcciones. Ası tendremos la representaciongrafica para las tangentes de las siguientes ecuaciones diferenciales.

dy(x)

dx= e−x − 1

3y(x) Cuadrante I

dy(x)

dx=y(x)

xCuadrante II

y tambiendy(x)

dx= − x

y(x)Cuadrante III

dy(x)

dx= 1 + x y(x) Cuadrante IV

Es importante senalar que este metodo permite obtener las posibles soluciones de una ecuacion diferencialno importa lo complicada que sea.

Puntos Ordinarios y Singulares

Llamaremos un punto ordinario de orden n a un punto xo en el cual la funcion y sus n−derivadas estandefinidas, esto es y(xo), y

′(xo), y′′(xo), · · · , y(n)(xo). En contraste a un punto ordinario llamaremos punto

extraordinario o singular a un punto xs tal que la funcion o sus derivadas no se encuentran definidas en este.Para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, los puntos ordinarios y singulares tienen que vercon la funcion y su primera derivada. Notese que en el cuadrante I y IV de la Figura 7.5 todos los puntosson ordinarios de orden infinito. En el cuadrante II la funcion no esta definida para xs = 0 con lo cual es unpunto singular, y en el cuadrante III, la funcion esta definida para xs = 0 pero no ası su derivada.

7.3. Ecuacion Diferenciales de Primer Orden

Ahora de manera un poco mas sistematica diremos que una ecuacion diferencial de primer orden sera unfuncional tal que si es explıcita respecto a la derivada se podra despejarla

F [x, y(x), y′(x)] = 0 ⇒

dy(x)

dx= H[y(x), x] ⇔ y′ ≡ dy(x)

dx= H(x, y)

Q(x, y)dy + P (x, y)dx = 0

7.3.1. Ecuaciones Diferenciales separables

La primera estrategia sera la que consideramos arriba en el sentido que la ecuacion diferencial sea separa-ble. Es decir que las variables dependientes e independientes puedan ser agrupadas y, a partir de allı intentaruna integracion de cada grupo por separado. Esto lo esbozamos arriba, mas o menos ası

⇐ dy(x)

dx= Y (y(x))X(x) ⇒ dy

Y (y)= X(x) dx⇔

∫dy

Y (y)=

∫X(x) dx



o equivalentemente

P (x, y)dy +Q(x, y)dx = 0 ⇔ P1(x)P2(y)dy +Q1(x)Q2(y)dx = 0 ⇔ P2(y)

Q2(y)dy +

Q1(x)

P1(x)dx = 0

Otro ejemplo sera

y′ =

√1− x2

√5− y

⇔√

1− x2 dx+√

5− y dy ⇒∫

dx√

1− x2 +

∫dy√

5− y

con lo cual

y′ =

√1− x2

√5− y

⇐ 1

2x√

1− x2 +1

2arcsenx+

2

3(5 + y)3/2 = C para − 1 ≤ x ≤ 1 ∧ y > −5

Notese que el el arcsenx es multivaluada por lo tanto debemos restringir el intervalo a su valor principal−π2 < x < π

2

Ejercicio Pruebe que

y′ = x

√1− y√1− x2

⇐√

1− x2 − 2√

1− y = C para − 1 < x < 1 ∧ y < 1

Variaciones sobre separabilidad y coeficientes inhomogeneos

Abra otras situaciones en las cuales encontremos ecuaciones diferenciales que podremos convertir enseparables:

dy(x)

dx= f(ax+ by + c︸︷︷︸

z

) ⇒ dz = adx+ bdy ⇒ dy

dx=

1

b

dz

dx− a

b⇒ 1

b

dz

dx− a

b= f(z)⇒ dz

dx= bf(z) + a

Veamos

y′ = sen2(x+ y) ⇒ dz = dx+ dy ⇒ y′ = −1 +dz

dx⇒ z′ = −1 + sen2(z) ⇒

∫dz

1− sen2(z)= −

∫dx

es decir

−∫

dz

cos2(z)= x+ C ⇒ − tan z = x+ C ⇒ − tan(x+ y) = x+ C ⇒ y = x+ arctan(x+ C)

Se puede tratar de generalizar el caso anterior puede y considerar ecuaciones diferenciales del tipo

dy(x)

dx= f

(a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2

)Entonces, se distinguen dos casos dependiendo si las rectas a1x + b1y + c1 = 0 y a2x + b2y + c2 = 0 sonparalelas o no.

Si son paralelas

a2

a1=b2b1

= λ ⇒ dy(x)

dx= f

(a1x+ b1y + c1

λ(a1x+ b1y) + c2

)≡ f(a1x+ b1y)



la cual analizamos al comienzo de esta seccion y lo ilustraremos con el siguiente ejemplo

y′ =2x+ 3y − 1

4x+ 6y + 2⇒ λ = 2 ⇒ z = 2x+ 3y − 1 ⇒ dz = 2dx+ 3dy ⇒ y′ =

1

3(z′ − 2)

con lo cual

1

3(z′ − 2) =

z

2z + 2⇒ z′ =

7z + 4

2z + 2⇒∫

dz2z + 2

7z + 4=

∫dx ⇒ 2

7z +

6

49ln(7z + 4) = x+ C

Si no son paralelas, se intuye el siguiente cambio de variables

u = a2x+ b2y + c2 ⇒ du = a2dx+ b2dy ⇒ dy =1

b2 − b1

(du

a2− dv

a1

)

v = a1x+ b1y + c1 ⇒ dv = a1dx+ b1dy ⇒ dx =1

a2 − a1

(du

b2− dv

b1

)con lo cual

dy(x)

dx= f

(a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2

)⇒

(1

a2(b2 − b1)+

f(vu

)b2(a2 − a1)

)du−

(1

a1(b2 − b1)+

f(vu

)b1(a2 − a1)

)dv = 0

donde la funcion f(vu

)se conoce como una funcion homogenea y al igual que la ecuacion diferencial que

hereda de esta su nombre. Este tipo de ecuaciones diferenciales seran consideradas en la proxima seccion.Otro enfoque (equivalente) de este mismo problema puede ser consultado en el problemario de Kiseliov,

Kransnov, Makarenko [8]. En este enfoque el cambio de variables se relaciona con el punto de corte (x0, y0)Para ejemplificar este caso analizaremos un ejemplo sencillo de una funcion con argumento inhomogeneo

del tipo.

dy(x)

dx=a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2

⇔ Q(x, y)dy + P (x, y)dx = 0 ⇒

Q(x, y) ∝ a2x+ b2y + c2

P (x, y) ∝ a1x+ b1y + c1

Decimos, entonces que los coeficientes Q(x, y) y P (x, y) son inhomogeneos (ci 6= 0). Su pondremos que lasrectas no son paralelas, por lo cual utilizamos el cambio de variable propuesto anteriormente. Entonces

u = a2x+ b2y + c2 ⇒ du = a2dx+ b2dy ⇒ dy =1

b2 − b1

(du

a2− dv

a1

)

v = a1x+ b1y + c1 ⇒ dv = a1dx+ b1dy ⇒ dx =1

a2 − a1

(du

b2− dv

b1

)con lo cual convertimos los los coeficientes Q(x, y) y P (x, y) en homogeneos. Esto es

(a2x+ b2y + c2)dy + (a1x+ b1y + c1)dx = 0︸︷︷︸⇓︷︸︸︷(

u

a2(b2 − b1)+

v

b2(a2 − a1)

)du−

(u

a1(b2 − b1)+

v

b1(a2 − a1)

)dv = 0

es decir

P (u, v) = u

(1

a2(b2 − b1)+

vu

b2(a2 − a1)

)= ug1

( vu

);Q(u, v) = u

(1

a1(b2 − b1)+

vu

b1(a2 − a1)

)= ug2

( vu

).

Este tipo de funciones homogeneas seran consideradas en la siguiente seccion.



Funciones Homogeneas de grado n y Ecuaciones Diferenciales Homogeneas

Diremos que una funcion

f(x, y) es homogenea de grado n si f(tu, tv) = tnf(u, v) ⇔

si w =

x

y⇒ f(x, y) = yng(w)

si w =y

x⇒ f(x, y) = xnh(w)

Las funciones homogeneas indican un comportamiento particular cuando cambiamos la escala de sus va-riables. Se utilizan con bastante frecuencia en hidrodinamica y termodinamica. Un ejemplo de una funcionhomogenea de grado 2 tendremos:

f(x, y) = x2 + y2 ln(yx

)⇒ f(tx, ty) = t2

(u2 + v2 ln

( vu

))homogenea de grado 2

Ejercicio: Muestre que

f(x, y) =√ysen

(x

y

)Homogenea de grado

1

2; f(x, y) = ey/x + tan

(x

y

)Homogenea de grado 0

Una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden sera homogenea si

Q(x, y) y P (x, y) son homogeneas de grado n⇒ Q(x, y)dy + P (x, y)dx = 0 homogenea

y en ese caso la estrategia para resolverla pasa por una sustitucion del tipo

Q(x, y) y P (x, y) son homogeneas de grado n ⇒ y = ux ⇒ xnp(u)(udx+ xdu) + xnq(u)dx = 0

con lo cual la convertimos en separable

Q(x, y)dy + P (x, y)dx = 0 ⇒ xn+1du+ xn(q(u) + up(u))dx = 0 ⇔ du

q(u) + up(u)+

dx

x= 0

Notese que exigir que Q(x, y) y P (x, y) sean funciones homogeneas de grado n, equivale a imponer que

dy(x)

dx=P (x, y)

Q(x, y)≡ F

(yx

)donde F

(yx

)es Homogena de grado 0

con lo cual estamos diciendo que si los coeficientes Q(x, y) y P (x, y) so funciones homogeneas de grado n, laecuacion diferencial es invariante de escala.

Como un primer ejemplo consideremos la siguiente ecuacion diferencial

y′ =

√x2 − y2 + y

x

Esto es

(√x2 − y2 + y

)dx− xdy = 0 ⇒

Q(tx, ty)→

√(tx)2 − (ty)2 + ty ⇒ t

(√(x)2 − (y)2 + y

)P (tx, ty)⇒ tx ⇒ tx

homgenea de grado 1 y por lo tanto al hacer y = ux tendremos

x(√

1− u2 + u)

dx− x(udx+ xdu) = 0 ⇒ ±√

1− u2dx− xdu = 0 ⇒∫

dx

x= ±

∫du√

1− u2



integramos y, finalmente, llegamos a

ln(x) = arcsenu+ C ⇒ ln(x) = arcsen(yx

)+ C para

∥∥∥yx

∥∥∥ < 1 con x > 0

− ln(−x) = arcsenu+ C ⇒ − ln(−x) = arcsen(yx

)+ C para

∥∥∥yx

∥∥∥ < 1 con x < 0

y como u =∥∥∥yx

∥∥∥ = 1⇒ y = ±x tambien es solucion.

Para un segundo ejemplo, consideremos la siguiente ecuacion diferencial

y′ = −2x− y + 1

x+ y

la cual corresponde al caso en los cuales los coeficientes de la ecuacion Q(x, y) y P (x, y) funciones inho-mogeneas. Tal y como hemos visto un cambio de variable lo convierte en homogeneo, entonces

(2x− y + 1) dx+ (x+ y) dy = 0 ⇒

u = 2x− y + 1 ⇒ du = 2dx− dy ⇒ dx = 13 (du+ dv)

v = x+ y ⇒ dv = dx+ dy ⇒ dy = − 13 (du− 2dv)

ası nuestra ecuacion diferencial tendra la forma de una ecuacion homogenea

u

(1

3(du+ dv)

)+ v

(−1

3(du− 2dv)

)= 0 ⇒ (u− v)du+ (u+ 2v)dv = 0

y ahora haciendo el cambio de variables u = tv con lo cual du = tdv + vdt

(tv − v)(tdv + vdt) + (tv + 2v)dv = 0 ⇒ (t2 + 2)dv + (tv − v)dt = 0 ⇒∫

dv

v=

∫dt

t− 1

t2 + 2

e integrando tendremos que

ln |v|+ 1

2ln |t2 + 2| − 1√

2arctan

t√2

= C ⇒ ln |v2(t2 + 2)| = 2√2

arctant√2

+ C para v 6= 0

y ahora

t→ 2x− y + 1

x+ y⇒ ln

∣∣(2x− y + 1)2 + 2(x+ y)2∣∣ =

2√2

arctan

∣∣∣∣2x− y + 1√2(x+ y)

∣∣∣∣+ C para x+ y 6= 0

La Figura 7.6 ilustra esta familia de soluciones.

Ecuaciones Isobaras

Las ecuaciones isobaras generalizan a las ecuaciones homogeneas por cuanto los coeficientes de la ecuacionQ(x, y) y P (x, y) no son funciones homogeneas del mismo grado y se busca una transformacion que conviertala ecuacion en homogenea. Dicho de otra manera, si la dimensionalidad en potencias de y es la misma quela dimensionalidad en potencias de x Diremos que una ecuacion diferencial es isobara si cumple con

Q(x, y)dy + P (x, y)dx = 0 ⇒

Q(tx, tmy) → tnP (x, y)

P (tx, tmy) → tn−m+1Q(x, y)



Figura 7.6: Solucion grafica para la ecuacion y′ = −2x− y + 1

x+ y. Las curvas azules indican soluciones parti-

culares y(0) = 7; y(0) = 5; y(0) = 2; y(0) = −7; y(0) = −5; y(0) = −2.

y el cambio de variable que se impone es y = vxm. El exponente m surge de balancear (si es posible) Con locual habra que estudiar si es posible “balancear” el orden de las dimensionalidades de variables y funciones.Tratemos con un ejemplo de ilustrar las ecuaciones isobaras. Consideremos la ecuacion

y′ = − 1

2xy

(y2 +

2

x

)⇒(y2 +

2

x

)dx+ 2xydy = 0 ⇒

x→ x ↔ dx = dxy → zm ↔ dy = mzm−1dz

En la contabilidad de los exponentes x aporta un peso de 1 mientras que y aporta un peso de m. La intenciones balancear los terminos para que la ecuacion sea homogenea de grado n. Esto es(y2 +

2

x

)dx+ 2xydy = 0 ⇒

(z2m +

2

x

)dx+ 2xzmmzm−1dz = 0 ⇒ m = −1

2⇒ y = vxm ⇒ y =

v√x

El exponente del primier termino es 2m, del segundo −1 del tercero 2m. Al balancear todos los exponentestendremos 2m = −1 con lo cual m = − 1

2(y2 +

2

x

)dx+ 2xy dy = 0 ⇒

(v2

x+

2

x

)dx+ 2x

v√x

(dv√x− 1

2

v

x√x

dx

)= 0 ⇒ vdv +

dx

x= 0

entonces al integrar y devolver el cambio v = y√x tendremos∫

dv v +

∫dx

x= 0 ⇒ v2

2+ lnx = c ⇒ 1

2y2x+ lnx = c



7.3.2. Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones Exactas lineales

El segundo grupo de estrategias apunta a escribir una ecuacion diferencial como una derivada total de unconjunto de funciones. Uno se ayuda en una posible funcion que pueda acomodar los terminos de la ecuacion.Esa funcion se denomina factor integrador y tiene la forma, para una ecuacion diferencial, lineal

d[µ(x)y(x)]

dx≡ dµ(x)

dxy(x) + µ(x)

dy(x)

dx= µ(x)g(x) ↔ µ(x)

dy(x)

dx+ µ(x)f(x)y(x) = µ(x)g(x)

Para que esas dos ecuaciones sean equivalentes los coeficientes de y(x) tienen que ser iguales. Es decir

dµ(x)

dx= µ(x)f(x) ⇒

∫dµ(x)

µ(x)=

∫dx f(x) ⇒ µ(x) = e

∫dx f(x)

Con lo cual hemos demostrada que para una ecuacion lineal de primer orden, siempre es posible encontrarun factor integrador µ(x) tal que la ecuacion diferencial pueda ser expresada como una derivada total delfactor integrador y la funcion incognita.

dy(x)

dx+ f(x)y(x) = g(x) ⇒ d[µ(x)y(x)]

dx= µ(x)g(x) ⇒ y(x) =

1

µ(x)

(∫dxµ(x)g(x) + C

)donde µ(x) = e

∫dx f(x)

Ecuaciones exactas no lineales

Este criterio lo podemos extender a ecuaciones que no sean, necesariamente lineales. Ası para una ecuaciondiferencial que pueda ser escrita como

d [Φ(x, y)] = 0?⇔ Q(x, y)dy + P (x, y)dx = 0 ⇒ d [Φ(x, y)] =

∂Φ(x, y)

∂xdx+

∂Φ(x, y)

∂ydy = 0

donde Φ(x, y) sera la funcion a determinar. Entonces tendremos que la condicion necesaria y suficiente paraque una ecuacion diferencial sea exacta es

Q(x, y)⇔ ∂Φ(x, y)

∂y

P (x, y)⇔ ∂Φ(x, y)

∂x

⇒ ∂2Φ(x, y)

∂y∂x≡ ∂2Φ(x, y)

∂x∂y⇔ ∂Q(x, y)

∂x≡ ∂P (x, y)

∂y⇒ d [Φ(x, y)] = 0

Si esto se cumple entonces, podremos encontrar la funcion Φ(x, y) integrando respecto a cualquiera delas variables (ahora consideradas independientes ambas).

P (x, y) ≡ ∂Φ(x, y)

∂x⇔ Φ(x, y) =

∫ x0

x

duP (u, y)+S(y)⇒ Q(x, y) =∂Φ(x, y)

∂y=

∂

∂y

(∫ x0

x

duP (u, y)

)+∂S(y)

∂y

entonces

Q(x, y) =∂Φ(x, y)

∂y=

∫ x0

x

du∂P (u, y)

∂y+∂S(y)

∂y≡∫ x0

x

dv∂Q(v, y)

∂v+∂S(y)

∂y= Q(v, y)|v=x

v=x0+∂S(y)

∂y



con lo cual nos queda finalmente otra ecuacion diferencial para encontrar S(y) y con ella Φ(x, y). Esto es

∂S(y)

∂y= Q(x0, y) ⇒ S(y) =

∫ y0

y

dwQ(x0, w) ⇒ Φ(x, y) =

∫ x0

x

duP (u, y) +

∫ y0

y

dwQ(x0, w) = C

Hay que hacer notar que los segmentos de lınea que unen el punto (x0, y0) con los puntos genericos (x, y0)∧(x0, y) pertenecen al entorno de (x0, y0). Este tipo de entornos tambien se denomina multiplemente conexo.

Consideremos los siguientes ejemplos:Primeramente

y′(xseny − y2

)= cos y ⇔ cos y dx−

(xseny − y2

)dy = 0 ⇒

P (x, y) ⇔ cos y

Q(x, y) ⇔ −(xseny − y2

)y verificamos que esta ecuacion diferencial es exacta, ya que

∂Q(x, y)

∂x=∂P (x, y)

∂y= − sen y ⇒ Φ(x, y) =

∫ x0

x

duP (u, y) +

∫ y0

y

dwQ(x,w) = C

con lo cual, si particularizamos el punto (x0, y0) ≡ (0, 0) tendremos que

Φ(x, y) =

∫ x0

x

du cos y +

∫ y0

y

dww2 = C ⇒ x cos y +y3

3= C

Otro ejemplo sera

(x3 + y2x

)dx+

(x2y + y3

)dy ⇒

P (x, y) ⇔(x3 + y2x

)Q(x, y) ⇔

(x2y + y3

) ⇒ ∂Q(x, y)

∂x=∂P (x, y)

∂y= 2yx

y otra vez

Φ(x, y) =

∫ x0

x

du(u3 + y2u

)+

∫ y0

y

dw(x2w + w3

)= C ⇒ Φ(x, y) = x4+2x2y2+y4 = C ⇒

(x2 + y2

)2= C

Ecaciones exactas no lineales y factor integrador

Del mismo modo, y con la misma idea, podemos incorporar el factor integrador µ(x, y) para extenderla idea a ecuaciones que no sean, necesariamente lineales. Ası para una ecuacion diferencial que pueda serescrita como

d [Φ(x, y)] = 0?⇔ µ(x, y)Q(x, y)dy + µ(x, y)P (x, y)dx = 0

es decir

d [Φ(x, y)] =∂Φ(x, y)

∂xdx+

∂Φ(x, y)

∂ydy = µ(x, y)Q(x, y)dy + µ(x, y)P (x, y)dx = 0

Entonces tendremos que la condicion necesaria y suficiente para que una ecuacion diferencial sea exacta,forzandola con el factor integrador se complica un poco

µ(x, y)Q(x, y)⇔ ∂Φ(x, y)

∂y

µ(x, y)P (x, y)⇔ ∂Φ(x, y)

∂x

⇒ ∂2Φ(x, y)

∂y ∂x≡ ∂2Φ(x, y)

∂x ∂y⇔ ∂µ(x, y)Q(x, y)

∂x≡ ∂µ(x, y)P (x, y)

∂y



y, obviamente, esta condicion de integrabilidad dependera del µ(x, y) que propongamos.Ası si µ(x, y) = µ(x) entonces la condicion se lee

∂µ(x)

∂xQ(x, y) + µ(x)

∂Q(x, y)

∂x≡ µ(x)

∂P (x, y)

∂y⇒ 1

µ(x)

∂µ(x)

∂x=

1

Q(x, y)

(∂P (x, y)

∂y− ∂Q(x, y)

∂x

)= f(x)

con lo cual si se cumple que

1

Q(x, y)

(∂P (x, y)

∂y− ∂Q(x, y)

∂x

)= f(x) =

1

µ(x)

∂µ(x)

∂x⇒ µ(x) = e

∫dx f(x)

podremos deteriminar el factor integrador. Una vez identificado procedemos a integrar, formalmente Φ(x, y)

Φ(x, y) = µ(x)

∫ y

y0

duQ(x, u) + S(x) ⇒ ∂Φ(x, y)

∂x= µ(x)P (x, y) ≡ ∂

∂x

(µ(x)

∫ y

y0

duQ(x, u) + S(x)

)y finalmente, una vez mas

µ(x)P (x, y) =

∫ y

y0

du∂µ(x)Q(x, u)

∂x+∂S(x)

∂x⇒ µ(x)P (x, y) =

∫ y

y0

du∂µ(x, u)P (x, u)

∂u+∂S(x)

∂x

con lo cual

S(x) =

∫ x

x0

duµ(u, y0)P (u, y0) ⇒ Φ(x, y) = µ(x)

∫ y

y0

duQ(x, u) +

∫ x

x0

duµ(u, y0)P (u, y0) + C

Bernoulli y Ricatti

7.3.3. Solucion Parametrica de Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones del Tipo F(y′) = 0, F(x, y′) = 0 y F(y, y′) = 0

Ecuaciones del Tipo F(x, y, y′) = 0, Lagrange y Clairaut

7.4. Soluciones Numericas a las Ecuaciones Diferenciales

7.4.1. Las Ideas Generales

Dada una ecuacion diferencial de segundo orden de la forma

d2x(t)

dt2= F

(d x(t)

dt, x(t), t

)siempre se puede convertir en un sistema de dos ecuaciones lineales de primer orden, al extender el espaciode variables de la forma

d x(t)dt

def= p(t)

x(t)def= q(t)

⇒ d2x(t)

dt2= F

(d x(t)

dt, x(t), t

)⇔

d q(t)

dt = p(t)d p(t)

dt = F (p(t), q(t), t)

este sistema puede ser re-arreglado en forma vectorial

d

(q(t)p(t)

)dt

=

(p(t)

F (p(t), q(t), t)

)⇔ d Q(t)

dt= F (Q(t),t)



Ası dado un conjunto de potenciales elasticos y las fuerzas que de ellos derivan,

V (x) =

kx ← p = 1

12kx

2 ← p = 2

13kx

3 ← p = 3...

1pk ‖x‖

p

⇒ Fk(x) = −d V (x)

dx⇒ Fk(x) =

−k x‖x‖

−kx

−kx2

...

−k ‖x‖p−1 x‖x‖

el sistema dinamico correspondiente a la ecuacion de Newton sera

d Q(t)

dt= F (Q(t),t)⇒

d

x(t)

p(t)

dt

=

p(t)

1m [Fext (x(t), t)]− k ‖x(t)‖p−1 x(t)

‖x(t)‖

Los Metodos y su Clasificacion

Dada una ecuacion diferencial de primer orden, dy(x)dx = y′(x) = f(y(x), x), con yk el valor de la funcion

obtenida con el metodo, con yk = y(xk), donde xk = x0 + kh y h el paso. Diremos que un metodo esde paso unico si la determinacion de yk+1 solo involucra un unico valor de yk y multiple paso si paracalcularlo se utilizan varios valores yk, yk−1, · · · , yk−p. Por otra parte se denomina un metodo explıcito sipara determinar yk+1 se utilizan valores anteriores yk, yk−1, · · · , yk−p y implıcito si se utilizan una funciondel mismo valor yk+1. Ası

yk+1 = yk−1 + 2h f (xk, yk)

representa un metodo explıcito de paso unico mientras que

yk+1 = yk +h

2[f (xk, yk) + f (xk+1, yk+1)]

sera implıcito de multiples pasos.

El Rebusque de Taylor

Tal y como hemos dicho arriba, dada una ecuacion diferencial, su solucion a traves de un metodo de pasounico puede ser escrita como

y′(x) = f(y(x), x)⇒ yk+1 = yk + ϕ (xk, yk, h) con h = xi+1 − xi;

Lo primero que se puede hacer es expandir por Taylor alrededor del punto x = xk

y(x) = y(xk) + (x− xk) y′(xk) +1

2!(x− xk)

2y′′(xk) + · · ·+ 1

n!(x− xk)

ny(n)(xk) + · · ·



e identificamos

y(xk)→ yky′(x) = f(y(x), x)

y′(xk)→ f(yk, xk)

y′′(xk)→ f ′(yk, xk) =∂ f

∂x

∣∣∣∣x=xxy=yk

+∂ f

∂y

∣∣∣∣x=xxy=yk

y′k

y′′′(xk)→ f ′′(yk, xk) = ∂xf′ + ∂yf

′ y′k = ∂xxf + (∂xyf) y′k + [∂yxf + (∂yyf) y′k] y′k + ∂yf y′′k

...

por lo que reconstruimos la serie de Taylor hasta el orden que podamos o requiramos

yn+1 = yn + h f(yk, xk) +1

2!h2 f ′(yk, xk) +

1

3!h3 f ′′(yk, xk) + · · ·+ 1

n!hn f (n−1)(yk, xk) + · · ·

quedando acotado el error por

εred =1

(n+ 1)!hn+1 f (n)(y(ξ), x(ξ))

7.4.2. La idea de la Integracion y los Metodos

La idea de integrar una ecuacion diferencial ordinaria puede ilustrarse, formalmente de la siguiente forma

y′(x) = f(y(x), x)⇒ yk+1 = yk +

∫ xk+1

xk

dξ f (ξ, y(ξ))

entonces el metodo se centra en como se aproxima la funcion dentro de la integral

Euler Se aproxima la funcion con en el punto anteriorf (xk, yk) ⇒ yk+1 = yk + h f (xk, yk)Euler Mejorado o Heuns Se aproxima la funcion mediante un promedio en los extremos12 [f (xk, yk) + f (xk+1, yk+1)] ⇒ yk+1 = yk + h

2 [f (xk, yk) + f (xk+1, yk+1)]

⇒ yk+1 = yk + h2 [f (xk, yk) + f (xk+1, yk + h f (xk, yk))]

con h = xi+1 − xi el paso de integracion. Notese ademas que hemos utilizado Euler otra vez para expresaryk+1 = yk+1(yk, xk)

El Metodo de Euler constituye una expansion por Taylor hasta primer orden por lo que el error esclaramente de segundo orden por cuanto si comparamos con la expansion en series de Taylor correspondientetendremos

yk+1 = yk + hd y

dx

∣∣∣∣x=xk

+h2

2!

d2y

dx2

∣∣∣∣x=xk

+ · · ·

‖εtot‖ ∝h2

2!

d2y

dx2

∣∣∣∣x=xk

El Metodo de Euler y el problema de Valores Iniciales

Este metodo si bien no se utiliza en la practica en su forma estandar para ecuaciones diferencialesordinarias, si ilustra el proceso de discretizacion de una ecuacion diferencial y su solucion mediante metodosnumericos.



Para resolver la ecuacion de un oscilador armonico libre que parte del reposo, i.e.

d2φ(t)

dt2+ ω2

0φ(t) = 0 con: ω20 =

k

m; φ (t0) = 1; y

dφ(t)

dt

∣∣∣∣t=t0

= 0

en la cual φ(t) representa la posicion de un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante elastica k.Discretizando mediante diferencia centrada

h = ti+1 − ti;d2φ(t)

dt2≈ 1

h2[φ(ti+1)− 2φ(ti) + φ(ti−1)] ≡ 1

h2[φi+1 − 2φi + φi−1]

con lo cual la ecuacion del oscilador libre queda como

d2φ(t)

dt2+ ω2

0φ(t) = 0 ⇒ φi+1 −(2− h2ω2

0

)φi + φi−1 = 0

esta ultima ecuacion es la version en diferencias finitas de la ecuacion diferencial y es claro que se convierteen una ecuacion algebraica. Finalmente, los dos valores iniciales para la iteracion φ0 y φ1 surgen de lascondiciones iniciales

φ0 ≡ φ (t = t0) = 1

dφ(t)

dt

∣∣∣∣t=t0

= 0 ⇒ φ1 ≈ φ0

Los Metodos de Runge-Kutta

Es el conjunto de metodos mas populares y de mayor uso. La idea del metodo de Runge-Kutta es producirresultados equivalentes a desarrollos en Taylor de orden superior a Euler en metodos de un unico paso porlo tanto

y′(x) = f(y(x), x)⇒ yk+1 = yk +

∫ xk+1

xk

dξ f (ξ, y(ξ))

y se aproxima la funcion con un promedio ponderado.

f (ξ, y(ξ)) ≈ [α f (yk, xk) + β f (yk + δ f (yk, xk)hk, xk + γ hk)] con hk = xk+1 − xk

donde α, β, γ y δ son los pesos estadısticos a ser determinados. Por lo tanto

yk+1 = yk + [α f (yk, xk) + β f (yk + δ f (yk, xk)hk, xk + γ hk)]hk

Expandiendo por Taylor de dos variables

g (x+ λ, y + µ) = g (x, y) + [λ ∂xg + µ ∂yg] +1

2!

[λ2 ∂2

xg + 2λµ ∂xyg + µ2 ∂2yg]

+ · · ·

tendremos

yk+1 = yk + [α+ β] fk hk + β [γ ∂xfk + δ fk ∂yfk]h2k+

+ β

[γ2

2∂2xfk + 2γδ fk ∂xyfk +

δ2

2f2k ∂

2yfk

]h3k + · · ·



con fk = f (yk, xk) y como se ve claramente, queda libertad para escoger

Euler Mejorado o Heuns α = β = 12 ; γ = δ = 1

yk+1 = yk + fk hk + 12 [∂xfk + fk ∂yfk]h2

k

Euler Modificado α = 0; β = 1; γ = δ = 12

yk+1 = yk + fk hk +[

12∂xfk + 1

2 fk ∂yfk]h2k

Runge-Kutta de cuarto orden aproxima la funcion f (ξ, y(ξ)) en cuatro puntos intermedios en el intervaloxk < x < xk+1 por lo cual

yk+1 = yk + [α κ1 + β κ2 + γ κ3 + δ κ4]hk

podemos plantearnos varias formas de hacerlo

yk+1 = yk +hk6

[κ1 + 2κ2 + 2κ3 + κ4]

donde

κ1 = f (xk, yk)

κ2 = f

(xk +

1

2hk, yk +

1

2κ1

)κ3 = f

(xk +

1

2hk, yk +

1

2κ2

)κ4 = f (xk + hk, yk + κ3)

o tambien

yk+1 = yk +hk8

[κ1 + 3κ2 + 3κ3 + κ4]

donde

κ1 = f (xk, yk)

κ2 = f

(xk +

1

3hk, yk +

1

3κ1

)κ3 = f

(xk +

1

3hk, yk +

1

3κ2

)κ4 = f (xk + hk, yk + κ3)

Mas aun el metodo de Fehlberg de 4/5 orden se puede escribir como

yk+1 = yk + hk [C1κ1 + C2κ2 + C3κ3 + C4κ4 + C5κ5 + C6κ6] +O(h6)



κ1 = f (xk, yk)

κ2 = f (xk + a2hk, yk + b21κ1)

κ3 = f (xk + a3hk, yk + b31κ1 + b32κ2)

κ4 = f (xk + a4hk, yk + b41κ1 + b42κ2 + b43κ3)

...

κ6 = f (xk + a6hk, yk + b61κ1 + b62κ2 + b63κ3 + b64κ4 + b65κ5)

la cual puede ser redefinida y truncada para obtener

yk+1 = yk + hk

[C1κ1 + C2κ2 + C3κ3 + C4κ4 + C5κ5

]+O(h5)

Metodos Multipaso

Los metodos multipaso se basan encontrar el valor yn+k como una funcion de k valores precedentes:yn+k−1, yn+k−2, yn+k−3, · · · yn . Para k = 1, retomamos los metodos de paso unico del tipo Euler o Runge-Kutta. Sera explıcito (abierto) si el valor yn+k puede ser calculado directamente o implıcito (abierto) si laformula contiene el valor yn+k deseado.

Otra vez la idea esta en aproximar el argumento de la integracion formal

y′(x) = f(y(x), x)⇒ yi+1 = yi +

∫ xi+1

xi−k

dξ f (ξ, y(ξ))

notese en este caso que el punto i+ 1 recibe la contribucion de k puntos anteriores. El integrando f (ξ, y(ξ))lo aproximaremos con un polinomio de interpolacion de Newton de orden n. Tal que

f (ξ, y(ξ))→ f (ξ) = pn (ξ) +Rn (ξ)

con pn (ξ) el polinomio de interpolacion y Rn (ξ) el residuo. Donde i

pn (x) = f [xn] + (x− xn) f [xn, xn−1] + (x− xn) (x− xn−1) f [xn, xn−1, xn−2] + · · ·+ (x− xn) (x− xn−1) (x− xn−2) · · · (x− x1) f [xn, xn−1, xn−2, xn−3, · · ·x0]

Rn (x) = (x− xn) (x− xn−1) (x− xn−2) · · · (x− x0)f (n+1)(ζ)

(n+ 1)!con x0 < ζ < xn

haciendo pn (x) ≡ f (xn + αh) con α cero o negativo de tal modo que en terminos del operador diferenciasatrasada ∇f(x) = f(x)− f(x− h) siendo h el incremento

f (xn + αh) = fn + α∇fn +α (α+ 1)

2!∇2fn +

α (α+ 1) (α+ 2)

3!∇3fn+

+α (α+ 1) (α+ 2) · · · (α+ r − 1)

r!∇rfn



donde hemos denotado fn ≡ f (xn, y(xn)), ∇mfn ≡ ∇mf |x=xn, y α = (x− xi) /h Por lo tanto

yi+1 = yi +

∫ xi+1

xi−k

dξ f (ξ, y(ξ))

= yi + h

∫ 1

−kdα f (xn + αh)

yi+1 = yi + h

[αfi +

α2

2∇fi + α2

(α

3+

1

2

)∇2fi

2!+ α2

(α2

4+ α+ 1

)∇3fi

3!+

+α2

(α3

5+

3α2

2+

11α

3+ 3

)∇4fi

4!+ · · ·

]1

−k

por razones de conveniencia que son evidentes al hacer el desarrollo, se toman las formulas para k = r y kimpar y obtendremos

k = 0r = 3

⇒

yi+1 = yi + h

[fi + 1

2∇fi + 512∇

2fi + 38∇

3fi]

R = 251720h

5f (4) (ζ)

k = 1r = 1

⇒

yi+1 = yi + h [2fi + 0∇fi]

R = 13h

3f (2) (ζ)

k = 3r = 3

⇒

yi+1 = yi + h

[4fi − 4∇fi + 3

8∇2fi + 0∇3fi

]R = 14

45h5f (4) (ζ)

k = 5r = 5

⇒

yi+1 = yi + h

[6fi − 12∇fi + 15∇2fi − 9∇3fi + 33

10∇4fi]

R = 41140h

7f (6) (ζ)

y al expresar las diferencias atrasadas las formulas explıcitas (abierta) quedan expresadas como

k = 0r = 3

yi+1 = yi + h

24 [55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3] R ∼ O(h5)

k = 1r = 1

yi+1 = yi + 2hfi R ∼ O

(h3)

k = 3r = 3

yi+1 = yi + 4h

3 [2fi − fi−1 + 2fi−2] R ∼ O(h5)

k = 5r = 5

yi+1 = yi + 3h

10 [11fi − 14fi−1 + 26fi−2 − 14fi−3 + 11fi−4] R ∼ O(h7)

Siguiendo el mis procedimiento se pueden escribir las formulas implıcitas (cerradas) para las mismas“curiosas” situaciones. Para este caso la conveniencia se obtienes para k impar y r = k + 2

k = 0r = 3

⇒

yi+1 = yi + h

[fi+1 − 1

2∇fi+1 − 112∇

2fi+1 − 124∇

3fi+1

]R = −19

720 h5f (4) (ζ)

k = 1r = 3

⇒

yi+1 = yi−1 + h

[2fi+1 − 2∇fi − 1

3∇2fi+1 − 0∇3fi+1

]R = −1

90 h5f (4) (ζ)

k = 3r = 5

⇒

yi+1 = yi−3 + h

[4fi+1 − 8∇fi − 20

3 ∇2fi+1 − 8

3∇3fi+1 + 14

45∇4fi+1

]R = −8

945h5f (4) (ζ)



desarrollando las diferencias atrasadas, tendremos

k = 0r = 3

yi+1 = yi + h

24 [9fi+1 + 19fi−1 − 5fi−1 + 9fi−2] R ∼ O(h5)

k = 1r = 3

yi+1 = yi−1 + h

3 [fi+1 + fi + fi−1] R ∼ O(h5)

k = 3r = 5

yi+1 = yi−3 + 2h

45 [7fi+1 + 32fi + 12fi−1 + 32fi−2 + 7fi−3] R ∼ O(h7)

Se debe puntualizar lo siguiente respecto a las formulas explıcitas e implıcitas de los metodos multipasoantes mencionados

Los metodos multipasos, normalmente, requieren menos evaluaciones de las funciones que los metodosmonopaso para un mismo nivel de precision.

Los metodos multipaso requieren de un metodo monopaso que le permita determinar los yn+k−1, yn+k−2, yn+k−3, · · · , ynpuntos iniciales.

Las formulas explıcitas son, normalmente, menos precisas que las implıcitas. La razon se fundamentaen que, mientras las explıcitas extrapolan la solucion al punto yi+1, las implıcitas la interpolan, porcuanto la toman en cuenta en el momento de calcularla.

Las formulas explıcitas e implıcitas deben ser consideradas como complementarias, por cuanto lasexplıcitas pueden predecir el valor de yi+1 necesario para la fi+1 = f(xi+1, yi+1) del calculo de y∗i+1 enla formula implıcita.Existen varias combinaciones predictor-corrector, entre ellas mencionamos:Milne de cuarto orden

• Predictor

yi+1 = yi−3 +4h

3[2fi − fi−1 + 2fi−2]

• Corrector

yi+1 = yi−1 +h

3[fi+1 − 4fi + fi−1]

Milne de sexto orden

• Predictor

yi+1 = yi−5 +3h

10[11fi − 14fi−1 + 26fi−2 − 14fi−3 + 11fi−4]

• Corrector

yi+1 = yi−3 +2h

45[7fi+1 + 32fi + 12fi−1 + 32fi−2 + 7fi−3]

Adams Modificado o Adams Moulton

• Predictor

yi+1 = yi +h

24[55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3]

• Corrector

yi+1 = yi +h

24[9fi+1 + 19fi − 5fi−1 + fi−2]



El metodo de extrapolacion multipaso mas exitoso (conjuntamente con los metodos de paso unico deltipo Runge-Kutta) es el de extrapolacion racional de Bulirsch-Stoer en el cual se define un paso superiorde H y una serie de subpaso hη = H/η con el aumento del numero de subpasos, en algun momento siguiendoalgun criterio de convergencia se hace una extrapolacion (racional) que representa el lımite η →∞.

El metodo de Bulirsch-Stoer tiene una estrategia diferente al los anteriores y posee, como motor deaproximacion el metodo del punto medio modificado o salto de rana (leap frog). Este esquema se utiliza confrecuencia en discretizaciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y se basa en aproximar laderivada por el valor el promedio en los dos extremos:

y′(x) = f(y(x), x)⇒ y′(xn) = f(y(xn), xn) =y(xn)− y(n−1)

2h

por lo tanto

z0 ≡ y(x)

z1 = z0 + hf(x, z0)

...

zn+1 = zn−1 − 2hf(x+ nh, zn)

para finalmente calcular

y(x+H) ≈ yn ≡1

2[zn + zn−1 + hf (x+H, zn)]

Notese que si reacomodamos

y(x+H) ≈4yn − yn/2

3

obtendremos un metodo de cuarto orden que requiere menos evaluaciones de f(y(xn), xn) por paso h

7.4.3. Control del Paso

En General para metodos de 4to orden. Tal y como se menciono en el caso de la integracionnumerica, el primer criterio que surge es dividir el paso h en la midad, calcular todo de nuevo y compararlos resultados a ver si esta dentro del los lımites de tolerancia que nos hemos impuesto∥∥∥∥yh − yh/2yh

∥∥∥∥ ≡ ∆(yh, yh/2

)< εmax ⇒

εmax

∆(yh, yh/2

) ≈ (h0

ht

)5

⇒ h0 = ht

(εmax

∆(yh, yh/2

))1/5

donde hemos denotado h0 como el paso ideal. Esta relacion es general para cualquier metodo de 4 orden depaso unico, multipaso, implıcito o explıcito.

Mas aun, la practica ha indicado que

h0 =

Mht

(εmax

∆(yh,y∗h)

)0,20

≡Mht

(∆0

∆h

)0,20

∆0 ≥ ∆1

Mht

(εmax

∆(yh,y∗h)

)0,25

≡Mht

(∆0

∆h

)0,25

∆0 < ∆1



donde 0 <M < 1 un factor de seguridadPara metodos Runge-Kutta. es importante mencionar que se utilizan mayoritariamente metodos

hasta cuarto orden porque de mayor orden (M , por ejemplo) involucran mas de M evaluaciones (y menosM −2) de la derivada. Por ello para este tipo de metodos se descubrio que considerando el mismo numero depuntos para la evaluacion intermedia se pueden generar metodos de distinto orden, y para colomo de suerteel menor orden de esta situacion se expresa para metodos de 4 y 5 orden. En particular Runge-Kutta de 5orden se puede escribir como:

yk+1 = yk + hk [C1κ1 + C2κ2 + C3κ3 + C4κ4 + C5κ5 + C6κ6] +O(h6)

κ1 = f (xk, yk)

κ2 = f (xk + a2hk, yk + b21κ1)

κ3 = f (xk + a3hk, yk + b31κ1 + b32κ2)

κ4 = f (xk + a4hk, yk + b41κ1 + b42κ2 + b43κ3)

...

κ6 = f (xk + a6hk, yk + b61κ1 + b62κ2 + b63κ3 + b64κ4 + b65κ5)

y con los mismos puntos (¡ las mismas evaluaciones !) se puede reescribir para 4 orden como:

yk+1 = yk + hk

[C1κ1 + C2κ2 + C3κ3 + C4κ4 + C5κ5

]+O(h5)

por lo tanto el error se puede estimar

∆ (yk+1, yk+1) =

6∑i=1

(Ci − Ci

)ki

y el control del paso se utiliza exactamente igual

h0 = ht

(εmax

∆ (yh, yh)

)0,20

Para metodos multipasos y predictor corrector la situacion puede tener un refinamiento adicionalantes de proceder a modificar el paso h. El esquema serıa para un metodo predictor corrector del tipoAdams Modificado o Adams Moulton, donde el

Predictor

yi+1 = yi +h

24[55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3]

Corrector

yi+1 = yi +h

24[9fi+1 + 19fi − 5fi−1 + fi−2]

se realiza una serie de iteraciones dentro de la formula de corrector, i.e.

yi+11

= yi +h

24

[9f

(xi+1, yi+1

0

)+ 19f (xi, yi)− 5f (xi−1, yi−1) + f (xi−2, yi−2)

]



7.5. Algunas Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de PrimerOrden

Modelar o describir matem’aticamente un fen’omeno es el fin ’ultimo de la ciencias. Las matem’aticasson el lenguaje de la f’isica. ¿ Como describir el chisporroteo de una llama ? ¿ la textura de un pintura aloleo ? ¿ el trafico en carreteras durante horas picos ? ¿ el titilar de las estrellas ? Describir matematicamenteestas situaciones no solo no es facil, pero tampoco es unica. Son fenomenos complejos y su descripcion puedetener muchos grados de profundidad.

7.5.1. Ley de Malthus/Decaimiento Radioactivo.

Malthus3

d

dxy(x) = k y(x)

k > 0k < 0

y(0) = y0. (7.30)

y(t) = y0 ek t

Para k < 0 tenemos una situacion de decaimiento: la poblacion decrece con el tiempo. Este concepto seutiliza los procesos de decaimiento radiactivo. El tiempo de vida media se define como el tiempo necesariopara que la mitad de los nucleos decaigan, lo cual es independiente de la cantidad de la muestra y permitemedir la edad de todo aquello que contenga isotopos radioactivos. En particular el C14 del cual se sabe que:tiene una vida media de 5730 anos y que todos los organismos estan (o estuvieron) formados por carbono.Por lo tanto, si sabemos el porcentaje de C14 en una muestra, digamos el 63 % podremos inferir su edad

y(0) = 1

y(5730) = ek 5730 = 12

Por lo tanto, despejando k

k =− ln 2

5730

tendremos finalmentey(t) = 2−t/5730

de aquı obtendremos la edad en anos de la muestra

y(t) = 0,63⇒ t = − ln 0,63

ln 25730 ≈ 3819,48

Para k > 0 la ecuacion 7.30 describe el incremento poblacional. El valor de k se calcula experimentalmente(promediando sus valores para cada uno de los parametros). Para la poblacion venezolana k = 0,018

3En honor al economista polıtico ingles Thomas Robert Malthus (1766-1834). Quien fue uno de los primeros en darse cuentaqueN la poblacion crece como una razon geometrica mientras que los medios de subsistencias crecen de manera aritmetica. Estaafirmacion plasmada en su Ensayo sobre el Principio de Poblaciones, el cual inspiro a Darwin en la formulacion de principiode seleccion natural. Malthus, muy religioso y creyente pensaba que esa diferencia en el crecimiento de la poblacion y lasnecesidades que ellas generaban, eran de procedencia divina y que forzarıa a la humanidad a ser mas laboriosa e ingeniosa paralograr los medios de subsistencia. Darwin, no tan religioso, lo formulo como una situacion natural presente en todas las especies.



Figura 7.7: Decaimiento Radioactivo

Poblacion Venezolana (Millones Hab.)Ano Poblacion y(t) = 0,350 e0,018t

1800 (0) 0.350 0.3501847 (47) 0.750 0.8161873 (73) 1.000 1.3021881 (81) 1.750 1.5041891 (91) 2.100 1.8011926 (126) 2.850 3.3811936 (136) 3.200 4.0481941 (141) 3.850 4.4291950 (150) 4.350 5.2081961 (161) 6.800 6.3481971 (171) 10.800 7.6001981 (181) 14.100 9.099

7.5.2. La Ecuacion logıstica o Ley de Verhulst

Esta ecuacioon se utiliza para describir el crecimiento de la poblacion de una manera mas precisa que laLey de Malthus. Esta ecuacion toma en cuenta le decrecimiento de la poblacion con el termino −y2

y′ = (k − ay) y = ky − ay2

donde k y a son constantes arbitrarias. Esta ecuacion es separable y la solucion tiene la forma de

ln

∣∣∣∣ y

k − ay

∣∣∣∣ = k t+ C



Figura 7.8: Poblacion de Venezuela desde 1800

y por lo tanto

y(t) =k y0

a y0 + (k − a y0) e−k t

el crecimiento de la poblacion venezolana desde 1800 puede modelarse con k = 0,018, a = 0,001

7.5.3. La Ley de Enfriamiento de Newton

dT

dt= k(T − Tm) T (0) = T0

la solucion seraT = (T0 − Tm) ek t + Tm

y para el caso de una torta recien sacada del horno a una temperatura de T0 = 176, y una temperaturaambiente de Tm = 23, con T (80) = 63,la grafica sera

tambien se puede modelar el enfriamiento con una temperatura del ambiente variable esto es

dT

dt= k(T − Tm(t)) T (0) = T0

tomese, por ejemplo,

Tm(t) = 23− 10 cos

(π t

12

)con 0 ≤ t ≤ 24 horas

si T (0) = 15

dT

dt=

1

4

(T − 23− 7 cos

(π t

12

))



Figura 7.9: Poblacion de Venezuela desde 1800

Figura 7.10: Enfriamiento de una torta recien horneada



Figura 7.11: Variacion de la Temperatura Construcciones

con la solucion

T (t) = −−23π2 + 11 e−

t4π2 + 21π sen(π t12 ) + 63 cos(π t12 )− 207 + 36 e−

t4

9 + π2

y la siguiente evolucion

7.5.4. Interes Compuesto.

Otra de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales es en el calculo del crecimiento del capital inicial,depositado en un banco C0 durante un cierto lapso de tiempo y sujeto a un determinada tasa de interes.Luego del lapso de tiempo, el nuevo capital sera

C1 = C0

(1 +

int

100

)Pasados dos lapsos (anos) de tiempo el capital sera

C2 = C1

(1 +

int

100

)= C0

(1 +

int

100

)(1 +

int

100

)en t lapsos de tiempo,

C(t) = C0

(1 +

int

100

)tAhora bien, si el pago de los intereses se hace varias veces durante ese lapso, entonces tendremos

C2 = C1

(1 +

int

100 · 2

)= C0

(1 +

int

100 · 2

)(1 +

int

100 · 2

).



Finalmente, si el interes se paga k veces en cada lapso, entonces

C(t) = C0

(1 +

int

100 · k

)kt. (7.31)

Si k = 12 entonces se tienen intereses pagaderos sobre saldos mensuales. En el caso de que k = 365, losintereses son pagaderos sobre saldos diarios. Notese que si

k →∞⇒(

1 +int

100 · k

)kt→ e

int100 t ;

entonces, podemos aproximar este modelo discreto de pagos sobre saldos por uno continuo, i.e.

C(t) = C0eint100 t ⇔ C ′(t) =

int

100C(t).

Existen situaciones en las cuales los bancos, movidos por la competencia, ofrecen cancelar los intereses sobreun ano hipotetico de 360 dıas. En este caso, el capital crece como:

C(t) = C0

(1 +

int

100 · 360

)365t

. (7.32)

La siguiente tabla muestra una comparacion del crecimiento del capital inicial C0 = 1, en un lapso de 10anos, sujeto a intereses del 40 % sobre saldos diarios y siguiendo los tres modelos antes mencionados.

Anos C(t) = C0eint100 t C(t) = C0

(1 + int

100·k)kt

. C(t) = C0

(1 + int

100·360

)365t

0 1.0 1.0 1.01 1.491497997 1.491824698 1.4997979722 2.224566275 2.225540928 2.2493939573 3.317936142 3.320116923 3.3736364944 4.948695110 4.953032424 5.0597731725 7.380968843 7.389056099 7.5886375426 11.00870024 11.02317638 11.381423207 16.41945436 16.44464677 17.069835438 24.48958329 24.53253020 25.601304559 36.52616442 36.59823444 38.3967846510 54.47870107 54.59815003 57.58741975

7.5.5. Mecanica Elemental.

El estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la accion de un conjunto de fuerzas externas, fueuna de las principales motivaciones para el planteamiento y solucion de las ecuaciones diferenciales.

∑externas

−−−−−−−−−−→F (−−→r(t),

−−→v(t), t) =

d−−−−→mv(t)

dt= m

−−→a(t) , (7.33)

para sistemas con m = cte (partıculas) y con−−→v(t) la velocidad y

−−→r(t) la posicion.

−−→v(t) =

d−−→r(t)

dt.



Figura 7.12: Velocidad del paracaidista en funcion del tiempo

Movimientos con Acelaracion Constante

Ası en carreras de velocidad, en las cuales los autos tienen que generar el maximo posible de velocidadpara una distancia dada tendremos, que la ecuacion Newton 7.44 se expresa

cte = F = mdv(t)

dt⇒

v(t) = v0 + Fm t

x(t) = x0 + v0t+ 12Fm t

2

Los valores tıpicos para este caso son v0 = r0 = 0 , a = F

m = 9,8 m/s2 , y por lo tanto la velocidad final alos 400 m. es

vf =√

2ax ≈ 89 m/s = 320, 4 Km/h

Friccion en Fluidos

Por su parte, la descripcion del movimiento de un paracaidista la ecuacion 7.44 se convierte en∑externas

F (v(t)) = −mg + cv2 =d p(t)

dt= m

d v(t)

dt= m a(t) , (7.34)

con c una constante arbitraria que depende de la forma del cuerpo. Integrando esta ecuacion separable seobtiene

v(t) = −vt1− exp

(− 2gt

vt

)1 + exp

(− 2gt

vt

) (7.35)

Donde hemos definido la velocidad terminal

vt =

√mg

c



Figura 7.13: Posicion del paracaidista respecto al tiempo

como la velocidad que anula la sumatoria de fuerzas y a partir de la cual el cuerpo cae sin aceleracion.El tiempo que tarda en alcanzar esa velocidad es estrictamente para t −→ ∞ , sin embargo, una buenaaproximacion que surge de la ecuacion 7.35, la constituye: t vt/2g . La velocidad terminal tıpica en un dıasoleado para un paracaidista de 70 Kg., en posicion de “aguila extendida”, es 54 m/s. (194,4 Km/h.) y porlo tanto alcanza la velocidad terminal luego de aproximadamente 15 s. esta situacion se aprecia claramenteen la figura 7.12.

Por su parte, la posicion surge al integrar la ecuacion 7.35

v(t) =dy(t)

dt= −vt

1− exp(− 2gt

vt

)1 + exp

(− 2gt

vt

)integrando esta ecuacion obtendremos

y0 − y(t) = vt

t+vtg

ln

2

exp(− 2gt

vt

)+ 1

(7.36)

Con el comportamiento grafico que muestra la figura 7.13.

Fuerzas Elasticas

Otra situacion muy conocida se presenta bajo la accion de fuerzas elasticas. Ası, la ecuacion 7.44, ahorase expresa como ∑

externas

F (x(t)) = −kx(t) = mdv(t)

dt= m a(t) ,



Figura 7.14: Trayectoria de la Flecha al abandonar el arco.

Utilizando la “regla de la cadena”

dv(t)

dt=dv(t)

dx(t)

dx(t)

dt= v(t)

dv(t)

dx(t)

Se convierte en separable y se integra para obtener la velocidad

m v(t)2 = −k x(t)2 + C1 ⇒ v(t) =dx(t)

dt=

√−k x(t)2 + C0

m(7.37)

La posicion sera

x(t) = C1 sen

(√k

mt+ C2

)Para analizar el caso del lanzamiento de una flecha (23 g.) por una arco de 30 lb (134 N) el cual un arqueropuede separarlo 0,72 m. se obtiene la velocidad de salida de la flecha como

vf = d

√k

m= 0, 72

√1340,72

23× 10−3= 65 m/s

Es interesante mencionar que en 100 m la flecha baja una distancia de ≈ 11 m. ¡!

Sistemas de Masa Variable

Otro de los ejemplos interesantes es la evolucion de sistemas de masa variable. El primero de los casotiene que ver con una barca de masa m0 que tiene una velocidad inicial v0 en su navegar, comienza a llover yse va llenando de agua. El agua se acumula con una tasa σ (masa por unidad de tiempo). Se pide encontrarla velocidad de la barca como funcion del tiempo.

P = mv = const = m0v0



si dmdt = σ = cont⇒ m (t) = m0 + σt y consecuentemente

v (t) = v0m0

m0 + σt

Un segundo caso tiene que ver con una masa M atada a una cadena de densidad lineal de masa ρ. Estamasa se impulsa hacia arriba con una velocidad inicial v0. Se pide encontrar el tiempo en que alcanza laaltura maxima. La ecuacion de Newton para este caso se puede expresar como

−PesoMasa − Pesocadena =d (mv)

dt⇔ −Mg − ρxg =

dm

dtv +

dv

dtm

o equivalentemente

−gρξ =dp

dtdonde

ξ = M

ρ + x

y

p = mv = ρξ dξdt

con lo cual

−gρξp = pdp

dt⇒ −gρξmdξ = pdp ⇒ −gρξρξdξ = pdp

−∫ ξ

Mρ

gρ2ξ2dξ =

∫ p

m0v0

pdp ⇒ gρ2

ξ3

3−

(Mρ

)3

3

=p2

2− (m0v0)

2

2

t− t0 =

∫ρξdξ√

2gρ2

(ξ3

3 −(Mρ )

3

3 + (m0v0)2

2

)

Un Cohete en Movimiento

Finalmente el caso mas emblematico es el movimiemto de un cohete que consume una fraccion importantede su combustible. Llamemos v la velocidad de cohete para un instante de tiempo t y v′ la velocidad de salidade los gases respecto a tierra. Para ese instante t la cantidad de movimiento del cohete es mv un instante dtmas tarde la cantidad de movimiento sera

p′ = (m+ dm)(v + dv)︸︷︷︸cohete

+ (−dm)v′︸︷︷︸gases

= mv +m dv − dm (v′ − v)︸︷︷︸vel. rel.

Entonces el cambio en la cantidad de movimiento sera

dp = p′ − p = mdv − vgases dm

y por lo tanto la ecuacion de Newton

m(t)dv(t)

dt− vgases

dm

dt=

∑externas

F

Despreciando la resistencia del aire y suponiendo la gravedad constante, tendremos

dv(t)

dt− vgases

m

dm

dt= −g



Figura 7.15: Velocidad del Cohete

integrando

v = v0 + vgases ln

(mi

m(t)

)− gt

si suponemos que el combustible se quema de la forma

m(t) = mi(1 + αt)↔ dm

dt= α = cte

La cantidad

E = vgases

∣∣∣∣dmdt∣∣∣∣

se denomina el empuje del cohete.

7.5.6. Modelado de Concentracion/Desliemiento de Soluciones

Otro de los problemas tıpicos donde se aplican exitosamente las ecuaciones diferenciales son los problemasde manejo de concentraci[on de sustancias en soluciones l[iquidas. El principal objetivo, consiste en plantearel problema en t[ermino del problema de valores iniciales que gobierna el fen[omeno (ecuaci[on diferencial +condiciones iniciales). Para ello, en este tipo de problemas, siempre utilizaremos la regla intuitiva de

Tasa de Cambio de la Concentraci[on = Tasa de Ingreso− Tasa de Egreso

As[i, tendremos que para un problema t[ipico en el cual inicialmente se encuentran diluidos en un recipiente(un tanque) y0 gr de una sustancia en V0 litros de un l[iquido. A este tanque le cae otro l[iquido con unaconcentraci[on distinta de la misma sustancia a ventrada lit/min, mientras que vsalida lit/min salen del tanque.Si suponemos que dentro del tanque sucede alg[un proceso de homogenizaci[on de la soluci[on, la preguntat[ipica esque queremos saber la cantidad de sustancia que se encuentra en el tanque en un tiempo t. A la



Figura 7.16: Posicion del Cohete

concentraci[on de la sustancia en el l[iquido de entrada (gr/lit), en un tiempo t, la denotaremos como C (t)gr/lit. La figura (7.17) ilustra este proceso.

Para empezar notemos que, en esta situaci[on el volumen no es constante. Por lo tanto, con el mismoesp[iritu de la “ley de balanceo” que hemos propuesto, si las velocidades de ingreso y egreso son constantes,nos queda que la variaci[on del volumen inicial viene dada por la diferencia de estas velocidades, esto es

V ′ (t) = ventrada − vsalida ⇒ V (t) = V0 + (ventrada − vsalida) t

con lo cual tambi[en hemos integrado una ecuaci[on diferencial para encontrar como variar[a el volumen conel tiempo.

Para la construcci[on de la ecuaci[on diferencial, procedemos de manera similar y si describimos la can-tidad de sustancia en el tanque como y (t) , nos queda que la tasa de cambio de la cantidad de sustancia enel tanque ser[a

y′ (t) = ventrada

(lit

mın

)C (t)

(gr

lit

)︸︷︷︸

Tasa de Ingreso

− vsalida

(lit

mın

)(y (t)

V0 + (ventrada − vsalida) t

gr

lit

)︸︷︷︸

Tasa de Egreso

Por lo tanto la ecuaci[on diferencial tomar[a la forma t[ipica de una ecuaci[on diferencial lineal de primerorden inhomog[enea

y′ (t) + y (t)vsal

V0 + (vent − vsal) t= ventC (t)



Figura 7.17: Soluciones y tanques

que tendr[a por soluci[on

y (t) =

y0

(−V0)−(

vsal

vent − vsal

) ((−vent + vsal) t− V0)

( −vsal

vent − vsal

)

︸︷︷︸Respuesta a las Condiciones iniciales

− ((−vent + vsal) t− V0)

vsal

−vent + vsal

∫ t

0

vent C (u) (u (vent − vsal) + V 0)

(vsal

vent − vsal

)du︸︷︷︸

Respuesta a la Exitaci[on externa

N[otese lo gen[erico de esta soluci[on. Por un lado, la concentraci[on de la sustancia, C (t) , en la soluci[onque entra al sistema es distinta a la concentraci[on de la sustancia presente en el tanque, m[as a[un, puedeser variable con el tiempo. Por otro lado esta soluci[on presenta una singularidad (un infinito) cuando lavelocidad de ingreso es igual a la velocidad de egreso. Para este caso en el cual el volumen del tanquepermanece constante tendremos que resolver la ecuaci[on diferencial

y′ (t) + y (t)vsal

V0= ventC (t)⇒ y (t) =

(∫ t

0

C (u) ventrada e

(vsalida u

V

)du+ y0

)e−

vsalida t

V

Tal y como hemos mencionado varias veces (y seguiremos mencionando) la soluci[on general para una ecua-ci[on diferencial inhomog[enea se compone de dos soluciones, la soluci[on de la ecuaci[on diferencial homg[eneam[as la soluci[on de la inhomog[ena.

ygeneral (x) = yhomog[enea (x) + yinhomog[enea (x)



Este ejemplo nos permite constatar el sentido cada una de estas soluciones, vale decir

y (t) = y0e−

vsalida t

V︸︷︷︸Respuesta a las Condiciones Iniciales

+ e−

vsalida t

V

∫ t

0

C (u) ventrada e

(vsalida u

V

)du︸︷︷︸

Respuesta a la Exitaci[on externa

En esta es una visi[on que debemos conservar, en general para todas las ecuaciones lineales inhomog[eneasindependientes del orden de la ecuaci[on diferencial, as[i recordando, dada una ecuaci[on diferencial y susoluci[on tal que se cumple la condici[on inicial y (0) = y0 entonces siempre es posible

d

dxy (x) + p (x) y (x) = g (x)⇔ y (x) = y0e

∫ x0−p(u)du︸︷︷︸

soluci[on homg[enea

+ e∫ x0−p(u)du

∫ x

0

g (u) e∫p(u)dudu︸︷︷︸

Soluci[on inhomog[enea

donde ahora vemos claramente que la soluci[on de la homog[enea da cuenta a las condiciones iniciales delproceso y la soluci[on de la inhomog[enea provee la respuesta a la exitaci[on externa al sistema.

Este comportamiento de las soluciones es [util si nos planteamos que al tratar de “limpiar” una piscina,a la cual le hemos anadido el doble de la cantidad de sulfatos permitida, y queremos saber cuanto tiempotenemos que mantener abierta una entrada de 120 lits/min de agua sin sulfatos y la salida de la piscina queresponde a 60 lits/min. La piscina en cuesti[on tiene 20 m de longitud, 10 m de ancho y 2 m de profundidad.Siguiendo los pasos anteriormente planteados, tendremos que

y′ (t) + y (t)

(vsal

V0 + (vent − vsal) t

)= 0⇒ y′ (t) + y (t)

60

(lit

mın

)4× 105lit + (120− 60) t

(lit

mın

) = 0

y′ (t) + y (t)

60

(lit

mın

)4× 105lit + 60

(lit

mın

)t

= 0⇒ y (t) = 20000y0

3t+ 20000

donde el volumen es V = 400m3 = 400 (100cm)3

= 4× 108cm3 = 4× 108(10−3lit

)= 4× 105lit.

Con lo cual el tiempo para que la cantidad final decaiga a la mitad de la inicial surge de

y0 = 200002y0

3t+ 20000⇒ t ≈ 6,666, 66 minutos !!!!!

7.6. Definiciones para comenzar

DefinicionLa ecuacion diferencial

a0(x) y(x) + a1(x) y′(x) + · · ·+ an−1(x) y(n−1)(x) + an(x) y(n)(x) = F(x) ⇔n∑i=0

ai(x) y(i)(x) = F(x)

es lineal de orden n . Obviamente,

F(x) = 0 =⇒ HomogeneaF(x) 6= 0 =⇒ InHomogenea

ai(x) = ai = ctes



Figura 7.18: y(x) = 25e−4x + 3

5ex

DefinicionSi los coeficientes ai = ctes entonces la ecuacion diferencial lineal y homogenea, de orden n , tiene asociadaun polinomio caracterıstico de la forma

anrn + an−1r

n−1 + · · ·+ a2r2 + a1r + a0 = 0

Las raıces de este polinomio indicaran la forma de la solucion.Definicion

Si el polinomio caracterıstico puede factorizarse

(r −m1)k1(r −m2)k2(r −m3)k3 · · · (r −ml)kl = 0

entonces diremos que las raıces mk1,mk2,mk3

, · · · ,mkl tienen multiplicidades k1, k2, k3, · · · , kl , respectiva-mente.

7.7. Homogeneas, Lineales, de Segundo Orden

La ecuaciona y′′ + b y′ + c y = 0 ⇔ a r2 + b r + c = 0

tiene asociada ese polinomio caracterıstico y sus raıces m1 y m2 condicionan la solucion de la manera siguiente

1. Si m1 6= m2 y m1 y m2 son reales, entonces la solucion es

y = C1em1x + C2e

m2x

2. Si m1 = m2 y m1 y m2 son reales, entonces la solucion es

y = C1em1x + C2 xe

m1x

3. Si m1 = α+ iβ con β 6= 0 y m2 = m1 = α− iβ, entonces la solucion es

y = eα x (C1 cosβx+ C2 sen betax)



Figura 7.19: y(x) = C1e−4x + C2e

x para C1 = −1, 0, 1 y C2 = −1, 0, 1

EjemplosLa ecuacion

y′′ + 3y′ − 4y = 0; y(0) = 1 ∧ y′(0) = −1 ⇔ r2 + 3r − 4 = (r + 4)(r − 1) = 0

tiene asociado ese polinomio caracterıstico y por lo tanto tiene como solucion general

y(x) = C1e−4x + C2e

x y como solucion particular y(x) =2

5e−4x +

3

5ex

En la figura 7.18 se encuentra graficada esa soluci’on particular. De igual modo, para distintos valores deC1 = −1, 0, 1 y C2 = −1, 0, 1 tendremos las graficas representadas en la figura 7.19 ¿ Cuales son lascondiciones iniciales a las cuales corresponden esos valores de las constantes?

Otra ecuacion podr’ia ser

y′′ + 2y′ + y = 0; y(0) = 1 ∧ y′(0) = −1 ⇔ r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0

y por lo tanto tiene como solucion general

y(x) = C1e−x + C2 xe

−x y como solucion particular y(x) = e−x

La grafica para esta soluci’on est’a representada en la figura 7.20Para distintos valores de C1 = −1, 0, 1 y C2 = −1, 0, 1 tendremos las graficas representadas en la

figura 7.21. Cabe seguir preguntando ¿ Cuales son las condiciones iniciales a las cuales corresponden esosvalores de las constantes?

Finalmente, la ecuacion

y′′ + 4y′ + 20y = 0; y(0) = 3 ∧ y′(0) = −1 ⇔ r2 + 4r + 20 = (r + 2)2 + 16 = 0

con las siguientes soluciones r = −2± 4i y por lo tanto tiene como solucion general

y(x) = e−2x (C1 cos 4x+ C2sen4x) y como solucion particular y(x) = e−2x

(3 cos 4x+

5

4sen4x

)y su representaci’on gr’afica se encuentra en la figura 7.22 y para distintos valores de las constantes

Al igual que en los casos anteriores, para distintos valores de las constantes de integraci’on, tendremoslas graficas de la figura 7.23



Figura 7.20: y(x) = e−x

Figura 7.21: y(x) = C1e−x + C2 xe

−x para C1 = −1, 0, 1 y C2 = −1, 0, 1

7.8. Ecuaciones Diferenciales de Orden n

La ecuaciona0 y(x) + a1 y

′(x) + · · ·+ an−1 y(n−1)(x) + an y

(n)(x) = 0

con ai = ctes tiene asociada un polinomio caracterıstico de la forma

anrn + an−1r

n−1 + · · ·+ a2r2 + a1r + a0 = 0

el cual condicionara la solucion de la siguiente forma

1. Si m es una raız real con multiplicidad k = 2 entonces las k soluciones asociadas con m seran de laforma

emx, xemx, x2emx, x3emx, · · ·xk−1emx

2. Si m y m son parejas de soluciones complejas, α±iβ , del polinomio caracterıstico y tienen multiplicidadk , entonces las soluciones correspondientes seran

eαx cosβx; eαxsenβx; · · · xk−1eαx cosβx;xk−1eαxsenβx



Figura 7.22: y(x) = e−2x(3 cos 4x+ 5

4 sen4x)

Figura 7.23: y(x) = e−2x (C1 cos 4x+ C2sen4x) para C1 = −1, 0, 1 y C2 = −1, 0, 1

Ejemplos

La ecuacion

24y′′′ + 2y′′ − 5y′ − y = 0 ⇔ 24r3 + 2r2 − 5r − 1 = (3r + 1)(2r − 1)(4r + 1) = 0

consecuentemente con las raıces

m1 = −1

3, m2 =

1

2, m3 = −1

4,

y con la solucion de la forma

y(x) = C1e−x/3 + C2e

x/2 + C3e−x/4

La ecuaciony′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0 ⇔ r3 + 3r2 + 3r + 1 = (r + 1)3 = 0



con las raıces m = −1 con multiplicidad k = 3 y con una solucion de la forma

y(x) = C1e−x + C2xe

−x + C3x2e−x

La ecuacion

4y(4) + 12y′′′+ 49y′′+ 42y′+ 10y = 0 ⇔ 4r4 + 12r3 + 49r2 + 42r+ 10 = (r2 + 2r+ 10)(2r+ 1)2 = 0

consecuentemente con las raıces

m1 = −1 + 3i, m2 = −1− 3i, m3 = −1

2, con multiplicidad 2

Entonces la solucion es de la forma

y(x) = e−x(C1 cos 3x+ C2sen3x) + C3e−x/2 + C4xe

−x/2

La ecuacion

y(4) + 4y′′′ + 24y′′ + 40y′ + 100y = 0 ⇔ r4 + 4r3 + 24r2 + 40r + 100 = (r2 + 2r + 10)2 = 0

con las raıcesm1 = −1 + 3i, m2 = −1− 3i, con multiplicidad 2.

Entonces la solucion es de la forma

y(x) = e−x(C1 cos 3x+ C2sen3x+ C3 x cos 3x+ C4 xsen3x)

La ecuacion4y′′′ + 33y′ − 37y = 0;

con

y(0) = 0; y′(0) = −1; y′′(0) = 3 ⇔ 4r3 + 33r − 37 = (r − 1)(4r2 + 4r + 37) = 0

consecuentemente con una solucion general de la forma

y(x) = C1ex + e−x/2(C2 cos 3x+ C3sen3x)

y con la solucion particular

y(x) =8

45ex − e−x/2(

8

45cos 3x+

19

45sen3x)

7.9. Algunos Metodos de Solucion para Ecuaciones Inhomog’eneas

7.9.1. El Wronskiano

Definicion: Independencia y Dependencia Lineal.Sean n funciones f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), · · · fn(x), cuando menos n − 1 veces diferenciables. Entonces,



Figura 7.24: y(x) = 845e

x − e−x/2( 845 cos 3x+ 19

45 sen3x)

el conjunto S = f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), · · · fn(x), se dice linealmente dependiente en el intervalo I, siexisten algunas constantes, c1, c2, c3, c4, · · · cn distintas de cero tal que

n∑i=1

ci fi(x) = c1 f1(x) + c2 f2(x) + · · ·+ cn fn(x) = 0

Por el contrario, si no existe ninguna constante ci 6= 0, se dira que S es linealmente independiente.Definicion:Wronskiano

El conjunto S = f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), · · · fn(x) de funciones, cuando menos n−1 veces diferenciables,conforman el Wronskiano,

W (S) = W (f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), · · · fn(x))

a traves del siguiente determinante

W (S) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣f1(x) f2(x) · · · fn(x)f ′1(x) f ′2(x) · · · f ′n(x)

......

. . ....

f(n−1)1 (x) f

(n−1)2 (x) · · · f

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Si W (S) 6= 0 al menos en un punto dentro del intervalo I, entonces S es linealmente independiente

Definicion: Conjunto Fundamental de Soluciones.El conjunto S = f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), · · · fn(x) de n soluciones no triviales a la ecuacion diferencial:

a0(x) y(x) + a1(x) y′(x) + · · ·+ an(x) y(n)(x) = 0, (7.38)

Se le denomina conjunto fundamental de soluciones. La combinacion lineal

f(x) =

n∑i=1

ci fi(x) = c1 f1(x) + c2 f2(x) + · · ·+ cn fn(x)

tambien es solucion de la ecuacion diferencial (7.38) y se denomina como solucion general de (7.38). Adicio-nalmente, si los coeficientes ai(x) son continuos en el intervalo abierto I para todo i = 1, 2, · · · , n , entoncesla ecuacion diferencial (7.38) tiene un conjunto fundamental de n soluciones linealmente independientes.



Definicion: Soluciones Particulares y Generales.Dada una ecuacion diferencial lineal Inhomogenea

a0(x) y(x) + a1(x) y′(x) + · · ·+ an(x) y(n)(x) = F(x) (7.39)

Si yp(x) es solucion de (7.39) sin constantes arbitrarias, entonces yp(x) se denomina solucion particular de(7.39). De igual modo, se denominara solucion general de (7.39) a la suma de la solucion, yh(x), de la ecuacionhomogenea (7.38) mas la solucion particular:

y(x) = yh(x) + yp(x)

7.9.2. Metodos de los Coeficientes Indeterminados

Dada la ecuacion diferencial

a0 y(x) + a1 y′(x) + · · ·+ an y

(n)(x) = F(x) (7.40)

con a0, a1, a2, · · · an coeficientes constantes, el metodo de los coeficientes indeterminados se puede esque-matizar de la siguiente manera

1. Resuelva la ecuacion diferencial homogenea

a0 y(x) + a1 y′(x) + · · ·+ an y

(n)(x) = 0 (7.41)

y obtenga yh(x).

2. Proponga la forma de la solucion particular para la ecuacion inhomogenea (7.40) siguiendo el siguienteprocedimiento. Dada F (x) = b0 g0(x) + b1 g1(x) + · · · + bn gn(x), con los bi coeficientes constantes,entonces

a) Si F (x) = P (x), un polinomio, es decir gi(x) = xm entonces proponga como solucion particular a

yp(x) = A0 +A1x+A2x2 +A3x

3 + · · ·+Amxm

b) Si gi(x) = xmekx entonces proponga como conjunto fundamental de soluciones particulares a

yp(x) = ekx(A0 +A1x+A2x2 +A3x

3 + · · ·+Amxm)

c) Si gi(x) = xmekx cosβx o gi(x) = xmekxsenβx, entonces proponga como conjunto fundamentalde soluciones particulares a

yp(x) =ekx(A0 +A1x+A2x

2 +A3x3 + · · ·+Amx

m) cosβx+

ekx(A0 + A1x+ A2x2 + A3x

3 + · · ·+ Amxm)senβx

3. Determine el valor de los coeficientes Ai al sustituir la solucion propuesta yp(x) en (7.40)

4. Construya las solucion general y(x) = yh(x) + yp(x)

Ejemplosy′′ + 4y′ + 4y = 4x2 + 6ex

Tiene como solucion de la homogeneayh = (C1 + C2x) e−2x



y proponemos como solucion particular de la ecuacion a

yp = (Ax2 +Bx+ C) +Dex

sustituimos su expresion en la ecuacion y obtenemos

2A+Dex+4 (2Ax+B +Dex) +

4((Ax2 +Bx+ C) +Dex

)+

= 4x2 + 6ex

de donde surge el siguiente sistema de ecuaciones

4A = 48A+ 4B = 0

2A+ 4B + 4C = 09D = 6

y de allı el valor de los coeficientes

A = 1; B = −2; C =3

2; D =

2

3

y con ellos la solucion general

y = (C1 + C2x) e−2x + x2 − 2x+3

2+

2

3ex

Ejercicios

1. La ecuaciony′′ − 3y′ + 2y = 2x e3x + 3senx

tiene como solucion

y = C1ex + C2e

2x + x e3x − 3

2e3x +

3

10senx+

9

10cosx

2. La ecuaciony′′ − 3y′ + 2y = 2x2 + 3 e2x

tiene como solucion

y = C1ex + C2e

2x +7

2+ 3x+ x2 + 3x e2x

7.9.3. Metodos de Variacion de los Parametros

Dada la ecuacion diferencial

a0y(x) + a1 y′(x) + · · ·+ an y

(n)(x) = F(x) (7.42)

El metodo de variacion de los parametros se puede esquematizar de la siguiente manera



1. Resuelva la ecuacion diferencial homogenea

a0 y(x) + a1 y′(x) + · · ·+ an y

(n)(x) = 0 (7.43)

y obtenga yh(x).

2. Proponga como solucion particular

yp = u1(x) yh1 + u2(x) yh2

donde las funciones u1(x) y u2(x) son funciones a determinar en el metodo y las y1 y y2 son lassoluciones a la ecuacion homogenea (7.43).

3. Sustituya esta solucion propuesta en la ecuacion (7.42) para obtener, luego de algun nivel de algebraelemental

u1(x)

=0︷︸︸︷(a0 y1 + a1 y

′1 + a2 y

′′1 ) +

u2(x)

=0︷︸︸︷(a0 y2 + a1 y

′2 + a2 y

′′2 ) +

a2 (u′1y1 + u′2y2)′+ a1 (u′1y1 + u′2y2)

a2 (u′1y′1 + u′2y

′2) = F(x)

de donde surge el siguiente sistema de ecuaciones algebraico

u′1y1 + u′2y2 = 0a2 (u′1y

′1 + u′2y

′2) = F(x)

con sus soluciones de la forma

u′1 =

∣∣∣∣ 0 y2F(x)a2

y′2

∣∣∣∣∣∣∣∣ y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 0 y2F(x)a2

y′2

∣∣∣∣W (y1, y2)

= G1(x)

u′2 =

∣∣∣∣ y1 0

y′1F(x)a2

∣∣∣∣∣∣∣∣ y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ y1 0

y′1F(x)a2(x)

∣∣∣∣∣W (y1, y2)

= G2(x)

e integrando se obtienen los coeficientes respectivos,

u1(x) =

∫G1(x) dx; u2(x) =

∫G2(x) dx

para finalmente obtener la solucion general

y = C1 y1 + C2 y2 + u1(x) y1 + u2(x) y2

notese que no incorporamos las constantes de integracion en la funciones u1(x) y u2(x).



Ejemplo:La ecuacion inhomogenea de Cauchy4-Euler5

a0 y(x) + a1 x y′(x) + · · ·+ an x

n y(n)(x) = F(x)

con los ai = ctes, puede ser resuelta por este metodo. Consideremos una ecuacion de orden 2

c y(x) + b x y′(x) + a x2 y′′(x) = F(x)

La solucion de la homogenea se propone como yh = xm por lo tanto

c y(x) + b x y′(x) + a x2 y′′(x) = 0c xm + b x mxm−1 + a x2 m(m− 1)xm−2 = 0

xm (c+ bm+ am(m− 1)) = 0

por lo tantoam2 + (b− a)m+ c = 0

con

m =−(b− a)±

√(b− a)2 − 4ac

2a

por lo tanto

1. Si m1 6= m2 y ambas reales, entonces la solucion de la homogenea sera

yh = C1xm1 + C2x

m2

2. Si m1 = m2 y ambas reales, entonces la solucion de la homogenea sera

yh = xm1 (C1 + C2 lnx)

3. Si m1 = m2 = α+ iβ , entonces la solucion de la homogenea sera

yh = xα (C1 cos(β lnx) + C2 sen(β lnx))

Ahora para lograr la solucion de la inhomogenea suponemos el caso m1 6= m2 por lo tanto

y1h = xm1 y2h = xm2

u′1 =

∣∣∣∣ 0 xm2

F(x)a x2 m2 x

m2−1

∣∣∣∣∣∣∣∣ xm1 xm2

m1 xm1−1 m2 x

m2−1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 0 xm2

F(x)a x2 m2 x

m2−1

∣∣∣∣W (y1, y2)

= G1(x)

u′2 =

∣∣∣∣ xm1 0

m1 xm1−1 F(x)

a x2

∣∣∣∣∣∣∣∣ xm1 xm2

m1 xm1−1 m2 x

m2−1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ xm1 0

m1 xm1−1 F(x)

a x2

∣∣∣∣W (y1, y2)

= G2(x)

4Louis Augustin Baron de Cauchy (1789-1857). Matematico frances, uno de los creadores del analisis matematicomoderno. Estudio, entre otras cuestiones, los criterios de convergencia de series, las funciones de variable compleja y los sistemasde ecuaciones diferenciales

5Leonhard Euler (1707-1783). Matematico suizo. Destaco en el estudio de diversas cuestiones del calculo logarıtmico ydiferencial, ası como de las series algebraicas y la trigonometrıa.



La siguiente ecuacion diferencial

x2y′′ − xy′ + 5y =1

x

tiene como solucion de la homogenea

yh = x (C1 cos(2 lnx) + C2 sen(2 lnx))

la solucion particular por el metodo de variacion de los parametros queda como

yp = u1(x) yh1 + u2(x) yh2

calculando los coeficientes respectivos en donde el Wronskiano

W (x cos(2 lnx); x sen(2 lnx)) = 2x

por lo cual los coeficientes quedan

u1 =

∫G1(x) dx =

∫xsen(2 lnx) 1

x

2xdx =

1

4cos(2 lnx)

u2 =

∫G2(x) dx =

∫x cos(2 lnx) 1

x

2xdx =

1

4sen(2 lnx)

finalmente las solucion particular sera

yp = x

(1

4cos2(2 lnx) +

1

4sen2(2 lnx)

)=

1

4x

y la general

y = x (C1 cos(2 lnx) + C2 sen(2 lnx)) +1

4x

7.9.4. Metodos de Reduccion de Orden

Este metodo supone, por lo tanto

a0(x) y(x) + a1(x) y′(x) + a2(x) y′′(x) = F(x)

tendra como primer solucion no trivial para la ecuacion homogenea, yh1(x), entonces la segunda solucionvendra dada por

yh2(x) = yh1(x)

∫u(x) dx

donde u(x) es la funcion incognita a determinar. Sustituyendo esta expresion en la ecuacion homogenea seobtiene

=0︷︸︸︷(a0(x) y1(x) + a1(x) y′1(x) + a2(x) y′′1 (x))

∫u(x) dx+

+a2(x) y1(x) u′(x) + (2a2(x) y′1(x) + a1(x) y1(x)) u(x) = 0

resolviendo la ecuacion diferencial para u(x) tendremos que:

u(x) =e−

∫a1a2dx

y21



La ecuacion

(x− 1)y′′′ + 2y′′ =x+ 1

2x2

tiene como solucion y1 = C1x+ C2 y como solucion general

y = C1x+ C2 + C3 ln |x− 1|+ 1

2x ln |x|

7.10. Algunas Aplicaciones de las Ecuaciones de Orden Superior

7.10.1. Mecanica y Electricidad

Una de las mas famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coeficientes constantes es

α u+ β u+ γ u ≡ α d2u

dt2+ β

du

dt+ γ u = Λ (t)

La cual utiliza para describir sistemas mecanicos y toma la forma

md2x

dt2+ η

dx

dt+ k x = F (t) donde

x ⇒ Desplazamientodxdt ⇒ Velocidadm ⇒ masaη ⇒ Constante de Amortiguamientok ⇒ Constante Elastica

F (t) ⇒ Fuerza Aplicada

y circuitos electricos

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

1

CQ = E (t) donde

Q ⇒ Carga ElectricadQdt = I ⇒ Intensidad de CorrienteL ⇒ InductanciaR ⇒ ResistenciaC ⇒ Capacitancia

E (t) ⇒ Fuerza Electromotriz

Analicemos la ecuacion que describe sistemas mecanicos y dejamos la cual describe sistemas electricos paraun analisis posterior. El primero de los casos a analizar sera el de las oscilaciones libres, vale decir F (t) = 0,lo cual en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales se traduce a ecuaciones diferenciales homogeneas. Encontraste, si F (t) 6= 0, es decir, el caso inhomogeneo, estaremos describiendo oscilaciones forzadas.

7.10.2. Oscilaciones libres

Analicemos pues del caso del oscilador armonico libre, i.e.

md2x

dt2+ k x = 0 ⇒ x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sen (ω0t) con ω0 =

√k

m

ω0 se denomina la frecuencia natural de oscilacion y C1 y C2 las constantes de integracion que se determinande las condiciones iniciales. Es claro que

si

C1 = A cos δC2 = A sen δ

⇒ x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sen (ω0t) ⇔ x (t) = A cos (ω0t+ δ)



Figura 7.25: Oscilador armonico libre. Cambios en la posicion inicial no afectan la frecuencia natural.

con R la amplitud y δ en angulo de fase. Obviamente, el perıodo del movimiento sera

T =2π

ω0= 2π

√m

k

Ejemplo Como un ejemplo analicemos el caso de un sistema en el cual m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m En

este caso la frecuencia angular ω0 =√

km = 2 rad/sg. La ecuacion diferencial que describe este movimiento

sera

d2x

dt2+ 4 x = 0 ∧

x (0) = 1; dx

dt

∣∣t=0

= 0; ⇒ x (t) = cos(2t)

x (0) = 4; dxdt

∣∣t=0

= 0 ⇒ x (t) = 4 cos (2t)

x (0) = −2; dxdt

∣∣t=0

= 0 ⇒ x (t) = −2 cos (2t)

d2x

dt2+ 4 x = 0 ∧

x (0) = 0; dx

dt

∣∣t=0

= 1; ⇒ x (t) = 12 sen(2t)

x (0) = 0; dxdt

∣∣t=0

= 4; ⇒ x (t) = 2 sen (2t)

x (0) = 0; dxdt

∣∣t=0

= −2 ⇒ x (t) = − sen (2t)

7.10.3. Oscilaciones Libres Amortiguadas

Consideremos que en el movimiento actua una fuerza de amortiguacion proporcional a la velocidad, porlo cual el movimiento viene descrito por

md2x

dt2+ η

dx

dt+ k x =

d2x

dt2+ 2µ

dx

dt+ ω2

0 x = 0



Figura 7.26: Oscilador Armonico Libre. Cambios de velocidad incial no afectan la frecuencia natural

la cual constituye una ecuacion diferencial lineal homogenea de segundo orden. Las raıces del polinomiocaracterıstico asociado seran

r =−η ±

√η2 − 4km

2m= − η

2m±√( η

2m

)2

− k

m= −µ±

√µ2 − ω2

0

por lo tanto la solucion sera

x (t) = C1e

(−(µ+√µ2−ω2

0

)t)

+ C2e

(−(µ−√µ2−ω2

0

)t)

de donde se deducen los siguientes casos

x (t) = C1 er1t + C2 e

r2t ⇐ µ2 − ω20 > 0 Sobreamortiguado

x (t) = (C1 + C2 t) eµ t ⇐ µ2 − ω2

0 = 0 Crıtico

x (t) = e−µ tC1 cos

[(√ω2

0 − µ2)t]

+ C2 sen[(√

ω20 − µ2

)t]

⇐ µ2 − ω20 < 0 Subamortiguado

Ejemplo Como un ejemplo analicemos el mismo caso del sistema anterior en el cual m = 0,1 Kg. yk = 0,4 N/m, solo que ahora la constante de amortiguamiento sera η = 0,60, 0,40 y 0,15 En todos los caso la

frecuencia angular ω0 =√

km = 2 rad/sg. y la cantidad subradical

(µ2 − ω2

0

)correspondera a los tres casos



Figura 7.27: Oscilaciones libres amortiguadas y no amortiguadas. Notese que el perıodo es mayor para elcaso subamortiguado

anteriormente mencionados. Las ecuaciones diferenciales que describen este movimiento seran

d2xdt2 + 6 dx

dt + 4 x = 0 ∧

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 4

⇒ x (t) =(

12 + 7

2√

5

)e(√

5−3)t +(

12 −

72√

5

)e−(3+

√5)t

d2xdt2 + 4 dx

dt + 4 x = 0 ∧

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 4

⇒ x (t) = (1 + 6t) e−2t

d2xdt2 + dx

dt + 4 x = 0 ∧

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 4

⇒ x (t) = e−12 t[

9√15

sen(√

152 t)

+ cos(√

152 t)]

Si en los casos anteriores cambiamos el signo de la velocidad inicial, i.e. dxdt

∣∣t=0

= −4 m/s, tendremos lasiguiente representacion grafica.

x (0) = 1; dxdt

∣∣t=0

= −4; ⇒ x (t) =(

12 −

12√

5

)e(√

5−3)t +(

12 + 1

2√

5

)e−(3+

√5)t

x (0) = 1; dxdt

∣∣t=0

= −4; ⇒ x (t) = (1 + 2t) e−2t

x (0) = 1; dxdt

∣∣t=0

= −4 ⇒ x (t) = e−12 t[−7√15

sen(√

152 t)

+ cos(√

152 t)]

En todos los casos dado que r1, r2 < 0 se tiene que x (t→ 0) → 0. El movimiento subamortiguado es



Figura 7.28: Oscilaciones Libres amortiguadas con cambio de signo en la velocidad inicial

periodico y el perıodo viene descrito por

Tam =2πω0√

1−(µω0

)2=

T√1−

(µω0

)2si

(µ

ω0

)2

<< 1 ⇒ Tam ≈ T

(1 +

1

2

(µ

ω0

)2)

el cual siempre sera mayor que el periodo de oscilacion natural del sistema.

7.10.4. Oscilaciones Forzadas

Supongamos ahora que existe una fuerza aplicada al sistema tal que

d2x

dt2+ 2µ

dx

dt+ ω2

0 x =F0

mcos ($t)

Oscilaciones Forzadas no amortiguadas

En este caso µ = 0 y por lo tanto

d2x

dt2+ ω2

0 x =F0

mcos ($t)

Amplitud modulada $ 6= ω0

y tendra como solucion

x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sen (ω0t)︸︷︷︸homogenea

+F0

m (ω20 −$2)

cos ($t)︸︷︷︸inhomogenea

= A cos (ω0t+ δ) +F0

m (ω20 −$2)

cos ($t)



Figura 7.29: Oscilador armonico forzado con $ = ω20 Notese el fenomeno de resonancia

con lo cual es la suma de dos movimientos armonicos con distintas frecuencias y amplitudes. Si el cuerpoparte del reposo, esto es: x (0) = x (0) = 0 entonces

C1 = −F0

m(ω20−$2)

C2 = 0

⇒ x (t) =F0

m (ω20 −$2)

[cos ($t)− cos (ω0t)]

dado que

cos (ω0t) = cos

[(ω0 −$

2

)+

(ω0 +$

2

)t

]cos (ω0t) = cos

(ω0 −$

2

)cos

(ω0 +$

2

)− sen

(ω0 −$

2

)sen

(ω0 +$

2

)cos ($t) = cos

[(ω0 −$

2

)−(ω0 +$

2

)t

]cos ($t) = cos

(ω0 −$

2

)cos

(ω0 +$

2

)+ sen

(ω0 −$

2

)sen

(ω0 +$

2

)

x (t) =2F0

m (ω20 −$2)

[sen

(ω0 −$

2t

)]︸︷︷︸

Envolvente

[sen

(ω0 +$

2t

)]

Ejemplo El mismo sistema anterior en el cual m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m, cuando parte del reposodesde el origen de coordenadas y existe una fuerza de excitacion F = 0,5 cos (3t) . Por lo tanto la ecuacion



Figura 7.30: Oscilador armonico forzado. Notese la envolvente de la funcion

diferencial que describe el movimiento sera

d2x

dt2+ 4 x = 5 cos (3t)

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 0

=⇒ x (t) = cos(2t)︸︷︷︸homogenea

− cos(3t)︸︷︷︸inhomogenea

≡ 2 sen

(1

2t

)︸︷︷︸

envolvente

sen

(5

2t

)

Resonancia $ = ω0

En el caso que la frecuencia de la fuerza de excitacion coincida con la frecuencia natural del sistema, setiene

d2x

dt2+ ω2

0 x = F0 cos (ω0t) =⇒ x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sen (ω0t) +F0

2mω0t︸︷︷︸

envolvente

sen (ω0t)

Ejemplo El sistema anterior (m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m), cuando parte del reposo desde el origende coordenadas y existe una fuerza de excitacion F = 0,5 cos (2t) . Por lo tanto la ecuacion diferencial quedescribe el movimiento sera

d2x

dt2+ 4 x = 5 cos (2t) ∧

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 0

=⇒ x(t) =5t

4sen (2t)

7.10.5. Oscilaciones Forzadas amortiguadas

En este caso µ 6= 0 y por lo tanto

d2x

dt2+ 2µ

dx

dt+ ω2

0 x =F0

mcos ($t)



Figura 7.31: Carga en funcion del tiempo en un circuito RLC sometido a un voltaje constante. Notese queel sistema alcanza el regimen estacionario cercano a los 0,3 sg

la cual tendra como solucion

x (t) = C1e

(−(µ+√µ2−ω2

0

)t)

+ C2e

(−(µ−√µ2−ω2

0

)t)

+F0

m

((ω2

0 −$2)

cos ($t) + 2µ$ sen ($t)

(ω20 −$2)

2+ (2µ$)

2

)una vez mas se puede convertir en

x (t) = C1e

(−(µ+√µ2−ω2

0

)t)

+ C2e

(−(µ−√µ2−ω2

0

)t)

︸︷︷︸solucion homogene ≡regimen transitorio

+F0

m

cos ($t− ζ)√(ω2

0 −$2)2

+ (2µ$)2︸︷︷︸

solucion inhomogenea ≡ regimen estacionario

donde

cos (ζ) =

(ω2

0 −$2)√

(ω20 −$2)

2+ (2µ$)

2y sen (ζ) =

2µ$√(ω2

0 −$2)2

+ (2µ$)2

Es claro que el termino homogeneo en todos sus casos (sobreamortiguado, crıtico y subamortiguado) tiende acero, por ello se considera un termino transitorio, no ası el termino inhomogeneo que permanece oscilando. Enterminos Fısico se pude decir que el termino transitorio representa la disipacion de la energıa inicial que se leprovee al sistema a traves de la posicion y la velocidad inicial de lanzamiento. Esta energıa inicial se expresaa traves de las condiciones iniciales se disipa. Si no existiera disipacion esta energıa inicial permanecerıa porsiempre en el sistema. Finalmente el termino inhomogeneo, a traves de la fuerza de excitacion, impone elmovimiento al sistema. Notese ademas que el termino inhomogeneo nunca se hace infinito, ni siquiera para elcaso para el cual tiene un maximo y es aquel en el cual la frecuencia de excitacion coincide con la frecuencianatural del sistema.

Ejemplo En un circuito RLC, cuyos componentes son L = 1 henry, R = 40 ohmios y C = 140000 faradios, se

le aplica un tension de V = 24 voltios. Determine el comportamiento de la carga y la intensidad de corrienteen el circuito.



Figura 7.32: Intensidad en un circuito RLC sometido a un voltaje constante.

La ecuacion diferencial que describe el comportamiento del sistema

Ld2Q (t)

dt2+R

dQ (t)

dt+

1

CQ = E (t) ⇒ d2Q (t)

dt2+ 40

dQ (t)

dt+ 40000 Q (t) =

1

2

Ld2I (t)

dt2+R

dI (t)

dt+

1

CI (t) =

dE (t)

dt⇒ d2I (t)

dt2+ 40

dI (t)

dt+ 40000 I (t) = 0

tomando en cuenta las condiciones iniciales tendremos como solucion

Q (0) = 10−4

I (0) = dQdt

∣∣∣t=0

= 10−2

⇒

Q(t) = 1

8000 + e−20t[

47√

112640000 sen

(√1160t

)+ 7

8000 cos(√

1160t)]

I (t) = dQdt = e−20t

[1

100 cos(√

1160t)− 37

√11

6600 sen(√

1160t)]

Si en vez de un tension constante de 0,5 V. la fuente de tension es sinusoidal de la forma E (t) =12 cos (180t) voltios las ecuaciones se transforman en

d2Q

dt2+ 40

dQ

dt+ 40000 Q =

1

2cos (180t) con Q (0) = 10−4 ∧ I (0) =

dQ

dt

∣∣∣∣t=0

= 10−2

d2I

dt2+ 40

dI

dt+ 40000 I = −90sen (180t)

con sus correspondientes soluciones a las condiciones iniciales del sistema

Q(t) =1

1000

e−20t

[293√

11

30140sen

(60√

11t)

+91

685cos(

60√

11t)]− 9

274cos (180t) +

19

548sen (180t)

I(t) =1

100

e−20t

[103

274cos(

60√

11t)− 2461

√11

3014sen

(60√

11t)]

+81

137sen (180t) +

171

274cos (180t)



Figura 7.33: Carga en funcion del tiempo en un circuito RLC sometido a un voltaje sinusoidal V (t) =12 cos (180t) . Notese el regimen transitorio (0 ≤ t . 0,17) y estacionario (t & 0,17) .

Por analogıa con el caso mecanico procedemos a identificar cantidades

2µ = RL

ω20 = 1

LC

⇒ A =V0

L

√(1LC −$2

)2+(RL$)2 =

1

2√$4 − 78400$2 + 1600000000

con ello se puede ver la funcionalidad de la amplitud con la frecuencia excitatriz

7.10.6. Movimiento alrededor de un punto de equilibrio

La fuerza elastica F = −k x mas alla de ser el caso mas simple, representa la primera aproximacion almovimiento alrededor de un punto de equilibrio estable. Si recordamos que para una fuerza que derive de unpotencial

F = −dV

dx⇒ F = −k x = −

d(

12k x

2)

dx

mas aun, un punto de equilibrio estable se define aquel en el cual no existen fuerzas externas, vale decir

F |x=x0= 0 ⇒ −dV

dx

∣∣∣∣x=x0

= 0

por lo cual, dado un potencial de una fuerza arbitraria siempre podemos expandirlo en series de Tayloralrededor de un punto de equilibrio x = x0

V (x) = v (x0) + (x− x0)dV

dx

∣∣∣∣x=x0︸︷︷︸

=0

+1

2!(x− x0)

2 d2V

dx2

∣∣∣∣x=x0

+1

3!(x− x0)

3 d3V

dx3

∣∣∣∣x=x0

· · ·



Figura 7.34: Intensidad de corriente en un circuito RLC sometido a un voltaje sinusoidal V (t) = 12 cos (180t)

Ası, en general, alrededor de un punto de equilibrio x = x0 la primera aproximacion de una funcion potencial

seraV (x) ≈ 12! (x− x0)

2 d2Vdx2

∣∣∣x=x0

≈ 12k (x− x0)

2. Ası, un potencial de la forma

V (x) =1

6x6 − 2x5 +

35

4x4 − 50

3x3 + 12x2

Solucion: x5 − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x Solucion: que genera una fuerza

F = −dV (x)

dx= −

(x5 − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x

)tendra dos puntos de equilibrio x = 0 y x = 4. En torno a x = 0 se podra aproximar con un potencialparabolico

V (x) =1

2!(x− x0)

2 d2V (x)

dx2

∣∣∣∣x=x0

= 12x2

tal y como se observa graficamente

7.10.7. Pendulo Simple con desplazamiento finito.

El caso tıpico de esta aproximacion lo constituye el pendulo simple: una masa m, empotrada a unavarilla, de masa despreciable y de longitud L. La varilla se desplaza un angulo θ de la vertical y se suelta.La Figura (7.37) muestra el diagrama de cuerpo libre del Pendulo Fısico. Desde la ancestral fısica general,aun en secundaria, era proverbial resolver este problema suponiendo angulos pequenos. En esas tempranasepocas de nuestro conocimiento de Fısica era limitado y mas limitado aun era nuestra capacidad para resolverecuaciones diferenciales. A este “problema” se le conoce con el pendulo fısico. Como siempre, aproximar es unarte y exploremos este arte. Como norma general tendremos que se debe aproximar al final. Pero no siempre.Si suponemos un cuerpo de masa constante, m, las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento no



Figura 7.35: Amplitud como funcion de la frecuencia excitatriz. Notese el maximo de la amplitud cuando elsistema entra en resonancia, i.e. $ = ω0

pueden ser otras que aquellas que provengan de las ecuaciones de Newton

∑externas

−−−−−−−−−−→F (−−→r(t),

−−→v(t), t) =

d−−−−→mv(t)

dt= m

−−→a(t) = m (ar ur + aθ uθ) , (7.44)

Es bueno recordar que hay que expresar la aceleracion en un sistema de coordenadas moviles (ur, uθ).Esto es

ur = cos (θ) ı+ sen (θ) =⇒ durdt

= (− sen (θ) ı+ cos (θ) )dθ (t)

dt=

dθ (t)

dtuθ = θ (t) uθ

uθ = − sen (θ) ı+ cos (θ) =⇒ duθdt

= − (cos (θ) ı+ sen (θ) )dθ (t)

dt= −dθ (t)

dtur = −θ (t) ur

con lo cual

~r (t) = r (t) ur =⇒ ~v (t) =d (r (t) ur)

dt= r (t) ur + r (t) θ (t) uθ

y

~a (t) =d(r (t) ur + r (t) θ (t) uθ

)dt

=(r (t)− r (t) θ2 (t)

)ur +

(2r (t) θ (t) + r (t) θ (t)

)uθ

es claro que si r (t) = L = cte =⇒r (t) = ~v (t) = r (t) = ~a (t) = 0

~r (t) = Lur =⇒ ~v (t) =d (Lur)

dt= Lθ (t) uθ

y

~a (t) =d(Lθ (t) uθ

)dt

=

(−L

(θ (t)

)2)

ur +(Lθ (t)

)uθ



Figura 7.36: Aproximacion por una parabola en torno a x = 0

Ası, y para este caso particular, las ecuaciones de Newton quedan como

m ~a = ~T +m ~g =⇒

m ar ≡ −mLθ2 (t) = −T +mg cos (θ)

m aθ = mLθ (t) = −mg sen (θ) .

(7.45)

El caso que todos nos aprendimos de memoria, proviene de la suposicion θ ≈ sen (θ) 1 que implica:

m ~a = ~T +m ~g =⇒

mLθ2 (t) = −T +mg

mLθ (t) = −mgθ.(7.46)

con lo cual, ahora, en este curso, sabemos que lo podemos integrar inmediatamente. Si suponemos que partedel reposo: θ (0) = 0 y θ (0) = θ0

Lθ (t) = −gθ (t) =⇒θ (t) = C1 sen

(√g

Lt

)+ C2 cos

(√g

Lt

)=⇒θ (t) = θ0 cos

(√g

Lt

)y el perıodo puede ser integrado

θ (t) θ (t) = − gLθ (t) θ (t) =⇒Etotal ∝ cte = θ (t)

2+ 2

g

Lθ (t)

2=⇒θ (t) =

√g

L(θ2

0 − θ2) (7.47)

que no es otra cosa que la energıa total del sistema. Por lo tanto sabemos que en el instante inicial, si soltamosla masa desde un angulo θ0, la energıa total es puramente potencial. Es decir

Etotal = Epotencial = mgL (1− cos (θ0)) = 2mgL sen2

(1

2θ0

)(7.48)

por otro lado, de la ecuacion (7.47) podemos obtener el perıodo de oscilacion para el Pendulo Fısico lineali-zado:

ω = θ (t) =

√g

L(θ2

0 − θ2) =⇒T =1√gL

arctan

(θ√

θ20 − θ2

)



Figura 7.37: Diagrama de Cuerpo Libre, del Pendulo Fısico

Este caso tambien se conoce con el nombre de oscilador armonico simple o pendulo fısico linealizado.Igualmente podemos analizar el caso de general del pendulo amortiguado forzado linealizado. Vale decir,una masa, m,atada a una varilla sin masa de longitud L,y que oscila, inmersa en un fluido que la frena elmovimiento de la masa con una fuerza, −η ~v (t) y que adicionalmente esta excitada por una fuerza exteriorF (t) = F0 cos ($t) . Recordamos que en este caso la ecuacion en la direccion tangente (uθ), es

mLd2θ (t)

dt2+ η

dθ (t)

dt+mg θ (t) = F0 cos ($t) =⇒ d2θ (t)

dt2+ 2µ

dθ (t)

dt+ ω2

0 θ (t) =F0

mLcos ($t)

donde, por costumbre, hemos rebautizado las constantes tales que µ =η

2mLy ω0 =

√g

L.

Por lo tanto, su solucion tendra la forma

θ (t) = C1e

(−(µ+√µ2−ω2

0

)t)

+ C2e

(−(µ−√µ2−ω2

0

)t)

︸︷︷︸solucion homogene ≡regimen transitorio

+F0

mL

cos ($t− ζ)√(ω2

0 −$2)2

+ (2µ$)2︸︷︷︸

solucion inhomogenea ≡ regimen estacionario

donde

cos (ζ) =

(ω2

0 −$2)√

(ω20 −$2)

2+ (2µ$)

2y sen (ζ) =

2µ$√(ω2

0 −$2)2

+ (2µ$)2

Hemos aprendido que dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuacion caracterıstica del PenduloFısico amortiguado libre (F0 = 0) se derivan tres casos posibles:

Subamortiguado: µ2 − ω20 < 0

Sobreamortiguado: µ2 − ω20 > 0



Figura 7.38: Evolucion θ (t) vs t del Pendulo Fısico libre, para distintos valores de la velocidad inicialV0 = 3, 5,

√40, 7, 8.

Crıtico µ2 − ω20 = 0

En el caso del Pendulo Fısico amortiguado forzado (F0 6= 0) la fısica se hace mucho mas rica y pueden

ocurrir fenomenos de resonancia cuando(ω2

0 −$2)2

+ (2µ$)2 → 0.

Es interesante considerar los graficos tanto de la evolucion del sistema en el espacio directo: θ (t) vs t;como la evolucion del sistema en el espacio de fases ω = θ (t) vs θ (t) . Las figuras (7.40) y (7.42) muestranla primera de estas evoluciones, es decir, la evolucion del angulo en el espacio directo. Las figuras (7.41) y(7.43) muestran la evolucion del sistema en el espacio de fases. Es claro de la ecuacion (7.47), en la cualaparece ω = θ (t) = θ (θ (t)) ,que las curvas en el diagrama de fase tanto para el caso libre (figura (7.39))como para los de los casos amortiguados (figuras (7.41) y (7.43)) corresponden a curvas de misma energıa.En el caso del Pendulo Fısico linealizado libre, corresponden a curvas de energıa constante. en los otros casosel sistema va disipando energıa debido al coeficiente de amortiguacion.

Notese que la disipacion obliga al sistema a evolucionar al punto de equilibrio siguiendo trayectoriasespirales en el espacio de fases. Claramente mas rapidamente en el caso sobreamortiguado que en el su-bamortiguado. Tambien sabemos que para el caso crıtico (µ2 − ω2

0 = 0) el tiempo de evolucion del sistemahasta llegar al punto de equilibrio sera menor que en cualquiera de los casos sobreamortiguados. Dejamos allector la comprobacion de esta ultima afirmacion.

Hemos aprendido que dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuacion caracterıstica del PenduloFısico amortiguado libre (F0 = 0) se derivan tres casos posibles:

Ahora bien, la situacion que nos interesa simular es la del pendulo fısico para los casos en los cuales losangulos de oscilacion no necesariamente sean pequenos.

Denominaremos pendulo libre al caso en el cual no recurriremos a ninguna aproximacion respecto alangulo de oscilacion. Recordemos que para este caso partimos de la ecuacion (7.45) en la direccion tangente.Es decir

Lθ (t) = −g sen (θ) =⇒ θ (t) θ (t) = − gL

sen θ (t) θ (t) =⇒ Etotal ∝ cte =

(θ (t)

2

2− g

Lcos θ (t)

)



Figura 7.39: Digrama de Fase para el Oscilador Armonico Simple. Notese que el punto de equilibrio es elorigen de coordenadas.

Al igual que en la ecuacion en la direccion tangente linealizada (7.47), nos encontramos con la Energıa totaldel sistema. Con lo cual Es facil despejar θ (t) = θ (θ (t)) y construir los diagramas de fases del sistema. Otravez, las lıneas del diagrama de fase seran lıneas de la misma energıa. Ası podemos graficar

θ (t) = ±√C +

2g

Lcos (θ (t)) (7.49)

para distintos valores de la constante C = 4, 01; 4, 1; 6; 8; 10; 20 y para el casog

L= 4. La Figura (7.44)

representa el diagrama de fase para estos casos. Las curvas cerradas (aquellas que tienen los valores de angulosy velocidades acotadas) representan oscilaciones del sistema, mientras que las curvas abiertas (aquellas enlas cuales las velocidades estan acotadas pero no ası el valor del angulo) representan que el sistema rota.Notese que el sistema presenta puntos de equilibrio inestable para θ (t) ≈ ±nπ con n = 0, 1, 2. Lo cual era deesperarse por cuanto corresponde al angulo en el cual el sistema varilla-masa se encuentran verticalmentedispuestos y el peso y la tension son colineales y se anulan momentaneamente.

Otro enfoque, quiza mas intuitivo para resolver este problema, pudo haber sido el analisis energetico.Para ello sabemos que, por ser un sistema conservativo, la energıa total viene definida por

Etotal =1

2mL2θ (t)

2︸︷︷︸Energıa Cinetica

+mgL (1− cos (θ (t)))︸︷︷︸Energıa Potencial

≡ 1

2mL2θ (t)

2+ 2mgL sen2

(θ (t)

2

)

por consiguiente

θ (t) = ±

√2EtotalmL2

− 4g

Lsen2

(θ (t)

2

)≡ ±2

√g

L

[sen2

(θmax

2

)− sen2

(θ (t)

2

)](7.50)

donde hemos sustituido Etotal = 2mL sen2(θmax

2

)con θmax el angulo maximo que alcanza el Pendulo Fısico,

por cuanto en ese punto la energıa total es puramente potencial. Notese que ese angulo no necesariamentees el angulo inicial, debido a que la velocidad incial puede ser distinta de cero.



Figura 7.40: Evolucion θ (t) vs t del Pendulo Simple, Subamortiguado (g

L= 4;µ = 0, 5) libre,para distintos

valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5,√

40, 7, 8.

La ecuacion (7.50) es claramente integrable por separacion de variables y conduce a encontrar la expresionpara el perıodo:

t =1

2

√L

g

∫ θ(t)

θ0

dθ√g

L

[sen2

(θmax

2

)− sen2

(θ2

)] con − π ≤ θ (t) ≤ π y θ0 = θ (0)

La integral anterior, puede ser transformada en otra que aparece en las tablas integrales, si hacemos senβ =sen( θ2 )

sen(θmax

2

) , con lo cual

t =

√L

g

∫ ζ(t)

ζ(0)

dβ√1− sen2

(θmax

2

)sen2 β

donde

senβ =sen(θ2

)sen(θmax

2

)ζ (t) = arcsin

sen(θ(t)

2

)sen

(θmax

2

) (7.51)

Es claro que el recorrido entre ζ (0) = 0 =⇒ θ = 0 a θ = θmax =⇒ ζ (t) =π

2representa un cuarto del

perıdo, por consiguiente el perıodo total del Pendulo Fısico sera:

T = 4

√L

g

∫ π

2

0

dβ√1− sen2

(θmax

2

)sen2 β



Figura 7.41: Evolucion θ (t) vs θ (t) del Pendulo Fısico Subamortiguado libre (g

L= 4;µ = 0, 5) en el Espacio

de Fases para distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5,√

40, 7, 8. Notese que la disipacion llevairremediablemente al sistema al punto de equilibrio, vale decir al origen de coordenadas del espacio de fases.

7.10.8. Disgresion Elıptica

En este punto haremos una disgresion respecto a las integrales elıpticas, su clasificacion y algunas de suspropiedades. En general encontraran en la bibliografıa que las integrales elıpticas se dividen en

Integrales Elıpticas de Primera Especie

F (ϕ\α) =

∫ ϕ

0

dβ√1− sen2 α sen2 β

⇐⇒ F (x|m) =

∫ x

0

dt√(1− t2) (1−mt2)

con 0 ≤ m ≤ 1

las cuales, para el caso particular ϕ =π

2o x = 1, se puede reacomodar como una Integral Elıptica de

Primera Especie Completa

K (m) =

∫ π

2

0

dβ√1−m sen2 β

≡∫ 1

0

dt√(1− t2) (1−mt2)

con 0 ≤ m ≤ 1 (7.52)

Integrales Elıpticas de Segunda Especie

E (ϕ\α) =

∫ ϕ

0

√1− sen2 α sen2 βdβ ⇐⇒ E (x|m) =

∫ x

0

√(1−mt2

)(1− t2)

dt con 0 ≤ m ≤ 1

y si ϕ =π

2o x = 1, entonces se obtiene una Integral Elıptica de Segunda Especie Completa

E (m) =

∫ π

2

0

√1−m sen2 βdβ ≡

∫ 1

0

√(1−mt2

)(1− t2)

dt con 0 ≤ m ≤ 1



Figura 7.42: Evolucion θ (t) vs t del Pendulo Fısico Sobreamortiguado (g

L= 4;µ = 3, 5) libre,para distintos

valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5,√

40, 7, 8.

Adicionalmente, y tambien sin perder generalidad, dado que 0 ≤ m ≤ 1, el denominador de la integralelıptica K (m) de la ecuacion (7.52) y equivalentemente de la ecuacion (7.51) puede ser expandido en seriesde potencias. Con lo cual

1√1−m sen2 β

= 1 +1

2sen2 βm+

(3

8sen4 β2

)m2 +

(5

16sen6 β3

)m3 +

(35

128sen8 β4

)m4 + · · ·

1√1−m sen2 β

=1

2π

[1 +

[(1

2

)sen2 β

]m+

[(1 · 32 · 4

)sen4 β

]m2+

+

[(1 · 3 · 52 · 4 · 6

)sen6 β

]m3 +O

(m4)]

1√1−m sen2 β

=

∞∑n=0

(2n− 1)!!

(2n)!!mn sen2n β

y siendo una serie uniformemente convergente puede ser integrada termino a termino como

K (m) =

∫ π

2

0

dβ√1−m sen2 β

=

∫ π

2

0

dβ

∞∑n=0

(2n− 1)!!

(2n)!!mn sen2n β =

∞∑n=0

(2n− 1)!!

(2n)!!mn

∫ π

2

0

sen2n β dβ

K (m) =

∞∑n=0

(2n− 1)!!

(2n)!!mn

[(2n− 1)!!

(2n)!!· π

2

]=π

2

∞∑n=0

[(2n− 1)!!

(2n)!!

]2

mn



Figura 7.43: Fısico Sobreamortiguado libre (g

L= 4;µ = 3, 5) en el Espacio de Fases para distintos valores de

la velocidad inicial V0 = 3, 5,√

40, 7, 8. Notese que la disipacion lleva irremediablemente al sistema al puntode equilibrio, vale decir al origen de coordenadas del espacio de fases.

Del mismo modo se obtiene para las integrales elıpticas completas de segunda especie que

E (m) =

∫ π

2

0

√1−m sen2 βdβ =

π

2

[1−

∞∑n=1

[(2n− 1)!!

(2n)!!

]2mn

2n− 1

]

Finalmente podemos mencionar la relacion de “recurrencia” de Legendre para las Integrales Elıpticas com-pletas. Ella es

E (m)K (1−m) + E (1−m)K (m)−K (m)K (1−m) =π

2

Las integrales elıpticas de primera y segunda especie, incompletas y completa deben resolverse numericamentey tradicionalmente estan tabuladas en algunas tablas integrales 6. En nuestros dıas tambien pueden serresueltas numericamente utilizando comandos de manipuladores simbolicos7.

6Abramowitz, M. y Stegun I.A (1964) Handbook of Mathematical Functions Dover, New York7En el caso de MAPLEV se puede proceder directamente evaluando numericamente la integral (7.51) a traves del comando

evalf(int(...)) o mediante la funcion de biblioteca EllipticF(z,k) donde z= β es al argumento del seno y k= sen(θ02

)el

parametro (consulte la ayuda de MAPLE para mas detalles).



Figura 7.44: Diagrama de Fase para el Pendulo Fısico.

7.10.9. ¿Cuan buena es la aproximacion lineal ?

Utilizando la expansion en serie de la Integral Elıptica completa de primera especie (7.51) del pendulofısico, tendremos que se cumple

T = 4

√L

g

∫ π

2

0

dβ√1− sen2

(θmax

2

)sen2 β

= 4

√L

gF

(π

2\ sen2

(θmax

2

))=⇒

T = 2π

√L

g

∞∑n=0

[(2n− 1)!!

(2n)!!

]2(sen

(θmax

2

))2n

mas aun, dado que sen(θmax

2

)= 1

2θmax − 148θ

3max + 1

3840θ5max +O

(θ7

max

)y que T0 =

2π

ω0= 2π

√Lg tendremos

T = 2π

√L

g

∞∑n=0

[(2n− 1)!!

(2n)!!

]2(1

2θmax −

1

48θ3

max +1

3840θ5

max +O(θ7

max

))2n

=⇒

T ≈ T0

(1 +

1

16θ2

max +11

3072θ4

max

)y si realizamos un estimado de las correcciones al problema lineal que conlleva esta expansion veremos que

aun para angulos θmax =π

4las correcciones son del orden de un pırrico 4 %, con lo cual la aproximacion

lineal resulta bien razonable. Para angulos θmax & 1 las correcciones comienzan a ser significativas y todoeste esfuerzo de integracion empieza a tener sentido. La siguiente tabla da una idea mas clara de este cambioen el perıodo del penulo y los errores relativos porcentuales respecto al perıodo del pendulo fısico linealizado

T0 =2π

ω0,cuando se consideran distintos valores del angulo maximo, θmax



Figura 7.45: Integracion numerica (θ(t)

vs t, con 0 ≤ t ≤ 10) del Pendulo Fısico, para distintos valores de

la velocidad angular inicial:dθ(t)

dt= ϕ(t) = 3,5, 3,9, 4, 4,1, 4,5.

T0 =2π

ω0= 2,83845 θmax =

π

12θmax =

π

6θmax =

π

4θmax =

π

3θmax =

π

2θmax =

2π

3T 2,85066 2,88786 2,95191 3,04617 3,35034 3,89685

ε = 100|T − T0|

T0,42821 1,71109 3,84368 6,81916 15,2786 37,1283

7.10.10. El Pendulo Fısico: Integracion Numerica

Tal y como indicamos en la primera seccion de este proyecto, procedemos a convertir una ecuacion desegundo orden en un sistema de ecuaciones diferenciales de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Ası,del mismo modo que en la ecuacion (??) podremos escribir:

θ (t) = −ω0 sen (θ) =⇒

dθ(t)

dt= ϕ(t)

dϕ(t)

dt= −ω0 sen (θ(t))

con lo cual podemos adimensionalizar de dos varias formas, dependiendo de las condiciones iniciales del

movimiento. Si adicionalmente hemos adimensionalizado con t =t

tfinalpor lo que 0 ≤ t ≤ 1 y

1

tfinal

d (·)dt

=

d (·)dt

y, adcionalmente: ϕ =ϕ

ϕ0, con ϕ0 =

dθ(t)

dt

∣∣∣∣t=0

6= 0. De este modo el sistema queda escrito

dθ(t)

dt= ϕ(t) =⇒ d θ(t)

dt= ϕ0 tfinal ϕ(t) =⇒ d θ(t)

dt= Λ ϕ(t)

dϕ(t)

dt= −ω0 sen (θ(t)) =⇒ d ϕ(t)

dt= −ω

20tfinalϕ0

sen(θ(t)

)=⇒ d ϕ(t)

dt= −Γ sen

(θ(t)

)



Figura 7.46: Digrama de Fase para el Pendulo Fısico

Notese que las cantidades ϕ(t), θ(t), t,Γ y Λ son adminensionales. Acto seguido procedemos a integrarnumericamente el sistema de ecuaciones8.

La figura (7.45) ilustra la evoluciıon del angulo θ (t) vs t, con 0 ≤ t ≤ 10 del Pendulo Fısico, para distintos

valores de la velocidad angular inicial:dθ(t)

dt= θ(t) = ϕ(t) = 3,5, 3,9, 4, 4,1, 4,5. Mientras que la figura (7.46)

(y tambien la figura (7.44)) representan la evolucion del sistema en el espacio de fases. θ (t) vsdθ(t)

dt= ϕ(t).

Las curvas cerradas en esta grafica corresponden a las curvas oscilantes de la figura (7.45). Dado que elsistema parte de θ0 = θ (t = 0) y seleccionamos el nivel de energıa potencial igual a cero allı, cada una de

estas curvas representan un valor de la energıa cinetica inicial. El caso Ec =1

2mL2θ2

0 = mg2L corresponde

a la separatrız, vale decir, la orbita que separa las curvas cerradas de las abierta. Es claro que en este caso lemovil “subira” y alcanzara un equilibrio inestable en la posicion vertical. En la figura (7.45) este caso vieneilustrado por la curva que se convierte en horizontal 0, 25 ≤ t ≤ 0, 5, luego a partir de t ≈ 0, 5, la inexactituddel calculo numerico genera pertubaciones que en teorıa no debieran existir.

Ec =1

2mL2θ2

0 = mg2L

8En MAPLEV podemos integra el sistema de dos maneras distintas. La primera haciendo uso del coman-do dsolve(sysED,CI, numeric, vars, options) donde sysED es el sistema de ecuaciones diferenciales, CI sus

condiciones iniciales. Si necesitaramos un analisis grafico es mucho mas util el paquete DEtools.


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