eAPRENDER A ENSEÑAR MATEMÁTICAS Y CONOCIMIENTO DELPROFESOR: UNA PANORÁMICA DESDE LAS INVESTIGACIONES

Ma MERCEDES GARCÍA BLANCO (*)

INTRODUCCIÓN

En los últimos años de la década delos ochenta y principios de los noventa seha desarrollado un amplio abanico de in-vestigaciones en Educación Matemáticacuyo centro es el conocimiento del profesorde matemáticas. Estos estudios han intenta-do responder a cuestiones y preocupacionesde distinta índole y desde distintas pers-pectivas como, por ejemplo, la relación en-tre concepciones, conocimiento y prácticade enseñanza (Thompson, 1984), y conoci-miento y cogniciones del profesor de ma-temáticas en el proceso de aprender aenseñar (Fennema y Loef, 1992). Por otrolado, una de las ramificaciones que se es-tán desarrollando y que presumiblementese ampliará en el futuro dentro las investi-gaciones sobre el conocimiento/pensa-miento matemático de los profesores seestá enfocando hacia áreas de contenidoespecífico (Llinares, 1991b; Cooney y Wil-son, 1993; Wilson, 1994).

Esta situación hace necesaria la expli-citación de variables organizativas de lasinvestigaciones realizadas recientementecomo una forma de ayudar a organizar elcampo de investigación y describir las dife-rentes aproximaciones metodológicas que

se están desarrollando para acceder al aná-lisis del conocimiento del profesor, vincu-lado a tópicos concretos. De esta forma, laorganización de la información se convier-te en un tema en el que profundizar y esprecisamente uno de los focos de este es-tudio. Uno de los primeros aspectos objetode nuestra atención ha sido cómo se haabordado el problema en las investigacio-nes. En ellas hemos detectado lo que po-díamos denominar dos dimensiones,entendiéndose de forma amplia y no siem-pre estrictamente excluyente, atendiendoal proceso de aprender a enseñar y la rela-ción conocimiento-práctica. En este artícu-lo nos centraremos en la primera de lasdimensiones identificadas', y teniendo encuenta que otra variable organizativa hansido los tópicos y contenidos matemáticos.

El avance de las investigaciones desa-rrolladas dentro de este campo, que ha su-puesto una enorme expansión en temas,tópicos, etc., hace necesario establecer unareflexión que permita sentar bases quefundamenten futuros trabajos de investi-gación, contribuyendo a dotarlos de unpunto de partida para la futura labor. Esen este contexto donde adquiere signi-ficado este trabajo que a continuaciónpresentamos.

(*) Universidad de Sevilla.(1) Un estudio de la segunda dimensión puede encontrarse en GARCÍA, 1997.

RevIsta de Educación, núm. 316 (1998), pp. 163-191

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do a los tópicos matemáticos podemosconsiderar diferentes subapartados.

CONOCIMIENTO DEL PROFESORY APRENDER A ENSEÑAR. IMPLICACIONESPARA LOS PROGRAMAS DE FORMACIÓN

Un gran número de investigacionesque se han ocupado de la formación deprofesores tanto inicial como permanentese han desarrollado en contextos preocu-pados por la preparación en relación conla enseñanza de estudiantes para profesory profesores. Dentro de estos estudios, loscontenidos matemáticos que más frecuen-temente aparecen son: la estructura multi-plicativa, fracciones y numeros racionalesy noción de función. Estos tres contenidostienen aspectos transversales como: losmodelos implícitos en la comprensión dela estructura multiplicativa, diferentes mo-dos de representación, la noción de «ver-dad• en matemáticas, relación entreconocimiento de matemáticas y posibleserrores de los alumnos, y conocer qué /conocer por qué. De manera más puntualse han realizado investigaciones centradasen conceptos geométricos, probabilidad,componentes subjetivas del proceso de re-solución de problemas, etc. Podemosapreciar dos grupos en estos estudios, losque describen un momento o situación ylos que describen cambios producidos enel conocimiento de los participantes comoinfluencia de una intervención específica.El motivo de los apartados siguientes sonestos grupos, siendo el eje articulador deambos el contenido matemático en el quese han centrado y que hemos comentadoanteriormente.

ESTUDIOS CENTRADOS EN DESCRIBIR«MOMENTOS»

Contemplados de una forma global lostrabajos que situamos en este apartado,plantean preguntas o problemas de inves-tigación en las que se intenta profundizaren un momento determinado, aunque elestudio puede ser longitudinal. Atendien-

INVESTIGACIONES CENTRADAS EN LAESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

Una de las áreas de contenido mate-mático específico más estudiada ha sido ladivisión y multiplicación, unido en algunoscasos a los problemas de estructura multi-plicativa. Ésta ha sido el foco de algunostrabajos de Ball (1990a), centrándose en elconocimiento y razonamiento de los futu-ros profesores cuando entran en los pro-gramas de formación (conocimientosustantivo de matemáticas), examinandoaspectos como qué es lo que ellos creenque hace que «algo» se considere verdado razonable en matemáticas, y qué se con-sidera una justificación matemática. Losparticipantes eran futuros profesores deeducación primaria y de secundaria (10)que eran entrevistados al empezar el pri-mer curso de formación. Los tres contextosen los que se situó el tópico a estudiar fue-ron: división con fracciones, división porcero y división con ecuaciones algebraicas.En cada caso, se les preguntaba que expli-caran o generaran representaciones; unejemplo de las preguntas efectuadas a losparticipantes aparece en el cuadro I.

Esta autora deduce del análisis de los re-sultados de este trabajo que los futuros pro-fesores mostraron una comprensiónfragmentada; ellos asumían que presentaruna regla es equivalente a resolver cuestio-nes matemáticas y su conocimiento parecíaestar fundado más sobre memorización quesobre una comprensión conceptual. Una im-plicación de este estudio es la necesidad desaber mucho más de lo que sabemos en re-alidad acerca de cómo se puede ayudar a losprofesores a transformar y aumentar su com-prensión de las matemáticas, trabajando conlo que ellos traen y ayudándolos a trasladar-se hacia la clase de comprensión matemáticanecesaria para enseñar matemáticas orienta-das conceptualmente.

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CUADRO IPreguntas realizadas a los participantes en el estudio de Ball (1990a)

«Las personas tienen diferentes aproximaciones para resolver problemas que conllevan división confracciones. ¿Cómo resolverías 1 3/4: 1/2? Algunas veces los profesores intentan acercarse con situaciones oproblemas de enunciado para mostrar el significado o aplicación de alguna parte del contenido. Esto puedeser un bonito desafío. ¿Cuál dirías que sería un buen enunciado para 1 3/4: 1/2, algo real para lo que 1 3/4: 1/2 es una formulación matemática apropiada?».

«Supón que un alumno te pregunta cuánto es 7 dividido entre O. ¿Cómo responderías? ¿Cuál es la razón deesa respuesta?».

«Supón que uno de tus alumnos te pregunta para que le ayudes con lo siguiente: Si x/(0,2 - 5, entonces x-¿Cómo le responderías?, ¿Por qué haces eso?»

Por otra parte, basándose en el marcoteórico proporcionado por los estudios deFischbein et al. (1985) sobre los modelosimplícitos asociados con la multiplicacióny la división, investigadores como Graeber,Glover y Tirosh también se centran en es-tos tópicos en diversos estudios (Graeber,Tirosh y Glover, 1989; Tirosh y Graeber,1989, 1990a, 1990b). Los participantes enestos trabajos fueron futuros profesores deprimaria matriculados en cursos de méto-dos y contenido matemático. Algunos delos objetivos que pretendían sus investiga-ciones eran: evaluar con qué extensión lascreencias «multiplicación siempre hacemayor» y «división siempre hace más pe-queño» son mantenidas explícitamentepor los futuros profesores de primaria (Ti-rosh y Graeber, 1989); estudiar la «ense-ñanza conflicto» (uso del conflictocognitivo) como un medio para investigarel error conceptual de que «el cociente deun problema de división debe ser menorque el dividendo» (Tirosh y Graeber,1990a, 1990b); errores respecto a las ope-raciones que necesitan para resolver pro-blemas de estructura multiplicativa(Graeber, et al. 1989).

Para profundizar en el uso del «con-flicto cognitivo» como medio para investigarlos errores conceptuales y concretamenteplanteando si «el cociente de un problemade división debe ser menor que el dividen-

do», estas investigadoras diseñaron un es-tudio teniendo como hipótesis del trabajoque, si los futuros profesores se enfrentancon la inconsistencia entre sus errores con-ceptuales expuestos y los resultados de suscálculos, los investigadores pueden apren-der más sobre la resistencia de y las•fuen-tes que originan los errores conceptuales.Para ellas, el conflicto cognitivo resultantepuede permitir al futuro profesor resolvertales inconsistencias y formar una másacertada concepción de la división. Si seadmite que la forma de escribir expresio-nes para problemas de estructura multipli-cativa está influenciado por los conceptosde las operaciones, podría pensarse que sise producen cambios en las concepcionespodría esperarse que produjeran cambiossobre las realizaciones de los problemas deestructura multiplicativa.

Los instrumentos utilizados en esta in-vestigación fueron un pretest un postest yuna entrevista a aquéllos que después pa-sarían el postest. En el espacio de tiempocomprendido entre ambos test los partici-pantes no recibían ningún curso sobremultiplicación y división. El pretest teníavarias partes: en primer lugar, se realizabancálculos con decimales, después respues-tas a afirmaciones sobre multiplia-cióndivisión y por último debían dar la ex-presión escrita que llevara a la soluciónde problemas que se les proponía. En el

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cuadro II se muestran algunas de las cues-tiones planteadas. Este estudio muestra: i)cómo la dependencia de los futuros profe-sores del dominio de los números enterosy su comprensión instrumental del algorit-mo de la división son la base de sus erro-res conceptuales; ii) que los futurosprofesores no están familiarizados con lainterpretación de medida de la división, asícomo su predisposición a cambiar reglasde procedimiento para no modificar sus

errores conceptuales. Estos resultados su-gieren que, cuando la aproximación «conflic-to» es cuidadosamente aplicada, los futurosprofesores pueden formar una concepciónmás acertada sobre el tamaño relativo delcociente y el dividendo, y mejorar sus reali-zaciones en expresiones escritas para pro-blemas de estructura multiplicativa,asumiendo que la conceptualización y reali-zaciones no mejoran con la sola conscienciade los errores conceptuales.

CUADRO IICuestiones presentadas en el pretest. Tirosb y Graeber 1990a

edículo con rulmeros decimales:

•3,25 x 5,14 • 0,38 x 5,14 • 3,75 : 0,75 • 5,00 : 15

Afirmaciones sobre división:

" En un problema de división, el cociente debe ser menor que el dividendo.

• El cociente en el problema 10 : 0,65 es más grande que 10.

• El cociente en el problema 70: 1/2 es menor que 70.

Expresiones escritas para problemas de estructura ltiplicativa:• Una caja de arena tiene un volumen de 0,80 metros cúbicos. ¿Cuál es el volumen de 0,25 de la caja?

• Una moto recorre 40 millas por galón. ¿Cuánto viajará con 0, 75 galones?

• Tu preparas 5 litros de ponche. Tienes copas de ponche que contienen 0,2 litros. ¿Cuántas copas puedesllenar con el ponche preparado?

• Las galletas «girls-club* , son empaquetadas de forma que en cada estuche hay 0,8 libras. ¿Cuántospaquetes pueden ser llenados con 7,2 libras de galletas?

También dentro de la estructura multipli-cativa situamos los trabajos de Simon (1993),en los que el foco es el conocimiento de Mu-ros profesores de primaria de dos aspectosde la comprensión de la división: cómo está«conectado el conocimiento» de la divisiónque poseen y su conocimiento de las unidadesimplicadas en los contextos de división. Exa-mina tres tipos de conexiones entre: i) el cono-cimiento conceptual y procedimental, ii)conceptos y üi) operaciones aritméticas y si-tuaciones reales sobre las que están basadas.

Los participantes en el estudio esta-ban realizando un curso de métodos.Los datos fueron recogidos a través dedos instrumentos, un cuestionario decinco problemas (cuadro III), realizadopor 33 futuros profesores, y una entre-vista individual a ocho de ellos, sobretres de los problemas anteriores (3, 4 y5) con el fin de profundizar en los pro-cesos de pensamiento y comprensiónde los sujetos respecto de los dos temasen cuestión.

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CUADRO II!Problemas diseñados por Simon (1993) para su estudio

1.— Problemas con enunciado:

«Escribe tres enunciados distintos de problemas que se puedan resolver dividiendo 51 entre 4 y para los quelas contestaciones sean respectivamente: a) 123/4. b) 13, c) 12. Deberás hacer tres problemas reales»

2.— División por una fracción:

«Escribe el enunciado de un problema que se pueda resolver mediante la operación 3/4 dividido por 1/4»

3.— Resto con calculadora:

« ¿Cómo podrías hallar el resto de 598473947 dividido entre 98762 usando la calculadora? La calculadorahace sólo las cuatro operaciones básicas, adición, sustracción, multiplicación y división (no hay tecla deresto). Notar que al dividir en la calculadora da una respuesta decimal. Describe cómo podrías usar lacalculadora para hallar el resto y por qué funcionaría. Describe un segundo método si puedes»

4.— Galletas:

«Surge tiene 35 tazas de harina. El hace galletas que requieren 3/8 de una taza cada una. Si hace tantogalletas como harina tiene, ¿cuánta harina le sobrará?»

5.— División larga:» En una división larga realizada como en el ejemplo siguiente, se repite la secuencia, dividir, multiplicar,sustraer, poner debajo. Explica qué información da el paso de multiplicar y el de sustraer y cómo contribuyena llegar a la respuesta»

715 / 12600 - -- - 59

115-108

- - -7

Corno consecuencia de este estudio,Simon (1993) considera que los futurosprofesores de primaria parecen tener unconocimiento apropiado de los algoritmosy símbolos relativos a la división peromuestran una organización del conoci-miento muy discreta corno consecuenciade que no tienen interiorizadas conexionesimportantes. El conocimiento matemáticode los futuros profesores en este estudioera procedimental y escasamente conecta-do. En su preocupación por la Formaciónde Profesores, este investigador hace unllamamiento a los formadores de profeso-res para que busquen un equilibrio apro-piado entre la atención sobre lo que los

futuros profesores deberían conocer y loque conocen. Así mismo, plantea la nece-sidad de que las investigaciones futurasprofundicen en el conocimiento, creenciasy actitudes de los futuros profesores dematemáticas.

Algunos de estos trabajos están co-menzando a ser replicados y ampliadospor otros investigadores incluyendo estosestudios características contextuales, meto-dológicas, de contenido, incluso sociales.Concretamente, Campos et al. (1996) enrelación con el trabajo de Simon llevan acabo un estudio para investigar las posi-bles dificultades que las operaciones quetransforman referentes (multiplicación y

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división) tienen para los profesores y cómoson superadas. Los participantes en el pro-yecto fueron 40 profesores, 20 de la escuelaprimaria y 20 de la escuela secundaria.Este informe sugiere una serie de cuestio-nes para la formación de profesores, entreellas: ¿Pueden los profesores aprender másmatemáticas en su formación de profeso-res sin perder contacto con su conoci-miento de las matemáticas de la calle?¿Están los profesores en posición de eva-luar diferentes aproximaciones si susalumnos las utilizan? ¿Pueden ellos reco-nocer las formas diferentes de razona-miento que fundamenta los diferentesmétodos? ¿Qué papel pudiera jugar la dis-cusión de esos diferentes métodos en laformación de profesores?

Por otra parte, el conocimiento peda-gógico de la estructura multiplicativa queposeenn futuros profesores de primaria,cuando aún no han recibido enseñanzasobre el tema, fue el objetivo del estudiode Castro y Castro (1996). Los participan-tes fueron 69 estudiantes para profesor.El instrumento utilizado fue una prueba

en la que se le pedía a los participantesque redactaran dos problemas para dosexpresiones numéricas que se les daba(15 x 5 = 11 y 72: 6 = D. A partir del aná-lisis de los enunciados propuestos por losparticipantes, estos autores indican que laformación de profesores debería incluir:estudios sobre la diferenciación de proble-mas de cálculo aritmético expresados ver-balmente y problemas aritméticosverbales, estudios sobre aquellas catego-rías semánticas que surgen con más dificul-tad y la distinción entre los diferentessignificados de la división.

Siguiendo en esta área de contenidomatemático, uno de los últimos trabajospresentados es el de Campbell (1996), quetiene como centro el estudio del conoci-miento de los futuros profesores de la divi-sión con resto. Para ello, las tareas elegidasestaban descontextualizadas, y recorríandistintos aspectos de la materia: divisióncon calculadora, descomposición en facto-res primos y el algoritmo de la división(cuadro IV).

CUADRO IVCuestiones presentadas a los participantes en el estudio. Canzpbell, 1996

Cuestiones:

1.— ¿Si divides 21 por 2, cuál sería el cociente?, ¿cuál sería el resto?

2.— Considera M - 33 x 5 x 7. ¿Si divides M por 15, cuál sería el resto?, ¿cuál sería el cociente?

3.— Supón que te preguntan por la división con resto de 10561/24. ¿Te ayudará la calculadora?,¿cómo?

9.— Considera el n° 6 x 147 + 1, nos referiremos a él como A.

a) Si divides A por 6, ¿cuál sería el resto?, ¿cuál sería el cociente?

b) Si divides A por 2, ¿cuál sería el resto?, ¿cuál sería el cociente?

Se entrevistaron 21 futuros profesoresde primaria, cuando estaban en un cursode desarrollo profesional. El análisis secentró en la relación entre la división conresto, y los distintos conceptos de división,multiplicación, y divisibilidad. Según este

autor, existe entre los futuros profesoresuna relación entre la interpretación par-titiva de división y las unidades fraccio-narias por un lado, y la interpretacióncuotativa (medida) y las unidades enteraspor otro.

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INVESTIGACIONES CENTRADAS EN FRACCIÓNY Ng RACIONAL

Uno de los contenidos matemáticosespecíficos más abordados en las investi-gaciones sobre el conocimiento del profe-sor es el de fracción y número racional, endistintos contextos y desde perspectivas di-versas (Ball, 1990b; Marks, 1990; Post, Ha-re], Behr, y Lesh, 1991; Llinares, 1991a,1994; Llinares y Sánchez, 1991, 1996; Sán-chez y Llinares, 1992; Llinares, Sánchez yGarcía, 1994; Philippou y Christou, 1994;Pinto y Tall, 1996). La información obteni-da sobre el aprendizaje de los números ra-cionales fue utilizada ya en los ochentapara analizar el conocimiento de conteni-do pedagógico de los profesores de prima-ria sobre esa área y ha sido revisado entrabajos como el de Llinares, 1991b.

Podemos aquí encuadrar los trabajosde Post y sus colaboradores (Post et al.1991), uno de cuyos objetivos es la elabo-ración de un programa de formación deprofesores, que ayude a la comprensión delas nociones que enseñan. Estas investiga-ciones se fundamentan en la idea de que através de las respuestas de los profesoresse pueden extraer los argumentos que ba-san sus acciones. El procedimiento utiliza-do consistía en tres partes: un cuestionariode preguntas cortas, sobre distintos aspec-tos de los números racionales (orden, equi-valencia, concepto de unidad, etc.);resolución de seis problemas; y una entrevis-ta que proporcionara explicaciones y comen-tarios sobre los procesos y procedimientosempleados para resolverlos. Algunas de lascuestiones se recogen en el cuadro V:

CUADRO VCuestiones de la Parte 1. Post, Harel, Behr y Lesh, 1991

«Ordenar de menor a mayor: 5/8, 3/10, 3/5, 1/4, 2/3, 1/2»,

«¿Qué le sucede al valor de la fracción a/b si "a" se multiplica por 4y "b" se divide por dos.N.

«Marisa compró 0,46 libras de harina por 0,83$. ¿Cuántas libras de harina puede comprar con ISA.

Los resultados muestran que muchosprofesores tenían dificultades en resolverlas cuestiones y problemas. Además, en al-gunos casos, aún resolviendo correcta-mente los problemas, las explicacionesque proporcionaban para justificar el pro-cedimiento empleado en la resolución delproblema eran difícilmente aceptables.

Por otro lado, Ball (1990b) analiza el co-nocimiento de la «división con fracciones»de futuros profesores de primana y secunda-ria, pasando después a una discusión, másgeneral, de dimensión cualitativa del conoci-

miento matemático. Los participantes fue-ron 252 futuros profesores (217 de prima-ria y 35 de secundaria) en el momento enque ellos entran en el programa de forma-ción de profesores en diversas Universida-des. El proyecto diseñado es longitudinal;en intervalos repetidos se les administróun cuestionario a todos los participantes, yse entrevistó y observó una muestra máspequeña de ellos en el programa de for-mación y en el primer año de enseñanza.Un ítem del cuestionario es mostrado en elcuadro VI.

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CUADRO VIítem del cuestionario. Ball, 1990b

¿Cuál de los siguientes enunciados sirve para ilustrar lo que significa 1/4:1/2?

Elige todos las que sean aplicables.

a) En un recipiente caben 41/4 vasos de leche. ¿Cuánta leche es necesaria para la mitad de/lote?

b) Se tarda 4 1/9 horas para conducir 200 millas. ¿Cuánto recorrerás en media hora?

c)Jim necesita 4 1/9 libras de lentejas. ¿Cuántos sacos de media libra debería comprar?

d) Ninguno de éstas. En cambio:

e) No estoy seguro.

La mayoría de las cuestiones eran ana-lizadas a través de varias dimensiones:comprensión de la materia específica,ideas sobre enseñanza, aprendizaje y pa-pel del profesor, y sentimiento y actitudessobre matemáticas, alumnos o sí mismo.Los resultados del análisis de las cuestio-nes y entrevista al comenzar el curso reve-lan las comprensiones matemáticas que loscandidatos a profesores de primaria y se-cundaria traen con ellos a la formación deprofesores desde sus experiencias mate-máticas universitarias y preuniversitarias,comprensiones que tienden a estar limita-das al uso de reglas y compartimentadas.Basándose en estos datos, la autora cambiatres suposiciones comunes sobre aprendera enseñar matemáticas de primaria o se-cundaria, que según ella están en las prác-ticas de formación de profesores: i) elcontenido matemático escolar tradicionalno es dificil, ii) la educación preuniversita-ria proporciona a los profesores mucho delo que ellos necesitan conocer sobre lasmatemáticas y iii) la especialización en ma-temáticas asegura conocimiento de la ma-teria específica. Una propuesta de esteestudio es reformar la preparación de losprofesores, trabajando con lo que traen alos cursos de formación y ayudándoles atrasladarse hacia la comprensión matemáti-ca necesaria para enseñar matemáticas de

una manera coherente con las recomenda-ciones y tendencias que sobre la enseñan-za-aprendizaje de las matemáticas sesugieren desde distintos ámbitos (NCTM,1989, 1991).

Desde una perspectiva distinta, Marks(1990) intenta describir el conocimiento decontenido pedagógico en matemáticas deprofesores realizando un estudio centradoen el tópico «la equivalencia de fraccio-nes». Los participantes fueron ocho profe-sores de primaria, seis experimentados ydos noveles. A cada uno de ellos se le re-alizó una entrevista, basada en tareas sobrela enseñanza de la fracciones en el cursode quinto. La información obtenida sugieremodificaciones en la concepción del cono-cimiento de contenido pedagógico delprofesor y que se revise la práctica de laformación de profesores. Desde este traba-jo se sugiere que: el conocimiento de con-tenido pedagógico está compuesto decuatro áreas (comprensión de los estudian-tes, medios de instrucción, matemáticaspara la instrucción y procesos de instruc-ción); dado que el conocimiento de conte-nido pedagógico contiene elementos delconocimiento pedagógico general y delconocimiento de la materia, presenta am-bigüedades y su definición es dificil; y se-ría conveniente plantear una aproximaciónal conocimiento de contenido pedagógico

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en la formación profesional a través de dis-tintos caminos.

Así mismo, investigadores cómo Llina-res y Sánchez han dedicado gran parte desus estudios al tópico «fracción», centrán-dose en diversos aspectos del conocimien-to de los futuros profesores. El objetivo delproyecto desarrollado por ellos fue exami-nar el conocimiento de contenido pedagógi-co (Shulman 1986) de futuros profesores deprimaria sobre fracciones. A lo largo delproyecto afinares y Sánchez, 1996), se vanexplicitando distintos focos de atención: i)estudiar el empleo de diferentes repre-sentaciones instruccionales para dotar designificado a la noción de fracción (Llina-res, 1991a); ii) la comprensión de los estu-diantes para profesores de primaria de lanoción de unidad en dos tipos de tareascon dos sistemas de representación ins-truccional (Llinares y Sánchez, 1991); iii)relación entre la idea de fracción y el usode un referente concreto, y cómo los futu-ros profesores utilizan esos referentes paragenerar explicaciones sobre los procesosseguidos para obtener las fracciones equi-valentes (Sánchez y Llinares, 1992); iv)

análisis de las características del «pensa-miento recurrente» (Kieren, 1994), que losestudiantes para profesor de primaria pue-den desarrollar al pensar en los conceptosmatemáticos como un «conocimiento a en-señar» (Llinares el al. 1994; Llinares y Sán-chez, 1996).

El análisis del conocimiento de conte-nido pedagógico del futuro profesor sobrelas fracciones se hace a través de la teoríasobre el desarrollo de la competencia conlos símbolos matemáticos propuesta porHiebert (1988). Esta teoría describe una su-cesión jerárquica de cinco procesos cogniti-vos. El estudio del uso de diferentesrepresentaciones instruccionales para darsignificado a las fracciones (Limares, 1991a)se centró en dos de los procesos cognitivos:la conexión de los símbolos individuales conalgún referente concreto y la elaboración deprocedimientos de manipulación de símbo-los. Por la necesidad de una triangulariza-ción metodológica para el desarrollo delproyecto, se diseñaron una serie de instru-mentos metodológicos: entrevistas, cuestio-nario y estudio de caso (cuadro VII).

CUADRO VIIÍtems del cuestionario presentado. Llinares et al. 1994

«Si es el todo ¿Qué es ? a) 2 b) 2/3 c) 1+1/2 d) ninguna»

«Si 000 es la unidad ¿Cuánto es 2/3? a) 000 b) 000 c) 000 d) ninguna».000 000

000

Las conclusiones y puntos de discu-sión a la que llegan los autores están refe-ridos a los distintos centros de atenciónreseñados. En el primero de ellos se plan-tea que las mayores dificultades se le pre-sentaron a los estudiantes en las tareas confracciones mayores que la unidad; la fuertevinculación de la noción de fracción a lainterpretación parte-todo en la mayoría de

los casos; la incapacidad de algunos futu-ros profesores de primaria para identificarla unidad, para representar algunas frac-ciones con fichas y para trabajar con frac-ciones mayores que uno. Además, sediscute con detalle la conexión de símbo-los individuales con referentes concretos, ycómo esos referentes son usados para ge-nerar explicaciones sobre los procesos se-

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guiclos (equivalencia y orden). Según esteestudio, las dificultades de los futuros pro-fesores se originan en dos situaciones: i)en relación con el tipo de ítem dado, cuan-do no se le pide generar la fracción sinocuando el numerador o denominador esdado, lo que puede entrar en conflicto consu procedimiento de generar fracciones, yii) en un intento de explicar con referentesconcretos los procesos seguidos. Desde laperspectiva de considerar que el conoci-miento de contenido pedagógico se gene-ra desde la comprensión del contenidomatemático, el tipo de comprensión des-crita en algunos de estos casos puede noser lo más conveniente cuando se tienenque usar representaciones instruccionalespara modelar procesos matemáticos en en-señanza primaria.

En relación con las características del«pensamiento recurrente» que los estu-diantes para profesor de primaria puedendesarrollar al pensar en el concepto defracción como un «conocimiento a ense-ñar» afinares el al. 1994; Llinares y Sán-chez, 1996), el foco fue la existencia derelaciones entre: el significado dado alconcepto de fracción por los estudiantespara profesores de primaria, el sistema derepresentación empleado y el tipo de tareaplanteada. Se intentó a través del análisisrealizado explicar los valores observados apartir de la influencia de las variables ante-riores, consideradas aisladas o en grupos.La discusión de este estudio fue a dos ni-veles: profundización del análisis del pro-blema conceptual planteado, factores en elproceso de aprender a enseñal (basándoseen la idea de que cuando el estudiantepara profesor se plantee la posibilidad deque otros construyan el conocimiento ma-temático se apoyará, inicialmente, en elsignificado que él había dado a esas nocio-nes en la escuela, pensamiento recurrente)

y aspectos concretos de la propia contex-tualización al caso de fracciones.

Respecto al primer nivel, los resulta-dos aportan nuevas ideas en relación condos aspectos de la enseñanza de las mate-máticas en primaria. En primer lugar, paraestos autores el tener una formación mate-mática específica, en principio, no implicael que se tenga la capacidad de pensa-miento recurrente entre las característicasde la comprensión de un concepto o no-ción matemática a un nivel elemental. Ensegundo lugar, se observó en el estudio so-bre las respuestas al cuestionario: poca in-fluencia sobre el porcentaje de éxito delmodo de representación frente a las otrasdos variables consideradas, magnitud de lafracción, donde las fracciones mayores queuno aumentan la dificultad, y tipo de tareaplanteada'. Este estudio hace una llamadaa los programas de formación del profeso-rado para que parte de su atención vayadirigida al desarrollo del pensamiento re-currente vinculado a tópicos concretos,como núcleo sobre el que se articula el co-nocimiento de contenido pedagógico delprofesor.

Por otro lado, Philippou y Christou(1994), como parte de un amplio programacuyo objetivo es profundizar en el conoci-miento, actitud y capacidades matemáticasde futuros profesores de primaria, al entraren un programa de formación de profeso-res, se centran en la comprensión procedi-mental y conceptual de las fracciones delos futuros profesores. Los participanteseran 83 futuros profesores de primaria, y elinstrumento utilizado un cuestionario con30 preguntas, algunas de las cuales provie-nen de los trabajos de Simon (1993), conlas que se pretendía evaluar los distintosconocimientos; un ejemplo de los ítems ydel conocimiento evaluado aparece en elcuadro VIII. Entre la información obtenidadestacamos que, aunque los futuros profe-

(2) Ver Revista de Educación, núm. 304, pp. 199-225, para un desarrollo más amplio de estas cuestiones.

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sores tienen un conocimiento simbólico yalgorítmico de las fracciones bastanteapropiado, sin embargo no parecen tenerconexiones entre ellos. Las conclusionesde este estudio están en consonancia conlas obtenidas por otros investigadores

como Ball (1990a) y Simon (1993), yvuelven a hacer una llamada a los res-ponsables de los cursos de preparaciónde profesores en la línea de potenciarlas conexiones antes que impartir másinformación.

CUADRO VIIIEjemplo de ítenzs usado en el estudio. Pbilippou y Cbristou, 1994

PROBLEMAS CONOCIMIENTO EVALUADO

1.— a) 1/5 + 7/5, b) 16 - 3/5, c) 1/2 x 4 1/2, d) 1/3.1/6e) En la multiplicación de fracciones el resultado es

siempre más grande que los factores. Sí No.

Procedimental

2.— Escribe tres diferentes problemas con enunciadoque se resuelvan dividiendo 51 entre 4, y para las que lasrespuestas fueran respectivamente: a) 12 1/4 b) 13c) 12

Conexión entre situaciones del mundo real ycomputación simbólica

El centro de atención del trabajo de Pin-to y Tall (1996) son las imágenes sobre losnúmeros racionales que .tienen estudiantespara profesor de primaria y secundaria. Ba-sándose en los estudios sobre la definicióndel concepto («concept definition») y la ima-gen ;del concepto («concept image»), asícomo de la relación del concepto con la de-finición, realizado por diversos investigado-res (Sierpinska, 1992; Vinner, 1991, entreotros), este trabajo analiza los datos recogi-dos de las entrevistas realizadas a siete estu-diantes. En las distintas entrevistas se lespreguntaba las definiciones de número ra-cional e irracional, y se les pedía que clasifi-caran una lista de números reales, enracionales e irracionales. La información ob-tenida a través de los datos y posterior análi-sis muestra que los participantes tienen unagran diversidad de imágenes sobre los nú-meros racionales. Así mismo, estos autoresafirman que «una presentación formal de lamateria específica y trabajo formal con nú-meros no anima a los estudiantes a preocu-parse de la reconstrucción de su "conceptoimagen" desde la definición de número racio-nal» (Pinto y Tall, 1996, p. 141).

INVESTIGACIONES CENTRADAS EN ELCONCEPTO DE FUNCIÓN

Siguiendo con las variables que articu-laban este estudio, otra área a la que se haprestado un interés muy especial es la re-lacionada,con las funciones, contenidopor otra parte clásico en las Matemáticasescolares. Un esquema analítico de cono-cimiento de las matemáticas para enseñarconceptos matemáticos en general, y lafunción en particular ha sido construidopor Even (1990, 1993). Apoyátidose enél, investiga el conocimiento de las mate-máticas de los profesores y sus interrela-ciones con el conocimiento de contenidopedagógico eel contexto de enseñanzadel concepto de función. Este esquemaestá compuesto de siete aspectos que se-gún la autora constituyen facetas princi-pales del conocimiento de matemática delos profesores sobre un tópico específi-co: rasgos esenciales, representacionesdiferentes, formas alternativas de aproxi-mación, el valor del concepto, repertoriobásico, conocimiento y comprensión del

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concepto y conocimiento sobre las ma-temáticas.

Los participantes en la investigaciónde Even fueron 152 futuros profesores desecundaria en el último año de su prepa-ración formal (10 de éstos fueron entrevis-tados en profundidad). Respecto de losinstrumentos, utiliza en un primer mo-mento un cuestionario que incluía dos ti-pos de ítems, problemas no usualesdirigidos a los diferentes aspectos del co-nocimiento de funciones de los profeso-res y soluciones erróneas o malos

entendidos de los estudiantes para ser ana-lizados (cuadro X). Más tarde se realizabauna entrevista y de nuevo el mismo cues-tionario. La entrevista constaba de dos par-tes: en la primera se le presentaba a lossujetos ítems que requerían respuestasmás largas, generales, y más pensadas quelas del cuestionario (cuadro DO; en la se-gunda parte, a los entrevistados se les pe-día que reflexionasen sobre sus pensamientos,y explicasen y clarificasen sus contest-aciones al cuestionario (las sesiones erangrabadas y transcritas).

CUADRO IXEjemplos de ítems. Even, 1993

Ejemplos de ítem del cuestionario:

1.— «a) Dar una definición defunción.b) Un estudiante dice que él/ella no entiende esta definición. Dar una visión alternativa que pueda

ayudar a la comprensión del alumno.»

2.— «¿Cómo están relacionadas las funciones y las ecuaciones?».

Ejemplos de ítem de la entrevista:

1.— «Dar un ejemplo defunción»

2.— '.Es importante ensenar el test de línea vertical para gráficas de funciones a los estudiantes? ¿Por qué?¿Qué es el test de línea? ¿Qué enseñarías a tus alumnos? ¿Cómo lo enseñarlas? ¿Puedes darme un ejemplo»?

El análisis y categorización de las res-puestas de los cuestionarios y las entrevis-tas permitió señalar que el conocimientode los futuros profesores de las funcionestiende a ser «débil» y «frágil», en el sentidode que no se puede asumir que tengan unconocimiento bien articulado y comprensi-vo de las matemáticas que tienen que en-señar. Como consecuencia, y según estaautora, los futuros profesores necesitancursos especiales además de los cursos re-gulares de matemáticas en los que puedanaprender «matemáticas para profesores»;en ellos necesitan encontrar el contenidode las matemáticas que tienen que enseñaren formas diferentes de las que ellos ha-

bían usado previamente. Sugiere que loscursos sean desarrollados a la luz de los as-pectos del marco descrito anteriormente ynecesario para profundizar e integrar el co-nocimiento que se necesita para enseñar(Even, 1990; Even, Tirosh y Markovits,1996). Un interés más profundo por el pri-mero de los aspectos, «rasgos esencialesdel concepto de función», lleva a esta au-tora a preguntarse por los rasgos esencia-les del concepto de función queactualmente se maneja. Tratando de pro-porcionar una respuesta, investiga las inte-rrelaciones entre el conocimiento decontenido y el conocimiento de contenidopedagógico de los profesores relativo a

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dos rasgos esenciales del concepto de fun-ción: arbitrariedad y univalencia. El análisismuestra que algunos de los sujetos no tie-nen una concepción de función de acuer-do con la definición actual del concepto defunción. La apreciación de la naturaleza ar-bitraria de las funciones estaba ausente ymuy pocos podían explicar la importanciay origen del requerimiento de la univalen-cia. Esta concepción limitada de funcióninfluencia el pensamiento pedagógico delos sujetos. Por lo tanto, cuando describenfunciones para los alumnos, muchos usansu «concepto imagen» (Vinner, 1983) ytienden a no emplear términos modernos.Además, muchos eligen ciar a los estudian-tes reglas para seguirlas sin tener en cuentala comprensión.

Una conclusión inmediata de este es-tudio (Even, 1993) es la necesidad de me-jorar la preparación en Matemáticas de losprofesores si queremos una mejora de laenseñanza. Esto no significa cambiar el nú-mero de cursos, sino diseñarlos de formadiferente, en línea con el punto de vistaconstructivista de la enseñanza y el apren-dizaje. Pero esto no es suficiente; tambiénlos profesores han de desarrollar un reper-torio diferente de herramientas de ense-ñanza. El razonamiento pedagógico(Shulman, 1987) depende, además de re-

forzar el conocimiento de Matemáticas, deuna integración de diferentes dominios deconocimiento. Por lo tanto, una buena«preparación pedagógica» de matemáticastambién es necesaria. Esta preparación es-taría basada en una comprensión concep-tual y capacitaría a los profesores paraenseñar con el espíritu de los EstándaresProfesionales para la Enseñanza de las Ma-temáticas (NCI"M, 1991).

El indagar sobre el conocimiento decontenido pedagógico del profesor de se-cundaria centrado en las funciones lleva aesta misma autora en colaboración conMarkovits (Even y Markovits, 1991) a reali-zar un estudio centrado en dos aspectosinterrelacionaclos del mismo: el conoci-miento de los profesores y la comprensiónde los errores, concepciones y precon-cepciones de los estudiantes, y las res-puestas de los profesores a cuestiones delos alumnos. Otro de los objetivos deeste estudio es investigar sobre «el usopotencial del instrumento de investiga-ción y los resultados en la formación deprofesores» (Even y Markovits, 1991). Elinstrumento utilizado fue un cuestionarioformado por tareas que describían situa-ciones en las que los profesores debíancontestar a ideas o preguntas de losalumnos (cuadro X).

CUADRO XTarea presentada en el cuestionario. Even y Markovits, 1991

«Un alumno te pregunta por qué es necesario requerir una imagen única para todos los elementos deldominio de definición de la función. ¿Qué responderlas?»

Las respuestas al cuestionario de losprofesores participantes eran analizadascon respecto a tres dimensiones: conoci-miento de contenido, conciencia de las di-ficultades de los estudiantes y clases drespuestas de los profesores. La informa-ción obtenida de estos análisis lleva a estosautores a pensar que, asumiendo que elconocimiento de contenido pedagógico es

fundamental para la enseñanza, deberíaser un aspecto fundamental de la forma-ción de futuros profesores. Pero esta for-mación, evidentemente, no puede abarcartodos los aspectos del mismo, por lo quese debería, a lo largo de la misma, dar unabase fuerte para que los profesores pudie-ran ir construyendo su propio conocimien-to de contenido pedagógico. En este

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sentido, comentan que las tareas que ellosproponen, que conllevan conocimiento delas matemáticas y estilos de enseñanza,pueden ayudar a tal fin.

La importancia de las formas de pre-sentación del contenido por parte de losprofesores, y en dos fuentes de la misma.el «conocimiento sobre el contenido» y el«conocimiento sobre los estudiantes» enrelación con las funciones y las operacio-nes matemáticas no definidas, hace queEven y Tirosh (1995) profundicen en esasfuentes. Para ello, diseñaron un cuestiona-rio que realizaron 33 profesores de secun-daria participantes en un curso deformación permanente para indagar sobresus concepciones de cuatro operaciones nodefinidas (4/0, 0/0, 0`) (-8)"). Posterior-mente fueron entrevistados sobre sus opi-niones y reacciones a una lista dedefiniciones de tales operaciones que se supo-nían habían dado los alumnos. La informaciónobtenida del análisis de los cuestionarios yentrevistas lleva a estas autoras a distinguirentre conocer-qué y conocer-por qué (Eveny Tirosh, 1995, p. 17) y comentan que nosiempre está claro qué significa conocer-qué para funciones, o conocer-por quépara operaciones no definidas. Además, aveces era imposible precisar si un profesorconocía-qué. Una sugerencia importantepara próximas investigaciones es profundi-zar en el conocimiento de las matemáticasde los profesores.

Respecto del conocimiento de los pro-fesores sobre los estudiantes, sugieren quepuede ser útil usar los términos anteriores.En relación con conocer-qué, comentanque, a la luz de los resultados de su estu-dio, los profesores no intentan compren-der las fuentes de las respuestas de losestudiantes. Explícitamente proponen queel estudio de tópicos incluidos en el currí-culum de secundaria, como los dos pre-sentados, formen parte de la formación deprofesores, ya que, aunque estos conteni-dos ya han sido estudiados por ellos en supropia formación secundaria, no se anali-

zan las concepciones de los estudiantes ylas formas de pensar en matemáticas.

Así mismo, Norman (1992) examina loque «conocen» los profesores de secunda-ria con experiencia sobre las funciones. Laaproximación usada en la descripción delconocimiento de los profesores de las fun-ciones contempla examinar el conocimien-to matemático de los profesores en uncontexto que refleje habilidades para des-cribir e ilustrar los conceptos relevantes enformas apropiadas para los alumnos. Nor-man incluye en el término función una fa-miliaridad con un amplio espectrum deaspectos del concepto, así como una pro-fundidad en la comprensión. Y, entendien-do la comprensión como asimilacióndentro de un esquema apropiado, este au-tor considera útil distinguir entre compren-sión instrumental y relacional. La primerase refiere a una comprensión algorítmicade un concepto o proceso, y la segundaviene de una comprensión de relacionesprofundas entre los conceptos y procesosasociados con un concepto o situaciónparticular. Al preguntarse por las formas decomprensión que un profesor puede mos-trar, este autor considera varios aspectosgenerales: ejemplificación y caracteriza-ción de funciones, habilidad para usar fun-ciones en una variedad de formas ycontextos y la expresión de razonamientofuncional. Los participantes fueron 8 profe-sores que enseñaban o habían reciente-mente enseñado matemáticas en el nivel desecundaria. Todos habían realizado cursosde análisis, álgebra, etc., aunque dos de elloseran especialistas en música.

El instrumento utilizado fue la entre-vista. Cada una de ellas se dividía en cincoáreas: a) definiciones formales e informa-les y ejemplos, b) emparejar ejemplos conlas definiciones, c) identificación y produc-ción de ejemplos y contraejemplos, d) in-terpretación del concepto de función paralos alumnos y e) razonamiento funcional,aplicaciones y funciones en marcos mate-máticos más sofisticados (cuadro XI).

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CUADRO XIParte de un ítem de la entrevista. Norman, 1992

Identificar la funcionalidad de grdficos, tales como:

El gráfico cie f Z -- N donde f(z) es el menor positivo módulo 3. Este gráfico era dibujado como una colecciónde puntos discretos sobre un sistema de ejes cartesianos.

Según este autor, los resultados delestudio no indican una comprensión pro-funda uniforme del concepto de funciónentre los profesores participantes. La ma-yoría de los profesores tenían lagunas ensu conceptualización. Haciendo las si-guientes observaciones: aprueban las de-finiciones informales de función que sonútiles para determinar la funcionalidadde las relaciones; prefieren repre-sentaciones gráficas de funciones a sim-bólicas o numéricas; algunas vecesexhiben un concepto único fijado cuandointerpretan funciones; no han construidoconexiones fuertes entre sus definicionesinformales de función y las ven como ladefinición matemática formal; identificanejemplos estándares de funciones, pero ensituaciones más complejas algunas vecesse fían de test inapropiados e incorrectosde funcionalidad; tenían algunas dificulta-des inventando e identificando situacionesfísicas que ocasionan relaciones funciona-les; están bastante enterados de la evolu-ción del concepto de función a través desus textos; y parecen cómodos con aproxi-maciones tradicionales para la introduc-ción y desarrollo del concepto de funciónen marcos de enseñanza. Basándose en losresultados de esta investigación, sugiereque puede que no todos los profesores dematemáticas de secundaria dominen sucampo matemático, particularmente cuan-do se trata de la comprensión de funcionesy la articulación de su conocimiento deellas. Por lo tanto, dada la importancia deeste concepto, es esencial que los educa-dores matemáticos presten atención a la ta-rea de determinar qué conocen nuestros

profesores de las funciones y cómo su conoci-miento se expresa en la clase (Norman, 1992).

INVESTIGACIONES CENTRADAS EN OTROSCONTENIDOS MATEMÁTICOS

Algo que llama la atención es el inte-rés despertado por los tópicos matemáti-cos anteriormente tratados frente a otrosque también están presentes en las mate-máticas a través de los distintos niveles deenseñanza. Estos últimos contenidos son elcentro de este apartado.

Una línea de investigación desarrolla-da por Vinner y sus colaboradores en ladécada de los ochenta ha sido la base degran número de estudios. Entre ellos está elrealizado por Gutiérrez y Jaime (1996) conel fin de analizar la comprensión de estu-diantes para profesores de primaria, delconcepto de altura de un triángulo. El ins-trumento utilizado fue un test, con el quese quería ver dicha comprensión y la in-fluencia que sobre ella ejercían los conoci-mientos previos. Este trabajo se completaprofundizando en la relación que puedeexistir entre el conocimiento de los con-ceptos más elementales que giran alrede-dor de la altura de un triángulo y lautilización de dicho concepto. El análisisde los resultados de los tests lleva a estosautores a afirmar que las imágenes con-ceptuales de los estudiantes para profesorde primaria y los propios alumnos de pri-maria están muy próximas. Así mismo,apuntan que los tipos de errores detecta-dos tienen su origen en imágenes concep-tuales basadas en ejemplos o figurasprototípicas. De igual forma, comprueban

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a través de su análisis que el desconoci-miento de conceptos básicos en los que sefundamenta el concepto de altura de untriángulo es uno de los orígenes de loserrores cle los futuros profesores. A partirde esta información, sugieren una serie deideas con respecto a la formación de losfuturos profesores, ven la necesidad deque en su preparación realicen análisismatemático de los conceptos y didácticode la comprensión de los conceptos y sub-conceptos por los niños, seguido de lasideas necesarias para la instrucción de losmismos.

Por otro lado, Battu° y Nason (1996)han desarrollado un proyecto de investiga-ción, uno de cuyos principales objetivos esdescribir la comprensión de estudiantespara profesores de primaria del «conoci-miento de contenido matemático», centra-do en el tópico matemático de «área». Paraestos investigadores este conocimiento in-cluye: conocimiento sustantivo, conoci-miento sobre la naturaleza y discurso dematemáticas, su disposición hacia las ma-temáticas y su conocimiento sobre mate-máticas en sociedad. Los participantes enel proyecto eran entrevistados individual-mente mientras realizaban ocho tareas di-señadas con el fin de profundizar en losaspectos anteriores. El análisis de la infor-mación obtenida lleva a estos investigado-

res a afirmar que el «conocimiento de lamateria» (en el caso del área) que tienela muestra de futuros profesores a losque se le ha realizado la entrevista es denaturaleza pobre. Esto podría conducir,según los autores, a limitar sus habilida-des para ayudar a sus alumnos a desarro-llar una comprensión significativa eintegrada de los conceptos y procesosmatemáticos.

Los intentos de describir el conoci-miento de las matemáticas y el conoci-miento de contenido pedagógico delconcepto de límite, así como las creenciasque tenían sobre esos conocimientos futu-ros profesores de matemáticas de secunda-ria ha llevado a autores como Lee (1994) adesarrollar investigaciones en esta línea.Para ello diseñó un cuestionario que reali-zaron ocho futuros profesores de secunda-ria, en su último año de formaciónprofesional; cuatro de los participanteseran entrevistados posteriormente. En elcuadro XII mostramos uno de los Ítems delcuestionario y las preguntas en relacióncon ellas que este investigador realizó enlas entrevistas. A partir del análisis de losdatos obtenidos, considera que el grupoestudiado no está capacitado para com-prender realmente el contenido matemáti-co, y sus inseguridades sobre dichocontenido permanecen.

CUADRO XIIÍtem y cuestiones relacionadas presentadas a los participantes. Lee, 1994

Ítem del cuestionarla*

Es 0, 999. igual a 1 o menor que 1» ¿Por qué?

Cuestiones de la ealrevisla:

1.— ¿Piensas realmente que 0,999. . -1 ? ¿Explica por qué?

2.— Si uno de tus alumnos dice «mi profesor me dice que 0,999. . =1, pero no lo comprendo» ¿Cómoexplicarías eso?

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Las concepciones de los futuros profe-sores de primaria sobre las nociones dealeatoriedad yprobabilidades el centro deun trabajo de investigación desarrolladopor Azcárate (1996). A través de un cues-tionario y una entrevista posterior a un gru-po de estudiantes para profesores deprimaria, se intenta profundizar en las con-cepciones que sobre este contenido tiene elcolectivo estudiado. Otros investigadores hancentrado su atención en las heurísticas de re-solución de problemas de profesores de ma-temáticas de secundaria (Carrillo, 1996).

También el conocimiento de los profe-sores sobre los errores de sus alumnos hasido objeto de algunas investigaciones; enconcreto, en relación con el álgebra men-cionaremos el trabajo de Wanjala y Orton(1996), parte de un proyecto más ampliocon diversos objetivos. Los participantesfueron profesores de secundaria, que res-pondieron a un cuestionario con tres par-tes en las que se les pedía: ordenar enorden de dificultad una serie de subtareas,predecir los posibles errores de sus alum-nos en una serie de tareas, identificar erro-res en una serie de ejemplos realizados porlos alumnos y sugerir estrategias de ense-ñanza para remediarlo. Entre otras consi-deraciones obtenidas por el análisis de losdatos, estos autores comentan que existeun grupo, que aunque pequeño es preo-cupante, de profesores que no tiene unaclara apreciación de los niveles de dificul-tad de las tareas. Además, muchos profeso-res parecen poner el énfasis en lamanipulación simbólica frente a aspectosde significado. Esta reflexión relativa a suárea matemática de estudio nos parece quepuede ser extendida a otros campos yáreas de las matemáticas escolares.

ESTUDIOS CENTRADOS EN DESCRIBIR<CAMBIOS»

Sin negar la indudable importancia delas investigaciones centradas en momen-

tos, otros autores consideran necesario unseguimiento del problema que permitaapreciar la consistencia o no de los resulta-dos obtenidos, así como aportar nueva in-formación. De este modo, como habíamoscomentado, existe un grupo de investiga-ciones que se centran en los cambios pro-ducidos en el conocimiento del profesor ylos factores que influyen en ellos, duranteun espacio de tiempo en el que se han de-sarrollado una serie de actividades enten-didas en un sentido amplio; son estudiosque intentan describir «cambios» por efec-to de algún tipo de intervención instruccio-nal. Estos estudios son el centro de lospárrafos siguientes.

En relación con los futuros profesoresde primaria, Llinares (1994) lleva a caboun estudio cuyo propósito fue tratar de di-bujar el papel que tienen las concepcionesprevias de los estudiantes para profesordurante su proceso de aprender a enseñar.Estas concepciones están unidas a la cultu-ra matemática escolar que caracterizanuestras escuelas. Los objetivos en este tra-bajo eran: analizar las características delconocimiento de contenido pedagógico ylos aspectos que influyen en su genera-ción, evaluar los factores que influencianlos procesos de razonamiento pedagógicoy estudiar cómo y por qué se desarrollan ycambian el conocimiento de contenido pe-dagógico y el razonamiento pedagógico através de una experiencia concreta de en-señanza. Los participantes corno parte delas tareas instruccionales del curso realiza-ron análisis de casos. El uso de los casostenía como objeto identificar característicasdel razonamiento pedagógico de los futu-ros profesores en situaciones hipotéticas.

La discusión de este trabajo aporta va-rias ideas: el conocimiento de tópicos mate-máticos de los estudiantes para profesoresde primaria está muy ligado al uso de sím-bolos y a la realización de tareas específi-cas; el aprendizaje matemático se entiendecomo el medio a través del cual conseguirhabilidad y maestría en realizar una serie

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de pasos con algunos procedimientosaritméticos; las concepciones sobre la en-señanza y el aprendizaje están centradassobre el «profesor como transmisor» y el«alumno como repetidor». Las implica-ciones generales desde estos datos seña-lan que: las matemáticas escolares sonconcebidas como «un conjunto de he-chos y procedimientos para ser aprendi-dos»; las creencias de los EPs sonconsecuencia del proceso de encultura-ción en la cultura escolar actual en nues-tras escuelas.

Por otro lado, Wilson (1994) examinael conocimiento y creencias desarrolladopor un futuro profesor de matemáticas,cuando participa en un curso de educa-ción matemática que enfatiza la conexiónmatemática y pedagógica, y las aplicacio-nes al concepto de función. En este trabajodescribe cómo u na futura profesora dematemáticas de secundaria comprendeuna parte importante de matemáticas,que espera enseñar. Concretamente, laintención del autor en este estudio eraexplorar los cambios en los significadosy comprensiones que la futura profeso-ra comunica sobre las matemáticas engeneral, y el concepto de función enparticular.

La participante era una estudiante uni-versitaria de 20 años, integrada en un cur-so diseñado con el objetivo de que los

futuros profesores determinasen el conte-nido para el currículum de matemática desecundaria y demostrasen competencia eneste contenido. Dicho curso se desarrollódurante 10 semanas, dos horas dos vecesen semana. Durante las primeras cuatro se-manas se obtuvieron, mediante una uni-dad de «prefunción», las concepcionesiniciales respecto a las funciones. La uni-dad de funciones desarrollada consistía enactividades diseñadas para ayudar a los fu-turos profesores a desarrollar una aprecia-ción de la importancia y potencialidad delas funciones y una habilidad para inter-pretar situaciones funcionales para resol-ver problemas relativos a funciones. Segrabó una sesión de resolución de proble-mas matemáticos junto con una serie deentrevistas con distintos objetivos comple-mentarios. La segunda de ellas, con el finde demostrar la forma de organizar su co-nocimiento sobre distintas clases de fun-ciones comunes en el currículum desecundaria, se basó en la técnica de rejillasde Kelly (1955). Se le daban diferentes fun-ciones, representadas mediante gráficas,algebraicamente, en tablas, y como situa-ciones reales, y se le pedía que clasificara,o hiciera subconjuntos de las distintas fun-ciones, de diferentes formas, describiendoy justificando su pensamiento mientras cla-sificaba. Algunas de las funciones presen-tadas se recogen en el cuadro XIII.

CUADRO XIIIFunciones presentadas en el estudio. Wilson, 1994

«x// -2 -1 01 2» log4(x+4)»

y// 6 3 O -3 -6

«El censo de 1990 mostró que "Central City" tiene una población de 40.000 personas. Los sociólogos predijeronque experimentará un crecimiento del 2 por 100 por ario en los próximos 20 años. ¿Cómo se puede predec irla población de cada uno de los próximos 15 años?»

180

Además, la estudiante planificó ycondujo una entrevista con un alumno,futuro profesor de la escuela media, paravalorar la comprensión de la función delos estudiantes. Por otro lado, el investi-gador observó todas las sesiones del cur-so de educación matemática dondeestaba la participante, tomó notas y ade-más utilizó los trabajos escritos de ella. Elanálisis de los datos lleva este autor aformular una serie de ideas sobre la com-prensión de las funciones antes de la uni-dad de funciones: su concepción de lasfunciones era consistente con su puntode vista de las matemáticas, que ella veíacomo una colección de procedimientosconcretos para ser aplicados en contextosaislados y obtener contestaciones correctasa problemas bien definidos; además, de-mostraba una comprensión débil de las re-laciones entre varias representaciones yprocedimientos. Por otro lado, mostrabapoca apreciación por la utilidad de las fun-ciones y estaba extremadamente limitadaen su habilidad para operar con y usar fun-ciones de formas significativas; el conoci-miento que tenía en esta área era limitadoy estaba fragmentado.

Después de la unidad de funciones,los resultados le llevan a pensar que se haproducido un cambio en la comprensiónde las funciones de la estudiante paraprofesor, ya que comprendió un impor-tante aspecto de las funciones, describirrelaciones entre las matemáticas y el mun-do real; esto la llevó a poder operar flexi-blemente con clases de funciones dadasen diferentes representaciones, usar fun-ciones para resolver problemas e identi-ficar otras conexiones importantes enmedio del concepto de función. Así mis-mo, este autor comenta que, aunque lafutura profesora ha visto formas alterna-tivas de enseñanza de las matemáticas,su punto de vista de las matemátieas yenseñanza de las matemátieas era toda-vía relativamente poco amplio al final delestudio.

Los resultados del estudio llevan a Wil-son (1994) a pensar, que, aunque es im-portante para los futuros profesoresconsiderar tópicos matemáticos avanza-dos, quizás se puede facilitar mejor loscambios en el punto de vista de los profe-sores sobre las matemáticas y la enseñanzade las matemáticas dándoles la oportuni-dad de reflexionar sobre sus propias con-cepciones, durante el aprendizaje de lasmatemáticas que ellos mismos tendránque enseñar. La idea sería que estas ex-periencias les permitieran hacer acomo-daciones en su sistema de creencias parareconocer formas alternativas de mate-máticas y enseñanza de las matemáticasy quizás asumirlas. Así mismo, los mode-los de formación de profesores de mate-máticas deberían integrar contenidomatemático y pedagogía, poniendo énfa-sis en actividades en las que los profeso-res reflexionen sobre lo que ellos piensande las matemáticas y la enseñanza de lasmatemáticas (Wilson, 1994).

Otro de los centros de atención de lasinvestigaciones que se ocupan del conoci-miento del profesor en relación con tópi-cos o áreas de contenido matemático es laresolución de problemas. En este contextose encuentra el trabajo de Puig (1996), en elintento de elaborar lo que él denomina«un modelo teórico local de la pura reso-lución de problemas». A través del estudiode un grupo de estudiantes para profesorde primaria, especialmente preparados, seintentan describir los elementos de un mo-delo de competencia (herramientas heurís-ticas, sugerencias heurísticas, destrezas conpotencial heurístico, métodos de resolu-ción con contenido heurístico, patronespausibles...) que este autor propone. Elinstrumento empleado fue la técnica de re-jillas (Kelly, 1955), en la que los elementosfueron 4 problemas en cada una de las dospruebas que se les hizo a los alumnos, (ini-cial-antes de la instrucción y final-despuésde la instrucción); un ejemplo de ellos apa-rece en el cuadro XIV.

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CUADRO XIVProblemas planteados en la prueba inicial. Puig, 1996

1.— Unas personas pensaban realizar un viaje de 5.000 Km. En su presupuesto habían incluido una ciertacantidad de dinero para gastarse en gasolina. Sin embargo, una oportuna bajada del precio de la gasolin lespermitió ahorrar 0,4 pesetas por kilómetro, con lo cual pudieron recorrer 250 Km más. ¿A cuánto ascendíasu presupuesto para gasolina?

2.— Sea Su -11, 2, 3, ..., nl. ¿Para qué valores de n se puede dividir Sn en dos subconjuntos tales que la sumade las elementos de cada subconjunto sea la misma?. Por ejemplo, S7 O, 2, 3, 4, 5, 6, 71 puede dividirse en/1,6, 71y12, 3, 4, 51.

3.— Dividir un triángulo en dos partes iguales mediante una paralela a la base.

4.— Probar que el cuadrado de un número impar cualquiera da resto 1 al dividirlo por 8.

Después de la resolución de los pro-blemas, los estudiantes para profesor de-bían resumir en pocas palabras en quéhabía consistido para ellos la tarea de re-solver el problema. El examen de las res-puestas condujo a la elaboración de unalista de 21 frases que constituyeron los de-nominados «juicios o componentes subje-tivas» (constructos). El relleno de la rejillase hizo mediante una valoración de O a 10según la importancia que había tenidocada juicio en cada uno de los cuatro pro-blemas considerados. A las matrices resul-tantes de las distintas pruebas se le realizóun análisis taxonómico.

La información obtenida de dichosanálisis permite a este autor hacer una se-rie de consideraciones; entre ellas: la rela-ción de las componentes subjetivas antesde la instrucción hace pensar que hay unaausencia total de acciones relacionadascon la fase de revisión-extensión del mo-delo de Polya; y los estudiantes para profe-sor consideran muy importantes para laresolución de problemas un grupo decomponentes formado por acciones rela-cionadas con la comprensión de los pro-blemas. A partir de las consideracionesrealizadas en este estudio, hay dos obser-vaciones que se presentan en esta investi-gación. En primer lugar, se sugiere que loque para un alumno es un problema dematemáticas dependerá de las prácticas es-colares vividas. Por otro lado, parece que

los aspectos heurísticos no forman partede la historia escolar de los estudiantespara profesor, y que además tampoco son«componentes espontáneas» del procesode resolución de un problema de matemá-ticas. Al comparar los análisis correspon-dientes a la prueba inicial y final, se puedenobservar los cambios producidos en las va-loraciones de las componentes subjetivas.Algunos de los aspectos destacados poreste autor son: los estudiantes para profe-sor, después de la instrucción, amplían elnúmero de aspectos que creen que inter-vienen al resolver un problema; y las com-ponentes de contenido heurístico seconsideran más importantes, al terminar elperíodo de instrucción, aunque dependede los problemas concretos.

Otro trabajo que investiga las estrate-gias de resolución de problemas y másconcretamente sobre el conocimiento«procesual» («conocer y usar con éxito lasestrategias para resolver problemas porellos mismos») es el realizado por Taplin(1996). Para este autor, este aspecto es unacomponente esencial que deben poseerlos profesores si desean enseriar con éxitomediante la resolución de problemas ma-temáticos. Los participantes en el estudioeran futuros profesores de enseñanza pri-maria, que formaban parte de un proyectopara desarrollar y evaluar una tutoría asis-tida por ordenador. Los datos se reco-gieron a través de un test, compuesto

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de 12 problemas cuyo contenido matemá-tico correspondía a primaria, al empezarel trabajo en la tutoría, y otro test similar,al terminar el período tutorial en el quehabían trabajado con seis de los proble-mas que habían presentado más dificul-tad en la prueba inicial. El análisis deestos clatos indica que los futuros profe-sores tienden a escoger un método y nolo cambian a pesar del período de tuto-ría. Por otro lado, se muestra la exist-encia de unas categorías de estrategiasmás usadas que otras, como son las ver-bales y numéricas en detrimento de lasvisuales y concretas. Así como un rangoreducido de estrategias utilizadas por losestudiantes. Toda esta información llevaa esta autora a cuestionarse si no seríaconveniente animar a los futuros profe-sores a ampliar y flexibilizar el rango desus estrategias para resolver problemas,con el fin de poder ofrecer a sus futurosalumnos una gran variedad de formas deresolución de problemas.

Por último, haremos mención a un es-tudio realizado por Simon y Blume (1994),sobre el razonamiento multiplicativo, con-siderado un aspecto del razonamientocuantitativo. Así, el centro del trabajo era elrazonamiento cuantitativo implicado «encomprender la evaluación del área de unaregión rectangular como una relación mul-tiplicativa entre la longitud de los lados»(Simon y Blume, 1994, p. 472). Los partici-pantes en el proyecto fueron 26 futurosprofesores de primaria en su primer cursode matemáticas; el estudio se basó en lasprimeras ocho sesiones. Todas las clases segrabaron y el trabajo de uno de los peque-ños grupos fue grabado en vídeo y audio.En cuanto a la estructura de las clases, nor-malmente, el profesor proponía un proble-ma o varios problemas, después losestudiantes trabajaban en grupos, y por úl-timo se desarrollaba una discusión en laclase entera. De los análisis de los trabajosy discusiones de los estudiantes para pro-

fesor, estos autores deducen que muchosde ellos no tenían una idea clara de porqué la relación existente entre «la longitudy el ancho de un rectángulo» y «su área»es un modelo de multiplicación. En esteestudio intentan concretar algunas de lascomponentes que hacen que surja esteproblema, entre ellas: un primer paso enel razonamiento cuantitativo implicadoen el área de un rectángulo es la estruc-tura de área cuantificada, y el razona-miento multiplicativo implica dosdimensiones. Una de las propuestas deestos investigadores va en la línea de re-saltar la importancia de construir «mode-los de pensamiento» de los estudiantes,con el objetivo de ofrecer herramientasútiles a los profesores, para comprenderel razonamiento y pensamiento de susalumnos (Simon y Blume, 1994).

Como hemos podido constatar, las in-vestigaciones que hemos ido analizandomuestran una preocupación clara sobre losaspectos relacionados con la formación deprofesores de matemáticas, tanto en lo re-ferente a su conceptualización, como en eldiseño de programa, ya sea en el contextoinicial y/o permanente. Este interés apare-ce ligado de forma inseparable a la profun-dización en el conocimiento del profesor ofuturo profesor y tópicos matemáticos es-pecíficos, manifestándose la necesidad deseguir indagando desde una perspectivaglobal. Se aprecia en estos trabajos la am-plitud del abanico de investigaciones quese han realizado o se están realizando enel campo de la Educación Matemática,centrados en el conocimiento del profesorde matemáticas y vinculado a un área decontenido específico, teniendo en cuentalos colectivos que se estudiaban, objetivos,instrumentos, conclusiones... (en loscuadros XV y XVI, aparecen agrupados lostrabajos bajo distintos criterios). Así mismo,estos estudios sirven para fundamentarotros aspectos que comentaremos en elapartado siguiente.

183

CUADRO XVEsquema de las investigaciones revisadas siguiendo las dos variables de organización

INVESTIGACIONES CON ÉNFASIS EN EL PROCESO DE APRENDER A ENSEÑAR

Estudios centrados en descripciónde «momentos»

Estudios centrados en descripciónde «cambios»

• Graeber et al., 1989 • Llinares, 1994

• Tirosh y Graeber, 1989, 1990a, 1990b • Simon y Blume, 1994

• Ball, 1990a, 1990b • Puig, 1996

• Marks, 1990 • Wilson, 1994

• Even, 1990, 1993 • Taplin, 1996

• Even y Nlarkovits, 1991

• Llinares, 1991a, 1994

• Llinares y Sánchez, 1991, 1996

• Post et al., 1991

• Norman, 1992

• Sánchez y 1.Iinares, 1992

• Simon, 1993

• Lee, 1994

• Llinares et al., 1994

• Philippou y Christou, 1994

• Azcárate, 1996

• liven y Tirosh, 1995

* Battu° y Nason, 1996

• Campbell, 1996

• Campos el al., 1996

• Castro y Castro, 1996

• Gutiérrez y Jaime, 1996

• Pinto y Tall, 1996

• Waniala y Orton, 1996

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CUADRO XVIEsquema de /as investigaciones revisadas por contenido matemático

y colectivo estudiado

TÓPICO FUTUROS PROFESORES PROFESORES EN EJERCICIO

Primaria Secundaria Primaria Secundaria

Estructuramultiplicativa

• Graeber el al., 1989

• Tirosh y Graeber, 1989,1990a, 1990b

• Ball, 1990a

• Simon, 1993

• Simon y illume, 1994

• Campbell, 1996

• Castro y Castro, 1996

' ball, 1990a • Campos el al., 1996 • Campos eta!., 1996

Númerosracionales/Fracciones

• Ball, 1990b

• Llinares, 1991a, 1994

• Llinares y Sánchez,1991, 1996

• Sánchez y Llinares.1992

• Limares el al., 1994

• Philippou y Christou,1994

• l'into y tau, 1996

• Ball, 1990b

• Llinares el al., 1994

• Pinto y Tal!, 1996

• Starks, 1990

• Post el al., 1991

Funciones

• Even, 1990, 1993

• Wilson, 1994

• Even y Tirosh, 1995

• Even y Markovits,1991

• Norman, 1992

Geometría• llamo y Nason, 1996

• Gutiérrez y Jaime, 1996

Probabilidad • Azcarate, 1996

Resolución deproblemas

• Puig, 1996

• Taplin, 1996

• Carrillo, 1996

Otros• Llinares, 1994 • Lee, 1994 • Even y Tirosh, 1995

• Wanjala y Orton,1996

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ALGUNAS REFLEXIONES

A lo largo de los párrafos anterioreshemos ido mencionando diversas investi-gaciones que, sobre el conocimiento delprofesor de matemáticas, unido a un tópi-co o área de contenido específico de mate-mática, se han desarrollado o se estándesarrollando en los últimos años. Esto nosha permitido hacer una reflexión globalsobre estos estudios. Esta reflexión nos lle-va a establecer inferencias en una doblevertiente. Por un lado, en relación con lascomponentes del conocimiento del profe-sor de matemáticas. Por otro, nos permiteuna visión conjunta de diseños de investi-gación y metoclologías que se han adapta-do más a las particularidades de estecampo de estudio.

CONOCIMIENTO DE CONTENIDOPEDAGÓGICO Y CONOCIMIENTO DEMATEMÁTICAS: UNA PERSPECTIVAEMPÍRICA DE LA INTEGRACIÓNC(X:NITIVA

En relación con las componentes delconocimiento del profesor de matemáticas,éstas han sido motivo de estudio desdedistintas perspectivas por muchos investi-gadores. El modelo base y sobre el que seha trabajado y discutido con más profusióny profundidad es el de Shulman y sus co-laboradores, a pesar de los comentariosque se han hecho sobre la ambigüedad dedeterminados conceptos (por ejemplo, co-nocimiento de contenido pedagógico,Nodding, 1992; Cooney, 1994), o la inclu-sión/relación entre algunos de los domi-nios por ellos propuestos (McEwan y Bull,1991). Dicho modelo nos parece conve-niente utilizarlo como eje de una segundalectura de las investigaciones comentadas,aunque la categorización no está exenta dedificultades. Además, a veces aún estandoexplícitamente detallado en las investiga-ciones el dominio o componentes conside-

radas el centro de las mismas, el propiodesarrollo del estudio muestra una mezclaentre ellos.

A través de las anteriores investigacio-nes podemos constatar que, junto a laspreguntas que pueden ser asociadas al co-nocimiento de matemáticas como: ¿qué co-nocen?, ¿cómo conocen?, ¿qué erroresmuestran?, etc. los profesores o futurosprofesores sobre determinadas áreas o tó-picos matemáticos, aparecen cuestionescomo: ¿qué conocen de los errores de losalumnos?, ¿qué representaciones conoceny utilizan?, etc., que pueden ser formuladaspara indagar en el conocimiento de conte-nido pedagógico. Aún cuando la relaciónentre ambas componentes del conocimien-to del profesor de matemáticas no esté cla-ramente manifestado en todos los estudios,está presente implícitamente en los plan-teamientos y discusiones que se realizanen las implicaciones. De alguna forma, laintegración cognitiva entre el conocimien-to de matemáticas y el conocimiento decontenido pedagógico centrado en uncontenido específico puede verse desdeuna perspectiva empírica a través de estasinvestigaciones.

Por otro lado, se puede constatar quehay una serie de lagunas tanto en pregun-tas que surgen a distintos niveles, como enrespuestas dadas a determinar cuestionesque la comunidad de educadores e inves-tigadores se plantean. Estas ausencias sedan tanto en los estudios centrados en dis-tintas fases temporales de la profesión oformación, futuros profesores y profesoresen ejercicio, como en los que se ocupan dedistintos niveles de enseñanza, primaria,secundaria y universitaria, y abren nuevoscampos de estudio que pueden ser fuentede futuros trabajos de investigación.

ACCESO A LAS COGNICIONES DELPROFESOR DE MATEMÁTICAS

Otro aspecto que se constata es el pro-fundo desarrollo y concretización de las in-

186

vestigaciones en las cogniciones del profe-sor, lo que conlleva problemas de muy dis-tinta índole que a lo largo de las páginasanteriores han manifestado (conceptos de-masiados vagos o ambiguos, otros muy con-cretos, significados distintos para una misma«etiqueta», «etiquetas» distintas para un mis-mo significado, entre otros). También un as-pecto problemático al que se han deenfrentar estos estudios es la forma de acce-der a las cogniciones del profesor. El deseode intentar estudiar y analizar lo que un pro-fesor conoce, siente, cree, sobre la enseñan-za, el contenido, los alumnos, desde losmismos profesores, dando la oportunidadde «expresarse» al profesor, ha llevado aun amplio rango de metodologías: estudiode casos, observación participante, cues-tionario, entrevista, red semántica, obser-

vación directa, análisis de casos, metáforas,etc., solos o combinados entre sí (Kagan,1990; Solas, 1992; Pope y Denicolo, 1993).Parte de estas cogniciones se tienen incons-cientemente, lo que hace que difícilmentepuedan ser expresadas directamente por elprofesor. Por ello, en los instrumentos utili-zados se intenta, en general, acceder a ellasde forma indirecta (Kagan, 1990; Solas,1992). Una idea de la situación en la que seencuentra este tema en Educación Matemáti-ca, y concretamente en las investigacionessobre el conocimiento del profesor de mate-máticas en relación con un tópico específico,podemos obtenerlo a través de una lecturade los estudios comentados en este capítulo,teniendo como eje los instrumentos utilizadospara dar respuestas a las distintas preguntasformuladas (cuadro XVII).

CUADRO XVIIInstrumentos utilizados en las investigaciones revisadas

Cuestionario Entrevista Técnica de rejillasOtros

(Redes semánticas,visionado de vídeos...)

• Gruber et al., 1989 • Graeber eta!. 1989 • Wilson, 1994 ' !linares, 1994

• Tirosh y Graeber, 1989lel b

• Tirosh y Graber, 198919, kt 1 ,,,I b

• Puig, 1996 • Simon y Mime, 1991.

• Wils( m, 1991~MEM1~11~1~111~1~• Post et al. 1 ,1

"M11111111111""all

MalaEIZENT~IMENEIMM• 1.Iinares y Sánchez, 1996 • Ilaturo y Nason, 1996

• Taplin, 1996 • Campbell, 1996

• Wanjala y Orton, 1996 • Camnos eta!., 1996

• Pinto y Tal!, 1996

187

Teniendo siempre presentes las pre-guntas y problemas anteriormente comen-tados: ¿Qué instrumentos son usados conmayor profusión por los investigadores?Sin lugar a dudas, son la entrevista y elcuestionario. Bajo estas etiquetas encontra-mos una gran diversidad de formas y es-tructuras. Nosotros las utilizaremosentendiéndolas en un sentido amplio. Así,entre los cuestionarios podemos encontrar:i) cuestionarios con preguntas cerradas deelección múltiple atinares el al., 1994); ji)cuestionarios con problemas, a resolver,redactar, comentar, situaciones hipotéti-cas... (Even, 1990, 1993; Even y Markovits,1991; Post el al., 1991; Castro y Castro,1996, entre otros). Respecto a las entrevis-tas, en general, son semiestructuradas, conel objetivo general de acceder con mayorfacilidad a las cogniciones del profesor, de-jándole una cierta libertad para expresarsus ideas, y efectuadas alrededor de larealización de tareas (Ball, 1990a, 1990b;Tiros!) y Graeber, 1989, 1990a, 1990b;Graeber eta!., 1989; Post eta!., 1991; Llina-res, 1991a, 1994; Even, 1990, 1993; Llinaresy Sánchez, 1991, 1996 etc.). Otros recursosque aparecen en las investigaciones son: elanálisis de casos, las redes semánticas, lasgrabaciones de una lección o clase impar-tida por el profesor, la observación de unaclase del profesor en la que el investigadortoma notas, el visionado por parte del pro-fesor de vídeos con sus alumnos resolvien-do tareas, la técnica de rejillas, etc..Recientemente se han retomado instru-mentos metodológicos habituales en otroscampos y que están sirviendo de base anuevas aproximaciones a las cognicionesdel profesor. En este sentido, el trabajo deGarcía (1997) basándose en la técnica derejillas ha supuesto una nueva aportaciónal campo metodológico.

Desde otro punto de vista, podríamosmirar a los instrumentos utilizados por losinvestigadores como medios con posibili-dad de actuar sobre y, en su caso, potenciarcambios en las conductas y cogniciones de

los profesores involucrados en los estu-dios. Los recursos metoclológicos, en ciertamedida, repercutirían en los elementosque intervienen en una clase y en las rela-ciones que pueden darse entre ellos.Como consecuencia intervendrían en eldesarrollo de los procesos del aula; estacaracterística puede encontrarse en la lite-ratura sobre el tema con distintas denomi-naciones, «validez ecológica», segúnKagan (1990), o «perfomance verifica-tion», según Leinhardt (1990), y es un as-pecto a tener en cuenta en el diseño deinstrumentos metodológicos.

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