Za električna kola se kaže da su spregnuta ako su međusobno povezana zajedničkom granom ili elektromagnetnom indukcijom. U tom slučaju, moguća je izmjena energije između njih. S obzirom na definiciju ima više vrsta sprega: • konduktivna sprega, između dva električna kola ostvaruje se pomoću zajedničke grane sa parametrima R i L koji obezbjeđuju njihovu konduktivnu (galvansku) povezanost.

Magnetnospregnuti krugovi

Nastavnik: doc. dr Irfan Turkovi ć

• kapacitivna ili dielektri čna spregaizmeđu dva kola, ostvaruje se pomoću zajedničke grane sa kondenzatoromC.

U dosadašnjoj analizi izučavane su ove dvije vrste sprega. Na slikama su prikazane najjednostavnije vrste srega. Naravno da postoje i složenije sprege koje predstavljaju kombinaciju opisanih sprega

SamoindukcijaSvaka provodna kontura, kroz koju protiče struja, stvara magnetno polje, čije linije prolaze i kroz površinu koju ta sama kontura zatvara. Magnetni fluks koji potiče od struje u samoj konturi naziva se sopstveni fluks.Samoindukcija je pojava da se u konturi kroz koju

• magnetna ili induktivna sprega ostvaruje se pomoću elektro-magnetne indukcije, tj. pomoću zajedničkog magnetnog fluksa koji prožima oba električna kruga.

Samoindukcija je pojava da se u konturi kroz koju protiče vremenski promjenjiva struja indukuje napon samoindukcije zbog promjenjivog fluksa koji je proizvela struja same konture. Ako u blizini konture nema feromagnetnih materijala induktivnost je definirana kao količnik ukupnog sopstvenog fluksa konture NF i jačine struje i koja protiče kroz konturu.

Međusobna indukcija je pojava da se, zbog promjene jačine struje u jednoj konturi indukuje napon u nekoj drugoj (sekundarnoj) konturi

Dva svitka (primarni i sekundarni) imaju N1, odnosno N2zavojazavoja

L1 (H) predstavlja ukupni koeficijent samoinduktivnosti primarnog namotaja i isključivo ovisi od geometrije namotaja i magnetne permeabilnosti sredine u kojoj se nalazi namotaj.

Indukovana EMS samoindukcije koja se indukuje u primaru zbog promjenjivog magnetnog fluksa koji prožima primarni namotaj je:

L12 (H) predstavlja ukupni koeficijent međusobne induktivnosti primarnog i sekundarnog namotaja i ovisi od geometrije oba namotaja, magnetne permeabilnosti sredine u kojoj se nalaze namotaji i međusobnog položaja namotaja

EMS međusobne indukcije koja se indukuje u sekundaru pod uticajem promjenjivog magnetnog fluksa međusobne indukcije iznosi:

Na osnovu definiranih izraza može se odrediti i induktivni koeficijent magnetnog rasipanja L1σ kao:

L2 (H) je ukupni koeficijent samoinduktivnosti sekundarnog namota

Indukovana EMS samoindukcije koja se indukuje u sekundaru zbog promjenjivog magnetnog fluksa koji prožima sekundarni namotaj je:

EMS međusobne indukcije koja se indukuje u primaru pod uticajem promjenjivog magnetnog fluksa međusobne indukcije iznosi:

Induktivni koeficijent magnetnog rasipanja L2σ je:

U općem slučaju neka kroz konturu 1protiče struja i1, a kroz konturu 2 struja i2

Rezultantni magnetni fluks prve konture zavisi od sopstvene struje i1 , ali i od struje druge konture i2.

Analogno vrijedi i za konturu 2. Rezultantni magnetni fluks druge konture zavisi od sopstvene struje i2 , ali i od struje prve konture i1.

Koeficijent magnetne spregeKoeficijent magnetne spregePrenos energije od prve na drugu konturu vrši se samo preko međusobnog fluksa Φ12 odnosnoΦ21 dok preostali dio fluksa Φ11 ili Φ22 predstavlja nekorisno rasipanje energije.Da bi se definirao dio prenijete energije, odnosno dio energije rasipanja uvode se koeficijenti magnetne sprege k i koeficijent rasipanja σσσσ kao:

Induktiviteti L1 i L2 su uvijek pozitivni jer su smjerovi fluksa i struje koja ga stvara uvijek usaglašeni. Koeficijent međuinduktivnosti M može biti pozitivan ili negativan, zavisno od izbora referentnog smjera struje u oba namotaja i načina sprezanja namotaja.

Sada je koeficijent sprege jednak:

Predznak međusobne induktivnosti M ovisi o međusobnom položaju svitaka, smjerova namotavanja svitaka i smjerova struja kroz svitke.Kako je u električnim shemama komplicirano obilježavati smjer namotavanja i tačan položaj svitaka, to je uobičajeno da se ovaj uticaj na predznak međuinduktiviteta obilježava tačkom, zvjezdicom, kružićem itd

Konvencijom je usvojeno da je međusobna induktivnosti M pozitivna ako su struje kroz oba svitka usmjerene tako da obje ulaze u tačku (saglasni krajevi) ili da obje struje izlaze iz tačke. U suprotnom, to jest da jedna struja ulazi, a druga izlazi iz tačke, međusobna induktivnostM je negativna

PRIMJER: Odrediti saglasne krajeve za dvije magnetno spegnute zavojnice

3

1

2I

1

2

II

3

4

I

II

• Proizvoljno odaberemo stezaljku na prvojzavojnici uz koju postavimo tačku (to možebiti stezaljka 1 ili 2).

• Pustimo da strujai I poteče zavojnicomtakodaulazi u stezaljku označenu s tačkom.

• Odredimo smjer fluksaΦΦΦΦI koje stvarazamišljena strujai I.

iI

iII

Postupak određivanja saglasnih krajeva je sljedeći:

iII

iI

• Na drugoj zavojnici tražimo onu stezaljku 44

u koju mora ulaziti strujai II tako da zamišljene struje krozobje zavojnice daju flukseveistogsmjera.

• Tu stezaljku na drugoj zavojnici označavamo s tačkom.

ΦIΦII

N1 N2

1

2

3

4

i1

Φ1

Φ12

i2

• Na drugoj zavojnici tražimo onu stezaljku

dt

diu 112 L=

dt

diu M34 =

+M +M -M -M

Matri čne jednačine spregnutih zavojnica

Jednačine stanja spregnutim zavojnica za N1=N2 mogu se napisati u matričnoj formi

ili u obliku matrične jednačine

Jednačine stanja spregnutih zavojnica mogu se izraziti i na sljedeći način

L matrica induktiviteta (simetrična matrica)

ΦΦ

=

=

2

1

2

1

2

1

2

1

dt

d

i

i

dt

d

LM

ML

u

uu1

u2

Γ matrica recipročnih induktiviteta (simetrična matrica)

Jednačine stanja spregnutih zavojnica mogu se izraziti i na sljedeći način

Jednačine stanja, izražene preko varijabli stanja (u ; i), koristeći koeficijente matrice recipročnih induktiviteta imaju oblik:

dtu

u

i

idt

u

u

i

i tt

∫∫

ΓΓΓΓ

+

=

ΓΓΓΓ

=

∞− 0 2

1

2221

1211

20

10

2

1

2221

1211

2

1

Međuinduktivitet u izmjeni čnom strujnom krugu

Prethodne izraze možemo prilagoditi za računanje u kompleksnoj domeni

•Impedancije pojedinih zavojnica računamo kao:

• Induktiviteti zavojnica i međuinduktivitet su povezani izrazom:

• Ako prethodni izraz pomnožimo s kružnom frekvencijomωωωω dobijemo

11 LX L ⋅= ω 22 LX L ⋅= ω

21 LLkM ⋅⋅=

izraz za impedanciju međuinduktivne sprege:

• Karakter međuinduktivne impedancije je isti kao i induktivne impedancije pa u kompleksnoj domeni imamo:

+ suglasna sprega – nesuglasna sprega

2121 LLkLLkM ωωωω ⋅⋅=⋅⋅⋅= 21 LLM XXkX ⋅⋅=

MjX M ω±=

Pretpostavimo da se u trenutku t = 0 zavojnice nalaze u nultom energetskom stanju (i1(0) = i2(0) = 0).

Energija koja se u intervalu [0;t] predaje zavojnicama izražena je relacijom

Snaga i Energija spregnutih LVN zavojnica

Trenutna snaga koja se predaje spregnutim LVN zavojnicama, za usaglašene referentne smjerove napona i struja pristupa, definisana je relacijom

relacijom

Substitucijom v1(t) i v2(t) preko i1(t) i i2(t) dobijamo:

•Energija wm[ i1;0] predstavlja energiju koja se akumulira u zavojnici L1 , uslijed proticanja struje i1(t) (za i2(t) = 0).

•Energija wm[ i2;0] analogno predstavlja energiju koja se akumulira u zavojnici L2 , uslijed proticanja struje i2(t) (za i1(t) = 0).

•Treća komponenta M i2(t) i2(t) u izrazu za energiju wm[ i1; i2] potiče od magnetnog sprezanja

Za M > 0 ovaj član je pozitivan, a za M < 0 ovaj član je negativan.

Bez obzira na predznak koeficijenta M, zbog L1 > 0 i L2 > 0 energija kojase predaje spregnutim LVN zavojnicama veća je od nule, što se za nulte početne vrijednosti struja izražava predhodnom relacijom.Ukoliko je u trenutku t = 0 u zavojnicama akumulirana početna energija:

tada vrijedi:

Serijska veza spregnutih zavojnicaRazlikujemo dva načina spoja zavojnica u seriju i to tako da su fluksevi usaglašeni, odnosno neusaglašeni, odnosno kada je veza zavojnica suglasna, odnosno nesuglasna.

Nesuglasna serijska veza zavojnicaNa svakoj od zavojnica, zbog prolaskapromjenjive struje, inducira se napon samoindukcije UL1 i UL2 kao na slici. Dodatno, na svakoj od zavojnica se Dodatno, na svakoj od zavojnica se inducira i napon međuindukcije UM prikazanih polariteta.

MLMLab jXIjXIUUU ⋅−⋅=−= 11

MLMLbc jXIjXIUUU ⋅−⋅=−= 22

( )MLLbcabac XXXjIUUU 221 −+⋅=+=

MLLLekv 221 −+=

Suglasna serijska veza zavojnicaNa svakoj od zavojnica, zbog prolaskapromjenjive struje, inducira se napon samoindukcije UL1 i UL2 kao na slici. Dodatno, na svakoj od zavojnica se inducira i napon međuindukcije UM

datog polariteta.

MLMLab jXIjXIUUU ⋅+⋅=+= 11

jXIjXIUUU ⋅+⋅=+= MLMLbc jXIjXIUUU ⋅+⋅=+= 22

( )MLLbcabac XXXjIUUU 221 ++⋅=+=

MLLLekv 221 ++=

Prema tome za serijsku vezu spregnutih zavojnica L1 i L2 vrijedi relacija MLLLekv 221 ±+=

Razlikujemo dva načina spoja zavojnica u paralelu i to tako da su fluksevi usaglašeni, odnosno neusaglašeni, odnosno kada je veza zavojnica suglasna, odnosno nesuglasna.

Suglasna paralelna veza zavojnicaJednačine stanja spregnutih zavojnica može se izraziti u matričnoj formi kao:

Ili u sklarnom obliku

Paralelna veza spregnutih zavojnica

u1

u

u

Φ⋅Γ=Φ⋅= −1Li Γ matrica recipročnih Ili u sklarnom obliku u2

recipročnih induktiviteta

2221212

2121111

Φ⋅Γ+Φ⋅Γ=Φ⋅Γ+Φ⋅Γ=

i

i

Vidjeli smo da se jednačine stanja mogu izraziti i preko varijabli stanja (u,i) kao

dtu

u

i

idt

u

u

i

i tt

∫∫

ΓΓΓΓ

+

=

ΓΓΓΓ

=

∞− 0 2

1

2221

1211

20

10

2

1

2221

1211

2

1

Predhodni sistem se može napisati i u skalarnom obliku kao:

∫∫

∫∫

Γ+Γ+=

Γ+Γ+=

tt

tt

dttudttuii

dttudttuii

0

222

0

121202

0

212

0

111101

)()(

)()(Polazeći od jednačina koje opisuju paralelnu vezu

21 iii +=

dobije se 21 uuu ==

∫∫∫∫ Γ+Γ++Γ+Γ+=+=tttt

∫∫∫∫ Γ+Γ++Γ+Γ+=+= dttudttuidttudttuiiii0

222

0

12120

0

212

0

1111021 )()()()(

[ ]∫ Γ+Γ+Γ++=+=t

dttuiiiii0

122211201021 )(2

Iz predhodne relacije slijedi122211 2Γ+Γ+Γ=Γ

Kako je matrica induktiviteta L definisana kao:nije teško dobiti matricu recipročnih Induktiviteta Γ inverzijom matrice L kao:

=

22

11

LM

MLL

[ ]

−−

−===Γ −

1

2

221

1 1

det

1LM

ML

MLLL

LL adj

Konačno se može pisati:2

21

21122211

22

MLL

MLL

−−+=Γ+Γ+Γ=Γ

odnosno:

21 MLL −

( ) ( )( ) ( ) M

MLML

MLML

MLL

MLLL +

−+−−⋅−=

−+−=

Γ=

21

21

21

221

2

1

Predhodni izraz je ekvivalentan paralelno serijskoj kombinaciji kao na slici desno.

122211 2Γ−Γ+Γ=Γ

Nesuglasna paralelna veza zavojnica

Može se lako pokazati da u ovom slučaju vrijedi relacija

odnosno:

Sada je ekvivalentni induktivitet jednak:

221

21122211

22

MLL

MLL

−++=Γ−Γ+Γ=Γ

( ) ( )( ) ( ) M

MLML

MLML

MLL

MLLL −

++++⋅+=

++−=

Γ=

21

21

21

221

2

1

Predhodni izraz je ekvivalentan paralelno serijskoj kombinaciji kao na slici desno.

Zavojnice spojene u različitim granamaNa slici s prikazane dvije zavojnice u različitim granama koje su suglasno spregnute (struje i1 i i2 ulaze u tačku).Na svakoj od zavojnica, zbog prolaskapromjenjive struje, inducira se napon samoindukcije UL1 i UL2 kao na slici. Dodatno, na svakoj od zavojnica se inducira i napon međuindukcije UM1 tj.inducira i napon međuindukcije UM1 tj.UM2 datog polariteta.

Napon na prvoj zavojnici:

Napon na drugoj zavojnici:

MLMLab jXIjXIUUU ⋅+⋅=+= 21111

( ) MLMLMLbc jXIjXIUUUUU ⋅−⋅−=−−=+−= 12222

Za ovaj slučaj također možemo definirati nadomjesnu shemu. Uvjet je da dvije zavojnice spojene u različitim granama imaju jedan zajednički čvor.

Za ekvivalenciju je bitan položaj tačaka i zavojnica u odnosu na zajednički čvor, a nije bitno da li je sprega suglasna ili nesuglasna

Pri tome razlikujemo dva slučaja:

tačke imaju isti položaj u odnosu na zajednički čvor (obje tačke blizu ili obje tačke daleko od čvora)

tačke imaju različit položaj u odnosu na zajednički čvor (jedna tačka tačke imaju različit položaj u odnosu na zajednički čvor (jedna tačka blizu, a druga daleko od čvora i obratno)

Isti položaj tačaka obje blizu zajedničkog čvora b

Različit položaj tačaka prva tačka daleko,a druga blizu zajedničkog čvora b

Isti položaj tačaka obje daleko od zajedničkog čvora b

Različit položaj tačaka prva tačka blizu,a druga daleko od zajedničkog čvora b

Slučaj 1 - Isti položaj tačaka

MLab jXIjXIUU ⋅+⋅== 2111

MLcb jXIjXIUU ⋅+⋅== 1222

Transformacija dijela električnog kruga se izvodi pod pretpostavkom da se energetski odnosi u dijelu kola koje se ne transformiše

( ) ( )ML

MML

jXIjXIU

jXIIXXjIU

⋅+⋅=⋅++−⋅=

2111

21111

( ) ( )ML

MML

jXIjXIU

jXIIXXjIU

⋅+⋅=⋅++−⋅=

1222

21222

odnosi u dijelu kola koje se ne transformiše ne mijenjaju To znači da potencijali čvornih tačaka moraju ostati isti kao i struje koje su tekle granama koje nisu obuhvaćene transfiguracijom. Vidi se da su u datom slučaju zadovoljeni ovi uvjeti pa su date sheme ekvivalentne

Slučaj 2 - Različit položaj tačaka

MLab jXIjXIUU ⋅−⋅== 2111

MLcb jXIjXIUU ⋅−⋅== 2222

–

( ) ( )ML

MML

jXIjXIU

jXIIXXjIU

⋅−⋅=⋅+−+⋅=

2111

21111

( ) ( )ML

MML

jXIjXIU

jXIIXXjIU

⋅−⋅=⋅+−+⋅=

1222

21222

Napomena:gledati samo položaj tačaka i zavojnica u odnosu na zajednički čvor

Primjer 1: U serijskoj RLC vezi sa magnetno spregnutim zavojnicama dat je uslov R = ωωωωL = (ωωωωC)–1. Odrediti fazor struje naponskog generatora I . Poznati su parametri kola ( R , L ,C ), kao i fazor napona naponskog generatora, Ug.Rješenje: Za dati električni krug vrijedi jednačina po KZN

( ) ( ) ( ) ( )

⋅−⋅−⋅+⋅−⋅+⋅=C

jIMjILjIMjILjIRIU g ωωωωω 1

Cω

( )

−−+⋅=C

LkjRIU g ωω 1

12

kLLLkM == 21( )MjI

CLjIRIU g ω

ωω 2

12 ⋅−

−⋅+⋅=

Uz uslov zadatka R = ωL = (ωC)–1 , te uz k = 1, izraz za fazor struje Ije konačno: ( ) R

Uj

jRR

UI gg ⋅+=

−=

2

1

Primjer ispitnih zadataka

Primjer 2: Za mrežu sa magnetno spregnutim zavojnicama odrediti opseg promjene modula ulazne impedanse za moguću promjenu koeficijenta sprege k. Pri kojoj bi vrijednosti koeficijenta sprege k ulazna impedansa imala samo realni dio. U mreži je postignut uslov ωωωω2LC = 2 Rješenje: Za dati električni krug primarne isekundarne konture jednačina po KZN su:

abab ZZ =

( ) ( )MjILjRIU ωω ⋅−+⋅= 21 2 ( ) ( ) kLLLkM 222 =⋅=( ) ( )21

( )

−⋅+⋅−=C

LjIMjIω

ωω 120 21 12

2

2 12I

LC

MCI

−=

ωω

Uvrštavajući izraz za I2 u prvu jednačinu uz zadane uvjete dobije se:

−−+⋅=

−−+⋅=

14

82

12

42

2

12

22

1

kLjRI

LC

LCkLjRIU ω

ωωω

Fazor ulazne impedanse se dobije kao odnos fazora ulaznog napona i fazora ulazne struje:

Modul ove impedanse je:

Kako vrijedi relacija

To je mogući opseg promjene modula impedanse dat kao:

−+===

3

412

2

1

kLjR

I

U

I

UZ

ul

ulab ω

22222

3

434

−+== kLRZZ abab ω

10 ≤≤ k

Da bi ulazna impedansa imala samo realni dio potrebno je zadovoljiti uvjet:

Odakle se uz dobije

222222 49

4LRZLR ab ωω +≤≤+

−==

34

120Im2k

LZab ω

0≠Lω0

3

41

2

=− k2

3=k

Primjer ispitnih zadataka

Primjer 3: Mreža sa idealno spregnutim zavojnicama napaja se preko naponskog generatora čiji je fazor napona i strujnog generatora čiji je fazor struje . Potrebno je odrediti: a) fazor struje u sekundarnom dijelu kola I2 ; b) fazor napona na strujnom generatoru Uab . U mreži je postignut uslov: R = ωL. Poznate vrijednosti su: R = 80 Ω , U =120 V, I = 3 A.Rješenje:

UU g =jII g =

321 IRILjkILjU g +−= ωω

Ne pisati jednačine KZN preko strujnih generatora

( ) gg IRIjRIRjU −−+= 211

( ) 21 1 IjI −=

gIII =− 31

Uvrštavajući R = ωL i k =1

321g

2210 IRILjILjk ++−= ωω

gIII =− 31

321 IRIjRIjRU g +−=

( ) 21 10 IRjIjR ++−=

( ) ( ) AjRj

IRUj

Rj

IRUI gggg 5,1

2122 =+

+=

−+

=

Fazor napona na strujnom generatoru može se odrediti polazeći od relacije:

ggab UIRIRU +−= 3

( ) ( ) ( )Vj

IRjUjIRjUIRU gg

ggab 3605

7212 2 =

+++=−−+=

Primjer 4 : Mreža sa spregnutim zavojnicama napaja se preko naponskog generatora čiji je fazor napona i strujnog generatora čiji je fazor struje Potrebno je odrediti: a) fazor struje naponskog generatora I1 ; b) fazor napona na strujnom generatoru Uab . U mreži je postignut uslov: (ωC)–1 = ωL. Poznate vrijednosti su: k = 0,5 ωL = 50 Ω , U =150 V, I = 2 A.

jUU g =II g =

Rješenje:

Koristeći uslov zadatka (ωC)–1 = ωL predhodni sistem jednačina poprima jednostavniji oblik

Sada je fazor struje naponskog generatora određen kao:

( ) ( ) ( ) ( ) ALk

Uj

k

II gg 16

505,01

150

5,01

2

11 221 =−

+−

=−

−−

=ω

Fazor napona na strujnom generatoru možese odrediti iz relacije

Uvržtavajući izraz za struju I2 dobije se konačno:

Primjer 5 : Za mrežu sa savršeno spregnutim zavojnicama odredite naponUab. Poznati su parametri mreže L i C, kao i parametri režima ω i Ug, a u mreži je postignut uslov 2(ωC)–1 = ωLRješenje:

Uvrštavanjem predhodne relacije u prvu jednačinu dobije se:

Napon između otvorenih krajeva a–b može se odrediti iz relacije:

kao:

Primjer 6: Odredite ulaznu impedansu (između tačaka a i b) za magnetno spregnuto kolo sa slike. Poznati su parametri kola L, C i k, kao i parametri režima ω i Ug.

Primjer 7: Za magnetno spregnuti krug u kojem djeluju naponski Generator fazora napona Ug i strujni generator fazora struje Is, potrebno je odrediti: a) fazor struje I i fazor napona Uab; b) fazor napona na strujnom generatoru Ucd; c) koeficijent magnetne sprege zavojnica pri kojem je moguće postići uslov da su fazor napona na strujnom generatoru Ucd i struja strujnog generatora I međusobno u fazi. struja strujnog generatora Is međusobno u fazi. U mreži je postignut uslov Ug = RIs . Poznati su parametri mreže (R, L, k), kao i parametri režima (Ug, Is, ω). Rješenje: Za odabranu konturu kao na slici može se postaviti jednačina ravnoteže napona

Fazor napona između otvorenih tačaka a-b može se odrediti prema relaciji:

to jest

sIkI −=sILjkILj ωω +

Uz uslov dat u formulaciji zadatka, Ug = Ris , dobija se konačan izraz za napon otvorenih krajeva a-b:

b) Fazor napona na strujnom generatoru može se (koristeći uslov zadatka Ug = Ris) odrediti iz relacije:

ili

c) Fazor napona Ucd i fazor struje Is strujnog generatora biće u fazi ukoliko je imaginarni dio predhodnog izraza jednak nuli, to jest kadaje koeficijent magnetne sprege zavojnica k = 1, što znači da zavojnice trebaju biti idealno spregnute da bi se traženi uslov ostvario. Tada vrijedi relacija

Primjer 8: Odrediti snagu naponskog generatora u električnom krugu na slici ako je poznato:R = 20 Ω, k = 0,5 ,

Vrijedi uslov ω2LC = 1, ωRC = 1Rješenje: fazori generatora i reaktivne otpornosti su:

( ) Attig0

1 90cos24)( += ω( ) Attig ωcos212)(2 = ( )Vtte 030sin280)( += ω

VjeE j 4034080 30 +== AjeI jg 1212 901 ==

Ω=== 201

RC

XC ωΩ==== 20

1R

CLX L ω

ω Ω=== 10LLkMX M ωω

AeI jg 44 180

1 −==

Prema KZS i KZN može se pisati ; ;

odakle slijedi:

11 III g +=Cω Cω

EIjXIjXIjXIR gMLC =−+− 2321

112 III g += 223 III g +=

( ) ( ) VAjjjIES 8056,458246,540340* −=−⋅+==

III g += 23

( ) ( ) EIjXIIjXIjXIIR gMgLCg =−++−− 221

AjjXjXR

IjXIjXIREI

LC

gMgLg 246,5221 +=+−

+−+=

IIIII gg =−+= 112

Primjer 9: U električnoj mreži na slici poznato jeL, C i k. Mreža se napaja iz generatora napona

Odrediti vrijednost napona na kondenzatoru. Rješenje: Za analiziranu električnu mrežu može se napraviti ekvivalentna shema prema slici dole. (isti položaj tačaka prema čvoru)Za datu mrežu vrijede jednačine

VLC

tUtug

= sin2)(

( ) ( ) UILkjIILjk =−++ 1 ωω

Ili nakon sređivanja

Ekvivalentna shema

( ) ( ) gUILkjIILjk =−++ 121 1 ωω

( ) ( ) 01

11 21 =

−−−− IC

LkjILkjω

ωω

21 ILjkILjU g ωω +=

( )( )

( ) 22

2

221 1

11

1

11 I

LCk

LCkI

LCkI

ωω

ω −−−=

−−=

Kombiniranjem predhodne dvije jednačine dobiju se izrazi za struje:

Kako je iz uvjeta zadatka

pa se predhodni izrazi za struje svode na

Fazor napona na kondenzatoru dobije se kao:

( )gU

k

CkjI

22

1 ω−=Lk

UjI g

ω−=1

12 =LCωLC

1=ω

( )( ) gU

LCk

CkjI 222 11

1

ωω

−−−=

( )( ) L

U

LCk

LCkjI g

ωωω ⋅

−−−−−= 22

2

1 11

11

Fazor napona na kondenzatoru dobije se kao:

gC Uk

kI

CjU

22

11 −=−=ω

Primjer 10: U električnoj mreži odredite ulaznu impedansu gledano sa stezaljki izvora. XL1 = 4 Ω, XL2 = 5 Ω, XM = 3 Ω XC = 8 Ω

Ω==−

−−⋅+++= 3,363

109

)(

)()()(

1

21 jj

XXj

XXjXXjXXjZ

CL

MCMLMLul

Primjer 11: U električnoj mreži odredite ulaznu impedansu gledano sa stezaljki izvora U. R1 = 10 Ω, X1 = 25 Ω, X2 = 40 Ω, X12 = 10 Ω X3 = 20 ΩRješenje: Posmatrajući dati električni krug vidi se da se magnetni fluksevi dva spregnuta namotaja podupiru. Na osnovu toga može se napraviti shema kao na slici doletoga može se napraviti shema kao na slici dole

Vrijede sljedeće jednačine prema KZN i KZS( ) 12122122111 jXIjXIjXIjXRIU ++++=

33121220 jXIjXIjXI ++=

321 III +=

[ ] )()( 212212111 XXjIXXjRIU ++++=

−++−++=

32

12312212111

))((

XX

XXXXXXjRIU

)()(0 3121322 XXjIXXjI ++−=

Iz predhodnih jednačina slijedi

odnosno

[ ] )()( 212212111 XXjIXXjRIU ++++=

Ω−=

−++−++== 4010

))((

32

1231221211

1

jXX

XXXXXXjR

I

UZul

Zadatak se mogao rješiti lakše uz ZZadatak se mogao rješiti lakše uz pomoć ekvivalentne shema kao na slici.Ukupna impedansa se sada dobije kao serijsko paralelna kombinacija impedansi:

32

321 ZZ

ZZZZul +

+=

Z1

Z3

Z2

)( 12111 XXjRZ ++=

)( 1222 XXjZ +=

)( 1233 XXjZ +−=

Primjer 12: Odrediti pokazivanje ampermetra u električnoj mreži na slici. U = 2 kV, R1 = 5 Ω, R5 = 20 Ω, X1 = 20 Ω,X2 = 80 Ω, X3 = 60 Ω, X4 = 100 Ω, X5= 40 Ω, X24 = 50 Ω. Rješenje: Posmatrajući dati električni krug vidi se da se magnetni fluksevi dva spregnuta namotaja suprotstavljaju. Na osnovu toga vrijedi shema

ΦΦΦΦ4ΦΦΦΦ2

suprotstavljaju. Na osnovu toga vrijedi shemaOdnosno jednačine :

32243121 )( XIjXIjXXIjU −−−=

[ ] 322415453 )(0 XIjXIjXXjRI +−−+=

321 III +=

Pokazivanje ampermetra IA = 100 A

Primjer 13: Za spoj na slici uz suglasno vezane zavojnice struja u krugu je I’ = 8 A, a snaga koju troši spoj je P’ = 768 W. Uz nesuglasno vezane zavojnice struja u krugu je I’’ = 9,2 A. Tadaje napon na prvoj zavojnici U1 = 46 V, a snaga koja se troši na njemu je P1 = 254 W. Krug se napaja iz izvora napona U = 120 V fo Hz. Odrediti R1, R2, X1, X2 i XM

Rješenje: Za prvi slučaj (suglasno vezane zavojnice) vrijede jednačine:

Za drugi slučaj (nesuglasno vezane zavojnice) vrijede jednačine:

Iz predhodnih jednačina se dobiju tražene vrijednosti

R1 = 3 Ω, R2 = 9 Ω, X1 = 5 Ω, X2 = 2 Ω, XM = 1 Ω.

( ) ( )221

221

' 28

120

' Mul XXXRRI

UZ ++++===

2''1

''1 IRP =( ) ( )2

212

21'' 2

2,9

120

'' Mul XXXRRI

UZ −+++===

( ) 2'21' IRRP +=

( )MXXIU −= 11 ''

Transformator je elektromagnetni uređaj koji statičkim putem, pomoću elektromagnetne indukcije transformiše električnu energiju izmjenične struje jednog iznosa napona i struje u električnu energiju približno iste vrijednosti, ali drugih iznosa napona i struje pri istoj frekvenciji.

Transformatorom se postiže promjena naponskih nivoa uz veoma Male gubitke i uz međosobnugalvansku izolovanost krugova.

Transformatori

galvansku izolovanost krugova.

Linearni transformator (jednačine u slučaju saglasnih krajeva)

Primar Sekundar

Rezultantni magnetni fluks se može razložiti na fluks rasipanja i ukupni fluks sprezanja kao:

( )rezNdt

diRu 11111 Φ+= ( )rezN

dt

diRu 22222 Φ+=−

Mrez Φ+Φ=Φ+Φ+Φ=Φ+Φ=Φ 112112112111

Mrez Φ+Φ=Φ+Φ+Φ=Φ+Φ=Φ 221221221222

2112 Φ+Φ=ΦM

Predhodne jednačine za primar i sekundar sada se mogu pisati kao:

1

1111 i

NL

Φ⋅=σ2

2222 i

NL

Φ⋅=σ

Predhodno smo definirali rasipni induktivitet kao:

Sada je: Ovo s u jednačine linearnog trans-formatora u općem slučaju koje su dobijene razlaganjem rezultantnog fluksa na fluks rasipanja i ukupni fluksa na fluks rasipanja i ukupni međusobni fluks.

Ako posmatramo prostoperiodične struje tada koristeći simbolički metod možemo preći na kompleksne jednačine:

Odnosno:

gdje su:

111111 mUIZIRU ++= σ222222 mUIZIRU ++=− σ

Savršeni transformatorLinearni transformator bez gubitaka i bez rasipanja naziva se savršeni. Bez gubitaka podrazumijeva da je

bez elemenata gdje se troši aktivna snaga (za dati slučaj R1 = 0 i R2 = 0 ).

Bez rasipanja znači da vrijedi uslov L1σ = 0 i L1σ= 0. Iz ovoga slijedi da je koeficijent sprege k =1

U ovom slučaju vrijede jednačineU ovom slučaju vrijede jednačine

odnosno u kompleksnom obliku

Iz predhodnih jednačina se dobije:

+ nesaglasni krajevi – saglasni krajevi

Vrijede i relacije:

mN

N

U

U ±=±=2

1

2

1 m – prenosni odnos

Prikaz linearnog transformatora preko savršenog transformatora

Ako se jednačine iIzraze preko struja i induktiviteta dobije se:

Množenjem lijeve relacije sa N1/i1 a desne sa N2/i2 dobije se

12111 Φ+Φ=Φ 21222 Φ+Φ=Φ

Polazeći od osnovne sheme linearnog transformatora za slučaj saglasnih krajeva može se preći na drugu shemu kao na slici desno gdje je: L1‘ = mL 12 L2‘ = L 12/m

Odavde je:

odnosno

Kako je L12‘ = L12 može se preći na sljedeću shemu

Ovo je prelazak sa linearnog na savršeni transformator. na savršeni transformator. Fluks rasipanja se zatvara samo kroz induktivnosti L

σ1 i Lσ2 (to su fluksevi Φ11 i Φ22)

jer je Lσ1 − induktivnost usled rasipanjaprimara a Lσ2 − induktivnost usled rasipanja sekundara.

Idealni transformatorIdealan transformator je savršeni transformator u koga je rezultantnamagnetnopobudna sila jednaka nuli.

Za prostoperiodične struje magnetnopobudna sila je jednaka nuli tj.:

Jednačine idealnog transformatoraJednačine idealnog transformatora

Za idealni transformator vrijedi da su L1 i L2 beskonačni pa naponi ne ovise o strujama kroz zavojnice.

Isto tako idealni transformator nema mogućnost akumuliranja energije jer vrijedi da je wm(t) = 0.

Matrične jednačine se mogu predstaviti u obliku:

−=

2

2

1

1

/10

0

i

u

m

m

i

u

Ako se sa S1 označi kompleksna snaga koju uzima idealni transformator, dobije se:

Snage idealnog transformatora

Kao posledica relacija idealnog transformatora, snaga koja ulazi u idealni transformator jednaka je snazi koju on predaje na izlazu.iz S1 = S2 slijedi da je P1 = P2 i Q1 = Q2. Idealni transformator ne troši aktivnu ni reaktivnu snagu pa je stoga idealan uređaj.Predstavljanje linearnog preko idealnog transformatora

Svođenje na primarnu stranu

Idealni transformator ima osobinu preslikavanja impedanseAko definiramo ulaznu impedansu sa strane primara

odnosno:

Kako je dobije se:

Ovakvi uređaji koji zavise od impedanse na izlazu nazivaju se konvertori (konvertuju impedansu u impedansu, iste vrste ali različite vrijednosti.

Slučaj kada je ulazna impedansa sa strane sekundara

vrijede relacije:

Za dati električni krug vrijede relacije:

Primjer 13: Data je shema idealnog transformatora kao na slici. Poznato je E1 = 10 V, E2 = j10 V, R1= R2= 20 Ω, m = 0,5. Odrediti napone i struje na primaru i sekundaru Rješenje: Za idealni transformator

21 UmU = 12 ImI =

Za dati električni krug vrijede relacije:

AjRmR

EmEI 2,04,0

22

1

211 −=

+−=

2222 UIRE −=−

( )212112111 EImRmIRUmIRE ++=+=

AjImI 1,02,012 −==

421111 jIREU +=−= VjUm

U 841

12 +==

1111 UIRE +=