MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

15 Maret 2017

Kuliah yang Lalu

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

11.8 Permukaan di Ruang

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari Ini

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah

12.5 Turunan berarah dan gradien

12.6 Aturan Rantai

12.7 Bidang singgung dan aproksimasi

12.8 Maksimum dan minimum

12.9 Metode pengali Lagrange

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3

12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4

• Menentukan daerah asal dan menggambargrafik fungsi dua peubah

• Menentukan kurva ketinggian dan meng-gambar peta kontur fungsi dua peubah

Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah

Setelah mempelajari fungsi satupeubah, baik yang bernilai skalarmaupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajarifungsi dengan dua (atau lebih) peubah, yang bernilai skalar.

Sebagai contoh, foto atau citra 2Dmerupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatukeping datar.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 5

T(x,y)

Fungsi Dua Peubah

Di sini kita akan membahassecara khusus fungsi duapeubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakansetiap titik (x,y) dalam suatudaerah D di R2 ke suatubilangan z = f(x,y) ϵ R.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 6

(x,y)

f

z =f(x,y)

Catatan

Himpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y) | (x,y) ϵ D} disebut daerah nilai f.

Bila tidak dinyatakan secara spesifik, makadaerah asal fungsi f adalah himpunan bagianterbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi.

Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y ≠ 0.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7

Contoh

Tentukan daerah asaldan gambarlah daerah tsb pada R2.

Jawab:

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8

221),( yxyxf

Grafik Fungsi Dua Peubah

Diberikan fungsi dua peubahdengan persamaan z = f(x,y), dengan (x,y) ϵ D, kita dapatmenggambar grafiknya, yaituhimpunan

{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) ϵ D}

di ruang R3.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9

x

y

z

Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

Latihan

Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan denganpersamaan

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10

22:),( yxyxfz

Kurva Ketinggian dan Peta Kontur

Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.

Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11

x

y

z

Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

z = k

Kurva ketinggian: x2 + y2 = k (bila k ≥ 0)

Kurva Ketinggian dan Peta Kontur

Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.

Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12

xy

z

Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

z = k

Petakontur

x

y

Latihan 1

Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsi z = f(x,y) := x2 – y2, untuk ketinggian k = -4, -1, 0, 1, 4; kemudian gambarlah peta konturnya(dalam satu sistem koordinat).

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13

Latihan 2

Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsiz = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = -2, -1, 0, 1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14

12.2 TURUNAN PARSIALMA1201 MATEMATIKA 2A

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15

• Menentukan turunan parsial dari fungsi duapeubah di titik sembarang

Mengukur Laju Perubahan dalam ArahSejajar dengan Sumbu-x atau Sumbu-y

Diketahui fungsi dua peubahz = f(x,y), bayangkan grafiknyaspt pada gambar di samping.

Bila kita berada di suatu titikpada permukaan tsb (bayang-kan di titik puncaknya) danbergerak sejajar dengansumbu-x, berapakah lajuperubahan ketinggian-nya?3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16

P

x

y

z

Turunan Parsial terhadap x

Jika y konstan, katakan y = y0, maka z = f(x,y0) merupakanfungsi dari x saja. Turunannyadi x = x0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadapx di (x0,y0) dan dilambangkandengan fx(x0,y0).

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17

P

x

y

z

.),(),(

lim),( 0000

000

h

yxfyhxfyxf

hx

Turunan Parsial terhadap y

Jika x konstan, katakan x = x0, maka z = f(x0,y) merupakanfungsi dari y saja. Turunannyadi y = y0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadapy di (x0,y0) dan dilambangkandengan fy(x0,y0).

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18

P

x

y

z

.),(),(

lim),( 0000

000

k

yxfkyxfyxf

ky

Contoh

Diketahui z = f(x,y) = 1 – x2 – y2. Maka,

fx(x,y) = -2x; fy(x,y) = -2y.

Di titik (3,4),

fx(3,4) = -6; fy(3,4) = -8.

Jadi, nilai f turun lebih cepat dalam arahsejajar sumbu-y daripada dalam arahsejajar sumbu-x.

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19

Turunan Parsial Kedua

Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubahdapat diperoleh dari turunan parsial pertamanya.

Karena ada dua turunan parsial pertama, fx danfy, dan masing-masing mempunyai dua turunanparsial, maka kita akan mendapatkan empatturunan parsial kedua, yaitu

fxx = (fx)x, fxy = (fx)y, fyx = (fy)x, fyy = (fy)y

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20

Contoh

Diketahui z = f(x,y) = 1 – x2 – y2.

Turunan parsial pertamanya adalah

fx(x,y) = -2x; fy(x,y) = -2y.

Turunan parsial keduanya adalah

fxx(x,y) = -2; fxy(x,y) = 0.

fyx(x,y) = 0; fyy(x,y) = -2.

Catatan. fxy dan fyx disebut sebagai turunanparsial campuran. Secara umum, fxy ≠ fyx.3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21

Soal

1. Diketahui fungsi dua peubah

(a) Tentukan turunan parsial pertamanya.

(b) Tentukan turunan parsial keduanya dan periksaapakah kedua turunan parsial campurannya sama.

2. Diketahui fxy = fyx = 0. Tentukan rumus paling umum yang mungkin untuk f(x,y).

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22

.1),( 22 yxyxfz

Fungsi Harmonik

Fungsi z = f(x,y) disebut fungsi harmonik bilamemenuhi persamaan Laplace: fxx + fyy = 0.

Buktikan bahwa kedua fungsi berikut harmonik:

1. f(x,y) = x3y – xy3.

2. F(x,y) = ln(x2 + y2).

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23