m Hessiana f Convexo

Matematicas EmpresarialesTema 3: Optimizacion sin restricciones. Convexidad

Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sinrestricciones

Philippe Bechouche

Departamento de Matematica AplicadaUniversidad de Granada

[email protected]

Doble Grado en Administracion y Direccion de Empresas y DerechoCurso 2012-2013

Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 1 / 27

1 Objetivos

2 Conjuntos convexos

3 Funciones convexas y concavas

4 Extremos absolutos de funciones convexas y concavas

5 ¿Que hemos aprendido hoy?


Objetivos

1 Objetivos






Objetivos

Objetivos de esta leccion

1 Saber reconocer los conjuntos convexos.

2 Determinar cuando una funcion de varias variables es convexa oconcava.

3 Determinar cuando una funcion convexa o concava tiene mınimos omaximos absolutos.


Conjuntos convexos

1 Objetivos






Conjuntos convexos

Conjuntos convexos

Definicion

Un conjunto A de Rn se dice convexo si para todo x , y de A se tiene que

λx + (1− λ)y ∈ A , ∀λ ∈ [0, 1]

Interpretacion: Los puntos λx + (1− λ)y cuando λ recorre el intervalo[0, 1] forman el segmento que une x con y . Por tanto estamos diciendo que

A es convexo si para todo par de puntos de A, el segmento que los uneesta incluido en A


Conjuntos convexos

Conjuntos convexos

Definicion

Un conjunto A de Rn se dice convexo si para todo x , y de A se tiene que

λx + (1− λ)y ∈ A , ∀λ ∈ [0, 1]

Interpretacion: Los puntos λx + (1− λ)y cuando λ recorre el intervalo[0, 1] forman el segmento que une x con y . Por tanto estamos diciendo que

A es convexo si para todo par de puntos de A, el segmento que los uneesta incluido en A


Conjuntos convexos

Conjuntos convexos

Conjunto convexo Conjunto no convexo


Conjuntos convexos

Conjuntos convexos

Ejemplo:

En R2 (y tambien en Rn) cualquier producto de intervalos (por ejemplo[2, 3)× (−1, 2]) es convexo.

Ejemplo:

Las bolas abiertas o cerradas son convexas.

Ejemplo:

Los semiplanos abiertos o cerrados son convexos.

Ejemplo:

El conjunto {(x , y) ∈ R2 : 1 ≤ x 2 + y2 ≤ 4} no es convexo.


Conjuntos convexos

Conjuntos convexos

Ejemplo:

El conjunto {(x , y) : y ≥ x 2} es convexo

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

3

4

5

¿ Su interior es convexo?¿Es {(x , y) : y ≤ x 2} convexo?


Conjuntos convexos

Conjuntos convexos

Ejemplo:

El conjunto {(x , y) : y = x 2} no es convexo

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

3

4

5


Conjuntos convexos

Conjuntos convexos

Propiedad

La interseccion de conjuntos convexos es convexa

Aplicacion: Podemos usar este resultado para garantizar que el conjunto

{x , y) ∈ R2 : x + y < 3, 2x − 5y > 2, x 2 + y2 < 91}

es convexo.


Conjuntos convexos

Conjuntos convexos

Propiedad

La interseccion de conjuntos convexos es convexa

Aplicacion: Podemos usar este resultado para garantizar que el conjunto

{x , y) ∈ R2 : x + y < 3, 2x − 5y > 2, x 2 + y2 < 91}

es convexo.


Funciones convexas y concavas

1 Objetivos







Funciones de varias variables convexas y concavas

Definicion

Una funcion f : D ⊂ Rn −→ R siendo D convexo se dice convexa si

f (λx 0 + (1− λ)x 1) ≤ λf (x 0) + (1− λ)f (x 1) , ∀x 0, x 1 ∈ D

Convexa: f evaluada en el segmento que une x 0 con x 1 es ≤ segmentoque une f (x 0) con f (x 1)

Definicion

Una funcion f : D ⊂ Rn −→ R siendo D convexo se dice concava si

f (λx 0 + (1− λ)x 1) ≥ λf (x 0) + (1− λ)f (x 1) , ∀x 0, x 1 ∈ D

Concava: f evaluada en el segmento que une x 0 con x 1 es ≥ segmentoque une f (x 0) con f (x 1)




Definicion

Una funcion f : D ⊂ Rn −→ R siendo D convexo se dice convexa si

f (λx 0 + (1− λ)x 1) ≤ λf (x 0) + (1− λ)f (x 1) , ∀x 0, x 1 ∈ D

Convexa: f evaluada en el segmento que une x 0 con x 1 es ≤ segmentoque une f (x 0) con f (x 1)

Definicion

Una funcion f : D ⊂ Rn −→ R siendo D convexo se dice concava si

f (λx 0 + (1− λ)x 1) ≥ λf (x 0) + (1− λ)f (x 1) , ∀x 0, x 1 ∈ D

Concava: f evaluada en el segmento que une x 0 con x 1 es ≥ segmentoque une f (x 0) con f (x 1)




Ejemplo visual de funcion convexa




Ejemplo visual de funcion concava




Sea una funcion de varias variables f : D ⊂ Rn → R siendo D un abiertoconvexo. Entonces

f es convexa en D ⇐⇒ Hessf (x ) es semidefinida positiva o definidapositiva ∀x ∈ D .

f es concava en D ⇐⇒ Hessf (x ) es semidefinida negativa o definidanegativa ∀x ∈ D .




Ejemplo 1

f : R2 → R, f (x , y) = x 2 + y2 − 2xy

Hf (x , y) =

(2 −2−2 2

)⇒ D1 = 2 > 0

D2 = 0

La matriz Hessiana es semidefinida positiva en todo R2.Por tanto f (x , y) es convexa en todo R2.

-2 0 2

-2

0

2

0

10

20

30




Ejemplo 2

f : R2 → R, f (x , y) = x 4 + y2

Hf (x , y) =

(12x 2 00 2

)⇒ D1 = 12x 2 ≥ 0

D2 = 24x 2 ≥ 0

Si x 6= 0, la matriz es definida positiva en todo R2.Si x = 0, la matriz es semidefinida positiva. (Comprobarlo).Por tanto, la funcion es convexa en todo R2.

-2-1

01

2

-2-1

0 1 2

0

5

10

15

20




Ejemplo 3

f : R2 → R, f (x , y) = x 4 + y2 − 4xy

Hf (x , y) =

(12x 2 −4−4 2

)⇒ D1 = 12x 2 ≥ 0

D2 = 24x 2 − 16

El signo de D2 depende de x . Luego la matriz no es semidefinida positivani negativa en todo R2. Por tanto, la funcion no es ni convexa ni concavaen todo R2. Puede ser convexa o concava en algunos subconjuntos de R2.

-2-1

01

2

-2-1

0 1 2

0

5

10

15

20




Ejemplo 4

f : (0,∞)× (0,∞)→ R, f (x , y) = ln(x ) + ln(y)

Hf (x , y) =

(− 1

x2 00 − 1

y2

)⇒

D1 = − 1x2 < 0

D2 =1

x2y2 > 0

Luego la matriz es definida negativa en todo el dominio (0,∞)× (0,∞).Por tanto, la funcion es concava en todo el dominio (0,∞)× (0,∞).

0

1

2

3

0

1

2

3

-4

-2

0

2


Extremos absolutos de funciones convexas y concavas

1 Objetivos







Mınimos absolutos de funciones convexas


Sea D un conjunto abierto y convexo y f una funcion convexaf : D ⊂ Rn → R definida en D .Entonces se verifica alguna de las tres posibilidades siguientes:

f no tiene puntos crıticos ⇒ f no tiene extremos en D .

f tiene un unico punto crıtico en D ⇒ f tiene un unico mınimoabsoluto en ese punto crıtico.

f tiene infinitos puntos crıticos en D ⇒ todos ellos son mınimosabsolutos de f .



Maximos absolutos de funciones concavas


Sea D un conjunto abierto y convexo y f una funcion concavaf : D ⊂ Rn → R definida en D .Entonces se verifica alguna de las tres posibilidades siguientes:

f no tiene puntos crıticos ⇒ f no tiene extremos en D .

f tiene un unico punto crıtico en D ⇒ f tiene un unico maximoabsoluto en ese punto crıtico.

f tiene infinitos puntos crıticos en D ⇒ todos ellos son maximosabsolutos de f .




Ejemplo 1

f : R2 → R, f (x , y) = x 4 + x 2 + y2 + 2xy

Hf (x , y) =

(12x 2 + 2 2

2 2

)⇒ D1 = 12x 2 + 2 > 0

D2 = 24x 2 ≥ 0

La matriz Hessiana es definida o semidefinida positiva en R2, luego lafuncion es convexa en R2.Busquemos los puntos crıticos:

∂f

∂x(x , y) = 4x 3 + 2x + 2y = 0,

∂f

∂y(x , y) = 2y + 2x = 0

La unica solucion del sistema es x = 0, y = 0. Por lo tanto, esta funciontiene un unico punto crıtico en (0, 0).La funcion es convexa, por tanto (0, 0) es un mınimo absoluto de lafuncion f .




Ejemplo 2

f : (0,∞)× (0,∞)→ R, f (x , y) = ln(x ) + ln(y)

Hf (x , y) =

(− 1

x2 00 − 1

y2

)⇒

D1 = − 1x2 < 0

D2 =1

x2y2 > 0

La matriz Hessiana es definida negativa en (0,∞)× (0,∞), luego lafuncion es concava en (0,∞)× (0,∞).Busquemos los puntos crıticos:

∂f

∂x(x , y) =

1

x= 0,

∂f

∂y(x , y) =

1

y= 0

Este sistema no tiene solucion. Por lo tanto, esta funcion no tiene ningunpunto crıtico.La funcion es concava, por tanto no tiene ningun extremo absoluto.


¿Que hemos aprendido hoy?

1 Objetivos






¿Que hemos aprendido hoy?

Resumiendo

Hemos aprendido lo que es un conjunto convexo.

Hemos aprendido que la concavidad o convexidad de una funcionviene determinada por la matriz hessiana:

definida o semidefinida positiva ⇔ convexa.definida o semidefinida negativa ⇔ concava.

Hemos aprendido que las funciones convexas y concavas solo tienenningun, uno o infinitos puntos crıticos.

Hemos aprendido que:

funcion convexa (concava)+

dominio convexo

⇒ los mınimos (maximos) relativosson de hecho absolutos.


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