MF“Meten in de Fysica”

Introductie en KennismakingIntroductie en Kennismakingmet met

DataDataverwerkingverwerking

INTRO INTRO 66

Werkboek 6: Propagatie van Onzekerheid 2

Taylor : § 3.7 t/m § 3.11

Doorrekenen van onzekerheid in x via f(x) naar z.

Vb. z = f(x) = x + x2

Als σx bekend → σz?

De variatiemethode

De variatiemethode voor het doorrekenen van onzekerheid

De variatiemethode

1 2

1 2

1 2

Recept bij de bewerking ( , , , )

waarbij ( , , , ) .

ˆ ˆ ˆˆBereken ( , , , )

ˆ ˆBereken de standaarddeviaties van ( 1, , )

n

n

n

i

z f x x x

x x x statistisch onafhankelijk

z f x x x

partiële σ z i n

= ××××

××××

= ××××

= ×××× 1 12 2

1 11 2 1 22 2

ˆ ˆˆ ˆ bij variatie van de verschillende in het interval [ , ]

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ( , , , , , ) ( , , , , , ).

Bereken de kwadratische som van alle

i i

i i

i i x i x

i i x n i x n

x x σ x σ

σ f x x x σ x f x x x σ x

p

- +

= ××× + ××× - ××× - ×××

2

1

standaarddeviaties:

ˆ ˆ .n

z ii

artiële

σ σ=

= å

Algemene aanpak bij het doorrekenen van onzekerheid

1. Druk de te bepalen grootheid uit in van elkaar onafhankelijke meetresultaten(dus in formulevorm)

2. Kies een rekenmethode

• bij een eenvoudige bewerking (gebaseerd op differentieermethode):

som of verschil: absolute fouten kwadratisch optellen;

product of deling: relatieve fouten kwadratisch optellen;

(en combineer zo nodig)

• bij een ingewikkelde bewerking:

- differentieermethode:

neem partiële afgeleiden naar de onafhankelijk gemeten grootheden; vermenigvuldig deze met de bijbehorende foutenmarges; tel de uitkomsten kwadratisch op.

- variatiemethode:

bereken variatie van de uitkomst bij variatie van de meetwaarden over hun standaarddeviatie; tel de uitkomsten kwadratisch op.

1

2

I II

1

2

Gemeten:

4.00 0.03 m

3.00 0.02 m

Nogmaals de zit/slaapkamer

gebruik van de variatiemethode

variatiemethode

1 1

2 2

21 2 1 2 2

21 11 2 1 2 22 2

2 21

1 11 2 1 22 2

Beschouw weer ( , ) en bereken:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ( , )

21.045( )ˆ (4.00 0.015) 3.00 (3.00) 0.09 m .

20.955( )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( , ) l

O

O σ σ

σ

O σ σ

= +

é ù± = ± + =ë û+

= ± ´ + = ® =-

é± = ±

( ) ( )

2

21

2 2

2 22

2 2 2 2 21 2

2

ˆ ˆ

21.10( )ˆ 4.00 (3.00 0.01) (3.00 0.01) 0.20 m .

20.90( )

ˆ ˆ ˆDaaruit volgt ( ) (0.09) (0.20) 0.219 m

ˆOpgeven: 21.0 0.2 m (afronden pas

υ

σ

σ

σ O σ σ

O

ù é ù+ ± =ë û ë û+

= ´ ± + ± = ® =-

= + = + =

® = ±

in eindresultaat!).