CIV 2106 -Instabilidade das Estruturas - Notas complementares de Res. Mat. II Prof. Raul Rosas e Silva 2014.2

Obs. : Como estaremos utilizando aproximações na forma de Rayleigh-Ritz para vigas em diversassituações, parece interessante fazer uma revisão das equações básicas de flambagem de vigas, utilizando otexto abaixo (vide curso de Res. Materiais na PUC-Rio).

CARGAS INDEPENDENTES DOS DESLOCAMENTOS

Este caso normalmente aparece na forma de cargas gravitacionais. Temos a equação diferencial EIwiv + Pw" = q (= 0 para estudo da carga crítica clássica). A solução da eq. homogênea toma a forma

w x( ) A Bx Csin βx( ) Dcos βx( )=

Os resultados para as diferentes condições de contorno usuais são bem conhecidos. Quando há variação de propriedades ou da carga axial ao longo da viga a solução exata não édisponível, em geral.

CARGAS DEPENDENTES DOS DESLOCAMENTOS

Há situações em que uma estrutura é sujeita a cargas proporcionais aos deslocamentos (obs.: hádissertações de mestrado sobre o assunto na PUC-Rio, de Francisco José Pereira de Almeida(1985) e Rodolfo Luiz Suanno (1987), orientadas por R. R.S.). No caso particular de vigas, pode surgir uma carga transversal proporcional ao própriodeslocamento transversal w(x). No caso em que a carga atua em sentido contrário aodeslocamento, temos o efeito de base elástica. A hipótese de Winkler admite que a reação dabase elástica provém de molas independentes. No caso em que a carga atua no sentido dodeslocamento, tendendo a amplificá-lo, temos o chamado efeito de empoçamento, já que éusualmente provindo do acúmulo de líquido.

EFEITO DE EMPOÇAMENTO ("PONDING")Analisemos a equação da viga com este efeito incluído, EI.wiv = q + c.w , onde c é umaconstante que depende da geometria e do peso específico do líquido acumulado. Para o casode uma viga suportando uma placa alongada (dimensão s na direção fora do plano), podemos fazer c = .s .

Para uma viga ( normalmente associada a uma placa na direção fora de seu plano) bi-apoiada ecom vão L, a solução não-nula da equação diferencial homogênea (i.e., com q =0) é da forma:

w x( ) An sinn π x

L

= Tal solução leva a cn4

π4

E I

L4= (como condição para

deslocamento não-nulo)

γ sπ

4 E I

L4=ou seja, na situação mais crítica, n = 1,

Considerando uma viga de altura h e largura b, vem

γ sπ

4 E b h3

12 L4

=

Esta expressão permite dimensionar a peça para que não haja empoçamento (na prática, teria que sermultiplicado por um coeficiente de segurança):

hmin

312 L4 γ s

π4 E b

=

Adotando valores para painéis sob carga acumulada de água suportados por vigas de concretoarmado de seção retangular: Obs.: Experimentar com outros valores !

γ 1.0 s 10 L 10 E 100 104 b .20 (valores em tf e m)

hmin

312 L4 γ s

π4 E b

hmin 0.395 (a ser multiplicado por um coef. de segurança)

Solução Geral

Temos uma equação diferencial linear homogênea a coeficientes constantes EI.wiv -c.w = 0 no caso de EI ek constante. Para a solução geral da homogênea, consideramos que ela tem a forma e ^(λx), o que leva à eq.característica na forma EIλ^4 - c = 0, cujas quatro raízes são apresentadas abaixo.

λ

4 cEI

1

1

i

i

=

A solução geral será a combinação de 4 funções na forma abaixo. Os expoentes β são complexos, mas asolução pode ser recombinada usando a identidade de Euler* para ficarmos com funções exponenciais etrigonométricas reais, apresentadas no vetor de 4 funções f(x).

wh g x( )1 c1 g x( )2 c2 g x( )3 c3 g x( )4 c4=

cw(x)

EI

L

* Identidade de Euler:

ea bi ea cosb i senb( )=

g x β( )

g x( )1

g x( )2

g x( )3

g x( )4

=

eβ x

e β x

sin β x( )

cos β x( )

= onde introduzimos a quantidade adimensional

β

4c L4EI

=

Funções f que descrevem o deslocamento e suas derivadas primeira df, segunda d2f e terceira d3f, emrelação a x (necessárias para imposição das condições de apoio):

dg x β( )

β eβ x

β e β x

β cos β x( )

β sin β x( )

g x β( )

eβ x

e β x

sin β x( )

cos β x( )

d2g x β( )

β2 eβ x

β2 e β x

β2 sin β x( )

β2 cos β x( )

d3g x β( )

β3 eβ x

β3 e β x

β3 cos β x( )

β3 sin β x( )

s = 10

L = 10 Painel

vigas

Exemplo: Viga biengastada

Como as condições de apoio correspondem a w(0)=w'(0)=w(L)=w'(L)=0 , devemos escrever 4 equações deforma a determinar as constantes ci nesse caso.

w wh= g x( )1 C1 g x( )2 C2 g x( )3 C3 g x( )4 C4=

dw dwh= dg x( )1 C1 dg x( )2 C2 dg x( )3 C3 dg x( )4 C4=

Esse conjunto de equações pode ser escrito mais convenientemente em forma matricial.

Vemos que T é uma matriz 4x4, C é um vetor 4x1 (constantes adeterminar). Para a condição crítica, T deve ser singular.T C 0=

Considerando painéis 10x10m: Vão: L 10 Espaçamento x peso específico (tf/m3): c 10

Variando β de modo a verificar qual o valor que torna T singular:

β 3.8 3.81 4

T β( )

g 0 β( )1

dg 0 β( )1

g L β( )1

dg L β( )1

g 0 β( )2

dg 0 β( )2

g L β( )2

dg L β( )2

g 0 β( )3

dg 0 β( )3

g L β( )3

dg L β( )3

g 0 β( )4

dg 0 β( )4

g L β( )4

dg L β( )4

3.7 3.78 3.86 3.94 4.02 4.12

0.4

1.2

2.8

4.4

6

T β( )

1018

β

Observamos do gráfico que o determinante de T se anula para β próximo de 3.9. Para obter um valor mais exatopodemos utilizar a função root(f(x),x,x1,x2) que acha o valor de x que anula f(x) no intervalo (x1,x2).

Notar a necessidade de dividir por um número muitogrande para evitar erro numérico no cálculo da raiz.deter β( ) T β( )

βcritico rootdeter β( )

1018β 3.8 4

Resultado:

βcritico 3.927 que é o valor crítico para empoçamento.

Com este resultado, podemos calcular o valor de EI (mínimo necessáriopara que não haja empoçãmento, a ser multiplicado por um fator >1)

EIminimoc L4

βcritico4 EIminimo 420.495 em tf.m2

Para uma solução mais realista, deve ser considerada a deformação sob ação das demais cargas.Naturalmente, outras formas de dimensionamento podem ser consideradas (por exemplo, dadas ascaracterísticas da seção, calcular o vão máximo permitido).

Normas de estruturas metálicas incluem procedimentos recomendados para considerar o efeito doempoçamento (inclusive dados sobre declividade mínima): Specification for Structural Steel Buildings, March 9, 2005, AMERICAN INSTITUTE OF STEELCONSTRUCTION, INC. , Appen. 2 - Design for PondingNBR 8800 - rev. 2008, itens 9.3, 11.6, 4.7.3.3, An. C, An. Q4.1.4

VIGAS EM BASE ELÁSTICA

Temos uma equação diferencial linear a coeficientes constantes EI.wiv +k.w = q no caso de EI e k seremconstantes. A solução geral é obtida da soma da solução geral da homogênea com uma particular danão-homogênea. Para a solução geral da homogênea, novamente consideramos que ela tem a forma e ^(λx),o que leva à eq. característica na forma EIλ^4 + k = 0, cujas quatro raízes são apresentadas abaixo.

λ

4 k4EI

1 i

1 i

1 i

1 i

=

A solução geral será a combinação de 4 funções na forma abaixo. Os expoentes β são complexos, mas asolução pode ser recombinada usando a identidade de Euler* para ficarmos com funções exponenciais etrigonométricas reais, apresentadas no vetor de 4 funções f(x).

wh f x( )1 c1 f x( )2 c2 f x( )3 c3 f x( )4 c4=

* Identidade de Euler:

ea bi ea cosb i senb( )=

f x( )

f x( )1

f x( )2

f x( )3

f x( )4

=

eβ x sin β x( )

eβ x cos β x( )

e β x sin β x( )

e β x cos β x( )

= onde agora definimos

β

4 k4EI

=

q

k

EI

L

A solução geral fica sendo

w wh wp= onde wp é uma solução particular.

Vamos analisar o exemplo de uma viga com diferentes condições de contorno. É mais conveniente trabalhar noMathcad com dados numéricos (os valores são em metros, megaNewtons, MPa). Vale lembrar que Timoshenko eoutros definem vigas curtas (em que a base tem pouco efeito) para βL < 0.6, longas (em que o efeito de umaextremidade mal é sentido na outra) para βL>5, e médias (que requerem a solução completa), para 0.6<βL<5.Tais limitações não são tão importantes hoje em dia, já que temos recursos computacionais.

Viga de seção retangular bxh, comprimento L: b 0.1 h 0.5 L 10

Momento de inércia em torno do eixo y: Iyb h312

Iy 1.042 10 3

Módulo de elasticidade longitudinal: E 10000

Constante de rigidez da base por unidade de área (no caso de solo, a força necessária paradeslocamento unitário de uma unidade de área de fundação - unidades em MN/m3):

kfund 10

Há uma grande incerteza nesses valores de kfund no caso de solos. Devem ser obtidosexperimentalmente em cada situação. Para se ter uma idéia, a tabela adaptada de Sussekind - Curso deAnálise Estrutural (vol. 2, p. 286, 1976) sugere valores entre 800 e 10000 tf/m3 (aprox. 8 a 100 MN/m3),enquanto Pfeil (Pontes em Concreto Armado, p. 382, 2a. ed., 1980) fornece valores entre 300 e 4000tf/m3 (aprox. 3 a 40 MN/m3) .

Como a viga tem base b, então a constante k (força necessária para um deslocamento unitário por unidadede comprimento de viga - unidades em MN/m2) é obtida por

k kfund b

k 1

O valor de é obtido pela expressãoβ

4 k4 E Iy

β 0.394 β L 3.936 (viga "média")

Abaixo, funções f que descrevem o deslocamento e suas derivadas primeira df, segunda d2f e terceirad3f, em relação a x (necessárias para imposição das condições de apoio):

f x( )

eβ x sin β x( )

eβ x cos β x( )

e β x sin β x( )

e β x cos β x( )

df x( )

β exp β x( ) sin β x( ) exp β x( ) cos β x( ) β

β exp β x( ) cos β x( ) exp β x( ) sin β x( ) β

β exp β x( ) sin β x( ) exp β x( ) cos β x( ) β

β exp β x( ) cos β x( ) exp β x( ) sin β x( ) β

d2f x( )

2 β2

exp β x( ) cos β x( )

2 exp β x( ) sin β x( ) β2

2 β2

exp β x( ) cos β x( )

2 β2

exp β x( ) sin β x( )

d3f x( )

2 β3

exp β x( ) cos β x( ) sin β x( )( )

2 β3

exp β x( ) sin β x( ) cos β x( )( )

2 β3

exp β x( ) cos β x( ) sin β x( )( )

2 β3

exp β x( ) sin β x( ) cos β x( )( )

Exemplo: Viga biengastada sob carga constante

Tomemos como exemplo uma viga biengastada sujeita a uma carga constante (tomada unitária, parasimplificar a análise do resultado). A solução particular da não-homogênea correspondente é wp = q/k.

q 1 wpqk

Como as condições de apoio correspondem a w(0)=w'(0)=w(L)=w'(L)=0 , devemos escrever 4 equações deforma a determinar as constantes ci nesse caso.

w wh wp= f x( )1 c1 f x( )2 c2 f x( )3 c3 f x( )4 c4qk

=

dw dwh dwp= df x( )1 c1 df x( )2 c2 df x( )3 c3 df x( )4 c4 0=

Esse conjunto de equações pode ser escrito mais convenientemente de forma matricial.

Vemos que T é uma matriz 4x4, c é um vetor 4x1 (constantes adeterminar) e t é um vetor 4x1 com os termos independentes,associados ao carregamento e oriundos da solução particular.

T c t=

t

qk

0

qk

0

T

f 0( )1

df 0( )1

f L( )1

df L( )1

f 0( )2

df 0( )2

f L( )2

df L( )2

f 0( )3

df 0( )3

f L( )3

df L( )3

f 0( )4

df 0( )4

f L( )4

df L( )4

O vetor solução c é obtido multiplicando-se a inversa de T pelo vetor independente t.

c T 1 t

c

1.369 10 4

0.029

1.057

1.029

Para plotar o diagrama criamos vetores de pontos para o deslocamento w, momento fletor M = -EIw" e força cortante V = - EIw"' ao longo da viga.

i 1 101

P

L

EI

K

xii 1( ) L

100

wi f xi 1 c1 f xi 2 c2 f xi 3 c3 f xi 4 c4qk

Mi E Iy d2f xi 1 c1 d2f xi 2 c2 d2f xi 3 c3 d2f xi 4 c4

Vi E Iy d3f xi 1 c1 d3f xi 2 c2 d3f xi 3 c3 d3f xi 4 c4

Para efeito de comparação, observamos também os valores do deslocamento transversal wsb (polinômiode 4o. grau), momento fletor Msb e força cortante Vsb, sem a base elástica (os valores foram obtidosmanualmente, em separado), representados em pontilhado.

wsbiq L2

24 E Iyxi 2

q L12 E Iy

xi 3q

24 E Iyxi 4

Msbiq L2

12q L2

xiq2

xi 2

Vsbiq L2

q xi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

0.2

0.10.40.7

11.31.61.92.22.5

w

wsb

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10108.46.85.23.6

20.41.22.84.4

6

M

Msb

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1054321012345

V

Vsb

x

Uma forma de checar o resultado é observar que, sendo a reação da base r = k.w, sua integralrepresenta a diferença entre as reações de apoio com e sem base elástica. Naturalmente, essadiferença depende da constante da base. Para checar, aproveitamos os valores discretos obtidospara w, executando a integração pela regra do trapézio.

Rbase k w1 w101 L

200

2

100

i

k wiL

100

Rbase 4.626

2 Vsb1 V1 4.626 OK !

Viga livre e apoiada, sujeita a carga na extremidade

Repetimos abaixo o procedimento anterior, modificando apenas a matriz T para atender às condiçõesde contorno -EIw"'(0)=-P, w"(0)=0, w(L)=0, w"(L)=0.

É interessante observar que uma viga com estas condições de apoio e sem a base elástica se tornahipostática.

P 1

T1

d2f 0( )1

d3f 0( )1

f L( )1

d2f L( )1

d2f 0( )2

d3f 0( )2

f L( )2

d2f L( )2

d2f 0( )3

d3f 0( )3

f L( )3

d2f L( )3

d2f 0( )4

d3f 0( )4

f L( )4

d2f L( )4

t1

0

PE Iy

0

0

c T1 1 t1 c

3.003 10 4

5.514 10 6

3.003 10 4

0.788

Obtemos os deslocamentos e esforços da mesma forma anterior.

i 1 101 xii 1( ) L

100 wi f xi 1 c1 f xi 2 c2 f xi 3 c3 f xi 4 c4

q 0k

Mi E Iy d2f xi 1 c1 d2f xi 2 c2 d2f xi 3 c3 d2f xi 4 c4

Vi E Iy d3f xi 1 c1 d3f xi 2 c2 d3f xi 3 c3 d3f xi 4 c4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.1

0.010.080.170.260.350.440.530.620.710.8

w

x

Notar que não podemos obter os esforços sem a base elástica já que a viga se torna hipostática.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.9 0.80.70.60.50.40.30.20.1

00.1

M

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

0.860.720.580.440.3

0.160.020.120.260.4

V

x