Sesión 1.1

Límite de una función. Límites laterales. Límites infinitos. Asíntotas Verticales.

• Explica con sus palabras e ilustrar mediante gráficas, el concepto de límite de una función en un punto y el concepto de límite infinito en un punto.

• Explica la utilidad de los límites laterales para analizar el comportamiento límite de algunas funciones.

• Grafica funciones que satisfagan condiciones dadas en cuanto a valores límites y, viceversa, expresar mediante enunciados de límites el comportamiento de una función dada por su gráfica.

• Explica el concepto de asíntota vertical e ilustrar gráficamente los casos que se pueden presentar.

Habilidades

2

r

Problema

El volumen de un cilindro es r2h. ¿Cómo podría obtenerse, a partir de aquí, el volumen de un cono?

Solución: i = 1

i = 2

i = 3

i = n - 1

h

3

Recta Tangente

¿Cómo determinar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑓 𝑥 = 𝑥3 que pasa por el punto 𝑃(1; 1)?

x

y

4

0 x 𝑎

𝐿

0 x 𝑎

𝐿

0 x 𝑎

𝐿

(a) (b)

(c)

Advierta la frase “pero 𝑥 ≠ 𝑎” para la existencia del límite

5

si podemos acercar arbitrariamente los valores de 𝑓(𝑥) a 𝐿 para todas las 𝑥 suficientemente cerca de 𝑎, pero no igual a 𝑎.

Definición de límite

Escribimos: lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿

y decimos

“el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎, es igual a 𝐿”

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑎

𝐿

Sea 𝑓 una función definida en un intervalo abierto alrededor de 𝑎 (no necesariamente en 𝑎).

x

y

6

Ejemplo

Analizar el comportamiento de la función:

𝑓 𝑥 =𝑥 − 2

𝑥2 − 3𝑥 + 2

cuando 𝑥 tiende hacia 1.

7

Ejemplo

Analizar el comportamiento de la función:

𝑓 𝑥 =𝑥 − 2

𝑥2 − 3𝑥 + 2

cuando 𝑥 tiende hacia 2.

7

si podemos aproximar arbitrariamente los valores de 𝑓(𝑥) a 𝐿 para todas las 𝑥 suficientemente cerca de 𝑎, pero mayores que 𝑎.

Límite lateral derecho

y decimos

“el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎 desde la derecha, es igual a 𝐿”

Sea 𝑓 definida en (𝑎, 𝑐). Escribimos lim

𝑥⟶𝑎+𝑓 𝑥 = 𝐿

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑎

𝐿

x

y

8

𝑎

L

x

y

si podemos aproximar arbitrariamente los valores de 𝑓(𝑥) a 𝐿 para todas las 𝑥 suficientemente cerca de 𝑎, pero menores que 𝑎.

Límite lateral izquierdo

y decimos

“el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎 desde la izquierda, es igual a 𝐿”

Sea 𝑓 definida en 𝑐, 𝑎 . Escribimos: lim

𝑥⟶𝑎−𝑓 𝑥 = 𝐿

𝑥

𝑓(𝑥)

9

A continuación se muestra la gráfica de una función 𝑔. Úsela para definir los valores, en caso de existir, de:

Ejemplo

10

lim𝑥⟶2−

𝑔 𝑥 lim𝑥⟶2+

𝑔 𝑥 lim𝑥⟶2

𝑔 𝑥

lim𝑥⟶3−

𝑔 𝑥 lim𝑥⟶3+

𝑔 𝑥 lim𝑥⟶3

𝑔 𝑥

Unicidad del límite

Si el límite de 𝑓(𝑥), cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎 existe, entonces es único.

a

L

x

y

a x

y

si y solo si

11

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿 lim

𝑥⟶𝑎−𝑓 𝑥 = 𝐿

lim𝑥⟶𝑎+

𝑓 𝑥 = 𝐿

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿 lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 no existe

a x

y

Límite infinito

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 = ∞

Los valores de 𝑓(𝑥) pueden hacerse tan grandes como se quiera para todos los 𝑥 lo suficientemente cerca de 𝑎, pero distintos de 𝑎.

x

f(x)

x

f(x)

Similarmente lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 = −∞

12

lim𝑥⟶𝑎+

𝑓 𝑥 = ∞

lim𝑥⟶𝑎−

𝑓 𝑥 = ∞

lim𝑥⟶𝑎+

𝑓 𝑥 = −∞

lim𝑥⟶𝑎−

𝑓 𝑥 = −∞

Asíntotas verticales

Cuando uno ó ambos límites laterales de 𝑓(𝑥) es ∞ ó −∞ para 𝑥 tendiendo hacia 𝑎, se dice que la recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥).

x

𝑓(𝑥)

2 -1

Asíntota

vertical.

𝑥 = −1 𝑥 = 2

Asíntota

vertical.

13

Ejercicios para desarrollar en casa.

Ejercicios 2.1 – Pág. 94. Ejercicios con ClassPad: 2, 6, 8, 9.

Ejercicios 2.2 – Pág. 102-103. Ejercicios: 4, 6, 7, 14, 16 ClassPad: 8, 10, 21, 24.

14

Ejercicios 2.5 – Pág. 132 - 133. Ejercicios: 1, 4, 5, 9, 16, 20, 36.

ClassPad

14

Introducir una función

Hacer una tabla

ClassPad

14

Pantalla completa

Gráfica de una función

Habilidades

• Calcula límites de formas indeterminadas. • Explica con sus palabras las propiedades fundamentales de las operaciones con límites. • Evalúa límites de operaciones combinadas dados los lugares geométricos.

2

Operaciones con límites

Supongamos que c es una constante y que existen los límites:

Entonces:

1

3

5

2

4

6 3

lim𝑥⟶𝑎

𝑔 𝑥 lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 + lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

lim𝑥⟶𝑎

𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 . lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

lim𝑥⟶𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

lim𝑥⟶𝑎

[𝑓 𝑥 ]𝑛= [lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ]𝑛

, con lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 ≠ 0

Supongamos que c es una constante y que existe el límite:

Entonces:

7

9

10

11

Si 𝑛 es par, se supone que 𝑎 > 0

Si 𝑛 es par, se supone que lim

𝑥⟶𝑎𝑓 𝑥 > 0

8

4

Operaciones con límites

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥

lim𝑥⟶𝑎

𝑐 = 𝑐

lim𝑥⟶𝑎

𝑥 = 𝑎

lim𝑥⟶𝑎

𝑥𝑛 = 𝑎𝑛

lim𝑥⟶𝑎

𝑥𝑛 = 𝑎𝑛

lim𝑥⟶𝑎

𝑓(𝑥)𝑛

= lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥𝑛

Ejercicio 1 Evaluar:

a) (p. 111, #5)

b) (p. 106, #6)

5

lim𝑥⟶8

(1 + 𝑥3 )(2 − 6𝑥2 + 𝑥3)

lim𝑢⟶−2

𝑢4 + 3𝑢 + 6

Sustitución directa

Si 𝑓 es un polinomio o una función racional y 𝑎 está en el dominio de 𝑓, entonces:

6

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)

Si 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 ≠ 𝑎, entonces,

en caso de que exista el límite.

Formas indeterminadas Evaluar

𝑎

𝑔

𝑦

𝐿

𝑎

𝑓

𝑦

𝐿

7

lim𝑥⟶1

𝑥2 + 𝑥 − 2

𝑥2 − 𝑥 lim

ℎ⟶0

2 + ℎ − 2

ℎ

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

Ejercicio 2, p.111

Calcular, si existen, los siguientes límites:

a

𝑥 𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

1 -1

1 1

2

2 2

2

-2

-1

-1 -2

𝑦 = 𝑔(𝑥)

b

c

d f

e

1

10

lim𝑥⟶2

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 lim𝑥⟶0

𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 lim𝑥⟶2

(𝑥3𝑓 𝑥 )

lim𝑥⟶1

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 lim𝑥⟶−1

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) lim

𝑥⟶13 + 𝑓(𝑥)

Ejercicios 2.3, p. 106 - 107 Evaluar:

1 (p. 111, # 7)

2

(p. 111, # 13)

3

(p. 111, # 22)

4

(p. 112, #35)

c)

b) a)

11

lim𝑥⟶2

2𝑥2 + 1

3𝑥 − 2

lim𝑡⟶−3

𝑡2 − 9

2𝑡2 + 7𝑡 + 3

lim𝑡⟶0

1

𝑡−

1

𝑡2 + 𝑡

lim𝑥⟶0−

1

𝑥−

1

𝑥 lim

𝑥⟶0+

1

𝑥−

1

𝑥

lim𝑥⟶0

1

𝑥−

1

𝑥

Ejercicios, p. 111-112

6. (p. 111, #18)

Evaluar, si existen:

5. (p. 112, #37)

i) ii) v) vi)

7. Muestre, por medio de un ejemplo, que

puede existir aunque no existan

ni

12

𝑔(𝑥)=

𝑥, 𝑥 < 13, 𝑥 = 12−𝑥2, 1<𝑥≤2𝑥−3, 2<𝑥

lim𝑥⟶1−

𝑔(𝑥) lim𝑥⟶1

𝑔(𝑥) lim𝑥⟶2+

𝑔(𝑥) lim𝑥⟶2

𝑔(𝑥)

limℎ⟶0

1 + ℎ − 1

ℎ

lim𝑥⟶𝑎

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥

lim𝑥⟶𝑎

𝑓(𝑥) lim𝑥⟶𝑎

𝑔(𝑥)

Ejercicios 2.3 – Pág. 111-112. Ejercicios: 1, 10, 14, 19, 30, 36, 38, 46.

13

Ejercicios para desarrollar en casa.

ClassPad

14

Gráfica de una función definida por tramos

𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1, −1 ≤ 𝑥 < 32 − 𝑥, 3 < 𝑥 ≤ 5