M-K krive

7/25/2019 M-K krive

1/24

Betonske konstrukcije I primjeri Zlatar M./MadareviM./MediS.

4. Ponaanje AB grede izloene savijanju

4.1. Jednostruko armirana greda izloena djelovanju momentasavijanja

4.1.1. Osobine betona

Za odreivanje granine otpornosti presjeka koriste se dva idealizirana modela betona.Prvi je dijagram parabola pravac koji se najee upotrebljava, a drugi tzv. blok dijagram

je opisan u dodatku.Kao to samo ime kae, dijagram parabola pravac sastoji se od kvadratne parabole nadijelu od c= 0 do c= - 2 prema formuli

c cc c

= 2-

2 2 df (cu ) (4.1)

i pravca koji predstavlja konstantan napon u betonu na dijelu od c= - 2 do c= - 3.5 .Dilatacija c = - 3.5 predstavlja graninu dilataciju za koju nastupa lom u betonu prisavijanju.

Raunska vrstoa betona na pritisak odreuje se kao:

ckcd

c

ff = (4.2)

Openito se normalna sila nalazi kao integral normalnih napona po povrini (rezultanta

napona) pa je prema tome sila pritiska u betonu:

x

cd c z'0

F = b dz' (4.3)

Ista sila moe se dobiti ako neki prosjeni (konstantni) napon mizraen u funkciji graninognapona m= Rfcdintegriramo po povrini pritisnute zone, pa imamo:

x

mc z'0

x

R cdc z'0

b dz' = b x

b dz' = f b x

x

c z'0

Rcd

b dz'

=f b x

(4.4)

Rzovemo koeficijent punoe.

1

7/25/2019 M-K krive

2/24


Vrijednosti Rse mogu dati tabelarno (radi efikasnijeg koritenja) ili se raunaju prema (4.4)odakle nalazimo:

Dilatacija na pritisnutom rubu podruje 0 < |c2|< 2

2c2 c2

R = -2 12

(4.5)

Dilatacija na pritisnutom rubu podruje 2 < |c2|< 3.5

c2

Rc2

3 - 2 =

3 (4.6)

Za c2= cu= - 3.5 :

cu

Rcu

3 - 2 17 = = = 0.83 21 095

f

Sada se granina vrijednost sile pritiska u betonu Fcdza pravokutnu pritisnutu zonu visine x ipoznatu rubnu dilataciju betona c2moe napisati kao:

cd R cdF = x b (4.7)

Rastojanje od teita zategnute armature do pritisnutog ruba u armiranom betonu se nazivastatika visina d (ili korisna visina). Sa slike (...) se sada moe odrediti visina pritisnutezone odnosno rastojanje od neutralne linije do pritisnutog ruba kao:

c2 c2 c2 s1c2 s1 c2 s1

x = d sa = i , u

+ + [] (4.8)x = d

f

x

= x/d relativna visina pritisnute zone

Fcdje sada:

cd R cdF = d b (4.9)

Poloaj rezultujue sile pritiska u betonu Fcd nalazimo iz uslova ravnotee momenata okoneutralne osovine (tj. Fcddjeluje u teitu povrine koju zatvara dijagram parabola - pravac):

cd c z'0

F x - a = z' b dz' (tj.

x x

c z' c z'0 0

xcd

c z'0

z' b dz' z' b dz'

x -a = =F

b dz'

)

2

7/25/2019 M-K krive

3/24


odakle nalazimo koeficijent poloaja sile pritiska u betonuk = a/x kao

x

c z'0

acd

z' b dz'

k =1-F x

(4.10)

Izraunavanjem gornjeg integrala za karakteristine intervale nalazimo:

Dilatacija na pritisnutom rubu podruje 0 < |c2|< 2

c2

ac2

8 -k =

24-4 (4.11)

Dilatacija na pritisnutom rubu podruje 2 < |c2|< 3.5

2c2 c2

a 2c2 c2

3 - 4 + 2k =6 - 4

(4.12)

Za c2= cu= - 3.5 :

2c2 c2

a 2c2 c2

3 - 4 + 2 99k = = = 0.4160

6 - 4 238

Sa poznatim poloajem sile pritiska moemo odrediti rastojanje z izmeu sile pritiska ubetonu Fcdi sile zatezanja u armaturi Fs1:

z = d a = d kax = d(1 kax/d) = d(1 ka) (4.13)

Uvoenjem jo jedne bezdimenzionalne veliine - relativnog kraka unutranjih sila imamo:

= z/d = 1 ka (4.14)

4.1.2. Osobine armature

Raunska granica teenja armaturnog elika odreuje se kao:

ckyd

s

ff = (4.15)

Sila u armaturi nalazi se:

Fs= sAs (4.16)

3

7/25/2019 M-K krive

4/24


gdje je napon u eliku sjednak:

1) ssy s= fyd2) s< sy s= Es s

4.1.3. Uslovi ravnotee

Pod pretpostavkom da zanemarimo vrstou betona na zatezanje (tj. integral naponazatezanja = silu zatezanja u betonu) u AB presjeku javljaju se dvije sile sile pritiska u betonui sila zatezanja u armaturi. Poto za sada ne djeluju vanjske normalne sile, uslov ravnoteenormalnih sila svodi se na:

cd s1 R cd s1 sN= 0 F =F x b f = A (4.17)

Unutranje sile tvore spreg koji se suprotstavlja momentu savijanja od vanjskog optereenja,pa iz uslova ravnotee momenata oko teita armature As1nalazimo:

s1M = 0 2Ed cd Ed R cd a R cd R cdM =F z M = x b f d-k x = d b f d = b f d (4.18)

4.1.4. Odreivanje M krive za popreni presjek

Da bi odredili M krivu armirano betonskog presjeka uz gore navedene izrazepretpostavit emo da ravni presjeci ostaju ravni i nakon deformacije te da beton i armaturakoji se nalaze u istom vlaknu imaju istu dilataciju. Proraun emo izvriti sa srednjimvrijednostima vrstoa materijala.

Dato:

Materijali: C30/37 Ec0m= 31 900 N/mm2, fcm= fck+ 8 = 38 N/mm

2fctm=fct,eff= 2.9 N/mm

2, ct= 0.09091 BSt 500 S(A) Es= 200 000 N/mm

2, fyk= 500 N/mm2,

yk= 0.0025 = 2.5 , u= 0.025 = 25 Popreni presjek: b = 30 cm, h = 60 cm, d = 55 cm Armatura: 5 20 (As1= 15.70 cm

2) =15.70/ 30 55 =0.95 %

Trai se:

M kriva

Rjeenje:

a) Stadij I nema pukotina u betonu

4

7/25/2019 M-K krive

5/24


U stadiju I neutralna linija je u teitu presjeka i dilatacije rastu proporcionalno odstojanju odteita. Naponi se mogu odrediti iz deformacija pod pretpostavkom linearno elastinogponaanja, sve dok je napon u zategnutim vlaknima manji od vrstoe na zatezanje betona.

M I

= y M =I y

M I E y'' = = = =

EI E I y E y y

=tan

y

krivina

Iz slinosti trokutova krivina se moe izaunati kao:

c2 c1 c2 s1 + + = =h d

Pretpostavimo da je dilatacija na zategnutom rubu jednaka cti da uzimamo u obzir nosivostbetona na zatezanje. Iz nalazimoN= 0

cc s1 ct

c ctm

F =F +F

1 1 x b = f h - x b+ A

2 2 s1 s

Poto su presjeci ravni, uspostavljamo sljedee relacije:

ss s ct

ct

ccc c ct

ct

h- x -5 h - x - 5= =E

h- x h - x

x x= = E

h - x h - x

21 x 1

31 900 0.00009091 300 = 2.9 600 - x 300 +1570 200 000 0.000090912 600 - x 2 600- x

550-x

Rjeavanjem kvadratne jednadbe nalazimo visinu pritisnute zone:

x = 312.96 mm = 31.3 cm

Zatim izraunavamo:

5

7/25/2019 M-K krive

6/24


2c c ct

cc c

x 312.96 =E = 31900 0.00009091 = 3.16 N/mm

h- x 600-313.581 1

F = x b = 3.16 313.58 300 =148855.9 N = 148.85 kN2 2

ct ctm

1 1F = f h- x b = 2.9 600 -312.96 300 =124862.4 N = 124.8 kN

2 2

2s s ct

s s s

h - x -5 550 -312.96 = E = 200000 0.00009091 =15.01 N/mm

h- x 600 - 312.96F = A =15.01 1570 = 23570.7 N = 23.57 kN

(kontrola N = 0)

Uoavamo da je doprinos armature u ukupnoj nosivosti na zatezanje vrlo mali.

Moment koji presjek moe preuzeti izraunavamo oko neutralne osovine:

3

cr i ii

2 2M = Fd =148.85 0.313+124.8 0.6 -0.313 +23.57 0.6 -0.05 -0.313 =60.55 kNm

3 3

-4ctcr 0.00009091

= = = 3.15 10 rad/mh -x 0.6 -0.312

Prethodni rezultat smo mogli priblino odrediti zanemarenjem armature, odnosnopretpostavivi da je kompletan presjek od betona tako da neutralna linija prolazi kroz teitepresjeka. U tom sluaju imamo:

2

cr ctmmax

-4ctcr

M I 300 600 = y M = = W = f W = 2.9 = 52.2 kNm

I y 6

0.00009091 = = = 3.03 10 rad/m

h/2 0.3U stadiju I se moe pretpostaviti linearno-elastino ponaanje betona, odakle je krutost nasavijanje KI :

I c0mM

K = =E I = const. (I se priblino moe izraunati sa karakteristikama bruto

presjeka)gdje su

c0m 2

MNE = 31900

m(prema DIN 1045-1, Abschn. 9.1.7)

3. 40.30 0.60I = = 0.0054 m12

6

7/25/2019 M-K krive

7/24


odakle je

I 2K = 31900 0.0054 =172.26 MNm

Krivina pri dostizanju momenta prve naprsline se sada moe izraunati:crM =52.2 kNm

-3

-4crcr I 2

M 52.2 10 MNm= = = 3.03 10 rad/m

K 172.26MNmvrstoa betona na zatezanje savijanjem fct,fl(flexure) se kao i vrstoa betona na centrinozatezanje fctu prvom redu odreuje eksperimentalno. Obje vrstoe imaju izrazito rasipanjetako da rezultati ispitivanja nisu nuno primjenjivi za razliite konstruktivne elementenapravljene od istog betona. Za razliku od fct, fct,fl jako ovisi o mjerilu tj. o veliini ispitivanoguzorka (size-effect). Prilikom ispitivanja na savijanje izmjereni naponi u betonu su znatno veiod fct. U betonu se u odreenoj mjeri odvija preraspodjela napona, tako da kod niih nosaa

naponi vei od fct ne uzrokuju prsline. Ovaj efekt je zanemariv kod viih nosaa. Detaljnijeobjanjenje ovog fenomena moe se se nai u mehanici loma.

b) Stadij II beton ispucao

Armirani beton je kompozitni materijal koji se u stadiju II ponaa nelinearno, tj. krutost nasavijanje nije vie konstantna. Sa poveanjem krivine, krutost se smanjuje. Krutostpresjeka na savijanje se vie ne moe izraunati direktno na osnovu karakteristika presjeka,ve se odreuje iterativno iz uslova ravnotee unutranjih i vanjskih sila koritenjemdosadanjih kinematskih pretpostavki (presjeci su ravni i okomiti na neutralnu osovinu), a

zavisi odkonstitutivnih jednadbi materijala ( dijagrama betona i armature) koje viu nisulinearne

IIK =M/

1.

Slika 1.Konstitutivni zakoni za beton i armaturu prema DIN 1045-1.

1Statike i kinematske jednadbe su i dalje linearne.

7

7/25/2019 M-K krive

8/24


Radi jednostavnosti pretpostavimo da se armatura ne ovrava po liniji II nakon dostizanjagranice teenja.Da bi se proraunala pomjeranja konstrukcije, kljuno je poznavati M krivu. Na osnovuovog prorauna odreuju se na primjer nadvienje oplate i pomjeranja pomjeranja po teoriji IIreda. Poto nadvienje oplate ne elimo precijeniti, raunamo sa osrednjenimkarakteristikama materijala (fcm za beton, fym za armaturu). S druge strane, proraun

pomjeranja po teoriji II reda sa osrednjenim karakteristikama materijala bi bio opasan jer ovevrijednosti ne mogu biti zagarantovane. U ovom sluaju za vstou betona uzima sekarakteristina vrijednost fckumanjena faktorom dugotrajnog djelovanja optereenja =0.85, aza armaturu fykfym. Granino stanje nosivosti (design level) se naravno dokazuje uzimanjemu obzir parcijalnih koeficijenata sigurnosti.

Pod uslovom da armatura nije ustanju teenja (stadij II), krivina se moe odrediti iz uslovaravnotee

s s s s1M =F z = A E z odnosno s1 s s

M =

E A z

i geometrijskog uslova

c2 s1 s1

+ = =

d d- x

odakle imamo

s s

M=

E A z d- x

Uporedimo li ovaj izraz sa krivinom u stadiju I (= M/EI) moemo odrediti krutost u stadiju IIkoja iznosi:

IIII

s sK = EI = E A z d- x

Preimo na odreivanje ostalih taaka na M dijagramu. Silu pritiska u betonu oznaimosada sa Fcumjesto Fccjer se sila zatezanja u betonu Fctzanemaruje.

N = 0

c sF =F 1

s

R cm s1 x b f = A

U gornjoj jednadbi nepoznati su si x. Postupamo tako to pretpostavimo dilataciju u betonuciz koje odredimo R, a zatim:

1) pretpostavimo da je armatura u stanju teenja, tj. s= fyki odredimo x. Provjerimo je liarmatura doista u stanju teenja, i ako jeste proraun se nastavlja.

8

7/25/2019 M-K krive

9/24


s1 yk

s cR cm

A f d- xx = =

b f x 2

IF s< sy= 2.5 THEN

GO TO 2)

ELSE CONTINUE

2) ako je armatura u elastinoj fazi, koritenjem pretpostavke o ravnim presjecimaizrazimo dilataciju u armaturi pomou dilatacije u betonu

s1 s s c2c2

d- x d- x= =E

x x

i zatim odredimo visinu pritisnute zone x iz

R cm s1 s c2d- x

x b f = A E x

Sa poznatim c2i x moemo odrediti moment nosivosti i krivinu prema:

R cm

c2

M= x b f d-k x

=

x

Uz prethodno odreene cr= 3.1510-4rad/m i Mcr= 60.55 kNm, sada imamo (v.Tabelu 4.1.)

Tabela 4.1.Odreivanje M krive.c2[] 0.1 0.175 0.25 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

R 0.0492 0.0849 0.1198 0.2292 0.4167 0.5625 0.6667 0.7333 0.7778 0.8095k 0.3347 0.3358 0.3370 0.3409 0.3500 0.3611 0.3750 0.3909 0.4048 0.4160x [mm] 149.7 150.58 151.4 154.2 160.5 122.4 103.3 93.9 88.5 85.1

s[] 0.27 0.46 0.66 1.28 2.43 5.24 8.65 12.14 15.64 19.13

s[N/mm2] 53.5 92.8 131.6 256.7 485.4 500 500 500 500 500

c[N/mm2] 3.7 6.4 8.9 16.6 28.5 35.6 38 38 38 38M [kNm] 41.94 72.83 103.17 200.39 376.48 397.05 401.34 402.94 403.62 403.97

[10e-4 rad/m] 6.68 11.62 16.51 32.43 62.31 122.53 193.63 266.24 338.85 411.46

Napomena 1.

9

7/25/2019 M-K krive

10/24


Kada dilatacije u armaturi preu granicu sy= 2.5 , napon u eliku se ne moe poveati pakaemo da elik tee. Ovo podruje nazivamo i stadij III. Modul elastinosti je jednak nuli, pase krutost u stadiju III moe sa dijagrama odrediti kao:

u yIII M -MK =

-

u y

Napomena 2.

Koeficijenti R i k su odreeni prema ranije navedenim izrazima zavisno od dilatacije ubetonu. U sluaju da je s< sy= 2.5 kvadratna jednadba po x je rijeena u MATLAB u.

M - kriva

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Krivina [10e-4 rad/m]

MomentM[

kN/m]

Uoavamo da se pritisnuta zona smanjuje nakon kada armatura potee, to za posljedicu imapoveanje kraka unutranjih sila. Poto nema poveanja sile u armaturi (a time i u betonu),oveanjem kraka neznatno se poveava i moment sa Mydo Mu. Faktor duktilnosti presjeka

odreuje se kao odnos krivine pri lomu i krivine na poetku teenja, to u naem sluajupriblino daje:

p

u

y

411.4 = = 6.6

62.3

Faktor duktilnosti nam je posebno interesantna veliina u projektovanju na seizmika dejstvajer povrina ispod dijagrama M predstavlja disipiranu energiju. to je vei, to jemogunost disipacije energije savijanjem vea. Nasuprot tome, prearmirani presjeci iliresjeci sa velikom normalnom silom ponaaju se krto, tj. lom je nenajavljen ( 0), aisipirana energija je mala jer je M priblino linearna. Ovo je izrazito nepovoljno i treba

pdizbjegavati.

10

7/25/2019 M-K krive

11/24


4.1.5. Odreivanje trilinearne M krive za popreni presjek pojednostavljenavarijanta M krive

U pojednostavljenoj verziji M krive, traimo 3 take na dijagramu koje odgovarajurslinu, na granici teenja i na granici loma. Takoer se esto

potrebljava bilinearna kriva gdje je zanemaren momenat prve naprsline.

a) prva naprslina stadij I

momentu (krivini) za prvu napu

2cr

cr ctmmax

-4ctcr

M I 0.30 60 = y M = = W = f W = 0.29 = 52.2 kNm

I y 6

0.00009091= 3.03 10 rad/m

= =h/2 0.3

b) granica teenja stadij II

Ovdje se radi jednostavnosti pretpostavlja da siznosi 2.5 . Trebamo odrediti visinu pritisnute ne iz uslova ravnotee horizontalnih sila:

e beton ponaa linearno. Dilatacija u armaturizo

, c sy c s yk1

N = 0 F =F b x = A f 2

Poto je napon u betonu nepoznat, koristimo dodatni uslov pretpostavku o ravnimpresjecima (kompatibilnost deformacija):

c c0m y

x =E

c2

c2 yy

x x= = d- x d - x

d- x

A zatim se vraamo na prvu jednadbu odakle uvrtavanjem cnalazimo:

s yk c0m y

2c c c

1 xA f = E b x

2 d- x1 2.5 x

15.70 50 = 3190 30 x

2 1000 55- xx = 15.9 cm

2.5 15.9= 32.71 N/mm

1000 55-15.9

=E =31900

Komentar:

11

7/25/2019 M-K krive

12/24


Vidimo da je napon u betonu c jako blizu vrstoe betona na pritisak. Pretpostavka oc 0.5 fcm, to kod nas nije

luaj. Proraun treba ponoviti uzimajui u obzir parabolini dijagram napona pritiska, Ruzetiza podruje dilatacija 0 c2 , a zatim odrediti c iz uslova ravnotee horizontalnih sila.

ko nastavimo proraun sa dobivenim vrijednostima, dobija se:

linearnoj raspodjeli napona pritiska vai ugrubo u granicama s

A

y s yk

x 0.159M = A f d- =15.70 50 0.55 - = 389.88 kNm

3 3

syy 2.5/1000

= = = 6.4 10 -3 rad/md-x 0.55 -0.1598

a dei nain.

- dilatacija zategnute armature na granici teenja,

1. pretpostavka

T no se radi na slje

sy = 2.5 syF = 785 kN

c2 = -0.5

2

c2

c2 sy

c2 c2R = -2 12

c R cm sy s yk

0.5x = d = 55 = 9.16 cm

+ 0.5+2.5

=0.229

F = x b f = 0.229 9.16 30 3.8 = 239.3 kN F = A f = 785 kN

2. pretpostavka c2 = -1.0

c2

c sy

x =15.71 cm

8 -

N = 785 kN greka od 5 %

ikuju vie od 10 %, trebapretpostaviti novo

enja su jednaki:

R a

c2

= 0.4166, k = = 0.354 6 -

F = 746.1 k F

Ukoliko se lijeva i desna strana u sumi normalnih sila razl c2 .

Momenat i krivina na granici te

y sy aM = F d- k x = 785 0.55 -0.35 0.1571 = 388.5 kNm

c2 -3y 1/1000

= = = 6.36 10 rad/mx 0.1571

12

7/25/2019 M-K krive

13/24

7/25/2019 M-K krive

14/24


Usporedimo li na kraju dobivene dijagrame uviamo da nema bitne razlike.

4.1.6. M krive za razliite procente armiranja

Sada odredimo trilinearni M dijagram i faktor duktilnosti za isti betonski presjek i to zasluajeve da:

a) armature ima 2 puta vie (1020) =31.4/ 30 53 =1.97 %

14

7/25/2019 M-K krive

15/24


b) armature ima 4 puta vie (2020) = 62.8/ 30 51 = 4.10 %

Procedura je ista kao i dosad, pa se konano dobija sljedei zbirni dijagram.

Sa dijagram se moe zakljuiti da se poveavanjem procenta armiranja poveava graninanosivost, ali smanjuje duktilnost. Ukoliko presjek otkazuje usljed loma betona na pritisak prijenego je armatura potekla, to imamo za sluaj = 4.10 % ( su sy =1.73 < = 2.5 ), kae

se da je presjek prearmiran(overreinforced, berbewehrt). Ova vrsta loma je nenajavljena i

e se da uticaj koliine armature na momenat prveanemariv.

momenta loma i in o procenta armiranja mogu se prikazati zaa sljede m ra

As1[cm2] 15.7 31.4 62.8

treba je izbjegavati (obino se povea popreni presjek betona). Ako postoji teenje armatureprije konano loma, onda se radi o najavljenom duktilnom lomu, a presjek je podarmiranunderreinforced, unterbewehrt)2. Napominj(

naprsline zZavisnost deksa duktiln sti odrazmatrani sluaj n e dijag mu.

Mu[kNm] 403.3 753.1 1156indeks duktilnosti 6.58 2.53 0 /u y =

2Podarmiran ne znai da nema dovoljno armature.

15

7/25/2019 M-K krive

16/24


16

7/25/2019 M-K krive

17/24


4.2. Dvostruko armirana greda izloena djelovanju momenta savijanja

4.2.1. Procedura za odreivanje trilinearne M krive

Procedura je identina onoj za jednostruko armirani presjek, osim to u uslovu ravnoteenormalnih sila imamo dodatni lan od pritisnute armature, odnosno:

c s2 s1N = 0 F +F -F =0

gdje je . s2 s2 s2 s s2 s2 yk s2F = A =E A f A

4.2.2. Primjer

Analizirajmo popreni presjek iz prethodnog primjera za dva sluaja:

1. pritisnuta armatura - 320 2s2A = 9.42 cm

2. pritisnuta armatura - 520 2s2A =15.70 cm - simetrino armiran presjek

1. sluaj - pritisnuta armatura - 320 2s2A = 9.42 cm


Rjeenje se uzima iz prethodnog primjera gdje je raunato sa bruto betonskim presjekom.

-4cr cr M =52.2 kNm, =3 .03 10 rad/m


s1y = 2.5 - dilatacija zategnute armature na granici teenja, s1yF = 785 kN

c2 = -0.9 Pretpostavka:

17

7/25/2019 M-K krive

18/24


c2

c2 sy

2c2 c2c2

R ac2

c R cm

2s2 c2

s2 s2 s2 s s2 s2

0.9x = d = 55 =14.55 cm

+ 0.9+2.5

8- = - = 0.383, k = = 0.348

2 12 4 6 -

F = x b f =0.383 14.55 30 3.8= 635.3 kNx - d 14.55 -5

= = 0.9 = 0.59 x 14.55

0.59F = A =E A = 20000

10009.42 =111.3 kN

Kontrola: N = 0

c s2 s1yF +F =F

635.3+111.3 = 746.6 kN 785 kN (greka od 5 )

Momenat oko take u kojoj djeluje sila pritiska u betonu i krivina na granici teenja su jednaki(uz napomenu da je s2 c az =25 cm, z = h/2 -a =h/2 -k x =24.9 cm):

y sy s2 s2 c sy a s2 s2 cM =F z+F z - z =F d-k x +F z - z =

=785 0.55- 0.348 0.1455 +111.3 0.25- 0.249 =

= 392.1 kNm

c2 -3y 0.9/1000

= = = 6.18 10 rad/

x 0.1455

m

Slika 2.Unutranje sile i njihovi krakovi za savijanje sa normalnom silom.

c) granica loma stadij III

cu = -3.5 granica loma u betonu R a = 0.8095, k = 0.416

18

7/25/2019 M-K krive

19/24


c s2 s1y2

R cm s s2 c2 s2 yk

N = 0 F +F =F

x - d f b x + E A = A f

x3.5 x -5

0.8095 3.8 30 x+20000 9.42 = 785 x = 6.69 cm1000 x

2s2 c2

s2 s2 s2 s s2 s2

x - d 6.69-5 = = 3.5 = 0.88

x 6.690.88

F = A =E A = 20000 9.42 =165.8 kN1000

Uz s2 c az =25 cm, z = h/2 -a =h/2 -k x =27.2 cm

u sy a s2 s2 cM =F d-k x +F z - z = 785 0.55 -0.416 0.069 +165.8 0.25 -0.272 = 405.6 kNm

uu 3.5/1000

= = = 0.0523 rad/mx 0.0669 m

-3u

-3y

52.3 10 = = = 8.4

6.18 106

2. sluaj - pritisnuta armatura - 620

2

s2

A =15.70 cm

Postupak je isti, a konano se dobija sljedee.

Mcr[kNm] cr[rad/m] My[kNm] y[rad/m] Mu[kNm] u[rad/m] 52.2 3.0310-4 393.5 6.0910-3 406.8 0.0564 9.26

Prikaimo sve krive na zajednikom dijagramu.

19

7/25/2019 M-K krive

20/24


Sad dijagrama se moe uoiti da pritisnuta armatura ne doprinosi bitno poveanjumomenta nosivosti, ve znaajno utie na duktilnost presjeka. Ovi zakljuci bi bili jo

oigledniji da smo analizirali jae armiran presjek (umjesto uzeti ).s1 = 0.95 % s1 =1.97 %

20

7/25/2019 M-K krive

21/24


4.3. Jednostruko armirana greda izloena djelovanju momentasavijanja i normalne sile

4.3.1. Procedura za odre

ivanje trilinearne M

krive

Procedura je identina onoj za jednostruko armirani presjek, osim to u uslovu ravnoteenormalnih sila imamo dodatni lan od vanjske aksijalne sile, odnosno:

c s1N = 0 F +N-F = 0 (N je pozitivno za zatezanje)

4.3.2. Primjer

Analizirajmo popreni presjek iz prethodnog primjera za dva sluaja:

1. N = - 400 kN2. N = - 800 kN

1. sluaj N = - 400 kN


cr

c cr c

MN N = + M = W - = W f -

ctm

N

A W A A

2

cr -4000.3 60M = 0.29 - = 92.2 kNm6 30 60

-4crcr I 2M 0.0922 MNm

= = = 5.35 10 rad/mK 172.26 MNm


s1y = 2.5 - dilatacija zategnute armature na granici teenja, syF = 785 kN

c2 = -1.4 Pretpostavka:

21

7/25/2019 M-K krive

22/24


c2

c2 sy

2c2 c2c2

R ac2

c R cm

1.4x = d = 55 =19.74 cm

+ 1.4+2.5

8 - = - = 0.536, k = = 0.358

2 12 4 6-

F = x b f =0.536 19.74 30 3.8=1207.7 kN

Kontrola: N = 0c s1yF +N-F = 0

1207.7 - 400-785 = 22.7 kN (greka od 2.9 )

Momenat oko take u kojoj djeluje sila pritiska u betonu i krivina na granici teenja su jednaki(uz napomenu da je s2 c az =25 cm, z = h/2 -a =h/2-k x =22.92 cm):

y sy cM =F z-N z =785 0.55 -0.358 0.1974 +400 0.229= 467.8 kNm

c2 -3y 1.4/1000

= = = 7.09 10 rad/x 0.1974

m

c) granica loma stadij III

cu = -3.5 granica loma u betonu R a = 0.8095, k = 0.416

c s1y c

R cm c

N = 0 F +N-F = 0, F = 400+785 =1185 kN f b x = F , x = 12.84 cm

Uz s2 c az = 25 cm, z = h/2 - a = h/2 - k x = 24.6 cm

u sy a cM = F d- k x -N z = 785 0.55 -0.416 0.1284 + 400 0.246 = 488.5 kNm

cuu 3.5/1000

= = = 0.02725 rad/mx 0.1284 m

-3u

-3y

27.2 10 = = = 3.8

7.09 103

2. sluaj N = - 800 kN

Postupak je isti, a konano se dobija sljedee.

22

7/25/2019 M-K krive

23/24


Mcr[kNm] cr[rad/m] My[kNm] y[rad/m] Mu[kNm] u[rad/m] 132.2 7.6710-4 545.2 7.6310-3 558 0.0203 2.67

Prikaimo sve krive na zajednikom dijagramu.

Sa dijagrama uoavamo da sila pritiska smanjuje duktilnost (sposobnost plastifikacije), apoveava momenat nosivosti presjeka. Ovo je posebno vano kod stubova u seizmikiotpornim konstrukcijama gdje je nuno obezbijediti mogunost plastifikacije armature upoprenom presjeku jer se tako disipira energija. Velike normalne sile nameu i veepoprene presjeke betona to nije uvijek lako ostvariti zbog arhitektonskih i drugih zahtjeva. S

druge strane, duktilnost se moe poveati ugraivanjem bolje kvalitetne klase betona ilipritisnute armature.

23

7/25/2019 M-K krive

24/24


Literatura:

[1] J. Kollegger: Betonbau I Skriptum zum Vorlesung, III Auflage, Wien, 2001[2] A. Belarbi: Advanced behaviour of reinforced/prestressed concrete, Course notes,

Houston, TX, 2011[3] ILEK: Weiterfhrende Bemessung und Konstruktion von Tragwerken, Skriptum,

Stuttgart, 2002

Documents

M-K krive