775

20

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos

AVANCE

Como se mencion en el captulo 7, se esperara que la mayora de los edificios se deforme ms all del lmite del comportamiento elstico lineal cuando se somete a un fuerte movi-miento del terreno. Por lo tanto, la respuesta ssmica de los edificios que se deforman en su intervalo inelstico es de vital importancia en la ingeniera ssmica. Este captulo abarca ciertos aspectos de este basto tema, y est organizado en dos partes.

En la parte A se aborda un anlisis riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal. Se mencionan las ecuaciones que controlan el movimiento y las diferencias entre las me-todologas para resolver estas ecuaciones en el caso de los sistemas de VGDL inelsticos, y en el de los sistemas elsticos. Enseguida, se demuestra que la respuesta inelstica de los edificios tiene una gran influencia de los supuestos realizados al idealizar o modelar la es-tructura, por los efectos P- de segundo orden de las cargas gravitatorias que actan sobre el estado deformado lateralmente de la estructura y por la variacin detallada del movimien-to del terreno con el tiempo. Estos factores influyen ms en la respuesta de las estructuras que se deforman en su intervalo inelstico que sobre aquellas que se mantienen elsticas. Despus, se demuestra que las demandas de ductilidad de entrepiso y su variacin con la altura dependen de las resistencias a la cedencia relativas de las vigas contra las columnas y de las resistencias a la cedencia relativas de los diferentes niveles. A continuacin se iden-tifican las diferencias entre las demandas de ductilidad impuestas por la excitacin ssmica en los edificios de varios niveles y en un sistema de 1GDL, ambos diseados para el mismo cortante basal, lo cual culmina en un anlisis cuantitativo del aumento en la resistencia ne-cesario para limitar las demandas de ductilidad en un edificio de varios niveles por debajo del factor de ductilidad para un sistema de 1GDL.

En la actualidad el anlisis riguroso en la historia de la respuesta no lineal es una tarea ardua por varios motivos y un requisito poco razonable para cualquier edificio (sin importar qu tan simple sea) y para cualquier oficina de ingeniera estructural (sin importar qu tan

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20776

pequea sea); por ello, en la parte B del captulo se desarrollan procedimientos de anlisis aproximado. Mediante el uso de la expansin modal de las fuerzas ssmicas efectivas, se de-sarrollan dos procedimientos de anlisis aproximado para los edificios inelsticos: el anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada y el anlisis pushover modal . El procedi-miento de la historia de la respuesta modal, que no est diseado para su aplicacin prctica, se desarrolla slo para proporcionar una justificacin del procedimiento pushover modal. En este ltimo procedimiento, las demandas ssmicas debidas a los trminos individuales de la expansin modal de las fuerzas ssmicas efectivas se determinan mediante anlisis estticos no lineales utilizando las distribuciones de las fuerzas de inercia modales y las respuestas mximas modales se combinan mediante las reglas de combinacin modal con el fin de estimar la respuesta total. Se identifican las aproximaciones principales en el procedimiento pushover modal y la exactitud del procedimiento se evala al comparar las demandas estima-das con los resultados del anlisis riguroso en la historia de la respuesta no lineal para varios edificios. Por ltimo, se simplifica el anlisis pushover modal para su aplicacin prctica, con el fin de estimar las demandas ssmicas y as evaluar los edificios existentes.

PARTE A: ANLISIS DE LA HISTORIA DE LA RESPUESTA NO LINEAL

20.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: FORMULACIN Y SOLUCIN

El trmino de la fuerza restauradora en las ecuaciones de movimiento para un edificio elstico de varios niveles (ecuacin 13.2.1) se modifica para reconocer el comportamiento inelstico del edificio. La relacin fuerza-deformacin para cada elemento estructural sometido a defor-maciones cclicas ahora es no lineal e histertica. La curva de carga inicial es no lineal en las amplitudes de deformacin grandes y las curvas de descarga y carga difieren de la rama de carga inicial. Los experimentos con componentes estructurales han proporcionado las relacio-nes de fuerza-deformacin (o leyes constitutivas) apropiadas para varios tipos de elementos estructurales (vigas, columnas, muros, refuerzos, etctera) usando una variedad de materiales estructurales (acero, concreto reforzado, mampostera, madera, etctera) (vea la figura 7.1.1).

Para los sistemas inelsticos la relacin no lineal entre las fuerzas laterales fS en los N niveles y los desplazamientos laterales de nivel u resultantes dependen de la trayectoria; es decir, dependen de si la deformacin aumenta o disminuye durante el paso de tiempo:

fS = fS(u) (20.1.1)

Con esta generalizacin para los sistemas inelsticos, la ecuacin (13.2.1) se convierte en

mu+ cu+ fS(u) = m ug(t) (20.1.2)

donde m, c y son como se definieron en la seccin 13.2. Esta ecuacin matricial representa N ecuaciones diferenciales no lineales para los N desplazamientos de nivel uj(t), j = 1, 2, ..., N. Dadas la matriz de masa estructural m, la matriz de amortiguamiento c, la relacin inelstica de fuerza-deformacin fS(u), y la aceleracin del terreno g(t), el anlisis de la historia de la respuesta no lineal requiere una solucin numrica de la ecuacin (20.1.2) para obtener la respuesta de desplazamiento de la estructura; por otro lado, las fuerzas in-ternas pueden determinarse a partir de los desplazamientos.

La formulacin de las ecuaciones diferenciales no lineales, en particular el trmino fS(u), exige una gran cantidad clculos. La matriz de rigidez estructural debe formularse

Seccin 20.2 Clculo de las demandas ssmicas: factores a considerar 777

de nuevo en cada instante de tiempo a partir de las matrices de rigidez tangente de los elementos correspondientes a la deformacin presente y a su dependencia de la trayectoria (en cualquiera de las ramas de carga inicial, descarga o recarga de la relacin fuerza-defor-macin del elemento). En el caso de una estructura grande este proceso debe repetirse para miles de elementos estructurales. En la formulacin de estas ecuaciones debe considerarse la geometra no lineal porque las estructuras sometidas a movimientos ssmicos intensos pueden sufrir grandes desplazamientos. En la ingeniera ssmica, el equilibrio no lineal y las relaciones de compatibilidad suelen aproximarse mediante un enfoque conocido como anlisis P-. La formulacin detallada de las ecuaciones gobernantes est fuera del alcance de este libro y se remite al lector a otras fuentes (por ejemplo, Filippou y Fenves, 2004).

La solucin numrica de la ecuacin (20.1.2) es exigente con la cantidad de clculos necesarios en los grandes sistemas inelsticos (nmero de grados de libertad) porque estas ecuaciones diferenciales acopladas deben resolverse en forma simultnea; para los siste-mas inelsticos dichas ecuaciones no pueden desacoplarse mediante la transformacin a coordenadas modales, como se demostrar ms adelante. Tales soluciones numricas deben repetirse en cada paso de tiempo t, el cual debe ser muy corto, tan corto como para asegu-rar que el procedimiento numrico converja, se mantenga estable y d resultados precisos. En el captulo 16 se desarrollaron los mtodos numricos seleccionados que se utilizan por lo regular en la ingeniera ssmica para resolver estas ecuaciones diferenciales no lineales.

20.2 CLCULO DE LAS DEMANDAS SSMICAS: FACTORES A CONSIDERAR

Existen varios factores que deben reconocerse para obtener resultados significativos de la res-puesta inelstica de una estructura. En esta seccin se analizan tres de estos factores (los efectos P-, los supuestos del modelado estructural, o idealizacin, y las caractersticas del movimien-to del terreno) sobre la base de los resultados presentados para un marco perimetral de acero resistente al momento en el edificio SAC de Los ngeles. Los valores calculados para las can-tidades de respuesta (desplazamientos de nivel, distorsiones de entrepiso y rotaciones plsticas en las articulaciones) representan las demandas impuestas a la estructura por el sismo de diseo.

20.2.1 Efectos P-

Los efectos de segundo orden de las cargas de gravedad que actan sobre el estado deformado lateralmente de una estructura, conocidos como los efectos P-, pueden influir mucho en la

SAC fue un consorcio de tres organizaciones sin fines de lucro: Structural Engineers Association of Cali-fornia (SEAOC), Applied Technology Council (ATC) y California Universities for Research in Earthquake Enginee-ring (CUREE). Impulsado por un dao inesperado a los marcos de acero en muchos edificios durante el sismo de Northridge de 1994, el SAC se organiz para llevar a cabo un amplio programa de investigacin aplicada. El SAC comision a tres empresas de consultora para disear marcos especiales de edificios con 3, 9 y 20 niveles, que fueran resistentes al momento de acuerdo con los requisitos del cdigo local en tres ciudades: Los ngeles (UBC, 1994), Seattle (UBC, 1994) y Boston (BOCA, 1993). Estos edificios de planta cuadrada, tienen propiedades idnticas en ambas direcciones laterales. Las descripciones de sus dimensiones en planta y elevacin, del tamao de sus elementos y de otras propiedades pueden encontrarse en varias publicaciones (por ejemplo, Gupta y Krawinkler, 1999). Los marcos perimetrales de siete de estos nueve edificios se utilizan como ejemplos en este captulo. Los movimientos del terreno seleccionados para los ejemplos son los 20 registros de movimiento del terreno reunidos en el proyecto SAC para representar el 2% de probabilidad de excedencia en 50 aos (un perodo de retorno de 2475 aos).

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20778

respuesta ssmica de los edificios en su intervalo inelstico. Con o sin estos efectos, en la figura 20.2.1 se muestra la grfica de la fuerza cortante basal Vb (normalizada mediante el peso total W) contra el desplazamiento del techo (normalizado mediante la altura del edificio), comn-mente conocida como curva de capacidad, la cual se determina por medio del anlisis esttico nolineal del marco sometido a fuerzas laterales con una distribucin especificada segn la altura, que se incrementa poco a poco impulsando al edificio a tener grandes desplazamientos. Los efectos P- reducen ligeramente la rigidez elstica inicial de una estructura y, por lo tanto, tienen poca influencia en la respuesta ssmica de una estructura si sta se mantiene elstica du-rante el movimiento del terreno de diseo. Sin embargo, los efectos P- tienen una profunda influencia en la respuesta despus de la cedencia, que ahora muestra una breve meseta de fuer-za constante en una resistencia a la cedencia reducida, seguida por una rpida disminucin de la resistencia a la fuerza lateral representada por la rigidez negativa, culminando en una resis-tencia lateral cero en un desplazamiento de techo igual al 4% de la altura del edificio; en con-traste, si se desprecian los efectos P-, la rigidez despus de la cedencia sigue siendo positiva.

Estas grandes diferencias en el comportamiento esttico posterior a la cedencia de un edificio sugieren que los efectos P- tambin deben ser importantes en la respuesta del edificio a la excitacin ssmica. Esta expectativa se confirma con la figura 20.2.2, donde la historia de la respuesta de la distorsin de entrepiso o deformacin relativa (normalizada

Figura 20.2.1 Curvas de capacidad para el edificio de 20 niveles de SAC en Los ngeles con y sin efectos P-. (Tomadas de Gupta y Krawinkler, 2000b).

1 2 3 4 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Desplazamiento del techo altura del edicio, %

Cor

tant

e ba

sal

p

eso

P Efectos excluidos

P Efectos incluidos

Figura 20.2.2 Importancia de los efectos P- en la distorsin de entrepiso del segundo nivel del edificio SAC de 20 niveles en Los ngeles, debi-do al movimiento del terreno LA30. (Adaptada de Gupta y Krawinkler, 2000b).

0 10 20 30 40 505

0

5

10

15

Tiempo, s

Dist

orsi

n de

entre

piso

PEfectos incluidos

PEfectos excluidos

Seccin 20.2 Clculo de las demandas ssmicas: factores a considerar 779

mediante la altura del nivel) en el segundo nivel del edificio, debido a uno de los movimien-tos de terreno de SAC (el registro LA30 Tabas) se presenta para dos casos: los efectos P- incluidos o excluidos. Cuando se incluyen, despus del primer episodio de cedencia mayor, la distorsin de entrepiso crece en una direccin sin ninguna reversin hacia la direccin lateral opuesta, lo que da como resultado una inestabilidad dinmica. Por el contrario, el anlisis al excluir estos efectos predice una respuesta oscilatoria que permanece acotada. Es evidente que es esencial incluir los efectos P- en la prediccin de la respuesta ssmica de edificios que se deforman mucho en su intervalo inelstico.

20.2.2 Supuestos del modelado

La respuesta ssmica de un edificio puede estar influida de manera significativa por los supuestos del modelado (o idealizacin) de la estructura para su anlisis en computadora. Para demostrar esta posibilidad se consideran tres diferentes idealizaciones planas del mar-co seleccionado: (1) el modelo M1, un modelo bsico de lnea central en el que el tamao de la zona, la resistencia y la flexibilidad del panel no se representan; (2) el modelo M2, un modelo que incorpora en forma explcita la propiedades de resistencia y flexibilidad de las zonas del panel; y (3) el modelo M2A, una versin mejorada del modelo M2, que incluye las columnas de gravedad interiores, las conexiones cortantes y las losas de nivel.

La respuesta ssmica de un edificio puede verse muy afectada por las diferencias en los modelos analticos, como lo demuestra la historia de la respuesta de la distorsin del segundo entrepiso debido al mismo movimiento del terreno (figura 20.2.3). El modelo M1 predice que despus de la primera incursin inelstica grande, la distorsin de entrepiso no revertir su direccin y seguir creciendo con rapidez, de manera que el edificio se volv-era dinmicamente inestable en los primeros 20 segundos de la excitacin. Esta inestabi-lidad temprana no se produce en el modelo M2, pero el movimiento del terreno posterior (despus de 20 segundos), aunque ms dbil, hace que la distorsin crezca hasta un punto cercano a la inestabilidad dinmica del marco. Cuando se consideran otras fuentes de rigi-dez y resistencia (modelo M2A), la respuesta es muy diferente. Despus de la primera in-cursin inelstica grande, la distorsin de entrepiso ahora se recupera parcialmente y oscila alrededor de una posicin desplazada, sin mostrar signos de inestabilidad dinmica de la estructura. Es evidente que la respuesta dinmica es demasiado sensible a los supuestos del

0 10 20 30 40 505

0

5

10

15

Tiempo, s

Modelo M1

Modelo M2A

Modelo M2

Dis

tors

in

de e

ntre

piso

, %

Figura 20.2.3 Influencia de los supuestos del modelado sobre la distorsin del segundo en-trepiso en el edificio SAC de 20 niveles en Los ngeles debido al movimiento del terreno LA30. (Adaptado de Gupta y Krawinkler, 2000b).

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20780

modelado una vez que los efectos P- se vuelven importantes y que un piso se deforma en el intervalo de rigidez negativa posterior a la cedencia.

En consecuencia, las demandas de distorsin de entrepiso para un edificio pueden ser afectadas en gran medida por los supuestos del modelado. Esto es evidente en la figura 20.2.4, donde se presentan los valores mximos de la distorsin de entrepiso del mismo marco debidos al mismo movimiento del terreno. No se muestran los resultados para el modelo M1, porque predijo un colapso del edificio. El modelo M2 predice distorsiones de entrepiso que se acercan al 15%, las cuales son tan grandes que el desempeo del edificio no sera aceptable. Sin embargo, el modelo ms realista (M2A) predice distorsiones de entrepi-so mucho ms pequeas, con la distorsin ms grande entre todos los niveles cercana al 5%.

20.2.3 Variabilidad de la respuesta con el movimiento del terreno

Las demandas de distorsin de entrepiso tambin son sensibles a la variacin en el tiempo de aceleracin del terreno; por lo tanto, varan de un movimiento del terreno a otro. Esto es evidente a partir de los valores mximos de la distorsin de entrepiso en el modelo M2 para el mismo edificio de 20 niveles, debidos a 20 registros de movimientos del terreno SAC (figura 20.2.5). Las demandas de distorsin de entrepiso impuestas por los 20 registros individuales varan mucho, lo que implica que la respuesta a cualquier excitacin no debe ser la base para el diseo de edificios nuevos o para la evaluacin de edificios existentes.

Para seleccionar los valores de demanda a considerar en el diseo y la evaluacin de estructuras es necesario determinar las demandas ssmicas debidas a un nmero suficiente-mente grande de movimientos del terreno, as como tomar en cuenta su variabilidad registro a registro. Los valores de la mediana y el percentil 84 de las demandas de distorsin de entrepiso para el modelo M2 de la estructura se presentan en la figura 20.2.6, durante tres series de 20 movimientos del terreno para Los ngeles representando diferentes probabi-lidades de excedencia: 2% en 50 aos (un perodo de retorno de 2475 aos), 10% en 50 aos (un perodo de retorno de 475 aos), y 50% en 50 aos (un perodo de retorno de 72

Figura 20.2.4 Influencia de los supuestos del modelado sobre las demandas de la distorsin de entrepiso para el edificio SAC de 20 niveles en Los ngeles, debido al movimiento del terreno LA30; se muestran los resultados para los modelos M2 y M2A, pero el modelo M1 predijo un colapso del edificio. (Adaptado de Gupta y Krawinkler, 2000a).

0 2 4 6 8 10 12 14 16G

4

8

12

16

20

Distorsin de entrepiso, %

Niv

el

Modelo M2

Modelo M2A

Mediana se refiere al exponente de la media de los valores logartmicos naturales del conjunto de datos. El percentil 84 es la mediana multiplicada por el exponente de la dispersin, donde la dispersin se deter-

mina como la desviacin estndar de los valores logartmicos naturales del conjunto de datos.

Seccin 20.3 Demandas de la distorsin de entrepiso 781

aos). Tal como se esperaba, a medida que la intensidad del conjunto de movimientos del terreno aumenta, los valores tanto de la mediana como del percentil 84 de las demandas de distorsin de entrepiso se incrementan; y an ms importante, la dispersin de la demanda tambin crece. La variabilidad en la respuesta excitacin tras excitacin es ms grande para el conjunto de movimientos del terreno ms intenso debido a que causan distorsiones de entrepiso suficientemente grandes como para que los efectos P- sean importantes.

20.3 DEMANDAS DE LA DISTORSIN DE ENTREPISO

20.3.1 Influencia del mecanismo de articulacin plstica

La variacin con la altura de las demandas de ductilidad en los edificios de varios niveles depende, en parte, de las resistencias a la cedencia relativas de las vigas y columnas, y de las resistencias a la cedencia relativas de los diferentes niveles. Para demostrar este con-cepto importante, se presentan las demandas de ductilidad para los tres tipos de estructuras que se muestran en la figura 20.3.1. Designado como el modelo viga-articulada, el primer tipo estructural es un marco con columnas fuertes y vigas dbiles en el que se forma un mecanismo completo con articulaciones plsticas en todas las vigas a medida que se incre-

Figura 20.2.5 Demandas de distorsin de en-trepiso para el edificio SAC de 20 niveles en Los ngeles, debidas a 20 movimientos del terreno SAC. (Datos proporcionados por Akshay Gupta).

0 2 4 6 8 10 12 14 16G

4

8

12

16

20

Distorsin de entrepiso, %

Niv

el

Figura 20.2.6 Valores de la mediana y del percentil 84 de las demandas de la distorsin de entrepiso para el edifico SAC de 20 niveles en Los ngeles para tres conjuntos de movimientos del terreno. (Tomados de Gupta y Krawinkler, 2000a).

0 2 4 6 8G

4

8

12

16

20

Distorsin de entrepiso, %

Niv

el

Mediana50/5010/502/50Percentil 8450/5010/502/50

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20782

mentan la fuerzas laterales con una distribucin especificada por cdigo (figura 20.3.1a). Designado como el modelo columna-articulada, el segundo tipo estructural es un sistema con columnas dbiles y vigas fuertes en el que todas las columnas desarrollan articulaciones plsticas a medida que se incrementan las fuerzas laterales con una distribucin especifi-cada por cdigo (figura 20.3.1b). Designado como el modelo de piso dbil, el tercer tipo estructural desarrolla un mecanismo de piso slo en el primer nivel bajo una distribucin de fuerza lateral especificada por cdigo (figura 20.3.1c); las resistencias a la cedencia de niveles superiores al primero se incrementan de manera considerable con respecto al mo-delo columna-articulada para asegurar que sigan siendo elsticos. As, el primer nivel no es ms dbil que en el modelo columna-articulada, sino que es dbil slo en relacin con los dems niveles, lo que implica una gran discontinuidad de la fuerza a travs del primer nivel.

Los valores medios (para un conjunto de 15 movimientos del terreno) del factor de duc-tilidad en los entrepisos se presentarn para los modelos antes mencionados de tres marcos de edificio de 20 niveles y resistencia a la cedencia por cortante basal determinada a partir del sistema de 1GDL correspondiente. En el intervalo elstico lineal, el perodo natural y la fraccin de amortiguamiento del sistema de 1GDL correspondiente son iguales a las propie-dades del modo fundamental T1 y 1 del marco de varios niveles. El peso del sistema de 1GDL correspondiente es igual al peso total W del marco de varios niveles. La resistencia a la ceden-cia por cortante basal para este sistema de 1GDL correspondiente a un factor de ductilidad seleccionado est dada por la ecuacin (7.12.1) con el cambio apropiado en la notacin:

Vby =AygW (20.3.1)

donde Ay es la pseudo-aceleracin correspondiente al seleccionado (en este ejemplo = 8) y T1 y 1 conocidos. La pseudo-aceleracin se determina a partir del espectro de respuesta inelstico medio de un conjunto de 15 movimientos del terreno.

Las demandas de ductilidad para cada entrepiso difieren mucho entre los tres tipos estructurales (figura 20.3.2). Estos factores de ductilidad pueden ser poco realistas, pero este ejemplo se eligi con el fin de ilustrar las tendencias. Observe que la demanda de ductilidad de los entrepisos para las estructuras consideradas es ms grande en el entrepiso inferior, lo cual es por lo general cierto (pero no siempre). Entre los tres tipos estructurales, las deman-

(a) (b) (c)

Figura 20.3.1 Modelos (a) viga-articulada, (b) columna-articulada y (c) de piso dbil. (To-mados de Krawinkler y Nassar, 1991).

Seccin 20.3 Demandas de la distorsin de entrepiso 783

das de ductilidad en los entrepisos inferiores son ms grandes para el modelo de piso dbil, ms pequeas para el modelo viga-articulada, y medias para el modelo columna-articulada. Tambin es evidente que el tipo estructural tiene una gran influencia en la variacin de las demandas de ductilidad de los entrepisos con la altura. A pesar de que esta variacin es sig-nificativa en los tres casos, es ms pequea para el modelo viga-articulada y ms grande para el modelo de piso dbil; en este ltimo caso, los niveles superiores siguen siendo en esencia elsticos. Por lo tanto, toda la energa que se disip a travs de la cedencia de los niveles superiores en los modelos viga-articulada y columna-articulada debe ser disipada por el piso dbil, dando como resultado una demanda de ductilidad muy grande de alrededor de 50.

En los edificios reales, si el primer entrepiso es relativamente dbil, por lo general tambin es relativamente flexible debido a que la rigidez y la fuerza suelen estar interrela-cionadas. El comportamiento de tales edificios con primer piso suave es similar al de un edi-ficio con el primer piso dbil: los pisos superiores siguen siendo elsticos, con la cedencia limitada al primer nivel, lo que resulta en demandas de ductilidad grandes en ese entrepiso.

Un ejemplo bien conocido de un edificio con un primer piso suave es el edificio del hospital Olive View. ste era un edificio de seis pisos construido en concreto reforzado, con su primer entrepiso parcialmente subterrneo. El sistema de resistencia a la fuerza lateral inclua grandes muros en los cuatro entrepisos superiores que no se extendan a los dos en-trepisos inferiores (figura 20.3.3). Estos muros cortantes discontinuos crearon una gran dis-continuidad en la resistencia y la rigidez al nivel del segundo entrepiso. Durante el sismo del 9 de febrero de 1971, en San Fernando, esta estructura se comport segn lo sugerido por los resultados anteriores del anlisis dinmico de un edificio hipottico. Los cuatro niveles superiores de este edificio tuvieron daos menores, con el dao disminuyendo hacia la parte superior. La mayora de los daos se concentraron en el entrepiso parcialmente subterrneo y en el primer entrepiso por encima del nivel del suelo, con una distorsin permanente en este ltimo entrepiso superior a 30 pulg (figura 20.3.4). Esta gran distorsin impuso de-formaciones y demandas de ductilidad muy severas en las columnas del primer entrepiso. Como resultado, las columnas sujetas fallaron de una manera frgil (figura 20.3.5); sin em-bargo, el comportamiento dctil de las columnas reforzadas en espiral impidi el colapso del edificio (figura 20.3.6). Este edificio, terminado slo unos meses antes del sismo, se vio daado de una manera tan severa que tuvo que ser demolido. Existen muchos ejemplos de daos graves a edificios con un primer piso blando incluso durante sismos recientes.

0 4 8 12 16 20G

4

8

12

16

20

Factor de ductilidad del entrepiso

Niv

el

Viga-articulada

Columna-articulada

Factor de ductilidad del sistema de 1GDL Figura 20.3.2 Demandas de ductilidad media

por entrepiso para los modelos viga-articulada, columna-articulada y de piso dbil en un marco de 20 niveles debidas a un conjunto de 15 movi-mientos del terreno, en comparacin con el factor de ductilidad = 8 del sistema de 1GDL. Para el modelo de piso dbil, la demanda de ductilidad es aproximadamente de 50 para el primer entrepiso, pero todos los dems entrepisos se mantienen els-ticos. (Datos de Nassar y Krawinkler, 1991).

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20784

Aunque los edificios con primer piso suave no son, obviamente, apropiados para las regiones propensas a sismos, su respuesta durante los sismos pasados sugiere la posibilidad de reducir el dao al edificio mediante un sistema de aislamiento en la base que acta como un primer piso blando. (Este tema se trata en el captulo 21, el cual se encuentra en ingls en el sitio web).

20.3.2 Influencia del comportamiento inelstico

La distribucin de las distorsiones de entrepiso a travs de la altura de un marco de varios niveles tambin depende de qu tanto se deforma el marco en el intervalo inelstico, como se demuestra en la figura 20.3.7. Se presentan las medianas de las demandas de distorsin de entrepiso, debidas a un conjunto de movimientos del terreno para los modelos de viga-articulada de cinco marcos de 9 niveles, diseados para la distribucin de fuerza lateral es-pecificada en el Cdigo Internacional de Construccin (IBC) 2009 y para la fuerza cortante

Figura 20.3.3 Edificio del hospital Olive View. Los muros cortantes en los cuatro entrepisos supe-riores no se extendieron a los dos niveles inferiores. (Tomada de la coleccin K. V. Steinbrugge, cor-tesa del Centro de Investigacin en Ingeniera Ssmica de la Universidad de California en Berkeley).

Seccin 20.3 Demandas de la distorsin de entrepiso 785

Figura 20.3.4 Grandes deformaciones en el primer entrepiso sobre el nivel del suelo del edificio del hospital Olive View, debido al sismo de San Fernando, del 9 de febrero de 1971. (Cortesa de la coleccin K. V. Steinbrugge, Centro de Investigacin en Ingeniera Ssmica de la Universidad de California en Berkeley).

Figura 20.3.6 Gran deformacin permanente de una columna reforzada en espiral del edificio del hospital Olive View. (Tomada de la colec-cin K. V. Steinbrugge, cortesa del Centro de Investigacin en Ingeniera Ssmica de la Uni-versidad de California en Berkeley).

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20786

basal dada por la ecuacin (20.3.1), donde se elige Ay de modo que corresponda al factor de ductilidad = 1, 1.5, 2, 4 y 6 de un sistema de 1GDL; se incluyen las distorsiones de entre-piso para el marco que se supone elstico lineal. Las demandas de distorsiones de entrepiso y su variacin con la altura para los sistemas inelsticos difieren de las demandas de los sistemas elsticos y dependen mucho del factor de ductilidad, una medida del grado de com-portamiento inelstico. Las distorsiones de entrepiso aumentan en los niveles superiores del marco elstico, donde se sabe que las contribuciones a la respuesta de los modos superiores son significativas (vea el captulo 19). A medida que el factor de ductilidad, , aumenta (es decir, la resistencia del marco disminuye, lo que implica un mayor grado de accin inelsti-ca), las distorsiones de entrepiso superiores decrecen y la distorsin ms grande se produce cerca de la base de la estructura. Esta tendencia tambin puede observarse en la figura 20.3.2.

Figura 20.3.5 Falla frgil de una columna de esquina en el edificio del hospital Olive View. (Tomada de la coleccin K. V. Steinbrugge, cortesa del Centro de Investigacin en Ingeniera Ssmica de la Universidad de California en Berkeley).

Figura 20.3.7 Variacin de las demandas de distorsin de entrepiso en marcos de 9 niveles, diseados para diferentes valores del factor de ductilidad de un sistema de 1GDL.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1G

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Niv

el

Distorsin de entrepiso, %

Elstico = 1 1.5 2 4 6

Seccin 20.4 Demandas de resistencia para sistemas de 1gDl y vgDl 787

20.4 DEMANDAS DE RESISTENCIA PARA SISTEMAS DE 1GDL Y VGDL

Qu resistencia a la cedencia cortante en la base se requiere en un edificio de varios niveles para mantener la demanda de ductilidad inducida por un sismo en cada entrepiso por debajo de un valor seleccionado? Para abordar esta pregunta se examinan las demandas de ductilidad por en-trepiso de un edificio, con su resistencia a la cedencia cortante en la base determinada a partir de la ecuacin (20.3.1) para el sistema de 1GDL correspondiente. Al definir la cedencia al cortante basal para un edificio de varios niveles como idntica a la del sistema de 1GDL correspondiente, las demandas de ductilidad calculadas permitirn la comparacin directa entre los dos sistemas y con el factor de ductilidad del sistema de 1GDL seleccionado para determinar Ay en la ecua-cin (20.3.1). Antes de presentar las demandas de ductilidad para el edificio de varios niveles, se observa que la demanda de ductilidad media impuesta por el conjunto de movimientos del terreno en el sistema de 1GDL correspondiente ser idntica al seleccionado (captulo 7).

Sin embargo, para los edificios de varios niveles, las demandas de ductilidad difieren del factor de ductilidad seleccionado para el sistema de 1GDL y varan con la altura. La figura 20.3.2 muestra los valores medios (para un conjunto de 15 movimientos del terreno) de los facto-res de ductilidad de entrepiso de dos marcos del edificio de 20 niveles (modelos viga-articulada y columna-articulada) con la resistencia cortante basal definida de acuerdo con la ecuacin (20.3.1) para = 8. Es claro que las demandas de ductilidad por entrepiso difieren de = 8 y no son cons-tantes a travs de la altura debido a la dinmica ms compleja existente en los sistemas de VGDL.

La demanda de ductilidad del primer entrepiso (a menudo, la ms grande en todos los niveles) aumenta con el periodo fundamental, T1 (o con el nmero de niveles), y puede exce-der el factor de ductilidad del sistema de 1GDL. Tambin se ve afectada por el mecanismo de articulacin plstica, debido a las diferencias entre los modelos viga-articulada y columna-articulada. Estas tendencias se muestran en la figura 20.4.1, donde la demanda de ductilidad media en el primer entrepiso de los edificios de 2, 5, 10, 20, 30 y 40 niveles de altura se pre-senta como una funcin del periodo fundamental T1 para = 2 y 8.

A partir de los resultados anteriores (figura 20.4.1) y de las observaciones relacionadas, es evidente que, a diferencia de los sistemas de 1GDL, la resistencia a la cedencia cortante basal determinada a partir de la ecuacin (20.3.1) no es suficiente para limitar las demandas

0 0.5 1 1.5 2 2.50

10

20

30

Perodo de vibracin fundamental T1, s

Dem

anda

de

duct

ilida

d de

l pri

mer

ent

repi

so

CA, = 2

VA, = 2

CA, = 8

VA, = 8

2 5 10 20 30 40Nmero de niveles

Figura 20.4.1 Demandas de ductilidad me-dias del primer entrepiso para los modelos viga-articulada (VA) y columna-articulada (CA) en los marcos de edificios con 2, 5, 10, 20, 30 y 40 niveles diseados para los factores de ducti-lidad de un sistema de 1GDL = 2 y 8. (Datos de Nassar y Krawinkler, 1991).

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20788

de ductilidad de entrepiso en un edificio de varios niveles por debajo del factor de ductilidad del sistema de 1GDL. Para lograr este objetivo de diseo es necesario aumentar para los sistemas de VGDL la resistencia a la cedencia cortante basal Vby de los sistemas de 1GDL. El factor de modificacin (Vby)VGL (Vby)1GDL, donde (Vby)VGL y (Vby)1GDL son las resistencias a la cedencia cortante basal de los sistemas de VGDL y 1GDL, respectivamente, vara entre 1 y 2.5 para los ejemplos considerados, aumenta con T1 (o nmero de niveles) y con el valor de , y tambin est influenciado por el mecanismo de articulacin plstica, que es ms grande para el modelo columna-articulada que para el de viga-articulada (figura 20.4.2).

PARTE B: PROCEDIMIENTOS DE ANLISIS APROXIMADO

20.5 MOTIVACIN Y CONCEPTO BSICO

En la actualidad, el anlisis riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal es una tarea pesada por varias razones. En primer lugar, debe seleccionarse un conjunto de movimientos del terreno compatibles con el espectro de diseo ssmico para el sitio. En segundo lugar, a pesar de que el poder computacional ha aumentado, el modelado inelstico sigue siendo un reto y el anlisis riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal sigue siendo exigente en trminos del clculo, en especial para los edificios con planta no simtrica (los cuales requieren un anlisis tridimensional para representar el acoplamiento entre los movimien-tos lateral y torsional) sometidos a dos componentes horizontales del movimiento del te-rreno. En tercer lugar, estos anlisis deben repetirse para varias excitaciones debido a que es necesario considerar la gran variabilidad de la demanda por los posibles movimientos del terreno y la variabilidad que existe entre los diferentes registros de la respuesta (vea la seccin 20.2.3). En cuarto lugar, el modelo estructural debe ser tan sofisticado como para representar un edificio en forma realista, sobre todo el deterioro de su resistencia ante los desplazamientos grandes (vea las secciones 20.2.1 y 20.2.2). En quinto lugar, el modelado estructural y los programas de computadora comerciales que analizan la misma estructura deben ser suficientemente robustos como para producir resultados idnticos para la respues-ta. Con ms investigacin y desarrollo de programas software, la mayora de los problemas

Figura 20.4.2 Factor de modificacin para obtener la resistencia a la cedencia cortante basal en marcos de varios nive-les, a partir de la resistencia a la cedencia cortante basal del sistema de 1GDL co-rrespondiente, para los modelos viga-arti-culada (VA) y columna-articulada (CA). (Datos de Nassar y Krawinkler, 1991).

0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

Perodo de vibracin fundamental T1, s

(Vby

) VG

L

(Vby

) GD

L

CA, = 2VA, = 2

CA, = 8

VA, = 8

2 5 10 20 30 40Nmero de niveles

Seccin 20.5 Motivacin y concepto bsico 789

anteriores debern resolverse con el tiempo y entonces el anlisis riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal podr ser comn en la prctica de la ingeniera estructural.

Sin embargo, puede ser poco razonable exigir este complicado procedimiento para cada edificio (sin importar cun simple sea) y a cada oficina de ingeniera estructural (sin importar lo pequea que sea). Por lo tanto, existe inters en desarrollar mtodos simplifica-dos que sean aproximados pero que tengan sus races en la teora de la dinmica estructural, como una alternativa al anlisis no lineal riguroso. Para ello, se utilizar la nocin de las fuer-zas ssmicas efectivas y sus componentes modales que se present en los captulos 12 y 13.

Las fuerzas ssmicas efectivas (ecuacin 13.1.2), que se repiten aqu por conveniencia, son

peff(t) = m ug(t) (20.5.1)La distribucin espacial de estas fuerzas en la estructura est definida por el vector s = m. Esta distribucin de fuerza puede expandirse como la sumatoria de las distribuciones de las fuerzas de inercia modales sn (seccin 13.1.2), la cual se repite aqu por conveniencia:

m =N

n=1

sn =N

n=1nm n (20.5.2)

donde

n =LnMn

Ln = Tnm Mn = Tnm n (20.5.3)

Entonces, las fuerzas ssmicas efectivas pueden expresarse como

peff(t) =N

n=1

peff,n(t) =N

n=1

snug(t) (20.5.4)

Las contribuciones del n-simo modo a pef(t) y s son

peff,n(t) = snug(t) sn = n m n (20.5.5)La expansin modal de la distribucin de la fuerza s se ilustra para un marco peri-

metral del edificio SAC de 9 niveles en Los ngeles. Los tres primeros perodos y modos del edificio que vibran a lo largo de un eje de simetra plano se muestran en la figura 20.5.1, donde se observa que los desplazamientos del terreno en el primer modo (o modo

Figura 20.5.1 Primeros tres perodos y mo-dos de vibracin natural del edificio SAC de 9 niveles en Los ngeles. (Tomados de Goel y Chopra, 2004).

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5Componente de forma modal

Niv

el

G

3

6

9

T1 = 2.27 s

T2 = 0.85 s

T3 = 0.49 s

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20790

fundamental) tienen todos la misma direccin, pero invierten su direccin en los modos superiores a medida que aumenta la altura del edificio. En la figura 20.5.2 se muestra la expansin modal de la distribucin s = m de las fuerzas ssmicas efectivas. Como se indic en la seccin 13.2, la direccin de la fuerza sjn al nivel del j-simo nivel est controlada por el signo algebraico de jn, el desplazamiento del j-simo nivel en el modo n. Por lo tanto, todas estas fuerzas para el primer modo actan en la misma direccin, pero para el segundo modo y los modos superiores cambian su direccin a medida que aumenta la altura del edificio. La contribucin del primer modo a la distribucin de fuerza s es ms grande y las contribuciones modales disminuyen progresivamente para los modos superiores.

A continuacin se describen dos procedimientos para el anlisis aproximado de edificios inelsticos usando la expansin modal de pef(t) y s: el anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada y el anlisis pushover modal. El procedimiento de anlisis de la historia de la res-puesta modal desacoplada no est diseado para su aplicacin prctica y se desarrolla slo con el fin de proporcionar una base para el procedimiento esttico no lineal. En el procedimiento de la respuesta modal desacoplada, la historia de la respuesta del edificio al pef,n(t), el componente del n-simo modo de la excitacin, se determina mediante un anlisis riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal de un sistema inelstico de 1GDL y la superposicin de estas respuestas mo-dales proporciona la respuesta total. En el procedimiento de anlisis pushover modal, la respues-ta mxima al pef,n(t) se determina mediante un anlisis esttico nolineal, y las respuestas modales mximas se combinan mediante las reglas de combinacin modal para estimar la respuesta total.

20.6 ANLISIS DE LA HISTORIA DE LA RESPUESTA MODAL DESACOPLADA

20.6.1 Sistemas elsticos lineales

En esta seccin se demuestra que el procedimiento del anlisis modal clsico para los siste-mas elsticos lineales, que se desarroll en las secciones 12.4 a 12.6 y 13.1, es equivalente a encontrar la respuesta de la estructura al pef,n(t) para cada n y superponer las respuestas para todas las n. La respuesta del sistema al pef,n(t) est por completo en el n-simo modo,

Figura 20.5.2 Expansin modal de la distribucin s = m de las fuerzas ssmicas efectivas.

m1

=

1.02m

1m

1m

1m

1m

1m

1m

1m

1.08m

s1

+

0.235m

0.385m

0.540m

0.698m

0.848m

0.987m

1.128m

1.264m

1.475m

s2

+

0.208m

0.315m

0.381m

0.395m

0.339m

0.213m

0.005m

0.284m

0.573m

s3

+

0.196m

0.251m

0.202m

0.062m

0.118m

0.250m

0.231m

0.033m

0.260m

s4

+

0.131m

0.117m

0.004m

0.123m

0.137m

0.013m

0.143m

0.116m

0.125m

s5

+

0.090m

0.039m

0.067m

0.088m

0.028m

0.107m

0.016m

0.105m

0.061m

Seccin 20.6 Anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada 791

sin ninguna contribucin de otros modos, lo que implica que los modos estn desacoplados. Recuerde que esta caracterstica importante de la expansin modal de la ecuacin (20.5.2) se demostr de manera analtica en la seccin 12.8.

Las ecuaciones que controlan la respuesta del sistema elstico lineal de VGDL al pef,n(t), definido por la ecuacin (20.5.5a), son

mu+ cu+ ku = snug(t) (20.6.1)

y los desplazamientos de nivel resultantes estn dados por

un(t) = nqn(t) (20.6.2)

Al sustituir la ecuacin (20.6.2) en la ecuacin (20.6.1) y al multiplicar antes esta ltima por Tn se llega a la ecuacin que controla la coordenada modal qn:

qn + 2nnqn +2nqn = nug(t) (20.6.3)

en la que n es la frecuencia natural y n es la fraccin de amortiguamiento, ambas para el n-simo modo, y n est definido por la ecuacin (20.5.3). Como se demostr en la seccin 13.1, la solucin qn(t) de la ecuacin (20.6.3) est dada por

qn(t) = nDn(t) (20.6.4)

donde Dn(t) es la respuesta de deformacin del n-simo modo del sistema elstico lineal de 1GDL, un sistema de 1GDL con las propiedades de vibracin (frecuencia natural n, pero-do natural Tn = 2/n, y fraccin de amortiguamiento n) del n-simo modo del sistema de VGDL, sometido a g(t). Esta respuesta est controlada por

Dn + 2nn Dn +2nDn = ug(t) (20.6.5)

Si se sustituye la ecuacin (20.6.4) en la ecuacin (20.6.2) resultan los desplazamien-tos laterales de los niveles:

un(t) = n nDn(t) (20.6.6)

y la distorsin de entrepiso en el j-simo nivel es la diferencia entre los desplazamientos de los niveles j-simo y (j - 1)-simo:

jn(t) = n(jn j1,n)Dn(t) (20.6.7)

Las ecuaciones (20.6.6) y (20.6.7) representan la respuesta del sistema de VGDL al pef,n(t), y la superposicin de las respuestas para todas las n proporciona la respuesta del sistema debida a la excitacin total pef(t):

r(t) =N

n=1

rn(t) (20.6.8)

ste es el procedimiento de la historia de la respuesta modal desacoplada para un anlisis exacto de los sistemas elsticos lineales, que es idntico al anlisis modal clsico riguroso sobre la historia de la respuesta. La ecuacin (20.6.3) es la ecuacin estndar que controla la coordenada modal qn(t) y es idntica a la ecuacin (13.1.7). Las ecuaciones (20.6.6) y (20.6.7) definen la contribucin del n-simo modo a la respuesta; stas son idn-ticas a las ecuaciones (13.1.10) y (13.2.6). La ecuacin (20.6.8) combina las contribuciones a la respuesta debidas a los n trminos de excitacin en la expansin modal de la ecuacin (20.5.4), y es idntica a las ecuaciones (13.1.15) y (13.1.16). Sin embargo, estas ecuacio-nes estndar se han obtenido ahora de una manera poco convencional. En contraste con

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20792

la deduccin clsica presentada en las secciones 12.4 y 13.1.3 a 13.1.5, se ha utilizado la expansin modal de la distribucin espacial de las fuerzas ssmicas efectivas. Esta interpre-tacin del anlisis modal proporcionar una base racional para el procedimiento del anlisis pushover modal que se desarrolla ms adelante para los sistemas inelsticos.

20.6.2 Sistemas inelsticos

Aunque el anlisis modal no es vlido para un sistema inelstico, su respuesta dinmica puede analizarse de manera til en trminos de los modos de vibracin natural del sistema lineal co-rrespondiente. Cada elemento estructural de este sistema lineal se define de manera que tenga la misma rigidez que su rigidez inicial en el sistema inelstico; ambos sistemas tienen la misma masa y el mismo amortiguamiento. Por lo tanto, los periodos y modos de vibracin natural del sistema lineal correspondiente son iguales a las propiedades de vibracin del sistema inelstico sometido a una pequea oscilacin, las cuales se conocen como los perodos y los modos del sistema inelstico. As, las ecuaciones (20.5.2) a (20.5.5) tambin son vlidas para los sistemas inelsticos, donde n representa ahora los modos del sistema lineal correspondiente.

Las ecuaciones que controlan la respuesta del sistema inelstico de VGDL al pef,n(t), definido por la ecuacin (20.5.5a), son

mu+ cu+ fs(u) = snug(t) (20.6.9)

La solucin de la ecuacin (20.6.9) ya no est descrita por la ecuacin (20.6.2), porque los modos distintos al n-simo modo tambin contribuirn a la respuesta del sistema, lo que implica que los modos de vibracin ahora estn acoplados, por lo que los desplazamientos de nivel estn dados por la primera parte de la ecuacin (20.6.10):

un(t) =N

r=1

rqr (t) nqn(t) (20.6.10)

Sin embargo, como en el caso de los sistemas lineales qr(t) = 0 para todos los modos dis-tintos al n-simo modo, es razonable esperar que qr(t) pueda ser pequea para los sistemas inelsticos, lo que implica que los modos elsticos estn, a lo sumo, dbilmente acoplados.

La expectativa mencionada con anterioridad se confirma en forma numrica mediante la respuesta del edificio SAC de 9 niveles en Los ngeles a un movimiento del terreno tan intenso como para causar una cedencia significativa de la estructura. Su respuesta al vector de fuerza pef,n(t) se determin mediante un anlisis riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal, la solucin de la ecuacin (20.6.9) por medio de los mtodos numricos descritos en el captulo 16, y los desplazamientos de nivel resultantes se descompusieron en sus componentes modales utilizando el procedimiento de la seccin 10.7, aplicado en cada instante de tiempo.

En la figura 20.6.1 se muestra que el desplazamiento del techo debido al vector de fuerza pef,n(t) se produce principalmente por el n-simo modo, pero que los otros modos tambin contribuyen a la respuesta. Los modos segundo, tercero y cuarto empiezan a res-ponder a la excitacin pef,1(t) en el instante en el que la estructura comienza a ceder (figura 20.6.1a). Del mismo modo, los modos primero, tercero y cuarto empiezan a responder a la excitacin pef,2(t) en el instante en el que la estructura comienza a ceder (figura 20.6.1b).

Las comillas se incluyen para enfatizar que el concepto de perodos y modos de vibracin natural no es estrictamente vlido para los sistemas inelsticos. En lo subsecuente, estas comillas se descartarn, aunque siem-pre estarn implcitas en el contexto de los sistemas inelsticos.

Seccin 20.6 Anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada 793

Aunque los modos de vibracin natural ya no estn desacoplados si el sistema respon-de en el intervalo inelstico, el acoplamiento modal es dbil. En la respuesta estructural de-bida a pef,1(t), las contribuciones al desplazamiento del techo de los modos segundo, tercero y cuarto son slo de 6, 3 y 2%, respectivamente, de la respuesta del primer modo (figura 20.6.1a). En la respuesta estructural a pef,2(t), las contribuciones al desplazamiento del techo de los modos primero, tercero y cuarto son de 25, 13 y 2%, respectivamente, de la respuesta del segundo modo (figura 20.6.1b). En la respuesta estructural a pef,3(t), las contribuciones al desplazamiento del techo de cada uno de los modos primero, segundo y cuarto son de menos del 1% de la respuesta del tercer modo (figura 20.6.1c). En la respuesta estructural a pef,4(t), las contribuciones al desplazamiento del techo de cada uno de los modos primero, segundo y tercero son menores al 1% de la respuesta del cuarto modo (figura 20.6.1d).

Este acoplamiento dbil de los modos implica que la respuesta estructural debida a la excitacin pef,n(t) puede aproximarse mediante la segunda mitad de la ecuacin (20.6.10). Al sustituir esta aproximacin en la ecuacin (20.6.9) y al multiplicar antes por Tn da

qn + 2nnqn +FsnMn

= nug(t) (20.6.11)

Figura 20.6.1 Descomposicin modal del desplazamiento del techo debido a pef,n(t) = -sng(t), n = 1, 2, 3 y 4, donde g(t) = movimiento del terreno LA25: (a) pef,1 = -s1 LA25; (b) pef,2 = -s2 LA25; (c) pef,3 = -s3 LA25; (d) pef,4 = -s4 LA25.

100

0

100(a)

Modo 1

73.962

100

0

100Modo 2

4.428

100

0

100

Des

plaz

amie

nto

del t

echo

, cm

Modo 3

2.393

0 5 10 15100

0

100

Tiempo, s

Modo 4

1.151

20

0

20(b)

Modo 1

4.107

20

0

20Modo 2

16.516

20

0

20Modo 3

2.097

0 5 10 1520

0

20

Tiempo, s

Modo 4

0.387

5

0

5(c)

Modo 1

0.009

5

0

5Modo 2

0.027

5

0

5Modo 33.020

0 5 10 155

0

5

Tiempo, s

Modo 4

0.008

2

0

2(d)

Modo 1

0.007

2

0

2Modo 2

0.001

2

0

2Modo 3

0.006

0 5 10 152

0

2

Tiempo, s

Modo 4

0.608

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20794

donde Fsn es una funcin histertica no lineal de la n-sima coordenada modal qn:

Fsn = Fsn(qn) = Tn fs(qn) (20.6.12)

Si las contribuciones ms pequeas de los otros modos no se hubieran despreciado, Fsn dependera de todas las coordenadas modales y el conjunto de ecuaciones definido por la ecuacin (20.6.11) para n = 1, 2, ..., N estara acoplado debido a la cedencia de la estructura; por lo tanto, no ofrece ninguna ventaja sobre la ecuacin (20.6.9).Cul es una buena manera de expresar la solucin de la ecuacin (20.6.11) para los sis-temas inelsticos? Para responder a esta pregunta se resalta la similitud entre la ecuacin (20.6.11) y su contraparte, la ecuacin (20.6.3) para los sistemas elsticos lineales, y que la solucin para esta ltima est relacionada por la ecuacin (20.6.4) con la respuesta Dn(t) del n-simo modo del sistema elstico de 1GDL. Del mismo modo, la solucin de la primera ecuacin puede expresarse como la ecuacin (20.6.4), donde Dn(t) est controlada ahora por

Dn + 2nn Dn +FsnLn= ug(t) (20.6.13)

Dn(t) puede interpretarse como la respuesta de deformacin del n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL, un sistema de 1GDL definido por (1) las propiedades de vibracin de una pequea oscilacin (la frecuencia natural n, perodo natural Tn, y la fraccin de amortigua-miento n) del n-simo modo del sistema de VGDL; y (2) la relacin fuerza-deformacin (Fsn/Ln - Dn). La introduccin del n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL permiti la exten-sin a los sistemas inelsticos de los conceptos bien establecidos para los sistemas elsticos.

La solucin de la ecuacin no lineal (20.6.13) proporciona Dn(t), que se sustituye en las ecuaciones (20.6.6) y (20.6.7) para obtener los desplazamientos de nivel y las distorsio-nes de entrepiso. stos se aproximan a la respuesta del sistema inelstico de VGDL a pef,n(t), la contribucin del n-simo modo a pef(t). La superposicin de las respuestas a pef,n(t) (n = 1, 2, ..., N) de acuerdo con la ecuacin (20.6.8) proporciona la respuesta total a pef(t). ste es el procedimiento de la historia de la respuesta modal desacoplada para el anlisis aproximado de los sistemas inelsticos. Cuando se especifica para los sistemas elsticos lineales, como se mencion en la seccin 20.6.1, se vuelve idntico al anlisis riguroso modal clsico sobre la historia de la respuesta no lineal, un procedimiento de anlisis exacto.

El procedimiento de anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada para sistemas inelsticos se basa en dos aproximaciones, que pueden identificarse al comparar las ecuaciones clave en el mtodo para sistemas estructurales elsticos e inelsticos. Las ecuaciones (20.6.4), (20.6.6) y (20.6.7) se aplican a ambos sistemas; las ecuaciones (20.6.3) y (20.6.5) difieren de las ecuaciones (20.6.11) y (20.6.13) slo en la fuerza de resistencia; las ecuaciones (20.6.2) y (20.6.8) son exactas para los sistemas elsticos pero slo aproxi-madas para los sistemas inelsticos. Si se analiza en primer lugar la ecuacin (20.6.8), la superposicin de respuestas que implica esta ecuacin es estrictamente vlida slo para los sistemas elsticos lineales; sin embargo, se ha demostrado que es aproximadamente vlida para los sistemas inelsticos, un resultado que no se demuestra aqu porque la intencin en el desarrollo del procedimiento se limita a justificar la aproximacin del desacoplamien-to modal necesario para el anlisis pushover modal. Como resulta evidente a partir de la ecuacin (20.6.10), la segunda aproximacin se obtiene al despreciar el acoplamiento de las coordenadas modales, lo que permiti calcular la respuesta de un sistema inelstico de VGDL a pef,n(t) a partir de la respuesta de un sistema de 1GDL. De acuerdo con los resulta-dos numricos de la figura 20.6.1, esta aproximacin es razonable slo porque la excitacin

Seccin 20.6 Anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada 795

es pef,n(t), la contribucin del n-simo modo a la excitacin total pef(t). No sera vlida para una excitacin con una distribucin de fuerza lateral diferente de sn (por ejemplo, la excitacin total pef(t)), lo cual indica que la expansin modal de la ecuacin (20.5.4) es un concepto clave detrs del anlisis en la historia de la respuesta modal desacoplada.

Para probar la aproximacin del desacoplamiento modal en el anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada, se determin la respuesta del edificio SAC de 9 niveles en Los ngeles a pef,n(t) = -sng(t), donde g(t) es el mismo movimiento del terreno seleccio-nado con anterioridad (figura 20.6.1); con propsitos de comparacin, el clculo se realiz utilizando dos mtodos: (1) el anlisis riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal mediante la resolucin de las ecuaciones gobernantes acopladas (ecuacin 20.6.9) y (2) el procedimiento aproximado de anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada. Tal comparacin para el desplazamiento de techo y la distorsin de entrepiso superior se presenta en las figuras 20.6.2 y 20.6.3, respectivamente. Los errores en los resultados de

100

0

100ARH no lineal

n = 1

71.833

30

0

30 n = 2

17.985

5

0

5

Des

plaz

amie

nto

del t

echo

, cm

n = 3

2.842

0 5 10 15

2

0

2

Tiempo, s

n = 4

0.785

100

0

100AHRMD

n = 1

75.990

30

0

30n = 2

17.810

5

0

5 n = 33.010

0 5 10 152

0

2

Tiempo, s

n = 4

0.601

Figura 20.6.2 Comparacin del desplazamiento aproximado del techo a partir del anlisis de la histo-ria de la respuesta modal desacoplada (AHRMD) y el resultado exacto del anlisis riguroso en la historia (ARH) no lineal, debido a pef,n(t) = -sng(t), n = 1, 2, 3 y 4, donde g(t) = movimiento del terreno LA25.

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20796

la historia de la respuesta modal desacoplada son ms grandes en la distorsin que en el desplazamiento, pero los errores en cualquiera de las cantidades de respuesta parecen su-ficientemente pequeos como para usar la aproximacin del desacoplamiento modal en el desarrollo de mtodos aproximados para estimar la demanda ssmica en los edificios.

El procedimiento de anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada se basa en la segunda mitad de la ecuacin (20.6.10), restringiendo los desplazamientos de nivel debidos a pef,n(t) a ser proporcionales al n-simo modo, que como se dijo anteriormente es una aproxima-cin para los sistemas inelsticos. Esta aproximacin se evita en el procedimiento de anlisis pushover modal, que se presenta a continuacin, pero es necesario introducir una aproximacin de la combinacin modal, como se ver ms adelante. Para proporcionar un contexto adecuado, el anlisis pushover modal se presenta primero para los sistemas elsticos lineales.

Figura 20.6.3 Comparacin de la distorsin de entrepiso aproximada del ltimo nivel a partir del anlisis en la historia de la respuesta modal desacoplada (AHRMD) y el resultado exacto del an-lisis riguroso (ARH) no lineal, debido a pef,n(t) = -sng(t), n = 1, 2, 3 y 4, donde g(t) = movimiento del terreno LA25.

10

0

10ARH no lineal

n = 1

5.073

15

0

15n = 2

9.634

5

0

5

Dis

tors

in

de e

ntre

piso

sup

erio

r, cm

n = 33.490

0 5 10 152

0

2

Tiempo, s

n = 4

1.280

10

0

10AHRMD

n = 1

6.097

15

0

15n = 2

8.651

5

0

5n = 33.532

0 5 10 152

0

2

Tiempo, s

n = 4

1.220

Seccin 20.7 Anlisis pushover modal 797

20.7 ANLISIS PUSHOVER MODAL

20.7.1 Sistemas elsticos lineales

El anlisis del espectro de respuesta (secciones 13.7 y 13.8), que es un procedimiento de anlisis dinmico, puede interpretarse de dos maneras: como un anlisis esttico o como un anlisis pushover. En la seccin 13.8.1 se demostr que el anlisis esttico del edificio sometido a las fuerzas laterales

fn = sn An = nm n An (20.7.1)proporcionar el mismo valor de rn, el valor mximo de la respuesta del n-simo modo rn(t), que en la ecuacin (13.7.1), donde An = A(Tn, n), la ordenada del espectro de pseudo-aceleracin correspondiente al perodo de vibracin natural Tn y a la fraccin de amortigua-miento n del n-simo modo.

Al mismo tiempo, esta respuesta modal mxima puede obtenerse por medio de un anlisis esttico lineal de la estructura sometida a fuerzas laterales que aumentan progresi-vamente con una distribucin que no vara al cambiar la altura:

s*n =m n (20.7.2)empujando a la estructura hasta el desplazamiento de techo, urn (el subndice r indica techo o roof), el valor mximo del desplazamiento del techo debido al n-simo modo que, a partir de la ecuacin (20.6.6), es

urn = nrn Dn (20.7.3)donde Dn D(Tn, n) es la ordenada del espectro de respuesta de deformacin correspon-diente al perodo Tn y a la fraccin de amortiguamiento n del n-simo modo. En la figura 20.7.1 se muestra la distribucin de fuerza lateral s

*n para los tres primeros modos del edifi-

cio SAC de 9 niveles en Los ngeles. Sin embargo, para los factores de escalamiento, n, estas distribuciones son idnticas a las de la figura 20.5.2.

Las respuestas modales mximas, rn, cada una determinada mediante un anlisis pus-hover, pueden combinarse de acuerdo con las reglas de combinacin modal de las ecuacio-nes (13.7.3) o (13.7.4), segn corresponda, para obtener una estimacin del valor mximo r de la respuesta total. En forma equivalente al procedimiento de anlisis del espectro de

s*1

0.487

0.796

1.12

1.44

1.75

2.04

2.33

2.61

3.05

s*2

1.1

1.67

2.03

2.1

1.8

1.13

0.0272

1.51

3.05

s*3

2.31

2.94

2.37

0.728

1.38

2.93

2.72

0.39

3.05

Figura 20.7.1 Distribuciones de fuerza lateral s*n =m n , n = 1, 2, y 3, para los tres primeros modos del edificio SAC de 9 niveles en Los nge-les. (Tomadas de Goel y Chopra, 2004).

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20798

respuesta estndar descrito en las secciones 13.7 y 13.8, el procedimiento de anlisis pus-hover modal no ofrece ninguna ventaja para los sistemas elsticos lineales, pero esta inter-pretacin del anlisis del espectro de respuesta permite extender el anlisis pushover modal a los sistemas inelsticos. Antes de hacerlo, tenga en cuenta que la rn determinada mediante el anlisis pushover tambin puede interpretarse como la respuesta mxima de un sistema elstico lineal a pef,n(t), el componente del n-simo modo de las fuerzas ssmicas efectivas. Esta interpretacin es vlida porque, como se demostr en la seccin 12.8, el sistema res-ponde slo en su n-simo modo cuando se somete a esta excitacin.

20.7.2 Sistemas inelsticos

La respuesta mxima rn del sistema inelstico a pef,n(t) tambin se determina mediante un anlisis pushover, que ahora es un anlisis esttico no lineal en vez de un anlisis esttico lineal, de la es-tructura sometida a fuerzas laterales distribuidas en la altura del edificio de acuerdo con s*n (ecua-cin 20.7.2), donde las fuerzas aumentan para empujar la estructura hasta el desplazamiento de techo urn. Este valor del desplazamiento del techo tambin se determina a partir de la ecuacin (20.7.3), pero Dn es ahora la deformacin mxima del n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL (en vez del n-simo modo del sistema elstico de 1GDL), la cual se determina al resolver la ecuacin (20.6.13) para Dn(t). En este desplazamiento de techo, los resultados del anlisis est-tico no lineal proporcionan una estimacin del valor mximo rn de la cantidad de respuesta rn(t): desplazamientos de nivel, distorsiones de entrepiso y otras cantidades de deformacin.

El anlisis esttico no lineal usando la distribucin de fuerza s*n conduce a la curva de capacidad del n-simo modo, una grfica de la fuerza cortante basal Vbn contra el desplaza-miento del techo urn. A partir de la curva de capacidad del n-simo modo se obtiene la curva de fuerza-deformacin (Fsn/Ln - Dn) para el n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL, que se requiere en la ecuacin (20.6.13). Las fuerzas y los desplazamientos en los dos con-juntos de curvas se relacionan de la siguiente manera (vea la deduccin 20.1):

FsnLn=

VbnM*n

Dn =urn

nrn (20.7.4)

donde M*n = Ln n es la masa modal efectiva (seccin 13.2.5).En la figura 20.7.2 se muestra la curva de capacidad del n-simo modo y su idealiza-

cin bilineal; en el punto de cedencia la fuerza cortante basal es Vbny y el desplazamiento del techo es urny. Los dos estn relacionados a travs de (deduccin 20.2)

FsnyLn

= 2nDny (20.7.5)

Tal como deba ser, la pendiente inicial de la curva Fsn/Ln Dn es igual a 2n, lo que implica su coincidencia con la relacin fuerza-deformacin para el sistema lineal en la ecuacin (20.6.5). Al conocer Fsny/Ln y Dny a partir la curva de capacidad y la ecuacin (20.7.4), el perodo de vi-bracin elstica inicial Tn del n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL se calcula a partir de

Tn = 2piLnDnyFsny

1/2

(20.7.6)

Este valor de Tn, que puede diferir del periodo del sistema lineal correspondiente deter-minado al resolver el problema de valor caracterstico (seccin 10.2), debe utilizarse en la ecuacin (20.6.13).

Seccin 20.7 Anlisis pushover modal 799

El valor rn de la respuesta determinado mediante el anlisis pushover es una estimacin del valor mximo de la respuesta rn(t) de la estructura inelstica a pef,n(t), pero no es idntica a otra estimacin determinada mediante el anlisis de la historia de la respuesta modal des-acoplada. Como se mencion anteriormente, la rn determinada mediante el anlisis pushover de un sistema elstico lineal es el valor mximo exacto de rn(t), la contribucin del n-simo modo a la respuesta r(t). Por lo tanto, se hace referencia a rn como la respuesta modal mxima incluso en el caso de los sistemas inelsticos. Sin embargo, para los sistemas inelsticos, las dos estimaciones (modal desacoplada y pushover modal) de la respuesta modal mxima son tanto aproximadas como diferentes entre s; la nica excepcin es el desplazamiento del techo, puesto que se hace coincidir de manera deliberada en los dos anlisis. Las dos estimaciones difieren porque los anlisis subyacentes implican diferentes supuestos. El anlisis modal des-acoplado se basa en la aproximacin contenida en la segunda mitad de la ecuacin (20.6.10), que se evita en el anlisis pushover modal porque los desplazamientos de nivel, las distorsio-nes de entrepiso y las otras cantidades de deformacin se determinan mediante un anlisis esttico no lineal utilizando la distribucin de fuerza s*n. Como resultado, los desplazamientos de nivel del sistema inelstico ya no son proporcionales a la forma del n-simo modo, en contraste con la segunda mitad de la ecuacin (20.6.10). En este sentido, el procedimiento pushover modal representa de mejor manera el comportamiento no lineal de una estructura que el anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada.

Sin embargo, el procedimiento pushover modal contiene una fuente diferente de aproximacin, que no existe en el anlisis modal desacoplado. Las respuestas modales mximas rn, cada una determinada mediante un anlisis esttico nolineal, se combinan por medio de una regla de combinacin modal, al igual que en el anlisis del espectro de res-puesta de los sistemas elsticos lineales. Esta aplicacin de las reglas de combinacin mo-dal en los sistemas inelsticos carece de una base terica rigurosa, pero parece razonable, porque los modos slo estn dbilmente acoplados.

20.7.3 Resumen

Las demandas de deformacin ssmica (los desplazamientos de nivel, las distorsiones de entre-piso y las rotaciones de las articulaciones plsticas) para un edificio de varios niveles con planta

Figura 20.7.2 (a) Una curva de capacidad del n-simo modo y su idealizacin bilineal; (b) rela-cin fuerza-deformacin para el n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL.

(a)

urn

Vbn

urny

Vbny

Real

Idealizado

1k

n

1

nk

n

(b)

Dn

Fsn

/ L

n

Dny

= urny

/ n

rn

Vbny

/ M*n

1

n2

1 nn2

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20800

simtrica sometido a un movimiento ssmico del terreno a lo largo de un eje de simetra pueden estimarse mediante el procedimiento pushover modal, cuyos pasos se resumen a continuacin:

1. Calcule las frecuencias, n, y los modos, n, naturales para la vibracin elstica lineal del edificio (figura 20.5.1).

2. Para el n-simo modo, desarrolle la curva de capacidad del cortante basal contra el desplazamiento del techo, Vbn-urn, mediante el anlisis esttico no lineal del edificio usando la distribucin de fuerza lateral, s*n (ecuacin 20.7.2 y figura 20.7.1). Las cargas iniciales de gravedad (muertas y vivas) se aplican antes que las fuerzas laterales, provocando el desplazamiento lateral del techo urg.

3. Convierta la curva de capacidad Vbn-urn en la relacin fuerza-deformacin, Fsn/Ln-Dn, para el n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL, utilizando la ecuacin (20.7.4).

4. Idealice la relacin fuerza-deformacin para el n-simo modo del sistema de 1GDL como una curva bilineal o trilineal, segn sea adecuado, o mediante idealizaciones ms sofisticadas. A partir de esta curva de carga inicial, defina las ramas de descarga y carga apropiadas para el sistema estructural y el material.

5. Calcule la deformacin mxima Dn del n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL, definido por la relacin fuerza-deformacin histertica que se desarroll en el paso 4 y la fraccin de amortiguamiento n. Calcule el perodo de vibracin elstica inicial (ecuacin 20.7.6) y estime la fraccin de amortiguamiento (captulo 11). Para este sistema de 1GDL, Dn se determina por el anlisis riguroso no lineal (es decir, mediante la resolucin de la ecuacin 20.6.13).

6. Calcule el desplazamiento mximo urn del techo, asociado con el n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL, a partir de la ecuacin (20.7.3).

7. De acuerdo con la base de datos del anlisis pushover (punto 2), extraiga los valores de las respuestas deseadas rn+g debidos a los efectos combinados de la gravedad y las cargas laterales del desplazamiento de techo iguales a urn + urg.

8. Repita los pasos 3 a 7 para tantos modos como sea necesario a fin de obtener una precisin suficiente.

9. Calcule la respuesta dinmica debida al n-simo modo: rn = rn+g - rg, donde rg es la contribucin de las cargas de gravedad.

10. Determine la respuesta dinmica total rd mediante la combinacin de las respuestas modales mximas utilizando una regla de combinacin modal adecuada (seccin 13.8).

11. Determine la demanda ssmica total mediante la combinacin de la respuesta inicial debida a las cargas de gravedad y la respuesta dinmica mxima:

r mx(rg rd) (207.7.)

Rotaciones de articulaciones plsticas y fuerzas de los miembros. Los desplazamientos de nivel y las distorsiones de entrepiso totales se estiman mediante la com-binacin de los valores obtenidos a partir del anlisis de las cargas de gravedad y el anlisis pushover modal (pasos 10 y 11). Este procedimiento tambin puede utilizarse para deter-minar otras cantidades de deformacin, como las rotaciones de las articulaciones plsticas. Al mismo tiempo, es posible obtener una estimacin mejorada mediante el clculo de las rotaciones de las articulaciones plsticas a partir de las distorsiones de entrepiso totales usando un procedimiento publicado (Gupta y Krawinkler, 1999).

Como se resumi con anterioridad, el procedimiento del anlisis pushover modal tambin puede usarse para estimar las fuerzas internas en los miembros estructurales que permanecen dentro de su intervalo elstico lineal, pero no en aquellos que se deforman en

Seccin 20.7 Anlisis pushover modal 801

el intervalo inelstico. En este ltimo caso, las fuerzas en los miembros se estiman a partir de las deformaciones totales de los miembros (determinadas en el paso 11 del procedimien-to pushover modal). Los investigadores han desarrollado procedimientos para calcular las fuerzas en los miembros, los cuales no se incluyen aqu.

Extensin del anlisis pushover modal. El procedimiento de anlisis pus-hover modal, que en las secciones anteriores estuvo restringido a los edificios de planta simtrica, se ha extendido a los edificios de planta asimtrica, los cuales responden en movimientos acoplados lateral-torsional durante los sismos. Esta extensin se basa en el de-sarrollo anterior de los procedimientos modales riguroso y del espectro de respuesta para el anlisis lineal de edificios con planta asimtrica (secciones 13.3 y 13.9). La distribucin de fuerza s*n utilizada en el anlisis pushover de cada modo incluye ahora dos fuerzas latera-les y un par de torsin en cada nivel, y las demandas modales se combinan mediante la regla CQC, en vez de la regla SRSS, para obtener una estimacin de la demanda ssmica total.

Deduccin 20.1

La ecuacin (20.7.4b), que relaciona los desplazamientos del techo urn del sistema de VGDL en la curva de capacidad modal con la deformacin Dn del sistema de 1GDL, resulta evidente a partir de la ecuacin (20.7.3); mientras que la ecuacin (20.7.4a), que relaciona las fuerzas en los dos sistemas, puede deducirse de la siguiente manera: en cualquier etapa del procedimiento esttico no lineal, las fuerzas laterales estn dadas por la ecuacin (20.7.2) multiplicadas por un factor de escalamiento; por ejemplo, : fsn = mn. Al sustituir esta fsn en la ecuacin (20.6.12) y en la ecuacin para la fuerza cortante basal, Vbn = 1Tfsn, donde 1 es un vector con todos los elementos iguales a la unidad, y al utilizar las ecuaciones (20.5.3b y c) se llega a

Fsn = Mn Vbn = Ln (a)As

FsnMn

=VbnLn

(b)

Al dividir ambos lados de la ecuacin (b) entre n, definida en la ecuacin (20.5.3a), se obtiene la ecuacin (20.7.4a).

Deduccin 20.2

Considere las fuerzas laterales fsny = ymn que causan una fuerza cortante basal igual a su valor de cedencia Vbny. De acuerdo con estas fuerzas laterales, la ecuacin (20.6.12) da

Fsny = yMn (a)

Los desplazamientos estticos resultantes ustny satisfacen

kustny = ym n (b)Si se resuelven estas ecuaciones y se usa la ecuacin (10.2.4) resulta

uny = k1(ym n) =y

2n n (c)

Al igualar las dos expresiones para el desplazamiento del techo, una a partir de la ecuacin (20.7.3) y otra de la ecuacin (c), se obtiene

nrn Dny =y

2nrn (d)

Si se igualan las dos expresiones para y, una a partir de la ecuacin (d) y otra de la ecuacin (a), y se utiliza la ecuacin (20.5.3a), resulta la ecuacin (20.7.5).

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20802

20.8 EVALUACIN DEL ANLISIS PUSHOVER MODAL

La respuesta dinmica de cada sistema estructural a cada uno de los 20 movimientos del terreno se determin mediante dos procedimientos: el anlisis riguroso y el anlisis pushover modal, no lineales. El valor mximo exacto de la respuesta estructural o la demanda r, determinada por el anlisis riguroso no lineal, se indica como rNL-AHR y el valor aproximado mediante el pushover modal como rAPM. La respuesta de cada edificio tambin se calcul bajo el supuesto de que la es-tructura es bastante fuerte como para permanecer elstica. Para los sistemas elsticos, el anlisis no lineal de la historia de la respuesta se especifica como el anlisis riguroso lineal y el pushover modal se reduce al anlisis del espectro de respuesta, por lo que estas respuestas se indican como rAHR y rAER. En esta seccin se presentan las medianas de las respuestas ssmicas o demandas de edificios de 9 y 20 niveles. Se llevaron a cabo los procedimientos del anlisis del espectro de respuesta y el pushover modal, que incluyen un nmero variable de modos: uno, dos o tres modos para los edificios de 9 niveles y uno, tres o cinco modos para los edificios de 20 niveles.

20.8.1 Curvas de capacidad modales y desplazamientos de techo

En las figuras 20.8.1 a 20.8.3 se muestran las curvas de capacidad para el primero, segundo y tercer modos, respectivamente, y se identifican los desplazamientos modales del techo debido a cada uno de los 20 movimientos del terreno, as como su mediana; estos desplazamientos del techo se determinaron mediante el procedimiento pushover modal (vea los pasos 5 y 6 en el re-sumen del anlisis presentado en la seccin 20.7.3). En la grfica del primer modo se excluyen los desplazamientos de techo debidos a los movimientos del terreno que provocaron el colapso

Figura 20.8.1 Curvas de capacidad del primer modo para seis edificios SAC; se identifica el desplaza-miento del techo debido a cada uno de los 20 movimientos del terreno, y se indica el valor de la mediana.

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

Cor

tant

e ba

sal/p

eso

Boston

9 niveles

Med

iana

= 0

.313

0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

Cor

tant

e ba

sal/p

eso

20 niveles

Med

iana

= 0

.15

0 1 2 3 4 5

Seattle

Med

iana

= 1

.86

0 0.5 1 1.5 2 2.5Desplazamiento del techo/altura, %

Med

iana

= 0

.861

0 1 2 3 4 5 6

Los ngeles

Med

iana

= 2

.82

0 1 2 3 4

Med

iana

= 1

.54

Seccin 20.8 Evaluacin del anlisis pushover modal 803

Figura 20.8.2 Curvas de capacidad del segundo modo para seis edificios SAC; se identifica el desplazamiento del techo debido a cada uno de los 20 movimientos del terreno, y se indica el valor de la mediana.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

Cor

tant

e ba

sal/p

eso

Boston

9 nivelesM

edia

na =

0.1

22

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

Cor

tant

e ba

sal/p

eso

20 niveles

Med

iana

= 0

.073

0 0.5 1 1.5 2

Seattle

Med

iana

= 0

.495

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Desplazamiento del techo/altura, %

Med

iana

= 0

.322

0 0.5 1 1.5 2

Los ngeles

Med

iana

= 0

.452

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Med

iana

= 0

.405

Figura 20.8.3 Curvas de capacidad del tercer modo para seis edificios SAC; se identifica el desplazamiento del techo debido a cada uno de los 20 movimientos del terreno, y se indica el valor de la mediana.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

Corta

nte

basa

l/pes

o

Boston

9 niveles

Med

iana

= 0

.045

3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

Corta

nte

basa

l/pes

o

20 niveles

Med

iana

= 0

.029

8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Seattle

Med

iana

= 0

.129

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Desplazamiento del techo/altura, %

Med

iana

= 0

.121

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Los ngelesM

edia

na =

0.1

01

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Med

iana

= 0

.116

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20804

del sistema de 1GDL: las excitaciones uno, tres y seis en el caso de los edificios de Seattle con 9 niveles y Los ngeles con 9 y 20 niveles. Las figuras 20.8.1 a 20.8.3 permiten las siguientes observaciones: los edificios de Boston siguen siendo elsticos para todos los modos durante los movimientos del terreno, y su desplazamiento medio del techo est muy por debajo del des-plazamiento de cedencia. Existen varios movimientos del terreno que conducen al edificio de Seattle con 9 niveles muy por encima del lmite elstico en los dos primeros modos, pero no en el tercer modo. La mediana del desplazamiento es muy superior al desplazamiento de cedencia para el primer modo, pero slo ligeramente superior para el segundo modo. Varios movimien-tos del terreno conducen al edificio de Seattle con 20 niveles mucho ms all del desplazamien-to de cedencia en los tres primeros modos; sin embargo, la mediana del desplazamiento supera por mucho al desplazamiento de cedencia slo para el segundo modo. Los movimientos muy intensos de Los ngeles, que incluyen varios movimientos del terreno cerca de la falla, condu-cen a los edificios de Los ngeles ms all del desplazamiento de cedencia en los dos primeros modos, incluso la mediana del desplazamiento supera al desplazamiento de cedencia, aunque ms en el primer modo que en el segundo. La impresin general es que algunas excitaciones deforman los edificios de Seattle y Los ngeles en el intervalo inelstico en los tres primeros modos, pero la mediana del desplazamiento en los modos superiores al primero estn cerca del desplazamiento de cedencia, o lo superan slo por una cantidad pequea.

20.8.2 Contribuciones de los modos superiores en las demandas ssmicas

En la figura 20.8.4 se muestran las medianas de las demandas de distorsin de entrepiso, in-cluyendo un nmero variable de modos en el anlisis pushover modal, superpuestos con el

Figura 20.8.4 Medianas de las distorsiones de entrepiso para seis edificios SAC determinados mediante anlisis riguroso (ARH) y anlisis pushover modal (APM) no lineales, con un nmero variable de modos. (Adaptado de Goel y Chopra, 2004).

0 0.5 1 1.5 2

Boston

9-Story

Niv

el

G

3 6 9

ARH-NLAPM1 "Modo"2 "Modos"3 "Modos"

0 0.5 1 1.5 2

20-Story

Niv

el

G 4 8 12 16 20

ARH-NLAPM1 "Modo"3 "Modos"5 "Modos"

0 1 2 3 4 5

Seattle

0 1 2 3 4 5Distorsin de entrepiso

MPA o

NLRHA, %

0 1 2 3 4 5 6

Los ngeles

0 1 2 3 4 5 6

Seccin 20.8 Evaluacin del anlisis pushover modal 805

resultado exacto del anlisis riguroso no lineal. El primer modo por s solo es inadecuado para estimar las distorsiones de entrepiso, pero al incluir algunos modos, las distorsiones de entrepiso estimadas mediante el anlisis pushover modal son mucho mejores y se asemejan a los resultados del anlisis riguroso no lineal; sin embargo, existen diferencias significati-vas para los edificios de Los ngeles. Estas discrepancias se analizarn ms adelante.

20.8.3 Exactitud del anlisis pushover modal

El procedimiento pushover modal para los sistemas inelsticos se basa en dos aproximacio-nes principales: (1) despreciar el acoplamiento dbil de los modos al calcular la respuesta modal mxima rn a pef,n(t), y (2) combinar las rn mediante las reglas de combinacin modal, conocidas por ser aproximadas al estimar el valor mximo de la respuesta total. Debido a que esta ltima es la nica fuente de aproximacin en el procedimiento del espectro de res-puesta, que se utiliza mucho para los sistemas elsticos lineales (secciones 13.7 y 13.8), el error resultante en la respuesta de estos sistemas sirve como una lnea de base para evaluar la aproximacin adicional en el anlisis pushover modal para los sistemas inelsticos.

En las figuras 20.8.5 y 20.8.6 se compara la exactitud del anlisis del espectro de res-puesta al estimar la respuesta de los sistemas elsticos con la del anlisis pushover modal al estimar la respuesta de los sistemas inelsticos. Para cada uno de los seis edificios del SAC,

Figura 20.8.5 Medianas de las distorsiones de entrepiso para (a) los sistemas elsticos lineales deter-minados mediante los procedimientos del espectro de respuesta (AER) y riguroso (ARH); y (b) los sis-temas inelsticos determinados mediante los procedimientos pushover modal (APM) y riguroso (ARH) no lineales. Los resultados son para los edificios SAC de 9 niveles. (Adaptado de Goel y Chopra, 2004).

0 0.5 1 1.5 2

Boston

Niv

el

G

3 6 9

ARHAER

0 0.5 1 1.5 2

Niv

el

G

3 6 9

ARH-NLAPM

0 1 2 3 4 5

Seattle

(a)

0 1 2 3 4 5Distorsin de entrepiso , %

(b)

0 1 2 3 4 5 6

Los ngeles

0 1 2 3 4 5 6

Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo 20806

los resultados se organizan en dos partes: (a) la demanda de distorsin de enterpiso para estos edificios tratados como sistemas elsticos, la cual se determina mediante los procedi-mientos del espectro de respuesta y riguroso; y (b) la demanda para los sistemas inelsticos, determinada mediante los mtodos pushover modal y riguroso no lineales. En la aplicacin de los procedimientos del espectro de respuesta y pushover modal se incluyen tres modos para los edificios de 9 niveles y cinco modos para los edificios de 20 niveles.

Observe que el procedimiento del espectro de respuesta subestima la mediana de la respuesta de los seis sistemas elsticos. Esta subestimacin tiende a aumentar con la altura del edificio, lo cual coincide con la variacin con la altura que presenta la contribucin a la respuesta de los modos superiores (seccin 19.6). La subestimacin ms grande dependiente de la altura se encuentra en un intervalo que va desde un 15% para el edificio de 9 niveles en Los ngeles hasta un 28% para el edificio de 9 niveles en Boston. Con el uso generalizado de programas de software comercial basados en la aproximacin por combinacin modal, la pro-fesin acepta de forma tcita dicha aproximacin, pero tal vez no ha reconocido por completo que puede conducir a la significativa subestimacin de la respuesta descrita con anterioridad.

Los errores adicionales introducidos por despreciar el acoplamiento modal en el proce-dimiento pushover modal, que son evidentes al comparar los incisos (a) y (b) de las figuras 20.8.5 y 20.8.6, dependen de hasta qu punto el edificio responde en el intervalo inelstico.

Figura 20.8.6 Medianas de las distorsiones de entrepiso para (a) los sistemas elsticos lineales determinados mediante los procedimientos del espectro de respuesta (AER) y riguroso (ARH); y (b) los sistemas inelsticos determinados mediante los procedimientos pushover modal (APM) y riguroso (ARH) no lineales. Los resultados son para los edificios SAC de 20 niveles. (Adaptado de Goel y Chopra, 2004).

0 0.5 1 1.5 2

Boston

Niv

el

G 4 8 12 16 20

ARHAER

0 0.5 1 1.5 2

Niv

el

G 4 8 12 16 20

ARH-NLAPM

0 1 2 3 4 5

Seattle

(a)

0 1 2 3 4 5Distorsin de entrepiso , %

(b)

0 1 2 3 4 5 6

Los ngeles

0 1 2 3 4 5 6

Seccin 20.9 Anlisis pushover modal simplificado para su aplicacin prctica 807

Esto puede juzgarse a partir las curvas de capacidad del primer modo y de los valores mxi-mos del desplazamiento de techo (figura 20.8.1). Los errores adicionales del anlisis pushover modal (en comparacin con los del anlisis del espectro de respuesta) son pequeos para los dos edificios de Boston porque siguen siendo en esencia elsticos; sin embargo, estos errores aumentan un poco para los edificios de Seattle porque se deforman moderadamente en el intervalo inelstico. Adems, los errores aumentan mucho para los edificios de Los ngeles, sobre todo para los edificios de 9 niveles, que se deforman en la regin de la rigidez posterior a la cedencia negativa y existe deterioro afn de la capacidad lateral, lo cual conduce al colapso del primer modo de su sistema de 1GDL durante varias excitaciones.

20.9 ANLISIS PUSHOVER MODAL SIMPLIFICADO PARA SU APLICACIN PRCTICA

Con el fin de evaluar los edificios existentes o los diseos propuestos para edificios nuevos, el procedimiento pushover modal resumido en la seccin 20.7.3 puede simplificarse de dos maneras: la primera simplificacin consiste en determinar la deformacin mxima Dn del n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL, que se requiere en la ecuacin (20.7.3) para estimar el desplazamiento urn del techo, en el que la respuesta rn del n-simo modo se determina mediante un anlisis esttico nolineal de la estructura (pasos 7 a 9, en la seccin 20.7.3). En los resultados que se presentaron en la seccin 20.8, Dn se determin como el valor mximo del Dn(t) obtenido mediante el anlisis riguroso de la historia de la respuesta no lineal del sistema de 1GDL a una g(t) dada. Aunque la aplicacin de tal solucin num-rica de la ecuacin (20.6.13) es sencilla utilizando los mtodos que se presentaron en el ca-ptulo 5, el clculo puede evitarse en las aplicaciones prcticas del anlisis pushover modal.

Un mtodo conveniente consiste en estimar Dn directamente del espectro de diseo ss-mico (seccin 6.9) que define el riesgo ssmico para el sitio, utilizando el mtodo presentado en la seccin 7.12.2. De manera alternativa, el Dn para un sistema inelstico puede estimarse como la deformacin mxima del sistema lineal correspondiente, que se lee del espectro de diseo, multiplicado por la relacin de deformacin inelstica. Varios investigadores han de-sarrollado ecuaciones empricas de esta relacin, la cual se define como la razn de las defor-maciones mximas de los sistemas lineales de 1GDL inelsticos y correspondientes.

La segunda simplificacin consiste en calcular las contribuciones a la respuesta