MA Curs 2 Statistica

7/25/2019 MA Curs 2 Statistica

1/6

MA Curs 2 Statistic 1

Selecie

Variabila aleatoarede selecie(variabil empiric)

n...nn

x...xx

:*X k21

k21

k1 x,...,x =valorile distincte ; frecvenele lor absolute = k1,..., a. n... k1 .

Momente de selecie(empirice).

a) Media de selecie: Xxn

1*XM

notk

1j

jj

saun

x...xxX n21

b) Moment de selecie de ordin r:

k

1j

j

r

jr xn

1*XM

c) Dispersiade selecie 2notk

1j

j

2

j sXxn

1*XD

sau

2k

1j

j

2

j

222Xx

n

1XMXMs

d) Dispersia modificat de selecie

k

1j

j

2

j

2Xx

1n

1s , 22 s

1n

ns

Dac n e mare, atunci cele dou valori sunt aproximativ egale. Pentru 30n se folosete

dispersia modificat de selecie.

e) Abaterea medie ptratic 2s

n Excel abaterea s = STDEVPabaterea modificat s = STDEV

n Mathcad, dac datele suntn vectorul X, atunciX = mean(X)dispersia de selecie 2s = var(X)dispersia modificat de selecie 2s = Var (X)

abaterea s= stdev(X)abaterea modificat s = Stdev(X)mediana = median(X)modulul = mode(X)

Observaie. Dac datele sunt mprite n intervale, atunci se nlocuiesc valorile jx cu

mijloacele intervalelor *jx .

Teorem.Dac n1 X,...,X e o selecie de volum n dintr-o populaie normal 2,mN , atunci

a)

n/

mXY

are o repartiie normal standard 1,0N .

b)variabila aleatoaren/s

mXt

are o repartiie Student cu 1n grade de libertate,


2/6


3/6

MA Curs 2 Statistic 3- productivitatea muncii

- rat de defectare

Repartiia Paretose folosete n asigurri.

Procedeul prin care se determin parametrii necunoscui se numete estimare.

Estimarea poate fi:

- punctual dac se determin o valoare numeric a parametrului;

- prin intervale de ncredere dac se determin un interval n care se gsete parametrul

cu o anumit probabilitate.

Estimaii punctuale ale parametrilor

Teorem. Media de selecie aproximeaz media teoretic.

Consecin.Pentru orice repartiie care depinde de un singur parametru, va loarea acestuia

poate fi estimat din relaia XXM (adic egalnd media teoretic cu media de selecie).

a) Pentru repartiia Poisson Po avem XXM

b) Pentru repartiia geometric XXMp

1

c) Pentru repartiia binomial Xp

d) Pentru repartiiaexponenial X

Metode de estimare punctual a parametrilor

I Metoda momentelor

- Fie

n...

nn

x...xx

:*X k21

k21

variabila aleatoare de selecie.

- Fie X variabila aleatoare teoretic asociat seleciei, cu densitatea de repartiie

IRIR:f , p1,...,,xff , unde p1,..., sunt parametrii necunoscui ce trebuie

aflai.

Pentru a afla p1,..., rezolvm sistemul

pp

22

*XMXM

*XMXM

*XMXM

Pentru a afla un singur parametru folosim ecuaia *XMXM XXM

Pentru a afla doi parametrii folosim sistemul

*XDXD

*XMXM

2sXD

XXM

Exemplu.Se dau datele

xj 32 33 34 35 36 37

Frecv 1/20 4/20 3/20 5/20 3/20 4/20


4/6

MA Curs 2 Statistic 4rel

a) S se calculeze media i dispersia de selecie.

b) S se estimeze parametrii repartiiilor Poisson, geometric, exponenial, uniform,

normal pe baza acestei selecii.

Rezolvare. a) 85,34X i 328,2s2

(vezi curs 1) Pentru repartiia Poisson Po avem XXM 85,34

Pentru repartiia geometric media teoretic este p

1XM . Din

XXM 85,34

1p85,34

p

1

Pentru repartiiaexponenial media teoretic este XM 85,34X

Pentru a afla cei doi parametrii ai repartiiei uniforme sunt necesare i suficiente douecuaii

*XDXD

*XMXM

2

2

s12

ab

X2

ba

22 s3Xab

X2ba

2

2

s3Xb

s3Xa

984,685,34b

984,685,34a

64,285,34b

64,285,34a

5,37b

2,32a

Pentru a afla parametrii m i ai repartiiei normale rezolvm sistemul

*XDXD

*XMXM

22 s

Xm

526,1

85,34m

85.34X 526.1

32 33 34 35 36 37

0.1

0.2

0.30.26

0

Y

dpois x,( )

dgeom x1

,

dexp x,( )

dnorm x, ,( )

dunif x 32.2, 37.5,( )

3732 x


5/6


II Metoda verosimilitii maxime

Definiie. Fie n21 X,...,X,X o selecie de volum n

Fie X variabila aleatoare teoretic asociat seleciei, cu densitatea de repartiie

IRIR:f , p1,...,,xff

p1,..., sunt parametrii necunoscui ce trebuie aflai.

Definim funcia de verosimilitate

IRIRIR:L pn ,

n

1j

p21jp21n21 ,..,,,xf,..,,,x,...,x,xL

ce reprezint probabilitatea de a obine valorile n21 x,...,x,x .

Teorem. n condiiile de mai sus, cea mai bun estimaie a parametrilor p1,..., sunt

valorile pentru care funcia de verosimilitate are valoarea maxim.

Observaie.Punctele de extrem ale funciei L coincid cu cele ale funciei Lln .

Practic

Gsim punctele critice ale funciei Lln rezolvnd sistemul

0

,..,,,x,...,x,xLln

j

p21n21

, p,1j

apoi verificm dac soluia gsit reprezint un punct de maxim pentru Lln .

Exemplu. S se estimeze parametrul al repartiiei Poisson pe baza unei selecii de

volum n care a dat rezultatele 0x,...,x,x n21 .

Rezolvare. Repartiia Poisson este

Po

...!x

e...ee

...x...10

: x ,

!x

e,xf

x

Formm funcia de verosimilitate

n

1j

jn21 ,xf,x,...,x,xL

n

1j j

x

!x

ej

!x!...x!x

e

n21

nx...xx n21 .

Atunci !x!...x!xlnlnx...xxn,x,...,x,xLln n21n21n21 .

n21 x...xxnLln

Rezolvm 0Lln

n

x...xx n21 X

Pentru X avem 0x...xxLln

2

n21

2

2

,


6/6


deci ln L are un punct de maxim. Atunci media de selecie Xeste un estimator de

maxim verosimilitate pentru .

Exemplu. S se estimeze parametrii m i ai repartiiei normale pe baza unei selecii de

volum n care a dat rezultatele n21 x,...,x,x .

Rezolvare. Densitatea de repartiie este

2

2

2

mx

e2

1,m,xf

Funcia de verosimilitate este

n

1j

2

mx

n21

2

2j

e2

1,m,x,...,x,xL ;

notm 2n2

1 mx...mxA . Atunci22

A2lnnlnnLln

. Rezolvm

sistemul

0Lln

0m

Lln

0An

0mx...mx

3

2

n1

22

n1

sn

A

Xn

x...xm

.

Punctul s,X,m este punct de maxim pentru funcia lnL. Am demonstrat c media

de selecie X este o estimaie pentru m, iar dispersia de selecie este o estimaie pentru

2 .

Documents

MA Curs 2 Statistica