ÂNGULOS, PARALELISMO, TRIÂNGULOS

B

α

C

D

A

c

b a

01. (UFMG) Na figura a seguir, os pontos F, A e B estão em uma reta e as retas CB e ED são paralelas. Assim sendo, o

ângulo CB̂A mede: a) 39º b) 44º c) 47º d) 48º

02. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e BCE e FCD são

triângulos eqüiláteros. Determine a medida do ângulo E F̂ D. 03. (FUVEST) Na figura abaixo, O é o ponto de intersecção das bissetrizes do triângulo ABC, e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo Â. Determine a medida do ângulo Â.

04. Na figura abaixo, sendo r // s, calcule a medida α do ângulo indicado.

05. (Fuvest) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

06. (Valdir) Dois espelhos planos E1 e E2 são dispostos perpendicularmente (α = 90º), como mostra a figura a seguir. Um raio de luz R1 incide no espelho E1, formando um ângulo θ agudo com a superfície do espelho. O raio R2 emerge do espelho E2. Mostre que o raio de luz incidente R1 é paralelo ao raio emergente R2.

07. Na questão anterior, se 0º < α < 90º, mostre que o ângulo formado pelo raio R1 e o raio R2 é igual a 2.α.

08. Determine a medida do ângulo tal que o triplo do seu complemento é igual à terça parte do suplemento desse ângulo.

09. A medida em graus do ângulo ɵA é igual ao triplo da

medida de seu complemento. O ângulo ɵA mede a) 90° b) 67°30' c) 60° d) 48°30' e) 45°

10. Na figura a seguir, ABCD é um quadrilátero côncavo. Sendo a, b e c as medidas de três ângulos internos e α a medida do ângulo da concavidade, mostre que α = a + b + c. 11. (Valdir) A figura a seguir mostra o caminho ABCDEF de um raio de luz que se propaga sofrendo vários desvios. Determine o desvio angular total sofrido pelo raio de luz. 12. (UFC) Na figura abaixo, os segmentos de reta

CDeAC,AB são congruentes, β é um ângulo externo, e α

um ângulo interno do triângulo ABD. Assinale a opção que contém a expressão correta de β em termos de α. a) β= 3α. b) β = 2α c) β = α/2. d) β = 2α/3. e) β = 3α/2. 13. (Vunesp) O triângulo ABC da figura é eqüilátero. Os pontos M e N e os pontos P e Q dividem os lados a que pertencem em três segmentos de reta de mesma medida.

Nessas condições calcule: a) a medida do ângulo MPQ (vértice P); b) a medida do ângulo BMQ (vértice M).

14. (UFTM 2007.2) Uma ciclovia foi construída no formato de uma circunferência de raio r, interna a outra circunferência de raio R, R > r, com ambas ligadas por um trajeto reto de comprimento L = 110 m, tal como a figura. Num certo dia, um ciclista partiu do ponto A, deu uma volta completa na pista externa, foi até a pista interna e também deu uma volta completa nessa pista. Ele registrou um deslocamento total de 750 m. No dia seguinte, ele realizou o mesmo trajeto, voltou até a pista externa no ponto A e ali deu mais uma volta completa,

E A D

B C

F

A

B

C

O

40°

70°

αααα

30°

r

s

θ

R1

R2

E2

E1

α

D

β

α

A

B C

105º

57º

28º

F

A

E D

C B

A

E

D

C

B F

60°

70°

30°

50°

A

B C

M

N

P Q

Lista 03 . Geometria Plana I - 30 ano

By Kovest : https://twitter.com/Kovest

2

α

β

Encontram-se no centro da Terra formando um ângulo θ

Raios solares

mastro

obelisco

B

A

C D

registrando o deslocamento total de 1300 m. Então, a razão dos raios (R / r) é a) 2,2. b) 2,8. c) 3,4. d) 4,0. e) 4,6.

15. (Unificado) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo α. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: a) 3α b) 2α c) α d) α/2 e) α/4 16. Determine a medida do ângulo do vértice A do triângulo isósceles ABC, sabendo que os segmentos BC, CD, DE, EF e FA são congruentes.

17. Na figura a seguir, AB = AC e AE = AD. Calcule a medida

do ângulo ˆCDE , sabendo que o ângulo BÂD mede 50º.

18) (UNESP-2006) A figura mostra duas semi-retas, r e s, de mesmo vértice V, formando um ângulo de 60°. Os ponto s A ∈ r e B ∈ s são arbitrários, diferentes de V.

a) Explique por que os ângulos do triângulo AVB estão em

progressão aritmética. b) Se os lados de um triângulo medem 3 cm, 7 cm e 8 cm,

mostre que seus ângulos estão em progressão aritmética.

19. Dois ângulos são suplementares. Os 2/3 do maior excedem os 3/4 do menor em 69°. Determine os ângulos.

20. (UFES) Se as retas r e s da figura são paralela, então 3.α + β vale: a) 225º b) 195º c) 215º d) 175º e) 185º

21. (UnB) O Obelisco em São Paulo, em certo dia e em determinado horário, não projetava sobra. Nesse mesmo instante, em Brasília, o mastro da Bandeira projetava uma sombra, formando o triângulo ABC indicado na figura abaixo.

Considere-se que a Terra seja uma esfera e o comprimento

do arco circular que liga os pontos C e D, correspondentes às bases do mastro da Bandeira e do Obelisco, seja 1.050 km.

Com base na figura e nas informações do texto e considerando que α2 = β, faça o que se pede: 01) Calcule, em graus, o valor de 57.α. 02) Calcule, em graus, o valor do ângulo central θ, indicado na

figura do texto II, multiplicando o valor obtido por 12. 03) Calcule, em km, o comprimento da circunferência da Terra.

Divida o valor encontrado por 60. 04) Tomando 3,14 como valor aproximado para π, calcule, em

km, o raio da Terra. Divida o valor encontrado por 10.

22. (CEFET) Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o seguinte desafio: Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na rua Marechal Hermes no número igual a nove vezes o valor do ângulo  da figura a seguir. Se a Equipe resolver corretamente o problema irá fotografar a construção localizada no número: a) 990. b) 261. c) 999. d) 1026. e) 1260. 23. (MACKENZIE - 2007.1) A figura a seguir representa uma pista não oficial de atletismo, com 4 raias para corridas, cujas curvas são determinadas por semi-circunferências. Cada raia tem largura igual a 2 m e os atletas devem percorrer 300 m sobre as linhas, conforme as setas indicam na figura. Sendo r = 10 m e adotando π = 3, o valor de k + d é a) 248 m b) 247 m c) 245 m d) 244 m e) 240 m

01) D 02) 15º 03)36º 04) 60º 05) E 06) demonst. 07) demonst. 08) 7ππππ/16 09) B 10) demonst. 11) 290º 12) A 13) a)120º, b) 90º 14) A 15) B 16) 20º 17) 25º 18) demonst 19) 36 O, 144O 20) B 21) 01) 513; 02) 108; 03) 700; 04) 668 22) C 23) E

D

A M

C

N

B

α

120º

α

90º

r

15º s

β

60°

r

s

A

B V

L r R

A

E

D

C

A

B

F

E

D C

A

B