47
MATEMATIKA 1 FON, 2008 1

m1-Osmo Predavanje (D. Djoric)

Embed Size (px)

Citation preview

  • M A T E M A T I K A1

    FON, 2008

    1

  • M1 - Osmo predavae

    Dragan ori

    17.11.2008.

    2

  • N I Z O V I

    Definicija niza i primeri Graniqna vrednost niza Svojstva konvergentnih nizova Taqke nagomilavaa niza Kriterijumi za konvergenciju niza

    3

  • Definicija niza i primeri

    Okolina taqke u R Definicija niza u R Primeri nizova u R

    4

  • 1 Okolina taqke u R

    Definicija 1 Neka su a i b realni brojevi, takvi da je a < b.

    1. Skup (a, b) definisan sa

    (a, b) = {x R : a < x < b}

    naziva se interval (otvoreni) sa krajevima a i b.

    2. Skup [a, b] definisan sa

    [a, b] = {x R : a x b}

    naziva se segment (odseqak) sa krajevima a i b.

    3. Sliqno se definixu poluotvoreni intervali [a, b) i (a, b].

    5

  • 4. Okolina broja x R je svaki otvoreni interval koji sadrix. Oznaka je O(x).

    5. Interval (x , x+ ), gde je > 0 je -okolina broja x.Oznaka je O(x).

    6

  • Za neka tvrea korisno je skup R dopuniti sa dva elementa: i + (ili samo ). Proxireni skup realnih brojeva R jedat sa

    R = R {,+},pri qemu za svaki realan broj x vai < x < +.Definixu se i skupovi

    (a,+) = {x R : x > a}, (, b) = {x R : x < b}

    koje uzimamo za okoline taqaka + i . Sliqno je

    [a,+) = {x R : x a}, (, b] = {x R : x b}.

    7

  • Za operacije sa elementima i + usvajaju se jednakosti:

    () + () = , (+) + (+) = +,

    () () = +, (+) (+) = +,() (+) = , (+) () = .

    Ako je x R, tada je x+ (+) = + i x+ () = .Ako je x > 0, tada je x (+) = + i x () = , a ako jex < 0, tada je x (+) = i x () = +.Izrazi

    , , 0 nemaju smisla u R.

    8

  • 2 Definicija niza u R

    Definicija 2 Niz u R je funkcija f : N R. Vrednost f(n)oznaqavamo sa an i zovemo n-tim qlanom niza.

    Niz oznaqavamo sa (an)nN ili (an)n=1 ili samo (an).

    Sliqno se definixe i niz u skupu A (ili niz elemenata skupa

    A) - kao funkcija f : N A.

    9

  • Definicija 3 Niz (an) je ograniqen ako postoje realni brojevi Ai B takvi da za svako n N vai

    A an B.

    { Broj A je doe ograniqee (ograniqee sa doe strane), a

    broj B je gore ograniqee (ograniqee sa gore strane).

    { Uslov iz definicije je ekvivalentan uslovu |an| M , gde jeM pozitivan realan broj.

    10

  • Definicija 4 Niz (an) je

    1. rastui (neopadajui) ako je an an+1 za n N,2. strogo rastui (rastui) ako je an < an+1 za n N,3. opadajui (nerastui) ako je an an+1 za n N,4. strogo opadajui (opadajui) ako je an > an+1 za n N.Nizovi (1) - (4) su monotoni nizovi.

    11

  • 3 Primeri nizova u R

    1. Za an = n2je a1 = 1, a2 = 4, a3 = 8, . . ., odnosn

    1, 4, 8, 16, . . . , n2, . . .

    Niz je rastui i neograniqen.

    2. Za an =1

    n(harmonijski niz) je a1 = 1, a2 =

    1

    2, a3 =

    1

    3, . . .,

    odnosno

    1,1

    2,1

    3,1

    4, . . . ,

    1

    n, . . .

    Niz je opadajui i ograniqen.

    3. Za an = (1)n imamo 1, 1,1, 1, . . .Niz je ograniqen, ali nije ni rastui, ni opadajui.

    12

  • 4. Za an = an1 + an2 (n > 2) i a1 = a2 = 1 (Fibonaqijev niz)imamo

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .

    Niz je rastui i neograniqen.

    5. Za an =1

    2

    (an1 +

    3

    an1

    )(n > 1 i a1 > 0 niz je ograniqen

    odozdo sa

    3,

    23an =

    23 12

    (an1 +

    3

    an1

    )=an1

    3+

    3

    an1 2

    i opadajui,

    an+1 =1

    2

    (an +

    3

    an

    ) 1

    2(an + an) = an.

    13

  • Graniqna vrednost niza

    Definicija graniqne vrednosti niza Veza konvergencije i ograniqenosti niza Konvergencija monotonog niza

    14

  • 4 Definicija graniqne vrednosti niza

    Definicija 5 Broj a R je graniqna vrednost niza (an) akosvaka okolina od a sdri sve qlanove niza, osim konaqno mnogo.Zapis je

    limn

    an = a

    ili

    an a (n)Niz koji ima graniqnu vrednost je konvergentan, a u protivnomdivergentan.

    15

  • { Prema definiciji, za svaku okolinu O(a) postoji prirodan

    broj n0 (koji zavisi od te okoline) takav da za n > n0 vai

    an O(a). Dakle, samo qlanovi a1, a2, . . . , an0 ne moraju biti uokolini O(a).

    { Ako za okolinu uzmemo okolinu O(a), tada za svako > 0

    postoji prirodan broj n0() za koji vai

    n > n0 |an a| < .

    16

  • Primeri

    1. Ako je an =1

    n, tada je |an 0| < za n > n0 > 1

    , pa je

    limn

    an = limn

    1

    n= 0.

    2. Ako je an =n

    n+ 1, tada je |an 1| = 1

    n+ 1< za n > n0 >

    1

    1,pa je

    limn

    an = limn

    n

    n+ 1= 1.

    3. Ako je an = n i a R, tada za svaku okolinu O(a) postojibeskonaqno mnogo qlanova niza koji su van te okoline.

    Prema tome, niz je divergentan.

    4. Ako je an = sinnpi

    2i a R, tada za svaku okolinu O(a) postojibeskonaqno mnogo qlanova niza koji su van te okoline.

    Prema tome, niz je divergentan.

    17

  • 5 Veza konvergencije i ograniqenosti niza

    Teorema 1 Konvergentan niz je ograniqen.

    Dokaz. Neka je a graniqna vrednost niza (an). Van okoline O(a)

    nalazi se samo konaqno mnogo elemenata tog niza. Ako je

    najmai qlan niza koji je van okoline jednak m, a najvei

    jednak M , tada vai

    A = min{a ,m} an max{a+ ,M} = B.

    Prema tome, niz je ograniqen.

    Ograniqen niz ne mora biti konvergentan. Na primer, za

    an = (1)n je |an| 1, a niz (an) nije konvergentan.

    18

  • 6 Teorema o monotonom nizu

    Teorema 2 Monoton i ograniqen niz je konvergentan.

    Dokaz. Pretpostavimo da je niz rastui i da je

    a = sup{an | n N} (najmae gore ograniqee). Izograniqenosti niza sledi da je a < +. Tada za svako > 0postoji broj n0 N za koji je an0 > a . Kako je niz rastui, toje an an0 za n > n0, odnosno

    an (a , a) n > n0.

    Prema tome, an a (n).Sliqno je i za opadajui niz.

    19

  • Kako je konvergentan niz ograniqen, imamo i sledee tvree.

    Teorema 3 Monoton niz je konvergentan ako i samo ako jeograniqen.

    Ako rastui niz nije ograniqen, tada an + (n).Ako opadajui niz nije ograniqen, tada an (n).

    20

  • Primeri

    1. Za an =1

    22+

    1

    32+ + 1

    n2niz je rastui i ograniqen

    an 0 postoji

    prirodan broj n0 takav da za n > n0 vai |an| < .{ Ako niz (an) konvergira ka a i ako je n = an a, tada je nnula niz. Vai i obrnuto - ako je n nula niz, tada je a

    graniqna vrednost niza (an). Dakle,

    limn

    an = a an = a+ n, limn

    n = 0.

    24

  • Za nula nizove vai sledee tvree.

    Teorema 5 1. Zbir dva nula niza je nula niz.

    2. Proizvod ograniqenog i nula niza je nula niz.

    3. Proizvod dva nula niza je nula niz.

    Dokaz. Neka su (an) i (bn) nula nizovi i neka je (xn) ograniqen

    niz.

    1. Ako je cn = an + bn, tada iz

    |an| < 2za n > n1, |bn| <

    2za n > n2

    sledi

    |cn| |an|+ |bn| < 2+

    2= , n > max{n1, n2}.

    Prema tome, (cn) je nula niz.

    25

  • 2. Ako je dn = xn an, tada iz

    |xn| M, |an| < Mza n > n0

    sledi

    |dn| = |xn| |an| < M M

    = , n > n0.

    Prema tome, (dn) je nula niz.

    3. Niz (an) je ograniqen, a (bn) je nula niz, pa tvree sledi iz

    2.

    26

  • 9 Graniqna vrednost zbira i proizvoda nizova

    Teorema 6 Neka je a graniqna vrednost niza (an) i neka je bgraniqna vrednost niza (bn). Tada je

    1. limn

    (an + bn) = limn

    an + limn

    bn = a+ b,

    2. limn

    an bn = limn

    an limn

    bn = ab.

    27

  • Dokaz. Neka je an = a+ n i bn = b+ n, gde su (n) i (n) nula

    nizovi.

    1. Iz

    an + bn = a+ b+ n + n = a+ b+ n,

    gde je (n) nula niz (prethodna teorema), sledi da

    an + bn a+ b (n).2. Iz

    an bn = ab+ n bn + n an + n nsledi an bn ab (n). Sliqno tvree vai i za koliqnik dva konvergentna niza.

    28

  • Teorema 7 Neka je a graniqna vrednost niza (an) i neka je b 6= 0graniqna vrednost niza (bn), pri qemu je bn 6= 0. Tada vai1. Niz (1/bn) konvergira ka 1/b.

    2. Niz (an/bn) konvergira ka a/b.

    Dokaz. Neka je an = a+ n i bn = b+ n.

    1. Kako je b 6= 0, to je |bn| > c > 0 za n > n0, pa je niz (b bn)ograniqen. Iz

    1

    bn 1b=

    1

    b bn (b n)sledi da je niz (1/bn 1/b) nula niz, odnosno 1/bn konvergiraka 1/b.

    2. Iz

    anbn

    =1

    bn an, 1. i prethodne teoreme sledi tvree.

    29

  • Taqke nagomilavaa niza

    Definicija i uslovi egzistencije Uslov za konvergenciju niza

    30

  • 10 Definicija i uslovi egzistencije

    Definicija 7 Broj a je taqka nagomilavaa niza (an) ako svakaokolina te taqke sadri beskonaqno mnogo qlanova tog niza.

    Van okoline taqke nagomilavaa moe takoe biti beskonaqno

    mnogo taqaka niza.

    Da li svaki niz ima (bar jednu) taqku nagomilavaa? Pre

    teoreme koja daje odgovor na ovo pitae imamo pomono

    tvree.

    31

  • Teorema 8 (Kantorov princip umetnutih odseqaka) Ako je([an, bn])n niz umetnutih odseqaka,

    [a1, b1] [a2, b2] [an, bn]

    qije duine tee nuli ( limn

    (bn an) = 0), tada postoji taqnojedna taqka koja pripada svim tim odseqcima.

    32

  • Dokaz. Kako je

    an an+1 bn+1 bn, n N,

    niz (an) je rastui i ograniqen (gora granica je, na primer,

    b1), a niz (bn) je opadajui i ograniqen (doa granica je, na

    primer, a1). Po teoremi o monotonom nizu sledi da su nizovi

    (an) i (bn) konvergentni, a iz uslova limn

    (bn an) = 0 sledi da je

    infn{bn} = lim

    nbn = lim

    nan = sup

    n{an} = a.

    Taqka a pripada svim intervalima [an, bn] (an a bn) i nijednadruga taqka ne pripada svim intervalima (zaxto?).

    33

  • Sledea teorema daje odgovor na pitae o egzistenciji taqaka

    nagomilavaa niza.

    Teorema 9 (Koxi - Bolcanova teorema)

    1. Svaki ograniqen niz brojeva ima taqku nagomilavaa u R.

    2. Svaki niz brojeva ima taqku nagomilavaa u R.

    Dokaz. Neka je (xn) dati niz.

    1. Poxto je niz ograniqen, svi egovi qlanovi pripadaju

    nekom odseqku [a, b]. Ako taj odseqak podelimo na dva dela

    (na primer, jednakih duina), tada e u jednom od ih

    (oznaqimo ga sa [a1, b1]) biti beskonaqno qlanova niza (xn).

    Nastavaem tog postupka dobijamo niz umetnutih odseqaka

    [a, b] [a1, b1] [a2, b2] [an, bn]

    34

  • qije duine tee nuli (bn an = (b a)/2n). PremaKantorovom principu umetnutih odseqaka postoji taqka c

    koja pripada svim odseqcima [an, bn]. Svaka okolina taqke c

    sadri neki odseqak [an, bn], a to znaqi i beskonaqno mnogo

    qlanova niza (xn). Prema tome, c je taqka nagomilavaa tog

    niza.

    2. Ako je niz neograniqen odozgo, tada se u svakoj okolini

    taqke + nalazi beskonaqno mnogo qlanova niza, pa je +taqka nagomilavaa tog niza. Sliqno, ako je niz

    neograniqen odozdo, taqka je egova taqkanagomilavaa.

    Kako iz 1. imamo da ograniqen niz ima taqku nagomilavaa,

    to znaqi da svaki niz ima taqku nagomilavaa u R.

    35

  • 11 Uslov za konvergenciju niza

    Niz moe imati i vixe taqaka nagomilavaa.

    Primeri

    1. Za an = (1)n taqke nagomilavaa su 1 i 1.2. Za an = n

    (1)ntaqke nagomilavaa su 0 i =.

    Teorema 10 Svaki niz ima najmau i najveu taqkunagomilavaa u R.

    36

  • Definicija 8 Dat je niz (an).

    1. Najvea taqka nagomilavaa tog niza zove se limes superior ioznaqava sa lim sup

    nan ili sa limnan.

    2. Najmaa taqka nagomilavaa tog niza zove se limes inferior ioznaqava sa lim inf

    nan ili sa limnan.

    Primeri

    1. Za an = (1)n je limnan = 1 i limnan = 1.

    2. Za an = (1)n(1 +

    1

    n

    )je

    infn{an} = 2, lim inf

    nan = 1, lim sup

    nan = 1, sup

    n{an} = 3

    2.

    37

  • Teorema 11 Potreban i dovoan uslov za konvergenciju niza je daon ima samo jednu taqku nagomilavaa a, pri qemu je |a| 6= +)(ili da je ograniqen i da ima samo jednu taqku nagomilavaa).

    Dokaz. Potreban uslov () Neka niz (an) ima graniqnu vrednosta, neka je b 6= a i neka su O(a) i O(b) disjunktne okoline tihtaqaka. U okolini taqke O(a) nalaze se svi qlanovi niza osim

    konaqno mnogo. To znaqi da se u okolini O(b) nalazi samo

    konaqno mnogo taqaka niza, pa b nije taqka nagomilavaa niza

    (an). Prema tome, niz (an) ima samo jednu taqku nagomilavaa

    (to je a).

    38

  • Dovoan uslov () Neka je a jedina taqka nagomilavaa niza(an) i neka je O(a) proizvona okolina te taqke. Kako niz nema

    drugih taqaka nagomilavaa, van te okoline je samo konaqno

    mnogo taqaka niza, jer bi u protivnom (po Koxi - Bolcanovoj

    teoremi) elementi van niza imali taqku nagomilavaa. Prema

    tome, a je graniqna vrednost niza.

    39

  • Kriterijumi za konvergenciju niza

    Potreban i dovoan uslov za konvergenciju niza Teorema o tri niza

    40

  • 12 Potreban i dovoan uslov za konvergencijuniza

    Definicija 9 Niz (an) je Koxijev ako za svako > 0 postojiprirodan broj n0() takav da je

    |am an| < , m, n > n0.

    Teorema 12 Koxijev niz je ograniqen.

    Teorema 13 (Koxijev kriterijum, potreban i dovoan uslov zakonvergenciju niza) Niz (an) je konvergentan ako i samo ako jeKoxijev niz.

    41

  • Dokaz. Potreban uslov ():Ako je lim

    nan = a, tada za > 0 postoji prirodan broj n0 takav

    da je

    |am a| < 2, |an a| <

    2

    za m,n > n0. Tada je

    |am an| = |am a+ a an| |am a|+ |an a| < , m, n > n0,

    pa je (an) Koxijev niz.

    42

  • Dovoan uslov ():Neka je (an) Koxijev niz i neka je

    a = limnan, a = limnan

    (na osnovu prethodne teoreme niz je ograniqen). Tada za svako

    > 0 postoji n0 i postoje m,n > n0 za koje vai

    |a am| < 3, |am an| <

    3, |an a| <

    3,

    pa je

    |a a| < |a am|+ |am an|+ |an a| < .Prema tome, niz (an) ima samo jednu taqku nagomilavaa. Na

    osnovu jedne od prethodnih teorema (uslov za konvergenciju

    niza) (an) je konvergentan niz.

    43

  • 13 Teorema o tri niza

    Teorema 14 Ako je an bn cn za n > n0 i ako je

    limn

    an = limn

    cn = a,

    tada je limn bn = a.

    Dokaz. Za svako > 0 postoje prirodni brojevi n1 i n2 takvi da

    vai an O(a) za n > n1 i cn O(a) za n > n2.Kako je an bn cn, vai bn O(a) za n > max{n1, n2}, pa jelimn

    bn = a.

    44

  • ISPITNA PITAA

    1. Definicija niza, taqke nagomilavaa i graniqne vrednosti.

    2. Veza izmeu ograniqenosti i konvergentnosti niza.

    3. Konvergencija monotonog i ograniqenog niza. Dokaz.

    4. Graniqna vrednost zbira, proizvoda i koliqnika nizova.

    Dokaz.

    5. Kantorov princip umetnutih odseqaka.

    6. Bolcano-Vajerxtrasova teorema za nizove. Dokaz.

    7. Koxijev kriterijum za konvergenciju niza. Dokaz

    45

  • DODATAK

    Niz qiji je opxti qlan an =

    (1 +

    1

    n

    )nje konvergentan.

    Dokaz. Iz nejednakosti(1 +

    1

    n

    )n(1 1

    n

    )n=

    (1 1

    n2

    )n> 1 + n 1

    n2= 1 1

    n, n > 1

    sledi (1 +

    1

    n

    )n(1 1

    n

    )n1> 1,

    pa je

    an =

    (1 +

    1

    n

    )n>

    (1 1

    n

    )1n=

    (n

    n 1)n1

    =

    (1 +

    1

    n 1)n1

    = an1.

    46

  • Za k n vai

    1 +k

    n(1 +

    1

    n

    )n< 1 +

    k

    n+k2

    n2

    (prva nejednakost sledi iz binomne formule, a druga se lako

    dokazuje indukcijom). Specijalno, za k = n imamo

    2 (1 +

    1

    n

    )n< 3.

    Po teoremi o konvergenciji monotonog i ograniqenog niza, niz

    (an) je konvergentan.

    Graniqna vrednost niza (an) je broj e (jedna od najvanijih

    konstanti u matematici) koji je iracionalan i koji je

    priblino jednak 2.71828.

    47