49
BETONSKE BETONSKE BETONSKE BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 KONSTRUKCIJE 3 KONSTRUKCIJE 3 KONSTRUKCIJE 3 Primjer Primjer – proračun proračun dijagrama M dijagrama M-1/r 1/r Verzija s korigiranim tablicama 1.1 i 1.2 !!!! Verzija s korigiranim tablicama 1.1 i 1.2 !!!! P fd Z il S ić di l i đ P fd Z il S ić di l i đ Prof. dr. sc. Zorislav Sorić dipl. ing. građ. Prof. dr. sc. Zorislav Sorić dipl. ing. građ. Doc. dr. sc. Tomislav Kišiček dipl. ing. građ. Doc. dr. sc. Tomislav Kišiček dipl. ing. građ. Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1

M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

BETONSKEBETONSKEBETONSKE BETONSKE KONSTRUKCIJE 3KONSTRUKCIJE 3KONSTRUKCIJE 3KONSTRUKCIJE 3Primjer Primjer –– proračun proračun

dijagrama Mdijagrama M--1/r1/rVerzija s korigiranim tablicama 1.1 i 1.2 !!!!Verzija s korigiranim tablicama 1.1 i 1.2 !!!!

P f d Z i l S ić di l i đP f d Z i l S ić di l i đProf. dr. sc. Zorislav Sorić dipl. ing. građ.Prof. dr. sc. Zorislav Sorić dipl. ing. građ.Doc. dr. sc. Tomislav Kišiček dipl. ing. građ.Doc. dr. sc. Tomislav Kišiček dipl. ing. građ.

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 11

Page 2: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

MM--1/r dijagram 1/r dijagram primjerprimjerj gj g p jp jPotrebno je proračunati i nacrtati točke dijagrama (M-j p j g (1/r) za neovijeni i ovijeni beton (σ2=0,10·fck) uz korištenje bilinearnog (σ-ε) dijagrama betona, za j g ( ) j gpravokutni presjek b/h/d=35/55/50 cm, za razred betona C30/37, te čelik B500B i armaturu 5φ22., φ

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 22

Page 3: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

MM--1/r dijagram 1/r dijagram primjerprimjerj gj g p jp jUlazni podaci:

Dimenzije presjeka: b/h/d=35/55/50 cmDimenzije presjeka: b/h/d=35/55/50 cmUgrađena vlačna armatura: 5φ22 = 19,01 cm2

Beton: C30/37Beton: C30/37tablica 3.1 iz EN 1992tablica 3.1 iz EN 1992--11--1 ili tablica 4.1 u skriptama NBK1, str. 97.1 ili tablica 4.1 u skriptama NBK1, str. 97.

fck = 30 N/mm2 = 3,0 kN/cm2 fck 30 N/mm 3,0 kN/cmfctm = 2,9 N/mm2 = 0,29 KN/cm2

Ecm = 33000 N/mm2 = 3300 KN/cm2

εc3 = 0,00175εcu3 = 0,0035

Č lik B500BČelik: B500Bfyk = 500 N/mm2 = 50 kN/cm2

E = 200000 N/mm2 = 20000 kN/cm2

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 33

Es = 200000 N/mm2 = 20000 kN/cm2

Page 4: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (1) Točka (1) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjPojava prve pukotine u betonu Pojava prve pukotine u betonu –– dosegnuta je vlačna čvrstoća dosegnuta je vlačna čvrstoća maskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjeku

I0 = b·h3/12 = 35·553/12 = 485260,42 cm4

y0d = h/2 = 27,5 cmαe = Es/Ecm = 200000/33000 = 6,06

Položaj neutralne osi za stanje naprezanja Položaj neutralne osi za stanje naprezanja II (beton +armatura)(beton +armatura)

( ) ( ) ( ) ( ) 25535050119106621 22 //hbdA( ) ( )( )

( ) ( )( ) 553501191066

2553505011910661

21 2

se

21se

Id ,,/,,,/

=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−

=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−

=hbAhbdAy

αα

cm4326,=

cm5728432655IdIg ,, =−=−= yhy

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 44

IdIg ,,yy

Page 5: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (1) Točka (1) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjMoment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja Moment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja II(beton +armatura)(beton +armatura)(beton +armatura)(beton +armatura)

( ) ( )2Igse

2

Ig

3

I 1212

=−⋅⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅= ydAyhhbhb αΙ

( ) ( )4

223

68531644

5728500119106657282

55553512

5535 ,,,, =−⋅⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅=

Moment savijanja kod pojave prve pukotine:Moment savijanja kod pojave prve pukotine:4cm68531644,=

485260 42290f Ι

Zakrivljenost:Zakrivljenost:

kNm1751kNcm29511727,5485260,42290

d0

0ctmcr ,,,

==⋅

=⋅

=y

fM Ι

Zakrivljenost:Zakrivljenost:

1/m109121/cm10912685316443300

2951171 46cr −− ⋅=⋅=== ,,,ΙE

M

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 55

685316443300Icmcr ⋅⋅ ,ΙEr

Page 6: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjPojava popuštanja vlačne armature. Za Pojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearnibilinearni proračunski proračunski dijagram betonadijagram betona

00250200000500syksys ,// ==== Efεε

22yks kN/cm50N/mm500 === fσ

Za beton C30/37:Za beton C30/37:Za beton C30/37:Za beton C30/37:εεc3 c3 = 1,75 ‰ = 0,00175 = 1,75 ‰ = 0,00175 εε 33 = 3 5 ‰ = 0 0035= 3 5 ‰ = 0 0035εεcu3cu3 3,5 ‰ 0,0035 3,5 ‰ 0,0035

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 66

Page 7: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjUnutarnje sile u poprečnom presjekuUnutarnje sile u poprečnom presjekuZa Za bilinearnibilinearni proračunski dijagram betonaproračunski dijagram betona

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 77

Page 8: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSila u vlačnoj armaturi:Sila u vlačnoj armaturi: kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF

Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju betona, betona, εεcc. . Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u j p jj p jbetonu moguća su dva slučaja:betonu moguća su dva slučaja:

εεcc ≤≤ εεc3c3 linearna raspodjela naprezanja u tlačnom linearna raspodjela naprezanja u tlačnom cc c3c3 p j p jp j p jdijelu betona dijelu betona 1. SLUČAJ1. SLUČAJεεc3c3 < < εεcc ≤≤ εεcu3cu3 bilinearna raspodjela naprezanja u bilinearna raspodjela naprezanja u c3c3 cc cu3cu3tlačnom dijelu betona tlačnom dijelu betona 2. SLUČAJ2. SLUČAJ

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 88

Page 9: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjZa beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j čit j ik fi ij t i j čit j i t bli 1 1 ( t i )t bli 1 1 ( t i ) iikoeficijent armiranja očitan je iz koeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.1, (str. iza) tablice 1.1, (str. iza) i i iznosi:iznosi: 0123530s gr 2 ,=ρ

Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:

0123530s,gr,2 ,ρ

j j p p g p j jj j p p g p j j

010862050350119s

s ,,=

⋅=

⋅=

dbAρ

ρρss = 0,010862 < = 0,010862 < ρρs,gr,2 s,gr,2 = = 0,012353 0,012353 5035 ⋅⋅db

εεcc ≤≤ εεc3c3 (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) dijelu betona) 1. SLUČAJ1. SLUČAJ

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 99

Page 10: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni Neovijeni betonbeton( )( ) jjKorigirana tablica 1.1 !!!!!!

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1010

Page 11: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3c3 linearna raspodjela linearna raspodjela naprezanja naprezanja

tl č dij l b ttl č dij l b tu tlačnom dijelu betonau tlačnom dijelu betonaIzjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se k d t j d džbk d t j d džbkvadratna jednadžba, kvadratna jednadžba,

01syykscyks

2c

ck =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅ εεε fAfAdbf

0002505001195001195035031

02

2

syykscykscc3

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅, εε

εεεε

fAfAdb

037625259501500000

00025050011950011950350017502

c2c

cc

=−⋅−⋅ ,,

,,,,

εε

εε

čije rješenje jest relativna deformacija betona, čije rješenje jest relativna deformacija betona, εεcc = 0,001615= 0,001615

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1111

Page 12: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3c3 linearna raspodjela naprezanja linearna raspodjela naprezanja

tl č dij l b ttl č dij l b tu tlačnom dijelu betonau tlačnom dijelu betonaDebljina tlačnog područja poprečnog presjeka:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:

cm621950002500016150

0016150syc

cy ,

,,,

=⋅+

=⋅+

== dxxεε

ε

krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zzyy::

cm4643621950y ,=−=−=

xdz

Maksimalno tlačno naprezanje betona:Maksimalno tlačno naprezanje betona:

cm46433

503y ,=−=−= dz

2

c3

ckcc kN/cm772

001750030016150 ,

,,, =⋅=⋅=

εεσ f

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1212

Page 13: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3c3 linearna raspodjela naprezanja linearna raspodjela naprezanja

tl č dij l b ttl č dij l b tu tlačnom dijelu betonau tlačnom dijelu betonaSila u betonu:Sila u betonu:

11 kN5950kN0895135621977221

21

sycc ,,,, =≈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= FbxF σ

Moment savijanja iznosi :Moment savijanja iznosi :

kNm08413kNcm734130846435950ysy ,,,, ==⋅=⋅= zFM

Zakrivljenost poprečnog presjeka:Zakrivljenost poprečnog presjeka:

ysy

1/m1022981/cm102298621950

002501 35

y

sy

y

−− ⋅=⋅=−

=−

= ,,,

,xdr

ε

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1313

621950yy ,xdr

Page 14: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom poprečnog presjekaSlom poprečnog presjeka

Preko betonaPreko betona

Preko armaturePreko armaturecu3c εε =

Preko armaturePreko armature

sus εε =

Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1414

Page 15: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjZa beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j čit j i t bli 1 3 i i ik fi ij t i j čit j i t bli 1 3 i i ikoeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.3 i iznosi:koeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.3 i iznosi:

0029440gr,3us, ,=ρ

Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:

01086200119s ,A

0 0108620 010862 0 0029440 002944

010862050350119s

s ,,=

⋅=

⋅=

dbAρ

ρρss = 0,010862 > = 0,010862 > ρρs,gr,3u s,gr,3u = 0,002944 = 0,002944 Slom preko betonaSlom preko betona

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1515

Page 16: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jj

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1616

Page 17: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betona tj. kada armature ima više od Slom preko betona tj. kada armature ima više od AA što je nepovoljnošto je nepovoljnoAAs,maxs,max što je nepovoljnošto je nepovoljno

Relativna deformacija betona u tlačnom području je Relativna deformacija betona u tlačnom području je εεcu3cu3

Proračunava se relativna deformacija armatureProračunava se relativna deformacija armature εε izmeđuizmeđuProračunava se relativna deformacija armature Proračunava se relativna deformacija armature εεss između između vrijednosti vrijednosti εεsy sy i i εεsusu, tj. , tj.

( ) sussyksy εεε ≤<= E/f

Za B500A Za B500A εεsu su = 25,0‰= 25,0‰Za B500BZa B500B εε = 50 0‰= 50 0‰

( ) sussyksy

Za B500B Za B500B εεsu su = 50,0‰= 50,0‰Za B450C Za B450C εεsu su = 75,0‰= 75,0‰ZaZa εε == εε bilinearnabilinearna raspodjela u tlačnom dijeluraspodjela u tlačnom dijelu betonabetonaZa Za εεc c = = εεcu3cu3 bilinearna bilinearna raspodjela u tlačnom dijelu raspodjela u tlačnom dijelu betonabetona

Nije potrebna tablica 1.2 Nije potrebna tablica 1.2 –– kod sloma preko betona znamo unaprijed da se kod sloma preko betona znamo unaprijed da se radi o bilinearnoj raspodjeli !!!!!radi o bilinearnoj raspodjeli !!!!!

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1717

Page 18: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka Točka (3) (3) –– Neovijeni Neovijeni betonbeton( )( ) jjKorigirana tablica 1.2 - ova tablica nije potrebna u ovom primjeru jer se radi o slomu preko betona i dijagram je bilinearan

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1818

Page 19: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona

Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi određuje Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi određuje se relativna deformacija armature, se relativna deformacija armature, εεss

2 cu3yksc3

cu3ck

=⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

=fAdbf εεε

ε

0035050011900175000350503503

ykss

,⎟⎞

⎜⎛

=⋅

=fA

ε

500119

003505001192

00350503503

,

,,,,,=

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

=

0109990,=

05000250 ≤Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1919

05000250 sussy ,, =≤<= εεε

Page 20: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona

fSila u armaturi:Sila u armaturi:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:

00350

kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF

cm071250010999000350

00350scu3

cu3u ,

,,,

=⋅+

=⋅+

== dxxεε

ε

Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, εεc3c3, , od neutralne osi:od neutralne osi:

cm03560712001750c3 ,' =⋅=⋅= xx ε

Sila u betonu:Sila u betonu:

cm0356071200350u

cu3u ,,

,=== xx

ε

⎞⎛⎞⎛ kN595003562107123503

21

21

uuckuckuckc ,,,,'' =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅= xxbfbxfbxfF

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2020

Page 21: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona

Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, popuštanja armature, zzuu potrebno je odrediti položaj sile u potrebno je odrediti položaj sile u betonubetonu FF koja se može rastaviti na dvije komponentekoja se može rastaviti na dvije komponente FF iibetonu, betonu, FFcc, koja se može rastaviti na dvije komponente, , koja se može rastaviti na dvije komponente, FFc1c1 i i FFc2c2::

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2121

Page 22: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona

Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba poprečnog presjeka:ruba poprečnog presjeka:

( ) ( ) kN68633350356071203uuckc1 ,,,,' =⋅−⋅=⋅−⋅= bxxfF

cm0832

035607122

uu ,,,'=

−=

− xx

kN82316686335950ili21

c1cc2uckc2 ,,,' =−=−=⋅⋅⋅= FFFbxfF

cm0583035620712

32 u

u ,,,'=

⋅−=

⋅−

xx

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2222

Page 23: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona

Udaljenost rezultantne sile u betonu Udaljenost rezultantne sile u betonu FFcc od gornjeg ruba od gornjeg ruba presjeka, presjeka, xxTuTu::

2 '' ⎞⎛ ⋅ xxx3

22

uuc2

uuc1

Tu =+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅+−

⋅=

FF

xxFxxFx

cm7448231668633

0588231608368633c2c1

,,,,,=

+⋅+⋅

=

+FF

Krak unutarnjih sila:Krak unutarnjih sila:8231668633 ,, +

cm264574450Tuu ,, =−=−= xdz

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2323

Page 24: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona

Moment savijanja iznosi:Moment savijanja iznosi:kNm20430kNcm634301926455950ucu ,,,, ==⋅=⋅= zFM

Zakrivljenost poprečnog presjeka:Zakrivljenost poprečnog presjeka:

003501 ε 1/m109021/cm109020712

003501 24

u

cu3

u

−− ⋅=⋅=== ,,,

,xrε

Koeficijent duktilnosti:Koeficijent duktilnosti:

523109021

4u , ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−r

δ 5231022981 5

u ,,,

=⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎠⎝= −

r

δ

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2424

y ⎠⎝ r

Page 25: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjDijagram MDijagram M--1/r:1/r:

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2525

Page 26: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Ovijeni betonOvijeni beton

( ) 05010tj050za521251 ffffff >>+ / σσσ

jjKarakteristična tlačna čvrstoća ovijenog betona:Karakteristična tlačna čvrstoća ovijenog betona:

( ) ckck2ck2ck2ckcck, 05010tj.050za521251 ffffff ⋅>⋅=⋅>+= ,,,/,, σσσ

( ) 2cck, N/mm2541300352125130 ,/,,, =⋅+⋅=f

Relativne deformacije ovijenog betona:Relativne deformacije ovijenog betona:

( ) ( ) 003310302541001750 22ckcck,c3cc3, ,/,,/ =⋅=⋅= ffεε

023503003200035020 // fPrimjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2626

023503003200035020 ck2cu3ccu3, ,/,,,/, =⋅+=⋅+= fσεε

Page 27: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Ovijeni betonOvijeni betonjjVlačna čvrstoća i modul elastičnosti ovijenog betona:Vlačna čvrstoća i modul elastičnosti ovijenog betona:Srednja vlačna čvrstoća za betoneSrednja vlačna čvrstoća za betone ff kk ≤≤ 50 MPa:50 MPa:Srednja vlačna čvrstoća za betone Srednja vlačna čvrstoća za betone ffckck ≤≤ 50 MPa:50 MPa:

223 23 2cck,cctm, kN/cm360N/mm58325413030 ,,,,, ==⋅=⋅= ff

Srednja tlačna čvrstoća:Srednja tlačna čvrstoća:

0808 ⎞⎛⎟⎞

⎜⎛

VeličineVeličine ff ;; ff ;; ff ;; ff ; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm22

2

ckcck,ccm, N/mm2552

300812541081 ,,,,

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

fff

Veličine Veličine ffctm,cctm,c; ; ffck,cck,c;; ffcm,ccm,c;; ffckck; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm22

Sekantni modul elastičnosti betona:Sekantni modul elastičnosti betona:

223030

2552 ,,

⎟⎞

⎜⎛⎟

⎞⎜⎛ f

EEcm ccm c,, ffcm ccm c i brojka 10 dani su u N/mmi brojka 10 dani su u N/mm22

22ccm,ccm, kN/cm843612N/mm436128

10255220002

1020002 ,,,

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

fE

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2727

EEcm,ccm,c,, ffcm,ccm,c i brojka 10 dani su u N/mmi brojka 10 dani su u N/mm

Page 28: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (1) Točka (1) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjPojava prve pukotine u betonu Pojava prve pukotine u betonu –– dosegnuta je vlačna čvrstoća dosegnuta je vlačna čvrstoća maskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjeku

I0 = 485260,42 cm4

y0d = 27,5 cmαe = Es/Ecm = 200000/36128,4 = 5,54

Položaj neutralne osi za stanje naprezanja Položaj neutralne osi za stanje naprezanja II (beton +armatura)(beton +armatura)

( ) ( ) ( ) ( ) 25535050119154521 22 //hbdA( ) ( )( )

( ) ( )( ) 553501191545

2553505011915451

21 2

se

21se

Id ,,/,,,/

=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−

=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−

=hbAhbdAy

αα

cm5326,=

cm4728532655IdIg ,, =−=−= yhy

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2828

IdIg ,,yy

Page 29: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (1) Točka (1) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjMoment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja Moment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja II(beton +armatura)(beton +armatura)(beton +armatura)(beton +armatura)

( ) ( )2Igse

2

Ig

3

I 1212

=−⋅⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅= ydAyhhbhb αΙ

( ) ( )4

223

73527077

4728500119154547282

55553512

5535 ,,,, =−⋅⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅=

Moment savijanja kod pojave prve pukotine:Moment savijanja kod pojave prve pukotine:4cm73527077,=

485260 42360⋅f Ι

Zakrivljenost:Zakrivljenost:

kNm5363kNcm5635227,5485260,42360

d0

0cctm,ccr, ,,,

==⋅

=⋅

=y

fM

Ι

Zakrivljenost:Zakrivljenost:

1/m1033631/cm10336373527077843612

563521 46ccr, −− ⋅=⋅=== ,,,ΙE

Mr

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2929

73527077843612Iccm,ccr, ⋅⋅ ,,ΙEr

Page 30: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjPojava popuštanja vlačne armature. Za Pojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearnibilinearni proračunski proračunski dijagram betonadijagram betona

00250200000500syksys ,// ==== Efεε

22yks kN/cm50N/mm500 === fσ

Za ovijeni beton C30/37:Za ovijeni beton C30/37:Za ovijeni beton C30/37:Za ovijeni beton C30/37:εεc3,c c3,c = 3,31 ‰ = 0,00331 = 3,31 ‰ = 0,00331 εε 33 = 23 5 ‰ = 0 0235= 23 5 ‰ = 0 0235εεcu3,ccu3,c 23,5 ‰ 0,0235 23,5 ‰ 0,0235

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3030

Page 31: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjUnutarnje sile u poprečnom presjekuUnutarnje sile u poprečnom presjeku

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3131

Page 32: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSila u vlačnoj armaturi:Sila u vlačnoj armaturi: kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF

Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju betona, betona, εεcc. . Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u j p jj p jbetonu moguća su dva slučaja:betonu moguća su dva slučaja:

εεcc ≤≤ εεc3 cc3 c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom linearna raspodjela naprezanja u tlačnom cc c3,cc3,c p j p jp j p jdijelu betona dijelu betona 1. SLUČAJ1. SLUČAJεεc3,cc3,c < < εεcc ≤≤ εεcu3,ccu3,c bilinearna raspodjela naprezanja u bilinearna raspodjela naprezanja u c3,cc3,c cc cu3,ccu3,ctlačnom dijelu betona tlačnom dijelu betona 2. SLUČAJ2. SLUČAJ

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3232

Page 33: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j i ik fi ij t i j i ikoeficijent armiranja iznosi:koeficijent armiranja iznosi:

02350003310125411 cc3,cck, ,,⎟⎞

⎜⎛⎟

⎞⎜⎛ ε

ρf

Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:

02350003310002505022 cc3,sy

,

yk

,gr,2s, ,

,,=⎟

⎠⎜⎝ +⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎜⎜⎝ +⋅⋅=

εερ

f

Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:

01086200119ss ,,

===Aρ

ρρss = 0,010862 < = 0,010862 < ρρs,gr,2 s,gr,2 = 0,0235 = 0,0235 5035s ,⋅⋅db

ρ

gg

εεcc ≤≤ εεc3,cc3,c (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) dijelu betona) 1. SLUČAJ1. SLUČAJ

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3333

j )j )

Page 34: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3,cc3,c linearna raspodjela linearna raspodjela

j tl č dij l b tj tl č dij l b tnaprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betonaIzjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se k d t j d džbk d t j d džbkvadratna jednadžba, kvadratna jednadžba,

01syykscyks

2c

cck, =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅ εεε fAfAdbf

000250500119500119503512541

02

2

syykscyksccc3,

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅, εε

εεεε

fAfAdb

03762525950621090445

00025050011950011950350033102

c2c

cc

=−⋅−⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

,,,

,,,,

εε

εε

čije rješenje jest relativna deformacija betona, čije rješenje jest relativna deformacija betona, εεcc = 0,001975= 0,001975

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3434

Page 35: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3,cc3,c linearna raspodjela linearna raspodjela

j tl č dij l b tj tl č dij l b tnaprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betonaDebljina tlačnog područja poprečnog presjeka:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:

cm072250002500019750

0019750syc

ccy, ,

,,,

=⋅+

=⋅+

== dxxεε

ε

krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zzyy::

cm6442072250y ,=−=−=

xdz

Maksimalno tlačno naprezanje betona:Maksimalno tlačno naprezanje betona:

cm64423

503y ,=−=−= dz

2

cc3,

cck,ccc, kN/cm462

00331012540019750 ,

,,, =⋅=⋅=

εεσ

f

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3535

cc3,

Page 36: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3,cc3,c linearna raspodjela linearna raspodjela

j tl č dij l b tj tl č dij l b tnaprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betonaSila u betonu:Sila u betonu:

11 kN5950kN195035072246221

21

scy,cc,cc, ,,,, =≈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= FbxF σ

Moment savijanja iznosi :Moment savijanja iznosi :

kNm29405kNcm324052964425950cyscy ,,,, ==⋅=⋅= zFM

Zakrivljenost poprečnog presjeka:Zakrivljenost poprečnog presjeka:

cy,scy,

1/m1095181/cm109518072250

002501 35

cy

sy

cy

−− ⋅=⋅=−

=−

= ,,,

,xdr

ε

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3636

072250cy,cy, ,xdr

Page 37: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom poprečnog presjekaSlom poprečnog presjeka

Preko betonaPreko betonaPreko betonaPreko betona

P k tP k t

ccu3,c εε =Preko armaturePreko armature

sus εε =Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3737

Page 38: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j i ik fi ij t i j i ikoeficijent armiranja iznosi:koeficijent armiranja iznosi:

00331002350cc3, ,⎟⎞

⎜⎛⎟

⎞⎜⎛ εε

024520050023502

02350

5012542

succu3,

ccu3,

yk

cck,gr,3us, ,

,,

,,

=+

⎟⎠

⎜⎝

−⋅=

+

⎟⎠

⎜⎝

−⋅=

εε

ερ

ff

Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:,y

010862050350119s

s ,,=

⋅=

⋅=

dbAρ

ρρss = 0,010862 < = 0,010862 < ρρs,gr,3u s,gr,3u = 0,02452 = 0,02452 Slom preko armatureSlom preko armature

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3838

Slom preko armatureSlom preko armature

Page 39: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armature tj. kada armature ima manje Slom preko armature tj. kada armature ima manje

dd AA št j ljšt j ljod od AAs,maxs,max što je povoljnošto je povoljnoRelativna deformacija vlačne armature Relativna deformacija vlačne armature εεss = = εεsusu

Za B500A Za B500A εεsu su = 25,0‰= 25,0‰Za B500B Za B500B εεsu su = 50,0‰= 50,0‰Za B450CZa B450C εε = 75 0‰= 75 0‰Za B450C Za B450C εεsu su = 75,0‰= 75,0‰

Proračunava se relativna deformacija betona Proračunava se relativna deformacija betona εεc c između između vrijednostivrijednosti 00 ii εεcu3 ccu3 c tj.:tj.: 0 εε ≤≤vrijednosti vrijednosti 0 0 i i εεcu3,c,cu3,c, tj.: tj.:

Sila u vlačnoj armaturi:Sila u vlačnoj armaturi:

ccu3,c0 εε ≤≤

kN5950500119k =⋅=⋅= fAFSila u vlačnoj armaturi:Sila u vlačnoj armaturi: kN5950500119ykss ,,fAF

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3939

Page 40: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature

Rezultanta tlačnih naprezanja u betonu i krak unutarnjih sila Rezultanta tlačnih naprezanja u betonu i krak unutarnjih sila određuju se tako da se iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u određuju se tako da se iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacijapoprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacijapoprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacija poprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacija betona, betona, εεcc. . Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonuKod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonuKod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća su dva slučaja:moguća su dva slučaja:

εεcc ≤≤ εεc3 cc3 c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu cc c3,cc3,c p j p j jp j p j jbetonabetonaεεc3,cc3,c < < εεcc ≤≤ εεcu3,ccu3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonadijelu betonadijelu betonadijelu betona

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4040

Page 41: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j i ik fi ij t i j i ikoeficijent armiranja iznosi:koeficijent armiranja iznosi:

002560003310125411 cc3,cck, ,,⎟⎞

⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ε

ρf

Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:

0025600033100505022 cc3,su

,

yk

,gr,3s, ,

,,=⎟

⎠⎜⎝ +⋅⋅=⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ +⋅⋅=

εερ

f

Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:

01086200119ss ,,

===Aρ

ρρss = 0,010862 > = 0,010862 > ρρs,gr,3 s,gr,3 = 0,00256 = 0,00256 5035s ,⋅⋅db

ρ

gg

εεcc >> εεc3,cc3,c (bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom (bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) dijelu betona) 2. SLUČAJ2. SLUČAJ

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4141

j )j )

Page 42: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature

2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona

R l ti d f ij b tR l ti d f ij b tRelativna deformacija betona:Relativna deformacija betona:

200331050351254050500119

2cc3,

ccksuyks,,,, ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ dbffA

εε

009488050011950351254

22ykscck,

cck,suyks

c ,,

=

=⋅−⋅⋅

=⋅−⋅⋅

=fAdbf

ε

Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:

0094880,=

cm977500500094880

0094880suc

ccu, ,

,,,

=⋅+

=⋅+

== dxxεε

ε

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4242

Page 43: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature

2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona

Ud lj t l k l ti d f ij b tUd lj t l k l ti d f ij b t ddUdaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, εεc3c3, od , od neutralne osi:neutralne osi:

829003310cc3εcm782977

0094880003310

cu,c

cc3,cu, ,,

,,' =⋅=⋅= xx

εε

⎞⎛1 dbfSila u betonu:Sila u betonu:⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⋅⋅

=⋅⋅⋅−⋅⋅=22

1 c3c

syc

ckyckyckc

εεεε

dbfbxfbxfF '

kN5950kN9994978221977351254

21

cu,cu,cck,cc, ,,,,,' ≈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅= xxbfF

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4343

Page 44: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature

2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona

K k bi č k k t jih il t tk št jK k bi č k k t jih il t tk št jKako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, armature, zzuu potrebno je odrediti položaj sile u betonu, potrebno je odrediti položaj sile u betonu, FFc,cc,c, koja se , koja se može rastaviti na dvije komponente, može rastaviti na dvije komponente, FFc1,cc1,c i i FFc2,cc2,c

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4444

Page 45: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature

2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona

K t il b t i jih d lj t d j bK t il b t i jih d lj t d j bKomponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba poprečnog presjeka:poprečnog presjeka:

( ) ( ) kN31749357829771254k1 ' =⋅−⋅=⋅−⋅= bxxfF ( ) ( ) kN31749357829771254cu,cu,cck,cc1, ,,,,bxxfF

cm6022

7829772

cu,cu, ,,,'=

−=

− xx

11

ili21

cc1,cc,cc2,cu,cck,cc2, ' −=⋅⋅⋅= FFFbxfF

kN6820035782125421

21

cu,cck,cc2, ,,,' =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= bxfF

cm12678229772 cu, ,' ⋅⋅ x

x

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4545

cm1263

9773

cu,cu, ,, =−=−x

Page 46: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature

2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona

Ud lj t lt t il b tUd lj t lt t il b t FF d j b j kd j b j kUdaljenost rezultantne sile u betonu Udaljenost rezultantne sile u betonu FFc,cc,c od gornjeg ruba presjeka, od gornjeg ruba presjeka, xxTu,c Tu,c ::

2 uuu ''⎟⎞

⎜⎛ ⋅

−⋅+−

⋅xxFxxF32

c2c1

uc2c1

Tu =+

⎟⎠

⎜⎝⋅+⋅

=FF

xFFx

cm3436820031749

126682006231749 ,,,

,,,,=

+⋅+⋅

=

Krak unutarnih sila:Krak unutarnih sila:

cm664634350T =−=−= xdz

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4646

cm664634350cTu,u ,,xdz

Page 47: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature

Moment savijanja iznosi:Moment savijanja iznosi:kNm50443kNcm334435066465950cu,scu, ,,,, ==⋅=⋅= zFM

Zakrivljenost poprečnog presjeka:Zakrivljenost poprečnog presjeka:0501 13ε 1/m101911/cm10191

977500501 13

cu,

su

cu,

−− ⋅=⋅=−

=−

= ,,,

,xdr

ε

Koeficijent duktilnosti:Koeficijent duktilnosti:

2913101911

3u , ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−r

δ 29131095181 5

u ,,,

=⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎠⎝= −

r

δ

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4747

y ⎠⎝ r

Page 48: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjDijagram MDijagram M--1/r:1/r:

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4848

Page 49: M-Fi Dijagram - Primjer - NOVO

Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni i ovijeni betonNeovijeni i ovijeni betonDijagram MDijagram M--1/r:1/r:

Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4949